Download - Guía V - Matematica II
UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS” Matemática II ciclo 03/11
Ing. Daniel Augusto Sosa (Sección: 01) Ing. José María Velásquez (Sección 02)
1. Demuestre que las siguientes funciones poseen inversa; una vez que lo haya demostrado encuéntrela
a) 3x2
yx+
=−
b) ( ) 2
11 9
27 9
x si xf x x si x
x si x
<⎧⎪
= ≤⎨⎪ >⎩
≤
2. Haciendo uso de derivación logarítmica, determine la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el valor de x
que se indica para cada ejercicio
a) ( )( )
324
5
1 1 , R / 0.1184867203 2
x xy x
x
+= =
+
b) ( )
2
23
1 2, 0 /31
xy x Rx
−= =
+−
c) ( ) ( )( )
2 32
5
1 2, 2 / 50
4x x x
y xx− +
= =−
R −
d) 32
1 , 2 / 0.167191
xe xy x Rx+
= =+
e) ( )( )3
31 2
, 4 / 0.270047x
x xy x R
e+ +
= = −
f) ( ) ( )2 , 3 / 3.03759sen xy x x R= + = −
3. Encuentre las derivadas de la función y, si:
a) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1ln ln ln /
ln ln lny x R
x x x=
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) ( ) ( ) ( )2sectan /
2
x
xe x
y e Rx
=
c) ( ) ( ) ( )2
2
2
lnln / 2 ln
2
x
x
x xy t dt R x x= −∫
d) ( )( )233
1 1log 2 /3 ln(3)
y x x R ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 21 / 2 1 lsen x sen xy x R x x x xπ π
π π π−
= + + + + n cos⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4. Probar que la función de densidad de probabilidad normal ( )2
212
x
f x eπ
−= tiene puntos de inflexión en 1x = ± .
5. Hallar :a) los máximos y mínimos relativos , b) los puntos de inflexión de la curva ( ) 2 xy f x x e= =
( ) 2
4) 0,0 minimo relativo y 2, maximo relativo/
b) los puntos 2 2 son los puntos de inflexion
aeR
x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ±
6. Desarrolle las siguientes integrales
a) ( )
4
/ 2ln
e
e
dx Rx x∫
b) ( )( )( )
( )( )( )2lnln
/tan 2
sen xsend R
θθ
θc+∫
c) ( )
( )
1ln ln 44 /ln 4
x xdx R cx
⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠
+−∫
d) ( )( ) ( )( )
( )
2 33
2
log ln/
3 ln 3
x xdx R c
x+
⎡ ⎤⎣ ⎦∫
e) ( )( ) ( )( )tan ln
/ ln sec lnx
dx R x cx
+∫
f) / ln 12 2
dx R x cx x
+ ++∫
g) ( )
( ) ( )( )( ) ( )sec
/ 2 ln sec tanln sec tan
xdx R x x c
x x+ +
+∫
h) / ln 11
xx
dx R x ee
c− + ++∫
i) ( ) ( )
3
2 33
1/6 1 21 2
x
xx
e dx R cee
+−−
∫
j) ( ) ( )
44
22 3 55 2 1 /
2ln 5
x xx x x dx R c
++ + +∫
k) 1 / 6 ln 55
x dx R x x cx+
+ − +−∫
l) ( )ln
/xe dx R x c
x+∫
m) ( )( ) ( )2
2
2/ ln 1
1sen x
dx R sen x csen x
+ ++∫
n) ( )
( ) ( )( ) ( )2
2
2 ln 1/ ln ln ln
ln ln
xdx R x x c
x x x
++ +
⎡ ⎤+⎣ ⎦∫
o) ( )( ) ( ) ( )21 tan / tan 2ln cosx dx R x x c+ −∫ +
7. Aplicaciones
a) Hallar el area entre desde ( )tan , 0y x y= =4 3
x hasta xπ π= − =
2/ 1.03972R u
b) La población de una ciudad decrece a una tasa proporcional a su tamaño. En 1980 la población fue de 50000 habitantes y en 1990 fue de 44000 habitantes.
a) Si y es la población t años a partir de 1980, exprese y como una función de t. 1022/ 50000
25
t
R ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Cuanto será la población en el año 2000 / 38720 habitantesR
c) Un cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional al numero de bacterias presentes. Se tienen 1000
bacterias presentes ahora y el numero se duplicara en 30 minutos. a) Si y bacterias estan presentes a los t minutos a partir de ahora exprese y como una funcion de t.
( )/ 1000 4 tR
b) Cuantas bacterias se tendran dentro de 2 horas. / 16000R bacterias
c) Dentro de cuanto tiempo se tendran 50000 bacterias / 2 49 minR hr
d) Si se lleva un termometro de una habitacion en la cual la temperatura es de hacia el exterior donde la
temperatura es de 35 y la lectura en el termometro es de 65 despues de 30 segundos.
75
a) ¿Cuánto tiempo despues la lectura en el termometro sera de ? 50 / 1: 42 minutosR
b) ¿Cuál sera la lectura en el termometro despues de 3 minutos? / 42.1R
e) Un estudiante tiene 3 horas para preparar apresuramente un examen y durante este tiempo desea
memorizar un conjunto de 60 preguntas. De acuerdo con la Psicologia, la tasa a la cual una persona puede memorizar un conjunto de preguntas es proporcional al numero de preguntas que quedan por memorizar. De este modo, si el estudiante memoriza y preguntas en t minutos, entonces:
( )60dy k ydt
= −
Donde k es una constante positiva , 60 0y para toda t< ≥ .
Suponga que cero preguntas se memorizan inicialmente. Ademas, suponga que el estudiante memoriza 15 preguntas en los primeros 20 minutos.
a) Exprese y como una funcion de t. 203/ 60 60
4
t
R y ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Cuantas preguntas memorizara el estudiante en 1 hora. / 34.7R ≈
c) Cuantas preguntas memorizara el estudiante en 3 horas. / 55.5R ≈