UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”  Matemática II  ciclo 03/11 

Ing. Daniel Augusto Sosa (Sección: 01)     Ing. José María Velásquez (Sección 02)   

                                                                                                   1. Demuestre que las siguientes funciones poseen inversa; una vez que lo haya demostrado encuéntrela 

a) 3x2

yx+

=−

   

b) ( ) 2

11 9

27 9

x si xf x x si x

x si x

<⎧⎪

= ≤⎨⎪ >⎩

≤  

 2. Haciendo uso de derivación logarítmica, determine la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el valor de x 

que se indica para cada ejercicio  

a) ( )( )

324

5

1 1 , R / 0.1184867203 2

x xy x

x

+= =

+ 

b) ( )

2

23

1 2, 0 /31

xy x Rx

−= =

+−  

c) ( ) ( )( )

2 32

5

1 2, 2 / 50

4x x x

y xx− +

= =−

R −  

d) 32

1 , 2 / 0.167191

xe xy x Rx+

= =+

 

e) ( )( )3

31 2

, 4 / 0.270047x

x xy x R

e+ +

= = −  

f) ( ) ( )2 , 3 / 3.03759sen xy x x R= + = −  

 

3. Encuentre las derivadas de la función y, si:   

a) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1ln ln ln /

ln ln lny x R

x x x=

⎡ ⎤⎣ ⎦ 

 

b) ( ) ( ) ( )2sectan /

2

x

xe x

y e Rx

=  

  

c) ( ) ( ) ( )2

2

2

lnln / 2 ln

2

x

x

x xy t dt R x x= −∫  

 

d) ( )( )233

1 1log 2 /3 ln(3)

y x x R ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

 

 

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 21 / 2 1 lsen x sen xy x R x x x xπ π

π π π−

= + + + + n cos⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦  

 

4. Probar que la función de densidad de probabilidad normal  ( )2

212

x

f x eπ

−=  tiene puntos de inflexión en  1x = ± . 

  

5. Hallar :a) los máximos y mínimos relativos , b) los puntos de inflexión de la curva  ( ) 2 xy f x x e= =  

 

( ) 2

4) 0,0 minimo relativo y 2, maximo relativo/

b) los puntos 2 2 son los puntos de inflexion

aeR

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ±

 

 

 

 

6. Desarrolle las siguientes integrales  

a) ( )

4

/ 2ln

e

e

dx Rx x∫  

b) ( )( )( )

( )( )( )2lnln

/tan 2

sen xsend R

θθ

θc+∫  

c) ( )

( )

1ln ln 44 /ln 4

x xdx R cx

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠

+−∫  

d) ( )( ) ( )( )

( )

2 33

2

log ln/

3 ln 3

x xdx R c

x+

⎡ ⎤⎣ ⎦∫  

e) ( )( ) ( )( )tan ln

/ ln sec lnx

dx R x cx

+∫  

f) / ln 12 2

dx R x cx x

+ ++∫  

g) ( )

( ) ( )( )( ) ( )sec

/ 2 ln sec tanln sec tan

xdx R x x c

x x+ +

+∫  

h) / ln 11

xx

dx R x ee

c− + ++∫  

i) ( ) ( )

3

2 33

1/6 1 21 2

x

xx

e dx R cee

+−−

∫  

j) ( ) ( )

44

22 3 55 2 1 /

2ln 5

x xx x x dx R c

++ + +∫  

k) 1 / 6 ln 55

x dx R x x cx+

+ − +−∫  

l) ( )ln

/xe dx R x c

x+∫  

m) ( )( ) ( )2

2

2/ ln 1

1sen x

dx R sen x csen x

+ ++∫  

n) ( )

( ) ( )( ) ( )2

2

2 ln 1/ ln ln ln

ln ln

xdx R x x c

x x x

++ +

⎡ ⎤+⎣ ⎦∫  

o) ( )( ) ( ) ( )21 tan / tan 2ln cosx dx R x x c+ −∫ +  

    

7. Aplicaciones  

a) Hallar el area entre   desde ( )tan , 0y x y= =4 3

x hasta xπ π= − =  

2/ 1.03972R u  

b) La población de una ciudad decrece a una tasa proporcional a su tamaño. En 1980 la población fue de 50000 habitantes y en 1990 fue de 44000 habitantes. 

a) Si y es la población  t años a partir de 1980, exprese y como una función de t.  1022/ 50000

25

t

R ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

 

b) Cuanto será la población en el año 2000        / 38720 habitantesR  

 c)  Un  cultivo de bacterias  crece a una  tasa proporcional al numero de bacterias presentes. Se  tienen 1000 

bacterias presentes ahora y el numero se duplicara en 30 minutos.  a) Si  y  bacterias  estan  presentes  a  los  t minutos  a  partir  de  ahora  exprese  y  como  una  funcion  de  t.        

( )/ 1000 4 tR  

b) Cuantas bacterias se tendran dentro de 2 horas.      / 16000R bacterias  

c) Dentro de cuanto tiempo se tendran 50000 bacterias     / 2 49 minR hr  

 

d) Si se  lleva un termometro de una habitacion en  la cual  la temperatura es de  hacia el exterior donde  la 

temperatura es de 35  y la lectura en el termometro es de 65  despues de 30 segundos.  

75

a) ¿Cuánto tiempo despues la lectura en el termometro sera de  ?    50 / 1: 42 minutosR  

b) ¿Cuál sera la lectura en el termometro despues de 3 minutos?     / 42.1R  

 e) Un  estudiante  tiene  3  horas  para  preparar  apresuramente  un  examen  y  durante  este  tiempo  desea 

memorizar un conjunto de 60 preguntas. De acuerdo con la Psicologia, la tasa a la cual una persona puede memorizar   un conjunto de preguntas es proporcional al numero de preguntas que quedan por memorizar. De este modo, si el estudiante memoriza y preguntas en t minutos, entonces: 

( )60dy k ydt

= −  

Donde k es una constante positiva  ,  60 0y para toda t< ≥ . 

Suponga que cero preguntas se memorizan inicialmente. Ademas, suponga  que el estudiante memoriza 15 preguntas en los primeros 20 minutos. 

a) Exprese y como una funcion de t.                                     203/ 60 60

4

t

R y ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

 

b) Cuantas preguntas memorizara el estudiante en 1 hora.      / 34.7R ≈  

c)  Cuantas preguntas memorizara el estudiante en 3 horas.       / 55.5R ≈