Download - Integral Tak tentu
Integral (1)
Integral Tak Tentu
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
)(xfdx
dy
036
652
222
2
2
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi
Tinjau persamaan diferensial
Karena maka
fungsi juga merupakan solusi
)(xFy
)()(
xfdx
xdF
)(xfdx
dy
0
)()()( dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFd
KxFy )(
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral
tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
dapat dituliskan
KxFdxxf )()(
dxxfxdF )()(
)()(
xfdx
xdF
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
45xdx
dy
dxxdy 45
dxxxd 45 5)(
Kxxddxxy 554 )(5
Carilah solusi persamaan Contoh:
kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan
mengandung peubah berbeda
Jika kedua ruas diintegrasi
yxdx
dy 2
dxyxdy 2
dxxdyy 22/1
dyyyd 2/12/12 dxxxd 23
3
1
32/1
3
12 xdyd
23
12/1
3
12 KxKy
KxKKxy 312
32/1
3
1
3
12
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah
ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
Kydy
dyaady
1 jika ,1
1
nKn
ydyy
nn
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki
oleh K.
kurva adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3 5x
y = 10x2
y
50
100
-5 -3 -1 1 3 5
K1
K2
K3
yi = 10x2 +Ki
y
x
kurva
adalah kurva bernilai banyak
210xy Kxdxx 2
310
3
10
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah
posisi benda pada t = 4.
Contoh:
kecepatan percepatan waktu
Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah
Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
30 s
tatv 3
dt
dsv
dt
dva
vdtds
KtKt
atdts 22
5,12
3
274 s
K 03 3K 35,1 2 ts
Luas Sebagai Suatu Integral
Luas Sebagai Suatu Integral
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:y = f(x) =2
y
x0
2
p x x+x q
Apx Apx
atau
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
atau
)(xfy
)(2 xfx
Apx
2)(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
xKxdxdAA pxpx 22
Kp 20 pK 2
xApx 2
pxApx 22 )(222 pqpqApq
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang
p x x+x q
y
x
y = f(x)
0
f(x)f(x+x )
Apx Apx
Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x
x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+x
Jika x 0:
qxp
xxxfxxfxxfApx )()()( 0
)(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x
KxFdxxfdAA pxpx )()(
qppq xFpFqFA )()()(
Course Ware
Integral (1)Sudaryatno Sudirham