Integral (1)

Integral Tak Tentu

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian

)(xfdx

dy

036

652

222

2

2

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi

Tinjau persamaan diferensial

Karena maka

fungsi juga merupakan solusi

)(xFy

)()(

xfdx

xdF

)(xfdx

dy

0

)()()( dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFd

KxFy )(

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral

tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

dapat dituliskan

KxFdxxf )()(

dxxfxdF )()(

)()(

xfdx

xdF

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu

45xdx

dy

dxxdy 45

dxxxd 45 5)(

Kxxddxxy 554 )(5

Carilah solusi persamaan Contoh:

kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan

mengandung peubah berbeda

Jika kedua ruas diintegrasi

yxdx

dy 2

dxyxdy 2

dxxdyy 22/1

dyyyd 2/12/12 dxxxd 23

3

1

32/1

3

12 xdyd

23

12/1

3

12 KxKy

KxKKxy 312

32/1

3

1

3

12

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah

ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

Kydy

dyaady

1 jika ,1

1

nKn

ydyy

nn

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki

oleh K.

kurva adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

y

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

yi = 10x2 +Ki

y

x

kurva

adalah kurva bernilai banyak

210xy Kxdxx 2

310

3

10

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah

posisi benda pada t = 4.

Contoh:

kecepatan percepatan waktu

Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah

Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3

30 s

tatv 3

dt

dsv

dt

dva

vdtds

KtKt

atdts 22

5,12

3

274 s

K 03 3K 35,1 2 ts

Luas Sebagai Suatu Integral

Luas Sebagai Suatu Integral

Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh:y = f(x) =2

y

x0

2

p x x+x q

Apx Apx

atau

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

atau

)(xfy

)(2 xfx

Apx

2)(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

xKxdxdAA pxpx 22

Kp 20 pK 2

xApx 2

pxApx 22 )(222 pqpqApq

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang

p x x+x q

y

x

y = f(x)

0

f(x)f(x+x )

Apx Apx

Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x

x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+x

Jika x 0:

qxp

xxxfxxfxxfApx )()()( 0

)(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x

KxFdxxfdAA pxpx )()(

qppq xFpFqFA )()()(

Course Ware

Integral (1)Sudaryatno Sudirham