Download - J. Kubilius - Tikimybių teorija
Vilniaus universitetas
J. Kubilius
TIKIMYBIU‘
TEORIJA IR MATEMATINE STATISTIKA
Antrasis leidimas
Vilniaus universiteto leidykla1996
c© Jonas Kubilius, 1996
ALMAE MATRI VILNENSI,CLARAE VETERRIMAE, MAGNAEMAGISTRAE SAPIENTIAEhoc opusculum dedicavi
4
TURINYS
Pratarme pirmajam leidimui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Pratarme antrajam leidimui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Pratarme anglu
‘kalba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I skyrius. TIKIMYBES SA‘VOKA
1. Atsitiktiniai i‘vykiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Tikimybe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Elementarieji i
‘vykiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Veiksmai su i‘vykiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
5. Klasikinis tikimybes apibrezimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226. Kelios kombinatorikos formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257. Keletas pavyzdziu
‘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
8. ”Geometrines” tikimybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319. Tikimybiu
‘teorijos aksiomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
10. Tikimybiu‘savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11. Sa‘lygines tikimybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12. Nepriklausomi i‘vykiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13. Nepriklausomi eksperimentai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114. Bernulio eksperimentai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5315. Tikimybes pn(k) asimptotika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5616. Apibendrintoji Bernulio eksperimentu
‘schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
II skyrius. ATSITIKTINIAI DYDZIAI
1. Atsitiktinio dydzio sa‘voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2. Atsitiktiniu‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos ir ju
‘savybes . . . . . . . . . . . . . 74
3. Daugiamaciai atsitiktiniai dydziai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804. Daugiamaciu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos . . . . . . . . . . . . . 81
5. Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6. Nepriklausomi atsitiktiniai dydziai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987. Atsitiktiniu
‘dydziu
‘vidurkiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8. Atsitiktiniu‘dydziu
‘vidurkiu
‘savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9. Momentai ir kitos skaitines charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110. Sa
‘lygines tikimybes ir sa
‘lyginiai vidurkiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5
III skyrius. ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
SEKOS.ATSITIKTINIAI PROCESAI
1. Borelio –Kantelio lema. Nulio arba vieneto desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312. Atsitiktiniu
‘dydziu
‘seku
‘konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3. Didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4. Triju‘eiluciu
‘teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
5. Stiprusis didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6. Kartotinio logaritmo desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587. Silpnasis konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1688. Charakteristines funkcijos ir paprasciausios ju
‘savybes . . . . . . . . . . . . . . 176
9. Apvertimo ir vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710. Tolydumo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19911. Centrine ribine teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712. Lokalioji ribine teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21713. Atsitiktiniu
‘vektoriu
‘charakteristines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
14. Atsitiktinio proceso sa‘voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15. Markovo grandines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23016. Markovo grandiniu
‘busenu
‘klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
17. Markovo grandiniu‘ergodines teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
18. Tolydaus laiko Markovo grandines. Markovoprocesai. Martingalai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
19. Brauno ir Puasono procesai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25320. Dauginimosi ir nykimo procesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
IV skyrius. MATEMATINES STATISTIKOSPRADMENYS
1. Matematines statistikos uzdaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2632. Atsitiktinio dydzio empirines charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2653. Stebejimo duomenu
‘grupavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4. Pakankamosios statistikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705. Suderintieji ir nepaslinktieji i
‘verciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6. I‘verciu
‘sudarymo metodai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282
7. Efektyvieji i‘verciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8. Pasikliautinieji intervalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919. Statistiniu
‘hipoteziu
‘tikrinimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
10. Fundamentalioji Neimano –Pirsono lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30111. Hipoteziu
‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas . . . . . . . . . . . . . . . . 304
12. χ2 kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513. Kriterijai, pagri
‘sti empirines ir teorines pasiskirstymo
funkciju‘skirtumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6
14. Smirnovo kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33615. Zenklu
‘kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
16. Ranginiai kriterijai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344
V skyrius. PRIEDAS. MATO IR INTEGRALOTEORIJOS PRADMENYS
1. Aibiu‘klases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
2. Aibiu‘matas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
3. Mato savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3564. Mato prate
‘simas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5. Pusalgebriai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3686. Lebego –Styltjeso matas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3717. Maciosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778. Integralo sa
‘voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
9. Integralo savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39110. Matu
‘sandauga. Kartotiniai integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
11. Lebego –Styltjeso ir Rymano –Styltjesointegralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Pratarmes 7
PRATARME PIRMAJAM LEIDIMUI
Siandienine tikimybiu‘teorija yra gana abstraktus mokslas. Ji pagri
‘sta mato
ir integralo teorija, taip pat daugeliu faktu‘
is kitu‘
matematikos sriciu‘. Ti-
kimybiu‘teorijos kursuose nematematikams paprastai supazindinama tik su
paprasciausiomis schemomis, kurioms suvokti pakanka elementariosios ma-tematikos ir siek tiek diferencialinio bei integralinio skaiciavimo ziniu
‘. Ilga
‘laika
‘sis kursas taip buvo destomas ir matematikams. Kita vertus, perdetas
kurso abstraktinimas pradedantiems studijuoti sia‘svarbia
‘disciplina
‘galetu
‘uztusuoti svarbiausias jos idejas. Todel autorius, nors ir ryzdamasis isdestytigana abstrakcia
‘teorija
‘, stengesi pagrindines idejas iliustruoti paprastais pa-
vyzdziais, motyvuoti apibendrinimu‘butinuma
‘. Negailejo vietos aiskinimams,
ypac knygos pradzioje. Kadangi net studentai matematikai neturi pakanka-mai ziniu
‘is mato ir integralo teorijos, teko knygoje pateikti ir jas su pilnais
i‘rodymais. Tik kai kurie faktai pateikiami be i
‘rodymu
‘, nurodant atitinkama
‘literatura
‘. Tekstas iliustruojamas pavyzdziais ir uzdaviniais.
Knyga skirta studentams matematikams, is dalies ja gales pasinaudoti irkitu
‘specialybiu
‘studentai, taip pat asmenys, norintys i
‘sigyti gilesniu
‘ziniu
‘is
tikimybiu‘teorijos ir matematines statistikos.
Knyga suskirstyta i‘skyrius ir skyrelius. Kiekviename skyrelyje teoremos,
lemos ir pavyzdziai numeruojami is eiles. Cituojant kito skyriaus teorema‘,
vartojami trys numeriai: skyriaus numeris zymimas romenisku skaitmeniu,skyrelio ir teoremos – arabiskais skaitmenimis. Pavyzdziui, III.7.3 teoremayra treciojo skyriaus 7 skyrelio 3 teorema. Cituojant to paties skyriaus teo-rema
‘, skyriaus numeris praleidziamas, o cituojant to paties skyrelio teorema
‘– praleidziamas ir skyrelio numeris. Taip pat cituojamos ir lemos bei pavyz-dziai. Teoremu
‘ir lemu
‘i‘rodymu
‘pabaiga zymima zenklu ut.
I‘pateikta
‘knygoje literaturos sa
‘rasa
‘i‘traukti autoriaus panaudoti veikalai
ir knygos, rekomenduotinos skaitytojui, norinciam placiau ir giliau studijuotitikimybiu
‘teorija
‘ir matematine
‘statistika
‘. Tekste lauztiniuose skliaustuose
nurodomas veikalo numeris is to sa‘raso.
Knygos gale i‘deta rodykle pades skaitytojui rasti i
‘vairiu
‘terminu
‘apibre-
zimus.
8 Pratarmes
Knygos apimtis neleido pateikti uzdaviniu‘pratyboms bei lenteliu
‘. Reko-
menduojame skaitytojams uzdavinynus [14, 24] ir knygose [2, 17] pateiktaslenteles.
Autorius dekoja knygos recenzentams prof. B. Grigelioniui ir Kauno po-litechnikos instituto matematikams, taip pat Vilniaus universiteto Taikomo-sios matematikos bei Tikimybiu
‘teorijos ir skaiciu
‘teorijos katedru
‘bendradar-
biams uz vertingas pastabas. Autorius dekingas taip pat kolegems K. Lyn-dienei ir V. Verikaitei, kurios i
‘dejo daug darbo, ruosiant rankrasti
‘spaudai,
ir visiems vienaip ar kitaip prisidejusiems prie knygos isleidimo.Autorius bus dekingas uz skaitytoju
‘kritines pastabas. Jas prasome siu
‘sti
siuo adresu: leidykla ”Mokslas”, Zvaigzdziu‘23, 2050 Vilnius.
Autorius
PRATARME ANTRAJAM LEIDIMUI
Pirmasis sio vadovelio leidimas isejo 1980 metais. Knyga buvo palankiaisutikta. Ja galejo pasinaudoti ne tik matematikos ir kitu
‘specialybiu
‘stu-
dentai, bet ir i‘vairus mokslo bei praktikos darbuotojai, kuriems prireike
tikimybiu‘teorijos ar matematines statistikos teoriniu
‘ziniu
‘. Knyga
‘siandien
galima gauti tik bibliotekose. Ir ten didele dalis egzemplioriu‘jau susidevejusi.
Todel autorius ryzosi paruosti antra‘ji‘leidima
‘.
Siame leidime istaisyti pastebeti netikslumai, kai kurie dalykai isdestytisiek tiek kitaip. Mato bei integralo teorijos zinios, kurios buvo pirmajameleidime isbarstytos visoje knygoje, dabar sukeltos i
‘viena
‘– penkta
‘ji‘skyriu
‘.
Vertingu‘pastabu
‘pateike doc. R. Lapinskas ir kiti kolegos. Visiems jiems
dekoju. Ypac esu dekingas bendradarbems V. Verikaitei ir R. Stancikienei, pa-dejusioms paruosti knygos rankrasti
‘, pirmojo ir antrojo leidimo redaktorems
E. Leikauskienei ir Z. Manstavicienei, rupestingai surinkusiai teksta‘kompiu-
teriu V. Rackauskienei, korektorei V. Vitkauskienei ir Vilniaus universitetoleidyklai, radusiai galimybiu
‘isleisti knyga
‘.
J. Kubilius
Pratarmes 9
PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS.J. Kubilius. – Vilnius.
This book provides an introduction to the field. It contains the mainconcepts of probability, properties of probability distributions and their nu-merical characteristics, laws of large numbers for sums of random variables,the method of characteristic functions and the central limit theorem, Markowchains and simple stochastic processes, properties of point and interval esti-mations, testing statistical hypotheses.
Although great care has been taken to make the book mathematicallyrigorous, the intuitive approach as well as the applicability of the conceptsand theorems are emphasized. The book presents an outline of many of thepossible applications of the theory, accompanied by descriptive concrete ex-amples.
The book is intended primarily to students of mathematics, it would beof interest to all those working in applied science.
No previous knovledge of probability is assumed for this book. In order tohelp the reader, some concepts of measure and integration theory are given.
I skyrius. TIKIMYBES SA‘VOKA
1. ATSITIKTINIAI I‘VYKIAI
Mus supanciame pasaulyje kiekvienas reiskinys yra susije‘s su daugybe kitu
‘reiskiniu
‘. Rysiai tarp vienu
‘reiskiniu
‘yra stipresni, tarp kitu
‘– silpnesni. Kiek-
viena mokslo saka paprastai nagrineja tik nedideli‘tu
‘rysiu
‘skaiciu
‘, nustato
nagrinejamu‘reiskiniu
‘pagrindinius desningumus, kurie atspindi ju
‘esminius
rysius. Daugelis rysiu‘lieka neistirti. Stebimi reiskiniai daznai priklauso nuo
tiek daug rysiu‘, kad praktiskai nei
‘manoma (o kartais ir nera prasmes) ju
‘visu
‘isanalizuoti, norint nusakyti, kaip vyks tiriamasis reiskinys. Tenka tir-
ti idealizuotus reiskinius, atsisakant daugelio (tam tikra prasme) antraeiliu‘
priezasciu‘. Todel nustatytieji desniai veikia ne absoliuciai tiksliai, reiskiniai
siek tiek nuo ju‘nukrypsta. Nukrypimai, atsirade
‘todel, kad neatsizvelgiama
i‘daugeli
‘rysiu
‘, yra atsitiktiniai reiskiniai.
Neapibreztumo principas fizikoje teigia, kad kai kuriuos fizinius dydziussieja toks rysys, jog, pasiekus didesni
‘vieno dydzio matavimo tiksluma
‘, kito
dydzio matavimo tikslumas sumazeja. Galima kiek norint tobulinti tu‘dydziu
‘tyrimo metodika
‘, bet jei pasiseks tiksliau ismatuoti viena
‘is ju
‘, tai kito dydzio
matavimo tikslumas butinai sumazes. Cia atsitiktinumas – ne ziniu‘stokos is-
dava, o principinis dalykas, atspindi‘s reiskinio esme
‘.
Tikimybiu‘teorija tiria matematikos metodais atsitiktinius reiskinius. Vie-
na is pagrindiniu‘tos teorijos sa
‘voku
‘yra atsitiktinio i
‘vykio sa
‘voka. I
‘vykiu va-
dinsime kiekviena‘fakta
‘, kuris gali i
‘vykti arba nei
‘vykti, atlikus eksperimenta
‘.
Eksperimentu (bandymu, potyriu) suprasime kokiu‘nors sa
‘lygu
‘realizavima
‘.
I‘vykius skirstysime i
‘butinus, negalimus ir atsitiktinius. Panagrinesime
sias sa‘vokas.
Imkime logine‘schema
‘: realizavus sa
‘lygu
‘kompleksa
‘K, i
‘vyksta i
‘vykis A.
Pailiustruosime ta‘schema
‘pavyzdziais.
1 p a v y z d y s. I‘metame natrio gabaleli
‘i‘inda
‘su vandeniu (sa
‘lygu
‘komplekso
K realizavimas). I‘vyksta chemine reakcija 2Na + 2H2O = 2NaOH + H2 ↑, gauname
natrio sarma‘ir vandenili
‘(i‘vykis A).
2 p a v y z d y s. Sujungiame pakrauto akumuliatoriaus gnybtus laidininku
(sa‘lygu
‘komplekso K realizavimas). Laidininku teka elektros srove (i
‘vykis A).
Tokie i‘vykiai vadinami butinais (sa
‘lygu
‘komplekso K atzvilgiu). Kalbant
apie kokio nors i‘vykio butinuma
‘, visada reikia tureti galvoje tu
‘sa
‘lygu
‘komp-
Atsitiktiniai i‘vykiai 11
leksa‘, kurio atzvilgiu i
‘vykis nagrinejamas. Pakeitus sa
‘lygu
‘kompleksa
‘, i
‘vykis
gali ta‘savybe
‘prarasti.
Galima ir sitokia schema: realizavus sa‘lygu
‘kompleksa
‘K, i
‘vykis A ne-
i‘vyksta. Tada i
‘vykis A vadinamas negalimu (sa
‘lygu
‘komplekso K atzvilgiu).
Teiginys, kad koks nors i‘vykis yra negalimas duoto sa
‘lygu
‘komplekso atzvilgiu,
logiskai yra tolygus teiginiui, kad jam priesingas i‘vykis yra butinas to komp-
lekso atzvilgiu.Taciau ne visi i
‘vykiai yra butini arba negalimi. Yra ir kitokiu
‘i‘vykiu
‘, kuriu
‘logine schema sitokia: realizavus sa
‘lygu
‘kompleksa
‘K, i
‘vykis A gali i
‘vykti, gali
ir nei‘vykti.
3 p a v y z d y s. Ismetus moneta‘(sa
‘lygu
‘komplekso K realizavimas), herbas
gali atsiversti (i‘vykis A), gali ir neatsiversti.
4 p a v y z d y s. Pirkome loterijos bilieta‘. Tiraze jis gali laimeti, bet (daz-
niausiai) gali ir nieko nelaimeti.5 p a v y z d y s. Stebime radzio gabaleli
‘, sakykime, viena
‘sekunde
‘. Per ta
‘laiko
tarpa‘bent vienas radzio atomu
‘gali suskilti, gali ir ne vienas atomas nesuskilti.
6 p a v y z d y s. Automatines stakles gamina detale‘sudetingiems mechaniz-
mams. Tarkime, kad ji bus tinkama, jei jos ilgis bus tam tikrose leistinose ribose.
Taciau stakles veikia daugybe faktoriu‘: virpesiai, kuriuos sukelia kitos stakles, esan-
cios gamykloje, temperaturos svyravimai, oro sroves ir t. t. Todel pagamintu‘detaliu
‘
ilgis nebus vienodas – siek tiek svyruos. Pirmosios paimtos detales ilgis gali buti
leistinose ribose (jei stakles gerai sureguliuotos ir laikomasi technologinio rezimo,
taip dazniausiai ir bus), gali ir nebuti.
Tokius i‘vykius, kurie, realizavus duota
‘sa
‘lygu
‘kompleksa
‘, gali i
‘vykti, bet
gali ir nei‘vykti, vadiname atsitiktiniais (to sa
‘lygu
‘komplekso atzvilgiu). Musu
‘pavyzdziuose herbo atsivertimas, loterijos bilieto islosimas, radzio atomu
‘ski-
limas, detales ilgio nukrypimas uz leistinu‘ribu
‘yra atsitiktiniai i
‘vykiai. Ir cia,
kalbant apie i‘vykio atsitiktinuma
‘, visada reikia tureti galvoje eksperimento
sa‘lygas K. Papildzius ju
‘kompleksa
‘naujomis sa
‘lygomis, atsitiktiniai i
‘vykiai
gali virsti butinais arba negalimais.Sakykime, meteme moneta
‘ir atvirto herbas. Tai atsitiko del daugelio
konkreciu‘priezasciu
‘: monetos pradines padeties, pradinio greicio ir pagreicio,
oro trinties, klampumo, monetos formos, oro mikrosroviu‘, grindu
‘pavirsiaus,
virpesiu‘ir t. t. Jei zinotume visas tas priezastis ir jas turetume galvoje, tai
(bent is principo) galetume tiksliai pasakyti, ar herbas atvirs, ar neatvirs. Taibutu
‘gana sudetingas uzdavinys. Antra vertus, praktiskai nei
‘manoma abso-
liuciai tiksliai fiksuoti visu‘sa
‘lygu
‘, nuo kuriu
‘priklauso herbo atsivertimas. O
del nedidelio sa‘lygu
‘pasikeitimo gali pasikeisti rezultatas.
Nagrinesime tik tokius i‘vykius, kuriems tinka ”negalimo treciojo” desnis
(tertium non datur), t. y. kurie arba i‘vyksta, arba nei
‘vyksta. Negali buti at-
vejo, kai apie i‘vyki
‘vienu metu butu
‘galima teigti, kad jis ir i
‘vyko, ir nei
‘vyko.
12 Tikimybes sa‘voka
2. TIKIMYBE
Jau sakeme, kad tikimybiu‘teorija tiria matematiniais metodais atsitiktinius
reiskinius. Kiekvienas mokslas, taigi ir sis iesko ir nustato tiriamu‘reiskiniu
‘desningumus. Tiksliau tikimybiu
‘teorija
‘galetume nusakyti kaip matematikos
saka‘, nagrinejancia
‘masiniu
‘atsitiktiniu
‘reiskiniu
‘desnius.
Is karto atrodytu‘keista kalbeti apie atsitiktiniu
‘reiskiniu
‘desningumus.
Ka‘galima pasakyti apie i
‘vykius, kurie tai i
‘vyksta, tai nei
‘vyksta? Is tikru
‘ju
‘,
kai susiduriame su atskirais atsitiktiniais i‘vykiais, apie kokius nors desningu-
mus kalbeti sunku. Bet visiskai kitaip yra tada, kai reiskinys kartojasi daugkartu
‘.
Taciau leiskime kalbeti pavyzdziams.Jauna seima laukia pirmojo kudikio. Nerimauja. Spelioja. Zinoma, vyras
nori sunaus, zmona – dukters. Ir ka‘dabar zmogus gali zinoti, kas gims: dukte
ar sunus? Grynas atsitiktinumas.Bet imkime visas seimas, kurios ta
‘pati
‘menesi
‘susilauke naujagimio, ir
pamatysime, kad gime mazdaug puse berniuku‘ir puse mergaiciu
‘. Vadinasi,
kas buvo vienoje seimoje tik atsitiktinis reiskinys, dideliam seimu‘
skaiciuiyra desningumas. Ir i
‘domumo delei galetume pasakyti, kad seimos galva –
vyras – turejo daugiau galimybiu‘
sulaukti sunaus, negu zmona – dukters.Mat, kaip rodo pasauline statistika, bendrame naujagimiu
‘skaiciuje berniuku
‘buna truputi
‘daugiau kaip 51 nuosimtis.
1 lenteleje pateikiami duomenys apie naujagimius Lietuvoje 1965–1974metais. Nors gimimu
‘skaicius kiekvienais metais vis kitoks, bet kasmet gims-
ta mazdaug 51% berniuku‘. Ta
‘pati
‘matytume, nagrinedami visus gimusius
kituose krastuose: berniuku‘dalis tarp visu
‘naujagimiu
‘svyruoja nedidelese
ribose.
1 lentele
Metai 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1965–1974
Berniuku‘
skaicius is1000 nau-jagimiu
‘515 512 507 511 514 514 513 512 510 508 512
Panasiai yra ir su kitais atsitiktiniais i‘vykiais.
Ant musu‘delno guli moneta. Metame ja
‘. Atvirto herbas. Atsitiktinumas,
ar ne tiesa? Juk galejo atvirsti ir skaicius, roda‘s monetos verte
‘. Metame
moneta‘
desimt kartu‘: penkis kartus atvirto herbas ir penkis – skaicius. O
juk galejo atvirsti, pavyzdziui, du kartus herbas ir astuonis kartus skaicius(atskirais atvejais taip ir buna). Aisku, is tokio mazo bandymu
‘skaiciaus
dar negalima spre‘sti apie koki
‘nors desninguma
‘ir tvirtinti, jog, metus mo-
neta‘
desimt kartu‘, penkis kartus atvirs skaicius ir penkis kartus – herbas.
Tikimybe 13
Taciau bandykime toliau. Sakykim, meteme moneta‘tukstanti
‘kartu
‘, antra
‘,
trecia‘, ketvirta
‘, ... Pastebesime, jog kiekvienos eksperimentu
‘serijos rezultatai
nedaug skirsis. Tiesa, bus nedideliu‘nukrypimu
‘, bet, susumave
‘visu
‘eksperi-
mentu‘rezultatus, matysime, kad mazdaug 50 nuosimciu
‘visu
‘metimu
‘atvirto
herbas, o penkiasdesimt – skaicius.Tarkime, kad turime sa
‘lygu
‘kompleksa
‘K, kuri
‘galime realizuoti daug
kartu‘. Kiekviena
‘karta
‘, ji
‘realizavus, gali i
‘vykti arba nei
‘vykti atsitiktinis i
‘vy-
kis A. Pazymekime Nn(A) i‘vykiu
‘A skaiciu
‘, atlikus n eksperimentu
‘. Santykis
Nn(A)n
= νn(A)
yra vadinamas i‘vykio A statistiniu dazniu.
Gri‘zkime prie monetos metymo.
Dar XVIII a. Biufonas1 mete moneta‘4040 kartu
‘. Herbas atsiverte 2048
kartus. Jo gautas herbo atvirtimu‘statistinis daznis
20484040
= 0, 5069... ≈ 0, 51.
Panasius eksperimentus su moneta atliko sio amziaus pradzioje K. Pirsonas2.Metus moneta
‘12 000 kartu
‘, herbas atvirto 6019 kartu
‘. Statistinis daznis lygus
601912000
= 0, 50158... ≈ 0, 50.
Veliau jis mete moneta‘dar 12 000 kartu
‘; is visu
‘24 000 metimu
‘herbas
atvirto 12 012 kartu‘. Statistinis daznis
1201224000
= 0, 5005 ≈ 0, 50.
Matematikas Dz. Kerichas (J.E. Kerich [25]) Antrojo pasaulinio karo me-tu buvo internuotas. Turedamas laiko, jis eksperimentavo, metydamas mone-ta
‘. Per 10 seriju
‘po 1000 metimu
‘kiekviena herbas atvirto atitinkamai 502,
511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529 kartus. Statistiniai herbo atvirtimodazniai buvo lygus
1/2 + 0, 002 1/2 + 0, 011 1/2− 0, 003 1/2 + 0, 029 1/2 + 0, 0041/2− 0, 024 1/2 + 0, 007 1/2 + 0, 028 1/2 + 0, 004 1/2 + 0, 029
Pateikeme pavyzdzius, aprasytus literaturoje. Suprantama, turedami pa-kankamai laiko ir kantrybes, galetume ir patys atlikti tokiu
‘eksperimentu
‘.
Reikia manyti, kad gautume panasius rezultatus.
1 George Louis Leclerc de Buffon (1707–1788) – prancuzu‘gamtininkas ir rasyto-
jas.2 Karl Pearson (1857–1936) – anglu
‘matematikas ir statistikas.
14 Tikimybes sa‘voka
Is pavyzdziu‘matome, kad herbo atvirtimo statistinis daznis, kai bandymu
‘skaicius yra didelis, svyruoja nedideliame intervale. Sakome, kad statistinisdaznis yra stabilus. Panasaus stabilumo yra ir berniuku
‘gimimo statistinis
daznis. Ta‘pati
‘pastebesime ir tirdami kitus atsitiktinius reiskinius.
Kai eksperimentu‘
skaicius yra nedidelis, statistinis daznis gali svyruotigana didelese ribose intervale [0, 1]. Taciau kai eksperimentu
‘skaicius didelis,
jis paprastai svyruoja labai nedaug ir turi tendencija‘arteti prie kokio nors
pastovaus skaiciaus. Tai vaizdziai matyti 1 paveiksle (jis paimtas is H. Krame-ro knygos [6]). Cia atvaizduotas, naudojant logaritmine
‘skale
‘, herbo atvirtimo
daznio kitimas, metus moneta‘400 kartu
‘.
1 pav.
Pateiktieji pavyzdziai ir kasdienine praktika leidzia mums teigti, kad at-sitiktinio i
‘vykio A statistinis daznis svyruoja apie tam tikra
‘konstanta
‘. Ta
‘konstanta
‘vadiname i
‘vykio tikimybe ir paprastai zymime P (A), p(A), PA,
pA ir pan. Cia raide P primena lotynu‘
kalbos zodi‘
”probabilitas” – ”tiki-mybe”. Taigi herbo atvirtimo tikimybe galime laikyti 1/2, berniuko gimimotikimybe – 0,51.
Toks i‘vykio tikimybes nusakymas apibudina sios sa
‘vokos naturalia
‘ja
‘moksline
‘prasme
‘, taciau nera formalus jos apibrezimas, kuri
‘pateiksime
veliau.Tikimybiu
‘teorija nagrineja tik atsitiktiniu
‘i‘vykiu
‘su stabiliais statis-
tiniais dazniais desnius. Klausimas, kokiomis sa‘lygomis atsitiktiniu
‘i‘vykiu
‘statistinis daznis yra stabilus, – labai sudetingas. Reikia, kad eksperimentosa
‘lygos (sa
‘lygu
‘kompleksas K) visa
‘laika
‘butu
‘tos pacios, o tai daznai buna
nelengva patikrinti.Ne tik statistinis daznis, bet ir kitos atsitiktiniu
‘reiskiniu
‘charakteristikos
daznai buna labai stabilios.
Tikimybe 15
Pailiustruosime tai sitokiu pavyzdziu. Kaip zinome is fizikos, dujos yrasudarytos is be galo daug visa
‘laika
‘judanciu
‘mazyciu
‘daleliu
‘– molekuliu
‘. Ju
‘judejimas yra chaotiskas. Molekules susidurineja vienos su kitomis, atsoka,kinta ju
‘judejimo kryptis, greitis ir t. t. Tarkime, kad dujos yra uzdarame in-
de. Duju‘slegis i
‘indo sieneles yra molekuliu
‘smugiu
‘rezultatas. Regis, slegis,
budamas atsitiktinis reiskinys, turetu‘svyruoti. Taciau ir tiksliausi matavimai
tokio svyravimo – fliuktuaciju‘– neparodo. Praeityje kinetines duju
‘teorijos
priesininkai si‘
fakta‘
net megino panaudoti kaip savo argumenta‘. Is tikru
‘ju
‘del milzinisko molekuliu
‘skaiciaus smugiu
‘i‘indo sieneles rezultatas issilygina,
ir slegis buna gana pastovus. Tiktai istobulejus eksperimento technikai, kaitapo galima izoliuoti nedideli
‘molekuliu
‘skaiciu
‘, buvo pastebeti tokiu
‘”labai
skystu‘” duju
‘slegio svyravimai.
Tikimybiu‘teorijos metodai palyginti nesunkiai paaiskina tokio tipo atsi-
tiktiniu‘reiskiniu
‘charakteristiku
‘stabiluma
‘. Zinoma, kartais galima taikyti ir
klasikinius matematikos metodus. Antai, duju‘molekuliu
‘judejima
‘galetume
aprasyti diferencialinemis lygtimis, traktuodami kiekviena‘molekule
‘kaip la-
bai maza‘kuna
‘. Jei molekuliu
‘skaicius yra n, reiketu
‘sudaryti 3n antrosios eiles
diferencialiniu‘lygciu
‘. Kadangi n paprastai labai didelis (kai temperatura 0C
ir slegis 1 atm, 1 cm3 yra 2,6873· 1019 idealiu‘ju
‘duju
‘molekuliu
‘), tai gautume
milziniska‘
diferencialiniu‘
lygciu‘
sistema‘. Is jos, zinoma, galetume padaryti
kai kurias isvadas apie molekuliu‘judejima
‘. Taciau tokios sistemos praktiskai
nei‘manoma isspre
‘sti. Yra ir principiniu
‘matematiniu
‘sunkumu
‘. Tikimybiu
‘teorija, nagrinejant atsitiktinius reiskinius, yra pranasesne uz klasikinius ma-tematikos metodus.
Tikimybiu‘teorijos sa
‘vokos pradejo formuotis XVI amziuje, meginant ma-
tematiskai analizuoti azartiniu‘losimu
‘klausimus (L. Pacolis1, N. Tartalja2,
Dz. Kardanas3). XVII simtmecio pradzioje Galilejus4 megino nagrineti ma-tavimo paklaidas, traktuodamas jas kaip atsitiktines ir i
‘vertindamas ju
‘ti-
kimybes. Tuo laiku meginta kurti draudimo teorija‘, pagri
‘sta
‘mirtingumo,
nelaimingu‘atsitikimu
‘, ligu
‘ir panasiu
‘masiniu
‘reiskiniu
‘matematine analize.
Taciau tikimybiu‘
teorijos pradzia laikomi Ch. Hioigenso5, B. Paskalio6 irP. Ferma7 darbai, atlikti XVII a. viduryje, susije
‘su azartiniais losimais. Tuose
darbuose isryskejo svarbios tikimybiu‘
teorijos sa‘vokos, tarp ju
‘– tikimybes
sa‘voka. Didelis zingsnis i
‘prieki
‘buvo J. Bernulio8 darbai, taip pat susije
‘su
losimais. Jis pirmasis i‘rode viena
‘is svarbiausiu
‘tikimybiu
‘teorijos desniu
‘–
1 Luca Pacioli (1445?–1514) – italu‘matematikas.
2 Niccolo Tartaglia (1500?–1557) – italu‘matematikas.
3 Geronimo Cardano (1501–1576) – italu‘matematikas.
4 Galileo Galilei (1564–1642) – italu‘mokslininkas.
5 Christiann Huygens (1629–1695) – olandu‘matematikas ir fizikas.
6 Blaise Pascal (1623–1662) – prancuzu‘matematikas ir fizikas.
7 Pierre de Fermat (1601–1665) – prancuzu‘matematikas.
8 Jakob Bernoulli (1654–1705) – sveicaru‘matematikas.
16 Tikimybes sa‘voka
vadinama‘ji‘didziu
‘ju
‘skaiciu
‘desni
‘. Sis desnis i
‘vertina tikimybe
‘, kad, atlikus
dideli‘
skaiciu‘
eksperimentu‘, stebimo i
‘vykio statistinis daznis mazai skirsis
nuo to i‘vykio tikimybes.
Tikimybiu‘teorijos gimimas susije
‘s su azartiniu
‘losimu
‘teorija. Cia atsitik-
tiniu‘reiskiniu
‘desningumai yra gana paprasti. Vystantis mokslams, paaiskejo,
kad tikimybiu‘teorija gali buti taikoma daug svarbesnese srityse, negu losimai.
Tai – matavimo paklaidu‘teorija, balistikos, statistikos (pirmiausia demogra-
fijos) klausimai. Tai skatino tikimybiu‘teorijos vystyma
‘si. Tikimybiu
‘teorijoje
imta taikyti sudetingesni‘matematini
‘aparata
‘. Ypac svarbu
‘vaidmeni
‘, kur-
dami tikimybiu‘teorijos matematini
‘aparata
‘, suvaidino A. Muavras1, P. Lap-
lasas2, K. F. Gausas3, S. Puasonas4. XVIII ir XIX a. tikimybiu‘teorija sparciai
vystesi, pradeta ja‘taikyti i
‘vairiausiose srityse, kartais nepakankamai pagri
‘s-
tai.XIX a. antroje puseje ir XX a. pradzioje daug nusipelne tikimybiu
‘teorijai
P. Cebysovas5, A. Markovas6, A. Liapunovas7.XX a. tikimybiu
‘teorija virto griezta matematine disciplina. Buvo sukurta
jos aksiomatika. Pirma‘sias aksiomu
‘sistemas pasiule L. Bolmanas 1901 m. ir
S. Bernsteinas8 1917 m. Siandien labiausiai paplitusi kita aksiomu‘sistema,
pagri‘sta mato ir integralo teorija, kuria
‘sukure daugiausia prancuzu
‘mate-
matikai. Ta‘sistema
‘suformulavo A. Kolmogorovas9 1933 m.
Siais laikais i‘vairus mokslai sparciai matematizuojami. Matematikos me-
todai braunasi vis i‘naujas mokslo bei technikos sritis. Ypac platus yra tikimy-
biu‘teorijos taikymu
‘diapazonas. Antra vertus, i
‘vairus mokslai kelia tikimybiu
‘teorijai nauju
‘svarbiu
‘problemu
‘. Praktiniai poreikiai ir vidine raidos logika
spartina sios svarbios matematikos sakos tolesni‘vystyma
‘si.
Tikimybiu‘teorija Lietuvoje turi senas tradicijas. Jau XVIII a. Vilniaus
universitete buvo destomi tikimybiu‘teorijos elementai. 1830 m. jame buvo
i‘steigta tikimybiu
‘teorijos katedra. Tuo metu Vilniaus universitetas buvo vie-
nas is svarbiausiu‘Rytu
‘Europos universitetu
‘. Taciau tikimybiu
‘teorijos ka-
tedros veikla greitai nutruko, nes 1832 m. caro valdzios, vykdziusios imperia-listine
‘rusinimo politika
‘, universitetas buvo uzdarytas. Per pastaruosius kelis
1 Abraham de Moivre (1667–1754) – prancuzu‘kilmes anglu
‘matematikas.
2 Pierre Simon Laplace (1749–1827) – prancuzu‘matematikas.
3 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) – vokieciu‘matematikas.
4 Simeon Denis Poisson (1781–1840) – prancuzu‘matematikas.
5 Pafnutijus Cebysovas (1821–1894) – rusu‘matematikas.
6 Andriejus Markovas (1856–1922) – rusu‘matematikas.
7 Aleksandras Liapunovas (1857–1918) – rusu‘matematikas.
8 Sergiejus Bernsteinas (1880–1968) – rusu‘matematikas.
9 Andriejus Kolmogorovas (1903–1987) – rusu‘matematikas.
Elementarieji i‘vykiai 17
desimtmecius Lietuvoje tikimybiu‘
teorija pletojosi labai sparciai. Lietuvosmatematikai nemazai nusipelne tikimybiu
‘teorijos mokslui.
3. ELEMENTARIEJI I‘VYKIAI
Pasirinkime koki‘nors atsitiktini
‘eksperimenta
‘(arba stebejima
‘) ir nagrinekime
visu‘su juo susijusiu
‘galimu
‘i‘vykiu
‘aibe
‘. Kai kuriuos is tu
‘i‘vykiu
‘galesime lai-
kyti sudarytais is kitu‘– atskiru
‘atveju
‘. Tarp i
‘vykiu
‘bus ir tokiu
‘, kurie toliau
neskaidytini ir negali i‘vykti kartu. Juos vadinsime elementariaisiais i
‘vykiais
(arba eksperimento baigtimis). Si sa‘voka yra pirmine, todel jos neapibresime,
bet tik paaiskinsime pavyzdziais. Aibe visu‘
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘, susijusiu
‘su kuriuo nors atsitiktiniu eksperimentu, vadinama elementariu
‘ju‘i‘vykiu
‘erd-
ve. Elementariuosius i‘vykius zymesime raide ω su indeksais arba be ju
‘, o
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve
‘– raide Ω.
Isnagrinesime keleta‘pavyzdziu
‘.
1 p a v y z d y s. Atsitiktinai metame moneta‘. Ji nukris ant stalo arba
ant grindu‘. Manysime, kad ji negali sustoti, atsiremusi briauna i
‘pavirsiu
‘, ant ku-
rio nukrinta, – nebent atsiremtu‘i‘stalo koja
‘ar siena
‘arba patektu
‘i‘plysi
‘. Taciau
tokie atvejai praktiskai nei‘manomi, todel laikysime galimais tik du atvejus: atsi-
vers herbas arba skaicius, roda‘s monetos verte
‘. Elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve Ω bus
sudaryta is dvieju‘i‘vykiu
‘: a) herbo atsivertimo, b) skaiciaus atsivertimo.
2 p a v y z d y s. Losimo kauliukas yra kubas. Seniau jis buvo gamina-mas is kaulo, dabar – is plastmases, medzio arba metalo. Jo sieneles pazymetos”akutemis” – mazomis duobutemis. Vienoje sieneleje yra viena akute, kitoje –dvi, trecioje – trys ir t. t. iki sesiu
‘akuciu
‘. Meskime kauliuka
‘. Kaip ir mesda-
mi moneta‘, manysime, kad jis negali atsistoti, briauna arba virsune atsireme
‘s i
‘pavirsiu
‘, ant kurio nukrito. Taigi gali atsiversti tik viena is sesiu
‘sieneliu
‘, pazymeta
atitinkamu akuciu‘skaiciumi. Elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve Ω sudaryta is sesiu
‘i‘vykiu
‘ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6; cia ωk reiskia k akuciu‘atsivertima
‘. Kitus i
‘vykius galesime
sudaryti is tu‘
sesiu‘
i‘vykiu
‘. Sakysime, i
‘vykis ”atsiverte lyginis akuciu
‘skaicius”
bus sudarytas is triju‘
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘ω2, ω4, ω6. I
‘vykis ”atsiverte sveikas
akuciu‘
skaicius” yra butinas – jis sudarytas is visu‘
sesiu‘
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘ω1, ..., ω6 = Ω. I‘vykis ”atsiverte septynios akutes” yra negalimas – ji
‘atitinka
tuscia elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe ∅.
3 p a v y z d y s. Atsitiktinai metame du kauliukus: balta‘
ir juoda‘.
Elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve Ω bus sudaryta is 36 i
‘vykiu
‘(ω1j , ω2k) (j = 1, ..., 6;
k = 1, ..., 6). Cia ω1j reiskia i‘vyki
‘”baltojo kauliuko j akuciu
‘atsivertimas”, ω2k
– ”juodojo kauliuko k akuciu‘
atsivertimas”. I‘vykis ”abieju
‘kauliuku
‘atsivertusiu
‘akuciu
‘suma yra 8” sudarytas is 5 elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘(ω12, ω26), (ω13, ω25),
(ω14, ω24), (ω15, ω23), (ω16, ω22).4 p a v y z d y s. Kuriuo nors budu matuojame atstuma
‘X tarp dvieju
‘zemes
pavirsiaus tasku‘. Del i
‘vairiu
‘atsitiktiniu
‘priezasciu
‘, veikianciu
‘matavimo prietaisus,
gausime matavimo paklaidas. Aibe‘Ω galime sudaryti is i
‘vykiu
‘”X matavimo re-
zultatas yra x”; cia x prabega tam tikra‘reiksmiu
‘aibe
‘.
18 Tikimybes sa‘voka
Imdamiesi matematiskai nagrineti kuri‘nors atsitiktini
‘eksperimenta
‘, tu-
rime sudaryti jo matematini‘modeli
‘. Tam pirmiausia reikia sudaryti jo ele-
mentariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve
‘Ω. Atsitiktiniai i
‘vykiai, susije
‘su tuo eksperimentu,
bus sudaryti is erdves Ω elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘, t. y. bus aibes Ω poaibiai. Koks
nors i‘vykis A i
‘vyksta tada ir tik tada, kai i
‘vyksta kuris nors is elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, is kuriu
‘sudaryta aibe A. I
‘vykis, kuris visada i
‘vyksta, kai i
‘vyksta bet
kuris is erdves Ω elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘, yra butinas. Todel butinas i
‘vykis zy-
mimas Ω. Negalima‘i‘vyki
‘atitinka tuscia elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe, todel jis
zymimas ∅.Pabresime, kad ne kiekviena
‘aibes Ω poaibi
‘laikysime i
‘vykiu, nes priesingu
atveju susidurtume su esminiais matematiniais sunkumais. Taciau prie toklausimo dar gri
‘sime 9 skyrelyje. Visu
‘galimu
‘i‘vykiu
‘aibe
‘zymesime A.
Erdves Ω elementus kartais vadinsime taskais.
4. VEIKSMAI SU I‘VYKIAIS
Sakykime, duota fiksuota elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve Ω ir sistema A jos po-
aibiu‘, laikytinu
‘i‘vykiais. Panagrinesime kai kuriuos rysius tarp i
‘vykiu
‘.
Sakysime, kad i‘vykis A yra i
‘vykio B dalis, arba atskiras atvejis, jei, i
‘vykus
i‘vykiui A, kartu i
‘vyksta ir i
‘vykis B. Tai reiskia, kad kiekvienas elementarusis
i‘vykis, i
‘einantis i
‘i‘vyki
‘A, i
‘eina ir i
‘i‘vyki
‘B, t. y. elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe
A yra elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibes B poaibis (dalis). Rasysime A ⊂ B arba
B ⊃ A.
1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. A – dvieju
‘akuciu
‘atsivertimas, B
– lyginio akuciu‘skaiciaus atsivertimas. Aisku, kad A ⊂ B.
Si‘rysi
‘tarp dvieju
‘i‘vykiu
‘, o veliau ir aibiu
‘veiksmus, pailiustruosime geo-
metriskai vadinamosiomis Veno diagramomis (zr. 2 pav.). Tarkime, kad at-sitiktinai parenkame bet kuri
‘kvadrato taska
‘. Elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe
‘Ω
atitiks visu‘kvadrato tasku
‘aibe. Toliau tarkime, jog i
‘vykis A yra tasko pa-
rinkimas is srities, pazymetos taip pat raide A, o i‘vykis B – is srities B. Jei
i‘vykis A yra i
‘vykio B dalis, tai sritis A telpa srityje B (2 pav., a).
Atkreipsime demesi‘, kad teisingos formules: ∅ ⊂ A ⊂ Ω, A ⊂ A, kai A
yra bet kuris i‘vykis. Jei A,B,C – i
‘vykiai ir A ⊂ B,B ⊂ C, tai A ⊂ C (zenklo
⊂ tranzityvumo savybe).I‘vykiu
‘lygybe
‘zymesime zenklu =. Du i
‘vykiai yra lygus, jei juos suda-
rancios elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibes yra lygios. Teisingas teiginys: jei, i
‘vykus
i‘vykiui A, i
‘vyksta ir i
‘vykis B, o i
‘vykus i
‘vykiui B, i
‘vyksta ir i
‘vykis A, tai tie
i‘vykiai yra lygus. Simboliais: jei A ⊂ B ir B ⊂ A, tai A = B. I
‘vykiu
‘lygybe
turi savybes: A = A (refleksyvumas); jei A = B, tai B = A (simetriskumas);jei A = B ir B = C, tai A = C (tranzityvumas).
Veiksmai su i‘vykiais 19
Dvieju‘i‘vykiu
‘A ir B sa
‘junga (arba suma) vadinsime i
‘vyki
‘, kai i
‘vyksta
bent vienas is i‘vykiu
‘A ir B. Kitaip sakant, i
‘vykiu
‘A ir B sa
‘junga yra i
‘vykis,
sudarytas is visu‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, priklausanciu
‘bent vienam is i
‘vykiu
‘A ir B, t. y. elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibiu
‘A ir B sa
‘junga (suma). Zymesime
A∪B. Analogiskai apibreziama ir didesnio i‘vykiu
‘skaiciaus sa
‘junga. Bet ku-
rios baigtines arba skaicios i‘vykiu
‘sistemos Aλ, λ ∈ Λ sa
‘junga (suma)
vadinsime i‘vyki
‘, kai i
‘vyksta bent vienas is tos sistemos i
‘vykiu
‘. Tai vel yra
atitinkamu‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibiu
‘sa
‘junga. Zymesime⋃
λ∈Λ
Aλ.
2 pav.
20 Tikimybes sa‘voka
Sistemos A1, ..., An sa‘junga
‘zymesime
A1 ∪ ... ∪An, arban⋃
k=1
Ak.
Skaicios i‘vykiu
‘sistemos A1, A2, ... sa
‘junga
‘zymesime
A1 ∪A2 ∪ ..., arba∞⋃
k=1
Ak.
Pats veiksmas yra vadinamas i‘vykiu
‘jungimu (arba sudetimi).
Geometrine iliustracija 2 pav., b.
2 p a v y z d y s. Darbininkas gamina detales tekinimo staklemis. Is pagamintu‘
detaliu‘
kruvos imame viena‘
detale‘. Ji gali buti arba gera – atitikti techninius
reikalavimus, arba niekalas. Bloga ji gali buti del triju‘
priezasciu‘: a) darbininko
kaltes, b) stakliu‘gedimo, c) netinkamo ruosinio, is kurio buvo gaminama detale.
Pazymekime raide A i‘vyki
‘, kad paimta detale yra bloga, raide A1 – i
‘vyki
‘, kad
ji bloga del pirmosios, A2 – del antrosios, A3 – del treciosios priezasties. TadaA = A1 ∪A2 ∪A3.
Jungimo savybes: A ∪ B = B ∪ A (komutatyvumas), (A ∪ B) ∪ C == A ∪ (B ∪ C) (asociatyvumas). Jeigu A ⊂ B, tai A ∪ B = B; specialiaisatvejais ∅ ∪A = A, A ∪ Ω = Ω, A ∪A = A.
Dvieju‘i‘vykiu
‘A ir B sankirta (pjuviu) vadinsime i
‘vyki
‘, kai kartu i
‘vyksta
abu i‘vykiai A ir B. Kitaip sakant, i
‘vykiu
‘A ir B sankirta yra i
‘vykis, sudarytas
is visu‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, priklausanciu
‘ir A, ir B, t. y. elementariu
‘ju
‘i‘vy-
kiu‘
aibiu‘A ir B sankirta (pjuvis). Zymesime A ∩ B. Bet kurios baigtines
arba skaicios i‘vykiu
‘sistemos Aλ, λ ∈ Λ sankirta vadinsime i
‘vyki
‘, kai kartu
i‘vyksta visi tos sistemos i
‘vykiai. Ji yra atitinkamu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibiu
‘sistemos sankirta. Zymesime ⋂
λ∈Λ
Aλ.
Baigtines i‘vykiu
‘sistemos A1, ..., An sankirta
‘zymesime
A1 ∩ ... ∩An, arban⋂
k=1
Ak,
o skaicios i‘vykiu
‘sistemos A1, A2, ... sankirta
‘–
A1 ∩A2 ∩ ..., arba∞⋂
k=1
Ak.
Geometrine iliustracija 2 pav., c.
Veiksmai su i‘vykiais 21
3 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. A – i
‘vykis, kai atsivercia lyginis
akuciu‘skaicius, B – atsivercia akuciu
‘skaicius, kartotinis 3. Sankirta A∩B – i
‘vykis,
kai atsivercia 6 akutes.
Kirtimosi savybes: A ∩ B = B ∩ A (komutatyvumas), (A ∩ B) ∩ C == A ∩ (B ∩ C) (asociatyvumas). Jei A ⊂ B, tai A ∩ B = A; specialiaisatvejais ∅ ∩A = ∅, A ∩ Ω = A, A ∩A = A.
Jungimo ir kirtimosi veiksmai susieti lygybemis (A∪B)∩C = (A∩C)∪∪(B∩C) ir (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C) (distributyvumas). Tos lygybes yrateisingos ir bendresniais atvejais. Jei Aλ, λ ∈ Λ yra kokia nors (baigtinearba skaiti) i
‘vykiu
‘sistema, B – bet kuris i
‘vykis, tai teisingos lygybes( ⋃
λ∈Λ
Aλ
)∩B =
⋃λ∈Λ
(Aλ ∩B),( ⋂λ∈Λ
Aλ
)∪B =
⋂λ∈Λ
(Aλ ∪B).
I‘vykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jeigu jie negali i
‘vykti kartu, t. y.
ju‘sankirta yra negalimas i
‘vykis A ∩B = ∅.
Dvieju‘
i‘vykiu
‘A ir B skirtumu vadiname i
‘vyki
‘, kai i
‘vykis A i
‘vyksta, o
i‘vykis B nei
‘vyksta. Kitaip sakant, A ir B skirtumas yra i
‘vykis, sudarytas is
visu‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, priklausanciu
‘A, bet nepriklausanciu
‘B. Vadinasi,
i‘vykiu
‘A ir B skirtumas yra elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibiu
‘A ir B skirtumas. Ji
‘zymesime A\B. Pati
‘si‘veiksma
‘vadinsime atimtimi.
Geometrine iliustracija 2 pav., d.
4 p a v y z d y s. Metame du losimo kauliukus. Tarkime, kad A yra i‘vykis
”abieju‘kauliuku
‘atsivertusiu
‘akuciu
‘suma yra lygine”, B – i
‘vykis ”abieju
‘kauliuku
‘atsivertusiu
‘akuciu
‘skaiciai yra lyginiai”. Tada A\B reiks i
‘vyki
‘”abieju
‘kauliuku
‘atsivertusiu
‘akuciu
‘skaiciai yra nelyginiai”.
5 p a v y z d y s. Is studentu‘grupes reikejo isrinkti atstova
‘i‘delegacija
‘. Is
pradziu‘buvo manyta ji
‘rinkti is studentu
‘, islaikiusiu
‘visus sesijos egzaminus. Tar-
kime, kad A yra i‘vykis, kai atstovas buvo isrinktas is tokiu
‘studentu
‘. Veliau buvo
nutarta, kad netinka siu‘sti delegato, gavusio bent viena
‘trejeta
‘. Pazymekime raide
B i‘vyki
‘, kai atstovas renkamas is studentu
‘, islaikiusiu
‘bent viena
‘egzamina
‘trejetui.
Tada A\B reiskia i‘vyki
‘, kai delegatas renkamas is studentu
‘, gavusiu
‘per egzaminus
tik ketvertus arba penketus.
Atimties savybes: A\B = A\(A ∩ B); jeigu A ⊂ B, tai A\B = ∅; spe-cialiu atveju ∅\A = ∅, A\Ω = ∅, A\A = ∅; jeigu A ∩ B = ∅ (i
‘vykiai
nesutaikomi), tai A\B = A; (A\B) ∪ B = A ∪ B; (A\B) ∪ B = A tada irtik tada, kai B ⊂ A; distributyvumo savybe: (A\B)∩C = (A∩C)\(B ∩C).Dvieju
‘i‘vykiu
‘sankirta
‘galima isreiksti atimtimi: A ∩B = A\(A\B).
I‘vykis Ω\A yra vadinamas i
‘vykiu, priesingu i
‘vykiui A. Jis zymimas Ac.
I‘vykis Ac yra elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibes A papildinys iki Ω.
Zr. 2 pav., e.Aisku, kad (Ac)c = A, t. y. i
‘vykis, priesingas Ac, yra pats i
‘vykis A. I
‘vy-
kiams A ir Ac tinka lygybes A∪Ac = Ω, A∩Ac = ∅ (A ir Ac – nesutaikomi).
22 Tikimybes sa‘voka
Teisingos ir sios lygybes: (A ∪B)c = Ac ∩Bc, (A ∩B)c = Ac ∪Bc. Jas gali-ma apibendrinti: jei Aλ, λ ∈ Λ yra bet kokia (baigtine arba skaiti) i
‘vykiu
‘sistema, tai ( ⋃
λ∈Λ
Aλ
)c =⋂λ∈Λ
Acλ,
( ⋂λ∈Λ
Aλ
)c =⋃λ∈Λ
Acλ.
Pastarieji rysiai vadinami Morgano1 lygybemis. Dvieju‘i‘vykiu
‘skirtuma
‘gali-
ma isreiksti ir sitaip: A\B = A ∩Bc.Matome, kad cia galime vartoti dvejopus terminus – tikimybiu
‘teorijos ir
aibiu‘teorijos. Galima sudaryti ”zodyna
‘”, nustatanti
‘atitikti
‘tarp abieju
‘tipu
‘terminu
‘. Dalis jo atrodo sitaip:
I‘vykis Aibe Zymuo
I‘vykis Visu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibes
poaibis A,B, ...Butinas Visu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe Ω
Negalimas Tuscia elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe ∅
A yra atskiras i‘vykio
B atvejis A yra B poaibis A ⊂ BA arba B (bent vienas is ju
‘) A ir B sa
‘junga A ∪B
A ir B (abu kartu) A ir B sankirta A ∩BNesutaikomi i
‘vykiai A ir B neturi bendru
‘elementu
‘A ∩B = ∅
A i‘vyksta, o B nei
‘vyksta A ir B skirtumas A\B
Priesingas i‘vykiui A A papildinys iki Ω Ac
5. KLASIKINIS TIKIMYBES APIBREZIMAS
Remiantis kasdienine patirtimi, nesunku suvokti, jog i‘vairius i
‘vykius galima
palyginti pagal ju‘galimumo laipsni
‘. Jei, sakysime, tarp loterijos laimejimu
‘yra 5 automobiliai ir 200 radijo aparatu
‘, tai islosti radijo aparata
‘yra daugiau
galimybiu‘(labiau tiketinas i
‘vykis), negu islosti automobili
‘. Pataikyti i
‘taikini
‘is mazesnio atstumo yra daugiau sansu
‘negu is didesnio. Kiekvienam i
‘vykiui
galime priskirti skaiciu‘, kuris apibudintu
‘jo galimybes laipsni
‘, butu
‘jo atsitik-
tinumo matas. Tai ir bus tikimybe, apie kuria‘jau kalbejome 2 skyrelyje. Ten
jos sa‘voka
‘i‘vedeme, remdamiesi statistiniais samprotavimais, eksperimentu.
Taciau kai kuriais nesudetingais atvejais tikimybe‘galime nusakyti gana pa-
prastai. Taip yra, kai tinka vadinamasis klasikinis tikimybes apibrezimas,
1 Augustus de Morgan (1806–1871) – anglu‘matematikas.
Klasikinis tikimybes apibrezimas 23
buve‘s tikimybiu
‘teorijos pagrindu nuo pat jos atsiradimo iki sio amziaus pra-
dzios.Klasikinis tikimybes apibrezimas yra pagri
‘stas i
‘vykiu
‘vienodo galimumo,
arba vienodo tiketinumo, sa‘voka. Si sa
‘voka taip pat laikoma pirmine. Paais-
kinsime ja‘pavyzdziais.
1 p a v y z d y s. Tarkime, kad dezeje yra i‘vairiu
‘spalvu
‘rutuliai. Jie visiskai vie-
nodi, skiriasi tik spalva. Rutuliai sumaisyti. Neziuredami traukiame viena‘rutuli
‘.
Neturime jokio pagrindo manyti, kad yra daugiau galimybiu‘
istraukti kuri‘
norsrutuli
‘. Vadinasi, galime tvirtinti, kad kiekvieno rutulio istraukimas yra vienodai
galimas.2 p a v y z d y s. Tarkime, kad losimo kauliukas yra tiksliai simetriskas geo-
metrinis kunas, padarytas is vienalytes medziagos, be to, akutes jame pazymetostaip, kad negadintu
‘simetriskumo (pavyzdziui, pazymetos nesvariais dazais, o ju
‘sluoksnis yra nulinio storio). Atsitiktinai metant kauliuka
‘, kiekvienos sieneles atsi-
vertimo galimybes visiskai vienodos. Vadinasi, galime manyti, kad 1, 2, 3, 4, 5, 6akuciu
‘atsivertimai yra vienodai galimi i
‘vykiai.
3 p a v y z d y s. Metame idealia‘moneta
‘. Ji simetriska, pagaminta is vienalytes
medziagos, tik vienoje puseje yra herbas, kitoje – skaicius. Taciau jie pazymeti taip,kad moneta vistiek butu
‘simetriska. Tada herbo ir skaiciaus atsivertimas yra vie-
nodai galimi i‘vykiai.
Realios monetos ir realus losimo kauliukai yra tik apytiksliai simetriski. Todelir atitinkami i
‘vykiai yra tik apytiksliai vienodai galimi.
Tarkime, kad kokio nors eksperimento elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe Ω yra
sudaryta is s vienodai galimu‘
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘. Naturalu laukti, kad,
atlikus dideli‘skaiciu
‘n bandymu
‘, kiekvienas konkretus elementarusis i
‘vykis
i‘vyks mazdaug n/s kartu
‘. Jo statistinis daznis svyruos apie 1/s. Tai rodo ir
praktine patirtis. Todel kiekvieno konkretaus elementariojo i‘vykio tikimybe
galime laikyti skaiciu‘
1/s. Vadinasi, jei, atliekant eksperimenta‘, gali i
‘vykti
s elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘, tai ekvivalentus yra teiginiai: a) tie i
‘vykiai vienodai
galimi; b) kiekvieno ju‘tikimybe yra 1/s.
Metant moneta‘, herbo ir skaiciaus atsivertimo tikimybes lygios 1/2. Me-
tant losimo kauliuka‘, akuciu
‘1, 2, 3, 4, 5, 6 atsivertimo tikimybes lygios 1/6.
Jei dezeje yra 10 vienodu‘
rutuliu‘, kurie skiriasi tik spalva, tai, atsitiktinai
traukiant is dezes rutuli‘, kiekvieno konkretaus rutulio istraukimo tikimybe
yra 1/10.Vel tarkime, kad, atliekant eksperimenta
‘, gali i
‘vykti s vienodai galimu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘. Imkime i
‘vyki
‘A, sudaryta
‘is r elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘.
Pastarieji daznai vadinami palankiais i‘vykiui A. Aisku, sio i
‘vykio statistinis
daznis svyruos apie skaiciu‘r/s. Jo tikimybe galesime laikyti P (A) = r/s.
Taigi i‘vykio A tikimybe yra lygi palankiu
‘i‘vykiui A i
‘vykiu
‘skaiciaus ir visu
‘vienodai galimu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘skaiciaus santykiui.
4 p a v y z d y s. Dezeje yra 4 balti ir 6 juodi rutuliai, kurie skiriasi tik spalva.Traukiame atsitiktinai viena
‘rutuli
‘. Sie zodziai reiskia, kad galimybes istraukti kiek-
viena‘rutuli
‘yra vienodos. Rasime tikimybe
‘, kad istrauktas rutulys bus baltas. Ele-
24 Tikimybes sa‘voka
mentariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe yra sudaryta is 10 vienodai galimu
‘i‘vykiu
‘, o tiriamasis i
‘vykis
– is 4. Ieskomoji tikimybe lygi 4/10 = 2/5.5 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka
‘. Apskaiciuosime lyginio akuciu
‘skaiciaus atsivertimo tikimybe
‘. Kaip mateme, visi sesi elementarieji i
‘vykiai yra vie-
nodai galimi. Palankiu‘i‘vykiu
‘yra trys: kai atsivercia 2, 4 arba 6 akutes. Ieskomoji
tikimybe lygi 3/6 = 1/2.6 p a v y z d y s. Metame du losimo kauliukus. Rasime tikimybe
‘, kad abieju
‘kauliuku
‘atsivertusiu
‘akuciu
‘suma lygi 8. Kaip mateme is 3 skyrelio 3 pavyzdzio,
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe sudaryta is 36 i
‘vykiu
‘. Jie yra vienodai galimi. Tarp ju
‘palankus yra 5 i
‘vykiai. Taigi ieskomoji tikimybe lygi 5/36.
7 p a v y z d y s. M e r e u z d a v i n y s. Sis uzdavinys iskilo tuo metu, kaitik kuresi tikimybiu
‘teorija, ir pasitarnavo jos raidai. Mere1 XVII a. vidury nag-
rinejo losimo su kauliukais uzdavinius. Tarp ju‘buvo ir sitoks: kokia dazniau buna
akuciu‘suma, metant kartu tris losimo kauliukus: 11 ar 12? Jam atrode, kad abi
kombinacijos turetu‘buti vienodai daznos, nors ”praktika” rode kitaip. Samprotavo
jis sitaip. 11 akuciu‘suma
‘galima gauti sesiais skirtingais budais: 6+4+1, 6+3+2,
5+5+1, 5+4+2, 5+3+3, 4+4+3. Taip pat sesiais skirtingais budais galima gauti 12akuciu
‘suma
‘: 6+5+1, 6+4+2, 6+3+3, 5+5+2, 5+4+3, 4+4+4. Apie tai jis parase
Paskaliui. Sis laiskas pateko i‘istorija
‘.
Paskalis pastebejo, kad Mere nurodyti i‘vykiai nera vienodai galimi (net jeigu
kauliukai idealus). Reikia skaiciuoti ne tik atsivertusiu‘akuciu
‘suma
‘, bet ir ziureti,
ant kuriu‘
kauliuku‘
jos pasirode. Jei sunumeruotume kauliukus ir imtume akutesatitinkama tvarka, tai matytume, kad kombinacija 6+4+1 pasirodo, kai turime re-zultatus (6, 4, 1), (6, 1, 4), (4, 6, 1), (4, 1, 6), (1, 6, 4), (1, 4, 6), o kombinacija4+4+4 pasirodo tik viena
‘karta
‘.
Vartodami siuolaikine‘terminologija
‘, turime sudaryti elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erd-
ve‘. Tai bus visi galimi trejetai (ω1, ω2, ω3), kur ω1 yra pirmojo, ω2 – antrojo, ω3 –
treciojo kauliuko atsivertusiu‘akuciu
‘skaicius. Naturalu manyti, kad elementarieji
i‘vykiai vienodai galimi. Ju
‘is viso yra 63 = 216. Tarp ju
‘palankus pirmajam i
‘vykiui
yra sie: (6, 4, 1), (6, 3, 2), (6, 2, 3), (6, 1, 4), (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3), (5, 2, 4),(5, 1, 5), (4, 6, 1), (4, 5, 2), (4, 4, 3), (4, 3, 4), (4, 2, 5), (4, 1, 6), (3, 6, 2), (3, 5, 3),(3, 4, 4), (3, 3, 5), (3, 2, 6), (2, 6, 3), (2, 5, 4), (2, 4, 5), (2, 3, 6), (1, 6, 4), (1, 5, 5),(1, 4, 6), is viso 27 i
‘vykiai. Palankus antrajam i
‘vykiui: (6, 5, 1), (6, 4, 2), (6, 3, 3),
(6, 2, 4), (6, 1, 5), (5, 6, 1), (5, 5, 2), (5, 4, 3), (5, 3, 4), (5, 2, 5), (5, 1, 6), (4, 6, 2),(4, 5, 3), (4, 4, 4), (4, 3, 5), (4, 2, 6), (3, 6, 3), (3, 5, 4), (3, 4, 5), (3, 3, 6), (2, 6, 4),(2, 5, 5), (2, 4, 6), (1, 6, 5), (1, 5, 6), is viso 25 i
‘vykiai. Atitinkamos tikimybes yra
27/216, 25/216.
Tiesiog is apibrezimo isplaukia sitokios tikimybes savybes.1. Kiekvieno i
‘vykio A tikimybe tenkina nelygybes 0 ≤ P (A) ≤ 1.
2. Butino i‘vykio tikimybe P (Ω) = 1.
3. Negalimo i‘vykio tikimybe P (∅) = 0.
4. Jei i‘vykis A yra i
‘vykio B atskiras atvejis: A ⊂ B, tai P (A) ≤ P (B).
Kad i‘rodytume nelygybe
‘, pakanka pastebeti, jog skaicius elementariu
‘ju
‘
1 Chevalier de Meray (1607–1648) – prancuzu‘filosofas ir literatas.
Kelios kombinatorikos formules 25
i‘vykiu
‘, palankiu
‘i‘vykiui A, yra ne didesnis uz skaiciu
‘i‘vykiu
‘, palankiu
‘i‘vykiui B.
5. Jei i‘vykis A yra dvieju
‘nesutaikomu
‘i‘vykiu
‘A1 ir A2 sa
‘junga: A =
= A1 ∪ A2, tai P (A) = P (A1) + P (A2) (tikimybiu‘
sudeties teorema). Taitaip pat lengvai i
‘rodoma, nes skaicius elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, palankiu
‘A, yra
elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘, palankiu
‘A1 ir A2, skaiciu
‘suma.
Sis teiginys yra teisingas ir keliems kas du nesutaikomiems i‘vykiams. I
‘ro-
doma taip pat. Be to, ji‘
galima i‘rodyti, remiantis ka
‘tik i
‘rodyta lygybe ir
matematines indukcijos metodu.6. Teisinga lygybe P (Ac) = 1− P (A).I‘vykiai A ir Ac yra nesutaikomi, be to, A∪Ac = Ω. Todel P (A)+P (Ac) =
= P (Ω) = 1.
6. KELIOS KOMBINATORIKOS FORMULES
Elementariojoje tikimybiu‘teorijoje, kai tinka klasikinis tikimybes apibrezi-
mas, tenka skaiciuoti visus vienodai galimus ir palankius atvejus. Jei tokiu‘
atveju‘
nedaug, juos suskaiciuoti nesunku. Pakanka isvardyti visus galimusatvejus ir is ju
‘isrinkti palankiuosius. Kai elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘daug, tenka
ieskoti i‘vairiu
‘taisykliu
‘, palengvinanciu
‘ta
‘darba
‘. Tada labai pravercia kom-
binatorika.Tarkime, kad turime keleta
‘elementu
‘a1, a2, ..., an. Bet kuris duotu
‘ju
‘ele-
mentu‘rinkinys ak1 , ak2 , ..., aks yra vadinamas junginiu (kombinacija). Tarp
parinktu‘ju
‘elementu
‘gali buti ir pasikartojanciu
‘; ju
‘tvarka gali buti svarbi,
gali ir netureti reiksmes.Daznai tenka skaiciuoti, kiek junginiu
‘galima sudaryti is duotu
‘ju
‘elementu
‘pagal kokia
‘nors taisykle
‘. Tokius uzdavinius paprastai vadiname kombinato-
riniais, o juos nagrinejanti‘matematikos skyriu
‘– kombinatorika (nuo lotynu
‘kalbos zodzio ”combinare” – jungti, risti (po du)).
Pagrindines junginiu‘rusys yra gretiniai, keliniai ir deriniai. Jie gali buti
su pasikartojimais (kai kurie elementai junginiuose pasikartoja) ir be ju‘(visi
junginio elementai yra skirtingi).Isspre
‘sime keleta
‘paprasciausiu
‘kombinatorikos uzdaviniu
‘.
1. E l e m e n t u‘
j u n g i n i a i i s i‘v a i r i u
‘a i b i u
‘. Tarkime, kad
turime r baigtiniu‘aibiu
‘: pirmojoje aibeje yra n1 elementu
‘a11, a12, ..., a1n1 ,
antrojoje – n2 elementu‘a21, a22, ..., a2n2 ir t. t., paskutineje r-ojoje aibeje – nr
elementu‘ar1, ar2, ..., arnr . Priminsime, kad aibes elementai visada yra laikomi
skirtingais. Visi junginiai po r elementu‘a1i1 , a2i2 , ..., arir
taip sudaromi, kad i‘
kiekviena‘jungini
‘i‘eitu
‘po viena
‘elementa
‘is kiekvienos aibes: pirmasis junginio
elementas turi buti is pirmosios, antrasis – is antrosios ir t. t., r-asis – isr-osios aibes.
Nesunku suskaiciuoti, kiek bus tokiu‘junginiu
‘. Pirma
‘ji‘junginio elementa
‘a1i1 galime parinkti is pirmosios aibes n1 budu
‘, antra
‘ji‘a2i2 galime parinkti
26 Tikimybes sa‘voka
is antrosios aibes n2 budu‘
ir t. t., paskutini‘arir galime parinkti nr budu
‘.
Todel visu‘junginiu
‘skaicius yra n1n2...nr.
Pazymekime duota‘sias elementu
‘aibes A1, A2, ..., Ar. Imkime tu
‘aibiu
‘(Dekarto1) sandauga
‘A1 × A2 × . . . × Ar. Sandaugos elementai sudaryti is
visu‘galimu
‘ka
‘tik nagrinetu
‘junginiu
‘, taigi ju
‘skaicius yra n1n2...nr.
Panagrinekime specialu‘
atveji‘, kai aibes A1 = ... = Ar = A ir aibe A
turi n elementu‘a1, a2, ..., an. Is aibes A isrenkame kuri
‘nors elementa
‘ai1 .
Ji‘gra
‘ziname atgal. Po to renkame kita
‘elementa
‘ai2 . Vel gra
‘ziname atgal.
Taip te‘sdami, po r operaciju
‘gausime jungini
‘ai1 , ai2 , ..., air . Tokie junginiai
vadinami gretiniais su pasikartojimais is n elementu‘po r elementu
‘. Ju
‘skai-
cius yra nr. Gretiniu‘su pasikartojimais skaicius yra lygus aibiu
‘sandaugos
A×A× . . .×A = Ar elementu‘skaiciui.
2. G r e t i n i a i b e p a s i k a r t o j i m u‘. Duota aibe is n elementu
‘a1, a2, ..., an. Gretiniu be pasikartojimu
‘is n elementu
‘po r elementu
‘vadina-
mas bet kuris sutvarkytas duotosios aibes poaibis is r elementu‘ai1 , ai2 , ..., air
;du gretiniai skiriasi arba paciais elementais, arba ju
‘tvarka; elementai ne-
gali pasikartoti tame paciame gretinyje. Gretinius be pasikartojimu‘
galimegauti ir sitokiu budu. Is pradziu
‘bet kaip parenkame ai1 is n aibes elementu
‘ir jo nebegra
‘ziname. Po to renkame antra
‘ji‘gretinio elementa
‘ai2 is likusiu
‘n − 1 aibes elementu
‘, jo taip pat negra
‘ziname, ir t. t. Pagaliau renkame
r-a‘ji‘
gretinio elementa‘air is likusiu
‘n − r + 1 duotosios aibes elementu
‘.
Taigi visu‘gretiniu
‘be pasikartojimu
‘is n elementu
‘po r elementu
‘skaicius yra
Arn = n(n − 1)...(n − r + 1). Sis zymejimas kile
‘s is prancuzu
‘kalbos zodzio
”arrangement”. Jei susitartume sandauga‘1 · 2 · . . . ·m zymeti m! (skaiciaus
m faktorialas), tai gauta‘ja
‘formule
‘galetume uzrasyti sitaip:
Arn =
n!(n− r)!
.
Kai r = n, pastaroji formule taip pat tures prasme‘, jei susitarsime, kad 0! = 1.
3. K e l i n i a i b e p a s i k a r t o j i m u‘. Duota aibe is n elementu
‘.
Kiekviena tu‘elementu
‘seka, sudaryta is visu
‘n elementu
‘be pasikartojimu
‘,
vadinama keliniu be pasikartojimu‘
is n elementu‘. Kiek ju
‘yra? Ju
‘skaicius
yra lygus skaiciui budu‘, kuriais galima sutvarkyti duotosios aibes elementus.
Tai bus gretiniai is n elementu‘po n elementu
‘be pasikartojimu
‘. Ju
‘skaicius
Pn = Ann = n!. Cia P primena lotynu
‘kalbos zodi
‘”permutatio”.
4. D e r i n i a i b e p a s i k a r t o j i m u‘. Duota n elementu
‘aibe.
Deriniu is n elementu‘po r elementu
‘be pasikartojimu
‘vadinamas bet kuris tos
aibes poaibis, sudarytas is r elementu‘. Pabresime, kad cia elementu
‘tvarka
nera svarbi. Rasime deriniu‘
be pasikartojimu‘
is n elementu‘
po r elementu‘
skaiciu‘Cr
n. Cia C is prancuzu‘kalbos zodzio ”combinaison”.
1 Rene Descartes (1596–1650) – prancuzu‘
matematikas, fizikas ir filosofas. Jovardu daznai vadinama aibiu
‘sandauga, kad ja
‘butu
‘galima atskirti nuo aibiu
‘sankir-
tos, kuri kartais taip pat vadinama sandauga.
Kelios kombinatorikos formules 27
Imkime kuri‘nors derini
‘be pasikartojimu
‘is r elementu
‘. Perstatinedami
jo elementus, galime gauti r! gretiniu‘
be pasikartojimu‘. Padare
‘ta
‘pati
‘su
visais deriniais, gausime visus gretinius is n elementu‘po r elementu
‘be pasi-
kartojimu‘. Vadinasi, Ar
n = Crn · r!. Is cia
Crn =
Arn
r!=n(n− 1) . . . (n− r + 1)
r!=
n!r!(n− r)!
=(nr
).
Is pastarosios formules isplaukia lygybe Crn = Cn−r
n . Papildomai apibresimeC0
n, laikydami ji‘
lygiu 1. Sie skaiciai yra koeficientai vadinamojoje binomoformuleje
(a+ b)n =n∑
k=1
(nk
)akbn−k.
5. K e l i n i a i s u p a s i k a r t o j i m a i s. Duota aibeis k elementu
‘a1, a2, ..., ak. Tarkime, kad r1, r2, ..., rk yra naturalieji skaiciai,
n = r1 + r2 + ... + rk. Keliniais su pasikartojimais is n elementu‘, kuriuose
a1 pasikartoja r1 kartu‘, a2 pasikartoja r2 kartu
‘ir t. t., ak pasikartoja rk
kartu‘, vadinami gretiniai su pasikartojimais, kuriuose tie elementai pasikar-
toja nurodyta‘skaiciu
‘kartu
‘. Koks ju
‘skaicius P (r1, r2, ..., rk)?
Imkime k elementu‘
grupiu‘, kuriu
‘pirmoji sudaryta is r1 elementu
‘b11,
b12, ..., b1r1 , antroji – is r2 elementu‘b21, b22, ..., b2r2 ir t. t., k-oji – is rk elemen-
tu‘bk1, bk2, ..., bkrk
. Kadangi skaicius budu‘, kuriais elementus b11, b12, ..., b1r1
galima isdestyti n vietose, yra(
nr1
), skaicius budu
‘, kuriais elementus b21,
b22, ..., b2r2 galima isdestyti n− r1 vietose, yra(n−r1
r2
)ir t. t., tai
P (r1, r2, ..., rk) =( nr1
)(n− r1r2
)...
(n− r1 − ...− rk−1
rk
)=
=n!
r1!(n− r1)!· (n− r1)!r2!(n− r1 − r2)!
· · · 1 =n!
r1!r2!...rk!.
Sie skaiciai yra koeficientai formuleje, kuri apibendrina binomo formule‘,
(a1 + a2 + ...+ ak)n =∑
r1≥0,r2≥0,...,rk≥0r1+r2+..+rk=n
n!r1!r2!...rk!
ar11 a
r22 ...a
rk
k .
Nagrinejamasis uzdavinys yra ekvivalentus tokiam uzdaviniui: turime nskirtingu
‘objektu
‘ir k dezuciu
‘; reikia taip sudelioti objektus i
‘dezutes, kad i
‘j-a
‘ja
‘dezute
‘(j = 1, ..., k) patektu
‘rj objektu
‘, n = r1 + ... + rk. Tai galima
padaryti P (r1, ..., rk) budu‘.
6. D e r i n i a i s u p a s i k a r t o j i m a i s. Duota n skirtingu‘
elementu‘. Is ju
‘sudarome junginius po r elementu
‘, leisdami elementams karto-
tis. Elementu‘tvarka junginiuose neturi reiksmes. Tokius junginius vadiname
deriniais su pasikartojimais is n elementu‘po r elementu
‘. Rasime ju
‘skaiciu
‘.
28 Tikimybes sa‘voka
Tarkime, kad elementai, is kuriu‘sudaromi deriniai su pasikartojimais, yra
a1, a2, ..., an. Sudarykime lentele‘
a1, a2, . . . , an,a1, a2, . . . , an,· · · · · · . . . · · ·a1, a2, . . . , an,
kurioje yra r eiluciu‘. Is pirmosios eilutes imsime kuri
‘nors elementa
‘; is ant-
rosios imsime elementa‘, arba esanti
‘po pirmuoju, arba i
‘desine
‘nuo jo; is tre-
ciosios imsime elementa‘, esanti
‘arba po elementu, paimtu is antrosios eilutes,
arba i‘desine
‘nuo jo, ir t. t. Taip galime gauti bet kuri
‘derini
‘su pasikartojimais
is n elementu‘po r. Ju
‘skaicius bus lygus skaiciui deriniu
‘be pasikartojimu
‘,
sudarytu‘is lenteles
b1, b2, . . . , bn,b2, b3, . . . , bn+1,· · · · · · . . . · · ·br, br+1, . . . , bn+r−1
elementu‘, imant po viena
‘is kiekvienos eilutes. Taigi ieskomasis skaicius yra
Crn+r−1 =
(n+ r − 1r
).
Naudodamiesi sia formule, galime isspre‘sti ir sitoki
‘uzdavini
‘. Tarkime,
kad turime n vienodu‘objektu
‘, kuriuos reikia isdelioti i
‘r dezuciu
‘. Kiekvienas
isdestymas yra apibudinamas skaiciumi objektu‘, patekusiu
‘i‘atitinkama
‘de-
zute‘, ir aprasomas kombinacija (n1, n2, ..., nr); cia nk – objektu
‘skaicius k-oje
dezuteje. Visu‘tokiu
‘isdestymu
‘skaicius yra(n+ r − 1
r − 1
).
Jei papildomai reikalautume, kad ne viena dezute nebutu‘
tuscia (t. y.nk > 0, k = 1, ..., r; tada butinai n ≥ r), tai isdestymu
‘skaicius butu
‘(n− 1r − 1
)(i‘rodykite!).
Ka‘tik i
‘rodytos formules labai pravercia, skaiciuojant tikimybes. Kai ele-
mentu‘skaicius yra nedidelis, nesunku rasti i
‘vairiu
‘skaiciu
‘junginiu
‘skaitines
reiksmes. Uzdavinys pasunkeja, kai elementu‘skaicius yra didelis. Tada skaiciu
‘faktorialams apskaiciuoti tinka apytiksle vadinamoji Stirlingo1 formule. Ga-lima i
‘rodyti, kad
1 James Stirling (1692–1770) – skotu‘matematikas.
Keletas pavyzdziu‘
29
n! =√
2πn · nn · e−n+%n ,
kai n yra bet kuris naturalusis skaicius. Cia
112n+ 1
< %n <1
12n,
arba, dar tiksliau,1
12n+ 0,6n
< %n <1
12n+ 0,33n
.
Sie i‘verciai yra gana geri: pavyzdziui, naudodamiesi pirmosiomis nelygybemis
ir keturzenklemis logaritmu‘
lentelemis, gauname 9, 332 · 10157 < 100! << 9, 334 · 10157. Yra ir dar tikslesniu
‘Stirlingo formuliu
‘.
7. KELETAS PAVYZDZIU‘
Isspre‘sime keleta
‘siek tiek sudetingesniu
‘uzdaviniu
‘.
1. Berniukas zaidzia su sudedamo raidyno 5 raidemis E, I, N, R, S, atsitiktinaidestydamas jas i
‘eile
‘(atitinkamai atverstas). Kokia tikimybe, kad jis sudes zodi
‘NERIS?
Elementariaisiais i‘vykiais laikysime kiekviena
‘kelini
‘is tu
‘raidziu
‘. Ju
‘yra 5!, visi
laikytini vienodai galimais. Palankiu‘
atveju‘
yra 1. Todel ieskomoji tikimybe lygi1/5!=1/120.
2. Spynoje yra 5 diskai, ant kiekvieno ju‘uzrasyti skaitmenys 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9. Kiekvienas diskas gali uzimti po 10 padeciu‘, atitinkanciu
‘duotuosius skait-
menis. Spyna atsirakina tik tada, kai kiekvienas diskas uzima tam tikra‘konkrecia
‘padeti
‘spynos korpuso atzvilgiu. Kokia yra tikimybe, kad, atsitiktinai parinkus disku
‘padetis, spyna atsirakins?
Elementariaisiais i‘vykiais laikysime kiekviena
‘gretini
‘is 5 skaitmenu
‘su pasi-
kartojimais. Jie yra vienodai galimi, o ju‘skaicius lygus 105. Palankiu
‘atveju
‘yra 1.
Ieskomoji tikimybe 1/105 = 0, 00001.
3. Gaminiu‘partijoje yra n vienetu
‘, tarp ju
‘m blogu
‘. Is tos partijos atsitiktinai
parenkama r(r ≤ n) gaminiu‘. Kokia tikimybe, kad tarp ju
‘bus s(s ≤ r) blogu
‘?
Elementariaisiais i‘vykiais laikysime kiekviena
‘derini
‘is n gaminiu
‘po r. Ju
‘bus(
nr
). Visi jie laikytini vienodai galimais. Suskaiciuosime palankiu
‘elementariu
‘ju
‘
i‘vykiu
‘skaiciu
‘. s blogu
‘gaminiu
‘is m turimu
‘galime parinkti
(ms
)budu
‘, o r −
−s geru‘is n − m geru
‘galime parinkti
(n−mr−s
)budu
‘. Todel palankiu
‘atveju
‘bus(
ms
) (n−mr−s
). Vadinasi, ieskomoji tikimybe yra(
m
s
) (n−m
r − s
) / (n
r
).
30 Tikimybes sa‘voka
4. Loterijoje yra 100 bilietu‘ir 25 laimejimai. Pirkau tris bilietus. Kokia tikimy-
be, kad bent vienas pirktas bilietas islos?Apskaiciuosime priesingo i
‘vykio tikimybe
‘, – kad ne vienas pirktu
‘ju
‘bilietu
‘nelai-
mes. Elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe sudaryta is
(1003
)vienodai galimu
‘i‘vykiu
‘; kadangi
neislosia 75 bilietai, tai palankiu‘priesingajam i
‘vykiui atveju
‘bus
(753
). Ieskomoji
tikimybe
1−(
75
3
) / (100
3
)= 0, 5824...
5. Pinigineje yra 4 banknotai po 10 Lt, 3 banknotai po 20 Lt, 3 banknotaipo 50 Lt ir 2 banknotai po 100 Lt. Atsitiktinai is pinigines istraukiame keturisbanknotus. Rasime tikimybe
‘, kad istrauktu
‘banknotu
‘bendra verte bus 130 Lt.
Elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe sudaryta is
(124
)i‘vykiu
‘. Laikysime juos vienodai
galimais. Apskaiciuosime palankiu‘atveju
‘skaiciu
‘. 130 Lt galime gauti, paeme
‘du 50
Lt, viena‘20 Lt ir viena
‘10 Lt banknotus arba viena
‘100 Lt ir tris 10 Lt banknotus.
Is 3 penkiasdesimtliciu‘
banknotu‘
2 galime parinkti(32
)budu
‘, is 3 dvidesimtliciu
‘
1 galime parinkti(31
)budu
‘ir is 4 desimtliciu
‘1 galime parinkti
(41
)budu
‘; is 2
simtaliciu‘banknotu
‘1 galime parinkti
(21
)budu
‘ir is 4 desimtliciu
‘3 galime parinkti(
43
)budu
‘. Palankiu
‘atveju
‘yra is viso
(32
)(31
)(41
)+
(21
)(43
). Ieskomoji tikimybe(
32
)(31
)(41
)+
(21
)(43
)(124
) =4
45.
Spre‘sdami si
‘uzdavini
‘, galejome remtis ir 5.5 savybe.
6. Statistineje fizikoje daleles momentine busena (vieta, impulsas ir t. t.) nusa-koma jos koordinatemis daugiamateje fazineje erdveje. Sakykime, turime n daleliu
‘.
Padalijame fazine‘erdve
‘i‘mazas sritis – la
‘steles. Tarkime, kad ju
‘bus k. Kiekviena
dalele pateks i‘viena
‘lastele
‘. Visos sistemos busena aprasoma tikimybemis p(r1, r2,
..., rk), kad j-oje la‘steleje bus rj daleliu
‘.
Tarkime, kad daleles galime vienas nuo kitu‘atskirti. Kiekviena is ju
‘gali patekti
i‘bet kuria
‘la‘stele
‘. Gauname is viso kn galimu
‘pasiskirstymu
‘, kurie vienas nuo kito
skiriasi arba paciomis dalelemis, arba ju‘skaiciumi la
‘stelese. Laikykime tuos pasi-
skirstymus vienodai galimais elementariaisiais i‘vykiais. Tada
p(r1, r2, ..., rk) =n!
r1! r2! ... rk!
1
kn.
Siuo atveju fizikai kalba apie Maksvelo1–Bolcmano2 statistika‘
3. Ji gerai apraso duju‘
molekuliu‘pasiskirstyma
‘, bet netinka elementariu
‘ju
‘daleliu
‘sistemoms. Todel buvo
sukurtos kitos statistikos. Tarkime, kad daleliu‘
negalime atskirti vienu‘
nuo kitu‘.
1 James Clark Maxwell (1831–1879) – anglu‘fizikas.
2 Ludwig Boltzmann (1844–1906) – austru‘fizikas.
3 Matematikoje statistika suprantama kas kita (zr. IV skyr.).
”Geometrines” tikimybes 31
Todel dabar teigiame, kad atvejai, kai daleles pasikeicia savo vietomis la‘stelese, yra
tapatus: svarbu tik, kiek daleliu‘
pateko i‘
la‘steles, bet nesvarbu kurios. Manome,
kad kiekvienas toks pasiskirstymas yra vienodai galimas elementarusis i‘vykis. Ju
‘
skaicius yra(
n+k−1n
)(deriniai su pasikartojimais). Tada
p(r1, r2, ..., rk) = 1/(
n + k − 1
n
).
Turime Bozes1–Einsteino2 statistika‘. Ji gerai apraso fotonu
‘, atomu
‘branduoliu
‘ir
atomu‘, turinciu
‘lygini
‘elementariu
‘ju
‘daleliu
‘skaiciu
‘, sistemas.
Kitoms sistemoms aprasyti reikalinga dar viena statistika. Pareikalausime, kadvienoje la
‘steleje nebutu
‘daugiau kaip viena dalele (todel turi buti n ≤ k). Pasiskirs-
tymas aprasomas, nurodant, kuriose la‘stelese yra daleles. Kadangi yra k la
‘steliu
‘ir n
daleliu‘, tai galimi
(kn
)pasiskirstymu
‘. Laikysime juos vienodai galimais. Gauname
p(r1, r2, ..., rk) =
1/
(kn
), kai 0 ≤ rj ≤ 1 (j = 1, ..., k),
0 kitais atvejais.
Turime vadinama‘ja
‘Fermio3–Dirako4 statistika
‘. Ji tinka elektronu
‘, protonu
‘, neut-
ronu‘sistemoms aprasyti.
8. ”GEOMETRINES” TIKIMYBES
Iki siol kalbejome apie baigtines elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdves ir i
‘vedeme tiki-
mybes sa‘voka
‘, kai tiko vienodo galimumo principas. Apibendrindami si
‘prin-
cipa‘, lengvai galime i
‘vesti tikimybes sa
‘voka
‘ir kai kurioms begalinems elemen-
tariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdvems. Tarp ju
‘bus vadinamosios ”geometrines” tikimybes.
Is pradziu‘panagrinekime pora
‘pavyzdziu
‘.
1 p a v y z d y s. Turime atkarpa‘AB (3 pav.), kurios ilgis 2a. Tarkime, kad
C yra tos atkarpos vidurio taskas. Atsitiktinai parenkame atkarpos taska‘x. Kokia
tikimybe, kad tasko x atstumas nuo tasko C bus ne didesnis uz d (d ≤ a)?
1 Jagadis Chunder Bose (1858–1937) – indu‘fizikas.
2 Albert Einstein (1879–1955) – zymus pastaru‘ju
‘laiku
‘fizikas, vienas is reliaty-
vumo teorijos pradininku‘.
3 Enrico Fermi (1901–1954) – italu‘kilmes fizikas, dirbe
‘s Italijoje ir JAV, bran-
duolio fizikos specialistas.4 Paul Adrien Maurice Dirac (g. 1902) – anglu
‘fizikas, vienas is kvantu
‘mechanikos
kureju‘.
32 Tikimybes sa‘voka
3 pav.
Kol kas uzdavinys yra neapibreztas. Mes dar nenusakeme, ka‘
reiskia ”at-sitiktinai”. I
‘vesime ir cia vienodo galimumo sa
‘voka
‘. Grubiai kalbant, tai reiks,
kad, parinkdami taskus, laikysimes ”demokratijos” principu‘– visi taskai bus ”ly-
giateisiai”. Tiksliau kalbant, tai reiks, jog i‘vykis, kad taskas parenkamas is kurio
nors intervalo, esancio atkarpoje AB, ir i‘vykis, kad taskas parenkamas is kito to
paties ilgio intervalo (esancio, suprantama, taip pat atkarpoje AB), yra vienodaigalimi. Todel naturalu manyti, kad tikimybe parinkti taska
‘is kurio nors intervalo
yra proporcinga to intervalo ilgiui. Vadinasi, jei taskai D ir E yra nutole‘atstumu
d nuo tasko C, tai nagrinejamoji tikimybe lygi atkarpu‘DE ir AB ilgiu
‘santykiui
2d/2a = d/a.
2 p a v y z d y s. Tarkime, kad ilgio a atkarpoje AB atsitiktinai ir nepriklau-somai vienas nuo kito parenkami du taskai. Kokia tikimybe, kad atstumas tarp ju
‘bus ne didesnis uz d (d ≤ a)?
Naudosimes sitokiu modeliu. Pazymekime x1 pirmojo tasko, x2 antrojo taskoatstumus nuo A. Imkime staciakampe
‘koordinaciu
‘sistema
‘(4 pav.). Abscisiu
‘asyje
atidekime x1, o ordinaciu‘– x2. Visos galimos tasku
‘(x1, x2) padetys sudarys kvadra-
ta‘, kurio krastine a. Taskai, atitinkantys tiriama
‘ji‘i‘vyki
‘, sudarys sriti
‘|x1−x2| ≤ d.
Tarkime, kad siuo atveju teisingas vienodo galimumo principas. ”Atsitiktinai irnepriklausomai” reiks, kad du i
‘vykiai, kai parenkamas taskas is dvieju
‘lygiaplociu
‘kvadrato sriciu
‘, yra vienodai galimi. Siuo atveju naturalu teigti, kad tikimybe, jog
taskas (x1, x2) pateks i‘kuria
‘nors sriti
‘, yra proporcinga tos srities plotui. Vadinasi,
ieskomoji tikimybe bus santykis ploto, kuri‘nuo kvadrato atkerta tieses x2 = x1±d,
su viso kvadrato plotu:
a2 − (a− d)2
a2=
d
a
(2− d
a
).
4 pav.
”Geometrines” tikimybes 33
Pateiksime bendresni‘
geometriniu‘
tikimybiu‘
apibrezima‘. Tarkime, jog
nagrinejame atsitiktini‘
eksperimenta‘, kurio elementariosios baigtys sudaro
sriti‘Ω s-mateje Euklido1 erdveje Rs. Tarkime, kad sritis Ω turi Lebego2 mata
‘m(Ω) (kai s = 1, tai bus ilgis, kai s = 2, – plotas, kai s = 3, – turis). Imkimeσ algebra
‘A visu
‘aibes Ω poaibiu
‘A, turinciu
‘Lebego mata
‘mA. Manysime,
kad galioja vienodo galimumo principas: turint dvi sritis A1 ∈ A ir A2 ∈ A,kuriu
‘matai yra vienodi, o forma ir padetis srityje Ω gali skirtis, nera pa-
grindo teigti, kad parinkti taska‘is vienos tu
‘sriciu
‘yra daugiau galimybiu
‘,
negu is kitos. Jei si sa‘lyga tenkinama, tai i
‘vykio – atsitiktinai parinkti taska
‘is srities A – tikimybe laikome santyki
‘mA/(mΩ).
Ir sis apibrezimas, nors formaliai ir nera grieztas, gerai derinasi su prak-tine patirtimi.
Taip apibrezta tikimybe turi panasias savybes, kaip ir klasikines schemostikimybe. Kai A ∈ A, B ∈ A, Ak ∈ A (k = 1, 2, ...), tai:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1;2. P (Ω) = 1;3. P (∅) = 0;4. Jei A ⊂ B, tai P (A) ≤ P (B);5. Jei A ∩B = ∅, tai P (A ∪B) = P (A) + P (B);6. P (Ac) = 1− P (A);7. Jei Aj ∩Ak = ∅ (j 6= k),
P (∞⋃
k=1
Ak) =∞∑
k=1
P (Ak).
Isspre‘sime dar pora
‘uzdaviniu
‘.
3 p a v y z d y s. B i u f o n o u z d a v i n y s. Horizontalioje plokstumojenubrezta sistema lygiagreciu
‘tiesiu
‘, tarp kuriu
‘atstumai yra a. Ant tos plokstumos
atsitiktinai metama ilgio l (l ≤ a) adata. Reikia rasti tikimybe‘, kad adata kirs kuria
‘nors is nubreztu
‘tiesiu
‘.
Pazymekime raide x adatos apatinio galo atstuma‘iki artimiausios is virsaus
lygiagretes (5 pav.), raide ϕ – kampa‘tarp adatos ir tos lygiagretes. Aisku, x ir ϕ
nepriklausomai vienas nuo kito i‘gyja visas reiksmes ribose 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ x ≤ a.
Taigi visos galimos (ϕ, x) reiksmes sudaro staciakampi‘, kurio krastines lygios π ir
a, o tiriamasis i‘vykis i
‘vyksta tada ir tik tada, kai x ≤ l sin ϕ (zr. 6 pav.). Galima
sakyti, kad tinka vienodo galimumo principas. Taigi ieskomoji tikimybe yra∫ π
0l sin ϕ dϕ
πa=
2l
πa.
1 Eυκλειδηζ (365–300) – graiku‘matematikas.
2 Henry Lebesgue (1875–1941) – prancuzu‘matematikas, vienas is realiu
‘ju
‘funk-
ciju‘moderniosios teorijos kureju
‘.
34 Tikimybes sa‘voka
5 pav.
I‘tikimybes israiska
‘be atstumo a tarp lygiagreciu
‘ir adatos ilgio l i
‘eina skaicius
π. Todel is eksperimentu‘galima i
‘vertinti jo reiksme
‘. Tam reikia atlikti serija
‘eks-
perimentu‘, is ju
‘rasti adatos kirtimosi su lygiagretemis statistini
‘dazni
‘. Tokiu
‘eks-
perimentu‘buvo atlikta nemazai (zr. lentele
‘, paimta
‘is [26]).
6 pav.
Tie eksperimentai dar karta‘patvirtina atsitiktiniu
‘reiskiniu
‘statistinio daznio
stabiluma‘
(zinoma, jei nei‘tariame, kad eksperimentuotojai, is anksto zinantys π
reiksme‘, nutraukia adatos metyma
‘palankiausiu momentu). Antra vertus, matome,
kad kai kuriuos matematikos uzdavinius galime apytiksliai spre‘sti atsitiktiniu
‘ekspe-
”Geometrines” tikimybes 35
rimentu‘pagalba. Dabar toks metodas (paprastai vadinamas Monte Karlo1 metodu)
gana placiai taikomas sudetingoms algebrinems, diferencialinems, integralinems irpan. lygtims, taip pat kitiems matematikos uzdaviniams spre
‘sti.
2 lentele
Eksperimen- Santykis Metimu‘
Pataikymu‘
π i‘vertis
tuotojas l/a skaicius skaicius
Volfas, 1850 0,8 5000 2532 3,1596Smitas, 1855 0,6 3204 1218,5 3,1553Morganas, 1860 1,0 600 382,5 3,137Foksas, 1884 0,75 1030 489 3,1595Lazerinis, 1901 0,83 3408 1808 3,1415929Reina, 1925 0,5419 2520 859 3,1795
4 p a v y z d y s. B e r t r a n o 2 u z d a v i n y s. Spindulio R apskritimeatsitiktinai breziama styga. Kokia tikimybe, kad jos ilgis bus didesnis uz R
√3, t. y.
i‘brezto i
‘apskritima
‘taisyklingojo trikampio krastine
‘?
Galimi keli sio uzdavinio sprendimai.a. Kiekviena styga kerta apskritima
‘dviejuose taskuose. Tarkime, kad abu taskai
yra tolygiai pasiskirste‘apskritime, o ju
‘padetys – nepriklausomos.
7 pav.
Nemazindami bendrumo, galime laikyti viena‘
is tu‘
tasku‘
A (7 pav.) fiksuotu.I‘brezkime i
‘apskritima
‘taisyklinga
‘ji‘trikampi
‘taip, kad viena jo virsune sutaptu
‘su
tasku A. Kitas trikampio virsunes pazymekime B, C. Antrasis stygos galas gali butibet kuris apskritimo taskas. Styga bus ilgesne uz taisyklingojo trikampio krastine
‘,
jei antrasis jos galas bus bet kuris lanko BC taskas. Ieskomoji tikimybe yra 1/3.
1 Nuo Monte Carlo miesto, kuriame yra placiai zinomi losimo namai, pavadinimo.2 Joseph Bertrand (1822–1900) – prancuzu
‘matematikas.
36 Tikimybes sa‘voka
8 pav. 9 pav.
b. Stygos ilgis priklauso nuo jos atstumo iki apskritimo centro ir nepriklauso nuokrypties. Todel galime manyti, kad styga yra fiksuotos krypties, lygiagreti kuriamnors skersmeniui DE (8 pav.), o galimi susikirtimo su jam statmenu skersmeniutaskai yra tolygiai pasiskirste
‘. Atidekime ant pastarojo skersmens nuo centro O i
‘abi puses po R/2. Gausime taskus F, G. Styga bus ilgesne uz taisyklingojo trikampiokrastine
‘tada ir tik tada, kai ji kirs atkarpa
‘FG. Ieskomoji tikimybe yra 1/2.
c. Kiekviena‘
styga‘
vienareiksmiskai nurodo statmens, nuleisto i‘
ja‘
is centro,pagrindas. Tarkime, kad galimi tokie taskai yra tolygiai pasiskirste
‘skritulyje. Nu-
brezkime spindulio R/2 apskritima‘, koncentriska
‘duotajam (9 pav.). Styga bus
ilgesne uz i‘brezto taisyklingojo trikampio krastine
‘tada ir tik tada, kai statmens
pagrindas bus mazesniajame skritulyje. Ieskomoji tikimybe yra
π(R/2)2
πR2=
1
4.
Atrodytu‘, kad gavome priestaravimus. Todel sis uzdavinys daznai vadinamas
Bertrano paradoksu. Taciau is tikru‘ju
‘visi trys sprendimai yra teisingi, nes spren-
deme ne viena‘, o tris uzdavinius. Uzdavinio sa
‘lygoje nebuvo tiksliai nusakyta, ka
‘reiskia ”atsitiktinai breziama styga”. Kiekviename sprendime atsitiktinuma
‘trakta-
vome skirtingai.Sis pavyzdys rodo, kad tikimybiu
‘teorijos uzdaviniuose (ne tik geometriniu
‘ti-
kimybiu‘) visada reikia tiksliai apibrezti, ka
‘reiskia zodis ”atsitiktinai”.
9. TIKIMYBIU‘
TEORIJOS AKSIOMOS
Remdamiesi klasikiniu tikimybes apibrezimu ir jo prapletimu vadinamosiomsgeometrinems tikimybems, negalime kurti grieztos matematines teorijos. Tiekklasikines, tiek geometrines tikimybes yra pagri
‘stos ne visai griezta vienodo
tiketinumo sa‘voka. Del to negrieztumo sunku ja naudotis ir, elgiantis ne-
apdairiai, galimos klaidingos isvados. Yra ir kitas tos sa‘vokos trukumas: ji
taikoma tik gana siaurai atsitiktiniu‘
reiskiniu‘
klasei. Imkime paprasta‘
pa-vyzdi
‘. Tarkime, kad metamas nesimetriskas losimo kauliukas: jis nera tikslios
Tikimybiu‘teorijos aksiomos 37
kubo formos, pagamintas is nevienalytes medziagos (realus losimo kauliukaitokie ir yra). Intuityviai aisku, kad bet kurios tokio kauliuko sieneles atsiver-timas turi stabilu
‘statistini
‘dazni
‘. Tai patvirtina ir eksperimentai. Tuo tarpu
pagal klasikini‘tikimybes apibrezima
‘nieko negalima pasakyti apie jo sieneliu
‘atsivertimo tikimybes.
Noredami paversti tikimybiu‘teorija
‘griezta matematine disciplina, turime
ja‘
aksiomatizuoti. Taip daroma ir kitose matematikos sakose. Stai kad irgeometrija. Ji nagrineja realaus pasaulio geometrines formas ir ju
‘santy-
kius. Taciau gamtoje neturime nei idealiu‘apskritimu
‘, nei trikampiu
‘, kuriuos
nagrineja geometrija. Geometrinis apskritimas ir geometrinis trikampis yrarealiu
‘”apskritimu
‘” ir realiu
‘”trikampiu
‘” abstrakcija. Jie atspindi tai, kas
yra esminio realiesiems apskritimams ir realiesiems trikampiams. Geometri-jos teoremos apie geometriniu
‘figuru
‘santykius atspindi realiu
‘erdviniu
‘for-
mu‘santykius. Taigi geometrija yra empiriniu
‘geometriniu
‘faktu
‘abstraktus
modelis. Geometrijos aksiomatikoje is pradziu‘i‘vedamos kelios aibes objektu
‘,
kurie vadinami ”taskais”, ”tiesemis”, ”plokstumomis”. Kokia ju‘reali prasme,
mums nesvarbu. Toliau nusakomos sa‘vokos ”taskas yra tieseje”, ”taskas yra
plokstumoje”, ”tiese yra plokstumoje” ir t. t. Dar toliau formuluojami teigi-niai – aksiomos, kurie nusako svarbiausias sa
‘rysiu
‘savybes. Kiti geometrijos
teiginiai – teoremos – yra isvedami dedukciskai is aksiomu‘. Zinoma, aksiomos
parenkamos taip, kad atspindetu‘
realaus pasaulio geometriniu‘
formu‘
svar-biausias savybes. Visos teorijos teisingumo kriterijus yra praktika.
Panasiai elgiames ir tikimybiu‘teorijoje. Susipazinsime su A. Kolmogorovo
aksiomatika.Elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve laikoma bet kuri netuscia aibe Ω. Mums ne-
rupi jos prigimtis. Atsitiktiniais i‘vykiais laikomi tos aibes poaibiai. Taciau ne
visi poaibiai gali buti i‘vykiais, nes priesingu atveju, i
‘vesdami tikimybes sa
‘-
voka‘, susidurtume su dideliais matematiniais sunkumais. Kiekvienam i
‘vykiui
– atitinkamam aibes Ω poaibiui – priskiriamas skaicius, vadinamas to i‘vykio
tikimybe ir turi‘s tam tikras savybes.
Dabar grieztai apibresime reikalingas sa‘vokas.
Noredami formalizuoti kuri‘nors tikimybiu
‘uzdavini
‘– sudaryti jo mate-
matini‘modeli
‘, atitinkamam eksperimentui priskiriame aibe
‘Ω su jos poaibiu
‘σ algebra A, t. y. macia
‘erdve
‘Ω,A. Elementariaisiais i
‘vykiais laikysime ai-
bes Ω elementus, atsitiktiniais i‘vykiais – macias aibes, t. y. sistemos A aibes.
Visi kiti Ω poaibiai (jei tokiu‘yra), nepriklausantys A, i
‘vykiais nelaikomi. Ω
yra laikoma butinu i‘vykiu, ∅ – negalimu i
‘vykiu. Ac vadinamas i
‘vykiu, prie-
singu i‘vykiui A. Jei dvi aibes A ir B is A neturi bendru
‘elementu
‘, tai i
‘vykiai
A ir B vadinami nesutaikomais.Taciau kol kas musu
‘matematinis modelis yra nepilnas. Reikia dar i
‘vesti
tikimybes sa‘voka
‘.
Tikimybe vadiname skaitine‘funkcija
‘P : A → R, apibrezta
‘σ algebroje A
ir tenkinancia‘aksiomas:
38 Tikimybes sa‘voka
1. Funkcija P yra neneigiama – turi buti P (A) ≥ 0, kai A ∈ A.2. P (Ω) = 1.3. Funkcija P yra σ adityvi: jei sekos A1, A2, ... kas dvi aibes neturi bendru
‘elementu
‘, tai
P( ∞⋃
k=1
Ak
)=
∞∑k=1
P (Ak)
(suprantama, eilute turi konverguoti).Jau kalbejome, kad i
‘vykiais laikome ne visus Ω poaibius. Pasirodo, kad,
paemus platesne‘uz σ algebra
‘poaibiu
‘sistema
‘, ne visada galima i
‘vesti tiki-
mybe‘.
Jei sistema A yra baigtine, tai is tikimybes pakanka reikalauti tik baig-tinio adityvumo, t. y. kad 3 aksioma galiotu
‘tik baigtiniam aibiu
‘skaiciui.
Toliau i‘rodysime (10.1 teorema), kad P (∅) = 0. Jei sistema A yra baigtine,
o A1, A2, ... yra jos aibiu‘, kas dvi nedengianciu
‘viena kitos, begaline seka, tai
tarp tu‘aibiu
‘nelygiu
‘tusciajai gali buti tik baigtinis skaicius.
Trejetas Ω,A, P yra vadinamas tikimybine erdve. Atitinkama tikimy-bine erdve ir yra atsitiktinio eksperimento matematinis modelis.
1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. Sio eksperimento matematinis
modelis bus sitoks. Elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve sudaryta is sesiu
‘elementu
‘Ω =
= ω1, ..., ω6. Imame visu‘
jos poaibiu‘
algebra‘A (ji bus ir σ algebra). Kiekvie-
nas Ω poaibis – atsitiktinis i‘vykis. I
‘vedame tikimybe
‘P . Jei A = ωk1 , ..., ωkr, tai
P (A) = r/6. Nesunku patikrinti, kad aibes funkcija P (A) tenkina aksiomas.
2 p a v y z d y s. Nagrinesime uzdavini‘apie dvieju
‘tasku
‘atsitiktini
‘parinkima
‘ilgio a atkarpoje (8.2 pavyzdys). Cia elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve Ω yra visuma ploks-
tumos tasku‘(x1, x2), tenkinanciu
‘nelygybes 0 ≤ x1 ≤ a, 0 ≤ x2 ≤ a. Sudarykime
aibiu‘σ algebra
‘A is visu
‘plokstumos maciu
‘Lebego prasme aibiu
‘, telpanciu
‘tame
kvadrate. Aibes A ∈ A tikimybe laikysime mA/a2; cia m reiskia Lebego mata‘. Jis
tenkina aksiomas.
3 p a v y z d y s. Gana paprastos yra tikimybines erdves, kai aibe Ω == ωk baigtine arba skaiti. Tada galime susitarti i
‘vykiais laikyti visus Ω poaibius
be isimties. Ju‘sistema A, kaip nesunku suvokti, yra σ algebra. Tikimybe
‘P galime
i‘vesti sitokiu budu. Imkime baigtine
‘arba skaicia
‘seka
‘neneigiamu
‘skaiciu
‘pk (tiek,
kiek yra aibeje Ω elementu‘) su sa
‘lyga∑
k
pk = 1
ir pazymekime P (ωk) = pk.Jei i
‘vykis A = ωk1 , ωk2 , ... ⊂ Ω yra baigtine arba skaiti aibe, tai susitarkime
laikyti
P (A) = P (ωk1 , ωk2 , ...) =∑kj
P (ωkj) =∑kj
pkj .
Tikimybiu‘savybes 39
Nesunku patikrinti, kad P tenkina tikimybiu‘aksiomas.
Aksiomu‘sistema yra nepriestaringa. Tai reiskia, kad egzistuoja objektai,
kurie ja‘tenkina. Ta
‘mateme is pavyzdziu
‘.
Aksiomu‘sistema nera pilna, nes atsitiktinio i
‘vykio tikimybes ji nenusako
vienareiksmiskai. Gri‘zkime prie losimo kauliuko (1 pavyzdys). Sudarykime ta
‘pacia
‘elementriu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve
‘Ω ir ta
‘pacia
‘atsitiktiniu
‘i‘vykiu
‘sistema
‘A. Ti-
kimybe‘dabar nusakykime kitaip. Imkime P (ω1) = P (ω2) = P (ω3) =
= 1/4, P (ω4) = P (ω5) = P (ω6) = 1/12. Kitoms aibems A ∈ Aapibrezkime P (A), remdamiesi adityvumu. Vel turesime tikimybine
‘erdve
‘,
bet su kita tikimybe.Nepilnumas dar nereiskia, kad aksiomu
‘sistema yra bloga – ji tik univer-
salesne. Jei 1 pavyzdzio tikimybine erdve tinka tik idealiam losimo kauliukui,tai, atitinkamai pakeite
‘tikimybes apibrezima
‘, ja
‘galime pritaikyti ir netai-
syklingiems kauliukams.Kartais reikalaujama, kad tikimybine erdve turetu
‘sitokia
‘papildoma
‘sa-
vybe‘: jei C ∈ A ir P (C) = 0, tai ir kiekvienas aibes C poaibis turi priklau-
syti A. Tada tikimybine erdve vadinama pilna. Taciau sioje knygoje tokioreikalavimo nei
‘vesime.
10. TIKIMYBIU‘
SAVYBES
Pateiksime paprasciausias isvadas is tikimybiu‘teorijos aksiomu
‘. Matysime,
kad ir abstrakciai i‘vesta tikimybes sa
‘voka turi tas pacias svarbiausias savybes,
kaip ir klasikine arba geometrine tikimybe.Visur laikysime tikimybine
‘erdve
‘Ω,A, P fiksuota.
1 teorema. P (∅) = 0.I‘r o d y m a s. Treciojoje aksiomoje imame A1 = A2 = ... = ∅. Kadangi
∞⋃k=1
Ak = ∅
ir i‘vykiai Ak yra kas du nesutaikomi, tai is tos aksiomos isplaukia, kad P (∅) =
= P (∅) + P (∅) + ... Pastaroji lygybe yra teisinga tik tada, kai P (∅) = 0. utIs sios teoremos ir tikimybes aksiomu
‘matome, jog funkcija P yra matas.
Todel ji turi visas mato savybes (zr. V skyriaus 3 ir 4 skyrelius). Mes ciapakartosime jas be i
‘rodymo, isskyrus 6 teorema
‘, kuria
‘i‘rodysime pilnai.
2 teorema. Jei i‘vykiai A1, A2, ..., An yra kas du nesutaikomi, tai
P( n⋃
k=1
Ak
)=
n∑k=1
P (Ak).
40 Tikimybes sa‘voka
P a s t a b a. Kaip jau minejome 9 skyrelyje, si tikimybiu‘savybe vadinama
ju‘baigtiniu adityvumu.
3 teorema. Kai A ir B yra bet kurie i‘vykiai,
P (B\A) = P (B)− P (A ∩B).
1 isvada. Jei i‘vykis A yra i
‘vykio B atskiras atvejis: A ⊂ B, tai P (B\A) =
= P (B)− P (A).2 isvada. Jei i
‘vykis A yra i
‘vykio B atskiras atvejis: A ⊂ B, tai P (A) ≤
≤ P (B).3 isvada. P (Ac) = 1− P (A), kai A yra bet kuris i
‘vykis.
4 isvada. P (A) ≤ 1, kai A yra bet kuris i‘vykis.
4 teorema. Jei A1, A2, ... yra bet kokiu‘
i‘vykiu
‘seka, tai
P( ∞⋃
k=1
Ak
)≤
∞∑k=1
P (Ak).
Isvada. Jei A1, A2, ..., An yra atsitiktiniai i‘vykiai, tai
P( n⋃
k=1
Ak
)≤
n∑k=1
P (Ak).
5 teorema. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B), kai A,B – bet kokiei‘vykiai.
Apibendrinsime sia‘teorema
‘.
6 teorema. Jei A1, A2, ..., An (n ≥ 2) yra bet kokie i‘vykiai, tai
P( n⋃
k=1
Ak
)=
∑1≤k≤n
P (Ak)−∑
1≤k1<k2≤n
P (Ak1 ∩Ak2)+
+∑
1≤k1<k2<k3≤n
P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3)− ...+
+ (−1)n−1P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) =
=n∑
m=1
(−1)m−1∑
1≤k1<k2<...<km≤n
P (Ak1 ∩Ak2 ∩ ... ∩Akm).
I‘r o d y m a s. Kai n = 2, lygybe teisinga pagal 5 teorema
‘. Tarkime, kad
ji teisinga, kai n ≥ 2 yra kuris nors sveikas skaicius. I‘rodysime jos teisinguma
‘,
kai turime n+ 1 i‘vyki
‘. Is 5 teoremos
Tikimybiu‘savybes 41
P(n+1⋃
k=1
Ak
)= P
[( n⋃k=1
Ak
)∪An+1
]= P
( n⋃k=1
Ak
)+ P (An)−
− P[ n⋃
k=1
(Ak ∩An+1)].
Is indukcijos prielaidos isplaukia
P(n+1⋃
k=1
Ak
)=
∑1≤k≤n
P (Ak)−∑
1≤k1<k2≤n
P (Ak1 ∩Ak2)+
+∑
1≤k1<k2<k3≤n
P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3)− ...+
+ (−1)n−1P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) + P (An)−
−∑
1≤k≤n
P (Ak ∩An+1) +∑
1≤k1<k2≤n
P (Ak1 ∩Ak2 ∩An+1)−
−∑
1≤k1<k2<k3≤n
P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3 ∩An+1) + ...+
+ (−1)n+1P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An ∩An+1).
Gautajame reiskinyje atitinkamai sugrupave‘narius, turime
P(n+1⋃
k=1
Ak
)=
∑1≤k≤n+1
P (Ak)−∑
1≤k1<k2≤n+1
P (Ak1 ∩Ak2)+
+∑
1≤k1<k2<k3≤n+1
P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3)− ...+
+ (−1)nP (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An+1).
Remdamiesi matematines indukcijos principu, darome isvada‘, kad teiginys
yra teisingas, kai n ≥ 2 – bet kuris naturalusis skaicius. ut
7 teorema. Jei i‘vykiai Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskai didejancia
‘seka
‘: A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir
A =∞⋃
k=1
Ak,
tai P (An) → P (A), kai n→∞.
8 teorema. Jei i‘vykiai Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskai mazejancia
‘seka
‘: A1 ⊃ A2 ⊃ ... ir
42 Tikimybes sa‘voka
A =∞⋂
k=1
Ak,
tai P (An) → P (A), kai n→∞.
9 teorema. Tarkime, kad netuscios aibes Ω poaibiu‘algebroje A apibreztas
tikimybinis matas P . Pazymeje‘σ(A) sistemos A generuota
‘σ algebra
‘, galime
rasti tikimybini‘mata
‘Q, apibrezta
‘macioje erdveje Ω, σ(A) ir tenkinanti
‘sa‘-
lyga‘Q(A) = P (A) visoms A ∈ A. Funkcija Q yra vienareiksmiskai nusakyta.
11. SA‘LYGINES TIKIMYBES
Daznai tenka nagrineti i‘vykiu
‘tikimybes, kai prie duotojo sa
‘lygu
‘komplekso
K yra pridedamos papildomos sa‘lygos. Paprastai papildoma sa
‘lyga buna koks
nors i‘vykis E. Gauname nauja
‘platesni
‘sa
‘lygu
‘kompleksa
‘K1, sudaryta
‘is sa
‘-
lygu‘K ir papildomos sa
‘lygos E. I
‘vykio A tikimybe
‘naujojo komplekso K1
atzvilgiu naturalu vadinti sa‘lygine tikimybe su papildoma sa
‘lyga E. Tokia
‘tikimybe
‘zymesime P (A|E) arba PE(A). Skaitysime: ”i
‘vykio A tikimybe, kai
yra i‘vyke
‘s i
‘vykis E” arba ”i
‘vykio A tikimybe su sa
‘lyga E”. Tada i
‘vykiu
‘tiki-
mybes, kai turime tik sa‘lygu
‘kompleksa
‘K be papildomos sa
‘lygos E, galetume
vadinti absoliuciomis, arba nesa‘lyginemis. Suprantama, sie pavadinimai yra
reliatyvus.Kaip galime apibrezti sa
‘lygines tikimybes? Kad butu
‘vaizdziau, isnagri-
nekime konkretu‘pavyzdi
‘.
Tarkime, kad n asmenu‘kolektyve yra v > 0 vyru
‘ir n−v moteru
‘, tarp ju
‘d desiniarankiu
‘ir n− d kairiarankiu
‘(manome, kad nera asmenu
‘, kurie butu
‘kartu desiniarankiai ir kairiarankiai). Tarp vyru
‘yra vd desiniarankiu
‘. Is visu
‘kolektyvo nariu
‘atsitiktinai parenkamas vienas asmuo (realizuojamas sa
‘lygu
‘kompleksasK). Tarkime, kad tinka vienodo galimumo principas. PazymekimeV vyro parinkima
‘, D – desiniarankio. Tikimybe, kad atsitiktinai parinktas
asmuo bus desiniarankis, yra P (D) = d/n. Sakykime, mus domina ne visiasmenys, bet tik vyrai. Tikimybe parinkti desiniaranki
‘, kai renkame tik is
vyru‘(papildoma sa
‘lyga V ), bus lygi
P (D|V ) =vd
v=vd/n
v/n=P (D ∩ V )P (V )
.
Matome, kad sa‘lygine tikimybe P (D|V ) isreiskiama dvieju
‘nesa
‘lyginiu
‘tiki-
mybiu‘santykiu.
Analogiska‘formule
‘galime gauti ir bendresniu atveju, kai tinka klasikinis
tikimybes apibrezimas.Tarkime, kad turime elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve
‘is n vienodai galimu
‘i‘vy-
kiu‘. Sakykime, i
‘vyki
‘E sudaro k (0 < k ≤ n) elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, o i
‘vyki
‘A∩E sudaro r (0 ≤ r ≤ k) i
‘vykiu
‘. Tada, skaiciuojant i
‘vykio A sa
‘lygine
‘tiki-
mybe‘su sa
‘lyga E, visu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘erdve bus sudaryta is k vienodai
Sa‘lygines tikimybes 43
galimu‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘, o tarp ju
‘palankiu
‘i‘vykiui A bus r. Vadinasi,
P (A|E) =r
k=r/n
k/n=P (A ∩ E)P (E)
.
Is cia isplaukia lygybe
P (A ∩ E) = P (E)P (A|E),
t.y. tikimybe i‘vykiams A ir E i
‘vykti drauge yra lygi i
‘vykio E (absoliuciai) ti-
kimybei, padaugintai is i‘vykio A tikimybes su sa
‘lyga, kad i
‘vykis E yra i
‘vyke
‘s.
Sis teiginys kartais vadinamas tikimybiu‘
daugybos teorema.Is siu
‘samprotavimu
‘paaiskeja, kaip reikia i
‘vesti sa
‘lygines tikimybes ak-
siomiskai. Tarkime, kad turime tikimybine‘erdve
‘Ω,A, P. Jei A ir E yra
i‘vykiai ir P (E) > 0, tai i
‘vykio A sa
‘lygine tikimybe su sa
‘lyga, kad E yra
i‘vyke
‘s, vadinsime
P (A|E) =P (A ∩ E)P (E)
.
Sa‘lygine
‘tikimybe
‘apibrezeme tik tuo atveju, kai sa
‘lygos E tikimybe
P (E) > 0. Todel visur, kalbedami apie sa‘lygines tikimybes, turesime omenyje,
kad sa‘lygos tikimybe nera lygi nuliui, nors to specialiai ir neaptarsime.
1 p a v y z d y s. Du draugai, Jonas ir Petras, laisvalaikiu zaidzia losimokauliuku, kurio sieneles su nelyginiu akuciu
‘skaiciumi nudazytos zaliai, o sieneles
su lyginiu akuciu‘skaiciumi – baltai. Jonas meta losimo kauliuka
‘, krintanti
‘uzdengia
delnu ir siulo Petrui dalyvauti sitokiame zaidime: jei atsivertusiu‘akuciu
‘skaicius yra
mazesnis uz keturis, tai laimi Petras, priesingu atveju laimi Jonas. Taciau Petraspastebejo, kad kauliukas nukrito zalia sienele i
‘virsu
‘. Kokia tikimybe jam islosti?
Apskaiciuosime ta‘tikimybe
‘dvejopai. a. Zinodami, kad atsiverte kauliuko zalioji
sienele, turime tris vienodai galimus elementariuosius i‘vykius: atsiverte 1, 3 arba 5
akutes. Is ju‘palankiu
‘i‘vykiu
‘, kai laimi Petras, yra du. Todel ieskomoji tikimybe lygi
2/3. b. Isreiksime ieskoma‘ja
‘tikimybe
‘absoliuciomis tikimybemis. Pazymekime raide
A i‘vyki
‘”atsiverte maziau kaip 4 akutes” (1, 2, 3, akutes), E – i
‘vyki
‘”atsiverte zalios
spalvos sienele” (1, 3, 5 akutes). I‘vykio E tikimybe yra 1/2; tikimybe, kad i
‘vykiai
A ir E i‘vyks kartu, yra 1/3. Todel ieskomoji tikimybe P (A|E) = P (A∩E)/P (E) =
= 2/3.
2 p a v y z d y s. Dezeje yra 3 balti ir 6 juodi rutuliai, kurie skiriasi tik spalva.Atsitiktinai istraukiamas vienas rutulys ir nebegra
‘zinamas i
‘deze
‘. Po to atsitiktinai
traukiamas antras rutulys. Apskaiciuosime tikimybe‘istraukti balta
‘rutuli
‘antruoju
traukimu, kai zinoma, kad pirma‘karta
‘buvo istrauktas baltas rutulys. a. Kadangi
po pirmojo traukimo dezeje liko 2 balti ir 6 juodi rutuliai, tai ieskomoji tikimybe yra1/4. b. Pazymekime A i
‘vyki
‘”pirmasis istrauktas rutulys yra baltas”, B – i
‘vyki
‘”ant-
rasis istrauktas rutulys yra baltas”. Elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe sudaryta is 9 ·8 = 72
i‘vykiu
‘(ω1, ω2); cia ω1 yra kurio nors fiksuoto rutulio is 9 istraukimas pirmuoju
traukimu, o ω2 – fiksuoto rutulio is likusiu‘8 istraukimas antruoju traukimu. Tarp
44 Tikimybes sa‘voka
ju‘palankiu
‘i‘vykiui A ∩ B (abu kartus istraukiamas baltas rutulys) yra 3 · 2 = 6,
o palankiu‘
i‘vykiui A – 3 · 8 = 24. Todel P (A) = 1/3, P (A ∩ B) = 1/12. Is cia
P (B|A) = P (A ∩B)/P (A) = 1/4.
Panagrinesime sa‘lyginiu
‘tikimybiu
‘savybes.
1 teorema. Sa‘lygines tikimybes turi sias savybes:
1. P (A|E) ≥ 0.2. P (Ω|E) = 1.3. Jei A1, A2, ... yra kas du nesutaikomi i
‘vykiai, tai
P( ∞⋃
k=1
Ak|E)
=∞∑
k=1
P (Ak|E).
I‘
r o d y m a s. 1. Is sa‘lygines tikimybes apibrezimo isplaukia, kad ji
neneigiama.
2. P (Ω|E) =P (Ω ∩ E)P (E)
=P (E)P (E)
= 1.
3. Pagal sa‘lygines tikimybes apibrezima
‘
P( ∞⋃
k=1
Ak|E)
=
P[ ∞⋃
k=1
(Ak ∩ E)]
P (E).
Kadangi i‘vykiai Ak yra kas du nesutaikomi, tai tuo labiau bus kas du
nesutaikomi ir i‘vykiai Ak ∩E. Is visisko tikimybes adityvumo isplaukia, kad
P( ∞⋃
k=1
Ak|E)
=
∞∑k=1
P (Ak ∩ E)
P (E)=
∞∑k=1
P (Ak ∩ E)P (E)
=∞∑
k=1
P (Ak|E). ut
Kaip matome, sa‘lygines tikimybes tenkina tikimybiu
‘teorijos aksiomas.
Vadinasi, trejetas Ω,A, PE sudaro tikimybine‘erdve
‘. Todel (kai E fiksuotas)
sa‘lyginems tikimybems tinka tos pacios teoremos, kurias i
‘rodeme nesa
‘lygi-
nems tikimybems.Is pavadinimo isplauktu
‘, kad sa
‘lygine tikimybe i
‘vykiui E i
‘vykti, kai E
yra i‘vyke
‘s, turetu
‘buti lygi 1. Taip ir yra.
2 teorema. P (E|E) = 1.I‘r o d y m a s. Vel is sa
‘lygines tikimybes apibrezimo isplaukia:
P (E|E) =P (E ∩ E)P (E)
=P (E)P (E)
= 1. ut
Sa‘lygines tikimybes 45
Nagrinesime toliau sa‘lyginiu
‘tikimybiu
‘savybes. Nagrinedami klasikine
‘tikimybe
‘, i
‘rodeme vadinama
‘ja
‘tikimybiu
‘daugybos teorema
‘. Apibrezus tiki-
mybe‘aksiomiskai, ji yra triviali isvada is apibrezimo.
3 (daugybos) teorema. P (A ∩ E) = P (A)P (E|A) = P (E)P (A|E).Apibendrinsime sia
‘teorema
‘.
4 teorema. Jei n ≥ 2, tai
P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) =P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩A2)...
...P (An|A1 ∩ ... ∩An−1).
P a s t a b a. Kaip susitareme, sa‘lyginese tikimybese sa
‘lygu
‘tikimybes
turi buti teigiamos. Siuo atveju pakanka reikalauti, tik kad butu‘P (A1∩A2∩
∩... ∩An−1) > 0. Is tikru‘ju
‘, kadangi
A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−1 ⊂ A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−2 ⊂ ... ⊂ A1 ∩A2 ⊂ A1,
taiP (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−1) ≤ P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−2) ≤ ... ≤
≤ P (A1 ∩A2) ≤ P (A1).
I‘r o d y m a s. Kai n = 2, teiginys teisingas (3 teorema). Tarkime, kad
jis teisingas, kai turime n − 1 ≥ 2 i‘vykiu
‘. Tada pagal indukcijos prielaida
‘ir
3 teorema‘
P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = P((A1 ∩A2) ∩A3 ∩ ... ∩An
)=
= P (A1 ∩A2)P(A3|(A1 ∩A2)
)×
× P(A4|(A1 ∩A2) ∩A3
)...×
× P(An|(A1 ∩A2) ∩ ... ∩An−1
)=
= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩A2)×× P (A4|A1 ∩A2 ∩A3)...×× P (An|A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−1).
Is matematines indukcijos principo isplaukia, kad i‘rodomasis teiginys yra tei-
singas kiekvienam baigtiniam i‘vykiu
‘skaiciui. ut
5 teorema (pilnosios tikimybes formule). Jei Hk yra baigtine arbaskaiti aibe i
‘vykiu
‘, kurie kas du nesutaikomi ir⋃
k
Hk = Ω,
A – bet koks i‘vykis, tai
46 Tikimybes sa‘voka
P (A) =∑
k
P (Hk)P (A|Hk).
I‘r o d y m a s. Is jungimo ir kirtimosi operaciju
‘distributyvumo isplaukia
A = A ∩ Ω = A ∩(⋃
k
Hk
)=
⋃k
(Hk ∩A).
Kadangi i‘vykiai Hk yra kas du nesutaikomi, tai tuo labiau tokie yra ir i
‘vykiai
Hk ∩A. Remiantis tikimybes adityvumu ir tikimybiu‘daugybos teorema,
P (A) =∑
k
P (Hk ∩A) =∑
k
P (Hk)P (A|Hk). ut
Teoremos pavadinimas yra tradicinis. Matematiniu poziuriu ji beveik tri-viali, bet naudinga sprendziant uzdavinius.
3 p a v y z d y s. Seserios automatines stakles gamina verzles. Stakles vienodos,bet nevienodai susidevejusios. Visos jos pagamina po 10 000 verzliu
‘per diena
‘, bet
niekalo dalis nevienoda. Zinoma, kad trejos is ju‘daro po 1% niekalo, dvejos – po 2%
ir vienerios – 3%. Is visos produkcijos atsitiktinai imama verzle. Kokia tikimybe,kad ji bus bloga?
I‘vyki
‘, kai paimama verzle, pagaminta vienomis is geriausiu
‘stakliu
‘, pazymekime
raide H1, vidutiniu‘
stakliu‘
– raide H2, blogiausiu‘
stakliu‘
– H3; blogos verzlesparinkima
‘pazymekime A. Per diena
‘stakles pagamina 6 · 10 000 = 60 000 verzliu
‘;
tarp ju‘yra 30 000 · 0, 01 + 20 000 · 0, 02 + 10 000 · 0, 03 = 1000 blogu
‘. Manydami,
kad tinka vienodo galimumo principas, turime
P (A) =1000
60 000=
1
60.
Is pilnosios tikimybes formules gauname
P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) + P (H3)P (A|H3) =
=3
6· 1
100+
2
6· 2
100+
1
6· 3
100=
1
60.
Sudarykite atitinkama‘tikimybine
‘erdve
‘!
6 teorema (Bajeso1 formule).
P (A|E) =P (A)P (E|A)
P (E).
I‘r o d y m a s. Si formule yra triviali daugybos teoremos isvada. ut
1 Thomas Bayes (1702 – 1761) – anglu‘matematikas.
Nepriklausomi i‘vykiai 47
7 (Bajeso) teorema. Jei Hk yra baigtine arba skaiti sistema i‘vykiu
‘,
kurie kas du nesutaikomi ir ⋃k
Hk = Ω,
A – bet koks i‘vykis, tai
P (Hj |A) =P (Hj)P (A|Hj)∑
k
P (Hk)P (A|Hk)(j = 1, 2, ...).
I‘r o d y m a s isplaukia is 6 ir 5 teoremu
‘. ut
Si teorema taip pat vadinama hipoteziu‘
tikimybiu‘
teorema. I‘vykius Hk
tada vadiname hipotezemis. I‘vykis A gali i
‘vykti, kai teisingos vienos ar kitos
sa‘lygos – hipotezes, kurios yra kas dvi nesutaikomos ir kuriu
‘sa
‘junga – butinas
i‘vykis. Tarkime, kad is anksto zinomos hipoteziu
‘tikimybes P (Hk) (apriorines
tikimybes) ir tikimybes, kad i‘vyks i
‘vykis A su tomis hipotezemis P (A|Hk).
Tada, remiantis sia teorema, galima apskaiciuoti tikimybes P (Hj |A) (apos-teriorines tikimybes), kad buvo teisinga hipoteze Hj , jei i
‘vykis A i
‘vyko.
4 p a v y z d y s. Tarkime, kad ispildomos ankstesnio pavyzdzio sa‘lygos.
Atsitiktinai buvo parinkta verzle. Paaiskejo, kad ji bloga. Kokia tikimybe, kad ja‘
pagamino geriausios stakles?Vartodami tuos pacius zymenis, kaip ir ankstesnio pavyzdzio sprendime, turime
P (H1|A) =P (H1)P (A|H1)
P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2)P (H3)P (A|H3)=
=36· 1
100160
=3
10.
12. NEPRIKLAUSOMI I‘VYKIAI
Nepriklausomumo sa‘voka yra viena is svarbiausiu
‘tikimybiu
‘teorijoje – be jos
ta teorija butu‘tik specialus mato bei integralo teorijos atvejis.
Pirmiausia i‘vesime dvieju
‘i‘vykiu
‘A ir B nepriklausomumo sa
‘voka
‘. Saky-
dami, kad i‘vykio A i
‘vykimas nepriklauso nuo to, ar i
‘vykis B i
‘vyko, ar ne,
ir atvirksciai, mes ir nurodome tai, ka‘matematikos kalba vadiname i
‘vykiu
‘nepriklausomumu. Matematiskai galetume ji
‘nusakyti sitaip. Imkime sa
‘lygi-
ne‘tikimybe
‘P (A|B) (P (B) > 0), kad i
‘vyks i
‘vykis A, kai yra i
‘vyke
‘s B. Jei
P (A|B) = P (A), tai naturalu i‘vyki
‘A laikyti nepriklausomu nuo i
‘vykio B.
Tada is tikimybiu‘daugybos teoremos isplaukia, kad
P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B).
48 Tikimybes sa‘voka
Tokia‘pat lygybe
‘gauname ir tuo atveju, kai P (B|A) = P (B). Lygybe yra
simetriska A ir B atzvilgiu. Remdamiesi tais samprotavimais, ir susitarsimedu i
‘vykius A ir B vadinti nepriklausomais, kai P (A∩B) = P (A)P (B). Kar-
tais dar kalbama apie tikimybini‘, arba stochastini
‘1, nepriklausomuma
‘, no-
rint atskirti nuo kitu‘nepriklausomumo sa
‘voku
‘, vartojamu
‘matematikoje. At-
kreipsime demesi‘, jog siame apibrezime nereikalaujame, kad kuris nors is i
‘vy-
kiu‘A arba B turetu
‘teigiamas tikimybes.
1 p a v y z d y s. Klaseje yra 12 berniuku‘ir 12 mergaiciu
‘, tarp ju
‘8 mokslo
pirmunai: 4 berniukai ir 4 mergaites. Mokytojas atsitiktinai iskviecia viena‘mokini
‘atsakineti. I
‘vykiai ”iskviestas berniukas” ir ”iskviestas pirmunas” yra nepriklauso-
mi, nes tu‘i‘vykiu
‘tikimybes lygios 12
24= 1
2ir 8
24= 1
3, o tikimybe iskviesti berniuka
‘
pirmuna‘lygi 4
24= 1
6= 1
2· 1
3.
2 p a v y z d y s. Bet koks i‘vykis A ir negalimas i
‘vykis ∅ yra nepriklausomi.
Is tikru‘ju
‘, kadangi A ∩∅ = ∅ ir P (∅) = 0, tai P (A ∩∅) = P (∅) = P (A)P (∅).
3 p a v y z d y s. Bet koks i‘vykis A ir butinas i
‘vykis Ω yra nepriklausomi.
Kadangi A ∩ Ω = A ir P (Ω) = 1, tai P (A ∩ Ω) = P (A) = P (A)P (Ω).
1 teorema Jei P (B) > 0, tai i‘vykiai A ir B yra nepriklausomi tada ir
tik tada, kai P (A|B) = P (A).I‘r o d y m a s. Sa
‘lygos pakankamumas jau buvo i
‘rodytas: jei P (A|B) =
= P (A), tai is daugybos teoremos isplaukia P (A ∩B) = P (A)P (B).Sa
‘lygos butinumas i
‘rodomas paprastai: jei i
‘vykiai A ir B yra nepriklau-
somi, tai
P (A|B) =P (A ∩B)P (B)
=P (A)P (B)P (B)
= P (A). ut
2 teorema. Jei i‘vykiai A ir B nepriklausomi, tai nepriklausomi ir i
‘vykiai
A ir Bc.I‘r o d y m a s. Teisingos lygybes
P (A ∩Bc) = P(A ∩ (Ω\B)
)=
= P(A\(A ∩B)
)= P (A)− P (A ∩B) =
= P (A)− P (A)P (B) = P (A)(1− P (B)
)= P (A)P (Bc). ut
Isvada. Jei vieno is dvejetu‘A,B; A,Bc; Ac, B; Ac, Bc i
‘vykiai yra ne-
priklausomi, tai nepriklausomi ir kitu‘dvejetu
‘i‘vykiai.
3 teorema. Jei A1, ..., An yra kas du nesutaikomi i‘vykiai, B – bet koks
i‘vykis ir kiekvieno is dvejetu
‘A1, B; ...;An, B i
‘vykiai yra nepriklausomi, tai
taip pat nepriklausomi yra i‘vykiai A1 ∪ ... ∪An ir B.
1 Nuo graikisko zodzio στoχαστις – pataikymas i‘taikini
‘.
Nepriklausomi i‘vykiai 49
I‘
r o d y m a s. Teorema‘
pakanka i‘rodyti tik tuo atveju, kai n = 2.
Kadangi (A1 ∩B) ∩ (A2 ∩B) = ∅, tai
P((A1 ∪A2) ∩B
)= P
((A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B)
)=
= P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B) = P (A1)P (B) + P (A2)P (B) =
=(P (A1) + P (A2)
)P (B) = P (A1 ∪A2)P (B). ut
Apibendrinsime nepriklausomumo sa‘voka
‘. Tarkime, kad turime baigtine
‘arba skaicia
‘i‘vykiu
‘sistema
‘Aλ, λ ∈ Λ. Sakome, kad tie i
‘vykiai yra nepri-
klausomi (visi), jei
P (Aλ1 ∩Aλ2 ∩ ... ∩Aλn) = P (Aλ1)P (Aλ2)...P (Aλn
),
kai n ≥ 2 yra bet kuris naturalusis skaicius, o λ1, λ2, ..., λn – bet kurie skirtingiindeksai is sistemos Λ.
Kai turime du i‘vykius, sis apibrezimas sutampa su ankstesniuoju. Kai tu-
rime tris i‘vykius A1, A2, A3, ju
‘nepriklausomumui nusakyti reikia 4 lygybiu
‘
P (A1 ∩A2) = P (A1)P (A2),
P (A1 ∩A3) = P (A1)P (A3),
P (A2 ∩A3) = P (A2)P (A3),
P (A1 ∩A2 ∩A3) = P (A1)P (A2)P (A3).
Apskritai, jei turime baigtini‘skaiciu
‘k i
‘vykiu
‘, tai ju
‘nepriklausomumui
nusakyti reikia (k
2
)+
(k
3
)+ ...+
(k
k
)= 2k − k − 1
lygybiu‘.
Jei turime keleta‘i‘vykiu
‘(daugiau kaip du), kurie yra kas du nepriklauso-
mi, tai jie nebutinai yra nepriklausomi (visi). Tai matyti is sitokio pavyzdzio.
4 p a v y z d y s. Turime keturias korteles su numeriais 110, 101, 011, 000.Atsitiktinai parenkame viena
‘kortele
‘. Tarkime, kad i
‘vyko i
‘vykis A1, jei parinkome
kortele‘, kurios numeris prasideda 0, A2 – jei numerio antrasis skaitmuo yra 0, A3 –
jei treciasis skaitmuo yra 0. Aisku,
P (A1) = P (A2) = P (A3) =1
2,
P (A1 ∩A2) = P (A1 ∩A3) = P (A2 ∩A3) =1
4,
P (A1 ∩A2 ∩A3) =1
46= P (A1)P (A2)P (A3).
50 Tikimybes sa‘voka
Is apibrezimo isplaukia, kad nepriklausomu‘
i‘vykiu
‘sistemos posistemis
taip pat yra sudarytas is nepriklausomu‘
i‘vykiu
‘. Jei is nepriklausomu
‘i‘vy-
kiu‘sistemos parinksime skirtingu
‘i‘vykiu
‘grupes ir imsime kiekvienos grupes
i‘vykiu
‘sankirtas, tai tos sankirtos sudarys nepriklausomu
‘i‘vykiu
‘sistema
‘.
4 teorema. Jei sistemos Aλ, λ ∈ Λ i‘vykiai yra nepriklausomi, tai,
pakeite‘
bet kuriuos is i‘vykiu
‘Aλ jiems priesingais i
‘vykiais Ac
λ, vel gausimenepriklausomu
‘i‘vykiu
‘sistema
‘.
I‘r o d y m a s. Patogumo delei i
‘vesime simboliskus zymenis: jei A yra
kuris nors i‘vykis, tai A1 = A, A0 = Ac. Tada teoremos teigini
‘galime for-
muluoti sitaip: jei sistemos Aλ, λ ∈ Λ i‘vykiai yra nepriklausomi, tai ir
sistemos Aελ
λ , λ ∈ Λ, kur ελ i‘gyja bet kuria
‘is reiksmiu
‘0 arba 1, i
‘vykiai
taip pat yra nepriklausomi. Reikes i‘rodyti, kad
P( n⋂
k=1
Aελk
λk
)=
n∏k=1
P(A
ελk
λk
),
kai λ1, ..., λn yra bet kurie ir ελktaip pat bet kurie (lygus 0 arba 1).
Nesiaurindami bendrumo, galime suprastinti indeksu‘rasyma
‘, pakeisdami
λk tiesiog k. I‘rodinesime, kad
(1) P( n⋂
k=1
Aεk
k
)=
n∏k=1
P(Aεk
k
).
Kai n = 2, sis teiginys isplaukia is 2 teoremos.Tarkime, kad teiginys i
‘rodytas, kai turime n−1 ≥ 2 i
‘vykiu
‘. I
‘rodysime, kad
jis teisingas ir tada, kai i‘vykiu
‘yra n. Pazymekime L aibe
‘vektoriu
‘(ε1, . . . , εn)
, kurie tenkina (1) lygybe‘. Aibe L yra netuscia, nes jai priklauso (1, ..., 1).
Tarkime, kad koks nors vektorius (ε1, ..., εn−1, εn) priklauso L ir ne visosjo koordinates yra nuliai. Bet kuria
‘jo koordinate
‘, lygia
‘1, pakeiskime 0. Pa-
rodysime, kad ir pakeistasis vektorius priklausys aibei L. Kad butu‘lengviau
uzrasyti, imkime εn = 1. Turime
(n−1⋂k=1
Aεk
k
)∩Ac
n =(n−1⋂
k=1
Aεk
k
)∖((n−1⋂k=1
Aεk
k
)∩An
).
Is 10.3 teoremos 1 isvados isplaukia, kad
P
((n−1⋂k=1
Aεk
k
)∩Ac
n
)= P
(n−1⋂k=1
Aεk
k
)− P
((n−1⋂k=1
Aεk
k
)∩An
).
Kadangi (ε1, ..., εn−1, 1) ∈ L, tai, pasinaudoje‘indukcijos prielaida, gauname
Nepriklausomi eksperimentai 51
P
((n−1⋂k=1
Aεk
k
)∩Ac
n
)=
n−1∏k=1
P (Aεk
k )− P (An)n−1∏k=1
P (Aεk
k ) =
=(1− P (An)
) n−1∏k=1
P (Aεk
k ) = P (Acn)
n−1∏k=1
P (Aεk
k ).
Taigi (ε1, ..., εn−1, 0) ∈ L. Vadinasi, pradeje‘vektoriumi (1, ..., 1, 1) ir paeiliui
pakeite‘po viena
‘vieneta
‘nuliu, po baigtinio zingsniu
‘skaiciaus i
‘sitikinsime,
kad bet kuris vektorius (ε1, ..., εn−1, εn) priklauso L.Is indukcijos principo isplaukia teoremos teiginys. ut5 teorema. Jei Aλ, λ ∈ Λ yra nepriklausomu
‘i‘vykiu
‘sistema, tai
P( r⋂
j=1
Aλmj
∣∣∣ s⋂k=1
Aλnk
)= P
( r⋂j=1
Aλmj
),
kai Aλm1, ..., Aλmr
, Aλn1, ..., Aλns
(λm1 , ..., λmr, λn1 , ..., λns
∈ Λ) yra skirtingitos sistemos i
‘vykiai (suprantama, sa
‘lygos tikimybe turi buti teigiama).
I‘rodyti teorema
‘paliekame skaitytojui.
Kol kas kalbejome apie atskiru‘i‘vykiu
‘nepriklausomuma
‘. Dabar apibresi-
me i‘vykiu
‘sistemu
‘nepriklausomuma
‘.
Tarkime, kad Sλ, λ ∈ Λ yra i‘vykiu
‘sistemu
‘Sλ seima is tos pacios tiki-
mybines erdves. Sakysime, kad tos sistemos yra nepriklausomos, jei, paeme‘is
kiekvienos sistemos Sλ po bet kuri‘i‘vyki
‘Aλ, gauname nepriklausomu
‘i‘vykiu
‘sistema
‘Aλ, λ ∈ Λ. Daznai tenka nagrineti i
‘vykiu
‘sistemu
‘seimas, kai siste-
mos yra algebros arba σ algebros. Tada kalbame apie algebru‘arba σ algebru
‘nepriklausomuma
‘.
13. NEPRIKLAUSOMI EKSPERIMENTAI
Iki siol nagrinejome tikimybinius modelius, kurie apraso vieno eksperimentorezultatus. Jei ir kalbejome apie rutulio pakartotini
‘traukima
‘is dezes, tai
tuos du traukimus traktavome kaip viena‘eksperimenta
‘. Daznai palyginti ne-
sunku aprasyti vieno eksperimento rezultatu‘
tikimybini‘
pasiskirstyma‘, bet
daug sunkiau kalbeti apie eksperimentu‘serija
‘. Pavyzdziui, nesunku aprasyti
vieno kauliuko metima‘, bet daug sunkiau aprasyti metimu
‘serija
‘. Uzdavinys
palengveja, kai galime padaryti prielaida‘, jog visi metimai atliekami iden-
tiskomis sa‘lygomis ir kurio nors metimo rezultatai neturi i
‘takos tolesniems
metimams, kitaip tariant, galime daryti prielaida‘, kad i
‘vykiai, atitinkan-
tys atskirus metimus, yra nepriklausomi. Tada kalbame apie nepriklauso-mus metimus. Kyla klausimas, ar negalima, remiantis vieno eksperimentorezultatu
‘tikimybemis, aprasyti visos metimu
‘serijos rezultatu
‘tikimybini
‘
52 Tikimybes sa‘voka
pasiskirstyma‘. Atsakymas yra teigiamas. Sudarysime nepriklausomu
‘ekspe-
rimentu‘serijos matematini
‘modeli
‘.
Pirmiausia isnagrinesime paprasta‘
pavyzdi‘. Mesdami kauliuka
‘viena
‘karta
‘, gauname elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe
‘Ω, sudaryta
‘is sesiu
‘elementu
‘ω1, ..., ω6; cia ωk reiskia i‘vyki
‘, kad atsiverte k akuciu
‘. I
‘vykiai, susije
‘su
siuo eksperimentu, yra visi galimi tos aibes poaibiai. Laikydami elementa-riuosius i
‘vykius vienodai galimais, i
‘vedame kiekvieno ju
‘tikimybe
‘, lygia
‘1/6;
bet kurio kito i‘vykio tikimybe bus lygi ta
‘i‘vyki
‘sudaranciu
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘skaiciui, padaugintam is 1/6.
Meskime kauliuka‘
du kartus. Tu‘
dvieju‘
metimu‘
rezultata‘
galesime nu-sakyti dvejetu (ω1k, ω2l); cia ω1k yra i
‘vykis, kai pirma
‘ji‘
karta‘
atsiverte kakuciu
‘, ω2l – i
‘vykis, kai antra
‘ji‘
karta‘
atsiverte l akuciu‘. Turime is viso 36
elementariuosius i‘vykius. Ju
‘visuma yra dvieju
‘aibiu
‘Ω1 = ω11, ..., ω16 ir
Ω2 = ω21, ..., ω26 (Dekarto) sandauga Ω = Ω1 × Ω2. Imkime visu‘aibes Ω
poaibiu‘
sistema‘. Tie poaibiai bus i
‘vykiai. Pareikalave
‘, kad kiekvienas dve-
jetas (ω1k, ω2l) butu‘
vienodai galimas, turime P (ω1k, ω2l) = 1/36. JeiAk yra i
‘vykis, kai atsivercia k akuciu
‘, metant kauliuka
‘pirma
‘karta
‘, o Bl
– i‘vykis, kai atsivercia l akuciu
‘, metant kauliuka
‘antra
‘karta
‘, tai Ak =
= (ω1k, ω21), ..., (ω1k, ω26), Bl = (ω11, ω2l), ..., (ω16, ω2l). Todel P (Ak) == 6/36 = 1/6, P (Bl) = 6/36 = 1/6. Kadangi Ak ∩ Bl = (ω1k, ω2l) irP (Ak∩Bl) = 1/36, tai i
‘vykiai Ak ir Bl yra nepriklausomi visiems k = 1, ..., 6
ir l = 1, ..., 6. Is 12.3 teoremos isplaukia, kad bet kuris i‘vykis, susije
‘s su
pirmuoju metimu, ir bet kuris i‘vykis, susije
‘s su antruoju metimu, yra nepri-
klausomi.Dabar aprasysime bendra
‘keliu
‘nepriklausomu
‘eksperimentu
‘matematini
‘modeli
‘. Tarkime, kad turime n eksperimentu
‘, kuriuos atitinka tikimybines
erdves Ω1,A1, P1, ..., Ωn,An, Pn. Tu‘eksperimentu
‘rezultatai yra elemen-
tarieji i‘vykiai (ω1, ..., ωn), ω1 ∈ Ω1, ..., ωn ∈ Ωn. Jie sudaro aibiu
‘Ω1, ...,Ωn
(Dekarto) sandauga‘Ω = Ω1 × ...× Ωn, t. y. aibe
‘baigtiniu
‘seku
‘
(ω1, ..., ωn) : ω1 ∈ Ω1, ..., ωn ∈ Ωn.
Dabar reikia isskirti sistema‘aibes Ω poaibiu
‘, kurie laikytini i
‘vykiais. Imkime
”staciakampes aibes” – sandaugas
(1) A1 × ...×An;
cia A1 ∈ A1, ..., An ∈ An. Jas vadinsime maciais staciakampiais. Jie visi busaibes Ω poaibiai; pati Ω yra viena is tokio tipo aibiu
‘. Visi matus staciakampiai
nesudaro σ algebros, netgi algebros. Taciau pagal V.1.2 teorema‘egzistuoja σ
algebra A, generuota maciu‘staciakampiu
‘. Ji paprastai zymima A1⊗ ...⊗An.
Gauname macia‘erdve
‘Ω,A, kuria
‘daznai zymime
(2) Ω1,A1 ⊗ ...⊗ Ωn,An.
Bernulio eksperimentai 53
Siu‘
apibrezimu‘
prasme sitokia. Jei erdves Ω1,A1, ...Ωn,An aprasoatskirus eksperimentus, tai (2) erdve apraso visus juos drauge. Tada, saky-sime, pirmojo eksperimento i
‘vyki
‘A1 galime nusakyti kaip i
‘vyki
‘A1 × Ω2 ×
×...× Ωn – ”cilindrine‘” aibe
‘– (2) erdveje.
Dabar reikia i‘vesti (2) erdveje tikimybini
‘mata
‘. Jei eksperimentai yra
nepriklausomi, tai kiekvieno (1) i‘vykio tikimybe turi buti lygi sandaugai
P1(A1)...Pn(An). Parodysime, kad toks tikimybinis matas egzistuoja.Sis klausimas sprendziamas labai paprastai, kai aibes Ωk yra baigtines
arba skaicios. Tarkime, kad Ωk = ω(j)k , j = 1, 2, ... ir Pk(ω(j)
k ) = p(j)k ; cia
p(j)k yra neneigami skaiciai ir ∑
j
p(j)k = 1.
I‘vykio Ak = ω(lk)
k , lk ∈ Nk tikimybe yra
Pk(Ak) =∑
lk∈Nk
p(lk)k .
Tada A = A1 ⊗ ...⊗An sudaroma is visu‘aibes Ω = Ω1 × ...× Ωn poaibiu
‘.
Kiekvienam elementariajam i‘vykiui (ω(l1)
1 , ..., ω(ln)n ) imkime P(ω(l1)
1 , ...,
ω(ln)n ) = p
(l1)1 , ..., p
(ln)n , o bet kurio i
‘vykio A = (ω(l1)
1 , ..., ω(ln)n ), l1 ∈ N1,
..., ln ∈ Nn tikimybini‘mata
‘apibrezkime lygybe
P (A) =∑
l1∈N1
...∑
ln∈Nn
p(l1)1 ...p(ln)
n .
Aisku, P (A) tenkins tikimybiu‘aksiomas; be to,
P (A) =∑
l1∈N1
p(l1)1 ...
∑ln∈Nn
p(ln)n = P1(A1)...Pn(An).
Daug sudetingiau apibrezti tikimybini‘mata
‘bendruoju atveju. Kaip tas
daroma, aprasyta V.10 skyrelyje.
14. BERNULIO EKSPERIMENTAI
Paprasciausia nepriklausomu‘eksperimentu
‘schema yra vadinamieji Bernulio
eksperimentai. Turime n nepriklausomu‘eksperimentu
‘. Atlike
‘kuri
‘nors is ju
‘,
gauname viena‘is dvieju
‘elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘ω1, ω0. Visuose eksperimentuose
jie yra tie patys ir ju‘tikimybes p ir q = 1− p taip pat yra tos pacios.
54 Tikimybes sa‘voka
1 p a v y z d y s. Metame simetriska‘moneta
‘n kartu
‘; metimai nepriklausomi.
Kiekviena‘karta
‘i‘vyks vienas is dvieju
‘i‘vykiu
‘: atvirs herbas (i
‘vykis ω1) arba skaicius
(i‘vykis ω0). Kadangi moneta yra simetriska, tai p = q = 1/2.
2 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘n kartu
‘; metimai nepriklausomi. Ste-
bime du i‘vykius: ω1 – sesiu
‘akuciu
‘atsivertima
‘ir ω0 – ne sesiu
‘akuciu
‘atsivertima
‘.
Jei kauliukas yra idealus, tai p = 1/6, q = 5/6.
Sudarysime Bernulio eksperimentu‘
matematini‘
modeli‘, remdamiesi 13
skyrelio samprotavimais. Kurio nors, sakysime k-ojo, eksperimento matema-tinis modelis yra tikimybine erdve Ωk,Ak, Pk; cia Ωk = ω1, ω0, Ak == ∅, ω1, ω0,Ωk ir Pk(ω1) = p, Pk(ω0) = q. Visu
‘n eksperimentu
‘modelis bus tikimybine erdve Ω,A, P,
Ω = Ω1 × ...× Ωn = Ωn1 , A = A1 ⊗ ...⊗An = An
1 , P = P1 × ...× Pn = Pn1 .
A bus visu‘Ω poaibiu
‘sistema. Rasime tikimybini
‘mata
‘P . Aibe Ω bus suda-
ryta is baigtiniu‘seku
‘
(1) ωε1 , ωε2 , ..., ωεn,
kuriose εk i‘gyja reiksme
‘0 arba 1. Kadangi erdve yra baigtine, tai uzteks
tikimybini‘mata
‘apibrezti tik tiems elementariesiems i
‘vykiams. Remdamiesi
13 skyrelyje isdestyta medziaga, turime imti
(2) P (ωε1 , ..., ωεn) =
n∏k=1
Pk(ωεk) = p
∑n
k=1εkqn−
∑n
k=1εk .
Kad pastaroji formule turetu‘prasme
‘, imant visas p ir εk reiksmes, susitarsime
joje 00 laikyti 1. I‘vykiu
‘sistemos A1, ...,An bus nepriklausomos.
Isspre‘sime keleta
‘uzdaviniu
‘.
1 u z d a v i n y s. Rasime tikimybe‘pn(k), kad, atlikus n Bernulio
eksperimentu‘, i
‘vykis ω1 i
‘vyks k kartu
‘(0 ≤ k ≤ n).
Reikia suskaiciuoti, kiek yra (1) elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘, kuriuose visi ε
reiksme‘1 i
‘gyja k kartu
‘. Tai gali atsitikti
(nk
)kartu
‘. Kiekvieno tokio i
‘vykio
tikimybe pagal (2) formule‘yra pkqn−k. Todel ieskomoji tikimybe
pn(k) =(n
k
)pkqn−k.
Isskleide‘dvinari
‘(px+ q)n pagal Niutono1 binomo formule
‘
(px+ q)n =n∑
k=0
(n
k
)pkqn−kxk,
1 Isaac Newton (1643–1727) – anglu‘matematikas ir fizikas.
Bernulio eksperimentai 55
matome, kad pn(k) yra xk koeficientas. Pastaroji formule yra specialus vadi-namu
‘ju
‘generuojanciu
‘funkciju
‘atvejis.
3 p a v y z d y s. Elektronine schema sudaryta is 6 grandziu‘. Per menesi
‘kiekviena is grandziu
‘, nepriklausomai nuo kitu
‘, gali sugesti su tikimybe p = 0, 1.
Schema veikia normaliai, jei sugedusiu‘
grandziu‘
yra ne daugiau kaip dvi. Reikiarasti tikimybe
‘, kad schema veiks normaliai visa
‘menesi
‘.
Turime Bernulio eksperimentus su n = 6, p = 0, 1; q = 0, 9. Tikimybe, kadnesuges ne viena grandis, yra
p6(0) =
(6
0
)p0q6,
kad suges viena grandis –
p6(1) =
(6
1
)pq5,
kad suges dvi grandys –
p6(2) =
(6
2
)p2q4.
Ieskomoji tikimybe
p6(0) + p6(1) + p6(2) = 0, 96 + 6 · 0, 1 · 0, 95 + 15 · 0, 12 · 0, 94 = 0, 984...
2 u z d a v i n y s. Tikimybe pn(k) yra p, n ir k funkcija. Fiksuokime pir n. Kaip tada kinta pn(k), kintant k? Mums rupi rasti tas k reiksmes, ku-rioms pn(k) yra didziausia. Jos vadinamos tiketiniausiomis i
‘vykiu
‘ω1 skaiciaus
reiksmemis.Tarkime, kad 0 < p < 1. Nagrinekime santyki
‘(k = 0, 1, ..., n− 1)
pn(k + 1)pn(k)
=
(n
k+1
)pk+1qn−k−1(
nk
)pkqn−k
=(n− k)p(k + 1)q
.
Is cia matome, kad pn(k+1) yra didesne uz pn(k), jai lygi arba uz ja‘mazesne
tada ir tik tada, kai atitinkamai skaicius (n − k)p yra didesnis uz (k + 1)q,jam lygus arba uz ji
‘mazesnis, t. y. k mazesnis uz np− q = (n+ 1)p− 1, jam
lygus arba uz ji‘didesnis.
Skirsime du atvejus.a) (n+1)p yra sveikasis skaicius. Tikimybe pn(k) i
‘gyja didziausia
‘reiksme
‘,
kai k lygus (n+ 1)p− 1 ir (n+ 1)p. Iki tol ji dideja, po to – mazeja.b) (n+1)p nera sveikasis skaicius. Tikimybe pn(k) i
‘gyja didziausia
‘reiks-
me‘, kai k yra skaiciaus (n + 1)p sveikoji dalis [(n + 1)p]. Iki tol ji dideja, o
toliau – mazeja.Jei p = 0, tai pn(0) = 1, ir pn(k) = 0, kai k = 1, ..., n.Jei p = 1, tai pn(n) = 1, ir pn(k) = 0, kai k = 0, ..., n− 1.
56 Tikimybes sa‘voka
Pazymeje‘k0 tiketiniausia
‘reiksme
‘, gauname, kad k0/n = p + r/n; cia
−1 < r < 2. Vadinasi, ”tiketiniausia” statistinio daznio reiksme, esant pa-kankamai dideliems n, kiek norima mazai skiriasi nuo tikimybes p.
4 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘50 kartu
‘; metimai nepriklausomi.
Kokia tiketiniausia sesiu‘akuciu
‘atvirtimo reiksme?
Kauliuko metimus jau nagrinejome 2 pavyzdyje. Skaicius (50 + 1) · 1/6 nerasveikasis. Jo sveikoji dalis lygi 8. Tai ir yra tiketiniausia reiksme. 8 kartus sesiosakutes atsivercia su tikimybe(
50
8
)(1
6
)8(5
6
)42
= 0, 151...
Kaip matome, ji nedaug skiriasi nuo 1/6.Norint rasti sios tikimybes skaitine
‘reiksme
‘, tiesiog skaiciuojant binomini
‘koe-
ficienta‘, dauginant bei dalijant reikiamus skaicius, kad ir po atitinkamu
‘suprasti-
nimu‘, reiketu
‘sugaisti nemazai laiko. Tiesa, galima naudotis binominiu
‘koeficientu
‘bei logaritmu
‘lentelemis. Tada uzdavinys zymiai suprasteja. Taciau binominiu
‘koe-
ficientu‘
(nk
)lenteles yra sudarytos tik nedideliems n ir k. Kai n ir k dideli, reikia
naudotis 6 skyrelyje pateikta Stirlingo formule.
15. TIKIMYBES pn(k) ASIMPTOTIKA
Analizuodami 14 skyrelio 4 pavyzdi‘, mateme, kad apskaiciuoti tikimybe
‘pn(k), kai n ir k dideli, yra nelengva. Jau sakeme, kad tada galima nau-dotis Stirlingo formule. Skaiciavimu
‘suprastinimui pravartu tureti gatavas
formules. Pameginsime jas gauti.Parasysime Stirlingo formule
‘sitaip:
lnn! =(n+
12
)lnn− n+
12
ln 2π + %(n);
cia 1/(12n+ 1) < %(n) < 1/(12n).Mums reikes dar ir kitokiu
‘i‘verciu
‘. Toliau visur θ reiks skaiciu
‘, ne visada
ta‘pati
‘, bet aprezta
‘moduliu 1: |θ| ≤ 1.
1 lema. Jei |x| ≤ 1/2, tai
| ln(1 + x)| ≤ 2|x|,
(1 + x) ln(1 + x) = x+12x2 +
13θ|x|3.
I‘r o d y m a s. Is Makloreno1 formules
1 Colin Maclaurin (1698–1746) – skotu‘matematikas.
Tikimybes pn(k) asimptotika 57
ln(1 + x) = ln 1 +x
1 + θx.
Is cia gauname pirma‘ja
‘lemos nelygybe
‘.
Pazymeje‘ψ(x) = (1 + x) ln(1 + x) ir pastebeje
‘, kad
ψ′(x) = 1 + ln(1 + x), ψ(j)(x) =(−1)j(j − 2)!(1 + x)j−1
(j = 2, 3, ...),
is Makloreno formules gauname
ψ(x) = x+12x2 +R;
cia
R =∞∑
j=3
(−x)j
j(j − 1).
Kadangi |x| ≤ 1/2, tai
|R| ≤ |x|3
6
∞∑j=0
(12
)j
=13|x|3. ut
1 (Muavro1–Laplaso lokalioji) teorema. Jei a, b, p yra fiksuotiskaiciai,
Bn =√npq, t =
k − np
Bn,
taiBn
√2πpn(k) = e−t2/2(1 + rn);
cia rn → 0, kai n→∞, tolygiai visiems k su sa‘lyga a ≤ t ≤ b.
I‘r o d y m a s. I
‘rodysime kiek daugiau: i
‘vertinsime liekama
‘ji‘nari
‘rn. Be
to, nereikalausime, kad p butu‘fiksuotas.
Pazymekime
δ =k
n− p, sn = k − np = nδ
ir tarkime, kad tenkinama sa‘lyga
|δ| ≤ 12
min(p, q).
Si sa‘lyga bendresne uz reikalavima
‘, kad t = δ
√n/√pq butu
‘tarp dvieju
‘fik-
suotu‘skaiciu
‘, kai p yra fiksuotas.
1 Minima‘
teorema‘, kai p yra bet kuris fiksuotas, i
‘rode Laplasas. Atvejis, kai
p = 1/2, buvo zinomas Muavrui.
58 Tikimybes sa‘voka
Atkreipsime demesi‘, kad
(1)k = n(p− δ) = np
(1− δ
p
)≥ 1
2np,
n− k = nq(1 +
δ
p
)≥ 1
2nq.
Sulogaritmave‘lygybes
pn(k) =n!
k!(n− k)!pkqn−k
abi puses, pritaike‘
Stirlingo formule‘
ir atlike‘
elementarius prastinimus,gauname
ln pn(k) =(n+
12
)lnn−
(k +
12
)ln k −
(n− k +
12
)ln(n− k)−
− 12
ln 2π + klnp+ (n− k) ln q + %1;
cia|%1| = |%(n)− %(k)− %(n− k)| < 1
12k+
112(n− k)
≤
≤ 16np
+1
6nq=
16npq
=16B−2
n .
Skaicius k ir n− k po logaritmo zenklu pakeiciame (1) reiskiniais. Sugru-puojame narius su lnn, ln p, ln q. Gauname
ln pn(k) = −12
ln 2π − lnBn −(k +
12
)ln
(1− δ
p
)−
−(n− k +
12
)ln
(1 +
δ
q
)+ %1.
Remdamiesi 1 lema, randame i‘vercius∣∣∣1
2ln
(1− δ
p
)+
12
ln(1 +
δ
q
)∣∣∣ ≤ |δ|p
+|δ|q
=|δ|pq
=|sn|B2
n
irk ln
(1− δ
p
)+ (n− k) ln
(1 +
δ
q
)=
= np(1− δ
p
)ln
(1− δ
p
)+ nq
(1 +
δ
q
)ln
(1 +
δ
q
)=
= np(−δp
+δ2
2p2+
13θ|δ|3
p3
)+ nq
(δq
+δ2
2q2+
13θ|δ|3
q3
)=
=δ2
2npq+θ |δ|3(p2 + q2)n
3p2q2=t2
2+θ |sn|3
3B4n
,
Tikimybes pn(k) asimptotika 59
nesp2 + (1− p2) = 1− 2pq < 1.
Todelln pn(k) = −1
2ln 2π − lnBn −
t2
2+ %2;
cia|%2| ≤
|sn|+ 1/6B2
n
+|sn|3
3B4n
.
Vadinasi, turime asimptotine‘formule
‘
Bn
√2πpn(k) = e−t2/2(1 + rn),
kurioje
(2) 1 + rn = expθ( |sn|+ 1/6
B2n
+|sn|3
3B4n
).
Jei t = sn/Bn yra tarp dvieju‘
fiksuotu‘
skaiciu‘, tai (2) i
‘vercio desines
puses rodiklis konverguoja i‘nuli
‘, kai n → ∞. Jis konverguoja i
‘nuli
‘net ta-
da, kai sn = o(B4/3n ), t. y. t = o(B1/3
n ). Jei p yra fiksuotas skaicius, tai jiskonverguoja i
‘nuli
‘, kai sn = o(n2/3), t = o(n1/6). ut
Muavro–Laplaso lokalioji teorema taikoma apytiksliam tikimybes pn(k)skaiciavimui. Manoma, kad
(3) pn(k) ≈ 1√npq
ϕ(t);
ciaϕ(t) =
1√2πe−t2/2.
Pastaroji funkcija yra tabuliuota. Jos grafikas pavaizduotas 10 paveiksle.
10 pav.Naudojantis (3) formule, gaunami geri rezultatai, kai p nera labai artimas
0 ar 1, o n – pakankamai didelis. Neblogi rezultatai gaunami ir kai n nedide-li. Pailiustruosime tai pavyzdziu. 11 paveiksle laiptuota kreive pavaizduotostikimybes p10(k), kai p = 0, 2, o tolydi kreive yra funkcijos
60 Tikimybes sa‘voka
1√10 · 0, 2 · 0, 8
ϕ( x− 10 · 0, 2√
10 · 0, 2 · 0, 8
)grafikas.
-90.png 11 pav.
(2) formule leidzia i‘vertinti paklaida
‘, kuria
‘padarome, skaiciuodami pn(k)
pagal (3) formule‘.
1 p a v y z d y s. Elektronineje schemoje yra 400 vienodu‘elementu
‘. Per metus
kiekvienas is ju‘gali sugesti su tikimybe 0,2. Kokia tikimybe, kad per metus suges
80 elementu‘?
Taikysime lokalia‘ja
‘Muavro–Laplaso teorema
‘, kai n = 400, k = 80, p =
= 0, 2; q = 0, 8. Gauname Bn = 8, t = 0. Pagal (3) formule‘
p400(80) ≈ 1
8ϕ(0) =
1
8√
2π= 0, 04986...
I‘vertinsime paklaida
‘. Kadangi sn = 0, tai 1 + rn = exp(θ/384), vadinasi,
1
8ϕ(0)e−1/384 ≤ p400(80) ≤ 1
8ϕ(0)e1/384.
Gauname0, 04973 < p400(80) < 0, 05.
Absoliucioji paklaida mazesne uz 0,00014, o santykine mazesne uz 0,29%.Neretai tenka skaiciuoti tikimybe
‘, kad Bernulio eksperimentu
‘schemoje
i‘vykis ω1 i
‘vyks ne maziau kaip α ir ne daugiau kaip β kartu
‘. Tam tikslui
reikia apskaiciuoti suma‘ ∑
α≤k≤β
pn(k).
Jei parametru‘n, α ir β reiksmes dideles, tai ir lokalioji Muavro–Laplaso teore-
ma mazai naudinga. Rasime kita‘apytiksle
‘formule
‘.
2 lema. |ex − 1| ≤ |x| e|x|.I‘r o d y m a s. Isskleide
‘ex eilute, gauname
|ex − 1| ≤∞∑
j=1
|x|j
j!≤ |x|
∞∑j=1
|x|j−1
(j − 1)!= |x|e|x|. ut
3 lema.∫ ∞
−∞e−u2/2du =
√2π.
I‘r o d y m a s. Pazymekime si
‘integrala
‘raide I. Turesime
Tikimybes pn(k) asimptotika 61
I2 =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞e−(u2+v2)/2dudv.
Pakeiskime integravimo kintamuosius u = R cosϕ, v = R sinϕ. Kadangijakobianas ∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂R∂u
∂ϕ
∂v
∂R∂v
∂ϕ
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ cosϕ−R sinϕ
sinϕR cosϕ
∣∣∣∣ = R,
tai
I2 =∫ ∞
0
∫ 2π
0
Re−R2/2dRdϕ = −2π∫ ∞
0
e−R2/2d(−R2/2) =
= −2πe−R2/2∣∣∣∞0
= 2π. ut
2 (Muavro–Laplaso integraline) teorema. Tarkime, kad Xn yra i‘vy-
kiu‘ω1 skaicius Bernulio schemoje,atlikus n eksperimentu
‘,
Yn =Xn − np√npq
,
a < b – bet kokie skaiciai, p – fiksuotas, 0 < p < 1. Tada
P (a ≤ Yn ≤ b) =1√2π
∫ b
a
e−u2/2du+Rn,
o Rn → 0, kai n→∞, tolygiai a ir b atzvilgiu.I‘r o d y m a s. Kaip ir i
‘rodinedami lokalia
‘ja
‘teorema
‘, ne tik parodysime,
kad Rn konverguoja i‘nuli
‘, bet ir rasime gana tikslu
‘jo i
‘verti
‘. Be to, nereika-
lausime, kad p butu‘fiksuotas, o tik kad butu
‘0 < p < 1. Tarkime, kad α ir β
yra sveikieji skaiciai, α < β,
a =α− np
Bn, b =
β − np
Bn, Bn =
√npq.
Pazymekime c = max(|a|, |b|),
(4) r =c(c2 + 3)
3Bn+
16B2
n
.
Reikia i‘vertinti suma
‘
P (a ≤ Yn ≤ b) =∑
α≤k≤β
pn(k).
62 Tikimybes sa‘voka
Padarysime prielaida‘, kad Bn ≥ 2, r ≤ 1/2. Tada is (4) ir sios prielaidos
isplaukia c ≤ Bn/2. Todel
|δ| =∣∣∣kn− p
∣∣∣ ≤ cBn
n≤ B2
n
2n=
12pq <
12
min(p, q).
Vadinasi, pn(k) i‘verciams galesime taikyti (2) formule
‘. Gausime
P (a ≤ Yn ≤ b) = B−1n
∑α≤k≤β
ϕ(t)eθv;
cia
t =k − np
Bn, v =
|sn|+ 1/6B2
n
+|sn|3
3B4n
.
Kadangi
v ≤ cBn + 1/6B2
n
+c3B3
n
3B4n
= r,
tai pagal 2 lema‘
|eθv − 1| ≤ re1/2 ≤ 2r.
Vadinasi,P (a ≤ Yn ≤ b) = B−1
n
∑α≤k≤β
ϕ(t)(1 + 2θr).
Pakeisime suma‘
integralu. Imant bet kuria‘
diferencijuojama‘
funkcija‘
ϕ(x), is Teiloro1 formules isplaukia∫ x+h
x
ϕ(u)du = hϕ(x) +12h2ϕ′(x+ θh).
Funkcijai ϕ(x) = 2π−1/2 exp(−x2/2) turime: ϕ′(x) = −xϕ(x). Laikysime hteigiamu. Tada
ϕ(x+ θh) =1√2π
exp(−1
2(x+ θh)2
)≤
≤ minx≤u≤x+h
ϕ(u) exp(|hx|+ 1
2h2x2
)≤
≤ 1h
∫ x+h
x
ϕ(u)du · exp(|hx|+ 1
2h2x2
).
Todel
1 Brook Taylor (1685–1731) – anglu‘matematikas.
Tikimybes pn(k) asimptotika 63
hϕ(x) =∫ x+h
x
ϕ(u)du+12h2(x+ θh)ϕ(x+ θh) =
=∫ x+h
x
ϕ(u)du
1 +θ
2h(x+ h) exp
(|hx|+ 1
2h2x2
).
Kai h = B−1n ,
|hx|+ 12h2x2 ≤ c
Bn+
c2
2B2n
<12
+18,
nes c ≤ Bn/2. Kadangi exp(5/8) < 2, tai
hϕ(x) =∫ x+h
x
ϕ(u)du(1 + θch).
Vadinasi,
(5) P (a ≤ Yn ≤ b) =∫ b
a
ϕ(u)du(1 + 2θr)(1 +
θc
Bn
).
Tai ir yra ieskomoji formule.Is jos tiesiog isplaukia teoremos teiginys, kai a ir b yra fiksuoti. Tiesa,
buvome padare‘prielaida
‘, kad α ir β yra sveikieji skaiciai. Cia jos galima at-
sisakyti, nes, pakeitus integravimo intervala‘dydziu B−1
n , gauname paklaida‘,
konverguojancia‘i‘nuli
‘, kai n→∞. I
‘rodysime, kad teorema teisinga ir esant
bet kokiems a, b.Is 3 lemos isplaukia, kad, koks bebutu
‘ε > 0, galima rasti a0 = a0(ε) su
sa‘lyga
(6)∫ a0
−a0
ϕ(u)du > 1− ε
4.
Pagal (5) galime rasti toki‘n0 = n0(ε), kad butu
‘
(7)∣∣∣P (a ≤ Yn ≤ b)−
∫ b
a
ϕ(u)du∣∣∣ < ε
4,
kai −a0 ≤ a < b ≤ a0 ir n ≥ n0.Toliau nagrinesime atveji
‘a < −a0 < a0 < b. Kiti atvejai (a < −a0 < b ≤
≤ a0,−a0 ≤ a < a0 < b) tiriami analogiskai. Pasinaudoje‘lygybemis
P (a ≤ Yn ≤ b) = P (a ≤ Yn < −a0) + P (−a0 ≤ Yn ≤ a0) + P (a0 < Yn ≤ b),∫ b
a
ϕ(u)du =∫ −a0
a
ϕ(u)du+∫ a0
−a0
ϕ(u)du+∫ b
a0
ϕ(u)du,
is (6) ir (7) nelygybiu‘gauname
64 Tikimybes sa‘voka∣∣∣P (a ≤ Yn ≤ b)−
∫ b
a
ϕ(u)du∣∣∣ ≤ ∣∣∣P (a ≤ Yn < −a0)−
∫ a0
a
ϕ(u)du∣∣∣+
+∣∣∣P (−a0 ≤ Yn ≤ a0)−
∫ a0
−a0
ϕ(u)du∣∣∣ +
∣∣∣P (a0 < Yn ≤ b)−∫ b
a0
ϕ(u)du∣∣∣ <
< P (Yn < −a0) +∫ −a0
−∞ϕ(u)du+
ε
4+ P (Yn > a0) +
∫ ∞
a0
ϕ(u)du =
= P (|Yn| > a0) +∫|u|>a0
ϕ(u)du+ε
4=
= 1−[P (|Yn| ≤ a0)−
∫ a0
−a0
ϕ(u)du]−
∫ a0
−a0
ϕ(u)du+∫|u|>a0
ϕ(u)du+
+ε
4< 2
∫|u|>a0
ϕ(u)du+ε
4+ε
4< ε. ut
Skaiciavimams naudojama apytiksle formule
(8) P (a ≤ Yn ≤ b) ≈ Φ(b)− Φ(a);
ciaΦ(x) =
1√2π
∫ x
−∞e−u2/2du.
Paklaida‘galima i
‘vertinti pagal (5) formule
‘– beje, grubokai. Sis i
‘vertinimas
efektyvus, kai c nedideli, o n pakankamai dideli. Skaiciavimams palengvintiyra sudarytos funkcijos Φ(x) lenteles. Kai x→ −∞, funkcija Φ(x) labai grei-tai konverguoja i
‘nuli
‘, o kai x→∞, Φ(x) konverguoja i
‘vieneta
‘. Jos grafikas
pavaizduotas 12 paveiksle.
2 p a v y z d y s. Elektronineje schemoje yra 40 000 vienodu‘
detaliu‘. Per
metus kiekviena is ju‘nepriklausomai nuo kitu
‘gali sugesti su tikimybe 0,2. Kokia
tikimybe, kad per metus suges nuo 7995 iki 8005 detaliu‘?
Cia
Bn =√
40 000 · 0, 2 · 0, 8 = 80, a =7995− 40 000 · 0, 2
80= −0, 0625, b = 0, 0625.
Pagal (8) formule‘
P (a ≤ Yn ≤ b) ≈ Φ(0, 0625)− Φ(−0, 0625).
Is lenteliu‘randame, kad P (a ≤ Yn ≤ b) ≈ 0, 0498.
I‘vertinsime paklaida
‘.
2r = 2 · 0, 0625(0, 0625−2 + 3)
3 · 80+
1
6 · 802= 0, 00159...
c
Bn=
0, 0625
80= 0, 00078...
Tikimybes pn(k) asimptotika 65
Is (5) formules gauname, kad
0, 0498− 0, 00012 < P (a ≤ Yn ≤ b) < 0, 0498 + 0, 00012.
Atkreipsime demesi‘, kad, naudojantis integraline Muavro–Laplaso formu-
le, ne visada gaunami pakankamai tikslus rezultatai. Yra tikslesniu‘artutiniu
‘formuliu
‘(zr., pvz., [2], 105–107 p.).
12 pav.
Is integralines Muavro–Laplaso teoremos isplaukia i‘domi isvada. Tarki-
me, kad turime Bernulio eksperimentu‘schema
‘. Pazymekime Xn i
‘vykiu
‘ω1
skaiciu‘, atlikus n eksperimentu
‘. Tada Xn/n yra to i
‘vykio statistinis daznis.
Nagrinesime i‘vyki
‘, kai statistinis daznis nukrypsta nuo tikimybes p dydziu,
ne didesniu uz ε: ∣∣∣Xn
n− p
∣∣∣ ≤ ε.
Tos nelygybes tikimybe
P
(∣∣∣Xn
n− p
∣∣∣ ≤ ε
)= P
−ε
√n
pq≤ Yn ≤ ε
√n
pq
.
Pagal 2 teorema‘
P
(∣∣∣Xn
n− p
∣∣∣ ≤ ε
)→ 1√
2π
∫ ∞
−∞e−u2/2du = 1,
kai n→∞. Sis teiginys paprastai vadinamas Bernulio teorema. Tai yra vadi-namojo didziu
‘ju
‘skaiciu
‘desnio konkretus atvejis. Muavro–Laplaso teoremos
yra taip pat konkretus daug bendresniu‘
tikimybiu‘
teorijos desniu‘
atvejai.Apie juos kalbesime III skyriuje. Ten pateiksime ir kitus cia nagrinetu
‘teore-
mu‘i‘rodymus.
66 Tikimybes sa‘voka
Remiantis Muavro–Laplaso teoremomis, gaunami gana geri atitinkamu‘
tikimybiu‘i‘verciai, kai npq yra didelis. Jei p yra fiksuotas, si sandauga dideja
kartu su n. Taciau, kai vienas is skaiciu‘p, q yra mazas, n turi buti gana
didelis, kad butu‘galima taikyti tas teoremas. Ieskosime kitokios apytiksles
formules, geriau atitinkancios tikimybei pn(k) i‘vertinti, kai p mazi.
4 lema. Jei 0 ≤ x ≤ 1/4, tai
−119x ≤ ln(1− x) ≤ −x,
ln(1− x) ≥ −x− 89x2.
I‘r o d y m a s. Is Makloreno formules gauname
ln(1− x) = −x− x2
2(1− θx)2.
Atmete‘
desines puses antra‘ji‘
nari‘, reiskini
‘tik padidinsime. I
‘vertinsime is
apacios
ln(1− x) ≥ −x(1 +
x
2(1− x)2)≥ −x
(1 +
1/42(1− 1/4)2
)= −11
9x.
Antra‘ji‘i‘vertinima
‘gauname analogiskai:
ln(1− x) + x ≥ x2
2(1− x)2≥ −8
9x2. ut
3 teorema. Pazymekime µ = np. Jei p ≤ 1/4, k − 1 ≤ n/4, tai
pn(k) =µk
k!e−µ+η(k);
cia
(9)18kµ− 11k(k − 1)− 12µ2
18n≤ η(k) ≤ 2kµ− k(k − 1)
2n.
I‘r o d y m a s. Kai k ≥ 2, pn(k) israiska
‘perrasome sitaip:
pn(k) =n(n− 1)...(n− k + 1)
k!pkqn−k =
(pn)k
k!epn+η(k);
ciaeη(k) =
(1− 1
n
)· · ·
(1− k − 1
n
)(1− p)n−kepn .
Tikimybes pn(k) asimptotika 67
Logaritmuojame
η(k) =k−1∑j=1
ln(1− j
n
)+ (n− k) ln(1− p) + pn.
Remdamiesi 4 lema, i‘vertinsime si
‘reiskini
‘is virsaus ir is apacios:
η(k) ≤k−1∑j=1
j
n− (n− k)p+ pn = −k(k − 1)
2n+ kp,
η(k) ≥ −119
k−1∑j=1
j
n− (n− k)
(p+
89p2
)+ pn = −11k(k − 1)
18n+ kp− 2
3np2.
Nesunku patikrinti, kad formule yra teisinga ir tada, kai k = 0, 1. utGavome apytiksle
‘formule
‘
(10) pn(k) ≈ µk
k!e−µ
visai kito tipo negu lokalioji Muavro–Laplaso formule. (9) i‘vertinima
‘galima
dar patikslinti.
3 p a v y z d y s. Saudoma i‘tolima
‘taikini
‘. Zinoma, kad tikimybe pataikyti
vienu suviu yra 0,001. Rasime tikimybe‘4 kartus pataikyti i
‘taikini
‘is 5000 suviu
‘,
manydami, kad suviai yra nepriklausomi.Taikysime (10) formule
‘. Siuo atveju n = 5000, p = 0, 001, µ = 5, k = 4.
Gausime
pn(4) ≈ 54
4!e−5 = 0, 1754...
I‘vertinsime paklaida
‘. Turime
η(4) ≤ 2 · 4 · 5− 4 · 3104
= 0, 0028,
η(4) ≥ 18 · 4 · 5− 11 · 4 · 3− 12 · 52
9 · 104= −0, 0008.
Gauname54
4!e−5−0,0008 ≤ pn(4) ≤ 54
4!e−5+0,0028,
arba0, 17532 < pn(4) < 0, 17597.
Paklaida mazesne uz 0,0006.
Tarkime, jog turime ne viena‘Bernulio eksperimentu
‘serija
‘, o tokiu
‘seriju
‘seka
‘. Sakykime, kad n-ojoje serijoje turime n Bernulio eksperimentu
‘, kiek-
vieno ju‘baigtis yra ω1 arba ω0 su atitinkamomis tikimybemis pn ir 1 − pn.
68 Tikimybes sa‘voka
Tada yra teisinga vadinamoji Puasono teorema, kuri apraso tikimybes pn(k)asimptotika
‘, kai pn gana greitai mazeja, n neapreztai didejant.
4 (Puasono) teorema. Jei npn → λ > 0, tai kiekvienam k
pn(k) → λk
k!e−λ.
I‘r o d y m a s. 3 teoremos dydis η(k), kaip matyti is (9) formules, kon-
verguoja i‘nuli
‘, kai pn → 0. ut
P a s t a b a. Jei pn = λ/n, tai 4 teoremos i‘rodymas yra visai paprastas.
Formuleje
pn(k) =n(n− 1)...(n− k + 1)
k!pk
n(1− pn)n−k
vietoje pn i‘rasykime λ/n ir ja
‘pertvarkykime
pn(k) =λk
k!
(1− 1
n
)· · ·
(1− k − 1
n
)(1− λ
n
)n(1− λ
n
)−k
.
Kadangi k yra fiksuotas, o (1− λ/n)n → e−λ, kai n→∞, tai gauname
pn(k) → λk
k!e−λ.
16. APIBENDRINTOJI BERNULIOEKSPERIMENTU
‘SCHEMA
Praktikos uzdaviniams spre‘sti naudingas kiek bendresnis uz isnagrineta
‘ji‘
nepriklausomu‘eksperimentu
‘modelis. Tarkime, kad vel atliekama n nepriklau-
somu‘eksperimentu
‘ir per kiekviena
‘is ju
‘gali i
‘vykti s tu
‘paciu
‘elementriu
‘ju
‘i‘vykiu
‘ω1, ..., ωs ir su tomis paciomis tikimybemis p1, ..., ps (p1 + ...+ps = 1).
Kai s = 2, turime Bernulio eksperimentus. Todel si‘
modeli‘
galime vadintiapibendrinta
‘ja Bernulio schema.
1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘n kartu
‘. Manome, kad metimai
yra nepriklausomi. Kiekviena‘karta
‘gali atvirsti 1, 2, ..., 6 akutes. Jei kauliukas si-
metriskas, kiekvieno is tu‘i‘vykiu
‘tikimybe yra 1/6. Turime apibendrinta
‘ja
‘Bernulio
eksperimentu‘schema
‘.
Sudarant tos schemos matematini‘modeli
‘, teks tik apibendrinti 14 skyrelio
samprotavimus.Pazymekime Ωk,Ak, Pk (1 ≤ k ≤ s) tikimybine
‘erdve
‘, atitinkancia
‘k-a
‘ji‘eksperimenta
‘. Cia Ωk = ω1, ..., ωs. Algebra Ak yra aibes Ωk visu
‘po-
aibiu‘
sistema. Jei A = ωj1 , ..., ωjl, tai Pk(A) = pj1 + ... + pjl
. Pagal 13
Apibendrintoji Bernulio eksperimentu‘schema 69
skyreli‘visu
‘n nepriklausomu
‘eksperimentu
‘matematinis modelis yra tikimy-
bine erdve Ω,A, P; cia
Ω = Ωn1 = Ω1 × ...× Ωn = (ω1r1 , ..., ωnrn), ω1r1 ∈ Ω1, ..., ωnrn ∈ Ωn;
A – visu‘Ω poaibiu
‘sistema; tikimybini
‘mata
‘aprasome lygybemis
P (ω1r1 , ..., ωnrn) = pk1
1 ...pkss ,
kai tarp ω1r1 , ..., ωnrni‘vykis ω1 pasikartoja k1 kartu
‘ir t. t., ωs pasikartoja
ks kartu‘. Sios lygybes vienareiksmiskai apibrezia P (A) visoms A ∈ A, be to,
i‘vykiu
‘sistemos A1, ...,An yra nepriklausomos.
Rasime formule‘apskaiciuoti tikimybei p(k1, k2, ..., ks), kad, atlikus n eks-
perimentu‘, i
‘vykis ω1 i
‘vyks k1 kartu
‘, i
‘vykis ω2 – k2 kartu
‘ir t. t., i
‘vykis ωs
i‘vyks ks kartu
‘; k1 + k2 + ...+ ks = n. Atkreipsime demesi
‘, kad elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘ω1r1 , ..., ωsrs, kuriuose ω1 pasikartoja k1 kartu
‘, ω2 – k2 kartu
‘ir t. t.,
ωs pasikartoja ks kartu‘, skaicius (keliniai su pasikartojimais!) yra
n!k1!k2!...ks!
,
o kiekvieno ju‘tikimybe lygi pk1
1 , pk22 ...p
kss . Todel
(1) p(k1, k2, ..., ks) =n!
k1!k2!...ks!pk11 , p
k22 ...p
kss .
Isskleide‘reiskini
‘(p1x1+p2x2+...+psxs)n pagal multinomo taisykle
‘, gauname
(p1x1 + p2x2 + ...+ psxs)n =∑
k1+k2+...+ks=n
n!k1!k2!...ks!
×
× pk11 p
k22 ...p
kss x
k11 x
k22 ...x
kss .
Matome, kad p(k1, k2, ..., ks) yra xk11 x
k22 ...x
kss koeficientas. Ir si formule yra
konkretus generuojanciu‘funkciju
‘atvejis.
2 p a v y z d y s. Fabrikas gamina detales. Jos arba atitinka standartus, arbayra per ilgos, arba per trumpos. Tikimybe, kad detale bus per ilga, lygi 0,01, kadbus per trumpa, – 0,03. Atsitiktinai parenkama 100 detaliu
‘. Kokia tikimybe, kad
tarp ju‘bus 2 per ilgos, 3 per trumpos, o visos kitos standartines?
Pagal gauta‘ja
‘formule
‘
p(2, 3, 95) =100!
2!3!95!· 0, 012 · 0, 033 · 0, 9695 = 0, 0420...
70 Tikimybes sa‘voka
Taikant (1) formule‘, faktorialus galime skaiciuoti pagal apytiksle
‘Stirlingo
formule‘. Yra i
‘rodytos apibendrintos lokalioji ir integraline Muavro–Laplaso
teoremos. Mes jas tik suformuluosime.
1 teorema. Tarkime, kad 0 < pj < 1 (j = 1, ..., s),
tj =kj − npj√npj(1− pj)
.
Tada(2π)(s−1)/2(p1...ps)1/2p(k1, ..., ks) =
= exp−1
2
s∑j=1
(1− pj)t2j
(1 + rn);
cia rn → 0, kai n → ∞, tolygiai k1, k2, ..., ks atzvilgiu, jei aj ≤ tj ≤ bj (j == 1, ..., s) ir aj , bj yra fiksuoti skaiciai.
2 teorema. Tarkime, kad Xnj (j = 1, ..., s) yra i‘vykiu
‘ωj skaicius
apibendrintoje Bernulio schemoje, atlikus n eksperimentu‘, 0 < pj < 1 ir
aj < bj (j = 1, ..., s) – fiksuoti skaiciai, qj = 1− pj,
Ynj =Xnj − npj√
npjqj.
Tada
P (a1 ≤ Yn1 ≤ b1, ..., as ≤ Yns≤ bs) →
√q1...qs
(2π)s−1(p1q1 + ...+ psqs)×
×∫ b1
a1
...
∫ bs
as
exp(−1
2
s∑j=1
qju2j
)du1...dus,
kai n→∞, tolygiai aj ir bj atzvilgiu.
II skyrius. ATSITIKTINIAI DYDZIAI
1. ATSITIKTINIO DYDZIO SA‘VOKA
Atsitiktinio i‘vykio, tikimybes ir atsitiktinio dydzio sa
‘vokos yra svarbiausios
tikimybiu‘
teorijoje. Sakome, kad dydis yra atsitiktinis, jei jo reiksmes pri-klauso nuo atsitiktinio eksperimento rezultatu
‘. Tiksliau kalbant, atsitiktinis
dydis yra elementariu‘ju
‘i‘vykiu
‘funkcija. Paaiskinsime sia
‘sa
‘voka
‘pavyzdziais.
1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. Atsivercia viena jo sienele, pazymeta
kuriuo nors akuciu‘skaiciumi. Akuciu
‘skaicius yra atsitiktinis dydis.
2 p a v y z d y s. Pirkome pinigines loterijos bilieta‘. Suma pinigu
‘, kuria
‘bilietas
islos eiliniame tiraze, yra atsitiktinis dydis.
3 p a v y z d y s. Is kosmoso i‘Zemes pavirsiu
‘krinta i
‘vairios daleles. Skaicius
daleliu‘, patenkanciu
‘i‘apibrezta
‘Zemes pavirsiaus plota
‘per apibrezta
‘laiko tarpa
‘,
yra atsitiktinis dydis.
4 p a v y z d y s. Skaicius radioaktyviosios medziagos atomu‘, suskylanciu
‘per
apibrezta‘laiko tarpa
‘, yra atsitiktinis dydis.
5 p a v y z d y s. Matuojame atstuma‘tarp dvieju
‘Zemes pavirsiaus tasku
‘.
Matavimo prietaisus veikia daugybe atsitiktiniu‘faktoriu
‘: temperaturos svyravimai,
virpesiai, vejas ir t. t. Matavimo rezultatas yra atsitiktinis dydis.
Norint nusakyti atsitiktini‘
dydi‘, reikia zinoti jo reiksmes. Bet to nepa-
kanka – dar reikia apibudinti, kaip daznai tos reiksmes i‘gyjamos.
1 pavyzdyje atsitiktinis dydis i‘gyja reiksmes 1, 2, ..., 6. Kiekviena
‘tu
‘reiksmiu
‘jis i
‘gyja su tikimybe 1/6. Panasiai galime apibudinti ir 2, 3, 4
pavyzdziu‘atsitiktinius dydzius. Apskritai, jei atsitiktinis dydis i
‘gyja baigtine
‘arba skaicia
‘aibe
‘reiksmiu
‘, tai, norint ji
‘apibudinti, pakanka nurodyti tas
reiksmes ir ju‘tikimybes. Taciau 5 pavyzdzio atsitiktini
‘dydi
‘taip apibudinti
sunku. Jo reiksmiu‘aibe (bent is principo) gali buti neskaiti. Siuo atveju ga-
lime nusakyti tikimybes, su kuriomis tos reiksmes priklauso kurio nors tiposkaiciu
‘aibems (pavyzdziui, intervalams). Pastarasis budas yra bendresnis.
Jis tinka ir kitu‘pavyzdziu
‘atsitiktiniams dydziams.
Dabar atsitiktinius dydzius apibresime matematiskai. Kaip jau minejomepradzioje ir mateme is pavyzdziu
‘, atsitiktiniai dydziai yra elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘funkcijos, i
‘gyjancios realia
‘sias reiksmes. Taciau ne kiekviena funkcija
mums tinka. Reikia, kad ji turetu‘pakankamai geras analizines savybes. Tu
‘funkciju
‘klase turetu
‘buti uzdara aritmetiniu
‘operaciju
‘ir perejimo prie ribos
operacijos atzvilgiu. Minetas sa‘lygas tenkina vadinamosios macios funkcijos.
72 Atsitiktiniai dydziai
Tarkime, jog turime tikimybine‘
erdve‘Ω,A, P. Kiekviena A mati
funkcija X : Ω → R yra vadinama atsitiktiniu dydziu. Kitais zodziais, atsitik-tinis dydis X yra funkcija, apibrezta elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibeje Ω, i
‘gyjanti
realia‘sias reiksmes ir turinti savybe
‘, kad pirmavaizdis X−1(B) ∈ A, kokia
bebutu‘Borelio1 aibe B.
Kadangi intervalu‘
sistema (−∞, x), x ∈ R, generuoja Borelio aibiu‘σ
algebra‘, tai funkcija X : Ω → R yra atsitiktinis dydis tada ir tik tada, kai
ω : X(ω) < x ∈ A, koks bebutu‘x ∈ R (zr. V.7.1 teoremos isvada
‘).
6 p a v y z d y s. Metame simetriska‘moneta
‘. Pazymekime X herbo atsivertimu
‘skaiciu
‘. Siam eksperimentui imkime tikimybine
‘erdve
‘, kurios elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibe yra Ω = ω0, ω1, atsitiktiniu
‘i‘vykiu
‘aibe – A = ∅, ω0, ω1, Ω, o tikimy-
binis matas aprasytas lygybemis P (ω0) = P (ω1) = 1/2. Dydi‘X apibrezkime
sitaip:
X(ω) =
1, kai ω = ω1,0, kai ω = ω0.
Kadangi A yra sudaryta is visu‘Ω poaibiu
‘, tai kiekviena realioji funkcija, apibrezta
aibeje Ω, taigi ir X, yra mati.
7 p a v y z d y s. Turime paprasta‘Bernulio schema
‘is n eksperimentu
‘. Atlikus
kiekviena‘eksperimenta
‘, i
‘vyksta i
‘vykis ω1 su tikimybe p arba jam priesingas i
‘vykis
ω0 su tikimybe q = 1 − p. Tarkime, kad Xn yra i‘vykiu
‘ω1 skaicius, atlikus n
eksperimentu‘. Bernulio schemos tikimybini
‘matematini
‘modeli
‘jau apraseme I.14
skyrelyje. Elementarieji i‘vykiai bus (ωε1 , ..., ωεn); cia εk i
‘gyja reiksmes 0 arba 1.
Sakysime, kad funkcija
Xn
((ωε1 , ..., ωεn)
)yra lygi ε1 + ... + εn. Ji yra mati, nes visos elementariu
‘ju
‘i‘vykiu
‘aibes yra i
‘vykiai.
Atsitiktiniu‘dydziu
‘teorijoje pravercia dar sitokia sa
‘voka. Tarkime, kad X
yra atsitiktinis dydis, apibreztas tikimybineje erdveje Ω,A, P. PazymekimeAX aibiu
‘X−1(B), B ∈ B sistema
‘. Lengva i
‘sitikinti, kad ta sistema yra
aibiu‘σ algebra. Ji dar zymima σ(X) ir vadinama σ algebra, generuota at-
sitiktinio dydzio X. Vietoj tikimybines erdves Ω,A, P galime nagrinetitikimybine
‘erdve
‘Ω,AX , P. Jos visiskai pakanka atsitiktiniam dydziui X
apibudinti.Kadangi atsitiktiniai dydziai yra macios funkcijos, tai jie turi ir maciu
‘funkciju
‘savybes (zr. V.7 skyreli
‘). Keleta
‘ju
‘paminesime. Kiekviena konstanta
yra atsitiktinis dydis. Jei c yra konstanta, o X – atsitiktinis dydis, tai X + c,cX, |X|, X2, 1/X, jei tik X 6= 0, yra atsitiktiniai dydziai. Tai yra specialustokios teoremos atvejai.
1 teorema. Jei X yra atsitiktinis dydis, o ϕ : R→ R – Borelio funkcija,tai funkcija Y , aprasyta lygybe Y (ω) = ϕ
(X(ω)
), yra taip pat atsitiktinis
dydis.
1 Emile Borel (1871–1956) – prancuzu‘matematikas.
Atsitiktinio dydzio sa‘voka 73
I‘r o d y m a s. Reikia i
‘rodyti, kad Y −1(B) ∈ A, kokia bebutu
‘Borelio
aibe B. Tai isplaukia is lygybiu‘(zr. V.7)
Y −1(B) = ω : Y (ω) ∈ B = ω : ϕ(X(ω)
)∈ B =
= ω : X(ω) ∈ ϕ−1(B) ∈ A,
nes ϕ−1(B) yra Borelio aibe. utCia pravercia ir toks teiginys.
2 teorema. Jei funkcija ψ : R→ R yra tolydi, tai ji yra Borelio funkcija.I‘
r o d y m a s. Remiantis V.7.1 teorema, pakanka i‘rodyti, kad aibe
Ay = x ∈ R, ψ(x) < y yra Borelio aibe, koks bebutu‘realus y. Kadangi
funkcija ψ yra tolydi, tai, paeme‘bet kuri
‘x ∈ Ay, galime rasti atvira
‘intervala
‘Ix, kurio visuose taskuose teisinga nelygybe ψ(u) < y. Todel
Ay =⋃
x∈Ay
Ix.
Is cia matome, kad aibe Ay yra atvira. Taciau atvira aibe yra baigtines arbaskaicios atviru
‘intervalu
‘sistemos sa
‘junga (zr. [18], II.7 skyreli
‘). Todel ji yra
Borelio aibe. utIs maciu
‘ju
‘funkciju
‘savybiu
‘isplaukia ir tokie teiginiai. Jei X ir Y yra
atsitiktiniai dydziai, taiX+Y, X−Y, XY irX/Y , kai Y 6= 0, yra atsitiktiniaidydziai.
Jei Xn (n = 1, 2, ...) yra atsitiktiniai dydziai, tai
infnXn, sup
nXn, lim inf
n→∞Xn, lim sup
n→∞Xn
ir limn→∞
Xn, jei riba egzistuoja, yra atsitiktiniai dydziai, jei tik visos tos funk-cijos yra baigtines.
Paminesime dar pora‘i‘domiu
‘teoremu
‘.
3 teorema. Sakykime, X1, X2, ... yra atsitiktiniu‘dydziu
‘seka. Pazymeki-
me A aibe‘tu‘elementariu
‘ju‘i‘vykiu
‘ω, kada seka X1(ω), X2(ω), ... konverguoja.
Tada aibe A yra mati, t. y. atsitiktinis i‘vykis.
I‘r o d y m a s. Seka Xl(ω) pagal Kosi kriteriju
‘konverguoja tada ir tik
tada, kai, paemus bet kuri‘k, galima rasti toki
‘n, kad butu
‘
|Xr(ω)−Xs(ω)| < 1/k,
kai tik r ≥ n, s ≥ n. Is cia isplaukia lygybe
A =∞⋂
k=1
∞⋃n=1
∞⋂r=n
∞⋂s=n
ω : |Xr(ω)−Xs(ω)| < 1/k,
74 Atsitiktiniai dydziai
is kurios matome, kad teorema yra teisinga. utIs pastarosios teoremos matome, kad galima kalbeti apie atsitiktiniu
‘dydziu
‘sekos konvergavimo tikimybe
‘.
4 teorema. Jei X1, X2, ... yra atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka ir A – aibe tu‘
elementriu‘ju‘
i‘vykiu
‘ω, kada seka X1(ω), X2(ω), ... konverguoja, tai funkcija
X(ω) =limn→∞Xn(ω), kai ω ∈ A,0, kai ω ∈ Ac,
yra atsitiktinis dydis.I‘r o d y m a s. Reikia i
‘rodyti, kad aibe
ω : X(ω) < x =(A ∩ ω : X(ω) < x
)∪
(Ac ∩ ω : X(ω) < x
)yra mati, koks bebutu
‘realusis x. Desineje lygybes puseje turime dvieju
‘aibiu
‘sa
‘junga
‘. Antroji aibe yra ∅, kai x ≤ 0, arba Ac, kai x > 0. Vadinasi, ji yra
mati. Lieka i‘rodyti, kad ir pirmoji aibe yra mati.
Nelygybe X(ω) < x yra ekvivalenti naturaliu‘ju
‘skaiciu
‘k ir n egzistavimui
su sa‘lyga, kad Xr(ω) < x− 1/k, kai r ≥ n. Todel
A ∩ ω : X(ω) < x = A ∩( ∞⋃
k=1
∞⋃n=1
∞⋂r=n
ω : Xr(ω) < x− 1/k).
Is sios lygybes isplaukia, kad kaireje lygybes puseje esanti aibe yra mati. utSioje teoremoje funkcija
‘X aibeje Ac, kurioje seka Xn(ω) nekonverguoja,
laikeme lygia 0. Is i‘rodymo matome, kad ji gali buti lygi bet kuriai kitai
konstantai arba net ir ne konstantai, – pakanka tik pareikalauti, kad aibeω : X(ω) < x, ω ∈ Ac kiekvienam x ∈ R butu
‘mati.
2. ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
PASISKIRSTYMOFUNKCIJOS IR JU
‘SAVYBES
Atsitiktinio dydzio X reiksmiu‘
pasiskirstyma‘
visiskai nusako tikimybesP (ω : X(ω) ∈ B), B ∈ B. Taciau galime ji
‘paprasciau apibudinti, na-
grinedami tik specialiu‘
Borelio aibiu‘
– intervalu‘
(−∞, x) tikimybes. Tamreikalui i
‘vesime atsitiktinio dydzio X pasiskirstymo funkcija
‘Fx, apibrezta
‘visiems realiesiems x lygybemis
FX(x) = P(ω : X(ω) < x
)= P (X < x).
Daznai rasysime tiesiog F (x), kai bus aisku, apie koki‘atsitiktini
‘dydi
‘kalbama.
Atsitiktiniu‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos ir ju
‘savybes 75
Kartais pasiskirstymo funkcija apibreziama ir kiek kitaip: FX(x) == P (X ≤ x).
V.6 skyrelyje parodyta, kad pasiskirstymo funkcija visiskai nusako atsi-tiktinio dydzio reiksmiu
‘pasiskirstyma
‘.
1 p a v y z d y s. 1 skyrelio 6 pavyzdzio atsitiktinio dydzio pasiskirstymofunkcija
(1) F (x) =
0, kai x ≤ 0,1/2, kai 0 < x ≤ 1,1, kai x > 1.
Tos funkcijos grafikas pavaizduotas 13 paveiksle.
2 p a v y z d y s. 1 skyrelio 7 pavyzdzio atsitiktinis dydis Xn i‘gyja reiksmes
0, 1, ..., n. Reiksme‘k jis i
‘gyja su tikimybe
P (Xn = k) =
(n
k
)pkqn−k.
To dydzio, vadinamo binominiu, pasiskirstymo funkcija
F (x) =∑k<x
(n
k
)pkqn−k;
cia sumuojama pagal visus sveikuosius neneigiamus k, kurie yra mazesni uz x (tusciasuma lygi nuliui!), t. y.
F (x) =
0, kai x ≤ 0,qn, kai 0 < x ≤ 1,qn + npqn−1, kai 1 < x ≤ 2,. . . . . . . . . . . . . . . . . .n−1∑k=0
(nk
)pkqn−k, kai n− 1 < x ≤ n,
n∑k=0
(nk
)pkqn−k = 1, kai x > n.
14 paveiksle pavaizduotas jos grafikas, kai n = 4, p = 1/3.Atkreipsime demesi
‘, kad skirtingi atsitiktiniai dydziai gali tureti ta
‘pacia
‘pasiskirstymo funkcija
‘.Tai matyti is paprasto pavyzdzio. Imkime tikimybine
‘erdve
‘, aprasyta
‘1.6 pavyzdyje, ir apibrezkime du atsitiktinius dydzius
X(ω) = 1, kai ω = ω1,
0, kai ω = ω0,
Y (ω) = 0, kai ω = ω1,
1, kai ω = ω0.
Ju‘abieju
‘pasiskirstymo funkcijos yra tos pacios ir lygios (1) funkcijai.
76 Atsitiktiniai dydziai
Panagrinesime pasiskirstymo funkciju‘savybes. Toliau F reiks atsitiktinio
dydzio X, nusakyto tikimybineje erdveje Ω,A, P, pasiskirstymo funkcija‘.
1 teorema. F yra nemazejanti funkcija: jei x′ < x′′, tai F (x′) ≤ F (x′′).I‘r o d y m a s. Kadangi i
‘vykis X < x′ yra i
‘vykio X < x′′ atskiras
atvejis: X < x′ ⊂ X < x′′, tai is I.10.3 teoremos 2 isvados turime
P (X < x′) ≤ P (X < x′′),
t. y.F (x′) ≤ F (x′′). ut
13 pav.Kadangi pasiskirstymo funkcijos F reiksme taske x yra tikimybe, tai 0 ≤
≤ F (x) ≤ 1. Be to, monotoniska funkcija turi riba‘, kai argumentas tolsta i
‘−∞ arba ∞. Pazymesime
limn→−∞
F (x) = F (−∞), limx→∞
F (x) = F (∞).
Kam lygios tos ribos?
14 pav.
Atsitiktiniu‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos ir ju
‘savybes 77
2 teorema. F (−∞) = 0, F (∞) = 1.I‘r o d y m a s. Imkime bet kurias dvi monotoniskas skaiciu
‘sekas xn
−∞, yn ∞. I‘vykiai An = X < xn sudaro monotoniskai mazejancia
‘seka
‘A1 ⊃ A2 ⊃ ..., o i
‘vykiai Bn = Y < yn – monotoniskai didejancia
‘seka
‘B1 ⊂ B2 ⊂ ... Be to,
∞⋂n=1
An = ∅,
∞⋃n=1
Bn = Ω.
Is I.10.8 ir I.10.7 teoremu‘
gauname, kad P (An) → P (∅) = 0, P (Bn) →→ P (Ω) = 1, t. y. F (xn) → 0, F (yn) → 1, kai n→∞. ut
Monotoniska funkcija kiekviename taske turi ribas is kaires F (x− 0) ir isdesines F (x + 0); tos ribos nesutampa, kai funkcija nera tolydi taske x. JeiF (x− 0) = F (x), tai sakome, kad funkcija tolydi taske x is kaires.
3 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra tolydi is kaires visuose taskuose.I‘r o d y m a s. Imkime bet kuria
‘monotoniskai didejancia
‘ir konverguo-
jancia‘i‘x skaiciu
‘seka
‘xn x. Pazymekime An = X < xn. Aisku, i
‘vykiai
An sudaro monotoniskai didejancia‘i‘vykiu
‘seka
‘A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir
∞⋃n=1
An = X < x.
Todel is I.10.7 teoremos isplaukia, kad P (An) → P (X < x), t. y.F (xn) → F (x), kai n→∞. ut
P a s t a b a. Jei pasiskirstymo funkcija‘F butume apibreze
‘lygybe F (x) =
= P (X ≤ x), tai ji butu‘tolydi is desines: F (x+ 0) = F (x).
4 teorema. Koks bebutu‘
realusis x, teisinga lygybe
P (X ≤ x) = F (x+ 0).
I‘r o d y m a s. Imkime monotoniskai mazejancia
‘ir konverguojancia
‘i‘x
skaiciu‘seka
‘xn x. Pazymekime An = X < xn. Turesime monotoniskai
mazejancia‘i‘vykiu
‘seka
‘A1 ⊃ A2 ⊃ ... su sa
‘lyga
∞⋂n=1
An = X ≤ x.
Is I.10.8 teoremos isplaukia, kad P (An) → P (X ≤ x), t. y. F (xn) → P (X ≤≤ x), kai n→∞. ut
Kaip mateme is pavyzdziu‘, pasiskirstymo funkcija gali tureti trukio tasku
‘,
t. y. tokiu‘tasku
‘x, kuriuose F (x + 0) − F (x − 0) = F (x + 0) − F (x) > 0.
78 Atsitiktiniai dydziai
Sis skirtumas yra vadinamas funkcijos trukiu taske x. Apibudinsime trukiotasku
‘aibe
‘.
5 teorema. Pasiskirstymo funkcija turi ne daugiau kaip skaicia‘
aibe‘
trukio tasku‘.
I‘
r o d y m a s. Pazymekime Tn aibe‘duotosios pasiskirstymo funkcijos
trukio tasku‘, kuriuose trukiai yra didesni uz 1/n. Kadangi 0 ≤ F (x) ≤ 1, tai
aibeje Tn yra ne daugiau kaip n−1 elementu‘. Visu
‘trukio tasku
‘aibe, budama
aibiu‘Tn (n = 2, 3, ...) sa
‘junga, yra baigtine arba skaiti. ut
Naudinga zinoti dar ir sias i‘domias pasiskirstymo funkciju
‘savybes.
6 teorema. Jei a ir b – bet kurie realieji skaiciai, a < b, tai
P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a),
P (a ≤ X ≤ b) = F (b+ 0)− F (a),
P (a < X < b) = F (b)− F (a+ 0),
P (a < X ≤ b) = F (b+ 0)− F (a+ 0),
P (X ≥ a) = 1− F (a),
P (X > a) = 1− F (a+ 0).
I‘r o d y m a s pagri
‘stas jau i
‘rodytomis pasiskirstymo funkciju
‘savybemis.
I‘rodysime tik pirma
‘ja
‘lygybe
‘, nes kitos i
‘rodomos analogiskai.
Kadangi X < a ⊂ X < b ir a ≤ X < b = X < b\X < a, taipagal I.10.3 teoremos 1 isvada
‘
P (a ≤ X < b) = P (X < b)− P (X < a) = F (b)− F (a). ut
Kiekviena funkcija F , apibrezta visoje skaiciu‘tieseje R, nemazejanti, to-
lydi kiekviename taske is kaires ir tenkinanti sa‘lygas F (x) → 0, kai x →
→ −∞, F (x) → 1, kai x→∞, yra vadinama pasiskirstymo funkcija. Jau ispaties pavadinimo kyla klausimas, ar kiekviena
‘pasiskirstymo funkcija
‘atitin-
ka atsitiktinis dydis, kurio pasiskirstymo funkcija yra ta funkcija? Pakankaimti tikimybine
‘erdve
‘R,B, µF , kurioje µF yra V.6 skyrelyje nusakytas
Styltjeso1 matas, ir apibrezti funkcija‘X(x) = x, x ∈ R. Si funkcija yra B
mati, taigi atsitiktinis dydis. Jo pasiskirstymo funkcija µF
((−∞, y)
)= F (y).
Suformuluosime dar viena‘
klausima‘. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X
yra apibreztas tikimybineje erdveje Ω,A, P ir jo pasiskirstymo funkcijayra Fx. Kiekvienai Borelio aibei B pazymekime
PX(B) = P(X−1(B)
).
1 Thomas Jean Stieltjes (1856–1894) – olandu‘ir prancuzu
‘matematikas.
Atsitiktiniu‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos ir ju
‘savybes 79
Nesunku patikrinti, kad PX , budama apibrezta Borelio aibiu‘σ algebroje,
tenkina visas tikimybinio mato aksiomas. Pirmiausia, ji neneigiama. Be to,
PX(R) = P (Ω) = 1.
Pagaliau, jei Borelio aibe B yra disjunkciu‘
Borelio aibiu‘Bk (k = 1, 2, ...)
sa‘junga
B =∞⋃
k=1
Bk,
tai
PX(B) = P(X−1(B)
)= P
( ∞⋃k=1
X−1(Bk))
=
=∞∑
k=1
P(X−1(Bk)
)=
∞∑k=1
PX(Bk),
nes pirmavaizdziai X−1(Bk) taip pat yra disjunktus. Vadinasi, realiu‘ju
‘skaiciu
‘tiese R, jos Borelio aibiu
‘σ algebra B ir matas PX sudaro tikimybine
‘erdve
‘R,B, PX. Tikimybinis matas PX daznai vadinamas atsitiktinio dydzio
X tikimybiniu pasiskirstymu (arba tikimybiniu skirstiniu). Nagrinejant atsi-tiktini
‘dydi
‘X, paprastai nebutina zinoti pirmykstes tikimybines erdves, ku-
rioje jis buvo nusakytas, – pakanka apsiriboti tikimybine erdve R,B, PX.Aisku,
FX(x) = PX
((−∞, x)
).
Taigi tikimybinis pasiskirstymas vienareiksmiskai nusako pasiskirstymo funk-cija
‘FX .Is V.6 skyrelyje isdestytos teorijos isplaukia, jog teisingas ir atvirkstinis
teiginys.Baigdami si
‘skyreli
‘, susipazinsime dar su pora sa
‘voku
‘. Sakome, kad at-
sitiktinis dydis X yra simetriskai pasiskirste‘s, arba tiesiog simetriskas, jei X
ir −X pasiskirstymo funkcijos sutampa: FX(x) = F−X(x). Tada
FX(x) = P (X < x) = P (−X < x) =
= P (X > −x) = 1− FX(−x+ 0),
koks bebutu‘x ∈ R. Analogiskai sakome, kad atsitiktinis dydis X yra
simetriskas tasko a ∈ R atzvilgiu, jei X − a yra simetriskas. Tada
FX−a(x) = 1− FX−a(−x+ 0)
irFX(a+ x) = 1− FX(a− x+ 0).
I.11 skyrelyje i‘vedeme sa
‘lygines tikimybes sa
‘voka
‘. Ja remdamiesi, galime
i‘vesti ir sa
‘lygine
‘pasiskirstymo funkcija
‘. Jei E yra koks nors i
‘vykis, P (E) > 0,
80 Atsitiktiniai dydziai
tai dydzio X sa‘lygine pasiskirstymo funkcija, kai E yra i
‘vyke
‘s (su sa
‘lyga E),
vadiname
FX(x|E) = P (X < x|E) =P (X < x ∩ E)
P (E).
Kadangi sa‘lygines tikimybes tenkina tikimybiu
‘teorijos aksiomas, tai sa
‘lygines
pasiskirstymo funkcijos turi 1–6 teoremose nusakytas savybes.
3. DAUGIAMACIAI ATSITIKTINIAI DYDZIAI
Labai daznai eksperimento rezultatams aprasyti neuztenka vieno atsitiktiniodydzio, bet reikia ju
‘sistemos. Sakykime, is patrankos saudome i
‘nejudanti
‘plokscia
‘taikini
‘. Pataikymo taskas nurodomas dviem dydziais. Judanciai duju
‘molekulei apibudinti taip pat reikia keliu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘.
Nusakant keliu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sistemos savybes, nepakanka nurodyti
atskiru‘
atsitiktinu‘
dydziu‘
savybiu‘
– dar reikia zinoti ir rysius tarp tu‘
dydziu‘. Todel tenka kurti atsitiktiniu
‘dydziu
‘sistemu
‘matematine
‘teorija
‘. Na-
grinesime keliu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘, kitaip tariant, atsitiktiniu
‘vektoriu
‘, arba
daugiamaciu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘teorija
‘. Cia matysime nemazai analogijos su
vienamaciais atsitiktiniais dydziais, bet susidursime ir su is esmes naujaisfaktais.
Tarkime, kad Ω,A, P yra tikimybine erdve. s-maciu atsitiktiniu dydziu,arba s-maciu atsitiktiniu vektoriumi, vadiname (A,Bs) matu
‘atvaizdi
‘X : Ω → Rs, kitaip tariant, vektorine
‘funkcija
‘X = (X1, ..., Xs), apibrezta
‘aibeje Ω, i
‘gyjancia
‘reiksmes is erdves Rs ir tenkinancia
‘sa
‘lyga
‘
X−1(B) = ω : X(ω) ∈ B ∈ A,
kokia bebutu‘B ∈ Bs.
s-mates erdves Borelio aibiu‘σ algebra
‘generuoja intervalai x1 < a1, ...,
xs < as. Kaip ir 1 skyrelyje, teisingas teiginys: funkcija X = (X1, ..., Xs) :Ω → Rs yra atsitiktinis dydis tada ir tik tada, kai ω : X1(ω) < x1, ...,Xs(ω) < xs ∈ A, kokie bebutu
‘realieji skaiciai x1, ..., xs.
Is cia isplaukia ir sitoks teiginys: jei X1, ..., Xs yra vienamaciai atsitik-tiniai dydziai, tai vektorius (X1, ..., Xs) yra atsitiktinis, nes
ω : X1(ω) < x1, ..., Xs(ω) < xs =s⋂
k=1
ω : Xk(ω) < xk ∈ A,
kokie bebutu‘realieji skaiciai x1, ..., xs.
Teisingas ir atvirkstinis teiginys: jei X = (X1, ..., Xs) yra atsitiktinis vek-torius, tai kiekviena is funkciju
‘X1, ..., Xs yra vienamatis atsitiktinis dydis.
I‘rodysime tai, sakysime, funkcijai X1. Jei B ∈ B, tai
Daugiamaciu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos 81
X−11 (B) = ω : X1(ω) ∈ B,X2(ω) ∈ R, ...,Xs(ω) ∈ R =
= X−1(B ×R× ...×R) ∈ A,
nes aibeB ×R× ...×R︸ ︷︷ ︸
s−1 kartu‘
yra erdves Rs Borelio aibe.Teisingi analogiski, kaip ir vienamaciu atveju, teiginiai apie veiksmus su
atsitiktiniais vektoriais.Apibendrinsime 1.1 teorema
‘. Mums reikes bendresniu
‘Borelio funkciju
‘.
Taip vadinamos ir funkcijos ϕ : Rr → Rs, (Br,Bs) macios:
ϕ−1(B) = x ∈ Rr, ϕ(x) ∈ B ∈ Br,
kokia bebutu‘B ∈ Bs.
1 teorema. Jei X yra s-matis atsitiktinis vektorius, o ϕ : Rs → Rr –Borelio funkcija, tai ϕ(X) yra r-matis atsitiktinis vektorius.
I‘r o d y m a s analogiskas 1.1 teoremos i
‘rodymui. Remdamiesi atsitiktinio
vektoriaus apibrezimu, turimeω : ϕ
(X(ω)
)∈ B
= ω : X(ω) ∈ ϕ−1(B) ∈ A,
kokia bebutu‘Borelio aibe B ∈ Bs. ut
4. DAUGIAMACIU‘
ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
PASISKIRSTYMO FUNKCIJOS
Jei X yra atsitiktinis vektorius, tai galime kalbeti apie aibes ω : X1(ω) << x1, ..., Xs(ω) < xs, arba, uzrasant trumpiau, aibes X1 < x1, ..., Xs << xs tikimybini
‘mata
‘. Funkcija
FX(x) = F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) = P (X1 < x1, ..., Xs < xs)
yra apibrezta visoje erdveje Rs; ji vadinama atsitiktinio vektoriaus X pa-siskirstymo funkcija.
Atsitiktiniu‘vektoriu
‘pasiskirstymo funkciju
‘savybes yra analogiskos vie-
namaciu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘pasiskirstymo funkciju
‘savybems, kurias tyreme
2 skyrelyje. Suprantama, jos yra keliu‘kintamu
‘ju
‘funkcijos, todel turi savo
specifika‘.
Toliau visur X = (X1, ..., Xs) reiks atsitiktini‘
vektoriu‘, o F (x) =
= FX(x) = F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) – to vektoriaus pasiskirstymo funkcija‘.
Aisku, kad 0 ≤ F (x) ≤ 1, nes tokias nelygybes tenkina tikimybinis matas.
82 Atsitiktiniai dydziai
1 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra nemazejanti kiekvieno argumentoatzvilgiu.
I‘r o d y m a s. Del paprastumo teorema
‘i‘rodinesime pirmojo argumento
atzvilgiu. Tarkime, kad x′1 < x′′1 . Aisku,
X1 < x′1, X2 < x2, ..., Xs < xs ⊂⊂ X1 < x′′1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.
Is tikimybes monotoniskumo (I.10.3 teoremos 2 isvados) isplaukia
P (X1 < x′1, X2 < x2, ..., Xs < xs) ≤≤ P (X1 < x′′1 , X2 < x2, ..., Xs < xs),
t. y. F (x′1, x2, ..., xs) ≤ F (x′′1 , x2, ..., xs). utPagal sia
‘teorema
‘egzistuoja ribos
limxk→−∞
F (x1, ..., xk−1, xk, xk+1, ..., xs),
limxk→∞
F (x1, ..., xk−1, xk, xk+1, ..., xs),
kurias zymesime atitinkamai
F (x1, ..., xk−1,−∞, xk+1, ..., xs),
F (x1, ..., xk−1,∞, xk+1, ..., xs).
Panagrinesime tas ribas.
2 teorema. Jei 1 ≤ k ≤ s, tai
F (x1, ..., xk−1,−∞, xk+1, ..., xs) = 0.
I‘
r o d y m a s. Noredami suprastinti uzrasus, nagrinesime tik pirma‘ji‘
argumenta‘. Imkime kuria
‘nors seka
‘x
(n)1 −∞. Pazymekime
An = X1 < x(n)1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.
Tada A1 ⊃ A2 ⊃ ... ir⋂∞
k=1Ak = ∅. Pagal I.10.8 teorema‘P (An)−−−−−→
n→∞0,
taigi F (x(n)1 , x2, ..., xs)−−−−−→
n→∞0. ut
3 teorema. Jei 1 ≤ k ≤ s, s ≥ 2, tai
F(X1,...,Xk−1,Xk,Xk+1,...,Xs)(x1, ..., xk−1,∞, xk+1, ..., xs)
Daugiamaciu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos 83
yra atsitiktinio dydzio (X1, ..., Xk−1, Xk+1, ..., Xs) pasiskirstymo funkcija
F(X1,...,Xk−1,Xk+1,...,Xs)(x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xs) =
= P (X1 < x1, ..., Xk−1 < xk−1, Xk+1 < xk+1, ..., Xs < xs).
I‘
r o d y m a s. Tirsime tik atveji‘, kai k = 1. Imkime seka
‘x
(n)1 ∞.
Pazymekime An i‘vyki
‘
X1 < x(n)1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.
Turime monotoniskai didejancia‘i‘vykiu
‘seka
‘A1 ⊂ A2 ⊂ ... Aisku,
∞⋃k=1
Ak = X2 < x2, ..., Xs < xs.
Pagal I.10.7 teorema‘
limn→∞
F (x(n)1 , x2, ..., xs) = P (X2 < x2, ..., Xs < xs). ut
Analogiskai i‘rodome ir sitoki
‘teigini
‘.
3a teorema. Jei 1 ≤ k1 < k2 < ... < kr ≤ s, tai
limF(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) = F(Xk1 ,Xk2 ,...,Xkr )(xk1 , xk2 , ..., xkr ).
Cia xj →∞, kai j nelygus k1, k2, ..., kr.Funkcija F(Xk1 ,Xk2 ,...,Xkr )(xk1 , xk2 , ..., xkr
) yra vadinama funkcijos F (x1,
x2, ..., xs) ir atsitiktinio dydzio (X1, ..., Xs) marginalia‘ja pasiskirstymo funk-
cija (suprantama, kai k1, ..., kr nesutampa su 1, ..., s).3b teorema. Jei visi daugiamates pasiskirstymo funkcijos argumentai
tolsta i‘
begalybe‘, tai
limx1→∞···
xs→∞
F (x1, ..., xs) = F (∞, ...,∞) = 1.
Kadangi pasiskirstymo funkcija yra monotoniska kiekvieno argumentoatzvilgiu, tai egzistuoja ribos
limx′
kxk
F (x1, ..., xk−1, x′k, xk+1, ..., xs) =
= F (x1, ..., xk−1, xk − 0, xk+1, ..., xs),
limx′′
kxk
F (x1, ..., xk−1, x′′k , xk+1, ..., xs) =
= F (x1, ..., xk−1, xk + 0, xk+1, ..., xs).
84 Atsitiktiniai dydziai
Kaip ir vienamaciu atveju, pirmoji riba sutampa su F (x1, ..., xk−1, xk,xk+1, ..., xs), kitaip tariant, teisinga sitokia teorema.
4 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra tolydi is kaires kiekvieno argu-mento atzvilgiu.
I‘
r o d y m a s. Nagrinesime tolyduma‘
pirmojo argumento atzvilgiu.Imkime seka
‘x
(n)1 x1 ir pazymekime
An = X1 < x(n)1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.
Turime A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir
∞⋃k=1
Ak = X1 < x1, X2 < x2, ..., Xs < xs.
Is I.10.7 teoremos isplaukia, kad
P (An) → P( ∞⋃
k=1
Ak
),
kai n→∞, t. y.
F (x(n)1 , x2, ..., xs) → F (x1, x2, ..., xs). ut
Isreiksime pasiskirstymo funkcija tikimybe‘, kad atsitiktinis vektorius pri-
klausys intervalui. Sakykime, I yra erdves Rs intervalas
(1)
a1 ≤ x1 < b1,
a2 ≤ x2 < b2,
. . . . . . . . . . . .
as ≤ xs < bs.
Sutrumpintai pazymekime Ik = [ak, bk) (k = 1, ..., s). Kai F : Rs → R yrabet kuri (nebutinai pasiskirstymo) funkcija, i
‘vesime operatoriu
‘
∆(k)IkF (x1, ..., xs) = F (x1, ..., xk−1, bk, xk+1, ..., xs)−
− F (x1, ..., xk−1, ak, xk+1, ..., xs) =
=∑
ε
(−1)εF (x1, ..., xk−1, εak + (1− ε)bk, xk+1, ..., xs);
cia ε i‘gyja dvi reiksmes: 0 ir 1. Pazymekime
Daugiamaciu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘pasiskirstymo funkcijos 85
∆IF = ∆IF (x1, ..., xs) = ∆(1)I1...∆(s)
IsF (x1, ..., xs) =
=∑
ε1,...,εs
(−1)ε1,...,εsF(ε1a1+
+ (1− ε1)b1, ..., εsas + (1− εs)bs);
cia ε1, ..., εs nepriklausomai vienas nuo kito i‘gyja reiksmes 0 ir 1. Kitaip
tariant,
∆IF = F (b1, b2, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs)−− F (b1, a2, b3, ..., bs)− ...− F (b1, ..., bs−1, as)+
+ F (a1, a2, b3, ..., bs) + F (a1, b2, a3, b4, ..., bs) + ...+
+ F (b1, ..., bs−2, as−1, as) + ...+ (−1)sF (a1, a2, ..., as).
5 teorema. P (X ∈ I) = ∆IF .I‘r o d y m a s. Kadangi
X1 ∈ I1, X2 < x2, ..., Xs < xs =
= X1 < b1, X2 < x2, ..., Xs < xs\\X1 < a1, X2 < x2, ..., Xs < xs
ir antrasis i‘vykis desineje lygybes puseje yra pirmojo atskiras atvejis, tai
P (X1 ∈ I1, X2 < x2, ..., Xs < xs) = ∆(1)I1F (x1, x2, ..., xs) =
=∑ε1
(−1)ε1F(ε1a1 + (1− ε1)b1, x2, ..., xs
).
Analogiskai is lygybes
X1 ∈ I1, X2 ∈ I2, X3 < x3, ..., Xs < xs =
= X1 ∈ I1, X2 < b2, X3 < x3, ..., Xs < xs\\X1 ∈ I1, X2 < a2, X3 < x3, ..., Xs < xs
gauname
P (X1 ∈ I1, X2 ∈ I2, X3 < x3, ..., Xs < xs) =
= ∆(2)I2
(∆(1)
I1F (x1, x2, ..., xs)
)=
∑ε2
(−1)ε2∑ε1
(−1)ε1×
× F(ε1a1 + (1− ε1)b1, ε2a2 + (1− ε2)b2, x3, ..., xs
).
Taip samprotaudami toliau, gausime reikiama‘lygybe
‘. ut
86 Atsitiktiniai dydziai
Isvada. ∆IF ≥ 0, koks bebutu‘
intervalas I.Svarbiausios daugiamaciu
‘pasiskirstymo funkciju
‘F savybes yra:
1) kai 1 ≤ k ≤ s, F (x1, ..., xs) → 0, jei xk → −∞;2) F (x1, ..., xs) → 1, kai x1 →∞, ..., xs →∞;3) F yra tolydi is kaires kiekvieno argumento atzvilgiu;4) jei I ⊂ Rs yra (1) pavidalo intervalas, tai
∆IF ≥ 0.
Is minetu‘
savybiu‘
isplaukia visos kitos. I‘rodysime, pavyzdziui, kad is 4
savybes isplaukia 1 teoremoje nusakyta savybe: funkcija nemazeja kiekvienoargumento atzvilgiu. Pasirinksime pirma
‘ji‘
argumenta‘. Leiskime skaiciams
a2, ..., as tolti i‘−∞. Gausime
F (b1, b2, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs) ≥ 0.
Is karto atrodytu‘, kad teisingas ir atvirkstinis teiginys: 4 savybe
‘galima
suprastinti, reikalaujant tik, kad funkcija butu‘nemazejanti kiekvieno argu-
mento atzvilgiu. Taciau taip nera. Imkime dvieju‘kintamu
‘ju
‘funkcija
‘
G(x1, x2) = 1, kai x1 + x2 > 0,
0 kitais atvejais.
Si funkcija tenkina 1, 2, 3 savybes ir yra nemazejanti kiekvieno argumentoatzvilgiu, taciau
G(2, 2)−G(−1, 2)−G(2,−1) +G(−1,−1) = −1 < 0.
Vadinasi, ji neturi 4 savybes.Kiekviena
‘funkcija
‘F , apibrezta
‘visoje erdveje Rs ir turincia
‘1–4 savybes,
vadiname daugiamate pasiskirstymo funkcija.Kiekvienam atsitiktiniam vektoriui X, nusakytam erdveje Ω,A, P,
priskirsime kita‘tikimybine
‘erdve
‘Rs,Bs, PX, kurioje
PX(B) = P(X−1(B)
)= P (X ∈ B),
kai B ∈ Bs. Sakome, kad atsitiktinis dydis indukuoja tikimybine‘
erdve‘Rs,Bs, PX ir tikimybini
‘mata
‘PX . Pastarasis daznai vadinamas atsitiktinio
dydzio X tikimybiniu pasiskirstymu (arba skirstiniu). Tikimybinis matas PX
vienareiksmiskai nusako dydzio X pasiskirstymo funkcija‘FX .
5. SVARBIAUSI PASISKIRSTYMO FUNKCIJU‘
TIPAI
Is pradziu‘nagrinesime vienamacius atsitiktinius dydzius X, kuriu
‘pasiskirs-
tymo funkcijos FX = F . Taska‘x0 vadinsime funkcijos F didejimo tasku, jei
Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 87
teisinga nelygybe F (x0 − ε) < F (x0 + ε), koks bebutu‘ε > 0. Tuo atveju
atsitiktinis dydis X priklauso intervalui (x0−ε, x0 +ε) su teigiama tikimybe,koks bebutu
‘ε > 0. Visu
‘funkcijos F didejimo tasku
‘aibe
‘zymesime SF .
1 teorema. P (X ∈ SF ) = 1.I‘
r o d y m a s. Is didejimo tasko apibrezimo isplaukia, kad, paemusbet kuri
‘x ∈ Sc
F , galima rasti toki‘atvira
‘intervala
‘
(a(x), b(x)
), kuriam pri-
klauso x ir kuriame nera funkcijos F didejimo tasku‘. Ta
‘intervala
‘laikysime
didziausiu galimu. Tada arba a(x) ∈ S, arba a(x) = −∞ ir arba b(x) ∈ S,arba b(x) = ∞. Tikimybe P
(a(x) < X < b(x)
)= 0. Aibe
‘Sc
F dengia intervalai(a(x), b(x)
). Tarp ju
‘yra ne daugiau kaip skaiti aibe skirtingu
‘(ak, bk). Is
lygybesSc
F =⋃k
(ak, bk)
gaunameP (X ∈ Sc
F ) =∑
k
P (ak < X < bk) = 0.
Todel P (X ∈ SF ) = 1. utJei SF yra baigtine arba skaiti aibe, tai sakome, kad atsitiktinis dydis X
yra diskretusis, o atitinkama pasiskirstymo funkcija F – diskrecioji.Pazymekime diskreciosios pasiskirstymo funkcijos didejimo taskus xk
ir tikimybes P (X = xk) = pk. Tada pk = F (xk + 0)− F (xk) yra funkcijos Ftrukiai,
P (x ∈ SF ) =∑
k
pk = 1.
Pasiskirstymo funkcija‘F galime uzrasyti sitaip:
F (x) =∑
xk<x
pk.
Tai – laiptuota funkcija, kurios trukio taskai yra xk, o tarp ju‘funkcija yra
pastovi.Isnagrinesime keleta
‘pavyzdziu
‘.
2 skyrelio 1 ir 2 pavyzdziuose nagrineti atsitiktiniai dydziai yra diskretieji.Antrajame is ju
‘nagrinejamas atsitiktinis dydis yra vadinamas binominiu.
1 p a v y z d y s. Paprasciausias diskretusis dydis yra dydis, i‘gyjantis viena
‘reiksme
‘, sakysime a, su tikimybe 1. Jo pasiskirstymo funkcija
εa(x) =
0, kai x ≤ a,1, kai x > a.
88 Atsitiktiniai dydziai
Tos funkcijos grafika‘
matome 15 paveiksle. Toks atsitiktinis dydis ir jo pa-siskirstymo funkcija vadinami issigimusiais.
15 pav.
2 p a v y z d y s. P u a s o n o p a s i s k i r s t y m a s. Tarkime, kadatsitiktinis dydis X i
‘gyja reiksmes 0, 1, 2, ... ir reiksme
‘k i
‘gyja su tikimybe
P (X = k) =λk
k!e−λ;
cia λ – teigiamas fiksuotas skaicius. Sakome, kad atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s
pagal Puasono desni‘. Aisku,
∞∑k=0
λk
k!e−λ = 1.
3 p a v y z d y s . G e o m e t r i n i s p a s i s k i r s t y m a s. Tarkime, kadatsitiktinis dydis X i
‘gyja visas sveika
‘sias neneigiamas reiksmes ir reiksme
‘k i
‘gyja
su tikimybeP (X = k) = p(1− p)k;
cia p – fiksuotas skaicius, 0 < p < 1;
∞∑k=0
p(1− p)k = 1.
Sakome, kad atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal geometrini
‘desni
‘.
Atsitiktini‘dydi
‘X ir jo pasiskirstymo funkcija
‘F vadiname tolydziaisiais,
jei pasiskirstymo funkcija F neturi trukio tasku‘, kitaip tariant, yra tolydi.
TadaF (x+ 0)− F (x) = 0, P (X = x) = 0,
koks bebutu‘x ∈ R.
Isskirsime siauresne‘
tolydziu‘ju
‘dydziu
‘klase
‘. Sakysime, kad atsitiktinis
dydis X ir jo pasiskirstymo funkcija F yra absoliuciai tolydus, jei egzistuojafunkcija pX = p, apibrezta tieseje R, integruojama Lebego prasme ir tenki-nanti sa
‘lyga
‘
Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 89
F (x) =∫ x
−∞p(u)du
(cia integruojama Lebego prasme). Funkcija p yra vadinama atsitiktiniodydzio X tankiu. Ji nera vienareiksmiskai nusakyta. Bet kaip pakeitus pnulinio Lebego mato aibeje, integralas nesikeicia.Todel tankiu laikome betkuria
‘is galimu
‘funkciju
‘p. Is Lebego integralo teorijos zinoma (zr. [18],
VIII skyr.), kad tuo atveju F (x) beveik visur (Lebego mato prasme) turineneigiama
‘isvestine
‘, kuri beveik visur yra lygi p(x). Be to, aisku,
(1)∫ ∞
−∞p(u)du = 1.
Atvirksciai, jei funkcija p, apibrezta tieseje R, yra integruojama ir beveikvisur neneigiama bei tenkina (1) sa
‘lyga
‘, tai
F (x) =∫ x
−∞p(u)du
yra pasiskirstymo funkcija.Teisinga lygybe
P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a) =∫
[a,b)
p(u)du.
Teisinga ir daug bendresne
2 teorema. Jei X yra absoliuciai tolydus atsitiktinis dydis su tankiofunkcija p(u), tai
(2) P (X ∈ B) =∫
B
p(u)du,
kokia bebutu‘
Borelio aibe B.I‘r o d y m a s. Macioje erdveje R,B imkime du matus
P (X ∈ B) ir∫
B
p(u)du.
Mums reikia i‘rodyti, kad jie sutampa.
Is pradziu‘tarkime, kad B yra intervalas vieno is pavidalu
‘
(3) (−∞,∞), (−∞, a), [a, b), [a,∞);
cia a, b – bet kurie realieji skaiciai. Parodysime, kad tokioms aibems teisinga(2) formule. Is (1) formules
90 Atsitiktiniai dydziai
P (−∞ < X <∞) = 1 =∫
(−∞,∞)
p(u)du.
Is tankio funkcijos apibrezimo
P (X < a) = F (a) =∫
(−∞,a)
p(u)du.
Toliau,
P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a) =∫
[a,b)
p(u)du,
P (X ≥ a) = 1− P (X < a) =∫
[a,∞)
p(u)du.
Is tikimybinio mato ir integralo adityvumo isplaukia, kad (2) formule yrateisinga ir tada, kai B yra disjunkciu
‘(3) tipo intervalu
‘sa
‘junga. Tarkime, kad
B =s⋃
k=1
Bk, Bj ∩Bk = ∅ (j 6= k),
yra tokia sa‘junga. Tada
P (X ∈ B) =s∑
k=1
P (X ∈ Bk) =s∑
k=1
∫Bk
p(u)du =∫
B
p(u)du.
Taciau visos tokios sa‘jungos sudaro aibiu
‘algebra
‘, kurios generuota σ
algebra ir yra visu‘Borelio aibiu
‘sistema. Antra vertus, funkcijos
P (X ∈ B) ir∫
B
p(u)du
yra visiskai adityvios toje algebroje. Todel pagal mato prate‘simo teorema
‘(2)
lygybe yra teisinga, kokia bebutu‘Borelio aibe B. ut
Rekomenduojame skaitytojui paciam i‘sitikinti, kad 4–11 pavyzdziuose p yra
tankio funkcijos.
4 p a v y z d y s. T o l y g u s i s p a s i s k i r s t y m a s. Sakome, kadatsitiktinis dydis yra pasiskirste
‘s tolygiai, jei jo pasiskirstymo funkcija (16 pav.)
F (x) =
0, kai x ≤ a,x− a
b− a, kai a < x < b,
1, kai x ≥ b;
Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 91
16 pav.
cia a < b – fiksuoti skaiciai. Sia‘pasiskirstymo funkcija
‘atitinka tankio funkcija
(17 pav.)
p(x) =
1
b− a, kai a ≤ x ≤ b,
0, kai x < a arba x > b.
17 pav.
5 p a v y z d y s. T r i k a m p i s k a s i s, arba S i m p s o n o1, p a s i-s k i r s t y m a s. Taip vadinamas pasiskirstymas, kuri
‘apibudina tankio funkcija
(zr. 18 pav.)
p(x) =
1
b2(b− |x− a|), kai |x− a| < b,
0, kai |x− a| ≥ b;
1 Thomas Simpson (1710–1761) – anglu‘matematikas.
92 Atsitiktiniai dydziai
cia a – fiksuotas realusis skaicius, b – teigiamas fiksuotas skaicius. Atitinkama pa-siskirstymo funkcija pavaizduota 19 paveiksle.
18 pav.
6 p a v y z d y s. N o r m a l u s i s p a s i s k i r s t y m a s. Taivienas is svarbiausiu
‘pasiskirstymu
‘. Su juo jau susidureme I.15 skyrelyje. Normalu
‘ji‘
pasiskirstyma‘nusako tankio funkcija
p(x) =1
σ√
2πexp
(− (x− a)2
2σ2
);
19 pav.
atitinkama pasiskirstymo funkcija yra
Φ(x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞exp
(− (u− a)2
2σ2
)du;
Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 93
cia a – bet kuris fiksuotas realusis skaicius, σ – fiksuotas teigiamas skaicius. Ju‘
grafikai pateikti 20 ir 21 paveiksluose. Tankio funkcija turi maksimuma‘taske x = a.
Tas taskas yra pasiskirstymo funkcijos vingio taskas.
20 pav.
Parametrui σ didejant, tankio funkcija darosi ”lekstesne” (zr. 22 pav., a = 0).Sis pasiskirstymas daznai zymimas N(a, σ2).
Kai a = 0, σ = 1, sakome, kad turime standartini‘normalu
‘ji‘pasiskirstyma
‘.
7 p a v y z d y s. G a m a p a s i s k i r s t y m a s. Siuo atveju tankiofunkcija
p(x) =
0, kai x ≤ 0,
xαe−x/β
βα+1Γ(α + 1), kai x > 0;
parametrai α > −1, β > 0.
21 pav.
8 p a v y z d y s. B e t a p a s i s k i r s t y m a s. Tankio funkcija
p(x) =
0, kai x ≤ 0 arba x ≥ 1,xp−1(1− x)q−1
B(p, q), kai 0 < x < 1;
94 Atsitiktiniai dydziai
22 pav.
cia parametrai p > 0, q > 0,
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1− x)q−1dx =Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q).
9 p a v y z d y s. N e i g i a m a s e k s p o n e n t i n i s p a s i s k i r s t y-m a s. Tankio funkcija
p(x) =
0, kai x ≤ β,αe−α(x−β), kai x > β;
pasiskirstymo funkcija
F (x) =
0, kai x ≤ β,1− e−α(x−β), kai x > β;
parametrai α > 0, β ∈ R.
10 p a v y z d y s. K o s i1 p a s i s k i r s t y m a s. Tankio funkcija
p(x) =1
π(1 + x2);
pasiskirstymo funkcija
F (x) =1
2+
1
πarctg x.
Naudingas ir apibendrintasis Kosi pasiskirstymas, kurio tankio funkcija yra
b
π(b2 + (x− a)2
) ;
cia a ∈ R, b > 0.
11 p a v y z d y s. L a p l a s o p a s i s k i r s t y m a s. Tankio funkcija
1 Augustin Cauchy (1789–1857) – prancuzu‘matematikas.
Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 95
p(x) =1
2e−|x|;
pasiskirstymo funkcija
F (x) =
1
2ex, kai x ≤ 0,
1− 1
2e−x, kai x > 0.
Kitas svarbus tolydziu‘ju
‘pasiskirstymu
‘tipas yra vadinamieji singuliarieji
pasiskirstymai. Taip vadinamos tolydziosios pasiskirstymo funkcijos, kuriu‘
didejimo tasku‘aibes turi nulini
‘Lebego mata
‘. Atitinkami atsitiktiniai dydziai
vadinami singuliariaisiais. Galima butu‘
i‘rodyti, kad tokia pasiskirstymo
funkcija beveik visur turi isvestine‘, kuri beveik visur yra lygi 0.
Sukonstruosime singuliariosios pasiskirstymo funkcijos pavyzdi‘.
12 p a v y z d y s. Imkime pasiskirstymo funkcija‘F (x) = 0, kai x ≤ 0, F (x) =
= 1, kai x ≥ 1 (23 pav.). Uzdara‘intervala
‘[0, 1] suskaidykime i
‘tris dalis [0, 1/3],
[1/3, 2/3], [2/3, 1]. Viduriniame uzdarame intervale imkime F (x) = 1/2. Uzdarusintervalus [0, 1/3] ir [2/3, 1] vel skaidykime i
‘tris dalis [0, 1/9], [1/9, 2/9], [2/9, 1/3] ir
[2/3, 7/9], [7/9, 8/9], [8/9, 1]. Viduriniame is pirmu‘ju
‘triju
‘uzdaru
‘intervalu
‘imkime
F (x) = 1/4, viduriniame is kitu‘triju
‘uzdaru
‘intervalu
‘– F (x) = 3/4. Kiekviena
‘is
uzdaru‘intervalu
‘[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9], [8/9, 1] vel skaidykime i
‘tris 3−3
ilgio uzdarus intervalus ir viduriniuose is gautu‘
uzdaru‘
intervalu‘
trejetu‘
imkimefunkcija
‘F , lygia
‘aritmetiniam vidurkiui gretimu
‘, jau nusakytu
‘F reiksmiu
‘, t. y. 1/8,
3/8, 5/8, 7/8. Si‘procesa
‘te
‘siame be galo. Taip apibresime funkcija
‘tiems uzdaro
intervalo [0, 1] taskams, kurie priklauso ”viduriniams” uzdariems intervalams. Ju‘
aibes Lebego matas bus
1
3+
2
32+
4
33+ ... = 1.
Likusiuose uzdaro intervalo [0, 1] taskuose F (x) nusakome kaip virsutini‘
josreiksmiu
‘F (y) rezi
‘, kai y prabega mazesnius uz x segmento taskus, kuriuose F jau
yra apibrezta. Taip apibrezta funkcija F yra tolydi segmente [0, 1]. Jos didejimotasku
‘aibe turi nulini
‘Lebego mata
‘.
Diskreciosios, absoliuciai tolydzios ir singuliariosios funkcijos yra svar-biausios. Gana paprastu budu jomis galima isreiksti kiekviena
‘kita
‘pa-
siskirstymo funkcja‘. Teisinga teorema, tvirtinanti, kad kiekviena
‘pasiskirs-
tymo funkcija‘F galima vienareiksmiskai uzrasyti sitaip:
F (x) = αdFd(x) + αatFat(x) + αsFs(x);
96 Atsitiktiniai dydziai
23 pav.
cia Fd – atitinkama diskrecioji, Fat – absoliuciai tolydi, Fs – singuliariojipasiskirstymo funkcija, αd, αat, αs – neneigiamos konstantos, αd+αat+αs = 1(zr., pvz., [18], VIII skyr.).
Analogiska teorija teisinga ir daugiamaciams pasiskirstymams. Atsitik-tinis vektorius X = (X1, ..., Xs) bei jo pasiskirstymo funkcija FX = F yravadinami diskreciaisiais, jei egzistuoja tokia baigtine arba skaiti aibe S, kadP (X ∈ S) = 1; vadinami absoliuciai tolydziais, jei egzistuoja integruojamaLebego prasme funkcija p = pX , apibrezta erdveje Rs ir turinti savybe
‘
F (x1, ..., xs) =∫ x1
−∞...
∫ xs
−∞p(u1, ..., us)du1...dus.
Funkcija p yra vadinama atsitiktinio vektoriaus X tankiu. Siuo atveju beveikvisur egzistuoja isvestine
∂sF (x1, ..., xs)∂x1...∂xs
,
kuri beveik visur yra neneigiama ir lygi p(x1, ..., xs). Tankio funkcija, aisku,tenkina lygybe
‘ ∫ ∞
−∞...
∫ ∞
−∞p(u1, ..., us)du1...dus = 1.
Atsitiktinis vektorius ir jo pasiskirstymo funkcija yra vadinami singulia-riaisiais, jei F yra tolydi ir egzistuoja tokia nulinio Lebego mato aibe S, kadP (X ∈ S) = 1.
Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 97
Kiekviena‘daugiamate
‘pasiskirstymo funkcija
‘galima isreiksti diskrecio-
sios, absoliuciai tolydzios ir singuliariosios pasiskirstymo funkciju‘tiesine kom-
binacija.Jei daugiamate pasiskirstymo funkcija yra diskreti, tai ir jos vienamates
marginaliosios pasiskirstymo funkcijos yra diskrecios, ir atvirksciai. Si‘teigini
‘paliekame i
‘rodyti skaitytojui.
Mums pravers sitokia teorema.
3 teorema. Jei pasiskirstymo funkcija F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) yra ab-soliuciai tolydi, tai ir visos vienamates marginaliosios pasiskirstymo funkcijosFXk
(xk) (k = 1, ..., s) yra absoliuciai tolydzios.I‘r o d y m a s. Is absoliutaus tolydumo apibrezimo isplaukia, jog egzis-
tuoja tokia integruojama funkcija p, kad
F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) =∫ x1
−∞...
∫ xs
−∞p(u1, ..., us)du1...dus.
I‘rodysime, pavyzdziui, kad FX1 yra absoliuciai tolydi. Remiantis Fubinio1
teorema,
ϕ(u1) =∫ ∞
−∞...
∫ ∞
−∞p(u1, u2, ..., us)du2...dus
yra integruojama kintamojo u1 funkcija ir
FX1(x1) = F(X1,...,Xs)(x1,∞, ...,∞) =∫ x1
−∞ϕ(u1)du1. ut
Tarp daugiamaciu‘absoliuciai tolydziu
‘pasiskirstymu
‘labai svarbus nor-
malusis pasiskirstymas. Tarkime, kad Q(x) = xAx′ yra teigiamai apibreztas kintamu
‘ju
‘kvadratine forma su matrica A. Cia vektoriumi-eilute laikoma
vienos eilutes matrica, ′ reiskia transponavima‘; matrica is vieno elemento
sutapdinama su tuo elementu. Tarkime, kad a1, ..., as yra realieji skaiciai.Apskaiciuosime integrala
‘
J =∫
Rs
...
∫e−Q(x1−a1,...,xs−as)/2dx1...dxs =
=∫
Rs
e−(xAx′)/2dx.
Taip parinksime ortogonalia‘matrica
‘C, kad CAC ′ butu
‘diagonalioji matrica
D. Jos diagonaliuosius elementus zymesime σ21 , ..., σ
2s . Tada matricos A de-
terminantas |A| = |D| = σ21 , ..., σ
2s . Integralo J antrojoje israiskoje pakeisime
kintamuosius x = yC. Tada
1 Guido Fubini (1879–1943) – italu‘matematikas.
98 Atsitiktiniai dydziai
xAx′ = yDy′ = σ21y
21 + ...+ σ2
sy2s
ir
J =s∏
k=1
∫ ∞
−∞e−σ2
ky2k/2dyk =
(2π)s/2
|σ1...σk|=
(2π)s/2√|A|
.
Taigi
p(x1, ..., xs) =
√|A|
(2π)s/2e−Q(x1−a1,...,xs−as)/2
tenkina tankio funkciju‘
sa‘lygas. Tokios funkcijos nusakytas pasiskirstymo
desnis yra vadinamas s-maciu normaliuoju. Atsitiktinis vektorius, pasiskirste‘s
pagal norma‘lu
‘ji‘desni
‘, taip pat vadinamas normaliuoju.
Dvimacio normaliojo pasiskirstymo tankio funkcija‘galima uzrasyti sitaip:
p(x1, x2) =1
2πσ1σ2
√1− ρ2
exp− 1
2(1− ρ2)
( (x1 − a1)2
σ21
−
− 2ρ(x1 − a1)(x2 − a2)
σ1σ2+
(x2 − a2)2
2σ22
);
cia σ1, σ2 – teigiami skaiciai, ρ – realusis skaicius, |ρ| < 1.
6. NEPRIKLAUSOMI ATSITIKTINIAI DYDZIAI
Jau esame mineje‘, kad nepriklausomumo sa
‘voka yra labai svarbi tikimybiu
‘teorijoje. Praplesime ja
‘atsitiktiniams dydziams, apibreztiems tikimybineje
erdveje Ω,A, P.Atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn vadinami nepriklausomais, jei
(1) P (X1 ∈ B1, ..., Xn ∈ Bn) = P (X1 ∈ B1)...P (Xn ∈ Bn),
kokios bebutu‘tieses tasku
‘Borelio aibesB1, ..., Bn. Jei turime seka
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘X1, X2, ..., tai sakome, kad jie yra nepriklausomi, jei (1) lygybe yra
teisinga kiekvienam naturaliajam n.Is apibrezimo isplaukia, jog nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘kiekvienas
posistemis sudarytas taip pat is nepriklausomu‘dydziu
‘. Pakanka (1) lygybeje
kai kurias Borelio aibes Bk pakeisti aibe R.Nepriklausomumo apibrezime atsitiktinius dydzius laikeme vienamaciais.
Taciau galima butu‘imti ir atsitiktinius vektorius; tada Borelio aibes reikia
imti is atitinkamo matavimo erdviu‘. Mes toliau nagrinesime tik vienamacius
atsitiktinius dydzius.Is apibrezimo matome, kad atsitiktiniai dydziai yra nepriklausomi tada ir
tik tada, kai ju‘generuotos σ algebros (zr. 1 ir I.12 skyrelius) yra nepriklau-
somos.
Nepriklausomi atsitiktiniai dydziai 99
Atkreipsime demesi‘, kad is atsitiktiniu
‘dydziu
‘nepriklausomumo kas du
neisplaukia ju‘visu
‘nepriklausomumas.
Jei atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklausomi, tai
P (X1 < x1, ..., Xn < xn) = P (X1 < x1)...P (Xn < xn),
kokie bebutu‘realieji skaiciai x1, ..., xn, t. y. atsitiktinio vektoriaus (X1, ..., Xn)
pasiskirstymo funkcija yra lygi jo vienamaciu‘
marginaliu‘ju
‘pasiskirstymo
funkciju‘sandaugai
(2) F(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) = FX1(x1)...FXn(xn).
Si lygybe gaunama, nepriklausomumo apibrezime paemus Borelio aibes pavi-dalo (−∞, x1), ..., (−∞, xn).
Teisingas ir atvirkstinis teiginys.
1 teorema. Vienamaciai atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklau-somi tada ir tik tada, kai teisinga (2) lygybe.
I‘
r o d y m a s. Sa‘lygos butinuma
‘jau parodeme. I
‘rodysime jos
pakankamuma‘. Tarkime, jog teisinga (2) lygybe. Reikia i
‘rodyti, kad teisingos
(1) lygybes, kokias bepaimtume Borelio aibes B1, ..., Bn. Imkime fiksuotusx2, ..., xn ir macioje erdveje R,B apibrezkime du matus Q1(B) ir Q′1(B),
Q1(B) = P (X1 ∈ B,X2 < x2, ..., Xn < xn),
Q′1(B) = P (X1 ∈ B)P (X2 < x2, ..., Xn < xn).
Abi sios aibes funkcijos is tikru‘ju
‘yra matai, nes jos neneigiamos ir visiskai
adityvios, – tai isplaukia is tikimybinio mato P savybiu‘. Abu matai sutampa
Borelio aibems B = (−∞, x1), nes pirmasis pagal (2) tada lygus P (X1 << x1)P (X2 < x2)...P (Xn < xn), o antrasis del tos pacios priezasties lygusP (X1 < x1)P (X1 < ∞, X2 < x2, ..., Xn < xn) = P (X1 < x1)P (X1 <<∞)P (X2 < x2)...P (Xn < xn). Is cia isplaukia, kad jie sutampa intervalams[x′1, x
′′1), taigi sutampa ir aibiu
‘algebroje, sudarytoje is disjunkciu
‘intervalu
‘[x′1, x
′′1) baigtiniu
‘sa
‘jungu
‘. Todel pagal Karateodorio1 teorema
‘tie matai turi
sutapti ir visoms Borelio aibems B. Vadinasi,
P (X1 ∈ B,X2 < x2, ..., Xn < xn) =
= P (X1 ∈ B)P (X1 < x2, ..., Xn < xn).
Fiksuokime B1 ∈ B, x3, ..., xn ir bet kurioms Borelio aibems B imkime
Q2(B) = P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B,X3 < x3, ..., Xn < xn),
Q′2(B) = P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B)P (X3 < x3, ..., Xn < xn).
1 Constantis Caratheodory (1873–1950) – vokieciu‘matematikas.
100 Atsitiktiniai dydziai
Vel turime neneigiamas ir visiskai adityvias aibes funkcijas. Analogiskaii‘rodome, jog jos sutampa Borelio aibems B = (−∞, x2) ir intervalu
‘[x′2, x
′′2)
baigtinems sa‘jungoms, todel sutampa ir bet kokioms Borelio aibems. Vel
gauname
P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B,X3 < x3, ..., Xn < xn) =
= P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B)P (X3 < x3, ..., Xn < xn).
Taip samprotaudami toliau, gauname (1) lygybe‘. ut
Panagrinesime diskreciuosius ir absoliuciai tolydzius nepriklausomus at-sitiktinius dydzius. Ju
‘nepriklausomuma
‘galima nusakyti ir paprasciau.
2 teorema. Tarkime, kad X1, ..., Xn yra diskretieji atsitiktiniai dydziaiir dydzio Xk reiksmiu
‘aibe, i
‘gyjama su tikimybe 1, yra akj. Tie dydziai yra
nepriklausomi tada ir tik tada, kai
(3)P (X1 = a1j1 , ..., Xn = anjn
) =
= P (X1 = a1j1)...P (Xn = anjn)
visoms galimoms j1, ..., jn reiksmems.I‘r o d y m a s. Sa
‘lygos butinumas trivialus, nes aibes is vieno elemento
yra Borelio aibes.Sa
‘lygos pakankamumui i
‘rodyti imkime bet kurias erdves R Borelio aibes
B1, ..., Bn. Is tikimybes adityvumo ir (3) lygybes gauname
P (X1 ∈ B1, ..., Xn ∈ Bn) =
=∑
a1j1∈B1···
anjn∈Bn
P (X1 = a1j1 , ..., Xn = anjn) =
=∑
a1j1∈B1···
anjn∈Bn
P (X1 = a1j1)...P (Xn = anjn) =
=∑
a1j1∈B1
P (X1 = a1j1)...∑
anjn∈Bn
P (Xn = anjn) =
= P (X1 ∈ B1)...P (Xn ∈ Bn). ut
3 teorema. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi absoliuciai tolydus atsitik-tiniai dydziai su tankio funkcijomis pX1 , ..., pXn , tai ir atsitiktinis vektorius(X1, ..., Xn) yra absoliuciai tolydus, o jo tankio funkcija p(X1,...,Xn) beveikvisur lygi sandaugai
pX1(x1) · · · pXn(xn).
Nepriklausomi atsitiktiniai dydziai 101
I‘r o d y m a s. Is dydziu
‘nepriklausomumo isplaukia
F(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) = FX1(x1)...FXn(xn) =
=∫ x1
−∞pX1(u1)du1...
∫ xn
−∞pXn(un)dun =
=∫ x1
−∞· · ·
∫ xn
−∞pX1(u1)...pXn
(un)du1...dun. ut
4 teorema. Jei atsitiktinis vektorius (X1, ..., Xn) yra absoliuciai tolydussu tankio funkcija p(X1,...,Xn), o pX1 , ..., pXn
– jo komponentu‘tankio funkcijos
(jos, kaip mateme, egzistuoja) ir beveik visur teisinga lygybe
p(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) = pX1(x1)...pXn(xn),
tai atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklausomi.I‘r o d y m a s. Is teoremos sa
‘lygos ir Fubinio teoremos isplaukia
F(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) =
=∫ x1
−∞· · ·
∫ xn
−∞p(X1,...,Xn)(u1, ..., un)du1...dun =
=∫ x1
−∞· · ·
∫ xn
−∞pX1(u1), ..., pXn(un)du1...dun =
=∫ x1
−∞pX1(u1)du1...
∫ xn
−∞pXn
(un)dun =
= FX1(x1)...FXn(xn). ut
Is 3 ir 4 teoremu‘
isplaukia, kad atsitiktinio vektoriaus, pasiskirsciusiopagal normalu
‘ji‘desni
‘, aprasyta
‘5 skyrelyje, komponentai yra nepriklausomi
tada ir tik tada, kai atitinkamos kvadratines formos matrica yra diagonalioji.Mateme, kad atsitiktiniu
‘dydziu
‘Borelio funkcijos taip pat yra atsitiktiniai
dydziai. Intuityviai jauciame, kad nepriklausomu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘funkcijos
turetu‘buti nepriklausomi atsitiktiniai dydziai. Ir is tikru
‘ju
‘taip yra.
5 teorema. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, oϕ1, ..., ϕn – Borelio funkcijos, tai atsitiktiniai dydziai ϕ1(X1), ..., ϕn(Xn) yrataip pat nepriklausomi.
I‘
r o d y m a s. Imkime bet kurias Borelio aibes B1, ..., Bn. Prisimine‘,
kad ϕ−1k (Bk) taip pat yra Borelio aibe, is nepriklausomu
‘dydziu
‘apibrezimo
gauname
102 Atsitiktiniai dydziai
P(ϕ1(X1) ∈ B1, ..., ϕn(Xn) ∈ Bn
)=
= P(X1 ∈ ϕ−1
1 (B1), ..., Xn ∈ ϕ−1n (Bn)
)=
= P(X1 ∈ ϕ−1
1 (B1))...P
(Xn ∈ ϕ−1
n (Bn))
=
= P(ϕ1(X1) ∈ B1
)...P
(ϕn(Xn) ∈ Bn
). ut
Isvada. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, ak ir bk(k = 1, ..., n) – konstantos, tai atsitiktiniai dydziai akXk + bk (k = 1, ..., n)yra taip pat nepriklausomi.
I‘r o d y m a s. akx+ bk yra Borelio funkcijos. ut
Apibendrinsime 5 teorema‘.
6 teorema. Jei X11, ..., X1n1 , ..., Xs1 , ..., Xsns yra nepriklausomi atsitik-tiniai dydziai, ϕ1(x1, ..., xn1), ..., ϕs(x1, ..., xns) – realiosios Borelio funkcijos,tai atsitiktiniai dydziai
ϕ1(X11, ..., X1n1), ..., ϕs(Xs1, ..., Xsn)
yra taip pat nepriklausomi.I‘r o d y m a s analogiskas 5 teoremos i
‘rodymui. ut
5 ir 6 teoremose dydziai Xk buvo laikomi vienamaciais. Taciau teoremosir ju
‘i‘rodymai yra teisingi, jei Xk laikysime nebutinai to paties matavimu
‘skaiciaus atsitiktiniais vektoriais; suprantama, Borelio funkcija ϕk turi butikeliu
‘kintamu
‘ju
‘funkcija (tiek kintamu
‘ju
‘, kokio matavimu
‘skaiciaus yra vek-
torius Xk).Taip pat intuityviai aisku, kad konstanta (ja
‘galima laikyti atsitiktiniu
dydziu) nepriklauso nuo jokio atsitiktinio dydzio reiksmiu‘.
7 teorema. Konstanta ir bet koks atsitiktinis dydis yra nepriklausomi.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad X yra atsitiktinis dydis, o Y = c – konstanta.
Paeme‘bet kurias Borelio aibes B1, B2, turime
P (X ∈ B1, Y ∈ B2) =P (X ∈ B1), kai c ∈ B2,0, kai c 6∈ B2,
irP (Y ∈ B2) =
1, kai c ∈ B2,0, kai c 6∈ B2.
Matome, kad abiem atvejais
P (X ∈ B1, Y ∈ B2) = P (X ∈ B1)P (Y ∈ B2). ut
Atsitiktiniu‘dydziu
‘vidurkiai 103
7. ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
VIDURKIAI
Atsitiktinio dydzio pasiskirstyma‘nusako jo indukuotas matas arba pasiskirs-
tymo funkcija. Taciau praktiskai daznai pakanka maziau pilnu‘suminiu
‘atsi-
tiktinio dydzio charakteristiku‘. Viena is ju
‘yra vidurkis.
Pirmiausia pateiksime kai kuriuos intuityvius samprotavimus, po to for-maliai apibresime atsitiktinio dydzio vidurki
‘. Isnagrinesime pavyzdi
‘. Tarkime,
kad metame losimo kauliuka‘N kartu
‘. Is tikimybes statistines interpretacijos
isplaukia, kad akuciu‘skaicius k (k = 1, ..., 6) atsivers mazdaug N/6 kartu
‘.
Todel bendras atsivertusiu‘akuciu
‘skaicius po N metimu
‘mazdaug yra lygus
1 · N6
+ 2 · N6
+ 3 · N6
+ 4 · N6
+ 5 · N6
+ 6 · N6.
Vienam metimui vidutiniskai teks
1 · 16
+ 2 · 16
+ 3 · 16
+ 4 · 16
+ 5 · 16
+ 6 · 16
=72
akuciu‘.
Nagrinekime bendresni‘pavyzdi
‘. Sakykime, X yra diskretusis atsitiktinis
dydis, i‘gyjantis baigtini
‘skaiciu
‘skirtingu
‘reiksmiu
‘x1, ..., xr su atitinkamomis
tikimybemis p1, ..., pr. Stebime ji‘N kartu
‘. Pagal statistine
‘tikimybes inter-
pretacija‘zinome, kad vidutiniskai Np1 kartu
‘stebesime reiksme
‘x1, Np2 kartu
‘– reiksme
‘x2 ir t. t. Visu
‘stebetu
‘reiksmiu
‘suma bus vidutiniskai lygi
r∑k=1
xkNpk,
ir vienam stebejimui teksr∑
k=1
xkpk.
Sie heuristiniai samprotavimai leidzia atsitiktinio dydzio vidutine reiksmearba vidurkiu laikyti suma
‘
MX =r∑
k=1
xkpk.
Daznai MX dar vadinamas matematine viltimi. Tai – istorinis terminas,placiai paplite
‘s ir siandienineje literaturoje.
Prisimine‘Lebego integralo apibrezima
‘, atsitiktinio dydzio X vidurki
‘ga-
lime uzrasyti sitaip:
MX =r∑
k=1
xkP (X = xk) =∫
Ω
X(ω)P (dω).
104 Atsitiktiniai dydziai
Dabar pateiksime bendra‘atsitiktinio dydzio vidurkio apibrezima
‘. Atsitik-
tinio dydzio X, apibrezto tikimybineje erdveje Ω,A, P, vidurkiu vadinsimeintegrala
‘
MX =∫
Ω
X(ω)P (dω),
jei X yra integruojama funkcija. Integralas gali tureti prasme‘
ir tada, kaifunkcija X yra mati, taciau nera integruojama (tik kvaziintegruojama), t. y.tada, kai vienas is integralu
‘∫Ω
X+(ω)dP,∫
Ω
X−(ω)dP
nera baigtinis. Tuo atveju kartais kalbama apie atsitiktinio dydzio apibend-rinta
‘ji‘
vidurki‘. Taciau mes laikysime, kad vidurkis egzistuoja tik tada, kai
abu tie integralai yra baigtiniai, t. y. kai X yra integruojama.Atsitiktinio dydzio vidurki
‘galima uzrasyti ir remiantis Lebego–Styltjeso
integralu. Jei PX yra atsitiktinio dydzio X indukuotas tikimybinis mataserdveje R,B, o FX – jo pasiskirstymo funkcija, tai
(1) MX =∫
R
xPX(dx) =∫
R
xdFX(x).
Funkcija X yra integruojama mato P atzvilgiu tada ir tik tada, kai funkcijax yra integruojama mato PX atzvilgiu.
I‘rodysime bendresne
‘teorema
‘.
1 teorema. Jei ϕ yra reali Borelio funkcija, apibrezta tieseje R, o X –atsitiktinis dydis, tai∫
Ω
ϕ(X(ω)
)P (dω) =
∫R
ϕ(x)PX(dx) =∫
R
ϕ(x)dFX(x).
Abu integralai arba egzistuoja, arba neegzistuoja.I‘
r o d y m a s. 1. Pirmiausia i‘rodysime atskira
‘teoremos atveji
‘, kai
funkcija ϕ yra aibes B ∈ B indikatorius: ϕ(x) = 1B(x). Tada
ϕ(X(ω)
)= 1ω:X(ω)∈B(ω)
ir ∫R
ϕ(x)PX(dx) =∫
R
1B(x)PX(dx) = PX(B) =
= Pω : X(ω) ∈ B =∫
Ω
ϕ(X(ω)
)P (dω).
2. Tarkime dabar, kad ϕ yra paprastoji neneigiama Borelio funkcija. Jiyra disjunkciu
‘Borelio aibiu
‘baigtines sistemos indikatoriu
‘tiesine kombinacija
su neneigiamais koeficientais:
Atsitiktiniu‘dydziu
‘vidurkiai 105
ϕ(x) =r∑
k=1
ck1Bk(x).
Kiekvienam indikatoriui taikome 1 dalyje i‘rodyta
‘lygybe
‘, padauginame is ck
ir susumuojame. Gauname, jog teoremos lygybe teisinga ir funkcijai ϕ(x).3. Tarkime, kad ϕ(x) yra neneigiama Borelio funkcija. Pazymeje
‘
Ank = x :k − 12n
≤ ϕ(x) <k
2n (n = 1, 2, ...; k = 1, 2, ..., 2nn),
Bn = x : ϕ(x) ≥ n (n = 1, 2, ...),
apibresime paprasta‘sias neneigiamas Borelio funkcijas (zr. V.7)
ϕn(x) =2nn∑k=1
k − 12n
1Ank(x) + 1Cn
(x).
Tos funkcijos yra neneigiamos ir ϕn(x) ϕ(x). Tada ir ϕn
(X(ω)
)
ϕ(X(ω)
). Antra vertus, is 2 i
‘rodymo dalies isplaukia, kad∫
R
ϕn(x)PX(dx) =∫
Ω
ϕn
(X(ω)
)P (dω).
Pereje‘
prie ribos, kai n → ∞, pagal neneigiamu‘
maciu‘
funkciju‘
integraloapibrezima
‘gauname∫
R
ϕ(x)PX(dx) =∫
Ω
ϕ(X(ω)
)P (dω).
4. Jei ϕ yra Borelio funkcija, galinti i‘gyti bet kurio zenklo reiksmes, tai
pagal 3 i‘rodymo dali
‘∫R
ϕ+(x)PX(dx) =∫
Ω
ϕ+(X(ω)
)P (dω),∫
R
ϕ−(x)PX(dx) =∫
Ω
ϕ−(X(ω)
)P (dω).
Ateme‘lygybes panariui, gauname reikiama
‘lygybe
‘. ut
Teoremos lygybe‘galime laikyti kintamojo keitimo Lebego integrale for-
mule.Is cia isplaukia (1) lygybe ir jos apibendrinimas
Mϕ(X) =∫
R
ϕ(x)PX(dx) =∫
R
ϕ(x)dFX(x),
106 Atsitiktiniai dydziai
jei tik funkcija ϕ yra integruojama mato PX atzvilgiu.Atsitiktinio dydzio vidurkis turi paprasta
‘”mechanine
‘” prasme
‘. Jei tiki-
mybini‘
pasiskirstyma‘
vaizduotumemes kaip vienetines mases pasiskirstyma‘
tieseje, tai atsitiktinio dydzio vidurkis reikstu‘tos mases svorio centro koor-
dinate‘.
Jei X yra diskretusis atsitiktinis dydis, i‘gyjantis reiksmes xk su atitin-
kamomis tikimybemis pk, tai, apibendrindami skyrelio pradzioje pateikta‘
formule‘, gauname
MX =∑
k
xkpk.
Jei pastaroji eilute yra begaline, tai ji turi absoliuciai konverguoti.Kai atsitiktinis dydis yra absoliuciai tolydus, tai jo vidurki
‘taip pat ga-
lime uzrasyti paprasciau, vietoj Lebego–Styltjeso integralo paeme‘paprasta
‘ji‘
Lebego.
2 teorema. Jei ϕ yra Borelio funkcija, apibrezta tieseje R, o X – atsi-tiktinis dydis, turintis tanki
‘pX , tai∫
R
ϕ(x)PX(dx) =∫
R
ϕ(x)pX(x)dx.
Pastarasis integralas yra paprastasis Lebego. Abu integralai kartu egzistuojaarba neegzistuoja.
I‘r o d y m a s. Is 5.2 teoremos turime, kad∫
B
pX(x)dx = P (X ∈ B) = PX(B),
kai B yra bet kuri Borelio aibe. Vadinasi, musu‘
teorema yra teisinga, kaiBorelio funkcija ϕ(x) = 1B(x).
Toliau teoremos i‘rodymas niekuo nesiskiria nuo 1 teoremos i
‘rodymo. Pir-
miausia ja‘i‘rodome indikatoriu
‘tiesinems kombinacijoms, t. y. paprastosioms
funkcijoms, po to neneigiamoms Borelio funkcijoms ir pagaliau bet kuriozenklo Borelio funkcijoms. I
‘rodymo detales paliekame skaitytojui. ut
Is sios teoremos isplaukia, kad absoliuciai tolydaus integruojamo dydziosu tankio funkcija pX vidurkis yra
MX =∫
R
xpX(x)dx.
Teisinga ir bendresne formule
Mϕ(X) =∫
R
ϕ(x)pX(x)dx,
kai ϕ(X(ω)
)yra integruojama funkcija.
Atsitiktiniu‘dydziu
‘vidurkiai 107
1 p a v y z d y s. Rasime binominio atsitiktinio dydzio X vidurki‘. Priminsime
(zr. 2.2 pavyzdi‘), kad tada atsitiktinis dydis i
‘gyja reiksmes 0, 1, ..., n (n ≥ 1) su
tikimybemis
P (X = k) =
(n
k
)pkqn−k, 0 ≤ p ≤ 1, q = 1− p.
Kadangi X yra diskretus, tai
MX =
n∑k=1
kn!
k!(n− k)!pkqn−k = np
n∑k=1
(n− 1)!
(k − 1)!(n− k)!pk−1qn−k =
= np
n−1∑j=0
(n− 1)!
j!(n− 1− j)!pjqn−1−j = np(p + q)n−1 = np.
2 p a v y z d y s. Apskaiciuosime atsitiktinio dydzio X, pasiskirsciusio pagalPuasono desni
‘(zr. 5.2 pavyzdi
‘), vidurki
‘. Sis dydis i
‘gyja reiksmes 0, 1, 2, ... su
tikimybemis
P (X = k) =λk
k!e−λ;
cia λ – teigiama konstanta. Atsitiktinis dydis yra diskretus. Todel
MX =
∞∑k=1
kλk
k!e−λ = e−λλ
∞∑j=0
λj
j!= λ.
Matome, kad parametras λ turi gana paprasta‘tikimybine
‘prasme
‘– jis yra atsitik-
tinio dydzio, pasiskirsciusio pagal Puasono desni‘, vidurkis.
3 p a v y z d y s. Nagrinesime diskretu‘ji‘atsitiktini
‘dydi
‘, i
‘gyjanti
‘reiksmes
(−1)k−13k/k su tikimybemis 2 · 3−k (k = 1, 2, ...). Sis dydis vidurkio neturi, norseilute
∞∑k=1
(−1)k−13k
k· 2
3k= 2
∞∑k=1
(−1)k−1
k
ir konverguoja. Mat, pastaroji eilute nekonverguoja absoliuciai
∞∑k=1
3k
k· 2
3k=
∞∑k=1
2
k= ∞.
4 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirste‘s pagal
normalu‘ji‘desni
‘(zr. 5.6 pavyzdi
‘) su tankio funkcija
p(x) =1
σ√
2πexp
(− (x− a)2
2σ2
), a ∈ R, σ > 0.
Jo vidurkis egzistuoja, nes funkcija xp(x) yra integruojama Lebego prasme. Pakeite‘
integrale
108 Atsitiktiniai dydziai
MX =
∫ ∞
−∞xp(x)dx =
1
σ√
2π
∫ ∞
−∞x exp
(− (x− a)2
2σ2
)dx
kintama‘ji‘x nauju kintamuoju y = (x− a)/σ, gauname
MX =1√2π
∫ ∞
−∞(σy + a)e−y2/2dy =
=σ√2π
∫ ∞
−∞ye−y2/2dy +
a√2π
∫ ∞
−∞e−y2/2dy.
Pirmasis integralas lygus nuliui, nes pointegraline funkcija yra nelygine. Antrasisintegralas, kaip zinome is I.15.3 lemos, lygus (2π)1/2. Todel MX = a. Vadinasi,parametro a tikimybine prasme – dydzio X vidurkis.
5 p a v y z d y s. Imsime atsitiktini‘dydi
‘, pasiskirsciusi
‘pagal Kosi desni
‘(zr.
5.10 pavyzdi‘) su tankiu
p(x) =1
π(1 + x2).
Siuo atveju ∫ ∞
−∞|x|p(x)dx =
1
π
∫ ∞
−∞
|x|1 + x2
dx = ∞.
Todel atsitiktinis dydis vidurkio neturi.
8. ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
VIDURKIU‘
SAVYBES
Ankstesniame skyrelyje apibrezeme atsitiktinio dydzio X su pasiskirstymofunkcija FX vidurki
‘. Tai – integralas∫
Ω
X(ω)P (dω) =∫
R
xPX(dx) =∫
R
xdFX(x);
cia funkcija X yra integruojama pagrindinio tikimybinio mato P atzvilgiu,arba (tai yra tas pats) funkcija x yra integruojama mato PX atzvilgiu. Isintegralo savybiu
‘isplaukia pagrindines vidurkio savybes. Svarbiausias is ju
‘isvardysime.
1. Jei atsitiktinis dydis X su tikimybe 1 lygus konstantai c, t. y. P (X == c) = 1, tai
MX = c.
2. Jei X yra neneigiamas atsitiktinis dydis, turintis vidurki‘, tai
MX ≥ 0.
3. Jei atsitiktinis dydis X turi vidurki‘, o c yra baigtine konstanta, tai cX
taip pat turi vidurki‘ir
Atsitiktiniu‘dydziu
‘vidurkiu
‘savybes 109
M(cX) = cMX.
4. Jei atsitiktiniai dydziai X,Y turi vidurkius, tai ir ju‘suma X + Y turi
vidurki‘ir
M(X + Y ) = MX +MY.
5. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi vidurkius ir X ≤ Y , tai ir
MX ≤MY.
Atskiru atveju, jei a ≤ X ≤ b, tai ir
a ≤MX ≤ b.
6. Jei X turi vidurki‘, tai
|MX| ≤M |X|.
7. Jei X ir Y ≥ 0 yra atsitiktiniai dydziai, |X| ≤ Y ir Y turi vidurki‘, tai
ir X turi vidurki‘ir
|MX| ≤MY.
8. Jei X yra neneigiamas atsitiktinis dydis, turi‘s vidurki
‘MX = 0, tai
P (X = 0) = 1.Ir kitas V.9 skyrelio teoremas atitinka vidurkio savybes, bet ju
‘cia ne-
minesime.Atsitiktiniu
‘dydziu
‘vidurkiai turi savybiu
‘, kurios nera tiesiogines integralo
savybiu‘isvados.
Toliau mums pravers sitokia svarbi vidurkiu‘savybe.
Teorema. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklausomi ir turividurkius, tai tu
‘dydziu
‘sandauga XY taip pat turi vidurki
‘ir
MXY = MX ·MY.
I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad X ir Y yra paprastosios (neneigiamos)
funkcijos, i‘gyjancios reiksmes xk ir yl. Tada XY yra taip pat paprastoji
funkcija. Is vidurkio apibrezimo ir 6.2 teoremos isplaukia i‘rodomoji lygybe
MXY =∑k,l
xkylP (X = xk, Y = yl) =
=∑k,l
xkylP (X = xk)P (Y = yl) =
=∑
k
xkP (X = xk)∑
l
ylP (Y = yl) = MX ·MY.
110 Atsitiktiniai dydziai
2. Sakykime, X ir Y yra neneigiami. Pazymekime (n = 1, 2, ...) (zr. V. 7)
Ψn(x) =
k−12n , kai k−1
2n ≤ x < k2n (k = 1, 2, ..., 2nn),
n , kai x ≥ n.
Tada Xn(ω) = Ψn
(X(ω)
)ir Yn(ω) = Ψn
(Y (ω)
)pagal 6.5 teorema
‘yra
nepriklausomi. Todel pagal 1 i‘rodymo dali
‘
(1) MXnYn = MXn ·MYn.
Antra vertus, Xn(ω) X(ω), Yn(ω) Y (ω). Todel Xn(ω)Yn(ω) X(ω)Y (ω). Pagal neneigiamu
‘maciu
‘funkciju
‘integralo apibrezima
‘is (1)
gauname, kad MXY egzistuoja ir
MXY = MX ·MY.
3. Tirsime atsitiktinius dydzius X,Y , galincius i‘gyti bet kurio zenklo
reiksmes. Pazymekime, kaip paprastai, X(ω) = X+(ω) − X−(ω), Y (ω) == Y +(ω)−Y −(ω). Atsitiktiniai dydziaiX± ir Y ± yra neneigiami ir (kaipX irY Borelio funkcijos) nepriklausomi. Be to, egzistuoja vidurkiai MX±,MY ±.Is vidurkio adityvumo ir 2 i
‘rodymo dalies gauname
MXY = M(X+ −X−)(Y + − Y −) =
= MX+Y + −MX+Y − −MX−Y + +MX−Y − =
= MX+ ·MY + −MX+ ·MY − −MX− ·MY ++
+MX− ·MY − = (MX+ −MX−)(MY + −MY −) = MX ·MY.
Kartu isplaukia ir vidurkio MXY egzistavimas. utSi teorema nera apverciama: galima rasti ir priklausomus atsitiktinius
dydzius, turincius vidurkius bei tenkinancius sa‘lyga
‘MXY = MX · MY .
Tai isplaukia ir is sitokio pavyzdzio. Imkime du nepriklausomus atsitiktiniusdydziusX ir Z. Tarkime, kad egzistuojaMX2 irMZ. 9 skyrelyje parodysime,kad tada egzistuoja irMX. Be to, tarkime, kadMX = MZ = 0. PazymekimeY = XZ. Tada, aisku, dydziai X ir Y nera nepriklausomi (isskyrus trivialiusatvejus, pvz., kai X yra konstanta). Taciau
MXY = MX2Z = MX2 ·MZ = 0 = MX ·MY.
Baigdami si‘skyreli
‘, pastebesime, kad simetrisku
‘integruojamu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘vidurkiai yra lygus 0. Is tikru
‘ju
‘, jei atsitiktinis dydis X turi vidurki
‘ir yra simetriskas, tai visoms B ∈ B
PX(B) = P−X(B)
ir
Momentai ir kitos skaitines charakteristikos 111
MX =∫
R
xPX(dx) =∫
R
xP−X(dx) = M(−X) = −MX.
Taciau MX = −MX tada ir tik tada, kai MX = 0.
9. MOMENTAI IR KITOS SKAITINESCHARAKTERISTIKOS
Atsitiktinio dydzioX k-osios eiles, arba tiesiog k-uoju, momentu (k – sveikasisneneigiamas skaicius) vadiname jo k-ojo laipsnio vidurki
‘
MXk =∫
Ω
Xk(ω)P (dω),
jei tik Xk yra integruojama funkcija. Ir cia laikome 0 = 1. Pasinaudoje‘7.1
teorema, k-a‘ji‘momenta
‘galime uzrasyti sitaip:
MXk =∫ ∞
−∞xkPX(dx) =
∫ ∞
−∞xkdFX(x).
Aisku, nulines eiles momentas lygus 1. Kaip zinome, funkcija Xk yra integ-ruojama tada ir tik tada, kai jos absoliutusis didumas yra integruojamas,t. y. kai yra baigtinis integralas
M |X|k =∫
Ω
|X(ω)|kP (dω) =∫ ∞
−∞|x|kdFX(x).
Pastarasis integralas yra vadinamas atsitiktinio dydzio X k-osios eiles, arbatiesiog k-uoju, absoliuciuoju momentu. Siuo atveju k gali buti ne tik sveikasis,bet ir bet kuris teigiamas skaicius.
Jei egzistuoja k-osios eiles momentas, tai egzistuoja ir visi zemesniu‘eiliu
‘momentai. Is tikru
‘ju
‘, jei 0 ≤ r < k, tai∫
Ω
|X(ω)|rP (dω) =∫|X(ω)|≤1
|X(ω)|rP (dω)+
+∫|X(ω)|>1
|X(ω)|rP (dω) ≤∫|X(ω)|≤1
P (dω)+
+∫|X(ω)|>1
|X(ω)|kP (dω) ≤ 1 +M |X|k.
Tarkime, kad egzistuoja atsitiktinio dydzio vidurkis MX. Tada
112 Atsitiktiniai dydziai
M(X −MX)k =∫
Ω
(X(ω)−MX
)kP (dω) =
=∫ ∞
−∞(x−MX)kdFX(x)
yra vadinamas atsitiktinio dydzio X k-osios eiles, arba k-uoju, centriniu mo-mentu. Jis egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja k-asis centrinis absoliu-tusis momentas
M |X −MX|k =∫
Ω
|X(ω)−MX|kP (dω) =
=∫ ∞
−∞|x−MX|kdFX(x).
MXk ir M |X|k kartais dar vadinami pradiniais momentais.Tarp pradiniu
‘ir centriniu
‘momentu
‘yra gana paprastas rysys. Pradinius
momentus pazymekime raidemis αk, o centrinius – raidemis µk. Tada
(1) µn = M(X − α1)n =n∑
k=0
(n
k
)(−1)kαk
1αn−k.
Is cia gaunameµ0 = 1,
µ1 = 0,
µ2 = α2 − α21,
µ3 = α3 − 3α2α1 + 2α31,
µ4 = α4 − 4α3α1 + 6α2α21 − 3α4
1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
irα2 = µ2 + α2
1,
α3 = µ3 + 3µ2α1 + α31,
α4 = µ4 + 4µ3α1 − 6µ2α21 + α4
1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jei atsitiktinis dydis X yra diskretus ir i‘gyja reiksmes xn su atitinka-
momis tikimybemis pn, tai
MXk =∑
n
pnxkn,
M(X − α1)k =∑
k
pn(xn − α1)k.
Momentai ir kitos skaitines charakteristikos 113
Jei atsitiktinis dydis X yra absoliuciai tolydus ir jo tankio funkcija yrapX , tai
MXk =∫ ∞
−∞xkpX(x)dx,
M(X − α1)k =∫ ∞
−∞(x− α1)kpX(x)dx.
1 p a v y z d y s. Rasime atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘
desni‘N(a, σ2), centrinius momentus
µk =1
σ√
2π
∫ ∞
−∞(x− a)ke−(x−a)2/(2σ2)dx.
Pakeite‘kintama
‘ji‘y = (x− a)/σ, turime
µk =σk
√2π
∫ ∞
−∞yke−y2/2dy.
Kai k yra nelyginis, tai µk = 0, nes pointegraline funkcija yra nelygine. Ap-skaiciuosime µk, kai k = 2n. Pagal I.15.3 lema
‘
µ0 =1√2π
∫ ∞
−∞e−y2/2dy = 1.
Kai n ≥ 1, integruodami dalimis, gauname
µ2n = −2σ2n
√2π
∫ ∞
0
y2n−1de−y2/2 = −2σ2n
√2π
y2n−1e−y2/2∣∣∣∞0
+
+2(2n− 1)σ2n
√2π
∫ ∞
0
y2n−2e−y2/2dy = σ2(2n− 1)µ2n−2.
Is sios rekurentines formules isplaukia
µ2n = σ2n(2n− 1)(2n− 3)...1 = (2n− 1)!!σ2n =(2n− 1)!
2n−1(n− 1)!σ2n.
Tarkime, kad X = (X1, ..., Xs) yra atsitiktinis vektorius. Jo k-osios(k = k1 + ...+ ks, k1, ..., ks – sveikieji neneigiami skaiciai) eiles, arba k-uoju,momentu vadiname vidurki
‘
MXk11 ...Xks
s =∫
Ω
Xk11 (ω)...Xks
s (ω)P (dω) =
=∫
Rs
xk11 ...x
kss PX(dx1, ..., dxs) =
∫R
xk11 ...x
kss dF (x1, ..., xs),
114 Atsitiktiniai dydziai
jei tik pointegraline funkcija yra integruojama. Kai bent du is skaiciu‘kj yra
teigiami, kartais kalbame apie misru‘ji‘
atitinkamos eiles momenta‘. Jei viena-
maciai atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xs turi vidurkius, galime ieskoti centriniu‘
momentu‘
M(X1 −MX1)k1 ...(Xs −MXs)ks =
=∫
Ω
(X1(ω)−MX1
)k1 · · ·(Xs(ω)−MXs
)ksP (dω).
Kaip ir vienamaciams dydziams, galima i‘vesti ir absoliuciu
‘ju
‘momentu
‘sa
‘vokas.
1 teorema (Kosi nelygybe). Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi ant-ruosius momentus, tai ju
‘sandauga XY turi vidurki
‘, be to,
M |XY | ≤√MX2 ·MY 2.
I‘
r o d y m a s. MXY egzistavimas ir i‘rodomoji nelygybe isplaukia is
V.9.13 teoremos. ut2 teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi r-a
‘ji‘
absoliutu‘ji‘
momenta‘
irr ≥ 1, tai
|MX|r ≤M |X|r.
I‘
r o d y m a s. Imkime funkcija‘h(x) = xr, kai x ≥ 0. Jos isvestine
h′(x) = rxr−1 yra nemazejanti funkcija. Pagal baigtiniu‘pokyciu
‘teorema
‘
h(x)− h(x0) = (x− x0)h′(ξ);
cia ξ telpa tarp x0 ir x. Teisinga nelygybe
h(x)− h(x0) ≥ (x− x0)h′(x0).
Is tikru‘ju
‘, kai x ≥ x0, tai imame maziausia
‘h′(x) reiksme
‘h′(x0), o kai x < x0,
tai didziausia‘h′(x0). Vadinasi,
xr − xr0 ≥ rxr−1
0 (x− x0),
kai x0 ir x yra neneigiami. Is cia isplaukia, kad
|X(ω)|r ≥Mr|X| − rMr−1|X|(X(ω)−M |X|
).
Pagal V.9.4 teorema‘
Momentai ir kitos skaitines charakteristikos 115
M |X|r =∫
Ω
|X(ω)|rP (dω) ≥Mr|X|+
+ rMr−1|X|∫
Ω
(|X(ω)−M |X|
)P (dω) = Mr|X|. ut
3 teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi t-a‘ji‘
absoliutu‘ji‘
momenta‘
ir0 < s ≤ t, tai
(M |X|s)1/s ≤ (M |X|t)1/t.
I‘r o d y m a s. Paeme
‘r = t/s, taikykime 2 teoremos nelygybe
‘atsitik-
tiniam dydziui |X|s. Gausime
(M |X|s)t/s ≤M(|X|s)t/s = M |X|t. ut
Is sios teoremos isplaukia nelygybiu‘serija
M |X| ≤ (MX2)1/2 ≤ (M |X|3)1/3 ≤ ... ≤ (M |X|n)1/n,
jei tik egzistuoja n-asis momentas.Keleta
‘momentu
‘panagrinesime smulkiau. Kaip mateme 7 skyrelyje, pir-
masis momentas apibudina atsitiktinio dydzio vidutine‘
reiksme‘. Antrasis
centrinis momentas
M(X −MX)2 =∫
Ω
(X −MX)2P (dω) =∫
R
(x−MX)2dFX(x)
apibudina atsitiktinio dydzio X reiksmiu‘
issibarstyma‘. Todel tas momen-
tas vadinamas dispersija (nuo lotynu‘kalbos zodzio dispergere – issklaidyti,
isbarstyti) ir zymimas DX. Kaip zinome (zr. (1)), ja‘galima uzrasyti ir sitaip:
DX = MX2 −M2X.
Toks uzrasas kartais patogesnis. Dispersijos, kaip ir vidurkio, ”mechanine”prasme yra paprasta. Jei tikimybini
‘pasiskirstyma
‘vaizduotumemes kaip
vienetines mases pasiskirstyma‘tieseje, tai dispersija reikstu
‘tos mases iner-
cijos momenta‘.
Dispersija‘galima apibrezti ir kitaip. Pasirodo, ji lygi
mina∈R
M(X − a)2.
Is tikru‘ju
‘is tapatybes
M(X − a)2 = MX2 + (a2 − 2aMX) = MX2 + (a−MX)2 −M2X
isplaukia, kad M(X − a)2 minimumas gaunamas tada, kai a = MX, ir todel
116 Atsitiktiniai dydziai
minaM(X − a)2 = MX2 −M2X.
Aritmetine kvadratines saknies is dispersijos reiksme√DX yra vadinama
atsitiktinio dydzio X standartiniu nuokrypiu arba tiesiog standartu.
2 p a v y z d y s. Tarkime, kad X yra atsivertusiu‘
akuciu‘
skaicius, metuslosimo kauliuka
‘. Kaip mateme 7 skyrelyje, MX = 7/2. Dydzio X2 vidurkis
MX2 = 12 · 1
6+ 22 · 1
6+ 32 · 1
6+ 42 · 1
6+ 52 · 1
6+ 62 · 1
6=
91
6.
Todel
DX =91
6− 49
4=
35
12.
3 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X pasiskirste‘s pagal binomini
‘desni
‘(zr. 2.2 pvz.). Tada, kaip mateme 7 skyrelyje, MX = np. Apskaiciuosime
MX2 =
n∑k=0
k2
(n
k
)pkqn−k.
Pertvarkysime si‘reiskini
‘, laikydami n ≥ 2:
MX2 =
n∑k=1
[1 + (k − 1)]n!
(k − 1)!(n− k)!pkqn−k =
= np
n∑k=1
(n− 1)!
(k − 1)!(n− k)!pk−1qn−k+
+ n(n− 1)p2
n∑k=2
(n− 2)!
(k − 2)!(n− k)!pk−2qn−k =
= np(p + q)n−1 + n(n− 1)p2(p + q)n−2 =
= np + n(n− 1)p2 = n2p2 + npq.
Vadinasi, DX = npq. Kai n = 1,
DX = 12 · p + 02 · q − p2 = p− p2 = pq.
4 p a v y z d y s. Sakykime, dydis x pasiskirste‘s pagal Puasono desni
‘su
parametru λ (zr. 5.2 pvz.). Kaip jau apskaiciavome 7 skyrelyje, MX = λ. Taigi
MX2 =
∞∑k=0
k2 λk
k!e−λ = λe−λ
∞∑k=1
[1 + (k − 1)]λk−1
(k − 1)!=
= λe−λ
∞∑k=1
λk−1
(k − 1)!+ λ2e−λ
∞∑k=2
λk−2
(k − 2)!=
= λe−λ · eλ + λ2e−λ · eλ = λ + λ2.
Momentai ir kitos skaitines charakteristikos 117
Todel DX = λ.
5 p a v y z d y s. Sio skyrelio pradzioje (1 pvz.) jau esame apskaiciave‘, kad
atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘desni
‘N(a, σ2), dispersija yra σ2.
4 teorema. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X turi vidurki‘a. Jo dispersija
DX = 0 tada ir tik tada, kai X su tikimybe 1 yra lygus konstantai a:
P (X = a) = 1.
I‘r o d y m a s. Pakankamumas yra trivialus. Butinumas isplaukia is V.9.9
teoremos, nes is M(X − a)2 = 0 gauname P (X − a 6= 0) = 0. ut
5 teorema. Jei c – reali konstanta, o X – bet koks atsitiktinis dydis,turintis dispersija
‘, tai cX taip pat turi dispersija
‘ir
DcX = c2DX.
I‘r o d y m a s isplaukia is lygybiu
‘
DcX = M(cX −McX)2 = Mc2(X −MX)2 == c2M(X −MX)2 = c2DX. ut
6 teorema. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi dispersijas, tai ja‘turi ir
atsitiktinis dydis X + Y ir
D(X + Y ) = DX +DY + 2M(X −MX)(Y −MY ).
I‘r o d y m a s. D(X+Y ) = M [(X+Y )−M(X+Y )]2 = M [(X−MX)+
+(Y −MY )]2 = M(X −MX)2 +M(Y −MY )2 + 2M(X −MX)(Y −MY ).Atsitiktinio dydzio X +Y dispersijos egzistavimas isplaukia is 1 teoremos. ut
Dydis M(X − MX)(Y − MY ) = MXY − MX · MY yra vadinamasatsitiktiniu
‘dydziu
‘X ir Y kovariacija ir zymimas cov(X,Y ).
Atsitiktinio vektoriaus (X1, ..., Xs) kovariaciju‘matrica vadiname matrica
‘∥∥∥∥∥ cov(X1, X1) · · · cov(X1, Xs)· · · · · · · · ·
cov(Xs, X1) · · · cov(Xs, Xs),
∥∥∥∥∥,jei tik atitinkamos kovariacijos egzistuoja.
Panagrinesime kovariaciju‘savybes.
118 Atsitiktiniai dydziai
7 teorema. Jei X ir Y – atsitiktiniai dydziai, turi‘antruosius momentus,
o c – konstanta, tai teisingos lygybes
cov(X,X) = DX,
cov(X,Y ) = cov(Y,X),
cov(cX, Y ) = c cov(X,Y ),
cov(X + c, Y ) = cov(X,Y ).
I‘r o d y m a s. Tu
‘lygybiu
‘i‘rodymas yra tiesiogine isvada is kovariacijos
apibrezimo ir vidurkiu‘savybiu
‘. I
‘rodysime nebent ketvirta
‘ja
‘savybe
‘. Turime
cov(X + c, Y ) = M(X + c−M(X + c))(Y −MY ) == M(X −MX)(Y −MY ) = cov(X,Y ). ut
Remdamiesi kovariacijos sa‘voka, 6 teoremos lygybe
‘galime uzrasyti sitaip:
(2) D(X + Y ) = DX +DY + 2 cov(X,Y ).
Pastaroji lygybe suprasteja, kai cov(X,Y ) = 0. Sakome, kad dydziai X ir Yyra nekoreliuoti, jei ju
‘cov(X,Y ) lygi 0.
1 isvada. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi dispersijas, tai
D(X + Y ) = DX +DY
tada ir tik tada, kai X ir Y yra nekoreliuoti.Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklausomi ir turi dispersijas, tai
jie yra ir nekoreliuoti, nes tada is nepriklausomumo ir 8 skyrelio teoremosisplaukia, kad MXY = MX · MY . Kaip zinome is 8 skyrelio, si lygybegali buti teisinga ir tada, kai dydziai X,Y nera nepriklausomi. Vadinasi,nekoreliuoti dydziai gali buti ir priklausomi. Is 1 isvados isplaukia sitokia.
2 isvada. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklausomi ir turi dis-persijas, tai ju
‘sumos dispersija yra lygi tu
‘dydziu
‘dispersiju
‘sumai:
D(X + Y ) = DX +DY.
3 isvada. Jei atsitiktinis dydis X turi dispersija‘, o c – reali konstanta,
tai X + c taip pat turi dispersija‘
ir
D(X + c) = DX.
Momentai ir kitos skaitines charakteristikos 119
8 teorema. Jei X1, ..., Xn turi antruosius momentus, tai ju‘
suma turidispersija
‘ir
Dn∑
k=1
Xk =n∑
k,l=1
cov(Xk, Xl) =
=n∑
k=1
DXk + 2∑
1≤k<l≤n
cov(Xk, Xl).
I‘r o d y m a s. Trivialus. ut
Isvada. Jei dydziai X1, ..., Xn turi dispersijas ir yra kas du nekoreliuoti,tai
D(X1 + ...+Xn) = DX1 + ...+DXn.
Dvieju‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘X,Y , turinciu
‘teigiamas dispersijas, priklauso-
mumui apibudinti yra i‘vedamas ju
‘koreliacijos koeficientas
%(X,Y ) =cov(X,Y )√DX ·DY
.
Jei dydziai yra nekoreliuoti, tai ju‘koreliacijos koeficientas lygus 0. Is 1 teo-
remos isplaukia, kad|%(X,Y )| ≤ 1.
Kaip matysime is 9 teoremos, jis gali buti lygus ±1. Tada dydziai yra labaistipriai priklausomi.
9 teorema. Koreliacijos koeficientas
%(X,Y ) = ±1
tada ir tik tada, kai egzistuoja tokios konstantos a 6= 0, b 6= 0, c, kad P (aX++ bY = c) = 1.
I‘
r o d y m a s. 1. Tarkime, kad P (aX + bY = c) = 1; cia a, b, c yrakonstantos.
Apskaiciuosime koreliacijos koeficienta‘
%(X,Y ) =cov(X,Y )√DX ·DY
=cov
(X, c−aX
b
)√DX ·D c−aX
b
=
=−a
b cov(X,X)√a2
b2DX ·DX= − sgn ab.
120 Atsitiktiniai dydziai
24 pav.
2. Teisinga lygybe
D( X√
DX± Y√
DY
)= 2
(1± cov(X,Y )√
DX ·DY
)= 2
(1± %(X,Y )
).
Jei %(X,Y ) = ∓1, tai is 4 teoremos isplaukia, kad su tikimybe 1
X√DX
± Y√DY
= const. ut
Sa‘lygines tikimybes ir sa
‘lyginiai vidurkiai 121
Momentai, kaip mateme, apibudina atsitiktinius dydzius i‘vairiais poziu-
riais, taciau jie ne visada egzistuoja. Tenka ieskoti ir kitu‘
charakteristiku‘.
Placiai vartojami vadinamieji kvantiliai.Tarkime, kad 0 < p < 1. Atsitiktinio dydzio X lygio p kvantiliu, arba
tiesiog p kvantiliu, vadiname skaiciu‘xp, tenkinanti
‘nelygybes
P (X < xp) ≤ p ≤ P (X ≤ xp),
kitaip tariant, nelygybes
FX(xp) ≤ p ≤ FX(xp + 0).
Kvantilis visada egzistuoja, nors ne visada yra vienareiksmiskai nusakomas.Jei (x, y) plokstumoje nubreztume funkcijos y = F (x) grafika
‘ir tiese
‘y = p,
tai ta tiese su funkcijos grafiku gali netureti ne vieno bendro tasko, turetiviena
‘arba be galo daug – istisa
‘intervala
‘tasku
‘(zr. 24 pav., a, b, c). Pas-
taruoju atveju kvantiliu‘
yra be galo daug; tada daznai kvantiliu laikomasatkarpos [x′p, x
′′p ] vidurio taskas.
Kai p = 1/2, 1/4, 3/4, q/10 (q = 1, ..., 9), r/100 (r = 1, ..., 99), kvantiliaivadinami atitinkamai mediana, apatiniu kvartiliu, virsutiniu kvartiliu, q-uojudeciliu, r-uoju procentiliu.
Mediana apibudina atsitiktinio dydzio vidutine‘
reiksme‘. Kai turime
pakankama‘
skaiciu‘
kvantiliu‘, is ju
‘didumo galime si
‘ta
‘pasakyti apie pa-
siskirstymo funkcija‘.
10. SA‘LYGINES TIKIMYBES IR SA
‘LYGINIAI
VIDURKIAI
I.11 skyrelyje jau nagrinejome sa‘lygines tikimybes sa
‘voka
‘. Priminsime ja
‘.
Imkime tikimybine‘erdve
‘Ω,A, P. Tarkime, kad A yra bet koks atsitikti-
nis i‘vykis, o E – atsitiktinis i
‘vykis su sa
‘lyga P (E) > 0. I
‘vykio A sa
‘lygine
tikimybe su sa‘lyga E vadinome santyki
‘
P (A|E) = PE(A) =P (A ∩ E)P (E)
.
I‘rodeme, kad Ω,A, PE yra tikimybine erdve.
Tarkime, kad X = X(ω) yra atsitiktinis dydis. Funkcija‘
FX(x|E) = PE(X < x) =P (X < x ∩ E
P (E)
vadinsime (zr. 2 skyreli‘) dydzio X sa
‘lygine pasiskirstymo funkcija, o integrala
‘
122 Atsitiktiniai dydziai
MEX = M(X|E) =∫
Ω
X(ω)PE(dω) =∫ ∞
−∞xdFX(x|E),
jei X(ω) yra PE-integruojama, – dydzio X sa‘lyginiu vidurkiu su sa
‘lyga E.
1 teorema. Jei M(X|E) egzistuoja, tai
M(X|E) =∫
E
X(ω)PE(dω) =1
P (E)
∫E
X(ω)P (dω).
I‘r o d y m a s. Kadangi PE(Ec) = 0, tai∫
Ec
X(ω)PE(dω) = 0.
Is cia isplaukia pirmoji lygybe. Jei A ⊂ E, A ∈ A, tai
PE(A) =P (A ∩ E)P (E)
=P (A)P (E)
.
Todel pagal integralo apibrezima‘∫
E
X(ω)PE(dω) =1
P (E)
∫E
X(ω)P (dω).
Gavome antra‘ja
‘lygybe
‘. ut
1 isvada. Jei egzistuoja MX, tai egzistuoja ir M(X|E).I‘r o d y m a s isplaukia is 1 teoremos antrosios lygybes. ut
2 isvada. Kiekvienam A ∈ A
M(1A|E) = P (A|E).
I‘r o d y m a s. Is 1 teoremos antrosios lygybes gauname
M(1A|E) =1
P (E)
∫E
1A(ω)P (dω) =1
P (E)
∫A∩E
P (dω) =
=P (A ∩ E)P (E)
= P (A|E). ut
2 teorema. Jei Ek yra baigtine arba skaiti kas du nesutaikomu‘
atsi-tiktiniu
‘i‘vykiu
‘aibe, ⋃
k
Ek = Ω,
Sa‘lygines tikimybes ir sa
‘lyginiai vidurkiai 123
P (Ek) > 0 visiems k ir MX egzistuoja, tai
MX =∑
k
P (Ek)M(X|Ek).
I‘r o d y m a s. Is integralo adityvumo ir 1 teoremos isplaukia, kad
MX =∫
Ω
X(ω)P (dω) =∑
k
∫Ek
X(ω)P (dω) =
=∑
k
P (Ek)M(X|Ek). ut
Paeme‘2 teoremoje X(ω) = 1A(ω), A ∈ A, gauname I.11.5 teorema
‘–
pilnosios tikimybes formule‘.
Musu‘
tikslas – apibendrinti sa‘lyginio vidurkio bei sa
‘lygines tikimybes
sa‘vokas. Tarkime, kad E yra sistemos A σ poalgebris. Daznai tai bus aibiu
‘σ
algebra, generuota vieno arba keliu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘. Jei Y yra atsitiktinis
dydis, apibreztas tikimybineje erdveje Ω,A, P, tai visu‘Borelio aibiu
‘B ∈ B
pirmavaizdziai Y −1(B) (zr. 1 skyreli‘) sudaro aibiu
‘σ algebra
‘, kuri yra A σ
poalgebris. Visai taip pat kiekvienam atsitiktiniam vektoriui Y = (Y1, ..., Ys)visu
‘Borelio aibiu
‘B ∈ Bs pirmavaizdziai Y −1(B) sudaro A σ poalgebri
‘.
Apibresime atsitiktinio dydzio X sa‘lygini
‘vidurki
‘M(X|E) su sa
‘lyga E .
Pirmiausia isnagrinesime konkretu‘atveji
‘. Tarkime, kad aibe
‘Ω suskaideme i
‘baigtine
‘arba skaicia
‘sistema
‘poaibiu
‘Ek, priklausanciu
‘A ir kas du neturinciu
‘bendru
‘elementu
‘, ⋃
k
Ek = Ω, Ej ∩ Ek = ∅ (j 6= k).
Taip skaidyti galime, pavyzdziui, tada, kai turime diskretu‘ji‘atsitiktini
‘dydi
‘Y , i
‘gyjanti
‘reiksmes yk, ir imame Ek = ω : Y (ω) = yk. Pazymekime E
aibiu‘Ek sistemos generuota
‘σ algebra
‘. Aisku, E ⊂ A. Tarkime, kad P (Ek) >
> 0. Apibresime funkcija‘M(X|E) aibeje Ω, imdami
M(X|E) = M(X|E)(ω) =∑
k
M(X|Ek)1Ek(ω).
Aisku M(X|E) yra diskretusis atsitiktinis dydis, i‘gyjantis reiksme
‘M(X|Ek)
aibeje Ek. Jei egzistuoja MX, tai pagal 2 teorema‘∫
Ω
M(X|E)P (dω) =∑
k
∫Ek
M(X|Ek)P (dω) =
=∑
k
M(X|Ek)P (Ek) = MX.
124 Atsitiktiniai dydziai
Kadangi σ algebros E aibes E yra baigtines arba skaicios aibiu‘Ek sa
‘jungos
(i‘rodykite!)
E =⋃k
′Ek,
tai kiekvienai E ∈ E pagal 1 teorema‘
(1)
∫E
X(ω)P (dω) =∑
k
′∫
Ek
X(ω)P (dω) =
=∑
k
′P (Ek)M(X|Ek) =
=∑
k
′∫
Ek
M(X|E)P (dω) =∫
E
M(X|E)P (dω).
Is sios lygybes isplaukia, kad funkcija M(X|E) yra integruojama. (1) for-mules pirmasis ir paskutinis integralai is esmes skiriasi: pirmojo pointegralinefunkcija yraAmati, o paskutiniojo pointegraline funkcija – E mati. (1) lygybeteisinga visoms E ∈ E , bet gali ir nebuti teisinga, kai E ∈ A\E .
Parodysime, kad (1) lygybe tam tikra prasme apraso funkcija‘M(X|E)
vienareiksmiskai. Tai isplauks is sitokios lemos.
1 lema. Jei ϕ yra E mati funkcija ir visoms E ∈ E teisinga lygybe∫E
ϕ(ω)P (dω) = 0,
tai beveik visur mato P atzvilgiu ϕ(ω) = 0, t. y.
P(ω : ϕ(ω) 6= 0
)= 0.
I‘r o d y m a s. Is lemos sa
‘lygu
‘∫ω:ϕ(ω)>0
ϕ(ω)P (dω) = 0.
Pagal V.9.9 teorema‘P
(ω : ϕ(ω) > 0
)= 0. Pakeite
‘funkcija
‘ϕ(ω) funkcija
−ϕ(ω), gauname P(ω : ϕ(ω) < 0
)= 0. Vadinasi, P
(ω : ϕ(ω) 6= 0
)= 0. ut
Is cia lengvai isplaukia funkcijos M(X|E) vienareiksmiskumas. Tarkime,kad yra dvi E macios funkcijos ϕ1 ir ϕ2, visoms E ∈ E tenkinancios lygybe
‘∫E
X(ω)P (dω) =∫
E
ϕk(ω)P (dω) (k = 1, 2),
t. y.
Sa‘lygines tikimybes ir sa
‘lyginiai vidurkiai 125∫
E
(ϕ1(ω)− ϕ2(ω)
)P (dω) = 0.
Pagal 1 lema‘
P(ω : ϕ1(ω) 6= ϕ2(ω)
)= 0,
kitaip tariant, beveik visur mato P atzvilgiu ϕ1(ω) = ϕ2(ω).Taigi (1) lygybe apraso ekvivalenciu
‘mato P atzvilgiu funkciju
‘klase
‘. Ja
remdamiesi, apibreziame sa‘lygini
‘vidurki
‘M(X|E) bendruoju atveju, kai E
yra bet kuris A σ poalgebris.
3 teorema. Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, o E – sistemosA σ poalgebris, tai egzistuoja vienintele ekvivalenciu
‘mato P atzvilgiu ir E
maciu‘
funkciju‘ϕ klase, visoms E ∈ E tenkinanti lygybe
‘
(2)∫
E
X(ω)P (dω) =∫
E
ϕ(ω)P (dω).
I‘r o d y m a s. Nagrinesime aibes funkcija
‘
ν(E) =∫
E
X(ω)P (dω),
apibrezta‘visoms E ∈ E . Kadangi X yra integruojamas, tai ν yra baigtine
funkcija. Is integralo savybiu‘
isplaukia visiskas jo adityvumas. Taip pat isintegralo savybiu
‘turime: jei P (E) = 0, tai ν(E) = 0. Vadinasi, ν yra kruvis
(apibendrintas matas), absoliuciai tolydus P atzvilgiu. Teoremos teiginysisplaukia is Radono1–Nikodimo2 teoremos. Funkcija ϕ yra Radono–Nikodimo”isvestine” dν/dP . ut
Dabar jau galime pateikti bendra‘sa
‘lyginio vidurkio M(X|E) apibrezima
‘.
Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, apibreztas tikimybineje erdvejeΩ,A, P, ir E yraA σ poalgebris, tai sa
‘lyginiu vidurkiu E atzvilgiu vadinsime
kiekviena‘
is ekvivalenciu‘P atzvilgiu funkciju
‘ϕ(ω), apibreztu
‘aibeje Ω, E
maciu‘ir kiekvienai E ∈ E tenkinanciu
‘(2) lygybe
‘. Dvi tokios funkcijos gali
skirtis tik nulinio P mato aibeje. Zymesime M(X|E). Kiekviena‘
konkrecia‘
nusakytos klases funkcija‘vadinsime sa
‘lyginio vidurkio versija (variantu).
Jei A ∈ A, tai sa‘lygine i
‘vykio A tikimybe E atzvilgiu vadinsime P (A|E) =
= M(1A|E).Jei E yra σ algebra, generuota vienamacio ar daugiamacio atsitiktinio
dydzio Y , tai sa‘lygini
‘vidurki
‘ir sa
‘lygine
‘tikimybe
‘E atzvilgiu zymesime
M(X|E) = M(X|Y ), P (A|E) = P (A|Y )
1 Johann Radon (1887–1956) – austru‘matematikas.
2 Otton Nikodym (g. 1887) – lenku‘matematikas.
126 Atsitiktiniai dydziai
ir vadinsime X sa‘lyginiu vidurkiu bei A sa
‘lygine tikimybe atsitiktinio dydzio
Y atzvilgiu.Paminesime keleta
‘atskiru
‘atveju
‘. Jei E = ∅,Ω, tai visiems ω ∈ Ω
M(X|E)(ω) = MX.
Is tikru‘ju
‘nesunku patikrinti, kad konstanta MX tenkina (2) lygybe
‘, be to,
∅ yra vienintelis i‘vykis is E , turintis nuline
‘tikimybe
‘.
Jei E yra algebra, generuota aibes E, E 6= ∅, E 6= Ω, t. y. E == ∅, E,Ec,Ω, tai beveik visur P atzvilgiu
M(X|E) =M(X|E), kai ω ∈ E,M(X|Ec), kai ω ∈ Ec.
4 teorema. M(M(X|E)
)= MX.
I‘r o d y m a s. Si lygybe yra triviali 3 teoremos isvada, kai E = Ω. ut
2 lema. Jei atsitiktinis dydis Y yra apibreztas tikimybineje erdvejeΩ,A, P, o AY – to dydzio generuota σ algebra ir Z yra AY mati funkcija,tai galima rasti Borelio funkcija
‘ϕ, kuriai beveik visur mato P atzvilgiu
Z(ω) = ϕ(Y (ω)
).
I‘
r o d y m a s. Pazymekime HY klase‘visu
‘AY maciu
‘funkciju
‘, o H∗
Y
klase‘visu
‘funkciju
‘f(Y (ω)
), kai f – bet kurios Borelio funkcijos.
Kiekvienai Borelio aibei B ∈ Bω : f
(Y (ω)
)∈ B
= ω : Y (ω) ∈ f−1(B) ∈ AY .
Vadinasi, H∗Y ⊂ HY .
Parodysime, kad H∗Y = HY .
Imkime bet kuria‘sistemos AY aibe
‘A ir B ∈ B su sa
‘lyga Y −1(B) = A.
Tada 1A ∈ H∗Y , nes 1A(ω) = 1B
(Y (ω)
). Is cia taip pat gauname, kad klasei
H∗Y priklauso ir tiesines kombinacijos
n∑k=1
ck1Ak,
kai Ak ∈ AY .Kiekviena
‘AY macia
‘funkcija
‘galima uzrasyti sitaip:
Z(ω) = limn→∞
Zn(ω);
cia Zn yra atitinkamai parinktos paprastosios (AY atzvilgiu) funkcijos. Todelpakaks i
‘rodyti: jei Zn(ω) = ϕn
(Y (ω)
), ϕn – Borelio funkcijos, ir Z(ω) =
= limZn(ω), tai galima rasti Borelio funkcija‘ϕ su sa
‘lyga Z(ω) = ϕ
(Y (ω)
).
Sa‘lygines tikimybes ir sa
‘lyginiai vidurkiai 127
Pazymekime B0 aibe‘tu
‘realiu
‘ju
‘x, kuriems egzistuoja riba limϕn(x). Is 1.3
teoremos analogo isplaukia, kad B0 yra Borelio aibe. Pazymekime
ϕ(x) =
limnϕn(x), kai x ∈ B0,
0, kai x 6∈ B0.
TadaZ(ω) = lim
n→∞Zn(ω) = lim
n→∞ϕn
(Y (ω)
)= ϕ
(Y (ω)
). ut
5 teorema. Jei X ir Y yra atsitiktiniai dydziai ir X yra integruoja-mas, tai viena is sa
‘lyginio vidurkio M(X|Y ) versiju
‘yra atsitiktinio dydzio
Y Borelio funkcija ϕ(Y ).I‘r o d y m a s isplaukia is 2 lemos. ut
Remiantis sia teorema, funkcija M(X|Y ) yra pastovi beveik visur matoP prasme toms ω aibems, kurioms Y (ω) yra pastovi.
6 teorema. Tarkime, kad X yra integruojamas atsitiktinis dydis, nusaky-tas tikimybineje erdveje Ω,A, P. Jei E ir F yra sistemos A σ poalgebriaiir E ⊂ F , tai beveik visur M(X|E) = M(M(X|F)|E).
I‘r o d y m a s. Kadangi abi i
‘rodomosios lygybes puses yra E macios, tai
reikia tik i‘sitikinti, kad∫
E
M(X|E)P (dω) =∫
E
M(M(X|F)|E
)P (dω)
visoms aibems E ∈ E . Pagal apibrezima‘kiekvienai aibei E ∈ E∫
E
M(X|E)P (dω) =∫
E
X(ω)P (dω).
Kadangi E ⊂ F , tai E ∈ F , vadinasi,∫E
M(M(X|F)|E
)P (dω) =
∫E
M(X|F)P (dω) =
=∫
E
X(ω)P (dω).
Is cia isplaukia reikiamas teiginys. ut7 teorema. Jei X1 ir X2 – integruojami atsitiktiniai dydziai, c1 ir c2 –
konstantos, tai beveik visur mato P prasme teisinga lygybe
M(c1X1 + c2X2|E) = c1M(X1|E) + c2M(X2|E).
I‘r o d y m a s. Pagal apibrezima
‘visoms aibems E ∈ E
128 Atsitiktiniai dydziai
(3)
∫E
M(c1X1 + c2X2|E)(ω)P (dω) =
=∫
E
(c1X1(ω) + c2X2(ω)
)P (dω).
Visai taip pat∫E
M(Xk|E)(ω)P (dω) =∫
E
Xk(ω)P (dω) (k = 1, 2).
Is cia
(4)
∫E
c1M(X1|E)(ω) + c2M(X2|E)(ω)P (dω) =
=∫
E
(c1X1(ω) + c2X2(ω)
)P (dω).
(3) ir (4) lygybiu‘desines puses sutampa. Todel visoms E ∈ E∫
E
M(c1X1 + c2X2|E)(ω)P (dω) =
=∫
E
c1M(X1|E)(ω) + c2M(X2|E)(ω)P (dω).
Pritaike‘1 lema
‘, gauname teoremos teigini
‘. ut
8 teorema. Jei X ir Y yra atsitiktiniai dydziai, nusakyti tikimybinejeerdveje Ω,A, P, Y ir XY yra integruojami, E yra A σpoalgebris, be to, Xyra Ematus, tai beveik visur M(XY |E) = XM(Y |E).
I‘r o d y m a s. Reikia i
‘rodyti, kad visoms E ∈ E∫
E
M(XY |E)(ω)P (dω) =∫
E
X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω).
Pagal sa‘lyginio vidurkio apibrezima
‘visoms E ∈ E∫
E
M(XY |E)(ω)P (dω) =∫
E
X(ω)Y (ω)P (dω),
vadinasi, pakanka i‘rodyti, kad visoms E ∈ E∫
E
X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =∫
E
X(ω)Y (ω)P (dω).
Pirmiausia nagrinesime atveji‘, kai atsitiktinis dydis yra sitoks:
Sa‘lygines tikimybes ir sa
‘lyginiai vidurkiai 129
X(ω) =r∑
k=1
ak1Ek(ω);
cia Ek ∈ E . Siuo atveju∫E
X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =r∑
k=1
ak
∫E∩Ek
M(Y |E)(ω)P (dω) =
=r∑
k=1
ak
∫E∩Ek
Y (ω)P (dω) =∫
E
r∑k=1
ak1Ek(ω)Y (ω)P (dω) =
=∫
E
X(ω)Y (ω)P (dω).
Vadinasi, teorema yra teisinga.Dabar tarkime, kad X ir Y yra neneigiami atsitiktiniai dydziai. Pazy-
mekime Xn nemazejancia‘
neneigiamu‘
paprastu‘ju
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka
‘,
konverguojancia‘i‘X. Pasireme
‘V.9.14 teorema ir ka
‘tik i
‘rodytu atskiru sios
teoremos atveju, gauname∫E
X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =
= limn→∞
∫E
Xn(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =
= limn→∞
∫E
M(XnY |E)(ω)P (dω) =
= limn→∞
∫E
Xn(ω)Y (ω)P (dω) =∫
E
X(ω)Y (ω)P (dω) =
=∫
E
M(XY |E)(ω)P (dω).
Jei X ir Y yra bet kokie atsitiktiniai dydziai, tai juos galime uzrasytisitaip: X = X+ −X−, Y = Y + − Y −; cia X+, X−, Y +, Y − yra neneigiamiatsitiktiniai dydziai. Is 7 teoremos zinome, kad beveik visur
X(ω)M(Y |E)(ω) = X+(ω)M(Y +|E)(ω)−−X+(ω)M(Y −|E)(ω)−X−(ω)M(Y +|E)+
+X−(ω)M(Y −|E)(ω).
Lieka pritaikyti ka‘tik i
‘rodyta
‘teoremos teigini
‘. ut
Paliekame skaitytojui i‘rodyti toliau isvardytas sa
‘lyginiu
‘vidurkiu
‘savybes.
Ju‘i‘rodymas pagri
‘stas apibrezimu ir jau i
‘rodytomis savybemis.
1. Jei X yra E integruojamas atsitiktinis dydis, tai beveik visur
130 Atsitiktiniai dydziai
M(X|E)(ω) = X(ω).
2. Jei X1 ir X2 yra integruojami atsitiktiniai dydziai ir X1 ≤ X2, taibeveik visur
M(X1|E)(ω) ≤M(X2|E)(ω).
3. Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, tai beveik visur
|M(X|E)(ω)| ≤M(|X|∣∣E)(ω).
4. Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, Xn (n = 1, 2, ...) – nema-zejanti integruojamu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka, konverguojanti i
‘X, tai beveik
visurM(Xn|E)(ω) →M(X|E)(ω).
5. Jei Y yra integruojamas atsitiktinis dydis, Xn (n = 1, 2, ...) – atsitik-tiniu
‘dydziu
‘seka, konverguojanti i
‘X, ir |X| ≤ Y , tai beveik visur
M(Xn|E)(ω) →M(X|E)(ω).
III skyrius. ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
SEKOS.
ATSITIKTINIAI PROCESAI
1. BORELIO–KANTELIO LEMA.NULIO ARBA VIENETO DESNIS
Nagrinesime atsitiktiniu‘dydziu
‘sekas bei i
‘vairius ju
‘konvergavimo tipus.
Siame skyrelyje tiriamos aibes yra is tikimybines erdves Ω,A, P.
1 lema. Jei An ∈ A (n = 1, 2, ...), tai
P (lim supn
An) = limk→∞
P( ∞⋃n=k
An),
P (lim infn
An) = limk→∞
P( ∞⋂n=k
An).
I‘r o d y m a s. Pazymekime
(1) Cn =∞⋃k=n
Ak (n = 1, 2, ...),
(2) Dn =∞⋂k=n
Ak (n = 1, 2, ...).
(1) aibes sudaro monotoniskai mazejancia‘seka
‘, todel pagal I.10.8 teorema
‘
P( ∞⋂k=1
Ck)
= limk→∞
P (Ck).
(2) aibes sudaro monotoniskai didejancia‘seka
‘, todel pagal I.10.7 teorema
‘
P( ∞⋃k=1
Dk
)= limk→∞
P (Dk). ut
2 lema. Kiekvienam realiajam x
132 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
1 + x ≤ ex.
I‘
r o d y m a s. Funkcijos f(x) = ex − 1 − x pirmoji ir antroji isvesti-nes yra
f ′(x) = ex − 1, f ′′(x) = ex.
Kadangi antroji isvestine teigiama, tai stacionarusis taskas x = 0 yra f mi-nimumo taskas. Todel f(x) ≥ f(0) visiems realiesiems x. ut
Dabar i‘rodysime teorema
‘, kuri labai placiai taikoma.
1 teorema (Borelio–Kantelio1 lema). Tarkime, kad An ∈ A (n == 1, 2, ...). Jei eilute
(3)∞∑n=1
P (An)
konverguoja, tai
(4) P (lim supn
An) = 0.
Jei i‘vykiai An yra nepriklausomi ir (3) eilute diverguoja, tai
(5) P (lim supn
An) = 1.
I‘r o d y m a s. 1. Is (3) eilutes konvergavimo isplaukia, kad
P( ∞⋃n=k
An)≤
∞∑n=k
P (An) → 0,
kai k →∞. Is 1 lemos isplaukia 4 formule.2. Sakykime, An yra nepriklausomi. Pagal 1 lema
‘
(6) P (lim infn
Acn) = limk→∞
P( ∞⋂n=k
Acn).
Kadangi i‘vykiai Acn yra taip pat nepriklausomi, tai kiekvienam N ≥ k
(7) P( N⋂n=k
Acn)
=N∏n=k
P (Acn) =N∏n=k
(1− P (An)
).
Pagal 2 lema‘(7) reiskinys yra ne didesnis uz
1 Francesco Paolo Cantelli (1875–1966) – italu‘matematikas.
Borelio–Kantelio lema. Nulio arba vieneto desnis 133
N∏n=k
e−P (An) = exp(−
N∑n=k
P (An)).
Jei (3) eilute diverguoja, tai
P( N⋂n=k
Acn)→ 0,
kai N →∞. Taciau aibes
N⋂n=k
Acn (N = k, k + 1, ...)
sudaro monotoniskai mazejancia‘seka
‘. Todel
P( ∞⋂n=k
Acn)
= limN→∞
P( N⋂n=k
Acn)
= 0.
Is (6) lygybes isplaukiaP (lim inf
nAcn) = 0.
Is cia, kadangi lim infn
Acn = (lim supn
An)c, gauname
P((lim sup
nAn)c
)= 0,
t. y. (5) lygybe‘. ut
Antrojoje Borelio–Kantelio lemos dalyje reikalavome, kad i‘vykiai An butu
‘nepriklausomi. Nesunku parodyti, kad priesingu atveju ta lema gali ir ne-galioti. Imkime tikimybine
‘erdve
‘Ω,A, P, kurioje Ω = [0, 1], sistema A
sudaryta is visu‘maciu
‘Lebego prasme intervalo [0, 1] poaibiu
‘, o P yra Lebego
matas. Aibiu‘sekos An = (0, 1/n) riba lim
nAn = ∅, P (lim
nAn) = 0, tuo tarpu
eilute∞∑n=1
P (An) =∞∑n=1
1n
diverguoja.Taciau nepriklausomumo reikalavima
‘galima susilpninti. Pakanka, pa-
vyzdziui, reikalauti, kad i‘vykiai An butu
‘kas du nepriklausomi, arba bend-
riau, kad
lim infn→∞
∑nk=1
∑nl=1 P (Ak ∩Al)(∑nl=1 P (Ak)
)2 = 1
134 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(zr. [30], p. 327).Abu Borelio–Kantelio lemos teiginiai, kai atsitiktiniai i
‘vykiai yra nepri-
klausomi, vadinami Borelio nulio arba vieneto desniu. Tai yra atskiras atvejisbendresnio desnio, kuri
‘netrukus i
‘rodysime.
Tarkime, kad Xn yra atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka. Pazymekime A∞n == σ(Xn, Xn+1, ...) atsitiktiniu
‘dydziu
‘Xn, Xn+1, ... generuota
‘σ algebra
‘,
t. y. maziausia‘σ algebra
‘, kuriai priklauso visos aibes
ω : Xn(ω) ∈ Bn, ..., Xn+k(ω) ∈ Bn+k;
cia k yra bet koks naturalusis skaicius, Bn, ..., Bn+k – bet kokios Borelio aibes.σ algebru
‘A∞n (n = 1, 2, ...) seka yra monotoniskai mazejanti. Ju
‘sankirta
E =∞⋂n=1
A∞n
vadinama asimptotine atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos Xn σ algebra. Ji nesikeicia,
atmetus baigtini‘sekos Xn nariu
‘skaiciu
‘. I
‘vykis A ∈ E taip pat vadinamas
asimptotiniu.Paminesime keleta
‘asimptotiniu
‘i‘vykiu
‘.
1 p a v y z d y s. Tarkime, kad B1, B2, ... yra Borelio aibiu‘
seka. I‘vykis
”Xn ∈ Bn be galo dideliam indeksu‘n skaiciui”, t. y.
lim supn
ω : Xn(ω) ∈ Bn
yra σ algebros E i‘vykis.
2 p a v y z d y s. Sekos Xn konvergavimas (arba divergavimas) yra i‘vykis
is E . Is tikru‘ju
‘sekos konvergavimo aibe yra (zr. II.1.3 teoremos i
‘rodyma
‘)
∞⋂k=1
∞⋃n=1
∞⋂r=n
∞⋂s=n
ω : |Xr(ω)−Xs(ω)| < 1
k
.
3 p a v y z d y s. Atsitiktiniu‘dydziu
‘eilutes
∞∑n=1
Xn
konvergavimas bei divergavimas yra i‘vykiai is E . I
‘rodykite!
4 p a v y z d y s. I‘vykis
ω : lim supn→∞
1
n
(X1(ω) + ... + Xn(ω)
)< ∞
taip pat priklauso E . I
‘rodykite!
Atsitiktiniu‘dydziu
‘seku
‘konvergavimas 135
2 teorema (Kolmogorovo nulio arba vieneto desnis). Jei Xn yranepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka, tai kiekvieno jos asimptotinio i
‘vykio
tikimybe yra lygi 0 arba 1.Si teorema teigia, kad asimptotine σ algebra yra sudaryta is i
‘vykiu
‘, kurie
nuo ∅ ir Ω skiriasi tik nuline tikimybe.I‘r o d y m a s. Pazymekime An1 = σ(X1, ..., Xn) maziausia
‘σ algebra
‘,
kuriai priklauso visos aibes ω : X1(ω) ∈ B1, ..., Xn(ω) ∈ Bn, kai B1, ..., Bnyra Borelio aibes. Tada
C =∞⋃n=1
An1
yra taip pat algebra, taciau nebutinai σ algebra. Nesunku suvokti, kadσ(C) = A∞1 .
Atkreipsime demesi‘, kad σ algebros An1 ir A∞n+1 kiekvienam n yra ne-
priklausomos. Kadangi E ⊂ A∞n+1, tai E ir An1 yra taip pat nepriklausomoskiekvienam n. Is cia isplaukia, kad ir E , ir σ(C) = A∞1 yra nepriklausomos(i‘rodykite!). Vadinasi, kiekvienam A ∈ E ir bet kuriam C ∈ A∞1
P (A ∩ C) = P (A)P (C).
Kadangi E ⊂ A∞1 , tai si lygybe teisinga ir tuo atveju, kai C = A,t. y. P (A) = P 2(A). Tokia lygybe teisinga tada ir tik tada, kai P (A) lygi0 arba 1. ut
Is 2 teoremos isplaukia, kad 1–4 pavyzdziuose nurodytu‘
i‘vykiu
‘,
kai X1, X2, ... yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, tikimybes lygios 0arba 1.
2. ATSITIKTINIU‘
DYDZIU‘
SEKU‘
KONVERGAVIMAS
Tikimybiu‘teorijoje ir, apskritai, matematineje analizeje funkciju
‘konvergavi-
mo visuose ju‘apibrezimo taskuose sa
‘voka yra per daug siaura. Susipazinsime
su kai kuriais bendresniais maciu‘funkciju
‘seku
‘konvergavimo tipais.
Tarkime, kad tikimybineje erdveje Ω,A, P duota atsitiktiniu‘
dydziu‘Xn(ω) seka ir atsitiktinis dydisX(ω). Sakykime,Xn(ω) konverguoja i
‘X(ω)
visuose aibes Ω taskuose, isskyrus aibe‘, kurios tikimybinis matas yra 0. Toks
konvergavimas
P(ω : Xn(ω) → X(ω)
)= P (Xn → X) = 1
yra vadinamas konvergavimu beveik visur mato P atzvilgiu, arba konvergavi-mu P beveik visur, arba konvergavimu su tikimybe 1. Ribine funkcija X(ω)yra vienareiksmiskai nusakyta tik tuose aibes Ω taskuose, kuriuose sekaXn(ω)
136 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
konverguoja. Jei tikimybine erdve yra pilna, tai ribine‘
funkcija‘
galima betkaip keisti kiekviename aibes Ω poaibyje, turinciame nulini
‘mata
‘P .
Nurodysime pora‘konvergavimo su tikimybe 1 kriteriju
‘.
1 teorema. Atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka Xn konverguoja su tikimybe 1 i‘
atsitiktini‘
dydi‘X tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0
Pω : supm≥n
|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε−−−−−→n→∞
0.
I‘r o d y m a s. Pazymekime Ω0 aibe
‘tu
‘ω, kuriuose Xn(ω) konverguoja
i‘X(ω). Priminsime: sekos Xn(ω) konvergavimas i
‘X(ω) taske ω reiskia, jog
kiekvienam ε > 0 galima rasti toki‘n(ω, ε), kad butu
‘|Xm(ω) − X(ω)| < ε
visiems m ≥ n(ω, ε). Vadinasi,
Ω0 =⋂ε>0
∞⋃n=1
∞⋂m=n
ω : |Xm(ω)−X(ω)| < ε.
Aibe tu‘ω, kuriuose Xn(ω) nekonverguoja i
‘X(ω), yra
Ωc0 =⋃ε>0
∞⋂n=1
∞⋃m=n
ω : |Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε =⋃ε>0
∞⋂n=1
An(ε);
ciaAn(ε) = ω : sup
m≥n|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε.
Nesunku suvokti, kad
Ωc0 =∞⋃k=1
∞⋂n=1
An
(1k
)(i‘rodykite!). Is cia isplaukia, kad P (Ωc0) = 0 tada ir tik tada, kai kiekvie-
nam k
P
( ∞⋂n=1
An
(1k
))= 0.
Kadangi aibes An(1/k) (n = 1, 2, ...) sudaro monotoniskai mazejancia‘seka
‘,
tai pastaroji lygybe ekvivalenti lygybei
limn→∞
P
(An
(1k
))= 0.
Is cia isplaukia, kad teoremos teiginys teisingas bet kuriam ε > 0. utSkaiciu
‘seku
‘xn konvergavima
‘galima patikrinti Kosi kriterijumi: seka
konverguoja tada ir tik tada, kai xn − xm → 0, jei m ir n → ∞, t. y.
Atsitiktiniu‘dydziu
‘seku
‘konvergavimas 137
supν≥1
|xn+ν − xn| → 0, kai n → ∞. I‘rodysime jo analoga
‘konvergavimui
beveik visur.
2 teorema. Atsitiktiniu‘dydziu
‘seka Xn konverguoja su tikimybe 1 tada
ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0
P( ∞⋂n=1
ω : supm>n
|Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε)
= 0.
I‘r o d y m a s. Pazymekime Ω0 aibe
‘tu
‘ω, kuriuose seka Xn(ω) kon-
verguoja. Kaip ir 1 teoremos i‘rodyme, remdamiesi Kosi kriterijumi, gauname
Ω0 = ω : limn→∞
supm>n
|Xm(ω)−Xn(ω)| = 0 =
=⋂ε>0
∞⋃n=1
∞⋂m=n+1
ω : |Xm(ω)−Xn(ω)| < ε.
Todel
Ωc0 =⋃ε>0
∞⋂n=1
∞⋃m=n+1
ω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε =⋃ε>0
∞⋂n=1
An(ε);
ciaAn(ε) = ω : sup
m>n|Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε.
Teisinga lygybe
Ωc0 =∞⋃k=1
∞⋂n=1
An
(1k
).
Atkreipsime demesi‘, kad P (Ωc0) = 0 tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0
P( ∞⋂n=1
An(ε))
= 0.
Teorema‘i‘rodeme. Nesunku rasti ir atsitiktini
‘dydi
‘X(ω), i
‘kuri
‘beveik
visur konverguoja seka Xn(ω). Pakanka paimti
X(ω) =
limn→∞
Xn(ω), kai ω ∈ Ω0,0, kai ω ∈ Ωc0. ut
Isvada. Jei Xn yra atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka ir kiekvienam ε > 0
Pω : supm>n
|Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε → 0,
138 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
kai n→∞, tai seka Xn konverguoja su tikimybe 1.I‘r o d y m a s. Kiekvienai i
‘vykiu
‘sekai An is A teisinga nelygybe
P( ∞⋂n=1
An)≤ inf
nP (An). ut
Isnagrinesime kita‘
konvergavimo tipa‘. Sakome, kad atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka Xn konverguoja pagal tikimybe
‘, arba stochastiskai, i
‘atsitiktini
‘dydi
‘X, jei kiekvienam ε > 0
Pω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε → 0,
kai n → ∞, kitaip tariant, su tikimybe, kiek norima artima 1, Xn nuo Xskiriasi dydziu, mazesniu uz ε, kai n yra pakankamai didelis.
Parodysime, kad konvergavimo pagal tikimybe‘sa
‘voka yra bendresne uz
konvergavimo su tikimybe 1 sa‘voka
‘.
3 teorema. Jei atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka Xn konverguoja i‘
atsitiktini‘
dydi‘X su tikimybe 1, tai ji konverguoja i
‘ta‘
dydi‘
ir pagal tikimybe‘.
I‘r o d y m a s. Teisinga priklausomybe
ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε ⊂ ω : supm≥n
|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε.
Todel
Pω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε ≤ Pω : supm≥n
|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε.
Pakanka remtis 1 teorema. utPriesingas siai teoremai teiginys nera teisingas. Tai matysime is pavyzdzio.
P a v y z d y s. Tarkime, kad Ω = [0, 1], A – to intervalo visu‘Borelio poaibiu
‘sistema, P – Lebego matas. Pazymekime
Ank =[k − 1
n,k
n
](k = 1, ..., n; n = 1, 2, ...),
Xnk(ω) = 1Ank(ω).
Tada atsitiktiniu‘dydziu
‘seka
X11, X21, X22, X31, X32, X33, ...
konverguoja pagal tikimybe‘i‘0, bet nekonverguoja ne viename intervalo [0, 1] taske.
Ir siam konvergavimo tipui i‘rodysime Kosi kriterijaus analoga
‘. Pries tai
i‘rodysime sitoki
‘teigini
‘.
Lema. Jei atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka Xn turi savybe‘: kiekvienam ε > 0
Atsitiktiniu‘dydziu
‘seku
‘konvergavimas 139
Pω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε → 0,
kai m,n→∞, tai galima rasti poseki‘Xnk
, konverguojanti‘
su tikimybe 1.I‘r o d y m a s. Imkime n1 = 1. Pazymekime nk (k > 1) maziausia
‘r,
tenkinanti‘sa
‘lygas
Pω : |Xm(ω)−Xn(ω)| > 2−k < 2−k, m ≥ r, n ≥ r, r > nk−1.
Tada eilute∞∑k=1
Pω : |Xnk+1(ω)−Xnk(ω)| > 2−k
konverguoja. Is Borelio–Kantelio lemos isplaukia, kad su tikimybe 0 nelygybes|Xnk+1(ω)−Xnk
(ω)| > 2−k yra teisingos be galo dideliam indeksu‘k skaiciui.
Vadinasi, su tikimybe 1 teisingos nelygybes |Xnk+1(ω) − Xnk(ω)| ≤ 2−k
visiems pakankamai dideliems k. Todel su tikimybe 1 konverguoja eilute∞∑k=1
|Xnk+1(ω)−Xnk(ω)|.
Tos eilutes konvergavimo tasku‘aibe
‘pazymekime Ω0. Tarkime, kad X(ω) yra
lygus eilutes
(1) Xn1(ω) +∞∑r=1
(Xnr+1(ω)−Xnr
(ω))
sumai taskuose ω ∈ Ω0 ir lygus 0, kai ω ∈ Ωc0. Kadangi (1) eilutes k-oji dalinesuma yra Xnk+1 , tai seka Xnk
su tikimybe 1 konverguoja i‘X. ut
4 teorema. Atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka Xn konverguoja pagal tikimybe‘
tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0
(2) Pω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε−−−−−→m,n→∞
0.
I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad seka Xnk
konverguoja pagal tikimybe‘
i‘X. Teisinga priklausomybe
ω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε ⊂ω : |Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε
2
∪
∪ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε
2
.
Todel
P (|Xm −Xn| ≥ ε) ≤ P(|Xm −X| ≥ ε
2
)+ P
(|Xn −X| ≥ ε
2
).
140 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Is ciaP (|Xm −Xn| ≥ ε) → 0,
kai m,n→∞.2. Sakykime, teisingas (2) teiginys. Pagal lema
‘is sekos Xn galima
isskirti poseki‘Xnk
, konverguojanti‘
su tikimybe 1 i‘
kuri‘
nors atsitiktini‘
dydi‘X. Is nelygybes
P (|Xn −X| ≥ ε) ≤ P(|Xn −Xnk
| ≥ ε
2
)+ P
(|Xnk
−X| ≥ ε
2
),
3 teoremos ir prielaidos, kad teisingas (2) teiginys, isplaukia, jog seka Xnkonverguoja pagal tikimybe
‘i‘X. ut
Is 4 teoremos ir lemos isplaukia, kad is konverguojancios pagalmata
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sekos galima isskirti poseki
‘, konverguojanti
‘su tiki-
mybe 1.Konvergavimo pagal tikimybe
‘atveju ribine funkcija nera vienareiksmiskai
nusakyta, bet yra teisingas sitoks teiginys.
5 teorema. Jei atsitiktiniu‘dydziu
‘seka Xn konverguoja pagal tikimybe
‘i‘
atsitiktini‘
dydi‘X ir i
‘atsitiktini
‘dydi
‘Y , tai P (X 6= Y ) = 0.
I‘r o d y m a s. Remsimes priklausomybe
ω : |X(ω)− Y (ω)| ≥ ε ⊂ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε
2
∪
∪ω : |Xn(ω)− Y (ω)| ≥ ε
2
.
Desines puses i‘vykiu
‘tikimybes konverguoja i
‘0, kai n → ∞. Todel
kaires puses i‘vykio tikimybe lygi 0. Is cia isplaukia, kad P (X 6= Y ) = 0
(i‘rodykite!). ut
3. DIDZIU‘JU
‘SKAICIU
‘DESNIS
Nagrinedami atsitiktini‘
i‘vyki
‘A su tikimybe P (A), apskritai negalime is
anksto pasakyti, ar i‘vykis A i
‘vyks, ar nei
‘vyks konkreciame eksperimente.
Bet kai tikimybe P (A) yra artima 1 arba 0, jau daugiau galime pasakytiapie jo i
‘vykima
‘arba nei
‘vykima
‘atskirame eksperimente. Jei, sakysime,
P (A) = 0, 01, tai i‘vykis A i
‘vyks vidutiniskai viena
‘karta
‘is 100 eksperimentu
‘.
Jei P (A) = 0, 99, tai is 100 eksperimentu‘i‘vykis A vidutiniskai nei
‘vyks tik
viena‘karta
‘. Vadinasi, pirmuoju atveju i
‘vyki
‘A galime laikyti praktiskai ne-
galimu, o antruoju – praktiskai butinu.Suprantama, tik kiekvienu konkreciu atveju galime nuspre
‘sti, kada i
‘vykis
yra praktiskai laikytinas butinu arba negalimu. Sakykime, turime koki‘nors
Didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis 141
prietaisa‘, kuris gali sugesti su tikimybe 0,01. Jei jis naudojamas eilineje labo-
ratorijoje, tai i‘galimybe
‘sugesti galime nekreipti demesio ir laikyti toki
‘i‘vyki
‘praktiskai negalimu. Kitaip butu
‘, jei tas prietaisas butu
‘naudojamas kosmi-
niame laive. Cia, sugedus aparatui, galimos labai rimtos pasekmes. Tokiomissa
‘lygomis negalima nesiskaityti su tikimybe 0,01.
I‘vykiai, kuriu
‘tikimybes artimos 0 arba 1, pasitaiko tiriant daugeli
‘atsitik-
tiniu‘reiskiniu
‘. Imkime, pavyzdziui, seka
‘nepriklausomu
‘vienodai pasiskirs-
ciusiu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘Xn, turinciu
‘vidurkius a ir dispersijas σ2. Pirmu
‘ju
‘n tu
‘dydziu
‘aritmetinio vidurkio
(1) (X1 + ...+Xn)/n
vidurkis yra a, o dispersija σ2/n. Kai n didelis, ta dispersija yra maza, vadi-nasi, (1) atsitiktinis dydis yra beveik pastovus, beveik lygus a. Veliau paro-dysime, kad jis su tikimybe, kiek norima artima 1, kiek norima mazai skiriasinuo a, kai n yra pakankamai didelis.
Apskritai, kai tiriame daug atsitiktiniu‘reiskiniu
‘, konkretus atskiru
‘atsi-
tiktiniu‘reiskiniu
‘ypatumai daznai beveik neturi i
‘takos tokiu
‘reiskiniu
‘vidu-
tiniam rezultatui: atsitiktiniai nukrypimai, pasitaikantys atskirais atvejais,vieni kitus islygina. Vidurkiu
‘stabilumas ir sudaro vadinamojo didziu
‘ju
‘skaiciu
‘desnio turini
‘placia
‘ja prasme.
Didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis yra gana svarbus praktiskai taikant tikimybiu
‘teorija
‘. Kai jis tinka, su atsitiktiniais dydziais, kurie yra didelio skaiciaus
atsitiktiniu‘reiskiniu
‘vidutiniai rezultatai, praktiskai galima operuoti kaip su
pastoviais.Nagrinejant matematiskai, didziu
‘ju
‘skaiciu
‘desnis yra susije
‘s su atsitik-
tiniu‘dydziu
‘konvergavimo sa
‘vokomis. Pats didziu
‘ju
‘skaiciu
‘desnio terminas
yra tradicinis. Jis ne visai atitinka esme‘, taciau ir siandien placiai vartojamas
tikimybiu‘teorijoje.
Apibresime tiksliau sia‘sa
‘voka
‘. Tarkime, kad Xn yra bet kokiu
‘atsitik-
tiniu‘dydziu
‘seka. Pazymekime jos dalines sumas
Sn =n∑k=1
Xk.
Jei egzistuoja tokia realiu‘ju
‘skaiciu
‘seka an ir tokia teigiamu
‘skaiciu
‘seka
bn, kad
(2)Sn − anbn
konverguoja pagal tikimybe‘i‘0, tai sakome, kad seka Xn tenkina silpna
‘ji‘
didziu‘ju‘skaiciu
‘desni
‘su normuojanciomis konstantomis an ir bn; jei (2) kon-
verguoja i‘0 su tikimybe 1, tai sakome, kad Xn tenkina stipru
‘ji‘
didziu‘ju‘
skaiciu‘
desni‘
su konstantomis an, bn. Dazniausiai nagrinejamas atvejis, kai
142 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
an =n∑k=1
MXk
(jei vidurkiai MXk egzistuoja) ir bn = n.Pirmiausia nagrinesime paprasciausius atvejus, kai teisingas silpnasis
didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis. Mums pravers V.9.8 teoremos atskiras atvejis.
(Bjeneme1–Cebysovo lema. Jei atsitiktinis dydis Z turi dispersija‘, tai
kiekvienam ε > 0P (|Z −MZ| ≥ ε) ≤ ε−2DZ.
I‘
r o d y m a s. Atsitiktinis dydis (Z −MZ)2 tenkina V.9.8 teoremossa
‘lygas. Todel
P (|Z −MZ| ≥ ε) = P((Z −MZ)2 ≥ ε2)
)≤
≤ ε−2M(Z −MZ)2 = ε−2DZ. ut
1 (Markovo) teorema. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra kas du nekore-liuoti, turi dispersijas ir
(3) n−2n∑k=1
DXk → 0,
kai n→∞, tai kiekvienam ε > 0
P( 1n|Sn −MSn| ≥ ε
)→ 0,
kai n→∞.I‘r o d y m a s. Atsitiktiniam dydziui Z = Sn/n taikome lema
‘ir gauname
P( 1n|Sn −MSn| ≥ ε
)≤ ε−2D(Sn/n) =
DSnε2n2
.
Is II.9.8 teoremos isvados ir (3) sa‘lygos isplaukia teoremos teiginys. ut
2 (Cebysovo) teorema. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomiir turi tolygiai apreztas dispersijas, tai kiekvienam ε > 0
P( 1n|Sn −MSn| ≥ ε
)→ 0,
kai n→∞.
1 Jules Bienayme (1796–1878) – prancuzu‘matematikas.
Didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis 143
I‘
r o d y m a s. Pakanka i‘rodyti, kad siuo atveju yra tenkinamos
1 teoremos sa‘lygos. Tarkime, kad DXk ≤ C (k = 1, 2, ...). Turime
n−2n∑k=1
DXk ≤ n−1C → 0,
kai n→∞. ut1 isvada. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomi, vienodai pasi-
skirste‘, turi vidurkius MXn = a ir dispersijas, tai kiekvienam ε > 0
P(∣∣∣Sn
n− a∣∣∣ ≥ ε
)→ 0,
kai n→∞.I‘
r o d y m a s. Siuo atveju atsitiktiniai dydziai tenkina 2 teoremossa
‘lygas, be to, MSn = na.
2 isvada (Bernulio teorema). Sakykime, turime Bernulio eksperimen-tu‘
schema‘. Atlikus bet kuri
‘eksperimenta
‘, gali i
‘vykti i
‘vykis A su tikimybe
p. Pazymekime κn i‘vykiu
‘A skaiciu
‘, atlikus n eksperimentu
‘. Tada kiekvie-
nam ε > 0P(∣∣∣κn
n− p∣∣∣ ≥ ε
)−−−−−→n→∞
0.
I‘
r o d y m a s. Sia‘
teorema‘
jau i‘rodeme I.15 skyrelyje. Dabar ja
‘i‘rodysime paprastesniu budu. Pazymekime Xk i
‘vykiu
‘A skaiciu
‘, atlikus
k-a‘ji‘eksperimenta
‘. Aisku, Xk yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai,
Xk = 1 su tikimybe p,
0 su tikimybe 1− p
ir κn = Sn. Dydzio Xk vidurkis
MXk = p,
o dispersijaDXk = MX2
k −M2Xk = p− p2.
1 isvados sa‘lygos yra tenkinamos. Is jos isplaukia reikiamas teiginys. ut
Bernulio teorema parodo, kad musu‘
i‘vesta tikimybes sa
‘voka atitinka
intuityvu‘tikimybes, kaip i
‘vykio i
‘vykimu
‘daznio ribos, supratima
‘.
1 isvadoje buvo reikalaujama, kad vienodai pasiskirste‘nepriklausomi atsi-
tiktiniai dydziai turetu‘dispersijas. Pasirodo, to reikalavimo galima atsisakyti.
3 (Chincino1) teorema. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomi,vienodai pasiskirste
‘ir turi vidurkius MXn = a, tai kiekvienam ε > 0
1 Aleksandr Chincin (1894–1959) – rusu‘matematikas.
144 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
P(∣∣∣Sn
n− a∣∣∣ ≥ ε
)−−−−−→n→∞
0.
I‘r o d y m a s. Paeme
‘bet kuri
‘δ > 0, apibrezkime atsitiktinius dydzius
Ynk =Xk, kai |Xk| < δn,0, kai |Xk| ≥ δn,
Znk = Xk − Ynk.
Dydziai Ynk (k = 1, 2, ...) yra nepriklausomi; tokie pat yra ir dydziai Znk.Pazymekime
Un = n−1n∑k=1
Ynk, Vn =n∑k=1
Znk.
Kadangi
|n−1Sn − a| ≥ ε = |n−1Sn − a| ≥ ε, Vn = 0∪∪ |n−1Sn − a| ≥ ε, Vn 6= 0 ⊂ |Un − a| ≥ ε ∪ Vn 6= 0,
tai
(4) P|n−1Sn − a| ≥ ε ≤ P|Un − a| ≥ ε+ PVn 6= 0.
I‘vertinsime sios nelygybes desines puses tikimybes.
Pazymeje‘F (x) dydzio Xn pasiskirstymo funkcija
‘ir
b =∫ ∞
−∞|x|dF (x),
turime
(5)
an = MYnk =∫|x|<δn
xdF (x),
DYnk =∫|x|<δn
x2dF (x)− a2n ≤
≤ δn
∫|x|<δn
|x|dF (x) ≤ δbn.
Is Bjeneme–Cebysovo ir (5) nelygybiu‘gauname
P (|Un − an| ≥ ε/2) = P(∣∣∣n−1
n∑k=1
(ynk − an)∣∣∣ ≥ ε/2
)≤
≤ n−2 · nδbn(ε/2)−2 = 4bδε−2.
Didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis 145
Kai n→∞, an → a. Todel kiekvienam ε > 0 ir pakankamai dideliems n
|an − a| < ε/2.
Vadinasi,
(6) P (|Un − a| ≥ ε) ≤ 4bδε−2.
Toliau
P (Znk 6= 0) =∫|x|≥δn
dF (x) ≤ 1δn
∫|x|≥δn
|x|dF (x) ≤ δ/n,
kai n yra pakankamai didelis. Kadangi
Vn 6= 0 ⊂n⋃k=1
Znk 6= 0,
tai
(7) P (Vn 6= 0) ≤n∑k=1
P (Znk 6= 0) ≤ δ.
I‘rase
‘(6) ir (7) i
‘vertinimus i
‘(4), gauname
P (|n−1Sn − a| ≥ ε) ≤ 4bδε−2 + δ.
Kadangi δ buvo bet koks, tai is cia gauname teoremos teigini‘. ut
Taciau ir vidurkiai ne visada egzistuoja. Vis delto ir tada galima kalbetiapie didziu
‘ju
‘skaiciu
‘desnius. Paminesime be i
‘rodymo keleta
‘bendru
‘rezultatu
‘.
4 teorema. Tarkime, kad Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai,bn – teigiamu
‘skaiciu
‘seka, bn ∞. Egzistuoja konstantu
‘an seka su
sa‘lyga, kad kiekvienam ε > 0
P (|b−1n (Sn − an)| ≥ ε)−−−−−→
n→∞0
tada ir tik tada, kai
n∑k=1
∫ ∞
−∞
x2
b2k + x2dFXk
(x+mk)−−−−−→n→∞
0;
cia mk yra atsitiktinio dydzio Xk mediana. Jei si sa‘lyga tenkinama, tai
an =n∑k=1
(mk +
∫|x|<τb
xdFXk(x+mk)
)+ o(1);
146 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
cia τ yra bet koks teigiamas skaicius.
5 teorema. Jei Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, bn – tei-giamu
‘skaiciu
‘seka, tai sa
‘rysis
P (|b−1n Sn| ≥ ε)−−−−−→
n→∞0
yra teisingas tada ir tik tada, kain∑k=1
∫|x|≥bn
dFXk(x)−−−−−→
n→∞0,
b−2n
n∑k=1
∫|x|<bn
x2dFXk(x)−
−(∫
|x|<bn
xdFXk(x))2
−−−−−→n→∞
0,
b−1n
n∑k=1
∫|x|<bn
xdFXk(x)−−−−−→
n→∞0.
Kai atsitiktiniai dydziai yra vienodai pasiskirste‘, teisinga paprastesne teo-
rema.
6 teorema. Tarkime, kad Xn yra nepriklausomi, vienodai pasiskirste‘
atsitiktiniai dydziai, kuriu‘pasiskirstymo funkcija yra F (x). Kiekvienam ε > 0
P (|n−1Sn| ≥ ε)−−−−−→n→∞
0
tada ir tik tada, kai
n
∫|x|≥n
dF (x)−−−−−→n→∞
0,∫|x|<n
xdF (x)−−−−−→n→∞
0.
4, 5, ir 6 teoremu‘i‘rodymus galima rasti, pvz., [28] knygoje.
4. TRIJU‘
EILUCIU‘
TEOREMA
I‘vykis, kai nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘eilute
(1)∞∑n=1
Xn
Triju‘eiluciu
‘teorema 147
konverguoja arba diverguoja, yra asimptotinis ir todel pagal 1 skyrelio rezul-tatus jo tikimybe lygi 0 arba 1. Issiaiskinsime, kada (1) eilute konverguoja sutikimybe 1. Is pradziu
‘i‘rodysime reikalingus pagalbinius teiginius.
1 lema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dyziai X1, ..., Xn turi vidurkius,lygius 0, ir dispersijas,
B2n =
n∑k=1
DXk,
tai kiekvienam ε > 0
P (maxk≤n
|X1 + ...+Xk| ≥ ε) ≤ ε−2B2n.
Jei, be to, |Xk| ≤ C (k = 1, ..., n), tai kiekvienam ε > 0
P (maxk≤n
|X1 + ...+Xk| ≥ ε) ≥ 1− (C + ε)2
B2n
.
Pirmoji is siu‘nelygybiu
‘paprastai vadinama Kolmogorovo nelygybe.
I‘r o d y m a s. Pazymekime
Sk = X1 + ...+Xk (k = 1, ..., n).
Imkime i‘vykius
A = maxk≤n
|Sk| ≥ ε,
Ak = |Sr| < ε (r = 1, ..., k − 1), |Sk| ≥ ε (k = 2, ..., n),
A1 = |S1| ≥ ε.
I‘vykiai Ak (k = 1, ..., n) yra kas du nesutaikomi ir
A =n⋃k=1
Ak.
Teisinga lygybe
(2) M(S2n1A) =
n∑k=1
M(S2n1Ak
)
ir lygybe
M(S2n1Ak
) = M[Sk + (Sn − Sk)]21Ak =
= M(S2k1Ak
) + 2M [(Sn − Sk)1Ak] +M [(Sn − Sk)21Ak
].
148 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Kadangi Sn − Sk ir Sk1Akyra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai ir M(Sn −
−Sk) = 0, tai pagal II.8 teorema‘ka
‘tik parasytosios lygybes antrasis narys
lygus 0:
(3) M(S2n1Ak
) = M(S2k1Ak
) +M [(Sn − Sk)21Ak].
I‘rodysime pirma
‘ja
‘nelygybe
‘. Kadangi atsitiktiniu
‘dydziu
‘Xk vidurkiai
yra lygus 0, o (3) formules desines puses antrasis narys neneigiamas, tai
B2n =
n∑k=1
DXk = MS2n ≥M(S2
n1A).
Be to,M(S2
k1Ak) ≥ ε2P (Ak).
Todel, pasinaudoje‘(2) lygybe, gauname
B2n ≥ ε2
n∑k=1
P (Ak) = ε2P (A).
Is cia isplaukia pirmoji nelygybe.I‘rodysime antra
‘ja
‘. Jei ω ∈ Ak, tai |Sk−1(ω)| < ε ir |Sk(ω)| < C + ε. To-
del is (2)
(4)
M(S2n1A) ≤ (C + ε)2
n∑k=1
P (Ak)+
+n∑k=1
P (Ak)n∑
j=k+1
MX2j ≤
≤((C + ε)2 +B2
n
)P (A).
Antra vertus, kadangi 1A(ω) = 1− 1Ac(ω), tai
M(S2n1A) = MS2
n −M(S2n1Ac) ≥
≥ B2n − ε2P (Ac) = B2
n − ε2 + ε2P (A).
Is (4) gauname
P (A) ≥ B2n − ε2
(C + ε)2B2n − ε2
≥ 1− (C + ε)2
B2n
. ut
Bjeneme–Cebysovo nelygybe‘pritaike
‘sumai Sn, gauname i
‘verti
‘P (|Sn| ≥
≥ ε) ≤ ε−2DSn. Todel Kolmogorovo nelygybe sustiprina Bjieneme–Cebysovonelygybe
‘.
Triju‘eiluciu
‘teorema 149
2 lema. Tarkime, kad atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomi,|Xn| ≤ C, MXn = 0 (n = 1, 2, ...). Jei (1) eilute konverguoja su tikimybe 1,tai eilute
(5)∞∑n=1
DXn
konverguoja.I‘r o d y m a s. Pagal 1 lema
‘bet kuriems N,n
P(maxk≤n
∣∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣∣ ≥ ε)≥ 1− (C + ε)2
( N+n∑r=N+1
DXr
)−1.
Tarkime, kad (5) eilute diverguoja. Tada pastarosios nelygybes desine pusekonverguoja i
‘(1), kai n → ∞. Antra vertus, is (1) eilutes konvergavimo su
tikimybe 1 isplaukia, kad
supk≥1
∣∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣∣→ 0
su tikimybe 1, kai N →∞. Vadinasi,
P(supk≥1
∣∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣∣ ≥ ε)<
12
kiekvienam ε > 0 ir pakankamai dideliems N . Is gauto priestaravimoisplaukia lema. ut
3 lema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai Xn turi vidurkius, lygius0, ir dispersijas, be to, eilute
(6)∞∑n=1
DXn
konverguoja, tai (1) eilute konverguoja su tikimybe 1.I‘r o d y m a s. Is Kolmogorovo nelygybes
P(maxk≤n
∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣ ≥ ε)≤ ε−2
N+n∑r=N+1
DXr.
Kadangi i‘vykiai po tikimybes zenklu, kai n = 1, 2, ..., sudaro monotoniskai
didejancia‘seka
‘, kurios riba yra
150 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
supk
∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣ ≥ ε,
tai pagal I.10.7 teorema‘
P(supk
∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣ ≥ ε)≤ ε−2
∞∑r=N+1
DXr.
Is (6) eilutes konvergavimo isplaukia
P(supk
∣∣ N+k∑r=N+1
Xr
∣∣ ≥ ε)→ 0,
kai N →∞. Lieka pritaikyti 2.2 teoremos isvada‘. ut
Jei X yra atsitiktinis dydis su pasiskirstymo funkcija F , o φ(x) – Boreliofunkcija, tai atsitiktinio dydzio φ(X) vidurkis
Mφ(X) =∫ ∞
−∞φ(x)dF (x),
jei tik jis egzistuoja. Kiekvienam atsitiktiniam dydziui X ir konstantai cpazymekime
Xc =X, kai |X| ≤ c,0, kai |X| > c.
Sio dydzio vidurkis
MXc =∫|x|≤c
xdF (x),
o dispersija
DXc =∫|x|≤c
x2dF (x)−(∫
|x|≤cxdF (x)
)2
.
1 (triju‘
eiluciu‘) teorema. Tarkime, kad Xn yra nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka. Jei kuriam nors c > 0 eilutes
(7)∞∑n=1
P(|Xn| > c
),
(8)∞∑n=1
MXcn,
Triju‘eiluciu
‘teorema 151
(9)∞∑n=1
DXcn
konverguoja, tai su tikimybe 1 konverguoja (1) eilute. Atvirksciai, jei sutikimybe 1 konverguoja (1) eilute, tai kiekvienam c > 0 konverguoja (7), (8),(9) eilutes.
I‘
r o d y m a s. 1. Tarkime, kad (1) eilute konverguoja su tikimybe1. Is cia isplaukia, kad P (Xn → 0) = 1. Todel su tikimybe 1 kiekvienamc > 0 nelygybe |Xn| > c gali buti teisinga tik baigtiniam indeksu
‘n skaiciui.
Vadinasi, su tikimybe 0 kiekvienam c > 0 nelygybe |Xn| > c yra teisinga begalo dideliam indeksu
‘n skaiciui. Is Borelio–Kantelio lemos antrosios dalies
isplaukia, kad (7) eilute turi konverguoti.Imkime kita
‘seka
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘Yn, kurie nepriklausomi tarp save
‘s
ir nuo visu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘Xn, be to, kiekvienas atsitiktinis dydis Yn yra
taip pat pasiskirste‘s, kaip ir atsitiktinis dydis Xn. Pazymeje
‘Xcn = Xc
n − Y cn ,turime
|Xcn| ≤ 2c, MXc
n = 0, DXcn = 2DXc
n.
Kadangi eilute
(10)∞∑n=1
Xcn,
taigi ir eilute∞∑n=1
Xcn,
su tikimybe 1 konverguoja, tai is 2 lemos isplaukia, kad ir eilute
∞∑n=1
DXcn
konverguoja.Pagal 3 lema
‘su tikimybe 1 konverguoja eilute
∞∑n=1
(Xcn −MXc
n).
Vadinasi, eilute∞∑n=1
MXcn
konverguoja.
152 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
2. Tarkime, kad kuriam nors c > 0 konverguoja (7), (8), (9) eilutes.Is (7) eilutes konvergavimo, remiantis Borelio–Kantelio lema, isplaukia, kadnelygybes |Xn| ≥ c yra teisingos su tikimybe 0 be galo dideliam indeksu
‘n
skaiciui.Vadinasi, kai n pakankamai dideli, teisingos lygybes Xn = Xc
n. Todelpakanka i
‘rodyti, kad su tikimybe 1 konverguoja (10) eilute. Taciau is (9)
eilutes konvergavimo ir 3 lemos isplaukia, kad su tikimybe 1 konverguojaeilute
∞∑n=1
(Xcn −MXc
n).
Is (8) eilutes konvergavimo isplaukia (10) eilutes konvergavimas su tiki-mybe 1. ut
5. STIPRUSIS DIDZIU‘JU
‘SKAICIU
‘DESNIS
Is Bernulio teoremos dar negalime daryti isvados, kad stebimojo i‘vykio
statistinis daznis κn/n Bernulio schemoje konverguoja i‘
tikimybe‘p, kai
eksperimentu‘skaicius n neapreztai dideja. Is konvergavimo pagal tikimybe
‘,
kaip zinome, neisplaukia konvergavimas su tikimybe 1. Kai kuri nors sekaXn(ω) konverguoja i
‘dydi
‘X(ω) pagal tikimybe
‘, gali pasitaikyti, kad sekos
Xn(ω) riba neegzistuoja ne viename taske ω.1909 m. E. Borelis i
‘rode, kad
P(κnn→ p
)= 1,
kitaip tariant (zr. 2.1 teorema‘),
P(supk≥n
∣∣∣κkk− p∣∣∣ ≥ ε
)→ 0,
kai n→∞. Tame Borelio darbe pirma‘karta
‘tikimybiu
‘teorijoje buvo remtasi
Lebego integralo ideja.Pirmiausia i
‘rodysime gana paprasta
‘teorema
‘, kurios atskiras atvejis yra
Borelio teiginys. Veliau panagrinesime keleta‘bendresniu
‘teiginiu
‘. Visur Sn =
= X1 + ...+Xn.
1 lema. Jei Xn yra atsitiktiniu‘dydziu
‘seka ir kiekvienam naturaliajam
r eilute∞∑n=1
P(|Xn| ≥
1r
)konverguoja, tai Xn konverguoja i
‘0 su tikimybe 1.
Stiprusis didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis 153
I‘r o d y m a s. Pazymekime
E =∞⋃r=1
∞⋂k=1
∞⋃n=k
|Xn| ≥
1r
=
∞⋃r=1
lim supn
|Xn| ≥
1r
.
Tai aibe tu‘ω, kuriems egzistuoja toks r, kad |Xn| ≥ 1/r be galo dideliam
indeksu‘n skaiciui. Vadinasi, E yra aibe tu
‘ω, kuriuose Xn(ω) nekonverguoja
i‘0. Pagal Borelio-Kantelio lema
‘
P (E) ≤∞∑r=1
P(lim sup
n
|Xn| ≥
1r
)= 0. ut
1 teorema. Jei Xn yra vienodai pasiskirste‘nepriklausomi atsitiktiniai
dydziai, turintys vidurki‘a ir ketvirta
‘ji‘
momenta‘, tai
P(Snn−−−−−→n→∞
a)
= 1.
I‘r o d y m a s. Apskaiciuosime
M( n∑k=1
(Xk − a))4
=
=n∑
k1=1
n∑k2=1
n∑k3=1
n∑k4=1
M(Xk1 − a)(Xk2 − a)(Xk3 − a)(Xk4 − a).
Kadangi M(Xk−a) = 0 ir dydziai Xk yra nepriklausomi, tai pastarojojesumoje lygus nuliui visi demenys, turintys dauginama
‘ji‘Xk − a pirmuoju
laipsniu. Taigi lieka tik demenys pavidalo M(Xk − a)4 ir M(Xk − a)2 (Xl −−a)2 (k 6= l). Pirmojo pavidalo demenu
‘yra n, o antrojo 3n(n− 1). Turime
M( n∑k=1
(Xk = a))4
= nM(X1 − a)4 + 3n(n− 1)D2X1.
Is Bjeneme–Cebysovo nelygybes isplaukia
P(∣∣∣Sn
n− a∣∣∣ ≥ ε
)≤ M(X1 − a)4
n3ε4+
3(n− 1)D2X1
n3ε4.
Lieka pritaikyti 1 lema‘. ut
Isvada (Borelio teorema.) Sakykime, turime Bernulio eksperimentu‘
schema‘. Atlikus bet kuri
‘eksperimenta
‘, i
‘vykis A gali i
‘vykti su tikimybe p.
Pazymekime κn i‘vykiu
‘A skaiciu
‘, atlikus n eksperimentu
‘. Tada
154 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
P(κnn−−−−−→n→∞
p)
= 1.
I‘
r o d y m a s. Tarkime, kad Xk yra atsitiktiniai dydziai, nusakyti3.2 teoremos 2 isvados i
‘rodyme. Tie dydziai turi vidurkius p ir visu
‘eiliu
‘momentus. Todel galime taikyti 1 teorema
‘. ut
Apibendrinsime 1 teorema‘. Joje buvo reikalaujama, kad atsitiktiniai
dydziai butu‘
vienodai pasiskirste‘
ir turetu‘
ketvirtuosius momentus. Dabarreikalausime, kad dydziai turetu
‘tik antruosius momentus, be to, jie gali buti
ir nevienodai pasiskirste‘.
2 (Kronekerio1) lema. Jei realiu‘ju‘
skaiciu‘
eilute
∞∑k=1
xk
konverguoja, o bn – neapreztai didejanti teigiamu‘
skaiciu‘
seka, tai
b−1n
n∑k=1
bkxk −−−−−→n→∞
0.
I‘r o d y m a s. Imkime
rn =∞∑k=n
xk
ir parinkime toki‘n0 = n0(ε), kad butu
‘|rn| < ε/3, kai n ≥ n0. Pazymeje
‘b0 = 0, turime
1bn
n∑k=1
bkxk =1bn
n∑k=1
bk(rk − rk+1) =1bn
n∑k=1
rk(bk − bk−1)− rn+1.
Jeimaxk≥1
|rk| = A,
tai1bn
∣∣∣ n∑k=1
bkxk
∣∣∣ ≤ Abn0
bn+
2ε3,
kai n > n0. Dabar parinkime toki‘n1 > n0, kad butu
‘Abn0/bn ≤ ε/3. Tada
1 Leopold Kronecker (1823–1891) – vokieciu‘matematikas.
Stiprusis didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis 155
1bn
∣∣∣ n∑k=1
bkxk
∣∣∣ < ε,
kai n > n1. ut2 teorema. Jei Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, turintys
dispersijas, bn – neapreztai didejanti teigiamu‘
skaiciu‘
seka ir eilute
∞∑k=1
DXk
b2k
konverguoja, taiP(b−1n (Sn −MSn)−−−−−→
n→∞0)
= 1.
I‘
r o d y m a s. Atsitiktiniai dydziai (Xk −MXk)/bk turi vidurkius 0ir dispersijas DXk/b
2k. Todel jiems pritaikoma 4.1 lema, is kurios isplaukia,
kad eilute ∞∑k=1
Xk −MXk
bk
konverguoja su tikimybe 1. Teoremos teiginys isplaukia is 2 lemos. utPaminesime du atskirus atvejus.
1 isvada. Jei Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, turintys dis-persijas, ir eilute
∞∑k=1
DXk
k2
konverguoja, taiP(n−1(Sn −MSn)−−−−−→
n→∞0)
= 1.
2 isvada. Jei Xn yra nepriklausomi vienodai pasiskirste‘
atsitiktiniaidydziai, turintys vidurkius a ir dispersijas, tai
P (n−1Sn−−−−−→n→∞
a) = 1.
Pasirodo, kad 2 isvados teiginys, kaip ir silpnasis didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis,
yra teisingas ir tuo atveju, kai reikalaujama tik vidurkio egzistavimo.I‘rodysime pagalbini
‘teigini
‘.
3 lema. Jei Xn yra vienodai pasiskirste‘
nepriklausomi atsitiktiniaidydziai, tai nelygybes |Xn| > n yra teisingos be galo dideliam indeksu
‘n
skaiciui su tikimybe 0, kai MX1 egzistuoja, ir su tikimybe 1, kai M |X1| = ∞.
156 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
I‘r o d y m a s. Pazymekime F (x) dydzio Xn pasiskirstymo funkcija
‘,
cn =∫n<|x|≤n+1
dF (x) (n = 1, 2, ...),
An = |Xn| > n (n = 1, 2, ...).
I‘vykio An tikimybe yra
P (An) = P (|Xn| > n) =∫|x|>n
dF (x) =∞∑k=n
ck.
Sia‘
lygybe‘
sumuojame pagal visus naturaliuosius n ir keiciame sumavimotvarka
‘
(1)∞∑k=1
P (An) =∞∑n=1
∞∑k=n
ck =∞∑k=1
k∑n=1
ck =∞∑k=1
kck.
I‘vertinsime si
‘reiskini
‘is virsaus ir is apacios. Susumave
‘nelygybes
kck ≤∫k<|x|≤k+1
|x|dF (x) ≤ (k + 1)ck
pagal visus k, gauname∞∑k=1
kck ≤∫|x|>1
|x|dF (x) ≤∞∑k=1
(k + 1)ck,
t. y.∞∑n=1
P (An) ≤∫|x|>1
|x|dF (x) ≤∞∑n=1
P (An) +∫|x|>1
dF (x).
Is cia isplaukia, kad (1) eilute konverguoja tada ir tik tada, kai MX1 egzis-tuoja. Lieka pritakyti Borelio–Kantelio lema
‘. ut
4 lema. Jei seka xn konverguoja i‘x, kai n→∞, tai ir
n−1n∑k=1
xk → x,
kai n→∞.I‘
r o d y m a s. Pazymekime yn = xn − x. Tada yn → 0, kai n → ∞.Kiekvienam ε > 0 galima rasti toki
‘n0 = n0(ε), kad butu
‘|yn| < ε, kai n > n0.
Turime
Stiprusis didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnis 157
∣∣∣n−1n∑k=1
yk
∣∣∣ = ∣∣∣n−1n0∑k=1
yk + n−1n∑
k=n0+1
yk
∣∣∣ ≤≤ n−1
n0∑k=1
|yk|+ ε(n− n0)/n.
Vadinasi,
lim supn→∞
∣∣∣n−1n∑k=1
yk
∣∣∣ ≤ ε.
Is cia
n−1n∑k=1
yk −−−−−→n→∞
0. ut
3 (Kolmogorovo) teorema. Tarkime, kad Xn yra vienodai pasiskirste‘
nepriklausomi atsitiktiniai dydziai. Jei dydziai Xn turi vidurkius a, tai
(2) P (n−1Sn−−−−−→n→∞
a) = 1.
Jei M |Xn| = ∞, tai su tikimybe 1 seka Sn/n nera konverguojanti.I‘
r o d y m a s. 1. Nagrinesime atveji‘, kai dydziai Xn turi vidurki
‘.
Pazymekime
Yn =Xn, kai |Xn| ≤ n,0, kai |Xn| > n,
Zn = Xn − Yn.
Tirsime dydzius Yn. Pazymekime F (x) dydzio Xn pasiskirstymo funkcija‘.
TadaDYn = MY 2
n −M2Yn ≤MY 2n =
∫|x|≤n
x2dF (x).
Is cia ∞∑n=1
n−2DYn ≤∞∑n=1
n−2
∫|x|≤n
x2dF (x) =
=∞∑n=1
n−2n∑k=1
∫k−1<|x|≤k
x2dF (x) =
=∞∑k=1
∫k−1<|x|≤k
x2dF (x)∞∑n=k
n−2.
Taciau ∞∑n=k
n−2 < k−2 +∫ ∞
k
y−2dy = k−2 + k−1 ≤ 2k−1.
158 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Todel∞∑n=1
n−2DYn ≤ 2∞∑k=1
∫k−1<|x|≤k
|x|dF (x) = 2∫ ∞
−∞|x|dF (x).
Pagal 2 teoremos 1 isvada‘
P(n−1
n∑k=1
(Yk −MYk)−−−−−→n→∞
0)
= 1.
Kadangi MYn → a, kai n→∞, tai pagal 4 lema‘
n−1n∑k=1
MYk → a,
kai n→∞. Vadinasi,
(3) P(n−1
n∑k=1
Yk −−−−−→n→∞
a)
= 1.
Tikimybe, kad Zn 6= 0 be galo dideliam indeksu‘n skaiciui, lygi tiki-
mybei, kad |Xn| > n be galo dideliam indeksu‘
skaiciui. Pagal 3 lema‘
tatikimybe lygi 0. Todel
P(n−1
n∑k=1
Zk −−−−−→n→∞
0)
= 1.
Is (3) isplaukia (2).2. Nagrinesime atveji
‘, kai M |Xn| = ∞. Tarkime, kad seka n−1Sn konver-
guoja teigiamo tikimybinio mato aibeje. Pagal nulio ir vieneto desni‘ji turi
konverguoti su tikimybe 1. Kadangi
Xn
n=Snn− n− 1
n· Sn−1
n− 1,
tai Xn/n → 0 su tikimybe 1. Taciau pastarasis teiginys pagal 3 lema‘
priestarauja prielaidai M |Xn| = ∞. ut
6. KARTOTINIO LOGARITMO DESNIS
Gri‘sime prie 5.2 teoremos. Jei Xn yra vienodai pasiskirste
‘nepriklausomi
atsitiktiniai dydziai, turintys vidurkius (kad butu‘paprasciau, laikysime juos
lygiais 0) ir dispersijas, tai paeme‘bn = n1/2 lnn, gauname
Kartotinio logaritmo desnis 159
P( Sn√
n lnn−−−−−→n→∞
0)
= 1.
Vadinasi, beveik visiems ω ir kiekvienam ε > 0 galima rasti toki‘n0 =
= n0(ε, ω), kad butu‘
−ε√n lnn < Sn < ε
√n lnn,
kai n ≥ n0.Si
‘teigini
‘galima sustiprinti. Tuo reikalu i
‘rodysime vadinama
‘ji‘kartotinio
logaritmo desni‘.
1 lema. Visiems neneigiamiems x
1 + x ≥ ex(1−x).
I‘r o d y m a s. Pazymekime
f(x) = ex(1−x) − 1− x.
Apskaiciave‘pirma
‘sias dvi isvestines
f ′(x) = ex−x2(1− 2x)− 1,
f ′′(x) = ex−x2(1− 2x)2 − 2,
matome, kad f ′(0) = 0, f ′(x) < 0, kai x ≥ 1, ir f ′′(x) < 0, kai 0 ≤ x ≤ 1.Vadinasi, f ′(x) ≤ 0 visiems x ≥ 0. Todel
f(x) ≤ f(0),
kai x ≥ 0. Tai ir yra reikiama nelygybe. utToliau 2–6 lemose X1, X2, ... yra nepriklausomi, vienodai pasiskirste
‘atsi-
tiktiniai dydziai, tenkinantys sa‘lyga
‘P (|Xk| ≤ K) = 1 su kuria nors konstanta
K, turintys vidurkius MXk = 0 ir dispersijas DXk = σ2.
2 lema.
P (Sn ≥ y) ≤ exp− y2
2nσ2
(1− Ky
nσ2
),
kai 0 ≤ y ≤ 2nσ2K−1, ir
P (Sn ≥ y) ≤ exp(−yK−1/8),
kai y ≥ nσ2K−1/2.
I‘
r o d y m a s. Paeme‘
bet kuri‘
neneigiama‘x, is Bjeneme–Cebysovo
nelygybes gauname
160 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(1) P (Sn ≥ y) = P (exSn ≥ exy) ≤ e−xyMexSn .
I‘vertinsime vidurki
‘MexSn . Is V.9.16 teoremos isplaukia lygybe
MexX1 = M∞∑r=0
xrXr1
r!= 1 +
12x2σ2 +
∞∑r=3
xrMXr1
r!.
Pasinaudoje‘nelygybe
|MXr1 | ≤ Kr−2MX2
1 = Kr−2σ2 (r ≥ 3),
kai x ≤ 2K−1, gauname
MexX1 ≤ 1 +12σ2x2 +
∞∑r=3
Kr−2xrσ2
r!≤
≤ 1 +12σ2x2 +
σ2
3!Kx3
1− Kx3
≤
≤ 1 +12σ2x2(1 +Kx).
Pagal 1.2 lema‘
MexX1 ≤ exp1
2σ2x2(1 +Kx)
.
Kadangi atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklausomi ir vienodai pasi-skirste
‘, tai
MexSn = MnexX1 ,
vadinasi,
MexSn ≤ exp1
2nσ2x2(1 +Kx)
.
I‘rase
‘si‘i‘verti
‘i‘(1), gauname nelygybe
‘
(2) P (Sn ≥ y) ≤ exp1
2nσ2x2(1 +Kx)− xy
.
Ja‘i‘rodinedami, dareme prielaida
‘0 ≤ x ≤ 2K−1.
Imkime x = n−1σ−2y. Kai 0 ≤ y ≤ 2nσ2K−1, sa‘lyga 0 ≤ x ≤ 2K−1 yra
tenkinama. Tada is (2) gauname pirma‘ji‘lemos i
‘verti
‘.
Imkime x = K−1/2. Kai y ≥ nσ2K−1/2, is (2) isplaukia
P (Sn ≥ y) ≤ expxy(nσ2x(1 +Kx)
2y− 1)
≤
≤ exp(−1
4xy)
= exp(− y
8K
). ut
Kartotinio logaritmo desnis 161
3 lema. Bet kuriam x ≥ 0
P (maxk≤n
Sk ≥ x) ≤ 2P (Sn ≥ x−√
2nσ2).
I‘r o d y m a s. Pazymekime
A = maxk≤n
Sk ≥ x,
Ak = Sr < x (r = 1, ..., k − 1), Sk ≥ x (k = 2, ..., n),
A1 = S1 ≥ x.
I‘vykiai Ak yra nesutaikomi, ju
‘sa
‘junga lygi A. Todel
P (A) =n∑k=1
P (Ak).
Nagrinekime lygybe‘
(3)P (A) = P (A ∩ Sn ≥ x−
√2nσ2)+
+ P (A ∩ Sn < x−√
2nσ2).
Pirmasis desines puses narys yra ne didesnis uz
P (Sn ≥ x−√
2nσ2).
I‘vertinsime antra
‘ji‘. Aisku,
P (Ak ∩ Sn < x−√
2nσ2) ≤ P (Ak ∩ |Sn − Sk| >√
2nσ2).
I‘vykiai Ak ir |Sn − Sk| >
√2nσ2 yra nepriklausomi. Todel
P (Ak ∩ Sn < x−√
2nσ2) ≤ P (Ak)P (|Sn − Sk| >√
2nσ2).
Is Bjeneme–Cebysovo nelygybes isplaukia
P (|Sn − Sk| >√
2nσ2) ≤ D(Sn − Sk)2nσ2
=(n− k)σ2
2nσ2<
12,
vadinasi,
P (Ak ∩ Sn < x−√
2nσ2) ≤ 12P (Ak).
Susumuojame pastara‘ja
‘nelygybe
‘pagal visus k ir gauta
‘ja
‘nelygybe
‘i‘rasome
i‘(3). Gauname
162 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
P (A) ≤ P (Sn ≥ x−√
2nσ2) +12P (A). ut
4 lema.
P(lim sup
n
|Sn|√2nσ2 ln lnn
≤ 1)
= 1.
I‘
r o d y m a s. Imkime bet kuria‘
teigiama‘
konstanta‘γ ir bet kuria
‘konstanta
‘c, didesne
‘uz 1. Pazymekime
x(n) =√
2nσ2 ln lnn,
nk = [(1 + γ)k].
Pagal 3 lema‘
P(maxr≤nk
Sr ≥ cx(nk))≤
≤ 2P(Snk
≥ cx(nk)−√
2nkσ2)≤
≤ 2P(Snk
≥ cx(nk)(1− ε)),
kai ε > 0 – bet koks teigiamas skaicius ir k ≥ k0(ε). Remiames 2 lemospirma
‘ja nelygybe. Gauname, kad kiekvienam ε1 > 0
P(maxr≤nk
Sr ≥ cx(nk))≤ 2 exp−c2(1− ε1) ln lnnk,
kai k ≥ k1 yra pakankamai didelis. Taciau
ln lnnk = ln k +O(1).
Todel eilute∞∑
k≥k1
P(maxr≤nk
Sr ≥ cx(nk))≤ 2
∞∑k=1
k−c2(1−ε1)eO(1)
konverguoja. Is Borelio–Kantelio lemos isplaukia, kad su tikimybe 1 visiemspakankamai dideliems k teisinga nelygybe
maxr≤nk
Sr < cx(nk),
vadinasi, su tikimybe 1 visiems pakankamai dideliems k ir visiems r, nk−1 ≤≤ r < nk teisinga nelygybe
Sr√2rσ2 ln ln r
≤ cx(nk)√2nk−1σ2 ln lnnk−1
.
Kartotinio logaritmo desnis 163
Pastarosios nelygybes desinioji puse konverguoja i‘c(1 + γ)1/2, kai k neap-
reztai dideja. Todel kiekvienam η > 0 ir visiems pakankamai dideliems r sutikimybe 1
Sr√2rσ2 ln ln r
≤ c√
1 + γ(1 + η).
Kiekvienas is dydziu‘c, 1 + γ, 1 + η gali buti parinktas kiek norima artimas
1. Todel visiems δ > 0 ir visiems pakankamai dideliems n
P(Sn ≤ (1 + δ)x(n)
)= 1.
Pakeite‘dydzius Xk dydziais −Xk, gauname, kad visiems δ > 0 ir visiems
pakankamai dideliems n
P(−Sn ≤ (1 + δ)x(n)
)= 1. ut
5 lema. Jei realieji skaiciai an tenkina sa‘lygas
ann→ 0,
an√n→∞,
kai n→∞, tai kiekvienam ε > 0 ir pakankamai dideliems n
P (Sn ≥ an) > exp− a2
n
2nσ2(1 + ε)
.
I‘r o d y m a s. Pazymeje
‘
P (Sn ≥ y) = G(y)
ir paeme‘bet kuri
‘teigiama
‘skaiciu
‘x, turime
MexSn =∫ ∞
−∞exyd
(1−G(y)
)= −
∫ ∞
−∞exydG(y).
Kadangi G(y) = 0, kai y yra pakankamai didelis (kai y > nK), tai, integruo-dami dalimis, gauname
MexSn = −exyG(y)∣∣∞−∞ + x
∫ ∞
−∞exyG(y)dy = x
∫ ∞
−∞exyG(y)dy.
Imkime bet koki‘
maza‘
fiksuota‘
teigiama‘
skaiciu‘δ. Pazymeje
‘y1 =
= nxσ2(1 − δ), y2 = nxσ2(1 + δ), suskaidykime integravimo sriti‘i‘penkias
sritis(−∞, 0), [0, y1), [y1, y2), [y2, 8nxσ2), [8nxσ2,∞).
Integralus tose srityse is eiles pazymekime I1, ..., I5. Gausime
164 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(4) MexSn = x(I1 + I2 + I3 + I4 + I5).
I‘vertinsime juos is virsaus.
Lengviausiai i‘vertinamas pirmasis integralas
(5) xI1 = x
∫ 0
−∞exyG(y)dy ≤ x
∫ 0
−∞exydy = 1.
Penkta‘ji‘integrala
‘i‘vertinsime, remdamiesi 2 lema. Kai y ≥ 1/2nσ2K−1,
pakankamai maziems x pagal 2 lemos antra‘ji‘i‘verti
‘
G(y) ≤ exp(−1
8yK−1
)≤ e−2xy,
o kai 0 < y ≤ 1/2nσ2K−1, pakankamai maziems x ir pakankamai dideliemsn, remiantis 2 lemos pirmuoju i
‘verciu,
G(y) ≤ exp− y2
2nσ2
(1− Ky
nσ2
)≤ exp
(− y2
4nσ2
)≤ e−2xy.
Todel
(6) xI5 = x
∫ ∞
8nxσ2exyG(y)dy ≤ x
∫ ∞
0
e−xydy = 1.
Panagrinesime pointegraline‘funkcija
‘intervale 0 ≤ y ≤ 8nxσ2. Kai x yra
pakankamai mazas, vel galime remtis 2 lema, pagal kuria‘
exyG(y) ≤ expxy − y2
2nσ2(1− β)
= eψ(y);
cia β – kiek norima mazas teigiamas skaicius, kai x pakankamai mazas.Funkcija ψ(y) turi vieninteli
‘maksimuma
‘taske
nσ2x
1− β.
Pakankamai maziems β tas skaicius yra intervale (y1, y2). I‘vertinsime
funkcija‘ψ(y) to intervalo galuose. Kai β yra pakankamai mazas,
ψ(nxσ2(1± δ)
)=
12nx2σ2(1± δ)2− (1± δ)(1− β) =
=12nx2σ2(1± δ)1∓ δ + (1± δ)β =
=12nxσ21− δ2 + (1± δ)2β < 1
2nx2σ2(1− δ2/2).
Is cia
Kartotinio logaritmo desnis 165
(7) xI2 ≤ xy1ψ(y1) < nx2σ2 exp1
2nx2σ2(1− δ2/2)
ir
(8) xI4 ≤ 8nx2σ2ψ(y2) < 8nx2σ2 exp1
2nx2σ2(1− δ2/2)
.
Parinksime
(9) x =an
nσ2(1− δ).
Is lemos sa‘lygu
‘isplaukia, kad x yra kiek norima mazas, kai n pakankamai
didelis.I‘vertinsime paskutini
‘integrala
‘. Turime
(10)xI3 ≤ x(y2 − y1)exy2G(y1) =
= 2nx2σ2δ expnx2σ2(1 + δ)P (Sn ≥ an).
(5), (6), (7), (8), (10) sa‘rysius i
‘rase
‘i‘
(4) ir atsizvelge‘
i‘
(9) bei lemossa
‘lygas, gauname
(11)MexSn < exp
12nx2σ2(1− δ2/3)
+
+ expnx2σ2(1 + 2δ)P (Sn ≥ an),
kai n pakankamai didelis.I‘vertinsime sios nelygybes kairiosios puses nari
‘is apacios. Kaip ir 2 lemos
i‘rodyme, pakankamai maziems x
MexX1 = M∞∑r=0
xrXr1
r!= 1 +
12x2σ2 +
∞∑r=3
xr
r!MXr
1 ≥
≥ 1 +12x2σ2 +
∞∑r=3
xr
r!Kr−2σ2 ≥
≥ 1 +12x2σ2
1−
∞∑r=3
(Kx3
)r−2≥
≥ 1 +12x2σ2(1−Kx).
Pasinaudoje‘1 lema, gauname
MexX1 ≥ exp1
2x2σ2(1−Kx)
[1− 1
2x2σ2(1−Kx)
]≥
≥ exp1
2x2σ2(1− γ)
;
166 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
cia γ yra kiek norima mazas teigiamas skaicius, kai x pakankamai mazas.Is cia
MexSn ≥ exp1
2nx2σ2(1− γ)
.
Kai γ < δ2/3, is pastarosios ir (11) nelygybiu‘
pakankamai dideliems ngauname
expnx2σ2(1 + 2δ)P (Sn ≥ an) >12
exp1
2nx2σ2(1− γ)
.
Pagaliau
P (Sn ≥ an) >12
exp− a2
n
2nσ2(1− δ)2(1 + γ + 2δ)
>
> exp− a2
n
2nσ2(1 + ε)
kiekvienam ε > 0, kai n pakankamai didelis. ut
6 lema.P(lim sup
n
Sn√2nσ2 ln lnn
≥ 1)
= 1.
I‘r o d y m a s. Imkime kokius nors skaicius L > 1 ir c < 1. Pazymekime
a(n) =√
2nσ2 ln lnn,
nk = [Lk] (k = 1, 2, ...).
Tirsime i‘vykius
Ak = Snk− Snk−1 ≥ ca(nk − nk−1).
Is 5 lemos kiek norima maziems ε > 0 ir pakankamai dideliems k isplau-kia, kad
P (Ak) > exp−c2(1 + ε) ln ln(nk − nk−1) ≥ exp−c2(1 + ε)2 ln k.
Jei ε tenkina sa‘lyga
‘c(1 + ε)2 < 1, tai eilute
∞∑k=1
P (Ak)
diverguoja. Is Borelio–Kantelio lemos isplaukia, kad su tikimybe 1 be galodideliam indeksu
‘k skaiciui
Snk≥ c√
2σ2(nk − nk−1) ln ln(nk − nk−1) + Snk−1 .
Kartotinio logaritmo desnis 167
Pagal 4 lema‘visiems pakankamai dideliems k
Snk−1 > −2√
2σ2nk−1 ln lnnk−1.
Lengva patikrinti, kad
nk−1 ln lnnk−1 ∼ Lk−1 ln k ∼ L−1nk ln lnnk,
(nk − nk−1) ln ln(nk − nk−1) ∼(1− 1
L
)Lk ln k ∼
∼(1− 1
L
)nk ln lnnk.
Todel, imant bet kuri‘δ > 0, su tikimybe 1 be galo dideliam indeksu
‘skaiciui
k bus teisingos nelygybes
Snk>√
2nkσ2 ln lnnk(c
√1− 1
L− 2L
−1/2)(1− δ).
Skaicius c < 1, L > 1 ir δ > 0 galima parinkti taip, kad pastarieji daugi-namieji butu
‘kiek norima artimi 1. Taigi lema i
‘rodyta. ut
Is 4 ir 6 lemu‘isplaukia sitoks teiginys.
1 teorema (kartotinio logaritmo desnis). Sakykime, Xn yranepriklausomi, vienodai pasiskirste
‘atsitiktiniai dydziai, tenkinantys sa
‘lyga
‘P (|Xn| ≤ K) = 1 su kuria nors konstanta K, turintys vidurkius MXn = 0 irdispersijas DXk = σ2 > 0. Pazymekime Sn = X1 + ...+Xn. Teisinga lygybe
P(lim sup
n
Sn√2nσ2 ln lnn
= 1)
= 1.
Yra ir daug bendresniu‘
rezultatu‘. Siek tiek apibendrine
‘1 teoremos
i‘rodyma
‘, galime gauti Kolmogorovo kartotinio logaritmo desni
‘.
2 (Kolmogorovo) teorema. Sakykime, Xn yra nepriklausomi atsi-tiktiniai dydziai, turintys dispersijas ir vidurkius MXn = 0. PazymekimeSn = X1 + ...+Xn. Jei egzistuoja seka tokiu
‘konstantu
‘Kn, kad
Kn = o( DSn√
ln lnDSn
),
P (|Xn| ≤ Kn) = 1,
taiP(lim sup
n
Sn√2DSn ln lnDSn
= 1)
= 1.
Bendresniu‘rezultatu
‘galima rasti [28] knygoje.
168 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
7. SILPNASIS KONVERGAVIMAS
Susipazinsime dar su vienu atsitiktiniu‘dydziu
‘konvergavimo tipu. Naturalu
i‘vesti tokia
‘konvergavimo sa
‘voka
‘, kad is atsitiktiniu
‘dydziu
‘sekos Xn kon-
vergavimo i‘
atsitiktini‘
dydi‘X isplauktu
‘dydziu
‘Xn generuotu
‘tikimybiniu
‘matu
‘konvergavimas i
‘dydzio X generuota
‘tikimybini
‘mata
‘. Kadangi tarp
generuotu‘tikimybiniu
‘matu
‘ir pasiskirstymo funkciju
‘yra abipus vienareiksme
atitiktis, tai ta‘nauja
‘ji‘konvergavima
‘galima nusakyti pasiskirstymo funkciju
‘terminais.
Paprasciausia reikalauti, kad pasiskirstymo funkciju‘seka FXn
(x) kon-verguotu
‘i‘FX(x) visuose taskuose x ∈ R. Taciau toks konvergavimas butu
‘per siauras. Imkime, pavyzdziui, atsitiktinius dydzius Xn = −1/n (n == 1, 2, ...) ir X ≡ 0. Atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka Xn konverguoja i
‘atsitiktini
‘dydi
‘X. Paziuresime, kaip yra su atitinkamomis pasiskirstymo funkcijomis.
Funkcija FXn(x) = 0, kai x ≤ −1/n, ir FXn(x) = 1, kai x > −1/n; funkcijaFX(x) = 0, kai x ≤ 0, ir FX(x) = 1, kai x > 0. Vadinasi, FXn
(x) konverguojai‘FX(x) visiems x, isskyrus x = 0, kuris yra ribines pasiskirstymo funkci-
jos trukio taskas. Galima butu‘
isnagrineti ir daugiau pavyzdziu‘, kai ribine
pasiskirstymo funkcija turi trukio tasku‘. Is ju
‘isplauktu
‘, kad tikslinga i
‘vesti
bendresne‘pasiskirstymo funkciju
‘konvergavimo sa
‘voka
‘: nereikalauti, kad pa-
siskirstymo funkciju‘seka konverguotu
‘ribines pasiskirstymo funkcijos trukio
taskuose.Sakysime, kad atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka Xn konverguoja pagal pasiskirs-
tyma‘
i‘
atsitiktini‘
dydi‘X, jei tu
‘dydziu
‘pasiskirstymo funkciju
‘seka FXn
konverguoja i‘
pasiskirstymo funkcija‘FX visuose jos tolydumo taskuose.
Siuo atveju galime kalbeti apie silpna‘ji‘pasiskirstymo funkciju
‘konvergavima
‘.
Tiesa, matematineje analizeje silpnasis funkciju‘
konvergavimas nusakomassiek tiek kitaip. Taciau veliau matysime, kad tas konvergavimas yra ekviva-lentus cia aprasytajam.
Palyginsime konvergavima‘pagal pasiskirstyma
‘su konvergavimais pagal
tikimybe‘
ir su tikimybe 1. Apie konvergavima‘
pagal pasiskirstyma‘
galimakalbeti ir tada, kai atsitiktiniai dydziai Xn yra apibrezti skirtingose tikimy-binese erdvese, tuo tarpu apie kitus du konvergavimus tada kalbeti neraprasmes.
1 teorema. Jei atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka Xn konverguoja i‘
atsitiktini‘
dydi‘X pagal tikimybe
‘, tai ta seka konverguoja i
‘X ir pagal pasiskirstyma
‘.
I‘r o d y m a s. Bet kuriems realiesiems skaiciams x ir x1
X < x1 = Xn < x, X < x1 ∪ Xn ≥ x,X < x1 ⊂⊂ Xn < x ∪ Xn ≥ x, X < x1.
TodelFX(x1) ≤ FXn
(x) + P (Xn ≥ x, X < x1).
Silpnasis konvergavimas 169
Kadangi Xn konverguoja pagal tikimybe‘i‘X, tai visiems x1 < x
P (Xn ≥ x, X < x1) ≤ P (|Xn −X| ≥ x− x1) → 0,
kai n→∞, vadinasi,FX(x1) ≤ lim inf
nFXn(x),
kai x1 < x. Sukeite‘vietomis X ir Xn bei x ir x1 analogiskai gauname, kad
visiems x < x1
lim supn
FXn(x) ≤ FX(x1).
TodelFX(x′1) ≤ lim inf
nFXn
(x) ≤ lim supn
FXn(x) ≤ FX(x′′),
kai x′ < x < x′′. Jei x yra funkcijos F tolydumo taskas, tai, paskutinejenelygybeje paeme
‘x′ x, x′′ x, gauname
FXn(x) → F (x),
kai n→∞. utAtkreipsime demesi
‘: jei Xn konverguoja i
‘X pagal pasiskirstyma
‘, tai is
to dar neisplaukia, kad Xn konverguoja i‘X pagal tikimybe
‘. Tai matyti is
sitokio pavyzdzio. Tarkime, kad X ir Y yra vienodai pasiskirste‘atsitiktiniai
dydziai, bet X(ω) ir Y (ω) nesutampa beveik visiems ω ∈ Ω. Imkime seka‘
atsitiktiniu‘dydziu
‘Xn = Y (n = 1, 2, ...). Tada Xn konverguoja i
‘X pagal
pasiskirstyma‘, bet nekonverguoja i
‘X pagal tikimybe
‘.
Nurodysime atskira‘atveji
‘, kai abu konvergavimai yra ekvivalentus.
2 teorema. Atsitiktiniu‘
dydziu‘
seka Xn konverguoja pagal tikimybe‘
i‘
issigimusi‘
atsitiktini‘
dydi‘X, P (X = c) = 1, tada ir tik tada, kai ta seka
konverguoja i‘X pagal pasiskirstyma
‘.
I‘r o d y m a s. Jei seka Xn konverguoja i
‘X pagal tikimybe
‘, tai pagal
1 teorema‘ji konverguoja i
‘X ir pagal pasiskirstyma
‘.
Tarkime, kad seka Xn konverguoja i‘X pagal pasiskirstyma
‘. Pastebesime,
kad dydzio X pasiskirstymo funkcija yra
ε(x− c) = 1, kai x > c,
0, kai x ≤ c.
Todel kiekvienam δ > 0
P (|Xn −X| ≥ δ) ≤ P (Xn < c− δ/2) + P (Xn ≥ c+ δ) == FXn(c− δ/2) + 1− FXn(c+ δ)−−−−−→
n→∞0. ut
Remdamiesi bendrosiomis matematines analizes koncepcijomis, silpna‘ji‘
pasiskirstymo funkciju‘
konvergavima‘
apibresime sitaip. Tarkime, kad F
170 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
ir Fn (n = 1, 2, ...) yra pasiskirstymo funkcijos. Jei kiekvienai apreztaitolydziajai funkcijai g, apibreztai visoje realiu
‘ju
‘skaiciu
‘tieseje,∫ ∞
−∞g(x)dFn(x) →
∫ ∞
−∞g(x)dF (x),
tai sakome, kad seka Fn konverguoja silpnai i‘F . I
‘rodysime, kad sis kon-
vergavimas yra ekvivalentus ankstesniajam. Kartu i‘rodysime ir keleta
‘kitu
‘teiginiu
‘, kurie mums pravers toliau.
Nagrinesime nemazejancias funkcijas, apibreztas realiu‘ju
‘skaiciu
‘tieseje;
ju‘klase yra platesne uz pasiskirstymo funkciju
‘.
3 teorema. Nemazejanciu‘
funkciju‘
seka Fn konverguoja i‘
kokia‘
nors(nemazejancia
‘) funkcija
‘F jos tolydumo taskuose tada ir tik tada, kai ta seka
konverguoja i‘F kokioje nors tasku
‘aibeje, tirstoje visoje tieseje.
I‘
r o d y m a s. Sa‘lygos butinumas yra trivialus, nes nemazejancios
funkcijos F trukio tasku‘aibe yra baigtine, arba skaiti (plg. II.2.5 teoremos
i‘rodyma
‘). I
‘rodysime sa
‘lygos pakankamuma
‘. Tarkime, kad Fn konverguoja
i‘F visur tirstoje aibeje D. Imkime bet kuri
‘F tolydumo taska
‘x0 ir bet
kuriuos aibes D taskus x′ ir x′′, tenkinancius sa‘lyga
‘x′ < x0 < x′′. Tada
kiekvienam nFn(x′) ≤ Fn(x0) ≤ Fn(x′′).
Is cia ir is teoremos sa‘lygu
‘isplaukia
F (x′) = limn→∞
Fn(x′) ≤ lim infn→∞
Fn(x0) ≤
≤ lim supn→∞
Fn(x0) ≤ limn→∞
Fn(x′′) = F (x′′).
Kadangi aibe D yra visur tirsta, tai taskus x′ ir x′′ galime parinkti kieknorima artimus taskui x0. Todel
F (x0 − 0) ≤ lim infn→∞
Fn(x0) ≤ lim supn→∞
Fn(x0) ≤ F (x0 + 0).
x0 yra F (x) tolydumo taskas, todel F (x0−0) = F (x0+0) = F (x0). Vadinasi,Fn(x0) konverguoja i
‘F (x0). ut
4 (Helio1 kompaktiskumo) teorema. Jei Fn (n = 1, 2, ...) yranemazejancios funkcijos, apreztos ta pacia konstanta, tai is ju
‘sekos galima
isskirti poseki‘, konverguojanti
‘i‘
kokia‘
nors aprezta‘
nemazejancia‘
funkcija‘F
visuose jos tolydumo taskuose.I‘
r o d y m a s. Imkime kokia‘nors tirsta
‘visoje skaiciu
‘tieseje skaicia
‘aibe
‘D = x1, x2, ..., pavyzdziui, visu
‘racionaliu
‘ju
‘skaiciu
‘aibe
‘. Duotosios
1 Eduard Helly (1884–1943) – austru‘ir amerikieciu
‘matematikas.
Silpnasis konvergavimas 171
funkciju‘
sekos reiksmiu‘
taske x1 aibe Fn(x1) yra aprezta. Pagal Bolca-no1–Vejerstraso2 teorema
‘is tos sekos galima isskirti konverguojanti
‘poseki
‘F1n(x1) (n = 1, 2, ...). Pazymekime jo riba
‘F (x1). Dabar imkime funkci-
ju‘
sekos F1n(x) reiksmiu‘
taske x2 aibe‘F1n(x2). Ji, aisku, taip pat
aprezta. Todel galime isskirti konverguojanti‘
poseki‘F2n(x2). Jo riba
‘pa-
zymekime F (x2).Si
‘procesa
‘galime te
‘sti neribotai. Taip gausime seku
‘seka
‘
F11(x), F12(x), F13(x), ...,F21(x), F22(x), F23(x), ...,F31(x), F32(x), F33(x), ...,. . . . . . . . . ...
Sudarykime diagonalia‘ja
‘funkciju
‘seka
‘
F11(x), F22(x), F33(x), ...
Taske x1 ji konverguos i‘F (x1), taske x2 – i
‘F (x2) ir t. t., taske xk – i
‘F (xk)
ir t. t.Vadinasi, seka Fnn(x) konverguos i
‘F (x) aibejeD. Funkcija F (x), apibrez-
ta aibeje D, yra aprezta ir nemazejanti. Praplesime jos apibrezima‘visiems
tieses taskams, imdamiF (x) = sup
xk≤xF (xk).
Taip praplesta funkcija yra aprezta ir nemazejanti. Pagal 3 teorema‘
sekaFnn(x) konverguoja i
‘F (x) visuose jos tolydumo taskuose. ut
5 (Helio–Brejaus) teorema. Tarkime, kad funkcijos Fn (n = 1, 2, ...)yra nemazejancios ir apreztos ta pacia konstanta. Jei seka Fn konverguoja i
‘funkcija
‘F jos tolydumo taskuose ir
Fn(−∞) → F (−∞), Fn(∞) → F (∞),
tai kiekvienai tolydziajai apreztai funkcijai g∫ ∞
−∞g(x)dFn(x) →
∫ ∞
−∞g(x)dF (x).
Teoremoje nusakytas funkciju‘konvergavimas yra vadinamas pilnuoju. Jei
F bei Fn yra pasiskirstymo funkcijos ir Fn konverguoja i‘F jos tolydumo
taskuose, tai Fn pilnai konverguoja i‘F .
I‘
r o d y m a s. Pazymekime raide C konstanta‘, apreziancia
‘funkci-
jas Fn:
1 Bernard Bolzano (1781–1848) – ceku‘matematikas ir filosofas.
2 Karl Weierstrass (1815–1897) – vokieciu‘matematikas.
172 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(1) |Fn(x)| ≤ C (n = 1, 2, ...)
ir
(2) K = sup−∞<x<∞
|g(x)|.
Paeme‘bet koki
‘ε > 0, parinkime funkcijos F tolydumo taskus a < b su sa
‘lyga
(3)∫R\[a,b)
dF (x) <ε
6K.
Funkcija g, tolydi segmente [a, b], jame yra ir tolygiai tolydi. Todel galimerasti toki
‘intervalo [a, b] skaidini
‘funkcijos F tolydumo taskais xk
a = x0 < x1 < ... < xs = b,
kad kiekviename intervale [xk−1, xk) butu‘
|g(x)− g(xk−1)| <ε
16C.
Sudarykime funkcija‘
gε(x) =s∑
k=1
g(xk−1)1[xk−1,xk)(x).
Visuose intervalo [a, b) taskuose
(4) |g(x)− gε(x)| <ε
16C.
Galime rasti toki‘dideli
‘n0, kad visiems n ≥ n0 butu
‘
(5) |F (xk)− Fn(xk)| <ε
8Ks(k = 0, 1, ..., s),
(6)∫R\[a,b)
dFn(x) <ε
3K.
Teisinga nelygybe
(7)
∣∣∣ ∫ ∞
−∞g(x)dFn(x)−
∫ ∞
−∞g(x)dF (x)
∣∣∣ ≤≤∫R\[a,b)
|g(x)|dFn(x) +∫R\[a,b)
|g(x)|dF (x)+
+∫
[a,b)
|g(x)− gε(x)|dF (x) +∣∣∣ ∫
[a,b)
gε(x)dF (x)−
−∫
[a,b)
gε(x)dFn(x)∣∣∣+ ∫
[a,b)
|gε(x)− g(x)|dFn(x).
Silpnasis konvergavimas 173
Pirmieji du desiniosios puses nariai pagal (2), (3) ir (6) yra mazesni uz
K · ε
3K+K · ε
6K=ε
2,
treciasis ir penktasis pagal (4) ir (1) mazesni uz
ε
16C· 2C · 2 =
ε
4,
o ketvirtasis narys lygus∣∣∣ s∑k=1
g(xk−1)(F (xk)− F (xk−1)
)−
−s∑
k=1
g(xk−1)(Fn(xk)− Fn(xk−1)
)∣∣∣ ==∣∣∣ s∑k=1
g(xk−1)(F (xk)− Fn(xk)
)−
−s∑
k=1
g(xk−1)(F (xk−1)− Fn(xk−1)
)∣∣∣.Is (2) ir (5) isplaukia, kad jis mazesnis uz
s ·K ε
8Ks· 2 =
ε
4.
Vadinasi, (7) kaires puses narys yra mazesnis uz ε, kai n ≥ n0. ut
6 teorema. Sakykime, F, Fn (n = 1, 2, ...) yra pasiskirstymo funkcijos.Seka Fn konverguoja i
‘F visuose F tolydumo taskuose tada ir tik tada, kai
kiekvienai apreztai, tolydziai visoje realiu‘ju‘
skaiciu‘
tieseje funkcijai g∫ ∞
−∞g(x)dFn(x) →
∫ ∞
−∞g(x)dF (x).
I‘
r o d y m a s. Sa‘lygos butinumas isplaukia is 5 teoremos. I
‘rodysime
jos pakankamuma‘. Tarkime, kad x0 yra F tolydumo taskas. Paeme
‘bet koki
‘teigiama
‘ε, parinkime toki
‘δ > 0, kad butu
‘
|F (x)− F (x0)| < ε,
kai |x− x0| ≤ δ, ir imkime dvi funkcijas
174 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
g1(x) =
1, kai x ≤ x0 − δ,δ−1(x0 − x), kai x0 − δ ≤ x ≤ x0,0, kai x ≥ x0,
g2(x) =
1, kai x ≤ x0,1− δ−1(x− x0), kai x0 ≤ x ≤ x0 + δ,0, kai x ≥ x0 + δ
(zr. 25 pav.). Teisingos nelygybes
(8)
∫ ∞
−∞g1(x)dF (x) ≥
∫ x0−δ
−∞dF (x) =
= F (x0 − δ) > F (x0)− ε,∫ ∞
−∞g2(x)dF (x) ≤
∫ x0+δ
−∞dF (x) =
= F (x0 + δ) < F (x0) + ε
ir
(9)
∫ ∞
−∞g1(x)dFn(x) ≤
∫ x0
−∞dFn(x) = Fn(x0),∫ ∞
−∞g2(x)dFn(x) ≥
∫ x0
−∞dFn(x) = Fn(x0).
25 pav.
Kai n yra pakankamai didelis,
(10)
∣∣∣ ∫ ∞
−∞g1(x)dFn(x)−
∫ ∞
−∞g1(x)dF (x)
∣∣∣ < ε,∣∣∣ ∫ ∞
−∞g2(x)dFn(x)−
∫ ∞
−∞g2(x)dF (x)
∣∣∣ < ε.
Silpnasis konvergavimas 175
Is (8), (9),(10), kai n pakankamai didelis, isplaukia
F (x0)− 2ε < Fn(x0) < F (x0) + 2ε. utMums pravers dar viena teorema.
7 teorema. Jei pasiskirstymo funkciju‘
seka Fn(x) (n = 1, 2, ...) konver-guoja i
‘tolydzia
‘pasiskirstymo funkcija
‘F (x), kai n → ∞, tai Fn(x) → F (x)
tolygiai visiems realiesiems x.I‘r o d y m a s. Kadangi F yra monotoniska ir aprezta, tai kiekvienam
ε > 0 galime rasti toki‘N = N(ε) ir taskus −∞ = x0 < x1 < x2 < ... <
< xN−1 < xN = ∞, jog funkcijos F pokytis intervaluose I1 = (x0, x1), Ik == [xk−1, xk) (k = 2, 3, ..., N − 1), IN = [xN−1, xN ) butu
‘mazesnis uz
ε
5, ir
toki‘n0 = n0(ε), kad |F (xk)− Fn(xk)| < ε
5 (k = 0, 1, ..., N).Tarkime, kad x ∈ Ik. Kadangi
Fn(x)− F (x) =(Fn(x)− Fn(xk)
)+
+(Fn(xk)− F (xk)
)+(F (xk)− F (x)
)ir is pasiskirstymo funkciju
‘monotoniskumo
|Fn(x)− Fn(xk)| ≤ Fn(xk+1)− F (xk) ≤≤ |Fn(xk+1)− F (xk+1)|+ F (xk+1)− F (xk)+
+ |F (xk)− Fn(xk)|,|F (xk)− F (x)| ≤ F (xk+1)− F (xk),
tai
|Fn(x)− F (x)| ≤ |Fn(xk+1)− F (xk+1)|+
+ 2(F (xk+1)− F (xk)
)+ 2|F (xk)− Fn(xk)| < 5 · ε
5= ε. ut
Baigdami si‘skyreli
‘, rysius tarp atsitiktiniu
‘dydziu
‘i‘vairiu
‘konvergavimo
rusiu‘pailiustruosime tokia schema.
Konvergavimassu tikimybe 1
⇒ Konvergavimaspagal tikimybe
‘
⇒ Konvergavimas pa-gal pasiskirstyma
‘
176 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
8. CHARAKTERISTINES FUNKCIJOSIR PAPRASCIAUSIOS JU
‘SAVYBES
Mums dabar reikes kompleksiniu‘
funkciju‘
integralu‘. Tarkime, kad turime
erdve‘Ω,A, µ. Jei kompleksines funkcijos g, apibreztos aibeje Ω, kompo-
nentai Re g, Im g yra matus ir egzistuoja integralai∫Ω
Re g(ω)µ(dω),∫
Ω
Im g(ω)µ(dω),
tai funkcijos g integralu laikome
(1)∫
Ω
g(ω)µ(dω) =∫
Ω
Re g(ω)µ(dω) + i
∫Ω
Im g(ω)µ(dω).
Sakome, kad g yra integruojama, jei Re g ir Im g yra integruojamos funkcijos.Kompleksiniu
‘funkciju
‘integralai turi savybes, analogiskas realiu
‘ju
‘funk-
ciju‘integralu
‘savybems. Paminesime pora
‘is ju
‘.
Kadangi|Re g| ≤ |g|, |Im g| ≤ |g|,|g| ≤ |Re g|+ |Im g|,
tai kompleksine funkcija g yra integruojama tada ir tik tada, kai integruojama|g|. Parodysime, kad tuo atveju, kai g integruojama, galioja nelygybe∣∣ ∫
Ω
g(ω)µ(dω)∣∣ ≤ ∫
Ω
|g(ω)|µ(dω).
Bet kuriems kompleksiniams skaiciams z1, z2 teisinga nelygybe
Re z1z2 ≤ |z1z2|.
Todel ∣∣∣ ∫Ω
g(ω)µ(dω)∣∣∣2 = Re
(∫Ω
g(ω)µ(dω) ·∫
Ω
g(ω1)µ(dω1))
=
=∫
Ω
∫Ω
Re g(ω)g(ω1)µ(dω)µ(dω1) ≤
≤∫
Ω
∫Ω
|g(ω)g(ω1)|µ(dω)µ(dω1) =
=(∫
Ω
|g(ω)|µ(dω))2
.
Jei G ≥ 0 yra integruojama funkcija, o g – mati kompleksine funkcija ir|g| ≤ G, tai ir g yra integruojama, be to,
Charakteristines funkcijos 177∣∣∣ ∫Ω
g(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫
Ω
G(ω)µ(dω).
Nagrinesime taip pat ir kompleksinius atsitiktinius dydzius. Jei Ω,A, Pyra tikimybine erdve ir X,Y yra realieji atsitiktiniai dydziai, tai kompleksine
‘funkcija
‘Z = X + iY laikysime kompleksiniu atsitiktiniu dydziu. Tokio atsi-
tiktinio dydzio vidurkis yra
MZ = MX + iMY =∫
Ω
Z(ω)P (dω),
kai Z yra integruojama funkcija, t. y. egzistuoja MX ir MY . Kompleksiniu‘
atsitiktiniu‘dydziu
‘vidurkiai turi tas pacias savybes, kaip ir realiu
‘ju
‘atsitik-
tiniu‘dydziu
‘vidurkiai.
Jie turi adityvumo savybe‘:
M(Z1 + Z2) = MZ1 +MZ2.
Kompleksine‘konstanta
‘c galima iskelti pries vidurkio zenkla
‘:
McZ = cMZ.
Du kompleksinius dydzius Z1 = X1 + iY1, Z2 = X2 + iY2 laikysimenepriklausomais, jei vektoriai (X1, Y1) ir (X2, Y2) yra nepriklausomi. Jei ne-priklausomi atsitiktiniai dydziai Z1 ir Z2 turi vidurkius, tai
MZ1Z2 = M(X1 + iY1)(X2 + iY2) =
= MX1X2 + iMX1Y2 + iMX2Y1 −MY1Y2 =
= MX1 ·MX2 + iMX1 ·MY2 + iMX2MY2 −MY1 ·MY2 =
= (MX1 + iMY1)(MX2 + iMY2) = MZ1 ·MZ2.
Labai svarbios, nagrinejant atsitiktinius dydzius bei ju‘pasiskirstyma
‘, yra
vadinamosios charakteristines funkcijos. Tarkime, kad X yra realusis atsitik-tinis dydis. Tada kiekvienam t ∈ R
eitX = cos tX + i sin tX
yra kompleksinis atsitiktinis dydis, nes cos tx ir sin tx yra tolydzios, taigi josyra Borelio funkcijos. Sio dydzio vidurkis egzistuoja kiekvienam t ∈ R, nes
|eitX | = 1.
Atsitiktinio dydzio X charakteristine funkcija vadinsime
178 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
f(t) = fX(t) = MeitX =∫
Ω
eitX(ω)P (dω) =
=∫ ∞
−∞eitxPX(dx) =
∫ ∞
−∞eitxdFX(x),
apibrezta‘visiems t ∈ R.
Jei X yra diskretusis atsitiktinis dydis, i‘gyjantis reiksmes xk su tikimy-
bemis P (X = xk) = pk, tai jo charakteristine‘funkcija
‘galime uzrasyti sitaip:
fX(t) =∑k
pkeitxk .
Jei X yra absoliuciai tolydus dydis su tankio funkcija pX , tai
fX(t) =∫ ∞
−∞eitxpX(x)dx.
Nagrinesime charakteristiniu‘funkciju
‘savybes.
1 teorema. Visiems realiesiems t
|f(t)| ≤ f(0) = 1.
I‘r o d y m a s. Pagal charakteristines funkcijos apibrezima
‘
f(0) =∫
Ω
P (dω) = P (Ω) = 1
ir|f(t)| =
∣∣∣ ∫Ω
eitX(ω)P (ω)∣∣∣ ≤ ∫
Ω
|eitX(ω)|P (dω) =∫
Ω
P (dω). ut
2 teorema. Visiems realiesiems t teisingos lygybes
fX(−t) = f−X(t) = fX(t);
cia bruksnys reiskia kompleksini‘
jungtini‘
skaiciu‘.
I‘r o d y m a s isplaukia is charakteristines funkcijos apibrezimo ir lygybiu
‘
Me−itX = Meit(−X) = MeitX . ut
3 teorema. Charakteristine funkcija yra tolygiai tolydi visoje realiu‘ju‘
skaiciu‘
tieseje.I‘r o d y m a s. Paeme
‘bet koki
‘teigiama
‘ε, pagal II.2.2 teorema
‘galime
rasti toki‘λ = λ(ε) > 0, kad butu
‘
Charakteristines funkcijos 179∫|x|>λ
dF (x) <ε
3,
ir toki‘δ = δ(ε) > 0, kad visiems x ir h, |x| ≤ λ, |h| ≤ δ,
|eihx − 1| < ε
3.
Todel
|f(t+ h)− f(t)| =∣∣∣ ∫ ∞
−∞eitx(eihx − 1)dF (x)
∣∣∣ ≤≤∫|x|≤λ
|eihx − 1|dF (x) + 2∫|x|>λ
dF (x) <
<ε
3
∫ ∞
−∞dF (x) + 2 · ε
3= ε. ut
4 teorema. Jei a ir b yra realios konstantos, X – atsitiktinis dydis, tai
faX+b(t) = eibtfX(at).
I‘r o d y m a s. Is vidurkio savybiu
‘isplaukia
faX+b(t) = Meit(aX+b) = eibtMei(at)X = eibtfX(at). ut
5 teorema. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, tai ju‘
sumos charakteristine funkcija yra lygi tu‘
dydziu‘
charakteristiniu‘
funkciju‘
sandaugai:fX1+...+Xn(t) = fX1(t)...fXn(t).
I‘
r o d y m a s. Teorema‘
pakanka i‘rodyti tik tuo atveju, kai n = 2.
Kadangi X1 ir X2 yra nepriklausomi, tai nepriklausomi yra ir kompleksiniaiatsitiktiniai dydziai
eitX1 = cos tX1 + i sin tX1, eitX2 = cos tX2 + i sin tX2.
Todel
fX1+X2(t) = Meit(X1+X2) = M(eitX1 · eitX2) =
= MeitX1 ·MeitX2 = fX1(t)fX2(t). ut
Lema. Bet kuriems realiesiems x ir sveikiesiems neneigiamiems n
180 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
∣∣∣eix − n∑k=0
(ix)k
k!
∣∣∣ ≤ |x|n+1
(n+ 1)!.
I‘r o d y m a s. Nelygybe
‘i‘rodinesime matematines indukcijos metodu. Is
lygybes ∫ x
0
eiudu =eix − 1
i
isplaukia
|eix − 1| =∣∣∣ ∫ x
0
eiudu∣∣∣ ≤ ∫ |x|
0
du = |x|.
Vadinasi, i‘rodomoji nelygybe yra teisinga, kai n = 0. Tarkime, kad ji teisinga
kuriam nors n. Is lygybes∫ x
0
(eiu −
n∑k=0
(iu)k
k!
)du =
eix − 1i
−n∑k=0
ikxk+1
(k + 1)!
ir indukcines prielaidos isplaukia
∣∣∣eix − n+1∑k=0
(ix)k
k!
∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ x
0
(eiu −
n∑k=0
(iu)k
k!
)du∣∣∣ ≤
≤∫ |x|
0
∣∣∣eiu − n∑k=0
(iu)k
k!
∣∣∣du ≤ ∫ |x|
0
un+1
(n+ 1)!du =
|x|n+2
(n+ 2)!.
Todel pagal matematines indukcijos principa‘i‘rodomoji nelygybe yra teisinga
visiems sveikiesiems neneigiamiems n. ut
6 teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi n-a‘ji‘
momenta‘, tai jo charak-
teristine funkcija turi n tolydziu‘
isvestiniu‘,
(2) f (k)(t) = ik∫ ∞
−∞xkeitxdF (x) (k = 0, 1, ..., n);
(3) MXk = i−kf (k)(0) (k = 0, 1, ..., n);
(4) f(t) =n∑k=0
(it)k
k!MXk + o(|t|n),
kai t→ 0;
Charakteristines funkcijos 181
(5) f(t) =n−1∑k=0
(it)k
k!MXk + Θ
|t|k
k!M |X|n;
cia |Θ| ≤ 1, n ≥ 1.I‘r o d y m a s. Pakanka imti n ≥ 1. Teisinga lygybe
f(t+ h)− f(t)h
=∫ ∞
−∞eitx
eihx − 1h
dF (x).
Pagal lema‘(x 6= 0) ∣∣∣eihx − 1
hx
∣∣∣ ≤ 1.
Kadangi ∫ ∞
−∞|x|dF (x) <∞,
tai is V.9.16 teoremos isplaukia, kad egzistuoja riba
limh→0
∫ ∞
−∞xeitx
eihx − 1hx
dF (x) =
=∫ ∞
−∞xeitx lim
h→0
eihx − 1hx
dF (x) = i
∫ ∞
−∞xeitxdF (x).
Todel isvestinef ′(t) = lim
h→0
f(t+ h)− f(t)h
egzistuoja ir lygi
f ′(t) = i
∫ ∞
−∞xeitxdF (x).
Parodysime, kad ji yra tolydi. Is gautosios formules isplaukia
f ′(t+ h)− f ′(t) = i
∫ ∞
−∞xeitx(eihx − 1)dF (x).
Kadangi pointegralines funkcijos modulis nevirsija 2|x|, tai vel pagal ta‘pacia
‘V.9.16 teorema
‘galime pereiti prie ribos po integralo zenklu, kai h → 0.
Gauname, kad f ′(t+ h)− f ′(t) → 0, kai h→ 0. Vadinasi, f ′(t) yra tolydi.Toliau taikome indukcijos metoda
‘. Tarkime, kad kuriam nors k < n
f (k)(t) = ik∫ ∞
−∞xkeitxdF (x).
Pritaike‘siam integralui tuos pacius samprotavimus, gauname
182 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
f (k+1)(t) = ik+1
∫ ∞
−∞xk+1eitxdF (x).
Taip i‘rodome (2) lygybe
‘. Is cia trivialiai gauname (3). I
‘rodinejant (4)
lygybe‘, reikia remtis Teiloro formule. Matematines analizes kurse ta formule
paprastai i‘rodoma tik realiosioms funkcijoms. Tokiu pavidalu formule
‘galime
atskirai pritaikyti realiajai ir menamajai daliai.I‘rodinedami (5) lygybe
‘, integruojame lemos nelygybe
‘(pakeite
‘n skaiciumi
n− 1) funkcijos F (x) atzvilgiu. utJei egzistuoja visu
‘eiliu
‘momentai, tai galime formaliai uzrasyti
f(t) =∫ ∞
−∞eitxdF (x) =
∞∑k=0
(it)k
k!MXk.
Pakeite‘z = it, gautume
f(−iz) =∫ ∞
−∞ezxdF (x) =
∞∑k=0
zk
k!MXk.
Jei sis reiskinys turi prasme‘, tai funkcija
‘f(−iz) vadiname momentu
‘generuo-
jancia‘ja funkcija.
7 teorema. Jei atsitiktinis dydis X yra absoliuciai tolydus, tai jo charak-teristine funkcija fX(t) → 0, kai t→ ±∞.
I‘r o d y m a s. Sis teiginys yra Lebego teoremos apie Furje transformacijas
isvada (zr. [16], VIII.4). ut
8 (Bochnerio1–Chincino) teorema. Tolydzioji kompleksine funkcijaf , apibrezta realiu
‘ju‘
skaiciu‘
tieseje, yra charakteristine funkcija tada ir tiktada, kai ji yra neneigiamai apibrezta, t. y. bet kuriems kompleksiniamsλ1, ..., λn ir bet kuriems realiesiems skaiciams t1, ..., tn teisinga nelygybe
n∑k,l=1
λkλlf(tk − tl) ≥ 0.
I‘r o d y m a
‘zr. [10], VII.39. ut
Rasime keleta‘charakteristiniu
‘funkciju
‘.
1 p a v y z d y s. Jei P (X = c) = 1, tai
fX(t) = 1 · eict = eict.
1 Salomon Bochner (1899–1982) – amerikieciu‘matematikas.
Charakteristines funkcijos 183
2 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X pasiskirste‘s pagal binomini
‘desni
‘(zr. II.2.2 pvz.). Jo charakteristine funkcija yra
fX(t) =
n∑k=0
(n
k
)pkqn−keitk = (peit + q)n.
Sia‘
funkcija‘
galejome ir kitaip gauti. Dydi‘
X galime isreiksti nepriklausomu‘
atsitiktiniu‘dydziu
‘suma X = X1 + ... + Xn, kurioje dydis Xk i
‘gyja dvi reiksmes:
1 su tikimybe p ir 0 su tikimybe q. Dydzio Xk charakteristine funkcija yra
fXk (t) = peit + q.
Pagal 5 teorema‘
fX(t) = fX1(t)...fXn(t) = (peit + q)n.
3 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirste‘s pagal
Puasono desni‘(zr. II.5.2 pvz.). Jo charakteristine funkcija
fX(t) =
∞∑k=1
λk
k!e−λeitk = e−λ
∞∑k=1
(λeit)k
k!= eλ(eit−1).
4 p a v y z d y s. Rasime atsitiktinio dydzio X, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘
desni‘
N(a, σ2) (zr. II.5.6 pvz.), charakteristine‘funkcija
‘. Atkreipsime demesi
‘, kad
atsitiktinio dydzio Y = (X − a)/σ pasiskirstymo funkcija yra
P (Y < x) = P (X < a + σx) =
=1
σ√
2π
∫ a+σx
−∞exp− (u− a)2
2σ2
du =
1√2π
∫ x
−∞e−u2/2du.
Todel pakanka rasti atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘desni
‘N(0, 1),
charakteristine‘funkcija
‘
(6) fY (t) =1√2π
∫ ∞
−∞eitx−x2/2dx.
Ja‘galima apskaiciuoti i
‘vairiais budais.
Pakeisime integravimo kintama‘ji‘z = x− it. Gausime
fY (t) =e−t2/2
√2π
∫ ∞−it
−∞−it
e−z2/2dz;
cia integruojama kompleksineje plokstumoje tiese, lygiagrecia realiajai asiai (zr.26 pav.). Imkime dideli
‘teigiama
‘skaiciu
‘y; jam veliau leisime tolti i
‘begalybe
‘.
Kadangi exp(−z2/2) yra sveikoji funkcija, tai pagal Kosi teorema‘
184 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(7)
I1 + I2 + I3 =
∫ −y−it
−y
+
∫ y−it
−y−it
+
∫ y
y−it
e−z2/2dz =
=
∫ y
−y
e−z2/2dz.
26 pav.
I‘vertinsime I1 ir I3. Turime
|I1| ≤ |t| sup |e−(−y−iu)2/2|;
cia supremumas imamas pagal visus u nuo 0 iki t. Gauname
|I1| ≤ |t| sup |e−y2/2−2iuy+u2/2| ≤ |t|e−y2/2+t2/2.
Todel I1 → 0, kai y →∞. Analogiskai i‘rodome, kad I3 → 0, kai y →∞. Pereje
‘prie
ribos (7) lygybeje, kai y →∞, pagal I.15.3 lema‘gauname∫ ∞−it
−∞−it
e−z2/2dz =
∫ ∞
−∞e−z2/2dz =
√2π.
Vadinasi,
fY (t) = e−t2/2.
Is cia isplaukia, kad
fX(t) = fσY +a(t) = eiatfY (σt) = eiat−σ2t2/2.
Dabar apskaiciuosime fY (t) kitu budu. Isskleide‘
exp(itx) laipsnine eilute irsukeite
‘sumavimo bei integravimo tvarka
‘, is (6) gauname
fY (t) =1√2π
∞∑k=0
(it)k
k!
∫ ∞
−∞xke−x2/2dx.
Integralas lygus 0, kai k nelyginis, ir lygus
(k − 1)!√
2π
2k/2−1(k/2− 1)!,
Charakteristines funkcijos 185
kai k lyginis (zr. II.9.1 pavyzdi‘). Todel
fY (t) =
∞∑n=0
(−t2/2)n
n!= e−t2/2.
Apskaiciuosime fY (t) dar vienu budu. Pagal 6 teorema‘
f ′Y (t) =i√2π
∫ ∞
−∞xeitx−x2/2dx.
Integruojame dalimis
f ′Y (t) =−i√2π
∫ ∞
−∞eitxde−x2/2 = − t√
2π
∫ ∞
−∞eitx−x2/2dx = −tfY (t).
Vadinasi,
f ′Y (t)
fY (t)= −t.
Kadangi fY (0) = 1, tai
ln fY (t) = −t2/2.
5 p a v y z d y s. Tarkime, kad X yra pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘N(0, 1).
Apskaiciuosime X2 charakteristine‘
funkcija‘. Pirmiausia rasime jo pasiskirstymo
funkcija‘. P (X2 < x) = 0, kai x ≤ 0, ir
P (X2 < x) = P (−√
x < X <√
x) =1√2π
∫ √x
−√
x
e−u2/2du =
=2√2π
∫ √x
0
e−u2/2du =1√2π
∫ x
0
e−v/2
√v
dv,
kai x > 0. Pakeiteme u2 = v. Todel X2 charakteristine funkcija yra
fX2(t) =1√2π
∫ ∞
0
x−1/2e−(1−2it)x/2dx.
Po pakeitimo x = y2 gauname
fX2(t) =2√2π
∫ ∞
0
e−y2(1−2it)/2dy.
Dar karta‘
keiciame kintama‘ji‘
z = y(1 − 2it)1/2; cia imame pagrindine‘
sakniesreiksme
‘(t. y. 1, kai t = 0). Gauname
186 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(8) fX2(t) =2√
2π(1− 2it)
∫e−z2/2dz;
cia integruojama (zr. 27 pav.) nuo 0 spinduliu z = y(1 − 2it)1/2. Pazymesime L1
spindulio z = y(1 − 2it)1/2 dali‘, kai 0 ≤ y ≤ r, o L2 – lanka
‘z = r exp(iϕ) tarp
realiosios asies ir L1. Funkcija exp(−z2/2) yra sveikoji. Todel pagal Kosi teorema‘
(9)
∫L1
+
∫L2
e−z2/2dz =
∫ r
0
e−z2/2dz.
Desiniosios puses integralas yra imamas realiosios asies atkarpa.
27 pav.
I‘vertinsime antra
‘ji‘integrala
‘∣∣∣ ∫L2
e−z2/2dz
∣∣∣ ≤ 1
4πr sup
z∈L2
|e−z2/2| = 1
4πr sup |e−1/2r2e2iϕ
| =
=1
4πr sup e−1/2r2 cos 2ϕ ≤ 1
4πre−1/2r2 cos 2ϕ0 ;
cia ϕ0 = arg√
1− 2it, |ϕ0| < π/4.
Pastarasis reiskinys konverguoja i‘nuli
‘, kai r →∞.
Todel, pereje‘prie ribos (9) lygybeje, kai r →∞, is (8) gauname
fX2(t) =2√
2π(1− 2it)
∫ ∞
0
e−z2/2dz =1√
1− 2it.
Apvertimo ir vienaties teoremos 187
9. APVERTIMO IR VIENATIES TEOREMOS
Kiekviena‘pasiskirstymo funkcija
‘atitinka viena charakteristine funkcija. I
‘ro-
dysime, kad teisingas ir atvirkstinis teiginys. Kartu bus pateisintas ir charak-teristines funkcijos terminas.
1 lema. Visiems realiesiems x
| sinx| ≤ |x|.
I‘r o d y m a s. Is 8 skyrelio lemos, kai n = 0, isplaukia
|eix − 1| ≤ |x|.
Kadangi bet kuriam kompleksiniam skaiciui z visada |Im z| ≤ |z|, tai
|Im (eix − 1)| ≤ |x|,
arba| sinx| ≤ |x|. ut
2 lema. Visiems kompleksiniams z
|ez − 1| ≤ |z|e|z|.
I‘r o d y m a s niekuo nesiskiria nuo I.15.2 lemos i
‘rodymo. ut
3 lema. Jei α ir T yra realieji skaiciai,
I(T, α) =2π
∫ T
0
sinαtt
dt,
tai
(1) |I(T, α)| ≤ 2
ir
(2) I(T, α) → sgnα,
kai T →∞, tolygiai visiems α, |α| ≥ δ, kai δ – fiksuotas teigiamas skaicius.I‘r o d y m a s. Pakeite
‘integrale I(T, α) kintama
‘ji‘t nauju kintamuoju
t/α, gauname
(3) I(T, α) = I(Tα, 1).
188 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Taip pat aisku, kad
(4) I(−T, 1) = −I(T, 1).
Tirsime integrala‘I(T, 1), kai T > 0. Pazymeje
‘
ck =2π
∫ (k+1)π
kπ
sin ttdt = (−1)k
2π
∫ π
0
sin tkπ + t
dt,
r(T ) =2π
∫ T
[T/π]π
sin ttdt,
turime
I(T, 1) =[T/π]−1∑k=0
ck + r(T ).
Skaiciu‘ck zenklai eina pakaitomis, o ju
‘absoliutusis didumas mazeja. Is cia
ir is Leibnico1 kriterijaus isplaukia, kad integralas
J =∫ ∞
0
sin ttdt = lim
T→∞I(T, 1)
egzistuoja. Dydis r(T ) yra teigiamas, kai [T/π] lyginis, ir neigiamas, kai [T/π]nelyginis. Todel lyginiams [T/π]
[T/π]−1∑k=0
ck ≤ I(T, 1) ≤[T/π]∑k=0
ck,
o nelyginiams [T/π]
[T/π]∑k=0
ck ≤ I(T, 1) ≤[T/π]−1∑k=0
ck.
Is cia 0 ≤ I(T, 1) ≤ c0 ≤ 2, nes pagal 1 lema‘
c0 =2π
∫ π
0
sin ttdt ≤ 2
π
∫ π
0
dt = 2.
1 Gotfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – vokieciu‘matematikas.
Apvertimo ir vienaties teoremos 189
Is (3) ir (4) lygybiu‘
isplaukia, kad visada teisinga (1) nelygybe. Jeii‘rodytume lygybe
‘J = 1, tai is (3) ir (4) gautume, kad teisingas (2) teiginys
ir teiginys apie tolygu‘konvergavima
‘.
28 pav.
Integrala‘J galime apskaiciuoti i
‘vairiais budais. Remsimes kompleksinio
kintamojo funkciju‘integralais. Imkime integrala
‘∫L
eiz
zdz,
paimta‘konturu L (zr. 28 pav.), sudarytu is realiosios asies atkarpos nuo z = r
iki z = R (cia 0 < r < R), pusapskritimio L1 su spinduliu R ir centru taske 0,vel realiosios asies atkarpos nuo z = −R iki z = −r ir pagaliau pusapskritimioL2 su spinduliu r ir centru taske 0. Pointegraline funkcija yra analizine tuokonturu apribotoje srityje ir ant konturo. Todel
(5)∫ R
r
eix
xdx+
∫L1
eiz
zdz +
∫ −r
−R
eix
xdx+
∫L2
eiz
zdz = 0.
Pirmasis ir treciasis integralai kartu yra lygus∫ R
r
eix − e−ix
xdx = 2i
∫ R
r
sinxx
dx.
Parodysime, kad antrasis integralas konverguoja i‘nuli
‘, kai R → ∞. Paeme
‘maza
‘teigiama
‘skaiciu
‘δ, turime∣∣∣ ∫
L1
eiz
zdz∣∣∣ = ∣∣∣i∫ π
0
eiReiϕ
dϕ∣∣∣ ≤ ∫ π
0
e−R sinϕdϕ ≤
≤∫ δ
0
dϕ+∫ π−δ
δ
e−R sinϕdϕ+∫ π
π−δdϕ < 2δ + πe−R sin δ.
Lieka istirti ketvirta‘ji‘integrala
‘. Ji
‘uzrasysime pavidalu
190 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai∫
L2
eiz
zdz =
∫L2
eiz − 1z
dz +∫L2
dz
z.
Pagal 2 lema‘ ∣∣∣ ∫
L2
eiz − 1z
dz∣∣∣ ≤ πrer.
Kitas integralas ∫L2
dz
z=∫ 0
−πidϕ = πi.
Is (5), kai R→∞, isplaukia, kad J = 1. ut1 teorema. Jei F yra pasiskirstymo funkcija, f – jos charakteristine
funkcija, a ir b – bet kurie realieji skaiciai, tai
F (b+ 0) + F (b)2
− F (a+ 0) + F (a)2
=
= limT→∞
12π
∫ T
−T
e−iat − e−ibt
itf(t)dt.
P a s t a b a. Pointegraline funkcija ϕ taske t = 0 nera apibrezta, ja‘
galima apibrezti bet kaip, pavyzdziui, imti ϕ(0) = limt→0
ϕ(t) = b − a. Tada ϕbus apibrezta ir tolydi visoje realiu
‘ju
‘skaiciu
‘tieseje. Kiekvienam baigtiniam
T integralas yra paprastas Rymano1 integralas. Jei netiesioginis Rymanointegralas ∫ ∞
−∞ϕ(t)dt = lim
T1→−∞T2→∞
∫ T2
T1
ϕ(t)dt
egzistuoja ir yra baigtinis, tai
limT→∞
∫ T
−Tϕ(t)dt =
∫ ∞
−∞ϕ(t)dt.
Taciau riba kaireje lygybes puseje gali egzistuoti ir buti baigtine net tada,kai desines puses netiesioginis integralas neegzistuoja. Tada kalbame apieintegrala
‘Kosi prasme. Taip yra ir su integralu apvertimo formuleje, apie kuria
‘kalbama teoremos formuluoteje. Taciau ja
‘galima uzrasyti ir su netiesioginiu
integralu:F (b+ 0) + F (b)
2− F (a+ 0) + F (a)
2=
=1π
∫ ∞
0
Ree−iat − e−ibt
itf(t)dt.
1 Bernhard Riemann (1826–1866) – vokieciu‘matematikas.
Apvertimo ir vienaties teoremos 191
Sia‘formule
‘gauname sitokiu budu. Prisimine
‘, kad f(−t) = f(t), turime∫ T
−T
e−iat − e−ibt
itf(t)dt =
∫ 0
−T+∫ T
0
=
=∫ T
0
(eiat − eibt
−itf(−t) +
e−iat − e−ibt
itf(t)
)dt =
= 2∫ T
0
Ree−iat − e−ibt
itf(t)dt.
I‘
r o d y m a s. Pakanka tirti tik atveji‘, kai a < b. Teigiamiems T
pazymekime
J(T ) =12π
∫ T
−T
e−iat − e−ibt
itf(t)dt.
Isreiske‘charakteristine
‘funkcija
‘pasiskirstymo funkcija F , gauname
J(T ) =12π
∫ T
−T
(∫ ∞
−∞
eit(x−a) − eit(x−b)
itdF (x)
)dt.
Sukeisime integravimo tvarka‘:
J(T ) =12π
∫ ∞
−∞
(∫ T
−T
eit(x−a) − eit(x−b)
itdt)dF (x).
Kadangi pagal 8 skyrelio lema‘∣∣∣eit(x−a) − eit(x−b)
it
∣∣∣ = ∣∣∣eit(b−a) − 1it
∣∣∣ ≤ b− a
ir ∫ ∞
−∞
(∫ T
−T(b− a)dt
)dF (x) = 2T (b− a),
tai integravimo ribu‘sukeitimas yra galimas pagal Fubinio teorema
‘. Pasinau-
doje‘Oilerio1 formule, gauname
eit(x−a) − eit(x−b)
it=
=cos t(x− a)− cos t(x− b)
it+
sin t(x− a)− sin t(x− b)t
.
Pirmasis desines puses narys yra nelygine t funkcija, antrasis – lygine. Todel
1 Leonhard Euler (1707–1783) – sveicaru‘kilmes matematikas.
192 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
J(T ) =1π
∫ ∞
−∞
(∫ T
0
sin t(x− a)− sin t(x− b)t
dt)dF (x) =
=1π
∫ ∞
−∞
(I(T, x− a)− I(T, x− b)
)dF (x);
cia vartojame 3 lemos zymejima‘. Pereisime prie ribos, kai T → ∞. Pagal
3 lema‘
|I(T, x− a)− I(T, x− b)| ≤ 4.
Todel pagal V.9.16 teorema‘
galime pereiti prie ribos po integralo zenklu.Gauname
limT→∞
J(T ) =1π
∫ ∞
−∞limT→∞
(I(T, x− a)− I(T, x− b)
)dF (x).
Is 3 lemos isplaukia, kad limT→∞
(I(T, x− a)− I(T, x− b)
)yra
−12−(−1
2
)= 0, kai x < a,
0−(−1
2
)=
12, kai x = a,
12−(−1
2
)= 1, kai a < x < b,
12− 0 =
12, kai x = b,
12− 1
2= 0, kai x > b.
Todel
limT→∞
J(T ) =∫
(−∞,a)
0 +∫a
12+
+∫
(a,b)
1 +∫b
12
+∫
(b,∞)
0 dF (x) =
=12(F (a+ 0)− F (a)
)+ F (b)−
− F (a+ 0) +12(F (b+ 0)− F (b)
). ut
Jei a ir b yra funkcijos F tolydumo taskai, tai apvertimo formule virstasitokia:
F (b)− F (a) = limT→∞
12π
∫ T
−T
e−iat − e−ibt
itf(t)dt.
Apvertimo ir vienaties teoremos 193
2 (vienaties) teorema. Jei dvi pasiskirstymo funkcijos turi ta‘
pacia‘
charakteristine‘
funkcija‘, tai jos sutampa.
I‘r o d y m a s. Is 1 teoremos isplaukia, kad charakteristine funkcija viena-
reiksmiskai nusako pasiskirstymo funkcijos F pokyti‘tarp dvieju
‘jos tolydumo
tasku‘: F (b) − F (a). Kaip zinome, pasiskirstymo funkcijos trukio tasku
‘aibe
yra baigtine arba skaiti. Tarkime, kad a tolsta i‘−∞, prabegdamas tik F
tolydumo taskus. Gauname, kad funkcijos F reiksme yra vienareiksmiskainusakyta kiekviename jos tolydumo taske b. Taciau F yra tolydi is kaires.Todel vienareiksmiskai gauname jos reiksmes ir trukio taskuose. Reikia tik,kad b konverguotu
‘i‘trukio taska
‘is kaires. ut
Atkreipsime demesi‘, kad dvieju
‘skirtingu
‘pasiskirstymo funkciju
‘charak-
teristines funkcijos gali sutapti baigtiniame intervale (zr., pvz., [30], p. 271).
3 teorema. Jei charakteristine funkcija f yra integruojama Lebegoprasme visoje tieseje R, tai ja
‘atitinkanti pasiskirstymo funkcija F turi
aprezta‘
ir tolydzia‘
isvestine‘
ir visiems x ∈ R
F ′(x) =12π
∫ ∞
−∞e−itxf(t)dt.
I‘r o d y m a s. Kadangi f yra integruojama funkcija, tai egzistuoja Lebego
integralas12π
∫ ∞
−∞
e−ixt − e−i(x+h)t
itf(t)dt,
nes pointegralines funkcijos modulis∣∣∣1− e−iht
itf(t)
∣∣∣ ≤ |f(t)| |h|.
Todel pagal 1 teorema‘
(6)
F (x+ h+ 0) + F (x+ h)2
− F (x+ 0)− F (x)2
=
=12π
∫ ∞
−∞
e−ixt − e−i(x+h)t
itf(t)dt,
nes apvertimo formules desines puses integrala‘pagal V.9.16 teorema
‘galima
uzrasyti tuo pavidalu. Be to, pagal ta‘pacia
‘teorema
‘galima pereiti prie ribos
po integralo zenklu, kai h→ 0. Gauname, kad F (x+0)−F (x) = 0. Vadinasi,funkcija F yra tolydi kiekviename taske x ∈ R. Dabar (6) formule
‘uzrasome
pavidalu
F (x+ h)− F (x)h
=12π
∫ ∞
−∞
e−ixt − e−i(x+h)t
ithf(t)dt.
194 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Tuo paciu budu i‘rodome, kad galime pereiti prie ribos po integralo zenklu,
kai h→ 0. Gauname
F ′(x) =12π
∫ ∞
−∞e−ixtf(t) lim
h→0
1− e−iht
ithdt =
=12π
∫ ∞
−∞e−ixtf(t)dt.
F ′ tolyduma‘i‘rodome vel tuo paciu budu. Pereje
‘prie ribos, kai h → 0, po
integralo zenklu lygybeje
F ′(x+ h)− F ′(x) =12π
∫ ∞
−∞e−ixt(eiht − 1)f(t)dt,
gauname, kad F ′(x+ h)− F ′(x) → 0, kai h→ 0. ut
4 teorema. Jei F yra pasiskirstymo funkcija, o f – ja‘
atitinkanti cha-rakteristine funkcija, tai kiekvienam realiajam x
F (x+ 0)− F (x) = limT→∞
12T
∫ T
−Te−ixtf(t)dt.
I‘r o d y m a s analogiskas 1 teoremos i
‘rodymui. Detalizuoti ji
‘paliekame
skaitytojui. utPateiksime keleta
‘vienaties teoremos taikymu
‘.
Daznai tenka rasti dvieju‘nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sumos pasi-
skirstymo funkcija‘, kai zinomos demenu
‘pasiskirstymo funkcijos. Tai galime
gauti ir be charakteristiniu‘funkciju
‘metodo. Tarkime, kad dydziai X ir Y
yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai su pasiskirstymo funkcijomis FX irFY . Samprotaudami analogiskai, kaip ir II.7.1 teoremos i
‘rodyme, gauname
FX+Y (z) =∫ ∞
−∞FX(z − y)dFY (y).
Lygybes
FX+Y (z) =∫
Ω
1ω:X(ω)+Y (ω)<z(ω)P (dω) =
=∫ ∫
R21(x,y):x+y<z(x, y)P(X,Y )(dx, dy)
paskutinis integralas pagal Fubinio teorema‘lygus
Apvertimo ir vienaties teoremos 195
(7)
∫R
(∫R
1(x,y):x+y<z(x, y)PX(dx))PY (dy) =
=∫R
(∫(−∞,z−y)
PX(dx))PY (dy) =
=∫ ∞
−∞FX(z − y)PY (dy).
Integrala‘ ∫ ∞
−∞G(x− y)dF (y),
jei jis egzistuoja, vadiname funkciju‘F ir G sa
‘suka ir zymime F ∗G = F ∗G(x).
Tas integralas egzistuoja, kai F ir G yra pasiskirstymo funkcijos.Jei X yra absoliuciai tolydus ir pX yra jo tankio funkcija, tai, remiantis
Fubinio teorema,
FX+Y (z) =∫ ∞
−∞FX(z − y)dFY (y) =
=∫ ∞
−∞
(∫ z−y
−∞pX(x)dx
)dFY (y) =
=∫ ∞
−∞
(∫ z
−∞pX(x− y)dx
)dFY (y) =
=∫ z
−∞
(∫ ∞
−∞pX(x− y)dFY (y)
)dx;
vadinasi, suma X + Y yra absoliuciai tolydus atsitiktinis dydis ir jo tankiofunkcija
‘galime laikyti lygia
pX+Y (x) =∫ ∞
−∞pX(x− y)dFY (y).
Jei ir Y yra absoliuciai tolydus su tankio funkcija pY , tai sumos tankiofunkcija galime laikyti
pX+Y (x) =∫ ∞
−∞pX(x− y)pY (y)dy.
1 p a v y z d y s. Tarkime, kad nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1 ir X2
yra atitinkamai pasiskirste‘pagal normaliuosius desnius N(a1, σ
21) ir N(a2, σ
22). Tu
‘dydziu
‘charakteristines funkcijos pagal 8.4 pavyzdi
‘yra
fX1(t) = eia1t−σ21t2/2, fX2(t) = eia2t−σ2
2t2/2,
196 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
o ju‘sumos charakteristine funkcija pagal 8.5 teorema
‘yra
fX1+X2(t) = ei(a1+a2)t−(σ21+σ2
2)t2/2.
Is vienaties teoremos isplaukia, kad suma X1 +X2 yra taip pat pasiskirsciusi pagal
normalu‘ji‘desni
‘, butent, N
(a1 + a2, (σ
21 + σ2
2)1/2).
Si‘teigini
‘galejome ir kitaip i
‘rodyti. Reikejo suskaiciuoti integrala
‘
1
2πσ1σ2
∫ ∞
−∞exp− (x− y − a1)
2
2σ21
− (y − a2)2
2σ22
dy.
Carakteristiniu‘funkciju
‘metodas yra paprastesnis.
H. Krameras1 (zr. [21]) i‘rode atvirkstine
‘teorema
‘: jei dvieju
‘nepriklausomu
‘neissigimusiu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘X1, X2 suma X1 + X2 yra pasiskirsciusi pagal
normalu‘ji‘desni
‘, tai ir demenys X1, X2 yra pasiskirste
‘pagal normaliuosius desnius.
Sakome, kad atsitiktinis dydis yra issigime‘s, jei jis su tikimybe 1 lygus konstan-
tai. Zinoma, issigimusi‘pasiskirstyma
‘galima butu
‘laikyti normaliojo pasiskirstymo
atskiru atveju, bet tai ne visada patogu.
2 p a v y z d y s. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1 ir X2 yra pasiskirste‘
atitinkamai pagal Puasono desnius su parametrais λ1 ir λ2, tai pagal 8.3 pavyzdi‘
ir 8.5 teorema‘
fX1+X2(t) = e(λ1+λ2)(eit−1).
Is vienaties teoremos isplaukia, kad suma X1 + X2 taip pat pasiskirsciusi pagalPuasono desni
‘, kurio parametras yra λ1 + λ2.
Cia galejome taikyti (7) formule‘. Vargo butu
‘buve
‘daugiau.
D. Raikovas2 (zr. [21]) i‘rode atvirkstine
‘teorema
‘: jei dvieju
‘nepriklausomu
‘neissigimusiu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘X1, X2 suma X1 + X2 yra pasiskirsciusi pagal
Puasono desni‘, tai dydziai X1, X2 yra taip pat pasiskirste
‘pagal Puasono desnius.
3 p a v y z d y s. Imkime nepriklausomus atsitiktinius dydzius X1, ..., Xn,pasiskirsciusius pagal normalu
‘ji‘desni
‘N(0, 1). Rasime atsitiktinio dydzio
χ2n = X2
1 + ... + X2n
pasiskirstyma‘. Jis vadinamas χ2 su n laisves laipsniu
‘pasiskirstymu ir vaidina svarbu
‘vaidmeni
‘matematineje statistikoje.
8.5 pavyzdyje radome dydzio X2k charakteristine
‘funkcija
‘. Ji yra lygi (1 −
−2it)−1/2. Todel χ2n charakteristine funkcija yra (1− 2it)−n/2.
Imkime pasiskirstymo funkcija‘
F (x) =
0, kai x ≤ 0,
2−n/2Γ−1(
n
2
)∫ x
0
un/2−1e−u/2du, kai x > 0.
Apskaiciuosime jos charakteristine‘funkcija
‘
1 Harold Cramer (1893–1985) – svedu‘matematikas.
2 Dmitrijus Raikovas (g. 1905 m.) – rusu‘matematikas.
Apvertimo ir vienaties teoremos 197
f(t) = 2−n/2Γ−1(
n
2
)∫ ∞
0
xn/2−1e−(1−2it)x/2dx.
Po pakeitimo z = (1− 2it)x/2 turime
(8) f(t) = Γ−1(
n
2
)(1− 2it)−n/2
∫zn/2−1e−zdz;
cia integruojama kompleksineje plokstumoje spinduliu z = (1 − 2it)x/2. Ap-skaiciuosime integrala
‘tuo paciu budu, kaip ir 8.5 pavyzdyje. Pazymekime L1 spin-
dulio z = (1−2it)x/2 dali‘, kai 0 ≤ x ≤ r, o L2 – lanka
‘z = r exp(iϕ) tarp realiosios
asies ir L1. Funkcija exp(z) yra sveikoji. Todel pagal Kosi teorema‘
(9)
∫L1
+
∫L2
zn/2−1e−zdz =
∫ r
0
zn/2−1e−zdz.
Desines puses integralas yra imamas realiosios asies atkarpa nuo 0 iki r. I‘vertinsime
kaires puses antra‘ji‘integrala
‘:∣∣∣ ∫
L2
zn/2−1e−zdz
∣∣∣ ≤ 1
2πr sup
z∈L2
|zn/2−1e−z| =
=1
2πrn/2 sup |e−reiϕ
| = 1
2πrn/2 sup e−r cos ϕ ≤ 1
2πrn/2e−r cos ϕ0 .
Pastarasis reiskinys konverguoja i‘nuli
‘, kai r →∞, nes
ϕ0 = arg(1− 2it), |ϕ0| <π
2.
Todel, pereje‘prie ribos (9) lygybeje, kai r →∞, is (8) gauname
f(t) = (1− 2it)−n/2.
Is 2 teoremos isplaukia isvada, kad F yra χ2n pasiskirstymo funkcija.
4 p a v y z d y s. Pasinaudoje‘
3 pavyzdziu, rasime labai svarbu‘
mate-matineje statistikoje Stjudento pasiskirstyma
‘. Tarkime, kad atsitiktiniai dydziai
X, X1, ..., Xn yra nepriklausomi ir pasiskirste‘pagal N(0, 1). Tada atsitiktinio dydzio
t =X
Y=
X√(X2
1 + ... + X2n)/n
pasiskirstymas yra vadinamas Stjudento1 pasiskirstymu su n laisves laipsniu‘. Pir-
miausia apskaiciuosime atsitiktinio dydzio Y pasiskirstyma‘. Turime
P (Y < x) = P (χ2n < nx2).
Is 3 pavyzdzio isplaukia, kad si pasiskirstymo funkcija lygi 0, kai x ≤ 0, ir lygi
1 Student – anglu‘statistiko William Sealy Gosset (1876–1937) slapyvardis.
198 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
2−n/2Γ−1(
n
2
)∫ nx2
0
vn/2−1e−v/2dv,
kai x > 0. Po kintamojo pakeitimo u = (v/n)1/2 antruoju atveju gauname
P (Y < x) = An
∫ x
0
un−1e−nu2/2du;
cia
An = 2−n/2+1nn/2Γ−1(
n
2
).
Atsitiktinio dydzio t pasiskirstymo funkcija
Sn(x) = P (t < x) = P(
X
Y< x)
=
∫ ∫u>0
v/u<x
P(X,Y )(du, dv)
(integravimo sriti‘zr. 29 pav.). Kadangi atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklau-
somi, tai
Sn(x) =
∫ ∫u>0
v/u<x
un−1e−(v2+nu2)/2dudv.
29 pav.
Pakeite‘kintama
‘ji‘v = uw, gauname
Sn(x) = (2π)−1/2An
∫ ∫u>0w<x
une−(n+w2)u2/2dudw.
Vel keiciame kintama‘ji‘: (n + w2)u2/2 = y. Galutinai gauname
Tolydumo teorema 199
Sn(x) = (2π)−1/2An2(n−1)/2×
×∫ x
−∞(n + w2)−(n+1)/2dw
∫ ∞
0
y(n−1)/2e−ydy =
=Γ(
n + 1
2
)√
πnΓ(
n
2
) ∫ x
−∞(1 + w2/n)−(n+1)/2dw.
5 p a v y z d y s. Matematineje statistikoje svarbu‘vaidmeni
‘vaidina ir dvieju
‘nepriklausomu
‘χ2 santykio pasiskirstymas. Tarkime, kad X1, ..., Xn, Y1, ..., Ym yra
nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, pasiskirste‘
pagal N(0, 1). Rasime atsitiktiniodydzio
Z =X2
1 + ... + X2n
Y 21 + ... + Y 2
m
pasiskirstyma‘. Jis vadinamas Fiserio1 pasiskirstymu su n ir m laisves laipsniu
‘. Kai
x ≤ 0, tai FZ(x) = 0. Imkime x < 0. Kaip ir 4 pavyzdyje,
FZ(x) =
∫ ∫u>0,v>0
v/u<x
pχ2m
(u)pχ2n(v)dudv =
= Bm,n
∫ ∫u>0,v>0
v/u<x
um/2−1vn/2−1e−(u+v)/2dudv;
cia
Bm,n = 2−(n+m)/2Γ−1(
n
2
)Γ−1(
m
2
).
Po pakeitimo v = uw turime
FZ(x) = Bm,n
∫ x
0
wn/2−1dw
∫ ∞
0
u(n+m)/2−1e−(1+w)udu =
=Γ(
n + m
2
)Γ(
n
2
)Γ(
m
2
) ∫ x
0
wn/2−1(1 + w)−(n+m)/2dw.
10. TOLYDUMO TEOREMA
Ankstesniame skyrelyje i‘rodeme, kad tarp pasiskirstymo funkciju
‘ir charakte-
ristiniu‘funkciju
‘yra abipus vienareiksme atitiktis. Dabar musu
‘tikslas – pa-
rodyti, kad ta atitiktis tam tikra prasme tolydi, t. y. is pasiskirstymo funkciju‘
1 Ronald Alymer Fisher (1890–1962) – anglu‘statistikas.
200 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
silpno konvergavimo i‘
pasiskirstymo funkcija‘
isplaukia tas pasiskirstymofunkcijas atitinkanciu
‘charakteristiniu
‘funkciju
‘konvergavimas i
‘ribines funkci-
jos charakteristine‘funkcija
‘, ir atvirksciai. Tiksliau tas teiginys yra nusakytas
1 ir 2 teoremose.
1 teorema. Jei pasiskirstymo funkciju‘
seka Fn (n = 1, 2, ...) kon-verguoja i
‘pasiskirstymo funkcija
‘F jos tolydumo taskuose, tai atitinkamu
‘charakteristiniu
‘funkciju
‘seka fn (n = 1, 2, ...) konverguoja i
‘funkcijos F
charakteristine‘
funkcija‘. Tas konvergavimas yra tolygus kiekviename baigti-
niame intervale.I‘r o d y m a s. Teiginys apie charakteristiniu
‘funkciju
‘fn konvergavima
‘isplaukia is 7.5 Helio–Brejaus teoremos (ja
‘taikome atskirai realiosioms ir
menamosioms integralu‘dalims). Truputi
‘pakeite
‘7.5 teoremos i
‘rodyma
‘, ga-
lime parodyti, kad konvergavimas yra tolygus (tai paliekame skaitytojui). utAtkreipsime demesi
‘, kad teoremos teiginys gali buti neteisingas, kai ribine
funkcija F yra bet kuri nemazejanti, taciau ne pasiskirstymo funkcija. Imkimeseka
‘pasiskirstymo funkciju
‘
Fn(x) = 0, kai x ≤ n,
1, kai x > n.
Kiekvienam baigtiniam x seka Fn(x) konverguoja i‘F (x) ≡ 0, bet atitinkamu
‘charakteristiniu
‘funkciju
‘seka fn(t) = exp(int) nekonverguoja i
‘jokia
‘riba
‘,
isskyrus taskus t = 2kπ (k = 0,±1, ...).
Isvada. Jei charakteristiniu‘funkciju
‘seka fn (n = 1, 2, ...) konverguoja i
‘charakteristine
‘funkcija
‘f ir realiu
‘ju‘skaiciu
‘seka un (n = 1, 2, ...) konverguoja
i‘
baigtini‘
skaiciu‘u, tai fn(un) konverguoja i
‘f(u).
I‘r o d y m a s. Teiginys isplaukia is nelygybes
|fn(un)− f(u)| ≤ |fn(un)− f(un)|+ |f(un)− f(u)|,
1 teoremos ir charakteristines funkcijos f(t) tolydumo. ut2 teorema. Jei charakteristiniu
‘funkciju
‘seka fn (n = 1, 2, ...) visoms
argumento reiksmems konverguoja i‘kokia
‘nors funkcija
‘f , tolydzia
‘nuliniame
taske, tai atitinkamu‘pasiskirstymo funkciju
‘seka Fn (n = 1, 2, ...) konverguoja
i‘
pasiskirstymo funkcija‘F jos tolydumo taskuose. Tada funkcija f yra F
charakteristine funkcija.I‘r o d y m a s. Remdamiesi 7.4 Helio kompaktiskumo teorema, isskirsime
is sekos Fn poseki‘Fnk
, konverguojanti‘i‘kokia
‘nors nemazejancia
‘funkcija
‘F jos tolydumo taskuose. Aisku, 0 ≤ F (−∞) ≤ F (∞) ≤ 1. Tarkime, kad
δ = F (∞)− F (−∞) < 1.
Imkime koki‘nors skaiciu
‘ε su sa
‘lyga 0 < ε < 1 − δ. Kadangi fnk
→ f , taif(0) = 1. Is f tolydumo taske t = 0 isplaukia, kad galima parinkti pakanka-mai maza
‘τ > 0, tenkinanti
‘sa
‘lyga
‘
Tolydumo teorema 201
(1)12τ
∣∣∣ ∫ τ
−τf(t)dt
∣∣∣ > 1− ε/2.
I‘vertinsime ta
‘reiskini
‘kitaip. Pakeite
‘integravimo tvarka
‘, turime∫ τ
−τfnk
(t)dt =∫ ∞
−∞
(∫ τ
−τeitxdt
)dFnk
(x).
Is cia bet kuriam a > 4(τε)−1∣∣∣ 12τ
∫ τ
−τfnk
(t)dt∣∣∣ ≤ 1
2τ
∫−a≤x<a
∣∣∣ ∫ τ
−τeitxdt
∣∣∣dFnk(x)+
+12τ
∫|x|≥a
∣∣∣ ∫ τ
−τeitxdt
∣∣∣dFnk(x) ≤
≤ Fnk(a)− Fnk
(−a) +12τ
∫|x|≥a
∣∣∣2 sin τxx
∣∣∣dFnk(x) ≤
≤ Fnk(a)− Fnk
(−a) +1τa
< Fnk(a)− Fnk
(−a) +ε
4.
KadangiFnk
(a)− Fnk(−a) → F (a)− F (−a),
kai a ir −a yra F (x) tolydumo taskai, tai pakankamai dideliems a ir k
Fnk(a)− Fnk
(−a) < δ +ε
4.
Vadinasi, ∣∣∣ 12τ
∫ τ
−τfnk
(t)dt∣∣∣ < δ +
ε
2.
Pereje‘prie ribos, kai k →∞, gauname∣∣∣ 1
2τ
∫ τ
−τf(t)dt
∣∣∣ ≤ δ +ε
2< 1− ε+
ε
2= 1− ε
2.
Si nelygybe priestarauja (1).Taigi funkcija F , i
‘kuria
‘konverguoja seka Fnk
, yra pasiskirstymo funkcija.Pagal 1 teorema
‘jos charakteristine funkcija yra f .
Lieka i‘rodyti, kad duotoji seka Fn konverguoja i
‘F . Tarkime, kad taip
nera. Tada galima rasti poseki‘Fmk
, konverguojanti‘i‘kokia
‘nors kita
‘funkcija
‘F ∗, nelygia
‘F bent viename jos tolydumo taske. Pagal jau i
‘rodyta
‘teoremos
dali‘funkcijos F ∗ charakteristine funkcija butu
‘f . Taciau pagal 9.2 vienaties
teorema‘funkcijos F ir F ∗ turetu
‘sutapti. Gautas priestaravimas rodo, kad
prielaida buvo neteisinga. ut
202 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Teoremos teiginys gali buti neteisingas, jei ribine funkcija f nera tolyditaske t = 0. Imkime pasiskirstymo funkcijas
Fn(x) =
0, kai x ≤ −n,12
+x
2n, kai −n < x < n,
1, kai x ≥ n;
ju‘charakteristines funkcijos yra
fn(t) =
1, kai t = 0,sinntnt
, kai t 6= 0.
Tadafn(t) → f(t) =
1, kai t = 0,0, kai t 6= 0.
Ribine funkcija f nera tolydi nuliniame taske. Antra vertus, Fn konverguojai‘funkcija
‘F ≡ 1/2, kuri nera pasiskirstymo funkcija.
Charakteristiniu‘funkciju
‘aparatas yra labai naudingas, i
‘rodinejant i
‘vai-
rias teoremas apie atsitiktiniu‘dydziu
‘pasiskirstyma
‘. Tuo jau galejome i
‘siti-
kinti is ankstesniu‘skyreliu
‘pavyzdziu
‘. Jis ypac pravercia, tiriant nepriklauso-
mu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sumu
‘pasiskirstymus. Sakykime, turime nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘seka
‘X1, X2, ... ir dvi realiu
‘ju
‘skaiciu
‘sekas A1, A2, ...;
B1, B2, ..., be to, skaiciai Bn > 0. Pazymekime Sn = X1 + ... + Xn. Reikiaistirti normuotu
‘sumu
‘Zn = B−1
n (Sn −An)
ribini‘pasiskirstyma
‘. Tu
‘sumu
‘pasiskirstymo funkcija yra
P (Zn < x) = FX1 ∗ ... ∗ FXn(An +Bnx).
Sa‘sukio operacija yra gana sudetinga, todel tirti tos lygybes desiniosios puses
ribini‘
kitimo pobudi‘
nera lengva. Paprasciau yra apskaiciuoti sumos Zncharakteristine
‘funkcija
‘
fZn(t) = e−itAn/BnfX1
( t
Bn
)...fXn
( t
Bn
)ir nagrineti jos kitima
‘, kai n→∞. Jei fZn konverguoja i
‘kokia
‘nors funkcija
‘f , tolydzia
‘nuliniame taske, tai P (Zn < x) silpnai konverguoja i
‘atitinkama
‘pasiskirstymo funkcija
‘.
Paaiskinsime sia‘
ideja‘
paprastu kasdieniniu pavyzdziu. Jei, sakysime,mums reikia isspre
‘sti uzdavini
‘, kurio sa
‘lygos suformuluotos svetima kalba,
ir ta‘kalba
‘blogai mokame, tai pirmiausia issiverciame sa
‘lyga
‘i‘gimta
‘ja
‘kalba
‘,
issprendziame uzdavini‘ta kalba, po to atsakyma
‘isverciame i
‘svetima
‘kalba
‘.
Taip elgiames ir tikimybiu‘
teorijoje. Tarp pasiskirstymo funkciju‘
”kal-bos” ir charakteristiniu
‘funkciju
‘”kalbos” yra abipus vienareiksme atitiktis
Tolydumo teorema 203
(to daznai nera tarp i‘prastiniu
‘kalbu
‘): vienos kalbos ”zodzius” abipus viena-
reiksmiskai atitinka kitos kalbos ”zodziai” (kiekviena‘pasiskirstymo funkcija
‘atitinka viena charakteristine funkcija, ir atvirksciai), vienos kalbos ”gra-matikos” taisykles atitinka kitos kalbos ”gramatikos” taisykles (pasiskirstymofunkciju
‘sa
‘suka
‘atitinka charakteristiniu
‘funkciju
‘daugyba; pasiskirstymo
funkciju‘
silpna‘
konvergavima‘
atitinka charakteristiniu‘
funkciju‘
tam tikraskonvergavimas ir t. t.).
Pailiustruosime si‘metoda
‘keletu paprastu
‘, bet gana efektyviu
‘pavyzdziu
‘.
Mums reikes paprastos lemos.
Lema. Jei z – kompleksinis skaicius, |z| ≤ 1/2, tai
| ln(1 + z)− z| ≤ |z|2.
I‘r o d y m a s. Is lygybes
ln(1 + z) =∞∑k=1
(−1)k−1
kzk
isplaukia
| ln(1 + z)− z| ≤∞∑k=2
|z|k
k≤ 1
2
∞∑k=2
|z|k =|z|2
2(1− |z|)≤ |z|2. ut
1 p a v y z d y s. Pirmajame skyriuje i‘rodeme Muavro-Laplaso integraline
‘teorema
‘(I.15.2 teorema). Dabar pateiksime gana trumpa
‘ir paprasta
‘tos teoremos
i‘rodyma
‘, pagri
‘sta
‘charakteristinemis funkcijomis.
Tirsime Bernulio eksperimentus. Tarkime, kad, atliekant kiekviena‘eksperimen-
ta‘, i
‘vyksta i
‘vykis A su tikimybe p, 0 < p < 1. Pazymekime κn i
‘vykiu
‘A skaiciu
‘,
atlikus n eksperimentu‘. 8.2 pavyzdyje buvo parodyta, kad
fκn(t) = (peit + q)n;
cia q = 1− p. Todel dydzio
Zn =κn − np√
npq
charakteristine funkcija
fZn(t) = fκn
(t
√npq
)exp
(− inpt√
npq
)=
=
p exp
(it
√npq
)+ q
n
exp
(− inpt√
npq
)=
=
p exp
(it
√q
np
)+ q exp
(−it
√p
nq
)n
.
204 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Pazymeje‘Θ kompleksini
‘skaiciu
‘(ne visada ta
‘pati
‘), kurio modulis ne didesnis kaip
1, pagal 8 skyrelio lema‘gauname
p exp
(it
√q
np
)+ q exp
(−it
√p
nq
)=
= p
(1 + it
√q
np− qt2
2np+ Θ
|t|3q3/2
p3/2n3/2
)+
+ q
(1− it
√p
nq− pt2
2nq+ Θ
|t|3p3/2
q3/2n3/2
)=
= 1− t2
2n+ Θ
|t|3
n3/2
(q3/2
p1/2+
p3/2
q1/2
)=
= 1− t2
2n+ Rn.
Tarkime, kad T – bet koks teigiamas skaicius. Kai n yra pakankamai didelis, n ≥≥ n0(T ), visiems t su sa
‘lyga |t| ≤ T teisinga lygybe
fZn(t) = exp
n ln
(1− t2
2n+ Rn
).
Pagal lema‘ ∣∣∣∣n ln
(1− t2
2n+ Rn
)+
t2
2
∣∣∣∣ ≤≤∣∣∣∣n ln
(1− t2
2n+ Rn
)+
t2
2n−Rn
∣∣∣∣++ n|Rn| ≤ n
∣∣∣∣− t2
2n+ Rn
∣∣∣∣2 + n|Rn| ≤C
n1/2;
cia C – teigiamas skaicius, nepriklausantis nuo n. Taigi
fZn(t) → e−t2/2,
kai |t| ≤ T . Is 2 teoremos isplaukia, kad
P (Zn < x) → Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−u2/2du.
2 p a v y z d y s. Nauju metodu i‘rodysime Puasono teorema
‘(I.15.4 teorema),
siek tiek ja‘apibendrindami. Tarkime, kad turime atsitiktiniu
‘dydziu
‘seriju
‘seka
‘
Xn1 , ..., Xnkn (n = 1, 2, ...),
kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi, be to, kiekvienas is ju‘i‘gyja tik po dvi
reiksmes: 0 ir 1 su tikimybemis
Tolydumo teorema 205
P (Xnk = 1) = pnk, P (Xnk = 0) = 1− pnk (k = 1, ..., kn).
Padarykime prielaidas, kad
max1≤k≤kn
pnk → 0,
kn∑k=1
pnk → λ,
kai n →∞. Pazymekime
Sn =
kn∑k=1
Xnk.
I‘rodysime, kad
P (Sn = k) → λk
k!e−λ (k = 0, 1, ...).
Atsitiktinio dydzio Xnk charakteristine funkcija lygi
1 + pnk(eit − 1),
o sumos Sn charakteristine funkcija
fSn(t) =
kn∏k=1
1 + pnk(eit − 1).
Kai n dideli, pagal lema‘
| ln1 + pnk(eit − 1) − pnk(eit − 1)| ≤ 4p2nk.
Todel
∣∣ ln fSn(t)− (eit − 1)
kn∑k=1
pnk
∣∣ ≤ 4
kn∑k=1
p2nk ≤ 4
kn∑k=1
pnk max1≤k≤kn
pnk.
Vadinasi,
fSn(t) → eλ(eit−1)
tolygiai visiems t.Sumos Sn charakteristine
‘funkcija
‘galime uzrasyti sitaip:
fSn(t) =
∞∑k=0
P (Sn = k)eitk.
Is cia
P (Sn = k) =1
2π
∫ π
−π
fSn(t)e−itkdt =e−λ
2π
∫ π
−π
eλeit−itkdt + o(1)
206 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
tolygiai k atzvilgiu. Apskaiciuosime integrala‘. Isskleide
‘exp(λeit) laipsnine eilute ir
sukeite‘integravima
‘su sumavimu vietomis, gauname
1
2π
∫ ∞
−∞eλeit−itkdt =
∞∑l=0
λl
l!
1
2π
∫ π
−π
eit(l−k)dt =λk
k!.
Vadinasi, tolygiai k atzvilgiu
P (Sn = k) =λk
k!e−λ + o(1).
3 p a v y z d y s. Remdamiesi charakteristinemis funkcijomis, i‘rodysime 3.3
Chincino teorema‘. Imkime seka
‘nepriklausomu
‘vienodai pasiskirsciusiu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘X1, X2, ..., turinciu
‘vidurki
‘a.
Jei f yra kiekvieno is tu‘dydziu
‘charakteristine funkcija, tai normuotos ju
‘sumos
Zn =1
n
n∑k=1
Xk − a
charakteristine funkcija
fZn(t) = e−iatfn(
t
n
).
Kadangi atsitiktinis dydis turi vidurki‘, tai pagal 8.6 teorema
‘nulinio tasko aplinkoje
f(t) = 1 + iat + tr(t);
cia r(t) yra funkcija, konverguojanti i‘nuli
‘, kai t → 0. Kai |t| ≤ T ir n yra pakanka-
mai didelis, pagal sio skyrelio lema‘
fZn(t) = exp
− iat + n ln
(1 +
t
n
(ia + r
(t
n
)))=
= exp
− tr
(t
n
)+ Θn
∣∣∣∣ tn(
ia + r(
t
n
))∣∣∣∣2
.
Is cia
fZn(t) → 1,
kai n → ∞. Taciau issigimusio pasiskirstymo ε(x) charakteristine funkcija yratapati 1. Vadinasi, visur, isskyrus x = 0, P (Zn < x) → ε(x), t. y. kiekvienam δ > 0
P (|Zn| ≥ δ)−−−−−→n→∞
0.
Centrine ribine teorema 207
11. CENTRINE RIBINE TEOREMA
Muavro–Laplaso integraline teorema yra tik labai specialus bendresnio ti-kimybiu
‘teorijos desnio atvejis. Mat, atitinkamai normuotu
‘nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sumu
‘pasiskirstymo funkcijos konverguoja i
‘normalia
‘ja
‘pasiskirstymo funkcija
‘, kai tie dydziai tenkina gana bendras sa
‘lygas. Pateik-
sime klasikini‘tokio desnio pavyzdi
‘.
1 (Lindebergo1) teorema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1,X2, ... turi dispersijas, bent vienas is ju
‘yra neissigime
‘s,
B2n =
n∑k=1
DXk, Zn = B−1n
n∑k=1
(Xk −MXk),
Fk(x) (k = 1, 2, ...) yra tu‘
dydziu‘
pasiskirstymo funkcijos ir kiekvienam fik-suotam τ > 0
(1) B−2n
n∑k=1
∫|x−MXk|>τBn
(x−MXk)2dFk(x) → 0,
kai n→∞, tai tolygiai x atzvilgiu
P (Zn < x) → Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−u
2/2du,
kai n→∞.(1) sa
‘lyga yra vadinama Lindebergo sa
‘lyga.
Pazymeje‘
Xnk = B−1n (Xk −MXk), Fnk(x) = P (Xnk < x) (k = 1, ..., n),
turime
MXnk = 0, DXnk = B−2n DXk,
n∑k=1
DXnk = 1,
Fk(x) = P (BnXnk +MXnk < x) =
= P(Xnk <
x−MXk
Bn
)= Fnk
(x−MXk
Bn
).
Tada Lindebergo sa‘lyga
‘galime uzrasyti pavidalun∑k=1
∫|x|>τ
x2dFnk(x) → 0,
1 Jarl Waldemar Lindeberg (1876–1932) – svedu‘kilmes suomiu
‘matematikas.
208 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
o teoremos teigini‘–
P( n∑k=1
Xnk < x)→ Φ(x).
I‘rodysime kiek bendresne
‘teorema
‘, kurios specialus atvejis bus 1 teorema.
2 teorema. Sakykime, turime atsitiktiniu‘dydziu
‘seriju
‘seka
‘Xn1, ..., Xnkn
(n = 1, 2, ...), kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi ir turi dispersijas,be to,
(2) MXnk = 0 (k = 1, ..., kn),kn∑k=1
DXnk = 1.
Pazymekime dydzio Xnk pasiskirstymo funkcija‘Fnk(x),
Sn =kn∑k=1
Xnk.
Jei kiekvienam fiksuotam teigiamam τ
(3)kn∑k=1
∫|x|>τ
x2dFnk(x) → 0,
kai n→∞, tai tolygiai x atzvilgiu
P (Sn < x) → Φ(x),
kai n→∞.(3) sa
‘lyga
‘taip pat vadinsime Lindebergo sa
‘lyga.
I‘
r o d y m a s. Pazymekime fnk dydzio Xnk charakteristine‘funkcija
‘.
Reikes i‘rodyti, kad visiems realiesiems t
ϕn(t) =kn∏k=1
fnk(t) → e−t2/2.
Imkime bet koki‘
fiksuota‘
skaiciu‘T > 2. Toliau laikysime |t| ≤ T . Bet
kuriam ε, 0 < ε < 1, ir τ = εT−3 pagal (3) sa‘lyga
‘egzistuoja toks pakankamai
didelis n0 = n0(ε, T ), kad
(4)kn∑k=1
∫|x|>τ
x2dFnk(x) <ε
2T 4,
kai n ≥ n0.
Centrine ribine teorema 209
Tirsime charakteristines funkcijas fnk. Kadangi MXnk = 0, tai
fnk(t)− 1 =∫ ∞
−∞(e−itx − 1− itx)dFnk(x).
Pagal 8 skyrelio lema‘
|eitx − 1− itx| ≤ 12t2x2.
Todel
(5) |fnk(t)− 1| ≤ 12t2∫ ∞
−∞x2dFnk(x) =
12t2DXnk.
Mums pravers ir kitoks to paties reiskinio i‘vertinimas, kurio ieskodami rem-
simes (4) i‘vertinimu. Turime
(6)
|fnk(t)− 1| ≤
≤ 12t2(∫
|x|≤τx2dFnk(x) +
∫|x|>τ
x2dFnk(x))≤
≤ 12t2(τ2
∫ ∞
−∞dFnk(x) +
ε
2T 4
)<
12T 2(τ2 +
ε
2T 4
)=
=T 2
2
( ε2T 6
+ε
2T 4
)<
ε
2T 2<
12.
Is (6) isplaukia, kad fnk(t) 6= 0, kai |t| ≤ T . Todel galime kalbeti apie fnk(t)ir ϕn(t) logaritmus. Imame ju
‘pagrindines reiksmes. Is (2) gauname
(7)
∣∣∣ lnϕn(t) +t2
2
∣∣∣ ≤≤
kn∑k=1
∣∣∣ ln [1 +(fnk(t)− 1
)]−(fnk(t)− 1
)∣∣∣++
kn∑k=1
∣∣∣fnk(t)− 1 +t2
2DXnk
∣∣∣ = Rn1 +Rn2.
Dydi‘Rn1 i
‘vertinsime, remdamiesi 10 skyrelio lema ir (6), (5) bei (2)
sa‘rysiais. Gausime
(8)
Rn1 ≤kn∑k=1
|fnk(t)− 1|2 ≤ ε
2T 2
k∑k=1
|fnk(t)− 1| ≤
≤ ε
2T 2· 12T 2
kn∑k=1
DXnk =ε
4.
210 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Dabar i‘vertinsime dydi
‘Rn2
Rn2 =kn∑k=1
∣∣∣ ∫ ∞
−∞
(eitx − 1− itx+
12t2x2
)dFnk(x)
∣∣∣.Is 8 skyrelio lemos isplaukia nelygybes∣∣∣eitx − 1− itx+
12t2x2
∣∣∣ ≤ |eitx − 1− itx|+ 12t2x2 ≤ t2x2,∣∣∣eitx − 1− itx+
12t2x2
∣∣∣ ≤ 16|tx|3.
Pirma‘ja
‘nelygybe
‘taikome integravimo sriciai |x| > τ , antra
‘ja
‘– likusiai in-
tegravimo sriciai |x| ≤ τ . Is (2) ir (4) gauname
(9)
Rn2 ≤kn∑k=1
( |t|36
∫|x|≤τ
|x|3dFnk(x)+
+ t2∫|x|>τ
x2dFnk(x))≤
≤ T 3τ
6
kn∑k=1
∫|x|≤τ
x2dFnk(x) + T 2n∑k=1
∫|x|>τ
x2dFnk(x) <
<T 3τ
6
kn∑k=1
DXnk + T 2 · ε
2T 4=ε
6+
ε
2T 2<ε
2.
I‘rase
‘(8) ir (9) i
‘(7), gauname∣∣∣ lnϕn(t) +
t2
2
∣∣∣ < ε,
kai n ≥ n0, |t| ≤ T . Remdamiesi 10.2 teorema, gausime i‘rodoma
‘ji‘teigini
‘,
jei pastebesime, kad konvergavimo tolydumas isplaukia is normaliojo pa-siskirstymo tolydumo ir 7.7 teoremos. ut
Lindebergo sa‘lyga nera butina, kad teoremoje nusakytu
‘atsitiktiniu
‘dy-
dziu‘
sumos turetu‘
ribini‘
normalu‘ji‘
pasiskirstyma‘. Imkime atsitiktinius dy-
dzius Xn1 = Y, Xn2 = ... = Xnkn= 0. Tarkime, kad Y yra pasiskirste
‘s pagal
N(0, 1). Aisku, 2 teoremos visos sa‘lygos bus patenkintos, isskyrus Lindebergo
sa‘lyga
‘, nors
P (Sn < x) = Φ(y).
Antra vertus, kiekvienam τ > 0 is nelygybiu‘
Centrine ribine teorema 211
max1≤k≤kn
P (|Xnk| ≥ τ) ≤kn∑k=1
P (|Xnk| ≥ τ) =
=kn∑k=1
∫|x|≥τ
dFnk(x) ≤1τ2
kn∑k=1
∫|x|≥τ
x2dFnk(x)
ir is Lindebergo sa‘lygos isplaukia
(10) max1≤k≤kn
P (|Xnk| ≥ τ) → 0.
Atsitiktiniai dydziai, tenkinantys (10) sa‘lyga
‘, vadinami nykstamais. Taigi, jei
dydziai Xnk (k = 1, ..., kn) tenkina Lindebergo sa‘lyga
‘, tai jie yra nykstami.
Lindebergo sa‘lyga yra butina, kad nykstamu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘, tenki-
nanciu‘(2) sa
‘lyga
‘, sumos turetu
‘ribini
‘normalu
‘ji‘pasiskirstyma
‘.
3 (Felerio1) teorema. Sakykime, turime atsitiktiniu‘
dydziu‘
seriju‘
seka‘
Xn1, ..., Xnkn(n = 1, 2, ...), kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi, turi
dispersijas ir tenkina 2 teoremos (2) sa‘lyga
‘. Pazymekime Sn = Xn1 + ... +
+Xnkn. Jei atsitiktiniai dydziai Xnk yra nykstami ir
P (Sn < x) → Φ(x),
tai teisinga (3) Lindebergo sa‘lyga.
I‘r o d y m a s. Vartosime 2 teoremos zymejimus. Kiekvienam τ > 0
|fnk(1)− 1| ≤∫|x|≤τ
|eix − 1|dFnk(x) +∫|x|>τ
|eix − 1|dFnk(x).
Pirmajame integrale pointegraline‘funkcija
‘i‘vertinsime pagal 8 skyrelio lema
‘dydziu |x|, o antrajame – trivialiai skaiciumi 2. Gausime
|fnk(1)− 1| ≤∫|x|≤τ
|x|dFnk(x) + 2∫|x|>τ
dFnk(x) ≤
≤ τ + 2P (|Xnk| > τ).
Kadangi dydziaiXnk yra nykstami, o τ gali buti parinktas kiek norima mazas,tai
(11) max1≤k≤kn
|fnk(1)− 1| → 0.
Is sa‘lygos MXnk = 0 pagal 8 skyrelio lema
‘isplaukia
1 William Feller (1906–1970) – amerikieciu‘matematikas.
212 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(12)|fnk(1)− 1| =
∣∣∣ ∫ ∞
−∞(eix − 1− ix)dFnk(x)
∣∣∣ ≤≤ 1
2
∫ ∞
−∞x2dFnk(x) =
12DXnk.
Kai n pakankamai dideli, remiantis 10 skyrelio lema ir (11) sa‘rysiu,∣∣ ln fnk(1)−
(fnk(1)− 1
)∣∣ ≤ |fnk(1)− 1|2.
Is (11), (12) ir (2) isplaukia∣∣∣ lnϕn(1)−kn∑k=1
(fnk(1)− 1
)∣∣∣ ≤ kn∑k=1
|fnk(1)− 1|2 ≤
≤ max1≤k≤kn
|fnk(1)− 1|kn∑k=1
|fnk(1)− 1| ≤
≤ 12
max1≤k≤kn
|fnk(1)− 1| → 0.
Kadangi lnϕn(1) → −1/2, tai
kn∑k=1
(fnk(1)− 1
)+
12→ 0,
kitaip tariant,
kn∑k=1
∫ ∞
−∞
(eix − 1− ix+
12x2)dFnk(x) → 0.
Taciau tada ir realioji dalis
(13)∞∑k=1
∫ ∞
−∞
(cosx− 1 +
12x2)dFnk(x) → 0.
Panagrinesime pointegraline‘funkcija
‘. Kai |x| ≥ 3,
cosx− 1 +12x2 ≥
(−2 +
14x2)
+14x2 >
14x2.
Kai |x| < 3, eilute
cosx− 1 +12x2 =
∞∑k=2
(−1)kx2k
(2k)!
Centrine ribine teorema 213
yra alternuojanti. Todel, kai τ < |x| < 3,
cosx− 1 +12x2 ≥ x4
4!− x6
6!=x4
4!
(1− 9
5 · 6
)>
7τ2
240x2.
Is (13) ir i‘rodytu
‘nelygybiu
‘isplaukia Lindebergo sa
‘lyga. ut
Paminesime pora‘specialiu
‘Lindebergo teoremos atveju
‘.
1 isvada (Liapunovo teorema). Tarkime, kad X1, X2, ... yra neprik-lausomi atsitiktiniai dydziai, kuriu
‘bent vienas yra neissigime
‘s ir visi turi
2 + δ, δ > 0, eiles absoliuciuosius momentus. Pazymekime
B2n =
n∑k=1
DXk, Zn = B−1n
n∑k=1
(Xk −MXk).
Jei
(14) B−2−δn
n∑k=1
M |Xk −MXk|2+δ → 0,
kai n→∞, tai tolygiai x atzvilgiu
P (Zn < x) → Φ(x),
kai n→∞.I‘r o d y m a s. Patikrinsime, ar teisinga Lindebergo sa
‘lyga. Pazymeje
‘MXk = ak, turime
B−2n
n∑k=1
∫|x−ak|>τBn
(x− ak)2dFXk(x) ≤
≤ B−2−δn τ−δ
n∑k=1
∫R
|x− ak|2+δdFXk(x).
Is (14) Liapunovo sa‘lygos isplaukia, kad teisinga ir Lindebergo sa
‘lyga. ut
2 isvada. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1, X2, ... yra vienodaipasiskirste
‘, turi vidurkius a ir teigiamas dispersijas σ2,
Zn = (σ√n)−1
( n∑k=1
Xk − na),
tai tolygiai x atzvilgiuP (Zn < x) → Φ(x),
kai n→∞.
214 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
I‘r o d y m a s. Ir siuo atveju pakaks patikrinti, ar teisinga Lindebergo
sa‘lyga. Pazymeje
‘dydziu
‘Xk pasiskirstymo funkcija
‘F ir pastebeje
‘, kad Bn =
= σn1/2, turime
B−2n
n∑k=1
∫|x−a|>τBn
(x− a)2dF (x) =
= σ−2
∫|x−a|>τσn1/2
(x− a)2dF (x).
Is dispersijos egzistavimo isplaukia, kad desines puses integralas konverguojai‘nuli
‘.
Sia‘teorema
‘nesunku i
‘rodyti ir nesiremiant Lindebergo teorema. Pakanka
dydziu‘Xk charakteristine
‘funkcija
‘uzrasyti pavidalu
f(t) = 1 + iat− 12σ2t2 + t2r(t)
(cia r(t) → 0, kai t → 0) ir pastebeti, kad normuotos sumos charakteristinefunkcija yra
a−ian1/2σ−1tfn
( t
σ√n
)=
= e−ian1/2σ−1t
(1 +
iat
σ√n− t2
2n+t2
2nr( t
σ√n
))n.
Jau ne karta‘taikytais metodais galima i
‘rodyti, kad ta charakteristine funkcija
konverguoja i‘exp(−t2/2). ut
2 ir 3 teoremose dareme prielaida‘, kad egzistuoja atsitiktiniu
‘dydziu
‘antrieji momentai. Taciau yra ir bendresniu
‘teoremu
‘, kuriose apsieinama be
tokio tipo sa‘lygu
‘.
4 teorema. Sakykime, Xn1, ..., Xnkn (n = 1, 2, ...) yra atsitiktiniu‘dydziu
‘seriju
‘seka ir kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi. Pazymekime Sn =
= Xn1 + ...+Xnkn. Konstantu
‘seka an su sa
‘lygomis, kad
P (Sn − an < x) → Φ(x)
ir dydziai Xnk butu‘
nykstami, egzistuoja tada ir tik tada, kai kiekvienamτ > 0
kn∑k=1
∫|x|>τ
dFnk(x) → 0,
kn∑k=1
∫|x|≤τ
x2dFnk(x)−(∫
|x|≤τxdFnk(x)
)2→ 1;
Centrine ribine teorema 215
cia Fnk yra dydzio Xnk pasiskirstymo funkcija.Sios teoremos i
‘rodyma
‘galima rasti, pvz., [28].
Bendro pobudzio teoremos apie atsitiktiniu‘
dydziu‘
sumu‘
asimptotini‘
normalu‘ji‘
pasiskirstyma‘
paprastai vadinamos centrinemis ribinemis teore-momis. Sis istorinis pavadinimas atsirado todel, kad normalusis desnis yralabai svarbus tikimybiu
‘teorijoje bei jos taikymuose. Praktikoje pasitaikanciu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘pasiskirstymai labai daznai buna normalieji arba mazai
nuo ju‘skiriasi. Siuo desniu grindziama matavimo paklaidu
‘teorija. Kiekvienas
matavimas yra susije‘s su dvieju
‘rusiu
‘paklaidomis: sisteminemis ir atsitik-
tinemis. Atsitiktines paklaidos priklauso nuo daugelio priezasciu‘. Sakykime,
sveriame kuna‘tiksliomis svarstyklemis. Bendra paklaida susidaro is elemen-
tariu‘ju
‘paklaidu
‘, kurios priklauso nuo atmosferos sa
‘lygu
‘(oro dregmes, tem-
peraturos bei tankio svyravimu‘, i
‘vairiu
‘oro sroviu
‘ir t. t.), ant svarstykliu
‘patenkanciu
‘dulkeliu
‘, nuo svarstykliu
‘pagrindo vibraciju
‘(jas sukelia vel
gausybe i‘vairiu
‘priezasciu
‘). Taigi priezasciu
‘, sukelianciu
‘nedideles paklaidas,
yra labai daug, ir bendra paklaida yra suma daugelio atsitiktiniu‘
dydziu‘
– arba nepriklausomu‘, arba labai mazai priklausomu
‘. Nors paprastai ir
nezinome atskiru‘demenu
‘pasiskirstymo, bet sumines paklaidos pasiskirsty-
mas yra labai artimas normaliajam, nes demenys paprastai tenkina Linde-bergo sa
‘lyga
‘, be to, juos galima laikyti nykstamais.
Praktikoje svarbu zinoti, kokiu greiciu atsitiktiniu‘
dydziu‘
sumos pa-siskirstymo funkcija konverguoja i
‘ribine
‘normalia
‘ja
‘pasiskirstymo funkcija
‘.
Yra daug sio uzdavinio sprendimu‘. Suformuluosime viena
‘is ju
‘.
5 teorema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai Xn (n = 1, 2, ...) turitreciuosius momentus,
B2n =
n∑k=1
DXk,
Cn =n∑k=1
M |X −MXk|3,
Zn = B−1n
n∑k=1
(Xk −MXk),
tai
(15) supx|P (Zn < x)− Φ(x)| ≤ cB−3
N Cn;
cia c – absoliuti konstanta.Tiksli maziausios galimos konstantos c reiksme nera zinoma, bet yra
i‘rodyta, kad ji tenkina nelygybes 0, 40973... = (3 +
√10)/(6
√2π) ≤ c <
< 0, 7975.
216 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Jei atsitiktiniai dydziai yra vienodai pasiskirste‘ir ju
‘dispersijos yra σ2,
o tretieji centriniai absoliutieji momentai µ3, tai (15) nelygybes desine puselygi cµ3σ
−3n−1/2.Yra isvystyta ir nykstamu
‘dydziu
‘sumu
‘pasiskirstymu
‘konvergavimo i
‘kitus pasiskirstymus teorija. Ne kiekviena pasiskirstymo funkcija gali butiribine – tik vadinamosios neapreztai dalios funkcijos gali buti ribines.
Atsitiktinis dydisX vadinamas neapreztai daliu, jei kiekvienam naturalia-jam n jo pasiskirstymo funkcija yra n nepriklausomu
‘vienodai pasiskirsciusiu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sumos Xn1 + ... + Xnn pasiskirstymo funkcija. Atitinka-
mai charakteristine funkcija f yra vadinama neapreztai dalia, jei kiekvienamnaturaliajam n egzistuoja tokia charakteristine funkcija fn, kad f(t) = fnn (t),kitaip tariant, kiekvienam naturaliajam n pagrindine saknies reiksme f1/n
yra charakteristine funkcija. Atitinkama‘pasiskirstymo funkcija
‘taip pat va-
diname neapreztai dalia.Tiesiog is apibrezimo isplaukia, kad issigimusios, normaliosios ir Puasono
pasiskirstymo funkciju‘charakteristines funkcijos
eiat, eiat−σ2t2/2, eλ(eit−1)
yra neapreztai dalios.Patikrinti, ar charakteristine funkcija yra neapreztai dali, padeda sitokia
teorema.
6 (Levi1–Chincino) teorema. Funkcija f , apibrezta realiu‘ju‘
skaiciu‘
tieseje, yra neapreztai dali charakteristine funkcija tada ir tik tada, kai egzis-tuoja realusis skaicius α ir tokia aprezta nemazejanti funkcija Ψ, apibreztarealiu
‘ju‘
skaiciu‘
tieseje, kad
(16) f(t) = expiαt+
∫ ∞
−∞
(eitx − 1− itx
1 + x2
)1 + x2
x2dΨ(x)
;
pointegraline funkcija taske x = 0 laikoma lygia
limx→0
(eitx − 1− itx
1 + x2
)1 + x2
x2= −t2/2.
Jei susitarsime laikyti Ψ(−∞) = 0, o funkcija‘
Ψ – tolydzia is kaires (siesusitarimai nekeicia (15) integralo), tai (16) formule aprasys abipus viena-reiksme
‘atitikti
‘tarp neapreztai daliu
‘charakteristiniu
‘funkciju
‘ir dydziu
‘(α,Ψ).
Atkreipsime demesi‘, kad normaliajam desniui N(a, σ2)
α = a, Ψ(x) = 0, kai x ≤ 0,σ2, kai x > 0.
1 Paul Levy (1886–1971) – prancuzu‘matematikas.
Lokalioji ribine teorema 217
I‘rodoma, kad nykstamu
‘nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sumu
‘galimu
‘ribiniu
‘pasiskirstymo funkciju
‘klase sutampa su neapreztai daliu
‘pasiskirsty-
mo funkciju‘klase. Yra zinomos butinos ir pakankamos konvergavimo i
‘duota
‘ja
‘funkcija
‘sa
‘lygos. Si teorija sukurta daugelio matematiku
‘pastangomis. Tarp
ju‘ypac minetini A. Chincinas, B. Gnedenka1, A. Kolmogorovas, P. Levi. Ta
teorija isdestyta [11, 13, 28].Pastaruoju metu vystoma nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sumu
‘ribiniu
‘teoremu
‘teorija, kai nereikalaujama, kad dydziai butu
‘nykstami (zr. [11]).
12. LOKALIOJI RIBINE TEOREMA
11 skyrelyje apibendrinome integraline‘
Muavro–Laplaso teorema‘. Dabar
musu‘
tikslas – apibendrinti to paties pavadinimo lokalia‘ja
‘teorema
‘. Ji i
‘ro-
dinejama vadinamiesiems gardeliskiems atsitiktiniams dydziams.Sakysime, kad atsitiktinis dydis X yra gardeliskas, jei jis yra diskretusis
ir jo reiksmes, i‘gyjamos su teigiamomis tikimybemis, priklauso kuriai nors
aritmetinei progresijai a+dk; cia a yra koks nors realusis skaicius, d – teigia-mas skaicius, o k = 0,±1,±2, ... Tos progresijos skirtumas d paprastai yravadinamas pasiskirstymo zingsniu.
Gardeliski yra atsitiktiniai dydziai, pasiskirste‘pagal binomini
‘, Puasono
desnius. Ju‘zingsnis lygus 1.
Skaicius a ir pasiskirstymo zingsnis d nera vienareiksmiskai nusakyti. Kaiatsitiktinis dydis yra pasiskirste
‘s pagal Puasono desni
‘, zingsnis d gali buti
lygus ne tik 1, bet ir bet kuriam is skaiciu‘1/2, 1/3, 1/4 ir t. t. Didziausias
tarp visu‘zingsniu
‘yra lygus 1.
Ir bendruoju atveju, jeiX reiksmes, i‘gyjamos su teigiamomis tikimybemis,
priklauso progresijai a+ dk, tai jos priklauso ir progresijai a′ + d′k, kai d/d′yra sveikasis skaicius, a′ = a + ld′, l – sveikasis skaicius. Taciau, jei X neraissigime
‘s, tai tarp pasiskirstymo zingsniu
‘yra didziausias.
Jei gardelisko atsitiktinio dydzio reiksmes, i‘gyjamos su teigiamomis ti-
kimybemis, yra pavidalo a + kd, kur k i‘gyja kurias nors sveika
‘sias reiksmes
ir visu‘
tu‘k bendras didziausias daliklis yra D, tai tos reiksmes taip pat
priklauso progresijai a +Ddm, m = 0,±1,±2, ...; didziausias pasiskirstymozingsnis yra Dd.
1 lema. Atsitiktinis dydis su carakteristine funkcija f(t) yra gardeliskastada ir tik tada, kai egzistuoja t0 6= 0 su sa
‘lyga |f(t0)| = 1. Jei gardeliskas
atsitiktinis dydis nera issigime‘s, tai toks maziausias teigiamas t0 egzistuoja;
tada didziausias pasiskirstymo zingsnis yra 2π/t0.I‘r o d y m a s. 1. Jei atsitiktinis dydis i
‘gyja reiksmes a+dk su tikimybemis
pk, tai jo charakteristine funkcija yra
1 Boris Gnedenko (g. 1912m.) – ukrainieciu‘kilmes matematikas.
218 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
f(t) = eiat∑k
pkeidkt.
Is ciaf(2πd
)= e2πia/d
∑k
pk = e2πia/d,
vadinasi, |f(2π/d)| = 1.2. Tarkime, kad kuriam nors t0 6= 0 turime |f(t0)| = 1. Tada f(t) =
= exp(iΘ) su realiuoju skaiciumi Θ. Jei F yra tiriamojo atsitiktinio dydziopasiskirstymo funkcija, tai ∫ ∞
−∞eit0xdF (x) = eiΘ,
arba ∫ ∞
−∞cos(t0x−Θ)− 1dF (x) = 0.
Kadangi pointegraline funkcija yra neteigiama, tai F gali dideti tik taskuose
Θt0
+2πt0k (k = 0,±1, ...). ut
1 (Gnedenkos) teorema. Jei vienodai pasiskirste‘
nepriklausomi at-sitiktiniai dydziai X1, X2, ... yra gardeliski, i
‘gyja reiksmes su teigiamomis
tikimybemis is progresijos a+dk, be to, turi vidurkius A ir dispersijas σ2 > 0,tai
σ√n
dP( n∑ν=1
Xν = na+ dm)−
− 1√2π
exp−((a−A)n+ dm
)22σ2n
−−−−−→n→∞
0
tolygiai m atzvilgiu tada ir tik tada, kai d yra didziausias pasiskirstymozingsnis.
I‘
r o d y m a s. 1. P a k a n k a m u m a s. Tarkime, kad d yradidziausias pasiskirstymo zingsnis. Pazymekime f dydziu
‘Xn charakteristine
‘funkcija
‘. Suma Sn = X1 + ...+Xn priklausys progresijai na+ dk. Pazymeje
‘
Pn(k) = P (Sn = an+ dk),
sumos Sn charakteristine‘funkcija
‘galime uzrasyti pavidalu
fn(t) = eiant∑n
Pn(k)eidkt.
Lokalioji ribine teorema 219
Furje1 koeficientas
Pn(m) =d
2π
∫ π/d
−π/dfn(t)e−i(an+dm)tdt =
=d
2πσ√n
∫ πσ√n/d
−πσ√n/d
fn( u
σ√n
)exp
− i(an+ dm)u
σ√n
du.
Jeiϕ(t) = f
( t
σ√n
)exp(− iAt
σ√n
),
tai normuotos sumos
(1)Sn − nA
σ√n
charakteristine funkcija lygi ϕn(t). Todel
(2)σ√n
dPn(m) =
12π
∫ πσ√n/d
−πσ√n/d
ϕn(t)e−itwdt;
cia, kad butu‘trumpiau, pazymeta
w =(a−A)n+ dm
σ√n
.
Kadangi (1) yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘N(0, 1),
tai
(3) ϕn(t) → e−t2/2
tolygiai, kai |t| ≤ T, T – bet koks fiksuotas skaicius.f(t) exp(−iAt) yra atsitiktinio dydzio Xν − A charakteristine funkcija.
Sio dydzio vidurkis yra 0, o dispersija σ2. Todel pagal 8.6 teorema‘
f(t)e−iAt = 1− 12σ2t2 + o(t2).
Pagal 1.2 lema‘
|f(t)e−iAt| ≤ 1− 14σ2t2 ≤ e−σ
2t2/4,
kai |t| ≤ δ, δ > 0 – pakankamai mazas skaicius. Is cia
(4) |ϕn(t)| ≤ e−t2/4,
1 Joseph Fourier (1768–1830) – prancuzu‘matematikas.
220 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
kai |t| ≤ δσ√n.
Kadangi d yra didziausias pasiskirstymo zingsnis, tai pagal 1 lema‘galima
rasti toki‘c > 0, kad butu
‘ |f(t)| < e−c,
kai δ ≤ |t| ≤ π/d. Vadinasi,
(5) |ϕn(t)| < e−cn,
kai δσ√n ≤ |t| ≤ πσ
√n/d.
Atsizvelge‘i‘(3), (4) ir (5) i
‘vercius, (2) integrala
‘suskaidysime i
‘kelis inte-
gralusσ√n
dPn(m) =
12π
(∫|t|≤T
(ϕn(t)− e−t
2/2)e−itwdt+
+∫ ∞
−∞e−t
2/2−itwdt−∫|t|>T
e−t2/2−itwdt+
+∫T<|t|≤δσ
√n
ϕn(t)e−itwdt+
+∫δσ√n<|t|≤πσ
√n/d
ϕn(t)e−itwdt)
=
= I1 + I2 + I3 + I4 + I5.
Pirmasis integralas pagal (3) konverguoja i‘nuli
‘, kai n → ∞. 8.4 pavyzdyje
parodeme, kad
I2 =e−w
2/2
√2π
.
I‘vertinsime trecia
‘ji‘integrala
‘
|I3| ≤12π
∫|t|>T
e−t2/2dt ≤ 1
πT
∫ ∞
T
te−t2/2dt =
e−T2/2
πT.
Pagal (4)
|I4| ≤1π
∫ ∞
T
e−t2/4dt ≤ 1
πT
∫ ∞
T
te−t2/4dt =
2e−T2/4
πT.
Pagaliau pagal (5)
|I5| <e−cn
π
(πd− δ)σ√n.
Todel σ√nd−1Pn(m) nuo (2π)−1/2 exp(−w2/2) skiriasi kiek norima mazu
dydziu, jei tik T ir n yra pakankamai dideli.
Lokalioji ribine teorema 221
2. B u t i n u m a s. Tarkime, kad galimu‘Sn reiksmiu
‘, i
‘gyjamu
‘su
teigiamomis tikimybemis, skirtumu‘, padalytu
‘is d, bendras didziausias da-
liklis yra h. Skirtumas tarp artimiausiu‘galimu
‘sumos reiksmiu
‘negali buti
mazesnis uz dh. Jei d nera didziausias, tai h > 1 visiems n. Tada bus tokiu‘
sveiku‘ju
‘m, kad visiems n tikimybes Pn(m) = 0. ut
Tarkime, kad normuotos atsitiktiniu‘dydziu
‘sumos turi ribini
‘normalu
‘ji‘
pasiskirstyma‘. Kyla klausimas, ar tu
‘sumu
‘tikimybiniai tankiai, jei jie egzis-
tuoja, konverguoja i‘
normaliojo pasiskirstymo tanki‘. Cia, matyt, reikia
papildomu‘
sa‘lygu
‘. Juk is Fn konvergavimo i
‘Φ be papildomu
‘sa
‘lygu
‘dar
neisplaukia, kad isvestines F ′n, jei jos egzistuoja, konverguoja i‘Φ′. I
‘rodysime
viena‘
is paprastesniu‘
tokio tipo teoremu‘. Mums reikes dvieju
‘pagalbiniu
‘teiginiu
‘.
2 lema. Visiems realiesiems t∫ ∞
−∞
1− cos txx2
dx = π|t|.
I‘r o d y m a s. Pakanka i
‘rodyti ta
‘lygybe
‘, kai t = 1. Lygybes∫ ∞
0
1− cosxx2
dx =∫ ∞
0
1x2
(∫ x
0
sinudu)dx
desineje puseje keiciame integravimo tvarka‘∫ ∞
0
1− cosxx2
dx =∫ ∞
0
(∫ ∞
u
dx
x2
)sinudu =
∫ ∞
0
sinuu
du =π
2
pagal 9.3 lema‘. ut
3 lema. Jei g yra aprezta ir integruojama Lebego prasme funkcija visojerealiu
‘ju‘
skaiciu‘
tieseje,
(6) ψ(t) =∫ ∞
−∞eitxg(x)dx
yra visiems t neneigiama, tai ir ψ yra integruojama Lebego prasme realiu‘ju‘
skaiciu‘
tieseje.I‘
r o d y m a s. Nesunku i‘rodyti, kad ψ yra tolydi (plg. 8.3 teoremos
i‘rodyma
‘). Paeme
‘bet kuri
‘teigiama
‘y, is (6), sukeite
‘integravimo tvarka
‘,
gauname ∫ y
−yψ(t)dt = 2
∫ ∞
−∞g(x)
sinxyy
dx.
Paeme‘teigiama
‘T , dar karta
‘integruojame ka
‘tik gauta
‘lygybe
‘
222 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(7)∫ 2T
0
(∫ y
−yψ(t)dt
)dy = 2
∫ ∞
−∞g(x)
1− cos 2Txx2
dx.
Kaireje puseje keiciame integravimo tvarka‘
ir remiames sa‘lyga, kad ψ yra
neneigiama funkcija. Gauname∫ 2T
0
(∫ y
−yψ(t)dt
)dy =
∫ 2T
−2T
ψ(t)(2T − |t|)dt ≥ T
∫ T
−Tψ(t)dt.
Jei K yra konstanta, aprezianti funkcija‘g, tai pagal 2 lema
‘∫ ∞
−∞g(x)
1− cos 2Txx2
dx ≤ K
∫ ∞
−∞
1− cos 2Txx2
dx = 2πTK.
Is (7) isplaukia ∫ T
−Tψ(t)dt ≤ 2πK.
Lieka remtis integralo savybemis, pvz., V.9.14 teorema. ut2 (Gnedenkos) teorema. Jei nepriklausomi vienodai pasiskirste
‘atsi-
tiktiniai dydziai X1, X2, ... turi vidurkius a, dispersijas σ2 > 0 ir, pradedantkuriuo nors n0, normuotos sumos
Zn =X1 + ...+Xn − na
σ√n
turi tanki‘pn(x), tai
pn(x) →1√2πe−x
2/2,
kai n→∞, tolygiai x atzvilgiu tada ir tik tada, kai egzistuoja naturalusis n1,kuriam pn1(x) yra apreztas.
P a s t a b a. Is 9 skyrelio isplaukia: jei egzistuoja tankis pn0 , tai egzistuojair pn, kai n > n0.
I‘r o d y m a s. Sa
‘lygos butinumas yra akivaizdus. I
‘rodinesime jos pa-
kankamuma‘. Pirmiausia i
‘rodysime, kad atsitiktinio dydzio Zn charakteristine
funkcija yra integruojama visoje tieseje R, kai n ≥ 2n1.Pazymekime f dydziu
‘Xk charakteristines funkcijas,
ϕ(t) = f( t
σ√n
)exp(− iat
σ√n
).
Tada sumos Zn charakteristine funkcija yra ϕn(t). Imkime kita‘
atsitiktini‘
dydi‘Z ′n, nepriklausoma
‘nuo Zn, bet taip pat pasiskirsciusi
‘. Atsitiktinio
dydzio Zn − Z ′n charakteristine funkcija yra |ϕn(t)|2. Is 9 skyrelio isplaukia,kad atsitiktinio dydzio Zn1 − Z ′n1
tankis qn1 yra apreztas. Kadangi
Lokalioji ribine teorema 223
|ϕ2n1(t)| =∫ ∞
−∞eitxqn1(x)dx,
tai pagal 3 lema‘|ϕ2n1 |, taigi ir |f |2n1 , yra integruojamos tieseje R. Is nely-
gybes |f(t)| ≤ 1 isplaukia, kad |f |n, vadinasi, ir ϕn, yra integruojamos, kain ≥ 2n1.
Remiantis 9.3 teorema, kai n ≥ 2n1,
pn(x) =12π
∫ ∞
−∞e−itxϕn(t)dt.
Kaip ir 1 teoremos i‘rodyme, suskaidysime si
‘integrala
‘i‘kelis:
(8)
pn(x) =12π
(∫|t|≤T
(ϕn(t)− e−t
2/2)e−itxdt+
+∫ ∞
−∞e−t
2/2−itxdt−∫|t|>T
e−t2/2−itxdt+
+∫T<|t|≤δσ
√n
ϕn(t)e−itxdt+∫δσ√n<|t|
ϕn(t)e−itxdt)
=
= I1 + I2 + I3 + I4 + I5;
cia T yra teigiamas fiksuotas skaicius, δ – pakankamai mazas teigiamasskaicius, kuri
‘parinksime veliau.
Samprotaudami visai taip pat, kaip ir 1 teoremos i‘rodyme, gauname, kad
I1 → 0, kai n→∞, tolygiai x atzvilgiu,
I2 =e−x
2/2
√2π
, |I3| ≤e−T
2/2
πT, |I4| ≤
2e−T2/4
πT.
Lieka i‘vertinti I5.
Is funkcijos |f |2n1 integruojamumo isplaukia, kad egzistuoja δ > 0 susa
‘lyga |f(t)| ≤ η < 1, kai |t| ≥ δ. Todel
|I5| ≤12π
∫|t|>δσ
√n
∣∣∣f( t
σ√n
)∣∣∣ndt ≤≤ ηn−2n1σ
√n/(2π)
∫|t|>δ
|f(t)|2n1dt−−−−−→n→∞
0.
Is (8) isplaukia, kad pn(x) ir (2π)−1/2 exp(−x2/2) kiek norima mazaiskiriasi, kai T ir n pakankamai dideli. ut
224 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
13. ATSITIKTINIU‘
VEKTORIU‘
CHARAKTERISTINES FUNKCIJOS
Ir daugiamaciu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘teorijoje ju
‘charakteristines funkcijos vai-
dina svarbu‘vaidmeni
‘.
Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xs), apibrezto tikimybineje erdvejeΩ,A, P, charakteristine funkcija vadinsime funkcija
‘, apibrezta
‘visiems t =
= (t1, ..., ts) ∈ Rs,
fX(t) = f(X1,...,Xs)(t1, ..., ts) = Mei(t1X1+...+tsXs) =
=∫
Ω
ei(t1X1(ω)+...+tsXs(ω)
)P (dω) =
=∫Rs
ei(t1x1+...+tsxs)PX1,...,Xs(dx1, ..., dxs) =
=∫Rs
ei(t1x1+...+tsxs)dF (x1, ..., xs).
Tokia funkcija kiekvienam atsitiktiniam vektoriui X yra vienareiksmiskainusakyta.
Daugiamaciu‘
atsitiktiniu‘
dydziu‘
charakteristiniu‘
funkciju‘
teorija yraanalogiska vienamaciu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘atitinkamu
‘funkciju
‘teorijai. Is-
vardysime ju‘savybes, palikdami i
‘rodymus skaitytojui. Visur f reiskia cha-
rakteristine‘funkcija
‘.
1. f(0) = 1.2. |f | ≤ 1.3. f(−t) = f(t); cia bruksnys reiskia kompleksini
‘jungtini
‘dydi
‘.
4. f yra tolygiai tolydi visoje erdveje Rs.5. Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xs) komponento Xk charakteris-
tine funkcijafXk
(tk) = f(X1,...,Xs)(0, ..., 0︸ ︷︷ ︸k−1
, tk, 0, ..., 0).
6. Jei a1, ..., as, b1, ..., bs yra konstantos, tai
f(a1X1+b1,...,asXs+bs)(t1, ..., ts) =
= ei(b1t1+...+bsts)f(X1,...,Xs)(a1t1, ..., asts).
7. Jei A yra s× s realiu‘ju
‘skaiciu
‘matrica, tai atsitiktinio vektoriaus XA
charakteristine funkcijafXA(t) = fX(tA′).
8. Atsitiktiniu‘dydziu
‘sumos X1 + ...+Xs charakteristine funkcija
f(X1+...+Xs)(t1) = f(X1,...,Xs)(t1, ..., t1).
Atsitiktiniu‘vektoriu
‘charakteristines funkcijos 225
9. Jei atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xs yra nepriklausomi, tai
f(X1,...,Xs)(t1, ..., ts) = fX1(t1)...fXs(ts).
10. Jei egzistuoja momentasMXk11 ...Xks
s , tai charakteristine funkcija turiisvestine
‘ ∂k1+...+ksf(t1, ..., ts)∂tk11 ...∂t
kss
,
be to,
MXk11 ...Xks
s = i−k1−...−ks
(∂k1+...+ksf(t1, ..., ts)
∂tk11 ...∂tkss
)t1=...=ts=0
.
11. Teisinga a p v e r t i m o t e o r e m a: jei I yra intervalasa1 ≤ x1 < b1, ..., as ≤ xs < bs ir tikimybe, kad atsitiktinis vektorius Xpriklausys to intervalo briaunoms, yra lygi nuliui, tai
4IF = P (X ∈ I) =
= limT→∞
∫ T
−T...
∫ T
−Tf(t1, ..., ts)
s∏k=1
eiakt − eibkt
itkdt1...dts.
12. Charakteristine funkcija vienareiksmiskai nusako pasiskirstymo funk-cija
‘.13. Jei daugiamaciu
‘pasiskirstymo funkciju
‘seka Fn (n = 1, 2, ...) kon-
verguoja i‘
pasiskirstymo funkcija‘F visuose taskuose x = (x1, ..., xs) su
sa‘lyga, kad kiekvienam k (1 ≤ k ≤ s) taskas xk yra vienamates marginalio-
sios pasiskirstymo funkcijos F (∞, ...,∞, yk,∞, ...,∞) tolydumo taskas, taiatitinkamos charakteristines funkcijos fn (n = 1, 2, ...) konverguoja visiemst ∈ Rs i
‘funkcijos F charakteristine
‘funkcija
‘.
Jei charakteristines funkcijos fn (n = 1, 2, ...) visiems t ∈ Rs konver-guoja i
‘kokia
‘nors funkcija
‘f , tolydzia
‘nuliniame taske, tai atitinkamos pa-
siskirstymo funkcijos Fn (n = 1, 2, ...) konverguoja anksciau nurodyta prasmei‘pasiskirstymo funkcija
‘F , ir f yra F charakteristine funkcija.
Atitiktis tarp charakteristiniu‘
ir pasiskirstymo funkciju‘
bus formuluo-jama paprasciau, jei pasiskirstymo funkcijas pakeisime tikimybiniais matais.Kaip zinome, tarp pasiskirstymo funkciju
‘ir tikimybiniu
‘matu
‘yra abi-
pus vienareiksme atitiktis. Todel abipus vienareiksme atitiktis yra ir tarpcharakteristiniu
‘funkciju
‘ir tikimybiniu
‘matu
‘.
Tarkime, s-mateje erdveje turime tikimybiniu‘matu
‘seka
‘Pn (n = 1, 2, ...).
Sakysime, kad ji silpnai konverguoja i‘
tikimybini‘
mata‘P , jei kiekvienai
tolydziai apreztai funkcijai ϕ(x) turime∫Rs
ϕ(x)Pn(dx) →∫Rs
ϕ(x)P (dx).
226 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Galima butu‘
i‘rodyti, kad tikimybiniai matai Pn silpnai konverguoja i
‘tikimybini
‘mata
‘P tada ir tik tada, kai kiekvienam t ∈ Rs charakteristines
funkcijos
fn(t) =∫Rs
eitx′Pn(dx)
konverguoja i‘charakteristine
‘funkcija
‘
f(t) =∫Rs
eitx′P (dx).
Baigdami si‘skyreli
‘, apskaiciuosime daugiamacio atsitiktinio dydzio, pasi-
skirsciusio pagal normalu‘ji‘desni
‘, charakteristine
‘funkcija
‘. Imkime normalu
‘ji‘
pasiskirstyma‘su tankio funkcija
p(x1, ..., xs) =
√|A|
(2π)s/2e−1/2Q(x1−a1,...,xs−as)
(zr. II.5 skyreli‘); cia Q(x) = xAx′ yra teigiamai apibrezta kvadratine forma
su matrica A; a = (a1, ..., as). Sia‘tankio funkcija
‘atitinkanti charakteristine
funkcija yra
f(t) =
√|A|
(2π)s/2eiat
′∫ ∞
−∞eitx
′−1/2xAx′dx.
Integrala‘
apskaiciuosime visai taip pat, kaip ir II.5 skyrelyje. Paeme‘
tokia‘
ortogonalia‘matrica
‘C, kad CAC ′ = D butu
‘diagonalioji matrica su diago-
naliaisiais elementais σ21 , ..., σ
2s , keiciame x = yC ir t = vC. Tada
itx′ − 1/2xAx′ = ivy′ − 1/2yDy′ = is∑
k=1
(vkyk − σ2ky
2k/2)
ir, remiantis 8.4 pavyzdziu,
f(t) =
√|A|
(2π)s/2eiat
′s∏
k=1
∫ ∞
−∞eivkyk−σ2
ky2k/2dyk =
= eiat′√|A|
s∏k=1
|σk|−1e−v2k/(2σ
2k) = eiat
′−1/2vD−1v′ =
= eiat′−1/2tC−1D−1(C−1)′t′ = eiat
′−1/2tA−1t′ .
Isskleide‘
charakteristine‘
funkcija‘
nulinio tasko aplinkoje pagal Teiloroformule
‘, turime
f(t) = 1 + iat′ − 12(at′)2 − 1
2tA−1t′ + o(t21 + ...+ t2s).
Atsitiktiniu‘vektoriu
‘charakteristines funkcijos 227
Antra vertus, atsitiktinio vektoriausX = (X1, ..., Xs), turincio antruosiusmomentus, charakteristine funkcija nulinio tasko aplinkoje lygi
1 + i(MX1, ...,MXs)t′ −12tSt′ + o(t21 + ...+ t2s);
cia
S =
∥∥∥∥∥∥∥MX2
1 MX1X2 ... MX1Xs
MX2X1 MX22 ... MX2Xs
... ... ... ...MXsX1 MXsX2 ... MX2
s
∥∥∥∥∥∥∥ .Todel
a = (MX1, ...,MXs)
ir matricos A−1 = (ajk) elementas
ajk = MXjXk −MXjMXk
yra dydziu‘Xj , Xk kovariacija. Vadinasi, A−1 yra atsitiktinio vektoriaus X
kovariaciju‘
matrica. Taigi s-macio atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagalnormalu
‘ji‘desni
‘, charakteristine funkcija yra
f(t) = eiat′−1/2tHt′ ;
cia H yra simetrine teigiamai apibrezta matrica. Jei H yra diagonalioji ma-trica, tai charakteristine funkcija yra pavidalo
eiat′−(t21σ
21+...+t2sσ
2s)
su teigiamais σ21 , ..., σ
2s . Tarkime, kad kuris nors is tu
‘skaiciu
‘, sakysime, σ2
skonverguoja i
‘nuli
‘. Pagal 13 savybe
‘riba taip pat yra charakteristine funkcija
su atitinkama pasiskirstymo funkcija. Taciau visa tikimybe bus sukoncentruo-ta hiperplokstumoje xs = 0. Tai bus (s−1)-matis normalusis pasiskirstymas,neturintis tankio s-mateje erdveje.
Del patogumo desnius su charakteristinemis funkcijomis
eiat′−1/2tHt′ ,
kai H yra simetriska neneigiamai apibrezta matrica, taip pat laikysime nor-maliaisiais; kai H nera teigiamai apibrezta, turesime issigimusius s-maciusnormaliuosius desnius.
IV skyriuje mums pravers sitoks teiginys.
Teorema. Normaliojo atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xs) kompo-nentai X1, ..., Xs yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai jie kas du nekore-liuoti.
228 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
I‘r o d y m a s. Jei atsitiktiniai dydziai Xj ir Xk yra nepriklausomi, tai
jie yra ir nekoreliuoti. Todel reikia i‘rodyti tik atvirkstini
‘teigini
‘. Tarkime, kad
vektoriaus X komponentai yra kas du nekoreliuoti. Tada jo kovariaciju‘matri-
cos A−1 = (ajk) elementai ajk = 0, kai j 6= k. Vektoriaus X charakteristinefunkcija yra
fX(t) =s∏
k=1
eiaktk−akkt2k/2,
o jo komponento Xk charakteristine funkcija
fXk(tk) = fX(0, ..., 0, tk, 0, ..., 0) = eiaktk−akkt
2k/2.
Vadinasi,fX(t) = fX1(t1)...fXs
(ts),
arba pagal Fubinio teorema‘
fX(t) =s∏
k=1
∫ ∞
−∞eitkxkdFXk
(xk) =
=∫ ∞
−∞...
∫ ∞
−∞ei(t1x1+...+tsxs)dFX1(x1)...dFXs
(xs).
Kadangi charakteristine funkcija vienareiksmiskai nusako pasiskirstymo funk-cija
‘, tai visiems x1, ..., xs
FX(x1, ..., xs) = FX1(x1)...FXs(xs).
Tai ir reiskia, kad komponentai X1, ..., Xs yra nepriklausomi. ut
14. ATSITIKTINIO PROCESO SA‘VOKA
Jau II.3 skyrelyje uzsimineme, kad daznai atsitiktiniams reiskiniams aprasytiir analizuoti nepakanka atskiru
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘, bet reikia istisu
‘ju
‘sistemu
‘.
Tam reikalui i‘vedeme atsitiktinio vektoriaus, t. y. baigtines atsitiktiniu
‘dydziu
‘sistemos, sa
‘voka
‘. Taciau daznai ir to maza. Reikia ir begaliniu
‘sistemu
‘. An-
tai, skrendancio lektuvo atstumas nuo zemes pavirsiaus kiekvienu apibreztolaiko momentu yra atsitiktinis dydis. Ta
‘atstuma
‘kuriuo nors skridimo laiko-
tarpiu aprasys begaline atsitiktniu‘dydziu
‘sistema. Kitas pavyzdys: maitini-
mo terpeje auginamos bakterijos. Ju‘skaiciaus kitima
‘kuriuo nors laiko tarpu
taip pat galesime nusakyti begaline atsitiktiniu‘dydziu
‘sistema. Panasiai yra
su radioaktyviosios medziagos atomu‘, suskylanciu
‘per kuri
‘nors laikotarpi
‘,
skaiciumi, pokalbiu‘telefonu per kuri
‘nors laiko tarpa
‘skaiciumi, elektros ener-
gijos kiekiu, sunaudotu per kuri‘nors laikotarpi
‘Vilniuje, ir t. t.
Atsitiktinio proceso sa‘voka 229
Visais minetais atvejais turime kokia‘nors kintancia
‘sistema
‘, kuria
‘veikia
atsitiktiniai faktoriai. Kiekvienu laiko momentu t ja‘galima nusakyti atsitik-
tiniu dydziu X(t). Kai t kinta, gauname atsitiktiniu‘dydziu
‘sistema
‘X(t),
priklausancia‘nuo parametro t. Sakome, jog turime atsitiktini
‘procesa
‘. Ma-
tematiniu poziuriu visiskai nesvarbu, kad t yra laikas. Gali buti uzdaviniu‘,
kuriu‘matematinis modelis yra atsitiktiniu
‘dydziu
‘sistema, priklausanti nuo
parametru‘, i
‘gyjanciu
‘reiksmes is bet kokios prigimties aibes.
Dabar apibresime atsitiktini‘procesa
‘grieztai.
Sakykime, duota tikimybine erdve Ω,A,P ir dar kokia nors netusciaaibe T . Atsitiktiniu (tikimybiniu, stochastiniu) procesu vadiname atsitiktiniu
‘dydziu
‘sistema
‘X(t), t ∈ T, nusakyta
‘toje tikimybineje erdveje. Jei norime
nurodyti ir tikimybine‘
erdve‘, galime rasyti pilniau Ω,A, P,X(t), t ∈ T.
Taigi atsitiktinis procesas yra dvieju‘argumentu
‘funkcija X(t, ω), apibrezta
aibeje T ×Ω ir kiekvienam t ∈ T ismatuojama σ algebros A atzvilgiu. Para-metras t is tradicijos paprastai vadinamas laiku, nors jis gali buti bet kokiosprigimties. Tas pavadinimas atsirado istoriskai, nes pradzioje tikimybiu
‘teori-
jai teko nagrineti tik tokius atsitiktinius procesus, kuriuose parametras t istikru
‘ju
‘buvo laikas.
Nepriklausomu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘sekos, kurias nagrinejome ankstesniuo-
se skyreliuose,X1, X2, ... yra atsitiktiniai procesai, kuriems T = 1, 2, ....Procesas yra ir atsitiktiniu
‘dydziu
‘daliniu
‘sumu
‘Sn = X1 + ... + Xn (n =
= 1, 2, ...) seka. Procesus, kuriems T yra visu‘sveiku
‘ju
‘skaiciu
‘seka ar jos dalis
arba bet kokia baigtine arba skaiti (sutvarkyta) aibe, vadinsime diskreciojolaiko procesais, arba atsitiktinemis sekomis.
Jei T yra baigtinis arba begalinis realiu‘ju
‘skaiciu
‘intervalas, tai X(t), t ∈
∈ T vadinamas tolydziojo laiko procesu. Pavyzdys gali buti vadinamasis ve-duoklinis procesas. Jis nusakomas sitaip. Imkime koki
‘nors atsitiktini
‘dydi
‘Y (ω) ir du fiksuotus skaicius a, b. Tada procesas
X(t, ω) = Y (ω)(t− a) + b,
kai t ∈ R, yra vadinamas veduokliniu.Atsitiktinio proceso sa
‘voka
‘galima apibendrinti. Tarkime, kad, be tikimy-
bines erdves Ω,A,P ir aibes T , turime macia‘
erdve‘Γ, E. Atsitiktine
funkcija, arba atsitiktiniu procesu, vadiname sistema‘funkciju
‘X(t, ω), t ∈
∈ T, apibreztu‘
aibeje T × Ω, i‘gyjanciu
‘reiksmes is aibes Γ ir kiekvienam
t ∈ T bei E ∈ E tenkinanciu‘sa
‘lyga
‘ω : X(t, ω) ∈ E) ∈ A. Erdve Γ, E
paprastai vadinama proceso busenu‘, arba fazine, erdve.
Jei T yra erdves Rs aibe, tai, uzuot kalbeje‘
apie atsitiktini‘
procesa‘,
kalbame apie atsitiktini‘
lauka‘.
Atsitiktinis procesas, kaip mateme, yra dvieju‘
argumentu‘
funkcija. Jeifiksuosime ω ∈ Ω, tai gausime vieno argumento funkcija
‘X(t), t ∈ T , kuri
paprastai vadinama proceso trajektorija, arba realizacija. Realiai stebedamiatsitiktini
‘procesa
‘, faktiskai stebime viena
‘is jo realizaciju
‘.
230 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Su atsitiktiniu procesu galime susieti jo trajektoriju‘
tikimybine‘
erdve‘.
Imkime kuria‘nors funkciju
‘x(t), t ∈ T , erdve
‘Ξ, kuriai priklauso trajektorijos
X(t). Pazymekime F tos erdves poaibiu‘σ algebra
‘, generuota
‘aibiu
‘pavidalo
C = x ∈ Ξ : x(t1) ∈ E1, ..., x(tn) ∈ En su bet kuriuo n, bet kuriaist1, ..., tn ∈ T ir bet kuriomis aibemis E1, ..., En ∈ E .
Tokios aibes vadinamos cilindrinemis (zr. V.10 skyreli‘). Cilindriniu
‘aibiu
‘baigtines sa
‘jungos sudaro algebra
‘, generuojancia
‘F . Procesas X(t, ω) nusako
matu‘erdves Ω,A atvaizdi
‘erdveje Ξ,F, nes kiekvienai cilindrinei aibei
C turime ω : X(·, ω) ∈ C ∈ A, vadinasi, ir kiekvienai D ∈ F teisin-gas sa
‘rysis ω : X(·, ω) ∈ D ∈ A. Tas atvaizdis erdveje Ξ,F indukuoja
tikimybini‘mata
‘PX , aprasoma
‘lygybe PX(D) = P (ω : X(·, ω) ∈ D). Trejetas
Ξ,F , PX ir vadinamas trajektoriju‘
tikimybine erdve.Jei X(t) yra koks nors procesas, o t1, ..., tn ∈ T – fiksuotos parametro t
reiksmes, tai X(t1), ..., X(tn) yra daugiamatis atsitiktinis dydis. Tokiu‘dydziu
‘pasiskirstymai vadinami atsitiktinio proceso baigtiniamaciais pasiskirstymais.Jei turime atsitiktini
‘procesa
‘, tai visi jo baigtiniamaciai pasiskirstymai yra
vienareiksmiskai nusakyti. Kyla klausimas, ar visi baigtiniamaciai pasiskirsty-mai taip pat nusako atsitiktinio proceso pasiskirstyma
‘. I
‘tai atsako Kol-
mogorovo teorema (zr. V.10 skyreli‘): jei fazine erdve yra (R,B) ir visi baig-
tiniamaciai pasiskirstymai suderinti, tai jie vienareiksmiskai nusako procesopasiskirstyma
‘. Sis teiginys teisingas ir tada, kai Γ yra separabilioji metrine
erdve, o E – jos Borelio aibiu‘σ algebra.
Praktiniams taikymams labai svarbios i‘vairios specialios atsitiktiniu
‘pro-
cesu‘
klases: procesai su nepriklausomais pokyciais, Markovo procesai irt. t. Juos apibudinant, vienaip ar kitaip nusakomas priklausomumas tarpatsitiktiniu
‘dydziu
‘X(t), t ∈ T . Su keliais paprasciausiais procesais susipa-
zinsime kituose skyreliuose.
15. MARKOVO GRANDINES
Prie paprasciausiu‘
procesu‘
priskiriamos vadinamosios Markovo grandines.Nagrinesime atsitiktini
‘procesa
‘Ω,A, P,X(t), t ∈ T, i
‘gyjanti
‘reiksmes is
macios erdves Γ, E. Laikysime T = 0, 1, ..., o busenu‘erdve
‘Γ – baigtine
arba skaicia. Busenas zymesime tiesiog naturaliaisiais skaiciais. Sakysime, kadprocesas yra Markovo grandine (tiksliau: diskreciojo laiko Markovo grandine),jei bet kuriam naturaliajam skaiciui n ir bet kuriems k, j0, j1, ..., jn−2, j ∈ Γteisingos lygybes
(1)P(X(n) = k|X(0) = j0, X(1) = j1, ...
..., X(n− 2) = jn−2, X(n− 1) = j)
= P(X(n) = k|X(n− 1) = j
).
Remdamiesi II.10 skyrelio sa‘lygines tikimybes sa
‘voka, sias lygybes galime
uzrasyti sitaip:
Markovo grandines 231
P(X(n) = k|X(0), ..., X(n− 1)
)= P
(X(n) = k|X(n− 1)
).
(1) tikimybe‘vadinsime perejimo is j-osios busenos i
‘k-a
‘ja‘
busena‘
tikimybeir zymesime p(n)
jk . Matrica
π(n) =
∥∥∥∥∥∥p(n)11 p
(n)12 ...
p(n)21 p
(n)22 ...
... ... ...
∥∥∥∥∥∥vadinama perejimo matrica. Aisku,∑
k
p(n)jk = 1,
kai sumuojama pagal visas galimas busenas. Apskritai, kiekviena kvadratinematrica, sudaryta is neneigiamu
‘elementu
‘, vadinama stochastine, jei kiekvie-
nos jos eilutes elementu‘suma yra lygi 1.
PazymesimeP(X(0) = k
)= p0
k (k = 1, 2, ...).
Sios tikimybes vadinamos pradinemis tikimybemis. Ir cia
(2)∑k
p0k = 1.
Nagrinejant Markovo grandines, daznai vartojama sitokia terminologija.Kalbama apie fizine
‘sistema
‘, kuri gali buti vienoje is busenu
‘, sunumeruotu
‘skaiciais 1, 2, ... Pradiniu laiko momentu 0 ji su tikimybe p0
k gali buti k--ojoje busenoje. Laiko momentais 1, 2, ... ji gali su tam tikromis tikimybemispereiti is vienu
‘busenu
‘i‘
kitas. Tikimybe laiko momentu n patekti i‘k-a
‘ja
‘busena
‘, kai zinoma visa ankstesne sistemos evoliucija, priklauso tik nuo to,
kokioje busenoje ji buvo n − 1 laiko momentu. Papildoma informacija apieankstesne
‘sistemos evoliucija
‘nekeicia tos tikimybes. Vaizdziai, bet ne visai
tiksliai kalbant, sia‘savybe
‘galima nusakyti sitaip: kai sistemos dabartis fik-
suota, jos ateitis nepriklauso nuo praeities.Markovo grandine vadinama homogenine, jei tikimybes p(n)
jk = pjk ne-priklauso nuo n. Jei busenu
‘skaicius yra baigtinis, tai grandine vadinama
baigtine; jei busenu‘aibe skaiti, tai ir grandine vadinama skaicia.
1 p a v y z d y s. Tarkime, kad turime seka‘deziu
‘, kuriose yra po 1 balta
‘ir
1 juoda‘rutuli
‘. Sunumeruokime dezes skaiciais 0, 1, 2, ... Atsitiktinai imkime rutuli
‘is nulines dezes ir permeskime i
‘pirma
‘ja
‘. Is pirmosios dezes vel atsitiktinai imkime
rutuli‘ir i
‘meskime i
‘antra
‘ja
‘. Taip darykime ir toliau. Tikimybe istraukti apibreztos
spalvos rutuli‘is n-osios dezes (n ≥ 1) priklauso tik nuo to, kokios spalvos rutulys
buvo istrauktas is (n−1)-osios dezes, ir nesikeicia nuo papildomos informacijos, kasi‘vyko anksciau. Apibrezkime atsitiktinius dydzius X(n) (n = 0, 1, 2, ...), laikydami
232 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
X(n) = 1, jei is n-osios dezes buvo istrauktas baltas rutulys, ir X(n) = 2, jei is tosdezes buvo istrauktas juodas rutulys. Tada
P(X(0) = 1
)=
1
2, P(X(0) = 2
)=
1
2,
P(X(n) = 1|X(n− 1) = 1
)=
2
3, P(X(n) = 1|X(n− 1) = 2
)=
1
3,
P(X(n) = 2|X(n− 1) = 1
)=
1
3, P(X(n) = 2|X(n− 1) = 2
)=
2
3(n = 1, 2, ...).
Turime baigtine‘homogenine
‘Markovo grandine
‘su dviem busenomis, su pradinemis
tikimybemis (1/2, 1/2) ir perejimo matrica∥∥∥∥∥∥2
31
3
1
32
3
∥∥∥∥∥∥ .
2 p a v y z d y s. Dalele juda tiese, laiko momentais 1, 2, 3, ... veikiamaatsitiktiniu
‘postumiu
‘. Pradzioje dalele gali buti su atitinkamomis tikimybemis tik
taskuose su sveikosiomis koordinatemis a + 1, a + 2, ..., b− 1. Kiekvienas postumispaslenka dalele
‘su tikimybe p i
‘desineje puseje esnti
‘gretima
‘taska
‘su sveika
‘ja koor-
dinate arba su tikimybe q = 1− p i‘kaireje puseje esanti
‘gretima
‘taska
‘su sveika
‘ja
koordinate. Jei dalele atsiduria taske a arba taske b, tai ji iskart pastumiama i‘
intervalo viduje esanti‘gretima
‘taska
‘su sveika
‘ja koordinate.
Pazymekime X(n) = l − a + 1 (l = a, a + 1, ..., b), jei n-uoju laiko momentudalele atsiduria taske su koordinate l. Vel turesime baigtine
‘homogenine
‘Markovo
grandine‘su perejimo matrica∥∥∥∥∥∥∥∥∥
0 1 0 0 ... 0 0q 0 p 0 ... 0 00 q 0 p ... 0 0... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... 0 p0 0 0 0 ... 1 0
∥∥∥∥∥∥∥∥∥,
kurioje yra b− a + 1 eiluciu‘.
Gri‘zkime prie teorijos. Nagrinesime homogenine
‘grandine
‘su perejimo
matrica π =‖ pjk ‖. Si matrica nusako sistemos busenos pasikeitima‘vienu
zingsniu, tiksliau kalbant, nusako tikimybes sistemai patekti i‘kuria
‘nors k-a
‘ja
‘busena
‘m-uoju laiko momentu, jei (m−1)-uoju laiko momentu ji buvo kurioje
nors j-ojoje busenoje. Apskaiciuosime tikimybe‘pereiti is j-osios busenos i
‘k-
-a‘ja
‘busena
‘per n laiko tarpu
‘– n zingsniu
‘. Pazymekime ta
‘tikimybe
‘
pjk(n) = P(X(n) = k|X(0) = j
),
o ju‘matrica
‘π(n) =‖ pjk(n) ‖ .
Markovo grandines 233
Visus perejimus is j-osios busenos i‘k-a
‘ja
‘busena
‘per n1 + n2 laiko tarpu
‘suskaidysime i
‘klases: 1) sistema is j-osios busenos per pirmuosius n1 laiko
tarpu‘
pereina i‘
pirma‘ja
‘busena
‘, o per n2 laiko tarpu
‘is pirmosios busenos
pereina i‘k-a
‘ja
‘busena
‘; 2) per n1 laiko tarpu
‘sistema is j-osios busenos pereina
i‘
antra‘ja
‘busena
‘, o per n2 laiko tarpu
‘is antrosios busenos pereina i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘ir t. t. Is pilnosios tikimybes formules ir grandines homogeniskumo
isplaukia
(3) pjk(n1 + n2) =∑m
pjm(n1)pmk(n2);
cia sumuojama pagal visas busenas. Is siu‘lygybiu
‘, prisimine
‘matricu
‘daugy-
bos apibrezima‘, gausime
π(n1 + n2) = π(n1)π(n2).
Taigiπ(2) = π2(1) = π2, π(3) = π(2)π = π3, ...
Vadinasi,π(n) = πn (n = 1, 2, ...).
(3) formule teisinga ir tada, kai n1 ≥ 0, n2 ≥ 0, jei laikome
pjk(0) = 1, kai j = k,
0, kai j 6= k.
Zinodami perejimo ir pradines tikimybes, nesunkiai galime rasti tikimybe‘
pk(n) = P (X(n) = k), kad sistema laiko momentu n bus k-ojoje busenoje.Samprotaudami taip pat, kaip ir (3) formules i
‘rodyme, gauname
pk(n1 + n2) =∑j
pj(n1)pjk(n2).
Atskiru atvejupk(n) =
∑j
p0jpjk(n).
Sios formules teisingos, kai n1 ≥ 0, n2 ≥ 0, n ≥ 0.Zinodami pradines ir perejimo tikimybes, galime rasti ir Markovo gran-
dines baigtiniamacius pasiskirstymus. Pasirinkime laiko momentus 0 ≤ n1 << ... < nm ir busenas k1, ..., km. Apskaiciuokime tikimybe
‘PX(n1) =
= k1, ..., X(nm) = km. Is grandines apibrezimo isplaukia
PX(n1) = k1, ..., X(nm) = km|X(n1) = k1, ..., X(nm−1) = km−1 =
= pkm−1km(nm − nm−1).
234 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Is cia
PX(n1) = k1, ..., X(nm) = km = PX(n1) = k1, ..., X(nm−1) =
= km−1pkm−1km(nm − nm−1).
Analogiskai
PX(n1) = k1, ..., X(nm−1) = km−1 =
PX(n1) = k1, ..., X(nm−2) = km−2pkm−2km−1(nm−1 − nm−2).
Samprotaudami taip pat ir toliau, gausime
(4)PX(n1) = k1, X(n2) = k2, ..., X(nm) = km =
= pk1(n1)pk1k2(n2 − n1)...pkm−1km(nm − nm−1).
Markovo grandiniu‘teorijoje svarbu atsakyti i
‘sitoki
‘klausima
‘. Sakykime,
duoti neneigiami skaiciai p0k, tenkinantys (2) sa
‘lyga
‘, ir stochastine matrica
‖ pjk ‖. Kyla klausimas, ar egzistuoja homogenine Markovo grandine, ku-rios pradines tikimybes yra skaiciai p0
k ir perejimo tikimybes – skaiciai pjk.I‘si‘klausima
‘galima atsakyti teigiamai. Imkime baigtiniamacius pasiskirsty-
mus, nusakytus (4) lygybemis. Nesunku suvokti, kad jie tenkina (1) sa‘lyga
‘ir yra suderinti (zr. V.10 skyreli
‘). Todel is Kolmogorovo teoremos isplaukia
atitinkamos Markovo grandines egzistavimas.Analogiski rezultatai teisingi ir nehomogeninems grandinems.
16. MARKOVO GRANDINIU‘
BUSENU‘
KLASIFIKACIJA
Nagrinesime homogenines Markovo grandines. Sios rusies procesu‘
evoliuci-jai tirti pravercia grandiniu
‘busenu
‘klasifikacija, pagri
‘sta galimybe is vienos
busenos patekti i‘kita
‘. Susipazinsime su Kolmogorovo pasiulyta klasifikacija.
Sakoma, kad k-oji busena yra pasiekiama is j-osios busenos, jei kuriamnors sveikajam teigiamam n tikimybe is j-osios busenos patekti i
‘k-a
‘ja
‘per n
laiko tarpu‘yra teigiama: pjk(n) > 0.
Jei k-oji busena yra pasiekiama is j-osios busenos, o l-oji – is k-osios, tai l--oji busena taip pat pasiekiama is j-osios. Tai lengva i
‘rodyti. Pagal apibrezima
‘egzistuoja tokie du naturalieji skaiciai n1 ir n2, kad pjk(n1) > 0, pkl(n2) > 0.Is 15 skyrelio (3) formules gauname
pjl(n1 + n2) =∑m
pjm(n1)pml(n2) ≥ pjk(n1)pkl(n2) > 0.
j-oji busena vadinama neesmine, jei galima rasti busena‘, kuri butu
‘pasiekiama is j-osios busenos, taciau j-oji busena butu
‘is jos nepasiekiama, ki-
taip tariant, jei egzistuoja tokie k ir n, kad pjk(n) > 0, bet pkj(m) = 0 visiems
Markovo grandiniu‘busenu
‘klasifikacija 235
m. Visos busenos, kurios nera neesmines, vadinamos esminemis. Esmine‘
busena‘galima apibrezti ir sitaip: j-oji busena yra esmine, jei ji pasiekiama
is kiekvienos busenos, kuri yra pasiekiama is j-osios.Dvi esmines busenos vadinamos susisiekianciomis, jei kiekviena is ju
‘yra
pasiekiama is kitos.Atkreipsime demesi
‘: jei j-oji ir k-oji, taip pat k-oji ir l-oji busenos yra
susisiekiancios, tai j-oji ir l-oji busenos yra susisiekiancios.1 p a v y z d y s. Imkime homogenine
‘grandine
‘su perejimo matrica∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
01
3
2
30 0
1
2
1
20 0 0
0 0 0 1 02
30
1
30 0
0 0 01
4
3
4
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥.
30 paveiksle busenos simboliskai pazymetos skrituliukais su numeriais. Perejimaiis busenos i
‘busena
‘(per viena
‘laiko tarpa
‘) su teigiamomis tikimybemis nurodyti
rodyklemis. Ties rodyklemis nurodytos perejimo tikimybes. Sioje grandineje penk-toji busena yra neesmine, visos kitos – esmines; kiekvienos dvi is ju
‘(ir kiekviena
pati su savimi) yra susisiekiancios.
30 pav.
Suklasifikuosime visas grandines busenas. Pirmiausia surinkime visasneesmines busenas ir ju
‘klase
‘pazymekime K0. Toliau klasifikuosime sitaip.
Imkime kuria‘
nors busena‘
ir surinkime visas su ja susisiekiancias busenas.
236 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Aisku, kiekvienos dvi is tu‘busenu
‘bus ir tarp save
‘s susisiekiancios. Taip visas
esmines busenas bus galima suskirstyti i‘klases, neturincias bendru
‘elementu
‘.
Pazymekime tas klases K1,K2, .... Jei procesas pateko i‘
kuria‘
nors esmine‘
busena‘, tai jis su teigiama tikimybe pasiliks toje klaseje, kuriai priklauso
minetoji busena.j-oji busena su sa
‘lyga pjj = 1 vadinama absorbuojancia
‘ja. Ji viena sudaro
klase‘, kuria
‘taip pat naturalu pavadinti absorbuojancia
‘ja.
Grandine, sudaryta is vienos klases esminiu‘susisiekianciu
‘busenu
‘, vadi-
nama nesuskaidoma. Jei grandine yra sudaryta is daugiau kaip vienos klasesbusenu
‘, tai ji vadinama suskaidoma.
2 p a v y z d y s. 1 pavyzdyje nagrinetos grandines busenas galima suskirstytii‘dvi klases: viena klase yra sudaryta is neesmines busenos 5, o kita klase – is
visu‘esminiu
‘susisiekianciu
‘busenu
‘1, 2, 3, 4. Grandine yra suskaidoma.
Pravartu grandines busenas pernumeruoti taip, kad pradzioje eitu‘klases
K0 busenos, po to klases K1 busenos ir t. t. Tada perejimo matrica bus 31paveiksle nurodyto pavidalo. Jame pomatriciai, uzbruksniuoti dvieju
‘krypciu
‘linijomis, yra stochastiniai; kiekviena
‘is ju
‘atitinka nesuskaidoma Markovo
grandine. Pomatriciai, pazymeti 0, yra sudaryti vien tik is nuliu‘. Jei grandine
nera baigtine, tai kai kurios, o gal ir visos, klases gali buti begalines. Tada iratitinkami pomatriciai bus begaliniai.
31 pav.
Te‘sime toliau busenu
‘klasifikacija
‘, taciau jau kitu aspektu. Tuo tikslu
tikimybe‘, kad sistema, isejusi is k-osios busenos, per n laiko tarpu
‘pirma
‘karta
‘gri
‘s atgal i
‘ta
‘busena
‘, zymesime vk(n):
vk(n) = P(X(n) = k, X(n− 1) 6= k, ...,X(1) 6= k|X(0) = k
).
Markovo grandiniu‘busenu
‘klasifikacija 237
Raide Vk zymesime tikimybe‘, kad sistema, isejusi is k-osios busenos, kada
nors gri‘s i
‘ja
‘,
Vk = vk(1) + vk(2) + ...
Dabar klasifikuosime busenas, atsizvelgdami i‘
gri‘ztamumo savybes. k-
-a‘ja
‘busena
‘vadinsime rekurentine, arba gri
‘ztama
‘ja, kai Vk = 1, ir tranzien-
tine, arba negri‘ztama
‘ja, kai Vk < 1. Charakterizuosime busenu
‘gri
‘ztamuma
‘tikimybiu
‘pkk(n) terminais.
Lema. Jei realiu‘ju‘
skaiciu‘
eilute
(1)∞∑k=1
ak
konverguoja ir jos suma lygi a, tai laipsnine eilute
(2)∞∑k=1
akxk
konverguoja, kai |x| < 1, ir jos suma konverguoja i‘a, kai x 1. Jei
ak ≥ 0 ir (2) eilutes suma konverguoja i‘a < ∞, kai x 1, tai ir (1)
eilute konverguoja i‘a.
Si lema yra atskiras Abelio lemos atvejis; jos i‘rodyma
‘galima rasti mate-
matines analizes kursuose.
1 teorema. k-oji busena yra gri‘ztama tada ir tik tada, kai eilute
Pk =∞∑n=1
pkk(n)
diverguoja. Jei k-oji busena yra negri‘ztama, tai
(3) Vk =Pk
1 + Pk.
I‘r o d y m a s. Nagrinesime funkcijas
Pk(x) =∞∑n=1
pkk(n)xn,
Vk(x) =∞∑n=1
vk(n)xn.
238 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Kai |x| < 1, abi eilutes konverguoja absoliuciai. Pagal pilnosios tikimybesformule
‘
pkk(n) = vk(1)pkk(n− 1) + vk(2)pkk(n− 2) + ...+
+ vk(n− 1)pkk(1) + vk(n).
Padaugine‘abi lygybes puses is xn ir susumave
‘pagal n, gausime
Pk(x) = xvk(1)(1 + Pk(x)
)+ x2vk(2)
(1 + Pk(x)
)+ ... =
=(1 + Pk(x)
)Vk(x).
Is cia
(4) Vk(x) =Pk(x)
1 + Pk(x), Pk(x) =
Vk(x)1− Vk(x)
.
Is siu‘formuliu
‘isplaukia teoremos teiginys.
Jei eilute Pk diverguoja, tai Pk(x) →∞, kai x 1. Tada Vk(x) → 1, kaix 1. Is Abelio lemos isplaukia, kad Vk = 1.
Jei Vk = 1, tai vel pagal Abelio lema‘Vk(x) → 1, kai x 1. Tada eilute
P diverguoja.Jei eilute Pk konverguoja, tai is (4) gauname (3). utIs toliau i
‘rodomos teoremos labiau paaiskes gri
‘ztamu
‘ir negri
‘ztamu
‘busenu
‘sa
‘voka.
2 teorema. Jei k-oji busena yra gri‘ztamoji, tai sistema, kurios evoliucija
‘nusako Markovo grandine, isejusi is k-osios busenos, su tikimybe 1 gri
‘s per
be galo daug zingsniu‘
be galo daug kartu‘
i‘k-a
‘ja‘
busena‘. Jei ta busena yra
negri‘ztamoji, tai sistema su tikimybe 1 gri
‘s per be galo daug zingsniu
‘baigtini
‘skaiciu
‘kartu
‘i‘
ta‘
busena‘, kitaip tariant, po kurio nors baigtinio zingsniu
‘skaiciaus ji niekada jau nebegri
‘s i
‘k-a
‘ja‘
busena‘.
I‘r o d y m a s. Pazymekime ξm skaiciu
‘zingsniu
‘iki m-ojo gri
‘zimo i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘. Jei per be galo daug zingsniu
‘gauname maziau kaip m gri
‘zimu
‘, tai
laikome ξm = ∞. I‘vykis ξm < ∞ reiskia, kad sistema ne maziau kaip m
kartu‘gri
‘zta i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘. Pazymekime V = Vk = P (ξ1 <∞).
Tarkime, kad i‘vyko i
‘vykis ξ1 < ∞. Vadinasi, sistema per kuri
‘nors
baigtini‘
zingsniu‘
skaiciu‘ξ1 gri
‘zo i
‘pradine
‘k-a
‘ja
‘busena
‘. Po to jos tolesne
evoliucija vyksta pagal tuos pacius desnius, lyg ji prasidetu‘
vel is naujo.Taigi i
‘vykio ξ2 <∞ tikimybe su sa
‘lyga ξ1 <∞ bus taip pat lygi V :
P (ξ2 <∞|ξ1 <∞) = V.
Jei ξ1 = ∞, tai ir ξ2 = ∞. Todel
P (ξ2 <∞) = P (ξ2 <∞|ξ1 <∞) · P (ξ1 <∞) = V 2.
Markovo grandiniu‘busenu
‘klasifikacija 239
Visai taip pat bet kuriam m = 3, 4, ...
P (ξm <∞|ξm−1 <∞) = V, P (ξm <∞) = V m.
Jei k-oji busena yra negri‘ztama, tai
∞∑m=1
P (ξm <∞) =∞∑m=1
V m <∞,
nes pagal negri‘ztamos busenos apibrezima
‘V < 1. Is Borelio-Kantelio lemos
isplaukia, kad su tikimybe 1 gali i‘vykti tik baigtinis i
‘vykiu
‘ξm <∞ skaicius,
kitaip tariant, su tikimybe 1 sistema tik baigtini‘
skaiciu‘
kartu‘
gri‘s i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘.
Jei k-oji busena yra gri‘ztama, tai P (ξm < ∞) = 1 kiekvienam m.
Pazymekime η skaiciu‘
gri‘zimu
‘per be galo daug zingsniu
‘. I
‘vykis η ≥ m
yra tapatus i‘vykiui ξm <∞ ir
η = ∞ =∞⋂m=1
ξm <∞.
Todel
P (η = ∞) = limm→∞
P (ξm <∞) = 1. ut
Jei k-oji busena yra negri‘ztama, tai is 1 teoremos isplaukia, kad pkk(n) →
→ 0, kai n→∞. Busenos, turincios tokias savybes, yra vadinamos nulinemis,o visos kitos busenos – nenulinemis. Is teoremos isplaukia, kad negri
‘ztamos
busenos yra nulines, bet ne kiekviena nuline busena yra negri‘ztama, o
nenulines busenos – gri‘ztamos (atvirkstinis teiginys ir cia ne visada teisin-
gas).
3 p a v y z d y s. Nagrinekime daleles klaidziojima‘sveikaisiais tieses taskais,
nusakyta‘sitaip. Dalele sveikaisiais laiko momentais arba su tikimybe 1/2 lieka savo
vietoje, arba su ta pacia tikimybe pasislenka i‘desineje puseje esanti
‘gretima
‘taska
‘su sveika
‘ja koordinate. Cia vk(1) = 1/2 ir vk(n) = 0, kai n > 1. Todel Vk = 1/2 < 1.
Vadinasi, visos busenos yra negri‘ztamos. Jos yra taip pat ir nulines.
Tarkime, kad pkk(n) > 0 ir pkk(m) > 0. Is 15 skyrelio (3) formulesgauname, kad tada ir pkk(n + m) > 0. Todel is grandines homogeniskumoisplaukia, kad visi n, kuriems pkk(n) > 0, turi buti pavidalo n = ds (s == 1, 2, ...). Tarp skaiciu
‘n su sa
‘lyga pkk(n) > 0 (jei tokie n egzistuoja) dalikliu
‘d yra didziausias dk. Jis vadinamas busenos periodu. Jei periodas dk > 1, taik-oji busena vadinama periodine.
4 p a v y z d y s. 15.2 pavyzdyje, kai 0 < p < 1, visos busenos yra periodinessu periodu 2.
240 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
3 teorema. Jei nesuskaidomoje Markovo grandineje bent viena busenayra gri
‘ztama, tai ir visos – gri
‘ztamos, jei bent viena – nuline, tai ir visos –
nulines, jei bent viena – periodine su periodu d, tai ir visos – periodines superiodu d.
I‘r o d y m a s. Imkime bet kurias dvi esmines susisiekiancias busenas,
sakykime, j-a‘ja
‘ir k-a
‘ja
‘. Is susisiekianciu
‘busenu
‘apibrezimo isplaukia, jog
egzistuoja tokie naturalieji skaiciai n1 ir n2, kad
α = pjk(n1) > 0, β = pkj(n2) > 0.
Kiekvienam naturaliajam skaiciui n is pilnosios tikimybes formules gauname
(5)pjj(n1 + n2 + n) =
∑l,m
pjl(n1)plm(n)pmj(n2) ≥
≥ pjk(n1)pkk(n)pkj(n2) = αβpkk(n).
Visai taip pat i‘rodoma nelygybe
pkk(n1 + n2 + n) ≥ αβpjj(n).
Is tu‘nelygybiu
‘isplaukia pirmieji du teoremos teiginiai: jei j-oji busena yra
nuline, tai tokia yra ir k-oji; jei j-oji busena yra gri‘ztamoji, tai tokia yra ir
k-oji.Tarkime, kad j-oji busena yra periodine su periodu dj . Vadinasi, jei
pjj(n) > 0, tai dj |n. Kadangi
pjj(n1 + n2) =∑l
pji(n1)plj(n2) ≥ pjk(n1)pkj(n2) = αβ > 0,
tai dj |(n1 +n2). Parodysime, kad visi n su sa‘lyga pkk(n) > 0 dalijasi is dj . Is
(5) turime, kad tokiems n teisinga nelygybe pjj(n1 + n2 + n) > 0. Vadinasi,dj |(n1+n2+n). Todel dj |n. Vadinasi, k-oji busena yra periodine. Jos periodasyra dk ≤ dj . Analogiskai i
‘rodome, kad dj ≤ dk. Taigi dk = dj . ut
Jei nesuskaidomos grandines visos busenos yra periodines su periodu d >> 1, tai ir pati grandine vadinama periodine. Panagrinesime tokios grandinesstruktura
‘.
4 teorema. Periodines grandines su periodu d busenas galima suskaidytii‘viena kitos nedengiancias klases L0, L1, ..., Ld−1, turincias savybe
‘: grandine
per viena‘
laiko tarpa‘
su tikimybe 1 pereina is klases Lk i‘
klase‘Lk+1 (k =
= 0, 1, ..., d− 1); cia simboliskai pazymeta Ld = L0.
I‘r o d y m a s. Imkime kuria
‘nors fiksuota
‘busena
‘, sakykime, pirma
‘ja
‘.
j-a‘ja
‘busena
‘priskirsime klasei Lk (k = 0, 1, ..., d− 1), jei egzistuoja sveikasis
teigiamas skaicius m su sa‘lyga p1j(md + k) > 0. I
‘rodysime, kad busenos
Markovo grandiniu‘busenu
‘klasifikacija 241
gali priklausyti tik skirtingoms klasems. Pakanka i‘rodyti: jei j-oji busena
priklauso klasei Lk ir kuriam nors r teisinga nelygybe p1j(r) > 0, tai r ≡≡ kmod d. Pastebesime, jog egzistuoja toks skaicius s, kad pj1(s) > 0. Ka-dangi
p11(md+ k + s) =∑l
p1l(md+ k)pl1(s) ≥ p1j(md+ k)pj1(s),
tai pagal klases L apibrezima‘p11(md+ k + s) > 0. Be to,
p11(r + s) =∑l
p1l(r)pl1(s) ≥ p1j(r)pj1(s) > 0.
Vadinasi, d|(md+ k + s) ir d|(r + s), taigi k ≡ rmod d.Kadangi is pirmosios busenos galima patekti i
‘bet kuria
‘busena
‘su
teigiama tikimybe, tai kiekviena busena priklauso kuriai nors is klasiu‘
L0, L1, ..., Ld−1.Reikia dar i
‘rodyti, kad per viena
‘laiko tarpa
‘su tikimybe 1 grandine is
klases Lk pereina i‘
klase‘Lk+1. Parodysime, kad pjl = 0, jei j-oji busena
priklauso Lk, o l-oji nepriklauso Lk+1. Tarkime, kad yra priesingai. Tada isnelygybes p1j(md+ k) > 0 gautume
p1l(md+ k + 1) =∑r
p1r(md+ k)prl ≥ p1j(md+ k)pjl > 0.
Iseitu‘, kad l-oji busena priklauso Lk+1. Gautas priestaravimas i
‘rodo musu
‘teigini
‘. Is jo isplaukia: jei j-oji busena priklauso Lk, tai
(6)∑
pjl = 1;
cia sumuojama pagal visas l-a‘sias busenas is klases Lk+1. ut
Klases Lk vadinamos ciklinemis.
242 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Periodines grandines matrica yra tokio pavidalo, kaip ir 32 paveiksle. Tojematricoje neuzbruksniuoti pomatriciai yra sudaryti is nuliu
‘, o uzbruksniuoti
pomatriciai – is nenuliniu‘elementu
‘.
32 pav.
Periodine‘grandine
‘su periodu d galima suskaidyti i
‘d nauju
‘grandiniu
‘.
k-osios grandines busenos bus k-osios ciklines klases Lk busenos. Perejimotikimybes bus pjl(d). Is (6) isplaukia, kad perejimo matrica bus stochastine.Naujosios grandines jau netures poklasiu
‘.
17. MARKOVO GRANDINIU‘
ERGODINES TEOREMOS
Imkime grandine‘su perejimo matrica
π =
∥∥∥∥∥∥∥2313
1323
∥∥∥∥∥∥∥ .Sia
‘grandine
‘nagrinejome 15.1 pavyzdyje. Perejimo per du laiko tarpus ma-
trica bus
π2 =
∥∥∥∥∥∥∥5949
4959
∥∥∥∥∥∥∥ ,per tris laiko tarpus
π3 =
∥∥∥∥∥∥∥14271327
13271427
∥∥∥∥∥∥∥ .Matematines indukcijos metodu galima i
‘rodyti, kad
Markovo grandiniu‘ergodines teoremos 243
πn =
∥∥∥∥∥∥∥12
+1
2 · 3n12− 1
2 · 3n
12− 1
2 · 3n12
+1
2 · 3n
∥∥∥∥∥∥∥ .Matome, kad perejimo tikimybes pjk(n) → 1/2, kai n → ∞. Vadinasi,tikimybe sistemai patekti i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘praktiskai nepriklauso nuo to, kokioje
busenoje ji buvo tolimoje praeityje. Persasi mintis, kad analogiskas teiginysgali buti teisingas ir kitokioms Markovo grandinems. Tokiu atveju ribos
p∗k = limn→∞
pjk(n)
vadinamos ribinemis tikimybemis, o grandines, turincios tokia‘savybe
‘, – er-
godinemis1.Imkime bet kuria
‘homogenine
‘Markovo grandine
‘su perejimo matrica
‖ pjk ‖ ir perejimo per n laiko tarpu‘
matrica ‖ pjk(n) ‖. Kiekvienam napibresime ergodiskumo koeficienta
‘
ρ(n) = 1− 12
supj,k
∑l
|pjl(n)− pkl(n)|.
Panagrinesime jo savybes. Is lygybiu‘∑
l
pjl(n) = 1,∑l
pkl(n) = 1
visiems j ir k gauname ∑l
(pjl(n)− pkl(n)
)= 0,
arba ∑l
+(pjl(n)− pkl(n)
)+∑l
−(pjl(n)− pkl(n)
)= 0;
cia + prie sumavimo zenklo reiskia sumavima‘pagal tuos l, kuriems tas skir-
tumas yra teigiamas, o – pagal tuos l, kuriems jis yra neigiamas. Todel∑l
+(pjl(n)− pkl(n)
)=
12
∑l
∣∣pjl(n)− pkl(n)∣∣
ir
(1) ρ(n) = 1− supj,k
∑l
+(pjl(n)− pkl(n)
).
1 Is graiku‘kalbos zodziu
‘εργoν – darbas, oδoζ – kelias.
244 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Aisku, kad 0 ≤ ρ(n) ≤ 1.Ergodiskumo koeficientas gali buti ir lygus 0. Imkime grandine
‘su dviem
busenomis ir perejimo per n laiko tarpu‘
tikimybemis, nusakytomis sitaip:p11(n) = 1, p12(n) = 0, p21(n) = 0, p22(n) = 1, kai n yra lyginis, beip11(n) = 0, p12(n) = 1, p21(n) = 1, p22(n) = 0, kai n – nelyginis. Tada
|p11(n)− p21(n)|+ |p12(n)− p22(n)| = 2
visiems n ir ρ(n) = 0.
1 teorema. Jei kuriam nors n0 ergodiskumo koeficientas ρ(n0) > 0, taiegzistuoja ribos
p∗k = limn→∞
pjk(n) (j = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...),
nepriklausancios nuo indekso j, be to,
supj|pjk(n)− p∗k| ≤ Ce−Dn;
ciaC =
11− ρ(n0)
, D =1n0
ln1
1− ρ(n0).
I‘r o d y m a s. Pazymekime
rk(n) = infjpjk(n), Rk(n) = sup
jpjk(n).
Teisingos nelygybes
rk(n+ 1) = infjpjk(n+ 1) = inf
j
∑l
pjlplk(n) ≥
≥ rk(n) infj
∑l
pjl = rk(n),
Rk(n+ 1) = supjpjk(n+ 1) = sup
j
∑l
pjlplk(n) ≤
≤ Rk(n) supj
∑l
pjl = Rk(n).
Is (1) lygybes gauname
Rk(n0)− rk(n0) = supmpmk(n0)− inf
spsk(n0) =
= supm,s
(pmk(n0)− psk(n0)
)≤
≤ supm,s
∑j
+(pmj(n0)− psj(n0)
)= 1− ρ(n0)
Markovo grandiniu‘ergodines teoremos 245
irRk(n0 + n)− rk(n0 + n) = sup
m,s
(pmk(n0 + n)− psk(n0 + n)
)=
= supm,s
∑j
(pmj(n0)− psj(n0)
)pjk(n) ≤
≤ supm,s
Rk(n)
∑j
+(pmj(n0)− psj(n0)
)+
+ rk(n)∑j
−(pmj(n0)− psj(n0)
)=
= supm,s
(Rk(n)− rk(n)
)∑j
+(pmj(n0)− psj(n0)
)=
=(1− ρ(n0)
)(Rk(n)− rk(n)
).
Pakartotinai pritaike‘tas formules, gauname
(2) Rk(vn0)− rk(vn0) ≤(1− ρ(n0)
)v (v = 1, 2, ...).
Mateme, kad seka rk(n) (n = 1, 2, ...) nemazeja, o seka Rk(n) (n = 1, 2, ...)nedideja, be to, rk(n) ≤ Rk(n). Is (2) ir teoremos sa
‘lygu
‘isplaukia, kad abi
sekos turi ribas ir tos ribos sutampa
limn→∞
rk(n) = limn→∞
Rk(n) = p∗k.
Aisku,|pjk(n)− p∗k| ≤ Rk(n)− rk(n) ≤
(1− ρ(n0)
)n/n0−1. ut
Isvada. Jei grandine turi tik baigtini‘busenu
‘skaiciu
‘ir ispildomos 1 teo-
remos sa‘lygos, tai ribines tikimybes tenkina lygybes
p∗k =∑
p∗jpjk,∑k
p∗k = 1.
I‘r o d y m a s. Pakanka lygybese
plk(n+ 1) =∑j
plj(n)pjk,∑k
plk(n) = 1
pereiti prie ribos, kai n→∞. utIsvada teisinga ir tada, kai busenu
‘skaicius yra skaitus, tik i
‘rodymas daug
sudetingesnis.
2 teorema. Jei ispildomos 1 teoremos sa‘lygos, tai egzistuoja ribos
246 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
limn→∞
pk(n) = p∗k (k = 1, 2, ...),
be to,|pk(n)− p∗k| ≤ Ce−Dn;
cia p∗k ir C,D turi tas pacias reiksmes.I‘r o d y m a s. Is 1 teoremos i
‘rodyme gautu
‘nelygybiu
‘isplaukia
|pk(n)− p∗k| =∣∣∣∑j
p0jpjk(n)− p∗k
∣∣∣ ≤∑j
p0j |pjk(n)− p∗k| ≤
≤∑j
p0j |Rk(n)− rk(n)| = Rk(n)− rk(n) ≤ Ce−Dn. ut
Tikimybiu‘pasiskirstymas p∗k(k = 1, 2, ...) su sa
‘lyga
p∗k =∑j
p∗jpjk
yra vadinamas stacionariuoju. Jo prasme sitokia. Jei kuriam nors n0 turimepk(n0) = p∗k (k = 1, 2, ...), tai tikimybes pk(n), kad laiko momentu n sistemapateks i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘, visiems n ≥ n0 yra tos pacios ir lygios pk(n) = p∗k. Tai
isplaukia is 15 skyrelio (3) formules.Is (1) gauname
supk
infjpjk(n0) = ρ(n0).
Vadinasi, ρ(n0) > 0, jei grandine yra baigtine ir visos perejimo tikimybespjk(n0) yra teigiamos. Tuo atveju teisingos abi teoremos ir isvada.
Baigdami si‘skyreli
‘, be i
‘rodymo paminesime dar keleta
‘teiginiu
‘.
3 teorema. Bet kuriems j ir k egzistuoja nepriklausancios nuo j teigia-mos ribos
p∗k = limn→∞
pjk(n) (j = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...)
tada ir tik tada, kai grandine yra nesuskaidoma bei neperiodine ir egzistuojabusena, gri
‘zimo i
‘kuria
‘laikas turi (baigtini
‘) vidurki
‘. Skaiciai p∗k yra vienin-
teliai lygciu‘
sistemos
∞∑k=1
p∗k = 1,
p∗k =∞∑j=1
p∗jpjk (k = 1, 2, ...)
sprendiniai, jei nagrinesime tik sekas, is kuriu‘sudarytos eilutes konverguoja
absoliuciai.
Tolydaus laiko Markovo grandines. Markovo procesai. Martingalai 247
Jei grandine yra baigtine, tai butinos ir pakankamos sa‘lygos suprasteja:
grandine turi buti nesuskaidoma ir neperiodine.Jei grandine yra periodine su periodu d, tai bet kurioms j-ajai ir k-ajai
busenoms is tos pacios klases (zr. 16.4 teorema‘) pjk(n) = 0, kai n 6= md. Jei
n = md, tai is 3 ir 16.4 teoremu‘isplaukia, jog egzistuoja riba
limm→∞
pjk(md) = p∗k > 0,
nepriklausanti nuo j.Tarkime, kad turime baigtine
‘grandine
‘. Kaip mateme 16 skyrelyje, jos
busenas galima suskirstyti i‘
klases: neesminiu‘
busenu‘
klase‘K0 ir keleta
‘esminiu
‘busenu
‘klasiu
‘K1, ...,Kr. Suprantama, klase K0 gali buti tuscia, gali
nebuti ir klasiu‘K1, ...,Kr. Panagrinesime tikimybiu
‘pjk(n) asimptotika
‘ir
tokioms grandinems. Pakanka tirti tik atveji‘, kai klase K0 yra netuscia, o
esminiu‘busenu
‘yra tik viena klase K1. Is 2 teoremos isplaukia, kad pjk(n)
turi teigiamas ribas, kai j-oji ir k-oji busenos priklauso K1. Galima butu‘
i‘rodyti, kad pjk(n) turi riba
‘, lygia
‘0, kai j-oji ir k-oji busenos priklauso K0,
ir teigiama‘riba
‘, kai j-oji busena priklauso klasei K0, o k-oji busena priklauso
klasei k1. Ribos nepriklauso nuo j.Siu
‘rezultatu
‘i‘rodyma
‘galima rasti, pvz., [3] knygoje.
18. TOLYDAUS LAIKO MARKOVO GRANDINES.MARKOVO PROCESAI. MARTINGALAI
Kita‘svarbia
‘atsitiktiniu
‘procesu
‘klase
‘sudaro tolydaus laiko Markovo gran-
dines. Jos skiriasi nuo 15 skyrelyje apibreztu‘procesu
‘tik tuo, kad parametru
‘aibe T yra baigtinis arba begalinis realiu
‘ju
‘skaiciu
‘intervalas. Apibresime juos
tiksliau. Turime atsitiktini‘procesa
‘Ω,A, P,X(t), t ∈ T, i
‘gyjanti
‘reiksmes
is macios erdves Γ, E. Laikysime, kad T yra jau nusakyto pobudzio, obusenu
‘erdve Γ – baigtine arba skaiti. Ir siuo atveju busenas zymesime
tiesiog naturaliaisiais skaiciais. Sakysime, kad procesas yra tolydaus laikoMarkovo grandine, jei bet kuriam naturaliajam skaiciui n, bet kuriemst0 < t1 < ... < tn−1 < s < t is T ir bet kuriems k, j0, j1, ..., jn−1, j teisingoslygybes
P(X(t) = k|X(t0) = j0, X(t1) = j1, ..., X(tn−1) = jn−1, X(s) = j
)=
= P(X(t) = k|X(s) = j
).
Ir cia galime kalbeti apie fizine‘sistema
‘, kurios busena laiko momentu t
yra X(t). Tada P(X(t) = k|X(s) = j
)yra tikimybe sistemai patekti i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘laiko momentu t, jei laiko momentu s ji buvo j-ojoje busenoje. Jei ta
tikimybe priklauso tik nuo t − s, tai grandine vadinama homogenine. Tada
248 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
galima kalbeti apie perejimo tikimybe‘pjk(t) is j-osios busenos i
‘k-a
‘ja
‘per laiko
tarpa‘t. Toliau tik tokias grandines ir nagrinesime. Laikysime T = [0,∞).
Pazymesime p0k = pk(0) tikimybe
‘, kad sistema pradiniu momentu bus
k-ojoje busenoje, o pk(t) tikimybe‘, kad ji pateks i
‘k-a
‘ja
‘busena
‘momentu t.
Kaip ir 15 skyrelyje, i‘rodomos formules
(1)
pjk(s+ t) =∑l
pjl(s)plk(t),
pk(s+ t) =∑l
pl(s)plk(t),
pk(t) =∑l
p0l plk(t).
Jos teisingos, kai s ≥ 0, t ≥ 0, jei susitarsime laikyti
pjk(0) = 1, kai j = k,
0, kai j 6= k.
Tolydaus laiko grandiniu‘egzistavimo klausimai sprendziami analogiskai
atvejui, kai laikas diskretus.Kai ispildomos gana bendros sa
‘lygos, perejimo tikimybes tenkina tam
tikras diferencialines lygtis. Tarkime, kad grandine turi tik baigtini‘busenu
‘skaiciu
‘ir perejimo tikimybes tenkina sa
‘lygas
(2)1− pkk(∆t) = λk∆t+ o(∆t),
pjk(∆t) = λjk∆t+ o(∆t).
Antroji sa‘lyga rodo, kad tikimybe pereiti is j-osios busenos i
‘k-a
‘ja
‘, kai j
ir k skirtingi, per nedideli‘laiko tarpa
‘∆t yra proporcinga to laikotarpio il-
giui aukstesnes eiles nykstamo dydzio tikslumu. Pirmoji sa‘lyga reiskia, kad
tikimybe iseiti is k-osios busenos i‘kuria
‘nors kita
‘busena
‘per maza
‘laiko tarpa
‘∆t yra proporcinga to laikotarpio ilgiui aukstesnes eiles nykstamo dydzio tiks-lumu. λk galima vadinti isejimo is k-osios busenos, o λjk – perejimo is j-osiosbusenos i
‘k-a
‘ja
‘tankiais, arba intensyvumais.
Is (1) formules
pjk(t+ ∆t) =∑l
pjl(∆t)plk(t).
Pasinaudoje‘(2) sa
‘lygomis, gauname
pjk(t+ ∆t) =(1− λj∆t+ o(∆t)
)pjk(t)+
+∑l 6=j
(λjl∆t+ o(∆t)
)plk(t).
Tolydaus laiko Markovo grandines. Markovo procesai. Martingalai 249
Is cia
pjk(t+ ∆t)− pjk(t)∆t
= −λjpjk(t) +∑l 6=j
(λjl + o(1)
)plk(t).
Kai ∆t→ 0, desinioji puse turi riba‘. Todel riba
‘turi ir kairioji puse. Gauname
diferencialine‘lygti
‘
p′jk(t) = −pjk(t)λj +∑l 6=j
λjlplk(t).
Ji vadinama tiesiogine Kolmogorovo–Felerio diferencialine lygtimi.Vel pasinaudoje
‘(1) lygybe, gauname
pjk(t+ ∆t) =∑l
pjl(t)plk(∆t).
Is sios lygybes ir (2) sa‘lygu
‘analogiskai gauname lygti
‘
p′jk(t) = −pjk(t)λk +∑l 6=k
pjl(t)λlk,
vadinama‘atvirkstine Kolmogorovo–Felerio diferencialine lygtimi.
Jei tenkinamos papildomos sa‘lygos, abi tos lygtys teisingos ir tada, kai
busenu‘
skaicius yra begalinis. Pavyzdziui, tiesioginiu‘
lygciu‘
i‘rodymas yra
teisingas ir tada, kai busenu‘
yra be galo daug, jei (2) sa‘lygose liekamu
‘ju
‘nariu
‘i‘vertinimai o(∆t) yra tolygus k atzvilgiu ir fiksuotam k dydziai λjk yra
tolygiai aprezti.Galime gauti diferencialines lygtis ir tikimybems pk(t):
(3) p′k(t) =∑l
pl(t)λlk (k = 1, 2, ...).
Ir tolydziojo laiko grandinems i‘vesime ergodiskumo koeficiento sa
‘voka
‘. Jis
apibreziamas analogiskai:
ρ(t) = 1− 12
supj,k
∑l
|pjl(t)− pkl(t)|.
Jei kuriam nors t0 > 0 ergodiskumo koeficientas ρ(t0) > 0, tai, kaip ir17 skyrelyje, galime i
‘rodyti ergodiskumo teorema
‘: egzistuoja ribos p∗k(k =
= 1, 2, ...)limt→∞
pjk(t) = p∗k,
limt→∞
pk(t) = p∗k,
250 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
be to,|pjk(t)− p∗k| ≤ Ce−Dt,
|pk(t)− p∗k| ≤ Ce−Dt;
ciaC =
11− ρ(t0)
, D =1t0
ln1
1− ρ(t0).
Jei teisingos ka‘tik minetos sa
‘lygos ir busenu
‘skaicius yra baigtinis, tai
ribines tikimybes p∗k visiems t tenkina lygybe‘
(4) p∗k =∑j
p∗jpjk(t) (k = 1, 2, ...).
Vel galime kalbeti apie stacionaru‘ji‘pasiskirstyma
‘. Apskritai, kai laikas yra
tolydus, tikimybiu‘pasiskirstyma
‘p∗k(k = 1, 2, ...), tenkinanti
‘(4) sa
‘lyga
‘, vadin-
sime stacionariuoju.Stacionariosioms tikimybems p∗k = pk(t) (3) diferencialines lygtys virsta
sitokiomis:
(5)∑l
p∗l λlk = 0 (k = 1, 2, ...),
nes tada p′k(t) = 0.Markovo grandines yra tik specialus atvejai daug bendresniu
‘Markovo
procesu‘. Kalbant ne visai grieztai, tai yra procesai X(t), kiekvienam t tu-
rintys savybe‘: jei zinoma atsitiktinio proceso reiksme X(t) laiko momentu
t, tai proceso eiga po laiko momento t nepriklausys nuo jo eigos iki to mo-mento. Kitaip tariant, tikimybe bet kurio i
‘vykio, susijusio su busima pro-
ceso eiga, kai jo dabartine bukle tiksliai zinoma, nepasikeis, atsizvelgus i‘
papildoma‘informacija
‘apie proceso praeiti
‘. Vaizdziai kalbant, procesas neturi
”atminties”.Knygos apimtis neleidzia placiau nagrineti tu
‘procesu
‘. Todel susipazinsi-
me tik su kai kuriomis sa‘vokomis.
Pirmiausia apibresime Markovo procesa‘.
Imkime tikimybine‘erdve
‘Ω,A, P, aibe
‘T ⊂ R ir busenu
‘erdve
‘Γ, E.
Tarkime, kad duotas procesas X(t), t ∈ T, i‘gyjantis reiksmes is Γ. Pazyme-
kime AT maziausia‘σ algebra
‘, kuriai priklauso visi i
‘vykiai X(s) ∈ E, E ∈
∈ E , s ∈ T ,
AT = σX(s), s ∈ T = σX(s) ∈ E, s ∈ T, E ∈ E
.
Analogiskai apibreziamos σ algebros
AT∩(−∞,t] = σX(s), s ∈ T, s ≤ t,AT∩[t,∞) = σX(s), s ∈ T, s ≥ t
Tolydaus laiko Markovo grandines. Markovo procesai. Martingalai 251
(reikia tik parametru‘aibe
‘T pakeisti kitomis). Atsitiktinis procesas X(t), t ∈
∈ T vadinamas Markovo procesu, jei bet kuriems s, t ∈ T, s < t, ir bet ku-rioms A ∈ AT∩[t,∞) beveik visur tikimybinio mato P prasme
P (A|AT∩(−∞,s]) = P(A|X(s)
).
Si‘apibrezima
‘galima pakeisti jam ekvivalenciu. Procesas X(t) yra Mar-
kovo procesas, jei bet kuriam naturaliajam n, bet kuriems t1, t2, ..., tn, t ∈ Tsu sa
‘lyga t1 < t2 < ... < tn < t ir bet kuriai aibei E ∈ E
P(X(t) ∈ E|X(t1), X(t2), ..., X(tn)
)= P
(X(t) ∈ E|X(tn)
)beveik visur mato P prasme.
Yra ir daugiau ekvivalenciu‘Markovo proceso apibrezimu
‘.
Kintamu‘ju
‘s, t ∈ T, x ∈ Γ, E ∈ E funkcija p(s, x, t, E) yra vadinama
Markovo proceso perejimo funkcija, jei ji tenkina sa‘lygas:
1) visiems s, t ∈ T, x ∈ Γ funkcija p(s, x, t, ·) yra tikimybinis matas σalgebroje E ;
2) visiems s, t ∈ T, E ∈ E funkcija p(s, ·, t, E) yra (A, E) mati;3) visiems s ∈ T, x ∈ Γ, E ∈ E funkcija p(s, x, s, E) yra aibes E indika-
toriusp(s, x, s, E) = 1E(x);
4) visiems s, t ∈ T, E ∈ E beveik visur mato P atzvilgiu
p(s,X(s), t, E
)= p(X(t) ∈ E|X(s)
).
Vaizdziai kalbant, p(s, x, t, E) yra tikimybe, kad procesas laiko momentut pateks i
‘busenu
‘aibe
‘E, jei laiko momentu s ≤ t jis buvo busenoje x. Todel
perejimo funkcija vadinama ir perejimo tikimybe.Kiekvienas Markovo procesas su busenu
‘erdve Rk,Bk turi perejimo
funkcija‘. Ji egzistuoja ir tada, kai busenu
‘erdve yra separabili pilna metrine
erdve su atitinkama Borelio aibiu‘σ algebra. Siuo atveju perejimo funkcija
turi dar ir sitokia‘savybe
‘:
5) visiems s, t, u ∈ T, s ≤ u ≤ t, E ∈ E beveik visur mato Ps atzvilgiuteisinga lygybe
p(s, x, t, E) =∫Rk
p(u, y, t, E)p(s, x, u, dy);
cia Ps yra lygybes Ps(E) = P (X(s) ∈ E) nusakytas matas σ algebroje E .Si savybe paprastai vadinama Cepmeno1–Kolmogorovo lygtimi.
1 Douglas George Chapman (g. 1920 m.) – amerikieciu‘matematikas.
252 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Tarkime, kad T yra viena is aibiu‘R, [0,∞), (0,±1,±2, ...) arba 0, 1,
2, .... Markovo procesas X(t), t ∈ T vadinamas homogeniniu, jei betkuriems s, t, u ∈ T, s ≤ t, x ∈ Γ, E ∈ E
p(s+ u, x, t+ u,E) = p(s, x, t, E).
Tada funkcijos p(s, x, t, E) reiksmes priklauso tik nuo skirtumo t− s, x ir E.Todel galima zymeti p(0, x, t, E) = p(t, x, E). Si funkcija paprastai ir vadi-nama homogeninio Markovo proceso perejimo funkcija.
Nesunku suvokti, kad Markovo grandines yra specialus Markovo procesu‘
atvejai.Paminesime dar viena
‘pavyzdi
‘.
Imkime seka‘
nepriklausomu‘
vienodai pasiskirsciusiu‘
atsitiktiniu‘
dydziu‘
Y1, Y2, ..., i‘gyjanciu
‘tik sveika
‘sias reiksmes. Pazymekime X(n) = Y1+ ...+Yn,
X(0) = 0. Sumos X(n) (n = 0, 1, ...) sudaro diskreciojo laiko homogenine‘
Markovo grandine‘. Jei atsisakytume reikalavimo, kad atsitiktiniai dydziai Yk
i‘gyja tik sveika
‘sias reiksmes, ju
‘sumos X(n)(n = 0, 1, ...) sudarytu
‘bendresni
‘diskreciojo laiko Markovo procesa
‘. Dar bendresni
‘Markovo procesa
‘gautume,
atsisake‘reikalavimo, kad dydziai Yk yra vienodai pasiskirste
‘.
Be Markovo procesu‘pastaruoju metu svarbu
‘vaidmeni
‘procesu
‘teorijoje
vaidina martingalai, i‘vesti 1929 m. Dubo1.
Tarkime, kad Ω,A, P yra tikimybine erdve T – netuscia realiu‘ju
‘skaiciu
‘aibe ir At, t ∈ T – σ algebru
‘sistema, tenkinanti sa
‘lygas As ⊂ At ⊂ A
visiems s, t ∈ T, s ≤ t. Realusis atsitiktinis procesas X(t), t ∈ T yravadinamas martingalu σ algebru
‘sistemos At atzvilgiu, jei
1) kiekvienam t ∈ T atsitiktinis dydis X(t) yra integruojamas ir At ma-tus;
2) visiems s, t ∈ T, s ≤ t, beveik visur
X(s) = M(X(t)|As
).
Antra‘ja
‘sa
‘lyga
‘galima uzrasyti ir kitu ekvivalenciu pavidalu: visiems s, t ∈
∈ T, s ≤ t, ir visoms aibems A ∈ As∫A
X(s, ω)P (dω) =∫A
X(t, ω)P (dω).
Jei antrojoje sa‘lygoje lygybes zenkla
‘pakeistume zenklu ≤, gautume sub-
martingala‘, o jei pakeistume zenklu ≥, gautume supermartingala
‘.
Jei At = σX(s), s ≤ t yra maziausia σ algebra, kurios atzvilgiuvisi X(t), s, t ∈ T, s ≤ t, yra matus, tai martingalai tos σ algebru
‘sistemos atzvilgiu tiesiog vadinami martingalais. Galima butu
‘i‘rodyti, kad
1 Joseph Leo Doob (g. 1910 m.) – amerikieciu‘matematikas.
Brauno ir Puasono procesai 253
kiekvienas martingalas σ algebru‘sistemos At, t ∈ T atzvilgiu yra martin-
galas pastara‘ja prasme. Tas pats tinka ir submartingalams bei supermartin-
galams.Paminesime paprasta
‘pavyzdi
‘, kuriuo remiantis buvo i
‘vesta martingalo
sa‘voka.
Tarkime, kad Yn yra seka nepriklausomu‘
integruojamu‘
atsitiktiniu‘
dydziu‘
su sa‘lygomis MYn = 0. Pazymekime ju
‘dalines sumas X(n) =
= Y1 + ...+ Yn. Is sa‘lyginiu
‘vidurkiu
‘savybiu
‘isplaukia, kad beveik visur
M(X(n+ 1)|Y1, ..., Yn
)= M
(X(n) + Yn+1|Y1, ..., Yn
)=
= X(n) +M(Yn+1|Y1, ..., Yn) = Xn +M(Yn+1) = X(n).
Nesunku suvokti, kad sa‘lyginius vidurkius Y1, ..., Yn atzvilgiu galime pakeisti
sa‘lyginiais vidurkiais X(1), ..., X(n) atzvilgiu.
Matome, kad seka X(n) (n = 1, 2, ...) yra martingalas.
19. BRAUNO IR PUASONO PROCESAI
Susipazinsime su dviem specialiais Markovo procesais: Brauno ir Puasono. Tai– palyginti gana paprasti procesai, bet labai placiai taikomi praktikoje. Jieturejo nemazai reiksmes bendrajai atsitiktiniu
‘procesu
‘raidai. Tiems proce-
sams apibrezti i‘vesime keleta
‘bendresniu
‘sa
‘voku
‘.
Atsitiktinis procesas X(t), t ∈ T ⊂ R, i‘gyjantis reiksmes is R, yra
vadinamas procesu su nepriklausomais pokyciais, jei bet kuriems tk ∈ T (k == 1, ..., n), t1 < ... < tn, atsitiktiniai dydziai
X(tn)−X(tn−1), X(tn−1)−X(tn−2), ..., X(t2)−X(t1)
yra nepriklausomi.Procesas su nepriklausomais pokyciais yra vadinamas homogeniniu, jei
bet kuriems t1, t2, t1 + t, t2 + t ∈ T atsitiktiniai dydziai
X(t2)−X(t1), X(t2 + t)−X(t1 + t)
yra vienodai pasiskirste‘, kitaip tariant, jei atsitiktinio dydzio X(t2)−X(t1)
pasiskirstymas priklauso tik nuo intervalo t2 − t1 ilgio, bet ne nuo paciu‘
t1 ir t2.Procesas su nepriklausomais pokyciais yra Markovo procesas. Jei kiekvie-
nam t ∈ T atsitiktinis dydis yra integruojamas, tai X(t) −MX(t), t ∈ Tyra martingalas. Galima i
‘rodyti, kad toks procesas egzistuoja.
(Vienamaciu) Brauno procesu vadinamas homogeninis procesas su nepri-klausomais pokyciais W (t), t ∈ [0,∞), kuriam P (W (0) = 0) = 1 ir betkuriems s, t, 0 ≤ s < t, pokytis W (t)−W (s) yra pasiskirste
‘s pagal normalu
‘ji‘
desni‘N(0, t− s).
254 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Sio proceso tyrimai turi ilgoka‘istorija
‘. 1827 m. R. Braunas1, stebedamas
pro mikroskopa‘
mazytes kietas daleles skystyje, pamate, kad jos labai ne-taisyklingai juda. Panasiai juda mazytes dulkeles ore. To proceso mechaniz-mo isaiskinimas buvo vienas is didziausiu
‘statistines mechanikos bei kinetines
teorijos laimejimu‘. Paaiskejo, kad netaisyklinga
‘daleliu
‘judejima
‘sukelia
aplinkos molekuliu‘bombardavimas. Brauno judejimo teorijos matematinius
pagrindus 1923 m. padejo N. Vyneris2, todel sis procesas daznai vadinamas jovardu. Veliau tas procesas buvo placiai pritaikytas i
‘vairiose srityse: kvantu
‘mechanikoje, statistikoje, radiotechnikoje ir t. t. Tik cia dazniausiai tenkakalbeti ne apie vienamati
‘, o trimati
‘procesa
‘, kuris nuo apibreztojo skiriasi
tik tuo, kad W (t) i‘gyja reiksmes erdveje R3, o jo komponentai yra nepriklau-
somi vienamaciai Brauno procesai.Brauno procesa
‘W (t), 0 ≤ t < ∞ galima nusakyti ir kaip homogenini
‘Markovo procesa
‘su perejimo funkcija
p(t, x, E) =∫E
ϕ(t, x, y)dy,
kai ϕ(t, x, y) yra parabolines diferencialines lygties
(1)∂ϕ
∂t=
12∂2ϕ
∂x2
fundamentalusis sprendinys. Jis lygus
ϕ(t, x, y) =1√2πt
exp(− (y − x)2
2t
).
(1) lygtis yra specialus atvejis lygciu‘, kurias tenkina gana placios Markovo
procesu‘klases perejimo funkcijos.
Brauno procesas nera toks paprastas, kaip gali atrodyti. Galima i‘rodyti,
kad su tikimybe 1 Brauno proceso trajektorijos yra tolydzios, bet visuosetaskuose nediferencijuojamos funkcijos.
Panagrinesime kiek detaliau kita‘
– Puasono procesa‘. Taip vadinsime
homogenini‘
tolydaus laiko procesa‘X(t), t ∈ [0,∞) su nepriklausomais
pokyciais, jei X(t)−X(0) yra pasiskirste‘s pagal Puasono desni
‘su parametru
λt. Cia λ yra teigiamas skaicius; jis vadinamas proceso intensyvumu. Delpaprastumo laikysime P (X(0) = 0) = 1.
Tokio proceso egzistavimas isplaukia is Kolmogorovo teoremos, nes poky-cio nepriklausomumas ir proceso homogeniskumas bei pokycio pasiskirstymaspagal Puasono desni
‘indukuoja suderintus baigtiniamacius pasiskirstymus.
1 Robert Brown (1773–1858) – anglu‘botanikas.
2 Norbert Wiener (1894–1964) – amerikieciu‘matematikas.
Brauno ir Puasono procesai 255
Puasono procesas gerai atitinka daugeli‘realiu
‘procesu
‘. Paminesime keleta
‘pavyzdziu
‘. Skaicius radioaktyviosios medziagos atomu
‘, suskilusiu
‘per laiko-
tarpi‘(0, t], yra atsitiktinis procesas, kurio matematinis modelis gali buti Pua-
sono procesas. Duota sudetinga radiotechnine schema is vienodu‘
detaliu‘.
Skaicius detaliu‘, kurios sugenda per laikotarpi
‘(0, t], taip pat daznai ap-
rasomas Puasono procesu. Taip pat galima aprasyti matematiskai telefonoskambuciu
‘gelezinkelio stoties informacineje per ilgio t laikotarpi
‘, sakysime,
mazdaug tuo paciu darbo dienos metu (i‘vairiu paros metu, aisku, skambuciu
‘skaicius bus skirtingai pasiskirste
‘s – nakti
‘ju
‘bus maziau).
Puasono procesa‘galime gauti pagal sitokia
‘schema
‘.
Sakykime, tiriame atsitiktini‘i‘vyki
‘A – stebime jo i
‘vykimus laiko inter-
vale (0,∞). Pazymekime X(t) to i‘vykio i
‘vykimu
‘skaiciu
‘laikotarpiu (0, t]. Tai
gali buti, pavyzdziui, skaicius suskilusiu‘radioaktyviosios medziagos atomu
‘,
sugedusiu‘radiotechnines schemos detaliu
‘, telefono skambuciu
‘ir pan. Vadi-
nasi, X(t) i‘gis tik sveika
‘sias neneigiamas reiksmes. Susitarsime laikyti
P (X(0) = 0) = 1. Pareikalausime, kad butu‘tenkinamos sa
‘lygos.
1. Procesas turi buti su nepriklausomais pokyciais, t. y. i‘vykio A i
‘vy-
kimu‘
skaiciai per i‘vairius vienas kito nedengiancius laiko tarpus turi buti
nepriklausomi atsitiktiniai dydziai.2. Jis turi buti homogeninis, t. y. tikimybe, kad i
‘vykis A i
‘vyks kuri
‘nors
skaiciu‘kartu
‘, turi priklausyti tik nuo stebejimo trukmes.
3. Kai t→ 0,
P(X(t) > 1
)= o(t);
tai reiskia, kad per trumpa‘laiko tarpa
‘i‘vykis A praktiskai negali i
‘vykti dau-
giau kaip viena‘karta
‘.
Atkreipsime demesi‘, kad si sa
‘lyga Puasono proceso atveju isplaukia is jo
apibrezimo. Turime
P(X(t) > 1
)= e−λt
∞∑k=2
(λt)k
k!<
< e−λt(λt)2
2
∞∑k=2
(λt)k−2
(k − 2)!= (λt)2/2 = o(t).
4. Visiems t > 0 turi buti teisinga nelygybe
0 < P(X(t) > 0
)< 1.
Tiesa‘pasakius, kaip veliau matysime, uztenka reikalauti, kad
0 < P(X(1) > 0
)< 1.
Sia sa‘lyga atmetami atvejai, kai i
‘vykis A su tikimybe 1 negali i
‘vykti per joki
‘laikotarpi
‘arba kai jis su tikimybe 1 per bet kuri
‘laikotarpi
‘i‘vyksta be galo
daug kartu‘.
256 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
I‘rodysime, kad visos tos sa
‘lygos nusako Puasono procesa
‘. Tuo tikslu reikes
i‘rodyti, kad
pk(t) = P(X(t) = k
)=
(λt)k
k!e−λt (k = 0, 1, ...);
cia λ yra kokia nors teigiama konstanta.Is uzrasytu
‘ju
‘sa
‘lygu
‘isplaukia, kad
(2) pk(0) = 1, kai k = 0,
0, kai k ≥ 1.
Remdamiesi 4 sa‘lyga, pazymekime
p0(1) = 1− P(X(1) > 0
)= e−λ;
cia λ yra teigiama konstanta.I‘vykis A ne karto nei
‘vyks laikotarpiu (0, l/n], jei jis ne karto nei
‘vyks
laikotarpiais (0,
1n
],( 1n,2n
], ...,
( l − 1n
,l
n
].
Todel is 1 ir 2 sa‘lygu
‘isplaukia
P
(X( ln
)= 0)
= P
( l⋂j=1
X( jn
)−X
(j − 1n
)= 0)
=
= P l(X( 1n
)= 0).
Kai l = n,
P(X(1) = 0
)= e−λ = pn0
( 1n
).
Todel
p0
( 1n
)= e−λ/n, p0
( ln
)= e−λl/n.
Vadinasi, bet kuriam neneigiamam racionaliajam skaiciui r
p0(r) = e−λr.
Tarkime, kad t yra bet kuris realusis neneigiamas skaicius, nebutinai racio-nalusis. Galesime rasti du racionaliuosius skaicius r1 ir r2, tenkinancius ne-lygybes 0 ≤ r1 ≤ t ≤ r2. Kadangi p0(t) yra nedidejanti funkcija, tai
Brauno ir Puasono procesai 257
p0(r1) ≥ p0(t) ≥ p0(r2),
vadinasi,
e−λr1 ≥ p0(t) ≥ e−λr2 .
Taciau racionaliuosius skaicius r1, r2 galime parinkti kiek norima artimusskaiciui t. Todel visiems neneigiamiems t
(3) p0(t) = e−λt.
Tirsime pk(t), kai k ≥ 1. I‘vyki
‘, kai A laikotarpiu (0, t + ∆t] i
‘vyksta k
kartu‘, galima suskaidyti i
‘k+1 atveju
‘: laikotarpiu (0, t] jis i
‘vyksta k kartu
‘, o
laikotarpiu (t, t+∆t] – ne karto; laikotarpiu (0, t] tas i‘vykis i
‘vyksta k−1 kartu
‘,
o laikotarpiu (t, t+∆t] – viena‘karta
‘; ...; laikotarpiu (0, t] i
‘vykis A nei
‘vyksta
ne karto, o laikotarpiu (t, t+ ∆t] i‘vyksta k kartu
‘. Is tikimybes adityvumo ir
proceso homogeniskumo bei pokyciu‘nepriklausomumo isplaukia
pk(t+ ∆t) =k∑j=0
pj(t)pk−j(∆t).
Is (3) sa‘lygos
pj(∆t) = o(∆t),
kai ∆t→ 0 ir j > 1. Todel
pk(t+ ∆t) = p0(∆t)pk(t) + p1(∆t)pk−1(t) + o(∆t).
Be to, is lygybes
P(X(∆t) = 0
)+ P
(X(∆t) = 1
)+ P
(X(∆t) > 1
)= 1,
3 sa‘lygos ir (3) gauname
p1(∆t) = 1− p0(∆t) + o(∆t) = 1− e−λ∆t + o(∆t).
Vadinasi,
pk(t+ ∆t) = e−λ∆tpk(t) + (1− e−λ∆t)pk−1(t) + o(∆t).
Is cia gauname lygybe‘
pk(t+ ∆t)− pk(t)∆t
=e−λ∆t − 1
∆t(pk(t)− pk−1(t)
)+ o(1).
258 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Toje lygybeje pereiname prie ribos, kai ∆t → 0. Kadangi desiniosios pusesriba egzistuoja, tai turi egzistuoti ir kairiosios. Gauname sistema
‘diferencia-
liniu‘lygciu
‘
(4)dpk(t)dt
= −λpk(t) + λpk−1(t) (k = 1, 2, ...).
Pakeisime
pk(t) = e−λtvk(t).
(2) pradines sa‘lygos virs sitokiomis:
vk(0) = 1. kai k = 0,
0, kai k ≥ 1.
(4) lygtys bus pavidalo
dvk(t)dt
= λvk−1(t) (k = 1, 2, ...),
be to, pagal (3) bus v0(t) = 1. Is eiles spre‘sdami tas lygtis, gausime
v1(t) = λt, v2(t) =(λt)2
2!, ..., vk(t) =
(λt)k
k!.
Vadinasi,
pk(t) =(λt)k
k!e−λt (k = 1, 2, ...).
Nesunku suvokti, kad Puasono procesa‘
galima traktuoti kaip tolygauslaiko homogenini
‘Markovo procesa
‘X(t), 0 ≤ t < ∞ su busenu
‘aibe
0, 1, ... ir perejimo tikimybemis
pjk(t) = P(X(t0 + t) = k|X(t0) = j
)=
=P(X(t0) = j,X(t0 + t)−X(t0) = k − j
)P(X(t0) = j
) =
= P(X(t0 + t)−X(t0) = k − j
)=
(λt)k−j
(k − j)!e−λt,
kai k ≥ j, ir pij(t) = 0, kai k < j.Paminesime dar viena
‘Puasono proceso konstravimo buda
‘. Sakykime,
duota seka nepriklausomu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘ξ1, ξ2, ..., turinciu
‘ta
‘pati
‘eks-
ponentini‘pasiskirstyma
‘(zr. II.5.9 pvz.) su tankio funkcija
Brauno ir Puasono procesai 259
q(x) = 0, kai x ≤ 0,λe−λx, kai x > 0;
cia λ – teigiama konstanta. Konstruosime procesa‘X(t), 0 ≤ t <∞. Imame
X(0) = 0. PazymekimeX(t) skaiciu‘tasku
‘su koordinatemis τ1 = ξ1, τ2 = ξ1+
+ξ2, ..., τk = ξ1 + ...+ ξk, ... intervale (0, t]. Parodysime, kad X(t), 0 ≤ t <<∞ yra Puasono procesas.
Apskaiciuosime tikimybe‘pk(t) = P (X(t) = k). Realiesiems u imkime
integrala‘
(5)∫ ∞
0
eiux−λxdx =1
λ− iu.
Vadinasi, kiekvieno is atsitiktiniu‘dydziu
‘ξk charakteristine funkcija
fξk(u) =
λ
λ− iu,
o sumos τk charakteristine funkcija
fτk(u) = fkξ1(u) =
λk
(λ− iu)k.
Diferencijuodami (5) lygybe‘k − 1 kartu
‘pagal parametra
‘λ, gauname∫ ∞
0
xk−1eiux−λxdx =(k − 1)!(λ− iu)k
.
Todel sumos τk tankio funkcija
qτk(u) =
0, kai x ≤ 0,λkxk−1
(k − 1)!e−λx, kai x > 0.
Intervale (0, t] turime k nagrinejamu‘tasku
‘tada ir tik tada, kai τk ≤ t ir
τk+1 = τk + ξk+1 > t. Todel
pk(t) = P (τk ≤ t, τk + ξk+1 > t) = P (τk ≤ t, ξk+1 > t− τk).
Taciau dydziai τk ir ξk+1 yra nepriklausomi. Vadinasi,
pk(t) =∫ t
0
∫ ∞
t−xqτk
(x)q(y)dxdy =
=λk
(k − 1)!
∫ t
0
xk−1e−λxdx
∫ ∞
t−xλe−λydy =
=λk
(k − 1)!e−λt
∫ t
0
xk−1dx =(λt)k
k!e−λt.
260 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
Nesunku patikrinti, kad procesas X(t), 0 ≤ t <∞ yra homogeninis irturi nepriklausomus pokycius. Vadinasi, jis yra Puasono procesas.
20. DAUGINIMOSI IR NYKIMO PROCESAS
Siek tiek apibendrinsime praeitame skyrelyje aprasyta‘ja
‘schema
‘. Sakykime,
turime automatine‘telefono stoti
‘, kuria
‘jungia su abonentais daugybe liniju
‘.
Kartkartemis abonentai naudojasi telefonu. Uzimtu‘
liniju‘
skaicius nuolatkeiciasi. Svarbu zinoti ne tik kiek abonentu
‘naudojasi telefonu per kuri
‘nors
laiko tarpa‘, bet ir kiek liniju
‘yra uzimtos konkreciu momentu. Panasiai yra
ir kitose masinio aptarnavimo sistemose: gelezinkelio, aviacijos, autobusu‘ir
t. t. bilietu‘kasose, parduotuvese ir pan. Cia kreipiasi vis nauji klientai, jie
aptarnaujami, o laukianciu‘eilese klientu
‘skaicius nuolat kinta.
Panasus klausimai iskyla ir biologijoje, nagrinejant kurios nors populiaci-jos didumo kitima
‘: gimsta nauji individai, kiti mirsta.
Tokiems procesams aprasyti daznai tinka dauginimosi ir nykimo proce-sas, kuri
‘dabar nagrinesime. Kalbesime apie signalus, kurie atsiranda arba
isnyksta. Pazymesime X(t) signalu‘
skaiciu‘
laiko momentu t. Tarsime, kadsignalu
‘skaicius nera ribotas (idealizacija!). Vadinasi, kalbesime apie atsitiktini
‘procesa
‘X(t), 0 ≤ t <∞, kurio busenu
‘aibe yra 0, 1, 2, .... Reikalausime,
kad butu‘tenkinamos sitokios sa
‘lygos.
1. Procesas turi buti su nepriklausomais pokyciais.2. Jis turi buti homogeninis.3. Jei momentu t yra k signalu
‘, tai tikimybe naujam signalui atsirasti ir
ne vienam neisnykti laikotarpiu (t, t+ ∆t] yra
λk∆t+ o(∆t),
kai ∆t→ 0. Jei momentu t yra k signalu‘, tai tikimybe vienam is ju
‘isnykti ir
neatsirasti ne vienam naujam signalui laikotarpiu (t, t+ ∆t] yra
µk∆t+ o(∆t),
kai ∆t → 0. Cia λk ir µk yra neneigiami skaiciai. Tikimybe, kad laikotarpiu(t, t + ∆t] atsiras ne maziau kaip k nauju
‘signalu
‘ir isnyks ne maziau kaip l
signalu‘, yra o(∆t), kai k + l ≥ 2 ir ∆t→ 0.
Turime tolydaus laiko homogenine‘
Markovo grandine‘
su busenu‘
aibe0, 1, .... Perejimo tikimybes pjk(t) tenkina sa
‘lygas (plg. 18 skyrelio (2)
sa‘lygas)
pjk(∆t) = o(∆t), kai |j − k| ≥ 2,
pk,k+1(∆t) = λk∆t+ o(∆t), kai k = 0, 1, ...,
pk,k−1(∆t) = µk∆t+ o(∆t), kai k = 1, 2, ...,
pkk(∆t) = 1− (λk + µk)∆t+ o(∆t), kai k = 0, 1, ...;
Dauginimosi ir nykimo procesai 261
cia visur ∆t→ 0;µ0 = 0. Be to, reikalausime, kad butu‘pjk(0) = 0, kai j 6= k,
ir pkk(0) = 1. Gauname tiesioginiu‘diferencialiniu
‘lygciu
‘sistema
‘
p′0k(t) = −λ0p0k(t) + λ0p1k(t) (k = 0, 1, ...),
p′jk(t) = µkpj−1,k(t)− (λj + µj)pjk(t) + λkpj+1,k(t)
(j = 1, 2, ...; k = 0, 1, ...)
ir atvirkstiniu‘
p′j0(t) = −λ0pj0(t) + µ1pj1(t) (j = 0, 1, ...),
p′jk(t) = λk−1pj,k−1(t)− (λk + µk)pjk(t) + µk+1pj,k+1(t)
(j = 0, 1, ...; k = 1, 2, ...).
Pazymeje‘pk(t) tikimybe
‘, kad laiko momentu t bus k signalu
‘, turime diferen-
cialiniu‘lygciu
‘sistema
‘
p′0(t) = −λ0p0(t) + µ1p1(t),
p′k(t) = λk−1pk−1(t)− (λk + µk)pk(t) + µk+1pk+1(t)
(k = 1, 2, ...).
Procesui apibrezti dar reikia pradiniu‘tikimybiu
‘pk(0).
Bendruoju atveju tas lygciu‘
sistemas sunkoka isspre‘sti. Taciau to ir
nereikia, kai mums rupi tikimybiu‘pjk(t) ir pk(t) kitimo pobudis dideliems
t. Galima i‘rodyti, kad egzistuoja ribos
limt→∞
pjk(t) = p∗k (j = 0, 1, ...; k = 0, 1, ...),
nepriklausancios nuo j ir tenkinancios lygtis
− λ0p∗0 + µ1p
∗1 = 0,
λk−1p∗k−1 − (λk + µk)p∗k + µk+1p
∗k+1 (k = 1, 2, ...).
Is cia indukcijos metodu gauname
µkp∗k = λk−1p
∗k−1 (k = 1, 2, ...).
Jei µk > 0 visiems k = 1, 2, ..., tai
p∗k = p∗0λ0
µ1· λ1
µ2· · · λk−1
µk(k = 1, 2, ...).
Seka p∗k nusako stacionaru‘ji‘
pasiskirstyma‘, kai visu
‘p∗k suma lygi 1. Jei
eilute
262 Atsitiktiniu‘dydziu
‘sekos. Atsitiktiniai procesai
(1)∞∑n=1
λ0λ1...λn−1
µ1µ2...µn
konverguoja, tai
p∗k =
λ0λ1...λk−1
µ1µ2...µk
1 +∞∑n=1
λ0λ1...λn−1
µ1µ2...µn
(k = 1, 2, ...).
Jei (1) eilute diverguoja, tai butinai p∗k = 0. Tada ribinis stacionarusis pa-siskirstymas neegzistuoja.
Panagrinesime specialu‘
dauginimosi ir nykimo procesa‘, kuris svarbus
masinio aptarnavimo teorijoje. Sakykime, turime sistema‘, kuri vienu metu
gali aptarnautim klientu‘. Tarkime, jog sistemoje is viso yram liniju
‘ir klienta
‘gali aptarnauti bet kuri laisva linija. Jei visos linijos uzimtos, tai klientas liekaneaptarnautas ir jis is aptarnavimo sistemos iskrenta (eiliu
‘nera).
Mums rupi uzimtu‘liniju
‘skaicius, kuri
‘laiko momentu t zymesime X(t).
Taigi busenu‘aibe yra 0, 1, ...,m. Laikysime, kad procesas tenkina daugini-
mosi ir nykimo proceso sa‘lygas su λk = λ0 > 0 (k = 1, 2, ...,m − 1), λk =
= 0 (n = m,m+ 1, ...), µk = kµ (k = 1, ...,m), µ > 0, µk = 0 (k = m+ 1, ...).Siuo atveju ribinis stacionarusis pasiskirstymas egzistuoja ir ribines tiki-mybes yra
p∗k =
1k!
(λµ
)km∑n=0
1n!
(λµ
)n (k = 0, 1, ...,m).
Tos formules vadinamos ju‘autoriaus – vieno is masinio aptarnavimo teorijos
pionieriu‘– Erlango1 vardu.
1 Agner Krarup Erlang (1878–1929) – danu‘mokslininkas.
IV skyrius. MATEMATINES STATISTIKOS
PRADMENYS
1. MATEMATINES STATISTIKOS UZDAVINIAI
Matematine statistika nagrineja stebejimo rezultatu‘matematinio aprasymo
ir analizavimo budus. Tipiskas matematines statistikos uzdavinys gali butinusakytas sitaip. Sakykime, turime aibe
‘objektu
‘, kuriuos tiriame pagal ku-
riuos nors pozymius, o pacius pozymius galime charakterizuoti skaiciais.Tu
‘skaiciu
‘arba vektoriu
‘(jei tiriame keleta
‘pozymiu
‘) aibe
‘i‘prasta vad-
inti generaline aibe. Paprastai tiriamojo pozymio pasiskirstymas generalinejeaibeje nera zinomas. Norint ji
‘nustatyti, reiketu
‘istirti visus generalines
aibes objektus. Tai gali pareikalauti daug darbo ir lesu‘, o kartais toks tyri-
mas is principo nera galimas. Tarkime, kad automatines stakles gaminakokias nors pigias detales. Mums rupi tu
‘detaliu
‘svorio pasiskirstymas vi-
soje vienos dienos produkcijoje. Tektu‘
sverti kiekviena‘
detale‘. Sis darbas
kainuotu‘daugiau negu pati detaliu
‘partija. Kitas pavyzdys. Fabrikas gamina
elektros lemputes. Reikia suzinoti, kiek laiko vidutiniskai jos dega. Norintpatikrinti visu
‘per diena
‘pagamintu
‘lempuciu
‘degimo trukme
‘, reiketu
‘jas
zibinti tol, kol perdegs. Taip sugadintume visa‘produkcija
‘. Todel elgiamasi
kitaip: atsitiktinai parenkama generalines aibes objektu‘
dalis, istiriamasreikiamo pozymio pasiskirstymas tame poaibyje ir is jo sprendziama apieto pozymio pasiskirstyma
‘visoje generalineje aibeje. Parinktoji generalines
aibes dalis vadinama imtimi. Taikant matematines statistikos metodus,galima i
‘vertinti tiriamojo pozymio pasiskirstyma
‘generalineje aibeje, kai
zinomas to pozymio pasiskirstymas imtyje.Matematines statistikos metodai tinka tik tada, kai imtis yra reprezen-
tatyvi, t. y. kai ji teisingai atspindi tiriamojo pozymio galimu‘reiksmiu
‘pro-
porcijas generalineje aibeje.Imti
‘galima sudaryti i
‘vairiai. Galima atsitiktinai imti kuri
‘nors generali-
nes aibes objekta‘, po to gra
‘zinti ji
‘i‘generaline
‘aibe
‘ir toliau vel atsitiktinai
imti bet kuri‘
tos aibes objekta‘. Taciau galima kiekvieno parinkto objekto
i‘
generaline‘
aibe‘
nebegra‘zinti. Parinkimai gali buti nepriklausomi, bet gali
buti ir priklausomi.Matematineje statistikoje stengiamasi imtis aprasyti atsitiktiniu
‘dydziu
‘terminais. Paprasciausiu atveju tinka sitokia schema. Tiriame atsitiktini
‘dydi
‘su nezinoma pasiskirstymo funkcija. Stebime ta
‘dydi
‘n kartu
‘. Gauname n
stebejimo rezultatu‘– imti
‘. Is jos reikia spre
‘sti apie nezinoma
‘pasiskirstymo
funkcija‘. Toliau visur stebejimus laikysime nepriklausomais. Sudarysime vie-
namacio atsitiktinio dydzio n nepriklausomu‘stebejimu
‘matematini
‘modeli
‘.
264 Matematines statistikos pradmenys
Kaip zinome, atsitiktinis dydis yra mati funkcija, atvaizduojanti pirmykste‘
tikimybine‘erdve
‘macioje erdveje R,B. Taciau tiriant to dydzio reiksmiu
‘pasiskirstyma
‘, nebutina zinoti pirmykstes tikimybines erdves – galima ope-
ruoti erdve R,B ir atsitiktinio dydzio indukuotu tikimybiniu pasiskirstymutoje erdveje (zr. II.2 skyreli
‘).
Sakykime, stebime atsitiktini‘
dydi‘, indukuojanti
‘tikimybine
‘erdve
‘R,B, Pθ. Apie to dydzio tikimybini‘pasiskirtyma
‘Pθ zinome tik tiek, kad
jis priklauso pasiskirstymu‘klasei Pθ, θ ∈ Θ; cia Θ gali buti realiu
‘ju
‘skaiciu
‘,
arba erdves Rs, s > 1, tasku‘, arba ir dar sudetingesne aibe. Sakykime, zinome,
kad stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal Puasono desni
‘su
nezinomu parametru λ; tada aibe Θ galime laikyti visu‘
realiu‘ju
‘teigiamu
‘skaiciu
‘aibe
‘(0,∞). Jei atsitiktinis dydis pasiskirste
‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘N(a, σ2) su nezinomu vidurkiu a ir nezinoma dispersija σ2, tai aibe Θ galibuti erdves R2 aibe R × (0,∞). Taciau apie atsitiktini
‘dydi
‘galime tureti ir
maziau informacijos. Sakysime, galime zinoti, tik kad jis yra diskretusis arbatolydusis. Tada Θ teks laikyti daug sudetingesne aibe.
Atsitiktinio dydzio n stebejimu‘
bus n-matis atsitiktinis vektorius X == (X1, ..., Xn). Kadangi stebejimai yra nepriklausomi, tai X1, ..., Xn busnepriklausomi atsitiktiniai dydziai. X pasiskirstyma
‘nusakys jo indukuota
tikimybine erdve
Rn,Bn,Pθ = Rn,Bn, Pnθ = R,B, Pθn
(zr. V.10 skyreli‘). Atsitiktinis dydis Xk atitinka k-a
‘ji‘stebejima
‘, o vektorius
X = (X1, ..., Xn) yra atsitiktine, arba matematine, imtis. Konkreti to vek-toriaus reiksme x = (x1, ..., xn) yra konkreti imtis arba atsitiktines imtiesX = (X1, ..., Xn) realizacija. Erdve R,B, Pθn paprastai vadinama imciu
‘erdve.
Kartais stebejimu‘skaicius n yra labai didelis. Tada tikslinga kalbeti apie
begaline‘nepriklausomu
‘stebejimu
‘seka
‘. Jos matematinis modelis yra erdve
R,B, Pθ∞. Kiekvienam n erdve‘R,B, Pθn galima traktuoti kaip begalines
erdviu‘sandaugos poerdvi
‘.
Didzioji dalis klausimu‘, kuriuos tenka spre
‘sti matematineje statistikoje,
yra dvieju‘tipu
‘.
1. I‘v e r t i n i m u
‘t e o r i j a. Jos tikslas – nurodyti metodus, kuriais ga-
lima butu‘i‘vertinti stebimojo atsitiktinio dydzio pasiskirstymo funkcija
‘arba
kitas pasiskirstymo charakteristikas: vidurki‘, dispersija
‘ir pan. Daznai, re-
miantis kokiais nors teoriniais samprotavimais ar praktine patirtimi, galimateigti, kad pasiskirstymo funkcija yra zinomo analizinio pavidalo, bet pri-klauso nuo vieno arba keliu
‘nezinomu
‘parametru
‘θ. Reikia tuos parametrus
i‘vertinti.
Panagrinesime pavyzdi‘. Metame moneta
‘. Realios monetos nera simet-
riskos. Is stebejimo rezultatu‘
reikia i‘vertinti herbo atsivertimo tikimybe
‘p.
Su monetos metimu galime susieti atsitiktini‘dydi
‘, i
‘gyjanti
‘reiksme
‘1, kai at-
sivercia herbas, ir 0, kai atsivercia kita monetos puse. To dydzio pasiskirstymo
Atsitiktinio dydzio empirines charakteristikos 265
funkcija(1− p)ε(y) + pε(y − 1)
priklauso nuo nezinomo parametro p; cia ε(y) yra III.7.2 teoremos i‘rodyme
nusakyta vienetine pasiskirstymo funkcija.Suprantama, is stebejimo rezultatu
‘negalime tiksliai nusakyti nezinomu
‘pasiskirstymo charakteristiku
‘, galime tik apytiksliai jas i
‘vertinti.
2. H i p o t e z i u‘
t i k r i n i m a s. Bet kokia‘prielaida
‘apie stebimojo
atsitiktinio dydzio pasiskirstymo desni‘vadiname statistine hipoteze. Reikia
patikrinti, ar stebejimo duomenys nepriestarauja tai prielaidai. Matematiskaita
‘uzdavini
‘galime formuluoti sitaip. Tarkime, kad stebimojo atsitiktinio
dydzio pasiskirstymas Pθ priklauso klasei Pθ, θ ∈ Θ. Statistine hipotezevadinsime prielaida
‘, kad θ ∈ Θ0; cia Θ0 yra aibes Θ tikrinis poaibis. Rasoma
H : θ ∈ Θ0. Hipoteze vadinama paprasta‘ja, kai Θ0 yra sudaryta tik is
vieno elemento, ir sudetinga‘ja, kai aibeje Θ0 yra daugiau elementu
‘. Tikri-
namoji hipoteze, kad θ ∈ Θ0, dar vadinama nuline hipoteze H0, o hipotezeH1 : θ ∈ Θ\Θ0 vadinama alternatyvia
‘ja hipoteze, arba tiesiog alternatyva.
Gri‘zkime prie jau mineto pavyzdzio apie moneta
‘. Hipoteze p = 1/2 (mo-
neta simetriska) yra paprastoji; jos alternatyva yra p 6= 1/2. Hipoteze p > 1/2yra sudetingoji.
Cia paminejome tik pora‘pagrindiniu
‘matematines statistikos uzdaviniu
‘–
su kitais susipazinsime kituose skyreliuose. Taciau ir ten pateiksime tik maza‘
dali‘uzdaviniu
‘, kuriuos nagrineja matematine statistika. Sis skyrius yra tik
trumpas i‘vadas i
‘matematines statistikos idejas ir metodus.
2. ATSITIKTINIO DYDZIO EMPIRINESCHARAKTERISTIKOS
Statistinems isvadoms daryti is stebejimo rezultatu‘
naudojamos i‘vairios
imties funkcijos, is tradicijos vadinamos statistikomis. Su jomis tenka at-likineti algebrines bei analizines operacijas. Todel naturalu reikalauti, kadtos funkcijos butu
‘macios. Apibresime jas tiksliai.
Tarkime, kad, be erdves R,B, Pθn, tiriame dar ir macia‘erdve
‘Γ, E,
ir funkcija T : Rn → Γ yra (Bn, E) mati, t. y. T−1(A) ∈ Bn kiekvienaiA ∈ E . Tada imties funkcija T (X) = T (X1, ..., Xn) yra vadinama statistika.Paprastai erdve Γ, E yra Rs,Bs, atskiru atveju R,B. Todel statistikaT (X) yra daugiamatis, arba atskiru atveju vienamatis, atsitiktinis dydis. Kaix = (x1, ..., xn) yra konkreti imtis, T (x) = T (x1, ..., xn) yra konkreti statis-tikos reiksme, jos realizacija.
Viena is pagrindiniu‘
statistiku‘
yra vadinamoji empirine pasiskirstymofunkcija Fn(y). Ji apibreziama sitaip:
Fn(y) =1n
∑Xk<y
1,
266 Matematines statistikos pradmenys
kitaip tariant, tai yra mazesniu‘
uz y imties elementu‘Xk skaicius, padaly-
tas is n. Ta‘funkcija
‘galime ir kitaip apibrezti. Surasykime imties elementus
didejancia tvarka. Gausime vadinama‘ja
‘variacine
‘seka
‘
X∗1 ≤ X∗
2 ≤ ... ≤ X∗n.
Tarkime, kad Y1 < Y2 < ... < Yr yra skirtingi imties elementai, pasikarto-jantys atitinkamai N1, N2, ..., Nr kartu
‘. Tada empirine
‘pasiskirstymo funkcija
‘galime uzrasyti pavidalu
Fn(y) =∑Yk<y
Nkn.
Atkreipsime demesi‘, kad sioje formuleje Nk ir r yra atsitiktiniai dydziai.
Pasiskirstymo funkcija kiekvienam y ∈ R, aisku, yra atsitiktinis dydis. Jei(x1, ..., xn) yra konkreti imtis, tai Fn(y) realizacija bus pasiskirstymo funkcija
Fn(y) =1n
∑xk<y
1 =∑ym<y
nmn
;
cia y1, ..., ys – skirtingi variacines sekos realizacijos elementai, pasikartojantysatitinkamai n1, ..., nr kartu
‘.
Apibresime empirinius momentus. Analogiskai II.9 skyreliui (pradiniu)empiriniu l-uoju momentu vadinsime
Al =∫ ∞
−∞yldFn(y) =
1n
n∑k=1
X lk (l = 1, 2, ...).
Visi jie, aisku, egzistuoja. Pirmasis empirinis momentas, arba empirinisvidurkis, paprastai zymimas X:
X =X1 + ...+Xn
n.
l-uoju empiriniu centriniu momentu vadinsime
Ml =∫ ∞
−∞(y − X)ldFn(y) =
1n
n∑k=1
(Xk − X)l (l = 1, 2, ...).
Antra‘ji‘empirini
‘centrini
‘momenta
‘, arba empirine
‘dispersija
‘, zymesime
S2 =1n
n∑k=1
(Xk −X)2.
Is dispersijos savybiu‘(zr. II.9 skyreli
‘) isplaukia
Atsitiktinio dydzio empirines charakteristikos 267
S2 =1n
n∑k=1
X2k − X2.
Dydis
S =( 1n
n∑k=1
(Xk − X)2)1/2
vadinamas empiriniu vidutiniu kvadratiniu, arba empiriniu standartiniu,nuokrypiu. Visi tie dydziai yra atsitiktiniai. Konkrecioms imtims (x1, ..., xn)gauname tu
‘dydziu
‘realizacijas
al =1n
n∑k=1
xlk (l = 1, 2, ...),
x =x1 + ...+ xn
n,
ml =1n
n∑k=1
(xk − x)l (l = 1, 2, ...),
s2 =1n
n∑k=1
(xk − x)2,
s =( 1n
n∑k=1
(xk − x)2)1/2
.
Tarkime, kad 0 < p < 1. Empiriniu p-kvantiliu laikome atsitiktini‘dydi
‘
Xp = X∗[np]+1;
cia [np] yra skaiciaus np sveikoji dalis, o X∗[np]+1 – variacines sekos narys su
numeriu [np] + 1 . Kai p = 1/2, turime empirine‘
mediana‘; kai p = 1/4, 3/4,
turime apatini‘
ir virsutini‘
empirinius kvartilius. Kartais dar vartojami em-piriniai deciliai, procentiliai ir pan.
Paminesime dar viena‘empirine
‘charakteristika
‘– imties ploti
‘
max1≤k≤n
Xk − min1≤k≤n
Xk = X∗n −X∗
1 .
Vartojamos ir kitokios empirines charakteristikos.
268 Matematines statistikos pradmenys
3. STEBEJIMO DUOMENU‘
GRUPAVIMAS
Stebejimo duomenys retai buna ”grazus” skaiciai. Tokie jie buna tik viduriniu‘
mokyklu‘matematikos uzdavinynuose, o praktiniuose uzdaviniuose – papras-
tai labai ”negrazus”. Todel, kai stebejimo duomenu‘daug, juos apdoroti gana
sunku. Skaiciavimams palengvinti stebejimo duomenys paprastai apvalinamiir grupuojami.
Intervalas, kuriame telpa stebejimo duomenys x1, ..., xn, paprastai skaido-mas i
‘intervalus [τl−h/2, τl+h/2); cia τl = τ0+hl(l = 0,±1, ...), h – atitinka-
mai parinktas skaicius. Duomenys, pateke‘
i‘
intervala‘
[τl − h/2, τl + h/2),pakeiciami skaiciais τl. Taip elgiantis, galima gerokai suprastinti skaiciavimus,jei tik skaiciai τ0 ir h tinkamai parinkti. Skaicius τl reikia parinkti kuo”grazesnius”. Kuo skaicius h bus didesnis, tuo paprastesni skaiciavimai,bet tuo didesne bus padaryta paklaida. Ir atvirksciai, kuo mazesnis h, tuoskaiciavimai sudetingesni, bet paklaida mazesne.
Panagrinesime, kaip apskaiciuojami empiriniai momentai, naudojantissugrupuotais duomenimis. Pradinius momentus, gautus is sugrupuotu
‘duo-
menu‘, zymesime a′j , centrinius momentus – m′
j . Tarkime, kad intervale[τl − h/2, τl + h/2) yra nl stebejimo duomenu
‘. Tada
a′j =1n
∑l
nlτjl ;
sumuojame pagal visus intervalus, kuriuose yra stebejimo duomenu‘. Analo-
giskai
m′j =
1n
∑l
nl(τl − a′1)j .
Tos formules rodo, kad skaiciavimai su sugrupuotais duomenimis yra pa-prastesni. Taciau, kaip minejome, padarome paklaidas. Separdas1 pasiuleapytiksles formules
m′j ≈
1j + 1
[j/2]∑r=0
(j + 12r + 1
)(h2
)2r
mj−2r,
kuriomis naudojantis, dazniausiai pasitaikanciais atvejais gaunamos mazesnespaklaidos. Is cia, pasinaudoje
‘rysiu tarp centriniu
‘ir pradiniu
‘momentu
‘,
galime gauti ir apytiksles formules pradiniams momentams. Tu‘
formuliu‘
pagrindima‘galima rasti [6] knygoje. Is ju
‘gauname
1 W. F. Sheppard – anglu‘statistikas.
Stebejimo duomenu‘grupavimas 269
a1 ≈ a′1,
a2 ≈ a′2 −112h2,
a3 ≈ a′3 −14a′1h
2,
a4 ≈ a′4 −12a′2h
2 +7
240h4,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
m2 ≈ m′2 −
112h2,
m3 ≈ m′3,
m4 ≈ m′4 −
12m′
2h2 +
7240
h4,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Matome, kad aj nuo a′j bei mj nuo m′j skiriasi papildomais demenimis –
Separdo pataisomis.Yra ir kitokiu
‘pataisu
‘.
Stebejimo duomenys daznai vaizduojami grafiskai i‘vairiais budais. Pami-
nesime tik vadinama‘sias histogramas. Kiekvienam intervalui [τl−h/2, τl+h/2)
breziame staciakampi‘, kurio pagrindas yra tas intervalas, o plotas lygus nl/n
(kitaip tariant, aukstine lygi nl/(nh); zr. 33 pav.).
P a v y z d y s. Automatines stakles gamina rutuliukus. Is vienos dienosprodukcijos parinkome 60 rutuliuku
‘(kiekviena
‘karta
‘gra
‘zindami rutuliuka
‘atgal)
ir ismatavome ju‘skersmenis. Matavimu
‘duomenys sitokie (milimetrais):
7, 38 7, 29 7, 43 7, 40 7, 36 7, 41 7, 35 7, 31 7, 26 7, 377, 28 7, 37 7, 36 7, 35 7, 24 7, 33 7, 42 7, 36 7, 39 7, 357, 45 7, 36 7, 42 7, 40 7, 28 7, 38 7, 25 7, 34 7, 33 7, 327, 33 7, 30 7, 32 7, 30 7, 39 7, 34 7, 38 7, 39 7, 27 7, 357, 35 7, 32 7, 35 7, 27 7, 34 7, 32 7, 38 7, 41 7, 36 7, 447, 32 7, 37 7, 31 7, 46 7, 35 7, 35 7, 29 7, 34 7, 30 7, 40
Suskaiciuosime pirmuosius keturis imties momentus. Po gana varginanciu‘skai-
ciavimu‘galime gauti (autorius naudojosi kiseniniu programuojamu kalkuliatoriumi)
a1 = x = 7, 3490; a2 ≈ 54, 10267; a3 ≈ 396, 957690; a4 ≈ 2917, 641561;
m2 = s2 ≈ 0, 002466; m3 ≈ −0, 000001; m4 ≈ 0, 000016.
Skaiciavimus palengvinsime, sugrupave‘duomenis. Grupavimo intervalo ilgi
‘im-
sime lygu‘0,04. Pasirinktus skaicius τl ir nl surasysime lenteleje:
270 Matematines statistikos pradmenys
τl 7,26 7,30 7,34 7,38 7,42 7,46
nl 5 9 20 14 9 3
Vel apskaiciuosime pirmuosius keturis momentus. Skaiciavimai bus trumpesni.Gausime
a′1 ≈ 7, 354667; a′2 ≈ 54, 093733; a′3 ≈ 397, 879800; a′4 ≈ 2926, 697274;
m′2 ≈ 0, 002612; m′
3 ≈ 0, 000008; m′4 ≈ 0, 000017.
33 pav.
Kaip matome, gautos reiksmes nedaug skiriasi nuo anksciau apskaiciuotu‘ju
‘. Su
Separdo pataisomis turetume
a′′2 ≈ 54, 093600; a′′3 ≈ 397, 876858; a′′4 ≈ 2926, 653999;
m′′2 ≈ 0, 002478; m′′
4 ≈ 0, 000015.
Tos pataisos siuo atveju nedaug padeda. Praktiniuose skaiciavimuose nereiketu‘imti
tiek daug skaitmenu‘po kablelio. Cia norejome tik pademonstruoti metodo tiksluma
‘.
4. PAKANKAMOSIOS STATISTIKOS
Is visu‘
galimu‘
statistiku‘
isskirsime labai svarbia‘
ju‘
klase‘
– pakankama‘sias
statistikas. Sia‘sa
‘voka
‘i‘vede R. Fiseris.
Pameginsime pakankamosios statistikos sa‘voka
‘paaiskinti paprastu pa-
vyzdziu. Sakykime, turime n nepriklausomu‘
eksperimentu‘. Po kiekvieno
eksperimento gali i‘vykti kuris nors i
‘vykis su nezinoma tikimybe p (Bernulio
eksperimentai). Tarkime, kad Xk = 1, kai tas i‘vykis i
‘vyko po k-ojo eks-
perimento, ir Xk = 0, kai jis nei‘vyko. Imtis (X1, ..., Xn) rodo skaiciu
‘T =
= X1 + ...+Xn ir numerius eksperimentu‘, kai stebimasis i
‘vykis i
‘vyko. Intu-
ityviai aisku, kad tu‘numeriu
‘zinojimas neduoda jokios papildomos informa-
cijos apie p reiksme‘. Tai galima paaiskinti ir sitaip. Imkime tokius skaicius
Pakankamosios statistikos 271
xk (k = 1, ..., n), lygius 0 arba 1, kad butu‘x1 + ... + xn = t. Sa
‘lyginis
(X1, ..., Xn) pasiskirstymas, kai T = t,
P(X1 = x1, ..., Xn = xn | T = t) = 1/(
n
t
)nepriklauso nuo p. Galime laikyti statistika
‘T = X1 + ... + Xn pakankama
parametrui p i‘vertinti.
Pateiksime grieztus apibrezimus.Nagrinesime tikimybini
‘-statistini
‘modeli
‘Rn,Bn,Pθ, θ ∈ Θ ⊂ Rs,
aprasyta‘1 skyrelyje. Tarkime, kad T : Rn → Rs yra (Bn,Bs) mati funkcija.
Sakysime, kad statistika T (X) yra pakankama pasiskirstymu‘klasei Pθ, θ ∈
∈ Θ, jei egzistuoja sa‘lygines tikimybes variantas Pθ
(B|T (X)
), nepriklausan-
tis nuo θ. Taip pat sakoma, kad statistika T (X) yra pakankama parametruiθ, jei aisku apie kokia
‘Θ kalbama.
Teorijai suprastinti laikysime, kad tikimybiniu‘
pasiskirstymu‘
klasePθ, θ ∈ Θ tenkina reikalavima
‘: egzistuoja σ baigtinis matas µ, apibreztas
macioje erdveje Rn,Bn, ir µ integruojama funkcija pθ(x), apibrezta erdvejeRn, su sa
‘lyga
Pθ(B) =∫B
pθ(x)µ(dx)
visiems θ ∈ Θ ir visoms B ∈ Bn; kitaip tariant, matai Pθ yra absoliuciaitolydus mato µ atzvilgiu (zr. V.9 skyreli
‘). Funkcija
‘pθ galime vadinti tankiu
mato µ atzvilgiu. Sakome, kad matas µ dominuoja pasiskirstymu‘
klase‘Pθ, θ ∈ Θ, o ta klase yra dominuota.
Sios sa‘vokos vartojamos ir tada, kai Pθ, θ ∈ Θ yra bet kuri tikimybiniu
‘pasiskirstymu
‘klase, nesusijusi su minetuoju tikimybiniu-statistiniu modeliu.
Nors dominavimo reikalavimas siek tiek susiaurina nagrinejamu‘pasiskirs-
tymu‘
klase‘, bet ji
‘tenkina visi praktiniuose uzdaviniuose pasitaikantys pa-
siskirstymai.Panagrinesime keleta
‘pavyzdziu
‘.
1 p a v y z d y s. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s
pagal normalu‘ji‘desni
‘N(a, σ2) su nezinomais parametrais a ∈ R, σ > 0. Tikimybini
‘mata
‘P(a,σ2), remiantis Lebego integralu, galima uzrasyti sitaip:
P(a,σ2)(B) =1
(σ√
2π)n
∫B
exp− 1
2σ2
n∑k=1
(xk − a)2dx.
Taigi klase‘P(a,σ2), a ∈ R, σ > 0 dominuoja Lebego matas.
2 p a v y z d y s. Nesunku suvokti, kad ir bendresniu atveju, kai stebimasisatsitiktinis dydis yra absoliuciai tolydus ir jo tankis yra pθ(u),
Pθ(B) =
∫B
pθ(x1)...pθ(xn)dx.
272 Matematines statistikos pradmenys
Ir siuo atveju Lebego matas dominuos klase‘Pθ, θ ∈ Θ.
3 p a v y z d y s. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s
pagal Puasono desni‘su parametru λ > 0. Tada atsitiktine imtis (X1, ..., Xn) i
‘gyja
reiksmes (x1, ..., xn) su sveikomis neneigiamomis koordinatemis ir tikimybemis
λx1+...+xn
x1!...xn!e−λn.
Imkime funkcija‘
pλ(x1, ..., xn) =λx1+...+xn
x1!...xn!e−λn,
kai x1, ..., xn yra sveikieji neneigiami skaiciai, ir lygia‘
0 kitais atvejais (arba betkaip apibrezta
‘, kad tik pλ butu
‘Borelio funkcija). Visoms erdves Rn Borelio
aibems pazymekime µ(B) skaiciu‘tasku
‘su sveikomis neneigiamomis koordinatemis
aibeje B. Si aibes funkcija yra σ baigtinis matas macioje erdveje Rn,Bn. KlasesPλ, λ > 0 matus galime parasyti sitaip:
Pλ(B) =
∫B
pλ(x1, ..., xn)µ(dx).
Juos dominuoja matas µ.
4 p a v y z d y s. Nagrinekime bendresni‘
atveji‘, kai stebimasis atsitik-
tinis dydis yra diskretusis ir i‘gyja reiksmes is baigtines arba skaicios aibes A
su tikimybemis pθ(u), u ∈ A, θ ∈ Θ. Kiekvienai B ∈ Bn pazymekime µ(B)skaiciu
‘tasku
‘(x1, ..., xn), kuriu
‘koordinates xk ∈ A (k = 1, ..., n). Imkime funkcija
‘pθ(x1, ..., xn) = pθ(x1)...pθ(xn), kai xk ∈ A (k = 1, ..., n), ir laikykime ja
‘lygia 0
kitiems (x1, ..., xn). Tada
Pθ(B) =
∫B
pθ(x1, ..., xn)µ(dx).
Vel turime dominuojama‘pasiskirstymu
‘klase
‘Pθ, θ ∈ Θ.
Pakankama‘sias statistikas apibrezeme, remdamiesi sa
‘lyginemis tikimybe-
mis. Jomis ne visada patogu operuoti. Taciau dominuojamiems pasiskirsty-mams galima rasti gana paprasta
‘vadinama
‘ji‘faktorizavimo kriteriju
‘, nusa-
kyta‘sitokios teoremos.
Teorema. Tarkime, kad T : Rn → Rs yra (Bn,Bs) mati funkcija. T (X)yra pakankama pasiskirstymu
‘klasei Pθ, θ ∈ Θ, dominuojamai mato µ su
tankiu pθ, tada ir tik tada, kai visiems θ ∈ Θ egzistuoja tokia neneigiama(Bs,B1) mati funkcija gθ : Rs → R1 ir tokia Borelio funkcija h : Rn → Rn,nepriklausanti nuo θ, kad visiems θ ∈ Θ
µpθ(x) 6= gθ
(T (x)
)h(x)
= 0,
kitaip sakant,
Pakankamosios statistikos 273
(1) pθ(x) = gθ(T (x)
)h(x)
beveik visur mato µ atzvilgiu.I‘r o d y m a s. Teorema
‘i‘rodinesime tik diskretiesiems pasiskirstymams.
(Bendra‘
jos i‘rodyma
‘galima rasti, pvz., [20] knygoje.) Siuo atveju, norint
nustatyti pakankama‘ja
‘statistika
‘, uztenka reikalauti, kad lygybes
(2) Pθ(x) = gθ(T (x)
)h(x)
su pakankamosios statistikos apibrezime nurodytomis funkcijomis gθ ir h butu‘
teisingos tiems x ∈ Rn, kuriems Pθ(x) > 0.Pirmiausia i
‘rodysime pakankamuma
‘. Tarkime, kad (2) lygybe yra teisinga.
Fiksuokime x ir t. Laikydami Pθ(T (X) = t
)> 0, is lygybes
Pθ(X = x|T (X) = t
)=Pθ
(X = x, T (X) = t
)Pθ
(T (X) = t
)gauname
Pθ(X = x|T (X) = t
)= 0,
kai T (x) 6= t, ir
Pθ(X = x|T (X) = t
)=
Pθ(X = x)Pθ
(T (X) = t
) =
=gθ(t)h(x)
gθ(t)∑
y:T (y)=t
h(y)=
h(x)∑y:T (y)=t
h(y),
kai T (x) = t. Matome, kad sa‘lygine tikimybe Pθ
(X = x|T (X) = t
)nepri-
klauso nuo θ. Nuo θ nepriklauso ir Pθ(B|T (X) = t
).
Dabar i‘rodysime sa
‘lygos butinuma
‘. Tarkime, kad sa
‘lygine tikimybe
Pθ(X = x|T (X) = t
)nepriklauso nuo θ ir lygi, sakysime, w(x, t). Jei T (x) =
= t, tai
Pθ(X = x) = Pθ(X = x, T (X) = t
)= Pθ
(X = x, |T (X) = t
)×
× Pθ(T (X) = t
)= w(x, t)Pθ
(T (X) = t
).
Vadinasi, Pθ(X = x) tenkina (2) lygybe‘. ut
(1) formules desines puses antrasis dauginamasis nuo θ nepriklauso, onorint apskaiciuoti pirma
‘ji‘dauginama
‘ji‘, priklausanti
‘nuo θ, reikia zinoti tik
statistikos T reiksme‘ir visai nereikia konkreciu
‘imties x reiksmiu
‘. Vaizdziai
kalbant, pakankamoji statistika turi ta‘pacia
‘informacija
‘apie parametra
‘θ,
kaip ir visi stebejimo duomenys.
274 Matematines statistikos pradmenys
5 p a v y z d y s. Stebimasis atsitiktinis dydis i‘gyja reiksme
‘1 su nezinoma
tikimybe α, 0 < α < 1, ir reiksme‘0 su tikimybe 1 − α. Pagal 4 pavyzdi
‘visiems
xk (k = 1, ..., n), lygiems 0 arba 1,
pα(x1, ..., xn) = αx1+...+xn(1− α)n−(x1+...+xn) =
= (1− α)n(
α
1− α
)x1+...+xn
.
Statistika X1 + ...+Xn yra pakankama parametrui α.
6 p a v y z d y s. Kai turime Puasono desni‘su nezinomu parametru λ > 0,
visiems sveikiesiems neneigiamiems xk (k = 1, ..., n) (zr. 3 pvz.)
pλ(x1, ..., xn) = e−λnλx1+...+xn(x1!...xn!)−1.
Ir cia statistika X1 + ...+Xn yra pakankama parametrui λ.
7 p a v y z d y s. Imkime normalu‘ji‘
desni‘N(a, σ2). Atsitiktine imtis
(X1, ..., Xn) turi tanki‘
(3)1
(σ√
2π)nexp
− 1
2σ2
n∑k=1
(xk − a)2.
Jei a zinomas, o σ > 0 – nezinomas, tai statistika
n∑k=1
(Xk − a)2
yra pakankama parametrui σ2. Kai σ zinomas, o a ∈ R – nezinomas, uzrase‘(3)
pavidalu
(4)1
(σ√
2π)nexp
− na2
2σ2+
a
σ2
n∑k=1
xk
exp
− 1
2σ2
n∑k=1
x2k
,
matome, kad statistika X1 + ... +Xn yra pakankama parametrui a. Jei abu para-metrai a ∈ R ir σ > 0 yra nezinomi, tai is (4) isplaukia, kad vektorine statistika(T1, T2), kur
T1 = X1 + ...+Xn, T2 = X21 + ...+X2
n,
yra pakankama parametrams (a, σ2).
5. SUDERINTIEJI IR NEPASLINKTIEJI I‘VERCIAI
Kaip minejome 1 skyrelyje, vienas is pagrindiniu‘
matematines statistikosuzdaviniu
‘yra nezinomu
‘pasiskirstymo parametru
‘i‘vertinimas. Daznai, rem-
damiesi kokiais nors samprotavimais, galime pasirinkti nezinomos pasiskirs-tymo funkcijos pavidala
‘, bet i
‘ji‘i‘eina nezinomi parametrai. Reikia i
‘vertinti
Suderintieji ir nepaslinktieji i‘verciai 275
tuos parametrus. Suprantama, remiames stebejimo rezultatais – tinkamaiparinkta rezultatu
‘funkcija.
Sakykime, turime tikimybini‘-statistini
‘modeli
‘Rn,Bn,Pθ, θ ∈ Θ. Tir-
sime atveji‘, kai Θ yra realiu
‘ju
‘skaiciu
‘aibe. Nezinoma
‘parametra
‘θ reikia
i‘vertinti, remiantis imtimi X = (X1, ..., Xn). Kiekviena
‘realia
‘ja
‘statistika
‘θ∗(X) = θ∗(X1, ..., Xn) vadinsime parametro θ i
‘vercio funkcija, arba tiesiog
i‘verciu. Zinoma, ne kiekviena statistika tiks tam reikalui. Ji turi buti kokianors prasme artima nezinomojo parametro reiksmei. Isskirsime dvi R. Fiserioi‘vestas i
‘verciu
‘klases: suderintuosius ir nepaslinktuosius i
‘vercius.
Tarkime, kad θ∗n(X1, ..., Xn) (n = 1, 2, ...) yra i‘verciu
‘seka. Sakysime, jog
ji yra suderinta, jei kiekvienam ε > 0
Pθ(|θ∗n(X1, ..., Xn)− θ| ≥ ε
)→ 0,
kai n→∞, visiems θ ∈ Θ, t. y. θ∗n konverguoja i‘θ pagal tikimybe
‘. Tai reiskia,
kad su tikimybe, kiek norima artima 1, θ∗n(X) kiek norima mazai skirsis nuoθ, jei tik n bus pakankamai didelis. Paprastai (nors tai ir nera tikslu) netik seka, bet ir kiekvienas θ∗n vadinamas suderintu. Siame apibrezime tenkaoperuoti erdve R,B, Pθ∞.
Galima kalbeti ne tik apie nezinomo parametro θ, bet ir apie jo funkcijosψ(θ) suderinta
‘ji‘i‘verti
‘. Tinka analogiskas apibrezimas.
1 p a v y z d y s. Sakykime, stebime atsitiktini‘dydi
‘su nezinomu vidurkiu
a ∈ R. Parodysime, kad X yra suderintasis parametro a i‘vertis. Reikia i
‘rodyti, kad
X konverguoja pagal tikimybe‘i‘a, kai n→∞, t. y. kiekvienam ε > 0
Pa
∣∣∣ 1
n(X1 + ...+Xn)− a
∣∣∣ > ε→ 0,
kai n → ∞. Taciau sis teiginys isplaukia is Chincino III.3.3. (zr. taip pat III.10.3pavyzdi
‘) teoremos.
2 p a v y z d y s. Jei stebimasis atsitiktinis dydis turi zinoma‘vidurki
‘a, bet
nezinoma‘dispersija
‘σ2 > 0, tai statistika
S20 =
1
n
n∑k=0
(Xk − a)2
yra suderintas σ2 i‘vertis. Is tikru
‘ju
‘, pritaike
‘Chincino teorema
‘atsitiktiniams dy-
dziams (Xk − a)2, gauname, kad kiekvienam ε > 0
Pσ2
∣∣∣ 1
n
n∑k=1
(Xk − a)2 − σ2∣∣∣ ≥ ε
→ 0,
kai n→∞.
3 p a v y z d y s. Jei stebimasis atsitiktinis dydis turi nezinoma‘dispersija
‘σ2 > 0 ir jo vidurkis a ∈ R yra taip pat nezinomas, tai
276 Matematines statistikos pradmenys
S2 =1
n
n∑k=1
(Xk − X)2
yra suderintas parametro σ2 i‘vertis. I
‘rodysime ta
‘teigini
‘.
Kadangi
S2 =1
n
n∑k=1
((Xk − a)− (X − a)
)2=
1
n
n∑k=1
(Xk − a)2 − (X − a)2 =
= S20 − (X − a)2,
tai
P(a,σ2)
∣∣∣S2 − σ2∣∣∣ ≥ ε
≤ P(a,σ2)
∣∣∣S20 − σ2
∣∣∣ ≥ ε
2
+
+ P(a,σ2)
∣∣∣X − a
∣∣∣ ≥ √ε
2
.
Pasinaudoje‘1 ir 2 pavyzdziu
‘rezultatais, gauname reikiama
‘teigini
‘.
Sakykime, turime realia‘ja
‘integruojama
‘statistika
‘θ∗ = θ∗(X1, ..., Xn),
kuria norime i‘vertinti nezinoma
‘parametra
‘θ ∈ Θ. Dydi
‘Mθθ
∗(X1, ..., Xn)−θnaturalu vadinti i
‘vercio poslinkiu, arba sistemine paklaida. Cia indeksas θ
prie vidurkio zenklo M rodo, kad vidurkis imamas mato Pθ atzvilgiu. Jeivisiems θ ∈ Θ
Mθθ∗(X1, ..., Xn) = θ,
tai sakome, kad i‘vertis θ∗ yra nepaslinktas.
Panasiai galime apibudinti ir parametro funkcijos ψ(θ) i‘vercius.
4 p a v y z d y s. X yra nepaslinktasis nezinomo vidurkio a i‘vertis, nes
MaX =1
n
n∑k=1
MaXk = a.
5 p a v y z d y s . Jei atsitiktinis dydis turi zinoma‘vidurki
‘a, bet nezinoma
‘dispersija
‘σ2 > 0, tai statistika S2
0 yra nepaslinktasis σ2 i‘vertis. Is tikru
‘ju
‘
Mσ2S20 =
1
n
n∑k=1
Mσ2(Xk − a)2 = σ2.
6 p a v y z d y s. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis turi nezinoma‘
vidurki‘a ∈ R ir nezinoma
‘dispersija
‘σ2 > 0. Panagrinesime statistika
‘
Suderintieji ir nepaslinktieji i‘verciai 277
S2 =1
n
n∑k=1
(Xk − a)2 −(
1
n
n∑k=1
(Xk − a))2
=
=1
n
(1− 1
n
) n∑k=1
(Xk − a)2 − 1
n2
∑1≤j<k≤n
(Xj − a)(Xk − a).
Is cia
M(a,σ2)S2 =
(1− 1
n
)σ2.
Vadinasi, S2 nera nepaslinktasis σ2 i‘vertis. Kuo mazesnis n, tuo didesnis poslinkis
(kai n = 2, M(a,σ2)S2 = σ2/2). Dideliems n tas poslinkis yra nedidelis: jis konver-
guoja i‘nuli
‘, kai n→∞. Todel sakoma, kad i
‘vertis S2 yra asimptotiskai nepaslinktas.
Pastebesime, kad
S21 =
n
n− 1S2 =
1
n− 1
n∑k=1
(Xk − X)2
yra nepaslinktasis σ2 i‘vertis.
Tam paciam nezinomam parametrui i‘vertinti galime sudaryti daug ne-
paslinktu‘ju
‘i‘verciu
‘. Mateme, kad X yra nepaslinktasis vidurkio a i
‘vertis.
Imkime kokius nors pastovius skaicius q1, ..., qn, tenkinancius sa‘lyga
‘q1 + ...+
+qn = 1, ir sudarykime statistika‘
V = q1X1 + ...+ qnXn.
Kadangi
MaV =n∑k=1
qkMaXk = an∑k=1
qk = a,
tai V yra taip pat nepaslinktasis a i‘vertis. X yra specialus jo atvejis, kai
q1 = ... = qn = 1/n. I‘vairiai parinkdami skaicius q1, ..., qn, galime gauti be
galo daug nezinomo parametro a i‘verciu
‘. Kuris is ju
‘geriausias?
Jei turime du nezinomo parametro θ i‘vercius, tai naturalu laikyti geresniu
ta‘, kurio reiksmes yra maziau issibarsciusios apie parametra
‘θ. Issibarstymo
mata‘galime parinkti i
‘vairiai. Patogus ir dazniausiai vartojamas yra antrasis
momentas Mθ(θ∗− θ)2, jei jis egzistuoja. Jei i‘vertis θ∗ yra nepaslinktasis, tai
tas dydis yra i‘vercio dispersija.
Tarkime, kad Pθ, θ ∈ Θ yra netuscia tikimybiniu‘matu
‘sistema erdveje
Rn,Bn ir ψ : Θ → R. Kiekvienam θ0 ∈ Θ pazymekime Hθ0 klase‘
visu‘
nepaslinktu‘ju
‘ψ(θ) i
‘verciu
‘T = T (X), turinciu
‘dispersija
‘Dθ0T . Sakome, kad
ψ(θ) i‘vertis T0 ∈ Hθ0 turi lokaliai maziausia
‘dispersija
‘taske θ = θ0, jei
visiems T ∈ Hθ0 teisingos nelygybes
Mθ0
(T0 − ψ(θ0)
)2 ≤Mθ0
(T − ψ(θ0)
)2.
278 Matematines statistikos pradmenys
Jei H yra klase visu‘nepaslinktu
‘ju
‘ψ(θ) i
‘verciu
‘T = T (X), visiems θ ∈ Θ
turinciu‘
dispersija‘DθT , tai sakome, kad ψ(θ) i
‘vertis T0 ∈ H turi tolygiai
maziausia‘
dispersija‘, kai visiems θ ∈ Θ ir visiems T ∈ H teisingos nelygybes
Mθ
(T0 − ψ(θ)
)2 ≤Mθ
(T − ψ(θ)
)2.
1 teorema. Pazymekime K klase‘
visu‘
realiu‘ju‘
statistiku‘W , turinciu
‘savybes MθW = 0, MθW
2 < ∞. Tarkime, kad i‘verciu
‘klase H nera tuscia.
ψ(θ) i‘vertis T0 ∈ H turi tolygiai maziausia
‘dispersija
‘tada ir tik tada, kai
kiekvienai statistikai W ∈ K ir visiems θ ∈ Θ
MθWT0 = 0.
Atkreipsime demesi‘, jog is Kosi nelygybes isplaukia, kad MθWT0 egzis-
tuoja.I‘
r o d y m a s. B u t i n u m a s. Tarkime, kad T0 turi tolygiaimaziausia
‘dispersija
‘ir kuriam nors θ0 ∈ Θ bei kuriai nors W0 ∈ K teisinga
nelygybe Mθ0W0T0 6= 0. Kiekvienam realiajam λ i‘vertis T0 + λW0 ∈ H.
Vidurkis Mθ0W20 negali buti lygus 0, nes tada ir Mθ0W0T0 butu
‘lygus 0.
Imkime λ0 = −Mθ0W0T0/Mθ0W20 . Tada gautume
Dθ0(T0 + λ0W0) = Dθ0T0 + 2λ0Mθ0W0T0 + λ20Mθ0W
20 =
= Dθ0T0 −M2θ0W0T0
Mθ0W20
< Dθ0T0,
bet tai priestarautu‘prielaidai, kad T0 turi tolygiai maziausia
‘dispersija
‘.
P a k a n k a m u m a s. Tarkime, kad kuriam nors i‘verciui T0 ∈ H ir
visiems θ ∈ Θ bei visoms statistikoms W ∈ K teisinga lygybe
MθWT0 = 0.
Kiekvienam i‘verciui T ∈ H turime T0 − T ∈ K. Vadinasi, visiems θ ∈ Θ
Mθ(T0 − T )T0 = 0,
t. y.MθT
20 = MθT0T.
Is Kosi nelygybes isplaukia
MθT20 ≤ (MθT
20 ·MθT
2)1/2.
Jei MθT20 = 0, tai nieko nereikia i
‘rodineti. Jei MθT
20 > 0, tai
MθT20 ≤MθT
2.
Suderintieji ir nepaslinktieji i‘verciai 279
Tai ir reikejo i‘rodyti, nes MθT0 = MθT = ψ(θ). ut
I‘verciams su lokaliai maziausia dispersija teisinga analogiska teorema.
2 teorema. Pazymekime Kθ0 klase‘
visu‘
realiu‘ju‘
statistiku‘W , turinciu
‘savybes Mθ0W = 0, Mθ0W
2 < ∞. Tarkime, kad i‘verciu
‘klase Hθ0 nera
tuscia. ψ(θ) i‘vertis T0 ∈ Hθ0 turi lokaliai maziausia
‘dispersija
‘taske θ = θ0
tada ir tik tada, kai kiekvienai statistikai W ∈ Kθ0
Mθ0WT0 = 0.
I‘r o d y m a s analogiskas 1 teoremos i
‘rodymui.
1 ir 2 teoremos nurodo buda‘, kaip patikrinti, ar i
‘vertis turi maziausia
‘dispersija
‘. Konstruojant tokius i
‘vercius, pravercia dvi toliau i
‘rodomos teore-
mos.
3 (Rao1–Blekvelo2) teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘
sistemaPθ, θ ∈ Θ turi pakankama
‘ja‘
statistika‘T ir i
‘verciu
‘klase H nera tuscia.
Tada sa‘lyginio vidurkio variantas Mθ(V |T ), V ∈ H, pagal pakankamosios
statistikos apibrezima‘
nepriklausantis nuo θ, yra ψ(θ) nepaslinktasis i‘vertis.
Be to, visiems θ ∈ Θ
(1) Mθ
(Mθ(V |T )− ψ(θ)
)2 ≤Mθ
(V − ψ(θ)
)2.
Si formule virsta lygybe visiems θ ∈ Θ tada ir tik tada, kai V = Mθ(V |T )beveik visur matu
‘Pθ atzvilgiu.
I‘r o d y m a s. Pagal II.10.4 teorema
‘
Mθ
(Mθ(V |T )
)= MθV.
Todel M(V |T ) yra nepaslinktasis ψ(θ) i‘vertis. Vadinasi, pakanka visiems θ ∈
∈ Θ i‘rodyti nelygybe
‘
Mθ
(Mθ(V |T )
)2 ≤MθV2.
KadangiMθV2 = Mθ
(Mθ(V 2|T )
), tai pakanka i
‘rodyti, kad beveik visur mato
Pθ atzvilgiu
(2)(Mθ(V |T )
)2 ≤Mθ(V 2|T ).
Nesunku suvokti, kad atsitiktiniam vidurkiui Mθ(V |T ) beveik visur mato Pθatzvilgiu galima taikyti Kosi nelygybe
‘. Gausime, kad beveik visur mato Pθ
atzvilgiu
1 Calyampudi Radhakrishna Rao (g. 1920 m.) – indu‘matematikas.
2 David Blackwell (g. 1919 m.) – amerikieciu‘matematikas.
280 Matematines statistikos pradmenys
M2θ (V |T ) ≤Mθ(V 2|T ) ·Mθ(1|T ),
o tai ir yra (2) nelygybe.Jei (1) formuleje kuriam nors θ turime lygybes zenkla
‘, tai teisinga lygybe
(3) Mθ
(Mθ(V |T )
)2 = MθV2.
Taciau pagal II.10.8 teorema‘
Mθ
(VMθ(V |T )
)= Mθ
(Mθ
(VMθ(V |T )T
))=
= Mθ
(Mθ(V |T )Mθ(V |T )
).
Is sios ir (3) formules
Mθ
(V −Mθ(V |T )
)2 = MθV2 − 2Mθ
(VMθ(V |T )
)+
+Mθ
(Mθ(V |T )
)2 = MθV2 −Mθ
(Mθ(V |T )
)2 = 0.
Is cia isplaukia, kad V = Mθ(V |T ) beveik visur mato Pθ atzvilgiu. utKita teorema pagri
‘sta pilnosios statistikos sa
‘voka.
Sakoma, kad pasiskirstymu‘
sistema Pθ, θ ∈ Θ, nusakyta erdvejeRk,Bk, yra pilna, jei kiekviena Borelio funkcija ϕ : Rk → R su sa
‘lyga∫
Rk
ϕ(x)Pθ(dx) = 0, θ ∈ Θ,
yra beveik visur lygi 0 visu‘matu
‘Pθ, θ ∈ Θ, prasme.
7 p a v y z d y s. Nagrinekime binominiu‘pasiskirstymu
‘sistema
‘Pθ, 0 < θ <
< 1, nusakyta‘erdveje R,B lygybemis
Pθ(y) =
(s
y
)θy(1− θ)s−y, kai y = 0, 1, ..., s,
0 visiems kitiems y.
Parodysime, kad si sistema yra pilna. Tarkime, kad kokiai nors Borelio funkcijai ϕ
(4)
∫R
ϕ(x)Pθ(dx) =
s∑k=0
ϕ(k)
(s
k
)θk(1− θ)s−k = 0, 0 < θ < 1.
Pazymekime z = θ/(1− θ). Tada (4) lygybe virsta sitokia:
s∑k=0
ϕ(k)
(s
k
)zk = 0, 0 < z <∞.
Kadangi s-ojo laipsnio polinomas turi ne daugiau kaip s skirtingu‘
saknu‘, o sis
polinomas virsta nuliu visiems teigiamiems z, tai visi jo koeficientai turi butilygus 0. Vadinasi, ϕ(k) = 0 (k = 0, 1, ..., s).
Suderintieji ir nepaslinktieji i‘verciai 281
Statistika T yra vadinama pilna‘ja pasiskirstymu
‘sistemos Pθ, θ ∈ Θ
statistika, jei jos indukuotu‘pasiskirstymu
‘sistema PTθ , θ ∈ Θ yra pilna.
8 p a v y z d y s. Sakykime, atliekame n Bernulio eksperimentu‘, kuriuose
stebime koki‘nors i
‘vyki
‘. To i
‘vykio tikimybe p ∈ (0, 1) yra nezinoma, bet ta pati
visuose eksperimentuose. Imkime statistika‘T (X) = X1 + ...+Xn (i
‘vykiu
‘skaiciu
‘,
atlikus n eksperimentu‘). Jos generuota pasiskirstymu
‘sistema nusakyta 7 pavyzdyje.
Vadinasi, statistika T yra pilna siai pasiskirstymu‘sistemai.
Daznai statistikos pilnuma‘padeda nustatyti tolesne teorema.
4 teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘
sistema Pθ, θ ∈ Θ, Θ ⊂ R,nusakyta erdveje R,B, yra dominuojama kokio nors σ baigtinio mato sutankio funkcija
pθ(y) = h(y) expθ · U(y) + V (θ);cia h, U yra Borelio funkcijos. Tarkime, kad aibeje Θ telpa neissigime
‘s inter-
valas. Tada
T (X) =n∑k=1
U(Xk)
yra pilna ir pakankama pasiskirstymu‘
sistemos Pθ, θ ∈ Θ statistika.Sios teoremos i
‘rodyma
‘galima rasti, pavyzdziui, [39], p. 98.
5 (Lemano1–Sefe2) teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘sistema Pθ,
θ ∈ Θ turi pilna‘
pakankama‘ja‘
statistika‘T ir i
‘verciu
‘klase H nera tuscia.
Tada kiekvienam V ∈ H sa‘lyginis vidurkis Mθ(V |T ) yra nepaslinktasis ψ(θ)
i‘vertis su tolygiai maziausia dispersija.
I‘r o d y m a s. Pirmiausia i
‘rodysime, kad bet kuriems V1 ∈ H, V2 ∈ H
beveik visur matu‘Pθ atzvilgiu
(5) Mθ(V1|T ) = Mθ(V2|T ).
Pazymekime PTθ mata‘, indukuota
‘statistikos T . Sakykime, Q = T (Rn).
Kadangi Mθ(V1|T ) ir Mθ(V2|T ) yra nepaslinktieji ψ(θ) i‘verciai, tai∫
Q
(Mθ(V1|T )−Mθ(V2|T )
)dPTθ
visiems θ ∈ Θ. Is matu‘PTθ sistemos pilnumo isplaukia, kad (5) teisinga beveik
visur matu‘PTθ atzvilgiu. Taigi visi Mθ(V |T ), V ∈ H, sutampa vienas su kitu
beveik visur matu‘Pθ atzvilgiu. Pagal 1 teorema
‘i‘vertis Mθ(V |T ) turi tolygiai
maziausia‘dispersija
‘. ut
1 Erich Leo Lehmann (g. 1917 m.) – amerikieciu‘matematikas.
2 Henry Scheffe (g. 1907 m.) – amerikieciu‘matematikas.
282 Matematines statistikos pradmenys
6. I‘VERCIU
‘SUDARYMO METODAI
I‘vercius galime sudaryti i
‘vairiais budais. Taciau ne visi bet kaip sudaryti
i‘verciai bus tinkami. Todel naudinga zinoti bendrus metodus, kuriuos taikant,galima gauti gerus i
‘vercius. Tokiu
‘metodu
‘yra nemazai. Nagrinesime tik du
is ju‘.Istoriskai pirmasis is tokiu
‘metodu
‘yra vadinamasis momentu
‘metodas,
pasiulytas K. Pirsono. Tarkime, kad pasiskirstymu‘klase Pθ, θ ∈ Θ, Θ ⊂
⊂ Rs, priklauso nuo vektorinio parametro θ = (θ1, ..., θs) ir tie pasiskirsty-mai turi s pirmu
‘ju
‘momentu
‘αr(θ1, ..., θs) (r = 1, ..., s). Imame pirmuosius
s empiriniu‘
momentu‘Ar (r = 1, ..., s) ir prilyginame juos atitinkamiems
teoriniams momentams. Gauname s lygciu‘su s nezinomu
‘ju
‘sistema
‘
Ar = αr(θ1, ..., θs) (r = 1, ..., s).
Spre‘sime ja
‘θ1, ..., θs atzvilgiu. Jei sprendiniai
θ∗r = θ∗r(X1, ..., Xn) (r = 1, ..., s)
egzistuoja, tai juos ir laikysime parametru‘θ1, ..., θs i
‘verciais.
Zinoma, uzuot eme‘is eiles pirmuosius s pradiniu
‘momentu
‘, galime imti s
kitu‘momentu
‘, nebutinai pirmu
‘ju
‘ir nebutinai pradiniu
‘, jei tik tie momentai
egzistuoja. Taciau is pirmu‘ju
‘momentu
‘gauname paprastesnius ir tikslesnius
i‘vercius.
Paaiskinsime si‘metoda
‘pavyzdziu.
1 p a v y z d y s. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s
pagal normalu‘ji‘desni
‘N(a, σ2) su nezinomais parametrais a ∈ R ir σ > 0. Imkime
pirma‘ji‘pradini
‘ir antra
‘ji‘centrini
‘momentus, lygindami teorinius ir empirinius mo-
mentus X = a,S2 = σ2.
Is karto gauname a ir σ2 i‘vercius X ir S2.
Momentu‘
metodas yra labai paprastas, bet ji‘
taikant, ne visada gali-ma gauti gerus rezultatus. Geresni i
‘verciai gaunami didziausio tiketinumo
metodu, pasiulytu R. Fiserio 1912 m.Tirsime pasiskirstymus Pθ, θ ∈ Θ, Θ ⊂ Rs, priklausancius nuo keliu
‘realiu
‘parametru
‘θ = (θ1, ..., θs) ir dominuojamus mato µ su tankio funkcija
pθ(x) = pθ(x1)...pθ(xn)
(zr. 4 skyreli‘). Parametro θ ∈ Θ reiksmems ir taskams x = (x1, ..., xn) ∈ Rn
su sa‘lyga pθ(x) > 0 apibrezkime funkcijas
h(θ, x) = pθ(x1)...pθ(xn)
ir
I‘verciu
‘sudarymo metodai 283
l(θ, x) = lnh(θ, x) = ln pθ(x1) + ...+ ln pθ(xn).
FunkcijaH(θ) = H(θ,X) = pθ(X1)...pθ(Xn)
vadinama tiketinumo funkcija. Nagrinejamas ir jos logaritmas
L(θ) = L(θ,X) = ln pθ(X1) + ...+ ln pθ(Xn).
h(θ, x) ir l(θ, x) yra ju‘realizacijos. Jei egzistuoja statistika θ∗ = θ∗(X1, ...,
Xn), tenkinanti sa‘lyga
‘l(θ∗) = sup
θ∈Θl(θ),
tai ji vadinama parametro θ didziausio tiketinumo i‘verciu.
Jei Θ yra s-matis intervalas, l(θ) turi maksimuma‘jo viduje ir yra dife-
rencijuojama θ1, ..., θs atzvilgiu, tai jos maksimumo taske
∂H(θ)∂θr
= 0 (r = 1, ..., s)
arba∂L(θ)∂θr
= 0 (r = 1, ..., s).
Vadinasi, didziausio tiketinumo i‘vertis yra siu
‘, vadinamu
‘ju
‘didziausio tiketi-
numo, lygciu‘sprendinys. Daznai tos lygtys turi tik viena
‘sprendini
‘.
2 p a v y z d y s. Tirkime Puasono pasiskirstyma‘su nezinomu parametru
λ > 0. Pagal 4.3 pavyzdi‘tiketinumo funkcija
H(λ) =λX1+...+Xn
X1!...Xn!e−λn.
Is cia
L(λ) = −λn+
n∑k=1
(Xk lnλ− lnXk!).
Diferencijuodami pagal λ, gauname didziausio tiketinumo lygti‘
∂L
∂λ= −n+
1
λ
n∑k=1
Xk = 0.
Is jos randame didziausio tiketinumo i‘verti
‘
λ∗ = X.
3 p a v y z d y s. Panagrinekime normalu‘ji‘desni
‘N(a, σ2) su zinomu σ2, bet
nezinomu a ∈ R. Pagal 4.1 pavyzdi‘tiketinumo funkcija
284 Matematines statistikos pradmenys
H(a) =1
(σ√
2π)nexp
− 1
2σ2
n∑k=1
(Xk − a)2
ir jos logaritmas
L(a) = −n ln(σ√
2π)− 1
2σ2
n∑k=1
(Xk − a)2.
Didziausio tiketinumo lygtis yra
∂L
∂a=
1
σ2
n∑k=1
(Xk − a) = 0.
Is jos gauname didziausio tiketinumo i‘verti
‘
a∗ = X.
4 p a v y z d y s. Jei turime normalu‘ji‘desni
‘N(a, σ2) su z i n o m u a,
bet n e z i n o m a dispersija σ2 > 0, tai, diferencijuodami tiketinumo funkcijoslogaritma
‘
L(σ2) = −n2
ln(2πσ2)− 1
2σ2
n∑k=1
(Xk − a)2
pagal σ2, gauname didziausio tiketinumo lygti‘
∂L
∂(σ2)= − n
2σ2+
1
2σ4
n∑k=1
(Xk − a)2.
Is jos gauname didziausio tiketinumo i‘verti
‘
(σ2)∗ = S20 .
5 p a v y z d y s. Jei turime normalu‘ji‘pasiskirstyma
‘su abiem nezinomais
parametrais a ∈ R ir σ2 > 0, tai, kaip ir 3 bei 4 pavyzdziuose, isdiferencijave‘
tiketinumo funkcijos logaritma‘pagal a ir σ2, gauname lygciu
‘sistema
‘
∂L
∂a=
1
σ2
n∑k=1
(Xk − a) = 0,
∂L
∂(σ2)= − n
2σ2+
1
2σ4
n∑k=1
(Xk − a)2 = 0.
Is pirmosios lygtiesa∗ = X.
I‘rase
‘si‘sprendini
‘i‘antra
‘ja
‘lygti
‘, gauname
Efektyvieji i‘verciai 285
− n
2σ2+
1
2σ4
n∑k=1
(Xk − X)2 = 0.
Is jos
(σ2)∗ = S2.
Vadinasi, a∗ = X ir (σ2)∗ = S2 yra parametru‘a ir σ2 didziausio tiketinumo i
‘verciai.
Paminesime be i‘rodymo (zr. [6], 33.3 skyreli
‘): jei yra ispildytos gana bend-
ros sa‘lygos, tai didziausio tiketinumo i
‘verciai yra suderinti ir asimptotiskai
nepaslinki.
7. EFEKTYVIEJI I‘VERCIAI
Jei pasiskirstymu‘klase ir i
‘verciai tenkina gana bendras sa
‘lygas, tai galima
rasti tokiu‘i‘verciu
‘dispersiju
‘apatini
‘rezi
‘.
(Rao–Kramero) teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘klase Pθ, θ ∈
∈ Θ, dominuojama mato µ su tankio funkcija pθ(x), priklauso nuo vienorealaus parametro θ, Θ yra visa realiu
‘ju‘skaiciu
‘tiese arba intervalas, o T (X)
– integruojama statistika. Pareikalaukime, kad aibe A = x : pθ(x) > 0nepriklausytu
‘nuo θ ir visiems θ ∈ Θ butu
‘
∂
∂θ
∫A
pθ(x)µ(dx) =∫A
∂pθ(x)∂θ
µ(dx),
∂
∂θ
∫A
T (x)pθ(x)µ(dx) =∫A
T (x)∂pθ(x)∂θ
µ(dx),
I(θ) =∫A
(∂ lnpθ(x)∂θ
)2
pθ(x)µ(dx) > 0;
sakykime, kad cia nurodyti integralai ir isvestines egzistuoja. Jei MθT (X) == θ + b(θ) ir funkcija b(θ) yra diferencijuojama, tai
Mθ
(T (X)− θ
)2 ≥(1 + b′(θ)
)2
I(θ);
atskiru atveju, kai T (X) yra nepaslinktasis θ i‘vertis,
(1) DθT (X) ≥ I
I(θ).
286 Matematines statistikos pradmenys
Teoremos sa‘lygose minimu
‘integralu
‘integravimo sritis yra aibe A. Taciau
galima integruoti ir visoje erdveje Rn, jei susitarsime laikyti pointegra-lines funkcijas lygias 0 tuose taskuose, kuriuose jos nera apibreztos (juk tenpθ(x) = 0).
I‘r o d y m a s. Imkime lygybes
Pθ(Rn) =∫A
pθ(x)µ((dx),
MθT (X) =∫A
T (x)pθ(x)µ(dx),
arba ∫A
pθ(x)µ(dx) = 1,∫A
T (x)pθ(x)µ(dx) = θ + b(θ).
Diferencijuokime jas pagal θ. Teoremos sa‘lygos leidzia sukeisti diferencijavi-
mo ir integravimo tvarka‘. Gausime
(2)∫A
∂pθ(x)∂θ
µ(dx) = 0,
∫A
T (x)∂pθ(x)∂θ
µ(dx) = 1 + b′(θ).
Ateme‘is antrosios lygybes pirma
‘ja
‘, padauginta
‘is θ, turime∫
A
(T (x)− θ
)∂pθ(x)∂θ
µ(dx) = 1 + b′(θ),
arba ∫A
(T (x)− θ
)∂ lnpθ(x)∂θ
Pθ(dx) = 1 + b′(θ).
Taikome Kosi nelygybe‘(V.9.13 teorema
‘) ir gauname
(3)(1 + b′(θ)
)2 ≤∫A
(T (x)− θ
)2Pθ(dx)∫A
(∂ lnpθ(x)∂θ
)2
Pθ(dx).
Kadangi ∫A
(T (x)− θ
)2Pθ(dx) = Mθ
(T (X)− θ
)2,
tai (3) nelygybe ir yra ieskomoji. ut(1) nelygybe yra vadinama Rao-Kramero nelygybe.
Efektyvieji i‘verciai 287
Nepaslinktuosius i‘vercius T (X), tenkinancius teoremos sa
‘lygas, galima
butu‘
vadinti reguliariaisiais. Is Rao-Kramero nelygybes gaunamas tokiu‘
i‘verciu
‘dispersiju
‘i‘vertis is apacios. Reguliariuosius i
‘vercius T (X), kuriems
teisinga lygybe
DθT (X) =1I(θ)
,
vadinsime efektyviais.Panagrinesime, kada Rao-Kramero nelygybe virsta lygybe. Kaip matyti
is teoremos i‘rodymo, tai i
‘vyksta tada ir tik tada, kai (3) nelygybe virsta
lygybe, o (3), kaip zinome is V.9.13 teoremos, virsta lygybe tada ir tik tada,kai egzistuoja konstantos c1 ir c2, is kuriu
‘bent viena nelygi 0, tenkinancios
sa‘lyga
‘
c1∂ lnpθ(x)
∂θ+ c2
(T (x)− θ
)= 0
beveik visur mato Pθ atzvilgiu.Jei c1 = 0, tai tada beveik visur T (x) = θ. Taciau sis atvejis netinka, nes
i‘vertis T (X) turi nepriklausyti nuo θ. Jei c2 = 0, tai beveik visur mato Pθatzvilgiu
∂ lnpθ(x)∂θ
= 0;
tada butu‘I(θ) = 0, bet tai priestarautu
‘teoremos sa
‘lygoms.
Todel lieka atvejis, kai c1 6= 0, c2 6= 0. Tada beveik visur
(4)∂ lnpθ(x)
∂θ= κ
(T (x)− θ
);
cia κ = κ(θ) gali priklausyti nuo θ, bet ne nuo x. Jei θ∗ = T (X) yra efek-tyvusis θ i
‘vertis, tai is (4) isplaukia, kad ji
‘galima gauti didziausio tiketinumo
metodu, nes tokie i‘verciai yra lygties
∂ lnpθ(x)∂θ
= 0
sprendiniai. Didziausio tiketinumo lygties sprendiniai θ∗ = const paprastaiatmetami, nes jie atitinka atveji
‘κ(θ) = 0.
Is (4) isplaukia: jei T (X) yra efektyvusis i‘vertis, tai jis yra pasiskirstymu
‘klases Pθ, θ ∈ Θ pakankamoji statistika. Is tikru
‘ju
‘, suintegrave
‘(4),
gausimepθ(x) = h(x) expu(θ)T (x) + v(θ);
cia h(x) priklauso tik nuo x, o u(θ) ir v(θ) tik nuo θ, be to, u′(θ) 6= 0.Isnagrinesime keleta
‘pavyzdziu
‘. Skaiciavimams pravartu siek tiek per-
tvarkyti reiskini‘I(θ). Pastebesime, kad
I(θ) = Mθ
(∂ lnpθ(X)∂θ
)2
.
288 Matematines statistikos pradmenys
Is (2) isplaukia, kad
Mθ∂ lnpθ(X)
∂θ=
∫A
∂ lnpθ(x)∂θ
pθ(x)µ(dx) =∫A
∂pθ(x)∂θ
µ(dx) = 0.
Todel
I(θ) = Dθ∂ lnpθ(X)
∂θ.
Kadangi pθ(X) = pθ(X1)...pθ(Xn), tai
I(θ) = nDθ∂ ln pθ(X1)
∂θ.
Reiskini‘I(θ) galima uzrasyti ir kitaip, jei be teoremos sa
‘lygu
‘dar teisinga ir
sa‘lyga ∫ ∣∣∣∣∂2 lnpθ(x)
∂θ2
∣∣∣∣pθ(x)µ(dx) <∞.
Tada egzistuoja vidurkis
Mθ∂2 lnpθ(X)
∂θ2=
∫ ∂2pθ(x)∂θ2 pθ(x)−
(∂pθ(x)∂θ
)2
p2θ(x)
pθ(x)µ(dx) =
=∫∂2pθ(x)∂θ2
µ(dx)−∫ (
∂ lnpθ(x)∂θ
)2
pθ(x)µ(dx).
Kadangi antrasis desines puses narys yra I(θ) ir∫∂2pθ(x)∂θ2
µ(dx) =∂2
∂θ2
∫pθ(x)µ(dx) = 0,
tai
I(θ) = −Mθ∂2 lnpθ(X)
∂θ2= −nMθ
∂2 ln pθ(X1)∂θ2
.
1 p a v y z d y s. Nagrinesime atsitiktini‘dydi
‘, pasiskirsciusi
‘pagal binomini
‘desni
‘. Tarkime, kad jis i
‘gyja reiksmes 0, 1, ..., N , reiksme
‘x1 i
‘gyja su tikimybe(
N
x1
)αx1(1− α)N−x1 ;
cia α ∈ (0, 1) yra nezinomas parametras. Nesunku patikrinti, kad siuo atvejupasiskirstymu
‘klase tenkina Rao–Kramero teoremos sa
‘lygas, be to,
I(α) = nDα
(X1
α(1− α)− N
1− α
)=
Nn
α(1− α).
Efektyvieji i‘verciai 289
I‘vertis X/N taip pat tenkina teoremos sa
‘lygas. Kadangi
M(X/N) =1
nN
n∑k=1
MαXk = α,
Dα(X/N) =1
n2N2
n∑k=1
DαXk =α(1− α)
Nn,
tai X/N yra efektyvusis α i‘vertis.
2 p a v y z d y s. Tirsime atsitiktini‘dydi
‘, pasiskirsciusi
‘pagal Puasono desni
‘su nezinomu parametru λ > 0. Siuo atveju (zr. 4.6 ir 6.2 pavyzdzius) sveikiesiemsneneigiamiems x1
pλ(x1) =λx1
x1!e−λ,
∂2
∂λ2ln pλ(x1) = −x1
λ2,
I(λ) = −nMλ
(− X1
λ2
)=
n
λ2MλX1 =
n
λ.
Kadangi
MX = λ, DλX = λ/n,
tai X yra efektyvusis λ i‘vertis.
5 skyrelyje mateme, kad ir V = q1X1 + ... + qnXn su konstantomis q1, ..., qn,tenkinanciomis sa
‘lyga
‘q1 + ... + qn = 1, yra nepaslinktasis vidurkio i
‘vertis. Jo
dispersija nagrinejamu atveju
DλV =
n∑k=1
Dλ(qkXk) = λ
n∑k=1
q2k = λ
n∑k=1
(qk −
1
n
)2
+λ
n.
Matome, kad V yra efektyvusis λ i‘vertis tada ir tik tada, kai qk = 1/n.
3 p a v y z d y s. Nagrinesime atsitiktini‘dydi
‘, pasiskirsciusi
‘pagal normalu
‘ji‘
desni‘N(a, σ2) su z i n o m u σ2, bet n e z i n o m u a ∈ R. Parodysime, kad ir
cia X yra efektyvusis a i‘vertis. Visiems realiesiems x1 (zr. 6.3 pavyzdi
‘)
pa(x1) =1
σ√
2πexp
(− (x1 − a)2
2σ2
),
∂2
∂a2ln pa(x1) = − 1
σ2.
Po paprastu‘skaiciavimu
‘
I(a) =n
σ2, DaX =
σ2
n.
290 Matematines statistikos pradmenys
4 p a v y z d y s. Vel tirsime atsitiktini‘dydi
‘, pasiskirsciusi
‘pagal normalu
‘ji‘
desni‘, bet dabar laikysime a z i n o m u, o σ2 > 0 – n e z i n o m u. Parodysime,
kad S20 yra efektyvusis σ2 i
‘vertis. Visiems realiesiems x1
∂
∂(σ2)ln pσ2(x1) =
(x1 − a)2
2σ4− 1
2σ2.
Apskaiciuosime I(σ2) ir Dσ2S20 :
I(σ2) =n
4σ8Dσ2(X1 − a)2,
Dσ2S20 =
1
nDσ2(X1 − a)2.
Abiejuose reiskiniuose turime to paties atsitiktinio dydzio dispersija‘. Apskaiciuosime
ja‘. Is lygybes
Dσ2(X1 − a)2 =1
σ√
2π
∫ ∞
−∞(u− a)4 exp
(− (u− a)2
2σ2
)du−
−(
1
σ√
2π
∫ ∞
−∞(u− a)2 exp
(− (u− a)2
2σ2
)du
)2
po pakeitimo u− a = σy gauname
Dσ2(X1 − a)2 =σ4
√2π
∫ ∞
−∞y4e−y2/2dy −
(σ2
√2π
∫ ∞
−∞y2e−y2/2dy
)2
.
Pirma‘ji‘integrala
‘integruojame dalimis∫ ∞
−∞y4e−y2/2dy =
∫ ∞
−∞(−y3)de−y2/2 = 3
∫ ∞
−∞y2e−y2/2dy.
Visai taip pat∫ ∞
−∞y2e−y2/2dy =
∫ ∞
−∞(−y)de−y2/2 =
∫ ∞
−∞e−y2/2dy =
√2π.
Cia galejome naudotis ir II.9.1 pavyzdzio rezultatais. Todel
Dσ2(X1 − a)2 = 2σ4
ir
I(σ2) =n
2σ4, Dσ2S2
0 =2σ4
n.
Matome, kad S20 yra efektyvusis σ2 i
‘vertis.
Jei vietoj S20 imtume S2
1 , kuris, kaip mateme 5.6 pavyzdyje, yra nepaslinktasisσ2 i
‘vertis, tai gautume (apskaiciuokite!)
Pasikliautinieji intervalai 291
Dσ2S21 =
2σ4
n− 1.
Vadinasi, S21 nera efektyvusis σ2 i
‘vertis. Taciau
1/I(σ2)
Dσ2S21
= 1− 1
n
konverguoja i‘1, kai n → ∞. Toki
‘i‘verti
‘galima butu
‘pavadinti asimptotiskai efek-
tyviu.
Pastebesime (zr. [6], 33.3 skyreli‘), kad didziausio tiketinumo i
‘verciai, kai
patenkintos gana bendros sa‘lygos, yra asimptotiskai efektyvus.
Jei θ∗ yra bet kuris nepaslinktasis parametro θ i‘vertis, turintis dis-
persija‘, tai
1I(θ)Dθθ∗
paprastai vadinamas i‘vercio θ∗ efektyvumu.
Tenka pastebeti, kad ne visada egzistuoja efektyvus i‘verciai cia nurodyta
prasme. Kaip mateme, kai pasiskirstymas yra normalusis N(a, σ2) su nezi-nomais a, σ2, nepaslinktasis parametro σ2 i
‘vertis S2
1 turi dispersija‘2σ4/(n−
−1). Galima butu‘i‘rodyti, kad ji yra maziausia galima. Tuo tarpu 1/I(σ2) =
= 2σ4/n. Vadinasi, minimali pasiekiama reguliariu‘ju
‘i‘verciu
‘dispersija gali
buti didesne uz Rao–Kramero nelygybeje nurodyta‘apatini
‘rezi
‘.
Sia‘teorija
‘galima apibendrinti ir tuo atveju, kai pasiskirstymu
‘klase pri-
klauso nuo keliu‘realiu
‘ju
‘parametru
‘.
8. PASIKLIAUTINIEJI INTERVALAI
Jei nezinomam parametrui θ turime ”gera‘” i
‘verti
‘θ∗(X) ir x = (x1, ..., xn) yra
imties realizacija, tai galime laikyti θ ≈ θ∗(x1, ..., xn). Taciau toks parametroi‘vertinimo budas turi dideliu
‘trukumu
‘– juk θ∗(X1, ..., Xn) yra atsitiktinis
dydis. Kad ir koks ”geras” butu‘i‘vertis θ∗, jo reiksmes yra issibarsciusios apie
θ. Jei tas dydis yra tolydus, tai tikimybe jam i‘gyti konkrecia
‘reiksme
‘lygi
0. Todel, remdamiesi i‘verciais, galime rasti ne pacia
‘nezinomo parametro
reiksme‘, o tik sriti
‘, kuriai su tam tikra tikimybe priklauso vertinamasis
parametras. Jei ta tikimybe artima 1, tai praktiskai galime laikyti, jogparametras yra toje srityje.
Sakykime, reikia i‘vertinti nezinoma
‘parametra
‘θ. Imkime dvi statistikas
θ∗1(X1, ..., Xn) < θ∗2(X1, ..., Xn). Pazymekime
α = Pθθ∗1(X1, ..., Xn) < θ < θ∗2(X1, ..., Xn).
Jei α mazai skiriasi nuo 1, tai galime laikyti, kad praktiskai
292 Matematines statistikos pradmenys
θ∗1 < θ < θ∗2 .
Intervalas (θ∗1 , θ∗2) yra vadinamas parametro θ pasikliautinuoju intervalu, o
α – pasikliovimo tikimybe, arba pasikliovimo lygmeniu. 1 − α yra klaidostikimybe. Pasikliovimo tikimybe paprastai imama 0,9; 0,95; 0,99 ir pan. Siassa
‘vokas pasiule Dz. Neimanas1.
Statistikas θ∗1 ir θ∗2 galima parinkti i‘vairiausiais budais. Reikia stengtis,
kad tai paciai pasikliovimo tikimybei pasikliautinasis intervalas butu‘
kuotrumpesnis.
Sudarysime normaliojo pasiskirstymo N(a, σ2) parametru‘pasikliautinuo-
sius intervalus. Teks skirti atvejus, kai vienas is parametru‘a, σ2 yra zinomas,
o kitas – nezinomas, ir kai abu parametrai nezinomi.1. Tarkime, kad z i n o m a s σ2, o n e z i n o m a s a ∈ R. Tiesa, toks
atvejis turi tik teorine‘
reiksme‘: paprastai nezinome abieju
‘parametru
‘arba
zinome a, bet nezinome σ2. Mateme, kad X yra efektyvusis a i‘vertis. Juo ir
remsimes, sudarydami pasikliautinuosius intervalus. Imkime intervala‘(X −
−δ, X+δ); cia δ – teigiamas skaicius, kuri‘veliau parinksime. Apskaiciuosime
pasikliovimo tikimybe‘
α = Pa(X − δ < a < X + δ) = Pa(− δ
√n
σ<
1σ√n
n∑k=1
(Xk − a) <δ√n
σ
).
Kadangi Xk yra nepriklausomi ir kiekvienas is ju‘pasiskirste
‘s pagal N(a, σ2),
tai suma1
σ√n
n∑k=1
(Xk − a) = (X − a)√n
σ
yra pasiskirsciusi pagal desni‘N(0, 1) . Parinke
‘δ = σu/
√n, gauname
(1) α = Φ(u)− Φ(−u) = 2Φ(u)− 1 =
√2π
∫ u
0
e−y2/2dy.
Pasikliovimo tikimybe‘α parenkame, vadovaudamiesi praktiniais sumeti-
mais. Daznai tai bus ekonominiai samprotavimai. Turedami α, is (1) galimerasti u = u(α). Paprastai tam pravercia normaliojo pasiskirstymo lenteles.Zinodami u, randame pasikliautina
‘ji‘intervala
‘(X − σu√
n, X +
σu√n
).
Kuo didesnis α, tuo didesnis ir u(α), ir atvirksciai. Sakysime (zr., pvz., [17],1 lentele
‘),
1 Jerzy Neyman (1895–1981) – amerikieciu‘matematikas.
Pasikliautinieji intervalai 293
u(0, 9) ≈ 1, 64;u(0, 95) ≈ 1, 96;u(0, 99) ≈ 2, 58;u(0, 999) ≈ 3, 29.
Paeme‘didesni
‘α, turesime mazesne
‘klaidos tikimybe
‘1−α, taciau tada ir u(α)
bus didesnis bei platesnis pasikliautinasis intervalas, vadinasi, a i‘vertinsime
ne taip tiksliai. Pasikliautina‘ji‘intervala
‘galime susiaurinti, padidindami n (jei
tai leidzia eksperimento sa‘lygos). Jei is anksto parenkame α ir u, tai galime
rasti n.2. Tarkime, kad a yra z i n o m a s, o σ2 > 0 – n e z i n o m a s. 7.4
pavyzdyje parodeme, kad S0 yra efektyvusis σ2 i‘vertis. Nagrinekime intervala
‘(v1S2
0 , v2S20), kai 0 < v1 < v2. Ji
‘atitinka pasikliovimo tikimybe
α = Pσ2(v1S20 < σ2 < v2S
20) = Pσ2
(n
v2<
n∑k=1
(Xk − a
σ
)2
<n
v1
).
Is III.9.3 pavyzdzio zinome, kad suman∑k=1
(Xk − a
σ
)2
yra pasiskirsciusi pagal χ2 su n laisves laipsniu‘desni
‘. Todel, parinke
‘v1 =
= n/u2, v2 = n/u1, kai 0 < u1 < u2, turime
α = P (u1 < χ2n < u2) =
∫ u2
u1
pχ2n(y)dy.
Jei pasikliovimo tikimybe α yra duota, tai u1 ir u2 reikia taip parinkti, kad jietenkintu
‘ta
‘lygybe
‘. Aisku, tai galime padaryti be galo daug budu
‘. Paprastai
imama
(2)
∫ u1
0
pχ2n(y)dy =
1− α
2,∫ ∞
u2
pχ2n(y)dy =
1− α
2.
Rade‘u1 = u1(α), u2 = u2(α), gauname σ2 pasikliautina
‘ji‘intervala
‘(nu−1
2 (α)S20 , nu
−11 (α)S2
0
).
Spre‘sdami (2) lygtis, naudojames χ2
n pasiskirstymo lentelemis. Dideliemsn tokiu
‘lenteliu
‘nera. Ju
‘ir neverta sudarineti, nes atitinkamai normuotas
χ2n pasiskirstymas konverguoja i
‘normalu
‘ji‘
pasiskirstyma‘, kai n neapreztai
dideja. I‘rodysime si
‘fakta
‘. Kadangi χ2
n yra n normaliu‘ju
‘dydziu
‘, pasiskirs-
ciusiu‘pagal N(0, 1), kvadratu
‘suma, tai jo vidurkis yra n, o dispersija 2n (i
‘ro-
dykite!). Is centrines ribines teoremos (III.11.2 teoremos 2 isvados) isplaukia,kad
294 Matematines statistikos pradmenys
χ2n − n√
2n
yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal N(0, 1). Pasirodo, kad jau gana ne-
dideliems n liekamasis narys yra mazas. Yra sudarytos χ2n kvantiliu
‘ir ju
‘aproksimaciju
‘skirtumu
‘lenteles (zr. [17], IIIb lentele
‘).
3. Tirsime atveji‘, kai abu parametrai a ∈ R ir σ2 > 0 yra n e z i n o-
m i. Sudarydami pasikliautinuosius intervalus, jau negalime naudoti statistiku‘
√n(X − a)σ
, S20 ,
nes a ir σ2 yra nezinomi. Imsime statistikas√n(X − a)S1
, (n− 1)(S1
σ
)2
= n
(S
σ
)2
.
Laikysime, kad n > 1. Rasime ju‘pasiskirstymus. Mums reikes daugiamaciu
‘normaliu
‘ju
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘savybiu
‘.
Lema. Jei stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘
desni‘N(a, σ2), tai statistikos X ir S2 yra nepriklausomos, be to, statistika
(X − a)√n
σ=
1σ√n
n∑k=1
(Xk − a)
yra pasiskirsciusi pagal N(0, 1), statistika
(n− 1)(S1
σ
)2
=n∑k=1
(Xk − X
σ
)2
– pagal χ2 su n− 1 laisves laipsniu‘, o statistika
(X − a)√n
S1
– pagal Stjudento desni‘
su n− 1 laisves laipsniu‘.
I‘r o d y m a s. Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xn) charakteristine
funkcija pagal III.12 skyreli‘
fX(t) = expi(a, ..., a)t′ − 12σ2tt′;
cia t = (t1, ..., tn), o bruksnelis reiskia transponavima‘. Imkime ortogonalia
‘matrica
‘
Pasikliautinieji intervalai 295
C =
∥∥∥∥∥ c11 . . . c1n. . . . . . . . .cn1 . . . cnn
∥∥∥∥∥ ,kurioje c11 = ... = cn1 = n−1/2. Kadangi matrica yra ortogonali, tai
n∑k=1
ckjckl = 1, kai j = l,
0, kai j 6= l.
Is cian∑k=1
ckj = 0 (j = 2, ..., n).
Nagrinesime vektoriu‘Y = (Y1, ..., Yn) = XC. Aisku,
(3) X21 + ...+X2
n = Y 21 + ...+ Y 2
n .
Parodysime, kad atsitiktiniai dydziai Y1, ..., Yn yra nepriklausomi. VektoriausY charakteristine funkcija
fY (t) = fX(tC ′) = expi(a, ..., a)Ct′ − 1
2σ2tC ′Ct
=
= expiat1
√n− 1
2σ2tt′
.
Matome, kad atsitiktiniai dydziai Y1, ..., Yn yra normalieji ir kas du nekore-liuoti. Pagal III.13 skyrelio teorema
‘jie yra nepriklausomi. Be to,
Y1 = (X1 + ...+Xn)n−1/2 = X√n,
MY1 = a√n, MYk = 0 (k = 2, ..., n),
DYk = σ2 (k = 1, ..., n).
Is (3) isplaukia, kad dydziai
n∑k=1
(Xk − X)2 =n∑k=1
X2k − nX2 =
n∑k=2
Y 2k
ir Y1 yra nepriklausomi. Lieka remtis III.9.3 pavyzdziu.Is III.9.4 pavyzdzio isplaukia, kad statistika
(X − a)√n
S1
yra pasiskirsciusi pagal Stjudento desni‘su n− 1 laisves laipsniu
‘. ut
296 Matematines statistikos pradmenys
Dabar jau galime sudaryti pasikliautinuosius intervalus nezinomiemsparametrams a ir σ2. Juos imame pavidalo(
X − u1S1√n, X − u2S1√
n
), u1 > u2,(nS2
1
v1,nS2
1
v2
), v1 > v2 > 0.
Atitinkamos pasikliovimo tikimybes lygios
α′ = P(a,σ)
(u2 <
(X − a)√n
S1< u1
)=
∫ u1
u2
pStn−1(y)dy,
α′′ = P(a,σ)
(v2 < n
(S1
σ
)2
< v1
)=
∫ v1
v2
pχ2n−1
(y)dy;
cia pStn−1(y) yra Stjudento pasiskirstymo su n − 1 laisves laipsniu‘
tankis.Pasirinke
‘α′ ir α′′, skaicius u1, u2, v1, v2 paprastai randame is lygciu
‘
u2 = −u1,1− α′
2=
∫ ∞
u1
pStn−1(y)dy,
1− α′′
2=
∫ v2
0
pχ2n−1
(y)dy,
1− α′′
2=
∫ ∞
v1
pχ2n−1
(y)dy.
Palygine‘antra
‘ji‘pasikliautina
‘ji‘intervala
‘dispersijai i
‘vertinti, kai vidurkis
a yra nezinomas, su pasikliautinuoju intervalu, kai a yra zinomas (2 atve-jis), matome, kad abiem atvejais vartojamas χ2 pasiskirstymas, tik antruojuatveju su n laisves laipsniu
‘, o pirmuoju – su n− 1 laisves laipsniu
‘.
Ieskant pasikliautinu‘ju
‘intervalu
‘, tenka naudotis χ2 ir Stjudento pasi-
skirstymu‘
lentelemis (zr. [17], III, IV, V lenteles), kurios yra sudarytostik nedideliems n. Jau mateme, kad χ2 pasiskirstyma
‘dideliems n gali-
ma aproksimuoti normaliuoju pasiskirstymu. Taip yra ir su Stjudento pa-siskirstymu. Sio desnio su n laisves laipsniu
‘tankio funkcija (zr. III.9.4
pavyzdi‘) yra
pStn(y) =Γ(n+1
2
)√
n2 Γ
(n2
) · 1√2π
(1 +
y2
n
)−(n+1)/2
.
Pagal Stirlingo formule‘pirmasis dauginamasis konverguoja i
‘1, kai n → ∞.
Bet kuriam fiksuotam y
Pasikliautinieji intervalai 297
−n+ 12
ln(1 +
y2
n
)→ −y
2
2,
vadinasi,
pStn(y) → 1√2πe−y
2/2.
Toliau
(1 + y2/n)(n+1)/2 ≥ (1 + y2/n)[(n+1)/2] ≥ 1 + [(n+ 1)/2]y2/n ≥ 1 + y2/2.
Todel funkcija pStn(y) yra mazoruojama funkcijos
C(1 + y2/2)−1.
Pasireme‘V.9.16 teorema, gauname∫ u
−∞pStn(y)dy → 1√
2π
∫ u
−∞e−y
2/2dy = Φ(u),
kai n→∞.Si
‘teigini
‘galima ir kitaip i
‘rodyti. III.9.4 pavyzdyje atsitiktinis dydis,
pasiskirste‘s pagal Stjudento desni
‘, buvo nusakytas kaip dvieju
‘nepriklausomu
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘santykis. Skaitiklyje buvo atsitiktinis dydis, pasiskirste
‘s
pagal N(0, 1), o vardiklyje – kvadratine saknis is vienodai pasiskirsciusiu‘
nepriklausomu‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘aritmetinio vidurkio. Is Chincino teoremos
isplaukia, kad vardiklyje esancio atsitiktinio dydzio pasiskirstymas konver-guoja i
‘vienetini
‘pasiskirstyma
‘ε(y). Is cia isplaukia, kad minetu
‘ju
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘santykis yra pasiskirste
‘s pagal N(0, 1) (i
‘rodykite!).
4. Iki siol nagrinejome normaliojo pasiskirstymo parametru‘
i‘vertinima
‘.
Analogiskas teorijas galima sukurti ir kai kuriems kitiems pasiskirstymams.Taciau, kai eksperimento sa
‘lygos leidzia tureti daug stebejimo duomenu
‘,
daznai ju‘pasiskirstymas mazai skiriasi nuo normaliojo.
Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis turi nezinoma‘vidurki
‘a ∈ R
ir zinoma‘
dispersija‘σ2. Is centrines ribines teoremos (III.11.2 teoremos 2
isvada) isplaukia, kad normuotos sumos
(X − a)√n/σ
pasiskirstymas konverguoja i‘standartini
‘normalu
‘ji‘pasiskirstyma
‘. Vadinasi,
α = Pa(− u < (X − a)
√n/σ < u
)≈
√2π
∫ u
0
e−y2/2dy,
kai n yra pakankamai didelis. Pasirinke‘
pasikliovimo tikimybe‘α, is tos
apytiksles lygybes apskaiciuojame apytiksle‘u = u(α) reiksme
‘ir gauname
nezinomo vidurkio pasikliautina‘ji‘intervala
‘
298 Matematines statistikos pradmenys(X − σu√
n, X +
σu√n
).
Jei dispersija σ2 > 0 yra nezinoma, tai siuose i‘vertinimuose σ2 reikia
pakeisti S21 arba S2. Galima i
‘rodyti, kad dideliems n statistika (X−a)
√n/S1
yra apytiksliai pasiskirsciusi pagal N(0, 1) (priminsime, kad ir Stjudentopasiskirstymas, kai laisves laipsniu
‘skaicius yra didelis, mazai skiriasi nuo
N(0, 1)). Pasirinke‘α, randame u = u(α) is apytiksles lygybes
α = P(a,σ)
(− u < (X − a)
√n/S1 < u
)≈
√2π
∫ u
0
e−y2/2dy
ir sudarome nezinomo vidurkio pasikliautina‘ji‘intervala
‘(X − S1u√
n, X +
S1u√n
).
5. Baigdami paminesime dar viena‘
praktiskai svarbu‘
pasikliautinu‘ju
‘intervalu
‘sudarymo metoda
‘. Tarkime, kad nezinomam parametrui θ i
‘vertinti
naudojames statistika T (X), gauta didziausio tiketinumo metodu. Kai ten-kinamos gana bendros sa
‘lygos, atsitiktinis dydis
(T (X)− θ
)/D
1/2θ T (X) yra
asimptotiskai pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘N(0, 1). Paeme
‘α, is apytiks-
les lygties
α = Pθ(− u <
T (X)− θ√DθT (X)
< u)≈
√2n
∫ u
0
e−y2/2dy
randame u = u(α) ir sudarome parametro θ pasikliautina‘ji‘intervala
‘(T (X)− u(α)
√DθT (X), T (X) + u(α)
√DθT (X)
).
P a v y z d y s. Fabriko cechas gamina kokias nors detales. Is jo vienos dienosprodukcijos atsitiktinai parenkame detale
‘, ja
‘pasveriame ir gra
‘ziname atgal. Po 24
sverimu‘gavome sitokius rezultatus (sakysime, gramais):
2, 1 2, 3 1, 9 2, 0 2, 1 2, 2 1, 8 1, 7 2, 1 2, 2 1, 9 2, 01, 9 2, 1 1, 8 2, 0 1, 9 2, 2 2, 1 2, 3 1, 9 2, 1 2, 2 2, 0
Laikydami, kad detaliu‘svoris pasiskirste
‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘, i
‘vertinsime jo
vidurki‘ir dispersija
‘.
Turimex ≈ 2, 0333, s2 ≈ 0, 0247, s21 ≈ 0, 0258.
Paeme‘α′ = α′′ = 0, 98, is Stjudento pasiskirstymo lenteliu
‘(su 23 laisves laipsniais)
randameu1 = −u2 ≈ 2, 4999,
o is χ2 lenteliu‘(su 23 laisves laipsniais)
Statistiniu‘hipoteziu
‘tikrinimas 299
v1 ≈ 41, 638, v2 ≈ 10, 196.
Vidurkio pasikliautinojo intervalo galai yra
x− u1s1√23
≈ 1, 9496, x+u1s1√
23≈ 2, 1170,
o dispersijos24s2
v1≈ 0, 0142,
24s2
v2≈ 0, 0581.
9. STATISTINIU‘
HIPOTEZIU‘
TIKRINIMAS
Si‘
uzdavini‘
jau formulavome 1 skyrelyje. Priminsime, kad statistinemisvadiname hipotezes apie stebimojo atsitiktinio dydzio arba keliu
‘dydziu
‘pasiskirstyma
‘. Statistines bus, pavyzdziui, hipotezes: stebimasis atsitikti-
nis dydis yra pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘
desni‘, dvieju
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘vidurkiai yra lygus, vieno atsitiktinio dydzio dispersija yra didesne negu kito.
Su tokiais uzdaviniais daznai susiduriame praktikoje. Sakysime, kokiainors ligai gydyti yra vartojami zinomi vaistai. Rasti nauji vaistai. Ar jie busefektyvesni uz senuosius? Fabrikas gamina elektros lemputes. Siuloma pakeistitechnologini
‘procesa
‘. Ar nauju budu pagamintos lemputes degs ilgiau?
Sakykime, turime pasiskirstymu‘
klase‘Pθ, θ ∈ Θ ir Θ0 yra aibes Θ
poaibis. Statistine hipoteze bus teiginys, kad stebimojo atsitiktinio dydziopasiskirstymas Pθ priklauso klasei Pθ, θ ∈ Θ0, kitaip tariant θ ∈ Θ0. Tikri-namoji hipoteze paprastai vadinama pagrindine, arba nuline, ir zymima H0.Kartu nagrinejama ir priesinga jai hipoteze H1. Ji vadinama konkuruojancia,arba alternatyvia
‘ja, hipoteze, arba tiesiog alternatyva. Tai bus teiginys, kad
θ ∈ Θ1 = Θ\Θ0. Jei aibe Θ0 yra sudaryta is vieno tasko, tai hipoteze vadi-nama paprasta
‘ja. Priesingu atveju ji vadinama sudetinga
‘ja.
Jei, pavyzdziui, turime klase‘normaliu
‘ju
‘pasiskirstymu
‘su zinomomis dis-
persijomis, bet nezinomais vidurkiais a ∈ R, tai teiginys, kad stebimojodydzio vidurkis a = 5, yra paprastoji hipoteze, o jos alternatyva yra teiginysa 6= 5. Teiginys a > 5 yra sudetingoji hipoteze.
Matematine statistika nagrineja kriterijus arba testus, kurie leistu‘spre
‘sti,
ar stebejimo duomenys suderinami su nuline hipoteze.Kriteriju
‘sudarymo ideja sitokia. Erdve
‘Rn suskaidome i
‘dvi sritis – Bore-
lio aibes: R0 ir R1 = Rn\R0. Sriti‘R1 parenkame taip, kad tikimybes imciai
X = (X1, ..., Xn) patekti i‘ta
‘sriti
‘, kai hipoteze H0 yra teisinga,
Pθ(X ∈ R1), θ ∈ Θ0,
butu‘mazos. Susitariame, kad hipotezeH0 nesuderinama su stebejimo duome-
nimis ir todel yra atmestina, kai x ∈ R1. Si sritis paprastai vadinama kritine.
300 Matematines statistikos pradmenys
Jei x ∈ R0, tai laikome hipoteze‘H0 suderinama su stebejimo duomenimis ir
todel priimtina.Si procedura negarantuoja, kad padarytoji isvada bus visada teisinga.
Mes galime tik teigti, kad ji bus teisinga su tam tikra tikimybe. Jei tikimybesPθ(X ∈ R1), θ ∈ Θ0, yra mazos, tai praktiskai labai retai atmesime hipoteze
‘H0, kai ji teisinga. Sakysime, jei tos tikimybes ne didesnes kaip 0,01, taividutiniskai ne daugiau kaip viena
‘karta
‘is 100 atmesime teisinga
‘hipoteze
‘.
Naudodamiesi statistiniu kriterijumi, galime padaryti dvieju‘rusiu
‘klaidas:
atmesti, kaip jau minejome, hipoteze‘H0, kai ji yra teisinga (pirmosios rusies
klaida), arba priimti H0, nors ji klaidinga (antrosios rusies klaida). Galimiatvejai nurodyti lenteleje.
Isvada
Priimta H0 Atmesta H0
H0 teisinga Teisingai I rusies klaidaH0 klaidinga II rusies klaida Teisingai
Geriausia butu‘kriterijus sudaryti taip, kad abieju
‘rusiu
‘klaidu
‘tikimybes
butu‘
minimalios. Deja, kai stebejimu‘
skaicius yra ribotas, to padaryti ne-galima. Prapletus kritine
‘sriti
‘, antrosios rusies klaidos tikimybe sumazes,
bet padides pirmosios rusies klaidos tikimybe, ir atvirksciai. Todel paprastaiparenkamas rezis, kurio neturetu
‘virsyti pirmosios rusies klaidos tikimybe,
ir stengiamasi minimizuoti antrosios rusies klaidos tikimybe‘. Kitaip tariant,
parenkamas nedidelis skaicius α ∈ (0, 1), vadinamas reiksmingumo lygmeniu,ir reikalaujama, kad pirmosios rusies klaidos tikimybe butu
‘ne didesne uz ta
‘skaiciu
‘supθ∈Θ0
Pθ(X ∈ R1) ≤ α,
o antrosios rusies klaidos tikimybe
Pθ(X ∈ R0), θ ∈ Θ1,
butu‘kiek galima mazesne, t. y. tikimybe
β(θ) = Pθ(X ∈ R1) = 1− Pθ(X ∈ R0), θ ∈ Θ1,
vadinama kriterijaus galia, kiek galima didesne. Si tikimybe, traktuojamakaip θ funkcija visiems θ ∈ Θ, yra vadinama kriterijaus galios funkcija. β(θ)reiskia tikimybe
‘atmesti hipoteze
‘H0, kai tikroji parametro reiksme yra θ.
Tarkime, kad turime du kriterijus su kritinemis sritimisR1 irR′1, turinciusta
‘pati
‘reiksmingumo lygmeni
‘. Kriterijus su kritine sritimi R1 vadinamas
tolygiai galingesniu uz kriteriju‘su kritine sritimi R′1, jei
Fundamentalioji Neimano–Pirsono lema 301
Pθ(X ∈ R1) ≤ Pθ(X ∈ R′1), θ ∈ Θ0,
Pθ(X ∈ R1) ≥ Pθ(X ∈ R′1), θ ∈ Θ1.
Kriteriju‘
su kritine sritimi R1 ir reiksmingumo lygmeniu α vadinametolygiai galingiausiu, jei
supR′1
Pθ(X ∈ R′1) = Pθ(X ∈ R1), θ ∈ Θ1;
cia supremumas imamas pagal visas kritines sritis R′1 su reiksmingumo lyg-meniu α. Kai alternatyva yra paprastoji (Θ1 turi tik viena
‘elementa
‘), tolygiai
galingiausia‘kriteriju
‘vadiname tiesiog galingiausiu.
10. FUNDAMENTALIOJI NEIMANO–PIRSONO
LEMA
Praeitame skyrelyje nagrinetus statistinius kriterijus galime aprasyti sitokiubudu. Kiekvienam x ∈ Rn apibreziame funkcija
‘ψ(x), i
‘gyjancia
‘dvi reiksmes:
0 ir 1, ir susitariame tikrinama‘ja
‘hipoteze
‘atmesti, kai imciai x ta funkcija
i‘gyja reiksme
‘1, arba priimti, kai ji i
‘gyja reiksme
‘0. Jei ψ(x) yra Borelio
funkcija, tai ji nusako erdveje Rn dvi sritis: kritine‘sriti
‘R1 = x : ψ(x) = 1
ir jos papildoma‘ja
‘sriti
‘R0 = x : ψ(x) = 0.
Praplesime funkciju‘ψ klase
‘, nagrinedami Borelio funkcijas, apibreztas
erdveje Rn ir galincias i‘gyti reiksmes is intervalo [0, 1]. Paeme
‘tokia
‘funkcija
‘,
sudarysime naujo tipo kriteriju‘. Kai imciai x turime ψ(x) = 1 arba ψ(x) = 0,
tai, kaip ir anksciau, hipoteze‘H0 atmetame arba priimame. Jei 0 < ψ(x) < 1,
tai hipoteze‘H0 su tikimybe ψ(x) atmetame ir su tikimybe 1−ψ(x) priimame.
Ta‘
procedura‘
galima interpretuoti sitaip: kiekvienai imciai x atliekameatsitiktini
‘eksperimenta
‘su dviem galimais rezultatais, kuriu
‘tikimybes yra
ψ(x) ir 1− ψ(x). Gave‘pirma
‘ji‘rezultata
‘, hipoteze
‘atmetame, gave
‘antra
‘ji‘–
priimame.Tokius kriterijus vadiname randomizuotais (nuo anglu
‘kalbos zodzio ran-
dom – atsitiktinis). 9 skyrelyje nagrineti kriterijai vadinami nerandomizuotaisarba determinuotais.
Funkcija‘
β(θ) = β(θ, ψ) = Mθψ(X), θ ∈ Θ,
vadinsime randomizuoto kriterijaus galios funkcija. Uzdavinys yra rasti tokiasfunkcijas ψ, kad galia butu
‘didziausia visiems θ ∈ Θ1, kai Mθψ(X) ≤ α
visiems θ ∈ Θ0.Toliau nagrinesime tik atveji
‘, kai hipoteze ir jos alternatyva yra paprasto-
sios, t. y. Θ0 = θ0, Θ1 = θ1. Pazymekime Kα klase‘funkciju
‘ψ, kurioms
pirmosios rusies klaidos tikimybe yra ne didesne uz α:
302 Matematines statistikos pradmenys
Kα = ψ : Mθ0ψ(X) ≤ α.
Kriteriju‘su funkcija ψ∗ ∈ Kα vadinsime galingiausiu, jei
β(θ1, ψ∗) = supψ∈Kα
β(θ1, ψ),
kitaip tariant, jei antrosios rusies klaidos tikimybe tenkina sa‘lyga
‘
Mθ1
(1− ψ∗(X)
)= infψ∈Kα
Mθ1
(1− ψ(X)
).
Laikysime, kad pasiskirstymus Pθk(k = 0, 1) dominuoja matas µ su tankio
funkcijomis pθk(x) = pθk
(x1) ... pθk(xn) (k = 0, 1).
Parodysime, kad galingiausias kriterijus egzistuoja ir rasime jo pavidala‘.
Teorema (fundamentalioji Neimano–Pirsono lema). Kiekvienamα ∈ (0, 1) galima rasti tokias konstantas c = cα ir h = hα, kad funkcijai
ψ∗(x) =
1, kai pθ1(x) > hpθ0(x),c, kai pθ1(x) = hpθ0(x),0, kai pθ1(x) < hpθ0(x),
butu‘
teisinga lygybeMθ0ψ
∗(X) = α
ir ja pagri‘stas kriterijus butu
‘galingiausias tarp klases Kα funkcijas atitin-
kanciu‘
kriteriju‘.
I‘r o d y m a s. 1. Nagrinekime funkcija
‘
w(h) = Pθ0(pθ1(X) > hpθ0(X)
)=
∫x:pθ1 (x)>hpθ0 (x)
pθ0(x)µ(dx).
Si funkcija yra nedidejanti, tolydi is desines, w(h) = 1, kai h < 0, irw(h) → 0, kai h→∞.
Kai α ∈ (0, 1), pazymekime hα maziausia‘h, kuriam
w(h) ≤ α ≤ w(h− 0).
Jei w(hα − 0)− w(hα) > 0, imkime
cα =α− w(hα)
w(hα − 0)− w(hα).
Jei w(hα − 0)− w(hα) = 0, tai imkime cα = 1. Apskaiciuosime
Mθ0ψ∗(X) =
∫Rn
ψ∗(x)pθ0(x)µ(dx).
Fundamentalioji Neimano–Pirsono lema 303
Integravimo sriti‘galime suskaidyti i
‘tris viena kitos nedengiancias sritis x :
pθ1(x) > hαpθ0(x), x : pθ1(x) = hαpθ0(x), x : pθ1(x) < hαpθ0(x).Pirmojoje srityje integralas lygus w(hα), antrojoje cα
(w(hα − 0) − w(hα)
),
treciojoje 0. Taigi
(1) Mθ0ψ∗(X) = w(hα) + cα
(w(hα − 0)− w(hα)
)= α.
2. Tarkime, kad ψ yra bet kuri klases Kα funkcija. Parodysime, kad
Mθ1ψ∗(X)−Mθ1ψ(X) =
∫Rn
(ψ∗(x)− ψ(x)
)pθ1(x)µ(dx) ≥ 0.
Imame integrala‘∫Rn
(ψ∗(x)− ψ(x)
)(pθ1(x)− hαpθ0(x)
)µ(dx) =
=∫x:ψ∗(x)>ψ(x)
+∫x:ψ∗(x)<ψ(x)
.
Pirmajame integrale funkcija ψ∗(x) > 0, todel pagal jos apibrezima‘pθ1(x)−
−hαpθ0(x) ≥ 0. Is cia isplaukia, kad tas integralas yra neneigiamas. Visaitaip pat antrajame integrale funkcija pθ1(x) − hαpθ0(x) ≤ 0; todel ir tasintegralas yra neneigiamas. Is cia∫
Rn
(ψ∗(x)− ψ(x)
)pθ1(x)µ(dx) ≥
≥ hα
∫Rn
(ψ∗(x)− ψ(x)
)pθ0(x)µ(dx) =
= hα(Mθ0ψ
∗(X)−Mθ0ψ(X)).
Remiantis klases Kα apibrezimu ir (1) lygybe, sis reiskinys yra neneigia-mas. ut
I‘rodinedami kriterijaus su funkcija ψ∗ galinguma
‘klaseje Kα, rememes
savybe, kad to kriterijaus pirmosios rusies klaidos tikimybe yra α. Tarprandomizuotu
‘kriteriju
‘toks kriterijus visada egzistuoja. Jei apsiribotume
nerandomizuotais kriterijais, tai ne kiekvienam α butu‘galima rasti toki
‘h,
kad funkcija‘
(2) ψ(x) =
1, kai pθ1(x) ≥ hpθ0(x),0, kai pθ1(x) < hpθ0(x),
atitinkancio kriterijaus pirmosios rusies klaidos tikimybe butu‘
lygi α. Jeikuriam nors α toki
‘h galima rasti, tai kriterijus su funkcija ψ bus galingiausias
klaseje Kα.
304 Matematines statistikos pradmenys
Jei funkcija w(h) yra tolydi, tai galingiausias kriterijus bus nerandomi-zuotas visiems α ∈ (0, 1); ji
‘atitinkanti funkcija bus (2) pavidalo.
Jei kuriam nors α funkcija w(h) taske hα yra tolydi: w(hα− 0) = w(hα),tai galingiausias kriterijus bus taip pat nerandomizuotas. Vadinasi, jei duo-tas kuris nors reiksmingumo lygmuo α, tai, pakeite
‘ji‘
siek tiek mazesniu(sakysime, skaiciumi w(hα) − ε), gausime nerandomizuota
‘kriteriju
‘. Toks
pakeitimas sumazina pirmosios rusies klaidos tikimybe‘, bet padidina antro-
sios rusies klaidos tikimybe‘. Taciau taip keisti apsimoka, nes nerandomizuoti
kriterijai yra paprastesni uz randomizuotus.Pastebesime, kad galingiausias kriterijus yra pagri
‘stas funkcija
pθ1(x)pθ0(x)
=pθ1(x1)...pθ1(xn)pθ0(x1)...pθ0(xn)
,
t. y. tiketinumo funkciju‘realizaciju
‘santykiu. Daznai patogu imti jos logaritma
‘
z = z(x) =n∑k=1
lnpθ1(xk)pθ0(xk)
ir funkcija‘ψ∗ uzrasyti sitaip:
ψ∗(x) =
1, kai z(x) > dα,cα, kai z(x) = dα,0, kai z(x) < dα.
11. HIPOTEZIU‘
APIE PASISKIRSTYMOPARAMETRUS TIKRINIMAS
Keliais pavyzdziais parodysime, kaip sudaromi kriterijai statistinems hipote-zems apie pasiskirstymo parametrus tikrinti. Remsimes 10 skyrelyje isdestytateorija.
1. Sakykime, turime normalu‘ji‘pasiskirstyma
‘su n e z i n o m u v i-
d u r k i u a ∈ R, bet z i n o m a d i s p e r s i j a σ2, ir reikia patikrintihipoteze
‘H0, kad a = a0, kai alternatyva yra a = a1 > a0 (nepainioti a1
su empiriniu vidurkiu!). Tiketinumo funkciju‘realizaciju
‘santykio logaritmo
pagrindinis narys yra lygus
− 12σ2
n∑k=1
(xk − a1)2 +1
2σ2
n∑k=1
(xk − a0)2 =
= n(a1 − a0)x/σ2 +12n(a2
1 − a20)/σ
2.
Hipoteziu‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas 305
Siuo atveju funkcija w(h) yra tolydi. Todel galesime sudaryti galingiausia‘
nerandomizuota‘kriteriju
‘. Kritine sritis bus pavidalo
(x− a0)√n/σ ≥ u.
Jei hipoteze H0 yra teisinga, tai statistika (X − a0)√n/σ, kaip zinome is 8
skyrelio, yra pasiskirsciusi pagal N(0, 1). Pirmosios rusies klaidos tikimybe
(1) α = Pa0
((X − a0)
√n/σ ≥ u
)=
1√2π
∫ ∞
u
e−v2/2dv = 1− Φ(u).
Is sios lygybes randame u = uα; jis yra standartinio normaliojo pasiskirstymo(1− α)-kvantilis. Kriterijaus galia
β(a1) = Pa1
((X − a0)
√n/σ ≥ uα
)= Pa1
((X − a1)
√n/σ ≥
≥ uα + (a0 − a1)√n/σ
)= 1− Φ
(uα + (a0 − a1)
√n/σ
).
Matome, kad tikimybe atmesti H0 yra lygi kriterijaus reiksmingumo lygme-niui, kai a = a0, ir monotoniskai arteja prie 1, kai a1 → ∞. Is cia taip patmatome, kad, paeme
‘pakankamai dideli
‘n, kriterijaus galia
‘galime padaryti
kiek norima artima‘1. Galios funkcijos grafikas pavaizduotas 34 paveiksle.
Kritines srities pavidalas nepriklauso nuo alternatyvos a = a1. Todelgautasis kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai alternatyva yra sudetinga:Θ1 = a : a > a0.
Jei alternatyva yra a = a1 < a0, tai hipoteze‘
atmetame, kai konkretiimtis tenkina nelygybe
‘(x− a0)
√n/σ ≤ u.
Skaiciu‘u = uα randame is lygties
(2) α = Φ(u);
jis yra α-kvantilis. Kriterijaus galia
34 pav.
306 Matematines statistikos pradmenys
β(a1) = Pa1
((X − a0)
√n/σ ≤ u
)= Pa1
((X − a1)
√n/σ ≤
≤ uα + (a0 − a1)√n/σ
)= Φ
(uα + (a0 − a1)
√n/σ
).
Galios funkcijos grafikas pavaizduotas 35 paveiksle.
35 pav.
Ir sis kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai turime sudetinga‘alternatyva
‘Θ1 = a : a < a0.
Panagrinekime alternatyva‘a = a1 6= a0. Hipoteze
‘atmetame, kai konkreti
imtis tenkina nelygybe‘
|x− a0|√n/σ ≥ u.
Hipoteziu‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas 307
Skaiciu‘u = uα rasime is lygties
(3)α = Pa0
(|X − a0|
√n/σ ≥ u
)=
=1√2π
∫|y|≥u
e−v2/2dv = Φ(−u) + 1− Φ(u) = 2
(1− Φ(u)
);
jis yra (1− α/2)-kvantilis. Galios funkcija
β(a1) = Φ(− uα + (a0 − a1)
√n/σ
)+ 1− Φ
(uα + (a0 − a1)
√n/σ
).
Jos grafikas pavaizduotas 36 paveiksle.Sis kriterijus nera tolygiai galingiausias sudetingai alternatyvai Θ1 = a :
a 6= a0. Is tikru‘ju
‘galingiausio paprastajai alternatyvai a = a1 6= a0 krite-
rijaus kritine sritis priklauso nuo a1 (ji yra vienokia, kai a1 < a0, ir kitokia,kai a1 > a0).
Paskutini‘ji‘is nagrinetu
‘kriteriju
‘galima butu
‘pavadinti dvipusiu, o pir-
muosius du – vienpusiais: desiniapusiu ir kairiapusiu.Jei pasiskirstymas nera normalusis, bet turi zinoma
‘dispersija
‘σ2, tai gali-
me pasinaudoti statistikos (X − a)√n/σ asimptotiniu normalumu. Hipotezei
a = a0 su atitinkamomis alternatyvomis kriteriju‘
kritines sritys gali butisudarytos taip pat, kaip ir turint normalu
‘ji‘
pasiskirstyma‘, tik (1), (2), (3)
lygtis skaiciams uα rasti reiketu‘
pakeisti apytikslemis lygtimis, tuo tik-slesnemis, kuo didesnis n.
36 pav.
2. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis i‘gyja dvi reiksmes: 1 ir 0
su tikimybemis atitinkamai p ir 1 − p. Tikimybe p ∈ (0, 1) yra n e z i-n o m a. Reikia patikrinti hipoteze
‘p = p0, kai alternatyva yra p = p1 < p0.
Tiketinumo funkciju‘realizaciju
‘santykis yra
n∏k=1
(p1
p0
)xk(1− p1
1− p0
)1−xk
,
308 Matematines statistikos pradmenys
o jo logaritmas
κn ln1/p0 − 11/p1 − 1
+ n ln1− p1
1− p0;
cia κn = x1 + ... + xn yra sveikasis neneigiamas skaicius, o jo koeficientas –neigiamas. Todel funkcija ψ∗ yra sitokio pavidalo:
ψ∗(x) =
1, kai κn < m,c, kai κn = m,0, kai κn > m.
Tarkime, kad reiksmingumo lygmuo yra α. Pirmosios rusies klaidos tikimybeturi buti
α = cPp0(X1 + ...+Xn = m) +∑k<m
Pp0(X1 + ...+Xn = k).
Is cia reikia rasti c = cα ir m = mα. Kadangi statistika X1 + ... + Xn, kaiteisinga nuline hipoteze, yra pasiskirsciusi pagal binomini
‘desni
‘su p = p0,
taiPp0(X1 + ...+Xn = k) =
(n
k
)pk0(1− p0)n−k.
Jei egzistuoja toks sveikasis m, kadm∑k=0
(n
k
)pk0(1− p0)n−k = α,
tai ji‘
ir laikome mα; tada cα imame lygu‘
1. Gauname galingiausia‘
neran-domizuota
‘kriteriju
‘. Jei tokio sveikojo m nera, tai parenkame sveika
‘mα su
sa‘lyga
mα−1∑k=0
(n
k
)p0(1− p0)n−k < α <
mα∑k=0
(n
k
)p0(1− p0)n−k.
Tada
cα =
α−mα−1∑k=0
(n
k
)pk0(1− p0)n−k(
n
mα
)pmα0 (1− p0)n−mα
.
Vel gauname galingiausia‘, taciau randomizuota
‘kriteriju
‘.
Kritiskosios srities pavidalas nepriklauso nuo alternatyvos p = p1. Todelgautasis kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai alternatyva yra sudetinga:Θ1 = p : p < p0.
Praktiskai abiem atvejais, kaip buvo rasyta 10 skyrelyje, vartojamasnerandomizuotas kriterijus su funkcija
Hipoteziu‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas 309
ψ(x) = 1, kai κn ≤ m,
0, kai κn > m.
Paliekame skaitytojui uzrasyti galios funkcija‘bei isnagrineti atvejus, kai al-
ternatyva yra p = p1 > p0 arba p = p1 6= p0.
1 p a v y z d y s. Laboratorijoje tiriami nauji vaistai kuriai nors ligai gydyti.Vaistu
‘atradejai teigia, kad jie efektyvus 80% atveju
‘. Laboratorijoje vaistus tikrino
7 kartus, ir 4 kartus jie buvo efektyvus. Patikrinsime, ar sie duomenys atitinkaatradeju
‘teigini
‘, kai reiksmingumo lygmuo α = 0, 1.
Tikrinsime hipoteze‘H0 : p = 0, 8, kai alternatyva yra H1 : p = p1 < 0, 8.
Nesunku suskaiciuoti, kad
3∑k=0
(7
k
)0, 8k · 0, 27−k ≈ 0, 033
ir (7
4
)0, 84 · 0, 23 ≈ 0, 115,
4∑k=0
(7
k
)0, 8k · 0, 27−k ≈ 0, 148.
Todel m0,1 = 4 ir c0,1 ≈ 0, 58. Turime galingiausia‘
randomizuota‘
kriteriju‘
sufunkcija
ψ∗(x) =
1, kai κ7 < 4,c0,1, kai κ7 = 4,0, kai κ7 > 4,
ir nerandomizuota‘kriteriju
‘su funkcija
ψ(x) =
1, kai κ7 ≤ 4,0, kai κ7 > 4.
Jei pasirinksime nerandomizuota‘
kriteriju‘, tai hipoteze
‘teks atmesti. Jei im-
sime randomizuota‘kriteriju
‘, tai hipoteze
‘atmesime su tikimybe c0,1 ≈ 0, 58, o su
tikimybe 1− c0,1 ≈ 0, 42 laikysime ja‘priimtina.
Skaiciavimai palengves, pasinaudojus lygybem∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k = 1− Ip(m+ 1, n−m);
ciaIp(m,n) =
1B(m,n)
∫ p
0
ym−1(1− y)n−1dy,
B(m,n) =∫ 1
0
ym−1(1− y)n−1dy.
Yra sudarytos lenteles (zr. [17], XII lentele‘; [2], 5.1, 5.2 lenteles). Vartojamos
taip pat i‘vairios apytiksles formules (Muavro–Laplaso, Puasono teoremos ir
t. t.).
310 Matematines statistikos pradmenys
3. Stebime atsitiktini‘
dydi‘, pasiskirsciusi
‘pagal Puasono desni
‘su n e-
z i n o m u p a r a m e t r u λ > 0. Reikia patikrinti hipoteze‘λ = λ0,
kai alternatyva yra λ = λ1 > λ0. Tiketinumo funkciju‘
realizaciju‘
santykiologaritmas yra
(x1 + ...+ xn) lnλ1
λ0− n(λ1 − λ0);
cia x1 + ...+ xn yra sveikasis neneigiamas skaicius, jo koeficientas yra teigia-mas. Imame funkcija
‘
ψ∗(x) =
1, kai x1 + ...+ xn > m,c, kai x1 + ...+ xn = m,0, kai x1 + ...+ xn < m.
Skaicius c = cα ir m = mα reikia rasti is lygties
α = cPλ0(X1 + ...+Xn = m) +∑k>m
Pλ0(X1 + ...+Xn = k).
Statistika X1 + ...+Xn, kai teisinga nuline hipoteze, yra pasiskirsciusi pagalPuasono desni
‘su parametru λ0n. Todel
Pλ0(X1 + ...+Xn = k) =(λ0n)k
k!e−λ0n.
Jei egzistuoja sveikasis skaicius m, tenkinantis sa‘lyga
‘
∞∑k=m
(λ0n)k
k!e−λ0n = α,
tai ji‘
ir laikome mα; tada cα = 1. Gauname galingiausia‘
nerandomizuota‘
kriteriju‘. Jei tokio sveikojo m nera, tai galime rasti sveika
‘ji‘mα su sa
‘lyga
∞∑k=mα+1
(λ0n)k
k!e−λ0n < α <
∞∑k=mα
(λ0n)k
k!e−λ0n.
Tada cα imame lygu‘
cα =
α−∞∑
k=mα+1
(λ0n)k
k!e−λ0n
(λ0n)mα
mα!e−λ0n
.
Gauname randomizuota‘galingiausia
‘kriteriju
‘.
Hipoteziu‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas 311
Is cia kritines srities pavidalas nepriklauso nuo alternatyvos λ = λ1 > λ0.Kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai alternatyva yra sudetinga: Θ1 = λ :: λ > λ0.
Praktiskai abiem atvejais vartojamas nerandomizuotas kriterijus su funk-cija
ψ(x) = 1, kai x1 + ...+ xn ≥ m,
0, kai x1 + ...+ xn < m.Siulome skaitytojui isnagrineti galios funkcija
‘bei sudaryti kriterijus, kai
alternatyvos yra λ = λ1 < λ0 arba λ = λ1 6= λ0.Praktiniuose skaiciavimuose galima naudotis lygybe
m∑k=0
λk
k!e−λ = P (χ2
2m+2 > 2λ),
atitinkamomis lentelemis (zr. [17], III lentele‘; [2], 5.3 lentele
‘) bei i
‘vairiomis
apytikslemis formulemis.4. Nagrinesime normalu
‘ji‘pasiskirstyma
‘, kai a b u p a r a m e t r a i
a ∈ R ir σ2 > 0 yra n e z i n o m i. Tikrinsime hipoteze‘H0, kad a = a0.
Statistika (X−a0)√n/S1, kai teisinga H0, yra pasiskirsciusi pagal Stjudento
desni‘su n− 1 laisves laipsniu
‘(zr. 8 skyrelio lema
‘).
Kai alternatyva yra a = a1 > a0, hipoteze atmetama, jei
(x− a0)√n/s1 ≥ u.
Tadaα = Pa0
((X − a0)
√n/S1 ≥ u
)=
∫ ∞
u
pStn−1(v)dv;
u = uα yra Stjudento pasiskirstymo su n−1 laisves laipsniu‘(1−α)-kvantilis.
Jei alternatyva yra a = a1 < a0, tai hipoteze‘atmetame, kai
(x− a0)√n/s1 ≤ u;
u = uα randame is lygybes
α =∫ u
−∞pStn−1
(v)dv;
uα yra atitinkamo Stjudento pasiskirstymo α-kvantilis.Pagaliau, kai alternatyva yra a = a1 6= a0, hipoteze atmetama, jei
|x− a0|√n/s1 ≥ u,
ir u = uα randamas is lygties
α =∫|v|≥u
pStn−1(v)dv.
312 Matematines statistikos pradmenys
Jei pasiskirstymas yra bet koks, taciau turi dispersija‘σ2, tai galima butu
‘parodyti, kad statistika (X − a0)
√n/S1 yra asimptotiskai pasiskirsciusi pa-
gal N(0, 1), kai hipoteze H0 : a = a0 yra teisinga. Tam pakanka pastebeti,kad statistika (X − a0)
√n/σ, kai teisinga nuline hipoteze, yra asimptotiskai
pasiskirsciusi pagal N(0, 1), o S1 konverguoja pagal tikimybe‘
i‘σ. Kritines
sritis galime konstruoti kaip ir 1 uzdavinyje. Skaiciai u randami is apytiksliu‘
lygybiu‘, analogisku
‘(1), (2), (3).
2 p a v y z d y s. Knygos pradzioje (I.2 skyrelyje) pasakojome, kad Biufonasmete moneta
‘4040 kartu
‘, ir 2048 kartus atvirto herbas. Ar sie duomenys atitinka
hipoteze‘, kad moneta yra simetriska, kai reiksmingumo lygmuo lygus 0,05?
Reikia patikrinti hipoteze‘, kad herbo atvirtimo tikimybe p = 0, 5, kai alter-
natyva yra p = p1 6= 0, 5. Statistika (X − 0, 5)√
2n, kai teisinga nuline hipoteze,
yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal N(0, 1). Kritine sritis yra |x− 0, 5|√
2n ≥ u.Skaiciu
‘u = u0,05 randame is apytiksles lygties
0, 05 ≈ 2(1− Φ(u)
).
Is cia Φ(u) ≈ 0, 975 ir u0,05 ≈ 1, 960. Vadinasi, kritine‘
sriti‘
galime imti |x −−0, 5| ≥ 1, 96(2n)−1/2 ≈ 0, 0218. Is Biufono duomenu
‘x − 0, 5 ≈ 0, 007. Hipoteze
priimtina.
5. Panagrinekime hipoteziu‘apie normaliojo pasiskirstymo dispersija
‘tik-
rinima‘. Tarkime, kad v i d u r k i s a yra z i n o m a s, o d i s p e r-
s i j a σ2 > 0 – n e z i n o m a, ir reikia patikrinti hipoteze‘σ2 = σ2
0 , kaialternatyva yra σ2 = σ2
1 > σ20 . Remsimes Neimano–Pirsono fundamentalia
‘ja
lema. Tiketinumo funkciju‘
realizaciju‘
santykio logaritmo pagrindinis narysyra
−12
( 1σ2
0
− 1σ2
1
) n∑k=1
(xk − a)2.
Todel hipoteze atmetama, kai
ns20/σ20 ≤ u.
Statistika nS20/σ
20 , kai teisinga nuline hipoteze, yra pasiskirsciusi pagal χ2 su
n laisves laipsniu‘. Skaiciu
‘u = uα randame is lygties
α =∫ u
0
pχ2n(v)dv.
Jis yra to pasiskirstymo α-kvantilis.Jei alternatyva yra σ2 = σ2
1 < σ20 , tai hipoteze atmetama, kai
ns20/σ20 ≥ u
su u = uα, lygiu (1− α)-kvantiliui.
Hipoteziu‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas 313
Alternatyvai σ2 = σ21 6= σ2
0 nuline hipoteze atmetama, kai
ns20/σ20 ≤ u′ arba ns20/σ
20 ≥ u′′;
cia u′ = u′α yra α/2-kvantilis, o u′′ = u′′α yra (1− α/2)-kvantilis.Siu
‘kriteriju
‘galios atitinkamai lygios
1− Fχ2n(uασ2
0/σ21), Fχ2
n(uασ2
0/σ21),
Fχ2n(u′ασ
20/σ
21) + 1− Fχ2
n(u′′ασ
20/σ
21).
Visi trys yra galingiausi, kai atitinkamos alternatyvos paprastosios. Pirmiejidu yra tolygiai galingiausi, kai alternatyvos sudetingos.
Jei vidurkis a ∈ R yra n e z i n o m a s, tai vietoj statistikos nS20/σ
20
imame statistika‘(n− 1)S2
1/σ20 . Kai teisinga nuline hipoteze, si statistika yra
pasiskirsciusi pagal χ2 su n − 1 laisves laipsniu‘. Kritines sritys sudaromos
analogiskai.6. Daznai tenka lyginti dvieju
‘atsitiktiniu
‘dydziu
‘nezinomus vidurkius.
Tarkime, kad du stebimieji atsitiktiniai dydziai yra pasiskirste‘pagalN(a1, σ
21)
ir N(a2, σ22) su n e z i n o m a i s v i d u r k i a i s a1 ∈ R, a2 ∈ R, bet z i-
n o m o m i s d i s p e r s i j o m i s σ21 ir σ2
2 . Stebime n kartu‘pirma
‘ji‘dydi
‘ir m kartu
‘– antra
‘ji‘. Gauname imtis X = (X1, ..., Xn) ir Y = (Y1, ..., Ym).
Imkime statistika‘
X − Y − b0√σ2
1/n+ σ22/m
.
Jei teisinga hipoteze a1−a2 = b0, tai ta statistika pasiskirsciusi pagal N(0, 1).Tikriname hipoteze
‘a1 − a2 = b0 su alternatyva a1 − a2 = b1 > b0.
Remdamiesi Neimano–Pirsono lema, gauname, kad hipoteze‘reikia atmesti,
kaix− y − b0√σ2
1/n+ σ22/m
≥ u.
Jei alternatyva yra a1 − a2 < b0, tai hipoteze‘atmetame, kai
x− y − b0√σ2
1/n+ σ22/m
≤ u.
Pagaliau, jei alternatyva yra a1 − a2 6= b0, tai hipoteze‘atmetame, kai
|x− y − b0|√σ2
1/n+ σ22/m
≥ u.
Lygtis skaiciams u = uα rasti paliekame parasyti skaitytojui. Galima butu‘
i‘rodyti, kad pirmieji du kriterijai yra tolygiai galingiausi sudetingoms desi-niapusei ir kairiapusei alternatyvoms.
314 Matematines statistikos pradmenys
Jei d i s p e r s i j o s σ21 ir σ2
2 n e r a z i n o m o s, bet zinomas ju‘
santykis σ21/σ
22 = λ, tai, sudarydami kritines sritis, galime naudotis statistika
X − Y − b0√(n− 1)S2
11 + λ(m− 1)S212
√λnm(n+m− 2)
n+ λm;
cia
(4) S211 =
1n− 1
n∑k=1
(Xk − X)2, S212 =
1m− 1
m∑k=1
(Yk − Y )2.
Jei teisinga hipoteze a1 − a2 = b0, tai analogiskai 8 skyrelio lemai galimaparodyti, kad si statistika pasiskirsciusi pagal Stjudento desni
‘su n +m − 2
laisves laipsniu‘.
Jei ir dispersiju‘santykis yra nezinomas, tai galima imti statistika
‘
X − Y − b0√(n− 1)S2
11 + (m− 1)S212
√nm(n+m− 2)
n+m.
Kai teisinga nuline hipoteze, ta statistika yra apytiksliai pasiskirsciusi pagalStjudento desni
‘su n+m− 2 laisves laipsniu
‘. Kritines sritis galima sudaryti
kaip ir anksciau. Taciau siuo atveju statistika gali patekti i‘kritine
‘sriti
‘ir del
dispersiju‘
skirtumo, nors nuline hipoteze apie vidurkius ir teisinga. Esamabudu
‘, leidzianciu
‘sumazinti σ2
1/σ22 i
‘taka
‘.
7. Tenka lyginti ir dvieju‘dydziu
‘dispersijas. Sakykime, turime du nor-
maliuosius atsitiktinius dydzius su n e z i n o m o m i s d i s p e r s i j o-m i s σ2
1 ir σ22 . Reikia patikrinti hipoteze
‘σ2
1 = λ0σ22 . Jei v i d u r k i a i a1
ir a2 yra z i n o m i, tai imame statistika‘S2
01/(λ0S202); cia
S201 =
1n
n∑k=1
(Xk − a1)2, S202 =
1m
m∑k=1
(Yk − a2)2.
Jei hipoteze teisinga, tai ta statistika pagal III.9.5 pavyzdi‘
turi Fiseriopasiskirstyma
‘su n ir m laisves laipsniu
‘.
Jei alternatyva yra σ21 > λ0σ
22 , tai hipoteze
‘atmetame, kai
s201/(λ0s202) ≥ u;
cia u = uα yra Fiserio pasiskirstymo su n irm laisves laipsniu‘(1−α)-kvantilis.
Jei alternatyva yra σ21 < λ2
0σ22 , tai hipoteze atmetama, kai
s201/(λ0s202) ≤ u;
cia u = uα yra α-kvantilis (zr. [17], VII lentele‘).
χ2 kriterijus 315
Pagaliau, jei alternatyva yra σ21 6= λ0σ
22 , tai nuline
‘hipoteze
‘atmetame,
kais201/(λ0s
202) ≤ u′ arba s201/(λ0s
202) ≥ u′′;
skaicius u′ = u′α yra Fiserio pasiskirstymo su m ir n laisves laipsniu‘α/2-
kvantilis, o u′′ = u′′α – to pasiskirstymo (1− α/2)-kvantilis.Jei v i d u r k i a i a1 ir a2 yra n e z i n o m i, tai nagrinejame
statistika‘S2
11/(λ0S212); dydziai S2
11 ir S212 apibrezti (4) formule. Si statis-
tika, kai teisinga nuline hipoteze, pagal 8 skyrelio lema‘
ir III.9.5 pavyzdi‘
turi Fiserio pasiskirstyma‘su n − 1 ir m − 1 laisves laipsniu
‘. Kritines sritys
sudaromos analogiskai.Paliekame skaitytojui parasyti tu
‘kriteriju
‘galios funkcijas.
3 p a v y z d y s. Detalems gaminti buvo pasiulyti du budai. Kadangi josgaminamos is reto metalo, tai buvo tiriama, kuriuo budu gaminant detale
‘, reikia
maziau metalo. Pirmuoju budu buvo pagamintos 6 detales; joms prireike 3,1; 3,8;3,6; 4,0; 3,4; 3,7 gramu
‘metalo. Antruoju budu pagamino 5 detales; joms prireike
4,1; 4,3; 4,7; 4,8; 4,6 gramu‘metalo.
Laikysime, kad abiem atvejais turime normalu‘ji‘
pasiskirstyma‘. Pirmiausia
patikrinsime hipoteze‘, ar su reiksmingumo lygmeniu 0,1 galime laikyti, kad abiem
atvejais dispersijos yra tos pacios. Turime:
x = 3, 6, y = 4, 5,
5s211 = 0, 5, 4s212 = 0, 34.
Kai teisinga si hipoteze, statistika S211/S
212 yra pasiskirsciusi pagal Fiserio desni
‘su
5 ir 4 laisves laipsniais. Randame jo 0,05 ir 0,95-kvantilius. Jie apytiksliai lygus 0,19ir 6,26, o s211/s
212 ≈ 1, 18. Hipoteze priimtina.
Laikydami, kad abi dispersijos yra lygios, patikrinsime, ar ir vidurkiai yra lygus.Reiksmingumo lygmeni
‘imsime 0,05. Rasime Stjudento pasiskirstymo su 9 laisves
laipsniais 0,975-kvantili‘. Jis lygus 2,26. Hipoteze
‘reikia atmesti, kai
|x− y|√5s211 + 4s212
√6 · 5 · 9
11≥ 2, 26.
Kairioji sios lygybes puse musu‘atveju yra apytiksliai lygi 4,87. Hipoteze atmestina.
12. χ2 KRITERIJUS
Tarp daugybes kriteriju‘statistinems hipotezems tikrinti svarbia
‘vieta
‘uzima
vadinamasis χ2 kriterijus, pasiulytas K. Pirsono. Jis yra gana paprastas irplaciai taikomas.
Tarkime, kad atliekame n nepriklausomu‘eksperimentu
‘. Atlikus bet kuri
‘eksperimenta
‘, i
‘vyksta vienas is nesutaikomu
‘i‘vykiu
‘A1, ..., Ar, A1∪ ...∪Ar =
= Ω, su pastoviomis tikimybemis p1, ..., pr; p1 + ... + pr = 1. Pazymekime
316 Matematines statistikos pradmenys
i‘vykio Ak i
‘vykimu
‘skaiciu
‘, atlikus n eksperimentu
‘, raide κk. Taigi κ1 + ...+
+κr = n. Statistiniai dazniai κ1/n, ..., κr/n yra tikimybiu‘pk i
‘verciai.
I‘vesime dazniu
‘κ1/n, ..., κr/n ir tikimybiu
‘p1, ..., pr nukrypimo mata
‘
r∑k=1
ck
(κkn− pk
)2
;
cia ck yra bet kokios teigiamos konstantos. Tinkamai jas parinkus, tasreiskinys turi paprastas asimptotines savybes. Taip, pavyzdziui, yra, kaick = n/pk. Pazymekime
∆n =r∑
k=1
(κk − npk)2
npk=
r∑k=1
κ2k
npk− n.
Lema. Jei kompleksinis skaicius z tenkina nelygybe‘|z| ≤ 1/2, tai∣∣∣ ln(1 + z)− z +
z2
2
∣∣∣ ≤ 23|z|3.
I‘r o d y m a s analogiskas III.10 skyrelio lemos i
‘rodymui. Turime∣∣∣ ln(1 + z)− z +
z2
2
∣∣∣ ≤ ∞∑k=3
|z|k
k≤ 1
3
∞∑k=3
|z|k =|z|3
3(1− |z|)≤ 2
3|z|3. ut
1 (Pirsono) teorema. ∆n yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal χ2 su
r − 1 laisves laipsniu‘.
I‘r o d y m a s. Tikimybe, kad κ1 = m1, ..., κr = mr, yra lygi
n!m1!...mr!
pm11 ...pmr
r .
Todel vektoriaus (κ1, ..., κr) charakteristine funkcija
f(κ1,...,κr)(t1, ..., tr) =
=∑
m1≥0,...,mr≥0m1+...+mr=n
ei(t1m1+...+trmr) n!m1!...mr!
pm11 ...pmr
r =
= (p1eit1 + ...+ pre
itr )n.
Pazymekime
Zk =κk − npk√
npk(k = 1, ..., r).
χ2 kriterijus 317
Tada
∆n =r∑
k=1
Z2k ,
r∑k=1
Zk√pk = 0.
Vektoriaus Z = (Z1, ..., Zr) charakteristine funkcija
fZ(t1, ..., tr) = exp(− i√n
r∑k=1
tk√pk
)f( t1√
np1, ...,
tr√npr
)=
=( r∑k=1
pkeitk/
√npk
)nexp
(− i√n
r∑k=1
tk√pk
).
Pasinaudoje‘nelygybe (zr. III.8 skyrelio lema
‘)∣∣∣eiv − 1− iv +
v2
2
∣∣∣ ≤ |v|3
6,
teisinga visiems realiesiems v, ir laikydami n pakankamai dideliu, gauname
ln fZ(t1, ..., tr) = n lnr∑
k=1
pkeitk/
√npk − i
√n
r∑k=1
tk√pk =
= n lnr∑
k=1
pk
(1 +
itk√npk
− t2k2npk
+B|tk|3
(npr)3/2
)− i√n
r∑k=1
tk√pk =
= n ln(1 +
i√n
r∑k=1
tk√pk −
12n
r∑k=1
t2k +B
n3/2
)− i√n
r∑k=1
tk√pk.
Cia ir toliau B reiskia skaiciu‘, ne visada ta
‘pati
‘, bet aprezta
‘konstantos,
nepriklausancios nuo n. Remsimes sio skyrelio lema. Pakankamai dideliemsn
ln fZ(t1, ..., tr) = n( i√
n
r∑k=1
tk√pk −
12n
r∑k=1
t2k +B
n3/2
)−
− n
2
( i√n
r∑k=1
tk√pk +
B
n
)2
+B√n− i√n
r∑k=1
tk√pk =
= −12
r∑k=1
t2k +12
( r∑k=1
tk√pk
)2
+B√n.
Todel, kai n→∞,
fZ(t1, ..., tr) → exp− 1
2Q(t1, ..., tr)
;
318 Matematines statistikos pradmenys
cia
Q(t1, ..., tr) =r∑
k=1
t2k −( r∑k=1
tk√pk
)2
yra neneigiamai apibrezta kvadratine forma (i‘rodykite!).
Tarkime, kad Y = (Y1, ..., Yr) yra normalusis vektorius su charakteristine
funkcija exp− 1
2Q(t1, ..., tr)
. Kvadratine
‘forma
‘Q, panaudoje
‘ortogonalia
‘
transformacija‘(t1, ..., tr) = (u1, ..., ur)C su sa
‘lyga ur = t1p
1/21 + ...+ trp
1/2r ,
galime uzrasyti pavidalu Q(t1, ..., tr) = u21 + ... + u2
r−1. Tai bus vektoriausY (C−1)′ = (V1, ..., Vr−1, 0) (zr. III.13 skyreli
‘) charakteristine funkcija. Atsi-
tiktiniai dydziai V1, ..., Vr−1 yra nepriklausomi ir pasiskirste‘pagal N(0, 1).
Pasinaudoje‘teorema apie tolydzia
‘atitikti
‘tarp pasiskirstymo funkciju
‘ir
charakteristiniu‘funkciju
‘(zr. III.13 skyreli
‘), gauname
f∆n(t) =∫...
∫Rr
eit(v21+...+v2r)dFZ(v1, ..., vr) →
→∫...
∫Rr
eit(v21+...+v2r)dFY (v1, ..., vr) = fY 2
1 +...+Y 2r(t).
Kadangi matrica (C−1)′ yra ortogonali, tai Y 21 + ...+ Y 2
r = V 21 + ...+ V 2
r−1.Todel
f∆n(t) → fV 21 +...+V 2
r−1(t),
kai n → ∞. Vadinasi, ∆n yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal χ2 su r − 1
laisves laipsniu‘. ut
Remdamiesi sia teorema, galime sudaryti kriteriju‘
hipotezei H0 : p1 == p0
1, ..., pr = p0r tikrinti. Jei i
‘vykiu
‘A1, ..., Ar tikimybes zymiai skiriasi nuo
p01, ..., p
0r, tai skirtumai κk/n − p0
k dazniau i‘gis didesnes reiksmes, negu jas
i‘gytu
‘tuo atveju, kai hipoteze teisinga.
Paeme‘reiksmingumo lygmeni
‘α, kritine
‘kriterijaus sriti
‘apibresime nely-
gybe ∆n ≥ u; skaiciu‘u = uα randame is lygties
P(∆n ≥ u) = α.
Statistikos ∆n pasiskirstymo nezinome, bet zinome, kad ji asimptotiskai pa-siskirsciusi pagal χ2 su r−1 laisves laipsniu
‘. Todel ta
‘lygti
‘, kai n yra pakanka-
mai didelis, pakeiciame apytiksle lygtimi∫ ∞
u
pχ2r−1
(v)dv ≈ α.
Taigi uα laikome apytiksliai lygiu pasiskirstymo χ2 su r − 1 laisves laipsniu‘
(1− α)-kvantiliu.
χ2 kriterijus 319
1 p a v y z d y s. Genetikos pradininkas G. Mendelis1 dare bandymus suzirniais. Tarp jo uzaugintu
‘zirniu
‘buvo 315 lygus ir geltoni, 108 – lygus ir zali, 101
– rauksleti ir geltoni bei 32 – rauksleti ir zali. Pagal paveldimumo teorija‘tokiu
‘zirniu
‘skaiciu
‘santykis turetu
‘buti 9:3:3:1. Ar Mendelio duomenys patvirtina jo teorija
‘su
reiksmingumo lygmeniu α = 0, 05?Siuo atveju p1 = 9/16; p2 = p3 = 3/16; p4 = 1/16;n = 315 + 108 + 101 + 32 =
= 556. Pasiskirstymo χ2 su 3 laisves laipsniais 0,95-kvantilis yra≈ 7, 815. Statistikos∆n reiksme
3152
556 · 9/16+
1082
556 · 3/16+
1012
556 · 3/16+
322
556 · 1/16− 556 ≈ 0, 470.
Hipoteze atitinka stebejimo duomenis.
Is Pirsono teoremos i‘rodymo isplaukia, kad ∆n pasiskirstymo konverga-
vimas i‘ribini
‘yra tuo letesnis, kuo mazesnes pk. Rekomenduojama si
‘kriteriju
‘taikyti tada, kai npk ≥ 5.
Remdamiesi Pirsono teorema, galime sudaryti kriteriju‘tikrinti hipotezei
H0, kad stebimasis atsitiktinis dydis turi kokia‘nors konkrecia
‘pasiskirstymo
funkcija‘F (y). Ta funkcija turi buti visiskai apibrezta ir neturi priklausyti
nuo jokiu‘nezinomu
‘parametru
‘.
Padalykime atsitiktinio dydzio visu‘galimu
‘reiksmiu
‘aibe
‘W i
‘poaibius
W1, ...,Wr, kurie kas du neturi bendru‘elementu
‘ir kuriu
‘sa
‘junga lygi aibei
W . Pazymekime Ak i‘vyki
‘, kai atsitiktinis dydis i
‘gyja reiksme
‘is srities Wk.
Jei hipoteze H0 yra teisinga, tai galime apskaiciuoti i‘vykiu
‘Ak tikimybes p0
k.Uzuot tikrine
‘hipoteze
‘H0, tikriname hipoteze
‘H ′
0, kad tikimybes stebimajamatsitiktiniam dydziui i
‘gyti reiksmes is aibiu
‘Wk yra p0
k (k = 1, ..., r).Daznai tenka tikrinti hipotezes, kai pasiskirstymas yra, pavyzdziui, nor-
malusis, Puasono ar pan. Tokie pasiskirstymai priklauso nuo parametru‘, kurie
paprastai yra nezinomi. Sakykime, reikia patikrinti hipoteze‘, kad stebimojo
dydzio pasiskirstymas yra P(θ1,...,θs) su kokiomis nors parametru‘θ1, ..., θs
reiksmemis. Kaip ir anksciau, suskaide‘to dydzio galimu
‘reiksmiu
‘aibe
‘W i
‘sritis W1, ...,Wr (r > s), imame tikimybes pk(θ1, ..., θs) (k = 1, ..., r), kadstebimasis dydis i
‘gis reiksmes is poaibiu
‘Wk, ir sudarome atstumo mata
‘
(1) ∆n(θ1, ..., θs) =r∑
k−1
(κk − npk(θ1, ..., θs)
)2
npk(θ1, ..., θs).
Jei parametru‘θ1, ..., θs reiksmes butu
‘zinomos, tai turetume jau isnagrineta
‘atveji
‘. Taciau jos nezinomos. Persasi paprasta iseitis: reikia parametrus
pakeisti ju‘
i‘verciais. Imkime kuriuos nors parametru
‘i‘vercius θ∗1 , ..., θ
∗s ir
pakeiskime jais (1) formuleje pacius parametrus θ1, ..., θs. Deja, vel iskils naujisunkumai: pk(θ∗1 , ..., θ
∗s) bus ne konstantos, bet atsitiktiniai dydziai. Todel 1
teorema nebus pritaikoma.
1 Gregor–Johann Mendel (1822–1884) – austru‘botanikas.
320 Matematines statistikos pradmenys
I‘vercius θ∗1 , ..., θ
∗s galime parinkti daugybe budu
‘. Suprantama, statistikos
∆n pasiskirstymas priklausys nuo tu‘i‘verciu
‘parinkimo. Juos galima parinkti
ir taip, kad po nedideliu‘pakeitimu
‘tiktu
‘anksciau isdestyta teorija. Naturalu
stengtis i‘vercius θ∗1 , ..., θ
∗s parinkti taip, kad statistika ∆n butu
‘kuo mazesne.
Tai – vadinamasis χ2 minimumo metodas. Tam reikalui (1) diferencijuojameparametru
‘θ1, ..., θs atzvilgiu (jei toks diferencijavimas yra galimas) ir gautas
dalines isvestines prilyginame 0. Gauname lygciu‘sistema
‘
(2) −12∂∆n
∂θj=
r∑k=1
(κk − npkpk
+(κk − npk)2
2np2k
)∂pk∂θj
= 0 (j = 1, ..., s).
Is ju‘randame i
‘vercius θj ir jais pakeiciame θj (1) formuleje. Kai patenkintos
gana bendros sa‘lygos, ∆n(θ1, ..., θs) yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2
su r − s− 1 laisves laipsniu‘.
(2) lygtis net paprasciausiais atvejais sunku isspre‘sti. Galima butu
‘paro-
dyti, kad antruosius narius tose lygtyse, kai n yra didelis, galima atmesti; nuoto nesikeicia statistikos ∆n asimptotinis pasiskirstymas. Turime paprastesne
‘lygciu
‘sistema
‘
(3)r∑
k=1
κk − npkpk
∂pk∂θj
= 0 (j = 1, ..., s).
Si sistema gaunama, prilyginus nuliui ∆n(θ1, ..., θs) isvestines pagal paramet-rus θ1, ..., θs, bet, skaiciuojant isvestines, laikoma, kad (1) formules vardikliaiyra pastovus. Kadangi
r∑k=1
pk(θ1, ..., θs) = 1,
tai (3) sistema‘galima dar suprastinti:
(4)r∑
k=1
κkpk
∂pk∂θj
= 0 (j = 1, ..., s).
Sis metodas yra vadinamas modifikuotu χ2 minimumo metodu.
2 teorema. Tarkime, kad funkcijos pk(θ1, ..., θs) (k = 1, ..., r) kuriamenors neissigimusiame erdves Rs intervale Θ tenkina sa
‘lygas:
pk(θ1, ..., θs) ≥ c > 0 (k = 1, ..., r),r∑
k=1
pk(θ1, ..., θs) = 1,
egzistuoja tolydzios isvestines
χ2 kriterijus 321
∂pk∂θj
,∂2pk∂θj∂θl
(k = 1, ..., r; j = 1, ..., s; l = 1, ..., s)
ir matricos ∥∥∥∂pk∂θj
∥∥∥ (k = 1, ..., r; j = 1, ..., s)
rangas yra lygus s. Sakykime, atliekame sio skyrelio pradzioje aprasytus nnepriklausomu
‘eksperimentu
‘ir tikimybe, kad i
‘vykis Ak i
‘vyks, atlikus kuri
‘nors
is tu‘
eksperimentu‘, yra p0
k = pk(θ01, ..., θ0s); cia (θ01, ..., θ
0s) – vidinis intervalo
Θ taskas. Tada (3) lygtys turi vieninteli‘sprendini
‘(θ1, ..., θs), konverguojanti
‘pagal tikimybe
‘i‘
(θ01, ..., θ0s). Statistika
(5) ∆n(θ1, ..., θs) =r∑
k=1
(κk − npk(θ1, ..., θs)
)2
npk(θ1, ..., θs)
yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2 su r − s− 1 laisves laipsniu‘.
Sios teoremos i‘rodymas yra gana ilgas ir sudetingas. Ji
‘galima rasti,
pavyzdziui, [6], 30.3 skyrelyje.Ta teorema grindziamas kriterijus konstruojamas jau mums zinomais
budais.Sakykime, reikia patikrinti hipoteze
‘H0, jog stebimojo atsitiktinio dydzio
pasiskirstymas priklauso klasei Pθ, θ ∈ Θ, Θ0 ⊂ Rs. Suskirstykime todydzio galimu
‘reiksmiu
‘aibe
‘i‘r aibiu
‘Wk (k = 1, ..., r). Pazymekime pk
tikimybe‘i‘vykio Ak, kad atsitiktinis dydis pateks i
‘Wk. Si tikimybe priklauso
nuo parametru‘θ = (θ1, ..., θs). Jei teisingos 2 teoremos sa
‘lygos, hipoteze
‘H0
pakeiciame hipoteze H ′0, kad i
‘vykiu
‘Ak tikimybes butu
‘pk, sprendziame (4)
lygciu‘sistema
‘ir sudarome statistika
‘∆n(θ1, ..., θs).
Pailiustruosime sia‘procedura
‘dviem pavyzdziais.
Sakykime, reikia patikrinti hipoteze‘H0, kad stebimasis atsitiktinis dydis
yra pasiskirste‘s pagal Puasono desni
‘su nezinomu parametru λ > 0. Sis dy-
dis i‘gyja sveika
‘sias neneigiamas reiksmes. Suskaidykime sveiku
‘ju
‘neneigiamu
‘skaiciu
‘aibe
‘i‘poaibius W1 = 0, 1, ..., l, Wk = l + k − 1 (k = 2, ..., r −
−1), Wr = l + r − 1, l + r, .... Tada
p1 = p1(λ) =l∑
m=0
λm
m!e−λ,
pk = pk(λ) =λl+k−1
(l + k − 1)!e−λ (k = 2, ..., r − 1),
pr = pr(λ) =∞∑
m=l+r−1
λm
m!e−λ.
322 Matematines statistikos pradmenys
Tikimybes pk tenkina 2 teoremos sa‘lygas. (4) sistema yra sudaryta is vienos
lygties
κ1
l∑m=0
(mλ− 1
)λmm!
l∑m=0
λm
m!
+r−1∑k=2
( l + k − 1λ
− 1)κk+
+ κr
∞∑m=l+r−1
(mλ− 1
)λmm!
∞∑m=l+r−1
λm
m!
= 0.
Is cia
λ =1n
κ1
l∑m=0
mλm
m!l∑
m=0
λm
m!
+r−1∑k=2
(l + k − 1)κk + κr
∞∑m=l+r−1
mλm
m!∞∑
m=l+r−1
λm
m!
.
Vidurine suma lygi ∑l<xk<l+r−1
Xk;
pirmoji ir trecioji sumos paprastai nedaug skiriasi nuo sumu‘∑
xk≤l
Xk,∑
xk≥l+r−1
Xk.
Todel sprendinys yra λ ≈ X. Patariama poaibius Wk parinkti taip, kad butu‘
npk ≥ 5.
2 p a v y z d y s. Buvo stebimos radioaktyviosios daleles ir registruojama, kieksignalu
‘gaunama kas valanda
‘. Stai rezultatai: 0 signalu
‘uzregistruota 1924 kartus,
1 signalas – 541 karta‘, 2 signalai – 103 kartus, 3 signalai – 17 kartu
‘, 4 signalai – 1
karta‘, 5 signalai – 1 karta
‘, 6 ir daugiau signalu
‘– ne vieno karto. Su reiksmingumo
lygmeniu 0,05 patikrinsime hipoteze‘, kad signalu
‘skaicius pasiskirste
‘s pagal Puasono
desni‘.
Cia n = 1924+541+103+17+1+1 = 2587, empirinis vidurkis x = (0 ·1924++1 · 541 + 2 · 103 + 3 · 17 + 4 · 1 + 5 · 1 + 6 · 0)/n ≈ 0, 3119443.
Sudarome poaibius Wk = k − 1 (k = 1, 2, 3), W4 = 3, 4, ....
χ2 kriterijus 323
Skaiciavimai surasyti lenteleje.
k κk pk npk (κk − npk)2/(npk)
1 1924 0,7320223 1893,74 0,482 541 0,2283502 590,74 4,193 103 0,0356163 92,14 1,284 19 0,0040112 10,38 7,17
Is viso 2587 1,0000000 2587 13,12
χ2 pasiskirstymo su 2 laisves laipsniais 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 5,991.Todel hipoteze atmestina.
Remdamiesi nagrinejamuoju kriterijumi, tikrinsime hipoteze‘, kad stebi-
masis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘su nezinomais
parametrais a ∈ R ir σ > 0. Suskaidykime realiu‘ju
‘skaiciu
‘tiese
‘i‘
sritisW1 = (−∞, τ − h/2),Wk = [τk − h/2, τk + h/2) (k = 2, ..., r − 1),Wr == [τr−1 + h/2,∞); cia τk = τ + (k − 1)h. Jei hipoteze teisinga, tai
pk = pk(a, σ) =1
σ√
2π
∫Wk
exp(− (u− a)2
2σ2
)du (k = 1, ..., r).
Is cia∂pk∂a
=1
σ3√
2π
∫Wk
(u− a) exp(− (u− a)2
2σ2
)du,
∂pk∂σ2
=1
σ4√
2π
∫Wk
(u− a)2 exp(− (u− a)2
2σ2
)du−
− 1σ2√
2π
∫Wk
exp(− (u− a)2
2σ2
)du.
(4) lygciu‘sistema
‘galima uzrasyti sitaip:
a =1n
r∑k=1
κk
∫Wk
u exp(− (u− a)2
2σ2
)du∫
Wk
exp(− (u− a)2
2σ2
)du
,
σ2 =1n
r∑k=1
κk
∫Wk
(u− a)2 exp(− (u− a)2
2σ2
)du∫
Wk
exp(− (u− a)2
2σ2
)du
.
Maziems h teisingos apytiksles lygybes
324 Matematines statistikos pradmenys∫Wk
u exp(− (u− a)2
2σ2
)du ≈ τk
∫Wk
exp(− (u− a)2
2σ2
)du,∫
Wk
(u− a)2 exp(− (u− a)2
2σ2
)du ≈ (τk − a)2
∫Wk
exp(− (u− a)2
2σ2
)du,
kai k = 2, ..., r − 1. Jei κ1 = κr = 0, tai gauname apytikslius (4) sistemossprendinius
a =1n
∑k
κkτk, σ2 =
1n
∑k
κk(τk − a)2.
Isskleide‘pointegralinius reiskinius Teiloro eilutemis tasku
‘τk aplinkose, gau-
tume tikslesnius sprendinius:
a =1n
∑k
κkτk +O(h4),
σ2 =1n
∑k
κk(τk − a)2 − h2
12+O(h4).
Atmete‘
narius O(h4), galime gauti apytikslius (4) sistemos sprendinius: ai‘vertis yra sugrupuotu
‘stebejimo duomenu
‘vidurkis, o σ2 i
‘vertis – sugrupuotu
‘duomenu
‘dispersija su Separdo pataisa.
Sprendiniai
(6)
a =1n
r∑k=1
κkτk,
σ2 =1n
r∑k=1
κk(τk − a)2 − h2
12
paprastai naudojami ir tada, kai h nera labai mazas, o κ1 ir κr nera lygusnuliui, nes daznai jie gerai aproksimuoja (4) sistemos sprendinius. Rekomen-duojama sekti, kad butu
‘npk ≥ 5. Kai i
‘W1 ir Wr patenka nedaug reiksmiu
‘κk, jas galima sujungti.
3 p a v y z d y s. Buvo stebimas atsitiktinis dydis. Stebejimo duomenyssugrupuoti, paemus h = 2. I
‘intervalus [4, 6), ..., [20,22) pateko atitinkamai 15, 20,
25, 30, 30, 27, 24, 16, 13 stebimojo dydzio reiksmiu‘. Patikrinsime hipoteze
‘, kad su
reiksmingumo lygmeniu 0,05 atsitiktinis dydis pasiskirste‘s pagal normalu
‘ji‘desni
‘.
Skaiciavimo rezultatai surasyti lenteleje.
χ2 kriterijus 325
k κk pk npk (κk − npk)2/(npk)
1 15 0,0830 16,60 0,152 20 0,0901 18,02 0,223 25 0,1359 27,18 0,174 30 0,2129 42,58 3,725 30 0,1290 25,80 0,686 27 0,1461 29,22 0,177 24 0,1017 20,34 0,668 16 0,0583 11,66 1,629 13 0,0429 8,58 2,28Is viso 200 0,9999 199,98 9,67
Pagal (6) formules
a = 12, 25; σ2 ≈ 4, 512.
Sudarome sritis W1 = (−∞, 6),W2 = [6, 8),W3 = [8, 10), ...,W8 = [18, 20),W9 == [20,∞). Tikimybes pk randame is formuliu
‘
p1 = Φ(
6− a
σ
),
p2 = Φ(
8− a
σ
)− Φ
(10− a
σ
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p8 = Φ(
20− a
σ
)− Φ
(18− a
σ
),
p9 = 1− Φ(
20− a
σ
).
Lenteleje visu‘pk suma del apvalinimo paklaidu
‘nera lygi 1. Pasiskirstymo χ2 su
9− 2− 1 = 6 laisves laipsniais 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 12,592. Hipotezepriimtina.
χ2 kriterijus labai placiai taikomas. Paminesime dar pora‘atveju
‘. Pirmasis
yra pozymiu‘nepriklausomumo tikrinimas. Tarkime, kad generalines aibes ele-
mentai turi du pozymius A ir B. Pirmasis pozymis turi r kategoriju‘A1, ..., Ar,
o antrasis – s kategoriju‘B1, ..., Bs. Vadinasi, visus generalines aibes elementus
galime suskirstyti i‘rs klasiu
‘, priskirdami vienai klasei elementus, turincius
pozymius Aj ir Bk(j = 1, ..., r; k = 1, ..., s). Pazymekime pj· tikimybe‘, kad
atsitiktinai parinktas generalines aibes elementas turi pozymi‘Aj , raide p·k –
tikimybe‘, kad jis turi pozymi
‘Bk, ir raide pjk – tikimybe
‘, kad jis turi pozymius
Aj ir Bk. Reikia patikrinti hipoteze‘, kad tie pozymiai yra nepriklausomi,
t. y. pjk = pj·p·k visiems j = 1, ..., r; k = 1, ..., s. Aisku,
326 Matematines statistikos pradmenys
r∑j=1
pj· = 1,
s∑k=1
p·k = 1.
Kai hipoteze teisinga, tikimybes pjk yra r + s − 2 nezinomu‘
parametru‘
p1., ..., pr−1·; p·1, ..., p·s−1 funkcijos.Pazymekime raide κjk skaiciu
‘imties elementu
‘, turinciu
‘pozymius Aj ir
Bk. (4) sistema bus pavidalo
r∑j=1
(κjkp·k
− κjsp·s
)=0 (k = 1, ..., s− 1),
s∑k=1
(κjkpj·
− κrkpr·
)=0 (j = 1, ..., r − 1).
Gauname i‘vercius
pj· =κj·n
(j = 1, ..., r),
p·k =κ·kn
(k = 1, ..., s);
cia
κj· =s∑
k=1
κjk (j = 1, ..., r),
κ·k =r∑j=1
κjk (k = 1, ..., s).
(5) statistika yra pavidalo
(7) nr∑j=1
s∑k=1
(κjk −
κj·κ·kn
)2
κj·κ·k= n
( r∑j=1
s∑k=1
κ2jk
κj·κ·k− 1
).
Ji yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2 su rs−(r+s−2)−1 = (r−1)(s−1)laisves laipsniu
‘.
4 p a v y z d y s. Dvi grupes ligoniu‘A ir B, po 100 asmenu
‘kiekviena,
serga kokia nors liga. Grupes A ligoniai buvo gydomi serumu, o grupes B ligo-niai to serumo negavo (B buvo kontroline grupe). Siaip abi grupes buvo gydomosvienodai. Nustatyta, kad pirmojoje grupeje pagijo 75 ligoniai, o antrojoje 65. Sureiksmingumo lygmeniu 0,05 reikia patikrinti hipoteze
‘, kad serumas nebuvo efek-
tyvus.Bandymo rezultatus surasome lenteleje.
χ2 kriterijus 327
Pasveiko Nepasveiko Is viso
Grupe A 75 25 100Grupe B 65 35 100
Is viso 140 60
(7) statistikos reiksme
200(
752
140 · 100+
652
140 · 100+
252
60 · 100+
352
60 · 100− 1
)≈ 2, 38.
χ2 pasiskirstymo su 1 laisves laipsniu 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 3,841.Todel hipoteze atitinka stebejimo duomenis.
Cia aprasyta‘procedura
‘nesunku pritaikyti, remiantis anksciau nurodytu
budu, dvieju‘
atsitiktiniu‘
dydziu‘
nepriklausomumui tikrinti. Paliekame taipadaryti skaitytojui.
Pritaikysime dar χ2 kriteriju‘stebejimu
‘homogeniskumui tikrinti. Sakyki-
me, turime s seriju‘bandymu
‘; tose serijose yra atitinkamai n1, ..., ns pavieniu
‘bandymu
‘. Atlikus bet kuri
‘bandyma
‘, gali i
‘vykti vienas is nesutaikomu
‘i‘vykiu
‘A1, ..., Ar; visu
‘tu
‘i‘vyku
‘sa
‘junga yra butinas i
‘vykis. I
‘vykiu
‘Aj skaiciu
‘k-
-ojoje bandymu‘serijoje pazymekime κkj(κk1 + ... + κkr = nk), o i
‘vykio Aj
pasirodymo tikimybe‘, atlikus k-osios serijos bandyma
‘, pazymekime pkj(pk1+
+...+ pkr = 1). Remiantis stebejimu‘duomenimis, reikia patikrinti hipoteze
‘,
kad kiekvienoje bandymu‘serijoje i
‘vykio Aj pasirodymo tikimybe yra ta pati:
pkj = pj(j = 1, ..., r; k = 1, ..., s). Jei hipoteze teisinga, tai p1 + ...+ pr = 1.Sprendziant si
‘uzdavini
‘, reikia atsizvelgti i
‘tai, kiek is tikimybiu
‘pj yra
zinomu‘.
Jei visos jos zinomos ir s = 1, tai turime sio skyrelio pradzioje aprasyta‘
atveji‘. Atitinkama statistika ∆n, remiantis Pirsono teorema, yra asimp-
totiskai pasiskirsciusi pagal χ2 desni‘su r − 1 laisves laipsniu
‘. Jei s > 1, tai
kiekvienai bandymu‘serijai sudarome statistika
‘∆nk
ir visas jas sudedame.Gautoji statistika
s∑k=1
r∑j=1
(κkj − nkpj)2
nkpj,
analogiskai 1 teoremai, bus asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2 su s(r − 1)laisves laipsniu
‘.
Jei visos tikimybes p1, ..., pr yra nezinomos, tai pkj yra nezinomu‘
pa-rametru
‘p1, ..., pr−1 funkcijos. Tu
‘parametru
‘i‘vercius randame is (4) lygciu
‘sistemos; jie lygus
pj =κ·jn
(j = 1, ..., r);
328 Matematines statistikos pradmenys
cia κ·j = κ1j + ...+ κsj . Sudarome statistika‘
(8)s∑
k=1
r∑j=1
(κkj − nkpj)2
nkpj= n
( s∑k=1
r∑j=1
κ2kj
nkκ·j− 1
).
Galima butu‘parodyti, kad ji turi asimptotini
‘pasiskirstyma
‘χ2 su (r − 1)×
×(s− 1) laisves laipsniu‘, kai tikrinamoji hipoteze yra teisinga.
Jei tikimybes p1, ..., pr yra parametru‘θ1, ..., θl (1 ≤ l < s) funkcijos,
tai parametru‘θm i
‘vercius randame is (4) sistemos ir sudarome statistika
‘,
analogiska‘(5). Galima butu
‘parodyti, kad ji turi asimptotini
‘χ2 pasiskirstyma
‘su s(r − 1)− l laisves laipsniu
‘.
5 p a v y z d y s. Lenteleje pateikti i‘vairiais 1935 m. menesiais Svedijoje
gimusiu‘berniuku
‘ir mergaiciu
‘skaiciai (pavyzdys paimtas is [6] knygos).
Menuo Berniuku‘
Mergaiciu‘
Is visoskaicius skaicius
1 3743 3537 72802 3550 3407 69573 4017 3866 78834 4173 3711 78845 4117 3775 78926 3944 3665 76097 3964 3621 75858 3797 3596 73939 3712 3491 720310 3512 3991 690311 3392 3160 655212 3761 3371 7132Is viso 45682 42591 88273
Su reiksmingumo lygmeniu 0,05 patikrinsime hipoteze‘, kad visais menesiais berniuko
gimimo tikimybe yra ta pati.Cia turime r = 2, s = 12. Nezinomas parametras yra berniuko gimimo tikimybe
p. Jos i‘vertis p = κ·1/n.
(8) statistikos
12∑k=1
((κk1 − nkp)
2
nkp+
(κk2 − nk(1− p)
)2
nk(1− p)
)=
=
12∑k=1
(κk1 − nkp)2
nkp(1− p)=
1
1− p
(1
p
12∑k=1
κ2k1
nk− κ·1
)
Kriterijai, pagri‘sti empirines ir teorines pasisk. f-ju
‘skirtumu 329
reiksme yra apytiksliai lygi 14,986. χ2 su (s − 1)(r − 1) = 11 laisves laipsniu‘
0,95-kvantilis yra 19,675. Galime laikyti, kad hipoteze nepriestarauja stebejimoduomenims.
13. KRITERIJAI, PAGRI‘STI EMPIRINES IR
TEORINES PASISKIRSTYMO FUNKCIJU‘
SKIRTUMU
Nagrinesime, kaip empirine pasiskirstymo funkcija aproksimuoja teorine‘pa-
siskirstymo funkcija‘.
Tarkime, kad stebimojo atsitiktinio dydzio su pasiskirstymo funkcijaF (y) atsitiktine imtis yra (X1, ..., Xn). Jo empirine
‘pasiskirstymo funkcija
‘apibrezeme 2 skyrelyje. Kiekvienam fiksuotam y tai yra atsitiktinis dydis
Fn(y) =1n
∑Xk<y
1.
Pazymekime Yky atsitiktini‘dydi
‘, i
‘gyjanti
‘reiksme
‘1 su tikimybe P(Xk < y) =
= F (y) ir reiksme‘0 su tikimybe P(Xk ≥ y) = 1− F (y). Dydziai Y1y, ..., Yny
yra nepriklausomi. Tada empirine‘
pasiskirstymo funkcija‘
galime uzrasytisitaip:
Fn(y) =1n
n∑k=1
Yky.
Pastebesime, kad dydzio Yky vidurkis
MYky = F (y),
o dispersijaDYky = F (y)
(1− F (y)
).
Is vidurkio ir dispersijos savybiu‘isplaukia, kad
MFn(y) = F (y), DFn(y) =1nF (y)
(1− F (y)
).
Is stipriojo didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnio (III.5.2 teoremos 2 isvados) isplaukia,
kad kiekvienam y ∈ R empirine pasiskirstymo funkcija konverguoja sutikimybe 1 i
‘teorine
‘pasiskirstymo funkcija
‘
PFn(y)−−−−−→n→∞
F (y) = 1.
Vadinasi, Fn(y) yra nepaslinktasis ir suderintasis F (y) i‘vertis.
330 Matematines statistikos pradmenys
Dar daugiau: is centrines ribines teoremos (III.11.2 teoremos 2 isvados)isplaukia, kad kiekvienam y ∈ R su sa
‘lyga 0 < F (y) < 1
P
n∑k=1
(Yky −MYky)
( n∑k=1
DYky
)1/2< u
= P
√n(Fn(y)− F (y)
)√F (y)
(1− F (y)
) < u
−−−−−→n→∞
Φ(u).
Sie teiginiai rodo, kad kiekvienam fiksuotam y ∈ R empirine pasiskirstymofunkcija Fn(y) arteja prie tikrosios pasiskirstymo funkcijos F (y). V. Glivenka1
1933 m. i‘rode, kad Fn(y) su tikimybe 1 konverguoja i
‘F (y) tolygiai visiems
y ∈ R. I‘rodysime ta
‘teorema
‘.
1 lema. Jei turime baigtine‘arba skaicia
‘i‘vykiu
‘sistema
‘Ak ir kiekvieno
ju‘
tikimybe P (Ak) = 1, tai ir tos sistemos sankirtos tikimybe
P( ⋂
k
Ak
)= 1.
I‘r o d y m a s. Kadangi
P( ⋃
k
Ack
)≤
∑k
P (Ack)
ir P (Ack) = 0, tai
P( ⋃
k
Ack
)= 0.
Is cia
P( ⋂
k
Ak
)= 1− P
(( ⋂k
Ak
)c)= 1− P
( ⋃k
Ack
)= 1. ut
1(Glivenkos) teorema. Jei F (y) yra atsitiktinio dydzio pasiskirstymofunkcija, o Fn(y) – jo empirine pasiskirstymo funkcija, tai
P
sup−∞<y<∞
|Fn(y)− F (y)| −−−−−→n→∞
0
= 1.
I‘
r o d y m a s. Imkime bet kuri‘
naturalu‘ji‘
skaiciu‘r. Pazymekime
yrk (k = 1, ..., r) maziausia‘y, tenkinanti
‘nelygybes
1 Valerijus Glivenka (1897–1940) – ukrainieciu‘kilmes matematikas.
Kriterijai, pagri‘sti empirines ir teorines pasisk. f-ju
‘skirtumu 331
F (y) ≤ k
r≤ F (y + 0).
Tarkime, kad
Erk =Fn(yrk)−−−−−→
n→∞F (yrk)
,
Er = Er1 ∩ ... ∩ Err =
max1≤k≤r
|Fn(yrk)− F (yrk)| −−−−−→n→∞
0,
E = E1 ∩ E2 ∩ ... =
max1≤k≤r
|Fn(yrk)− F (yrk)| −−−−−→n→∞
0; r = 1, 2, ....
Is stipriojo didziu‘ju
‘skaiciu
‘desnio isplaukia, kad
P(Erk) = 1 (r = 1, 2, ...; k = 1, ..., r).
Pagal 1 lema‘
(1)P(Er) = 1,
P(E) = 1.
Pazymekime
C = sup−∞<y<∞
|Fn(y)− F (y)| −−−−−→n→∞
0.
Jei i‘rodytume, kad E ⊂ C, tai is (1) isplauktu
‘teoremos teiginys.
Kiekvienam y ∈ (yrk, yr,k+1] teisingos nelygybes
(2) Fn(yrk + 0) ≤ Fn(y) ≤ Fn(yr,k+1)
ir
(3) F (yrk + 0) ≤ F (y) ≤ F (yr,k+1),
be to,
(4) 0 ≤ F (yr,k+1)− F (yrk + 0) ≤ 1r.
Ateme‘is (2) nelygybes (3), gauname
Fn(yrk + 0)− F (yr,k+1) ≤ Fn(y)− F (y) ≤ Fn(yr,k+1)− F (yrk + 0).
Is cia ir is (4) nelygybes isplaukia
|Fn(y)− F (y)| ≤ max1≤k≤r
|Fn(yrk)− F (yrk)|+1r.
Todel
332 Matematines statistikos pradmenys
sup−∞<y<∞
|Fn(y)− F (y)| ≤ max1≤k≤r
|Fn(yrk)− F (yrk)|+1r.
Kadangi si nelygybe yra teisinga kiekvienam r, tai galime padaryti isvada‘,
kad E ⊂ C. utPazymeje
‘Dn = sup
y|Fn(y)− F (y)|,
Glivenkos teorema‘galime uzrasyti sitaip:
P(Dn−−−−−→n→∞
0) = 1.
Statistika Dn yra funkcijos Fn nuokrypio nuo F matas. Pasirodo, kadtolydziosioms pasiskirstymo funkcijoms (i
‘prasta matematineje analizeje pras-
me) Dn pasiskirstymas nepriklauso nuo F .
2 lema. Jei Z yra atsitiktinis dydis su tolydzia pasiskirstymo funkcijaH(z), tai atsitiktinio dydzio Y = H(Z) pasiskirstymo funkcija yra
G(y) =
0, kai y ≤ 0,y, kai 0 < y ≤ 1,1, kai y > 1.
Vadinasi, Y yra tolygiai pasiskirste‘s intervale (0, 1).
I‘
r o d y m a s. Tolydi funkcija y = H(z) atvaizduoja tiese‘R i
‘viena
‘is intervalu
‘[0, 1], [0, 1), (0, 1], (0, 1). Jei H(z) yra (grieztai) didejanti,
tai tas atvaizdis yra abipus vienareiksmis. Bendresniu atveju (kai H(z) yranemazejanti ir egzistuoja intervalai, kuriuose ji yra pastovi) viena
‘y reiksme
‘gali atitikti daugiau z reiksmiu
‘– visas neissigime
‘s intervalas. Kiekvienam
y ∈ (0, 1] apibrezkimezy = infz : H(z) = y.
Is funkcijos H(z) tolydumo isplaukia, kad H(zy) = y.Lema
‘pakanka i
‘rodyti tik visiems y ∈ (0, 1). Turime
G(y) = P (Y < y) = PH(Z) < y = PH(Z) < H(zy) =
= P (Z < zy) = H(zy) = y. ut
2 teorema. Kiekvienai tolydziajai pasiskirstymo funkcijai F (y) statistikaDn turi ta
‘pati
‘pasiskirstyma
‘.
I‘r o d y m a s. Kaip ir visame siame skyrelyje, (X1, ..., Xn) zymesime
atsitiktine‘
imti‘. Stebimojo atsitiktinio dydzio pasiskirstymo funkcijos F (y)
pastovumo intervalu vadinsime kiekviena‘uzdara
‘intervala
‘[b, c], jei PX1 ∈
∈ [b, c) = 0 ir nera kito uzdaro intervalo, kuriam priklausytu‘
[b, c] su ta
Kriterijai, pagri‘sti empirines ir teorines pasisk. f-ju
‘skirtumu 333
savybe. Ismeskime is R visus pastovumo intervalus. Gauta‘aibe
‘pazymekime
A. TadaDn = sup
y∈R|Fn(y)− F (y)| = sup
y∈A|Fn(y)− F (y)|
ir kiekvienam y ∈ A
Xk < y = F (Xk) < F (y).
Pazymekime Uk = F (Xk) ir
Gn(y) =1n
∑Uk<y
1.
Tada visiems y ∈ A
Gn(F (y)
)=
1n
∑F (Xk)<F (y)
1 =1n
∑Xk<y
1 = Fn(y).
Vadinasi,
Dn = supy∈A
∣∣Gn(F (y))− F (y)
∣∣ =
= supy∈R
∣∣Gn(F (y))− F (y)
∣∣ = sup0≤u≤1
∣∣Gn(u)− u∣∣.
Teorema isplaukia is 2 lemos. utTeoremos i
‘rodymas yra ir budas statistikos Dn pasiskirstymo funkcijai
rasti. Tam reikia imti atsitiktinio dydzio, tolygiai pasiskirsciusio intervale(0, 1), empirine
‘pasiskirstymo funkcija
‘Gn(u) ir apskaiciuoti statistikos
sup0≤u≤1
|Gn(u)− u|
pasiskirstymo funkcija‘. Ji bus ir Dn pasiskirstymo funkcija.
Galima rasti gana paprasta‘ribini
‘statistikos Dn pasiskirstyma
‘.
3 (Kolmogorovo) teorema. Kiekvienai tolydziajai pasiskirstymo funk-cijai F (y)
P(√nDn < y) → K(y);
cia
K(y) =
0, kai y ≤ 0,∞∑
k=−∞
(−1)ke−2k2y2, kai y > 0.
Sios teoremos i‘rodymo ideja isdestyta 14 skyrelyje.
334 Matematines statistikos pradmenys
Funkcija K(y) yra tabuliuota (zr. [17], XII lentele‘, [2], 6.1, 6.2 lenteles).
Remdamiesi siais rezultatais, pagal jau gerai zinoma‘
schema‘
galimesudaryti Kolmogorovo kriteriju
‘tikrinti hipotezei, kad stebimasis dydis yra
pasiskirste‘s pagal tolydu
‘ji‘
desni‘F (x). Tarkime, kad konkretus stebejimo
rezultatai surasyti nemazejancia tvarka. Turime variacine‘
seka‘x∗1 ≤ x∗2 ≤
≤ ... ≤ x∗n. Apskaiciuojame dydzius
D+n = max
1≤k≤n
(kn− Fn(x∗k)
), D−
n = max1≤k≤n
(Fn(x∗k)−
k − 1n
).
TadaDn = max(D+
n , D−n ).
Paeme‘reiksmingumo lygmeni
‘α, is lenteliu
‘randameDn pasiskirstymo (1−α)-
-kvantili‘uα. Kai n dideli, galima remtis Kolmogorovo teorema. Kai n ≥ 10
ir 0, 01 ≤ α ≤ 0, 2, galima naudotis apytiksle formule
uα ≈√
12n
(v − 2v2 − 4v − 1
18n
)− 1
6n≈
√v
2n− 1
6n;
cia v = − ln(α/2).Jei Dn > uα, tai hipoteze atmestina, priesingu atveju galime manyti, kad
ji nepriestarauja stebejimo duomenims.Empirines funkcijos nuokrypi
‘nuo teorines galima apibudinti ir kitais
budais. H. Krameras 1928 m. ir nepriklausomai nuo jo R. Mizesas1 1931m. pasiule tam reikalui naudoti statistika
‘∫ ∞
−∞
(Fn(y)− F (y)
)2dL(y)
su nemazejancia funkcija L(y). Paprastai naudojamos dvi statistikos
ω2n =
∫ ∞
−∞
(Fn(y)− F (y)
)2dF (y),
Ω2n =
∫ ∞
−∞
(Fn(y)− F (y)
)2
F (y)(1− F (y)
) dF (y).
Cia funkcija F (y), kaip ir anksciau, yra tolydi. Galima butu‘i‘rodyti, kad
nω2n =
n∑k=1
(F (X∗
k)−2k − 1
2n
)2
+1
12n,
nΩ2n = −2
n∑k=1
[2k − 12n
lnF (X∗k) +
(1− 2k − 1
2n
)ln
(1− F (X∗
k))]− n
1 Richard von Mises (1883–1953) – vokieciu‘matematikas.
Kriterijai, pagri‘sti empirines ir teorines pasisk. f-ju
‘skirtumu 335
ir kad tu‘statistiku
‘pasiskirstymai nepriklauso nuo funkcijos F (y). I
‘rodyta,
kad egzistuoja ir tu‘statistiku
‘ribiniai pasiskirstymai
P(nω2n < u) → a1(u),
P(nΩ2n < u) → a2(u).
Funkciju‘a1(u) ir a2(u) analizines israiskos yra gana sudetingos. Jos – ta-
buliuotos (zr. [17], XV, XVI lenteles, [2], 6.4 lentele‘ir artutines formules).
Siais rezultatais pagri‘stas vadinamasis ω2, arba Kramero–Mizeso, kriterijus
tikrinti hipotezei, kad stebimasis dydis yra pasiskirste‘s pagal tolydu
‘ji‘desni
‘F (y). Jis sudaromas jau mums zinomais metodais.
P a v y z d y s. Automatines stakles gamina rutuliukus. Atsitiktinai parinkti25 rutuliukai ir ismatuotas ju
‘skersmuo (milimetrais). Gautieji rezultatai surasyti
lenteleje didejancia tvarka. Su reiksmingumo lygmeniu α = 0, 05 reikia patikrintihipoteze
‘, kad rutuliuku
‘skersmenys pasiskirste
‘pagal N(12; 0, 1). Skaiciavimu
‘rezul-
tatai surasyti lenteleje. Cia zk = 10(x∗k−12). Rezultatai apvalinami 0,001 tikslumu.
k x∗k k/n zk Φ(zk) k/n− Φ(zk) Φ(zk)− (k − 1)/n
1 11,790 0,04 -2,10 0,018 0,022 0,0182 11,834 0,08 -1,66 0,048 0,032 0,0083 11,862 0,12 -1,38 0,084 0,036 0,0044 11,882 0,16 -1,18 0,119 0,041 -0,0015 11,902 0,20 -0,98 0,164 0,036 0,004
6 11,912 0,24 -0,88 0,189 0,051 -0,0117 11,916 0,28 -0,84 0,200 0,080 -0,0408 11,944 0,32 -0,56 0,288 0,032 0,0089 11,954 0,36 -0,46 0,323 0,037 0,00310 11,970 0,40 -0,30 0,382 0,018 0,022
11 11,986 0,44 -0,14 0,444 -0,004 0,04412 11,990 0,48 -0,10 0,460 0,020 0,01613 12,002 0,52 0,02 0,508 0,012 0,02814 12,006 0,56 0,06 0,524 0,036 0,00415 12,018 0,60 0,18 0,571 0,029 0,011
16 12,030 0,64 0,30 0,618 0,022 0,01817 12,034 0,68 0,34 0,633 0,047 -0,00718 12,040 0,72 0,40 0,655 0,017 -0,02519 12,052 0,76 0,52 0,698 0,062 -0,02220 12,062 0,80 0,62 0,732 0,068 -0,028
336 Matematines statistikos pradmenys
k x∗k k/n zk Φ(zk) k/n− Φ(zk) Φ(zk)− (k − 1)/n
21 12,072 0,84 0,72 0,764 0,076 -0,03622 12,090 0,88 0,90 0,816 0,064 -0,02423 12,100 0,92 1,00 0,841 0,079 -0,03924 12,122 0,96 1,22 0,889 0,071 -0,03125 12,130 1,00 1,30 0,903 0,097 -0,057
Skaiciavimai rodo, kadDn = 0, 097.
Is lenteliu‘randame, kad Dn pasiskirstymo 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 0,264.
Hipoteze atitinka stebejimo duomenis.Analogiska
‘isvada
‘gautume ir pritaike
‘ω2 kriteriju
‘.
14. SMIRNOVO KRITERIJUS
Sakykime, stebime du atsitiktinius dydzius ir turime dvi tu‘dydziu
‘nepriklau-
somu‘stebejimu
‘serijas
X1, ..., Xn,
Y1, ..., Ym.
Remiantis stebejimu‘duomenimis, reikia patikrinti hipoteze
‘, kad abu dydziai
yra vienodai pasiskirste‘. Su tokiais uzdaviniais jau susidureme, kai abu ste-
bimieji dydziai turejo ta‘pati
‘pasiskirstymo tipa
‘ir reikejo patikrinti hipoteze
‘,
kad pasiskirstymu‘parametrai yra lygus. Sprendziant si
‘uzdavini
‘, galima buvo
taikyti ir χ2 kriteriju‘.
Jei apie abieju‘dydziu
‘pasiskirstyma
‘zinoma tik tiek, kad jie yra tolydus,
tai galima taikyti Smirnovo1 kriteriju‘, su kurio teorija dabar susipazinsime.
Taigi tarkime, kad abu dydziai turi ta‘
pacia‘
tolydzia‘
pasiskirstymofunkcija
‘F (u). Pazymekime pirmosios imties empirine
‘pasiskirstymo funkcija
‘Fn(u), o antrosios – Gm(u) ir sudarykime statistikas
D+nm = sup
−∞<u<∞
(Fn(u)− Gm(u)
),
Dnm = sup−∞<u<∞
|Fn(u)− Gm(u)|.
Pasirodo, kad abieju‘tu
‘statistiku
‘pasiskirstymas priklauso tik nuo n ir m,
bet nepriklauso nuo F , jei tik ji yra tolydi.Kad butu
‘paprasciau, nagrinesime tik specialu
‘atveji
‘n = m. Zymesime
1 Nikolajus Smirnovas (1900–1966) – rusu‘matematikas.
Smirnovo kriterijus 337
D+n = D+
nn, Dn = Dnn.
1 teorema. Jei abu stebimieji dydziai yra tolydus ir vienodai pasiskirste‘,
tai sveikiesiems s
P(nD+n < s) =
0, kai s ≤ 0,
1−
(2nn− s
)(
2nn
) , kai 0 < s ≤ n,
1, kai s > n.
I‘
r o d y m a s. Kadangi stebimieji dydziai yra tolydus, tai tarpstebejimo rezultatu
‘X1, ..., Xn, Y1, ..., Yn lygus gales buti tik su tikimybe
0. Todel laikysime visus stebejimo rezultatus skirtingais. Surasysime juosdidejancia tvarka
Z1 < Z2 < ... < Z2n.
I‘vesime pagalbinius dydzius U1, ..., U2n, imdami Uk = 1, kai Zk yra is pirmo-
sios, ir Uk = −1, kai Zk yra is antrosios imties. Pazymekime V0 = 0, Vk == U1+...+Uk (k = 1, ..., 2n). Skaicius n
(Fn(u)−Gn(u)
)yra imties X1, ..., Xn
elementu‘, mazesniu
‘uz u, ir imties Y1, ..., Yn elementu
‘, mazesniu
‘uz u, skaiciu
‘skirtumas. Jei u prabega visa
‘realiu
‘ju
‘skaiciu
‘tiese
‘, tai n(Fn(u) − Gn(u))
pasikeicia tik tada, kai u perzengia reiksmes Zk (k = 1, ..., 2n); pokytis yraUk. Todel
nD+n = max
1≤k≤2nn(Fn(Zk + 0)− Gn(Zk + 0)
)= max
1≤k≤2nVk.
Skaicius galimu‘seku
‘U1, ..., U2n yra lygus skaiciui deriniu
‘is 2n elementu
‘po n, t. y. (
2nn
).
KadangiX1, ..., Xn, Y1, ..., Yn yra nepriklausomi ir turi tuos pacius pasiskirsty-mus, tai kiekviena seka U1, ..., U2n turi ta
‘pacia
‘tikimybe
‘
1/(
2nn
).
Reikia rasti skaiciu‘
tu‘
seku‘U1, ..., U2n, kurioms maxVk < s. Tam pravers
geometrine interpretacija. Plokstumoje (v, t) atidekime taskus su koordi-natemis (k, Vk) (k = 0, 1, ..., 2n) ir sujunkime juos atkarpomis. Gausimelauzte
‘. Jos pradzia bus taske (0, 0), galas – taske (2n, 0). Atkarpos su abscisiu
‘asimi sudaro 45 arba −45 kampus; abieju
‘rusiu
‘atkarpu
‘bus po n. Reikia
rasti skaiciu‘
lauzciu‘, nekertanciu
‘tieses t = s. Tuo tikslu kiekviena
‘lauzte
‘,
338 Matematines statistikos pradmenys
pasiekiancia‘tiese
‘t = s, pakeiskime nauja lauzte, kuri nuo (0, 0) iki pirmojo
susikirtimo su t = s sutampa su pirmykste lauzte, o veliau yra pastarosiosveidrodinis atspindys tos tieses atzvilgiu. Naujoji lauzte prasides taske (0, 0)ir baigsis taske (2n, 2s). Joje turi buti n + s pakilimu
‘ir n − s nusileidimu
‘.
Todel tokiu‘lauzciu
‘bus (
2nn− s
).
Vadinasi, skaicius pirmyksciu‘lauzciu
‘, nepasiekianciu
‘tieses t = s, yra(
2nn
)−
(2nn− s
). ut
2 teorema. Jei ispildytos 1 teoremos sa‘lygos, tai
P(D+n
√n
2< z
)→
0, kai z ≤ 0,1− e−2z2 , kai z > 0.
I‘r o d y m a s. Pastebesime, kad
P(D+n
√n
2< z
)= P(nD+
n < z√
2n).
Tirdami sios tikimybes asimptotika‘, remsimes 1 teorema. Pakanka nagrineti
atveji‘, kai z > 0. Pazymekime s = z
√2n, kai tas skaicius yra sveikasis,
ir s = [z√
2n] + 1, kai jis nera sveikas. Taigi s = z√
2n + δ, 0 ≤ δ < 1.Laikysime, kad n yra didelis.
Is Stirlingo formules (zr. I.6 skyreli‘), pazymeje
‘
p =
(2nn− s
)(
2nn
) =(n!)2
(n+ s)!(n− s)!,
gauname
(1)ln p = (2n+ 1) lnn−
(n+ s+
12
)ln(n+ s)−
−(n− s+
12
)ln(n− s) +O
( 1n
).
Kadangi pagal 12 skyrelio lema‘
Smirnovo kriterijus 339
ln(n+ s) = lnn+ ln(1 +
s
n
)= lnn+
s
n− s2
2n2+O
( s3n3
),
ln(n− s) = lnn− s
n− s2
2n2+O
( s3n3
),
tai is (1), atlike‘paprastus skaiciavimus, gauname
ln p = −s2
n+O(n−1/2) = −2z2 +O(n−1/2).
Vadinasi,
P(D+n
√n
2< z
)= 1− exp−2z2 +O(n−1/2) → 1− e−2z2 ,
kai n→∞. ut3 teorema. Jei teisingos 1 teoremos sa
‘lygos, tai sveikiesiems s
P(nDn < s) =
0, kai s ≤ 1,
1(2nn
) [n/s]∑k=−[n/s]
(2n
n− ks
), kai 1 < s ≤ n,
1, kai s > n.
I‘r o d y m a s panasus i
‘1 teoremos i
‘rodyma
‘. Vartosime vel tuos pacius
zymejimus ir remsimes ta pacia geometrine interpretacija. Si‘karta
‘ieskosime
skaiciaus N0 lauzciu‘, kurios telpa tarp tiesiu
‘t = −s ir t = s, ju
‘nepasiek-
damos.Kaip zinome, lauzciu
‘yra is viso
N =(
2nn
).
Ieskoma‘ji‘lauzciu
‘skaiciu
‘N0 gausime, atmete
‘is N skaiciu
‘lauzciu
‘, kurios turi
bendru‘tasku
‘su tiesemis t = −s, t = s. Pirmiausia atmesime skaiciu
‘N(+)
lauzciu‘, kurios turi bendra
‘taska
‘su t = s, ir skaiciu
‘N(−) lauzciu
‘, kurios
turi bendra‘
taska‘
su t = −s. Taciau tada bus du kartus atmestos lauztes,turincios bendru
‘tasku
‘su abiem tiesem. Todel pridesime skaiciu
‘N(+,−)
lauzciu‘, kurios po bendro tasko su t = s turi bendra
‘taska
‘su t = −s, ir skaiciu
‘N(−,+) lauzciu
‘, kurios po bendro tasko su t = −s turi bendra
‘taska
‘su t = s.
Kai kurios lauztes bus pridetos du kartus. Todel te‘sime siuos samprotavimus.
Vartodami lengvai suvokiamus zymejimus, gausime
N0 = N −N(+)−N(−) +N(+,−) +N(−,+)−N(+,−,+)−−N(−,+,−) + ...
340 Matematines statistikos pradmenys
1 teoremos i‘rodyme gavome
N(+) =(
2nn− s
).
Skaicius N(−) = N(+). Tai isplaukia is simetriskumo.Apskaiciuosime N(+,−). Kiekviena
‘lauzte
‘, iseinancia
‘is tasko (0, 0) ir
pasiekiancia‘tiese
‘t = s, pakeisime nauja lauzte, kuri sutampa su pirmykste
nuo (0, 0) iki bendro tasko su t = s, o toliau yra jos veidrodinis atspindystieses t = s atzvilgiu. Taip gauta lauzte pasibaigs taske (2n, 2s). Jei pirmykstelauzte is pradziu
‘turi bendra
‘taska
‘su t = s, o po to su t = −s, tai ka
‘tik
gauta naujoji lauzte pasieks tiese‘t = 3s. Konstruojame dar viena
‘lauzte
‘, kuri
sutaps su nauja‘ja iki bendro tasko su t = 3s, o po to sutaps su pirmykstes
lauztes veidrodiniu atspindziu tieses t = 3s atzvilgiu. Vadinasi, naujausiojilauzte baigsis taske (2n, 4s). Tokiu
‘naujausiu
‘lauzciu
‘yra(
2nn− 2s
).
Taigi
N(+,−) = N(−,+) =(
2nn− 2s
)=
(2n
n+ 2s
).
Analogiskai samprotaudami, galime gauti
N(ε1, ε2, ..., εk) =(
2nn− ks
)=
(2n
n+ ks
),
kai ε1, ..., εk yra alternuojanti + ir − seka.Galutinai
N0 =[n/s]∑
k=−[n/s]
(−1)k(
2nn− ks
). ut
4 teorema. Jei teisingos 1 teoremos sa‘lygos, tai
P(Dn
√n
2< z
)→ K(z),
kai n→∞; cia K(z) yra 13.3 teoremoje apibrezta funkcija.I‘r o d y m a s. Pakanka nagrineti atveji
‘, kai z > 0. Toliau z laikysime
fiksuotu, o n – pakankamai dideliu. Atkreipsime demesi‘, kad
P(Dn
√n
2< z
)= P(nDn < zn);
Smirnovo kriterijus 341
cia zn = z√
2n, kai pastarasis skaicius yra sveikasis, ir zn = [z√
2n] + 1, kaijis nera sveikasis. Tada
P(Dn
√n
2< z
)=
[n/zn]∑k=−[n/zn]
(−1)k
(2n
n− kzn
)(
2nn
) =
=[n/zn]∑
k=−[n/zn]
(−1)k(n!)2
(n− kzn)!(n+ kzn)!.
Paeme‘bet koki
‘ε > 0, parinkime toki
‘sveika
‘ji‘teigiama
‘n0, kad butu
‘
e−2n20z
2<
ε
16,
∣∣∣ ∑|k|>n0
(−1)ke−2k2z2∣∣∣ < ε
6.
Kaip ir 2 teoremos i‘rodyme, is Stirlingo formules gauname (skaiciavimus
paliekame skaitytojui)
(n!)2
(n− kzn)!(n+ kzn)!= e−2k2z2
(1 + o(1)
)tolygiai visiems k su sa
‘lyga |k| ≤ n0. Todel∣∣∣ n0∑
k=−n0
(−1)ke−2k2z2 −n0∑
k=−n0
(−1)(n!)2
(n− kzn)!(n+ kzn)!
∣∣∣ =
= o(1)n0∑
k=−n0
e−2k2z2 <ε
2
pakankamai dideliems n. Kadangi(2n
n− kzn
)>
(2n
n− (k + 1)zn
),
tai ∣∣∣ ∑n0<|k|≤zn
(−1)k(n!)2
(n− kzn)!(n+ kzn)!
∣∣∣ <<
4(n!)2
(n− n0zn)!(n+ n0zn)!= 4e−2n2
0z2(1 + o(1)
)<ε
3,
kai n yra pakankamai didelis. Todel pakankamai dideliems n
342 Matematines statistikos pradmenys
∣∣∣P(Dn
√n
2< z
)−K(z)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣ n0∑k=−n0
(−1)ke−2k2z2−
−n0∑
k=−n0
(−1)k(n!)2
(n− kzn)!(n+ kzn)!
∣∣∣++
∣∣∣ ∑n0<|k|≤zn
(−1)k(n!)2
(n− kzn)!(n+ kzn)!
∣∣∣++
∣∣∣ ∑|k|>n0
(−1)ke−2k2z2∣∣∣ < ε
2+ε
3+ε
6= ε. ut
Pateiksime be i‘rodymo statistiku
‘D+nm ir Dnm pasiskirstymo ribines teo-
remas, kai n ir m yra bet kokie.
5 teorema. Jei stebimieji dydziai yra tolydus ir vienodai pasiskirste‘, tai
P(D+nm
√nm
n+m< z
)→
0, kai z ≤ 0,1− e−2z2 , kai z > 0,
,
P(Dnm
√nm
n+m< z
)→ K(z),
kai n→∞, m→∞; cia K(z) yra 13.3 teoremoje apibrezta funkcija.Statistiku
‘D+nm ir Dnm pasiskirstymu grindziamas Smirnovo kriterijus
tikrinti hipotezei, kad abu stebimi tolydieji atsitiktiniai dydziai turi ta‘pati
‘pasiskirstyma
‘. Tu
‘statistiku
‘pasiskirstymai yra tabuliuoti (zr. [17], XVII
lentele‘; [2], 6.5a lentele
‘). Skaiciavimams suprastinti naudojamos formules
D+nm = max
1≤k≤n
(kn− Gm(X∗
k))
= max1≤k≤m
(Fn(Y ∗
k )− k − 1m
),
D−nm = max
1≤k≤n
(Gm(X∗
k)−k − 1n
)= max
1≤k≤m
( km−Fn(Y ∗
k )),
Dnm = max(D+nm,D−
nm);
cia X∗k yra pirmojo stebimo dydzio, o Y ∗
k – antrojo dydzio variacinessekos.
15. ZENKLU‘
KRITERIJUS
11 skyrelyje nagrinejome sitoki‘uzdavini
‘. Stebejome atsitiktini
‘dydi
‘, i
‘gyjanti
‘dvi reiksmes 1 ir 0 atitinkamai su tikimybemis p ir 1 − p. Tikimybe p buvonezinoma. Nurodeme metoda
‘tikrinti hipotezei, kad p yra koks nors konkre-
tus skaicius p0 ∈ (0, 1). Dabar mums pravers specialus atvejis p0 = 1/2.Priminsime ta
‘kriteriju
‘.
Zenklu‘kriterijus 343
Atliekame n nepriklausomu‘
stebejimu‘. Pazymekime κn skaiciu
‘atveju
‘,
kai stebimasis atsitiktinis dydis i‘gyja reiksme
‘1. Statistika κn turi binomini
‘pasiskirstyma
‘
P(κn = k) =(n
k
)(12
)n(k = 0, 1, ..., n).
Nerandomizuotas kriterijus sudaromas sitaip. Imkime reiksmingumo lygmeni‘
α. Pazymekime kn statistikos κn realizacija‘. Jei alternuojanti hipoteze yra
p = p1 < 1/2, tai hipoteze‘atmetame, kai
kn∑k=0
(n
k
)(12
)n≤ α.
Jei alternatyva yra p = p1 > 1/2, tai hipoteze‘atmetame, kai
n∑k=kn
(n
k
)(12
)n≤ α.
Pagaliau, jei alternatyva yra p = p1 6= 1/2, tai hipoteze‘atmetame, kai
kn∑k=0
(n
k
)(12
)n≤ α
2
arban∑
k=kn
(n
k
)(12
)n≤ α
2.
Siuo kriterijumi yra pagri‘stas vadinamasis zenklu
‘kriterijus, vienas is pa-
prasciausiu‘statistikoje. Panagrinesime pora
‘jo taikymo atveju
‘.
1. Sakykime, stebime tolydu‘ji‘atsitiktini
‘dydi
‘. Reikia patikrinti hipoteze
‘,
kad jo mediana yra lygi z0. Kaip paprastai, tarkime, kad X1, ..., Xn yra at-sitiktine imtis. Kadangi stebimasis dydis yra tolydus, tai jo mediana tenkinasa
‘lyga
‘
P (X1 < z0) = P (X1 > z0) =12.
Pazymekime κn skaiciu‘tu
‘k, kuriems Xk−z0 yra neigiamas. Si statistika yra
pasiskirsciusi pagal binomini‘
desni‘. Todel hipotezei tikrinti galima taikyti
anksciau aprasyta‘procedura
‘. Praktiskai ja
‘taikant, tenka suskaiciuoti, kiek
yra neigiamu‘
ir kiek yra teigiamu‘
skirtumu‘Xk − z0. Is cia ir kile
‘s zenklu
‘kriterijaus pavadinimas.
2. Sakykime, stebime dvimati‘tolydu
‘ji‘atsitiktini
‘dydi
‘su tankio funkcija
p(u, v). Reikia patikrinti hipoteze‘, kad p(u, v) = p(v, u). Jei stebimojo dydzio
344 Matematines statistikos pradmenys
komponentai yra nepriklausomi, tai tikrinamoji hipoteze reiskia, kad jieyra vienodai pasiskirste
‘. Imkime n nepriklausomu
‘stebejimu
‘(X1, Y1), ...,
(Xn, Yn). Jei hipoteze yra teisinga, tai skirtumai Xk − Yk i‘gyja teigiamas
ir neigiamas reiksmes su ta pacia tikimybe 1/2. Todel galime taikyti zenklu‘
kriteriju‘.
16. RANGINIAI KRITERIJAI
Sakykime, tiriame du tolydziuosius atsitiktinius dydzius. Ju‘nepriklausomu
‘stebejimu
‘rezultatai yra X1, ..., Xn ir Y1, ..., Ym. Reikia patikrinti hipoteze
‘,
kad tie dydziai turi ta‘pacia
‘pasiskirstymo funkcija
‘.
Sujunkime visus stebejimo rezultatus ir is ju‘sudarykime viena
‘variacine
‘seka
‘. Joje bus N = n+m nariu
‘. Praleiskime indeksus. Gausime, pavyzdziui,
sitokio tipo seka‘
X X Y X Y Y . . . X Y Y.1 2 3 4 5 6 N-2 N-1 N
Apacioje surasyti nariu‘numeriai – ju
‘rangai. Tiesa, gali pasitaikyti vienodu
‘pirmosios ir antrosios imties nariu
‘. Tada gautoji seka nebus vienareiksmiskai
nusakyta. Taciau tokie atvejai gales pasitaikyti tik su tikimybe 0, nes dydziaiyra tolydieji. Jei vis delto taip atsitiko, tai lygius stebejimo rezultatusisdestome bet kaip.
Tarkime, kad R1 < R2 < ... < Rn yra X numeriai. Parenkame kokia‘nors
funkcija‘f(r), apibrezta
‘visiems r = 1, ..., N , ir imame statistika
‘
W = f(R1) + ...+ f(Rn).
Atitinkamai konkretizave‘funkcija
‘f(r), gauname Vilkoksono ir Van der
Vardeno kriterijus.1. V i l k o k s o n o1 k r i t e r i j u s. Tarkime, kad s(1), s(2), ..., s(N)
yra skaiciai 1, 2, ..., N , surasyti kokia nors is anksto fiksuota (nepriklausancianuo stebejimo rezultatu
‘) tvarka, kitaip tariant, s(1), s(2), ..., s(N) yra skaiciu
‘1, 2, ..., N kelinys. Paeme
‘f(r) = s(r), turime statistika
‘
W = f(R1) + ...+ f(Rn).
Galima i‘rodyti: jei hipoteze yra teisinga, tai taip sudarytos statistikos pa-
siskirstymas nepriklauso nuo teorines pasiskirstymo funkcijos ir funkcijoss(r), priklauso tik nuo n ir m. Statistikos W pasiskirstymo funkcija yra ta-buliuota (zr. [2], 6.8 lentele
‘). Kai n ir m dideli, galima naudotis asimptotine
formule
1 F. Wilcoxon – anglu‘matematikas.
Ranginiai kriterijai 345
P
W − m
2(m+ n+ 1)√
mn
12(m+ n+ 1)
< u
→ Φ(u),
kai N = n+m→∞.2. V a n d e r V a r d e n o1 k r i t e r i j u s yra panasus i
‘Vilkoksono,
tik funkcija f(r) parenkama siek tiek kitaip:
f(r) = Φ−1( s(r)n+m+ 1
);
cia Φ−1 reiskia funkcija‘, atvirkstine
‘standartinei normaliajai pasiskirstymo
funkcijai Φ. Ir siuo atveju statistikos
W =n∑k=1
Φ−1( s(R)n+m+ 1
)pasiskirstymas priklauso tik nuo n ir m. Kai N →∞,
P(W < u√DW ) → Φ(u);
cia
DW =nm
n+m+ 11
n+m
n+m∑k=1
(Φ−1
( k
n+m+ 1
))2
.
Statistikos W pasiskirstymo funkcija yra tabuliuota (zr. [17], XIX lentele‘, [2],
6.9 lentele‘).
Kriterijus, pagri‘stas sia statistika, yra gana tikslus, kai stebimieji atsitik-
tiniai dydziai pasiskirste‘pagal normalu
‘ji‘desni
‘arba artima
‘jam.
1 Van der Waerden (g. 1903) – olandu‘matematikas, siuo metu dirba
‘s Sveicarijoje.
V skyrius. PRIEDAS. MATO IR INTEGRALOTEORIJOS PRADMENYS
1. AIBIU‘
KLASES
Susitarkime toliau nagrinejamas aibes laikyti kurios nors universaliosios aibespoaibiais.
Mato teorijai svarbiausios yra dvi aibiu‘
klases: algebros ir σ algebros(sigma algebros).
Bet kurios aibes Ω (ji gali buti ir tuscia) poaibiu‘
sistema‘A vadiname
aibiu‘
algebra (aibiu‘kunu, lauku), jei ji tenkina sias sa
‘lygas:
I. Ω ∈ A.II. Jei A ∈ A, tai Ac ∈ A.III. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A ∪B ∈ A.
1 p a v y z d y s. Sistema, sudaryta is dvieju‘
aibiu‘
∅ ir Ω, Ω 6= ∅, yraaibiu
‘algebra. Sistema, sudaryta is vienos aibes ∅, yra algebra. Tokia algebra telpa
kiekvienoje algebroje.
2 p a v y z d y s. Tarkime, kad A ⊂ Ω, A 6= ∅, A 6= Ω. Sistema ∅, A, Ac, Ωyra aibiu
‘algebra.
3 p a v y z d y s. Kiekvienos aibes Ω visu‘poaibiu
‘sistema yra aibiu
‘algebra.
4 p a v y z d y s. Tarkime, kad
Ω =
s⋃k=1
Ak
ir aibes Ak (k = 1, ..., s) yra disjunkcios (t. y. kas dvi neturi bendru‘
elementu‘).
Sudarykime visas galimas tu‘aibiu
‘sa
‘jungas Ak1 ∩ ... ∩ Akr (tuscia sa
‘junga pagal
susitarima‘yra laikoma tuscia aibe). Visu
‘tu
‘sa
‘jungu
‘sistema yra algebra.
5 p a v y z d y s. Imkime visus galimus intervalus (a, b), [a, b), (a, b], [a, b],kuriuose a ir b – baigtiniai skaiciai (kai a = b, intervalas [a, b] yra sudary-tas is vieno tasko, o kitu
‘tipu
‘intervalai – tuscios aibes), ir visus intervalus
(−∞, a), (−∞, a], (a,∞), [a,∞), (−∞,∞). Visu‘tu
‘intervalu
‘sistema nera aibiu
‘al-
gebra. Taciau sistema, sudaryta is visu‘galimu
‘baigtinio skaiciaus intervalu
‘sa
‘jungu
‘,
yra algebra.
Panagrinesime aibiu‘
algebru‘
savybes. Zymesime A aibes Ω poaibiu‘
al-gebra
‘. Is apibrezimo isplaukia sie teiginiai.
1. ∅ ∈ A, nes ∅ = Ωc ∈ A.2. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A ∩B = (Ac ∪Bc)c ∈ A.
Aibiu‘klases 347
3. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A\B = A ∩Bc ∈ A.4. Jei A1, A2, ..., An yra algebros A aibes, tai jai priklauso ir A1∪A2∪ ...∪
∪An, A1∩A2∩...∩An. Sis teiginys isplaukia is III ir 2, remiantis matematinesindukcijos principu.
Atkreipsime demesi‘, kad aibiu
‘algebra
‘buvo galima apibrezti ir trumpiau,
pakeitus II ir III reikalavimus vienu – sistemos uzdarumu aibiu‘
atimtiesatzvilgiu: jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A\B ∈ A. Tada jos uzdarumas jungimoir papildymo operaciju
‘atzvilgiu isplauktu
‘is tapatybiu
‘Ac = Ω\A, A ∪B =
= Ω\((Ω\A)\B).Galimi ir kiti aibiu
‘algebros apibrezimo variantai. Sakysime, I reikalavima
‘galima pakeisti reikalavimu ∅ ∈ A arba III reikalavima
‘– sa
‘lyga: jei A ∈ A ir
B ∈ A, tai ir A∩B ∈ A. Siulome skaitytojui paciam i‘rodyti, kad tie variantai
yra ekvivalentus pirmiesiems.Taigi algebra yra kurios nors aibes Ω poaibiu
‘sistema, kuriai priklauso pati
Ω ir kuri yra uzdara jungimo, kirtimosi ir atimties operaciju‘atzvilgiu, jei tik
jas atliekame baigtini‘skaiciu
‘kartu
‘. 5 pavyzdys rodo, kad, atlike
‘su algebros
aibemis jungimo arba kirtimosi operacijas be galo daug kartu‘, galime gauti ir
aibes, nepriklausancias algebrai. Del to kartais susidaro dideliu‘nepatogumu
‘.
Todel i‘vesime siauresne
‘algebru
‘klase
‘– vadinama
‘sias σ algebras.
Kurios nors aibes Ω poaibiu‘sistema A vadinama aibiu
‘σ algebra (σ kunu,
σ lauku, aibiu‘Borelio kunu, Borelio lauku), kai ji tenkina sa
‘lygas:
I. Ω ∈ A.II. Jei A ∈ A, tai Ac ∈ A.III′. Jei A1, A2, ... yra sistemos A aibes, tai ir
∞⋃k=1
Ak ∈ A.
III algebros sa‘lyga
‘pakeiteme III′ sa
‘lyga. Nesunku suvokti, kad is III′
isplaukia III. Is tikru‘ju
‘is I ir II isplaukia, kad ∅ ∈ A. Todel, jei A ir B ∈ A,
tai ir A ∪ B = A ∪ B ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ... ∈ A. Vadinasi, aibiu‘σ algebra yra aibiu
‘algebra.
Parodysime, kad aibiu‘σ algebra yra uzdara ir bet kurios aibiu
‘is A sekos
kirtimosi atzvilgiu.5. Jei A1, A2, ... yra A aibes, tai ir
∞⋂k=1
Ak =( ∞⋃
k=1
Ack
)c
∈ A.
Siulome skaitytojui parodyti, kad aibiu‘σ algebra
‘galime apibrezti, reika-
laudami, kad butu‘tenkinamos I, II ir 5 sa
‘lygos.
1, 2 ir 3 pavyzdziu‘
algebros yra σ algebros. 5 pavyzdzio algebra, kaip jauminejome, nera σ algebra.
348 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
6 p a v y z d y s. Kiekviena baigtine algebra yra kartu ir σ algebra. Is tikru‘ju
‘,
jei A1, A2, ... yra baigtines algebros A aibiu‘seka, tai tarp ju
‘gali buti tik baigtinis
skaicius skirtingu‘(nes tik tiek tera aibiu
‘sistemoje A). Todel
∞⋃k=1
Ak
yra is esmes baigtinio aibiu‘skaiciaus sa
‘junga.
Kiekviena‘
aibes Ω poaibiu‘
sistema‘S visada galima papildyti naujomis
aibemis – Ω poaibiais, kad ji virstu‘
algebra arba net σ algebra. Pakankata
‘sistema
‘papildyti iki visu
‘aibes Ω poaibiu
‘sistemos. Taciau kartais gali-
ma elgtis ekonomiskiau – imti maziau papildomu‘
aibiu‘. Tarp visu
‘algebru
‘(σ algebru
‘), kurioms priklauso sistemos S aibes, yra pati negausiausia a(S)
(atitinkamai σ(S)): ji priklauso kiekvienai aibiu‘algebrai (σ algebrai), apre-
pianciai sistema‘S, ir yra vadinama algebra (σ algebra), generuota sistemos
S, arba maziausia algebra (σ algebra), kuriai priklauso S. I‘rodysime tuos
teiginius.
1 teorema. Jei Aλ, λ ∈ Λ yra aibes Ω poaibiu‘
algebru‘
(σ algebru‘)
sistema, tai visu‘
tos sistemos algebru‘
(σ algebru‘) sankirta⋂
λ∈Λ
Aλ
yra taip pat Ω poaibiu‘
algebra (σ algebra).I‘
r o d y m a s. Tirsime tik σ algebru‘
atveji‘. Pazymekime σ algebru
‘sankirta
‘A. Parodysime, kad ji tenkina I, II, III′ sa
‘lygas. Kadangi Ω ∈ Aλ
visiems λ ∈ Λ, tai Ω ∈ A. Jei aibe A ∈ A, tai ji priklauso kiekvienai isAλ, λ ∈ Λ. Taciau tada Ac ∈ Aλ, λ ∈ Λ. Vadinasi, Ac ∈ A. Tarkime, kadAk (k = 1, 2, ...) yra A aibes. Tada jos priklauso ir kiekvienai is Aλ. Todelkiekvienai is Aλ priklauso ir ju
‘sa
‘junga
∞⋃k=1
Ak.
Vadinasi, ta sa‘junga priklauso ir A. ut
2 teorema. Tarkime, kad S yra kuri nors aibes Ω poaibiu‘sistema. Egzis-
tuoja vienintele algebra a(S) (atitinkamai σ algebra σ(S)), turinti savybes:a) S ⊂ σ(S); b) jei S priklauso kuriai nors aibes Ω poaibiu
‘algebrai (σ algeb-
rai) A, tai ir σ(S) ⊂ A.I‘
r o d y m a s. Vel tirsime tik σ algebru‘
atveji‘. Visada egzistuoja
bent viena aibes Ω poaibiu‘σ algebra, kuriai priklauso sistema S. Tokia yra
visu‘
aibes Ω poaibiu‘σ algebra. Imkime visas aibes Ω poaibiu
‘σ algebras,
Aibiu‘klases 349
kurioms priklauso S, ir pazymekime ju‘
sankirta‘σ(S). I
‘rodysime, kad ji ir
yra ieskomoji σ algebra.Pagal 1 teorema
‘σ(S) yra σ algebra. Jei A yra kuri nors aibes Ω poaibiu
‘σ algebra, kuriai priklauso S, tai jai turi priklausyti σ(S) pagal pastarosiosapibrezima
‘.
Lieka i‘rodyti, kad gali buti tik viena maziausia σ algebra. Tarkime, kad
turime dvi σ algebras A1 ir A2, tenkinancias sa‘lygas a ir b. Is sa
‘lygos b
gautume, kad A1 ⊂ A2, A2 ⊂ A1. Vadinasi, A1 = A2. utImkime visu
‘tieses Ω = R intervalu
‘sistema
‘. Prapleskime ja
‘iki maziausios
σ algebros B. Aibes, sudarancios B, yra vadinamos Borelio aibemis. Jas galimegauti ir praplesdami iki maziausios σ algebros visu
‘intervalu
‘(−∞, x), x ∈ R,
sistema‘. Is tikru
‘ju
‘visu
‘kitu
‘tipu
‘intervalus galime gauti is siu
‘intervalu
‘, atlike
‘aibiu
‘operacijas, kuriu
‘atzvilgiu yra uzdara aibiu
‘σ algebra. Kai c < a < b,
turime[a, b) = (−∞, b)\(−∞, a),
[a, b] =∞⋂
n=1
[a, b+
1n
),
(a, b) = [c, b)\[c, a]
ir t. t.Borelio aibiu
‘klase yra labai plati. Jai priklauso ne tik visi intervalai, bet
ir visos atviros, visos uzdaros ir dar sudetingesnes aibes.Visai taip pat, praplesdami erdves Ω = Rs visu
‘intervalu
‘sistema
‘iki
maziausios σ algebros Bs, gauname erdves Rs Borelio aibes.Dvejetas Ω,A, sudarytas is netuscios aibes Ω ir jos poaibiu
‘σ algebros
A (kuriai priklauso pati Ω), yra vadinamas macia erdve. Sistemos A aibestada vadinamos A maciomis, arba tiesiog maciomis, kai aisku, apie kokia
‘σ
algebra‘kalbame.
Mato teorijoje be algebru‘bei σ algebru
‘dar vartojamos ziedu
‘ir σ ziedu
‘sa
‘vokos. Jos apibreziamos panasiai, kaip ir algebros, taciau nera reikalaujama,
kad Ω priklausytu‘toms aibiu
‘klasems.
I‘vesime dar viena
‘sa
‘voka
‘– aibiu
‘monotoniniu
‘klasiu
‘. Jai apibrezti pri-
minsime aibiu‘sekos ribos sa
‘voka
‘.
Tarkime, kad A1, A2, ... yra aibes Ω poaibiu‘seka. Aibe
‘tu
‘ω ∈ Ω, kurie
priklauso be galo dideliam skaiciui aibiu‘An, zymesime lim sup
nAn ir vadinsime
sekos An virsutine riba. Nesunku i‘rodyti, kad
(1) lim supn
An =∞⋂
k=1
∞⋃n=k
An.
Jei ω priklauso be galo dideliam aibiu‘An skaiciui, tai ω priklauso visoms
aibems
350 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
(2) Ck =∞⋃
n=k
An (k = 1, 2, ...),
vadinasi, priklauso aibei
(3)∞⋂
k=1
Ck =∞⋂
k=1
∞⋃n=k
An.
Antra vertus, jei ω priklauso (3) aibei, tai jis priklauso kiekvienai aibeiCk (k = 1, 2, ...). Jei ω priklausytu
‘tik baigtiniam aibiu
‘An skaiciui, tai butu
‘toks m, kad ω 6∈ An, kai n ≥ m, t. y.
ω 6∈∞⋃
n=k
An = Ck,
kai k ≥ m. Is sio priestaravimo isplaukia, kad ω turi priklausyti be galodideliam aibiu
‘An skaiciui.
Aibe‘
tu‘ω ∈ Ω, kurie priklauso visoms An, galbut isskyrus baigtini
‘ju
‘skaiciu
‘, kitaip tariant, priklauso visoms An, kuriu
‘indeksai pakankamai dideli,
zymesime lim infn
An ir vadinsime sekos An apatine riba. I‘rodysime, kad
(4) lim infn
An =∞⋃
k=1
∞⋂n=k
An.
Jei ω priklauso visoms aibems An, pradedant kuriuo nors indeksu m, taiω priklauso visoms aibems
Dk =∞⋂
n=k
An,
kai k ≥ m, vadinasi, ω priklauso aibei
(5)∞⋃
k=1
Dk =∞⋃
k=1
∞⋂n=k
An.
Jei ω priklauso (5) aibei, tai jis priklauso kuriai nors aibei Dk, vadinasi,ir visoms An, kai n ≥ k.
Is (1) ir (4) isplaukia, kad
(lim infn
An)c = lim supn
Acn,
(lim supn
An)c = lim infn
Acn.
Aibiu‘klases 351
Jei aibes An priklauso aibes Ω poaibiu‘σ algebrai A, tai ju
‘sekos apatine
ir virsutine ribos, kaip matyti is (1) ir (4) lygybiu‘, taip pat priklauso A.
Jeilim inf
nAn = lim sup
nAn,
tai bendra‘ja
‘apatines ir virsutines ribos reiksme
‘vadiname sekos An riba ir
zymimelimnAn.
Jei seka An yra monotoniskai didejanti: A1 ⊂ A2 ⊂ ..., tai
limnAn =
∞⋃n=1
An.
Jei seka An yra monotoniskai mazejanti: A1 ⊃ A2 ⊃ ..., tai
limnAn =
∞⋂n=1
An.
Mums cia tereiks tik monotoniniu‘aibiu
‘ribu
‘sa
‘vokos.
Monotonine aibiu‘
klase vadinama netuscia aibes Ω poaibiu‘sistema M,
kai kiekvienos monotoniskos aibiu‘is M sekos riba priklauso M.
Nagrinesime monotoniniu‘klasiu
‘savybes.
3 teorema. Jei Mλ, λ ∈ Λ yra aibes Ω poaibiu‘
monotoniniu‘
klasiu‘
sistema, tai visu‘
tos sistemos monotoniniu‘
klasiu‘
sankirta
M =⋂λ∈Λ
Mλ
yra arba tuscia, arba vel monotonine klase.I‘r o d y m a s. Sakykime, sankirta M nera tuscia ir An (n = 1, 2, ...) yra
monotoniska sistemos M aibiu‘seka. Kadangi aibes An priklauso kiekvienai
is klasiu‘Mλ, tai ir ju
‘riba turi priklausyti kiekvienai is tu
‘klasiu
‘, vadinasi,
ji priklauso ir tu‘klasiu
‘sankirtai M. ut
4 teorema. Tarkime, kad H yra bet kuri netuscia aibes Ω poaibiu‘sistema.
Egzistuoja vienintele monotonine aibiu‘klase M(H), turinti savybes: a) H ⊂
⊂ M(H), b) jei H priklauso kuriai nors aibes Ω poaibiu‘
monotoninei klaseiM, tai M(H) ⊂M.
M(H) yra vadinama sistemos H generuota‘ja monotonine aibiu
‘klase,
arba maziausia‘ja monotonine aibiu
‘klase, kuriai priklauso H.
I‘r o d y m a s. Aibes Ω visu
‘poaibiu
‘sistema yra monotonine klase ir jai
priklauso sistema H. Vadinasi, egzistuoja monotonine klase, apimanti H.
352 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Pazymekime M(H) visu‘
monotoniniu‘
klasiu‘, sudarytu
‘is Ω poaibiu
‘ir
apimanciu‘H, sankirta
‘. I
‘rodysime, kad ji yra ieskomoji. Pagal 3 teorema
‘M(H) yra monotonine klase. Tarkime, kad M yra bet kuri monotonine aibesΩ poaibiu
‘klase, apimanti H. Tada M(H) turi priklausyti M (pagal M(H)
apibrezima‘).
Klases M(H) vienatis isplaukia is jos minimalumo (zr. 2 teoremosi‘rodyma
‘). ut
5 teorema. Aibes Ω poaibiu‘algebra A yra σ algebra tada ir tik tada, kai
ji yra monotonine klase.I‘
r o d y m a s. Kiekviena σ algebra yra, aisku, ir monotonine klase.Tarkime, kad algebra A yra monotonine klase. I
‘rodysime, kad ji yra ir σ
algebra. Imkime bet kuria‘
algebros A aibiu‘
seka‘Ak (k = 1, 2, ...). Tada
baigtines sa‘jungos
n⋃k=1
Ak (n = 1, 2, ...)
sudaro monotoniskai didejancia‘aibiu
‘seka
‘, kurios riba yra visu
‘aibiu
‘Ak (k =
= 1, 2, ...) sa‘junga. Ji priklauso A. ut
6 teorema. Algebros A generuota σ algebra σ(A) sutampa su taip patalgebros A generuota monotonine klase M(A).
I‘r o d y m a s. 1. Pagal 5 teorema
‘σ(A) yra monotonine klase. Todel
is M(A) minimalumo gauname: M(A) ⊂ σ(A). Jei i‘rodytume, kad M(A)
yra algebra, tai pagal 5 teorema‘gautume, kad ji yra ir σ algebra, o is σ(A)
minimalumo isplauktu‘, kad σ(A) ⊂M(A), taigi M(A) = σ(A).
2. Tarkime, kad A yra aibes Ω poaibiu‘algebra. I
‘rodysime: jei A ∈M(A),
tai ir Ac = Ω\A ∈ M(A). Imkime tam reikalui aibiu‘klase
‘M = A : A ∈
∈ M(A), Ac ∈ M(A). Aisku, visos algebros A aibes priklauso klasei M,vadinasi,
(6) A ⊂M ⊂M(A).
Jei An (n = 1, 2, ...) yra didejanti klases M, taigi ir klases M(A), aibiu‘seka,
tai Acn (n = 1, 2, ...) yra mazejanti klases M(A) aibiu
‘seka ir
limn→∞
An =∞⋃
n=1
An ∈M(A),
( limn→∞
An)c =( ∞⋃
n=1
An
)c
=∞⋂
n=1
Acn = lim
n→∞Ac
n ∈M(A).
Analogiskai, jei Bn (n = 1, 2, ...) yra mazejanti klases M, taigi ir klasesM(A), aibiu
‘seka, tai Bc
n (n = 1, 2, ...) yra didejanti klases M(A) aibiu‘
seka ir
Aibiu‘matas 353
limn→∞
Bn =∞⋂
n=1
Bn ∈M(A),
( limn→∞
Bn)c =( ∞⋂
n=1
Bn
)c
=∞⋃
n=1
Bcn = lim
n→∞Bc
n ∈M(A).
Vadinasi, klases M monotonisku‘seku
‘ribos vel priklauso M. Todel M yra
monotonine klase. Is (6) ir M(A) minimalumo isplaukia, kad M = M(A).3. I
‘rodysime, kad klase M(A) yra uzdara dvieju
‘aibiu
‘kirtimosi atzvilgiu.
Jei A ∈ M(A), imkime aibiu‘
klase‘MA = B : B ∈ M(A), A ∩ B ∈
∈ M(A). Pirmiausia parodysime, kad MA yra monotonine klase. Imkimebet kuria
‘monotoniska
‘tos klases aibiu
‘seka
‘Bn (n = 1, 2, ...). Jos riba limBn
ir lim(A ∩ Bn) turi priklausyti M(A). Is lygybes A ∩ limBn = lim(A ∩ Bn)isplaukia, kad ir A ∩ limBn ∈MA. Vadinasi, MA yra monotonine klase.
Jei A ∈ A, tai A ⊂ MA ⊂ M(A). Todel, jei A ∈ A ir B ∈ M(A), taiA ∩B ∈M(A), taigi A ∈MB .
Is cia gauname: A ⊂ MB ⊂ M(A), kai B ∈ M(A). Todel, kai B ∈∈M(A), (is M(A) minimalumo) MB = M(A). Vadinasi, M(A) yra uzdaradvieju
‘aibiu
‘kirtimosi atzvilgiu. ut
2. AIBIU‘
MATAS
Elementariojoje geometrijoje i‘vedamos geometriniu
‘figuru
‘ilgio, ploto bei
turio sa‘vokos. Jos i
‘vedamos tik paprasciausiais atvejais. Sakysime, apibrezia-
ma tik tieses atkarpu‘, apskritimo bei jo daliu
‘ilgio sa
‘voka, daugiakampiu
‘, skri-
tulio bei jo daliu‘ir rutulio pavirsiaus bei jo daliu
‘ploto sa
‘voka, briaunainiu
‘,
rutulio bei jo daliu‘
turio sa‘voka. Kyla klausimas, ar negalima tas sa
‘vokas
praplesti ir daug bendresnems tasku‘
aibems. Tai nera lengvas klausimas.Imkime, pavyzdziui, aibe
‘, sudaryta
‘is visu
‘racionaliu
‘ju
‘intervalo (0, 1) tasku
‘.
Si aibe nera paprasta. Kiekviename kiek norint mazame to intervalo poin-tervalyje yra be galo daug racionaliu
‘ju
‘ir be galo daug iracionaliu
‘ju
‘tasku
‘.
Neaisku, kas laikytina tokios aibes ”ilgiu”.Kad butu
‘trumpiau, ilgi
‘, plota
‘, turi
‘susitarsime vadinti vienu zodziu –
matu.Figuros A matas yra skaicius µ(A), priskiriamas tai figurai ir turi
‘s sias
savybes:I. Jis yra neneigiamas: µ(A) ≥ 0.II. Jei figura
‘A suskaidysime i
‘keleta
‘figuru
‘A1, ..., An, kurios turi matus
ir yra disjunkcios (kas dvi neturi bendru‘tasku
‘), tai figuros A matas turi buti
lygus figuru‘A1, ..., An matu
‘sumai
µ(A) = µ(A1) + ...+ µ(An).
354 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Si mato savybe paprastai vadinama jo adityvumu, tiksliau baigtiniu adi-tyvumu.
II′. Elementariojoje geometrijoje nagrinejamu‘paprastu
‘geometriniu
‘figu-
ru‘matas turi vadinama
‘ja
‘visiskojo, arba skaiciojo, ar dar kitaip, σ adityvumo
(sigma adityvumo) savybe‘: jei figura A yra suskaidoma i
‘begaline
‘figuru
‘seka
‘A1, A2, ... ir figuros yra disjunkcios bei turi matus, tai figuros A matas yralygus figuru
‘A1, A2, ... matu
‘sumai:
µ(A) = µ(A1) + µ(A2) + ...
III. Intervalo (a, b) ilgis lygus b−a, staciakampio su krastinemis c, d plotaslygus cd, staciojo gretasienio su krastinemis e, f, g turis lygus efg.
Persasi mintis, kad ir kitoms aibems mato sa‘voka
‘reikia i
‘vesti taip, kad
ji tenkintu‘
tas sa‘lygas. Deja, buvo i
‘rodyta, kad nera tokios aibes funkci-
jos, kuri bet kurio matavimo erdviu‘visoms tasku
‘aibems tenkintu
‘I, II′, III
sa‘lygas. Tieses ir plokstumos aibems galima rasti funkcija
‘, tenkinancia
‘I,
II, III sa‘lygas; ji nera vienareiksmiskai nusakyta. Trimateje erdveje ir tokia
funkcija neegzistuoja.Vadinasi, reikia ieskoti aibes funkcijos, kuri butu
‘nusakyta ne visoms,
o tik kai kuriu‘, gana placiu
‘, klasiu
‘aibems. Turint galvoje taikymus, tos
klases turetu‘buti uzdaros aibiu
‘paprasciausiu
‘veiksmu
‘atzvilgiu. Antra ver-
tus, daznai naudinga atsisakyti III reikalavimo. Sakysime, kai erdve yra ne-homogenine, figuros svoris (ji
‘galime laikyti matu) pastumus gali keistis. Pa-
galiau, mato sa‘voka
‘pravartu i
‘vesti ne tik tasku
‘, bet ir abstrakcioms aibems.
Mato teorijoje pravercia be galo dideli skaiciai. Todel prie realiu‘ju
‘skaiciu
‘tieses R prijunge
‘du simbolius +∞ = ∞ ir −∞, praplesime ja
‘iki isplestines
skaiciu‘
tieses R = [−∞,∞], kartu i‘vesdami sitokias papildomas nelygybes
bei veiksmu‘taisykles:
jei x ∈ R, tai −∞ ≤ x ≤ ∞;
+(+∞) = −(−∞) = ∞, +(−∞) = −(+∞) = −∞;
x+ (±∞) = ±∞+ x = x±∞, jei x ∈ R;
(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞,
(+∞)− (−∞) = +∞, (−∞)− (+∞) = −∞;
x · (±∞) = (±∞) · x =
±∞, kai 0 < x ≤ ∞,0, kai x = 0,∓∞, kai −∞ ≤ x < 0;
±∞x
=±∞, kai 0 < x <∞,∓∞, kai −∞ < x < 0;x
±∞= 0, kai x ∈ R.
Reiskiniai
Aibiu‘matas 355
(+∞)−(+∞), (−∞)−(−∞), (+∞)+(−∞), (−∞)+(+∞),±∞±∞
,x
0(x ∈ R)
neturi prasmes.Dabar jau galime kalbeti ir apie intervalus [−∞, a), [−∞, a], (a,∞],
[a,∞], [−∞,∞] = R bei ju‘generuota
‘aibiu
‘σ algebra
‘B. Jos aibes vel vadin-
sime Borelio aibemis.Nagrinesime aibes funkcijas, t. y. funkcijas, apibreztas kurioje nors aibiu
‘sistemoje E . Aibes funkcija ϕ : E → R yra vadinama adityvia
‘ja, kai ji turi
savybe‘: jei A yra sistemos E aibe ir yra sa
‘junga baigtinio skaiciaus sistemos
E disjunkciu‘aibiu
‘A1, ..., An, tai
ϕ(A) =n∑
k=1
ϕ(Ak).
Panasiai apibreziamas ir aibes funkcijos visiskasis, skaitusis, arba dar kitaip– σ adityvumas. Jei
A = A1 ∪A2 ∪ ..., A ∈ E , Ak ∈ E (k = 1, 2, ...); Aj ∩Ak = ∅ (j 6= k),
tai turi buti
ϕ(A) =∞∑
k=1
ϕ(Ak).
Paprasta‘ji‘adityvuma
‘daznai vadina baigtiniu adityvumu.
Dabar jau galime apibrezti mato sa‘voka
‘.
Tarkime, kad A yra netuscios aibes Ω poaibiu‘algebra (kuri gali ir nebuti
σ algebra). Neneigiama funkcija µ (galinti i‘gyti ir reiksmes +∞), apibrezta
visoms algebros A aibems, vadinama matu, kai µ(∅) = 0 ir µ yra visiskaiadityvi. Kitais zodziais, matu vadiname aibes funkcija
‘µ : A → R, turincia
‘savybes:
I. µ yra neneigiama.II. µ(∅) = 0.III. Jei A1, A2, ... yra bet kuri disjunkciu
‘algebros A aibiu
‘seka ir
A =∞⋃
k=1
Ak ∈ A
(kai A yra σ algebra, pastarasis reikalavimas yra automatiskai tenkinamas),tai
µ(A) =∞∑
k=1
µ(Ak).
Reikalavimas µ(∅) = 0 i‘vedamas siekiant isvengti trivialaus atvejo,
kai funkcija µ(A) = ∞ visoje algebroje A. Ji‘
galima pakeisti ekvivalenciu
356 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
reikalavimu, kad egzistuotu‘bent viena aibe A0 ∈ A su sa
‘lyga µ(A0) < ∞.
Is tikru‘ju
‘, jei A0 ∈ A yra tokia aibe, tai is lygybes A0 = A0 ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ... ir
funkcijos µ visiskojo adityvumo gauname µ(A0) = µ(A0)+µ(∅)+µ(∅)+ ...,o is cia isplaukia, kad µ(∅) = 0.
Matas µ yra vadinamas baigtiniu, kai µ(Ω) < ∞, ir σ baigtiniu, kai aibe‘
Ω galima isreiksti skaicios sistemos aibiu‘Ck ∈ A sa
‘junga su sa
‘lyga µ(Ck) <
< ∞(k = 1, 2, ...). Siais atvejais reikalavimas µ(∅) = 0 isplaukia is adi-tyvumo. Jei µ(Ω) = 1, tai mata
‘vadiname tikimybiniu.
Daznai matas apibreziamas ir kitokioms aibiu‘klasems, kurios nera aibiu
‘algebros. Jo apibrezimas tada yra toks pat. Tiesa, kartais is mato reikalau-jama tik baigtinio adityvumo.
3. MATO SAVYBES
1–7 teoremose µ bus matas, apibreztas netuscios aibes Ω poaibiu‘
algeb-roje A.
1 teorema. Jei A1, ..., An yra algebros A disjunkcios aibes, tai
µ( n⋃
k=1
Ak
)=
n∑k=1
µ(Ak).
Si teorema parodo, kad matas yra ne tik visiskai adityvi aibes funkcija,bet turi ir baigtini
‘adityvuma
‘.
I‘r o d y m a s. Papildykime aibes A1, ..., An iki begalines sekos, imdami
An+1 = An+2 = ... = ∅. Gautoji seka bus sudaryta is disjunkciu‘aibiu
‘. Todel
pagal II ir III
µ( n⋃
k=1
Ak
)= µ
( ∞⋃k=1
Ak
)=
∞∑k=1
µ(Ak) =n∑
k=1
µ(Ak). ut
2 teorema. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai
µ(A) = µ(A ∩B) + µ(A\B).
P a s t a b a. Kai µ(A∩B) <∞, tai sia‘lygybe
‘galime perrasyti pavidalu
µ(A\B) = µ(A)− µ(A ∩B).I‘r o d y m a s. Lygybeje
A = (A ∩B) ∪ (A\B)
Mato savybes 357
aibes A ∩B ir A\B neturi bendru‘elementu
‘. Todel pagal 1 teorema
‘
µ(A) = µ(A ∩B) + µ(A\B). ut
1 isvada. Jei B ⊂ A, A ∈ A, B ∈ A, tai
µ(A) = µ(B) + µ(A\B);
atskiru atveju, kai µ(B) <∞,
µ(A\B) = µ(A)− µ(B).
2 isvada. Jei B ⊂ A ir A ∈ A, B ∈ A, tai
µ(B) ≤ µ(A).
3 teorema. Jei A1, A2, ... yra algebros A aibiu‘
seka
∞⋃k=1
Ak ∈ A,
tai
µ( ∞⋃
k=1
Ak
)≤
∞∑k=1
µ(Ak).
I‘
r o d y m a s. Pasistengsime visu‘aibiu
‘Ak sa
‘junga
‘isreiksti sa
‘junga
aibiu‘, kurios kas dvi neturi bendru
‘elementu
‘. Pazymekime
A∗1 = A1,
A∗2 = A2\A1,
A∗3 = A3\(A1 ∪A2),
A∗4 = A4\(A1 ∪A2 ∪A3),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aisku, kad aibes A∗k kas dvi neturi bendru‘elementu
‘ir
∞⋃k=1
Ak =∞⋃
k=1
A∗k.
Todel is III
µ( ∞⋃
k=1
Ak
)=
∞∑k=1
µ(A∗k).
358 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Pagal 2 teoremos 2 isvada‘
µ(A∗k) ≤ µ(Ak).
Vadinasi,
µ( ∞⋃
k=1
Ak
)≤
∞∑k=1
µ(A∗k) ≤n∑
k=1
µ(Ak). ut
Isvada. Jei A1, ..., An yra algebros A aibes, tai
µ( n⋃
k=1
Ak
)≤
n∑k=1
µ(Ak).
I‘
r o d y m a s. Pazymeje‘An+1 = An+2 = ... = ∅, is 3 teoremos ir I
gauname
µ( n⋃
k=1
Ak
)= µ
( ∞⋃k=1
Ak
)≤
∞∑k=1
µ(Ak) =n∑
k=1
µ(Ak). ut
4 teorema. Jei A ∈ A, B ∈ A, tai
µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B).
I‘r o d y m a s. Teisingos lygybes
A ∪B = (A ∩B) ∪ (A\B) ∪ (B\A),
A = (A ∩B) ∪ (A\B),
B = (A ∩B) ∪ (B\A).
Kiekvienos lygybes desineje puseje jungiamos aibes neturi bendru‘elementu
‘.
Todel pagal 1 teorema‘
µ(A ∪B) = µ(A ∩B) + µ(A\B) + µ(B\A),
µA = µ(A ∩B) + µ(A\B),
µB = µ(A ∩B) + µ(B\A).
Sudeje‘dvi paskutines lygybes ir pasinaudoje
‘pirma
‘ja, gauname
µ(A) + µ(B) = µ(A ∩B) + µ(A ∩B) + µ(A\B) + µ(B\A) =
= µ(A ∩B) + µ(A ∪B). ut
Mato savybes 359
P a s t a b a. Kai µ(A ∩ B) < ∞, 4 teoremos lygybe‘galime parasyti
pavidaluµ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B).
5 teorema. Jei algebros A aibes Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskaididejancia
‘seka
‘: A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir jos riba
A = limAn =∞⋃
k=1
Ak ∈ A,
taiµ(An) → µ(A),
kai n→∞.I‘r o d y m a s. Pazymeje
‘A0 = ∅, aibe
‘A isreiksime nepersidengianciu
‘aibiu
‘sa
‘junga
A =∞⋃
k=1
(Ak\Ak−1).
Pritaike‘III, gauname
µ(A) =∞∑
k=1
µ(Ak\Ak−1) = limn→∞
n∑k=1
µ(Ak\Ak−1).
Is 1 teoremos isplaukia
µ(A) = limn→∞
µ( n⋃
k=1
(Ak\Ak−1))
= limn→∞
µ(An). ut
6 teorema. Jei algebros A aibes Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskaimazejancia
‘aibiu
‘seka
‘: A1 ⊃ A2 ⊃ ..., jos riba
A = limAn =∞⋂
k=1
Ak ∈ A
ir egzistuoja n0 su sa‘lyga µ(An0) <∞, tai
µ(An) → µ(A),
kai n→∞.I‘r o d y m a s. Ateme
‘is aibes An0 paeiliui duotosios sekos aibes, gauname
monotoniskai didejancia‘aibiu
‘seka
‘
An0\A1 ⊂ An0\A2 ⊂ ...
360 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Kadangi∞⋃
k=1
(An0\Ak) = An0\∞⋃
k=1
Ak = An0\A,
tai is 5 teoremos isplaukia, kad
µ(An0\An) → µ(An0\A),
kai n→∞. Is 2 teoremos 1 isvados (kai n ≥ n0) gauname
µ(An0\An) = µ(An0)− µ(An), µ(An0\A) = µ(An0)− µ(A).
Vadinasi,µ(An) → µ(A),
kai n→∞. utBaigdami nagrineti bendra
‘sias mato savybes, pastebesime, kad mata
‘galejome ir kiek kitaip apibrezti.
7 teorema. Tarkime, kad aibes Ω poaibiu‘
algebroje A yra apibreztaneneigiama aibes funkcija µ(A):
µ : A → R,
turinti savybes: a) µ(∅) = 0; b) jei A1, ..., An yra disjunkcios algebros Aaibes, tai
µ( n⋃
k=1
Ak
)=
n∑k=1
µ(Ak)
(baigtinis adityvumas). Si funkcija yra matas algebroje A, jei yra tenkinamabent viena is sa
‘lygu
‘:
1 jei A1 ⊂ A2 ⊂ ... yra nemazejanti algebros A aibiu‘
seka ir jos riba
A =∞⋃
k=1
Ak
yra algebros A aibe, taiµ(An) → µ(A),
kai n→∞;2 jei µ(Ω) <∞ ir A1 ⊃ A2 ⊃ ... yra nedidejanti algebros A aibiu
‘seka,
kurios riba∞⋂
k=1
Ak = ∅,
tai teisingas teiginysµ(An) → 0,
Mato savybes 361
kai n→∞.I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad teisingas 1 teiginys. Reikia i
‘rodyti, kad
funkcija µ yra visiskai adityvi. Imkime bet kuria‘sistemos A disjunkciu
‘aibiu
‘seka
‘B1, B2, ... su sa
‘lyga
∞⋃k=1
Bk ∈ A.
Tada
µ( ∞⋃
k=1
Bk
)= lim
n→∞µ( n⋃
k=1
Bk
)= lim
n→∞
n∑k=1
µ(Bk) =∞∑
k=1
µ(Bk).
2. Tarkime, kad teisingas 2 teiginys. Vel reikes i‘rodyti, kad funkcija µ
yra visiskai adityvi. Imkime bet kuria‘sistemos A aibiu
‘seka
‘B1, B2, ..., kurios
kas dvi neturi bendru‘elementu
‘ir∞⋃
k=1
Bk ∈ A.
Pazymeje‘
Rn =∞⋃
k=n+1
Bk (n = 1, 2, ...),
gauname
(1) µ( ∞⋃
k=1
Bk
)= µ
(( n⋃k=1
Bk
)∪Rn
)=
n∑k=1
µ(Bk) + µ(Rn).
Kadangi aibes Rn sudaro nedidejancia‘seka
‘ir
∞⋂n=1
Rn = ∅,
tai is 2µ(Rn) → 0,
kai n→∞. Is (1) isplaukia, kad
µ( ∞⋃
k=1
Bk
)=
∞∑k=1
µ(Bk). ut
Kaip jau sakeme 1 skyrelyje, dvejetas Ω,A, sudarytas is netuscios aibesΩ ir jos poaibiu
‘σ algebros A, yra vadinamas macia
‘ja erdve.
362 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Trejetas Ω,A, µ, sudarytas is netuscios aibes Ω, jos poaibiu‘σ algebros
A ir mato µ, apibrezto σ algebroje A, yra vadinamas erdve su matu.Tarp erdviu
‘su matu svarbu
‘vaidmeni
‘vaidina pilnosios erdves. Joms
apibrezti i‘vesime nulines aibes sa
‘voka
‘. Tarkime, kad Ω,A, µ yra erdve su
matu. Bet kuris aibes Ω poaibis O (jis gali ir nepriklausyti A) yra vadina-mas nuline aibe (mato µ atzvilgiu), jei egzistuoja jo virsaibis B is A, turi
‘s
nulini‘mata
‘µ(B) = 0. Erdve su matu Ω,A, µ yra vadinama pilna
‘ja, jei visi
nuliniai Ω poaibiai priklauso A.Nulines aibes poaibis yra taip pat nuline aibe. Baigtinio skaiciaus arba
begalines sekos nuliniu‘aibiu
‘sa
‘junga vel yra nuline aibe. Is tikru
‘ju
‘, jei Ok
yra nulines aibes, tai egzistuoja sistemos A aibes Bk, padengiancios Ok irturincios nulini
‘mata
‘; tada ⋃
k
Ok ⊂⋃k
Bk
irµ( ⋃
k
Bk
)≤
∑k
µ(Bk) = 0.
Bet kuria‘erdve
‘su matu galima praplesti, pridedant prie σ algebros A nauju
‘aibiu
‘ir papildomai apibreziant toms naujoms aibems mata
‘, kad jis virstu
‘pilna
‘ja erdve.
8 teorema. Tarkime, kad Ω,A, µ yra erdve su matu. Visu‘jos nuliniu
‘aibiu
‘sistema
‘pazymekime O, o sistema
‘aibiu
‘pavidalo A∪O su A ∈ A, O ∈
∈ O, pazymekime A. Tada sistema A sutampa su σ algebra, generuota siste-mos A ∪O. Apibrezkime σ algebroje A aibes funkcija
‘µ formule
(2) µ(A ∪O) = µ(A).
Funkcija µ yra matas σ algebroje A. Trejetas Ω, A, µ yra pilnoji erdve.(2) formule vienareiksmiskai nusako mata
‘µ, apibrezta
‘σ algebroje A, turinti
‘savybe
‘µ(A) = µ(A), kai A yra bet kuri A aibe.
I‘r o d y m a s. 1. Parodysime, kad A yra σ algebra. Is pradziu
‘i‘sitikinsime,
kad A yra uzdara aibiu‘sekos jungimo atzvilgiu. Jei Ak ∈ A, Ok ∈ O (k =
= 1, 2, ...), tai
∞⋃k=1
(Ak ∪Ok) = (∞⋃
k=1
Ak) ∪ (∞⋃
k=1
Ok) ∈ A,
nes∞⋃
k=1
Ok ∈ O
yra nuline aibe.
Mato savybes 363
Nesunku parodyti A uzdaruma‘ir papildymo atzvilgiu. Tarkime, kad A ∈
∈ A, O ∈ O. Egzistuoja B ∈ A, O ⊂ B, su sa‘lyga µ(B) = 0. Teisinga lygybe
A ∪O =[(A ∪O) ∪B
]∩
[(A ∪O) ∪Bc
]=
= (A ∪B) ∩[(A ∪O) ∪Bc
].
Is cia(A ∪O)c = (A ∪B)c ∪
[(A ∪O)c ∩B
].
Kadangi (A ∪ B)c ∈ A ir (A ∪ O)c ∩ B ⊂ B, tai (A ∪ O)c ∩ B ∈ O, taigi(A ∪O)c ∈ A.
Taigi parodeme, kad A yra σ algebra. Nesunku suvokti, kad ji yrageneruota A ir O. Is tikru
‘ju
‘kiekvienai tokiai σ algebrai turi priklausyti visos
aibes pavidalo A ∪O, A ∈ A, O ∈ O.2. A∪O pavidalo aibe
‘galima parasyti tuo pavidalu keliais budais. Paro-
dysime, kad µ reiksme nepriklauso nuo aibes israiskos. Tarkime, kad
A1 ∪O1 = A2 ∪O2, A1 ∈ A, A2 ∈ A, O1 ∈ O, O2 ∈ O,O1 ⊂ B1, B1 ∈ A, µ(B1) = 0,
O2 ⊂ B2, B2 ∈ A, µ(B2) = 0.
TurimeA1\A2 ⊂ (A1 ∩O1)\A2 = (A2 ∪O2)\A2 ⊂ O2 ⊂ B2.
Is ciaµ(A1\A2) ≤ µ(B2) = 0.
Vadinasi,
µ(A1) ≤ µ((A1\A2) ∪A2
)= µ(A1\A2) + µ(A2) = µ(A2).
Analogiskai i‘rodome, kad
µ(A2) ≤ µ(A1).
Taigiµ(A1) = µ(A2), µ(A1 ∪O1) = µ(A2 ∪O2).
3. Parodysime, kad µ yra matas. Pakanka i‘rodyti tik tos funkcijos visiska
‘ji‘
adityvuma‘. Tarkime, kad Ak ∪ Ok (k = 1, 2, ...) kas dvi neturi bendru
‘elementu
‘, Ak ∈ A, Ok ∈ O. Turime
µ( ∞⋃
k=1
(Ak ∪Ok))
= µ
(( ∞⋃k=1
Ak
)∪
( ∞⋃k=1
Ok
))=
= µ( ∞⋃
k=1
Ak
)=
∞∑k=1
µ(Ak) =∞∑
k=1
µ(Ak +Ok).
364 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Mato vienatis yra triviali.4. Lieka i
‘rodyti, kad erdve Ω, A, µ yra pilna. Imkime bet kuria
‘aibe
‘A ∪O, A ∈ A, O ∈ O, su µ(A ∪O) = µ(A) = 0. Sakykime, C yra bet kuristos aibes poaibis. Egzistuoja B ∈ A su sa
‘lygomis O ⊂ B, µ(B) = 0. Todel
C ⊂ A ∪B. Kadangi
µ(A ∪B) ≤ µ(A) + µ(B) = 0,
tai C ∈ O; todel C ∈ A. ut
4. MATO PRATE‘SIMAS
Tarkime, kad turime netuscios aibes Ω poaibiu‘algebra
‘A ir joje apibrezta
‘mata
‘µ, t. y. neneigiama
‘aibes funkcija
‘µ : A → R, kuri yra visiskai adityvi,
ir µ(∅) = 0. Algebra‘A galime praplesti iki σ algebros σ(A). Kyla klausimas,
ar negalima ir aibes funkcija‘µ praplesti ir σ(A) aibems, kad ir naujojoje
apibrezimo srityje ji butu‘matas.
Imkime bet kuria‘aibe
‘A ⊂ Ω. Apibrezkime aibes funkcija
‘
µ∗(A) = inf ∞∑
k=1
µ(Ak), Ak ∈ A (k = 1, 2, ...),∞⋃
k=1
Ak ⊃ A
;
Kitais zodziais, tai funkcijai apibrezti reikia imti visus galimus aibes Adenginius algebros A aibiu
‘seku
‘sa
‘jungomis; po to reikia imti tu
‘seku
‘aibiu
‘matu
‘sumu
‘apatini
‘rezi
‘. Kadangi Ω ∈ A, tai toks denginys visada yra ga-
limas. Funkcija‘µ∗(A) pavadinsime aibes A isoriniu matu. Panagrinesime jo
savybes.
1 lema. Jei A ∈ A, tai µ∗(A) = µ(A).I‘r o d y m a s. Kadangi aibe
‘A galime uzdengti seka A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...,
tai is µ∗ apibrezimo isplaukia, kad µ∗(A) ≤ µ(A). Imkime bet kuri‘aibes A
dengini‘
A ⊂∞⋃
k=1
Ak.
Is 3.3 teoremos ir 3.2 teoremos 2 isvados gauname
µ(A) = µ( ∞⋃
k=1
(A ∩Ak))≤
∞∑k=1
µ(A ∩Ak) ≤∞∑
k=1
µ(Ak).
Imdami apatini‘rezi
‘pagal visus galimus denginius, gausime µ(A) ≤ µ∗(A).
Todel µ∗(A) = µ(A) visoms aibems A ∈ A. ut
Mato prate‘simas 365
Is cia, tarp kitko, isplaukia µ∗(∅) = 0.
2 lema. Jei A ⊂ B ⊂ Ω, tai
µ∗(A) ≤ µ∗(B).
I‘r o d y m a s. Kiekvienas aibes B denginys yra ir aibes A denginys. ut
3 lema. Jei Ak (k = 1, 2, ...) yra algebros A aibiu‘
seka, tai
µ∗( ∞⋃
k=1
Ak
)≤
∞∑k=1
µ(Ak).
I‘r o d y m a s. Imkime bet kuria
‘aibe
‘Ak ir bet kuri
‘ε > 0. Is isorinio
mato apibrezimo isplaukia, jog galime rasti toki‘
aibes Ak dengini‘
aibemisAkj , kad butu
‘ ∞∑j=1
µ(Akj) ≤ µ∗(Ak) +ε
2k.
Kadangi∞⋃
k=1
Ak ⊂∞⋃
k,j=1
Akj ,
tai
µ∗( ∞⋃
k=1
Ak
)≤
∞∑k,j=1
µ(Akj) ≤∞∑
k=1
µ∗(Ak) + ε.
Taciau ε yra bet koks. Todel
µ∗( ∞⋃
k=1
Ak
)≤
∞∑k=1
µ∗(Ak). ut
Aibes Ω poaibi‘A vadinsime µ∗ maciu, jei
µ∗(E) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E),
koks bebutu‘aibes Ω poaibis E. Si nelygybe visada teisinga, kai µ∗(E) = ∞.
Todel pakanka ja‘
patikrinti tik aibems E su µ∗(E) < ∞. Kadangi E == (A ∩ E) ∪ (Ac ∩ E), tai is 3 lemos gauname
µ∗(E) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).
Vadinasi, aibe A yra µ∗ mati tada ir tik tada, kai
366 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
µ∗(E) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E),
koks bebutu‘aibes Ω poaibis E.
Visu‘µ∗ maciu
‘aibiu
‘sistema
‘zymesime A∗.
4 lema. Sistema A∗ yra algebra.I‘r o d y m a s. Tiesiog is apibrezimo isplaukia, kad Ω ∈ A∗. Jei A ∈ A∗,
tai ir Ac ∈ A∗, nes µ∗ matumas yra simetriskas A ir Ac atzvilgiu.I‘rodysime, kad A∗ yra uzdara aibiu
‘jungimo atzvilgiu. Imkime dvi aibes
A ir B is A∗. Kadangi
A ∪B =(A ∩ (B ∪Bc)
)∪
(B ∩ (A ∪Ac)
)= (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B),
tai
µ∗((A ∪B) ∩ E
)≤ µ∗(A ∩B ∩ E) + µ∗(A ∩Bc ∩ E) + µ∗(Ac ∩B ∩ E).
Prideje‘prie abieju
‘nelygybes pusiu
‘po µ∗(Ac ∩ Bc ∩ E) ir atkreipe
‘demesi
‘i‘
tai, kad (Ac ∩Bc)c = A ∪B, is aibiu‘A ir B µ∗ matumo gauname
µ∗((A ∪B) ∩ E
)+ µ∗
((A ∪B)c ∪ E
)≤ µ∗(A ∩B ∩ E)+
+ µ∗(A ∩Bc ∩ E) + µ∗(Ac ∩B ∩ E) + µ∗(Ac ∩Bc ∩ E) =
= µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E) = µ∗(E).
Taigi A ∪B yra µ∗ mati. ut
5 lema. Aibes funkcija µ∗ yra baigiai adityvi algebroje A∗.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad A ∈ A∗ ir B ∈ A∗ viena kitos nedengia.
Pagal µ∗ apibrezima‘
µ∗(A ∪B) = µ∗((A ∪B) ∩A
)+ µ∗
((A ∪B) ∩Ac
)= µ∗(A) + µ∗(B). ut
6 lema. Algebra A∗ yra σ algebra, o µ∗ yra visiskai adityvi.I‘r o d y m a s. Reikia parodyti, kad bet kurios aibiu
‘Ak ∈ A∗ (k = 1, 2, ...)
sekos sa‘junga A priklauso sistemai A∗. Tarkime, kad tos aibes kas dvi neturi
bendru‘elementu
‘. Kadangi
Bn =n⋃
k=1
Ak ∈ A∗,
tai
µ∗(E) = µ∗(Bn ∩ E) + µ∗(Bcn ∩ E) ≥
n∑k=1
µ∗(Ak ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).
Mato prate‘simas 367
Is cia, kai n→∞, gauname
µ∗(E) ≥∞∑
k=1
µ∗(Ak ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).
Vadinasi, A ∈ A∗. Paskutineje nelygybeje aibe‘E pakeite
‘aibe A, gauname
µ∗(A) ≥∞∑
k=1
µ∗(Ak) ≥ µ∗(A).
Todel
µ∗(A) =∞∑
k=1
µ∗(Ak).
Kartu i‘rodeme, kad funkcija µ∗ yra visiskai adityvi.
Jei aibes Ak yra bet kokios, tai sa‘junga
‘A galime isreiksti µ∗ maciomis
disjunkciomis aibemis
A = A1 ∪ (A2\A1) ∪ [A3\(A1 ∪A2)] ∪ [A4\(A1 ∪A2 ∪A3)] ∪ ... ut
7 lema. σ(A) ⊂ A∗.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad A ∈ A. Imkime bet kuria
‘aibe
‘E ⊂ Ω ir
bet kuri‘ε > 0. Galima rasti toki
‘E dengini
‘aibemis Ak ∈ A (k = 1, 2, ...),
kad butu‘ ∞∑
k=1
µ(Ak) < µ∗(E) + ε.
Kadangi µ(Ak) = µ(A ∩Ak) + µ(Ac ∩Ak), tai
µ∗(E) + ε >∞∑
k=1
µ(A ∩Ak) +∞∑
k=1
µ(Ac ∩Ak) ≥
≥ µ( ∞⋃
k=1
(A ∩Ak))
+( ∞⋃
k=1
(Ac ∩Ak))≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).
Taciau ε yra bet koks. Todel µ∗(E) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E). Vadinasi, Ayra µ∗ mati. Taigi A ⊂ A∗. Kadangi σ(A) yra maziausia σ algebra, kuriaipriklauso A, tai ji turi tilpti σ algebroje A∗. ut
Is 1, 6 ir 7 lemu‘matome, kad µ∗ yra mato µ te
‘sinys. Ar jis vienintelis?
8 lema. µ te‘sinys yra vienintelis.
I‘r o d y m a s. Is pradziu
‘i‘rodysime mato te
‘sinio vienati
‘, kai funkcija µ
yra baigtine. Tarkime, kad µ1 ir µ2 yra du µ te‘siniai. Pazymekime K sistema
‘aibiu
‘, kurioms µ1 ir µ2 sutampa. Nagrinesime K savybes.
368 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Aisku, A ⊂ K. I‘rodysime, kad K yra monotonine aibiu
‘klase. Tarkime,
kad An (n = 1, 2, ...) yra monotoniska aibiu‘
is K seka. Parodysime, kadtos sekos riba A priklauso K. Kaip ir 3.5 ir 3.6 teoremu
‘i‘rodymuose (matas
µ yra baigtinis!), gauname, kad µ1(An) → µ1(A), µ2(An) → µ2(A), kain → ∞. Kadangi aibes An priklauso K, tai µ1(An) = µ2(An). Vadinasi,µ1(A) = µ2(A), taigi A ∈ A. Pagal 1.6 teorema
‘klasei K priklauso σ(A).
Taigi matai µ1 ir µ2 sutampa σ algebroje σ(A).Dabar tarkime, kad µ yra σ baigtinis algebroje A, t. y. egzistuoja skaiti
sistema disjunkciu‘aibiu
‘Ck ∈ A (k = 1, 2, ...), kuriu
‘
∞⋃k=1
Ck = Ω
ir kurioms µ(Ck) <∞ (k = 1, 2, ...). Imkime aibes Ck poaibiu‘algebra
‘Ak =
= A ∩ Ck : A ∈ A ir σ algebra‘σ(Ak), kuri, aisku, bus sudaryta is aibiu
‘A ∩ Ak, A ∈ σ(A). Jei µ1 ir µ2 yra du µ te
‘siniai iki mato σ algebroje
σ(A), tai is pirmojoje dalyje i‘rodyto teiginio isplaukia, kad bet kokiam k jie
sutampa visoms σ(Ak) aibems. Vadinasi, jie sutampa ir visoms σ(A) aibems,nes kiekvienai A ∈ σ(A)
µ1(A) = µ1
( ⋃k
(A ∩Ak))
=∑
k
µ1(A ∩Ak) =
=∑
k
µ2(A ∩Ak) = µ2
( ⋃k
(A ∩Ak))
= µ2(A). ut
I‘rodeme labai naudinga
‘teorema
‘apie mato prate
‘sima
‘.
Teorema (Karateodorio). Tarkime, kad netuscios aibes Ω poaibiu‘
al-gebroje A apibreztas matas µ. Tada galime rasti mata
‘ν, nusakyta
‘algebros A
generuotoje σ algebroje σ(A) ir tenkinanti‘
sa‘lyga
‘ν(A) = µ(A), kai A ∈ A.
Jei matas µ yra σ baigtinis, tai ir matas ν taip pat σ baigtinis ir vienintelis.Jei matas µ yra baigtinis, tai ir matas ν taip pat baigtinis.
5. PUSALGEBRIAI
Mato teorijoje pravercia dar viena aibiu‘sistema.
Aibes Ω poaibiu‘
sistema C yra vadinama pusalgebriu, jei ji tenkinasa
‘lygas:
I. ∅ ∈ C.II. Ω ∈ C.III. Jei A1, A2 ∈ C, tai ir A1 ∩A2 ∈ C.
Pusalgebriai 369
IV. Jei A ∈ C, tai papildini‘Ac galima isreiksti baigtine sistemos C dis-
junkciu‘aibiu
‘sa
‘junga.
1 p a v y z d y s. Kiekviena algebra yra pusalgebris.
2 p a v y z d y s. Tarkime, kad Ω = R, o D yra sudaryta is ∅, R ir visu‘
(−∞, a), [a,∞) ir [a, b) intervalu‘; cia a, b ∈ R. Nesunku patikrinti, kad D yra
pusalgebris.
Pusalgebris C generuoja algebra‘a(C). Kokia jos sandara?
1 teorema. Sistema visu‘
baigtiniu‘
sa‘jungu
‘, sudarytu
‘is pusalgebrio C
disjunkciu‘
aibiu‘, sutampa su a(C).
I‘r o d y m a s. Pazymekime A aibe
‘visu
‘baigtiniu
‘sa
‘jungu
‘, sudarytu
‘is
pusalgebrio C disjunkciu‘aibiu
‘. Parodysime, kad A yra algebra.
Pirmiausia aisku, kad ∅ ir Ω priklauso A. Toliau, jei
m⋃j=1
Aj ,n⋃
k=1
Bk
yra disjunkciu‘sistemos C aibiu
‘baigtines sa
‘jungos, tai( m⋃
j=1
Aj
)∩
( n⋃k=1
Bk
)=
m⋃j=1
n⋃k=1
(Aj ∩Bk)
taip pat priklauso A.I‘rodysime, kad A yra uzdara papildymo atzvilgiu. Vel imkime baigtine
‘disjunkciu
‘C aibiu
‘sa
‘junga
‘
⋃nk=1Ak. Gauname lygybe
‘( n⋃k=1
Ak
)c
=n⋂
k=1
Ack.
Taciau aibes Ack galime isreiksti baigtinemis disjunkciu
‘aibiu
‘is C sa
‘jungomis.
Todel⋂n
k=1Ack yra taip pat disjunkciu
‘aibiu
‘sa
‘junga, vadinasi, priklauso A.
Lieka i‘rodyti, kad A yra maziausia algebra, kuriai priklauso C. Taciau
ji tokia ir yra, nes jai turi priklausyti visos baigtines disjunkciu‘
aibiu‘
is Csa
‘jungos. ut
2 teorema. Tarkime, kad pusalgebryje C yra apibrezta baigiai adityvi,neneigiama funkcija µ : C → R, tenkinanti sa
‘lyga
‘µ(∅) = 0. Algebroje A =
= a(C) apibrezkime funkcija‘µ′ : A → R tokiu budu. Jei A yra pusalgebrio C
disjunkciu‘
aibiu‘
baigtine sa‘junga
A =n⋃
k=1
Ak,
370 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
tai
µ′(A) =n∑
k=1
µ(Ak).
Tada µ′ yra neneigiama, baigiai adityvi ir vienareiksmiskai nusakyta aibesfunkcija, apibrezta algebroje A. Jei µ yra visiskai adityvi, tai µ′ yra matas.Pastaruoju atveju µ′ galima praplesti iki mato, apibrezto pusalgebrio C gene-ruotoje σ algebroje σ(C). Jei µ yra σ baigtine, tai matas µ′ yra vienintelis.
P a s t a b a. σ(C) = σ(A).I‘r o d y m a s. Parodysime, kad µ′(A) reiksme priklauso tik nuo aibes
A ir nepriklauso nuo jos israiskos pusalgebrio C disjunkciu‘
aibiu‘
sa‘junga.
Tarkime, kad
A =n⋃
k=1
Ak =m⋃
j=1
Bj ; Ak ∈ C (k = 1, ..., n), Bj ∈ C (j = 1, ...,m)
yra dvi tokios israiskos. I‘rodysime, kad
n∑k=1
µ(Ak) =m∑
j=1
µ(Bj).
Teisingos lygybes
Ak = Ak ∩( m⋃
j=1
Bj
)=
m⋃j=1
(Ak ∩Bj),
Bj = Bj ∩( n⋃
k=1
Ak
)=
n⋃k=1
(Bj ∩Ak).
Is funkcijos µ adityvumo pusalgebryje C gaunamen∑
k=1
µ(Ak) =n∑
k=1
µ( m⋃
j=1
(Ak ∩Bj))
=n∑
k=1
m∑j=1
µ(Ak ∩Bj) =
=m∑
j=1
( n∑k=1
µ(Ak ∩Bj))
=m∑
j=1
µ( n⋃
k=1
(Ak ∩Bj))
=m∑
j=1
µ(Bj).
Funkcijos µ′ adityvuma‘(arba σ adityvuma
‘) i
‘rodome analogiskai. Tam vel
reikes panaudoti funkcijos µ adityvuma‘(arba σ adityvuma
‘). Tarkime, kad L
yra baigtine (arba skaiti antruoju atveju) naturaliu‘ju
‘skaiciu
‘aibe. Tarkime,
toliau, kadA =
⋃j∈L
Aj , A ∈ A, Aj ∈ A (j ∈ L)
Lebego–Styltjeso matas 371
ir aibes Aj yra disjunkcios. Isreiksime aibes A ir Aj pusalgebrio C disjunkciu‘
aibiu‘baigtinemis sa
‘jungomis
A =r⋃
l=1
Al, Al ∈ C (l = 1, ..., r),
Aj =rj⋃
k=1
Ajk, A
jk ∈ C (j = 1, ..., rj).
Pasinaudosime lygybemis
Al = A ∩Al =( ⋃
j∈L
Aj)∩Al =
( ⋃j∈L
rj⋃k=1
Ajk
)∩Al =
⋃j∈L
rj⋃k=1
(Ajk ∩Al),
Ajk = A ∩Aj
k =( r⋃
l=1
Al
)∩Aj
k =r⋃
l=1
(Al ∩Ajk).
Is funkcijos µ adityvumo (σ adityvumo) pusalgebryje C gauname
µ′(A) =r∑
l=1
µ(Al) =r∑
l=1
∑j∈L
rj∑k=1
µ(Al ∩Ajk) =
=∑j∈L
rj∑k=1
r∑l=1
µ(Al ∩Ajk) =
∑j∈L
rj∑k=1
µ(Ajk) =
∑j∈L
µ′(Aj).
Prate‘simo vienatis yra akivaizdi. Paskutinis teoremos teiginys isplaukia
is toremos apie mato prate‘sima
‘. ut
6. LEBEGO–STYLTJESO MATAS
Tirsime dabar 5 skyrelio pradzioje nusakyta‘pusalgebri
‘D.
Imkime baigtine‘realia
‘ja
‘nemazejancia
‘ir tolydzia
‘is kaires funkcija
‘F (x),
apibrezta‘tieseje R. Si funkcija turi ribas
F (−∞) = limx→−∞
F (x), F (∞) = limx→∞
F (x).
Apibresime pusalgebryje D aibes funkcija‘µ = µF lygybemis
µ([a, b)
)= F (b)− F (a), −∞ < a < b <∞,
µ((−∞, b)
)= F (b)− F (−∞), −∞ < b <∞,
µ([a,∞)
)= F (∞)− F (a), −∞ < a <∞,
µ(R) = µ((−∞,∞)
)= F (∞)− F (−∞).
372 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
1 lema. Jei intervalai I ir Ik (k = 1, 2, ..., n) priklauso D ir yra baigtiniai,be to, Ik yra disjunktus ir
n⋃k=1
Ik ⊂ I,
tain∑
k=1
µ(Ik) ≤ µ(I).
I‘
r o d y m a s. Tarkime, kad I = [a, b), Ik = [ak, bk). Sakykime, jogintervalai Ik sunumeruoti taip, kad
a ≤ a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ bn ≤ b.
Tadan∑
k=1
µ(Ik) =n∑
k=1
[F (bk)− F (ak)
]≤
≤n∑
k=1
[F (bk)− F (ak)
]+
n−1∑k=1
[F (ak+1)− F (bk)
]=
= F (bn)− F (a1) ≤ F (b)− F (a) = µ(I). ut
2 lema. Tarkime, kad uzdaras intervalas [a, b] yra padengtas atviru‘
intervalu‘
sistemos Jk = (ak, bk) (k = 1, ..., n); tada
F (b)− F (a) ≤n∑
k=1
[F (bk)− F (ak)
].
I‘r o d y m a s. Is intervalu
‘Jk parinksime dali
‘ju
‘tokiu budu. Imkime
k1 su sa‘lyga, kad a ∈ Jk1 . Jei b ∈ Jk1 , tai parinkimo procesas baigtas. Jei
b 6∈ Jk1 , tai ji‘te
‘siame toliau. Rasime k2 su sa
‘lyga bk1 ∈ Jk2 ir t. t. Si
‘procesa
‘te
‘sime tol, kol rasime kuri
‘nors m su sa
‘lyga b ∈ Jkm
. Turesime
[a, b] ⊂m⋃
j=1
Jkj
irak1 <a < bk1 ,
akj+1 <bkj< bkj+1 , (j = 1, ...,m− 1),
akm<b < bkm
.
Gausime
Lebego–Styltjeso matas 373
F (b)− F (a) ≤ F (bkm)− F (ak1) =
= F (bk1)− F (ak1) +m−1∑j=1
[F (bkj+1)− F (bkj
)]≤
≤ F (bk1)− F (ak1) +m−1∑j=1
[F (bkj+1)− F (akj+1)
]=
=m∑
j=1
[F (bkj
)− F (akj)]≤
≤n∑
k=1
[F (bk)− F (ak)
]. ut
Teorema. Funkcija µF = µ yra visiskai adityvi pusalgebryje D.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad
I =∞⋃
k=1
Ik
ir intervalai Ik kas du neturi bendru‘tasku
‘. I
‘rodysime, kad
(1) µ(I) =∞∑
k=1
µ(Ik).
1. Tarkime, kad I = [a, b), Ik = [ak, bk), a ir b – baigtiniai skaiciai. Is 1lemos kiekvienam naturaliajam n gauname
n∑k=1
µ(Ik) ≤ µ(I).
Pereje‘prie ribos, kai n→∞, gauname
(2)∞∑
k=1
µ(Ik) ≤ µ(I).
Pasistengsime i‘rodyti, kad teisinga nelygybe su priesingu zenklu. Imkime ε
su sa‘lyga 0 < ε < b− a. Pazymekime Iε = [a, b− ε]. Funkcija F yra tolydi is
kaires. Todel, paeme‘bet kuri
‘k, galime rasti toki
‘δk > 0, kad
µ([ak − δk, ak)
)= F (ak)− F (ak − δk) <
ε
2k.
Pazymekime Iεk = (ak − δk, bk). Aisku, kad
374 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Iε ⊂∞⋃
k=1
Iεk.
Is Heines1–Borelio teoremos isplaukia, kad egzistuoja baigtinis rinkinys in-tervalu
‘Iεk1, ..., Iε
kn, kuriu
‘sa
‘junga padengia Iε:
Iε ⊂n⋃
j=1
Iεkj.
Pasinaudosime 2 lema. Gausime
F (b− ε)− F (a) ≤n∑
j=1
[F (bkj
)− F (akj− δkj
)].
Is cia
F (b− ε)− F (a) ≤n∑
j=1
[F (bkj
)− F (akj) +
ε
2kj
]≤
≤∞∑
k=1
[F (bk)− F (ak)
]+ ε =
∞∑k=1
µ(Ik) + ε.
Pereje‘prie ribos, kai ε→ 0, gauname
µ(I) ≤∞∑
k=1
µ(Ik).
Is cia ir is (2) isplaukia (1) formule.2. Lieka parodyti, kad (1) formule teisinga, kai intervalai gali buti ir be-
galiniai. Is µ apibrezimo
µ(I) = limn→∞
µ(I ∩ [−n, n)
).
Todel
µ(I) = limn→∞
(( ∞⋃k=1
Ik)∩ [−n, n)
)=
= limn→∞
µ( ∞⋃
k=1
(Ik ∩ [−n, n)
))=
= limn→∞
∞∑k=1
µ(Ik ∩ [−n, n)
).
1 Heinrich Eduard Heine (1821–1881) – vokieciu‘matematikas.
Lebego–Styltjeso matas 375
Paskutiniame reiskinyje galime sukeisti sumavimo ir perejimo prie ribos ope-racijas. Todel is µ apibrezimo gauname
µ(I) =∞∑
k=1
limn→∞
µ(Ik ∩ [−n, n)
)=
∞∑k=1
µ(Ik). ut
Is 5.2 ir sio skyrelio teoremu‘isplaukia, kad funkcija
‘µF , apibrezta
‘pusal-
gebryje D, galime vienareiksmiskai prate‘sti iki mato, nusakyto visoms tieses
tasku‘Borelio aibems. Si
‘mata
‘vel zymesime µF ir vadinsime Styltjeso matu.
Specialiu atveju, kai F (x) ≡ x, mata‘vadinsime Borelio matu. Turime erdve
‘su matu R,B, µF . Remdamiesi 3.8 teorema, sia
‘erdve
‘galime praplesti iki
pilnosios erdves R,B∗, µF . Gauta‘ji‘mata
‘vadinsime Lebego–Styltjeso matu.
Kai F (x) ≡ x, mata‘µF vadinsime Lebego matu, o algebros B∗ aibes –
maciosiomis Lebego prasme aibemis.Funkcija
‘F , kurios pagalba apibrezeme mata
‘µF , galime pavadinti gene-
ruojancia‘ja. Kyla klausimas, ar kiekviena
‘mata
‘, apibrezta
‘macioje erdveje
R,B ir baigtiniuose intervaluose i‘gyjanti
‘baigtines reiksmes, atitinka kuri
nors generuojanti funkcija?Lengvai gauname, kad tokiu
‘funkciju
‘yra be galo daug, taciau jos skiriasi
tik konstanta. Fiksuokime kuri‘nors taska
‘a0 ir apibrezkime funkcija
‘
F (x) =µ([a0, x)
), kai x > a0,
−µ([x, a0)
), kai x ≤ a0.
Is mato monotoniskumo isplaukia funkcijos F monotoniskumas. Tolydumasis kaires isplaukia is mato tolydumo: jei x > a0 ir xn x, tai
∞⋃n=1
[a0, xn) = [a0, x)
irF (xn) = µ
([a0, xn)
)→ µ
([a0, x)
)= F (x);
jei x ≤ a0 ir xn x, tai∞⋂
n=1
[x, a0)
irF (xn) = −µ
([xn, a0)
)→ −µ
([x, a0)
)= F (x).
Parodysime, kad F generuoja mata‘µ. Turime
µ([a, b)
)=
µ([a0, b)
)− µ
([a0, a)
)= F (b)− F (a), kai a0 < a,
µ([a, a0)
)+ µ
([a0, b)
)= F (b)− F (a), kai a ≤ a0 < b,
µ([a, a0)
)− µ
([b, a0)
)= F (b)− F (a), kai b < a0.
376 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Tarkime, kad dvi funkcijos F1 ir F2 generuoja ta‘pati
‘mata
‘µ. Fiksuokime
taska‘a0. Tada
F1(x)− F1(a0) = F2(x)− F2(a0) =µ([a0, x)
), kai x > a0,
−µ([x, a0)
), kai x ≤ a0.
TodelF1(x)− F2(x) = F1(a0)− F2(a0) = const.
Vadinasi, bet kurios dvi funkcijos, generuojancios ta‘pati
‘mata
‘, skiriasi tik
konstanta.Trumpai nurodysime buda
‘, kaip isdestyta
‘teorija
‘apibendrinti daugiama-
ciam atvejui. Imkime intervalus erdveje Rs
I = I1 × ...× Is;
cia Ik (k = 1, ..., s) yra intervalai [a, b), (−∞, b), [a,∞), (−∞,∞); a, b ∈ R.Visi tokie intervalai sudaro pusalgebri
‘.
Tarkime, kad funkcija F (x1, ..., xs) yra apibrezta ir baigtine erdveje Rs
bei tolydi is kaires kiekvieno argumento atzvilgiu. Pareikalausime, kad tafunkcija tenkintu
‘dar viena
‘sa
‘lyga
‘. Jai nusakyti i
‘vesime dar viena
‘pazymejima
‘.
Tarkime, kad I = [a1, b1) × ... × [as, bs) yra baigtinis intervalas erdveje Rs.Imkime kartotini
‘skirtuma
‘
∆IF = F (b1, b2, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs)− F (b1, a2, b3, ..., bs)− ...−− F (b1, ..., bs−1, bs) + F (a1, a2, b3, ..., bs)+
+ F (a1, b2, a3, b4, ..., bs) + ...+ F (b1, ..., bs−2, bs−1, as) + ...+
+ (−1)sF (a1, a2, ..., as),
arba trumpiau –
∆IF =∑
ν1,...,νs
(−1)ν1+···+νsF (ν1a1 + (1− ν1)b1, ..., νsas + (1− νs)bs);
cia ν1, ..., νs nepriklausomai vienas nuo kito i‘gyja reiksmes 0 ir 1. Pareikalau-
sime, kad musu‘funkcija tenkintu
‘sa
‘lyga
‘
∆IF ≥ 0,
koks bebutu‘
intervalas I. Is sios sa‘lygos isplaukia, kad funkcija F yra
nemazejanti kiekvieno argumento atzvilgiu. Parodysime tai pirmajam ar-gumentui. Leiskime skaiciams ak (k = 2, ..., s) konverguoti i
‘bk is kaires.
GausimeF (b1, ..., bs)− F (a1, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs) ≥ 0.
Pasinaudoje‘schema, kuria
‘isdesteme vienamaciu atveju, galime sukonstruoti
erdve‘
su matu Rs,Bs, µF . Cia µF bus vel vadinamas Styltjeso matu.
Maciosios funkcijos 377
Papilde‘sia
‘erdve
‘iki pilnosios, gausime Lebego–Styltjeso mata
‘. Kai F (x1, ...,
xs) ≡ x1...xs, – gausime atitinkamai Borelio bei Lebego matus.
7. MACIOSIOS FUNKCIJOS
Klasikineje analizeje pagrindini‘
vaidmeni‘
vaidina tolydziosios funkcijos. Ju‘
klase yra uzdara paprasciausiu‘aritmetiniu
‘operaciju
‘atzvilgiu: dvieju
‘tolydziu
‘funkciju
‘suma, skirtumas, sandauga ir dalmuo (jei jis turi prasme
‘) yra
tolydziosios funkcijos. Taciau taip nera, kai nagrinejame pagrindine‘
mate-matines analizes operacija
‘– perejima
‘prie ribos. Ne visada tolydziu
‘funkciju
‘sekos riba, jei ji egzistuoja, yra tolydi funkcija. Del sios priezasties turimedaug nepatogumu
‘. Teko tolydziu
‘ju
‘funkciju
‘klase
‘praplesti, i
‘vedant vadina-
ma‘sias macia
‘sias funkcijas.
Tarkime, turime macia‘ja
‘erdve
‘Ω,A. Funkcija f : Ω → R vadinama A
macia‘ja, jei pirmavaizdis
f−1(B) = ω : f(ω) ∈ B ∈ A
(yra A macioji aibe), kai B yra bet kuri Borelio aibe is B. Kai σ algebra Ayra fiksuota ir nera kitu
‘, sakome tiesiog macioji funkcija.
Kai Ω = B, o A = B yra isplestine realiu‘ju
‘skaiciu
‘visu
‘Borelio aibiu
‘sistema, tai B macioji funkcija f : B → R yra vadinama Borelio funkcija.
Maciosios funkcijos sa‘voka
‘galima apibendrinti – kalbeti apie maciuosius
atvaizdzius. Tarkime, turime dvi macia‘sias erdves Ω,A ir Γ,H. Sakome,
kad atvaizdis f : Ω → Γ yra (A,H) matusis, jei kiekvienai aibei E ∈ Hpirmavaizdis f−1(E) ∈ A.
Priminsime, kad pirmavaizdzio sudarymo operacija turi savybes:
f−1(∅) = ∅,
f−1( ⋃
λ
Bλ
)=
⋃λ
f−1(Bλ),
f−1( ⋂
λ
Bλ
)=
⋂λ
f−1(Bλ),
f−1(Bc) =(f−1(B)
)c;
cia B – bet kuri aibe, Bλ – bet kuri aibiu‘sistema.
Jei norime patikrinti, ar funkcija f : Ω → R yra mati, turime pagalapibrezima
‘patikrinti, ar visu
‘Borelio aibiu
‘B pirmavaizdziai f−1(B) ∈ A.
Tokio patikrinimo nereikia, kai sistema A sudaryta is visu‘aibes Ω poaibiu
‘:
A = P(Ω). Ir kitais atvejais tikrinima‘galime ”racionalizuoti”: pakanka imti
tik aibes, kuriu‘generuota σ algebra sutampa su visu
‘Borelio aibiu
‘sistema.
378 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
1 teorema. Tarkime, kad C yra kuri nors tieses tasku‘
aibiu‘
sistema,kurios generuota σ algebra yra sudaryta is visu
‘Borelio aibiu
‘: σ(C) = B.
Funkcija f : Ω → R yra mati tada ir tik tada, kai pirmavaizdis f−1(C) ∈ A,kokia bebutu
‘aibe C ∈ C.
I‘r o d y m a s. Butinumas yra trivialus.
I‘rodysime pakankamuma
‘. Tarkime, kad D yra sistema tu
‘Borelio aibiu
‘D, kuriu
‘pirmavaizdziai f−1(D) ∈ A. Is pirmavaizdzio sudarymo operacijos
savybiu‘
isplaukia, kad D yra σ algebra. Taciau Borelio aibiu‘
sistema yramaziausia σ algebra, kuriai priklauso sistema C. Vadinasi, B ⊂ D. Todel Dturi sutapti su B.ut
Isvada. Funkcija f : Ω → R yra mati tada ir tik tada, kai ω : f(ω) << x ∈ A, koks bebutu
‘x ∈ R.
I‘
r o d y m a s. Intervalu‘sistema [−∞, x), x ∈ R, generuoja Borelio
aibiu‘σ algebra
‘B.ut
Isskirsime paprasciausiu‘maciu
‘ju
‘funkciju
‘klase
‘. Tai – paprastosios funkci-
jos. Paprasta‘ja funkcija vadinsime macia
‘ja
‘funkcija
‘, i
‘gyjancia
‘tik baigtini
‘skaiciu
‘reiksmiu
‘, kurios yra taip pat baigtines.
Tarkime, kad paprastoji funkcija ϕ i‘gyja reiksmes y1, ..., yr ir visos yra
skirtingos. Pazymekime
Ak = ϕ−1(yk) = ω : ϕ(ω) = yk.
Sios aibes turi buti macios (vieno tasko aibes yra Borelio aibes).Atvirksciai, jei funkcija ϕ i
‘gyja baigtini
‘skaiciu
‘baigtiniu
‘reiksmiu
‘y1, ..., yr
ir jos yra skirtingos, o aibes Ak = ϕ−1(yk) yra macios, tai funkcija ϕ yra mati,t. y. paprastoji. Is tikru
‘ju
‘kokia bebutu
‘Borelio aibe B,
ϕ−1(B) =⋃
yk∈B
ϕ−1(yk) =⋃
yk∈B
Ak.
Funkcija ϕ(ω), lygi baigtinei konstantai, yra paprastoji funkcija.Mums pravers aibes indikatoriaus sa
‘voka. Kai A ⊂ Ω, tai jos indikatoriu-
mi vadinsime funkcija‘
1A(ω) = 1, kai ω ∈ A,
0, kai ω ∈ Ac.Paminesime keleta
‘indikatoriaus savybiu
‘:
1Ac(ω) = 1− 1A(ω);
1A∪B(ω) = 1A(ω) + 1B(ω), kai A ∩B = ∅;
1A∩B(ω) = 1A(ω) · 1B(ω).
Aisku, macios aibes indikatorius yra paprastoji funkcija, nes ji i‘gyja dvi
reiksmes 0 ir 1 ir
Maciosios funkcijos 379
ω : 1A(ω) = 1 = A, ω : 1A(ω) = 0 = Ac.
Kiekviena‘
paprasta‘ja
‘funkcija
‘galima isreiksti maciu
‘aibiu
‘indikatoriu
‘tiesine kombinacija. Tarkime, kad ϕ yra paprastoji funkcija ir i
‘gyja skirtingas
reiksmes y1, ..., yr. Pazymekime
Ak = ω : ϕ(ω) = yk.
Tada
ϕ(ω) =r∑
k=1
yk1Ak(ω).
Atvirksciai, jei Ak yra macios, kiekviena tokia israiska yra, aisku, pa-prastoji funkcija. Galime atsisakyti reikalavimo, kad yk butu
‘visi skirtingi;
pakanka aibes, kurias atitinka vienodi yk, sujungti. Pagaliau, tas tiks ir tada,kai visu
‘aibiu
‘Ak sa
‘junga nera lygi visai aibei Ω; tokia israiska yra paprastoji
funkcija. Pakanka aibei Ω\ ∪k Ak priskirti reiksme‘0.
2 teorema. Jei ϕ yra paprastoji funkcija, c – baigtine konstanta, tai cϕ,taip pat 1/ϕ, kai ϕ(ω) 6= 0 visoje aibeje Ω, yra paprastosios funkcijos.
I‘r o d y m a s. Jei
ϕ(ω) =r∑
k=1
yk1Ak(ω),
tai
cϕ(ω) =r∑
k=1
(cyk)1Ak(ω),
1ϕ(ω)
=r∑
k=1
1yk
1Ak(ω). ut
3 teorema. Jei ϕ ir ψ yra paprastosios funkcijos, tai ϕ+ψ, ϕ ·ψ, ϕ/ψ(kai ψ 6= 0), min(ϕ,ψ), max(ϕ,ψ) yra taip pat paprastosios funkcijos.
I‘r o d y m a s. Tarkime, kad
(1) ϕ(ω) =r∑
k=1
yk1Ak(ω),
(2) ψ(ω) =s∑
l=1
zl1Bl(ω);
cia
380 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
r⋃k=1
Ak = Ω,s⋃
l=1
Bl = Ω,
Aj ∩Ak = ∅ (j 6= k), Bl ∩Bm = ∅ (l 6= m).
Kadangi
Ak = Ak ∩ Ω = Ak ∩( s⋃
l=1
Bs
)=
s⋃l=1
(Ak ∩Bl),
1Ak(ω) =
s∑l=1
1Ak∩Bl(ω),
tai
ϕ(ω) =r∑
k=1
s∑l=1
yk1Ak∩Bl(ω).
Analogiskai
ψ(ω) =s∑
l=1
r∑k=1
zl1Ak∩Bl(ω).
Todel
ϕ(ω) + ψ(ω) =r∑
k=1
s∑l=1
(yk + zl)1Ak∩Bl(ω),
min(ϕ(ω), ψ(ω)
)=
r∑k=1
s∑l=1
min(yk, zl)1Ak∩Bl(ω),
max(ϕ(ω), ψ(ω)
)=
r∑k=1
s∑l=1
max(yk, zl)1Ak∩Bl(ω).
Sudaugine‘ϕ ir ψ israiskas (1) ir (2), gauname
ϕ(ω)ψ(ω) =r∑
k=1
s∑l=1
ykzl1Ak(ω)1Bl
(ω) =
=r∑
k=1
s∑l=1
ykzl1Ak∩Bl(ω).
Teiginys apie dalmeni‘isplaukia is 2 teoremos ir lygybes
ϕ(ω)ψ(ω)
= ϕ(ω) · 1ψ(ω)
. ut
Ateityje labai daznai vartosime zymejimus
Maciosios funkcijos 381
f+(ω) = max(0, f(ω)
)=
f(ω), kai f(ω) ≥ 0,0, kai f(ω) < 0;
f−(ω) = max(0,−f(ω)
)=
0, kai f(ω) ≥ 0,−f(ω), kai f(ω) < 0.
Sios funkcijos yra neneigiamos ir
f(ω) = f+(ω)− f−(ω), |f(ω)| = f+(ω) + f−(ω).
Jei f yra mati funkcija, tai tokios yra ir f+, irf−. Is tikru‘ju
‘
ω : f+(ω) < x =ω : f(ω) < x, kai x > 0,∅, kai x ≤ 0;
ω : f−(ω) < x =ω : −x < f(ω), kai x > 0,∅, kai x ≤ 0.
4 teorema. Funkcija f yra mati tada ir tik tada, kai ji yra paprastu‘ju‘
funkciju‘ϕn sekos riba. Jei funkcija f yra neneigiama, tai funkcijas ϕn galima
parinkti neneigiamas ir dar taip, kad seka ϕn butu‘
nemazejanti.I‘
r o d y m a s. 1. Is pradziu‘
tirsime atveji‘, kai f yra neneigiama.
I‘rodysime sa
‘lygos butinuma
‘. Tarkime, kad f yra neneigiama mati funkcija.
Paeme‘bet kuri
‘n, pazymekime
Ank =ω :
k − 12n
≤ f(ω) <k
2n
(k = 1, ..., 2nn),
Bn = ω : f(ω) ≥ n.
Apibresime funkcijas
ϕn(ω) =2nn∑k=1
k − 12n
1Ank(ω) + n1Bn(ω).
Tai – neneigiamos paprastosios funkcijos. I‘rodysime, kad teisinga nelygybe
ϕn(ω) ≤ ϕn+1(ω), koks bebutu‘n. Jei ω ∈ Ank, tai ω ∈ An+1,2k+1 arba
ω ∈ An+1,2k. Pirmuoju atveju
ϕn(ω) =k − 12n
= ϕn+1(ω),
antruoju
ϕn(ω) =k − 12n
<2k − 12n+1
= ϕn+1(ω).
Jei ω ∈ Bn, tai arba ω ∈ An+1,k (k = 2n+1n + 1, ..., 2n+1(n + 1)), arbaω ∈ Bn+1. Tada atitinkamai turime: arba
382 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
ϕn(ω) = n ≤ k − 12n+1
= ϕn+1(ω),
arbaϕn(ω) = n < n+ 1 = ϕn+1(ω).
Lieka parodyti, kad ϕn → f . Imkime bet kuri‘ω0 ∈ Ω. Jei f(ω0) yra
baigtinis skaicius, tai 0 ≤ f(ω0) < n, kai n yra pakankamai didelis. Vadinasi,ω0 priklauso vienai is aibiu
‘Ank ir
0 ≤ f(ω0)− ϕn(ω0) <12n.
Jei f(ω0) = ∞, tai ϕn(ω0) = n, kai n bet koks. Visais atvejais ϕn(ω0) →→ f(ω0).
Jei funkcija f yra bet kurio zenklo, tai ja‘parasome pavidalu f = f+−f−
ir taikome ka‘tik i
‘rodyta
‘teigini
‘.
2. I‘rodysime sa
‘lygos pakankamuma
‘. Tarkime, kad paprastu
‘ju
‘funkciju
‘seka ϕn konverguoja i
‘f . Tada, koks bebutu
‘x ∈ R,
ω : f(ω) < x =∞⋃
k=1
∞⋃m=1
∞⋂n=m
ω : ϕn(ω) < x− 1
k
∈ A.
Sia‘lygybe
‘siulome skaitytojui i
‘rodyti paciam. Is jos isplaukia sa
‘lygos pakanka-
mumas. ut5 teorema. Jei f ir g yra macios funkcijos, tai tokios yra ir f + g,
f · g, f/g, jei tik visiems ω tie reiskiniai turi prasme‘.
I‘
r o d y m a s. Funkcijas f ir g isreiskiame paprastu‘ju
‘funkciju
‘seku
‘ribomis ir taikome 4 teorema
‘. ut
6 teorema. Jei f yra mati funkcija, tai tokios yra ir |f | bei cf , kai c –konstanta.
I‘r o d y m a s isplaukia is 5 teoremos. ut
7 teorema. Jei f(ω) yra mati funkcija, o ϕ(x) – Borelio funkcija,apibrezta aibeje R, tai funkcija g(ω) = ϕ
(f(ω)
)yra taip pat mati.
I‘r o d y m a s. Reikia i
‘rodyti, kad g−1(B) ∈ A, kokia bebutu
‘Borelio
aibe B. Tai isplaukia is lygybiu‘
g−1(B) = ω : g(ω) ∈ B = ω : ϕ(f(ω)
)∈ B =
= ω : f(ω) ∈ ϕ−1(B) ∈ A,
nes ϕ−1(B) yra Borelio aibe. utPanagrinesime maciu
‘funkciju
‘seku
‘konvergavima
‘. Prisiminsime kai ku-
riuos faktus is klasikines matematines analizes.
Maciosios funkcijos 383
Sakykime, turime skaiciu‘seka
‘xn ∈ R, (n = 1, 2, ...). Jei seka yra mono-
toniska, tai ji visada turi riba‘(baigtine
‘ar begaline
‘). Jei seka yra nemazejanti,
tailim
n→∞xn = sup
nxn,
o jei – nedidejanti, tailim
n→∞xn = inf
nxn.
Tarkime dabar, kad seka yra bet kuri, nebutinai monotoniska. Pazyme-kime
yn = infk≥n
xk, Yn = supk≥n
xk.
Seka yn yra nemazejanti, o seka Yn – nedidejanti, be to, yn ≤ Yn. Tu‘seku
‘ribos
y = limn→∞
yn = supn
infk≥n
xk,
Y = limn→∞
Yn = infn
supk≥n
xk
yra vadinamos atitinkamai apatine bei virsutine ribomis ir zymimos
lim infn→∞
xn, lim supn→∞
xn.
Aisku, y ≤ Y .Seka xn (n = 1, 2, ...) turi riba
‘
limn→∞
xn
tada ir tik tada, kailim infn→∞
xn = lim supn→∞
xn.
Jei ta riba egzistuoja, tai ji sutampa su apatines ir virsutines ribu‘bendra
‘ja
reiksme.
8 teorema. Jei fn(ω) (n = 1, 2, ...) yra maciu‘
funkciju‘
seka, tai maciosir funkcijos
infnfn(ω), sup
nfn(ω), lim inf
n→∞fn(ω), lim sup
n→∞fn(ω).
I‘r o d y m a s. Jei kuriame nors taske ω0 turime infn fn(ω0) < x, tai
bent vienas is skaiciu‘fn(ω0) (n = 1, 2, ...) yra mazesnis uz x, ir atvirksciai,
jei bent vienas fn(ω0) (n = 1, 2, ...) yra mazesnis uz x, tai infn fn(ω) < x.Todel
ω : infnfn(ω) < x =
∞⋃n=1
ω : fn(ω) < x.
384 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Is maciosios funkcijos apibrezimo ir maciu‘ju
‘aibiu
‘savybiu
‘isplaukia, kad aibe
ω : infn fn(ω) < x yra mati. Taigi funkcija infn fn(ω) yra mati.Funkciju
‘sekos virsutinio rezio matumas isplaukia is ka
‘tik i
‘rodyto teiginio
ir lygybessup
nfn(ω) = − inf
n
(− fn(ω)
)arba lygybes
ω : supnfn(ω) ≤ x =
∞⋂n=1
ω : fn(ω) ≤ x.
Like‘du teiginiai isplaukia is ka
‘tik i
‘rodytu
‘ju
‘ir lygybiu
‘
lim infn→∞
fn(ω) = supn
(infk≥n
fk(ω)),
lim supn→∞
fn(ω) = infn
(supk≥n
fk(ω)). ut
9 teorema. Jei maciu‘
funkciju‘
seka fn(ω) (n = 1, 2, ...) konverguoja i‘
funkcija‘
f(ω) = limn→∞
fn(ω),
tai ribine funkcija f(ω) yra taip pat mati.I‘r o d y m a s isplaukia is 8 teoremos ir musu
‘padarytu
‘pastabu
‘apie
seku‘konvergavima
‘. ut
8. INTEGRALO SA‘VOKA
Nagrinesime erdve‘
su matu Ω,A, µ ir apibresime A maciu‘
funkciju‘f :
Ω → R integralus. Pradesime nuo paprastu‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘integralu
‘,
veliau ta‘sa
‘voka
‘praplesime neneigiamoms macioms funkcijoms ir, pagaliau,
bet kurio zenklo macioms funkcijoms.Paprasta
‘ja
‘funkcija
‘, kaip zinome, galime parasyti pavidalu
(1) f(ω) =r∑
k=1
yk1Ak(ω);
cia yk yra baigtiniai skaiciai, Ak – macios disjunkcios aibes, kuriu‘
sa‘junga
yra Ω. Tarkime, kad si funkcija yra neneigiama. Jos integralu vadinsime suma‘
(2)r∑
k=1
ykµ(Ak)
Integralo sa‘voka 385
ir zymesime ∫Ω
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
fdµ.
Integralas visada egzistuoja ir yra neneigiamas. Jis gali buti ir ∞. Jei butumeeme
‘bet kurio zenklo paprasta
‘sias funkcijas, tai butume galeje
‘gauti ir
reiskinius, neturincius prasmes – skirtingo zenklo begalybiu‘
sumas, jei tikkai kuriu
‘aibiu
‘Ak matai butu
‘buve
‘begaliniai.
Mums reikia parodyti, kad (2) suma nepriklauso nuo paprastosios funkci-jos (1) israiskos. Tarkime, kad z1, ..., zs yra visos skirtingos funkcijos freiksmes. Tada
r∑k=1
ykµ(Ak) =s∑
j=1
∑k,yk=zj
yk = kµ(Ak) =
=s∑
j=1
zj
∑k,yk=zj
µ(Ak) =s∑
j=1
zjµω : f(ω) = zj.
Is to isplaukia, kad (2) suma nepriklauso nuo funkcijos f israiskos.Be integralu
‘visoje aibeje Ω tenka nagrineti ir integralus tik tos aibes
dalyje – kuriame nors maciame poaibyje A. Pagal apibrezima‘∫
A
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
f(ω)1A(ω)µ(dω).
Siuos integralus galima traktuoti taip pat, kaip ir integralus visoje pa-grindineje aibeje Ω. Tam reikia erdve
‘su matu Ω,A, µ pakeisti kita erdve
su matu Ω,AA, µ; cia AA – aibiu‘σ algebra, sudaryta is tu
‘A aibiu
‘, kurios
yra aibes A poaibiai. Nesunku patikrinti, kad abu integralai yra tapatus.Kol kas aibeje A apibrezeme tik neneigiamu
‘paprastu
‘ju
‘funkciju
‘inte-
gralus. Visai taip pat juos galesime apibrezti ir kitais atvejais, kuriuos na-grinesime veliau.
1 teorema. Sakykime, A ∈ A, f ir g yra neneigiamos paprastosiosfunkcijos, o c – neneigiama konstanta. Teisingi teiginiai:
1)∫Ω
1A(ω)µ(dω) = µ(A);
2)∫Ωcf(ω)µ(dω) = c
∫Ωf(ω)µ(dω);
3)∫Ω
(f(ω) + g(ω)
)µ(dω) =
∫Ωf(ω)µ(dω) +
∫Ωg(ω)µ(dω);
4) jei f(ω) ≤ g(ω), tai∫Ω
(g(ω)− f(ω)
)µ(dω) +
∫Ω
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
g(ω)µ(dω),∫Ω
f(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
g(ω)µ(dω);
386 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
5) jei f(ω) ≤ c, tai ∫Ω
f(ω) ≤ cµ(Ω).
I‘r o d y m a s. 1 ir 2 savybes yra akivaizdzios. I
‘rodysime trecia
‘ja
‘. Jei
f(ω) =r∑
k=1
yk1Ak(ω), g(ω) =
s∑l=1
zl1Bl(ω),
tai ∫Ω
f(ω)µ(dω) +∫
Ω
g(ω)µ(dω) =r∑
k=1
ykµ(Ak) +s∑
l=1
zlµ(Bl) =
=r∑
k=1
ykµ( s⋃
l=1
(Ak ∩Bl))
+s∑
l=1
zlµ( r⋃
k=1
(Ak ∩Bl))
=
=r∑
k=1
s∑l=1
(yk + zl)µ(Ak ∩Bl) =∫
Ω
(f(ω) + g(ω)
)µ(dω).
Ketvirta‘ja
‘savybe
‘i‘rodome sitaip:∫
Ω
g(ω)µ(dω) =∫
Ω
(f(ω) +
(g(ω)− f(ω)
))µ(dω) =
=∫
Ω
f(ω)µ(dω) +∫
Ω
(g(ω)− f(ω)
)µ(dω) ≥
∫Ω
f(ω)µ(dω).
5 savybe isplaukia is 4 ir 1. utNeneigiamu
‘maciu
‘funkciju
‘integralams apibrezti reikes keliu
‘pagalbiniu
‘teiginiu
‘.
1 lema. Jei f yra neneigiama paprastoji funkcija, o fn (n = 1, ...) –nemazejanti paprastu
‘ju‘
neneigiamu‘
funkciju‘
seka ir
limn→∞
fn(ω) ≥ f(ω),
tai
limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) ≥∫
Ω
f(ω)µ(dω).
P a s t a b a. Cia minima riba egzistuoja, kadangi pagal 1 teorema‘
integralu‘seka yra monotoniska.
I‘r o d y m a s. Pazymekime a = min f(ω).
Integralo sa‘voka 387
1. Tarkime, kad a > 0. Imkime bet koki‘
teigiama‘ε < a. Pazymekime
An = ω : fn(ω) > f(ω)− ε. Aibes An sudaro didejancia‘seka
‘ir
∞⋃n=1
An = Ω.
Todel
(3) µ(An) → µ(Ω).
Is 1 teoremos isplaukia
(4)∫
Ω
fn(ω)µ(dω) ≥∫
Ω
fn(ω)1An(ω)µ(dω) ≥
∫Ω
(f(ω)− ε
)1An
(ω)µ(dω).
Jei µ(Ω) <∞, tai is (3) isplaukia, kad µ(Acn) → 0. Tada pagal 1 teorema
‘∫Ω
fn(ω)µ(dω) ≥∫
Ω
f(ω)1An(ω)µ(dω)− εµ(An) =
=∫
Ω
f(ω)µ(dω)−∫
Ω
f(ω)1Acn(ω)µ(dω)− εµ(An) ≥
≥∫
Ω
f(ω)µ(dω)− µ(Acn) max f(ω)− εµ(An).
Paeme‘n→∞, po to ε→ 0, gauname lemos nelygybe
‘.
Jei µ(Ω) = ∞, tai is (4) isplaukia∫Ω
fn(ω)µ(dω) ≥ (a− ε)µ(An) →∞ =∫
Ω
f(ω)µ(dω).
Lemos nelygybe ir siuo atveju teisinga.2. Tirsime atveji
‘a = 0. Pazymekime B = ω : f(ω) > 0. Turime∫
Ω
fn(ω)µ(dω) ≥∫
Ω
fn(ω)1B(ω)µ(dω) =∫
B
fn(ω)µ(dω).
Pastarajam integralui pritaike‘pirmosios i
‘rodymo dalies rezultata
‘, gauname
limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) ≥∫
B
f(ω)µ(dω) =
=∫
Ω
f(ω)1B(ω)µ(dω) +∫
Ω
f(ω)1Bc(ω)µ(dω) =∫
Ω
f(ω)µ(dω). ut
2 lema. Jei fn ir gn yra dvi nemazejancios paprastu‘ju‘
neneigiamu‘
funkciju‘
sekos ir
388 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
limn→∞
fn(ω) ≤ limn→∞
gn(ω),
tai irlim
n→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) ≤ limn→∞
∫Ω
gn(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Sekos yra monotoniskos, todel visiems k
limn→∞
gn(ω) ≥ fk(ω).
Pagal 1 lema‘
limn→∞
∫Ω
gn(ω)µ(dω) ≥∫
Ω
fk(ω)µ(dω).
Is cialim
n→∞
∫Ω
gn(ω)µ(dω) ≥ limk→∞
∫Ω
fk(ω)µ(dω). ut
3 lema. Jei fn ir gn (n = 1, 2, ...) yra nemazejancios paprastu‘ju‘
nenei-giamu
‘funkciju
‘sekos ir
limn→∞
fn(ω) = limn→∞
gn(ω),
tai irlim
n→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) = limn→∞
∫Ω
gn(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Si lema yra 2 lemos isvada. ut
Dabar jau galime apibrezti neneigiamos macios funkcijos integrala‘. Pagal
7.5 teorema‘egzistuoja nemazejanti neneigiamu
‘paprastu
‘ju
‘funkciju
‘fn seka,
konverguojanti i‘f . Pagal 1 teorema
‘integralai∫
Ω
fn(ω)µ(dω)
sudaro nemazejancia‘skaiciu
‘seka
‘. Vadinasi, egzistuoja riba
limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω),
kuri, kaip matome is 3 lemos, nepriklauso nuo sekos fn parinkimo. Ta‘riba
‘vadinsime funkcijos f integralu ir zymesime∫
Ω
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
fdµ.
Integralo sa‘voka 389
Si‘integrala
‘zymime taip pat, kaip ir paprastu
‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘integrala
‘,
nes naujoji integralo sa‘voka, kai pointegraline funkcija yra neneigiama pa-
prastoji, sutampa su anksciau i‘vesta
‘ja. Tada seka, kurios reikia funkcijos f
integralui apibrezti, galime laikyti seka‘, kurios visos funkcijos yra lygios f .
Neneigiamu‘
maciu‘
funkciju‘
integralai turi analogiskas savybes, kaip irpaprastu
‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘.
2 teorema. Sakykime, f ir g yra neneigiamos macios funkcijos, c –neneigiama konstanta. Tada:
1)∫Ωcf(ω)µ(dω) = c
∫Ωf(ω)µ(dω);
2)∫Ω
(f(ω) + g(ω)
)µ(dω) =
∫Ωf(ω)µ(dω) +
∫Ωg(ω)µ(dω);
3) jei f(ω) ≤ g(ω), tai∫Ω
f(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
f(ω)µ(dω).
I‘
r o d y m a s. 1. Jei fn yra nemazejanti paprastu‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘seka, konverguojanti i
‘f , tai cfn yra taip pat nemazejanti neneigiamu
‘paprastu
‘ju
‘funkciju
‘seka, konverguojanti i
‘cf . Pagal 1 teorema
‘∫Ω
cf(ω)µ(dω) = limn→∞
∫Ω
cfn(ω)µ(dω) =
= c limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) = c
∫Ω
f(ω)µ(dω).
2. Jei fn ir gn yra nemazejancios paprastu‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘sekos,
konverguojancios atitinkamai i‘f ir g, tai fn + gn yra taip pat nemazejanti
paprastu‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘seka, konverguojanti i
‘f + g. Is 1 teoremos
gauname∫Ω
(f(ω) + g(ω)
)µ(dω) = lim
n→∞
∫Ω
(fn(ω) + gn(ω)
)µ(dω) =
= limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) + limn→∞
∫Ω
gn(ω)µ(dω) =
=∫
Ω
f(ω)µ(dω) +∫
Ω
g(ω)µ(dω).
Treciasis teiginys isplaukia is 3 lemos. utPagaliau galime pateikti bendra
‘integralo apibrezima
‘. Tarkime, kad f yra
mati funkcija, galinti i‘gyti bet kurio zenklo reiksmes. Ja
‘, kaip zinome, galime
parasyti pavidalu f = f+ − f−. Galime kalbeti apie integralus
(5)∫
Ω
f+(ω)µ(dω),∫
Ω
f−(ω)µ(dω).
390 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Jei bent vienas is tu‘
integralu‘
yra baigtinis, tai sakome, kad funkcija yrakvaziintegruojama, o skirtumas∫
Ω
f+(ω)µ(dω)−∫
Ω
f−(ω)µ(dω)
vadinamas funkcijos f integralu ir zymimas taip pat, kaip ir anksciau i‘vestieji
integralai: ∫Ω
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
fdµ.
Jei abu (5) integralai yra baigtiniai, tai sakome, kad funkcija f yra integruo-jamoji.
Jei funkcija f yra neneigiama mati, tai f+ = f, f− = 0, ir antrasis is (5)integralu
‘lygus 0. Matome, kad siuo atveju naujasis integralas sutampa su
anksciau i‘vestuoju ir yra jo pletinys gausesnei funkciju
‘klasei.
Tikimybiu‘teorijoje ir apskritai matematineje analizeje svarbu
‘vaidmeni
‘vaidina specialus integralo atvejis, kai turime erdve
‘su matu, kurioje Ω = Rs,
σ algebra A sutampa su Borelio aibiu‘sistema Bs, o matas yra Styltjeso matas
µF . Tada integrala‘vadiname Styltjeso integralu ir zymime∫
Rs
f(x)µF (dx) =∫
Rs
f(x)dF (x) =∫ ∞
−∞· · ·
∫ ∞
−∞f(x1, ..., xs)dF (x1, ..., xs).
Praplete‘erdve
‘Rs,Bs, µF iki pilnosios erdves Rs, B, µF , galime kal-
beti apie Lebego-Styltjeso integrala‘. Ji
‘zymesime taip pat, kaip ir Styltjeso
integrala‘. Kai matas µF yra tiesiog Lebego matas, Lebego-Styltjeso integrala
‘vadinsime tiesiog Lebego integralu ir zymesime∫
Rs
f(x)dx =∫ ∞
−∞· · ·
∫ ∞
−∞f(x1, ..., xs)dx1...dxs.
Suprantama, galime kalbeti ir apie integralus maciose aibese A:∫A
f(x)µF (dx) =∫
A
f(x)dF (x).
Jei aibe A yra intervalas [a1, b1] × ... × [as, bs], tai vartojami ir zymejimai,i‘prasti klasikineje matematineje analizeje,∫ b1
a1
· · ·∫ bs
as
f(x1, ..., xs)dx1...dxs.
Veliau siuos integralus dar apibendrinsime.
Integralo savybes 391
9. INTEGRALO SAVYBES
8 skyrelyje jau i‘rodeme keleta
‘paprastu
‘ju
‘neneigiamu
‘ir neneigiamu
‘maciu
‘ju
‘funkciju
‘integralo savybiu
‘. Dabar nagrinesime integralo savybes bendruoju
atveju.
1 teorema. Jei f yra integruojama (kvaziintegruojama) funkcija, o c –baigtine konstanta, tai cf yra taip pat integruojama (kvaziintegruojama) ir∫
Ω
cf(ω)µ(dω) = c
∫Ω
f(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. 1. Jei c = 0, tai teoremos teiginys yra trivialus.
2. Tarkime, kad c > 0. Tada(cf(ω)
)+ = cf+(ω),(cf(ω)
)− = cf−(ω). Is8.2 teoremos isplaukia, kad cf integruojama (kvaziintegruojama) ir∫
Ω
cf(ω)µ(dω) =∫
Ω
cf+(ω)µ(dω)−∫
Ω
cf−(ω)µ(dω) =
= c
∫Ω
f+(ω)µ(dω)− c
∫Ω
f−(ω)µ(dω) = c
∫Ω
f(ω)µ(dω).
3. Jei c < 0, tai(cf(ω)
)+ = −cf−(ω),(cf(ω)
)− = −cf+(ω). Tada velpagal 8.2 teorema
‘cf yra integruojama (kvaziintegruojama) ir∫
Ω
cf(ω)µ(dω) =∫
Ω
(−c)f−(ω)µ(dω)−∫
Ω
(−c)f+(ω)µ(dω) =
= −c∫
Ω
f−(ω)µ(dω) + c
∫Ω
f+(ω)µ(dω) = c
∫Ω
f(ω)µ(dω). ut
2 teorema. Jei A ir B yra viena kitos nedengiancios macios aibes, o f– integruojama tose aibese funkcija, tai f yra integruojama aibeje A ∪B ir∫
A∪B
f(ω)µ(dω) =∫
A
f(ω)µ(dω) +∫
B
f(ω)µ(dω).
P a s t a b a. Kvaziintegruojamumo atveju teorema yra ne visada teisinga.
I‘r o d y m a s. 1. Sakykime, f yra neneigiama mati funkcija. Pagal 8.2
teorema‘
392 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys∫A∪B
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
f(ω)1A∪B(ω)µ(dω) =
=∫
Ω
f(ω)(1A(ω) + 1B(ω)
)µ(dω) =
=∫
Ω
f(ω)1A(ω)µ(dω) +∫
Ω
f(ω)1B(ω)µ(dω) =
=∫
A
f(ω)µ(dω) +∫
B
f(ω)µ(dω).
2. Jei f yra bet kurio zenklo mati funkcija, tai pagal pirma‘ja
‘i‘rodymo
dali‘ ∫
A∪B
f+(ω)µ(dω) =∫
A
f+(ω)µ(dω) +∫
B
f+(ω)µ(dω),∫A∪B
f−(ω)µ(dω) =∫
A
f−(ω)µ(dω) +∫
B
f−(ω)µ(dω).
Is cia isplaukia, kad funkcija f yra integruojama aibeje A ∪ B. Is pirmosioslygybes panariui ateme
‘antra
‘ja
‘, gauname teoremos lygybe
‘. ut
3 teorema. Jei f ir g yra integruojamos funkcijos, tai ju‘
suma, jei jiapibrezta, yra taip pat integruojama ir∫
Ω
(f(ω) + g(ω)
)µ(dω) =
∫Ω
f(ω)µ(dω) +∫
Ω
g(ω)µ(dω).
P a s t a b a. Ir cia reikalingas integruojamumas, nes kvaziintegruo-jamoms funkcijoms sis teiginys ne visada teisingas.
I‘r o d y m a s. Tokia
‘teorema
‘i‘rodeme neneigiamoms macioms funkcijoms
(8.2 teorema). Pazymeje‘h = f+g, suskaidykime Ω i
‘sesias disjunkcias aibes:
A1 = ω : f(ω) ≥ 0, g(ω) ≥ 0, A2 = ω : f(ω) ≥ 0, g(ω) < 0, h(ω) ≥ 0,A3 = ω : f(ω) ≥ 0, g(ω) < 0, h(ω) < 0,A4 = ω : f(ω) < 0, g(ω) ≥ 0, h(ω) ≥ 0,A5 = ω : f(ω) < 0, g(ω) ≥ 0, h(ω) < 0, A6 = ω : f(ω) < 0, g(ω) < 0.
Kiekvienai is tu‘
aibiu‘
i‘rodysime teoremos lygybe
‘, remdamiesi 8.2 ir 1 teo-
remomis. Perrasysime reiskini‘h(ω) = f(ω) + g(ω), taip perkeldami narius
i‘atitinkamas lygybes puses, kad visi gautos lygybes nariai butu
‘neneigiami.
Teoremos lygybe‘i‘rodinedami, sakysime, aibei A5, turesime nagrineti lygybe
‘
g(ω) +(− h(ω)
)=
(− f(ω)
).
Pagal 8.2 teorema‘
Integralo savybes 393∫A5
g(ω)µ(dω) +∫
A5
(− h(ω)
)µ(dω) =
∫A5
(− f(ω)
)µ(dω).
Remdamiesi 1 teorema, gauname∫A5
g(ω)µ(dω)−∫
A5
h(ω)µ(dω) = −∫
A5
f(ω)µ(dω).
Tai yra teoremos lygybe, kol kas i‘rodyta ne visai aibei Ω, bet tik jos daliai.
Analogiskai i‘rodome teoremos lygybe
‘ir kitoms aibems Ak. Susumave
‘tas
lygybes ir pasinaudoje‘2 teorema, i
‘sitikiname, kad teoremos lygybe teisinga
ir visai aibei Ω. ut
4 teorema. Jei f, g yra integruojamos funkcijos ir f(ω) ≤ g(ω), tai ir∫Ω
f(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
g(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Pastebesime, kad f+(ω) ≤ g+(ω), f−(ω) ≥ g−(ω). Todel
pagal 8.2 teorema‘ ∫
Ω
f+(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
g+(ω)µ(dω),∫Ω
f−(ω)µ(dω) ≥∫
Ω
g−(ω)µ(dω).
Is pirmosios nelygybes panariui ateme‘antra
‘ja
‘, gauname i
‘rodoma
‘ji‘teigini
‘. ut
5 teorema. Jei funkcija f yra integruojama aibeje A, o B – matus aibesA poaibis, tai funkcija f yra integruojama ir aibeje B.
I‘
r o d y m a s. Kadangi(f(ω)1B(ω)
)+ ≤(f(ω)1A(ω)
)+ ir(f(ω)1B(ω)
)− ≤ (f(ω)1A(ω)
)−, tai is f(ω) integruojamumo aibeje A ir 8.2teoremos isplaukia, kad integralai∫
Ω
(f(ω)1B(ω)
)+µ(dω),
∫Ω
(f(ω)1B(ω)
)−µ(dω)
yra baigtiniai. ut
6 teorema. Mati funkcija f yra integruojama tada ir tik tada, kai yraintegruojama funkcija |f |, be to,∣∣∣ ∫
Ω
f(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫
Ω
|f(ω)|µ(dω).
394 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
I‘
r o d y m a s. |f(ω)| = f+(ω) + f−(ω). Jei f yra integruojama, taif+ ir f− integralai yra baigtiniai. Tada pagal 8.2 teorema
‘ir funkcijos |f |
integralas yra baigtinis.Jei |f | yra integruojama, tai is 8.2 teoremos treciojo teiginio isplaukia,
jog funkciju‘f+ ir f− integralai yra baigtiniai, vadinasi, f yra integruojama.
Nelygybe i‘rodoma remiantis 8.2 teoremos antruoju teiginiu:∣∣∣ ∫
Ω
f(ω)µ(dω)∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Ω
f+(ω)µ(dω)−∫
Ω
f−(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤
≤∫
Ω
f+(ω)µ(dω) +∫
Ω
f−(ω)µ(dω) =
=∫
Ω
(f+(ω) + f−(ω)
)µ(dω) =
∫Ω
|f(ω)|µ(dω). ut
7 teorema. Jei f yra mati funkcija, o g – neneigiama integruojamafunkcija ir |f(ω)| ≤ g(ω), tai funkcija f taip pat yra integruojama ir∣∣∣ ∫
Ω
f(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫
Ω
g(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Kadangi f+(ω) ≤ g(ω) ir f−(ω) ≤ g(ω), tai pagal 8.2
teorema‘funkciju
‘f+ ir f− integralai yra baigtiniai, vadinasi, f yra integruo-
jama. Is 6 ir 8.2 teoremu‘turime∣∣∣ ∫
Ω
f(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫
Ω
|f(ω)|µ(dω) ≤∫
Ω
g(ω)µ(dω). ut
8 teorema (Bjeneme–Cebysovo nelygybe). Jei f yra neneigiamamati funkcija, tai, koks bebutu
‘c > 0,
µω : f(ω ≥ c) ≤ c−1
∫Ω
f(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Pazymekime A = ω : f(ω) ≥ c. Pagal 2 teorema
‘∫Ω
f(ω)µ(dω) =∫
A
f(ω)µ(dω) +∫
Ac
f(ω)µ(dω).
Antrasis integralas yra neneigiamas. Remiantis 8.2 ir 8.1 teoremomis, pirma-sis integralas yra ne mazesnis uz
c
∫A
µ(dω) = cµ(A).
Integralo savybes 395
Todelcµ(A) ≤
∫Ω
f(ω)µ(dω). ut
9 teorema. Jei f yra neneigiama mati funkcija ir∫Ω
f(ω)µ(dω) = 0,
tai µω : f(ω) 6= 0 = 0.Jei kuris nors teiginys yra teisingas visur aibeje A, isskyrus nulinio mato
poaibi‘, tai sakoma, kad jis teisingas aibeje A beveik visur. Taigi teigini
‘µω : f(ω) 6= 0 = 0 galime skaityti ir sitaip: ”funkcija f yra beveik vi-sur lygi 0”.
I‘r o d y m a s. Pazymeje
‘Ak = ω : f(ω) ≥ 1/k, gauname lygybe
‘
ω : f(ω) > 0 =∞⋃
k=1
Ak.
Pagal 8 teorema‘
µ(Ak) ≤ k
∫Ω
f(ω)µ(dω) = 0.
Todel
µω : f(ω) > 0 ≤∞∑
k=1
µ(Ak) = 0. ut
10 teorema. Integruojama funkcija yra beveik visur baigtine.I‘
r o d y m a s. Jei funkcija f yra integruojama, tai pagal 6 teorema‘
funkcija |f | taip pat integruojama; vadinasi, integralas
J =∫
Ω
f(ω)µ(dω)
yra baigtinis. Pazymekime
H = ω : |f(ω)| = ∞.
Koks bebutu‘N > 0,
H ⊂ ω : |f(ω)| ≥ N.Pagal 8 teorema
‘
µ(H) ≤ J
N.
Skaicius N yra bet koks. Is cia µ(H) = 0. ut
396 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
11 teorema. Jei funkcija f yra mati aibeje A ir µ(A) = 0, tai ji yraintegruojama toje aibeje ir ∫
A
f(ω)µ(dω) = 0.
Jei erdve Ω,A, µ yra pilna, t. y. nulinio mato aibiu‘poaibiai priklauso
A, tai reikalavima‘, kad funkcija f butu
‘mati, galime praleisti. Tada kiekviena
funkcija yra mati nulinio mato aibeje.I‘r o d y m a s. Lengva suvokti, kad neneigiamos paprastosios funkcijos
integralas nulinio mato aibeje yra lygus 0. Is cia isplaukia, kad tokia‘savybe
‘turi ir neneigiamu
‘maciu
‘funkciju
‘integralai. Vadinasi, tas teiginys yra teisin-
gas ir bet kurio zenklo maciu‘funkciju
‘integralams. ut
12 teorema. Jei f yra integruojama funkcija, g – mati funkcija, beveikvisur sutampanti su f :
µω : f(ω) 6= g(ω) = 0,
tai g yra taip pat integruojama ir∫Ω
f(ω)µ(dω) =∫
Ω
g(ω)µ(dω).
Kai matas yra pilnasis, reikalavima‘, kad funkcija g butu
‘mati, galime
praleisti: jis isplaukia is funkcijos f matumo.I‘r o d y m a s. Pazymekime A = ω : f(ω) = g(ω). Aibes A ir Ac yra
macios. Funkcija f yra integruojama aibeje A, taigi integruojama ir funkcijag. Kadangi µ(Ac) = 0, tai pagal 11 teorema
‘g yra integruojama aibeje Ac. Is
2 teoremos gauname, kad g integruojama aibeje A ∪Ac = Ω.Kadangi pagal 11 teorema
‘maciu
‘funkciju
‘integralai nulinio mato aibese
yra lygus 0, tai∫Ω
f(ω)µ(dω) =∫
A
f(ω)µ(dω) +∫
Ac
f(ω)µ(dω) =
=∫
A
g(ω)µ(dω) +∫
Ac
g(ω)µ(dω) =∫
Ω
g(ω)µ(dω). ut
13 teorema (Kosi nelygybe). Jei funkciju‘f1 ir f2 kvadratai yra inte-
gruojami, tai sandauga f1f2 yra taip pat integruojama ir
(1)( ∫
Ω
f1(ω)f2(ω)µ(dω))2
≤∫
Ω
f21 (ω)µ(dω) ·
∫Ω
f22 (ω)µ(dω).
Integralo savybes 397
Nelygybe virsta lygybe tada ir tik tada, kai egzistuoja tokios konstantos c1 irc2, kuriu
‘bent viena nelygi 0, kad
(2) c1f1(ω) + c2f2(ω) = 0
beveik visur mato µ atzvilgiu.I‘r o d y m a s. Sandaugos f1f2 integruojamumas isplaukia is elementarios
nelygybes |f1f2| ≤ (f21 + f2
2 )/2. Jei bent vienas is integralu‘
K1 =∫
Ω
f21 (ω)µ(dω), K2 =
∫Ω
f22 (ω)µ(dω)
yra lygus 0, tai (1) nelygybe yra teisinga. Dar daugiau: ji virsta lygybe.Tarkime, kad K1 = 0. Tada f1 pagal 9 teorema
‘beveik visur lygi 0. Vadinasi,
(1) nelygybes abieju‘pusiu
‘nariai yra lygus 0. Antra vertus, tada teisinga ir
(2) lygybe su bet kuria c1 6= 0 ir c2 = 0.Todel lieka isnagrineti atveji
‘, kai K1 6= 0, K2 6= 0. Teisinga nelygybe
(3)∫
Ω
( |f1(ω)|√K1
− |f2(ω)|√K2
)2
µ(dω) ≥ 0.
Pointegralini‘
reiskini‘
pakele‘
kvadratu ir sumos integrala‘
pakeite‘
integralu‘
suma, gauname ∫Ω
|f1(ω)f2(ω)|µ(dω) ≤√K1K2.
Todel ∣∣∣ ∫Ω
f1(ω)f2(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ √
K1K2.
Remiantis 9 teorema, (3) nelygybe virsta lygybe, kai
(f1(ω))√K1
− (f2(ω))√K2
= 0
beveik visur mato µ atzvilgiu. Vadinasi, teisinga (2) lygybe.I‘rodeme (1) nelygybe
‘ir (2) sa
‘lygos butinuma
‘, kad (1) nelygybe virstu
‘lygybe. (2) sa
‘lygos pakankamuma
‘paliekame i
‘rodyti skaitytojui. ut
14 teorema. Jei f1, f2, ... yra nemazejanti neneigiamu‘
maciu‘
funkciju‘
seka irf(ω) = lim
n→∞fn(ω),
tai ∫Ω
fn(ω)µ(dω) →∫
Ω
f(ω)µ(dω),
kai n→∞.
398 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
I‘
r o d y m a s. Kiekvienam k imkime nemazejancia‘
paprastu‘ju
‘neneigiamu
‘funkciju
‘fkn seka
‘, konverguojancia
‘i‘fk. Pazymekime
gn(ω) = maxk≤n
fkn(ω).
Sios funkcijos taip pat yra neneigiamos paprastosios funkcijos, ju‘seka nema-
zejanti ir
fkn(ω) ≤ gn(ω) ≤ fn(ω),∫Ω
fkn(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
gn(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
fn(ω)µ(dω),
jei k ≤ n. Kai n→∞, gauname
fk(ω) ≤ limn→∞
gn(ω) ≤ f(ω),∫Ω
fk(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
limn→∞
gn(ω)µ(dω) ≤ limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
Kai k →∞, turime
f(ω) ≤ limn→∞
gn(ω) ≤ f(ω),
limk→∞
∫Ω
fk(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
limn→∞
gn(ω)µ(dω) ≤ limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
Vadinasi,lim
n→∞gn(ω) = f(ω)
ir ∫Ω
f(ω)µ(dω) = limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω). ut
15 (Fatu1) teorema. Jei fn (n = 1, 2, ...) yra neneigiamos maciosfunkcijos, tai ∫
Ω
lim infn→∞
fn(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Pazymekime
hn(ω) = infm≥n
fm(ω).
Funkcijos hn yra neneigiamos ir macios, ju‘seka nemazejanti, be to,
1 Pierre Fatou (1878–1929) – prancuzu‘matematikas.
Integralo savybes 399
hn(ω) ≤ fn(ω).
Todel ∫Ω
hn(ω)µ(dω) ≤∫
Ω
fn(ω)µ(dω).
Imame abieju‘pusiu
‘apatines ribas
lim infn→∞
∫Ω
hn(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
Taciau funkciju‘hn integralu
‘seka yra nemazejanti, todel apatine riba yra
tiesiog riba. Be to, toms funkcijoms galima taikyti 14 teorema‘. Turime∫
Ω
limn→∞
hn(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
Kadangilim
n→∞hn(ω) = lim
n→∞
(inf
m≥nfm(ω)
)= lim inf
n→∞fn(ω),
tai teoremos teiginys yra teisingas. ut16 (Lebego) teorema. Jei fn (n = 1, 2, ...) yra macios funkcijos, g –
neneigiama integruojama funkcija, |fn(ω)| ≤ g(ω) (n = 1, 2, ...) ir fn → f ,tai ∫
Ω
fn(ω)µ(dω) →∫
Ω
f(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. f integruojamumas isplaukia is nelygybes |f | ≤ g ir 7
teoremos. Funkciju‘sekai g(ω)− fn(ω) ≥ 0 pritaike
‘Fatu teorema
‘, gauname∫
Ω
limn→∞
(g(ω)− fn(ω)
)µ(dω) ≤ lim inf
n→∞
∫Ω
(g(ω)− fn(ω)
)µ(dω),
t. y.
(4)∫
Ω
f(ω)µ(dω) ≥ lim supn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
Ta‘pacia
‘teorema
‘taikome ir sekai funkciju
‘g(ω) + fn(ω) ≥ 0:∫
Ω
limn→∞
(g(ω) + fn(ω)
)µ(dω) ≤ lim inf
n→∞
∫Ω
(g(ω) + fn(ω)
)µ(dω).
Is cia gauname
(5)∫
Ω
f(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω).
400 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Is (4) ir(5) isplaukia
lim infn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) = lim supn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) =∫
Ω
f(ω)µ(dω). ut
17 teorema. Jei gk (k = 1, 2, ...) yra neneigiamos macios funkcijos, tai∫Ω
∞∑k=1
gk(ω)µ(dω) =∞∑
k=1
∫Ω
gk(ω)µ(dω).
I‘r o d y m a s. Funkcijos
fn(ω) =n∑
k=1
gk(ω)
yra neneigiamos macios, ju‘seka nemazeja, o tos sekos riba lygi
f(ω) =∞∑
k=1
gk(ω).
Is 14 teoremos isplaukia
limn→∞
∫Ω
fn(ω)µ(dω) =∫
Ω
f(ω)µ(dω).
Pagal 3 teorema‘ ∫
Ω
fn(ω)µ(dω) =n∑
k=1
∫Ω
gk(ω)µ(dω).
Is cia isplaukia teoremos teiginys. ut18 teorema. Jei f yra integruojama aibeje A, o A yra maciu
‘disjunkciu
‘aibiu
‘sekos sa
‘junga,
A =∞⋃
k=1
Ak,
tai ∫A
f(ω)µ(dω) =∞∑
k=1
∫Ak
f(ω)µ(dω).
Jei f yra neneigiama mati funkcija, tai pastaroji lygybe yra teisinga irtada, kai ta funkcija nera integruojama.
Integralo savybes 401
I‘r o d y m a s. Tarkime, kad f yra neneigiama mati funkcija. Kadangi
f(ω)1A(ω) =∞∑
k=1
f(ω)1Ak(ω),
tai pagal 17 teorema‘∫
Ω
f(ω)1A(ω)µ(dω) =∞∑
k=1
∫Ω
f(ω)1Ak(ω)µ(dω),
t. y. ∫A
f(ω)µ(dω) =∞∑
k=1
∫Ak
f(ω)µ(dω).
Jei f yra bet kurio zenklo integruojama funkcija, tai ka‘tik i
‘rodyta
‘lygybe
‘taikome kiekvienai is funkciju
‘f+, f−. Is cia gauname teoremos teigini
‘. ut
Pakomentuosime sia‘teorema
‘. Tarkime, kad f yra neneigiama mati arba
bet kurio zenklo integruojama funkcija erdveje Ω,A, µ. Pazymekime
(6) ν(A) =∫
A
f(ω)µ(dω), A ∈ A.
Is 18 teoremos isplaukia, kad ν yra visiskai adityvi aibes funkcija: jei A yradisjunkciu
‘aibiu
‘Ak sekos sa
‘junga, tai
ν(A) =∞∑
k=1
ν(Ak).
Vadinasi, kai f yra neneigiama mati funkcija, tai ν taip pat yra matas maciojeerdveje Ω,A (nes ν(∅) = 0).
Jei ϕ ir % yra matai macioje erdveje Ω,A ir is lygybes %(A) = 0, A ∈ A,isplaukia ϕ(A) = 0, tai sakome, kad matas % yra absoliuciai tolydus mato ϕatzvilgiu.
Is 18 teoremos turime, kad matas ν yra absoliuciai tolydus mato µatzvilgiu. Pasirodo, mata
‘%, absoliuciai tolydu
‘mato ϕ atzvilgiu, visada gali-
ma uzrasyti (6) pavidalu.
19 (Radono–Nikodimo) teorema. Jei ϕ ir % yra matai maciojeerdveje Ω,A, matas ϕ yra σ baigtinis, o matas % – absoliuciai tolydus matoϕ atzvilgiu, tai egzistuoja neneigiama A mati funkcija f , tenkinanti lygybe
‘
%(A) =∫
A
f(ω)ϕ(dω),
402 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
kokia bebutu‘A ∈ A. Jei ir matas % yra σ baigtinis, tai funkcija f yra beveik
visur baigtine. Jei, be funkcijos f , yra dar ir kita A mati funkcija g, tenkinantilygybe
‘
%(A) =∫
A
g(ω)ϕ(dω),
kokia bebutu‘A ∈ A, tai funkcijos f ir g yra beveik visur lygios mato ϕ
atzvilgiu.Panasi teorija yra teisinga ir tuo atveju, kai (6) integrale f yra bet kuri
integruojama funkcija. Tada aibes funkcija ν gali buti ir neigiama, taciauvisiskai adityvi. Tokia
‘aibes funkcija
‘galime pavadinti apibendrintuoju matu.
Apskritai apibendrintuoju matu, arba kruviu, vadiname realia‘visiskai adityvia
‘aibes funkcija
‘ν, macioje erdveje Ω,A turincia
‘savybes: 1) ν(∅) = 0;
2) is dvieju‘begaliniu
‘reiksmiu
‘−∞ ir ∞ funkcija ν gali i
‘gyti tik kuria
‘nors
viena‘. Kruvis ν yra vadinamas baigtiniu, jei jo reiksmes ν(A) yra baigtines,
kokios bebutu‘A ∈ A, ir σ baigtiniu, jei Ω galima suskaidyti i
‘skaicia
‘sistema
‘aibiu
‘Ωk (k = 1, 2, ...), kuriu
‘poaibiams, priklausantiems A, kruvio
reiksmes yra baigtines. Kiekviena‘
kruvi‘
galima isreiksti dvieju‘
matu‘
skir-tumu. Pazymekime
ν+(A) = supB⊂A,B∈A
ν(B), ν−(A) = supB⊂A,B∈A
(− ν(B)
), A ∈ A.
Galima i‘rodyti, kad ν+ ir ν− yra neneigiamos, visiskai adityvios aibes funkci-
jos. Jei ν yra baigtinis arba σ baigtinis, tai tokie yra ir ν+, ν−. Kiekviena‘
kruvi‘galima parasyti pavidalu
ν = ν+ − ν−.
Ir kruviams galime i‘vesti absoliutaus tolydumo sa
‘voka
‘. Sakysime, kad
kruvis % yra absoliuciai tolydus kruvio ϕ atzvilgiu, jei is ϕ(A) = 0, A ∈ A,isplaukia %(A) = 0.
Teisinga ir bendresne Radono–Nikodimo teorema. Tarkime, kad erdvejeΩ,A, ϕ, kurioje matas ϕ yra σ baigtinis, σ baigtinis kruvis % yra absoliuciaitolydus mato ϕ atzvilgiu. Tada egzistuoja mati funkcija f , tenkinanti sa
‘lyga
‘
%(A) =∫
A
f(ω)ϕ(dω), A ∈ A.
Jei egzistuoja dar viena funkcija g su sa‘lyga
%(A) =∫
A
g(ω)ϕ(dω),
tai funkcijos f ir g yra beveik visur lygios mato ϕ atzvilgiu.
Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 403
Galima nagrineti ir bendresnius negu iki siol nagrinetieji integralus – in-tegralus apibendrinto mato atzvilgiu. Jei ϕ yra kruvis macioje erdveje Ω,Air jis isreiskiamas dvieju
‘matu
‘skirtumu µ− ν, tai pagal apibrezima
‘∫Ω
f(ω)ϕ(dω) =∫
Ω
f(ω)µ(dω)−∫
Ω
f(ω)ν(dω).
Abu desines puses integralai ir ju‘skirtumas turi tureti prasme
‘. I
‘rodoma, kad
integralas nepriklauso nuo kruvio ϕ israiskos dvieju‘matu
‘skirtumu, t. y. jei
ϕ = µ1 − ν1 ir ϕ = µ2 − ν2, tai∫Ω
f(ω)µ1(dω)−∫
Ω
f(ω)ν1(dω) =∫
Ω
f(ω)µ2(dω)−∫
Ω
f(ω)ν2(dω).
Taip apibendrinti vadinamieji Radono integralai turi daugeli‘svarbiausiu
‘in-
tegralo savybiu‘.
Teisinga ir Radono–Nikodimo teorema, kai ϕ yra kruvis. Beje, ji yrateisinga ir tada, kai % nera σ baigtinis, bet tada funkcija f gali i
‘gyti ir bega-
lines reiksmes.Funkcija f Radono-Nikodimo teoremoje daznai vadinama mato % Ra-
dono-Nikodimo isvestine mato ϕ atzvilgiu ir zymima d%/dϕ. Ji turi daugeli‘
paprastos klasikineje analizeje nagrinejamos isvestines savybiu‘.
Radono-Nikodimo teoremos i‘rodyma
‘ir jos apibendrinimus galima rasti,
pvz., [12, 22].
10. MATU‘
SANDAUGA. KARTOTINIAI INTEGRALAI
Priminsime aibiu‘sandaugos sa
‘voka
‘. Dvieju
‘aibiu
‘A ir B (Dekarto)sandauga
A × B vadiname visuma‘
dvejetu‘
(x, y), kai x yra bet kuris aibes A, o y –aibes B elementas:
A×B = (x, y) : x ∈ A, y ∈ B.
Aibiu‘sandauga nera nei komutatyvi, nei asociatyvi. Taciau ji turi sias dis-
tributyvumo savybes: jei A,B,C,D yra bet kurios aibes, tai
(A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C),
C × (A ∪B) = (C ×A) ∪ (C ×B),
A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C),
(B ∩ C)×A = (B ×A) ∩ (C ×A),
(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).
Panasiai apibreziama ir keliu‘aibiu
‘sandauga. Aibiu
‘A1, ..., An sandauga
404 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
A1 × ...×An =n/∖
k=1
Ak
vadinsime visuma‘baigtiniu
‘seku
‘(x1, ..., xn), kuriose x1 yra bet kuris aibes
A1 elementas, ir t. t., xn yra bet kuris aibes An elementas:(x1, ..., xn) : x1 ∈ A1, ..., xn ∈ An
.
Aibiu‘sekos A1, A2, ... sandauga
A1 ×A2 × ... =∞/∖
k=1
Ak
yra visuma seku‘
(x1, x2, ...) : x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, ....
Toliau kalbesime apie maciu‘erdviu
‘sandaugas. Kad butu
‘paprasciau, is
pradziu‘imsime tik dvi erdves. Tarkime, turime dvi macias erdves Ω1,A1 ir
Ω2,A2. Dvieju‘aibiu
‘A1 ⊂ Ω1, A2 ⊂ Ω2 sandauga
‘A1 × A2 susitarsime va-
dinti staciakampiu. Jei aibes A1 ir A2 butu‘realiu
‘ju
‘skaiciu
‘aibes – intervalai
ir jas atidetume plokstumos staciakampiu‘
koordinaciu‘
asyse, tai sandaugaA1 × A2 butu
‘tikrai staciakampis i
‘prastine prasme. Kai A1 ∈ A1, A2 ∈ A2,
tai staciakampi‘A1 × A2 vadinsime maciuoju. Visu
‘maciu
‘staciakampiu
‘sis-
tema apskritai nera aibiu‘σ algebra, taciau ji generuoja σ algebra
‘, vadinama
‘algebru
‘A1 irA2 sandauga. Ja
‘zymesimeA1⊗A2. Si sandaugos sa
‘voka skiriasi
nuo aibiu‘sandaugos sa
‘vokos. Todel vartojame ir skirtinga
‘zymejima
‘.
Mati erdve Ω1 × Ω2,A1 ⊗ A2 yra vadinama maciu‘erdviu
‘Ω1,A1 ir
Ω2,A2 sandauga ir zymima Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2.Imkime aibe
‘A ∈ A1 ×A2. Jos pjuviu taske ω1 ∈ Ω1 vadinama aibe
Aω1 = ω2 ∈ Ω2 : (ω1, ω2) ∈ A,
o pjuviu taske ω2 ∈ Ω2 – aibe
Aω2 = ω1 ∈ Ω1 : (ω1, ω2) ∈ A.
Specialiu atveju, kai A = A1 ⊗A2,
(1) Aω1 =A2, kai ω1 ∈ A1,∅, kai ω1 /∈ A1,
(2) Aω2 =A1, kai ω2 ∈ A2,∅, kai ω2 /∈ A2.
Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 405
1 teorema. Jei Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2 yra dvieju‘
maciu‘
erdviu‘
sandaugair A ∈ A1 ⊗ A2, tai pjuvis Aω1 ∈ A2, kai ω1 ∈ Ω1, ir pjuvis Aω2 ∈ A1,kai ω2 ∈ Ω2 (kitaip tariant, A1 ⊗A2 macios aibes A pjuviai Aω1 ir Aω2 yraatitinkamai A2 matus ir A1 matus).
I‘r o d y m a s. Pazymekime Cω1 visu
‘aibes Ω1×Ω2 poaibiu
‘A su sa
‘lyga
Aω1 ∈ A2 sistema‘. Aisku, siai sistemai pagal (1) ir (2) priklauso visi matus
staciakampiai A1 ×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2.Parodysime, kad sistema Cω1 yra uzdara papildymo ir sekos jungimo
operaciju‘atzvilgiu. Is tikru
‘ju
‘, jei A ∈ Ω1 × Ω2, tai(
(Ω1 × Ω2)\A)ω1
= Ω2\Aω1 ;
jei A1, A2... yra aibes Ω1 × Ω2 poaibiai, tai( ∞⋃k=1
Ak
)ω1
=∞⋃
k=1
(Ak)ω1 .
Vadinasi, sistema Cω1 yra σ algebra ir jai priklauso matus staciakampiai.Todel A1 ⊗A2 ⊂ Cω1 .
Analogiskai nagrinejami pjuviai Aω2 . ut
Isvada. Netuscias staciakampis A1 × A2 ⊂ Ω1 × Ω2 maciu‘
erdviu‘
sandaugoje Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2 yra A1 ⊗ A2 matus tada ir tik tada, kaiA1 ∈ A1, A2 ∈ A2.
I‘r o d y m a s. Jei A1 ∈ A1 ir A2 ∈ A2, tai A1 ×A2 ∈ A1 ⊗A2 pagal σ
algebros apibrezima‘.
Tarkime, kad staciakampis A1×A2 ∈ A1⊗A2 yra netuscias. Tada aibe A1
yra netuscia, vadinasi, egzistuoja ω1 ∈ A1. Pagal (1) A2 = (A1×A2)ω1 ∈ A2.Analogiskai i
‘rodome, kad A1 ∈ A1. ut
2 teorema. Jei Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2 yra dvieju‘
maciu‘
erdviu‘
sandaugair f(ω1, ω2) yra A1 ⊗ A2 mati funkcija, tai kiekvienam ω1 ∈ Ω1 funkcijaϕω1(ω2) = f(ω1, ω2), traktuojama kaip vieno kintamojo ω2 funkcija, yraA2 mati, o funkcija ψω2 = f(ω1, ω2), traktuojama kaip vieno kintamojo ω1
funkcija, yra A1 mati.I‘r o d y m a s. Paeme
‘bet kuria
‘tieses Borelio aibe
‘B, turime
ϕ−1ω1
(B) = ω2 : ϕω1(ω2) ∈ B = (ω1, ω2) : f(ω1, ω2) ∈ Bω1 ∈ A2.
Analogiskai tiriama ir funkcija ψω2(ω1). ut
3 teorema. Jei Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2 yra dvieju‘
maciu‘
erdviu‘
sandauga,tai tapaciai nelygi nuliui funkcija f(ω1, ω2) = f1(ω1)f2(ω2), apibrezta aibejeΩ1×Ω2, yra A1⊗A2 mati tada ir tik tada, kai f1(ω1) yra A1 mati, o f2(ω2)yra A2 mati.
406 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
I‘
r o d y m a s. 1. Tarkime, kad f(ω1, ω2) nera tapaciai lygi nuliui irA1 ⊗A2 mati. Galime rasti toki
‘ω10 ∈ Ω1, kad f1(ω10) 6= 0. Pagal 2 teorema
‘funkcija f1(ω10)f2(ω2), t. y. f2(ω2) yra A2 mati. Analogiskai i
‘rodomas f1(ω1)
A1 matumas.2. I
‘rodysime sa
‘lygos pakankamuma
‘. Pazymekime f1(ω1, ω2) = f1(ω1) ir
f2(ω1, ω2) = f2(ω2). Kadangi f−11 (B) =
(f−11 (B)
)× Ω2 ∈ A1 ⊗ A2, kokia
bebutu‘B ∈ B, ir analogiskai f−1
2 (B) ∈ A1⊗A2, tai funkcija f1(ω1)f2(ω2) == f1(ω1, ω2)f2(ω1, ω2) yra A1 ⊗A2 mati. ut
1 lema. Tarkime, kad Ω1,A1, Ω2,A2 yra macios erdves. Sudarykimevisas galimas baigtines sa
‘jungas is disjunkciu
‘maciu
‘staciakampiu
‘A1 ×
×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2. Ju‘
sistema yra aibiu‘
algebra.I‘
r o d y m a s. Is pradziu‘
parodysime, kad visi matus staciakampiaisudaro aibiu
‘pusalgebri
‘. Pazymekime ju
‘sistema
‘raide C. Aisku, jog Ω1×Ω2 ∈
∈ C ir ∅ ∈ C (tuscia sa‘junga laikoma tuscia aibe).
Imkime du macius staciakampius A11 × A1
2 ir A21 × A2
2, Ak1 ∈ A1, A
k2 ∈
∈ A2 (k = 1, 2). Ju‘sankirta
(A11 ×A1
2) ∩ (A21 ×A2
2) = (A11 ∩A2
1)× (A12 ∩A2
2)
yra C aibe.Tarkime, kad A1 × A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2, yra matus staciakampis.
Turime lygybe‘
Ω1 × Ω2 =[A1 ∪ (Ω1\A1)
]×
[A2 ∪ (Ω2\A2)
]=
=[A1 ×A2
]∪
[A1 × (Ω2\A2)
]∪
[(Ω1\A1)×A2
]∪
[(Ω1\A1)× (Ω2\A2)
];
desineje puseje jungiamosios aibes yra disjunktus matus staciakampiai. Is ciamatome, kad papildinys (Ω1×Ω2)\(A1×A2) yra reiskiamas disjunkciu
‘maciu
‘staciakampiu
‘sa
‘junga.
Lemos teiginys isplaukia is 5.1 teoremos. ut
2 lema. Jei Ω1,A1, µ1 ir Ω2,A2, µ2 yra erdves su σ baigtiniaismatais ir A ∈ A1 ⊗ A2, tai funkcija µ2(Aω1), apibrezta aibeje Ω1, yra A1
mati, o funkcija µ1(Aω2), apibrezta aibeje Ω2, yra A2 mati, be to,∫Ω1
µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫
Ω2
µ1(Aω2)µ2(dω2).
Kai A = A1 ×A2, tie integralai yra lygus µ1(A1)µ2(A2).I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad matai µ1 ir µ2 yra baigtiniai. Pazymekime
M visu‘A1 ⊗A2 maciu
‘aibiu
‘, kurioms teisingas lemos teiginys, sistema
‘.
Parodysime, kad sistemai priklauso visi matus staciakampiai. Jei A == A1 ×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2, tai pagal (1) ir (2)
Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 407
µ2(Aω1) = µ2(A2)1A1(ω1), µ1(Aω2) = µ1(A1)1A2(ω2).
Is cia matome, kad funkcijos µ2(Aω1) ir µ1(Aω2) yra neneigiamos, pirmoji isju
‘A1 mati, antroji – A2 mati, ir∫
Ω1
µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫
Ω2
µ1(Aω2)µ2(dω2) = µ1(A1)µ2(A2).
Is cia turime, kad visos baigtines maciu‘staciakampiu
‘sa
‘jungos priklauso M.
Taciau, kaip teigia 1 lema, disjunkciu‘
staciakampiu‘
visu‘
baigtiniu‘
sa‘jungu
‘sistema sudaro aibiu
‘algebra
‘. Vadinasi, M yra aibiu
‘algebra.
Parodysime, kadM yra σ algebra. Tam i‘rodysime, kad ji yra monotonine
aibu‘klase. Imkime monotoniska
‘sistemos M aibiu
‘seka
‘A(n) (n = 1, 2, ...).
Pazymekime A = limA(n). Tada aibes A(n)ω2 ir aibe Aω2 yra A1 macios, oaibes A(n)
ω1 ir aibe Aω1 yra A2 macios. Funkcijos µ1(A(n)ω2) yra neneigiamosir A1 macios, ju
‘seka konverguoja i
‘neneigiama
‘A1 macia
‘funkcija
‘µ(Aω2).
Lygiai taip pat funkcijos µ2(A(n)ω1 ) yra A2 macios ir neneigiamos, ju
‘seka
konverguoja i‘neneigiama
‘A2 macia
‘funkcija
‘µ2(Aω2). Pereje
‘lygybeje∫
Ω1
µ2(A(n)ω1
)µ1(dω1) =∫
Ω2
µ1(A(n)ω2)µ2(dω2)
prie ribos, kai n→∞, pagal 9.14 teorema‘gauname∫
Ω1
µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫
Ω2
µ1(Aω2)µ2(dω2).
Vadinasi, A ∈ M. Taigi M yra σ algebra, kuriai priklauso visi matusstaciakampiai. Kadangi A1 ⊗ A2 yra σ algebra, generuota visu
‘maciu
‘sta-
ciakampiu‘sistemos, tai A1 ⊗A2 ⊂M.
2. Tarkime dabar, kad visi matai yra σ baigtiniai. Aibes Ω1 ir Ω2 galimeparasyti disjunkciu
‘aibiu
‘skaiciomis sa
‘jungomis
Ω1 =∞⋃
k=1
C1k, Ω2 =∞⋃
j=1
C2j
su sa‘lygomis µ1(C1k) <∞ (k = 1, 2, ...), µ2(C2j) <∞ (j = 1, 2, ...). Tada
Ω1 × Ω2 =( ∞⋃
k=1
C1k
)×
( ∞⋃j=1
C2j
)=
∞⋃k=1
∞⋃j=1
(C1k × C2j
).
Kiekvienai is aibiu‘C1k×C2j galime pritaikyti i
‘rodyta
‘ja
‘lemos dali
‘. Susumave
‘gauname, jog lema teisinga ir bendruoju atveju. ut
408 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
4 teorema. Jei Ω1,A1, µ1 ir Ω2,A2, µ2 yra erdves su σ baigtiniaismatais, tai aibes funkcija
(3) λ(A) =∫
Ω1
µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫
Ω2
µ1(Aω2)µ2(dω2),
apibrezta σ algebros A1 ⊗A2 aibems A, yra σ baigtinis matas, kuris tenkinalygybe
‘λ(A1 ×A2) = µ1(A1)µ2(A2),
kai A1×A2 yra bet kuris matus staciakampis. Kiekvienas kitas matas maciojeerdveje Ω1 × Ω2,A1 ⊗A2, turi
‘s ta
‘savybe
‘, sutampa su λ.
I‘
r o d y m a s. Is 9.18 teoremos turime, kad aibes funkcija λ yra σadityvi. Is 9.11 teoremos isplaukia, kad ji yra matas.
Aibe‘
Ω1 × Ω2 galima suskaidyti i‘
skaicia‘
sistema‘
maciu‘
staciakampiu‘,
kuriu‘
kiekvienas turi baigtini‘
mata‘. Vadinasi, λ yra σ baigtinis matas. Jo
vienatis isplaukia is 4.6 teoremos apie mato prate‘sima
‘. ut
Nusakytas 4 teoremoje matas vadinamas matu‘µ1 ir µ2 (Dekarto) san-
dauga ir zymimas µ1 × µ2. Erdve su matu Ω1 × Ω2,A1 ⊗A2, µ1 × µ2 yravadinama erdviu
‘su matais Ω1,A1, µ1 ir Ω2,A2, µ2 sandauga ir daznai
zymima Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2.5 teorema. Jei Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2 yra erdviu
‘su baigtiniais
matais sandauga ir A yra A1 ⊗A2 mati aibe, tai ji turi nulini‘µ1 × µ2 mata
‘tada ir tik tada, kai beveik visur mato µ1 atzvilgiu pjuviai Aω1 turi nulini
‘µ1
mata‘:
µ1ω1 : µ2(Aω1) 6= 0 = 0,
arba beveik visur mato µ2 atzvilgiu pjuviai Aω2 turi nulini‘µ2 mata
‘:
µ2ω2 : µ1(Aω2) 6= 0 = 0.
I‘
r o d y m a s. Jei µ1 × µ2(A) = 0, tai is 9.9 teoremos turime, kad(3) formuleje pointegralines funkcijos turi buti beveik visur lygios nuliui, pir-majame integrale mato µ1 atzvilgiu, antrajame – mato µ2 atzvilgiu. Is (3)formules matome, kad teisingas ir atvirkstinis teiginys. Reikia pasinaudoti9.11 teorema. ut
6 (Tonelio1) teorema. Jei Ω1,A1, µ1⊗Ω2,A2, µ2 yra dvieju‘erdviu
‘su σ baigtiniais matais sandauga ir f yra neneigiama A1⊗A2 mati funkcija,tai integralai ∫
Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1),∫
Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2)
1 Leonida Tonelli (1885–1946) – italu‘matematikas.
Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 409
yra atitinkamai A2 mati ir A1 mati neneigiamos funkcijos ir∫Ω1×Ω2
f(ω1, ω2)µ1 × µ2
(d(ω1, ω2)
)=
=∫
Ω1
( ∫Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) =
=∫
Ω2
( ∫Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).
Jei f yra µ1 × µ2 integruojama funkcija, tai beveik visur mato µ1 atzvilgiuta funkcija (kaip kintamojo ω2 funkcija) yra µ2 integruojama ir beveik visurmato µ2 atzvilgiu ji (kaip kintamojo ω1 funkcija) yra µ1 integruojama.
I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad A yra A1 ⊗A2 mati aibe ir f(ω1, ω2) =
= 1A(ω1, ω2). Tada∫Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2) = µ2(Aω1),∫
Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1) = µ1(Aω2).
Pagal 2 lema‘funkcija µ2(Aω1) yra A1 mati, o funkcija µ1(Aω2) yra A2 mati.
Pagal 4 teorema‘∫
Ω1
µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫
Ω2
µ1(Aω2)µ2(dω2) =
= µ1 × µ2(A) =∫
Ω1×Ω2
f(ω1, ω2)µ1 × µ2
(d(ω1, ω2)
).
Vadinasi, siai funkcijai teoremos teiginys yra teisingas.2. Teorema teisinga ir kiekvienai paprastajai neneigiamai funkcijai, nes
ja‘galima uzrasyti kaip A1 ⊗A2 maciu
‘aibiu
‘tiesine
‘kombinacija
‘.
3. Jei f yra bet kuri neneigiama A1 ⊗A2 mati funkcija, tai galima rastinemazejancia
‘neneigiamu
‘paprastu
‘ju
‘funkciju
‘fn seka
‘, konverguojancia
‘i‘f .
Pagal antra‘ja
‘i‘rodymo dali
‘teisingos lygybes
(4)
∫Ω1×Ω2
fn(ω1, ω2)µ1 × µ2
(d(ω1, ω2)
)=
=∫
Ω1
( ∫Ω2
fn(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) =
=∫
Ω2
( ∫Ω1
fn(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).
Pereisime prie ribos, kai n→∞. Pirmasis narys virs
410 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys∫Ω1×Ω2
f(ω1, ω2)µ1 × µ2
(d(ω1, ω2)
).
Funkcijos ∫Ω2
fn(ω1, ω2)µ2(dω2),∫
Ω1
fn(ω1, ω2)µ1(dω1)
sudaro nemazejancias neneigiamu‘A1 maciu
‘bei A2 maciu
‘funkciju
‘sekas. Ju
‘ribos yra A1 mati bei A2 mati funkcijos. Pastarosios pagal 9.14 teorema
‘yra
lygios ∫Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2),∫
Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1).
Pagal ta‘pacia
‘teorema
‘∫Ω1
( ∫Ω2
fn(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) →
→∫
Ω1
( ∫Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1),∫
Ω2
( ∫Ω1
fn(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2) →
→∫
Ω2
( ∫Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).
Is (4) gauname i‘rodoma
‘ja
‘lygybe
‘.
Teiginys apie f integruojamuma‘isplaukia is 9.10 teoremos. ut
7 (Fubinio) teorema. Tarkime, kad Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2 yradvieju
‘maciu
‘erdviu
‘su σ baigtiniais matais sandauga ir f yra integruo-
jama toje sandaugoje funkcija. Tada beveik visur mato µ1 atzvilgiu funkcijaf(ω1, ω2), kaip kintamojo ω2 funkcija, yra µ2 integruojama ir beveik visurmato µ2 atzvilgiu ji, kaip kintamojo ω1 funkcija, yra µ1 integruojama, be to,integralai ∫
Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2),∫
Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1)
yra integruojami atitinkamai matu‘µ1 bei µ2 atzvilgiu ir∫
Ω1×Ω2
f(ω1, ω2)µ1 × µ2
(d(ω1, ω2)
)=
=∫
Ω1
( ∫Ω2
f(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) =
=∫
Ω2
( ∫Ω1
f(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).
Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 411
I‘r o d y m a s. Funkcijoms f+ ir f− taikome 5 teorema
‘. ut
Sioje teoremoje funkcijos integruojamuma‘galime pakeisti jos kvaziinte-
gruojamumu. I‘rodymas toks pat.
Remiantis 6 ir 7 teoremomis, is dvilypiu‘
integralu‘
galima gauti karto-tinius.
Dabar pameginsime ka‘tik isdestyta
‘teorija
‘apibendrinti keliu
‘erdviu
‘su
matais sandaugai. Maciu‘
erdviu‘Ω1,A1, ..., Ωs,As sandauga vadiname
macia‘erdve
‘Ω1× ...×Ωs,A1⊗ ...⊗As, kurioje A1⊗ ...⊗As yra σ algebra,
generuota vadinamu‘ju
‘maciu
‘staciakampiu
‘A1 × ... × As, Ak ∈ Ak (k =
= 1, ..., s). Vartojamas zymejimas Ω1,A1 ⊗ ...⊗ Ωs,As.Nezymiai pakeite
‘anksciau isdestyta
‘teorija
‘, galime gauti tokia
‘teorema
‘.
8 teorema. Jei Ω1,A1, µ1, ..., Ωs,As, µs yra erdves su σ baigtiniaismatais, tai galima rasti vieninteli
‘σ baigtini
‘mata
‘µ, apibrezta
‘σ algebroje
A1 ⊗ ...⊗As ir turinti‘savybe
‘: µ(A1 × ...×As) = µ1(A1)...µs(As), kai A1 ∈
∈ A1, ..., As ∈ As. Jei visi matai µk (k = 1, ..., s) yra baigtiniai, tai ir matasµ yra baigtinis.
Sis matas vadinamas matu‘µ1, ..., µs sandauga ir zymimas µ1 × ... × µs.
Erdve Ω1× ...×Ωs,A1⊗ ...⊗As, µ1× ...×µs daznai zymima Ω1,A1, µ1⊗...⊗ Ωs,As, µs.
Galima apibendrinti ir Fubinio teorema‘.
9 teorema. Tarkime, kad Ω1,A1, µ1 ⊗ ...⊗ Ωs,As, µs yra erdviu‘su
σ baigtiniais matais sandauga, o f – integruojama toje sandaugoje funkcija.Tada beveik visiems (ω1, ..., ωs−1) mato µ1 × ... × µs−1 atzvilgiu funkcijaf(ω1, ..., ωs−1, ωs) (kaip ωs funkcija) yra µs integruojama; beveik visiems(ω1, ..., ωs−2) mato µ1 × ...× µs−2 atzvilgiu funkcija∫
Ωs
f(ω1, ..., ωs−1, ωs)µs(dωs)
(kaip ωs−1 funkcija) yra µs−1 integruojama ir t. t.; beveik visiems ω1 matoµ1 atzvilgiu funkcija∫
Ω2
µ2(dω2)∫
Ω3
µ3(dω3)...∫
Ωs
µs(dωs)f(ω1, ω2, ω3, ..., ωs)
yra µ1 integruojama ir∫Ω1×...×Ωs
f(ω1, ..., ωs)µ1 × ...× µs
(d(ω1, ..., ωs)
)=
=∫
Ω1
µ1(dω1)∫
Ω2
µ2(dω2)...∫
Ωs
µs(dωs)f(ω1, ω2, ..., ωs).
412 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Ir cia funkcijos integruojamuma‘galima pakeisti jos kvaziintegruojamumu.
Teisingas ir Tonelio teoremos analogas: vietoje integruojamos funkcijos gali-ma imti neneigiama
‘macia
‘funkcija
‘.
Galima apibendrinti ir kitas sio skyrelio teoremas. Tai paliekame skaity-tojui.
Tikimybiu‘
teorijoje nagrinejamos ir erdviu‘
su matu begaliniu‘
sistemu‘
sandaugos.Tarkime, turime seka
‘erdviu
‘su σ baigtiniais matais Ω1,A1, µ1, Ω2,A2,
µ2, ... Sudarykime sandauga‘Ω = Ω1×Ω2× ... Imkime visas galimas sandau-
gas A1×...×An×Ωn+1×Ωn+2×..., kuriose A1 ∈ A1, ..., An ∈ An, ..., o n – betkuris naturalusis skaicius, ir sudarykime baigtinio skaiciaus tokiu
‘sandaugu
‘disjunkciu
‘sa
‘jungu
‘sistema
‘. Ji bus aibes Ω poaibiu
‘algebra. Prapleskime ja
‘iki jos generuotos σ algebros, kuria
‘vel zymesime A = A1⊗A2⊗ ... Mata
‘vel
is pradziu‘i‘vedame aibems A1 × ...×An × Ωn+1 × Ωn+2 × ...:
µ(A1 × ...×An × Ωn+1 × Ωn+2 × ...) = µ1(A1)...µn(An),
veliau baigtinio ju‘skaiciaus disjunkcioms sa
‘jungoms
µ
( r⋃j=1
(Aj
1 × ...×Ajnj× Ωnj+1 × Ωnj+2 × ...
))=
r∑j=1
µ1(Aj1)...µnj
(Ajnj
).
Po to, remdamiesi teorema apie mato prate‘sima
‘, si
‘mata
‘galime praplesti
visoms σ algebros A aibems. Ta‘
mata‘
galima zymeti µ = µ1 × µ2 × ..., ogauta
‘ja
‘erdve
‘su matu –
Ω,A, µ = Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2 ⊗ ...
Reikia ir bendresnio atvejo, kai sistema yra begaline ir bet kokios galios.Tokios erdves pravercia atsitiktiniu
‘procesu
‘teorijoje.
Bet kurios netusciu‘
aibiu‘
sistemos Ωλ, λ ∈ Λ sandauga vadinamesistemu
‘ω = ωλ, λ ∈ Λ
visuma‘, kurioje kiekviena
‘λ ∈ Λ atitinka elementas ωλ is Ωλ. Sia
‘sandauga
‘paprastai zymi
(5)/∖
λ∈Λ
Ωλ.
(5) sandaugos poaibis
A = B ×( /∖
λ∈Sc
Ωλ
),
kai
Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 413
B ⊂/∖
λ∈S
Ωλ,
S ⊂ Λ, yra vadinamas cilindru su pagrindu B, kai S yra baigtinis Λ poaibis.Jei cilindras yra pavidalo
(6)( /∖
λ∈S
Aλ
)×
( /∖λ∈Sc
Ωλ
)(cia S – baigtinis Λ poaibis, o Aλ ⊂ Ωλ), tai jis vadinamas staciakampiu.Jei turime macias erdves Ωλ,Aλ (λ ∈ Λ) ir Aλ ∈ Aλ (λ ∈ S), tai (6)staciakampi
‘vadiname maciu. Nesunku i
‘rodyti, kad visos galimos baigtines
maciu‘staciakampiu
‘disjunkcios sa
‘jungos sudaro aibiu
‘algebra
‘. Sios algebros
generuota σ algebra yra zymima ⊗λ∈Λ
Aλ
ir vadinama σ algebru‘Aλ (λ ∈ Λ) sandauga. Mati erdve
(7) /∖
λ∈Λ
Ωλ,⊗λ∈Λ
Aλ
vadinama maciu
‘erdviu
‘Ωλ,Aλ sandauga ir daznai zymima⊗
λ∈Λ
Ωλ,Aλ.
Tarkime, kad (7) maciu‘erdviu
‘sandaugoje yra duotas tikimybinis matas
P . Imkime bet kuri‘baigtini
‘aibes Λ poaibi
‘S. Macioje erdveje
(8) /∖
λ∈S
Ωλ,⊗λ∈S
Aλ
apibresime tikimybini
‘mata
‘PS , kiekvienai aibei
A ∈/∖
λ∈S
Aλ
priskirdami cilindro su pagrindu A (7) erdveje mata‘
PS(A) = PA×
/∖λ∈Sc
Ωλ
.
Mata‘PS vadiname mato P projekcija (8) macioje erdveje. Nesunkiai i
‘rodoma
(tai gali padaryti skaitytojas), kad tikimybinio mato P projekciju‘
sistemaPS, kai S perbega visus galimus baigtinius aibes Λ poaibius, tenkina
414 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
vadinama‘ja
‘suderinimo sa
‘lyga
‘: kai S1 ir S2, S1 ⊂ S2, yra bet kurie baig-
tiniai aibes λ poaibiai, erdveje /∖λ∈S2
Ωλ,⊗λ∈S2
Aλ
,
projekcija (PS2)S1 macioje erdveje /∖λ∈S1
Ωλ,⊗λ∈S2
Aλ
,
sutampa su matu PS1 .Kyla klausimas: ar teisingas atvirkstinis teiginys. Sakykime, duota maciu
‘erdviu
‘sistema Ωλ,Aλ (λ ∈ Λ) ir kiekvienam baigtiniam aibes Λ poaibiui S
nurodytas tikimybinis matas (8) macioje erdveje. Tarkime, kad matu‘sistema
PS tenkina suderinimo sa‘lyga
‘. Ar egzistuoja (7) macioje erdveje tikimy-
binis matas P , kurio projekcija kiekvienoje (7) pavidalo erdveje sutampa sumatu PS? Bendruoju atveju toks matas, deja, neegzistuoja. Reikia i
‘vesti kai
kuriuos apribojimus. Toks matas egzistuoja, kai aibes Ωλ yra visu‘tieses tasku
‘aibes R, o Aλ – tieses tasku
‘visu
‘Borelio aibiu
‘σ algebros B (Kolmogorovo
teorema); jos i‘rodyma
‘zr., pvz., [27].
11. LEBEGO–STYLTJESO IRRYMANO–STYLTJESO INTEGRALAI
8 skyrelyje apibrezeme Lebego–Styltjeso integrala‘. Jei F yra apibrezta realiu
‘ju
‘skaiciu
‘tieseje nemazejanti tolydi is kaires funkcija, tai ji generuoja Lebego–
Styltjeso mata‘µF . Integralas∫ ∞
−∞f(x)µF (dx),
kaip sakeme, yra vadinamas Lebego-Styltjeso integralu ir dar kitaip zymimas∫ ∞
−∞f(x)dF (x).
Si‘integrala
‘(plg. 9 skyrelio gale i
‘vesta
‘ji‘Radono integrala
‘) galime dar api-
bendrinti. Jei F yra dvieju‘nemazejanciu
‘ir tolydziu
‘is kaires funkciju
‘skirtu-
mas F1−F2, o µF1 ir µF2 – ju‘generuoti matai, tai µF1 −µF2 yra apibendrin-
tas matas (arba kruvis). Ji‘vel zymesime µF ir vadinsime kruviu, generuotu
funkcijos F . Tada integralu‘skirtuma
‘
Lebego–Styltjeso ir Rymano–Styltjeso integralai 415∫ ∞
−∞f(x)µF1(dx)−
∫ ∞
−∞f(x)µF2(dx) =
∫ ∞
−∞f(x)dF1(x)−
∫ ∞
−∞f(x)dF2(x),
kai kiekvienas is ju‘ir skirtumas turi prasme
‘, vel vadiname Lebego–Styltjeso
integralu ir vel zymime ∫ ∞
−∞f(x)dF (x).
Galime parodyti, kad jo reiksme nepriklauso nuo F israiskos dvieju‘nemaze-
janciu‘funkciju
‘skirtumu.
Matematikoje daznai pravercia ir kitokie, vadinamieji Rymano–Styltjesointegralai. Tarkime, kad F yra apibrezta baigtiniame intervale [a, b), isreis-kiama dvieju
‘apreztu
‘nemazejanciu
‘tolydziu
‘is kaires funkciju
‘skirtumu, o f
– bet kuri realioji funkcija, nusakyta tame paciame intervale. Suskaidykimeintervala
‘[a, b) taskais
a = x0 < x1 < ... < xn = b
i‘
intervalus [xk−1, xk). Kiekviename intervale [xk−1, xk) parinkime po betkuri
‘taska
‘ξk. Sudarykime integralines sumas
s =n∑
k=1
f(ξk)(F (xk)− F (xk−1)
).
Cia laikome F (xn) = F (b − 0). Ji priklausys nuo suskaidymo ir tasku‘
ξk parinkimo. Didinkime suskaidymo tasku‘
skaiciu‘
taip, kad suskaidymointervalu
‘ilgiai tolygiai konverguotu
‘i‘nuli
‘:
max1≤k≤n
(xk − xk−1) → 0.
Jei egzistuoja riba lim s ir ji nepriklauso nei nuo skaidymo tasku‘, nei nuo tasku
‘ξk parinkimo budu
‘, tai sakome, kad funkcija f yra integruojama Rymano–
Styltjeso prasme funkcijos F atzvilgiu, o pati riba vadinama funkcijos fRymano–Styltjeso integralu funkcijos F atzvilgiu ir zymima taip pat kaipir Lebego–Styltjeso integralas:∫
[a,b)
f(x)dF (x).
Kai F (x) ≡ x, turime i‘prasta
‘Rymano integrala
‘∫ b
a
f(x)dx.
Apibrezdami Rymano–Styltjeso integrala‘, laikeme F nemazejancia to-
lydzia is kaires. Taciau apibrezimas tinka ir tada, kai ji yra dvieju‘
bet
416 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
kokiu‘
nemazejanciu‘
funkciju‘
skirtumas. Tokias funkcijas vadina baigtinesvariacijos funkcijomis. Analogiskai apibreziamas integralas ir intervaluose(a, b], [a, b], (a, b). Apskritai integralai minetuose intervaluose ne visada su-tampa. Pavyzdziui, jei a yra funkcijos F trukio taskas, tai integralas intervale[a, b] yra lygus integralo intervale (a, b] ir nario f(a)
(F (a+0)−F (a)
)sumai.
Rymano–Styltjeso integralu begaliniame intervale – visoje realiu‘ju
‘skaiciu
‘tieseje ar pustieseje – laikoma integralo baigtiniame intervale riba, kai vienasar abu to intervalo galai tolsta begalyben. Antai, integralas tieseje R == (−∞,∞) nusakomas lygybe∫ ∞
−∞f(x)dF (x) = lim
a→−∞b→∞
∫[a,b)
f(x)dF (x),
jei ta riba egzistuoja, kai a tolsta i‘−∞, o b – i
‘∞ nepriklausomai vienas
nuo kito.Kaip mateme, Lebego–Styltjeso integralas yra apibreziamas bet kokiose
maciose aibese, tuo tarpu Rymano–Styltjeso integralas – tik intervaluose,baigtiniuose ir begaliniuose.
Lebego ir Rymano integralu‘apibrezimu
‘principai yra is esmes skirtingi.
Apibrezdami Rymano integrala‘, mes grupuojame tieses taskus, kurie yra arti
vienas kito. Apibrezdami Lebego integrala‘, tuos taskus grupuojame pagal
funkcijos reiksmiu‘artuma
‘. Todel Rymano integralas egzistuoja tada, kai inte-
gruojamoji funkcija nera ”labai truki”, o Lebego integralas – zymiai platesneifunkciju
‘klasei.
Toliau rasime butinas ir pakankamas integruojamumo Rymano prasmesa
‘lygas bei rysi
‘tarp Rymano ir Lebego integralu
‘.
Mums pravers keletas pazymejimu‘.
Tarkime, kad f yra realioji funkcija intervale [a, b). Imkime to intervaloskaidiniu
‘seka
‘
a = xn0 < xn1 < ... < xnkn= b (n = 1, 2, ...),
turincia‘
savybes: (n + 1)-asis skaidinys yra gaunamas is n-ojo skaidinio,pridejus nauju
‘skaidymo tasku
‘, ir
λn = max1≤k≤kn
(xnk − xn,k−1) → 0,
kai n→∞. Pazymekime
Ink = [xn,k−1, xnk],
mnk = infx∈Ink
f(x),
Mnk = supx∈Ink
f(x),
(k = 1, ..., kn;n = 1, 2, ...)
Lebego–Styltjeso ir Rymano–Styltjeso integralai 417
ir i‘veskime funkcijas
An(x) = mnk, kai x ∈ Ink,
Vn(x) = Mnk, kai x ∈ Ink.
Visiems x ∈ [a, b) turime
A1(x) ≤ A2(x) ≤ ... ≤ f(x) ≤ ... ≤ V2(x) ≤ V1(x).
PazymekimeA(x) = lim
n→∞An(x), V (x) = lim
n→∞Vn(x).
Aisku, kadA(x) ≤ f(x) ≤ V (x).
I‘veskime
sn =kn∑
k=1
mnk∆nk, Sn =kn∑
k=1
Mnk∆nk;
cia ∆nk = xnk−xn,k−1. Pastarosios sumos yra vadinamos apatine ir virsutineDarbu1 sumomis.
1 teorema. Jei funkcija f yra aprezta ir integruojama Rymano prasmeintervale [a, b), tai V (x) beveik visur Lebego mato prasme lygi A(x) ir
(R)∫ b
a
f(x)dx = (L)∫ b
a
f(x)dx.
I‘
r o d y m a s. Is klasikines matematines analizes zinome: jei f yraintegruojama Rymano prasme, tai
sn (R)∫ b
a
f(x)dx, sn (R)∫ b
a
f(x)dx.
Apatines ir virsutines Darbu sumas galime isreiksti Lebego integralais
sn =kn∑
k=1
mnk∆nk =kn∑
k=1
∫Ink
mnkdx =
=kn∑
k=1
∫Ink
An(x)dx =∫ b
a
An(x)dx,
Sn =∫ b
a
Vn(x)dx.
1 Gaston Darboux (1842–1917) – prancuzu‘matematikas.
418 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys
Kadangi An ir Vn yra tolygiai apreztos (nes funkcija f yra aprezta), tai isintegralo savybiu
‘turime
sn =∫ b
a
An(x)dx∫ b
a
A(x)dx,
Sn =∫ b
a
Vn(x)dx∫ b
a
V (x)dx.
Vadinasi, ∫ b
a
A(x)dx =∫ b
a
V (x)dx = (R)∫ b
a
f(x)dx.
Is cia ∫ b
a
(V (x)−A(x)
)dx = 0.
Kadangi pointegraline funkcija yra neneigiama, tai ji beveik visur Lebegomato prasme turi buti lygi nuliui.
Is nelygybiu‘A(x) ≤ f(x) ≤ V (x) isplaukia, kad
x : f(x) 6= A(x) ⊂ x : V (x) 6= A(x).
Todel beveik visur
(1) f(x) = A(x).
A(x) yra Borelio funkcija, kaip Borelio funkciju‘sekos An(x) riba. Paro-
dysime, kad f yra mati Lebego prasme. Kiekvienam z ∈ R aibe
x : f(x) < z =(x : A(x) < z ∩ x : A(x) = V (x)
)∪
∪(x : f(x) < z ∩ x : A(x) 6= V (x)
)yra mati Lebego prasme, nes pirmuosiuose skliaustuose esanti aibe yra Borelioaibe, o antruosiuose skliaustuose esanti aibe yra nuline.
Is (1) pagal 9.12 teorema‘∫ b
a
f(x)dx =∫ b
a
A(x)dx = (R)∫ b
a
f(x)dx. ut
Lema. Tarkime, kad x0 nesutampa ne su vienu is tasku‘xn0, ..., xnkn
(n == 1, 2, ...). Funkcija f yra tolydi taske x0 tada ir tik tada, kai V (x0) = A(x0)(ir, zinoma, = f(x0)).
I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad f yra tolydi taske x0. Imkime bet kuri
‘ε > 0. Egzistuoja toks δ > 0, kad |f(y) − f(x0)| < ε
2 , kai |y − x0| < δ.Egzistuoja toks n0, kad λn < δ, kai n ≥ n0. Jei x0 ∈ Ink ir n ≥ n0, tai
Lebego–Styltjeso ir Rymano–Styltjeso integralai 419
Vn(x0)− f(x0) = Mnk − f(x0) = supy∈Ink
(f(y)− f(x0)
)≤ ε
2
ir analogiskaif(x0)−An(x0) ≤
ε
2.
Todel, sudeje‘abi nelygybes, gauname
Vn(x0)−An(x0) ≤ ε.
Is ciaV (x0)−A(x0) = lim
n→∞
(Vn(x0)−An(x0)
)= 0.
2. Tarkime, kad x0 nesutampa ne su vienu is tasku‘xn0, ..., xnkn (n =
= 1, 2, ...) ir V (x0) = A(x0). Bet kuriam ε > 0 galime rasti toki‘n0, kad
Vn(x0)−A(x0) < ε,
kai n ≥ n0. Jei x0 ir y0 ∈ (xn,k−1, xnk), tai
f(y)− f(x0) ≤Mnk − f(x0) = Vn(x0)− f(x0) ≤ Vn(x0)−An(x0) < ε
ir
f(x0)− f(y) ≤ f(x0)−mnk = f(x0)−An(x0) ≤ Vn(x0)−An(x0) < ε,
kai n ≥ n0. Taigi|f(y)− f(x0)| < ε,
kai n ≥ n0 ir x0, y ∈ (xn,k−1, xnk). Vadinasi, f yra tolydi taske x0. ut2 teorema. Jei funkcija f yra aprezta intervale [a, b), tai ji integruojama
Rymano prasme tame intervale tada ir tik tada, kai jos trukio tasku‘
aibesLebego matas yra lygus nuliui.
I‘r o d y m a s. 1. Jei f yra integruojama intervale [a, b) Rymano prasme,
tai V (x) = A(x) beveik visur Lebego mato prasme. Is lemos isplaukia, kadf gali tureti trukio taskus tik skaidiniu
‘taskuose xnk (n = 1, 2, ...; k =
= 0, 1, ..., kn) ir tuose taskuose x0, kuriuose V (x0) = A(x0). Vadinasi, ju‘
aibes matas yra lygus nuliui.2. Tarkime, kad apreztos funkcijos f trukio tasku
‘aibes T Lebego matas
yra 0. Tada aibes
x : V (x) 6= A(x) ∪ xnk; n = 1, 2, ...; k = 0, 1, ..., kn
Lebego matas taip pat yra lygus nuliui, t. y. beveik visur
A(x) = f(x) = V (x).
Todel
420 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys∫ b
a
A(x)dx =∫ b
a
f(x)dx =∫ b
a
V (x)dx.
Kadangi
sn ∫ b
a
A(x)dx =∫ b
a
f(x)dx
ir
Sn ∫ b
a
V (x)dx =∫ b
a
f(x)dx,
gaunamelim
n→∞sn = lim
n→∞Sn.
Tai reiskia, kad egzistuoja funkcijos f integralas Rymano prasme intervale[a, b) ir
(R)∫ b
a
f(x)dx =∫ b
a
f(x)dx. ut
3 teorema. Jei funkcija f yra tolydi, o F – baigtines variacijos funkcijaintervale [a, b], tai Rymano–Styltjeso integralas
(2) (RS)∫
[a,b)
f(x)dF (x)
egzistuoja ir sutampa su Lebego–Styltjeso integralu
(3) (LS)∫
[a,b)
f(x)dF (x).
I‘r o d y m a s. Imkime intervalo [a, b) skaidinius
a = xn0 < xn1 < ... < xnkn = b
su sa‘lyga
max1≤k≤kn
|xnk − xn,k−1| → 0,
kai n → ∞. Kiekviename intervale [xn,k−1, xnk) parinkime po taska‘ξnk.
Pazymekime fn(x) = f(ξnk), kai xn,k−1 ≤ x ≤ xnk. Kadangi funkcija f yratolydi intervale [a, b], tai ji ir tolygiai tolydi. Todel
supa≤x<b
|fn(x)− f(x)| → 0,
kai n→∞. Vadinasi, visiems pakankamai dideliems n
(4) |fn(x)| ≤ f(x) + C;
Lebego–Styltjeso ir Rymano–Styltjeso integralai 421
cia C yra konstanta. Tada suma
kn∑k=1
f(ξnk)(F (xnk)− F (xn,k−1)
)yra lygi Lebego–Styltjeso integralui (fn(x) yra paprastoji funkcija)
(LS)∫
[a,b)
fn(x)dF (x).
Kadangi funkcija f(x), kaip paprastu‘ju
‘funkciju
‘sekos riba, yra mati, be to,
pagal (4) aprezta, tai pagal 9.16 (Lebego) teorema‘(ji tinka ir kruviams)
limn→∞
(LS)∫
[a,b)
fn(x)dF (x) = (LS)∫
[a,b)
f(x)dF (x).
Gavome, kad egzistuoja integraliniu‘sumu
‘riba, t. y. (2) Rymano–Styltjeso
integralas ir jis lygus (3) Lebego–Styltjeso integralui. ut
422 Literatura
LITERATURA
1. Barra .-R. (Barra J.-R.) Osnovnye ponti matematiqesko$istatistiki. – M.: Mir, 1974. – 280 s.
2. Bol~xev L. N., Smirnov N. V. Tablicy matematiqesko$i sta-tistiki. – M.: Nauka, 1965. – 464 s.
3. Borovkov A. A. Kurs teorii verotnoste$i. – M.: Nauka, 1972.– 288 s.Tas pat. – 2-e izd. – M.: Nauka, 1976. – 352 s.
4. Borovkov A. F. Teori verotnoste$i. – M.: Nauka, 1976. –352 s.Tas pat. – 2 izd., pererab. – M.: Nauka, 1986. – 432 s.
5. Chung Kai Lai. A course in probability theory. – New York and London:Academic Press, 1974. – 366 p.
6. Kramer G. (Cramer H.) Matematiqeskie metody statistiki. –M.: IL, 1948. – 632 s.Tas pat. – 2-e izd., stereotip. – M.: Mir, 1975. – 648 s.
7. Dub D. L. (Doob J. L.) Verotnostnye processy. – M.: IL,1956. – 608 s.
8. Feller W. An introduction to probability theory and its applications. –New York, London, Sidney: John Wiley & Sons, 1965, vol. 1. – 461 p.Tas pat. – New York, London, Sidney: John Wiley & Sons, 1966, vol. 2.– 626 p.Feller V. (Feller W.) Vvedenie v teori verotnoste$i i eepriloeni. – M.: Mir, 1964, T. 1. – 500 s.Tas pat. – M.: Mir, 1967, T. 2. – 752 s.
9. Fisz M. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. –Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1958. – 528 S.Tas pat. – Probability theory and mathematical statistics, third ed. –New York, London: John Wiley & Sons, 1963. – 677 p.Fisas M. Tikimybiu
‘teorija ir matematine statistika. – V.: Mintis, 1968.
– 552 p.10. Gnedenko B. V. Kurs teorii verotnoste$i. – M.: Gos. izdat.
tehn.-teoret. lit., 1950. – 388 s.Tas pat. – 2-e izd., pererab. – M.: Gos. izdat. fiz.-mat. lit., 1954.– 412 s.Tas pat. – 3-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1961. – 406 s.Tas pat. – 4-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1965. – 400 s.Tas pat. – 5-e izd., stereotip. – M.: Nauka, 1969. – 400 s.Tas pat. – 6-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1988. – 448 s.
11. Gnedenko B. V., Kolmogorov A. N. Predel~nye raspredelenidl summ nezavisimyh sluqa$inyh veliqin. – M.-L.: Gos. izdat.tehn.-teoret. lit., 1949. – 264 s.
Literatura 423
12. Halmos P. R. Measure theory. – Toronto, New York, London: D. vanNostrand Comp., 1950. – 304 p.Halmox P. R. (Halmos P. R.) Teori mery. – M.: IL, 1953. –292 s.
13. Ibragimov I. A., Linnik . V. Nezavisimye i stacionarnosvzannye veliqiny. – M.: Nauka, 1965. – 524 s.
14. Emel~nov G. V., Skitoviq V. P. Zadaqnik po teorii verot-noste$i i matematiqesko$i statistiki. – L.: Izd-vo Leningrad-skogo un-ta, 1967. – 332 s.
15. Kolmogorov A. N. Osnovnye ponti teorii verotnoste$i. –M.-L.: Glav. red. obwetehn. lit. i monografi$i, 1936.Tas pat. – 2-e izd. – M.: Nauka, 1974. – 120 s.
16. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. lementy teorii funkci$i ifunkcional~nogo analiza. – 4-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1976.– 544 s.
17. Kruopis J. Matematine statistika. – V.: Mokslas, 1977. – 364 p.18. Kubilius J. Realaus kintamojo funkciju
‘teorija. – V.: Mintis, 1970. –
183 p.19. Lamperti D. Verotnost~. – M.: Nauka, 1973. – 184 s.20. Leman . L. (Lehmann E. L.) Proverka statistiqeskih gipotez.
– M.: Nauka, 1964. – 500 s.21. Linnik . V., Ostrovski$i I. V. Razloeni sluqa$inyh ve-
liqin i vektorov. – M.: Nauka, 1972. – 480 s.22. Loeve M. Probability theory. – Toronto, New York, London: D. van
Nostrand Comp., 1955. – 515 p.Tas pat. – 4th ed. – New York, Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1977,vol. 1. – 425 p.Tas pat. – 4th ed. – New York, Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1978,vol. 2. – 413 p.Lov M. (Loeve M.) Teori verotnoste$i. – M.: IL, 1962. –720 s.
23. Mackevicius V. Mato teorijos pagrindai. – V.: Vilniaus univ., 1976. –96 p.
24. Mexalkin L. D. Sbornik zadaq po teorii verotnoste$i. – M.:Izd-vo Moskovskogo un-ta, 1963. – 160 s.
25. Mosteller F., Rurke R., Tomas D. (Mosteller F., Rourke R. E.K., Thomas G. B.) Verotnost~. – M.: Mir, 1969. – 432 s.
26. Ne$iman . (Neyman J.) Vvodny$i kurs teorii verotnoste$i imatematiqesko$i statistiki. – M.: Nauka, 1968. – 448 s.
27. Neve . (Neveu J.) Matematiqeskie osnovy teorii verotnoste$i.– M.: Mir, 1969. – 312 s.
28. Petrov V. V. Summy nezavisimyh sluqa$inyh veliqin. M.: Na-uka, 1972. – 416 s.
424 Literatura
29. Prohorov . V., Rozanov . A. Teori verotnoste$i. Os-novnye ponti. Predel~nye teoremy. Sluqa$inye processy. –M.: Nauka, 1967. – 496 s.Tas pat. – 2-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1973. – 496 s.
30. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. – Berlin: VEB Deutscher Verlagder Wissenschaften, 1962. – 550 S.
31. Xmetterer L. (Schmetterer L.) Vvedenie v matematiqesku sta-tistiku. – M.: Nauka, 1976. – 520 s.
32. Sevast~nov B. A. Kurs teorii verotnoste$i i matematiqesko$istatistiki. – M.: Nauka, 1982. – 256 s.
33. Xirev A. N. Verotnost~. – M.: Nauka, 1980. – 576 s.Tas pat. – 2-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1989. – 640 s.
34. Xirev A. N. Verotnost~, statistika, sluqa$inye processy. –M.: Izd-vo Moskovskogo un-ta, 1973. – Q. 1. – 204 s.Tas pat. – 1974. – Q. 2. – 224 s.
35. Tucker H. G. A graduate course in probability. – New York and London:Academic Press, 1967. – 274 p.
36. Van der Varden B. L. (Van der Waerden B. L.) Matematiqeskastatistika. – M.: IL, 1960. – 436 s.
37. Ventcel~ A. D. Kurs teorii sluqa$inyh processov. – M.: Nauka,1975. – 320 s.
38. Uilks S. (Wilks S. S.) Matematiqeska statistika. – M.: Nauka,1967. – 632 s.
39. Zaks X. (Zacks S.) Teori statistiqeskih vyvodov. – M.: Mir,1975. – 776 s.
40. Zubkov A. N., Sevast~nov B. A., Qistkov V. P. Sbornikzadaq po teorii verotnoste$i. 2-e izd., pererab. – M.: Nauka,1980. – 224 s.