j. kubilius - tikimybių teorija

Vilniaus universitetas

J. Kubilius

TIKIMYBIU‘

TEORIJA IR MATEMATINE STATISTIKA

Antrasis leidimas

Vilniaus universiteto leidykla1996

c© Jonas Kubilius, 1996

ALMAE MATRI VILNENSI,CLARAE VETERRIMAE, MAGNAEMAGISTRAE SAPIENTIAEhoc opusculum dedicavi

4

TURINYS

Pratarme pirmajam leidimui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Pratarme antrajam leidimui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Pratarme anglu

‘kalba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I skyrius. TIKIMYBES SA‘VOKA

1. Atsitiktiniai i‘vykiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Tikimybe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Elementarieji i

‘vykiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Veiksmai su i‘vykiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

5. Klasikinis tikimybes apibrezimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226. Kelios kombinatorikos formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257. Keletas pavyzdziu

‘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

8. ”Geometrines” tikimybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319. Tikimybiu

‘teorijos aksiomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

10. Tikimybiu‘savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11. Sa‘lygines tikimybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12. Nepriklausomi i‘vykiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

13. Nepriklausomi eksperimentai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114. Bernulio eksperimentai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5315. Tikimybes pn(k) asimptotika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5616. Apibendrintoji Bernulio eksperimentu

‘schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

II skyrius. ATSITIKTINIAI DYDZIAI

1. Atsitiktinio dydzio sa‘voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2. Atsitiktiniu‘dydziu

‘pasiskirstymo funkcijos ir ju

‘savybes . . . . . . . . . . . . . 74

3. Daugiamaciai atsitiktiniai dydziai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804. Daugiamaciu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘pasiskirstymo funkcijos . . . . . . . . . . . . . 81

5. Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6. Nepriklausomi atsitiktiniai dydziai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987. Atsitiktiniu

‘dydziu

‘vidurkiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


‘vidurkiu

‘savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9. Momentai ir kitos skaitines charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110. Sa

‘lygines tikimybes ir sa

‘lyginiai vidurkiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5

III skyrius. ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

SEKOS.ATSITIKTINIAI PROCESAI

1. Borelio –Kantelio lema. Nulio arba vieneto desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312. Atsitiktiniu

‘dydziu

‘seku

‘konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3. Didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4. Triju‘eiluciu

‘teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

5. Stiprusis didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6. Kartotinio logaritmo desnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587. Silpnasis konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1688. Charakteristines funkcijos ir paprasciausios ju

‘savybes . . . . . . . . . . . . . . 176

9. Apvertimo ir vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710. Tolydumo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19911. Centrine ribine teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712. Lokalioji ribine teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21713. Atsitiktiniu

‘vektoriu

‘charakteristines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224

14. Atsitiktinio proceso sa‘voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

15. Markovo grandines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23016. Markovo grandiniu

‘busenu

‘klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

17. Markovo grandiniu‘ergodines teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

18. Tolydaus laiko Markovo grandines. Markovoprocesai. Martingalai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

19. Brauno ir Puasono procesai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25320. Dauginimosi ir nykimo procesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

IV skyrius. MATEMATINES STATISTIKOSPRADMENYS

1. Matematines statistikos uzdaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2632. Atsitiktinio dydzio empirines charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2653. Stebejimo duomenu

‘grupavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4. Pakankamosios statistikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705. Suderintieji ir nepaslinktieji i

‘verciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6. I‘verciu

‘sudarymo metodai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

7. Efektyvieji i‘verciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8. Pasikliautinieji intervalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919. Statistiniu

‘hipoteziu

‘tikrinimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299

10. Fundamentalioji Neimano –Pirsono lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30111. Hipoteziu

‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas . . . . . . . . . . . . . . . . 304

12. χ2 kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513. Kriterijai, pagri

‘sti empirines ir teorines pasiskirstymo

funkciju‘skirtumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

6

14. Smirnovo kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33615. Zenklu

‘kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

16. Ranginiai kriterijai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344

V skyrius. PRIEDAS. MATO IR INTEGRALOTEORIJOS PRADMENYS

1. Aibiu‘klases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

2. Aibiu‘matas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

3. Mato savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3564. Mato prate

‘simas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

5. Pusalgebriai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3686. Lebego –Styltjeso matas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3717. Maciosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778. Integralo sa

‘voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

9. Integralo savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39110. Matu

‘sandauga. Kartotiniai integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

11. Lebego –Styltjeso ir Rymano –Styltjesointegralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

Pratarmes 7

PRATARME PIRMAJAM LEIDIMUI

Siandienine tikimybiu‘teorija yra gana abstraktus mokslas. Ji pagri

‘sta mato

ir integralo teorija, taip pat daugeliu faktu‘

is kitu‘

matematikos sriciu‘. Ti-

kimybiu‘teorijos kursuose nematematikams paprastai supazindinama tik su

paprasciausiomis schemomis, kurioms suvokti pakanka elementariosios ma-tematikos ir siek tiek diferencialinio bei integralinio skaiciavimo ziniu

‘. Ilga

‘laika

‘sis kursas taip buvo destomas ir matematikams. Kita vertus, perdetas

kurso abstraktinimas pradedantiems studijuoti sia‘svarbia

‘disciplina

‘galetu

‘uztusuoti svarbiausias jos idejas. Todel autorius, nors ir ryzdamasis isdestytigana abstrakcia

‘teorija

‘, stengesi pagrindines idejas iliustruoti paprastais pa-

vyzdziais, motyvuoti apibendrinimu‘butinuma

‘. Negailejo vietos aiskinimams,

ypac knygos pradzioje. Kadangi net studentai matematikai neturi pakanka-mai ziniu

‘is mato ir integralo teorijos, teko knygoje pateikti ir jas su pilnais

i‘rodymais. Tik kai kurie faktai pateikiami be i

‘rodymu

‘, nurodant atitinkama

‘literatura

‘. Tekstas iliustruojamas pavyzdziais ir uzdaviniais.

Knyga skirta studentams matematikams, is dalies ja gales pasinaudoti irkitu

‘specialybiu

‘studentai, taip pat asmenys, norintys i

‘sigyti gilesniu

‘ziniu

‘is

tikimybiu‘teorijos ir matematines statistikos.

Knyga suskirstyta i‘skyrius ir skyrelius. Kiekviename skyrelyje teoremos,

lemos ir pavyzdziai numeruojami is eiles. Cituojant kito skyriaus teorema‘,

vartojami trys numeriai: skyriaus numeris zymimas romenisku skaitmeniu,skyrelio ir teoremos – arabiskais skaitmenimis. Pavyzdziui, III.7.3 teoremayra treciojo skyriaus 7 skyrelio 3 teorema. Cituojant to paties skyriaus teo-rema

‘, skyriaus numeris praleidziamas, o cituojant to paties skyrelio teorema

‘– praleidziamas ir skyrelio numeris. Taip pat cituojamos ir lemos bei pavyz-dziai. Teoremu

‘ir lemu

‘i‘rodymu

‘pabaiga zymima zenklu ut.

I‘pateikta

‘knygoje literaturos sa

‘rasa

‘i‘traukti autoriaus panaudoti veikalai

ir knygos, rekomenduotinos skaitytojui, norinciam placiau ir giliau studijuotitikimybiu

‘teorija

‘ir matematine

‘statistika

‘. Tekste lauztiniuose skliaustuose

nurodomas veikalo numeris is to sa‘raso.

Knygos gale i‘deta rodykle pades skaitytojui rasti i

‘vairiu

‘terminu

‘apibre-

zimus.

8 Pratarmes

Knygos apimtis neleido pateikti uzdaviniu‘pratyboms bei lenteliu

‘. Reko-

menduojame skaitytojams uzdavinynus [14, 24] ir knygose [2, 17] pateiktaslenteles.

Autorius dekoja knygos recenzentams prof. B. Grigelioniui ir Kauno po-litechnikos instituto matematikams, taip pat Vilniaus universiteto Taikomo-sios matematikos bei Tikimybiu

‘teorijos ir skaiciu

‘teorijos katedru

‘bendradar-

biams uz vertingas pastabas. Autorius dekingas taip pat kolegems K. Lyn-dienei ir V. Verikaitei, kurios i

‘dejo daug darbo, ruosiant rankrasti

‘spaudai,

ir visiems vienaip ar kitaip prisidejusiems prie knygos isleidimo.Autorius bus dekingas uz skaitytoju

‘kritines pastabas. Jas prasome siu

‘sti

siuo adresu: leidykla ”Mokslas”, Zvaigzdziu‘23, 2050 Vilnius.

Autorius

PRATARME ANTRAJAM LEIDIMUI

Pirmasis sio vadovelio leidimas isejo 1980 metais. Knyga buvo palankiaisutikta. Ja galejo pasinaudoti ne tik matematikos ir kitu

‘specialybiu

‘stu-

dentai, bet ir i‘vairus mokslo bei praktikos darbuotojai, kuriems prireike

tikimybiu‘teorijos ar matematines statistikos teoriniu

‘ziniu

‘. Knyga

‘siandien

galima gauti tik bibliotekose. Ir ten didele dalis egzemplioriu‘jau susidevejusi.

Todel autorius ryzosi paruosti antra‘ji‘leidima

‘.

Siame leidime istaisyti pastebeti netikslumai, kai kurie dalykai isdestytisiek tiek kitaip. Mato bei integralo teorijos zinios, kurios buvo pirmajameleidime isbarstytos visoje knygoje, dabar sukeltos i

‘viena

‘– penkta

‘ji‘skyriu

‘.

Vertingu‘pastabu

‘pateike doc. R. Lapinskas ir kiti kolegos. Visiems jiems

dekoju. Ypac esu dekingas bendradarbems V. Verikaitei ir R. Stancikienei, pa-dejusioms paruosti knygos rankrasti

‘, pirmojo ir antrojo leidimo redaktorems

E. Leikauskienei ir Z. Manstavicienei, rupestingai surinkusiai teksta‘kompiu-

teriu V. Rackauskienei, korektorei V. Vitkauskienei ir Vilniaus universitetoleidyklai, radusiai galimybiu

‘isleisti knyga

‘.

J. Kubilius

Pratarmes 9

PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS.J. Kubilius. – Vilnius.

This book provides an introduction to the field. It contains the mainconcepts of probability, properties of probability distributions and their nu-merical characteristics, laws of large numbers for sums of random variables,the method of characteristic functions and the central limit theorem, Markowchains and simple stochastic processes, properties of point and interval esti-mations, testing statistical hypotheses.

Although great care has been taken to make the book mathematicallyrigorous, the intuitive approach as well as the applicability of the conceptsand theorems are emphasized. The book presents an outline of many of thepossible applications of the theory, accompanied by descriptive concrete ex-amples.

The book is intended primarily to students of mathematics, it would beof interest to all those working in applied science.

No previous knovledge of probability is assumed for this book. In order tohelp the reader, some concepts of measure and integration theory are given.

I skyrius. TIKIMYBES SA‘VOKA

1. ATSITIKTINIAI I‘VYKIAI

Mus supanciame pasaulyje kiekvienas reiskinys yra susije‘s su daugybe kitu

‘reiskiniu

‘. Rysiai tarp vienu

‘reiskiniu

‘yra stipresni, tarp kitu

‘– silpnesni. Kiek-

viena mokslo saka paprastai nagrineja tik nedideli‘tu

‘rysiu

‘skaiciu

‘, nustato

nagrinejamu‘reiskiniu

‘pagrindinius desningumus, kurie atspindi ju

‘esminius

rysius. Daugelis rysiu‘lieka neistirti. Stebimi reiskiniai daznai priklauso nuo

tiek daug rysiu‘, kad praktiskai nei

‘manoma (o kartais ir nera prasmes) ju

‘visu

‘isanalizuoti, norint nusakyti, kaip vyks tiriamasis reiskinys. Tenka tir-

ti idealizuotus reiskinius, atsisakant daugelio (tam tikra prasme) antraeiliu‘

priezasciu‘. Todel nustatytieji desniai veikia ne absoliuciai tiksliai, reiskiniai

siek tiek nuo ju‘nukrypsta. Nukrypimai, atsirade

‘todel, kad neatsizvelgiama

i‘daugeli

‘rysiu

‘, yra atsitiktiniai reiskiniai.

Neapibreztumo principas fizikoje teigia, kad kai kuriuos fizinius dydziussieja toks rysys, jog, pasiekus didesni

‘vieno dydzio matavimo tiksluma

‘, kito

dydzio matavimo tikslumas sumazeja. Galima kiek norint tobulinti tu‘dydziu

‘tyrimo metodika

‘, bet jei pasiseks tiksliau ismatuoti viena

‘is ju

‘, tai kito dydzio

matavimo tikslumas butinai sumazes. Cia atsitiktinumas – ne ziniu‘stokos is-

dava, o principinis dalykas, atspindi‘s reiskinio esme

‘.

Tikimybiu‘teorija tiria matematikos metodais atsitiktinius reiskinius. Vie-

na is pagrindiniu‘tos teorijos sa

‘voku

‘yra atsitiktinio i

‘vykio sa

‘voka. I

‘vykiu va-

dinsime kiekviena‘fakta

‘, kuris gali i

‘vykti arba nei

‘vykti, atlikus eksperimenta

‘.

Eksperimentu (bandymu, potyriu) suprasime kokiu‘nors sa

‘lygu

‘realizavima

‘.

I‘vykius skirstysime i

‘butinus, negalimus ir atsitiktinius. Panagrinesime

sias sa‘vokas.

Imkime logine‘schema

‘: realizavus sa

‘lygu

‘kompleksa

‘K, i

‘vyksta i

‘vykis A.

Pailiustruosime ta‘schema

‘pavyzdziais.

1 p a v y z d y s. I‘metame natrio gabaleli

‘i‘inda

‘su vandeniu (sa

‘lygu

‘komplekso

K realizavimas). I‘vyksta chemine reakcija 2Na + 2H2O = 2NaOH + H2 ↑, gauname

natrio sarma‘ir vandenili

‘(i‘vykis A).

2 p a v y z d y s. Sujungiame pakrauto akumuliatoriaus gnybtus laidininku

(sa‘lygu

‘komplekso K realizavimas). Laidininku teka elektros srove (i

‘vykis A).

Tokie i‘vykiai vadinami butinais (sa

‘lygu

‘komplekso K atzvilgiu). Kalbant

apie kokio nors i‘vykio butinuma

‘, visada reikia tureti galvoje tu

‘sa

‘lygu

‘komp-

Atsitiktiniai i‘vykiai 11

leksa‘, kurio atzvilgiu i

‘vykis nagrinejamas. Pakeitus sa

‘lygu

‘kompleksa

‘, i

‘vykis

gali ta‘savybe

‘prarasti.

Galima ir sitokia schema: realizavus sa‘lygu

‘kompleksa

‘K, i

‘vykis A ne-

i‘vyksta. Tada i

‘vykis A vadinamas negalimu (sa

‘lygu

‘komplekso K atzvilgiu).

Teiginys, kad koks nors i‘vykis yra negalimas duoto sa

‘lygu

‘komplekso atzvilgiu,

logiskai yra tolygus teiginiui, kad jam priesingas i‘vykis yra butinas to komp-

lekso atzvilgiu.Taciau ne visi i

‘vykiai yra butini arba negalimi. Yra ir kitokiu

‘i‘vykiu

‘, kuriu

‘logine schema sitokia: realizavus sa

‘lygu

‘kompleksa

‘K, i

‘vykis A gali i

‘vykti, gali

ir nei‘vykti.

3 p a v y z d y s. Ismetus moneta‘(sa

‘lygu

‘komplekso K realizavimas), herbas

gali atsiversti (i‘vykis A), gali ir neatsiversti.

4 p a v y z d y s. Pirkome loterijos bilieta‘. Tiraze jis gali laimeti, bet (daz-

niausiai) gali ir nieko nelaimeti.5 p a v y z d y s. Stebime radzio gabaleli

‘, sakykime, viena

‘sekunde

‘. Per ta

‘laiko

tarpa‘bent vienas radzio atomu

‘gali suskilti, gali ir ne vienas atomas nesuskilti.

6 p a v y z d y s. Automatines stakles gamina detale‘sudetingiems mechaniz-

mams. Tarkime, kad ji bus tinkama, jei jos ilgis bus tam tikrose leistinose ribose.

Taciau stakles veikia daugybe faktoriu‘: virpesiai, kuriuos sukelia kitos stakles, esan-

cios gamykloje, temperaturos svyravimai, oro sroves ir t. t. Todel pagamintu‘detaliu

‘

ilgis nebus vienodas – siek tiek svyruos. Pirmosios paimtos detales ilgis gali buti

leistinose ribose (jei stakles gerai sureguliuotos ir laikomasi technologinio rezimo,

taip dazniausiai ir bus), gali ir nebuti.

Tokius i‘vykius, kurie, realizavus duota

‘sa

‘lygu

‘kompleksa

‘, gali i

‘vykti, bet

gali ir nei‘vykti, vadiname atsitiktiniais (to sa

‘lygu

‘komplekso atzvilgiu). Musu

‘pavyzdziuose herbo atsivertimas, loterijos bilieto islosimas, radzio atomu

‘ski-

limas, detales ilgio nukrypimas uz leistinu‘ribu

‘yra atsitiktiniai i

‘vykiai. Ir cia,

kalbant apie i‘vykio atsitiktinuma

‘, visada reikia tureti galvoje eksperimento

sa‘lygas K. Papildzius ju

‘kompleksa

‘naujomis sa

‘lygomis, atsitiktiniai i

‘vykiai

gali virsti butinais arba negalimais.Sakykime, meteme moneta

‘ir atvirto herbas. Tai atsitiko del daugelio

konkreciu‘priezasciu

‘: monetos pradines padeties, pradinio greicio ir pagreicio,

oro trinties, klampumo, monetos formos, oro mikrosroviu‘, grindu

‘pavirsiaus,

virpesiu‘ir t. t. Jei zinotume visas tas priezastis ir jas turetume galvoje, tai

(bent is principo) galetume tiksliai pasakyti, ar herbas atvirs, ar neatvirs. Taibutu

‘gana sudetingas uzdavinys. Antra vertus, praktiskai nei

‘manoma abso-

liuciai tiksliai fiksuoti visu‘sa

‘lygu

‘, nuo kuriu

‘priklauso herbo atsivertimas. O

del nedidelio sa‘lygu

‘pasikeitimo gali pasikeisti rezultatas.

Nagrinesime tik tokius i‘vykius, kuriems tinka ”negalimo treciojo” desnis

(tertium non datur), t. y. kurie arba i‘vyksta, arba nei

‘vyksta. Negali buti at-

vejo, kai apie i‘vyki

‘vienu metu butu

‘galima teigti, kad jis ir i

‘vyko, ir nei

‘vyko.

12 Tikimybes sa‘voka

2. TIKIMYBE

Jau sakeme, kad tikimybiu‘teorija tiria matematiniais metodais atsitiktinius

reiskinius. Kiekvienas mokslas, taigi ir sis iesko ir nustato tiriamu‘reiskiniu

‘desningumus. Tiksliau tikimybiu

‘teorija

‘galetume nusakyti kaip matematikos

saka‘, nagrinejancia

‘masiniu

‘atsitiktiniu

‘reiskiniu

‘desnius.

Is karto atrodytu‘keista kalbeti apie atsitiktiniu

‘reiskiniu

‘desningumus.

Ka‘galima pasakyti apie i

‘vykius, kurie tai i

‘vyksta, tai nei

‘vyksta? Is tikru

‘ju

‘,

kai susiduriame su atskirais atsitiktiniais i‘vykiais, apie kokius nors desningu-

mus kalbeti sunku. Bet visiskai kitaip yra tada, kai reiskinys kartojasi daugkartu

‘.

Taciau leiskime kalbeti pavyzdziams.Jauna seima laukia pirmojo kudikio. Nerimauja. Spelioja. Zinoma, vyras

nori sunaus, zmona – dukters. Ir ka‘dabar zmogus gali zinoti, kas gims: dukte

ar sunus? Grynas atsitiktinumas.Bet imkime visas seimas, kurios ta

‘pati

‘menesi

‘susilauke naujagimio, ir

pamatysime, kad gime mazdaug puse berniuku‘ir puse mergaiciu

‘. Vadinasi,

kas buvo vienoje seimoje tik atsitiktinis reiskinys, dideliam seimu‘

skaiciuiyra desningumas. Ir i

‘domumo delei galetume pasakyti, kad seimos galva –

vyras – turejo daugiau galimybiu‘

sulaukti sunaus, negu zmona – dukters.Mat, kaip rodo pasauline statistika, bendrame naujagimiu

‘skaiciuje berniuku

‘buna truputi

‘daugiau kaip 51 nuosimtis.

1 lenteleje pateikiami duomenys apie naujagimius Lietuvoje 1965–1974metais. Nors gimimu

‘skaicius kiekvienais metais vis kitoks, bet kasmet gims-

ta mazdaug 51% berniuku‘. Ta

‘pati

‘matytume, nagrinedami visus gimusius

kituose krastuose: berniuku‘dalis tarp visu

‘naujagimiu

‘svyruoja nedidelese

ribose.

1 lentele

Metai 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1965–1974

Berniuku‘

skaicius is1000 nau-jagimiu

‘515 512 507 511 514 514 513 512 510 508 512

Panasiai yra ir su kitais atsitiktiniais i‘vykiais.

Ant musu‘delno guli moneta. Metame ja

‘. Atvirto herbas. Atsitiktinumas,

ar ne tiesa? Juk galejo atvirsti ir skaicius, roda‘s monetos verte

‘. Metame

moneta‘

desimt kartu‘: penkis kartus atvirto herbas ir penkis – skaicius. O

juk galejo atvirsti, pavyzdziui, du kartus herbas ir astuonis kartus skaicius(atskirais atvejais taip ir buna). Aisku, is tokio mazo bandymu

‘skaiciaus

dar negalima spre‘sti apie koki

‘nors desninguma

‘ir tvirtinti, jog, metus mo-

neta‘

desimt kartu‘, penkis kartus atvirs skaicius ir penkis kartus – herbas.

Tikimybe 13

Taciau bandykime toliau. Sakykim, meteme moneta‘tukstanti

‘kartu

‘, antra

‘,

trecia‘, ketvirta

‘, ... Pastebesime, jog kiekvienos eksperimentu

‘serijos rezultatai

nedaug skirsis. Tiesa, bus nedideliu‘nukrypimu

‘, bet, susumave

‘visu

‘eksperi-

mentu‘rezultatus, matysime, kad mazdaug 50 nuosimciu

‘visu

‘metimu

‘atvirto

herbas, o penkiasdesimt – skaicius.Tarkime, kad turime sa

‘lygu

‘kompleksa

‘K, kuri

‘galime realizuoti daug

kartu‘. Kiekviena

‘karta

‘, ji

‘realizavus, gali i

‘vykti arba nei

‘vykti atsitiktinis i

‘vy-

kis A. Pazymekime Nn(A) i‘vykiu

‘A skaiciu

‘, atlikus n eksperimentu

‘. Santykis

Nn(A)n

= νn(A)

yra vadinamas i‘vykio A statistiniu dazniu.

Gri‘zkime prie monetos metymo.

Dar XVIII a. Biufonas1 mete moneta‘4040 kartu

‘. Herbas atsiverte 2048

kartus. Jo gautas herbo atvirtimu‘statistinis daznis

20484040

= 0, 5069... ≈ 0, 51.

Panasius eksperimentus su moneta atliko sio amziaus pradzioje K. Pirsonas2.Metus moneta

‘12 000 kartu

‘, herbas atvirto 6019 kartu

‘. Statistinis daznis lygus

601912000

= 0, 50158... ≈ 0, 50.

Veliau jis mete moneta‘dar 12 000 kartu

‘; is visu

‘24 000 metimu

‘herbas

atvirto 12 012 kartu‘. Statistinis daznis

1201224000

= 0, 5005 ≈ 0, 50.

Matematikas Dz. Kerichas (J.E. Kerich [25]) Antrojo pasaulinio karo me-tu buvo internuotas. Turedamas laiko, jis eksperimentavo, metydamas mone-ta

‘. Per 10 seriju

‘po 1000 metimu

‘kiekviena herbas atvirto atitinkamai 502,

511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529 kartus. Statistiniai herbo atvirtimodazniai buvo lygus

1/2 + 0, 002 1/2 + 0, 011 1/2− 0, 003 1/2 + 0, 029 1/2 + 0, 0041/2− 0, 024 1/2 + 0, 007 1/2 + 0, 028 1/2 + 0, 004 1/2 + 0, 029

Pateikeme pavyzdzius, aprasytus literaturoje. Suprantama, turedami pa-kankamai laiko ir kantrybes, galetume ir patys atlikti tokiu

‘eksperimentu

‘.

Reikia manyti, kad gautume panasius rezultatus.

1 George Louis Leclerc de Buffon (1707–1788) – prancuzu‘gamtininkas ir rasyto-

jas.2 Karl Pearson (1857–1936) – anglu

‘matematikas ir statistikas.


Is pavyzdziu‘matome, kad herbo atvirtimo statistinis daznis, kai bandymu

‘skaicius yra didelis, svyruoja nedideliame intervale. Sakome, kad statistinisdaznis yra stabilus. Panasaus stabilumo yra ir berniuku

‘gimimo statistinis

daznis. Ta‘pati

‘pastebesime ir tirdami kitus atsitiktinius reiskinius.

Kai eksperimentu‘

skaicius yra nedidelis, statistinis daznis gali svyruotigana didelese ribose intervale [0, 1]. Taciau kai eksperimentu

‘skaicius didelis,

jis paprastai svyruoja labai nedaug ir turi tendencija‘arteti prie kokio nors

pastovaus skaiciaus. Tai vaizdziai matyti 1 paveiksle (jis paimtas is H. Krame-ro knygos [6]). Cia atvaizduotas, naudojant logaritmine

‘skale

‘, herbo atvirtimo

daznio kitimas, metus moneta‘400 kartu

‘.

1 pav.

Pateiktieji pavyzdziai ir kasdienine praktika leidzia mums teigti, kad at-sitiktinio i

‘vykio A statistinis daznis svyruoja apie tam tikra

‘konstanta

‘. Ta

‘konstanta

‘vadiname i

‘vykio tikimybe ir paprastai zymime P (A), p(A), PA,

pA ir pan. Cia raide P primena lotynu‘

kalbos zodi‘

”probabilitas” – ”tiki-mybe”. Taigi herbo atvirtimo tikimybe galime laikyti 1/2, berniuko gimimotikimybe – 0,51.

Toks i‘vykio tikimybes nusakymas apibudina sios sa

‘vokos naturalia

‘ja

‘moksline

‘prasme

‘, taciau nera formalus jos apibrezimas, kuri

‘pateiksime

veliau.Tikimybiu

‘teorija nagrineja tik atsitiktiniu

‘i‘vykiu

‘su stabiliais statis-

tiniais dazniais desnius. Klausimas, kokiomis sa‘lygomis atsitiktiniu

‘i‘vykiu

‘statistinis daznis yra stabilus, – labai sudetingas. Reikia, kad eksperimentosa

‘lygos (sa

‘lygu

‘kompleksas K) visa

‘laika

‘butu

‘tos pacios, o tai daznai buna

nelengva patikrinti.Ne tik statistinis daznis, bet ir kitos atsitiktiniu

‘reiskiniu

‘charakteristikos

daznai buna labai stabilios.

Tikimybe 15

Pailiustruosime tai sitokiu pavyzdziu. Kaip zinome is fizikos, dujos yrasudarytos is be galo daug visa

‘laika

‘judanciu

‘mazyciu

‘daleliu

‘– molekuliu

‘. Ju

‘judejimas yra chaotiskas. Molekules susidurineja vienos su kitomis, atsoka,kinta ju

‘judejimo kryptis, greitis ir t. t. Tarkime, kad dujos yra uzdarame in-

de. Duju‘slegis i

‘indo sieneles yra molekuliu

‘smugiu

‘rezultatas. Regis, slegis,

budamas atsitiktinis reiskinys, turetu‘svyruoti. Taciau ir tiksliausi matavimai

tokio svyravimo – fliuktuaciju‘– neparodo. Praeityje kinetines duju

‘teorijos

priesininkai si‘

fakta‘

net megino panaudoti kaip savo argumenta‘. Is tikru

‘ju

‘del milzinisko molekuliu

‘skaiciaus smugiu

‘i‘indo sieneles rezultatas issilygina,

ir slegis buna gana pastovus. Tiktai istobulejus eksperimento technikai, kaitapo galima izoliuoti nedideli

‘molekuliu

‘skaiciu

‘, buvo pastebeti tokiu

‘”labai

skystu‘” duju

‘slegio svyravimai.

Tikimybiu‘teorijos metodai palyginti nesunkiai paaiskina tokio tipo atsi-

tiktiniu‘reiskiniu

‘charakteristiku

‘stabiluma

‘. Zinoma, kartais galima taikyti ir

klasikinius matematikos metodus. Antai, duju‘molekuliu

‘judejima

‘galetume

aprasyti diferencialinemis lygtimis, traktuodami kiekviena‘molekule

‘kaip la-

bai maza‘kuna

‘. Jei molekuliu

‘skaicius yra n, reiketu

‘sudaryti 3n antrosios eiles

diferencialiniu‘lygciu

‘. Kadangi n paprastai labai didelis (kai temperatura 0C

ir slegis 1 atm, 1 cm3 yra 2,6873· 1019 idealiu‘ju

‘duju

‘molekuliu

‘), tai gautume

milziniska‘

diferencialiniu‘

lygciu‘

sistema‘. Is jos, zinoma, galetume padaryti

kai kurias isvadas apie molekuliu‘judejima

‘. Taciau tokios sistemos praktiskai

nei‘manoma isspre

‘sti. Yra ir principiniu

‘matematiniu

‘sunkumu

‘. Tikimybiu

‘teorija, nagrinejant atsitiktinius reiskinius, yra pranasesne uz klasikinius ma-tematikos metodus.

Tikimybiu‘teorijos sa

‘vokos pradejo formuotis XVI amziuje, meginant ma-

tematiskai analizuoti azartiniu‘losimu

‘klausimus (L. Pacolis1, N. Tartalja2,

Dz. Kardanas3). XVII simtmecio pradzioje Galilejus4 megino nagrineti ma-tavimo paklaidas, traktuodamas jas kaip atsitiktines ir i

‘vertindamas ju

‘ti-

kimybes. Tuo laiku meginta kurti draudimo teorija‘, pagri

‘sta

‘mirtingumo,

nelaimingu‘atsitikimu

‘, ligu

‘ir panasiu

‘masiniu

‘reiskiniu

‘matematine analize.

Taciau tikimybiu‘

teorijos pradzia laikomi Ch. Hioigenso5, B. Paskalio6 irP. Ferma7 darbai, atlikti XVII a. viduryje, susije

‘su azartiniais losimais. Tuose

darbuose isryskejo svarbios tikimybiu‘

teorijos sa‘vokos, tarp ju

‘– tikimybes

sa‘voka. Didelis zingsnis i

‘prieki

‘buvo J. Bernulio8 darbai, taip pat susije

‘su

losimais. Jis pirmasis i‘rode viena

‘is svarbiausiu

‘tikimybiu

‘teorijos desniu

‘–

1 Luca Pacioli (1445?–1514) – italu‘matematikas.

2 Niccolo Tartaglia (1500?–1557) – italu‘matematikas.

3 Geronimo Cardano (1501–1576) – italu‘matematikas.

4 Galileo Galilei (1564–1642) – italu‘mokslininkas.

5 Christiann Huygens (1629–1695) – olandu‘matematikas ir fizikas.

6 Blaise Pascal (1623–1662) – prancuzu‘matematikas ir fizikas.

7 Pierre de Fermat (1601–1665) – prancuzu‘matematikas.

8 Jakob Bernoulli (1654–1705) – sveicaru‘matematikas.


vadinama‘ji‘didziu

‘ju

‘skaiciu

‘desni

‘. Sis desnis i

‘vertina tikimybe

‘, kad, atlikus

dideli‘

skaiciu‘

eksperimentu‘, stebimo i

‘vykio statistinis daznis mazai skirsis

nuo to i‘vykio tikimybes.

Tikimybiu‘teorijos gimimas susije

‘s su azartiniu

‘losimu

‘teorija. Cia atsitik-

tiniu‘reiskiniu

‘desningumai yra gana paprasti. Vystantis mokslams, paaiskejo,

kad tikimybiu‘teorija gali buti taikoma daug svarbesnese srityse, negu losimai.

Tai – matavimo paklaidu‘teorija, balistikos, statistikos (pirmiausia demogra-

fijos) klausimai. Tai skatino tikimybiu‘teorijos vystyma

‘si. Tikimybiu

‘teorijoje

imta taikyti sudetingesni‘matematini

‘aparata

‘. Ypac svarbu

‘vaidmeni

‘, kur-

dami tikimybiu‘teorijos matematini

‘aparata

‘, suvaidino A. Muavras1, P. Lap-

lasas2, K. F. Gausas3, S. Puasonas4. XVIII ir XIX a. tikimybiu‘teorija sparciai

vystesi, pradeta ja‘taikyti i

‘vairiausiose srityse, kartais nepakankamai pagri

‘s-

tai.XIX a. antroje puseje ir XX a. pradzioje daug nusipelne tikimybiu

‘teorijai

P. Cebysovas5, A. Markovas6, A. Liapunovas7.XX a. tikimybiu

‘teorija virto griezta matematine disciplina. Buvo sukurta

jos aksiomatika. Pirma‘sias aksiomu

‘sistemas pasiule L. Bolmanas 1901 m. ir

S. Bernsteinas8 1917 m. Siandien labiausiai paplitusi kita aksiomu‘sistema,

pagri‘sta mato ir integralo teorija, kuria

‘sukure daugiausia prancuzu

‘mate-

matikai. Ta‘sistema

‘suformulavo A. Kolmogorovas9 1933 m.

Siais laikais i‘vairus mokslai sparciai matematizuojami. Matematikos me-

todai braunasi vis i‘naujas mokslo bei technikos sritis. Ypac platus yra tikimy-

biu‘teorijos taikymu

‘diapazonas. Antra vertus, i

‘vairus mokslai kelia tikimybiu

‘teorijai nauju

‘svarbiu

‘problemu

‘. Praktiniai poreikiai ir vidine raidos logika

spartina sios svarbios matematikos sakos tolesni‘vystyma

‘si.

Tikimybiu‘teorija Lietuvoje turi senas tradicijas. Jau XVIII a. Vilniaus

universitete buvo destomi tikimybiu‘teorijos elementai. 1830 m. jame buvo

i‘steigta tikimybiu

‘teorijos katedra. Tuo metu Vilniaus universitetas buvo vie-

nas is svarbiausiu‘Rytu

‘Europos universitetu

‘. Taciau tikimybiu

‘teorijos ka-

tedros veikla greitai nutruko, nes 1832 m. caro valdzios, vykdziusios imperia-listine

‘rusinimo politika

‘, universitetas buvo uzdarytas. Per pastaruosius kelis

1 Abraham de Moivre (1667–1754) – prancuzu‘kilmes anglu

‘matematikas.

2 Pierre Simon Laplace (1749–1827) – prancuzu‘matematikas.

3 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) – vokieciu‘matematikas.

4 Simeon Denis Poisson (1781–1840) – prancuzu‘matematikas.

5 Pafnutijus Cebysovas (1821–1894) – rusu‘matematikas.

6 Andriejus Markovas (1856–1922) – rusu‘matematikas.

7 Aleksandras Liapunovas (1857–1918) – rusu‘matematikas.

8 Sergiejus Bernsteinas (1880–1968) – rusu‘matematikas.

9 Andriejus Kolmogorovas (1903–1987) – rusu‘matematikas.

Elementarieji i‘vykiai 17

desimtmecius Lietuvoje tikimybiu‘

teorija pletojosi labai sparciai. Lietuvosmatematikai nemazai nusipelne tikimybiu

‘teorijos mokslui.

3. ELEMENTARIEJI I‘VYKIAI

Pasirinkime koki‘nors atsitiktini

‘eksperimenta

‘(arba stebejima

‘) ir nagrinekime

visu‘su juo susijusiu

‘galimu

‘i‘vykiu

‘aibe

‘. Kai kuriuos is tu

‘i‘vykiu

‘galesime lai-

kyti sudarytais is kitu‘– atskiru

‘atveju

‘. Tarp i

‘vykiu

‘bus ir tokiu

‘, kurie toliau

neskaidytini ir negali i‘vykti kartu. Juos vadinsime elementariaisiais i

‘vykiais

(arba eksperimento baigtimis). Si sa‘voka yra pirmine, todel jos neapibresime,

bet tik paaiskinsime pavyzdziais. Aibe visu‘

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘, susijusiu

‘su kuriuo nors atsitiktiniu eksperimentu, vadinama elementariu

‘ju‘i‘vykiu

‘erd-

ve. Elementariuosius i‘vykius zymesime raide ω su indeksais arba be ju

‘, o

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve

‘– raide Ω.

Isnagrinesime keleta‘pavyzdziu

‘.

1 p a v y z d y s. Atsitiktinai metame moneta‘. Ji nukris ant stalo arba

ant grindu‘. Manysime, kad ji negali sustoti, atsiremusi briauna i

‘pavirsiu

‘, ant ku-

rio nukrinta, – nebent atsiremtu‘i‘stalo koja

‘ar siena

‘arba patektu

‘i‘plysi

‘. Taciau

tokie atvejai praktiskai nei‘manomi, todel laikysime galimais tik du atvejus: atsi-

vers herbas arba skaicius, roda‘s monetos verte

‘. Elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve Ω bus

sudaryta is dvieju‘i‘vykiu

‘: a) herbo atsivertimo, b) skaiciaus atsivertimo.

2 p a v y z d y s. Losimo kauliukas yra kubas. Seniau jis buvo gamina-mas is kaulo, dabar – is plastmases, medzio arba metalo. Jo sieneles pazymetos”akutemis” – mazomis duobutemis. Vienoje sieneleje yra viena akute, kitoje –dvi, trecioje – trys ir t. t. iki sesiu

‘akuciu

‘. Meskime kauliuka

‘. Kaip ir mesda-

mi moneta‘, manysime, kad jis negali atsistoti, briauna arba virsune atsireme

‘s i

‘pavirsiu

‘, ant kurio nukrito. Taigi gali atsiversti tik viena is sesiu

‘sieneliu

‘, pazymeta

atitinkamu akuciu‘skaiciumi. Elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve Ω sudaryta is sesiu

‘i‘vykiu

‘ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6; cia ωk reiskia k akuciu‘atsivertima

‘. Kitus i

‘vykius galesime

sudaryti is tu‘

sesiu‘

i‘vykiu

‘. Sakysime, i

‘vykis ”atsiverte lyginis akuciu

‘skaicius”

bus sudarytas is triju‘

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘ω2, ω4, ω6. I

‘vykis ”atsiverte sveikas

akuciu‘

skaicius” yra butinas – jis sudarytas is visu‘

sesiu‘

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘ω1, ..., ω6 = Ω. I‘vykis ”atsiverte septynios akutes” yra negalimas – ji

‘atitinka

tuscia elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe ∅.

3 p a v y z d y s. Atsitiktinai metame du kauliukus: balta‘

ir juoda‘.

Elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve Ω bus sudaryta is 36 i

‘vykiu

‘(ω1j , ω2k) (j = 1, ..., 6;

k = 1, ..., 6). Cia ω1j reiskia i‘vyki

‘”baltojo kauliuko j akuciu

‘atsivertimas”, ω2k

– ”juodojo kauliuko k akuciu‘

atsivertimas”. I‘vykis ”abieju

‘kauliuku

‘atsivertusiu

‘akuciu

‘suma yra 8” sudarytas is 5 elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘(ω12, ω26), (ω13, ω25),

(ω14, ω24), (ω15, ω23), (ω16, ω22).4 p a v y z d y s. Kuriuo nors budu matuojame atstuma

‘X tarp dvieju

‘zemes

pavirsiaus tasku‘. Del i

‘vairiu

‘atsitiktiniu

‘priezasciu

‘, veikianciu

‘matavimo prietaisus,

gausime matavimo paklaidas. Aibe‘Ω galime sudaryti is i

‘vykiu

‘”X matavimo re-

zultatas yra x”; cia x prabega tam tikra‘reiksmiu

‘aibe

‘.


Imdamiesi matematiskai nagrineti kuri‘nors atsitiktini

‘eksperimenta

‘, tu-

rime sudaryti jo matematini‘modeli

‘. Tam pirmiausia reikia sudaryti jo ele-

mentariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve

‘Ω. Atsitiktiniai i

‘vykiai, susije

‘su tuo eksperimentu,

bus sudaryti is erdves Ω elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘, t. y. bus aibes Ω poaibiai. Koks

nors i‘vykis A i

‘vyksta tada ir tik tada, kai i

‘vyksta kuris nors is elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, is kuriu

‘sudaryta aibe A. I

‘vykis, kuris visada i

‘vyksta, kai i

‘vyksta bet

kuris is erdves Ω elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘, yra butinas. Todel butinas i

‘vykis zy-

mimas Ω. Negalima‘i‘vyki

‘atitinka tuscia elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe, todel jis

zymimas ∅.Pabresime, kad ne kiekviena

‘aibes Ω poaibi

‘laikysime i

‘vykiu, nes priesingu

atveju susidurtume su esminiais matematiniais sunkumais. Taciau prie toklausimo dar gri

‘sime 9 skyrelyje. Visu

‘galimu

‘i‘vykiu

‘aibe

‘zymesime A.

Erdves Ω elementus kartais vadinsime taskais.

4. VEIKSMAI SU I‘VYKIAIS

Sakykime, duota fiksuota elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve Ω ir sistema A jos po-

aibiu‘, laikytinu

‘i‘vykiais. Panagrinesime kai kuriuos rysius tarp i

‘vykiu

‘.

Sakysime, kad i‘vykis A yra i

‘vykio B dalis, arba atskiras atvejis, jei, i

‘vykus

i‘vykiui A, kartu i

‘vyksta ir i

‘vykis B. Tai reiskia, kad kiekvienas elementarusis

i‘vykis, i

‘einantis i

‘i‘vyki

‘A, i

‘eina ir i

‘i‘vyki

‘B, t. y. elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe

A yra elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibes B poaibis (dalis). Rasysime A ⊂ B arba

B ⊃ A.

1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. A – dvieju

‘akuciu

‘atsivertimas, B

– lyginio akuciu‘skaiciaus atsivertimas. Aisku, kad A ⊂ B.

Si‘rysi

‘tarp dvieju

‘i‘vykiu

‘, o veliau ir aibiu

‘veiksmus, pailiustruosime geo-

metriskai vadinamosiomis Veno diagramomis (zr. 2 pav.). Tarkime, kad at-sitiktinai parenkame bet kuri

‘kvadrato taska

‘. Elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe

‘Ω

atitiks visu‘kvadrato tasku

‘aibe. Toliau tarkime, jog i

‘vykis A yra tasko pa-

rinkimas is srities, pazymetos taip pat raide A, o i‘vykis B – is srities B. Jei

i‘vykis A yra i

‘vykio B dalis, tai sritis A telpa srityje B (2 pav., a).

Atkreipsime demesi‘, kad teisingos formules: ∅ ⊂ A ⊂ Ω, A ⊂ A, kai A

yra bet kuris i‘vykis. Jei A,B,C – i

‘vykiai ir A ⊂ B,B ⊂ C, tai A ⊂ C (zenklo

⊂ tranzityvumo savybe).I‘vykiu

‘lygybe

‘zymesime zenklu =. Du i

‘vykiai yra lygus, jei juos suda-

rancios elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibes yra lygios. Teisingas teiginys: jei, i

‘vykus

i‘vykiui A, i

‘vyksta ir i

‘vykis B, o i

‘vykus i

‘vykiui B, i

‘vyksta ir i

‘vykis A, tai tie

i‘vykiai yra lygus. Simboliais: jei A ⊂ B ir B ⊂ A, tai A = B. I

‘vykiu

‘lygybe

turi savybes: A = A (refleksyvumas); jei A = B, tai B = A (simetriskumas);jei A = B ir B = C, tai A = C (tranzityvumas).

Veiksmai su i‘vykiais 19

Dvieju‘i‘vykiu

‘A ir B sa

‘junga (arba suma) vadinsime i

‘vyki

‘, kai i

‘vyksta

bent vienas is i‘vykiu

‘A ir B. Kitaip sakant, i

‘vykiu

‘A ir B sa

‘junga yra i

‘vykis,

sudarytas is visu‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, priklausanciu

‘bent vienam is i

‘vykiu

‘A ir B, t. y. elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibiu

‘A ir B sa

‘junga (suma). Zymesime

A∪B. Analogiskai apibreziama ir didesnio i‘vykiu

‘skaiciaus sa

‘junga. Bet ku-

rios baigtines arba skaicios i‘vykiu

‘sistemos Aλ, λ ∈ Λ sa

‘junga (suma)

vadinsime i‘vyki

‘, kai i

‘vyksta bent vienas is tos sistemos i

‘vykiu

‘. Tai vel yra

atitinkamu‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibiu

‘sa

‘junga. Zymesime⋃

λ∈Λ

Aλ.

2 pav.


Sistemos A1, ..., An sa‘junga

‘zymesime

A1 ∪ ... ∪An, arban⋃

k=1

Ak.

Skaicios i‘vykiu

‘sistemos A1, A2, ... sa

‘junga

‘zymesime

A1 ∪A2 ∪ ..., arba∞⋃

k=1

Ak.

Pats veiksmas yra vadinamas i‘vykiu

‘jungimu (arba sudetimi).

Geometrine iliustracija 2 pav., b.

2 p a v y z d y s. Darbininkas gamina detales tekinimo staklemis. Is pagamintu‘

detaliu‘

kruvos imame viena‘

detale‘. Ji gali buti arba gera – atitikti techninius

reikalavimus, arba niekalas. Bloga ji gali buti del triju‘

priezasciu‘: a) darbininko

kaltes, b) stakliu‘gedimo, c) netinkamo ruosinio, is kurio buvo gaminama detale.

Pazymekime raide A i‘vyki

‘, kad paimta detale yra bloga, raide A1 – i

‘vyki

‘, kad

ji bloga del pirmosios, A2 – del antrosios, A3 – del treciosios priezasties. TadaA = A1 ∪A2 ∪A3.

Jungimo savybes: A ∪ B = B ∪ A (komutatyvumas), (A ∪ B) ∪ C == A ∪ (B ∪ C) (asociatyvumas). Jeigu A ⊂ B, tai A ∪ B = B; specialiaisatvejais ∅ ∪A = A, A ∪ Ω = Ω, A ∪A = A.

Dvieju‘i‘vykiu

‘A ir B sankirta (pjuviu) vadinsime i

‘vyki

‘, kai kartu i

‘vyksta

abu i‘vykiai A ir B. Kitaip sakant, i

‘vykiu

‘A ir B sankirta yra i

‘vykis, sudarytas

is visu‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, priklausanciu

‘ir A, ir B, t. y. elementariu

‘ju

‘i‘vy-

kiu‘

aibiu‘A ir B sankirta (pjuvis). Zymesime A ∩ B. Bet kurios baigtines

arba skaicios i‘vykiu

‘sistemos Aλ, λ ∈ Λ sankirta vadinsime i

‘vyki

‘, kai kartu

i‘vyksta visi tos sistemos i

‘vykiai. Ji yra atitinkamu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibiu

‘sistemos sankirta. Zymesime ⋂

λ∈Λ

Aλ.

Baigtines i‘vykiu

‘sistemos A1, ..., An sankirta

‘zymesime

A1 ∩ ... ∩An, arban⋂

k=1

Ak,

o skaicios i‘vykiu

‘sistemos A1, A2, ... sankirta

‘–

A1 ∩A2 ∩ ..., arba∞⋂

k=1

Ak.

Geometrine iliustracija 2 pav., c.

Veiksmai su i‘vykiais 21

3 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. A – i

‘vykis, kai atsivercia lyginis

akuciu‘skaicius, B – atsivercia akuciu

‘skaicius, kartotinis 3. Sankirta A∩B – i

‘vykis,

kai atsivercia 6 akutes.

Kirtimosi savybes: A ∩ B = B ∩ A (komutatyvumas), (A ∩ B) ∩ C == A ∩ (B ∩ C) (asociatyvumas). Jei A ⊂ B, tai A ∩ B = A; specialiaisatvejais ∅ ∩A = ∅, A ∩ Ω = A, A ∩A = A.

Jungimo ir kirtimosi veiksmai susieti lygybemis (A∪B)∩C = (A∩C)∪∪(B∩C) ir (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C) (distributyvumas). Tos lygybes yrateisingos ir bendresniais atvejais. Jei Aλ, λ ∈ Λ yra kokia nors (baigtinearba skaiti) i

‘vykiu

‘sistema, B – bet kuris i

‘vykis, tai teisingos lygybes( ⋃

λ∈Λ

Aλ

)∩B =

⋃λ∈Λ

(Aλ ∩B),( ⋂λ∈Λ

Aλ

)∪B =

⋂λ∈Λ

(Aλ ∪B).

I‘vykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jeigu jie negali i

‘vykti kartu, t. y.

ju‘sankirta yra negalimas i

‘vykis A ∩B = ∅.

Dvieju‘

i‘vykiu

‘A ir B skirtumu vadiname i

‘vyki

‘, kai i

‘vykis A i

‘vyksta, o

i‘vykis B nei

‘vyksta. Kitaip sakant, A ir B skirtumas yra i

‘vykis, sudarytas is

visu‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, priklausanciu

‘A, bet nepriklausanciu

‘B. Vadinasi,

i‘vykiu

‘A ir B skirtumas yra elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibiu

‘A ir B skirtumas. Ji

‘zymesime A\B. Pati

‘si‘veiksma

‘vadinsime atimtimi.

Geometrine iliustracija 2 pav., d.

4 p a v y z d y s. Metame du losimo kauliukus. Tarkime, kad A yra i‘vykis

”abieju‘kauliuku

‘atsivertusiu

‘akuciu

‘suma yra lygine”, B – i

‘vykis ”abieju

‘kauliuku

‘atsivertusiu

‘akuciu

‘skaiciai yra lyginiai”. Tada A\B reiks i

‘vyki

‘”abieju

‘kauliuku

‘atsivertusiu

‘akuciu

‘skaiciai yra nelyginiai”.

5 p a v y z d y s. Is studentu‘grupes reikejo isrinkti atstova

‘i‘delegacija

‘. Is

pradziu‘buvo manyta ji

‘rinkti is studentu

‘, islaikiusiu

‘visus sesijos egzaminus. Tar-

kime, kad A yra i‘vykis, kai atstovas buvo isrinktas is tokiu

‘studentu

‘. Veliau buvo

nutarta, kad netinka siu‘sti delegato, gavusio bent viena

‘trejeta

‘. Pazymekime raide

B i‘vyki

‘, kai atstovas renkamas is studentu

‘, islaikiusiu

‘bent viena

‘egzamina

‘trejetui.

Tada A\B reiskia i‘vyki

‘, kai delegatas renkamas is studentu

‘, gavusiu

‘per egzaminus

tik ketvertus arba penketus.

Atimties savybes: A\B = A\(A ∩ B); jeigu A ⊂ B, tai A\B = ∅; spe-cialiu atveju ∅\A = ∅, A\Ω = ∅, A\A = ∅; jeigu A ∩ B = ∅ (i

‘vykiai

nesutaikomi), tai A\B = A; (A\B) ∪ B = A ∪ B; (A\B) ∪ B = A tada irtik tada, kai B ⊂ A; distributyvumo savybe: (A\B)∩C = (A∩C)\(B ∩C).Dvieju

‘i‘vykiu

‘sankirta

‘galima isreiksti atimtimi: A ∩B = A\(A\B).

I‘vykis Ω\A yra vadinamas i

‘vykiu, priesingu i

‘vykiui A. Jis zymimas Ac.

I‘vykis Ac yra elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibes A papildinys iki Ω.

Zr. 2 pav., e.Aisku, kad (Ac)c = A, t. y. i

‘vykis, priesingas Ac, yra pats i

‘vykis A. I

‘vy-

kiams A ir Ac tinka lygybes A∪Ac = Ω, A∩Ac = ∅ (A ir Ac – nesutaikomi).


Teisingos ir sios lygybes: (A ∪B)c = Ac ∩Bc, (A ∩B)c = Ac ∪Bc. Jas gali-ma apibendrinti: jei Aλ, λ ∈ Λ yra bet kokia (baigtine arba skaiti) i

‘vykiu

‘sistema, tai ( ⋃

λ∈Λ

Aλ

)c =⋂λ∈Λ

Acλ,

( ⋂λ∈Λ

Aλ

)c =⋃λ∈Λ

Acλ.

Pastarieji rysiai vadinami Morgano1 lygybemis. Dvieju‘i‘vykiu

‘skirtuma

‘gali-

ma isreiksti ir sitaip: A\B = A ∩Bc.Matome, kad cia galime vartoti dvejopus terminus – tikimybiu

‘teorijos ir

aibiu‘teorijos. Galima sudaryti ”zodyna

‘”, nustatanti

‘atitikti

‘tarp abieju

‘tipu

‘terminu

‘. Dalis jo atrodo sitaip:

I‘vykis Aibe Zymuo

I‘vykis Visu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibes

poaibis A,B, ...Butinas Visu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe Ω

Negalimas Tuscia elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe ∅

A yra atskiras i‘vykio

B atvejis A yra B poaibis A ⊂ BA arba B (bent vienas is ju

‘) A ir B sa

‘junga A ∪B

A ir B (abu kartu) A ir B sankirta A ∩BNesutaikomi i

‘vykiai A ir B neturi bendru

‘elementu

‘A ∩B = ∅

A i‘vyksta, o B nei

‘vyksta A ir B skirtumas A\B

Priesingas i‘vykiui A A papildinys iki Ω Ac

5. KLASIKINIS TIKIMYBES APIBREZIMAS

Remiantis kasdienine patirtimi, nesunku suvokti, jog i‘vairius i

‘vykius galima

palyginti pagal ju‘galimumo laipsni

‘. Jei, sakysime, tarp loterijos laimejimu

‘yra 5 automobiliai ir 200 radijo aparatu

‘, tai islosti radijo aparata

‘yra daugiau

galimybiu‘(labiau tiketinas i

‘vykis), negu islosti automobili

‘. Pataikyti i

‘taikini

‘is mazesnio atstumo yra daugiau sansu

‘negu is didesnio. Kiekvienam i

‘vykiui

galime priskirti skaiciu‘, kuris apibudintu

‘jo galimybes laipsni

‘, butu

‘jo atsitik-

tinumo matas. Tai ir bus tikimybe, apie kuria‘jau kalbejome 2 skyrelyje. Ten

jos sa‘voka

‘i‘vedeme, remdamiesi statistiniais samprotavimais, eksperimentu.

Taciau kai kuriais nesudetingais atvejais tikimybe‘galime nusakyti gana pa-

prastai. Taip yra, kai tinka vadinamasis klasikinis tikimybes apibrezimas,

1 Augustus de Morgan (1806–1871) – anglu‘matematikas.

Klasikinis tikimybes apibrezimas 23

buve‘s tikimybiu

‘teorijos pagrindu nuo pat jos atsiradimo iki sio amziaus pra-

dzios.Klasikinis tikimybes apibrezimas yra pagri

‘stas i

‘vykiu

‘vienodo galimumo,

arba vienodo tiketinumo, sa‘voka. Si sa

‘voka taip pat laikoma pirmine. Paais-

kinsime ja‘pavyzdziais.

1 p a v y z d y s. Tarkime, kad dezeje yra i‘vairiu

‘spalvu

‘rutuliai. Jie visiskai vie-

nodi, skiriasi tik spalva. Rutuliai sumaisyti. Neziuredami traukiame viena‘rutuli

‘.

Neturime jokio pagrindo manyti, kad yra daugiau galimybiu‘

istraukti kuri‘

norsrutuli

‘. Vadinasi, galime tvirtinti, kad kiekvieno rutulio istraukimas yra vienodai

galimas.2 p a v y z d y s. Tarkime, kad losimo kauliukas yra tiksliai simetriskas geo-

metrinis kunas, padarytas is vienalytes medziagos, be to, akutes jame pazymetostaip, kad negadintu

‘simetriskumo (pavyzdziui, pazymetos nesvariais dazais, o ju

‘sluoksnis yra nulinio storio). Atsitiktinai metant kauliuka

‘, kiekvienos sieneles atsi-

vertimo galimybes visiskai vienodos. Vadinasi, galime manyti, kad 1, 2, 3, 4, 5, 6akuciu

‘atsivertimai yra vienodai galimi i

‘vykiai.

3 p a v y z d y s. Metame idealia‘moneta

‘. Ji simetriska, pagaminta is vienalytes

medziagos, tik vienoje puseje yra herbas, kitoje – skaicius. Taciau jie pazymeti taip,kad moneta vistiek butu

‘simetriska. Tada herbo ir skaiciaus atsivertimas yra vie-

nodai galimi i‘vykiai.

Realios monetos ir realus losimo kauliukai yra tik apytiksliai simetriski. Todelir atitinkami i

‘vykiai yra tik apytiksliai vienodai galimi.

Tarkime, kad kokio nors eksperimento elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe Ω yra

sudaryta is s vienodai galimu‘

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘. Naturalu laukti, kad,

atlikus dideli‘skaiciu

‘n bandymu

‘, kiekvienas konkretus elementarusis i

‘vykis

i‘vyks mazdaug n/s kartu

‘. Jo statistinis daznis svyruos apie 1/s. Tai rodo ir

praktine patirtis. Todel kiekvieno konkretaus elementariojo i‘vykio tikimybe

galime laikyti skaiciu‘

1/s. Vadinasi, jei, atliekant eksperimenta‘, gali i

‘vykti

s elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘, tai ekvivalentus yra teiginiai: a) tie i

‘vykiai vienodai

galimi; b) kiekvieno ju‘tikimybe yra 1/s.

Metant moneta‘, herbo ir skaiciaus atsivertimo tikimybes lygios 1/2. Me-

tant losimo kauliuka‘, akuciu

‘1, 2, 3, 4, 5, 6 atsivertimo tikimybes lygios 1/6.

Jei dezeje yra 10 vienodu‘

rutuliu‘, kurie skiriasi tik spalva, tai, atsitiktinai

traukiant is dezes rutuli‘, kiekvieno konkretaus rutulio istraukimo tikimybe

yra 1/10.Vel tarkime, kad, atliekant eksperimenta

‘, gali i

‘vykti s vienodai galimu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘. Imkime i

‘vyki

‘A, sudaryta

‘is r elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘.

Pastarieji daznai vadinami palankiais i‘vykiui A. Aisku, sio i

‘vykio statistinis

daznis svyruos apie skaiciu‘r/s. Jo tikimybe galesime laikyti P (A) = r/s.

Taigi i‘vykio A tikimybe yra lygi palankiu

‘i‘vykiui A i

‘vykiu

‘skaiciaus ir visu

‘vienodai galimu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘skaiciaus santykiui.

4 p a v y z d y s. Dezeje yra 4 balti ir 6 juodi rutuliai, kurie skiriasi tik spalva.Traukiame atsitiktinai viena

‘rutuli

‘. Sie zodziai reiskia, kad galimybes istraukti kiek-

viena‘rutuli

‘yra vienodos. Rasime tikimybe

‘, kad istrauktas rutulys bus baltas. Ele-


mentariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe yra sudaryta is 10 vienodai galimu

‘i‘vykiu

‘, o tiriamasis i

‘vykis

– is 4. Ieskomoji tikimybe lygi 4/10 = 2/5.5 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka

‘. Apskaiciuosime lyginio akuciu

‘skaiciaus atsivertimo tikimybe

‘. Kaip mateme, visi sesi elementarieji i

‘vykiai yra vie-

nodai galimi. Palankiu‘i‘vykiu

‘yra trys: kai atsivercia 2, 4 arba 6 akutes. Ieskomoji

tikimybe lygi 3/6 = 1/2.6 p a v y z d y s. Metame du losimo kauliukus. Rasime tikimybe

‘, kad abieju

‘kauliuku

‘atsivertusiu

‘akuciu

‘suma lygi 8. Kaip mateme is 3 skyrelio 3 pavyzdzio,

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe sudaryta is 36 i

‘vykiu

‘. Jie yra vienodai galimi. Tarp ju

‘palankus yra 5 i

‘vykiai. Taigi ieskomoji tikimybe lygi 5/36.

7 p a v y z d y s. M e r e u z d a v i n y s. Sis uzdavinys iskilo tuo metu, kaitik kuresi tikimybiu

‘teorija, ir pasitarnavo jos raidai. Mere1 XVII a. vidury nag-

rinejo losimo su kauliukais uzdavinius. Tarp ju‘buvo ir sitoks: kokia dazniau buna

akuciu‘suma, metant kartu tris losimo kauliukus: 11 ar 12? Jam atrode, kad abi

kombinacijos turetu‘buti vienodai daznos, nors ”praktika” rode kitaip. Samprotavo

jis sitaip. 11 akuciu‘suma

‘galima gauti sesiais skirtingais budais: 6+4+1, 6+3+2,

5+5+1, 5+4+2, 5+3+3, 4+4+3. Taip pat sesiais skirtingais budais galima gauti 12akuciu

‘suma

‘: 6+5+1, 6+4+2, 6+3+3, 5+5+2, 5+4+3, 4+4+4. Apie tai jis parase

Paskaliui. Sis laiskas pateko i‘istorija

‘.

Paskalis pastebejo, kad Mere nurodyti i‘vykiai nera vienodai galimi (net jeigu

kauliukai idealus). Reikia skaiciuoti ne tik atsivertusiu‘akuciu

‘suma

‘, bet ir ziureti,

ant kuriu‘

kauliuku‘

jos pasirode. Jei sunumeruotume kauliukus ir imtume akutesatitinkama tvarka, tai matytume, kad kombinacija 6+4+1 pasirodo, kai turime re-zultatus (6, 4, 1), (6, 1, 4), (4, 6, 1), (4, 1, 6), (1, 6, 4), (1, 4, 6), o kombinacija4+4+4 pasirodo tik viena

‘karta

‘.

Vartodami siuolaikine‘terminologija

‘, turime sudaryti elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erd-

ve‘. Tai bus visi galimi trejetai (ω1, ω2, ω3), kur ω1 yra pirmojo, ω2 – antrojo, ω3 –

treciojo kauliuko atsivertusiu‘akuciu

‘skaicius. Naturalu manyti, kad elementarieji

i‘vykiai vienodai galimi. Ju

‘is viso yra 63 = 216. Tarp ju

‘palankus pirmajam i

‘vykiui

yra sie: (6, 4, 1), (6, 3, 2), (6, 2, 3), (6, 1, 4), (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3), (5, 2, 4),(5, 1, 5), (4, 6, 1), (4, 5, 2), (4, 4, 3), (4, 3, 4), (4, 2, 5), (4, 1, 6), (3, 6, 2), (3, 5, 3),(3, 4, 4), (3, 3, 5), (3, 2, 6), (2, 6, 3), (2, 5, 4), (2, 4, 5), (2, 3, 6), (1, 6, 4), (1, 5, 5),(1, 4, 6), is viso 27 i

‘vykiai. Palankus antrajam i

‘vykiui: (6, 5, 1), (6, 4, 2), (6, 3, 3),

(6, 2, 4), (6, 1, 5), (5, 6, 1), (5, 5, 2), (5, 4, 3), (5, 3, 4), (5, 2, 5), (5, 1, 6), (4, 6, 2),(4, 5, 3), (4, 4, 4), (4, 3, 5), (4, 2, 6), (3, 6, 3), (3, 5, 4), (3, 4, 5), (3, 3, 6), (2, 6, 4),(2, 5, 5), (2, 4, 6), (1, 6, 5), (1, 5, 6), is viso 25 i

‘vykiai. Atitinkamos tikimybes yra

27/216, 25/216.

Tiesiog is apibrezimo isplaukia sitokios tikimybes savybes.1. Kiekvieno i

‘vykio A tikimybe tenkina nelygybes 0 ≤ P (A) ≤ 1.

2. Butino i‘vykio tikimybe P (Ω) = 1.

3. Negalimo i‘vykio tikimybe P (∅) = 0.

4. Jei i‘vykis A yra i

‘vykio B atskiras atvejis: A ⊂ B, tai P (A) ≤ P (B).

Kad i‘rodytume nelygybe

‘, pakanka pastebeti, jog skaicius elementariu

‘ju

‘

1 Chevalier de Meray (1607–1648) – prancuzu‘filosofas ir literatas.

Kelios kombinatorikos formules 25

i‘vykiu

‘, palankiu

‘i‘vykiui A, yra ne didesnis uz skaiciu

‘i‘vykiu

‘, palankiu

‘i‘vykiui B.

5. Jei i‘vykis A yra dvieju

‘nesutaikomu

‘i‘vykiu

‘A1 ir A2 sa

‘junga: A =

= A1 ∪ A2, tai P (A) = P (A1) + P (A2) (tikimybiu‘

sudeties teorema). Taitaip pat lengvai i

‘rodoma, nes skaicius elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, palankiu

‘A, yra

elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘, palankiu

‘A1 ir A2, skaiciu

‘suma.

Sis teiginys yra teisingas ir keliems kas du nesutaikomiems i‘vykiams. I

‘ro-

doma taip pat. Be to, ji‘

galima i‘rodyti, remiantis ka

‘tik i

‘rodyta lygybe ir

matematines indukcijos metodu.6. Teisinga lygybe P (Ac) = 1− P (A).I‘vykiai A ir Ac yra nesutaikomi, be to, A∪Ac = Ω. Todel P (A)+P (Ac) =

= P (Ω) = 1.

6. KELIOS KOMBINATORIKOS FORMULES

Elementariojoje tikimybiu‘teorijoje, kai tinka klasikinis tikimybes apibrezi-

mas, tenka skaiciuoti visus vienodai galimus ir palankius atvejus. Jei tokiu‘

atveju‘

nedaug, juos suskaiciuoti nesunku. Pakanka isvardyti visus galimusatvejus ir is ju

‘isrinkti palankiuosius. Kai elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘daug, tenka

ieskoti i‘vairiu

‘taisykliu

‘, palengvinanciu

‘ta

‘darba

‘. Tada labai pravercia kom-

binatorika.Tarkime, kad turime keleta

‘elementu

‘a1, a2, ..., an. Bet kuris duotu

‘ju

‘ele-

mentu‘rinkinys ak1 , ak2 , ..., aks yra vadinamas junginiu (kombinacija). Tarp

parinktu‘ju

‘elementu

‘gali buti ir pasikartojanciu

‘; ju

‘tvarka gali buti svarbi,

gali ir netureti reiksmes.Daznai tenka skaiciuoti, kiek junginiu

‘galima sudaryti is duotu

‘ju

‘elementu

‘pagal kokia

‘nors taisykle

‘. Tokius uzdavinius paprastai vadiname kombinato-

riniais, o juos nagrinejanti‘matematikos skyriu

‘– kombinatorika (nuo lotynu

‘kalbos zodzio ”combinare” – jungti, risti (po du)).

Pagrindines junginiu‘rusys yra gretiniai, keliniai ir deriniai. Jie gali buti

su pasikartojimais (kai kurie elementai junginiuose pasikartoja) ir be ju‘(visi

junginio elementai yra skirtingi).Isspre

‘sime keleta

‘paprasciausiu

‘kombinatorikos uzdaviniu

‘.

1. E l e m e n t u‘

j u n g i n i a i i s i‘v a i r i u

‘a i b i u

‘. Tarkime, kad

turime r baigtiniu‘aibiu

‘: pirmojoje aibeje yra n1 elementu

‘a11, a12, ..., a1n1 ,

antrojoje – n2 elementu‘a21, a22, ..., a2n2 ir t. t., paskutineje r-ojoje aibeje – nr

elementu‘ar1, ar2, ..., arnr . Priminsime, kad aibes elementai visada yra laikomi

skirtingais. Visi junginiai po r elementu‘a1i1 , a2i2 , ..., arir

taip sudaromi, kad i‘

kiekviena‘jungini

‘i‘eitu

‘po viena

‘elementa

‘is kiekvienos aibes: pirmasis junginio

elementas turi buti is pirmosios, antrasis – is antrosios ir t. t., r-asis – isr-osios aibes.

Nesunku suskaiciuoti, kiek bus tokiu‘junginiu

‘. Pirma

‘ji‘junginio elementa

‘a1i1 galime parinkti is pirmosios aibes n1 budu

‘, antra

‘ji‘a2i2 galime parinkti


is antrosios aibes n2 budu‘

ir t. t., paskutini‘arir galime parinkti nr budu

‘.

Todel visu‘junginiu

‘skaicius yra n1n2...nr.

Pazymekime duota‘sias elementu

‘aibes A1, A2, ..., Ar. Imkime tu

‘aibiu

‘(Dekarto1) sandauga

‘A1 × A2 × . . . × Ar. Sandaugos elementai sudaryti is

visu‘galimu

‘ka

‘tik nagrinetu

‘junginiu

‘, taigi ju

‘skaicius yra n1n2...nr.

Panagrinekime specialu‘

atveji‘, kai aibes A1 = ... = Ar = A ir aibe A

turi n elementu‘a1, a2, ..., an. Is aibes A isrenkame kuri

‘nors elementa

‘ai1 .

Ji‘gra

‘ziname atgal. Po to renkame kita

‘elementa

‘ai2 . Vel gra

‘ziname atgal.

Taip te‘sdami, po r operaciju

‘gausime jungini

‘ai1 , ai2 , ..., air . Tokie junginiai

vadinami gretiniais su pasikartojimais is n elementu‘po r elementu

‘. Ju

‘skai-

cius yra nr. Gretiniu‘su pasikartojimais skaicius yra lygus aibiu

‘sandaugos

A×A× . . .×A = Ar elementu‘skaiciui.

2. G r e t i n i a i b e p a s i k a r t o j i m u‘. Duota aibe is n elementu

‘a1, a2, ..., an. Gretiniu be pasikartojimu

‘is n elementu

‘po r elementu

‘vadina-

mas bet kuris sutvarkytas duotosios aibes poaibis is r elementu‘ai1 , ai2 , ..., air

;du gretiniai skiriasi arba paciais elementais, arba ju

‘tvarka; elementai ne-

gali pasikartoti tame paciame gretinyje. Gretinius be pasikartojimu‘

galimegauti ir sitokiu budu. Is pradziu

‘bet kaip parenkame ai1 is n aibes elementu

‘ir jo nebegra

‘ziname. Po to renkame antra

‘ji‘gretinio elementa

‘ai2 is likusiu

‘n − 1 aibes elementu

‘, jo taip pat negra

‘ziname, ir t. t. Pagaliau renkame

r-a‘ji‘

gretinio elementa‘air is likusiu

‘n − r + 1 duotosios aibes elementu

‘.

Taigi visu‘gretiniu

‘be pasikartojimu

‘is n elementu

‘po r elementu

‘skaicius yra

Arn = n(n − 1)...(n − r + 1). Sis zymejimas kile

‘s is prancuzu

‘kalbos zodzio

”arrangement”. Jei susitartume sandauga‘1 · 2 · . . . ·m zymeti m! (skaiciaus

m faktorialas), tai gauta‘ja

‘formule

‘galetume uzrasyti sitaip:

Arn =

n!(n− r)!

.

Kai r = n, pastaroji formule taip pat tures prasme‘, jei susitarsime, kad 0! = 1.

3. K e l i n i a i b e p a s i k a r t o j i m u‘. Duota aibe is n elementu

‘.

Kiekviena tu‘elementu

‘seka, sudaryta is visu

‘n elementu

‘be pasikartojimu

‘,

vadinama keliniu be pasikartojimu‘

is n elementu‘. Kiek ju

‘yra? Ju

‘skaicius

yra lygus skaiciui budu‘, kuriais galima sutvarkyti duotosios aibes elementus.

Tai bus gretiniai is n elementu‘po n elementu

‘be pasikartojimu

‘. Ju

‘skaicius

Pn = Ann = n!. Cia P primena lotynu

‘kalbos zodi

‘”permutatio”.

4. D e r i n i a i b e p a s i k a r t o j i m u‘. Duota n elementu

‘aibe.

Deriniu is n elementu‘po r elementu

‘be pasikartojimu

‘vadinamas bet kuris tos

aibes poaibis, sudarytas is r elementu‘. Pabresime, kad cia elementu

‘tvarka

nera svarbi. Rasime deriniu‘

be pasikartojimu‘

is n elementu‘

po r elementu‘

skaiciu‘Cr

n. Cia C is prancuzu‘kalbos zodzio ”combinaison”.

1 Rene Descartes (1596–1650) – prancuzu‘

matematikas, fizikas ir filosofas. Jovardu daznai vadinama aibiu

‘sandauga, kad ja

‘butu

‘galima atskirti nuo aibiu

‘sankir-

tos, kuri kartais taip pat vadinama sandauga.

Kelios kombinatorikos formules 27

Imkime kuri‘nors derini

‘be pasikartojimu

‘is r elementu

‘. Perstatinedami

jo elementus, galime gauti r! gretiniu‘

be pasikartojimu‘. Padare

‘ta

‘pati

‘su

visais deriniais, gausime visus gretinius is n elementu‘po r elementu

‘be pasi-

kartojimu‘. Vadinasi, Ar

n = Crn · r!. Is cia

Crn =

Arn

r!=n(n− 1) . . . (n− r + 1)

r!=

n!r!(n− r)!

=(nr

).

Is pastarosios formules isplaukia lygybe Crn = Cn−r

n . Papildomai apibresimeC0

n, laikydami ji‘

lygiu 1. Sie skaiciai yra koeficientai vadinamojoje binomoformuleje

(a+ b)n =n∑

k=1

(nk

)akbn−k.

5. K e l i n i a i s u p a s i k a r t o j i m a i s. Duota aibeis k elementu

‘a1, a2, ..., ak. Tarkime, kad r1, r2, ..., rk yra naturalieji skaiciai,

n = r1 + r2 + ... + rk. Keliniais su pasikartojimais is n elementu‘, kuriuose

a1 pasikartoja r1 kartu‘, a2 pasikartoja r2 kartu

‘ir t. t., ak pasikartoja rk

kartu‘, vadinami gretiniai su pasikartojimais, kuriuose tie elementai pasikar-

toja nurodyta‘skaiciu

‘kartu

‘. Koks ju

‘skaicius P (r1, r2, ..., rk)?

Imkime k elementu‘

grupiu‘, kuriu

‘pirmoji sudaryta is r1 elementu

‘b11,

b12, ..., b1r1 , antroji – is r2 elementu‘b21, b22, ..., b2r2 ir t. t., k-oji – is rk elemen-

tu‘bk1, bk2, ..., bkrk

. Kadangi skaicius budu‘, kuriais elementus b11, b12, ..., b1r1

galima isdestyti n vietose, yra(

nr1

), skaicius budu

‘, kuriais elementus b21,

b22, ..., b2r2 galima isdestyti n− r1 vietose, yra(n−r1

r2

)ir t. t., tai

P (r1, r2, ..., rk) =( nr1

)(n− r1r2

)...

(n− r1 − ...− rk−1

rk

)=

=n!

r1!(n− r1)!· (n− r1)!r2!(n− r1 − r2)!

· · · 1 =n!

r1!r2!...rk!.

Sie skaiciai yra koeficientai formuleje, kuri apibendrina binomo formule‘,

(a1 + a2 + ...+ ak)n =∑

r1≥0,r2≥0,...,rk≥0r1+r2+..+rk=n

n!r1!r2!...rk!

ar11 a

r22 ...a

rk

k .

Nagrinejamasis uzdavinys yra ekvivalentus tokiam uzdaviniui: turime nskirtingu

‘objektu

‘ir k dezuciu

‘; reikia taip sudelioti objektus i

‘dezutes, kad i

‘j-a

‘ja

‘dezute

‘(j = 1, ..., k) patektu

‘rj objektu

‘, n = r1 + ... + rk. Tai galima

padaryti P (r1, ..., rk) budu‘.

6. D e r i n i a i s u p a s i k a r t o j i m a i s. Duota n skirtingu‘

elementu‘. Is ju

‘sudarome junginius po r elementu

‘, leisdami elementams karto-

tis. Elementu‘tvarka junginiuose neturi reiksmes. Tokius junginius vadiname

deriniais su pasikartojimais is n elementu‘po r elementu

‘. Rasime ju

‘skaiciu

‘.


Tarkime, kad elementai, is kuriu‘sudaromi deriniai su pasikartojimais, yra

a1, a2, ..., an. Sudarykime lentele‘

a1, a2, . . . , an,a1, a2, . . . , an,· · · · · · . . . · · ·a1, a2, . . . , an,

kurioje yra r eiluciu‘. Is pirmosios eilutes imsime kuri

‘nors elementa

‘; is ant-

rosios imsime elementa‘, arba esanti

‘po pirmuoju, arba i

‘desine

‘nuo jo; is tre-

ciosios imsime elementa‘, esanti

‘arba po elementu, paimtu is antrosios eilutes,

arba i‘desine

‘nuo jo, ir t. t. Taip galime gauti bet kuri

‘derini

‘su pasikartojimais

is n elementu‘po r. Ju

‘skaicius bus lygus skaiciui deriniu

‘be pasikartojimu

‘,

sudarytu‘is lenteles

b1, b2, . . . , bn,b2, b3, . . . , bn+1,· · · · · · . . . · · ·br, br+1, . . . , bn+r−1

elementu‘, imant po viena

‘is kiekvienos eilutes. Taigi ieskomasis skaicius yra

Crn+r−1 =

(n+ r − 1r

).

Naudodamiesi sia formule, galime isspre‘sti ir sitoki

‘uzdavini

‘. Tarkime,

kad turime n vienodu‘objektu

‘, kuriuos reikia isdelioti i

‘r dezuciu

‘. Kiekvienas

isdestymas yra apibudinamas skaiciumi objektu‘, patekusiu

‘i‘atitinkama

‘de-

zute‘, ir aprasomas kombinacija (n1, n2, ..., nr); cia nk – objektu

‘skaicius k-oje

dezuteje. Visu‘tokiu

‘isdestymu

‘skaicius yra(n+ r − 1

r − 1

).

Jei papildomai reikalautume, kad ne viena dezute nebutu‘

tuscia (t. y.nk > 0, k = 1, ..., r; tada butinai n ≥ r), tai isdestymu

‘skaicius butu

‘(n− 1r − 1

)(i‘rodykite!).

Ka‘tik i

‘rodytos formules labai pravercia, skaiciuojant tikimybes. Kai ele-

mentu‘skaicius yra nedidelis, nesunku rasti i

‘vairiu

‘skaiciu

‘junginiu

‘skaitines

reiksmes. Uzdavinys pasunkeja, kai elementu‘skaicius yra didelis. Tada skaiciu

‘faktorialams apskaiciuoti tinka apytiksle vadinamoji Stirlingo1 formule. Ga-lima i

‘rodyti, kad

1 James Stirling (1692–1770) – skotu‘matematikas.

Keletas pavyzdziu‘

29

n! =√

2πn · nn · e−n+%n ,

kai n yra bet kuris naturalusis skaicius. Cia

112n+ 1

< %n <1

12n,

arba, dar tiksliau,1

12n+ 0,6n

< %n <1

12n+ 0,33n

.

Sie i‘verciai yra gana geri: pavyzdziui, naudodamiesi pirmosiomis nelygybemis

ir keturzenklemis logaritmu‘

lentelemis, gauname 9, 332 · 10157 < 100! << 9, 334 · 10157. Yra ir dar tikslesniu

‘Stirlingo formuliu

‘.

7. KELETAS PAVYZDZIU‘

Isspre‘sime keleta

‘siek tiek sudetingesniu

‘uzdaviniu

‘.

1. Berniukas zaidzia su sudedamo raidyno 5 raidemis E, I, N, R, S, atsitiktinaidestydamas jas i

‘eile

‘(atitinkamai atverstas). Kokia tikimybe, kad jis sudes zodi

‘NERIS?

Elementariaisiais i‘vykiais laikysime kiekviena

‘kelini

‘is tu

‘raidziu

‘. Ju

‘yra 5!, visi

laikytini vienodai galimais. Palankiu‘

atveju‘

yra 1. Todel ieskomoji tikimybe lygi1/5!=1/120.

2. Spynoje yra 5 diskai, ant kiekvieno ju‘uzrasyti skaitmenys 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9. Kiekvienas diskas gali uzimti po 10 padeciu‘, atitinkanciu

‘duotuosius skait-

menis. Spyna atsirakina tik tada, kai kiekvienas diskas uzima tam tikra‘konkrecia

‘padeti

‘spynos korpuso atzvilgiu. Kokia yra tikimybe, kad, atsitiktinai parinkus disku

‘padetis, spyna atsirakins?


‘gretini

‘is 5 skaitmenu

‘su pasi-

kartojimais. Jie yra vienodai galimi, o ju‘skaicius lygus 105. Palankiu

‘atveju

‘yra 1.

Ieskomoji tikimybe 1/105 = 0, 00001.

3. Gaminiu‘partijoje yra n vienetu

‘, tarp ju

‘m blogu

‘. Is tos partijos atsitiktinai

parenkama r(r ≤ n) gaminiu‘. Kokia tikimybe, kad tarp ju

‘bus s(s ≤ r) blogu

‘?


‘derini

‘is n gaminiu

‘po r. Ju

‘bus(

nr

). Visi jie laikytini vienodai galimais. Suskaiciuosime palankiu

‘elementariu

‘ju

‘

i‘vykiu

‘skaiciu

‘. s blogu

‘gaminiu

‘is m turimu

‘galime parinkti

(ms

)budu

‘, o r −

−s geru‘is n − m geru

‘galime parinkti

(n−mr−s

)budu

‘. Todel palankiu

‘atveju

‘bus(

ms

) (n−mr−s

). Vadinasi, ieskomoji tikimybe yra(

m

s

) (n−m

r − s

) / (n

r

).


4. Loterijoje yra 100 bilietu‘ir 25 laimejimai. Pirkau tris bilietus. Kokia tikimy-

be, kad bent vienas pirktas bilietas islos?Apskaiciuosime priesingo i

‘vykio tikimybe

‘, – kad ne vienas pirktu

‘ju

‘bilietu

‘nelai-

mes. Elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe sudaryta is

(1003

)vienodai galimu

‘i‘vykiu

‘; kadangi

neislosia 75 bilietai, tai palankiu‘priesingajam i

‘vykiui atveju

‘bus

(753

). Ieskomoji

tikimybe

1−(

75

3

) / (100

3

)= 0, 5824...

5. Pinigineje yra 4 banknotai po 10 Lt, 3 banknotai po 20 Lt, 3 banknotaipo 50 Lt ir 2 banknotai po 100 Lt. Atsitiktinai is pinigines istraukiame keturisbanknotus. Rasime tikimybe

‘, kad istrauktu

‘banknotu

‘bendra verte bus 130 Lt.

Elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe sudaryta is

(124

)i‘vykiu

‘. Laikysime juos vienodai

galimais. Apskaiciuosime palankiu‘atveju

‘skaiciu

‘. 130 Lt galime gauti, paeme

‘du 50

Lt, viena‘20 Lt ir viena

‘10 Lt banknotus arba viena

‘100 Lt ir tris 10 Lt banknotus.

Is 3 penkiasdesimtliciu‘

banknotu‘

2 galime parinkti(32

)budu

‘, is 3 dvidesimtliciu

‘

1 galime parinkti(31

)budu

‘ir is 4 desimtliciu

‘1 galime parinkti

(41

)budu

‘; is 2

simtaliciu‘banknotu

‘1 galime parinkti

(21

)budu

‘ir is 4 desimtliciu

‘3 galime parinkti(

43

)budu

‘. Palankiu

‘atveju

‘yra is viso

(32

)(31

)(41

)+

(21

)(43

). Ieskomoji tikimybe(

32

)(31

)(41

)+

(21

)(43

)(124

) =4

45.

Spre‘sdami si

‘uzdavini

‘, galejome remtis ir 5.5 savybe.

6. Statistineje fizikoje daleles momentine busena (vieta, impulsas ir t. t.) nusa-koma jos koordinatemis daugiamateje fazineje erdveje. Sakykime, turime n daleliu

‘.

Padalijame fazine‘erdve

‘i‘mazas sritis – la

‘steles. Tarkime, kad ju

‘bus k. Kiekviena

dalele pateks i‘viena

‘lastele

‘. Visos sistemos busena aprasoma tikimybemis p(r1, r2,

..., rk), kad j-oje la‘steleje bus rj daleliu

‘.

Tarkime, kad daleles galime vienas nuo kitu‘atskirti. Kiekviena is ju

‘gali patekti

i‘bet kuria

‘la‘stele

‘. Gauname is viso kn galimu

‘pasiskirstymu

‘, kurie vienas nuo kito

skiriasi arba paciomis dalelemis, arba ju‘skaiciumi la

‘stelese. Laikykime tuos pasi-

skirstymus vienodai galimais elementariaisiais i‘vykiais. Tada

p(r1, r2, ..., rk) =n!

r1! r2! ... rk!

1

kn.

Siuo atveju fizikai kalba apie Maksvelo1–Bolcmano2 statistika‘

3. Ji gerai apraso duju‘

molekuliu‘pasiskirstyma

‘, bet netinka elementariu

‘ju

‘daleliu

‘sistemoms. Todel buvo

sukurtos kitos statistikos. Tarkime, kad daleliu‘

negalime atskirti vienu‘

nuo kitu‘.

1 James Clark Maxwell (1831–1879) – anglu‘fizikas.

2 Ludwig Boltzmann (1844–1906) – austru‘fizikas.

3 Matematikoje statistika suprantama kas kita (zr. IV skyr.).

”Geometrines” tikimybes 31

Todel dabar teigiame, kad atvejai, kai daleles pasikeicia savo vietomis la‘stelese, yra

tapatus: svarbu tik, kiek daleliu‘

pateko i‘

la‘steles, bet nesvarbu kurios. Manome,

kad kiekvienas toks pasiskirstymas yra vienodai galimas elementarusis i‘vykis. Ju

‘

skaicius yra(

n+k−1n

)(deriniai su pasikartojimais). Tada

p(r1, r2, ..., rk) = 1/(

n + k − 1

n

).

Turime Bozes1–Einsteino2 statistika‘. Ji gerai apraso fotonu

‘, atomu

‘branduoliu

‘ir

atomu‘, turinciu

‘lygini

‘elementariu

‘ju

‘daleliu

‘skaiciu

‘, sistemas.

Kitoms sistemoms aprasyti reikalinga dar viena statistika. Pareikalausime, kadvienoje la

‘steleje nebutu

‘daugiau kaip viena dalele (todel turi buti n ≤ k). Pasiskirs-

tymas aprasomas, nurodant, kuriose la‘stelese yra daleles. Kadangi yra k la

‘steliu

‘ir n

daleliu‘, tai galimi

(kn

)pasiskirstymu

‘. Laikysime juos vienodai galimais. Gauname

p(r1, r2, ..., rk) =

1/

(kn

), kai 0 ≤ rj ≤ 1 (j = 1, ..., k),

0 kitais atvejais.

Turime vadinama‘ja

‘Fermio3–Dirako4 statistika

‘. Ji tinka elektronu

‘, protonu

‘, neut-

ronu‘sistemoms aprasyti.

8. ”GEOMETRINES” TIKIMYBES

Iki siol kalbejome apie baigtines elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdves ir i

‘vedeme tiki-

mybes sa‘voka

‘, kai tiko vienodo galimumo principas. Apibendrindami si

‘prin-

cipa‘, lengvai galime i

‘vesti tikimybes sa

‘voka

‘ir kai kurioms begalinems elemen-

tariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdvems. Tarp ju

‘bus vadinamosios ”geometrines” tikimybes.

Is pradziu‘panagrinekime pora

‘pavyzdziu

‘.

1 p a v y z d y s. Turime atkarpa‘AB (3 pav.), kurios ilgis 2a. Tarkime, kad

C yra tos atkarpos vidurio taskas. Atsitiktinai parenkame atkarpos taska‘x. Kokia

tikimybe, kad tasko x atstumas nuo tasko C bus ne didesnis uz d (d ≤ a)?

1 Jagadis Chunder Bose (1858–1937) – indu‘fizikas.

2 Albert Einstein (1879–1955) – zymus pastaru‘ju

‘laiku

‘fizikas, vienas is reliaty-

vumo teorijos pradininku‘.

3 Enrico Fermi (1901–1954) – italu‘kilmes fizikas, dirbe

‘s Italijoje ir JAV, bran-

duolio fizikos specialistas.4 Paul Adrien Maurice Dirac (g. 1902) – anglu

‘fizikas, vienas is kvantu

‘mechanikos

kureju‘.


3 pav.

Kol kas uzdavinys yra neapibreztas. Mes dar nenusakeme, ka‘

reiskia ”at-sitiktinai”. I

‘vesime ir cia vienodo galimumo sa

‘voka

‘. Grubiai kalbant, tai reiks,

kad, parinkdami taskus, laikysimes ”demokratijos” principu‘– visi taskai bus ”ly-

giateisiai”. Tiksliau kalbant, tai reiks, jog i‘vykis, kad taskas parenkamas is kurio

nors intervalo, esancio atkarpoje AB, ir i‘vykis, kad taskas parenkamas is kito to

paties ilgio intervalo (esancio, suprantama, taip pat atkarpoje AB), yra vienodaigalimi. Todel naturalu manyti, kad tikimybe parinkti taska

‘is kurio nors intervalo

yra proporcinga to intervalo ilgiui. Vadinasi, jei taskai D ir E yra nutole‘atstumu

d nuo tasko C, tai nagrinejamoji tikimybe lygi atkarpu‘DE ir AB ilgiu

‘santykiui

2d/2a = d/a.

2 p a v y z d y s. Tarkime, kad ilgio a atkarpoje AB atsitiktinai ir nepriklau-somai vienas nuo kito parenkami du taskai. Kokia tikimybe, kad atstumas tarp ju

‘bus ne didesnis uz d (d ≤ a)?

Naudosimes sitokiu modeliu. Pazymekime x1 pirmojo tasko, x2 antrojo taskoatstumus nuo A. Imkime staciakampe

‘koordinaciu

‘sistema

‘(4 pav.). Abscisiu

‘asyje

atidekime x1, o ordinaciu‘– x2. Visos galimos tasku

‘(x1, x2) padetys sudarys kvadra-

ta‘, kurio krastine a. Taskai, atitinkantys tiriama

‘ji‘i‘vyki

‘, sudarys sriti

‘|x1−x2| ≤ d.

Tarkime, kad siuo atveju teisingas vienodo galimumo principas. ”Atsitiktinai irnepriklausomai” reiks, kad du i

‘vykiai, kai parenkamas taskas is dvieju

‘lygiaplociu

‘kvadrato sriciu

‘, yra vienodai galimi. Siuo atveju naturalu teigti, kad tikimybe, jog

taskas (x1, x2) pateks i‘kuria

‘nors sriti

‘, yra proporcinga tos srities plotui. Vadinasi,

ieskomoji tikimybe bus santykis ploto, kuri‘nuo kvadrato atkerta tieses x2 = x1±d,

su viso kvadrato plotu:

a2 − (a− d)2

a2=

d

a

(2− d

a

).

4 pav.


Pateiksime bendresni‘

geometriniu‘

tikimybiu‘

apibrezima‘. Tarkime, jog

nagrinejame atsitiktini‘

eksperimenta‘, kurio elementariosios baigtys sudaro

sriti‘Ω s-mateje Euklido1 erdveje Rs. Tarkime, kad sritis Ω turi Lebego2 mata

‘m(Ω) (kai s = 1, tai bus ilgis, kai s = 2, – plotas, kai s = 3, – turis). Imkimeσ algebra

‘A visu

‘aibes Ω poaibiu

‘A, turinciu

‘Lebego mata

‘mA. Manysime,

kad galioja vienodo galimumo principas: turint dvi sritis A1 ∈ A ir A2 ∈ A,kuriu

‘matai yra vienodi, o forma ir padetis srityje Ω gali skirtis, nera pa-

grindo teigti, kad parinkti taska‘is vienos tu

‘sriciu

‘yra daugiau galimybiu

‘,

negu is kitos. Jei si sa‘lyga tenkinama, tai i

‘vykio – atsitiktinai parinkti taska

‘is srities A – tikimybe laikome santyki

‘mA/(mΩ).

Ir sis apibrezimas, nors formaliai ir nera grieztas, gerai derinasi su prak-tine patirtimi.

Taip apibrezta tikimybe turi panasias savybes, kaip ir klasikines schemostikimybe. Kai A ∈ A, B ∈ A, Ak ∈ A (k = 1, 2, ...), tai:

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1;2. P (Ω) = 1;3. P (∅) = 0;4. Jei A ⊂ B, tai P (A) ≤ P (B);5. Jei A ∩B = ∅, tai P (A ∪B) = P (A) + P (B);6. P (Ac) = 1− P (A);7. Jei Aj ∩Ak = ∅ (j 6= k),

P (∞⋃

k=1

Ak) =∞∑

k=1

P (Ak).

Isspre‘sime dar pora

‘uzdaviniu

‘.

3 p a v y z d y s. B i u f o n o u z d a v i n y s. Horizontalioje plokstumojenubrezta sistema lygiagreciu

‘tiesiu

‘, tarp kuriu

‘atstumai yra a. Ant tos plokstumos

atsitiktinai metama ilgio l (l ≤ a) adata. Reikia rasti tikimybe‘, kad adata kirs kuria

‘nors is nubreztu

‘tiesiu

‘.

Pazymekime raide x adatos apatinio galo atstuma‘iki artimiausios is virsaus

lygiagretes (5 pav.), raide ϕ – kampa‘tarp adatos ir tos lygiagretes. Aisku, x ir ϕ

nepriklausomai vienas nuo kito i‘gyja visas reiksmes ribose 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ x ≤ a.

Taigi visos galimos (ϕ, x) reiksmes sudaro staciakampi‘, kurio krastines lygios π ir

a, o tiriamasis i‘vykis i

‘vyksta tada ir tik tada, kai x ≤ l sin ϕ (zr. 6 pav.). Galima

sakyti, kad tinka vienodo galimumo principas. Taigi ieskomoji tikimybe yra∫ π

0l sin ϕ dϕ

πa=

2l

πa.

1 Eυκλειδηζ (365–300) – graiku‘matematikas.

2 Henry Lebesgue (1875–1941) – prancuzu‘matematikas, vienas is realiu

‘ju

‘funk-

ciju‘moderniosios teorijos kureju

‘.


5 pav.

I‘tikimybes israiska

‘be atstumo a tarp lygiagreciu

‘ir adatos ilgio l i

‘eina skaicius

π. Todel is eksperimentu‘galima i

‘vertinti jo reiksme

‘. Tam reikia atlikti serija

‘eks-

perimentu‘, is ju

‘rasti adatos kirtimosi su lygiagretemis statistini

‘dazni

‘. Tokiu

‘eks-

perimentu‘buvo atlikta nemazai (zr. lentele

‘, paimta

‘is [26]).

6 pav.

Tie eksperimentai dar karta‘patvirtina atsitiktiniu

‘reiskiniu

‘statistinio daznio

stabiluma‘

(zinoma, jei nei‘tariame, kad eksperimentuotojai, is anksto zinantys π

reiksme‘, nutraukia adatos metyma

‘palankiausiu momentu). Antra vertus, matome,

kad kai kuriuos matematikos uzdavinius galime apytiksliai spre‘sti atsitiktiniu

‘ekspe-


rimentu‘pagalba. Dabar toks metodas (paprastai vadinamas Monte Karlo1 metodu)

gana placiai taikomas sudetingoms algebrinems, diferencialinems, integralinems irpan. lygtims, taip pat kitiems matematikos uzdaviniams spre

‘sti.

2 lentele

Eksperimen- Santykis Metimu‘

Pataikymu‘

π i‘vertis

tuotojas l/a skaicius skaicius

Volfas, 1850 0,8 5000 2532 3,1596Smitas, 1855 0,6 3204 1218,5 3,1553Morganas, 1860 1,0 600 382,5 3,137Foksas, 1884 0,75 1030 489 3,1595Lazerinis, 1901 0,83 3408 1808 3,1415929Reina, 1925 0,5419 2520 859 3,1795

4 p a v y z d y s. B e r t r a n o 2 u z d a v i n y s. Spindulio R apskritimeatsitiktinai breziama styga. Kokia tikimybe, kad jos ilgis bus didesnis uz R

√3, t. y.

i‘brezto i

‘apskritima

‘taisyklingojo trikampio krastine

‘?

Galimi keli sio uzdavinio sprendimai.a. Kiekviena styga kerta apskritima

‘dviejuose taskuose. Tarkime, kad abu taskai

yra tolygiai pasiskirste‘apskritime, o ju

‘padetys – nepriklausomos.

7 pav.

Nemazindami bendrumo, galime laikyti viena‘

is tu‘

tasku‘

A (7 pav.) fiksuotu.I‘brezkime i

‘apskritima

‘taisyklinga

‘ji‘trikampi

‘taip, kad viena jo virsune sutaptu

‘su

tasku A. Kitas trikampio virsunes pazymekime B, C. Antrasis stygos galas gali butibet kuris apskritimo taskas. Styga bus ilgesne uz taisyklingojo trikampio krastine

‘,

jei antrasis jos galas bus bet kuris lanko BC taskas. Ieskomoji tikimybe yra 1/3.

1 Nuo Monte Carlo miesto, kuriame yra placiai zinomi losimo namai, pavadinimo.2 Joseph Bertrand (1822–1900) – prancuzu

‘matematikas.


8 pav. 9 pav.

b. Stygos ilgis priklauso nuo jos atstumo iki apskritimo centro ir nepriklauso nuokrypties. Todel galime manyti, kad styga yra fiksuotos krypties, lygiagreti kuriamnors skersmeniui DE (8 pav.), o galimi susikirtimo su jam statmenu skersmeniutaskai yra tolygiai pasiskirste

‘. Atidekime ant pastarojo skersmens nuo centro O i

‘abi puses po R/2. Gausime taskus F, G. Styga bus ilgesne uz taisyklingojo trikampiokrastine

‘tada ir tik tada, kai ji kirs atkarpa

‘FG. Ieskomoji tikimybe yra 1/2.

c. Kiekviena‘

styga‘

vienareiksmiskai nurodo statmens, nuleisto i‘

ja‘

is centro,pagrindas. Tarkime, kad galimi tokie taskai yra tolygiai pasiskirste

‘skritulyje. Nu-

brezkime spindulio R/2 apskritima‘, koncentriska

‘duotajam (9 pav.). Styga bus

ilgesne uz i‘brezto taisyklingojo trikampio krastine

‘tada ir tik tada, kai statmens

pagrindas bus mazesniajame skritulyje. Ieskomoji tikimybe yra

π(R/2)2

πR2=

1

4.

Atrodytu‘, kad gavome priestaravimus. Todel sis uzdavinys daznai vadinamas

Bertrano paradoksu. Taciau is tikru‘ju

‘visi trys sprendimai yra teisingi, nes spren-

deme ne viena‘, o tris uzdavinius. Uzdavinio sa

‘lygoje nebuvo tiksliai nusakyta, ka

‘reiskia ”atsitiktinai breziama styga”. Kiekviename sprendime atsitiktinuma

‘trakta-

vome skirtingai.Sis pavyzdys rodo, kad tikimybiu

‘teorijos uzdaviniuose (ne tik geometriniu

‘ti-

kimybiu‘) visada reikia tiksliai apibrezti, ka

‘reiskia zodis ”atsitiktinai”.

9. TIKIMYBIU‘

TEORIJOS AKSIOMOS

Remdamiesi klasikiniu tikimybes apibrezimu ir jo prapletimu vadinamosiomsgeometrinems tikimybems, negalime kurti grieztos matematines teorijos. Tiekklasikines, tiek geometrines tikimybes yra pagri

‘stos ne visai griezta vienodo

tiketinumo sa‘voka. Del to negrieztumo sunku ja naudotis ir, elgiantis ne-

apdairiai, galimos klaidingos isvados. Yra ir kitas tos sa‘vokos trukumas: ji

taikoma tik gana siaurai atsitiktiniu‘

reiskiniu‘

klasei. Imkime paprasta‘

pa-vyzdi

‘. Tarkime, kad metamas nesimetriskas losimo kauliukas: jis nera tikslios

Tikimybiu‘teorijos aksiomos 37

kubo formos, pagamintas is nevienalytes medziagos (realus losimo kauliukaitokie ir yra). Intuityviai aisku, kad bet kurios tokio kauliuko sieneles atsiver-timas turi stabilu

‘statistini

‘dazni

‘. Tai patvirtina ir eksperimentai. Tuo tarpu

pagal klasikini‘tikimybes apibrezima

‘nieko negalima pasakyti apie jo sieneliu

‘atsivertimo tikimybes.

Noredami paversti tikimybiu‘teorija

‘griezta matematine disciplina, turime

ja‘

aksiomatizuoti. Taip daroma ir kitose matematikos sakose. Stai kad irgeometrija. Ji nagrineja realaus pasaulio geometrines formas ir ju

‘santy-

kius. Taciau gamtoje neturime nei idealiu‘apskritimu

‘, nei trikampiu

‘, kuriuos

nagrineja geometrija. Geometrinis apskritimas ir geometrinis trikampis yrarealiu

‘”apskritimu

‘” ir realiu

‘”trikampiu

‘” abstrakcija. Jie atspindi tai, kas

yra esminio realiesiems apskritimams ir realiesiems trikampiams. Geometri-jos teoremos apie geometriniu

‘figuru

‘santykius atspindi realiu

‘erdviniu

‘for-

mu‘santykius. Taigi geometrija yra empiriniu

‘geometriniu

‘faktu

‘abstraktus

modelis. Geometrijos aksiomatikoje is pradziu‘i‘vedamos kelios aibes objektu

‘,

kurie vadinami ”taskais”, ”tiesemis”, ”plokstumomis”. Kokia ju‘reali prasme,

mums nesvarbu. Toliau nusakomos sa‘vokos ”taskas yra tieseje”, ”taskas yra

plokstumoje”, ”tiese yra plokstumoje” ir t. t. Dar toliau formuluojami teigi-niai – aksiomos, kurie nusako svarbiausias sa

‘rysiu

‘savybes. Kiti geometrijos

teiginiai – teoremos – yra isvedami dedukciskai is aksiomu‘. Zinoma, aksiomos

parenkamos taip, kad atspindetu‘

realaus pasaulio geometriniu‘

formu‘

svar-biausias savybes. Visos teorijos teisingumo kriterijus yra praktika.

Panasiai elgiames ir tikimybiu‘teorijoje. Susipazinsime su A. Kolmogorovo

aksiomatika.Elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve laikoma bet kuri netuscia aibe Ω. Mums ne-

rupi jos prigimtis. Atsitiktiniais i‘vykiais laikomi tos aibes poaibiai. Taciau ne

visi poaibiai gali buti i‘vykiais, nes priesingu atveju, i

‘vesdami tikimybes sa

‘-

voka‘, susidurtume su dideliais matematiniais sunkumais. Kiekvienam i

‘vykiui

– atitinkamam aibes Ω poaibiui – priskiriamas skaicius, vadinamas to i‘vykio

tikimybe ir turi‘s tam tikras savybes.

Dabar grieztai apibresime reikalingas sa‘vokas.

Noredami formalizuoti kuri‘nors tikimybiu

‘uzdavini

‘– sudaryti jo mate-

matini‘modeli

‘, atitinkamam eksperimentui priskiriame aibe

‘Ω su jos poaibiu

‘σ algebra A, t. y. macia

‘erdve

‘Ω,A. Elementariaisiais i

‘vykiais laikysime ai-

bes Ω elementus, atsitiktiniais i‘vykiais – macias aibes, t. y. sistemos A aibes.

Visi kiti Ω poaibiai (jei tokiu‘yra), nepriklausantys A, i

‘vykiais nelaikomi. Ω

yra laikoma butinu i‘vykiu, ∅ – negalimu i

‘vykiu. Ac vadinamas i

‘vykiu, prie-

singu i‘vykiui A. Jei dvi aibes A ir B is A neturi bendru

‘elementu

‘, tai i

‘vykiai

A ir B vadinami nesutaikomais.Taciau kol kas musu

‘matematinis modelis yra nepilnas. Reikia dar i

‘vesti

tikimybes sa‘voka

‘.

Tikimybe vadiname skaitine‘funkcija

‘P : A → R, apibrezta

‘σ algebroje A

ir tenkinancia‘aksiomas:


1. Funkcija P yra neneigiama – turi buti P (A) ≥ 0, kai A ∈ A.2. P (Ω) = 1.3. Funkcija P yra σ adityvi: jei sekos A1, A2, ... kas dvi aibes neturi bendru

‘elementu

‘, tai

P( ∞⋃

k=1

Ak

)=

∞∑k=1

P (Ak)

(suprantama, eilute turi konverguoti).Jau kalbejome, kad i

‘vykiais laikome ne visus Ω poaibius. Pasirodo, kad,

paemus platesne‘uz σ algebra

‘poaibiu

‘sistema

‘, ne visada galima i

‘vesti tiki-

mybe‘.

Jei sistema A yra baigtine, tai is tikimybes pakanka reikalauti tik baig-tinio adityvumo, t. y. kad 3 aksioma galiotu

‘tik baigtiniam aibiu

‘skaiciui.

Toliau i‘rodysime (10.1 teorema), kad P (∅) = 0. Jei sistema A yra baigtine,

o A1, A2, ... yra jos aibiu‘, kas dvi nedengianciu

‘viena kitos, begaline seka, tai

tarp tu‘aibiu

‘nelygiu

‘tusciajai gali buti tik baigtinis skaicius.

Trejetas Ω,A, P yra vadinamas tikimybine erdve. Atitinkama tikimy-bine erdve ir yra atsitiktinio eksperimento matematinis modelis.

1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. Sio eksperimento matematinis

modelis bus sitoks. Elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve sudaryta is sesiu

‘elementu

‘Ω =

= ω1, ..., ω6. Imame visu‘

jos poaibiu‘

algebra‘A (ji bus ir σ algebra). Kiekvie-

nas Ω poaibis – atsitiktinis i‘vykis. I

‘vedame tikimybe

‘P . Jei A = ωk1 , ..., ωkr, tai

P (A) = r/6. Nesunku patikrinti, kad aibes funkcija P (A) tenkina aksiomas.

2 p a v y z d y s. Nagrinesime uzdavini‘apie dvieju

‘tasku

‘atsitiktini

‘parinkima

‘ilgio a atkarpoje (8.2 pavyzdys). Cia elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve Ω yra visuma ploks-

tumos tasku‘(x1, x2), tenkinanciu

‘nelygybes 0 ≤ x1 ≤ a, 0 ≤ x2 ≤ a. Sudarykime

aibiu‘σ algebra

‘A is visu

‘plokstumos maciu

‘Lebego prasme aibiu

‘, telpanciu

‘tame

kvadrate. Aibes A ∈ A tikimybe laikysime mA/a2; cia m reiskia Lebego mata‘. Jis

tenkina aksiomas.

3 p a v y z d y s. Gana paprastos yra tikimybines erdves, kai aibe Ω == ωk baigtine arba skaiti. Tada galime susitarti i

‘vykiais laikyti visus Ω poaibius

be isimties. Ju‘sistema A, kaip nesunku suvokti, yra σ algebra. Tikimybe

‘P galime

i‘vesti sitokiu budu. Imkime baigtine

‘arba skaicia

‘seka

‘neneigiamu

‘skaiciu

‘pk (tiek,

kiek yra aibeje Ω elementu‘) su sa

‘lyga∑

k

pk = 1

ir pazymekime P (ωk) = pk.Jei i

‘vykis A = ωk1 , ωk2 , ... ⊂ Ω yra baigtine arba skaiti aibe, tai susitarkime

laikyti

P (A) = P (ωk1 , ωk2 , ...) =∑kj

P (ωkj) =∑kj

pkj .

Tikimybiu‘savybes 39

Nesunku patikrinti, kad P tenkina tikimybiu‘aksiomas.

Aksiomu‘sistema yra nepriestaringa. Tai reiskia, kad egzistuoja objektai,

kurie ja‘tenkina. Ta

‘mateme is pavyzdziu

‘.

Aksiomu‘sistema nera pilna, nes atsitiktinio i

‘vykio tikimybes ji nenusako

vienareiksmiskai. Gri‘zkime prie losimo kauliuko (1 pavyzdys). Sudarykime ta

‘pacia

‘elementriu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve

‘Ω ir ta

‘pacia

‘atsitiktiniu

‘i‘vykiu

‘sistema

‘A. Ti-

kimybe‘dabar nusakykime kitaip. Imkime P (ω1) = P (ω2) = P (ω3) =

= 1/4, P (ω4) = P (ω5) = P (ω6) = 1/12. Kitoms aibems A ∈ Aapibrezkime P (A), remdamiesi adityvumu. Vel turesime tikimybine

‘erdve

‘,

bet su kita tikimybe.Nepilnumas dar nereiskia, kad aksiomu

‘sistema yra bloga – ji tik univer-

salesne. Jei 1 pavyzdzio tikimybine erdve tinka tik idealiam losimo kauliukui,tai, atitinkamai pakeite

‘tikimybes apibrezima

‘, ja

‘galime pritaikyti ir netai-

syklingiems kauliukams.Kartais reikalaujama, kad tikimybine erdve turetu

‘sitokia

‘papildoma

‘sa-

vybe‘: jei C ∈ A ir P (C) = 0, tai ir kiekvienas aibes C poaibis turi priklau-

syti A. Tada tikimybine erdve vadinama pilna. Taciau sioje knygoje tokioreikalavimo nei

‘vesime.

10. TIKIMYBIU‘

SAVYBES

Pateiksime paprasciausias isvadas is tikimybiu‘teorijos aksiomu

‘. Matysime,

kad ir abstrakciai i‘vesta tikimybes sa

‘voka turi tas pacias svarbiausias savybes,

kaip ir klasikine arba geometrine tikimybe.Visur laikysime tikimybine

‘erdve

‘Ω,A, P fiksuota.

1 teorema. P (∅) = 0.I‘r o d y m a s. Treciojoje aksiomoje imame A1 = A2 = ... = ∅. Kadangi

∞⋃k=1

Ak = ∅

ir i‘vykiai Ak yra kas du nesutaikomi, tai is tos aksiomos isplaukia, kad P (∅) =

= P (∅) + P (∅) + ... Pastaroji lygybe yra teisinga tik tada, kai P (∅) = 0. utIs sios teoremos ir tikimybes aksiomu

‘matome, jog funkcija P yra matas.

Todel ji turi visas mato savybes (zr. V skyriaus 3 ir 4 skyrelius). Mes ciapakartosime jas be i

‘rodymo, isskyrus 6 teorema

‘, kuria

‘i‘rodysime pilnai.

2 teorema. Jei i‘vykiai A1, A2, ..., An yra kas du nesutaikomi, tai

P( n⋃

k=1

Ak

)=

n∑k=1

P (Ak).


P a s t a b a. Kaip jau minejome 9 skyrelyje, si tikimybiu‘savybe vadinama

ju‘baigtiniu adityvumu.

3 teorema. Kai A ir B yra bet kurie i‘vykiai,

P (B\A) = P (B)− P (A ∩B).

1 isvada. Jei i‘vykis A yra i

‘vykio B atskiras atvejis: A ⊂ B, tai P (B\A) =

= P (B)− P (A).2 isvada. Jei i

‘vykis A yra i

‘vykio B atskiras atvejis: A ⊂ B, tai P (A) ≤

≤ P (B).3 isvada. P (Ac) = 1− P (A), kai A yra bet kuris i

‘vykis.

4 isvada. P (A) ≤ 1, kai A yra bet kuris i‘vykis.

4 teorema. Jei A1, A2, ... yra bet kokiu‘

i‘vykiu

‘seka, tai

P( ∞⋃

k=1

Ak

)≤

∞∑k=1

P (Ak).

Isvada. Jei A1, A2, ..., An yra atsitiktiniai i‘vykiai, tai

P( n⋃

k=1

Ak

)≤

n∑k=1

P (Ak).

5 teorema. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B), kai A,B – bet kokiei‘vykiai.

Apibendrinsime sia‘teorema

‘.

6 teorema. Jei A1, A2, ..., An (n ≥ 2) yra bet kokie i‘vykiai, tai

P( n⋃

k=1

Ak

)=

∑1≤k≤n

P (Ak)−∑

1≤k1<k2≤n

P (Ak1 ∩Ak2)+

+∑

1≤k1<k2<k3≤n

P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3)− ...+

+ (−1)n−1P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) =

=n∑

m=1

(−1)m−1∑

1≤k1<k2<...<km≤n

P (Ak1 ∩Ak2 ∩ ... ∩Akm).

I‘r o d y m a s. Kai n = 2, lygybe teisinga pagal 5 teorema

‘. Tarkime, kad

ji teisinga, kai n ≥ 2 yra kuris nors sveikas skaicius. I‘rodysime jos teisinguma

‘,

kai turime n+ 1 i‘vyki

‘. Is 5 teoremos

Tikimybiu‘savybes 41

P(n+1⋃

k=1

Ak

)= P

[( n⋃k=1

Ak

)∪An+1

]= P

( n⋃k=1

Ak

)+ P (An)−

− P[ n⋃

k=1

(Ak ∩An+1)].

Is indukcijos prielaidos isplaukia

P(n+1⋃

k=1

Ak

)=

∑1≤k≤n

P (Ak)−∑

1≤k1<k2≤n

P (Ak1 ∩Ak2)+

+∑

1≤k1<k2<k3≤n

P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3)− ...+

+ (−1)n−1P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) + P (An)−

−∑

1≤k≤n

P (Ak ∩An+1) +∑

1≤k1<k2≤n

P (Ak1 ∩Ak2 ∩An+1)−

−∑

1≤k1<k2<k3≤n

P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3 ∩An+1) + ...+

+ (−1)n+1P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An ∩An+1).

Gautajame reiskinyje atitinkamai sugrupave‘narius, turime

P(n+1⋃

k=1

Ak

)=

∑1≤k≤n+1

P (Ak)−∑

1≤k1<k2≤n+1

P (Ak1 ∩Ak2)+

+∑

1≤k1<k2<k3≤n+1

P (Ak1 ∩Ak2 ∩Ak3)− ...+

+ (−1)nP (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An+1).

Remdamiesi matematines indukcijos principu, darome isvada‘, kad teiginys

yra teisingas, kai n ≥ 2 – bet kuris naturalusis skaicius. ut

7 teorema. Jei i‘vykiai Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskai didejancia

‘seka

‘: A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir

A =∞⋃

k=1

Ak,

tai P (An) → P (A), kai n→∞.

8 teorema. Jei i‘vykiai Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskai mazejancia

‘seka

‘: A1 ⊃ A2 ⊃ ... ir


A =∞⋂

k=1

Ak,

tai P (An) → P (A), kai n→∞.

9 teorema. Tarkime, kad netuscios aibes Ω poaibiu‘algebroje A apibreztas

tikimybinis matas P . Pazymeje‘σ(A) sistemos A generuota

‘σ algebra

‘, galime

rasti tikimybini‘mata

‘Q, apibrezta

‘macioje erdveje Ω, σ(A) ir tenkinanti

‘sa‘-

lyga‘Q(A) = P (A) visoms A ∈ A. Funkcija Q yra vienareiksmiskai nusakyta.

11. SA‘LYGINES TIKIMYBES

Daznai tenka nagrineti i‘vykiu

‘tikimybes, kai prie duotojo sa

‘lygu

‘komplekso

K yra pridedamos papildomos sa‘lygos. Paprastai papildoma sa

‘lyga buna koks

nors i‘vykis E. Gauname nauja

‘platesni

‘sa

‘lygu

‘kompleksa

‘K1, sudaryta

‘is sa

‘-

lygu‘K ir papildomos sa

‘lygos E. I

‘vykio A tikimybe

‘naujojo komplekso K1

atzvilgiu naturalu vadinti sa‘lygine tikimybe su papildoma sa

‘lyga E. Tokia

‘tikimybe

‘zymesime P (A|E) arba PE(A). Skaitysime: ”i

‘vykio A tikimybe, kai

yra i‘vyke

‘s i

‘vykis E” arba ”i

‘vykio A tikimybe su sa

‘lyga E”. Tada i

‘vykiu

‘tiki-

mybes, kai turime tik sa‘lygu

‘kompleksa

‘K be papildomos sa

‘lygos E, galetume

vadinti absoliuciomis, arba nesa‘lyginemis. Suprantama, sie pavadinimai yra

reliatyvus.Kaip galime apibrezti sa

‘lygines tikimybes? Kad butu

‘vaizdziau, isnagri-

nekime konkretu‘pavyzdi

‘.

Tarkime, kad n asmenu‘kolektyve yra v > 0 vyru

‘ir n−v moteru

‘, tarp ju

‘d desiniarankiu

‘ir n− d kairiarankiu

‘(manome, kad nera asmenu

‘, kurie butu

‘kartu desiniarankiai ir kairiarankiai). Tarp vyru

‘yra vd desiniarankiu

‘. Is visu

‘kolektyvo nariu

‘atsitiktinai parenkamas vienas asmuo (realizuojamas sa

‘lygu

‘kompleksasK). Tarkime, kad tinka vienodo galimumo principas. PazymekimeV vyro parinkima

‘, D – desiniarankio. Tikimybe, kad atsitiktinai parinktas

asmuo bus desiniarankis, yra P (D) = d/n. Sakykime, mus domina ne visiasmenys, bet tik vyrai. Tikimybe parinkti desiniaranki

‘, kai renkame tik is

vyru‘(papildoma sa

‘lyga V ), bus lygi

P (D|V ) =vd

v=vd/n

v/n=P (D ∩ V )P (V )

.

Matome, kad sa‘lygine tikimybe P (D|V ) isreiskiama dvieju

‘nesa

‘lyginiu

‘tiki-

mybiu‘santykiu.

Analogiska‘formule

‘galime gauti ir bendresniu atveju, kai tinka klasikinis

tikimybes apibrezimas.Tarkime, kad turime elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve

‘is n vienodai galimu

‘i‘vy-

kiu‘. Sakykime, i

‘vyki

‘E sudaro k (0 < k ≤ n) elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, o i

‘vyki

‘A∩E sudaro r (0 ≤ r ≤ k) i

‘vykiu

‘. Tada, skaiciuojant i

‘vykio A sa

‘lygine

‘tiki-

mybe‘su sa

‘lyga E, visu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘erdve bus sudaryta is k vienodai

Sa‘lygines tikimybes 43

galimu‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘, o tarp ju

‘palankiu

‘i‘vykiui A bus r. Vadinasi,

P (A|E) =r

k=r/n

k/n=P (A ∩ E)P (E)

.

Is cia isplaukia lygybe

P (A ∩ E) = P (E)P (A|E),

t.y. tikimybe i‘vykiams A ir E i

‘vykti drauge yra lygi i

‘vykio E (absoliuciai) ti-

kimybei, padaugintai is i‘vykio A tikimybes su sa

‘lyga, kad i

‘vykis E yra i

‘vyke

‘s.

Sis teiginys kartais vadinamas tikimybiu‘

daugybos teorema.Is siu

‘samprotavimu

‘paaiskeja, kaip reikia i

‘vesti sa

‘lygines tikimybes ak-

siomiskai. Tarkime, kad turime tikimybine‘erdve

‘Ω,A, P. Jei A ir E yra

i‘vykiai ir P (E) > 0, tai i

‘vykio A sa

‘lygine tikimybe su sa

‘lyga, kad E yra

i‘vyke

‘s, vadinsime

P (A|E) =P (A ∩ E)P (E)

.

Sa‘lygine

‘tikimybe

‘apibrezeme tik tuo atveju, kai sa

‘lygos E tikimybe

P (E) > 0. Todel visur, kalbedami apie sa‘lygines tikimybes, turesime omenyje,

kad sa‘lygos tikimybe nera lygi nuliui, nors to specialiai ir neaptarsime.

1 p a v y z d y s. Du draugai, Jonas ir Petras, laisvalaikiu zaidzia losimokauliuku, kurio sieneles su nelyginiu akuciu

‘skaiciumi nudazytos zaliai, o sieneles

su lyginiu akuciu‘skaiciumi – baltai. Jonas meta losimo kauliuka

‘, krintanti

‘uzdengia

delnu ir siulo Petrui dalyvauti sitokiame zaidime: jei atsivertusiu‘akuciu

‘skaicius yra

mazesnis uz keturis, tai laimi Petras, priesingu atveju laimi Jonas. Taciau Petraspastebejo, kad kauliukas nukrito zalia sienele i

‘virsu

‘. Kokia tikimybe jam islosti?

Apskaiciuosime ta‘tikimybe

‘dvejopai. a. Zinodami, kad atsiverte kauliuko zalioji

sienele, turime tris vienodai galimus elementariuosius i‘vykius: atsiverte 1, 3 arba 5

akutes. Is ju‘palankiu

‘i‘vykiu

‘, kai laimi Petras, yra du. Todel ieskomoji tikimybe lygi

2/3. b. Isreiksime ieskoma‘ja

‘tikimybe

‘absoliuciomis tikimybemis. Pazymekime raide

A i‘vyki

‘”atsiverte maziau kaip 4 akutes” (1, 2, 3, akutes), E – i

‘vyki

‘”atsiverte zalios

spalvos sienele” (1, 3, 5 akutes). I‘vykio E tikimybe yra 1/2; tikimybe, kad i

‘vykiai

A ir E i‘vyks kartu, yra 1/3. Todel ieskomoji tikimybe P (A|E) = P (A∩E)/P (E) =

= 2/3.

2 p a v y z d y s. Dezeje yra 3 balti ir 6 juodi rutuliai, kurie skiriasi tik spalva.Atsitiktinai istraukiamas vienas rutulys ir nebegra

‘zinamas i

‘deze

‘. Po to atsitiktinai

traukiamas antras rutulys. Apskaiciuosime tikimybe‘istraukti balta

‘rutuli

‘antruoju

traukimu, kai zinoma, kad pirma‘karta

‘buvo istrauktas baltas rutulys. a. Kadangi

po pirmojo traukimo dezeje liko 2 balti ir 6 juodi rutuliai, tai ieskomoji tikimybe yra1/4. b. Pazymekime A i

‘vyki

‘”pirmasis istrauktas rutulys yra baltas”, B – i

‘vyki

‘”ant-

rasis istrauktas rutulys yra baltas”. Elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe sudaryta is 9 ·8 = 72

i‘vykiu

‘(ω1, ω2); cia ω1 yra kurio nors fiksuoto rutulio is 9 istraukimas pirmuoju

traukimu, o ω2 – fiksuoto rutulio is likusiu‘8 istraukimas antruoju traukimu. Tarp


ju‘palankiu

‘i‘vykiui A ∩ B (abu kartus istraukiamas baltas rutulys) yra 3 · 2 = 6,

o palankiu‘

i‘vykiui A – 3 · 8 = 24. Todel P (A) = 1/3, P (A ∩ B) = 1/12. Is cia

P (B|A) = P (A ∩B)/P (A) = 1/4.

Panagrinesime sa‘lyginiu

‘tikimybiu

‘savybes.

1 teorema. Sa‘lygines tikimybes turi sias savybes:

1. P (A|E) ≥ 0.2. P (Ω|E) = 1.3. Jei A1, A2, ... yra kas du nesutaikomi i

‘vykiai, tai

P( ∞⋃

k=1

Ak|E)

=∞∑

k=1

P (Ak|E).

I‘

r o d y m a s. 1. Is sa‘lygines tikimybes apibrezimo isplaukia, kad ji

neneigiama.

2. P (Ω|E) =P (Ω ∩ E)P (E)

=P (E)P (E)

= 1.

3. Pagal sa‘lygines tikimybes apibrezima

‘

P( ∞⋃

k=1

Ak|E)

=

P[ ∞⋃

k=1

(Ak ∩ E)]

P (E).

Kadangi i‘vykiai Ak yra kas du nesutaikomi, tai tuo labiau bus kas du

nesutaikomi ir i‘vykiai Ak ∩E. Is visisko tikimybes adityvumo isplaukia, kad

P( ∞⋃

k=1

Ak|E)

=

∞∑k=1

P (Ak ∩ E)

P (E)=

∞∑k=1

P (Ak ∩ E)P (E)

=∞∑

k=1

P (Ak|E). ut

Kaip matome, sa‘lygines tikimybes tenkina tikimybiu

‘teorijos aksiomas.

Vadinasi, trejetas Ω,A, PE sudaro tikimybine‘erdve

‘. Todel (kai E fiksuotas)

sa‘lyginems tikimybems tinka tos pacios teoremos, kurias i

‘rodeme nesa

‘lygi-

nems tikimybems.Is pavadinimo isplauktu

‘, kad sa

‘lygine tikimybe i

‘vykiui E i

‘vykti, kai E

yra i‘vyke

‘s, turetu

‘buti lygi 1. Taip ir yra.

2 teorema. P (E|E) = 1.I‘r o d y m a s. Vel is sa

‘lygines tikimybes apibrezimo isplaukia:

P (E|E) =P (E ∩ E)P (E)

=P (E)P (E)

= 1. ut

Sa‘lygines tikimybes 45

Nagrinesime toliau sa‘lyginiu

‘tikimybiu

‘savybes. Nagrinedami klasikine

‘tikimybe

‘, i

‘rodeme vadinama

‘ja

‘tikimybiu

‘daugybos teorema

‘. Apibrezus tiki-

mybe‘aksiomiskai, ji yra triviali isvada is apibrezimo.

3 (daugybos) teorema. P (A ∩ E) = P (A)P (E|A) = P (E)P (A|E).Apibendrinsime sia

‘teorema

‘.

4 teorema. Jei n ≥ 2, tai

P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) =P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩A2)...

...P (An|A1 ∩ ... ∩An−1).

P a s t a b a. Kaip susitareme, sa‘lyginese tikimybese sa

‘lygu

‘tikimybes

turi buti teigiamos. Siuo atveju pakanka reikalauti, tik kad butu‘P (A1∩A2∩

∩... ∩An−1) > 0. Is tikru‘ju

‘, kadangi

A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−1 ⊂ A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−2 ⊂ ... ⊂ A1 ∩A2 ⊂ A1,

taiP (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−1) ≤ P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−2) ≤ ... ≤

≤ P (A1 ∩A2) ≤ P (A1).

I‘r o d y m a s. Kai n = 2, teiginys teisingas (3 teorema). Tarkime, kad

jis teisingas, kai turime n − 1 ≥ 2 i‘vykiu

‘. Tada pagal indukcijos prielaida

‘ir

3 teorema‘

P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = P((A1 ∩A2) ∩A3 ∩ ... ∩An

)=

= P (A1 ∩A2)P(A3|(A1 ∩A2)

)×

× P(A4|(A1 ∩A2) ∩A3

)...×

× P(An|(A1 ∩A2) ∩ ... ∩An−1

)=

= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩A2)×× P (A4|A1 ∩A2 ∩A3)...×× P (An|A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−1).

Is matematines indukcijos principo isplaukia, kad i‘rodomasis teiginys yra tei-

singas kiekvienam baigtiniam i‘vykiu

‘skaiciui. ut

5 teorema (pilnosios tikimybes formule). Jei Hk yra baigtine arbaskaiti aibe i

‘vykiu

‘, kurie kas du nesutaikomi ir⋃

k

Hk = Ω,

A – bet koks i‘vykis, tai


P (A) =∑

k

P (Hk)P (A|Hk).

I‘r o d y m a s. Is jungimo ir kirtimosi operaciju

‘distributyvumo isplaukia

A = A ∩ Ω = A ∩(⋃

k

Hk

)=

⋃k

(Hk ∩A).

Kadangi i‘vykiai Hk yra kas du nesutaikomi, tai tuo labiau tokie yra ir i

‘vykiai

Hk ∩A. Remiantis tikimybes adityvumu ir tikimybiu‘daugybos teorema,

P (A) =∑

k

P (Hk ∩A) =∑

k

P (Hk)P (A|Hk). ut

Teoremos pavadinimas yra tradicinis. Matematiniu poziuriu ji beveik tri-viali, bet naudinga sprendziant uzdavinius.

3 p a v y z d y s. Seserios automatines stakles gamina verzles. Stakles vienodos,bet nevienodai susidevejusios. Visos jos pagamina po 10 000 verzliu

‘per diena

‘, bet

niekalo dalis nevienoda. Zinoma, kad trejos is ju‘daro po 1% niekalo, dvejos – po 2%

ir vienerios – 3%. Is visos produkcijos atsitiktinai imama verzle. Kokia tikimybe,kad ji bus bloga?

I‘vyki

‘, kai paimama verzle, pagaminta vienomis is geriausiu

‘stakliu

‘, pazymekime

raide H1, vidutiniu‘

stakliu‘

– raide H2, blogiausiu‘

stakliu‘

– H3; blogos verzlesparinkima

‘pazymekime A. Per diena

‘stakles pagamina 6 · 10 000 = 60 000 verzliu

‘;

tarp ju‘yra 30 000 · 0, 01 + 20 000 · 0, 02 + 10 000 · 0, 03 = 1000 blogu

‘. Manydami,

kad tinka vienodo galimumo principas, turime

P (A) =1000

60 000=

1

60.

Is pilnosios tikimybes formules gauname

P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) + P (H3)P (A|H3) =

=3

6· 1

100+

2

6· 2

100+

1

6· 3

100=

1

60.

Sudarykite atitinkama‘tikimybine

‘erdve

‘!

6 teorema (Bajeso1 formule).

P (A|E) =P (A)P (E|A)

P (E).

I‘r o d y m a s. Si formule yra triviali daugybos teoremos isvada. ut

1 Thomas Bayes (1702 – 1761) – anglu‘matematikas.

Nepriklausomi i‘vykiai 47

7 (Bajeso) teorema. Jei Hk yra baigtine arba skaiti sistema i‘vykiu

‘,

kurie kas du nesutaikomi ir ⋃k

Hk = Ω,

A – bet koks i‘vykis, tai

P (Hj |A) =P (Hj)P (A|Hj)∑

k

P (Hk)P (A|Hk)(j = 1, 2, ...).

I‘r o d y m a s isplaukia is 6 ir 5 teoremu

‘. ut

Si teorema taip pat vadinama hipoteziu‘

tikimybiu‘

teorema. I‘vykius Hk

tada vadiname hipotezemis. I‘vykis A gali i

‘vykti, kai teisingos vienos ar kitos

sa‘lygos – hipotezes, kurios yra kas dvi nesutaikomos ir kuriu

‘sa

‘junga – butinas

i‘vykis. Tarkime, kad is anksto zinomos hipoteziu

‘tikimybes P (Hk) (apriorines

tikimybes) ir tikimybes, kad i‘vyks i

‘vykis A su tomis hipotezemis P (A|Hk).

Tada, remiantis sia teorema, galima apskaiciuoti tikimybes P (Hj |A) (apos-teriorines tikimybes), kad buvo teisinga hipoteze Hj , jei i

‘vykis A i

‘vyko.

4 p a v y z d y s. Tarkime, kad ispildomos ankstesnio pavyzdzio sa‘lygos.

Atsitiktinai buvo parinkta verzle. Paaiskejo, kad ji bloga. Kokia tikimybe, kad ja‘

pagamino geriausios stakles?Vartodami tuos pacius zymenis, kaip ir ankstesnio pavyzdzio sprendime, turime

P (H1|A) =P (H1)P (A|H1)

P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2)P (H3)P (A|H3)=

=36· 1

100160

=3

10.

12. NEPRIKLAUSOMI I‘VYKIAI

Nepriklausomumo sa‘voka yra viena is svarbiausiu

‘tikimybiu

‘teorijoje – be jos

ta teorija butu‘tik specialus mato bei integralo teorijos atvejis.

Pirmiausia i‘vesime dvieju

‘i‘vykiu

‘A ir B nepriklausomumo sa

‘voka

‘. Saky-

dami, kad i‘vykio A i

‘vykimas nepriklauso nuo to, ar i

‘vykis B i

‘vyko, ar ne,

ir atvirksciai, mes ir nurodome tai, ka‘matematikos kalba vadiname i

‘vykiu

‘nepriklausomumu. Matematiskai galetume ji

‘nusakyti sitaip. Imkime sa

‘lygi-

ne‘tikimybe

‘P (A|B) (P (B) > 0), kad i

‘vyks i

‘vykis A, kai yra i

‘vyke

‘s B. Jei

P (A|B) = P (A), tai naturalu i‘vyki

‘A laikyti nepriklausomu nuo i

‘vykio B.

Tada is tikimybiu‘daugybos teoremos isplaukia, kad

P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B).


Tokia‘pat lygybe

‘gauname ir tuo atveju, kai P (B|A) = P (B). Lygybe yra

simetriska A ir B atzvilgiu. Remdamiesi tais samprotavimais, ir susitarsimedu i

‘vykius A ir B vadinti nepriklausomais, kai P (A∩B) = P (A)P (B). Kar-

tais dar kalbama apie tikimybini‘, arba stochastini

‘1, nepriklausomuma

‘, no-

rint atskirti nuo kitu‘nepriklausomumo sa

‘voku

‘, vartojamu

‘matematikoje. At-

kreipsime demesi‘, jog siame apibrezime nereikalaujame, kad kuris nors is i

‘vy-

kiu‘A arba B turetu

‘teigiamas tikimybes.

1 p a v y z d y s. Klaseje yra 12 berniuku‘ir 12 mergaiciu

‘, tarp ju

‘8 mokslo

pirmunai: 4 berniukai ir 4 mergaites. Mokytojas atsitiktinai iskviecia viena‘mokini

‘atsakineti. I

‘vykiai ”iskviestas berniukas” ir ”iskviestas pirmunas” yra nepriklauso-

mi, nes tu‘i‘vykiu

‘tikimybes lygios 12

24= 1

2ir 8

24= 1

3, o tikimybe iskviesti berniuka

‘

pirmuna‘lygi 4

24= 1

6= 1

2· 1

3.

2 p a v y z d y s. Bet koks i‘vykis A ir negalimas i

‘vykis ∅ yra nepriklausomi.

Is tikru‘ju

‘, kadangi A ∩∅ = ∅ ir P (∅) = 0, tai P (A ∩∅) = P (∅) = P (A)P (∅).

3 p a v y z d y s. Bet koks i‘vykis A ir butinas i

‘vykis Ω yra nepriklausomi.

Kadangi A ∩ Ω = A ir P (Ω) = 1, tai P (A ∩ Ω) = P (A) = P (A)P (Ω).

1 teorema Jei P (B) > 0, tai i‘vykiai A ir B yra nepriklausomi tada ir

tik tada, kai P (A|B) = P (A).I‘r o d y m a s. Sa

‘lygos pakankamumas jau buvo i

‘rodytas: jei P (A|B) =

= P (A), tai is daugybos teoremos isplaukia P (A ∩B) = P (A)P (B).Sa

‘lygos butinumas i

‘rodomas paprastai: jei i

‘vykiai A ir B yra nepriklau-

somi, tai

P (A|B) =P (A ∩B)P (B)

=P (A)P (B)P (B)

= P (A). ut

2 teorema. Jei i‘vykiai A ir B nepriklausomi, tai nepriklausomi ir i

‘vykiai

A ir Bc.I‘r o d y m a s. Teisingos lygybes

P (A ∩Bc) = P(A ∩ (Ω\B)

)=

= P(A\(A ∩B)

)= P (A)− P (A ∩B) =

= P (A)− P (A)P (B) = P (A)(1− P (B)

)= P (A)P (Bc). ut

Isvada. Jei vieno is dvejetu‘A,B; A,Bc; Ac, B; Ac, Bc i

‘vykiai yra ne-

priklausomi, tai nepriklausomi ir kitu‘dvejetu

‘i‘vykiai.

3 teorema. Jei A1, ..., An yra kas du nesutaikomi i‘vykiai, B – bet koks

i‘vykis ir kiekvieno is dvejetu

‘A1, B; ...;An, B i

‘vykiai yra nepriklausomi, tai

taip pat nepriklausomi yra i‘vykiai A1 ∪ ... ∪An ir B.

1 Nuo graikisko zodzio στoχαστις – pataikymas i‘taikini

‘.

Nepriklausomi i‘vykiai 49

I‘

r o d y m a s. Teorema‘

pakanka i‘rodyti tik tuo atveju, kai n = 2.

Kadangi (A1 ∩B) ∩ (A2 ∩B) = ∅, tai

P((A1 ∪A2) ∩B

)= P

((A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B)

)=

= P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B) = P (A1)P (B) + P (A2)P (B) =

=(P (A1) + P (A2)

)P (B) = P (A1 ∪A2)P (B). ut

Apibendrinsime nepriklausomumo sa‘voka

‘. Tarkime, kad turime baigtine

‘arba skaicia

‘i‘vykiu

‘sistema

‘Aλ, λ ∈ Λ. Sakome, kad tie i

‘vykiai yra nepri-

klausomi (visi), jei

P (Aλ1 ∩Aλ2 ∩ ... ∩Aλn) = P (Aλ1)P (Aλ2)...P (Aλn

),

kai n ≥ 2 yra bet kuris naturalusis skaicius, o λ1, λ2, ..., λn – bet kurie skirtingiindeksai is sistemos Λ.

Kai turime du i‘vykius, sis apibrezimas sutampa su ankstesniuoju. Kai tu-

rime tris i‘vykius A1, A2, A3, ju

‘nepriklausomumui nusakyti reikia 4 lygybiu

‘

P (A1 ∩A2) = P (A1)P (A2),

P (A1 ∩A3) = P (A1)P (A3),

P (A2 ∩A3) = P (A2)P (A3),

P (A1 ∩A2 ∩A3) = P (A1)P (A2)P (A3).

Apskritai, jei turime baigtini‘skaiciu

‘k i

‘vykiu

‘, tai ju

‘nepriklausomumui

nusakyti reikia (k

2

)+

(k

3

)+ ...+

(k

k

)= 2k − k − 1

lygybiu‘.

Jei turime keleta‘i‘vykiu

‘(daugiau kaip du), kurie yra kas du nepriklauso-

mi, tai jie nebutinai yra nepriklausomi (visi). Tai matyti is sitokio pavyzdzio.

4 p a v y z d y s. Turime keturias korteles su numeriais 110, 101, 011, 000.Atsitiktinai parenkame viena

‘kortele

‘. Tarkime, kad i

‘vyko i

‘vykis A1, jei parinkome

kortele‘, kurios numeris prasideda 0, A2 – jei numerio antrasis skaitmuo yra 0, A3 –

jei treciasis skaitmuo yra 0. Aisku,

P (A1) = P (A2) = P (A3) =1

2,

P (A1 ∩A2) = P (A1 ∩A3) = P (A2 ∩A3) =1

4,

P (A1 ∩A2 ∩A3) =1

46= P (A1)P (A2)P (A3).


Is apibrezimo isplaukia, kad nepriklausomu‘

i‘vykiu

‘sistemos posistemis

taip pat yra sudarytas is nepriklausomu‘

i‘vykiu

‘. Jei is nepriklausomu

‘i‘vy-

kiu‘sistemos parinksime skirtingu

‘i‘vykiu

‘grupes ir imsime kiekvienos grupes

i‘vykiu

‘sankirtas, tai tos sankirtos sudarys nepriklausomu

‘i‘vykiu

‘sistema

‘.

4 teorema. Jei sistemos Aλ, λ ∈ Λ i‘vykiai yra nepriklausomi, tai,

pakeite‘

bet kuriuos is i‘vykiu

‘Aλ jiems priesingais i

‘vykiais Ac

λ, vel gausimenepriklausomu

‘i‘vykiu

‘sistema

‘.

I‘r o d y m a s. Patogumo delei i

‘vesime simboliskus zymenis: jei A yra

kuris nors i‘vykis, tai A1 = A, A0 = Ac. Tada teoremos teigini

‘galime for-

muluoti sitaip: jei sistemos Aλ, λ ∈ Λ i‘vykiai yra nepriklausomi, tai ir

sistemos Aελ

λ , λ ∈ Λ, kur ελ i‘gyja bet kuria

‘is reiksmiu

‘0 arba 1, i

‘vykiai

taip pat yra nepriklausomi. Reikes i‘rodyti, kad

P( n⋂

k=1

Aελk

λk

)=

n∏k=1

P(A

ελk

λk

),

kai λ1, ..., λn yra bet kurie ir ελktaip pat bet kurie (lygus 0 arba 1).

Nesiaurindami bendrumo, galime suprastinti indeksu‘rasyma

‘, pakeisdami

λk tiesiog k. I‘rodinesime, kad

(1) P( n⋂

k=1

Aεk

k

)=

n∏k=1

P(Aεk

k

).

Kai n = 2, sis teiginys isplaukia is 2 teoremos.Tarkime, kad teiginys i

‘rodytas, kai turime n−1 ≥ 2 i

‘vykiu

‘. I

‘rodysime, kad

jis teisingas ir tada, kai i‘vykiu

‘yra n. Pazymekime L aibe

‘vektoriu

‘(ε1, . . . , εn)

, kurie tenkina (1) lygybe‘. Aibe L yra netuscia, nes jai priklauso (1, ..., 1).

Tarkime, kad koks nors vektorius (ε1, ..., εn−1, εn) priklauso L ir ne visosjo koordinates yra nuliai. Bet kuria

‘jo koordinate

‘, lygia

‘1, pakeiskime 0. Pa-

rodysime, kad ir pakeistasis vektorius priklausys aibei L. Kad butu‘lengviau

uzrasyti, imkime εn = 1. Turime

(n−1⋂k=1

Aεk

k

)∩Ac

n =(n−1⋂

k=1

Aεk

k

)∖((n−1⋂k=1

Aεk

k

)∩An

).

Is 10.3 teoremos 1 isvados isplaukia, kad

P

((n−1⋂k=1

Aεk

k

)∩Ac

n

)= P

(n−1⋂k=1

Aεk

k

)− P

((n−1⋂k=1

Aεk

k

)∩An

).

Kadangi (ε1, ..., εn−1, 1) ∈ L, tai, pasinaudoje‘indukcijos prielaida, gauname

Nepriklausomi eksperimentai 51

P

((n−1⋂k=1

Aεk

k

)∩Ac

n

)=

n−1∏k=1

P (Aεk

k )− P (An)n−1∏k=1

P (Aεk

k ) =

=(1− P (An)

) n−1∏k=1

P (Aεk

k ) = P (Acn)

n−1∏k=1

P (Aεk

k ).

Taigi (ε1, ..., εn−1, 0) ∈ L. Vadinasi, pradeje‘vektoriumi (1, ..., 1, 1) ir paeiliui

pakeite‘po viena

‘vieneta

‘nuliu, po baigtinio zingsniu

‘skaiciaus i

‘sitikinsime,

kad bet kuris vektorius (ε1, ..., εn−1, εn) priklauso L.Is indukcijos principo isplaukia teoremos teiginys. ut5 teorema. Jei Aλ, λ ∈ Λ yra nepriklausomu

‘i‘vykiu

‘sistema, tai

P( r⋂

j=1

Aλmj

∣∣∣ s⋂k=1

Aλnk

)= P

( r⋂j=1

Aλmj

),

kai Aλm1, ..., Aλmr

, Aλn1, ..., Aλns

(λm1 , ..., λmr, λn1 , ..., λns

∈ Λ) yra skirtingitos sistemos i

‘vykiai (suprantama, sa

‘lygos tikimybe turi buti teigiama).

I‘rodyti teorema

‘paliekame skaitytojui.

Kol kas kalbejome apie atskiru‘i‘vykiu

‘nepriklausomuma

‘. Dabar apibresi-

me i‘vykiu

‘sistemu

‘nepriklausomuma

‘.

Tarkime, kad Sλ, λ ∈ Λ yra i‘vykiu

‘sistemu

‘Sλ seima is tos pacios tiki-

mybines erdves. Sakysime, kad tos sistemos yra nepriklausomos, jei, paeme‘is

kiekvienos sistemos Sλ po bet kuri‘i‘vyki

‘Aλ, gauname nepriklausomu

‘i‘vykiu

‘sistema

‘Aλ, λ ∈ Λ. Daznai tenka nagrineti i

‘vykiu

‘sistemu

‘seimas, kai siste-

mos yra algebros arba σ algebros. Tada kalbame apie algebru‘arba σ algebru

‘nepriklausomuma

‘.

13. NEPRIKLAUSOMI EKSPERIMENTAI

Iki siol nagrinejome tikimybinius modelius, kurie apraso vieno eksperimentorezultatus. Jei ir kalbejome apie rutulio pakartotini

‘traukima

‘is dezes, tai

tuos du traukimus traktavome kaip viena‘eksperimenta

‘. Daznai palyginti ne-

sunku aprasyti vieno eksperimento rezultatu‘

tikimybini‘

pasiskirstyma‘, bet

daug sunkiau kalbeti apie eksperimentu‘serija

‘. Pavyzdziui, nesunku aprasyti

vieno kauliuko metima‘, bet daug sunkiau aprasyti metimu

‘serija

‘. Uzdavinys

palengveja, kai galime padaryti prielaida‘, jog visi metimai atliekami iden-

tiskomis sa‘lygomis ir kurio nors metimo rezultatai neturi i

‘takos tolesniems

metimams, kitaip tariant, galime daryti prielaida‘, kad i

‘vykiai, atitinkan-

tys atskirus metimus, yra nepriklausomi. Tada kalbame apie nepriklauso-mus metimus. Kyla klausimas, ar negalima, remiantis vieno eksperimentorezultatu

‘tikimybemis, aprasyti visos metimu

‘serijos rezultatu

‘tikimybini

‘


pasiskirstyma‘. Atsakymas yra teigiamas. Sudarysime nepriklausomu

‘ekspe-

rimentu‘serijos matematini

‘modeli

‘.

Pirmiausia isnagrinesime paprasta‘

pavyzdi‘. Mesdami kauliuka

‘viena

‘karta

‘, gauname elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe

‘Ω, sudaryta

‘is sesiu

‘elementu

‘ω1, ..., ω6; cia ωk reiskia i‘vyki

‘, kad atsiverte k akuciu

‘. I

‘vykiai, susije

‘su

siuo eksperimentu, yra visi galimi tos aibes poaibiai. Laikydami elementa-riuosius i

‘vykius vienodai galimais, i

‘vedame kiekvieno ju

‘tikimybe

‘, lygia

‘1/6;

bet kurio kito i‘vykio tikimybe bus lygi ta

‘i‘vyki

‘sudaranciu

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘skaiciui, padaugintam is 1/6.

Meskime kauliuka‘

du kartus. Tu‘

dvieju‘

metimu‘

rezultata‘

galesime nu-sakyti dvejetu (ω1k, ω2l); cia ω1k yra i

‘vykis, kai pirma

‘ji‘

karta‘

atsiverte kakuciu

‘, ω2l – i

‘vykis, kai antra

‘ji‘

karta‘

atsiverte l akuciu‘. Turime is viso 36

elementariuosius i‘vykius. Ju

‘visuma yra dvieju

‘aibiu

‘Ω1 = ω11, ..., ω16 ir

Ω2 = ω21, ..., ω26 (Dekarto) sandauga Ω = Ω1 × Ω2. Imkime visu‘aibes Ω

poaibiu‘

sistema‘. Tie poaibiai bus i

‘vykiai. Pareikalave

‘, kad kiekvienas dve-

jetas (ω1k, ω2l) butu‘

vienodai galimas, turime P (ω1k, ω2l) = 1/36. JeiAk yra i

‘vykis, kai atsivercia k akuciu

‘, metant kauliuka

‘pirma

‘karta

‘, o Bl

– i‘vykis, kai atsivercia l akuciu

‘, metant kauliuka

‘antra

‘karta

‘, tai Ak =

= (ω1k, ω21), ..., (ω1k, ω26), Bl = (ω11, ω2l), ..., (ω16, ω2l). Todel P (Ak) == 6/36 = 1/6, P (Bl) = 6/36 = 1/6. Kadangi Ak ∩ Bl = (ω1k, ω2l) irP (Ak∩Bl) = 1/36, tai i

‘vykiai Ak ir Bl yra nepriklausomi visiems k = 1, ..., 6

ir l = 1, ..., 6. Is 12.3 teoremos isplaukia, kad bet kuris i‘vykis, susije

‘s su

pirmuoju metimu, ir bet kuris i‘vykis, susije

‘s su antruoju metimu, yra nepri-

klausomi.Dabar aprasysime bendra

‘keliu

‘nepriklausomu

‘eksperimentu

‘matematini

‘modeli

‘. Tarkime, kad turime n eksperimentu

‘, kuriuos atitinka tikimybines

erdves Ω1,A1, P1, ..., Ωn,An, Pn. Tu‘eksperimentu

‘rezultatai yra elemen-

tarieji i‘vykiai (ω1, ..., ωn), ω1 ∈ Ω1, ..., ωn ∈ Ωn. Jie sudaro aibiu

‘Ω1, ...,Ωn

(Dekarto) sandauga‘Ω = Ω1 × ...× Ωn, t. y. aibe

‘baigtiniu

‘seku

‘

(ω1, ..., ωn) : ω1 ∈ Ω1, ..., ωn ∈ Ωn.

Dabar reikia isskirti sistema‘aibes Ω poaibiu

‘, kurie laikytini i

‘vykiais. Imkime

”staciakampes aibes” – sandaugas

(1) A1 × ...×An;

cia A1 ∈ A1, ..., An ∈ An. Jas vadinsime maciais staciakampiais. Jie visi busaibes Ω poaibiai; pati Ω yra viena is tokio tipo aibiu

‘. Visi matus staciakampiai

nesudaro σ algebros, netgi algebros. Taciau pagal V.1.2 teorema‘egzistuoja σ

algebra A, generuota maciu‘staciakampiu

‘. Ji paprastai zymima A1⊗ ...⊗An.

Gauname macia‘erdve

‘Ω,A, kuria

‘daznai zymime

(2) Ω1,A1 ⊗ ...⊗ Ωn,An.

Bernulio eksperimentai 53

Siu‘

apibrezimu‘

prasme sitokia. Jei erdves Ω1,A1, ...Ωn,An aprasoatskirus eksperimentus, tai (2) erdve apraso visus juos drauge. Tada, saky-sime, pirmojo eksperimento i

‘vyki

‘A1 galime nusakyti kaip i

‘vyki

‘A1 × Ω2 ×

×...× Ωn – ”cilindrine‘” aibe

‘– (2) erdveje.

Dabar reikia i‘vesti (2) erdveje tikimybini

‘mata

‘. Jei eksperimentai yra

nepriklausomi, tai kiekvieno (1) i‘vykio tikimybe turi buti lygi sandaugai

P1(A1)...Pn(An). Parodysime, kad toks tikimybinis matas egzistuoja.Sis klausimas sprendziamas labai paprastai, kai aibes Ωk yra baigtines

arba skaicios. Tarkime, kad Ωk = ω(j)k , j = 1, 2, ... ir Pk(ω(j)

k ) = p(j)k ; cia

p(j)k yra neneigami skaiciai ir ∑

j

p(j)k = 1.

I‘vykio Ak = ω(lk)

k , lk ∈ Nk tikimybe yra

Pk(Ak) =∑

lk∈Nk

p(lk)k .

Tada A = A1 ⊗ ...⊗An sudaroma is visu‘aibes Ω = Ω1 × ...× Ωn poaibiu

‘.

Kiekvienam elementariajam i‘vykiui (ω(l1)

1 , ..., ω(ln)n ) imkime P(ω(l1)

1 , ...,

ω(ln)n ) = p

(l1)1 , ..., p

(ln)n , o bet kurio i

‘vykio A = (ω(l1)

1 , ..., ω(ln)n ), l1 ∈ N1,

..., ln ∈ Nn tikimybini‘mata

‘apibrezkime lygybe

P (A) =∑

l1∈N1

...∑

ln∈Nn

p(l1)1 ...p(ln)

n .

Aisku, P (A) tenkins tikimybiu‘aksiomas; be to,

P (A) =∑

l1∈N1

p(l1)1 ...

∑ln∈Nn

p(ln)n = P1(A1)...Pn(An).

Daug sudetingiau apibrezti tikimybini‘mata

‘bendruoju atveju. Kaip tas

daroma, aprasyta V.10 skyrelyje.

14. BERNULIO EKSPERIMENTAI

Paprasciausia nepriklausomu‘eksperimentu

‘schema yra vadinamieji Bernulio

eksperimentai. Turime n nepriklausomu‘eksperimentu

‘. Atlike

‘kuri

‘nors is ju

‘,

gauname viena‘is dvieju

‘elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘ω1, ω0. Visuose eksperimentuose

jie yra tie patys ir ju‘tikimybes p ir q = 1− p taip pat yra tos pacios.


1 p a v y z d y s. Metame simetriska‘moneta

‘n kartu

‘; metimai nepriklausomi.

Kiekviena‘karta

‘i‘vyks vienas is dvieju

‘i‘vykiu

‘: atvirs herbas (i

‘vykis ω1) arba skaicius

(i‘vykis ω0). Kadangi moneta yra simetriska, tai p = q = 1/2.

2 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘n kartu

‘; metimai nepriklausomi. Ste-

bime du i‘vykius: ω1 – sesiu

‘akuciu

‘atsivertima

‘ir ω0 – ne sesiu

‘akuciu

‘atsivertima

‘.

Jei kauliukas yra idealus, tai p = 1/6, q = 5/6.

Sudarysime Bernulio eksperimentu‘

matematini‘

modeli‘, remdamiesi 13

skyrelio samprotavimais. Kurio nors, sakysime k-ojo, eksperimento matema-tinis modelis yra tikimybine erdve Ωk,Ak, Pk; cia Ωk = ω1, ω0, Ak == ∅, ω1, ω0,Ωk ir Pk(ω1) = p, Pk(ω0) = q. Visu

‘n eksperimentu

‘modelis bus tikimybine erdve Ω,A, P,

Ω = Ω1 × ...× Ωn = Ωn1 , A = A1 ⊗ ...⊗An = An

1 , P = P1 × ...× Pn = Pn1 .

A bus visu‘Ω poaibiu

‘sistema. Rasime tikimybini

‘mata

‘P . Aibe Ω bus suda-

ryta is baigtiniu‘seku

‘

(1) ωε1 , ωε2 , ..., ωεn,

kuriose εk i‘gyja reiksme

‘0 arba 1. Kadangi erdve yra baigtine, tai uzteks

tikimybini‘mata

‘apibrezti tik tiems elementariesiems i

‘vykiams. Remdamiesi

13 skyrelyje isdestyta medziaga, turime imti

(2) P (ωε1 , ..., ωεn) =

n∏k=1

Pk(ωεk) = p

∑n

k=1εkqn−

∑n

k=1εk .

Kad pastaroji formule turetu‘prasme

‘, imant visas p ir εk reiksmes, susitarsime

joje 00 laikyti 1. I‘vykiu

‘sistemos A1, ...,An bus nepriklausomos.

Isspre‘sime keleta

‘uzdaviniu

‘.

1 u z d a v i n y s. Rasime tikimybe‘pn(k), kad, atlikus n Bernulio

eksperimentu‘, i

‘vykis ω1 i

‘vyks k kartu

‘(0 ≤ k ≤ n).

Reikia suskaiciuoti, kiek yra (1) elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘, kuriuose visi ε

reiksme‘1 i

‘gyja k kartu

‘. Tai gali atsitikti

(nk

)kartu

‘. Kiekvieno tokio i

‘vykio

tikimybe pagal (2) formule‘yra pkqn−k. Todel ieskomoji tikimybe

pn(k) =(n

k

)pkqn−k.

Isskleide‘dvinari

‘(px+ q)n pagal Niutono1 binomo formule

‘

(px+ q)n =n∑

k=0

(n

k

)pkqn−kxk,

1 Isaac Newton (1643–1727) – anglu‘matematikas ir fizikas.

Bernulio eksperimentai 55

matome, kad pn(k) yra xk koeficientas. Pastaroji formule yra specialus vadi-namu

‘ju

‘generuojanciu

‘funkciju

‘atvejis.

3 p a v y z d y s. Elektronine schema sudaryta is 6 grandziu‘. Per menesi

‘kiekviena is grandziu

‘, nepriklausomai nuo kitu

‘, gali sugesti su tikimybe p = 0, 1.

Schema veikia normaliai, jei sugedusiu‘

grandziu‘

yra ne daugiau kaip dvi. Reikiarasti tikimybe

‘, kad schema veiks normaliai visa

‘menesi

‘.

Turime Bernulio eksperimentus su n = 6, p = 0, 1; q = 0, 9. Tikimybe, kadnesuges ne viena grandis, yra

p6(0) =

(6

0

)p0q6,

kad suges viena grandis –

p6(1) =

(6

1

)pq5,

kad suges dvi grandys –

p6(2) =

(6

2

)p2q4.

Ieskomoji tikimybe

p6(0) + p6(1) + p6(2) = 0, 96 + 6 · 0, 1 · 0, 95 + 15 · 0, 12 · 0, 94 = 0, 984...

2 u z d a v i n y s. Tikimybe pn(k) yra p, n ir k funkcija. Fiksuokime pir n. Kaip tada kinta pn(k), kintant k? Mums rupi rasti tas k reiksmes, ku-rioms pn(k) yra didziausia. Jos vadinamos tiketiniausiomis i

‘vykiu

‘ω1 skaiciaus

reiksmemis.Tarkime, kad 0 < p < 1. Nagrinekime santyki

‘(k = 0, 1, ..., n− 1)

pn(k + 1)pn(k)

=

(n

k+1

)pk+1qn−k−1(

nk

)pkqn−k

=(n− k)p(k + 1)q

.

Is cia matome, kad pn(k+1) yra didesne uz pn(k), jai lygi arba uz ja‘mazesne

tada ir tik tada, kai atitinkamai skaicius (n − k)p yra didesnis uz (k + 1)q,jam lygus arba uz ji

‘mazesnis, t. y. k mazesnis uz np− q = (n+ 1)p− 1, jam

lygus arba uz ji‘didesnis.

Skirsime du atvejus.a) (n+1)p yra sveikasis skaicius. Tikimybe pn(k) i

‘gyja didziausia

‘reiksme

‘,

kai k lygus (n+ 1)p− 1 ir (n+ 1)p. Iki tol ji dideja, po to – mazeja.b) (n+1)p nera sveikasis skaicius. Tikimybe pn(k) i

‘gyja didziausia

‘reiks-

me‘, kai k yra skaiciaus (n + 1)p sveikoji dalis [(n + 1)p]. Iki tol ji dideja, o

toliau – mazeja.Jei p = 0, tai pn(0) = 1, ir pn(k) = 0, kai k = 1, ..., n.Jei p = 1, tai pn(n) = 1, ir pn(k) = 0, kai k = 0, ..., n− 1.


Pazymeje‘k0 tiketiniausia

‘reiksme

‘, gauname, kad k0/n = p + r/n; cia

−1 < r < 2. Vadinasi, ”tiketiniausia” statistinio daznio reiksme, esant pa-kankamai dideliems n, kiek norima mazai skiriasi nuo tikimybes p.

4 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘50 kartu

‘; metimai nepriklausomi.

Kokia tiketiniausia sesiu‘akuciu

‘atvirtimo reiksme?

Kauliuko metimus jau nagrinejome 2 pavyzdyje. Skaicius (50 + 1) · 1/6 nerasveikasis. Jo sveikoji dalis lygi 8. Tai ir yra tiketiniausia reiksme. 8 kartus sesiosakutes atsivercia su tikimybe(

50

8

)(1

6

)8(5

6

)42

= 0, 151...

Kaip matome, ji nedaug skiriasi nuo 1/6.Norint rasti sios tikimybes skaitine

‘reiksme

‘, tiesiog skaiciuojant binomini

‘koe-

ficienta‘, dauginant bei dalijant reikiamus skaicius, kad ir po atitinkamu

‘suprasti-

nimu‘, reiketu

‘sugaisti nemazai laiko. Tiesa, galima naudotis binominiu

‘koeficientu

‘bei logaritmu

‘lentelemis. Tada uzdavinys zymiai suprasteja. Taciau binominiu

‘koe-

ficientu‘

(nk

)lenteles yra sudarytos tik nedideliems n ir k. Kai n ir k dideli, reikia

naudotis 6 skyrelyje pateikta Stirlingo formule.

15. TIKIMYBES pn(k) ASIMPTOTIKA

Analizuodami 14 skyrelio 4 pavyzdi‘, mateme, kad apskaiciuoti tikimybe

‘pn(k), kai n ir k dideli, yra nelengva. Jau sakeme, kad tada galima nau-dotis Stirlingo formule. Skaiciavimu

‘suprastinimui pravartu tureti gatavas

formules. Pameginsime jas gauti.Parasysime Stirlingo formule

‘sitaip:

lnn! =(n+

12

)lnn− n+

12

ln 2π + %(n);

cia 1/(12n+ 1) < %(n) < 1/(12n).Mums reikes dar ir kitokiu

‘i‘verciu

‘. Toliau visur θ reiks skaiciu

‘, ne visada

ta‘pati

‘, bet aprezta

‘moduliu 1: |θ| ≤ 1.

1 lema. Jei |x| ≤ 1/2, tai

| ln(1 + x)| ≤ 2|x|,

(1 + x) ln(1 + x) = x+12x2 +

13θ|x|3.

I‘r o d y m a s. Is Makloreno1 formules

1 Colin Maclaurin (1698–1746) – skotu‘matematikas.

Tikimybes pn(k) asimptotika 57

ln(1 + x) = ln 1 +x

1 + θx.

Is cia gauname pirma‘ja

‘lemos nelygybe

‘.

Pazymeje‘ψ(x) = (1 + x) ln(1 + x) ir pastebeje

‘, kad

ψ′(x) = 1 + ln(1 + x), ψ(j)(x) =(−1)j(j − 2)!(1 + x)j−1

(j = 2, 3, ...),

is Makloreno formules gauname

ψ(x) = x+12x2 +R;

cia

R =∞∑

j=3

(−x)j

j(j − 1).

Kadangi |x| ≤ 1/2, tai

|R| ≤ |x|3

6

∞∑j=0

(12

)j

=13|x|3. ut

1 (Muavro1–Laplaso lokalioji) teorema. Jei a, b, p yra fiksuotiskaiciai,

Bn =√npq, t =

k − np

Bn,

taiBn

√2πpn(k) = e−t2/2(1 + rn);

cia rn → 0, kai n→∞, tolygiai visiems k su sa‘lyga a ≤ t ≤ b.

I‘r o d y m a s. I

‘rodysime kiek daugiau: i

‘vertinsime liekama

‘ji‘nari

‘rn. Be

to, nereikalausime, kad p butu‘fiksuotas.

Pazymekime

δ =k

n− p, sn = k − np = nδ

ir tarkime, kad tenkinama sa‘lyga

|δ| ≤ 12

min(p, q).

Si sa‘lyga bendresne uz reikalavima

‘, kad t = δ

√n/√pq butu

‘tarp dvieju

‘fik-

suotu‘skaiciu

‘, kai p yra fiksuotas.

1 Minima‘

teorema‘, kai p yra bet kuris fiksuotas, i

‘rode Laplasas. Atvejis, kai

p = 1/2, buvo zinomas Muavrui.


Atkreipsime demesi‘, kad

(1)k = n(p− δ) = np

(1− δ

p

)≥ 1

2np,

n− k = nq(1 +

δ

p

)≥ 1

2nq.

Sulogaritmave‘lygybes

pn(k) =n!

k!(n− k)!pkqn−k

abi puses, pritaike‘

Stirlingo formule‘

ir atlike‘

elementarius prastinimus,gauname

ln pn(k) =(n+

12

)lnn−

(k +

12

)ln k −

(n− k +

12

)ln(n− k)−

− 12

ln 2π + klnp+ (n− k) ln q + %1;

cia|%1| = |%(n)− %(k)− %(n− k)| < 1

12k+

112(n− k)

≤

≤ 16np

+1

6nq=

16npq

=16B−2

n .

Skaicius k ir n− k po logaritmo zenklu pakeiciame (1) reiskiniais. Sugru-puojame narius su lnn, ln p, ln q. Gauname

ln pn(k) = −12

ln 2π − lnBn −(k +

12

)ln

(1− δ

p

)−

−(n− k +

12

)ln

(1 +

δ

q

)+ %1.

Remdamiesi 1 lema, randame i‘vercius∣∣∣1

2ln

(1− δ

p

)+

12

ln(1 +

δ

q

)∣∣∣ ≤ |δ|p

+|δ|q

=|δ|pq

=|sn|B2

n

irk ln

(1− δ

p

)+ (n− k) ln

(1 +

δ

q

)=

= np(1− δ

p

)ln

(1− δ

p

)+ nq

(1 +

δ

q

)ln

(1 +

δ

q

)=

= np(−δp

+δ2

2p2+

13θ|δ|3

p3

)+ nq

(δq

+δ2

2q2+

13θ|δ|3

q3

)=

=δ2

2npq+θ |δ|3(p2 + q2)n

3p2q2=t2

2+θ |sn|3

3B4n

,


nesp2 + (1− p2) = 1− 2pq < 1.

Todelln pn(k) = −1

2ln 2π − lnBn −

t2

2+ %2;

cia|%2| ≤

|sn|+ 1/6B2

n

+|sn|3

3B4n

.

Vadinasi, turime asimptotine‘formule

‘

Bn

√2πpn(k) = e−t2/2(1 + rn),

kurioje

(2) 1 + rn = expθ( |sn|+ 1/6

B2n

+|sn|3

3B4n

).

Jei t = sn/Bn yra tarp dvieju‘

fiksuotu‘

skaiciu‘, tai (2) i

‘vercio desines

puses rodiklis konverguoja i‘nuli

‘, kai n → ∞. Jis konverguoja i

‘nuli

‘net ta-

da, kai sn = o(B4/3n ), t. y. t = o(B1/3

n ). Jei p yra fiksuotas skaicius, tai jiskonverguoja i

‘nuli

‘, kai sn = o(n2/3), t = o(n1/6). ut

Muavro–Laplaso lokalioji teorema taikoma apytiksliam tikimybes pn(k)skaiciavimui. Manoma, kad

(3) pn(k) ≈ 1√npq

ϕ(t);

ciaϕ(t) =

1√2πe−t2/2.

Pastaroji funkcija yra tabuliuota. Jos grafikas pavaizduotas 10 paveiksle.

10 pav.Naudojantis (3) formule, gaunami geri rezultatai, kai p nera labai artimas

0 ar 1, o n – pakankamai didelis. Neblogi rezultatai gaunami ir kai n nedide-li. Pailiustruosime tai pavyzdziu. 11 paveiksle laiptuota kreive pavaizduotostikimybes p10(k), kai p = 0, 2, o tolydi kreive yra funkcijos


1√10 · 0, 2 · 0, 8

ϕ( x− 10 · 0, 2√

10 · 0, 2 · 0, 8

)grafikas.

-90.png 11 pav.

(2) formule leidzia i‘vertinti paklaida

‘, kuria

‘padarome, skaiciuodami pn(k)

pagal (3) formule‘.

1 p a v y z d y s. Elektronineje schemoje yra 400 vienodu‘elementu

‘. Per metus

kiekvienas is ju‘gali sugesti su tikimybe 0,2. Kokia tikimybe, kad per metus suges

80 elementu‘?

Taikysime lokalia‘ja

‘Muavro–Laplaso teorema

‘, kai n = 400, k = 80, p =

= 0, 2; q = 0, 8. Gauname Bn = 8, t = 0. Pagal (3) formule‘

p400(80) ≈ 1

8ϕ(0) =

1

8√

2π= 0, 04986...

I‘vertinsime paklaida

‘. Kadangi sn = 0, tai 1 + rn = exp(θ/384), vadinasi,

1

8ϕ(0)e−1/384 ≤ p400(80) ≤ 1

8ϕ(0)e1/384.

Gauname0, 04973 < p400(80) < 0, 05.

Absoliucioji paklaida mazesne uz 0,00014, o santykine mazesne uz 0,29%.Neretai tenka skaiciuoti tikimybe

‘, kad Bernulio eksperimentu

‘schemoje

i‘vykis ω1 i

‘vyks ne maziau kaip α ir ne daugiau kaip β kartu

‘. Tam tikslui

reikia apskaiciuoti suma‘ ∑

α≤k≤β

pn(k).

Jei parametru‘n, α ir β reiksmes dideles, tai ir lokalioji Muavro–Laplaso teore-

ma mazai naudinga. Rasime kita‘apytiksle

‘formule

‘.

2 lema. |ex − 1| ≤ |x| e|x|.I‘r o d y m a s. Isskleide

‘ex eilute, gauname

|ex − 1| ≤∞∑

j=1

|x|j

j!≤ |x|

∞∑j=1

|x|j−1

(j − 1)!= |x|e|x|. ut

3 lema.∫ ∞

−∞e−u2/2du =

√2π.

I‘r o d y m a s. Pazymekime si

‘integrala

‘raide I. Turesime


I2 =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞e−(u2+v2)/2dudv.

Pakeiskime integravimo kintamuosius u = R cosϕ, v = R sinϕ. Kadangijakobianas ∣∣∣∣∣∣∣

∂u

∂R∂u

∂ϕ

∂v

∂R∂v

∂ϕ

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ cosϕ−R sinϕ

sinϕR cosϕ

∣∣∣∣ = R,

tai

I2 =∫ ∞

0

∫ 2π

0

Re−R2/2dRdϕ = −2π∫ ∞

0

e−R2/2d(−R2/2) =

= −2πe−R2/2∣∣∣∞0

= 2π. ut

2 (Muavro–Laplaso integraline) teorema. Tarkime, kad Xn yra i‘vy-

kiu‘ω1 skaicius Bernulio schemoje,atlikus n eksperimentu

‘,

Yn =Xn − np√npq

,

a < b – bet kokie skaiciai, p – fiksuotas, 0 < p < 1. Tada

P (a ≤ Yn ≤ b) =1√2π

∫ b

a

e−u2/2du+Rn,

o Rn → 0, kai n→∞, tolygiai a ir b atzvilgiu.I‘r o d y m a s. Kaip ir i

‘rodinedami lokalia

‘ja

‘teorema

‘, ne tik parodysime,

kad Rn konverguoja i‘nuli

‘, bet ir rasime gana tikslu

‘jo i

‘verti

‘. Be to, nereika-

lausime, kad p butu‘fiksuotas, o tik kad butu

‘0 < p < 1. Tarkime, kad α ir β

yra sveikieji skaiciai, α < β,

a =α− np

Bn, b =

β − np

Bn, Bn =

√npq.

Pazymekime c = max(|a|, |b|),

(4) r =c(c2 + 3)

3Bn+

16B2

n

.

Reikia i‘vertinti suma

‘

P (a ≤ Yn ≤ b) =∑

α≤k≤β

pn(k).


Padarysime prielaida‘, kad Bn ≥ 2, r ≤ 1/2. Tada is (4) ir sios prielaidos

isplaukia c ≤ Bn/2. Todel

|δ| =∣∣∣kn− p

∣∣∣ ≤ cBn

n≤ B2

n

2n=

12pq <

12

min(p, q).

Vadinasi, pn(k) i‘verciams galesime taikyti (2) formule

‘. Gausime

P (a ≤ Yn ≤ b) = B−1n

∑α≤k≤β

ϕ(t)eθv;

cia

t =k − np

Bn, v =

|sn|+ 1/6B2

n

+|sn|3

3B4n

.

Kadangi

v ≤ cBn + 1/6B2

n

+c3B3

n

3B4n

= r,

tai pagal 2 lema‘

|eθv − 1| ≤ re1/2 ≤ 2r.

Vadinasi,P (a ≤ Yn ≤ b) = B−1

n

∑α≤k≤β

ϕ(t)(1 + 2θr).

Pakeisime suma‘

integralu. Imant bet kuria‘

diferencijuojama‘

funkcija‘

ϕ(x), is Teiloro1 formules isplaukia∫ x+h

x

ϕ(u)du = hϕ(x) +12h2ϕ′(x+ θh).

Funkcijai ϕ(x) = 2π−1/2 exp(−x2/2) turime: ϕ′(x) = −xϕ(x). Laikysime hteigiamu. Tada

ϕ(x+ θh) =1√2π

exp(−1

2(x+ θh)2

)≤

≤ minx≤u≤x+h

ϕ(u) exp(|hx|+ 1

2h2x2

)≤

≤ 1h

∫ x+h

x

ϕ(u)du · exp(|hx|+ 1

2h2x2

).

Todel

1 Brook Taylor (1685–1731) – anglu‘matematikas.


hϕ(x) =∫ x+h

x

ϕ(u)du+12h2(x+ θh)ϕ(x+ θh) =

=∫ x+h

x

ϕ(u)du

1 +θ

2h(x+ h) exp

(|hx|+ 1

2h2x2

).

Kai h = B−1n ,

|hx|+ 12h2x2 ≤ c

Bn+

c2

2B2n

<12

+18,

nes c ≤ Bn/2. Kadangi exp(5/8) < 2, tai

hϕ(x) =∫ x+h

x

ϕ(u)du(1 + θch).

Vadinasi,

(5) P (a ≤ Yn ≤ b) =∫ b

a

ϕ(u)du(1 + 2θr)(1 +

θc

Bn

).

Tai ir yra ieskomoji formule.Is jos tiesiog isplaukia teoremos teiginys, kai a ir b yra fiksuoti. Tiesa,

buvome padare‘prielaida

‘, kad α ir β yra sveikieji skaiciai. Cia jos galima at-

sisakyti, nes, pakeitus integravimo intervala‘dydziu B−1

n , gauname paklaida‘,

konverguojancia‘i‘nuli

‘, kai n→∞. I

‘rodysime, kad teorema teisinga ir esant

bet kokiems a, b.Is 3 lemos isplaukia, kad, koks bebutu

‘ε > 0, galima rasti a0 = a0(ε) su

sa‘lyga

(6)∫ a0

−a0

ϕ(u)du > 1− ε

4.

Pagal (5) galime rasti toki‘n0 = n0(ε), kad butu

‘

(7)∣∣∣P (a ≤ Yn ≤ b)−

∫ b

a

ϕ(u)du∣∣∣ < ε

4,

kai −a0 ≤ a < b ≤ a0 ir n ≥ n0.Toliau nagrinesime atveji

‘a < −a0 < a0 < b. Kiti atvejai (a < −a0 < b ≤

≤ a0,−a0 ≤ a < a0 < b) tiriami analogiskai. Pasinaudoje‘lygybemis

P (a ≤ Yn ≤ b) = P (a ≤ Yn < −a0) + P (−a0 ≤ Yn ≤ a0) + P (a0 < Yn ≤ b),∫ b

a

ϕ(u)du =∫ −a0

a

ϕ(u)du+∫ a0

−a0

ϕ(u)du+∫ b

a0

ϕ(u)du,

is (6) ir (7) nelygybiu‘gauname

64 Tikimybes sa‘voka∣∣∣P (a ≤ Yn ≤ b)−

∫ b

a

ϕ(u)du∣∣∣ ≤ ∣∣∣P (a ≤ Yn < −a0)−

∫ a0

a

ϕ(u)du∣∣∣+

+∣∣∣P (−a0 ≤ Yn ≤ a0)−

∫ a0

−a0

ϕ(u)du∣∣∣ +

∣∣∣P (a0 < Yn ≤ b)−∫ b

a0

ϕ(u)du∣∣∣ <

< P (Yn < −a0) +∫ −a0

−∞ϕ(u)du+

ε

4+ P (Yn > a0) +

∫ ∞

a0

ϕ(u)du =

= P (|Yn| > a0) +∫|u|>a0

ϕ(u)du+ε

4=

= 1−[P (|Yn| ≤ a0)−

∫ a0

−a0

ϕ(u)du]−

∫ a0

−a0

ϕ(u)du+∫|u|>a0

ϕ(u)du+

+ε

4< 2

∫|u|>a0

ϕ(u)du+ε

4+ε

4< ε. ut

Skaiciavimams naudojama apytiksle formule

(8) P (a ≤ Yn ≤ b) ≈ Φ(b)− Φ(a);

ciaΦ(x) =

1√2π

∫ x

−∞e−u2/2du.

Paklaida‘galima i

‘vertinti pagal (5) formule

‘– beje, grubokai. Sis i

‘vertinimas

efektyvus, kai c nedideli, o n pakankamai dideli. Skaiciavimams palengvintiyra sudarytos funkcijos Φ(x) lenteles. Kai x→ −∞, funkcija Φ(x) labai grei-tai konverguoja i

‘nuli

‘, o kai x→∞, Φ(x) konverguoja i

‘vieneta

‘. Jos grafikas

pavaizduotas 12 paveiksle.

2 p a v y z d y s. Elektronineje schemoje yra 40 000 vienodu‘

detaliu‘. Per

metus kiekviena is ju‘nepriklausomai nuo kitu

‘gali sugesti su tikimybe 0,2. Kokia

tikimybe, kad per metus suges nuo 7995 iki 8005 detaliu‘?

Cia

Bn =√

40 000 · 0, 2 · 0, 8 = 80, a =7995− 40 000 · 0, 2

80= −0, 0625, b = 0, 0625.

Pagal (8) formule‘

P (a ≤ Yn ≤ b) ≈ Φ(0, 0625)− Φ(−0, 0625).

Is lenteliu‘randame, kad P (a ≤ Yn ≤ b) ≈ 0, 0498.


‘.

2r = 2 · 0, 0625(0, 0625−2 + 3)

3 · 80+

1

6 · 802= 0, 00159...

c

Bn=

0, 0625

80= 0, 00078...


Is (5) formules gauname, kad

0, 0498− 0, 00012 < P (a ≤ Yn ≤ b) < 0, 0498 + 0, 00012.

Atkreipsime demesi‘, kad, naudojantis integraline Muavro–Laplaso formu-

le, ne visada gaunami pakankamai tikslus rezultatai. Yra tikslesniu‘artutiniu

‘formuliu

‘(zr., pvz., [2], 105–107 p.).

12 pav.

Is integralines Muavro–Laplaso teoremos isplaukia i‘domi isvada. Tarki-

me, kad turime Bernulio eksperimentu‘schema

‘. Pazymekime Xn i

‘vykiu

‘ω1

skaiciu‘, atlikus n eksperimentu

‘. Tada Xn/n yra to i

‘vykio statistinis daznis.

Nagrinesime i‘vyki

‘, kai statistinis daznis nukrypsta nuo tikimybes p dydziu,

ne didesniu uz ε: ∣∣∣Xn

n− p

∣∣∣ ≤ ε.

Tos nelygybes tikimybe

P

(∣∣∣Xn

n− p

∣∣∣ ≤ ε

)= P

−ε

√n

pq≤ Yn ≤ ε

√n

pq

.

Pagal 2 teorema‘

P

(∣∣∣Xn

n− p

∣∣∣ ≤ ε

)→ 1√

2π

∫ ∞

−∞e−u2/2du = 1,

kai n→∞. Sis teiginys paprastai vadinamas Bernulio teorema. Tai yra vadi-namojo didziu

‘ju

‘skaiciu

‘desnio konkretus atvejis. Muavro–Laplaso teoremos

yra taip pat konkretus daug bendresniu‘

tikimybiu‘

teorijos desniu‘

atvejai.Apie juos kalbesime III skyriuje. Ten pateiksime ir kitus cia nagrinetu

‘teore-

mu‘i‘rodymus.


Remiantis Muavro–Laplaso teoremomis, gaunami gana geri atitinkamu‘

tikimybiu‘i‘verciai, kai npq yra didelis. Jei p yra fiksuotas, si sandauga dideja

kartu su n. Taciau, kai vienas is skaiciu‘p, q yra mazas, n turi buti gana

didelis, kad butu‘galima taikyti tas teoremas. Ieskosime kitokios apytiksles

formules, geriau atitinkancios tikimybei pn(k) i‘vertinti, kai p mazi.

4 lema. Jei 0 ≤ x ≤ 1/4, tai

−119x ≤ ln(1− x) ≤ −x,

ln(1− x) ≥ −x− 89x2.

I‘r o d y m a s. Is Makloreno formules gauname

ln(1− x) = −x− x2

2(1− θx)2.

Atmete‘

desines puses antra‘ji‘

nari‘, reiskini

‘tik padidinsime. I

‘vertinsime is

apacios

ln(1− x) ≥ −x(1 +

x

2(1− x)2)≥ −x

(1 +

1/42(1− 1/4)2

)= −11

9x.

Antra‘ji‘i‘vertinima

‘gauname analogiskai:

ln(1− x) + x ≥ x2

2(1− x)2≥ −8

9x2. ut

3 teorema. Pazymekime µ = np. Jei p ≤ 1/4, k − 1 ≤ n/4, tai

pn(k) =µk

k!e−µ+η(k);

cia

(9)18kµ− 11k(k − 1)− 12µ2

18n≤ η(k) ≤ 2kµ− k(k − 1)

2n.

I‘r o d y m a s. Kai k ≥ 2, pn(k) israiska

‘perrasome sitaip:

pn(k) =n(n− 1)...(n− k + 1)

k!pkqn−k =

(pn)k

k!epn+η(k);

ciaeη(k) =

(1− 1

n

)· · ·

(1− k − 1

n

)(1− p)n−kepn .


Logaritmuojame

η(k) =k−1∑j=1

ln(1− j

n

)+ (n− k) ln(1− p) + pn.

Remdamiesi 4 lema, i‘vertinsime si

‘reiskini

‘is virsaus ir is apacios:

η(k) ≤k−1∑j=1

j

n− (n− k)p+ pn = −k(k − 1)

2n+ kp,

η(k) ≥ −119

k−1∑j=1

j

n− (n− k)

(p+

89p2

)+ pn = −11k(k − 1)

18n+ kp− 2

3np2.

Nesunku patikrinti, kad formule yra teisinga ir tada, kai k = 0, 1. utGavome apytiksle

‘formule

‘

(10) pn(k) ≈ µk

k!e−µ

visai kito tipo negu lokalioji Muavro–Laplaso formule. (9) i‘vertinima

‘galima

dar patikslinti.

3 p a v y z d y s. Saudoma i‘tolima

‘taikini

‘. Zinoma, kad tikimybe pataikyti

vienu suviu yra 0,001. Rasime tikimybe‘4 kartus pataikyti i

‘taikini

‘is 5000 suviu

‘,

manydami, kad suviai yra nepriklausomi.Taikysime (10) formule

‘. Siuo atveju n = 5000, p = 0, 001, µ = 5, k = 4.

Gausime

pn(4) ≈ 54

4!e−5 = 0, 1754...


‘. Turime

η(4) ≤ 2 · 4 · 5− 4 · 3104

= 0, 0028,

η(4) ≥ 18 · 4 · 5− 11 · 4 · 3− 12 · 52

9 · 104= −0, 0008.

Gauname54

4!e−5−0,0008 ≤ pn(4) ≤ 54

4!e−5+0,0028,

arba0, 17532 < pn(4) < 0, 17597.

Paklaida mazesne uz 0,0006.

Tarkime, jog turime ne viena‘Bernulio eksperimentu

‘serija

‘, o tokiu

‘seriju

‘seka

‘. Sakykime, kad n-ojoje serijoje turime n Bernulio eksperimentu

‘, kiek-

vieno ju‘baigtis yra ω1 arba ω0 su atitinkamomis tikimybemis pn ir 1 − pn.


Tada yra teisinga vadinamoji Puasono teorema, kuri apraso tikimybes pn(k)asimptotika

‘, kai pn gana greitai mazeja, n neapreztai didejant.

4 (Puasono) teorema. Jei npn → λ > 0, tai kiekvienam k

pn(k) → λk

k!e−λ.

I‘r o d y m a s. 3 teoremos dydis η(k), kaip matyti is (9) formules, kon-

verguoja i‘nuli

‘, kai pn → 0. ut

P a s t a b a. Jei pn = λ/n, tai 4 teoremos i‘rodymas yra visai paprastas.

Formuleje

pn(k) =n(n− 1)...(n− k + 1)

k!pk

n(1− pn)n−k

vietoje pn i‘rasykime λ/n ir ja

‘pertvarkykime

pn(k) =λk

k!

(1− 1

n

)· · ·

(1− k − 1

n

)(1− λ

n

)n(1− λ

n

)−k

.

Kadangi k yra fiksuotas, o (1− λ/n)n → e−λ, kai n→∞, tai gauname

pn(k) → λk

k!e−λ.

16. APIBENDRINTOJI BERNULIOEKSPERIMENTU

‘SCHEMA

Praktikos uzdaviniams spre‘sti naudingas kiek bendresnis uz isnagrineta

‘ji‘

nepriklausomu‘eksperimentu

‘modelis. Tarkime, kad vel atliekama n nepriklau-

somu‘eksperimentu

‘ir per kiekviena

‘is ju

‘gali i

‘vykti s tu

‘paciu

‘elementriu

‘ju

‘i‘vykiu

‘ω1, ..., ωs ir su tomis paciomis tikimybemis p1, ..., ps (p1 + ...+ps = 1).

Kai s = 2, turime Bernulio eksperimentus. Todel si‘

modeli‘

galime vadintiapibendrinta

‘ja Bernulio schema.

1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘n kartu

‘. Manome, kad metimai

yra nepriklausomi. Kiekviena‘karta

‘gali atvirsti 1, 2, ..., 6 akutes. Jei kauliukas si-

metriskas, kiekvieno is tu‘i‘vykiu

‘tikimybe yra 1/6. Turime apibendrinta

‘ja

‘Bernulio

eksperimentu‘schema

‘.

Sudarant tos schemos matematini‘modeli

‘, teks tik apibendrinti 14 skyrelio

samprotavimus.Pazymekime Ωk,Ak, Pk (1 ≤ k ≤ s) tikimybine

‘erdve

‘, atitinkancia

‘k-a

‘ji‘eksperimenta

‘. Cia Ωk = ω1, ..., ωs. Algebra Ak yra aibes Ωk visu

‘po-

aibiu‘

sistema. Jei A = ωj1 , ..., ωjl, tai Pk(A) = pj1 + ... + pjl

. Pagal 13

Apibendrintoji Bernulio eksperimentu‘schema 69

skyreli‘visu

‘n nepriklausomu

‘eksperimentu

‘matematinis modelis yra tikimy-

bine erdve Ω,A, P; cia

Ω = Ωn1 = Ω1 × ...× Ωn = (ω1r1 , ..., ωnrn), ω1r1 ∈ Ω1, ..., ωnrn ∈ Ωn;

A – visu‘Ω poaibiu

‘sistema; tikimybini

‘mata

‘aprasome lygybemis

P (ω1r1 , ..., ωnrn) = pk1

1 ...pkss ,

kai tarp ω1r1 , ..., ωnrni‘vykis ω1 pasikartoja k1 kartu

‘ir t. t., ωs pasikartoja

ks kartu‘. Sios lygybes vienareiksmiskai apibrezia P (A) visoms A ∈ A, be to,

i‘vykiu

‘sistemos A1, ...,An yra nepriklausomos.

Rasime formule‘apskaiciuoti tikimybei p(k1, k2, ..., ks), kad, atlikus n eks-

perimentu‘, i

‘vykis ω1 i

‘vyks k1 kartu

‘, i

‘vykis ω2 – k2 kartu

‘ir t. t., i

‘vykis ωs

i‘vyks ks kartu

‘; k1 + k2 + ...+ ks = n. Atkreipsime demesi

‘, kad elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘ω1r1 , ..., ωsrs, kuriuose ω1 pasikartoja k1 kartu

‘, ω2 – k2 kartu

‘ir t. t.,

ωs pasikartoja ks kartu‘, skaicius (keliniai su pasikartojimais!) yra

n!k1!k2!...ks!

,

o kiekvieno ju‘tikimybe lygi pk1

1 , pk22 ...p

kss . Todel

(1) p(k1, k2, ..., ks) =n!

k1!k2!...ks!pk11 , p

k22 ...p

kss .

Isskleide‘reiskini

‘(p1x1+p2x2+...+psxs)n pagal multinomo taisykle

‘, gauname

(p1x1 + p2x2 + ...+ psxs)n =∑

k1+k2+...+ks=n

n!k1!k2!...ks!

×

× pk11 p

k22 ...p

kss x

k11 x

k22 ...x

kss .

Matome, kad p(k1, k2, ..., ks) yra xk11 x

k22 ...x

kss koeficientas. Ir si formule yra

konkretus generuojanciu‘funkciju

‘atvejis.

2 p a v y z d y s. Fabrikas gamina detales. Jos arba atitinka standartus, arbayra per ilgos, arba per trumpos. Tikimybe, kad detale bus per ilga, lygi 0,01, kadbus per trumpa, – 0,03. Atsitiktinai parenkama 100 detaliu

‘. Kokia tikimybe, kad

tarp ju‘bus 2 per ilgos, 3 per trumpos, o visos kitos standartines?

Pagal gauta‘ja

‘formule

‘

p(2, 3, 95) =100!

2!3!95!· 0, 012 · 0, 033 · 0, 9695 = 0, 0420...


Taikant (1) formule‘, faktorialus galime skaiciuoti pagal apytiksle

‘Stirlingo

formule‘. Yra i

‘rodytos apibendrintos lokalioji ir integraline Muavro–Laplaso

teoremos. Mes jas tik suformuluosime.

1 teorema. Tarkime, kad 0 < pj < 1 (j = 1, ..., s),

tj =kj − npj√npj(1− pj)

.

Tada(2π)(s−1)/2(p1...ps)1/2p(k1, ..., ks) =

= exp−1

2

s∑j=1

(1− pj)t2j

(1 + rn);

cia rn → 0, kai n → ∞, tolygiai k1, k2, ..., ks atzvilgiu, jei aj ≤ tj ≤ bj (j == 1, ..., s) ir aj , bj yra fiksuoti skaiciai.

2 teorema. Tarkime, kad Xnj (j = 1, ..., s) yra i‘vykiu

‘ωj skaicius

apibendrintoje Bernulio schemoje, atlikus n eksperimentu‘, 0 < pj < 1 ir

aj < bj (j = 1, ..., s) – fiksuoti skaiciai, qj = 1− pj,

Ynj =Xnj − npj√

npjqj.

Tada

P (a1 ≤ Yn1 ≤ b1, ..., as ≤ Yns≤ bs) →

√q1...qs

(2π)s−1(p1q1 + ...+ psqs)×

×∫ b1

a1

...

∫ bs

as

exp(−1

2

s∑j=1

qju2j

)du1...dus,

kai n→∞, tolygiai aj ir bj atzvilgiu.

II skyrius. ATSITIKTINIAI DYDZIAI

1. ATSITIKTINIO DYDZIO SA‘VOKA

Atsitiktinio i‘vykio, tikimybes ir atsitiktinio dydzio sa

‘vokos yra svarbiausios

tikimybiu‘

teorijoje. Sakome, kad dydis yra atsitiktinis, jei jo reiksmes pri-klauso nuo atsitiktinio eksperimento rezultatu

‘. Tiksliau kalbant, atsitiktinis

dydis yra elementariu‘ju

‘i‘vykiu

‘funkcija. Paaiskinsime sia

‘sa

‘voka

‘pavyzdziais.

1 p a v y z d y s. Metame losimo kauliuka‘. Atsivercia viena jo sienele, pazymeta

kuriuo nors akuciu‘skaiciumi. Akuciu

‘skaicius yra atsitiktinis dydis.

2 p a v y z d y s. Pirkome pinigines loterijos bilieta‘. Suma pinigu

‘, kuria

‘bilietas

islos eiliniame tiraze, yra atsitiktinis dydis.

3 p a v y z d y s. Is kosmoso i‘Zemes pavirsiu

‘krinta i

‘vairios daleles. Skaicius

daleliu‘, patenkanciu

‘i‘apibrezta

‘Zemes pavirsiaus plota

‘per apibrezta

‘laiko tarpa

‘,

yra atsitiktinis dydis.

4 p a v y z d y s. Skaicius radioaktyviosios medziagos atomu‘, suskylanciu

‘per

apibrezta‘laiko tarpa

‘, yra atsitiktinis dydis.

5 p a v y z d y s. Matuojame atstuma‘tarp dvieju

‘Zemes pavirsiaus tasku

‘.

Matavimo prietaisus veikia daugybe atsitiktiniu‘faktoriu

‘: temperaturos svyravimai,

virpesiai, vejas ir t. t. Matavimo rezultatas yra atsitiktinis dydis.

Norint nusakyti atsitiktini‘

dydi‘, reikia zinoti jo reiksmes. Bet to nepa-

kanka – dar reikia apibudinti, kaip daznai tos reiksmes i‘gyjamos.

1 pavyzdyje atsitiktinis dydis i‘gyja reiksmes 1, 2, ..., 6. Kiekviena

‘tu

‘reiksmiu

‘jis i

‘gyja su tikimybe 1/6. Panasiai galime apibudinti ir 2, 3, 4

pavyzdziu‘atsitiktinius dydzius. Apskritai, jei atsitiktinis dydis i

‘gyja baigtine

‘arba skaicia

‘aibe

‘reiksmiu

‘, tai, norint ji

‘apibudinti, pakanka nurodyti tas

reiksmes ir ju‘tikimybes. Taciau 5 pavyzdzio atsitiktini

‘dydi

‘taip apibudinti

sunku. Jo reiksmiu‘aibe (bent is principo) gali buti neskaiti. Siuo atveju ga-

lime nusakyti tikimybes, su kuriomis tos reiksmes priklauso kurio nors tiposkaiciu

‘aibems (pavyzdziui, intervalams). Pastarasis budas yra bendresnis.

Jis tinka ir kitu‘pavyzdziu

‘atsitiktiniams dydziams.

Dabar atsitiktinius dydzius apibresime matematiskai. Kaip jau minejomepradzioje ir mateme is pavyzdziu

‘, atsitiktiniai dydziai yra elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘funkcijos, i

‘gyjancios realia

‘sias reiksmes. Taciau ne kiekviena funkcija

mums tinka. Reikia, kad ji turetu‘pakankamai geras analizines savybes. Tu

‘funkciju

‘klase turetu

‘buti uzdara aritmetiniu

‘operaciju

‘ir perejimo prie ribos

operacijos atzvilgiu. Minetas sa‘lygas tenkina vadinamosios macios funkcijos.

72 Atsitiktiniai dydziai

Tarkime, jog turime tikimybine‘

erdve‘Ω,A, P. Kiekviena A mati

funkcija X : Ω → R yra vadinama atsitiktiniu dydziu. Kitais zodziais, atsitik-tinis dydis X yra funkcija, apibrezta elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibeje Ω, i

‘gyjanti

realia‘sias reiksmes ir turinti savybe

‘, kad pirmavaizdis X−1(B) ∈ A, kokia

bebutu‘Borelio1 aibe B.

Kadangi intervalu‘

sistema (−∞, x), x ∈ R, generuoja Borelio aibiu‘σ

algebra‘, tai funkcija X : Ω → R yra atsitiktinis dydis tada ir tik tada, kai

ω : X(ω) < x ∈ A, koks bebutu‘x ∈ R (zr. V.7.1 teoremos isvada

‘).

6 p a v y z d y s. Metame simetriska‘moneta

‘. Pazymekime X herbo atsivertimu

‘skaiciu

‘. Siam eksperimentui imkime tikimybine

‘erdve

‘, kurios elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibe yra Ω = ω0, ω1, atsitiktiniu

‘i‘vykiu

‘aibe – A = ∅, ω0, ω1, Ω, o tikimy-

binis matas aprasytas lygybemis P (ω0) = P (ω1) = 1/2. Dydi‘X apibrezkime

sitaip:

X(ω) =

1, kai ω = ω1,0, kai ω = ω0.

Kadangi A yra sudaryta is visu‘Ω poaibiu

‘, tai kiekviena realioji funkcija, apibrezta

aibeje Ω, taigi ir X, yra mati.

7 p a v y z d y s. Turime paprasta‘Bernulio schema

‘is n eksperimentu

‘. Atlikus

kiekviena‘eksperimenta

‘, i

‘vyksta i

‘vykis ω1 su tikimybe p arba jam priesingas i

‘vykis

ω0 su tikimybe q = 1 − p. Tarkime, kad Xn yra i‘vykiu

‘ω1 skaicius, atlikus n

eksperimentu‘. Bernulio schemos tikimybini

‘matematini

‘modeli

‘jau apraseme I.14

skyrelyje. Elementarieji i‘vykiai bus (ωε1 , ..., ωεn); cia εk i

‘gyja reiksmes 0 arba 1.

Sakysime, kad funkcija

Xn

((ωε1 , ..., ωεn)

)yra lygi ε1 + ... + εn. Ji yra mati, nes visos elementariu

‘ju

‘i‘vykiu

‘aibes yra i

‘vykiai.

Atsitiktiniu‘dydziu

‘teorijoje pravercia dar sitokia sa

‘voka. Tarkime, kad X

yra atsitiktinis dydis, apibreztas tikimybineje erdveje Ω,A, P. PazymekimeAX aibiu

‘X−1(B), B ∈ B sistema

‘. Lengva i

‘sitikinti, kad ta sistema yra

aibiu‘σ algebra. Ji dar zymima σ(X) ir vadinama σ algebra, generuota at-

sitiktinio dydzio X. Vietoj tikimybines erdves Ω,A, P galime nagrinetitikimybine

‘erdve

‘Ω,AX , P. Jos visiskai pakanka atsitiktiniam dydziui X

apibudinti.Kadangi atsitiktiniai dydziai yra macios funkcijos, tai jie turi ir maciu

‘funkciju

‘savybes (zr. V.7 skyreli

‘). Keleta

‘ju

‘paminesime. Kiekviena konstanta

yra atsitiktinis dydis. Jei c yra konstanta, o X – atsitiktinis dydis, tai X + c,cX, |X|, X2, 1/X, jei tik X 6= 0, yra atsitiktiniai dydziai. Tai yra specialustokios teoremos atvejai.

1 teorema. Jei X yra atsitiktinis dydis, o ϕ : R→ R – Borelio funkcija,tai funkcija Y , aprasyta lygybe Y (ω) = ϕ

(X(ω)

), yra taip pat atsitiktinis

dydis.

1 Emile Borel (1871–1956) – prancuzu‘matematikas.

Atsitiktinio dydzio sa‘voka 73

I‘r o d y m a s. Reikia i

‘rodyti, kad Y −1(B) ∈ A, kokia bebutu

‘Borelio

aibe B. Tai isplaukia is lygybiu‘(zr. V.7)

Y −1(B) = ω : Y (ω) ∈ B = ω : ϕ(X(ω)

)∈ B =

= ω : X(ω) ∈ ϕ−1(B) ∈ A,

nes ϕ−1(B) yra Borelio aibe. utCia pravercia ir toks teiginys.

2 teorema. Jei funkcija ψ : R→ R yra tolydi, tai ji yra Borelio funkcija.I‘

r o d y m a s. Remiantis V.7.1 teorema, pakanka i‘rodyti, kad aibe

Ay = x ∈ R, ψ(x) < y yra Borelio aibe, koks bebutu‘realus y. Kadangi

funkcija ψ yra tolydi, tai, paeme‘bet kuri

‘x ∈ Ay, galime rasti atvira

‘intervala

‘Ix, kurio visuose taskuose teisinga nelygybe ψ(u) < y. Todel

Ay =⋃

x∈Ay

Ix.

Is cia matome, kad aibe Ay yra atvira. Taciau atvira aibe yra baigtines arbaskaicios atviru

‘intervalu

‘sistemos sa

‘junga (zr. [18], II.7 skyreli

‘). Todel ji yra

Borelio aibe. utIs maciu

‘ju

‘funkciju

‘savybiu

‘isplaukia ir tokie teiginiai. Jei X ir Y yra

atsitiktiniai dydziai, taiX+Y, X−Y, XY irX/Y , kai Y 6= 0, yra atsitiktiniaidydziai.

Jei Xn (n = 1, 2, ...) yra atsitiktiniai dydziai, tai

infnXn, sup

nXn, lim inf

n→∞Xn, lim sup

n→∞Xn

ir limn→∞

Xn, jei riba egzistuoja, yra atsitiktiniai dydziai, jei tik visos tos funk-cijos yra baigtines.

Paminesime dar pora‘i‘domiu

‘teoremu

‘.

3 teorema. Sakykime, X1, X2, ... yra atsitiktiniu‘dydziu

‘seka. Pazymeki-

me A aibe‘tu‘elementariu

‘ju‘i‘vykiu

‘ω, kada seka X1(ω), X2(ω), ... konverguoja.

Tada aibe A yra mati, t. y. atsitiktinis i‘vykis.

I‘r o d y m a s. Seka Xl(ω) pagal Kosi kriteriju

‘konverguoja tada ir tik

tada, kai, paemus bet kuri‘k, galima rasti toki

‘n, kad butu

‘

|Xr(ω)−Xs(ω)| < 1/k,

kai tik r ≥ n, s ≥ n. Is cia isplaukia lygybe

A =∞⋂

k=1

∞⋃n=1

∞⋂r=n

∞⋂s=n

ω : |Xr(ω)−Xs(ω)| < 1/k,


is kurios matome, kad teorema yra teisinga. utIs pastarosios teoremos matome, kad galima kalbeti apie atsitiktiniu

‘dydziu

‘sekos konvergavimo tikimybe

‘.

4 teorema. Jei X1, X2, ... yra atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka ir A – aibe tu‘

elementriu‘ju‘

i‘vykiu

‘ω, kada seka X1(ω), X2(ω), ... konverguoja, tai funkcija

X(ω) =limn→∞Xn(ω), kai ω ∈ A,0, kai ω ∈ Ac,

yra atsitiktinis dydis.I‘r o d y m a s. Reikia i

‘rodyti, kad aibe

ω : X(ω) < x =(A ∩ ω : X(ω) < x

)∪

(Ac ∩ ω : X(ω) < x

)yra mati, koks bebutu

‘realusis x. Desineje lygybes puseje turime dvieju

‘aibiu

‘sa

‘junga

‘. Antroji aibe yra ∅, kai x ≤ 0, arba Ac, kai x > 0. Vadinasi, ji yra

mati. Lieka i‘rodyti, kad ir pirmoji aibe yra mati.

Nelygybe X(ω) < x yra ekvivalenti naturaliu‘ju

‘skaiciu

‘k ir n egzistavimui

su sa‘lyga, kad Xr(ω) < x− 1/k, kai r ≥ n. Todel

A ∩ ω : X(ω) < x = A ∩( ∞⋃

k=1

∞⋃n=1

∞⋂r=n

ω : Xr(ω) < x− 1/k).

Is sios lygybes isplaukia, kad kaireje lygybes puseje esanti aibe yra mati. utSioje teoremoje funkcija

‘X aibeje Ac, kurioje seka Xn(ω) nekonverguoja,

laikeme lygia 0. Is i‘rodymo matome, kad ji gali buti lygi bet kuriai kitai

konstantai arba net ir ne konstantai, – pakanka tik pareikalauti, kad aibeω : X(ω) < x, ω ∈ Ac kiekvienam x ∈ R butu

‘mati.

2. ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

PASISKIRSTYMOFUNKCIJOS IR JU

‘SAVYBES

Atsitiktinio dydzio X reiksmiu‘

pasiskirstyma‘

visiskai nusako tikimybesP (ω : X(ω) ∈ B), B ∈ B. Taciau galime ji

‘paprasciau apibudinti, na-

grinedami tik specialiu‘

Borelio aibiu‘

– intervalu‘

(−∞, x) tikimybes. Tamreikalui i

‘vesime atsitiktinio dydzio X pasiskirstymo funkcija

‘Fx, apibrezta

‘visiems realiesiems x lygybemis

FX(x) = P(ω : X(ω) < x

)= P (X < x).

Daznai rasysime tiesiog F (x), kai bus aisku, apie koki‘atsitiktini

‘dydi

‘kalbama.



‘savybes 75

Kartais pasiskirstymo funkcija apibreziama ir kiek kitaip: FX(x) == P (X ≤ x).

V.6 skyrelyje parodyta, kad pasiskirstymo funkcija visiskai nusako atsi-tiktinio dydzio reiksmiu

‘pasiskirstyma

‘.

1 p a v y z d y s. 1 skyrelio 6 pavyzdzio atsitiktinio dydzio pasiskirstymofunkcija

(1) F (x) =

0, kai x ≤ 0,1/2, kai 0 < x ≤ 1,1, kai x > 1.

Tos funkcijos grafikas pavaizduotas 13 paveiksle.

2 p a v y z d y s. 1 skyrelio 7 pavyzdzio atsitiktinis dydis Xn i‘gyja reiksmes

0, 1, ..., n. Reiksme‘k jis i

‘gyja su tikimybe

P (Xn = k) =

(n

k

)pkqn−k.

To dydzio, vadinamo binominiu, pasiskirstymo funkcija

F (x) =∑k<x

(n

k

)pkqn−k;

cia sumuojama pagal visus sveikuosius neneigiamus k, kurie yra mazesni uz x (tusciasuma lygi nuliui!), t. y.

F (x) =

0, kai x ≤ 0,qn, kai 0 < x ≤ 1,qn + npqn−1, kai 1 < x ≤ 2,. . . . . . . . . . . . . . . . . .n−1∑k=0

(nk

)pkqn−k, kai n− 1 < x ≤ n,

n∑k=0

(nk

)pkqn−k = 1, kai x > n.

14 paveiksle pavaizduotas jos grafikas, kai n = 4, p = 1/3.Atkreipsime demesi

‘, kad skirtingi atsitiktiniai dydziai gali tureti ta

‘pacia

‘pasiskirstymo funkcija

‘.Tai matyti is paprasto pavyzdzio. Imkime tikimybine

‘erdve

‘, aprasyta

‘1.6 pavyzdyje, ir apibrezkime du atsitiktinius dydzius

X(ω) = 1, kai ω = ω1,

0, kai ω = ω0,

Y (ω) = 0, kai ω = ω1,

1, kai ω = ω0.

Ju‘abieju

‘pasiskirstymo funkcijos yra tos pacios ir lygios (1) funkcijai.


Panagrinesime pasiskirstymo funkciju‘savybes. Toliau F reiks atsitiktinio

dydzio X, nusakyto tikimybineje erdveje Ω,A, P, pasiskirstymo funkcija‘.

1 teorema. F yra nemazejanti funkcija: jei x′ < x′′, tai F (x′) ≤ F (x′′).I‘r o d y m a s. Kadangi i

‘vykis X < x′ yra i

‘vykio X < x′′ atskiras

atvejis: X < x′ ⊂ X < x′′, tai is I.10.3 teoremos 2 isvados turime

P (X < x′) ≤ P (X < x′′),

t. y.F (x′) ≤ F (x′′). ut

13 pav.Kadangi pasiskirstymo funkcijos F reiksme taske x yra tikimybe, tai 0 ≤

≤ F (x) ≤ 1. Be to, monotoniska funkcija turi riba‘, kai argumentas tolsta i

‘−∞ arba ∞. Pazymesime

limn→−∞

F (x) = F (−∞), limx→∞

F (x) = F (∞).

Kam lygios tos ribos?

14 pav.



‘savybes 77

2 teorema. F (−∞) = 0, F (∞) = 1.I‘r o d y m a s. Imkime bet kurias dvi monotoniskas skaiciu

‘sekas xn

−∞, yn ∞. I‘vykiai An = X < xn sudaro monotoniskai mazejancia

‘seka

‘A1 ⊃ A2 ⊃ ..., o i

‘vykiai Bn = Y < yn – monotoniskai didejancia

‘seka

‘B1 ⊂ B2 ⊂ ... Be to,

∞⋂n=1

An = ∅,

∞⋃n=1

Bn = Ω.

Is I.10.8 ir I.10.7 teoremu‘

gauname, kad P (An) → P (∅) = 0, P (Bn) →→ P (Ω) = 1, t. y. F (xn) → 0, F (yn) → 1, kai n→∞. ut

Monotoniska funkcija kiekviename taske turi ribas is kaires F (x− 0) ir isdesines F (x + 0); tos ribos nesutampa, kai funkcija nera tolydi taske x. JeiF (x− 0) = F (x), tai sakome, kad funkcija tolydi taske x is kaires.

3 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra tolydi is kaires visuose taskuose.I‘r o d y m a s. Imkime bet kuria

‘monotoniskai didejancia

‘ir konverguo-

jancia‘i‘x skaiciu

‘seka

‘xn x. Pazymekime An = X < xn. Aisku, i

‘vykiai

An sudaro monotoniskai didejancia‘i‘vykiu

‘seka

‘A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir

∞⋃n=1

An = X < x.

Todel is I.10.7 teoremos isplaukia, kad P (An) → P (X < x), t. y.F (xn) → F (x), kai n→∞. ut

P a s t a b a. Jei pasiskirstymo funkcija‘F butume apibreze

‘lygybe F (x) =

= P (X ≤ x), tai ji butu‘tolydi is desines: F (x+ 0) = F (x).

4 teorema. Koks bebutu‘

realusis x, teisinga lygybe

P (X ≤ x) = F (x+ 0).

I‘r o d y m a s. Imkime monotoniskai mazejancia

‘ir konverguojancia

‘i‘x

skaiciu‘seka

‘xn x. Pazymekime An = X < xn. Turesime monotoniskai

mazejancia‘i‘vykiu

‘seka

‘A1 ⊃ A2 ⊃ ... su sa

‘lyga

∞⋂n=1

An = X ≤ x.

Is I.10.8 teoremos isplaukia, kad P (An) → P (X ≤ x), t. y. F (xn) → P (X ≤≤ x), kai n→∞. ut

Kaip mateme is pavyzdziu‘, pasiskirstymo funkcija gali tureti trukio tasku

‘,

t. y. tokiu‘tasku

‘x, kuriuose F (x + 0) − F (x − 0) = F (x + 0) − F (x) > 0.


Sis skirtumas yra vadinamas funkcijos trukiu taske x. Apibudinsime trukiotasku

‘aibe

‘.

5 teorema. Pasiskirstymo funkcija turi ne daugiau kaip skaicia‘

aibe‘

trukio tasku‘.

I‘

r o d y m a s. Pazymekime Tn aibe‘duotosios pasiskirstymo funkcijos

trukio tasku‘, kuriuose trukiai yra didesni uz 1/n. Kadangi 0 ≤ F (x) ≤ 1, tai

aibeje Tn yra ne daugiau kaip n−1 elementu‘. Visu

‘trukio tasku

‘aibe, budama

aibiu‘Tn (n = 2, 3, ...) sa

‘junga, yra baigtine arba skaiti. ut

Naudinga zinoti dar ir sias i‘domias pasiskirstymo funkciju

‘savybes.

6 teorema. Jei a ir b – bet kurie realieji skaiciai, a < b, tai

P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a),

P (a ≤ X ≤ b) = F (b+ 0)− F (a),

P (a < X < b) = F (b)− F (a+ 0),

P (a < X ≤ b) = F (b+ 0)− F (a+ 0),

P (X ≥ a) = 1− F (a),

P (X > a) = 1− F (a+ 0).

I‘r o d y m a s pagri

‘stas jau i

‘rodytomis pasiskirstymo funkciju

‘savybemis.

I‘rodysime tik pirma

‘ja

‘lygybe

‘, nes kitos i

‘rodomos analogiskai.

Kadangi X < a ⊂ X < b ir a ≤ X < b = X < b\X < a, taipagal I.10.3 teoremos 1 isvada

‘

P (a ≤ X < b) = P (X < b)− P (X < a) = F (b)− F (a). ut

Kiekviena funkcija F , apibrezta visoje skaiciu‘tieseje R, nemazejanti, to-

lydi kiekviename taske is kaires ir tenkinanti sa‘lygas F (x) → 0, kai x →

→ −∞, F (x) → 1, kai x→∞, yra vadinama pasiskirstymo funkcija. Jau ispaties pavadinimo kyla klausimas, ar kiekviena


‘atitin-

ka atsitiktinis dydis, kurio pasiskirstymo funkcija yra ta funkcija? Pakankaimti tikimybine

‘erdve

‘R,B, µF , kurioje µF yra V.6 skyrelyje nusakytas

Styltjeso1 matas, ir apibrezti funkcija‘X(x) = x, x ∈ R. Si funkcija yra B

mati, taigi atsitiktinis dydis. Jo pasiskirstymo funkcija µF

((−∞, y)

)= F (y).

Suformuluosime dar viena‘

klausima‘. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X

yra apibreztas tikimybineje erdveje Ω,A, P ir jo pasiskirstymo funkcijayra Fx. Kiekvienai Borelio aibei B pazymekime

PX(B) = P(X−1(B)

).

1 Thomas Jean Stieltjes (1856–1894) – olandu‘ir prancuzu

‘matematikas.



‘savybes 79

Nesunku patikrinti, kad PX , budama apibrezta Borelio aibiu‘σ algebroje,

tenkina visas tikimybinio mato aksiomas. Pirmiausia, ji neneigiama. Be to,

PX(R) = P (Ω) = 1.

Pagaliau, jei Borelio aibe B yra disjunkciu‘

Borelio aibiu‘Bk (k = 1, 2, ...)

sa‘junga

B =∞⋃

k=1

Bk,

tai

PX(B) = P(X−1(B)

)= P

( ∞⋃k=1

X−1(Bk))

=

=∞∑

k=1

P(X−1(Bk)

)=

∞∑k=1

PX(Bk),

nes pirmavaizdziai X−1(Bk) taip pat yra disjunktus. Vadinasi, realiu‘ju

‘skaiciu

‘tiese R, jos Borelio aibiu

‘σ algebra B ir matas PX sudaro tikimybine

‘erdve

‘R,B, PX. Tikimybinis matas PX daznai vadinamas atsitiktinio dydzio

X tikimybiniu pasiskirstymu (arba tikimybiniu skirstiniu). Nagrinejant atsi-tiktini

‘dydi

‘X, paprastai nebutina zinoti pirmykstes tikimybines erdves, ku-

rioje jis buvo nusakytas, – pakanka apsiriboti tikimybine erdve R,B, PX.Aisku,

FX(x) = PX

((−∞, x)

).

Taigi tikimybinis pasiskirstymas vienareiksmiskai nusako pasiskirstymo funk-cija

‘FX .Is V.6 skyrelyje isdestytos teorijos isplaukia, jog teisingas ir atvirkstinis

teiginys.Baigdami si

‘skyreli

‘, susipazinsime dar su pora sa

‘voku

‘. Sakome, kad at-

sitiktinis dydis X yra simetriskai pasiskirste‘s, arba tiesiog simetriskas, jei X

ir −X pasiskirstymo funkcijos sutampa: FX(x) = F−X(x). Tada

FX(x) = P (X < x) = P (−X < x) =

= P (X > −x) = 1− FX(−x+ 0),

koks bebutu‘x ∈ R. Analogiskai sakome, kad atsitiktinis dydis X yra

simetriskas tasko a ∈ R atzvilgiu, jei X − a yra simetriskas. Tada

FX−a(x) = 1− FX−a(−x+ 0)

irFX(a+ x) = 1− FX(a− x+ 0).

I.11 skyrelyje i‘vedeme sa

‘lygines tikimybes sa

‘voka

‘. Ja remdamiesi, galime

i‘vesti ir sa

‘lygine


‘. Jei E yra koks nors i

‘vykis, P (E) > 0,


tai dydzio X sa‘lygine pasiskirstymo funkcija, kai E yra i

‘vyke

‘s (su sa

‘lyga E),

vadiname

FX(x|E) = P (X < x|E) =P (X < x ∩ E)

P (E).

Kadangi sa‘lygines tikimybes tenkina tikimybiu

‘teorijos aksiomas, tai sa

‘lygines

pasiskirstymo funkcijos turi 1–6 teoremose nusakytas savybes.

3. DAUGIAMACIAI ATSITIKTINIAI DYDZIAI

Labai daznai eksperimento rezultatams aprasyti neuztenka vieno atsitiktiniodydzio, bet reikia ju

‘sistemos. Sakykime, is patrankos saudome i

‘nejudanti

‘plokscia

‘taikini

‘. Pataikymo taskas nurodomas dviem dydziais. Judanciai duju

‘molekulei apibudinti taip pat reikia keliu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘.

Nusakant keliu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sistemos savybes, nepakanka nurodyti

atskiru‘

atsitiktinu‘

dydziu‘

savybiu‘

– dar reikia zinoti ir rysius tarp tu‘

dydziu‘. Todel tenka kurti atsitiktiniu

‘dydziu

‘sistemu

‘matematine

‘teorija

‘. Na-

grinesime keliu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘, kitaip tariant, atsitiktiniu

‘vektoriu

‘, arba

daugiamaciu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘teorija

‘. Cia matysime nemazai analogijos su

vienamaciais atsitiktiniais dydziais, bet susidursime ir su is esmes naujaisfaktais.

Tarkime, kad Ω,A, P yra tikimybine erdve. s-maciu atsitiktiniu dydziu,arba s-maciu atsitiktiniu vektoriumi, vadiname (A,Bs) matu

‘atvaizdi

‘X : Ω → Rs, kitaip tariant, vektorine

‘funkcija

‘X = (X1, ..., Xs), apibrezta

‘aibeje Ω, i

‘gyjancia

‘reiksmes is erdves Rs ir tenkinancia

‘sa

‘lyga

‘

X−1(B) = ω : X(ω) ∈ B ∈ A,

kokia bebutu‘B ∈ Bs.

s-mates erdves Borelio aibiu‘σ algebra

‘generuoja intervalai x1 < a1, ...,

xs < as. Kaip ir 1 skyrelyje, teisingas teiginys: funkcija X = (X1, ..., Xs) :Ω → Rs yra atsitiktinis dydis tada ir tik tada, kai ω : X1(ω) < x1, ...,Xs(ω) < xs ∈ A, kokie bebutu

‘realieji skaiciai x1, ..., xs.

Is cia isplaukia ir sitoks teiginys: jei X1, ..., Xs yra vienamaciai atsitik-tiniai dydziai, tai vektorius (X1, ..., Xs) yra atsitiktinis, nes

ω : X1(ω) < x1, ..., Xs(ω) < xs =s⋂

k=1

ω : Xk(ω) < xk ∈ A,

kokie bebutu‘realieji skaiciai x1, ..., xs.

Teisingas ir atvirkstinis teiginys: jei X = (X1, ..., Xs) yra atsitiktinis vek-torius, tai kiekviena is funkciju

‘X1, ..., Xs yra vienamatis atsitiktinis dydis.

I‘rodysime tai, sakysime, funkcijai X1. Jei B ∈ B, tai

Daugiamaciu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘pasiskirstymo funkcijos 81

X−11 (B) = ω : X1(ω) ∈ B,X2(ω) ∈ R, ...,Xs(ω) ∈ R =

= X−1(B ×R× ...×R) ∈ A,

nes aibeB ×R× ...×R︸︷︷︸

s−1 kartu‘

yra erdves Rs Borelio aibe.Teisingi analogiski, kaip ir vienamaciu atveju, teiginiai apie veiksmus su

atsitiktiniais vektoriais.Apibendrinsime 1.1 teorema

‘. Mums reikes bendresniu

‘Borelio funkciju

‘.

Taip vadinamos ir funkcijos ϕ : Rr → Rs, (Br,Bs) macios:

ϕ−1(B) = x ∈ Rr, ϕ(x) ∈ B ∈ Br,

kokia bebutu‘B ∈ Bs.

1 teorema. Jei X yra s-matis atsitiktinis vektorius, o ϕ : Rs → Rr –Borelio funkcija, tai ϕ(X) yra r-matis atsitiktinis vektorius.

I‘r o d y m a s analogiskas 1.1 teoremos i

‘rodymui. Remdamiesi atsitiktinio

vektoriaus apibrezimu, turimeω : ϕ

(X(ω)

)∈ B

= ω : X(ω) ∈ ϕ−1(B) ∈ A,

kokia bebutu‘Borelio aibe B ∈ Bs. ut

4. DAUGIAMACIU‘

ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

PASISKIRSTYMO FUNKCIJOS

Jei X yra atsitiktinis vektorius, tai galime kalbeti apie aibes ω : X1(ω) << x1, ..., Xs(ω) < xs, arba, uzrasant trumpiau, aibes X1 < x1, ..., Xs << xs tikimybini

‘mata

‘. Funkcija

FX(x) = F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) = P (X1 < x1, ..., Xs < xs)

yra apibrezta visoje erdveje Rs; ji vadinama atsitiktinio vektoriaus X pa-siskirstymo funkcija.

Atsitiktiniu‘vektoriu

‘pasiskirstymo funkciju

‘savybes yra analogiskos vie-

namaciu‘atsitiktiniu

‘dydziu


‘savybems, kurias tyreme

2 skyrelyje. Suprantama, jos yra keliu‘kintamu

‘ju

‘funkcijos, todel turi savo

specifika‘.

Toliau visur X = (X1, ..., Xs) reiks atsitiktini‘

vektoriu‘, o F (x) =

= FX(x) = F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) – to vektoriaus pasiskirstymo funkcija‘.

Aisku, kad 0 ≤ F (x) ≤ 1, nes tokias nelygybes tenkina tikimybinis matas.


1 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra nemazejanti kiekvieno argumentoatzvilgiu.

I‘r o d y m a s. Del paprastumo teorema

‘i‘rodinesime pirmojo argumento

atzvilgiu. Tarkime, kad x′1 < x′′1 . Aisku,

X1 < x′1, X2 < x2, ..., Xs < xs ⊂⊂ X1 < x′′1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.

Is tikimybes monotoniskumo (I.10.3 teoremos 2 isvados) isplaukia

P (X1 < x′1, X2 < x2, ..., Xs < xs) ≤≤ P (X1 < x′′1 , X2 < x2, ..., Xs < xs),

t. y. F (x′1, x2, ..., xs) ≤ F (x′′1 , x2, ..., xs). utPagal sia

‘teorema

‘egzistuoja ribos

limxk→−∞

F (x1, ..., xk−1, xk, xk+1, ..., xs),

limxk→∞

F (x1, ..., xk−1, xk, xk+1, ..., xs),

kurias zymesime atitinkamai

F (x1, ..., xk−1,−∞, xk+1, ..., xs),

F (x1, ..., xk−1,∞, xk+1, ..., xs).

Panagrinesime tas ribas.

2 teorema. Jei 1 ≤ k ≤ s, tai

F (x1, ..., xk−1,−∞, xk+1, ..., xs) = 0.

I‘

r o d y m a s. Noredami suprastinti uzrasus, nagrinesime tik pirma‘ji‘

argumenta‘. Imkime kuria

‘nors seka

‘x

(n)1 −∞. Pazymekime

An = X1 < x(n)1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.

Tada A1 ⊃ A2 ⊃ ... ir⋂∞

k=1Ak = ∅. Pagal I.10.8 teorema‘P (An)−−−−−→

n→∞0,

taigi F (x(n)1 , x2, ..., xs)−−−−−→

n→∞0. ut

3 teorema. Jei 1 ≤ k ≤ s, s ≥ 2, tai

F(X1,...,Xk−1,Xk,Xk+1,...,Xs)(x1, ..., xk−1,∞, xk+1, ..., xs)


‘dydziu


yra atsitiktinio dydzio (X1, ..., Xk−1, Xk+1, ..., Xs) pasiskirstymo funkcija

F(X1,...,Xk−1,Xk+1,...,Xs)(x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xs) =

= P (X1 < x1, ..., Xk−1 < xk−1, Xk+1 < xk+1, ..., Xs < xs).

I‘

r o d y m a s. Tirsime tik atveji‘, kai k = 1. Imkime seka

‘x

(n)1 ∞.

Pazymekime An i‘vyki

‘

X1 < x(n)1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.

Turime monotoniskai didejancia‘i‘vykiu

‘seka

‘A1 ⊂ A2 ⊂ ... Aisku,

∞⋃k=1

Ak = X2 < x2, ..., Xs < xs.

Pagal I.10.7 teorema‘

limn→∞

F (x(n)1 , x2, ..., xs) = P (X2 < x2, ..., Xs < xs). ut

Analogiskai i‘rodome ir sitoki

‘teigini

‘.

3a teorema. Jei 1 ≤ k1 < k2 < ... < kr ≤ s, tai

limF(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) = F(Xk1 ,Xk2 ,...,Xkr )(xk1 , xk2 , ..., xkr ).

Cia xj →∞, kai j nelygus k1, k2, ..., kr.Funkcija F(Xk1 ,Xk2 ,...,Xkr )(xk1 , xk2 , ..., xkr

) yra vadinama funkcijos F (x1,

x2, ..., xs) ir atsitiktinio dydzio (X1, ..., Xs) marginalia‘ja pasiskirstymo funk-

cija (suprantama, kai k1, ..., kr nesutampa su 1, ..., s).3b teorema. Jei visi daugiamates pasiskirstymo funkcijos argumentai

tolsta i‘

begalybe‘, tai

limx1→∞···

xs→∞

F (x1, ..., xs) = F (∞, ...,∞) = 1.

Kadangi pasiskirstymo funkcija yra monotoniska kiekvieno argumentoatzvilgiu, tai egzistuoja ribos

limx′

kxk

F (x1, ..., xk−1, x′k, xk+1, ..., xs) =

= F (x1, ..., xk−1, xk − 0, xk+1, ..., xs),

limx′′

kxk

F (x1, ..., xk−1, x′′k , xk+1, ..., xs) =

= F (x1, ..., xk−1, xk + 0, xk+1, ..., xs).


Kaip ir vienamaciu atveju, pirmoji riba sutampa su F (x1, ..., xk−1, xk,xk+1, ..., xs), kitaip tariant, teisinga sitokia teorema.

4 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra tolydi is kaires kiekvieno argu-mento atzvilgiu.

I‘

r o d y m a s. Nagrinesime tolyduma‘

pirmojo argumento atzvilgiu.Imkime seka

‘x

(n)1 x1 ir pazymekime

An = X1 < x(n)1 , X2 < x2, ..., Xs < xs.

Turime A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir

∞⋃k=1

Ak = X1 < x1, X2 < x2, ..., Xs < xs.

Is I.10.7 teoremos isplaukia, kad

P (An) → P( ∞⋃

k=1

Ak

),

kai n→∞, t. y.

F (x(n)1 , x2, ..., xs) → F (x1, x2, ..., xs). ut

Isreiksime pasiskirstymo funkcija tikimybe‘, kad atsitiktinis vektorius pri-

klausys intervalui. Sakykime, I yra erdves Rs intervalas

(1)

a1 ≤ x1 < b1,

a2 ≤ x2 < b2,

. . . . . . . . . . . .

as ≤ xs < bs.

Sutrumpintai pazymekime Ik = [ak, bk) (k = 1, ..., s). Kai F : Rs → R yrabet kuri (nebutinai pasiskirstymo) funkcija, i

‘vesime operatoriu

‘

∆(k)IkF (x1, ..., xs) = F (x1, ..., xk−1, bk, xk+1, ..., xs)−

− F (x1, ..., xk−1, ak, xk+1, ..., xs) =

=∑

ε

(−1)εF (x1, ..., xk−1, εak + (1− ε)bk, xk+1, ..., xs);

cia ε i‘gyja dvi reiksmes: 0 ir 1. Pazymekime


‘dydziu


∆IF = ∆IF (x1, ..., xs) = ∆(1)I1...∆(s)

IsF (x1, ..., xs) =

=∑

ε1,...,εs

(−1)ε1,...,εsF(ε1a1+

+ (1− ε1)b1, ..., εsas + (1− εs)bs);

cia ε1, ..., εs nepriklausomai vienas nuo kito i‘gyja reiksmes 0 ir 1. Kitaip

tariant,

∆IF = F (b1, b2, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs)−− F (b1, a2, b3, ..., bs)− ...− F (b1, ..., bs−1, as)+

+ F (a1, a2, b3, ..., bs) + F (a1, b2, a3, b4, ..., bs) + ...+

+ F (b1, ..., bs−2, as−1, as) + ...+ (−1)sF (a1, a2, ..., as).

5 teorema. P (X ∈ I) = ∆IF .I‘r o d y m a s. Kadangi

X1 ∈ I1, X2 < x2, ..., Xs < xs =

= X1 < b1, X2 < x2, ..., Xs < xs\\X1 < a1, X2 < x2, ..., Xs < xs

ir antrasis i‘vykis desineje lygybes puseje yra pirmojo atskiras atvejis, tai

P (X1 ∈ I1, X2 < x2, ..., Xs < xs) = ∆(1)I1F (x1, x2, ..., xs) =

=∑ε1

(−1)ε1F(ε1a1 + (1− ε1)b1, x2, ..., xs

).

Analogiskai is lygybes

X1 ∈ I1, X2 ∈ I2, X3 < x3, ..., Xs < xs =

= X1 ∈ I1, X2 < b2, X3 < x3, ..., Xs < xs\\X1 ∈ I1, X2 < a2, X3 < x3, ..., Xs < xs

gauname

P (X1 ∈ I1, X2 ∈ I2, X3 < x3, ..., Xs < xs) =

= ∆(2)I2

(∆(1)

I1F (x1, x2, ..., xs)

)=

∑ε2

(−1)ε2∑ε1

(−1)ε1×

× F(ε1a1 + (1− ε1)b1, ε2a2 + (1− ε2)b2, x3, ..., xs

).

Taip samprotaudami toliau, gausime reikiama‘lygybe

‘. ut


Isvada. ∆IF ≥ 0, koks bebutu‘

intervalas I.Svarbiausios daugiamaciu


‘F savybes yra:

1) kai 1 ≤ k ≤ s, F (x1, ..., xs) → 0, jei xk → −∞;2) F (x1, ..., xs) → 1, kai x1 →∞, ..., xs →∞;3) F yra tolydi is kaires kiekvieno argumento atzvilgiu;4) jei I ⊂ Rs yra (1) pavidalo intervalas, tai

∆IF ≥ 0.

Is minetu‘

savybiu‘

isplaukia visos kitos. I‘rodysime, pavyzdziui, kad is 4

savybes isplaukia 1 teoremoje nusakyta savybe: funkcija nemazeja kiekvienoargumento atzvilgiu. Pasirinksime pirma

‘ji‘

argumenta‘. Leiskime skaiciams

a2, ..., as tolti i‘−∞. Gausime

F (b1, b2, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs) ≥ 0.

Is karto atrodytu‘, kad teisingas ir atvirkstinis teiginys: 4 savybe

‘galima

suprastinti, reikalaujant tik, kad funkcija butu‘nemazejanti kiekvieno argu-

mento atzvilgiu. Taciau taip nera. Imkime dvieju‘kintamu

‘ju

‘funkcija

‘

G(x1, x2) = 1, kai x1 + x2 > 0,

0 kitais atvejais.

Si funkcija tenkina 1, 2, 3 savybes ir yra nemazejanti kiekvieno argumentoatzvilgiu, taciau

G(2, 2)−G(−1, 2)−G(2,−1) +G(−1,−1) = −1 < 0.

Vadinasi, ji neturi 4 savybes.Kiekviena

‘funkcija

‘F , apibrezta

‘visoje erdveje Rs ir turincia

‘1–4 savybes,

vadiname daugiamate pasiskirstymo funkcija.Kiekvienam atsitiktiniam vektoriui X, nusakytam erdveje Ω,A, P,

priskirsime kita‘tikimybine

‘erdve

‘Rs,Bs, PX, kurioje

PX(B) = P(X−1(B)

)= P (X ∈ B),

kai B ∈ Bs. Sakome, kad atsitiktinis dydis indukuoja tikimybine‘

erdve‘Rs,Bs, PX ir tikimybini

‘mata

‘PX . Pastarasis daznai vadinamas atsitiktinio

dydzio X tikimybiniu pasiskirstymu (arba skirstiniu). Tikimybinis matas PX

vienareiksmiskai nusako dydzio X pasiskirstymo funkcija‘FX .

5. SVARBIAUSI PASISKIRSTYMO FUNKCIJU‘

TIPAI

Is pradziu‘nagrinesime vienamacius atsitiktinius dydzius X, kuriu

‘pasiskirs-

tymo funkcijos FX = F . Taska‘x0 vadinsime funkcijos F didejimo tasku, jei

Svarbiausi pasiskirstymo funkciju‘tipai 87

teisinga nelygybe F (x0 − ε) < F (x0 + ε), koks bebutu‘ε > 0. Tuo atveju

atsitiktinis dydis X priklauso intervalui (x0−ε, x0 +ε) su teigiama tikimybe,koks bebutu

‘ε > 0. Visu

‘funkcijos F didejimo tasku

‘aibe

‘zymesime SF .

1 teorema. P (X ∈ SF ) = 1.I‘

r o d y m a s. Is didejimo tasko apibrezimo isplaukia, kad, paemusbet kuri

‘x ∈ Sc

F , galima rasti toki‘atvira

‘intervala

‘

(a(x), b(x)

), kuriam pri-

klauso x ir kuriame nera funkcijos F didejimo tasku‘. Ta

‘intervala

‘laikysime

didziausiu galimu. Tada arba a(x) ∈ S, arba a(x) = −∞ ir arba b(x) ∈ S,arba b(x) = ∞. Tikimybe P

(a(x) < X < b(x)

)= 0. Aibe

‘Sc

F dengia intervalai(a(x), b(x)

). Tarp ju

‘yra ne daugiau kaip skaiti aibe skirtingu

‘(ak, bk). Is

lygybesSc

F =⋃k

(ak, bk)

gaunameP (X ∈ Sc

F ) =∑

k

P (ak < X < bk) = 0.

Todel P (X ∈ SF ) = 1. utJei SF yra baigtine arba skaiti aibe, tai sakome, kad atsitiktinis dydis X

yra diskretusis, o atitinkama pasiskirstymo funkcija F – diskrecioji.Pazymekime diskreciosios pasiskirstymo funkcijos didejimo taskus xk

ir tikimybes P (X = xk) = pk. Tada pk = F (xk + 0)− F (xk) yra funkcijos Ftrukiai,

P (x ∈ SF ) =∑

k

pk = 1.

Pasiskirstymo funkcija‘F galime uzrasyti sitaip:

F (x) =∑

xk<x

pk.

Tai – laiptuota funkcija, kurios trukio taskai yra xk, o tarp ju‘funkcija yra

pastovi.Isnagrinesime keleta

‘pavyzdziu

‘.

2 skyrelio 1 ir 2 pavyzdziuose nagrineti atsitiktiniai dydziai yra diskretieji.Antrajame is ju

‘nagrinejamas atsitiktinis dydis yra vadinamas binominiu.

1 p a v y z d y s. Paprasciausias diskretusis dydis yra dydis, i‘gyjantis viena

‘reiksme

‘, sakysime a, su tikimybe 1. Jo pasiskirstymo funkcija

εa(x) =

0, kai x ≤ a,1, kai x > a.


Tos funkcijos grafika‘

matome 15 paveiksle. Toks atsitiktinis dydis ir jo pa-siskirstymo funkcija vadinami issigimusiais.

15 pav.

2 p a v y z d y s. P u a s o n o p a s i s k i r s t y m a s. Tarkime, kadatsitiktinis dydis X i

‘gyja reiksmes 0, 1, 2, ... ir reiksme

‘k i

‘gyja su tikimybe

P (X = k) =λk

k!e−λ;

cia λ – teigiamas fiksuotas skaicius. Sakome, kad atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s

pagal Puasono desni‘. Aisku,

∞∑k=0

λk

k!e−λ = 1.

3 p a v y z d y s . G e o m e t r i n i s p a s i s k i r s t y m a s. Tarkime, kadatsitiktinis dydis X i

‘gyja visas sveika

‘sias neneigiamas reiksmes ir reiksme

‘k i

‘gyja

su tikimybeP (X = k) = p(1− p)k;

cia p – fiksuotas skaicius, 0 < p < 1;

∞∑k=0

p(1− p)k = 1.

Sakome, kad atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal geometrini

‘desni

‘.

Atsitiktini‘dydi

‘X ir jo pasiskirstymo funkcija

‘F vadiname tolydziaisiais,

jei pasiskirstymo funkcija F neturi trukio tasku‘, kitaip tariant, yra tolydi.

TadaF (x+ 0)− F (x) = 0, P (X = x) = 0,

koks bebutu‘x ∈ R.

Isskirsime siauresne‘

tolydziu‘ju

‘dydziu

‘klase

‘. Sakysime, kad atsitiktinis

dydis X ir jo pasiskirstymo funkcija F yra absoliuciai tolydus, jei egzistuojafunkcija pX = p, apibrezta tieseje R, integruojama Lebego prasme ir tenki-nanti sa

‘lyga

‘


F (x) =∫ x

−∞p(u)du

(cia integruojama Lebego prasme). Funkcija p yra vadinama atsitiktiniodydzio X tankiu. Ji nera vienareiksmiskai nusakyta. Bet kaip pakeitus pnulinio Lebego mato aibeje, integralas nesikeicia.Todel tankiu laikome betkuria

‘is galimu

‘funkciju

‘p. Is Lebego integralo teorijos zinoma (zr. [18],

VIII skyr.), kad tuo atveju F (x) beveik visur (Lebego mato prasme) turineneigiama

‘isvestine

‘, kuri beveik visur yra lygi p(x). Be to, aisku,

(1)∫ ∞

−∞p(u)du = 1.

Atvirksciai, jei funkcija p, apibrezta tieseje R, yra integruojama ir beveikvisur neneigiama bei tenkina (1) sa

‘lyga

‘, tai

F (x) =∫ x

−∞p(u)du

yra pasiskirstymo funkcija.Teisinga lygybe

P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a) =∫

[a,b)

p(u)du.

Teisinga ir daug bendresne

2 teorema. Jei X yra absoliuciai tolydus atsitiktinis dydis su tankiofunkcija p(u), tai

(2) P (X ∈ B) =∫

B

p(u)du,

kokia bebutu‘

Borelio aibe B.I‘r o d y m a s. Macioje erdveje R,B imkime du matus

P (X ∈ B) ir∫

B

p(u)du.

Mums reikia i‘rodyti, kad jie sutampa.

Is pradziu‘tarkime, kad B yra intervalas vieno is pavidalu

‘

(3) (−∞,∞), (−∞, a), [a, b), [a,∞);

cia a, b – bet kurie realieji skaiciai. Parodysime, kad tokioms aibems teisinga(2) formule. Is (1) formules


P (−∞ < X <∞) = 1 =∫

(−∞,∞)

p(u)du.

Is tankio funkcijos apibrezimo

P (X < a) = F (a) =∫

(−∞,a)

p(u)du.

Toliau,

P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a) =∫

[a,b)

p(u)du,

P (X ≥ a) = 1− P (X < a) =∫

[a,∞)

p(u)du.

Is tikimybinio mato ir integralo adityvumo isplaukia, kad (2) formule yrateisinga ir tada, kai B yra disjunkciu

‘(3) tipo intervalu

‘sa

‘junga. Tarkime, kad

B =s⋃

k=1

Bk, Bj ∩Bk = ∅ (j 6= k),

yra tokia sa‘junga. Tada

P (X ∈ B) =s∑

k=1

P (X ∈ Bk) =s∑

k=1

∫Bk

p(u)du =∫

B

p(u)du.

Taciau visos tokios sa‘jungos sudaro aibiu

‘algebra

‘, kurios generuota σ

algebra ir yra visu‘Borelio aibiu

‘sistema. Antra vertus, funkcijos

P (X ∈ B) ir∫

B

p(u)du

yra visiskai adityvios toje algebroje. Todel pagal mato prate‘simo teorema

‘(2)

lygybe yra teisinga, kokia bebutu‘Borelio aibe B. ut

Rekomenduojame skaitytojui paciam i‘sitikinti, kad 4–11 pavyzdziuose p yra

tankio funkcijos.

4 p a v y z d y s. T o l y g u s i s p a s i s k i r s t y m a s. Sakome, kadatsitiktinis dydis yra pasiskirste

‘s tolygiai, jei jo pasiskirstymo funkcija (16 pav.)

F (x) =

0, kai x ≤ a,x− a

b− a, kai a < x < b,

1, kai x ≥ b;


16 pav.

cia a < b – fiksuoti skaiciai. Sia‘pasiskirstymo funkcija

‘atitinka tankio funkcija

(17 pav.)

p(x) =

1

b− a, kai a ≤ x ≤ b,

0, kai x < a arba x > b.

17 pav.

5 p a v y z d y s. T r i k a m p i s k a s i s, arba S i m p s o n o1, p a s i-s k i r s t y m a s. Taip vadinamas pasiskirstymas, kuri

‘apibudina tankio funkcija

(zr. 18 pav.)

p(x) =

1

b2(b− |x− a|), kai |x− a| < b,

0, kai |x− a| ≥ b;

1 Thomas Simpson (1710–1761) – anglu‘matematikas.


cia a – fiksuotas realusis skaicius, b – teigiamas fiksuotas skaicius. Atitinkama pa-siskirstymo funkcija pavaizduota 19 paveiksle.

18 pav.

6 p a v y z d y s. N o r m a l u s i s p a s i s k i r s t y m a s. Taivienas is svarbiausiu

‘pasiskirstymu

‘. Su juo jau susidureme I.15 skyrelyje. Normalu

‘ji‘

pasiskirstyma‘nusako tankio funkcija

p(x) =1

σ√

2πexp

(− (x− a)2

2σ2

);

19 pav.

atitinkama pasiskirstymo funkcija yra

Φ(x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞exp

(− (u− a)2

2σ2

)du;


cia a – bet kuris fiksuotas realusis skaicius, σ – fiksuotas teigiamas skaicius. Ju‘

grafikai pateikti 20 ir 21 paveiksluose. Tankio funkcija turi maksimuma‘taske x = a.

Tas taskas yra pasiskirstymo funkcijos vingio taskas.

20 pav.

Parametrui σ didejant, tankio funkcija darosi ”lekstesne” (zr. 22 pav., a = 0).Sis pasiskirstymas daznai zymimas N(a, σ2).

Kai a = 0, σ = 1, sakome, kad turime standartini‘normalu

‘ji‘pasiskirstyma

‘.

7 p a v y z d y s. G a m a p a s i s k i r s t y m a s. Siuo atveju tankiofunkcija

p(x) =

0, kai x ≤ 0,

xαe−x/β

βα+1Γ(α + 1), kai x > 0;

parametrai α > −1, β > 0.

21 pav.

8 p a v y z d y s. B e t a p a s i s k i r s t y m a s. Tankio funkcija

p(x) =

0, kai x ≤ 0 arba x ≥ 1,xp−1(1− x)q−1

B(p, q), kai 0 < x < 1;


22 pav.

cia parametrai p > 0, q > 0,

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q).

9 p a v y z d y s. N e i g i a m a s e k s p o n e n t i n i s p a s i s k i r s t y-m a s. Tankio funkcija

p(x) =

0, kai x ≤ β,αe−α(x−β), kai x > β;

pasiskirstymo funkcija

F (x) =

0, kai x ≤ β,1− e−α(x−β), kai x > β;

parametrai α > 0, β ∈ R.

10 p a v y z d y s. K o s i1 p a s i s k i r s t y m a s. Tankio funkcija

p(x) =1

π(1 + x2);


F (x) =1

2+

1

πarctg x.

Naudingas ir apibendrintasis Kosi pasiskirstymas, kurio tankio funkcija yra

b

π(b2 + (x− a)2

) ;

cia a ∈ R, b > 0.

11 p a v y z d y s. L a p l a s o p a s i s k i r s t y m a s. Tankio funkcija

1 Augustin Cauchy (1789–1857) – prancuzu‘matematikas.


p(x) =1

2e−|x|;


F (x) =

1

2ex, kai x ≤ 0,

1− 1

2e−x, kai x > 0.

Kitas svarbus tolydziu‘ju

‘pasiskirstymu

‘tipas yra vadinamieji singuliarieji

pasiskirstymai. Taip vadinamos tolydziosios pasiskirstymo funkcijos, kuriu‘

didejimo tasku‘aibes turi nulini

‘Lebego mata

‘. Atitinkami atsitiktiniai dydziai

vadinami singuliariaisiais. Galima butu‘

i‘rodyti, kad tokia pasiskirstymo

funkcija beveik visur turi isvestine‘, kuri beveik visur yra lygi 0.

Sukonstruosime singuliariosios pasiskirstymo funkcijos pavyzdi‘.

12 p a v y z d y s. Imkime pasiskirstymo funkcija‘F (x) = 0, kai x ≤ 0, F (x) =

= 1, kai x ≥ 1 (23 pav.). Uzdara‘intervala

‘[0, 1] suskaidykime i

‘tris dalis [0, 1/3],

[1/3, 2/3], [2/3, 1]. Viduriniame uzdarame intervale imkime F (x) = 1/2. Uzdarusintervalus [0, 1/3] ir [2/3, 1] vel skaidykime i

‘tris dalis [0, 1/9], [1/9, 2/9], [2/9, 1/3] ir

[2/3, 7/9], [7/9, 8/9], [8/9, 1]. Viduriniame is pirmu‘ju

‘triju

‘uzdaru

‘intervalu

‘imkime

F (x) = 1/4, viduriniame is kitu‘triju

‘uzdaru

‘intervalu

‘– F (x) = 3/4. Kiekviena

‘is

uzdaru‘intervalu

‘[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9], [8/9, 1] vel skaidykime i

‘tris 3−3

ilgio uzdarus intervalus ir viduriniuose is gautu‘

uzdaru‘

intervalu‘

trejetu‘

imkimefunkcija

‘F , lygia

‘aritmetiniam vidurkiui gretimu

‘, jau nusakytu

‘F reiksmiu

‘, t. y. 1/8,

3/8, 5/8, 7/8. Si‘procesa

‘te

‘siame be galo. Taip apibresime funkcija

‘tiems uzdaro

intervalo [0, 1] taskams, kurie priklauso ”viduriniams” uzdariems intervalams. Ju‘

aibes Lebego matas bus

1

3+

2

32+

4

33+ ... = 1.

Likusiuose uzdaro intervalo [0, 1] taskuose F (x) nusakome kaip virsutini‘

josreiksmiu

‘F (y) rezi

‘, kai y prabega mazesnius uz x segmento taskus, kuriuose F jau

yra apibrezta. Taip apibrezta funkcija F yra tolydi segmente [0, 1]. Jos didejimotasku

‘aibe turi nulini

‘Lebego mata

‘.

Diskreciosios, absoliuciai tolydzios ir singuliariosios funkcijos yra svar-biausios. Gana paprastu budu jomis galima isreiksti kiekviena

‘kita

‘pa-

siskirstymo funkcja‘. Teisinga teorema, tvirtinanti, kad kiekviena

‘pasiskirs-

tymo funkcija‘F galima vienareiksmiskai uzrasyti sitaip:

F (x) = αdFd(x) + αatFat(x) + αsFs(x);


23 pav.

cia Fd – atitinkama diskrecioji, Fat – absoliuciai tolydi, Fs – singuliariojipasiskirstymo funkcija, αd, αat, αs – neneigiamos konstantos, αd+αat+αs = 1(zr., pvz., [18], VIII skyr.).

Analogiska teorija teisinga ir daugiamaciams pasiskirstymams. Atsitik-tinis vektorius X = (X1, ..., Xs) bei jo pasiskirstymo funkcija FX = F yravadinami diskreciaisiais, jei egzistuoja tokia baigtine arba skaiti aibe S, kadP (X ∈ S) = 1; vadinami absoliuciai tolydziais, jei egzistuoja integruojamaLebego prasme funkcija p = pX , apibrezta erdveje Rs ir turinti savybe

‘

F (x1, ..., xs) =∫ x1

−∞...

∫ xs

−∞p(u1, ..., us)du1...dus.

Funkcija p yra vadinama atsitiktinio vektoriaus X tankiu. Siuo atveju beveikvisur egzistuoja isvestine

∂sF (x1, ..., xs)∂x1...∂xs

,

kuri beveik visur yra neneigiama ir lygi p(x1, ..., xs). Tankio funkcija, aisku,tenkina lygybe

‘ ∫ ∞

−∞...

∫ ∞

−∞p(u1, ..., us)du1...dus = 1.

Atsitiktinis vektorius ir jo pasiskirstymo funkcija yra vadinami singulia-riaisiais, jei F yra tolydi ir egzistuoja tokia nulinio Lebego mato aibe S, kadP (X ∈ S) = 1.


Kiekviena‘daugiamate


‘galima isreiksti diskrecio-

sios, absoliuciai tolydzios ir singuliariosios pasiskirstymo funkciju‘tiesine kom-

binacija.Jei daugiamate pasiskirstymo funkcija yra diskreti, tai ir jos vienamates

marginaliosios pasiskirstymo funkcijos yra diskrecios, ir atvirksciai. Si‘teigini

‘paliekame i

‘rodyti skaitytojui.

Mums pravers sitokia teorema.

3 teorema. Jei pasiskirstymo funkcija F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) yra ab-soliuciai tolydi, tai ir visos vienamates marginaliosios pasiskirstymo funkcijosFXk

(xk) (k = 1, ..., s) yra absoliuciai tolydzios.I‘r o d y m a s. Is absoliutaus tolydumo apibrezimo isplaukia, jog egzis-

tuoja tokia integruojama funkcija p, kad

F(X1,...,Xs)(x1, ..., xs) =∫ x1

−∞...

∫ xs

−∞p(u1, ..., us)du1...dus.

I‘rodysime, pavyzdziui, kad FX1 yra absoliuciai tolydi. Remiantis Fubinio1

teorema,

ϕ(u1) =∫ ∞

−∞...

∫ ∞

−∞p(u1, u2, ..., us)du2...dus

yra integruojama kintamojo u1 funkcija ir

FX1(x1) = F(X1,...,Xs)(x1,∞, ...,∞) =∫ x1

−∞ϕ(u1)du1. ut

Tarp daugiamaciu‘absoliuciai tolydziu

‘pasiskirstymu

‘labai svarbus nor-

malusis pasiskirstymas. Tarkime, kad Q(x) = xAx′ yra teigiamai apibreztas kintamu

‘ju

‘kvadratine forma su matrica A. Cia vektoriumi-eilute laikoma

vienos eilutes matrica, ′ reiskia transponavima‘; matrica is vieno elemento

sutapdinama su tuo elementu. Tarkime, kad a1, ..., as yra realieji skaiciai.Apskaiciuosime integrala

‘

J =∫

Rs

...

∫e−Q(x1−a1,...,xs−as)/2dx1...dxs =

=∫

Rs

e−(xAx′)/2dx.

Taip parinksime ortogonalia‘matrica

‘C, kad CAC ′ butu

‘diagonalioji matrica

D. Jos diagonaliuosius elementus zymesime σ21 , ..., σ

2s . Tada matricos A de-

terminantas |A| = |D| = σ21 , ..., σ

2s . Integralo J antrojoje israiskoje pakeisime

kintamuosius x = yC. Tada

1 Guido Fubini (1879–1943) – italu‘matematikas.


xAx′ = yDy′ = σ21y

21 + ...+ σ2

sy2s

ir

J =s∏

k=1

∫ ∞

−∞e−σ2

ky2k/2dyk =

(2π)s/2

|σ1...σk|=

(2π)s/2√|A|

.

Taigi

p(x1, ..., xs) =

√|A|

(2π)s/2e−Q(x1−a1,...,xs−as)/2

tenkina tankio funkciju‘

sa‘lygas. Tokios funkcijos nusakytas pasiskirstymo

desnis yra vadinamas s-maciu normaliuoju. Atsitiktinis vektorius, pasiskirste‘s

pagal norma‘lu

‘ji‘desni

‘, taip pat vadinamas normaliuoju.

Dvimacio normaliojo pasiskirstymo tankio funkcija‘galima uzrasyti sitaip:

p(x1, x2) =1

2πσ1σ2

√1− ρ2

exp− 1

2(1− ρ2)

( (x1 − a1)2

σ21

−

− 2ρ(x1 − a1)(x2 − a2)

σ1σ2+

(x2 − a2)2

2σ22

);

cia σ1, σ2 – teigiami skaiciai, ρ – realusis skaicius, |ρ| < 1.

6. NEPRIKLAUSOMI ATSITIKTINIAI DYDZIAI

Jau esame mineje‘, kad nepriklausomumo sa

‘voka yra labai svarbi tikimybiu

‘teorijoje. Praplesime ja

‘atsitiktiniams dydziams, apibreztiems tikimybineje

erdveje Ω,A, P.Atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn vadinami nepriklausomais, jei

(1) P (X1 ∈ B1, ..., Xn ∈ Bn) = P (X1 ∈ B1)...P (Xn ∈ Bn),

kokios bebutu‘tieses tasku

‘Borelio aibesB1, ..., Bn. Jei turime seka

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘X1, X2, ..., tai sakome, kad jie yra nepriklausomi, jei (1) lygybe yra

teisinga kiekvienam naturaliajam n.Is apibrezimo isplaukia, jog nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘kiekvienas

posistemis sudarytas taip pat is nepriklausomu‘dydziu

‘. Pakanka (1) lygybeje

kai kurias Borelio aibes Bk pakeisti aibe R.Nepriklausomumo apibrezime atsitiktinius dydzius laikeme vienamaciais.

Taciau galima butu‘imti ir atsitiktinius vektorius; tada Borelio aibes reikia

imti is atitinkamo matavimo erdviu‘. Mes toliau nagrinesime tik vienamacius

atsitiktinius dydzius.Is apibrezimo matome, kad atsitiktiniai dydziai yra nepriklausomi tada ir

tik tada, kai ju‘generuotos σ algebros (zr. 1 ir I.12 skyrelius) yra nepriklau-

somos.

Nepriklausomi atsitiktiniai dydziai 99

Atkreipsime demesi‘, kad is atsitiktiniu

‘dydziu

‘nepriklausomumo kas du

neisplaukia ju‘visu

‘nepriklausomumas.

Jei atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklausomi, tai

P (X1 < x1, ..., Xn < xn) = P (X1 < x1)...P (Xn < xn),

kokie bebutu‘realieji skaiciai x1, ..., xn, t. y. atsitiktinio vektoriaus (X1, ..., Xn)

pasiskirstymo funkcija yra lygi jo vienamaciu‘

marginaliu‘ju

‘pasiskirstymo

funkciju‘sandaugai

(2) F(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) = FX1(x1)...FXn(xn).

Si lygybe gaunama, nepriklausomumo apibrezime paemus Borelio aibes pavi-dalo (−∞, x1), ..., (−∞, xn).

Teisingas ir atvirkstinis teiginys.

1 teorema. Vienamaciai atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklau-somi tada ir tik tada, kai teisinga (2) lygybe.

I‘

r o d y m a s. Sa‘lygos butinuma

‘jau parodeme. I

‘rodysime jos

pakankamuma‘. Tarkime, jog teisinga (2) lygybe. Reikia i

‘rodyti, kad teisingos

(1) lygybes, kokias bepaimtume Borelio aibes B1, ..., Bn. Imkime fiksuotusx2, ..., xn ir macioje erdveje R,B apibrezkime du matus Q1(B) ir Q′1(B),

Q1(B) = P (X1 ∈ B,X2 < x2, ..., Xn < xn),

Q′1(B) = P (X1 ∈ B)P (X2 < x2, ..., Xn < xn).

Abi sios aibes funkcijos is tikru‘ju

‘yra matai, nes jos neneigiamos ir visiskai

adityvios, – tai isplaukia is tikimybinio mato P savybiu‘. Abu matai sutampa

Borelio aibems B = (−∞, x1), nes pirmasis pagal (2) tada lygus P (X1 << x1)P (X2 < x2)...P (Xn < xn), o antrasis del tos pacios priezasties lygusP (X1 < x1)P (X1 < ∞, X2 < x2, ..., Xn < xn) = P (X1 < x1)P (X1 <<∞)P (X2 < x2)...P (Xn < xn). Is cia isplaukia, kad jie sutampa intervalams[x′1, x

′′1), taigi sutampa ir aibiu

‘algebroje, sudarytoje is disjunkciu

‘intervalu

‘[x′1, x

′′1) baigtiniu

‘sa

‘jungu

‘. Todel pagal Karateodorio1 teorema

‘tie matai turi

sutapti ir visoms Borelio aibems B. Vadinasi,

P (X1 ∈ B,X2 < x2, ..., Xn < xn) =

= P (X1 ∈ B)P (X1 < x2, ..., Xn < xn).

Fiksuokime B1 ∈ B, x3, ..., xn ir bet kurioms Borelio aibems B imkime

Q2(B) = P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B,X3 < x3, ..., Xn < xn),

Q′2(B) = P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B)P (X3 < x3, ..., Xn < xn).

1 Constantis Caratheodory (1873–1950) – vokieciu‘matematikas.


Vel turime neneigiamas ir visiskai adityvias aibes funkcijas. Analogiskaii‘rodome, jog jos sutampa Borelio aibems B = (−∞, x2) ir intervalu

‘[x′2, x

′′2)

baigtinems sa‘jungoms, todel sutampa ir bet kokioms Borelio aibems. Vel

gauname

P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B,X3 < x3, ..., Xn < xn) =

= P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B)P (X3 < x3, ..., Xn < xn).

Taip samprotaudami toliau, gauname (1) lygybe‘. ut

Panagrinesime diskreciuosius ir absoliuciai tolydzius nepriklausomus at-sitiktinius dydzius. Ju

‘nepriklausomuma

‘galima nusakyti ir paprasciau.

2 teorema. Tarkime, kad X1, ..., Xn yra diskretieji atsitiktiniai dydziaiir dydzio Xk reiksmiu

‘aibe, i

‘gyjama su tikimybe 1, yra akj. Tie dydziai yra

nepriklausomi tada ir tik tada, kai

(3)P (X1 = a1j1 , ..., Xn = anjn

) =

= P (X1 = a1j1)...P (Xn = anjn)

visoms galimoms j1, ..., jn reiksmems.I‘r o d y m a s. Sa

‘lygos butinumas trivialus, nes aibes is vieno elemento

yra Borelio aibes.Sa

‘lygos pakankamumui i

‘rodyti imkime bet kurias erdves R Borelio aibes

B1, ..., Bn. Is tikimybes adityvumo ir (3) lygybes gauname

P (X1 ∈ B1, ..., Xn ∈ Bn) =

=∑

a1j1∈B1···

anjn∈Bn

P (X1 = a1j1 , ..., Xn = anjn) =

=∑

a1j1∈B1···

anjn∈Bn

P (X1 = a1j1)...P (Xn = anjn) =

=∑

a1j1∈B1

P (X1 = a1j1)...∑

anjn∈Bn

P (Xn = anjn) =

= P (X1 ∈ B1)...P (Xn ∈ Bn). ut

3 teorema. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi absoliuciai tolydus atsitik-tiniai dydziai su tankio funkcijomis pX1 , ..., pXn , tai ir atsitiktinis vektorius(X1, ..., Xn) yra absoliuciai tolydus, o jo tankio funkcija p(X1,...,Xn) beveikvisur lygi sandaugai

pX1(x1) · · · pXn(xn).

Nepriklausomi atsitiktiniai dydziai 101

I‘r o d y m a s. Is dydziu

‘nepriklausomumo isplaukia

F(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) = FX1(x1)...FXn(xn) =

=∫ x1

−∞pX1(u1)du1...

∫ xn

−∞pXn(un)dun =

=∫ x1

−∞· · ·

∫ xn

−∞pX1(u1)...pXn

(un)du1...dun. ut

4 teorema. Jei atsitiktinis vektorius (X1, ..., Xn) yra absoliuciai tolydussu tankio funkcija p(X1,...,Xn), o pX1 , ..., pXn

– jo komponentu‘tankio funkcijos

(jos, kaip mateme, egzistuoja) ir beveik visur teisinga lygybe

p(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) = pX1(x1)...pXn(xn),

tai atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklausomi.I‘r o d y m a s. Is teoremos sa

‘lygos ir Fubinio teoremos isplaukia

F(X1,...,Xn)(x1, ..., xn) =

=∫ x1

−∞· · ·

∫ xn

−∞p(X1,...,Xn)(u1, ..., un)du1...dun =

=∫ x1

−∞· · ·

∫ xn

−∞pX1(u1), ..., pXn(un)du1...dun =

=∫ x1

−∞pX1(u1)du1...

∫ xn

−∞pXn

(un)dun =

= FX1(x1)...FXn(xn). ut

Is 3 ir 4 teoremu‘

isplaukia, kad atsitiktinio vektoriaus, pasiskirsciusiopagal normalu

‘ji‘desni

‘, aprasyta

‘5 skyrelyje, komponentai yra nepriklausomi

tada ir tik tada, kai atitinkamos kvadratines formos matrica yra diagonalioji.Mateme, kad atsitiktiniu

‘dydziu

‘Borelio funkcijos taip pat yra atsitiktiniai

dydziai. Intuityviai jauciame, kad nepriklausomu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘funkcijos

turetu‘buti nepriklausomi atsitiktiniai dydziai. Ir is tikru

‘ju

‘taip yra.

5 teorema. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, oϕ1, ..., ϕn – Borelio funkcijos, tai atsitiktiniai dydziai ϕ1(X1), ..., ϕn(Xn) yrataip pat nepriklausomi.

I‘

r o d y m a s. Imkime bet kurias Borelio aibes B1, ..., Bn. Prisimine‘,

kad ϕ−1k (Bk) taip pat yra Borelio aibe, is nepriklausomu

‘dydziu

‘apibrezimo

gauname


P(ϕ1(X1) ∈ B1, ..., ϕn(Xn) ∈ Bn

)=

= P(X1 ∈ ϕ−1

1 (B1), ..., Xn ∈ ϕ−1n (Bn)

)=

= P(X1 ∈ ϕ−1

1 (B1))...P

(Xn ∈ ϕ−1

n (Bn))

=

= P(ϕ1(X1) ∈ B1

)...P

(ϕn(Xn) ∈ Bn

). ut

Isvada. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, ak ir bk(k = 1, ..., n) – konstantos, tai atsitiktiniai dydziai akXk + bk (k = 1, ..., n)yra taip pat nepriklausomi.

I‘r o d y m a s. akx+ bk yra Borelio funkcijos. ut

Apibendrinsime 5 teorema‘.

6 teorema. Jei X11, ..., X1n1 , ..., Xs1 , ..., Xsns yra nepriklausomi atsitik-tiniai dydziai, ϕ1(x1, ..., xn1), ..., ϕs(x1, ..., xns) – realiosios Borelio funkcijos,tai atsitiktiniai dydziai

ϕ1(X11, ..., X1n1), ..., ϕs(Xs1, ..., Xsn)

yra taip pat nepriklausomi.I‘r o d y m a s analogiskas 5 teoremos i

‘rodymui. ut

5 ir 6 teoremose dydziai Xk buvo laikomi vienamaciais. Taciau teoremosir ju

‘i‘rodymai yra teisingi, jei Xk laikysime nebutinai to paties matavimu

‘skaiciaus atsitiktiniais vektoriais; suprantama, Borelio funkcija ϕk turi butikeliu

‘kintamu

‘ju

‘funkcija (tiek kintamu

‘ju

‘, kokio matavimu

‘skaiciaus yra vek-

torius Xk).Taip pat intuityviai aisku, kad konstanta (ja

‘galima laikyti atsitiktiniu

dydziu) nepriklauso nuo jokio atsitiktinio dydzio reiksmiu‘.

7 teorema. Konstanta ir bet koks atsitiktinis dydis yra nepriklausomi.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad X yra atsitiktinis dydis, o Y = c – konstanta.

Paeme‘bet kurias Borelio aibes B1, B2, turime

P (X ∈ B1, Y ∈ B2) =P (X ∈ B1), kai c ∈ B2,0, kai c 6∈ B2,

irP (Y ∈ B2) =

1, kai c ∈ B2,0, kai c 6∈ B2.

Matome, kad abiem atvejais

P (X ∈ B1, Y ∈ B2) = P (X ∈ B1)P (Y ∈ B2). ut


‘vidurkiai 103

7. ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

VIDURKIAI

Atsitiktinio dydzio pasiskirstyma‘nusako jo indukuotas matas arba pasiskirs-

tymo funkcija. Taciau praktiskai daznai pakanka maziau pilnu‘suminiu

‘atsi-

tiktinio dydzio charakteristiku‘. Viena is ju

‘yra vidurkis.

Pirmiausia pateiksime kai kuriuos intuityvius samprotavimus, po to for-maliai apibresime atsitiktinio dydzio vidurki

‘. Isnagrinesime pavyzdi

‘. Tarkime,

kad metame losimo kauliuka‘N kartu

‘. Is tikimybes statistines interpretacijos

isplaukia, kad akuciu‘skaicius k (k = 1, ..., 6) atsivers mazdaug N/6 kartu

‘.

Todel bendras atsivertusiu‘akuciu

‘skaicius po N metimu

‘mazdaug yra lygus

1 · N6

+ 2 · N6

+ 3 · N6

+ 4 · N6

+ 5 · N6

+ 6 · N6.

Vienam metimui vidutiniskai teks

1 · 16

+ 2 · 16

+ 3 · 16

+ 4 · 16

+ 5 · 16

+ 6 · 16

=72

akuciu‘.

Nagrinekime bendresni‘pavyzdi

‘. Sakykime, X yra diskretusis atsitiktinis

dydis, i‘gyjantis baigtini

‘skaiciu

‘skirtingu

‘reiksmiu

‘x1, ..., xr su atitinkamomis

tikimybemis p1, ..., pr. Stebime ji‘N kartu

‘. Pagal statistine

‘tikimybes inter-

pretacija‘zinome, kad vidutiniskai Np1 kartu

‘stebesime reiksme

‘x1, Np2 kartu

‘– reiksme

‘x2 ir t. t. Visu

‘stebetu

‘reiksmiu

‘suma bus vidutiniskai lygi

r∑k=1

xkNpk,

ir vienam stebejimui teksr∑

k=1

xkpk.

Sie heuristiniai samprotavimai leidzia atsitiktinio dydzio vidutine reiksmearba vidurkiu laikyti suma

‘

MX =r∑

k=1

xkpk.

Daznai MX dar vadinamas matematine viltimi. Tai – istorinis terminas,placiai paplite

‘s ir siandienineje literaturoje.

Prisimine‘Lebego integralo apibrezima

‘, atsitiktinio dydzio X vidurki

‘ga-

lime uzrasyti sitaip:

MX =r∑

k=1

xkP (X = xk) =∫

Ω

X(ω)P (dω).


Dabar pateiksime bendra‘atsitiktinio dydzio vidurkio apibrezima

‘. Atsitik-

tinio dydzio X, apibrezto tikimybineje erdveje Ω,A, P, vidurkiu vadinsimeintegrala

‘

MX =∫

Ω

X(ω)P (dω),

jei X yra integruojama funkcija. Integralas gali tureti prasme‘

ir tada, kaifunkcija X yra mati, taciau nera integruojama (tik kvaziintegruojama), t. y.tada, kai vienas is integralu

‘∫Ω

X+(ω)dP,∫

Ω

X−(ω)dP

nera baigtinis. Tuo atveju kartais kalbama apie atsitiktinio dydzio apibend-rinta

‘ji‘

vidurki‘. Taciau mes laikysime, kad vidurkis egzistuoja tik tada, kai

abu tie integralai yra baigtiniai, t. y. kai X yra integruojama.Atsitiktinio dydzio vidurki

‘galima uzrasyti ir remiantis Lebego–Styltjeso

integralu. Jei PX yra atsitiktinio dydzio X indukuotas tikimybinis mataserdveje R,B, o FX – jo pasiskirstymo funkcija, tai

(1) MX =∫

R

xPX(dx) =∫

R

xdFX(x).

Funkcija X yra integruojama mato P atzvilgiu tada ir tik tada, kai funkcijax yra integruojama mato PX atzvilgiu.

I‘rodysime bendresne

‘teorema

‘.

1 teorema. Jei ϕ yra reali Borelio funkcija, apibrezta tieseje R, o X –atsitiktinis dydis, tai∫

Ω

ϕ(X(ω)

)P (dω) =

∫R

ϕ(x)PX(dx) =∫

R

ϕ(x)dFX(x).

Abu integralai arba egzistuoja, arba neegzistuoja.I‘

r o d y m a s. 1. Pirmiausia i‘rodysime atskira

‘teoremos atveji

‘, kai

funkcija ϕ yra aibes B ∈ B indikatorius: ϕ(x) = 1B(x). Tada

ϕ(X(ω)

)= 1ω:X(ω)∈B(ω)

ir ∫R

ϕ(x)PX(dx) =∫

R

1B(x)PX(dx) = PX(B) =

= Pω : X(ω) ∈ B =∫

Ω

ϕ(X(ω)

)P (dω).

2. Tarkime dabar, kad ϕ yra paprastoji neneigiama Borelio funkcija. Jiyra disjunkciu

‘Borelio aibiu

‘baigtines sistemos indikatoriu

‘tiesine kombinacija

su neneigiamais koeficientais:


‘vidurkiai 105

ϕ(x) =r∑

k=1

ck1Bk(x).

Kiekvienam indikatoriui taikome 1 dalyje i‘rodyta

‘lygybe

‘, padauginame is ck

ir susumuojame. Gauname, jog teoremos lygybe teisinga ir funkcijai ϕ(x).3. Tarkime, kad ϕ(x) yra neneigiama Borelio funkcija. Pazymeje

‘

Ank = x :k − 12n

≤ ϕ(x) <k

2n (n = 1, 2, ...; k = 1, 2, ..., 2nn),

Bn = x : ϕ(x) ≥ n (n = 1, 2, ...),

apibresime paprasta‘sias neneigiamas Borelio funkcijas (zr. V.7)

ϕn(x) =2nn∑k=1

k − 12n

1Ank(x) + 1Cn

(x).

Tos funkcijos yra neneigiamos ir ϕn(x) ϕ(x). Tada ir ϕn

(X(ω)

)

ϕ(X(ω)

). Antra vertus, is 2 i

‘rodymo dalies isplaukia, kad∫

R

ϕn(x)PX(dx) =∫

Ω

ϕn

(X(ω)

)P (dω).

Pereje‘

prie ribos, kai n → ∞, pagal neneigiamu‘

maciu‘

funkciju‘

integraloapibrezima

‘gauname∫

R

ϕ(x)PX(dx) =∫

Ω

ϕ(X(ω)

)P (dω).

4. Jei ϕ yra Borelio funkcija, galinti i‘gyti bet kurio zenklo reiksmes, tai

pagal 3 i‘rodymo dali

‘∫R

ϕ+(x)PX(dx) =∫

Ω

ϕ+(X(ω)

)P (dω),∫

R

ϕ−(x)PX(dx) =∫

Ω

ϕ−(X(ω)

)P (dω).

Ateme‘lygybes panariui, gauname reikiama

‘lygybe

‘. ut

Teoremos lygybe‘galime laikyti kintamojo keitimo Lebego integrale for-

mule.Is cia isplaukia (1) lygybe ir jos apibendrinimas

Mϕ(X) =∫

R

ϕ(x)PX(dx) =∫

R

ϕ(x)dFX(x),


jei tik funkcija ϕ yra integruojama mato PX atzvilgiu.Atsitiktinio dydzio vidurkis turi paprasta

‘”mechanine

‘” prasme

‘. Jei tiki-

mybini‘

pasiskirstyma‘

vaizduotumemes kaip vienetines mases pasiskirstyma‘

tieseje, tai atsitiktinio dydzio vidurkis reikstu‘tos mases svorio centro koor-

dinate‘.

Jei X yra diskretusis atsitiktinis dydis, i‘gyjantis reiksmes xk su atitin-

kamomis tikimybemis pk, tai, apibendrindami skyrelio pradzioje pateikta‘

formule‘, gauname

MX =∑

k

xkpk.

Jei pastaroji eilute yra begaline, tai ji turi absoliuciai konverguoti.Kai atsitiktinis dydis yra absoliuciai tolydus, tai jo vidurki

‘taip pat ga-

lime uzrasyti paprasciau, vietoj Lebego–Styltjeso integralo paeme‘paprasta

‘ji‘

Lebego.

2 teorema. Jei ϕ yra Borelio funkcija, apibrezta tieseje R, o X – atsi-tiktinis dydis, turintis tanki

‘pX , tai∫

R

ϕ(x)PX(dx) =∫

R

ϕ(x)pX(x)dx.

Pastarasis integralas yra paprastasis Lebego. Abu integralai kartu egzistuojaarba neegzistuoja.

I‘r o d y m a s. Is 5.2 teoremos turime, kad∫

B

pX(x)dx = P (X ∈ B) = PX(B),

kai B yra bet kuri Borelio aibe. Vadinasi, musu‘

teorema yra teisinga, kaiBorelio funkcija ϕ(x) = 1B(x).

Toliau teoremos i‘rodymas niekuo nesiskiria nuo 1 teoremos i

‘rodymo. Pir-

miausia ja‘i‘rodome indikatoriu

‘tiesinems kombinacijoms, t. y. paprastosioms

funkcijoms, po to neneigiamoms Borelio funkcijoms ir pagaliau bet kuriozenklo Borelio funkcijoms. I

‘rodymo detales paliekame skaitytojui. ut

Is sios teoremos isplaukia, kad absoliuciai tolydaus integruojamo dydziosu tankio funkcija pX vidurkis yra

MX =∫

R

xpX(x)dx.

Teisinga ir bendresne formule

Mϕ(X) =∫

R

ϕ(x)pX(x)dx,

kai ϕ(X(ω)

)yra integruojama funkcija.


‘vidurkiai 107

1 p a v y z d y s. Rasime binominio atsitiktinio dydzio X vidurki‘. Priminsime

(zr. 2.2 pavyzdi‘), kad tada atsitiktinis dydis i

‘gyja reiksmes 0, 1, ..., n (n ≥ 1) su

tikimybemis

P (X = k) =

(n

k

)pkqn−k, 0 ≤ p ≤ 1, q = 1− p.

Kadangi X yra diskretus, tai

MX =

n∑k=1

kn!

k!(n− k)!pkqn−k = np

n∑k=1

(n− 1)!

(k − 1)!(n− k)!pk−1qn−k =

= np

n−1∑j=0

(n− 1)!

j!(n− 1− j)!pjqn−1−j = np(p + q)n−1 = np.

2 p a v y z d y s. Apskaiciuosime atsitiktinio dydzio X, pasiskirsciusio pagalPuasono desni

‘(zr. 5.2 pavyzdi

‘), vidurki

‘. Sis dydis i

‘gyja reiksmes 0, 1, 2, ... su

tikimybemis

P (X = k) =λk

k!e−λ;

cia λ – teigiama konstanta. Atsitiktinis dydis yra diskretus. Todel

MX =

∞∑k=1

kλk

k!e−λ = e−λλ

∞∑j=0

λj

j!= λ.

Matome, kad parametras λ turi gana paprasta‘tikimybine

‘prasme

‘– jis yra atsitik-

tinio dydzio, pasiskirsciusio pagal Puasono desni‘, vidurkis.

3 p a v y z d y s. Nagrinesime diskretu‘ji‘atsitiktini

‘dydi

‘, i

‘gyjanti

‘reiksmes

(−1)k−13k/k su tikimybemis 2 · 3−k (k = 1, 2, ...). Sis dydis vidurkio neturi, norseilute

∞∑k=1

(−1)k−13k

k· 2

3k= 2

∞∑k=1

(−1)k−1

k

ir konverguoja. Mat, pastaroji eilute nekonverguoja absoliuciai

∞∑k=1

3k

k· 2

3k=

∞∑k=1

2

k= ∞.

4 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirste‘s pagal

normalu‘ji‘desni

‘(zr. 5.6 pavyzdi

‘) su tankio funkcija

p(x) =1

σ√

2πexp

(− (x− a)2

2σ2

), a ∈ R, σ > 0.

Jo vidurkis egzistuoja, nes funkcija xp(x) yra integruojama Lebego prasme. Pakeite‘

integrale


MX =

∫ ∞

−∞xp(x)dx =

1

σ√

2π

∫ ∞

−∞x exp

(− (x− a)2

2σ2

)dx

kintama‘ji‘x nauju kintamuoju y = (x− a)/σ, gauname

MX =1√2π

∫ ∞

−∞(σy + a)e−y2/2dy =

=σ√2π

∫ ∞

−∞ye−y2/2dy +

a√2π

∫ ∞

−∞e−y2/2dy.

Pirmasis integralas lygus nuliui, nes pointegraline funkcija yra nelygine. Antrasisintegralas, kaip zinome is I.15.3 lemos, lygus (2π)1/2. Todel MX = a. Vadinasi,parametro a tikimybine prasme – dydzio X vidurkis.

5 p a v y z d y s. Imsime atsitiktini‘dydi

‘, pasiskirsciusi

‘pagal Kosi desni

‘(zr.

5.10 pavyzdi‘) su tankiu

p(x) =1

π(1 + x2).

Siuo atveju ∫ ∞

−∞|x|p(x)dx =

1

π

∫ ∞

−∞

|x|1 + x2

dx = ∞.

Todel atsitiktinis dydis vidurkio neturi.

8. ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

VIDURKIU‘

SAVYBES

Ankstesniame skyrelyje apibrezeme atsitiktinio dydzio X su pasiskirstymofunkcija FX vidurki

‘. Tai – integralas∫

Ω

X(ω)P (dω) =∫

R

xPX(dx) =∫

R

xdFX(x);

cia funkcija X yra integruojama pagrindinio tikimybinio mato P atzvilgiu,arba (tai yra tas pats) funkcija x yra integruojama mato PX atzvilgiu. Isintegralo savybiu

‘isplaukia pagrindines vidurkio savybes. Svarbiausias is ju

‘isvardysime.

1. Jei atsitiktinis dydis X su tikimybe 1 lygus konstantai c, t. y. P (X == c) = 1, tai

MX = c.

2. Jei X yra neneigiamas atsitiktinis dydis, turintis vidurki‘, tai

MX ≥ 0.

3. Jei atsitiktinis dydis X turi vidurki‘, o c yra baigtine konstanta, tai cX

taip pat turi vidurki‘ir


‘vidurkiu

‘savybes 109

M(cX) = cMX.

4. Jei atsitiktiniai dydziai X,Y turi vidurkius, tai ir ju‘suma X + Y turi

vidurki‘ir

M(X + Y ) = MX +MY.

5. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi vidurkius ir X ≤ Y , tai ir

MX ≤MY.

Atskiru atveju, jei a ≤ X ≤ b, tai ir

a ≤MX ≤ b.

6. Jei X turi vidurki‘, tai

|MX| ≤M |X|.

7. Jei X ir Y ≥ 0 yra atsitiktiniai dydziai, |X| ≤ Y ir Y turi vidurki‘, tai

ir X turi vidurki‘ir

|MX| ≤MY.

8. Jei X yra neneigiamas atsitiktinis dydis, turi‘s vidurki

‘MX = 0, tai

P (X = 0) = 1.Ir kitas V.9 skyrelio teoremas atitinka vidurkio savybes, bet ju

‘cia ne-

minesime.Atsitiktiniu

‘dydziu

‘vidurkiai turi savybiu

‘, kurios nera tiesiogines integralo

savybiu‘isvados.

Toliau mums pravers sitokia svarbi vidurkiu‘savybe.

Teorema. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklausomi ir turividurkius, tai tu

‘dydziu

‘sandauga XY taip pat turi vidurki

‘ir

MXY = MX ·MY.

I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad X ir Y yra paprastosios (neneigiamos)

funkcijos, i‘gyjancios reiksmes xk ir yl. Tada XY yra taip pat paprastoji

funkcija. Is vidurkio apibrezimo ir 6.2 teoremos isplaukia i‘rodomoji lygybe

MXY =∑k,l

xkylP (X = xk, Y = yl) =

=∑k,l

xkylP (X = xk)P (Y = yl) =

=∑

k

xkP (X = xk)∑

l

ylP (Y = yl) = MX ·MY.


2. Sakykime, X ir Y yra neneigiami. Pazymekime (n = 1, 2, ...) (zr. V. 7)

Ψn(x) =

k−12n , kai k−1

2n ≤ x < k2n (k = 1, 2, ..., 2nn),

n , kai x ≥ n.

Tada Xn(ω) = Ψn

(X(ω)

)ir Yn(ω) = Ψn

(Y (ω)

)pagal 6.5 teorema

‘yra

nepriklausomi. Todel pagal 1 i‘rodymo dali

‘

(1) MXnYn = MXn ·MYn.

Antra vertus, Xn(ω) X(ω), Yn(ω) Y (ω). Todel Xn(ω)Yn(ω) X(ω)Y (ω). Pagal neneigiamu

‘maciu

‘funkciju

‘integralo apibrezima

‘is (1)

gauname, kad MXY egzistuoja ir

MXY = MX ·MY.

3. Tirsime atsitiktinius dydzius X,Y , galincius i‘gyti bet kurio zenklo

reiksmes. Pazymekime, kaip paprastai, X(ω) = X+(ω) − X−(ω), Y (ω) == Y +(ω)−Y −(ω). Atsitiktiniai dydziaiX± ir Y ± yra neneigiami ir (kaipX irY Borelio funkcijos) nepriklausomi. Be to, egzistuoja vidurkiai MX±,MY ±.Is vidurkio adityvumo ir 2 i

‘rodymo dalies gauname

MXY = M(X+ −X−)(Y + − Y −) =

= MX+Y + −MX+Y − −MX−Y + +MX−Y − =

= MX+ ·MY + −MX+ ·MY − −MX− ·MY ++

+MX− ·MY − = (MX+ −MX−)(MY + −MY −) = MX ·MY.

Kartu isplaukia ir vidurkio MXY egzistavimas. utSi teorema nera apverciama: galima rasti ir priklausomus atsitiktinius

dydzius, turincius vidurkius bei tenkinancius sa‘lyga

‘MXY = MX · MY .

Tai isplaukia ir is sitokio pavyzdzio. Imkime du nepriklausomus atsitiktiniusdydziusX ir Z. Tarkime, kad egzistuojaMX2 irMZ. 9 skyrelyje parodysime,kad tada egzistuoja irMX. Be to, tarkime, kadMX = MZ = 0. PazymekimeY = XZ. Tada, aisku, dydziai X ir Y nera nepriklausomi (isskyrus trivialiusatvejus, pvz., kai X yra konstanta). Taciau

MXY = MX2Z = MX2 ·MZ = 0 = MX ·MY.

Baigdami si‘skyreli

‘, pastebesime, kad simetrisku

‘integruojamu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘vidurkiai yra lygus 0. Is tikru

‘ju

‘, jei atsitiktinis dydis X turi vidurki

‘ir yra simetriskas, tai visoms B ∈ B

PX(B) = P−X(B)

ir

Momentai ir kitos skaitines charakteristikos 111

MX =∫

R

xPX(dx) =∫

R

xP−X(dx) = M(−X) = −MX.

Taciau MX = −MX tada ir tik tada, kai MX = 0.

9. MOMENTAI IR KITOS SKAITINESCHARAKTERISTIKOS

Atsitiktinio dydzioX k-osios eiles, arba tiesiog k-uoju, momentu (k – sveikasisneneigiamas skaicius) vadiname jo k-ojo laipsnio vidurki

‘

MXk =∫

Ω

Xk(ω)P (dω),

jei tik Xk yra integruojama funkcija. Ir cia laikome 0 = 1. Pasinaudoje‘7.1

teorema, k-a‘ji‘momenta

‘galime uzrasyti sitaip:

MXk =∫ ∞

−∞xkPX(dx) =

∫ ∞

−∞xkdFX(x).

Aisku, nulines eiles momentas lygus 1. Kaip zinome, funkcija Xk yra integ-ruojama tada ir tik tada, kai jos absoliutusis didumas yra integruojamas,t. y. kai yra baigtinis integralas

M |X|k =∫

Ω

|X(ω)|kP (dω) =∫ ∞

−∞|x|kdFX(x).

Pastarasis integralas yra vadinamas atsitiktinio dydzio X k-osios eiles, arbatiesiog k-uoju, absoliuciuoju momentu. Siuo atveju k gali buti ne tik sveikasis,bet ir bet kuris teigiamas skaicius.

Jei egzistuoja k-osios eiles momentas, tai egzistuoja ir visi zemesniu‘eiliu

‘momentai. Is tikru

‘ju

‘, jei 0 ≤ r < k, tai∫

Ω

|X(ω)|rP (dω) =∫|X(ω)|≤1

|X(ω)|rP (dω)+

+∫|X(ω)|>1

|X(ω)|rP (dω) ≤∫|X(ω)|≤1

P (dω)+

+∫|X(ω)|>1

|X(ω)|kP (dω) ≤ 1 +M |X|k.

Tarkime, kad egzistuoja atsitiktinio dydzio vidurkis MX. Tada


M(X −MX)k =∫

Ω

(X(ω)−MX

)kP (dω) =

=∫ ∞

−∞(x−MX)kdFX(x)

yra vadinamas atsitiktinio dydzio X k-osios eiles, arba k-uoju, centriniu mo-mentu. Jis egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja k-asis centrinis absoliu-tusis momentas

M |X −MX|k =∫

Ω

|X(ω)−MX|kP (dω) =

=∫ ∞

−∞|x−MX|kdFX(x).

MXk ir M |X|k kartais dar vadinami pradiniais momentais.Tarp pradiniu

‘ir centriniu

‘momentu

‘yra gana paprastas rysys. Pradinius

momentus pazymekime raidemis αk, o centrinius – raidemis µk. Tada

(1) µn = M(X − α1)n =n∑

k=0

(n

k

)(−1)kαk

1αn−k.

Is cia gaunameµ0 = 1,

µ1 = 0,

µ2 = α2 − α21,

µ3 = α3 − 3α2α1 + 2α31,

µ4 = α4 − 4α3α1 + 6α2α21 − 3α4

1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

irα2 = µ2 + α2

1,

α3 = µ3 + 3µ2α1 + α31,

α4 = µ4 + 4µ3α1 − 6µ2α21 + α4

1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jei atsitiktinis dydis X yra diskretus ir i‘gyja reiksmes xn su atitinka-

momis tikimybemis pn, tai

MXk =∑

n

pnxkn,

M(X − α1)k =∑

k

pn(xn − α1)k.


Jei atsitiktinis dydis X yra absoliuciai tolydus ir jo tankio funkcija yrapX , tai

MXk =∫ ∞

−∞xkpX(x)dx,

M(X − α1)k =∫ ∞

−∞(x− α1)kpX(x)dx.

1 p a v y z d y s. Rasime atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘

desni‘N(a, σ2), centrinius momentus

µk =1

σ√

2π

∫ ∞

−∞(x− a)ke−(x−a)2/(2σ2)dx.

Pakeite‘kintama

‘ji‘y = (x− a)/σ, turime

µk =σk

√2π

∫ ∞

−∞yke−y2/2dy.

Kai k yra nelyginis, tai µk = 0, nes pointegraline funkcija yra nelygine. Ap-skaiciuosime µk, kai k = 2n. Pagal I.15.3 lema

‘

µ0 =1√2π

∫ ∞

−∞e−y2/2dy = 1.

Kai n ≥ 1, integruodami dalimis, gauname

µ2n = −2σ2n

√2π

∫ ∞

0

y2n−1de−y2/2 = −2σ2n

√2π

y2n−1e−y2/2∣∣∣∞0

+

+2(2n− 1)σ2n

√2π

∫ ∞

0

y2n−2e−y2/2dy = σ2(2n− 1)µ2n−2.

Is sios rekurentines formules isplaukia

µ2n = σ2n(2n− 1)(2n− 3)...1 = (2n− 1)!!σ2n =(2n− 1)!

2n−1(n− 1)!σ2n.

Tarkime, kad X = (X1, ..., Xs) yra atsitiktinis vektorius. Jo k-osios(k = k1 + ...+ ks, k1, ..., ks – sveikieji neneigiami skaiciai) eiles, arba k-uoju,momentu vadiname vidurki

‘

MXk11 ...Xks

s =∫

Ω

Xk11 (ω)...Xks

s (ω)P (dω) =

=∫

Rs

xk11 ...x

kss PX(dx1, ..., dxs) =

∫R

xk11 ...x

kss dF (x1, ..., xs),


jei tik pointegraline funkcija yra integruojama. Kai bent du is skaiciu‘kj yra

teigiami, kartais kalbame apie misru‘ji‘

atitinkamos eiles momenta‘. Jei viena-

maciai atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xs turi vidurkius, galime ieskoti centriniu‘

momentu‘

M(X1 −MX1)k1 ...(Xs −MXs)ks =

=∫

Ω

(X1(ω)−MX1

)k1 · · ·(Xs(ω)−MXs

)ksP (dω).

Kaip ir vienamaciams dydziams, galima i‘vesti ir absoliuciu

‘ju

‘momentu

‘sa

‘vokas.

1 teorema (Kosi nelygybe). Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi ant-ruosius momentus, tai ju

‘sandauga XY turi vidurki

‘, be to,

M |XY | ≤√MX2 ·MY 2.

I‘

r o d y m a s. MXY egzistavimas ir i‘rodomoji nelygybe isplaukia is

V.9.13 teoremos. ut2 teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi r-a

‘ji‘

absoliutu‘ji‘

momenta‘

irr ≥ 1, tai

|MX|r ≤M |X|r.

I‘

r o d y m a s. Imkime funkcija‘h(x) = xr, kai x ≥ 0. Jos isvestine

h′(x) = rxr−1 yra nemazejanti funkcija. Pagal baigtiniu‘pokyciu

‘teorema

‘

h(x)− h(x0) = (x− x0)h′(ξ);

cia ξ telpa tarp x0 ir x. Teisinga nelygybe

h(x)− h(x0) ≥ (x− x0)h′(x0).

Is tikru‘ju

‘, kai x ≥ x0, tai imame maziausia

‘h′(x) reiksme

‘h′(x0), o kai x < x0,

tai didziausia‘h′(x0). Vadinasi,

xr − xr0 ≥ rxr−1

0 (x− x0),

kai x0 ir x yra neneigiami. Is cia isplaukia, kad

|X(ω)|r ≥Mr|X| − rMr−1|X|(X(ω)−M |X|

).

Pagal V.9.4 teorema‘


M |X|r =∫

Ω

|X(ω)|rP (dω) ≥Mr|X|+

+ rMr−1|X|∫

Ω

(|X(ω)−M |X|

)P (dω) = Mr|X|. ut

3 teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi t-a‘ji‘

absoliutu‘ji‘

momenta‘

ir0 < s ≤ t, tai

(M |X|s)1/s ≤ (M |X|t)1/t.

I‘r o d y m a s. Paeme

‘r = t/s, taikykime 2 teoremos nelygybe

‘atsitik-

tiniam dydziui |X|s. Gausime

(M |X|s)t/s ≤M(|X|s)t/s = M |X|t. ut

Is sios teoremos isplaukia nelygybiu‘serija

M |X| ≤ (MX2)1/2 ≤ (M |X|3)1/3 ≤ ... ≤ (M |X|n)1/n,

jei tik egzistuoja n-asis momentas.Keleta

‘momentu

‘panagrinesime smulkiau. Kaip mateme 7 skyrelyje, pir-

masis momentas apibudina atsitiktinio dydzio vidutine‘

reiksme‘. Antrasis

centrinis momentas

M(X −MX)2 =∫

Ω

(X −MX)2P (dω) =∫

R

(x−MX)2dFX(x)

apibudina atsitiktinio dydzio X reiksmiu‘

issibarstyma‘. Todel tas momen-

tas vadinamas dispersija (nuo lotynu‘kalbos zodzio dispergere – issklaidyti,

isbarstyti) ir zymimas DX. Kaip zinome (zr. (1)), ja‘galima uzrasyti ir sitaip:

DX = MX2 −M2X.

Toks uzrasas kartais patogesnis. Dispersijos, kaip ir vidurkio, ”mechanine”prasme yra paprasta. Jei tikimybini

‘pasiskirstyma

‘vaizduotumemes kaip

vienetines mases pasiskirstyma‘tieseje, tai dispersija reikstu

‘tos mases iner-

cijos momenta‘.

Dispersija‘galima apibrezti ir kitaip. Pasirodo, ji lygi

mina∈R

M(X − a)2.

Is tikru‘ju

‘is tapatybes

M(X − a)2 = MX2 + (a2 − 2aMX) = MX2 + (a−MX)2 −M2X

isplaukia, kad M(X − a)2 minimumas gaunamas tada, kai a = MX, ir todel


minaM(X − a)2 = MX2 −M2X.

Aritmetine kvadratines saknies is dispersijos reiksme√DX yra vadinama

atsitiktinio dydzio X standartiniu nuokrypiu arba tiesiog standartu.

2 p a v y z d y s. Tarkime, kad X yra atsivertusiu‘

akuciu‘

skaicius, metuslosimo kauliuka

‘. Kaip mateme 7 skyrelyje, MX = 7/2. Dydzio X2 vidurkis

MX2 = 12 · 1

6+ 22 · 1

6+ 32 · 1

6+ 42 · 1

6+ 52 · 1

6+ 62 · 1

6=

91

6.

Todel

DX =91

6− 49

4=

35

12.

3 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X pasiskirste‘s pagal binomini

‘desni

‘(zr. 2.2 pvz.). Tada, kaip mateme 7 skyrelyje, MX = np. Apskaiciuosime

MX2 =

n∑k=0

k2

(n

k

)pkqn−k.

Pertvarkysime si‘reiskini

‘, laikydami n ≥ 2:

MX2 =

n∑k=1

[1 + (k − 1)]n!

(k − 1)!(n− k)!pkqn−k =

= np

n∑k=1

(n− 1)!

(k − 1)!(n− k)!pk−1qn−k+

+ n(n− 1)p2

n∑k=2

(n− 2)!

(k − 2)!(n− k)!pk−2qn−k =

= np(p + q)n−1 + n(n− 1)p2(p + q)n−2 =

= np + n(n− 1)p2 = n2p2 + npq.

Vadinasi, DX = npq. Kai n = 1,

DX = 12 · p + 02 · q − p2 = p− p2 = pq.

4 p a v y z d y s. Sakykime, dydis x pasiskirste‘s pagal Puasono desni

‘su

parametru λ (zr. 5.2 pvz.). Kaip jau apskaiciavome 7 skyrelyje, MX = λ. Taigi

MX2 =

∞∑k=0

k2 λk

k!e−λ = λe−λ

∞∑k=1

[1 + (k − 1)]λk−1

(k − 1)!=

= λe−λ

∞∑k=1

λk−1

(k − 1)!+ λ2e−λ

∞∑k=2

λk−2

(k − 2)!=

= λe−λ · eλ + λ2e−λ · eλ = λ + λ2.


Todel DX = λ.

5 p a v y z d y s. Sio skyrelio pradzioje (1 pvz.) jau esame apskaiciave‘, kad

atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘desni

‘N(a, σ2), dispersija yra σ2.

4 teorema. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X turi vidurki‘a. Jo dispersija

DX = 0 tada ir tik tada, kai X su tikimybe 1 yra lygus konstantai a:

P (X = a) = 1.

I‘r o d y m a s. Pakankamumas yra trivialus. Butinumas isplaukia is V.9.9

teoremos, nes is M(X − a)2 = 0 gauname P (X − a 6= 0) = 0. ut

5 teorema. Jei c – reali konstanta, o X – bet koks atsitiktinis dydis,turintis dispersija

‘, tai cX taip pat turi dispersija

‘ir

DcX = c2DX.

I‘r o d y m a s isplaukia is lygybiu

‘

DcX = M(cX −McX)2 = Mc2(X −MX)2 == c2M(X −MX)2 = c2DX. ut

6 teorema. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi dispersijas, tai ja‘turi ir

atsitiktinis dydis X + Y ir

D(X + Y ) = DX +DY + 2M(X −MX)(Y −MY ).

I‘r o d y m a s. D(X+Y ) = M [(X+Y )−M(X+Y )]2 = M [(X−MX)+

+(Y −MY )]2 = M(X −MX)2 +M(Y −MY )2 + 2M(X −MX)(Y −MY ).Atsitiktinio dydzio X +Y dispersijos egzistavimas isplaukia is 1 teoremos. ut

Dydis M(X − MX)(Y − MY ) = MXY − MX · MY yra vadinamasatsitiktiniu

‘dydziu

‘X ir Y kovariacija ir zymimas cov(X,Y ).

Atsitiktinio vektoriaus (X1, ..., Xs) kovariaciju‘matrica vadiname matrica

‘∥∥∥∥∥ cov(X1, X1) · · · cov(X1, Xs)· · · · · · · · ·

cov(Xs, X1) · · · cov(Xs, Xs),

∥∥∥∥∥,jei tik atitinkamos kovariacijos egzistuoja.

Panagrinesime kovariaciju‘savybes.


7 teorema. Jei X ir Y – atsitiktiniai dydziai, turi‘antruosius momentus,

o c – konstanta, tai teisingos lygybes

cov(X,X) = DX,

cov(X,Y ) = cov(Y,X),

cov(cX, Y ) = c cov(X,Y ),

cov(X + c, Y ) = cov(X,Y ).

I‘r o d y m a s. Tu

‘lygybiu

‘i‘rodymas yra tiesiogine isvada is kovariacijos

apibrezimo ir vidurkiu‘savybiu

‘. I

‘rodysime nebent ketvirta

‘ja

‘savybe

‘. Turime

cov(X + c, Y ) = M(X + c−M(X + c))(Y −MY ) == M(X −MX)(Y −MY ) = cov(X,Y ). ut

Remdamiesi kovariacijos sa‘voka, 6 teoremos lygybe


(2) D(X + Y ) = DX +DY + 2 cov(X,Y ).

Pastaroji lygybe suprasteja, kai cov(X,Y ) = 0. Sakome, kad dydziai X ir Yyra nekoreliuoti, jei ju

‘cov(X,Y ) lygi 0.

1 isvada. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y turi dispersijas, tai

D(X + Y ) = DX +DY

tada ir tik tada, kai X ir Y yra nekoreliuoti.Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklausomi ir turi dispersijas, tai

jie yra ir nekoreliuoti, nes tada is nepriklausomumo ir 8 skyrelio teoremosisplaukia, kad MXY = MX · MY . Kaip zinome is 8 skyrelio, si lygybegali buti teisinga ir tada, kai dydziai X,Y nera nepriklausomi. Vadinasi,nekoreliuoti dydziai gali buti ir priklausomi. Is 1 isvados isplaukia sitokia.

2 isvada. Jei atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklausomi ir turi dis-persijas, tai ju

‘sumos dispersija yra lygi tu

‘dydziu

‘dispersiju

‘sumai:

D(X + Y ) = DX +DY.

3 isvada. Jei atsitiktinis dydis X turi dispersija‘, o c – reali konstanta,

tai X + c taip pat turi dispersija‘

ir

D(X + c) = DX.


8 teorema. Jei X1, ..., Xn turi antruosius momentus, tai ju‘

suma turidispersija

‘ir

Dn∑

k=1

Xk =n∑

k,l=1

cov(Xk, Xl) =

=n∑

k=1

DXk + 2∑

1≤k<l≤n

cov(Xk, Xl).

I‘r o d y m a s. Trivialus. ut

Isvada. Jei dydziai X1, ..., Xn turi dispersijas ir yra kas du nekoreliuoti,tai

D(X1 + ...+Xn) = DX1 + ...+DXn.

Dvieju‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘X,Y , turinciu

‘teigiamas dispersijas, priklauso-

mumui apibudinti yra i‘vedamas ju

‘koreliacijos koeficientas

%(X,Y ) =cov(X,Y )√DX ·DY

.

Jei dydziai yra nekoreliuoti, tai ju‘koreliacijos koeficientas lygus 0. Is 1 teo-

remos isplaukia, kad|%(X,Y )| ≤ 1.

Kaip matysime is 9 teoremos, jis gali buti lygus ±1. Tada dydziai yra labaistipriai priklausomi.

9 teorema. Koreliacijos koeficientas

%(X,Y ) = ±1

tada ir tik tada, kai egzistuoja tokios konstantos a 6= 0, b 6= 0, c, kad P (aX++ bY = c) = 1.

I‘

r o d y m a s. 1. Tarkime, kad P (aX + bY = c) = 1; cia a, b, c yrakonstantos.

Apskaiciuosime koreliacijos koeficienta‘

%(X,Y ) =cov(X,Y )√DX ·DY

=cov

(X, c−aX

b

)√DX ·D c−aX

b

=

=−a

b cov(X,X)√a2

b2DX ·DX= − sgn ab.


24 pav.

2. Teisinga lygybe

D( X√

DX± Y√

DY

)= 2

(1± cov(X,Y )√

DX ·DY

)= 2

(1± %(X,Y )

).

Jei %(X,Y ) = ∓1, tai is 4 teoremos isplaukia, kad su tikimybe 1

X√DX

± Y√DY

= const. ut

Sa‘lygines tikimybes ir sa

‘lyginiai vidurkiai 121

Momentai, kaip mateme, apibudina atsitiktinius dydzius i‘vairiais poziu-

riais, taciau jie ne visada egzistuoja. Tenka ieskoti ir kitu‘

charakteristiku‘.

Placiai vartojami vadinamieji kvantiliai.Tarkime, kad 0 < p < 1. Atsitiktinio dydzio X lygio p kvantiliu, arba

tiesiog p kvantiliu, vadiname skaiciu‘xp, tenkinanti

‘nelygybes

P (X < xp) ≤ p ≤ P (X ≤ xp),

kitaip tariant, nelygybes

FX(xp) ≤ p ≤ FX(xp + 0).

Kvantilis visada egzistuoja, nors ne visada yra vienareiksmiskai nusakomas.Jei (x, y) plokstumoje nubreztume funkcijos y = F (x) grafika

‘ir tiese

‘y = p,

tai ta tiese su funkcijos grafiku gali netureti ne vieno bendro tasko, turetiviena

‘arba be galo daug – istisa

‘intervala

‘tasku

‘(zr. 24 pav., a, b, c). Pas-

taruoju atveju kvantiliu‘

yra be galo daug; tada daznai kvantiliu laikomasatkarpos [x′p, x

′′p ] vidurio taskas.

Kai p = 1/2, 1/4, 3/4, q/10 (q = 1, ..., 9), r/100 (r = 1, ..., 99), kvantiliaivadinami atitinkamai mediana, apatiniu kvartiliu, virsutiniu kvartiliu, q-uojudeciliu, r-uoju procentiliu.

Mediana apibudina atsitiktinio dydzio vidutine‘

reiksme‘. Kai turime

pakankama‘

skaiciu‘

kvantiliu‘, is ju

‘didumo galime si

‘ta

‘pasakyti apie pa-

siskirstymo funkcija‘.

10. SA‘LYGINES TIKIMYBES IR SA

‘LYGINIAI

VIDURKIAI

I.11 skyrelyje jau nagrinejome sa‘lygines tikimybes sa

‘voka

‘. Priminsime ja

‘.

Imkime tikimybine‘erdve

‘Ω,A, P. Tarkime, kad A yra bet koks atsitikti-

nis i‘vykis, o E – atsitiktinis i

‘vykis su sa

‘lyga P (E) > 0. I

‘vykio A sa

‘lygine

tikimybe su sa‘lyga E vadinome santyki

‘

P (A|E) = PE(A) =P (A ∩ E)P (E)

.

I‘rodeme, kad Ω,A, PE yra tikimybine erdve.

Tarkime, kad X = X(ω) yra atsitiktinis dydis. Funkcija‘

FX(x|E) = PE(X < x) =P (X < x ∩ E

P (E)

vadinsime (zr. 2 skyreli‘) dydzio X sa

‘lygine pasiskirstymo funkcija, o integrala

‘


MEX = M(X|E) =∫

Ω

X(ω)PE(dω) =∫ ∞

−∞xdFX(x|E),

jei X(ω) yra PE-integruojama, – dydzio X sa‘lyginiu vidurkiu su sa

‘lyga E.

1 teorema. Jei M(X|E) egzistuoja, tai

M(X|E) =∫

E

X(ω)PE(dω) =1

P (E)

∫E

X(ω)P (dω).

I‘r o d y m a s. Kadangi PE(Ec) = 0, tai∫

Ec

X(ω)PE(dω) = 0.

Is cia isplaukia pirmoji lygybe. Jei A ⊂ E, A ∈ A, tai

PE(A) =P (A ∩ E)P (E)

=P (A)P (E)

.

Todel pagal integralo apibrezima‘∫

E

X(ω)PE(dω) =1

P (E)

∫E

X(ω)P (dω).

Gavome antra‘ja

‘lygybe

‘. ut

1 isvada. Jei egzistuoja MX, tai egzistuoja ir M(X|E).I‘r o d y m a s isplaukia is 1 teoremos antrosios lygybes. ut

2 isvada. Kiekvienam A ∈ A

M(1A|E) = P (A|E).

I‘r o d y m a s. Is 1 teoremos antrosios lygybes gauname

M(1A|E) =1

P (E)

∫E

1A(ω)P (dω) =1

P (E)

∫A∩E

P (dω) =

=P (A ∩ E)P (E)

= P (A|E). ut

2 teorema. Jei Ek yra baigtine arba skaiti kas du nesutaikomu‘

atsi-tiktiniu

‘i‘vykiu

‘aibe, ⋃

k

Ek = Ω,



P (Ek) > 0 visiems k ir MX egzistuoja, tai

MX =∑

k

P (Ek)M(X|Ek).

I‘r o d y m a s. Is integralo adityvumo ir 1 teoremos isplaukia, kad

MX =∫

Ω

X(ω)P (dω) =∑

k

∫Ek

X(ω)P (dω) =

=∑

k

P (Ek)M(X|Ek). ut

Paeme‘2 teoremoje X(ω) = 1A(ω), A ∈ A, gauname I.11.5 teorema

‘–

pilnosios tikimybes formule‘.

Musu‘

tikslas – apibendrinti sa‘lyginio vidurkio bei sa

‘lygines tikimybes

sa‘vokas. Tarkime, kad E yra sistemos A σ poalgebris. Daznai tai bus aibiu

‘σ

algebra, generuota vieno arba keliu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘. Jei Y yra atsitiktinis

dydis, apibreztas tikimybineje erdveje Ω,A, P, tai visu‘Borelio aibiu

‘B ∈ B

pirmavaizdziai Y −1(B) (zr. 1 skyreli‘) sudaro aibiu

‘σ algebra

‘, kuri yra A σ

poalgebris. Visai taip pat kiekvienam atsitiktiniam vektoriui Y = (Y1, ..., Ys)visu

‘Borelio aibiu

‘B ∈ Bs pirmavaizdziai Y −1(B) sudaro A σ poalgebri

‘.

Apibresime atsitiktinio dydzio X sa‘lygini

‘vidurki

‘M(X|E) su sa

‘lyga E .

Pirmiausia isnagrinesime konkretu‘atveji

‘. Tarkime, kad aibe

‘Ω suskaideme i

‘baigtine

‘arba skaicia

‘sistema

‘poaibiu

‘Ek, priklausanciu

‘A ir kas du neturinciu

‘bendru

‘elementu

‘, ⋃

k

Ek = Ω, Ej ∩ Ek = ∅ (j 6= k).

Taip skaidyti galime, pavyzdziui, tada, kai turime diskretu‘ji‘atsitiktini

‘dydi

‘Y , i

‘gyjanti

‘reiksmes yk, ir imame Ek = ω : Y (ω) = yk. Pazymekime E

aibiu‘Ek sistemos generuota

‘σ algebra

‘. Aisku, E ⊂ A. Tarkime, kad P (Ek) >

> 0. Apibresime funkcija‘M(X|E) aibeje Ω, imdami

M(X|E) = M(X|E)(ω) =∑

k

M(X|Ek)1Ek(ω).

Aisku M(X|E) yra diskretusis atsitiktinis dydis, i‘gyjantis reiksme

‘M(X|Ek)

aibeje Ek. Jei egzistuoja MX, tai pagal 2 teorema‘∫

Ω

M(X|E)P (dω) =∑

k

∫Ek

M(X|Ek)P (dω) =

=∑

k

M(X|Ek)P (Ek) = MX.


Kadangi σ algebros E aibes E yra baigtines arba skaicios aibiu‘Ek sa

‘jungos

(i‘rodykite!)

E =⋃k

′Ek,

tai kiekvienai E ∈ E pagal 1 teorema‘

(1)

∫E

X(ω)P (dω) =∑

k

′∫

Ek

X(ω)P (dω) =

=∑

k

′P (Ek)M(X|Ek) =

=∑

k

′∫

Ek

M(X|E)P (dω) =∫

E

M(X|E)P (dω).

Is sios lygybes isplaukia, kad funkcija M(X|E) yra integruojama. (1) for-mules pirmasis ir paskutinis integralai is esmes skiriasi: pirmojo pointegralinefunkcija yraAmati, o paskutiniojo pointegraline funkcija – E mati. (1) lygybeteisinga visoms E ∈ E , bet gali ir nebuti teisinga, kai E ∈ A\E .

Parodysime, kad (1) lygybe tam tikra prasme apraso funkcija‘M(X|E)

vienareiksmiskai. Tai isplauks is sitokios lemos.

1 lema. Jei ϕ yra E mati funkcija ir visoms E ∈ E teisinga lygybe∫E

ϕ(ω)P (dω) = 0,

tai beveik visur mato P atzvilgiu ϕ(ω) = 0, t. y.

P(ω : ϕ(ω) 6= 0

)= 0.

I‘r o d y m a s. Is lemos sa

‘lygu

‘∫ω:ϕ(ω)>0

ϕ(ω)P (dω) = 0.

Pagal V.9.9 teorema‘P

(ω : ϕ(ω) > 0

)= 0. Pakeite

‘funkcija

‘ϕ(ω) funkcija

−ϕ(ω), gauname P(ω : ϕ(ω) < 0

)= 0. Vadinasi, P

(ω : ϕ(ω) 6= 0

)= 0. ut

Is cia lengvai isplaukia funkcijos M(X|E) vienareiksmiskumas. Tarkime,kad yra dvi E macios funkcijos ϕ1 ir ϕ2, visoms E ∈ E tenkinancios lygybe

‘∫E

X(ω)P (dω) =∫

E

ϕk(ω)P (dω) (k = 1, 2),

t. y.


‘lyginiai vidurkiai 125∫

E

(ϕ1(ω)− ϕ2(ω)

)P (dω) = 0.

Pagal 1 lema‘

P(ω : ϕ1(ω) 6= ϕ2(ω)

)= 0,

kitaip tariant, beveik visur mato P atzvilgiu ϕ1(ω) = ϕ2(ω).Taigi (1) lygybe apraso ekvivalenciu

‘mato P atzvilgiu funkciju

‘klase

‘. Ja

remdamiesi, apibreziame sa‘lygini

‘vidurki

‘M(X|E) bendruoju atveju, kai E

yra bet kuris A σ poalgebris.

3 teorema. Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, o E – sistemosA σ poalgebris, tai egzistuoja vienintele ekvivalenciu

‘mato P atzvilgiu ir E

maciu‘

funkciju‘ϕ klase, visoms E ∈ E tenkinanti lygybe

‘

(2)∫

E

X(ω)P (dω) =∫

E

ϕ(ω)P (dω).

I‘r o d y m a s. Nagrinesime aibes funkcija

‘

ν(E) =∫

E

X(ω)P (dω),

apibrezta‘visoms E ∈ E . Kadangi X yra integruojamas, tai ν yra baigtine

funkcija. Is integralo savybiu‘

isplaukia visiskas jo adityvumas. Taip pat isintegralo savybiu

‘turime: jei P (E) = 0, tai ν(E) = 0. Vadinasi, ν yra kruvis

(apibendrintas matas), absoliuciai tolydus P atzvilgiu. Teoremos teiginysisplaukia is Radono1–Nikodimo2 teoremos. Funkcija ϕ yra Radono–Nikodimo”isvestine” dν/dP . ut

Dabar jau galime pateikti bendra‘sa

‘lyginio vidurkio M(X|E) apibrezima

‘.

Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, apibreztas tikimybineje erdvejeΩ,A, P, ir E yraA σ poalgebris, tai sa

‘lyginiu vidurkiu E atzvilgiu vadinsime

kiekviena‘

is ekvivalenciu‘P atzvilgiu funkciju

‘ϕ(ω), apibreztu

‘aibeje Ω, E

maciu‘ir kiekvienai E ∈ E tenkinanciu

‘(2) lygybe

‘. Dvi tokios funkcijos gali

skirtis tik nulinio P mato aibeje. Zymesime M(X|E). Kiekviena‘

konkrecia‘

nusakytos klases funkcija‘vadinsime sa

‘lyginio vidurkio versija (variantu).

Jei A ∈ A, tai sa‘lygine i

‘vykio A tikimybe E atzvilgiu vadinsime P (A|E) =

= M(1A|E).Jei E yra σ algebra, generuota vienamacio ar daugiamacio atsitiktinio

dydzio Y , tai sa‘lygini

‘vidurki

‘ir sa

‘lygine

‘tikimybe

‘E atzvilgiu zymesime

M(X|E) = M(X|Y ), P (A|E) = P (A|Y )

1 Johann Radon (1887–1956) – austru‘matematikas.

2 Otton Nikodym (g. 1887) – lenku‘matematikas.


ir vadinsime X sa‘lyginiu vidurkiu bei A sa

‘lygine tikimybe atsitiktinio dydzio

Y atzvilgiu.Paminesime keleta

‘atskiru

‘atveju

‘. Jei E = ∅,Ω, tai visiems ω ∈ Ω

M(X|E)(ω) = MX.

Is tikru‘ju

‘nesunku patikrinti, kad konstanta MX tenkina (2) lygybe

‘, be to,

∅ yra vienintelis i‘vykis is E , turintis nuline

‘tikimybe

‘.

Jei E yra algebra, generuota aibes E, E 6= ∅, E 6= Ω, t. y. E == ∅, E,Ec,Ω, tai beveik visur P atzvilgiu

M(X|E) =M(X|E), kai ω ∈ E,M(X|Ec), kai ω ∈ Ec.

4 teorema. M(M(X|E)

)= MX.

I‘r o d y m a s. Si lygybe yra triviali 3 teoremos isvada, kai E = Ω. ut

2 lema. Jei atsitiktinis dydis Y yra apibreztas tikimybineje erdvejeΩ,A, P, o AY – to dydzio generuota σ algebra ir Z yra AY mati funkcija,tai galima rasti Borelio funkcija

‘ϕ, kuriai beveik visur mato P atzvilgiu

Z(ω) = ϕ(Y (ω)

).

I‘

r o d y m a s. Pazymekime HY klase‘visu

‘AY maciu

‘funkciju

‘, o H∗

Y

klase‘visu

‘funkciju

‘f(Y (ω)

), kai f – bet kurios Borelio funkcijos.

Kiekvienai Borelio aibei B ∈ Bω : f

(Y (ω)

)∈ B

= ω : Y (ω) ∈ f−1(B) ∈ AY .

Vadinasi, H∗Y ⊂ HY .

Parodysime, kad H∗Y = HY .

Imkime bet kuria‘sistemos AY aibe

‘A ir B ∈ B su sa

‘lyga Y −1(B) = A.

Tada 1A ∈ H∗Y , nes 1A(ω) = 1B

(Y (ω)

). Is cia taip pat gauname, kad klasei

H∗Y priklauso ir tiesines kombinacijos

n∑k=1

ck1Ak,

kai Ak ∈ AY .Kiekviena

‘AY macia

‘funkcija

‘galima uzrasyti sitaip:

Z(ω) = limn→∞

Zn(ω);

cia Zn yra atitinkamai parinktos paprastosios (AY atzvilgiu) funkcijos. Todelpakaks i

‘rodyti: jei Zn(ω) = ϕn

(Y (ω)

), ϕn – Borelio funkcijos, ir Z(ω) =

= limZn(ω), tai galima rasti Borelio funkcija‘ϕ su sa

‘lyga Z(ω) = ϕ

(Y (ω)

).



Pazymekime B0 aibe‘tu

‘realiu

‘ju

‘x, kuriems egzistuoja riba limϕn(x). Is 1.3

teoremos analogo isplaukia, kad B0 yra Borelio aibe. Pazymekime

ϕ(x) =

limnϕn(x), kai x ∈ B0,

0, kai x 6∈ B0.

TadaZ(ω) = lim

n→∞Zn(ω) = lim

n→∞ϕn

(Y (ω)

)= ϕ

(Y (ω)

). ut

5 teorema. Jei X ir Y yra atsitiktiniai dydziai ir X yra integruoja-mas, tai viena is sa

‘lyginio vidurkio M(X|Y ) versiju

‘yra atsitiktinio dydzio

Y Borelio funkcija ϕ(Y ).I‘r o d y m a s isplaukia is 2 lemos. ut

Remiantis sia teorema, funkcija M(X|Y ) yra pastovi beveik visur matoP prasme toms ω aibems, kurioms Y (ω) yra pastovi.

6 teorema. Tarkime, kad X yra integruojamas atsitiktinis dydis, nusaky-tas tikimybineje erdveje Ω,A, P. Jei E ir F yra sistemos A σ poalgebriaiir E ⊂ F , tai beveik visur M(X|E) = M(M(X|F)|E).

I‘r o d y m a s. Kadangi abi i

‘rodomosios lygybes puses yra E macios, tai

reikia tik i‘sitikinti, kad∫

E

M(X|E)P (dω) =∫

E

M(M(X|F)|E

)P (dω)

visoms aibems E ∈ E . Pagal apibrezima‘kiekvienai aibei E ∈ E∫

E

M(X|E)P (dω) =∫

E

X(ω)P (dω).

Kadangi E ⊂ F , tai E ∈ F , vadinasi,∫E

M(M(X|F)|E

)P (dω) =

∫E

M(X|F)P (dω) =

=∫

E

X(ω)P (dω).

Is cia isplaukia reikiamas teiginys. ut7 teorema. Jei X1 ir X2 – integruojami atsitiktiniai dydziai, c1 ir c2 –

konstantos, tai beveik visur mato P prasme teisinga lygybe

M(c1X1 + c2X2|E) = c1M(X1|E) + c2M(X2|E).

I‘r o d y m a s. Pagal apibrezima

‘visoms aibems E ∈ E


(3)

∫E

M(c1X1 + c2X2|E)(ω)P (dω) =

=∫

E

(c1X1(ω) + c2X2(ω)

)P (dω).

Visai taip pat∫E

M(Xk|E)(ω)P (dω) =∫

E

Xk(ω)P (dω) (k = 1, 2).

Is cia

(4)

∫E

c1M(X1|E)(ω) + c2M(X2|E)(ω)P (dω) =

=∫

E

(c1X1(ω) + c2X2(ω)

)P (dω).

(3) ir (4) lygybiu‘desines puses sutampa. Todel visoms E ∈ E∫

E

M(c1X1 + c2X2|E)(ω)P (dω) =

=∫

E

c1M(X1|E)(ω) + c2M(X2|E)(ω)P (dω).

Pritaike‘1 lema

‘, gauname teoremos teigini

‘. ut

8 teorema. Jei X ir Y yra atsitiktiniai dydziai, nusakyti tikimybinejeerdveje Ω,A, P, Y ir XY yra integruojami, E yra A σpoalgebris, be to, Xyra Ematus, tai beveik visur M(XY |E) = XM(Y |E).


‘rodyti, kad visoms E ∈ E∫

E

M(XY |E)(ω)P (dω) =∫

E

X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω).

Pagal sa‘lyginio vidurkio apibrezima

‘visoms E ∈ E∫

E

M(XY |E)(ω)P (dω) =∫

E

X(ω)Y (ω)P (dω),

vadinasi, pakanka i‘rodyti, kad visoms E ∈ E∫

E

X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =∫

E

X(ω)Y (ω)P (dω).

Pirmiausia nagrinesime atveji‘, kai atsitiktinis dydis yra sitoks:



X(ω) =r∑

k=1

ak1Ek(ω);

cia Ek ∈ E . Siuo atveju∫E

X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =r∑

k=1

ak

∫E∩Ek

M(Y |E)(ω)P (dω) =

=r∑

k=1

ak

∫E∩Ek

Y (ω)P (dω) =∫

E

r∑k=1

ak1Ek(ω)Y (ω)P (dω) =

=∫

E

X(ω)Y (ω)P (dω).

Vadinasi, teorema yra teisinga.Dabar tarkime, kad X ir Y yra neneigiami atsitiktiniai dydziai. Pazy-

mekime Xn nemazejancia‘

neneigiamu‘

paprastu‘ju

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka

‘,

konverguojancia‘i‘X. Pasireme

‘V.9.14 teorema ir ka

‘tik i

‘rodytu atskiru sios

teoremos atveju, gauname∫E

X(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =

= limn→∞

∫E

Xn(ω)M(Y |E)(ω)P (dω) =

= limn→∞

∫E

M(XnY |E)(ω)P (dω) =

= limn→∞

∫E

Xn(ω)Y (ω)P (dω) =∫

E

X(ω)Y (ω)P (dω) =

=∫

E

M(XY |E)(ω)P (dω).

Jei X ir Y yra bet kokie atsitiktiniai dydziai, tai juos galime uzrasytisitaip: X = X+ −X−, Y = Y + − Y −; cia X+, X−, Y +, Y − yra neneigiamiatsitiktiniai dydziai. Is 7 teoremos zinome, kad beveik visur

X(ω)M(Y |E)(ω) = X+(ω)M(Y +|E)(ω)−−X+(ω)M(Y −|E)(ω)−X−(ω)M(Y +|E)+

+X−(ω)M(Y −|E)(ω).

Lieka pritaikyti ka‘tik i

‘rodyta

‘teoremos teigini

‘. ut

Paliekame skaitytojui i‘rodyti toliau isvardytas sa

‘lyginiu

‘vidurkiu

‘savybes.

Ju‘i‘rodymas pagri

‘stas apibrezimu ir jau i

‘rodytomis savybemis.

1. Jei X yra E integruojamas atsitiktinis dydis, tai beveik visur


M(X|E)(ω) = X(ω).

2. Jei X1 ir X2 yra integruojami atsitiktiniai dydziai ir X1 ≤ X2, taibeveik visur

M(X1|E)(ω) ≤M(X2|E)(ω).

3. Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, tai beveik visur

|M(X|E)(ω)| ≤M(|X|∣∣E)(ω).

4. Jei X yra integruojamas atsitiktinis dydis, Xn (n = 1, 2, ...) – nema-zejanti integruojamu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka, konverguojanti i

‘X, tai beveik

visurM(Xn|E)(ω) →M(X|E)(ω).

5. Jei Y yra integruojamas atsitiktinis dydis, Xn (n = 1, 2, ...) – atsitik-tiniu

‘dydziu


‘X, ir |X| ≤ Y , tai beveik visur

M(Xn|E)(ω) →M(X|E)(ω).

III skyrius. ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

SEKOS.

ATSITIKTINIAI PROCESAI

1. BORELIO–KANTELIO LEMA.NULIO ARBA VIENETO DESNIS

Nagrinesime atsitiktiniu‘dydziu

‘sekas bei i

‘vairius ju

‘konvergavimo tipus.

Siame skyrelyje tiriamos aibes yra is tikimybines erdves Ω,A, P.

1 lema. Jei An ∈ A (n = 1, 2, ...), tai

P (lim supn

An) = limk→∞

P( ∞⋃n=k

An),

P (lim infn

An) = limk→∞

P( ∞⋂n=k

An).

I‘r o d y m a s. Pazymekime

(1) Cn =∞⋃k=n

Ak (n = 1, 2, ...),

(2) Dn =∞⋂k=n

Ak (n = 1, 2, ...).

(1) aibes sudaro monotoniskai mazejancia‘seka

‘, todel pagal I.10.8 teorema

‘

P( ∞⋂k=1

Ck)

= limk→∞

P (Ck).

(2) aibes sudaro monotoniskai didejancia‘seka

‘, todel pagal I.10.7 teorema

‘

P( ∞⋃k=1

Dk

)= limk→∞

P (Dk). ut

2 lema. Kiekvienam realiajam x

132 Atsitiktiniu‘dydziu

‘sekos. Atsitiktiniai procesai

1 + x ≤ ex.

I‘

r o d y m a s. Funkcijos f(x) = ex − 1 − x pirmoji ir antroji isvesti-nes yra

f ′(x) = ex − 1, f ′′(x) = ex.

Kadangi antroji isvestine teigiama, tai stacionarusis taskas x = 0 yra f mi-nimumo taskas. Todel f(x) ≥ f(0) visiems realiesiems x. ut

Dabar i‘rodysime teorema

‘, kuri labai placiai taikoma.

1 teorema (Borelio–Kantelio1 lema). Tarkime, kad An ∈ A (n == 1, 2, ...). Jei eilute

(3)∞∑n=1

P (An)

konverguoja, tai

(4) P (lim supn

An) = 0.

Jei i‘vykiai An yra nepriklausomi ir (3) eilute diverguoja, tai

(5) P (lim supn

An) = 1.

I‘r o d y m a s. 1. Is (3) eilutes konvergavimo isplaukia, kad

P( ∞⋃n=k

An)≤

∞∑n=k

P (An) → 0,

kai k →∞. Is 1 lemos isplaukia 4 formule.2. Sakykime, An yra nepriklausomi. Pagal 1 lema

‘

(6) P (lim infn

Acn) = limk→∞

P( ∞⋂n=k

Acn).

Kadangi i‘vykiai Acn yra taip pat nepriklausomi, tai kiekvienam N ≥ k

(7) P( N⋂n=k

Acn)

=N∏n=k

P (Acn) =N∏n=k

(1− P (An)

).

Pagal 2 lema‘(7) reiskinys yra ne didesnis uz

1 Francesco Paolo Cantelli (1875–1966) – italu‘matematikas.

Borelio–Kantelio lema. Nulio arba vieneto desnis 133

N∏n=k

e−P (An) = exp(−

N∑n=k

P (An)).

Jei (3) eilute diverguoja, tai

P( N⋂n=k

Acn)→ 0,

kai N →∞. Taciau aibes

N⋂n=k

Acn (N = k, k + 1, ...)

sudaro monotoniskai mazejancia‘seka

‘. Todel

P( ∞⋂n=k

Acn)

= limN→∞

P( N⋂n=k

Acn)

= 0.

Is (6) lygybes isplaukiaP (lim inf

nAcn) = 0.

Is cia, kadangi lim infn

Acn = (lim supn

An)c, gauname

P((lim sup

nAn)c

)= 0,

t. y. (5) lygybe‘. ut

Antrojoje Borelio–Kantelio lemos dalyje reikalavome, kad i‘vykiai An butu

‘nepriklausomi. Nesunku parodyti, kad priesingu atveju ta lema gali ir ne-galioti. Imkime tikimybine

‘erdve

‘Ω,A, P, kurioje Ω = [0, 1], sistema A

sudaryta is visu‘maciu

‘Lebego prasme intervalo [0, 1] poaibiu

‘, o P yra Lebego

matas. Aibiu‘sekos An = (0, 1/n) riba lim

nAn = ∅, P (lim

nAn) = 0, tuo tarpu

eilute∞∑n=1

P (An) =∞∑n=1

1n

diverguoja.Taciau nepriklausomumo reikalavima

‘galima susilpninti. Pakanka, pa-

vyzdziui, reikalauti, kad i‘vykiai An butu

‘kas du nepriklausomi, arba bend-

riau, kad

lim infn→∞

∑nk=1

∑nl=1 P (Ak ∩Al)(∑nl=1 P (Ak)

)2 = 1



(zr. [30], p. 327).Abu Borelio–Kantelio lemos teiginiai, kai atsitiktiniai i

‘vykiai yra nepri-

klausomi, vadinami Borelio nulio arba vieneto desniu. Tai yra atskiras atvejisbendresnio desnio, kuri

‘netrukus i

‘rodysime.

Tarkime, kad Xn yra atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka. Pazymekime A∞n == σ(Xn, Xn+1, ...) atsitiktiniu

‘dydziu

‘Xn, Xn+1, ... generuota

‘σ algebra

‘,

t. y. maziausia‘σ algebra

‘, kuriai priklauso visos aibes

ω : Xn(ω) ∈ Bn, ..., Xn+k(ω) ∈ Bn+k;

cia k yra bet koks naturalusis skaicius, Bn, ..., Bn+k – bet kokios Borelio aibes.σ algebru

‘A∞n (n = 1, 2, ...) seka yra monotoniskai mazejanti. Ju

‘sankirta

E =∞⋂n=1

A∞n

vadinama asimptotine atsitiktiniu‘dydziu

‘sekos Xn σ algebra. Ji nesikeicia,

atmetus baigtini‘sekos Xn nariu

‘skaiciu

‘. I

‘vykis A ∈ E taip pat vadinamas

asimptotiniu.Paminesime keleta

‘asimptotiniu

‘i‘vykiu

‘.

1 p a v y z d y s. Tarkime, kad B1, B2, ... yra Borelio aibiu‘

seka. I‘vykis

”Xn ∈ Bn be galo dideliam indeksu‘n skaiciui”, t. y.

lim supn

ω : Xn(ω) ∈ Bn

yra σ algebros E i‘vykis.

2 p a v y z d y s. Sekos Xn konvergavimas (arba divergavimas) yra i‘vykis

is E . Is tikru‘ju

‘sekos konvergavimo aibe yra (zr. II.1.3 teoremos i

‘rodyma

‘)

∞⋂k=1

∞⋃n=1

∞⋂r=n

∞⋂s=n

ω : |Xr(ω)−Xs(ω)| < 1

k

.

3 p a v y z d y s. Atsitiktiniu‘dydziu

‘eilutes

∞∑n=1

Xn

konvergavimas bei divergavimas yra i‘vykiai is E . I

‘rodykite!

4 p a v y z d y s. I‘vykis

ω : lim supn→∞

1

n

(X1(ω) + ... + Xn(ω)

)< ∞

taip pat priklauso E . I

‘rodykite!


‘seku

‘konvergavimas 135

2 teorema (Kolmogorovo nulio arba vieneto desnis). Jei Xn yranepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka, tai kiekvieno jos asimptotinio i

‘vykio

tikimybe yra lygi 0 arba 1.Si teorema teigia, kad asimptotine σ algebra yra sudaryta is i

‘vykiu

‘, kurie

nuo ∅ ir Ω skiriasi tik nuline tikimybe.I‘r o d y m a s. Pazymekime An1 = σ(X1, ..., Xn) maziausia

‘σ algebra

‘,

kuriai priklauso visos aibes ω : X1(ω) ∈ B1, ..., Xn(ω) ∈ Bn, kai B1, ..., Bnyra Borelio aibes. Tada

C =∞⋃n=1

An1

yra taip pat algebra, taciau nebutinai σ algebra. Nesunku suvokti, kadσ(C) = A∞1 .

Atkreipsime demesi‘, kad σ algebros An1 ir A∞n+1 kiekvienam n yra ne-

priklausomos. Kadangi E ⊂ A∞n+1, tai E ir An1 yra taip pat nepriklausomoskiekvienam n. Is cia isplaukia, kad ir E , ir σ(C) = A∞1 yra nepriklausomos(i‘rodykite!). Vadinasi, kiekvienam A ∈ E ir bet kuriam C ∈ A∞1

P (A ∩ C) = P (A)P (C).

Kadangi E ⊂ A∞1 , tai si lygybe teisinga ir tuo atveju, kai C = A,t. y. P (A) = P 2(A). Tokia lygybe teisinga tada ir tik tada, kai P (A) lygi0 arba 1. ut

Is 2 teoremos isplaukia, kad 1–4 pavyzdziuose nurodytu‘

i‘vykiu

‘,

kai X1, X2, ... yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, tikimybes lygios 0arba 1.

2. ATSITIKTINIU‘

DYDZIU‘

SEKU‘

KONVERGAVIMAS

Tikimybiu‘teorijoje ir, apskritai, matematineje analizeje funkciju

‘konvergavi-

mo visuose ju‘apibrezimo taskuose sa

‘voka yra per daug siaura. Susipazinsime

su kai kuriais bendresniais maciu‘funkciju

‘seku

‘konvergavimo tipais.

Tarkime, kad tikimybineje erdveje Ω,A, P duota atsitiktiniu‘

dydziu‘Xn(ω) seka ir atsitiktinis dydisX(ω). Sakykime,Xn(ω) konverguoja i

‘X(ω)

visuose aibes Ω taskuose, isskyrus aibe‘, kurios tikimybinis matas yra 0. Toks

konvergavimas

P(ω : Xn(ω) → X(ω)

)= P (Xn → X) = 1

yra vadinamas konvergavimu beveik visur mato P atzvilgiu, arba konvergavi-mu P beveik visur, arba konvergavimu su tikimybe 1. Ribine funkcija X(ω)yra vienareiksmiskai nusakyta tik tuose aibes Ω taskuose, kuriuose sekaXn(ω)



konverguoja. Jei tikimybine erdve yra pilna, tai ribine‘

funkcija‘

galima betkaip keisti kiekviename aibes Ω poaibyje, turinciame nulini

‘mata

‘P .

Nurodysime pora‘konvergavimo su tikimybe 1 kriteriju

‘.

1 teorema. Atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka Xn konverguoja su tikimybe 1 i‘

atsitiktini‘

dydi‘X tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0

Pω : supm≥n

|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε−−−−−→n→∞

0.

I‘r o d y m a s. Pazymekime Ω0 aibe

‘tu

‘ω, kuriuose Xn(ω) konverguoja

i‘X(ω). Priminsime: sekos Xn(ω) konvergavimas i

‘X(ω) taske ω reiskia, jog

kiekvienam ε > 0 galima rasti toki‘n(ω, ε), kad butu

‘|Xm(ω) − X(ω)| < ε

visiems m ≥ n(ω, ε). Vadinasi,

Ω0 =⋂ε>0

∞⋃n=1

∞⋂m=n

ω : |Xm(ω)−X(ω)| < ε.

Aibe tu‘ω, kuriuose Xn(ω) nekonverguoja i

‘X(ω), yra

Ωc0 =⋃ε>0

∞⋂n=1

∞⋃m=n

ω : |Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε =⋃ε>0

∞⋂n=1

An(ε);

ciaAn(ε) = ω : sup

m≥n|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε.

Nesunku suvokti, kad

Ωc0 =∞⋃k=1

∞⋂n=1

An

(1k

)(i‘rodykite!). Is cia isplaukia, kad P (Ωc0) = 0 tada ir tik tada, kai kiekvie-

nam k

P

( ∞⋂n=1

An

(1k

))= 0.

Kadangi aibes An(1/k) (n = 1, 2, ...) sudaro monotoniskai mazejancia‘seka

‘,

tai pastaroji lygybe ekvivalenti lygybei

limn→∞

P

(An

(1k

))= 0.

Is cia isplaukia, kad teoremos teiginys teisingas bet kuriam ε > 0. utSkaiciu

‘seku

‘xn konvergavima

‘galima patikrinti Kosi kriterijumi: seka

konverguoja tada ir tik tada, kai xn − xm → 0, jei m ir n → ∞, t. y.


‘seku


supν≥1

|xn+ν − xn| → 0, kai n → ∞. I‘rodysime jo analoga

‘konvergavimui

beveik visur.

2 teorema. Atsitiktiniu‘dydziu

‘seka Xn konverguoja su tikimybe 1 tada

ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0

P( ∞⋂n=1

ω : supm>n

|Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε)

= 0.

I‘r o d y m a s. Pazymekime Ω0 aibe

‘tu

‘ω, kuriuose seka Xn(ω) kon-

verguoja. Kaip ir 1 teoremos i‘rodyme, remdamiesi Kosi kriterijumi, gauname

Ω0 = ω : limn→∞

supm>n

|Xm(ω)−Xn(ω)| = 0 =

=⋂ε>0

∞⋃n=1

∞⋂m=n+1

ω : |Xm(ω)−Xn(ω)| < ε.

Todel

Ωc0 =⋃ε>0

∞⋂n=1

∞⋃m=n+1

ω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε =⋃ε>0

∞⋂n=1

An(ε);

ciaAn(ε) = ω : sup

m>n|Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε.

Teisinga lygybe

Ωc0 =∞⋃k=1

∞⋂n=1

An

(1k

).

Atkreipsime demesi‘, kad P (Ωc0) = 0 tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0

P( ∞⋂n=1

An(ε))

= 0.

Teorema‘i‘rodeme. Nesunku rasti ir atsitiktini

‘dydi

‘X(ω), i

‘kuri

‘beveik

visur konverguoja seka Xn(ω). Pakanka paimti

X(ω) =

limn→∞

Xn(ω), kai ω ∈ Ω0,0, kai ω ∈ Ωc0. ut

Isvada. Jei Xn yra atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka ir kiekvienam ε > 0

Pω : supm>n

|Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε → 0,



kai n→∞, tai seka Xn konverguoja su tikimybe 1.I‘r o d y m a s. Kiekvienai i

‘vykiu

‘sekai An is A teisinga nelygybe

P( ∞⋂n=1

An)≤ inf

nP (An). ut

Isnagrinesime kita‘

konvergavimo tipa‘. Sakome, kad atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka Xn konverguoja pagal tikimybe

‘, arba stochastiskai, i

‘atsitiktini

‘dydi

‘X, jei kiekvienam ε > 0

Pω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε → 0,

kai n → ∞, kitaip tariant, su tikimybe, kiek norima artima 1, Xn nuo Xskiriasi dydziu, mazesniu uz ε, kai n yra pakankamai didelis.

Parodysime, kad konvergavimo pagal tikimybe‘sa

‘voka yra bendresne uz

konvergavimo su tikimybe 1 sa‘voka

‘.

3 teorema. Jei atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka Xn konverguoja i‘

atsitiktini‘

dydi‘X su tikimybe 1, tai ji konverguoja i

‘ta‘

dydi‘

ir pagal tikimybe‘.

I‘r o d y m a s. Teisinga priklausomybe

ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε ⊂ ω : supm≥n

|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε.

Todel

Pω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε ≤ Pω : supm≥n

|Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε.

Pakanka remtis 1 teorema. utPriesingas siai teoremai teiginys nera teisingas. Tai matysime is pavyzdzio.

P a v y z d y s. Tarkime, kad Ω = [0, 1], A – to intervalo visu‘Borelio poaibiu

‘sistema, P – Lebego matas. Pazymekime

Ank =[k − 1

n,k

n

](k = 1, ..., n; n = 1, 2, ...),

Xnk(ω) = 1Ank(ω).

Tada atsitiktiniu‘dydziu

‘seka

X11, X21, X22, X31, X32, X33, ...

konverguoja pagal tikimybe‘i‘0, bet nekonverguoja ne viename intervalo [0, 1] taske.

Ir siam konvergavimo tipui i‘rodysime Kosi kriterijaus analoga

‘. Pries tai

i‘rodysime sitoki

‘teigini

‘.

Lema. Jei atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka Xn turi savybe‘: kiekvienam ε > 0


‘seku


Pω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε → 0,

kai m,n→∞, tai galima rasti poseki‘Xnk

, konverguojanti‘

su tikimybe 1.I‘r o d y m a s. Imkime n1 = 1. Pazymekime nk (k > 1) maziausia

‘r,

tenkinanti‘sa

‘lygas

Pω : |Xm(ω)−Xn(ω)| > 2−k < 2−k, m ≥ r, n ≥ r, r > nk−1.

Tada eilute∞∑k=1

Pω : |Xnk+1(ω)−Xnk(ω)| > 2−k

konverguoja. Is Borelio–Kantelio lemos isplaukia, kad su tikimybe 0 nelygybes|Xnk+1(ω)−Xnk

(ω)| > 2−k yra teisingos be galo dideliam indeksu‘k skaiciui.

Vadinasi, su tikimybe 1 teisingos nelygybes |Xnk+1(ω) − Xnk(ω)| ≤ 2−k

visiems pakankamai dideliems k. Todel su tikimybe 1 konverguoja eilute∞∑k=1

|Xnk+1(ω)−Xnk(ω)|.

Tos eilutes konvergavimo tasku‘aibe

‘pazymekime Ω0. Tarkime, kad X(ω) yra

lygus eilutes

(1) Xn1(ω) +∞∑r=1

(Xnr+1(ω)−Xnr

(ω))

sumai taskuose ω ∈ Ω0 ir lygus 0, kai ω ∈ Ωc0. Kadangi (1) eilutes k-oji dalinesuma yra Xnk+1 , tai seka Xnk

su tikimybe 1 konverguoja i‘X. ut


dydziu‘

seka Xn konverguoja pagal tikimybe‘

tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0

(2) Pω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε−−−−−→m,n→∞

0.

I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad seka Xnk

konverguoja pagal tikimybe‘

i‘X. Teisinga priklausomybe

ω : |Xm(ω)−Xn(ω)| ≥ ε ⊂ω : |Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε

2

∪

∪ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε

2

.

Todel

P (|Xm −Xn| ≥ ε) ≤ P(|Xm −X| ≥ ε

2

)+ P

(|Xn −X| ≥ ε

2

).



Is ciaP (|Xm −Xn| ≥ ε) → 0,

kai m,n→∞.2. Sakykime, teisingas (2) teiginys. Pagal lema

‘is sekos Xn galima

isskirti poseki‘Xnk

, konverguojanti‘

su tikimybe 1 i‘

kuri‘

nors atsitiktini‘

dydi‘X. Is nelygybes

P (|Xn −X| ≥ ε) ≤ P(|Xn −Xnk

| ≥ ε

2

)+ P

(|Xnk

−X| ≥ ε

2

),

3 teoremos ir prielaidos, kad teisingas (2) teiginys, isplaukia, jog seka Xnkonverguoja pagal tikimybe

‘i‘X. ut

Is 4 teoremos ir lemos isplaukia, kad is konverguojancios pagalmata

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sekos galima isskirti poseki

‘, konverguojanti

‘su tiki-

mybe 1.Konvergavimo pagal tikimybe

‘atveju ribine funkcija nera vienareiksmiskai

nusakyta, bet yra teisingas sitoks teiginys.

5 teorema. Jei atsitiktiniu‘dydziu

‘seka Xn konverguoja pagal tikimybe

‘i‘

atsitiktini‘

dydi‘X ir i

‘atsitiktini

‘dydi

‘Y , tai P (X 6= Y ) = 0.

I‘r o d y m a s. Remsimes priklausomybe

ω : |X(ω)− Y (ω)| ≥ ε ⊂ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε

2

∪

∪ω : |Xn(ω)− Y (ω)| ≥ ε

2

.

Desines puses i‘vykiu

‘tikimybes konverguoja i

‘0, kai n → ∞. Todel

kaires puses i‘vykio tikimybe lygi 0. Is cia isplaukia, kad P (X 6= Y ) = 0

(i‘rodykite!). ut

3. DIDZIU‘JU

‘SKAICIU

‘DESNIS

Nagrinedami atsitiktini‘

i‘vyki

‘A su tikimybe P (A), apskritai negalime is

anksto pasakyti, ar i‘vykis A i

‘vyks, ar nei

‘vyks konkreciame eksperimente.

Bet kai tikimybe P (A) yra artima 1 arba 0, jau daugiau galime pasakytiapie jo i

‘vykima

‘arba nei

‘vykima

‘atskirame eksperimente. Jei, sakysime,

P (A) = 0, 01, tai i‘vykis A i

‘vyks vidutiniskai viena

‘karta

‘is 100 eksperimentu

‘.

Jei P (A) = 0, 99, tai is 100 eksperimentu‘i‘vykis A vidutiniskai nei

‘vyks tik

viena‘karta

‘. Vadinasi, pirmuoju atveju i

‘vyki

‘A galime laikyti praktiskai ne-

galimu, o antruoju – praktiskai butinu.Suprantama, tik kiekvienu konkreciu atveju galime nuspre

‘sti, kada i

‘vykis

yra praktiskai laikytinas butinu arba negalimu. Sakykime, turime koki‘nors

Didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis 141

prietaisa‘, kuris gali sugesti su tikimybe 0,01. Jei jis naudojamas eilineje labo-

ratorijoje, tai i‘galimybe

‘sugesti galime nekreipti demesio ir laikyti toki

‘i‘vyki

‘praktiskai negalimu. Kitaip butu

‘, jei tas prietaisas butu

‘naudojamas kosmi-

niame laive. Cia, sugedus aparatui, galimos labai rimtos pasekmes. Tokiomissa

‘lygomis negalima nesiskaityti su tikimybe 0,01.

I‘vykiai, kuriu

‘tikimybes artimos 0 arba 1, pasitaiko tiriant daugeli

‘atsitik-

tiniu‘reiskiniu

‘. Imkime, pavyzdziui, seka

‘nepriklausomu

‘vienodai pasiskirs-

ciusiu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘Xn, turinciu

‘vidurkius a ir dispersijas σ2. Pirmu

‘ju

‘n tu

‘dydziu

‘aritmetinio vidurkio

(1) (X1 + ...+Xn)/n

vidurkis yra a, o dispersija σ2/n. Kai n didelis, ta dispersija yra maza, vadi-nasi, (1) atsitiktinis dydis yra beveik pastovus, beveik lygus a. Veliau paro-dysime, kad jis su tikimybe, kiek norima artima 1, kiek norima mazai skiriasinuo a, kai n yra pakankamai didelis.

Apskritai, kai tiriame daug atsitiktiniu‘reiskiniu

‘, konkretus atskiru

‘atsi-

tiktiniu‘reiskiniu

‘ypatumai daznai beveik neturi i

‘takos tokiu

‘reiskiniu

‘vidu-

tiniam rezultatui: atsitiktiniai nukrypimai, pasitaikantys atskirais atvejais,vieni kitus islygina. Vidurkiu

‘stabilumas ir sudaro vadinamojo didziu

‘ju

‘skaiciu

‘desnio turini

‘placia

‘ja prasme.

Didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis yra gana svarbus praktiskai taikant tikimybiu

‘teorija

‘. Kai jis tinka, su atsitiktiniais dydziais, kurie yra didelio skaiciaus

atsitiktiniu‘reiskiniu

‘vidutiniai rezultatai, praktiskai galima operuoti kaip su

pastoviais.Nagrinejant matematiskai, didziu

‘ju

‘skaiciu

‘desnis yra susije

‘s su atsitik-

tiniu‘dydziu

‘konvergavimo sa

‘vokomis. Pats didziu

‘ju

‘skaiciu

‘desnio terminas

yra tradicinis. Jis ne visai atitinka esme‘, taciau ir siandien placiai vartojamas

tikimybiu‘teorijoje.

Apibresime tiksliau sia‘sa

‘voka

‘. Tarkime, kad Xn yra bet kokiu

‘atsitik-

tiniu‘dydziu

‘seka. Pazymekime jos dalines sumas

Sn =n∑k=1

Xk.

Jei egzistuoja tokia realiu‘ju

‘skaiciu

‘seka an ir tokia teigiamu

‘skaiciu

‘seka

bn, kad

(2)Sn − anbn

konverguoja pagal tikimybe‘i‘0, tai sakome, kad seka Xn tenkina silpna

‘ji‘

didziu‘ju‘skaiciu

‘desni

‘su normuojanciomis konstantomis an ir bn; jei (2) kon-

verguoja i‘0 su tikimybe 1, tai sakome, kad Xn tenkina stipru

‘ji‘

didziu‘ju‘

skaiciu‘

desni‘

su konstantomis an, bn. Dazniausiai nagrinejamas atvejis, kai



an =n∑k=1

MXk

(jei vidurkiai MXk egzistuoja) ir bn = n.Pirmiausia nagrinesime paprasciausius atvejus, kai teisingas silpnasis

didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis. Mums pravers V.9.8 teoremos atskiras atvejis.

(Bjeneme1–Cebysovo lema. Jei atsitiktinis dydis Z turi dispersija‘, tai

kiekvienam ε > 0P (|Z −MZ| ≥ ε) ≤ ε−2DZ.

I‘

r o d y m a s. Atsitiktinis dydis (Z −MZ)2 tenkina V.9.8 teoremossa

‘lygas. Todel

P (|Z −MZ| ≥ ε) = P((Z −MZ)2 ≥ ε2)

)≤

≤ ε−2M(Z −MZ)2 = ε−2DZ. ut

1 (Markovo) teorema. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra kas du nekore-liuoti, turi dispersijas ir

(3) n−2n∑k=1

DXk → 0,

kai n→∞, tai kiekvienam ε > 0

P( 1n|Sn −MSn| ≥ ε

)→ 0,

kai n→∞.I‘r o d y m a s. Atsitiktiniam dydziui Z = Sn/n taikome lema

‘ir gauname


)≤ ε−2D(Sn/n) =

DSnε2n2

.

Is II.9.8 teoremos isvados ir (3) sa‘lygos isplaukia teoremos teiginys. ut

2 (Cebysovo) teorema. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomiir turi tolygiai apreztas dispersijas, tai kiekvienam ε > 0


)→ 0,

kai n→∞.

1 Jules Bienayme (1796–1878) – prancuzu‘matematikas.

Didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis 143

I‘

r o d y m a s. Pakanka i‘rodyti, kad siuo atveju yra tenkinamos

1 teoremos sa‘lygos. Tarkime, kad DXk ≤ C (k = 1, 2, ...). Turime

n−2n∑k=1

DXk ≤ n−1C → 0,

kai n→∞. ut1 isvada. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomi, vienodai pasi-

skirste‘, turi vidurkius MXn = a ir dispersijas, tai kiekvienam ε > 0

P(∣∣∣Sn

n− a∣∣∣ ≥ ε

)→ 0,

kai n→∞.I‘

r o d y m a s. Siuo atveju atsitiktiniai dydziai tenkina 2 teoremossa

‘lygas, be to, MSn = na.

2 isvada (Bernulio teorema). Sakykime, turime Bernulio eksperimen-tu‘

schema‘. Atlikus bet kuri

‘eksperimenta

‘, gali i

‘vykti i

‘vykis A su tikimybe

p. Pazymekime κn i‘vykiu

‘A skaiciu


‘. Tada kiekvie-

nam ε > 0P(∣∣∣κn

n− p∣∣∣ ≥ ε

)−−−−−→n→∞

0.

I‘

r o d y m a s. Sia‘

teorema‘

jau i‘rodeme I.15 skyrelyje. Dabar ja

‘i‘rodysime paprastesniu budu. Pazymekime Xk i

‘vykiu

‘A skaiciu

‘, atlikus

k-a‘ji‘eksperimenta

‘. Aisku, Xk yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai,

Xk = 1 su tikimybe p,

0 su tikimybe 1− p

ir κn = Sn. Dydzio Xk vidurkis

MXk = p,

o dispersijaDXk = MX2

k −M2Xk = p− p2.

1 isvados sa‘lygos yra tenkinamos. Is jos isplaukia reikiamas teiginys. ut

Bernulio teorema parodo, kad musu‘

i‘vesta tikimybes sa

‘voka atitinka

intuityvu‘tikimybes, kaip i

‘vykio i

‘vykimu

‘daznio ribos, supratima

‘.

1 isvadoje buvo reikalaujama, kad vienodai pasiskirste‘nepriklausomi atsi-

tiktiniai dydziai turetu‘dispersijas. Pasirodo, to reikalavimo galima atsisakyti.

3 (Chincino1) teorema. Jei atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomi,vienodai pasiskirste

‘ir turi vidurkius MXn = a, tai kiekvienam ε > 0

1 Aleksandr Chincin (1894–1959) – rusu‘matematikas.



P(∣∣∣Sn

n− a∣∣∣ ≥ ε

)−−−−−→n→∞

0.

I‘r o d y m a s. Paeme

‘bet kuri

‘δ > 0, apibrezkime atsitiktinius dydzius

Ynk =Xk, kai |Xk| < δn,0, kai |Xk| ≥ δn,

Znk = Xk − Ynk.

Dydziai Ynk (k = 1, 2, ...) yra nepriklausomi; tokie pat yra ir dydziai Znk.Pazymekime

Un = n−1n∑k=1

Ynk, Vn =n∑k=1

Znk.

Kadangi

|n−1Sn − a| ≥ ε = |n−1Sn − a| ≥ ε, Vn = 0∪∪ |n−1Sn − a| ≥ ε, Vn 6= 0 ⊂ |Un − a| ≥ ε ∪ Vn 6= 0,

tai

(4) P|n−1Sn − a| ≥ ε ≤ P|Un − a| ≥ ε+ PVn 6= 0.

I‘vertinsime sios nelygybes desines puses tikimybes.

Pazymeje‘F (x) dydzio Xn pasiskirstymo funkcija

‘ir

b =∫ ∞

−∞|x|dF (x),

turime

(5)

an = MYnk =∫|x|<δn

xdF (x),

DYnk =∫|x|<δn

x2dF (x)− a2n ≤

≤ δn

∫|x|<δn

|x|dF (x) ≤ δbn.

Is Bjeneme–Cebysovo ir (5) nelygybiu‘gauname

P (|Un − an| ≥ ε/2) = P(∣∣∣n−1

n∑k=1

(ynk − an)∣∣∣ ≥ ε/2

)≤

≤ n−2 · nδbn(ε/2)−2 = 4bδε−2.

Didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis 145

Kai n→∞, an → a. Todel kiekvienam ε > 0 ir pakankamai dideliems n

|an − a| < ε/2.

Vadinasi,

(6) P (|Un − a| ≥ ε) ≤ 4bδε−2.

Toliau

P (Znk 6= 0) =∫|x|≥δn

dF (x) ≤ 1δn

∫|x|≥δn

|x|dF (x) ≤ δ/n,

kai n yra pakankamai didelis. Kadangi

Vn 6= 0 ⊂n⋃k=1

Znk 6= 0,

tai

(7) P (Vn 6= 0) ≤n∑k=1

P (Znk 6= 0) ≤ δ.

I‘rase

‘(6) ir (7) i

‘vertinimus i

‘(4), gauname

P (|n−1Sn − a| ≥ ε) ≤ 4bδε−2 + δ.

Kadangi δ buvo bet koks, tai is cia gauname teoremos teigini‘. ut

Taciau ir vidurkiai ne visada egzistuoja. Vis delto ir tada galima kalbetiapie didziu

‘ju

‘skaiciu

‘desnius. Paminesime be i

‘rodymo keleta

‘bendru

‘rezultatu

‘.

4 teorema. Tarkime, kad Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai,bn – teigiamu

‘skaiciu

‘seka, bn ∞. Egzistuoja konstantu

‘an seka su

sa‘lyga, kad kiekvienam ε > 0

P (|b−1n (Sn − an)| ≥ ε)−−−−−→

n→∞0

tada ir tik tada, kai

n∑k=1

∫ ∞

−∞

x2

b2k + x2dFXk

(x+mk)−−−−−→n→∞

0;

cia mk yra atsitiktinio dydzio Xk mediana. Jei si sa‘lyga tenkinama, tai

an =n∑k=1

(mk +

∫|x|<τb

xdFXk(x+mk)

)+ o(1);



cia τ yra bet koks teigiamas skaicius.

5 teorema. Jei Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, bn – tei-giamu

‘skaiciu

‘seka, tai sa

‘rysis

P (|b−1n Sn| ≥ ε)−−−−−→

n→∞0

yra teisingas tada ir tik tada, kain∑k=1

∫|x|≥bn

dFXk(x)−−−−−→

n→∞0,

b−2n

n∑k=1

∫|x|<bn

x2dFXk(x)−

−(∫

|x|<bn

xdFXk(x))2

−−−−−→n→∞

0,

b−1n

n∑k=1

∫|x|<bn

xdFXk(x)−−−−−→

n→∞0.

Kai atsitiktiniai dydziai yra vienodai pasiskirste‘, teisinga paprastesne teo-

rema.

6 teorema. Tarkime, kad Xn yra nepriklausomi, vienodai pasiskirste‘

atsitiktiniai dydziai, kuriu‘pasiskirstymo funkcija yra F (x). Kiekvienam ε > 0

P (|n−1Sn| ≥ ε)−−−−−→n→∞

0

tada ir tik tada, kai

n

∫|x|≥n

dF (x)−−−−−→n→∞

0,∫|x|<n

xdF (x)−−−−−→n→∞

0.

4, 5, ir 6 teoremu‘i‘rodymus galima rasti, pvz., [28] knygoje.

4. TRIJU‘

EILUCIU‘

TEOREMA

I‘vykis, kai nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘eilute

(1)∞∑n=1

Xn

Triju‘eiluciu

‘teorema 147

konverguoja arba diverguoja, yra asimptotinis ir todel pagal 1 skyrelio rezul-tatus jo tikimybe lygi 0 arba 1. Issiaiskinsime, kada (1) eilute konverguoja sutikimybe 1. Is pradziu

‘i‘rodysime reikalingus pagalbinius teiginius.

1 lema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dyziai X1, ..., Xn turi vidurkius,lygius 0, ir dispersijas,

B2n =

n∑k=1

DXk,

tai kiekvienam ε > 0

P (maxk≤n

|X1 + ...+Xk| ≥ ε) ≤ ε−2B2n.

Jei, be to, |Xk| ≤ C (k = 1, ..., n), tai kiekvienam ε > 0

P (maxk≤n

|X1 + ...+Xk| ≥ ε) ≥ 1− (C + ε)2

B2n

.

Pirmoji is siu‘nelygybiu

‘paprastai vadinama Kolmogorovo nelygybe.


Sk = X1 + ...+Xk (k = 1, ..., n).

Imkime i‘vykius

A = maxk≤n

|Sk| ≥ ε,

Ak = |Sr| < ε (r = 1, ..., k − 1), |Sk| ≥ ε (k = 2, ..., n),

A1 = |S1| ≥ ε.

I‘vykiai Ak (k = 1, ..., n) yra kas du nesutaikomi ir

A =n⋃k=1

Ak.

Teisinga lygybe

(2) M(S2n1A) =

n∑k=1

M(S2n1Ak

)

ir lygybe

M(S2n1Ak

) = M[Sk + (Sn − Sk)]21Ak =

= M(S2k1Ak

) + 2M [(Sn − Sk)1Ak] +M [(Sn − Sk)21Ak

].



Kadangi Sn − Sk ir Sk1Akyra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai ir M(Sn −

−Sk) = 0, tai pagal II.8 teorema‘ka

‘tik parasytosios lygybes antrasis narys

lygus 0:

(3) M(S2n1Ak

) = M(S2k1Ak

) +M [(Sn − Sk)21Ak].

I‘rodysime pirma

‘ja

‘nelygybe

‘. Kadangi atsitiktiniu

‘dydziu

‘Xk vidurkiai

yra lygus 0, o (3) formules desines puses antrasis narys neneigiamas, tai

B2n =

n∑k=1

DXk = MS2n ≥M(S2

n1A).

Be to,M(S2

k1Ak) ≥ ε2P (Ak).

Todel, pasinaudoje‘(2) lygybe, gauname

B2n ≥ ε2

n∑k=1

P (Ak) = ε2P (A).

Is cia isplaukia pirmoji nelygybe.I‘rodysime antra

‘ja

‘. Jei ω ∈ Ak, tai |Sk−1(ω)| < ε ir |Sk(ω)| < C + ε. To-

del is (2)

(4)

M(S2n1A) ≤ (C + ε)2

n∑k=1

P (Ak)+

+n∑k=1

P (Ak)n∑

j=k+1

MX2j ≤

≤((C + ε)2 +B2

n

)P (A).

Antra vertus, kadangi 1A(ω) = 1− 1Ac(ω), tai

M(S2n1A) = MS2

n −M(S2n1Ac) ≥

≥ B2n − ε2P (Ac) = B2

n − ε2 + ε2P (A).

Is (4) gauname

P (A) ≥ B2n − ε2

(C + ε)2B2n − ε2

≥ 1− (C + ε)2

B2n

. ut

Bjeneme–Cebysovo nelygybe‘pritaike

‘sumai Sn, gauname i

‘verti

‘P (|Sn| ≥

≥ ε) ≤ ε−2DSn. Todel Kolmogorovo nelygybe sustiprina Bjieneme–Cebysovonelygybe

‘.

Triju‘eiluciu

‘teorema 149

2 lema. Tarkime, kad atsitiktiniai dydziai Xn yra nepriklausomi,|Xn| ≤ C, MXn = 0 (n = 1, 2, ...). Jei (1) eilute konverguoja su tikimybe 1,tai eilute

(5)∞∑n=1

DXn

konverguoja.I‘r o d y m a s. Pagal 1 lema

‘bet kuriems N,n

P(maxk≤n

∣∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣∣ ≥ ε)≥ 1− (C + ε)2

( N+n∑r=N+1

DXr

)−1.

Tarkime, kad (5) eilute diverguoja. Tada pastarosios nelygybes desine pusekonverguoja i

‘(1), kai n → ∞. Antra vertus, is (1) eilutes konvergavimo su

tikimybe 1 isplaukia, kad

supk≥1

∣∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣∣→ 0

su tikimybe 1, kai N →∞. Vadinasi,

P(supk≥1

∣∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣∣ ≥ ε)<

12

kiekvienam ε > 0 ir pakankamai dideliems N . Is gauto priestaravimoisplaukia lema. ut

3 lema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai Xn turi vidurkius, lygius0, ir dispersijas, be to, eilute

(6)∞∑n=1

DXn

konverguoja, tai (1) eilute konverguoja su tikimybe 1.I‘r o d y m a s. Is Kolmogorovo nelygybes

P(maxk≤n

∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣ ≥ ε)≤ ε−2

N+n∑r=N+1

DXr.

Kadangi i‘vykiai po tikimybes zenklu, kai n = 1, 2, ..., sudaro monotoniskai

didejancia‘seka

‘, kurios riba yra



supk

∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣ ≥ ε,

tai pagal I.10.7 teorema‘

P(supk

∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣ ≥ ε)≤ ε−2

∞∑r=N+1

DXr.

Is (6) eilutes konvergavimo isplaukia

P(supk

∣∣ N+k∑r=N+1

Xr

∣∣ ≥ ε)→ 0,

kai N →∞. Lieka pritaikyti 2.2 teoremos isvada‘. ut

Jei X yra atsitiktinis dydis su pasiskirstymo funkcija F , o φ(x) – Boreliofunkcija, tai atsitiktinio dydzio φ(X) vidurkis

Mφ(X) =∫ ∞

−∞φ(x)dF (x),

jei tik jis egzistuoja. Kiekvienam atsitiktiniam dydziui X ir konstantai cpazymekime

Xc =X, kai |X| ≤ c,0, kai |X| > c.

Sio dydzio vidurkis

MXc =∫|x|≤c

xdF (x),

o dispersija

DXc =∫|x|≤c

x2dF (x)−(∫

|x|≤cxdF (x)

)2

.

1 (triju‘

eiluciu‘) teorema. Tarkime, kad Xn yra nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka. Jei kuriam nors c > 0 eilutes

(7)∞∑n=1

P(|Xn| > c

),

(8)∞∑n=1

MXcn,

Triju‘eiluciu

‘teorema 151

(9)∞∑n=1

DXcn

konverguoja, tai su tikimybe 1 konverguoja (1) eilute. Atvirksciai, jei sutikimybe 1 konverguoja (1) eilute, tai kiekvienam c > 0 konverguoja (7), (8),(9) eilutes.

I‘

r o d y m a s. 1. Tarkime, kad (1) eilute konverguoja su tikimybe1. Is cia isplaukia, kad P (Xn → 0) = 1. Todel su tikimybe 1 kiekvienamc > 0 nelygybe |Xn| > c gali buti teisinga tik baigtiniam indeksu

‘n skaiciui.

Vadinasi, su tikimybe 0 kiekvienam c > 0 nelygybe |Xn| > c yra teisinga begalo dideliam indeksu

‘n skaiciui. Is Borelio–Kantelio lemos antrosios dalies

isplaukia, kad (7) eilute turi konverguoti.Imkime kita

‘seka

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘Yn, kurie nepriklausomi tarp save

‘s

ir nuo visu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘Xn, be to, kiekvienas atsitiktinis dydis Yn yra

taip pat pasiskirste‘s, kaip ir atsitiktinis dydis Xn. Pazymeje

‘Xcn = Xc

n − Y cn ,turime

|Xcn| ≤ 2c, MXc

n = 0, DXcn = 2DXc

n.

Kadangi eilute

(10)∞∑n=1

Xcn,

taigi ir eilute∞∑n=1

Xcn,

su tikimybe 1 konverguoja, tai is 2 lemos isplaukia, kad ir eilute

∞∑n=1

DXcn

konverguoja.Pagal 3 lema

‘su tikimybe 1 konverguoja eilute

∞∑n=1

(Xcn −MXc

n).

Vadinasi, eilute∞∑n=1

MXcn

konverguoja.



2. Tarkime, kad kuriam nors c > 0 konverguoja (7), (8), (9) eilutes.Is (7) eilutes konvergavimo, remiantis Borelio–Kantelio lema, isplaukia, kadnelygybes |Xn| ≥ c yra teisingos su tikimybe 0 be galo dideliam indeksu

‘n

skaiciui.Vadinasi, kai n pakankamai dideli, teisingos lygybes Xn = Xc

n. Todelpakanka i

‘rodyti, kad su tikimybe 1 konverguoja (10) eilute. Taciau is (9)

eilutes konvergavimo ir 3 lemos isplaukia, kad su tikimybe 1 konverguojaeilute

∞∑n=1

(Xcn −MXc

n).

Is (8) eilutes konvergavimo isplaukia (10) eilutes konvergavimas su tiki-mybe 1. ut

5. STIPRUSIS DIDZIU‘JU

‘SKAICIU

‘DESNIS

Is Bernulio teoremos dar negalime daryti isvados, kad stebimojo i‘vykio

statistinis daznis κn/n Bernulio schemoje konverguoja i‘

tikimybe‘p, kai

eksperimentu‘skaicius n neapreztai dideja. Is konvergavimo pagal tikimybe

‘,

kaip zinome, neisplaukia konvergavimas su tikimybe 1. Kai kuri nors sekaXn(ω) konverguoja i

‘dydi

‘X(ω) pagal tikimybe

‘, gali pasitaikyti, kad sekos

Xn(ω) riba neegzistuoja ne viename taske ω.1909 m. E. Borelis i

‘rode, kad

P(κnn→ p

)= 1,

kitaip tariant (zr. 2.1 teorema‘),

P(supk≥n

∣∣∣κkk− p∣∣∣ ≥ ε

)→ 0,

kai n→∞. Tame Borelio darbe pirma‘karta

‘tikimybiu

‘teorijoje buvo remtasi

Lebego integralo ideja.Pirmiausia i

‘rodysime gana paprasta

‘teorema

‘, kurios atskiras atvejis yra

Borelio teiginys. Veliau panagrinesime keleta‘bendresniu

‘teiginiu

‘. Visur Sn =

= X1 + ...+Xn.

1 lema. Jei Xn yra atsitiktiniu‘dydziu

‘seka ir kiekvienam naturaliajam

r eilute∞∑n=1

P(|Xn| ≥

1r

)konverguoja, tai Xn konverguoja i

‘0 su tikimybe 1.

Stiprusis didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis 153


E =∞⋃r=1

∞⋂k=1

∞⋃n=k

|Xn| ≥

1r

=

∞⋃r=1

lim supn

|Xn| ≥

1r

.

Tai aibe tu‘ω, kuriems egzistuoja toks r, kad |Xn| ≥ 1/r be galo dideliam

indeksu‘n skaiciui. Vadinasi, E yra aibe tu

‘ω, kuriuose Xn(ω) nekonverguoja

i‘0. Pagal Borelio-Kantelio lema

‘

P (E) ≤∞∑r=1

P(lim sup

n

|Xn| ≥

1r

)= 0. ut

1 teorema. Jei Xn yra vienodai pasiskirste‘nepriklausomi atsitiktiniai

dydziai, turintys vidurki‘a ir ketvirta

‘ji‘

momenta‘, tai

P(Snn−−−−−→n→∞

a)

= 1.

I‘r o d y m a s. Apskaiciuosime

M( n∑k=1

(Xk − a))4

=

=n∑

k1=1

n∑k2=1

n∑k3=1

n∑k4=1

M(Xk1 − a)(Xk2 − a)(Xk3 − a)(Xk4 − a).

Kadangi M(Xk−a) = 0 ir dydziai Xk yra nepriklausomi, tai pastarojojesumoje lygus nuliui visi demenys, turintys dauginama

‘ji‘Xk − a pirmuoju

laipsniu. Taigi lieka tik demenys pavidalo M(Xk − a)4 ir M(Xk − a)2 (Xl −−a)2 (k 6= l). Pirmojo pavidalo demenu

‘yra n, o antrojo 3n(n− 1). Turime

M( n∑k=1

(Xk = a))4

= nM(X1 − a)4 + 3n(n− 1)D2X1.

Is Bjeneme–Cebysovo nelygybes isplaukia

P(∣∣∣Sn

n− a∣∣∣ ≥ ε

)≤ M(X1 − a)4

n3ε4+

3(n− 1)D2X1

n3ε4.

Lieka pritaikyti 1 lema‘. ut

Isvada (Borelio teorema.) Sakykime, turime Bernulio eksperimentu‘

schema‘. Atlikus bet kuri

‘eksperimenta

‘, i

‘vykis A gali i

‘vykti su tikimybe p.

Pazymekime κn i‘vykiu

‘A skaiciu


‘. Tada



P(κnn−−−−−→n→∞

p)

= 1.

I‘

r o d y m a s. Tarkime, kad Xk yra atsitiktiniai dydziai, nusakyti3.2 teoremos 2 isvados i

‘rodyme. Tie dydziai turi vidurkius p ir visu

‘eiliu

‘momentus. Todel galime taikyti 1 teorema

‘. ut

Apibendrinsime 1 teorema‘. Joje buvo reikalaujama, kad atsitiktiniai

dydziai butu‘

vienodai pasiskirste‘

ir turetu‘

ketvirtuosius momentus. Dabarreikalausime, kad dydziai turetu

‘tik antruosius momentus, be to, jie gali buti

ir nevienodai pasiskirste‘.

2 (Kronekerio1) lema. Jei realiu‘ju‘

skaiciu‘

eilute

∞∑k=1

xk

konverguoja, o bn – neapreztai didejanti teigiamu‘

skaiciu‘

seka, tai

b−1n

n∑k=1

bkxk −−−−−→n→∞

0.

I‘r o d y m a s. Imkime

rn =∞∑k=n

xk

ir parinkime toki‘n0 = n0(ε), kad butu

‘|rn| < ε/3, kai n ≥ n0. Pazymeje

‘b0 = 0, turime

1bn

n∑k=1

bkxk =1bn

n∑k=1

bk(rk − rk+1) =1bn

n∑k=1

rk(bk − bk−1)− rn+1.

Jeimaxk≥1

|rk| = A,

tai1bn

∣∣∣ n∑k=1

bkxk

∣∣∣ ≤ Abn0

bn+

2ε3,

kai n > n0. Dabar parinkime toki‘n1 > n0, kad butu

‘Abn0/bn ≤ ε/3. Tada

1 Leopold Kronecker (1823–1891) – vokieciu‘matematikas.


‘skaiciu

‘desnis 155

1bn

∣∣∣ n∑k=1

bkxk

∣∣∣ < ε,

kai n > n1. ut2 teorema. Jei Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, turintys

dispersijas, bn – neapreztai didejanti teigiamu‘

skaiciu‘

seka ir eilute

∞∑k=1

DXk

b2k

konverguoja, taiP(b−1n (Sn −MSn)−−−−−→

n→∞0)

= 1.

I‘

r o d y m a s. Atsitiktiniai dydziai (Xk −MXk)/bk turi vidurkius 0ir dispersijas DXk/b

2k. Todel jiems pritaikoma 4.1 lema, is kurios isplaukia,

kad eilute ∞∑k=1

Xk −MXk

bk

konverguoja su tikimybe 1. Teoremos teiginys isplaukia is 2 lemos. utPaminesime du atskirus atvejus.

1 isvada. Jei Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, turintys dis-persijas, ir eilute

∞∑k=1

DXk

k2

konverguoja, taiP(n−1(Sn −MSn)−−−−−→

n→∞0)

= 1.

2 isvada. Jei Xn yra nepriklausomi vienodai pasiskirste‘

atsitiktiniaidydziai, turintys vidurkius a ir dispersijas, tai

P (n−1Sn−−−−−→n→∞

a) = 1.

Pasirodo, kad 2 isvados teiginys, kaip ir silpnasis didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnis,

yra teisingas ir tuo atveju, kai reikalaujama tik vidurkio egzistavimo.I‘rodysime pagalbini

‘teigini

‘.

3 lema. Jei Xn yra vienodai pasiskirste‘

nepriklausomi atsitiktiniaidydziai, tai nelygybes |Xn| > n yra teisingos be galo dideliam indeksu

‘n

skaiciui su tikimybe 0, kai MX1 egzistuoja, ir su tikimybe 1, kai M |X1| = ∞.



I‘r o d y m a s. Pazymekime F (x) dydzio Xn pasiskirstymo funkcija

‘,

cn =∫n<|x|≤n+1

dF (x) (n = 1, 2, ...),

An = |Xn| > n (n = 1, 2, ...).

I‘vykio An tikimybe yra

P (An) = P (|Xn| > n) =∫|x|>n

dF (x) =∞∑k=n

ck.

Sia‘

lygybe‘

sumuojame pagal visus naturaliuosius n ir keiciame sumavimotvarka

‘

(1)∞∑k=1

P (An) =∞∑n=1

∞∑k=n

ck =∞∑k=1

k∑n=1

ck =∞∑k=1

kck.

I‘vertinsime si

‘reiskini

‘is virsaus ir is apacios. Susumave

‘nelygybes

kck ≤∫k<|x|≤k+1

|x|dF (x) ≤ (k + 1)ck

pagal visus k, gauname∞∑k=1

kck ≤∫|x|>1

|x|dF (x) ≤∞∑k=1

(k + 1)ck,

t. y.∞∑n=1

P (An) ≤∫|x|>1

|x|dF (x) ≤∞∑n=1

P (An) +∫|x|>1

dF (x).

Is cia isplaukia, kad (1) eilute konverguoja tada ir tik tada, kai MX1 egzis-tuoja. Lieka pritakyti Borelio–Kantelio lema

‘. ut

4 lema. Jei seka xn konverguoja i‘x, kai n→∞, tai ir

n−1n∑k=1

xk → x,

kai n→∞.I‘

r o d y m a s. Pazymekime yn = xn − x. Tada yn → 0, kai n → ∞.Kiekvienam ε > 0 galima rasti toki

‘n0 = n0(ε), kad butu

‘|yn| < ε, kai n > n0.

Turime


‘skaiciu

‘desnis 157

∣∣∣n−1n∑k=1

yk

∣∣∣ = ∣∣∣n−1n0∑k=1

yk + n−1n∑

k=n0+1

yk

∣∣∣ ≤≤ n−1

n0∑k=1

|yk|+ ε(n− n0)/n.

Vadinasi,

lim supn→∞

∣∣∣n−1n∑k=1

yk

∣∣∣ ≤ ε.

Is cia

n−1n∑k=1

yk −−−−−→n→∞

0. ut

3 (Kolmogorovo) teorema. Tarkime, kad Xn yra vienodai pasiskirste‘

nepriklausomi atsitiktiniai dydziai. Jei dydziai Xn turi vidurkius a, tai

(2) P (n−1Sn−−−−−→n→∞

a) = 1.

Jei M |Xn| = ∞, tai su tikimybe 1 seka Sn/n nera konverguojanti.I‘

r o d y m a s. 1. Nagrinesime atveji‘, kai dydziai Xn turi vidurki

‘.

Pazymekime

Yn =Xn, kai |Xn| ≤ n,0, kai |Xn| > n,

Zn = Xn − Yn.

Tirsime dydzius Yn. Pazymekime F (x) dydzio Xn pasiskirstymo funkcija‘.

TadaDYn = MY 2

n −M2Yn ≤MY 2n =

∫|x|≤n

x2dF (x).

Is cia ∞∑n=1

n−2DYn ≤∞∑n=1

n−2

∫|x|≤n

x2dF (x) =

=∞∑n=1

n−2n∑k=1

∫k−1<|x|≤k

x2dF (x) =

=∞∑k=1

∫k−1<|x|≤k

x2dF (x)∞∑n=k

n−2.

Taciau ∞∑n=k

n−2 < k−2 +∫ ∞

k

y−2dy = k−2 + k−1 ≤ 2k−1.



Todel∞∑n=1

n−2DYn ≤ 2∞∑k=1

∫k−1<|x|≤k

|x|dF (x) = 2∫ ∞

−∞|x|dF (x).

Pagal 2 teoremos 1 isvada‘

P(n−1

n∑k=1

(Yk −MYk)−−−−−→n→∞

0)

= 1.

Kadangi MYn → a, kai n→∞, tai pagal 4 lema‘

n−1n∑k=1

MYk → a,

kai n→∞. Vadinasi,

(3) P(n−1

n∑k=1

Yk −−−−−→n→∞

a)

= 1.

Tikimybe, kad Zn 6= 0 be galo dideliam indeksu‘n skaiciui, lygi tiki-

mybei, kad |Xn| > n be galo dideliam indeksu‘

skaiciui. Pagal 3 lema‘

tatikimybe lygi 0. Todel

P(n−1

n∑k=1

Zk −−−−−→n→∞

0)

= 1.

Is (3) isplaukia (2).2. Nagrinesime atveji

‘, kai M |Xn| = ∞. Tarkime, kad seka n−1Sn konver-

guoja teigiamo tikimybinio mato aibeje. Pagal nulio ir vieneto desni‘ji turi

konverguoti su tikimybe 1. Kadangi

Xn

n=Snn− n− 1

n· Sn−1

n− 1,

tai Xn/n → 0 su tikimybe 1. Taciau pastarasis teiginys pagal 3 lema‘

priestarauja prielaidai M |Xn| = ∞. ut

6. KARTOTINIO LOGARITMO DESNIS

Gri‘sime prie 5.2 teoremos. Jei Xn yra vienodai pasiskirste

‘nepriklausomi

atsitiktiniai dydziai, turintys vidurkius (kad butu‘paprasciau, laikysime juos

lygiais 0) ir dispersijas, tai paeme‘bn = n1/2 lnn, gauname

Kartotinio logaritmo desnis 159

P( Sn√

n lnn−−−−−→n→∞

0)

= 1.

Vadinasi, beveik visiems ω ir kiekvienam ε > 0 galima rasti toki‘n0 =

= n0(ε, ω), kad butu‘

−ε√n lnn < Sn < ε

√n lnn,

kai n ≥ n0.Si

‘teigini

‘galima sustiprinti. Tuo reikalu i

‘rodysime vadinama

‘ji‘kartotinio

logaritmo desni‘.

1 lema. Visiems neneigiamiems x

1 + x ≥ ex(1−x).


f(x) = ex(1−x) − 1− x.

Apskaiciave‘pirma

‘sias dvi isvestines

f ′(x) = ex−x2(1− 2x)− 1,

f ′′(x) = ex−x2(1− 2x)2 − 2,

matome, kad f ′(0) = 0, f ′(x) < 0, kai x ≥ 1, ir f ′′(x) < 0, kai 0 ≤ x ≤ 1.Vadinasi, f ′(x) ≤ 0 visiems x ≥ 0. Todel

f(x) ≤ f(0),

kai x ≥ 0. Tai ir yra reikiama nelygybe. utToliau 2–6 lemose X1, X2, ... yra nepriklausomi, vienodai pasiskirste

‘atsi-

tiktiniai dydziai, tenkinantys sa‘lyga

‘P (|Xk| ≤ K) = 1 su kuria nors konstanta

K, turintys vidurkius MXk = 0 ir dispersijas DXk = σ2.

2 lema.

P (Sn ≥ y) ≤ exp− y2

2nσ2

(1− Ky

nσ2

),

kai 0 ≤ y ≤ 2nσ2K−1, ir

P (Sn ≥ y) ≤ exp(−yK−1/8),

kai y ≥ nσ2K−1/2.

I‘

r o d y m a s. Paeme‘

bet kuri‘

neneigiama‘x, is Bjeneme–Cebysovo

nelygybes gauname



(1) P (Sn ≥ y) = P (exSn ≥ exy) ≤ e−xyMexSn .

I‘vertinsime vidurki

‘MexSn . Is V.9.16 teoremos isplaukia lygybe

MexX1 = M∞∑r=0

xrXr1

r!= 1 +

12x2σ2 +

∞∑r=3

xrMXr1

r!.

Pasinaudoje‘nelygybe

|MXr1 | ≤ Kr−2MX2

1 = Kr−2σ2 (r ≥ 3),

kai x ≤ 2K−1, gauname

MexX1 ≤ 1 +12σ2x2 +

∞∑r=3

Kr−2xrσ2

r!≤

≤ 1 +12σ2x2 +

σ2

3!Kx3

1− Kx3

≤

≤ 1 +12σ2x2(1 +Kx).

Pagal 1.2 lema‘

MexX1 ≤ exp1

2σ2x2(1 +Kx)

.

Kadangi atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xn yra nepriklausomi ir vienodai pasi-skirste

‘, tai

MexSn = MnexX1 ,

vadinasi,

MexSn ≤ exp1

2nσ2x2(1 +Kx)

.

I‘rase

‘si‘i‘verti

‘i‘(1), gauname nelygybe

‘

(2) P (Sn ≥ y) ≤ exp1

2nσ2x2(1 +Kx)− xy

.

Ja‘i‘rodinedami, dareme prielaida

‘0 ≤ x ≤ 2K−1.

Imkime x = n−1σ−2y. Kai 0 ≤ y ≤ 2nσ2K−1, sa‘lyga 0 ≤ x ≤ 2K−1 yra

tenkinama. Tada is (2) gauname pirma‘ji‘lemos i

‘verti

‘.

Imkime x = K−1/2. Kai y ≥ nσ2K−1/2, is (2) isplaukia

P (Sn ≥ y) ≤ expxy(nσ2x(1 +Kx)

2y− 1)

≤

≤ exp(−1

4xy)

= exp(− y

8K

). ut


3 lema. Bet kuriam x ≥ 0

P (maxk≤n

Sk ≥ x) ≤ 2P (Sn ≥ x−√

2nσ2).


A = maxk≤n

Sk ≥ x,

Ak = Sr < x (r = 1, ..., k − 1), Sk ≥ x (k = 2, ..., n),

A1 = S1 ≥ x.

I‘vykiai Ak yra nesutaikomi, ju

‘sa

‘junga lygi A. Todel

P (A) =n∑k=1

P (Ak).

Nagrinekime lygybe‘

(3)P (A) = P (A ∩ Sn ≥ x−

√2nσ2)+

+ P (A ∩ Sn < x−√

2nσ2).

Pirmasis desines puses narys yra ne didesnis uz

P (Sn ≥ x−√

2nσ2).

I‘vertinsime antra

‘ji‘. Aisku,

P (Ak ∩ Sn < x−√

2nσ2) ≤ P (Ak ∩ |Sn − Sk| >√

2nσ2).

I‘vykiai Ak ir |Sn − Sk| >

√2nσ2 yra nepriklausomi. Todel

P (Ak ∩ Sn < x−√

2nσ2) ≤ P (Ak)P (|Sn − Sk| >√

2nσ2).

Is Bjeneme–Cebysovo nelygybes isplaukia

P (|Sn − Sk| >√

2nσ2) ≤ D(Sn − Sk)2nσ2

=(n− k)σ2

2nσ2<

12,

vadinasi,

P (Ak ∩ Sn < x−√

2nσ2) ≤ 12P (Ak).

Susumuojame pastara‘ja

‘nelygybe

‘pagal visus k ir gauta

‘ja

‘nelygybe

‘i‘rasome

i‘(3). Gauname



P (A) ≤ P (Sn ≥ x−√

2nσ2) +12P (A). ut

4 lema.

P(lim sup

n

|Sn|√2nσ2 ln lnn

≤ 1)

= 1.

I‘

r o d y m a s. Imkime bet kuria‘

teigiama‘

konstanta‘γ ir bet kuria

‘konstanta

‘c, didesne

‘uz 1. Pazymekime

x(n) =√

2nσ2 ln lnn,

nk = [(1 + γ)k].

Pagal 3 lema‘

P(maxr≤nk

Sr ≥ cx(nk))≤

≤ 2P(Snk

≥ cx(nk)−√

2nkσ2)≤

≤ 2P(Snk

≥ cx(nk)(1− ε)),

kai ε > 0 – bet koks teigiamas skaicius ir k ≥ k0(ε). Remiames 2 lemospirma

‘ja nelygybe. Gauname, kad kiekvienam ε1 > 0

P(maxr≤nk

Sr ≥ cx(nk))≤ 2 exp−c2(1− ε1) ln lnnk,

kai k ≥ k1 yra pakankamai didelis. Taciau

ln lnnk = ln k +O(1).

Todel eilute∞∑

k≥k1

P(maxr≤nk

Sr ≥ cx(nk))≤ 2

∞∑k=1

k−c2(1−ε1)eO(1)

konverguoja. Is Borelio–Kantelio lemos isplaukia, kad su tikimybe 1 visiemspakankamai dideliems k teisinga nelygybe

maxr≤nk

Sr < cx(nk),

vadinasi, su tikimybe 1 visiems pakankamai dideliems k ir visiems r, nk−1 ≤≤ r < nk teisinga nelygybe

Sr√2rσ2 ln ln r

≤ cx(nk)√2nk−1σ2 ln lnnk−1

.


Pastarosios nelygybes desinioji puse konverguoja i‘c(1 + γ)1/2, kai k neap-

reztai dideja. Todel kiekvienam η > 0 ir visiems pakankamai dideliems r sutikimybe 1

Sr√2rσ2 ln ln r

≤ c√

1 + γ(1 + η).

Kiekvienas is dydziu‘c, 1 + γ, 1 + η gali buti parinktas kiek norima artimas

1. Todel visiems δ > 0 ir visiems pakankamai dideliems n

P(Sn ≤ (1 + δ)x(n)

)= 1.

Pakeite‘dydzius Xk dydziais −Xk, gauname, kad visiems δ > 0 ir visiems

pakankamai dideliems n

P(−Sn ≤ (1 + δ)x(n)

)= 1. ut

5 lema. Jei realieji skaiciai an tenkina sa‘lygas

ann→ 0,

an√n→∞,

kai n→∞, tai kiekvienam ε > 0 ir pakankamai dideliems n

P (Sn ≥ an) > exp− a2

n

2nσ2(1 + ε)

.

I‘r o d y m a s. Pazymeje

‘

P (Sn ≥ y) = G(y)

ir paeme‘bet kuri

‘teigiama

‘skaiciu

‘x, turime

MexSn =∫ ∞

−∞exyd

(1−G(y)

)= −

∫ ∞

−∞exydG(y).

Kadangi G(y) = 0, kai y yra pakankamai didelis (kai y > nK), tai, integruo-dami dalimis, gauname

MexSn = −exyG(y)∣∣∞−∞ + x

∫ ∞

−∞exyG(y)dy = x

∫ ∞

−∞exyG(y)dy.

Imkime bet koki‘

maza‘

fiksuota‘

teigiama‘

skaiciu‘δ. Pazymeje

‘y1 =

= nxσ2(1 − δ), y2 = nxσ2(1 + δ), suskaidykime integravimo sriti‘i‘penkias

sritis(−∞, 0), [0, y1), [y1, y2), [y2, 8nxσ2), [8nxσ2,∞).

Integralus tose srityse is eiles pazymekime I1, ..., I5. Gausime



(4) MexSn = x(I1 + I2 + I3 + I4 + I5).

I‘vertinsime juos is virsaus.

Lengviausiai i‘vertinamas pirmasis integralas

(5) xI1 = x

∫ 0

−∞exyG(y)dy ≤ x

∫ 0

−∞exydy = 1.

Penkta‘ji‘integrala

‘i‘vertinsime, remdamiesi 2 lema. Kai y ≥ 1/2nσ2K−1,

pakankamai maziems x pagal 2 lemos antra‘ji‘i‘verti

‘

G(y) ≤ exp(−1

8yK−1

)≤ e−2xy,

o kai 0 < y ≤ 1/2nσ2K−1, pakankamai maziems x ir pakankamai dideliemsn, remiantis 2 lemos pirmuoju i

‘verciu,

G(y) ≤ exp− y2

2nσ2

(1− Ky

nσ2

)≤ exp

(− y2

4nσ2

)≤ e−2xy.

Todel

(6) xI5 = x

∫ ∞

8nxσ2exyG(y)dy ≤ x

∫ ∞

0

e−xydy = 1.

Panagrinesime pointegraline‘funkcija

‘intervale 0 ≤ y ≤ 8nxσ2. Kai x yra

pakankamai mazas, vel galime remtis 2 lema, pagal kuria‘

exyG(y) ≤ expxy − y2

2nσ2(1− β)

= eψ(y);

cia β – kiek norima mazas teigiamas skaicius, kai x pakankamai mazas.Funkcija ψ(y) turi vieninteli

‘maksimuma

‘taske

nσ2x

1− β.

Pakankamai maziems β tas skaicius yra intervale (y1, y2). I‘vertinsime

funkcija‘ψ(y) to intervalo galuose. Kai β yra pakankamai mazas,

ψ(nxσ2(1± δ)

)=

12nx2σ2(1± δ)2− (1± δ)(1− β) =

=12nx2σ2(1± δ)1∓ δ + (1± δ)β =

=12nxσ21− δ2 + (1± δ)2β < 1

2nx2σ2(1− δ2/2).

Is cia


(7) xI2 ≤ xy1ψ(y1) < nx2σ2 exp1

2nx2σ2(1− δ2/2)

ir

(8) xI4 ≤ 8nx2σ2ψ(y2) < 8nx2σ2 exp1

2nx2σ2(1− δ2/2)

.

Parinksime

(9) x =an

nσ2(1− δ).

Is lemos sa‘lygu

‘isplaukia, kad x yra kiek norima mazas, kai n pakankamai

didelis.I‘vertinsime paskutini

‘integrala

‘. Turime

(10)xI3 ≤ x(y2 − y1)exy2G(y1) =

= 2nx2σ2δ expnx2σ2(1 + δ)P (Sn ≥ an).

(5), (6), (7), (8), (10) sa‘rysius i

‘rase

‘i‘

(4) ir atsizvelge‘

i‘

(9) bei lemossa

‘lygas, gauname

(11)MexSn < exp

12nx2σ2(1− δ2/3)

+

+ expnx2σ2(1 + 2δ)P (Sn ≥ an),

kai n pakankamai didelis.I‘vertinsime sios nelygybes kairiosios puses nari

‘is apacios. Kaip ir 2 lemos

i‘rodyme, pakankamai maziems x

MexX1 = M∞∑r=0

xrXr1

r!= 1 +

12x2σ2 +

∞∑r=3

xr

r!MXr

1 ≥

≥ 1 +12x2σ2 +

∞∑r=3

xr

r!Kr−2σ2 ≥

≥ 1 +12x2σ2

1−

∞∑r=3

(Kx3

)r−2≥

≥ 1 +12x2σ2(1−Kx).

Pasinaudoje‘1 lema, gauname

MexX1 ≥ exp1

2x2σ2(1−Kx)

[1− 1

2x2σ2(1−Kx)

]≥

≥ exp1

2x2σ2(1− γ)

;



cia γ yra kiek norima mazas teigiamas skaicius, kai x pakankamai mazas.Is cia

MexSn ≥ exp1

2nx2σ2(1− γ)

.

Kai γ < δ2/3, is pastarosios ir (11) nelygybiu‘

pakankamai dideliems ngauname

expnx2σ2(1 + 2δ)P (Sn ≥ an) >12

exp1

2nx2σ2(1− γ)

.

Pagaliau

P (Sn ≥ an) >12

exp− a2

n

2nσ2(1− δ)2(1 + γ + 2δ)

>

> exp− a2

n

2nσ2(1 + ε)

kiekvienam ε > 0, kai n pakankamai didelis. ut

6 lema.P(lim sup

n

Sn√2nσ2 ln lnn

≥ 1)

= 1.

I‘r o d y m a s. Imkime kokius nors skaicius L > 1 ir c < 1. Pazymekime

a(n) =√

2nσ2 ln lnn,

nk = [Lk] (k = 1, 2, ...).

Tirsime i‘vykius

Ak = Snk− Snk−1 ≥ ca(nk − nk−1).

Is 5 lemos kiek norima maziems ε > 0 ir pakankamai dideliems k isplau-kia, kad

P (Ak) > exp−c2(1 + ε) ln ln(nk − nk−1) ≥ exp−c2(1 + ε)2 ln k.

Jei ε tenkina sa‘lyga

‘c(1 + ε)2 < 1, tai eilute

∞∑k=1

P (Ak)

diverguoja. Is Borelio–Kantelio lemos isplaukia, kad su tikimybe 1 be galodideliam indeksu

‘k skaiciui

Snk≥ c√

2σ2(nk − nk−1) ln ln(nk − nk−1) + Snk−1 .


Pagal 4 lema‘visiems pakankamai dideliems k

Snk−1 > −2√

2σ2nk−1 ln lnnk−1.

Lengva patikrinti, kad

nk−1 ln lnnk−1 ∼ Lk−1 ln k ∼ L−1nk ln lnnk,

(nk − nk−1) ln ln(nk − nk−1) ∼(1− 1

L

)Lk ln k ∼

∼(1− 1

L

)nk ln lnnk.

Todel, imant bet kuri‘δ > 0, su tikimybe 1 be galo dideliam indeksu

‘skaiciui

k bus teisingos nelygybes

Snk>√

2nkσ2 ln lnnk(c

√1− 1

L− 2L

−1/2)(1− δ).

Skaicius c < 1, L > 1 ir δ > 0 galima parinkti taip, kad pastarieji daugi-namieji butu

‘kiek norima artimi 1. Taigi lema i

‘rodyta. ut

Is 4 ir 6 lemu‘isplaukia sitoks teiginys.

1 teorema (kartotinio logaritmo desnis). Sakykime, Xn yranepriklausomi, vienodai pasiskirste

‘atsitiktiniai dydziai, tenkinantys sa

‘lyga

‘P (|Xn| ≤ K) = 1 su kuria nors konstanta K, turintys vidurkius MXn = 0 irdispersijas DXk = σ2 > 0. Pazymekime Sn = X1 + ...+Xn. Teisinga lygybe

P(lim sup

n

Sn√2nσ2 ln lnn

= 1)

= 1.

Yra ir daug bendresniu‘

rezultatu‘. Siek tiek apibendrine

‘1 teoremos

i‘rodyma

‘, galime gauti Kolmogorovo kartotinio logaritmo desni

‘.

2 (Kolmogorovo) teorema. Sakykime, Xn yra nepriklausomi atsi-tiktiniai dydziai, turintys dispersijas ir vidurkius MXn = 0. PazymekimeSn = X1 + ...+Xn. Jei egzistuoja seka tokiu

‘konstantu

‘Kn, kad

Kn = o( DSn√

ln lnDSn

),

P (|Xn| ≤ Kn) = 1,

taiP(lim sup

n

Sn√2DSn ln lnDSn

= 1)

= 1.

Bendresniu‘rezultatu

‘galima rasti [28] knygoje.



7. SILPNASIS KONVERGAVIMAS

Susipazinsime dar su vienu atsitiktiniu‘dydziu

‘konvergavimo tipu. Naturalu

i‘vesti tokia

‘konvergavimo sa

‘voka

‘, kad is atsitiktiniu

‘dydziu

‘sekos Xn kon-

vergavimo i‘

atsitiktini‘

dydi‘X isplauktu

‘dydziu

‘Xn generuotu

‘tikimybiniu

‘matu

‘konvergavimas i

‘dydzio X generuota

‘tikimybini

‘mata

‘. Kadangi tarp

generuotu‘tikimybiniu

‘matu

‘ir pasiskirstymo funkciju

‘yra abipus vienareiksme

atitiktis, tai ta‘nauja

‘ji‘konvergavima

‘galima nusakyti pasiskirstymo funkciju

‘terminais.

Paprasciausia reikalauti, kad pasiskirstymo funkciju‘seka FXn

(x) kon-verguotu

‘i‘FX(x) visuose taskuose x ∈ R. Taciau toks konvergavimas butu

‘per siauras. Imkime, pavyzdziui, atsitiktinius dydzius Xn = −1/n (n == 1, 2, ...) ir X ≡ 0. Atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka Xn konverguoja i

‘atsitiktini

‘dydi

‘X. Paziuresime, kaip yra su atitinkamomis pasiskirstymo funkcijomis.

Funkcija FXn(x) = 0, kai x ≤ −1/n, ir FXn(x) = 1, kai x > −1/n; funkcijaFX(x) = 0, kai x ≤ 0, ir FX(x) = 1, kai x > 0. Vadinasi, FXn

(x) konverguojai‘FX(x) visiems x, isskyrus x = 0, kuris yra ribines pasiskirstymo funkci-

jos trukio taskas. Galima butu‘

isnagrineti ir daugiau pavyzdziu‘, kai ribine

pasiskirstymo funkcija turi trukio tasku‘. Is ju

‘isplauktu

‘, kad tikslinga i

‘vesti

bendresne‘pasiskirstymo funkciju

‘konvergavimo sa

‘voka

‘: nereikalauti, kad pa-

siskirstymo funkciju‘seka konverguotu

‘ribines pasiskirstymo funkcijos trukio

taskuose.Sakysime, kad atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka Xn konverguoja pagal pasiskirs-

tyma‘

i‘

atsitiktini‘

dydi‘X, jei tu

‘dydziu


‘seka FXn

konverguoja i‘

pasiskirstymo funkcija‘FX visuose jos tolydumo taskuose.

Siuo atveju galime kalbeti apie silpna‘ji‘pasiskirstymo funkciju

‘konvergavima

‘.

Tiesa, matematineje analizeje silpnasis funkciju‘

konvergavimas nusakomassiek tiek kitaip. Taciau veliau matysime, kad tas konvergavimas yra ekviva-lentus cia aprasytajam.

Palyginsime konvergavima‘pagal pasiskirstyma

‘su konvergavimais pagal

tikimybe‘

ir su tikimybe 1. Apie konvergavima‘

pagal pasiskirstyma‘

galimakalbeti ir tada, kai atsitiktiniai dydziai Xn yra apibrezti skirtingose tikimy-binese erdvese, tuo tarpu apie kitus du konvergavimus tada kalbeti neraprasmes.

1 teorema. Jei atsitiktiniu‘

dydziu‘

seka Xn konverguoja i‘

atsitiktini‘

dydi‘X pagal tikimybe

‘, tai ta seka konverguoja i

‘X ir pagal pasiskirstyma

‘.

I‘r o d y m a s. Bet kuriems realiesiems skaiciams x ir x1

X < x1 = Xn < x, X < x1 ∪ Xn ≥ x,X < x1 ⊂⊂ Xn < x ∪ Xn ≥ x, X < x1.

TodelFX(x1) ≤ FXn

(x) + P (Xn ≥ x, X < x1).

Silpnasis konvergavimas 169

Kadangi Xn konverguoja pagal tikimybe‘i‘X, tai visiems x1 < x

P (Xn ≥ x, X < x1) ≤ P (|Xn −X| ≥ x− x1) → 0,

kai n→∞, vadinasi,FX(x1) ≤ lim inf

nFXn(x),

kai x1 < x. Sukeite‘vietomis X ir Xn bei x ir x1 analogiskai gauname, kad

visiems x < x1

lim supn

FXn(x) ≤ FX(x1).

TodelFX(x′1) ≤ lim inf

nFXn

(x) ≤ lim supn

FXn(x) ≤ FX(x′′),

kai x′ < x < x′′. Jei x yra funkcijos F tolydumo taskas, tai, paskutinejenelygybeje paeme

‘x′ x, x′′ x, gauname

FXn(x) → F (x),

kai n→∞. utAtkreipsime demesi

‘: jei Xn konverguoja i

‘X pagal pasiskirstyma

‘, tai is

to dar neisplaukia, kad Xn konverguoja i‘X pagal tikimybe

‘. Tai matyti is

sitokio pavyzdzio. Tarkime, kad X ir Y yra vienodai pasiskirste‘atsitiktiniai

dydziai, bet X(ω) ir Y (ω) nesutampa beveik visiems ω ∈ Ω. Imkime seka‘

atsitiktiniu‘dydziu

‘Xn = Y (n = 1, 2, ...). Tada Xn konverguoja i

‘X pagal

pasiskirstyma‘, bet nekonverguoja i

‘X pagal tikimybe

‘.

Nurodysime atskira‘atveji

‘, kai abu konvergavimai yra ekvivalentus.


dydziu‘

seka Xn konverguoja pagal tikimybe‘

i‘

issigimusi‘

atsitiktini‘

dydi‘X, P (X = c) = 1, tada ir tik tada, kai ta seka

konverguoja i‘X pagal pasiskirstyma

‘.

I‘r o d y m a s. Jei seka Xn konverguoja i

‘X pagal tikimybe

‘, tai pagal

1 teorema‘ji konverguoja i

‘X ir pagal pasiskirstyma

‘.

Tarkime, kad seka Xn konverguoja i‘X pagal pasiskirstyma

‘. Pastebesime,

kad dydzio X pasiskirstymo funkcija yra

ε(x− c) = 1, kai x > c,

0, kai x ≤ c.

Todel kiekvienam δ > 0

P (|Xn −X| ≥ δ) ≤ P (Xn < c− δ/2) + P (Xn ≥ c+ δ) == FXn(c− δ/2) + 1− FXn(c+ δ)−−−−−→

n→∞0. ut

Remdamiesi bendrosiomis matematines analizes koncepcijomis, silpna‘ji‘

pasiskirstymo funkciju‘

konvergavima‘

apibresime sitaip. Tarkime, kad F



ir Fn (n = 1, 2, ...) yra pasiskirstymo funkcijos. Jei kiekvienai apreztaitolydziajai funkcijai g, apibreztai visoje realiu

‘ju

‘skaiciu

‘tieseje,∫ ∞

−∞g(x)dFn(x) →

∫ ∞

−∞g(x)dF (x),

tai sakome, kad seka Fn konverguoja silpnai i‘F . I

‘rodysime, kad sis kon-

vergavimas yra ekvivalentus ankstesniajam. Kartu i‘rodysime ir keleta

‘kitu

‘teiginiu

‘, kurie mums pravers toliau.

Nagrinesime nemazejancias funkcijas, apibreztas realiu‘ju

‘skaiciu

‘tieseje;

ju‘klase yra platesne uz pasiskirstymo funkciju

‘.

3 teorema. Nemazejanciu‘

funkciju‘

seka Fn konverguoja i‘

kokia‘

nors(nemazejancia

‘) funkcija

‘F jos tolydumo taskuose tada ir tik tada, kai ta seka

konverguoja i‘F kokioje nors tasku

‘aibeje, tirstoje visoje tieseje.

I‘

r o d y m a s. Sa‘lygos butinumas yra trivialus, nes nemazejancios

funkcijos F trukio tasku‘aibe yra baigtine, arba skaiti (plg. II.2.5 teoremos

i‘rodyma

‘). I

‘rodysime sa

‘lygos pakankamuma

‘. Tarkime, kad Fn konverguoja

i‘F visur tirstoje aibeje D. Imkime bet kuri

‘F tolydumo taska

‘x0 ir bet

kuriuos aibes D taskus x′ ir x′′, tenkinancius sa‘lyga

‘x′ < x0 < x′′. Tada

kiekvienam nFn(x′) ≤ Fn(x0) ≤ Fn(x′′).

Is cia ir is teoremos sa‘lygu

‘isplaukia

F (x′) = limn→∞

Fn(x′) ≤ lim infn→∞

Fn(x0) ≤

≤ lim supn→∞

Fn(x0) ≤ limn→∞

Fn(x′′) = F (x′′).

Kadangi aibe D yra visur tirsta, tai taskus x′ ir x′′ galime parinkti kieknorima artimus taskui x0. Todel

F (x0 − 0) ≤ lim infn→∞

Fn(x0) ≤ lim supn→∞

Fn(x0) ≤ F (x0 + 0).

x0 yra F (x) tolydumo taskas, todel F (x0−0) = F (x0+0) = F (x0). Vadinasi,Fn(x0) konverguoja i

‘F (x0). ut

4 (Helio1 kompaktiskumo) teorema. Jei Fn (n = 1, 2, ...) yranemazejancios funkcijos, apreztos ta pacia konstanta, tai is ju

‘sekos galima

isskirti poseki‘, konverguojanti

‘i‘

kokia‘

nors aprezta‘

nemazejancia‘

funkcija‘F

visuose jos tolydumo taskuose.I‘

r o d y m a s. Imkime kokia‘nors tirsta

‘visoje skaiciu

‘tieseje skaicia

‘aibe

‘D = x1, x2, ..., pavyzdziui, visu

‘racionaliu

‘ju

‘skaiciu

‘aibe

‘. Duotosios

1 Eduard Helly (1884–1943) – austru‘ir amerikieciu

‘matematikas.


funkciju‘

sekos reiksmiu‘

taske x1 aibe Fn(x1) yra aprezta. Pagal Bolca-no1–Vejerstraso2 teorema

‘is tos sekos galima isskirti konverguojanti

‘poseki

‘F1n(x1) (n = 1, 2, ...). Pazymekime jo riba

‘F (x1). Dabar imkime funkci-

ju‘

sekos F1n(x) reiksmiu‘

taske x2 aibe‘F1n(x2). Ji, aisku, taip pat

aprezta. Todel galime isskirti konverguojanti‘

poseki‘F2n(x2). Jo riba

‘pa-

zymekime F (x2).Si

‘procesa

‘galime te

‘sti neribotai. Taip gausime seku

‘seka

‘

F11(x), F12(x), F13(x), ...,F21(x), F22(x), F23(x), ...,F31(x), F32(x), F33(x), ...,. . . . . . . . . ...

Sudarykime diagonalia‘ja

‘funkciju

‘seka

‘

F11(x), F22(x), F33(x), ...

Taske x1 ji konverguos i‘F (x1), taske x2 – i

‘F (x2) ir t. t., taske xk – i

‘F (xk)

ir t. t.Vadinasi, seka Fnn(x) konverguos i

‘F (x) aibejeD. Funkcija F (x), apibrez-

ta aibeje D, yra aprezta ir nemazejanti. Praplesime jos apibrezima‘visiems

tieses taskams, imdamiF (x) = sup

xk≤xF (xk).

Taip praplesta funkcija yra aprezta ir nemazejanti. Pagal 3 teorema‘

sekaFnn(x) konverguoja i

‘F (x) visuose jos tolydumo taskuose. ut

5 (Helio–Brejaus) teorema. Tarkime, kad funkcijos Fn (n = 1, 2, ...)yra nemazejancios ir apreztos ta pacia konstanta. Jei seka Fn konverguoja i

‘funkcija

‘F jos tolydumo taskuose ir

Fn(−∞) → F (−∞), Fn(∞) → F (∞),

tai kiekvienai tolydziajai apreztai funkcijai g∫ ∞


∫ ∞

−∞g(x)dF (x).

Teoremoje nusakytas funkciju‘konvergavimas yra vadinamas pilnuoju. Jei

F bei Fn yra pasiskirstymo funkcijos ir Fn konverguoja i‘F jos tolydumo

taskuose, tai Fn pilnai konverguoja i‘F .

I‘

r o d y m a s. Pazymekime raide C konstanta‘, apreziancia

‘funkci-

jas Fn:

1 Bernard Bolzano (1781–1848) – ceku‘matematikas ir filosofas.

2 Karl Weierstrass (1815–1897) – vokieciu‘matematikas.



(1) |Fn(x)| ≤ C (n = 1, 2, ...)

ir

(2) K = sup−∞<x<∞

|g(x)|.

Paeme‘bet koki

‘ε > 0, parinkime funkcijos F tolydumo taskus a < b su sa

‘lyga

(3)∫R\[a,b)

dF (x) <ε

6K.

Funkcija g, tolydi segmente [a, b], jame yra ir tolygiai tolydi. Todel galimerasti toki

‘intervalo [a, b] skaidini

‘funkcijos F tolydumo taskais xk

a = x0 < x1 < ... < xs = b,

kad kiekviename intervale [xk−1, xk) butu‘

|g(x)− g(xk−1)| <ε

16C.

Sudarykime funkcija‘

gε(x) =s∑

k=1

g(xk−1)1[xk−1,xk)(x).

Visuose intervalo [a, b) taskuose

(4) |g(x)− gε(x)| <ε

16C.

Galime rasti toki‘dideli

‘n0, kad visiems n ≥ n0 butu

‘

(5) |F (xk)− Fn(xk)| <ε

8Ks(k = 0, 1, ..., s),

(6)∫R\[a,b)

dFn(x) <ε

3K.

Teisinga nelygybe

(7)

∣∣∣ ∫ ∞

−∞g(x)dFn(x)−

∫ ∞

−∞g(x)dF (x)

∣∣∣ ≤≤∫R\[a,b)

|g(x)|dFn(x) +∫R\[a,b)

|g(x)|dF (x)+

+∫

[a,b)

|g(x)− gε(x)|dF (x) +∣∣∣ ∫

[a,b)

gε(x)dF (x)−

−∫

[a,b)

gε(x)dFn(x)∣∣∣+ ∫

[a,b)

|gε(x)− g(x)|dFn(x).


Pirmieji du desiniosios puses nariai pagal (2), (3) ir (6) yra mazesni uz

K · ε

3K+K · ε

6K=ε

2,

treciasis ir penktasis pagal (4) ir (1) mazesni uz

ε

16C· 2C · 2 =

ε

4,

o ketvirtasis narys lygus∣∣∣ s∑k=1

g(xk−1)(F (xk)− F (xk−1)

)−

−s∑

k=1

g(xk−1)(Fn(xk)− Fn(xk−1)

)∣∣∣ ==∣∣∣ s∑k=1

g(xk−1)(F (xk)− Fn(xk)

)−

−s∑

k=1

g(xk−1)(F (xk−1)− Fn(xk−1)

)∣∣∣.Is (2) ir (5) isplaukia, kad jis mazesnis uz

s ·K ε

8Ks· 2 =

ε

4.

Vadinasi, (7) kaires puses narys yra mazesnis uz ε, kai n ≥ n0. ut

6 teorema. Sakykime, F, Fn (n = 1, 2, ...) yra pasiskirstymo funkcijos.Seka Fn konverguoja i

‘F visuose F tolydumo taskuose tada ir tik tada, kai

kiekvienai apreztai, tolydziai visoje realiu‘ju‘

skaiciu‘

tieseje funkcijai g∫ ∞


∫ ∞

−∞g(x)dF (x).

I‘

r o d y m a s. Sa‘lygos butinumas isplaukia is 5 teoremos. I

‘rodysime

jos pakankamuma‘. Tarkime, kad x0 yra F tolydumo taskas. Paeme

‘bet koki

‘teigiama

‘ε, parinkime toki

‘δ > 0, kad butu

‘

|F (x)− F (x0)| < ε,

kai |x− x0| ≤ δ, ir imkime dvi funkcijas



g1(x) =

1, kai x ≤ x0 − δ,δ−1(x0 − x), kai x0 − δ ≤ x ≤ x0,0, kai x ≥ x0,

g2(x) =

1, kai x ≤ x0,1− δ−1(x− x0), kai x0 ≤ x ≤ x0 + δ,0, kai x ≥ x0 + δ

(zr. 25 pav.). Teisingos nelygybes

(8)

∫ ∞

−∞g1(x)dF (x) ≥

∫ x0−δ

−∞dF (x) =

= F (x0 − δ) > F (x0)− ε,∫ ∞

−∞g2(x)dF (x) ≤

∫ x0+δ

−∞dF (x) =

= F (x0 + δ) < F (x0) + ε

ir

(9)

∫ ∞

−∞g1(x)dFn(x) ≤

∫ x0

−∞dFn(x) = Fn(x0),∫ ∞

−∞g2(x)dFn(x) ≥

∫ x0

−∞dFn(x) = Fn(x0).

25 pav.

Kai n yra pakankamai didelis,

(10)

∣∣∣ ∫ ∞

−∞g1(x)dFn(x)−

∫ ∞

−∞g1(x)dF (x)

∣∣∣ < ε,∣∣∣ ∫ ∞

−∞g2(x)dFn(x)−

∫ ∞

−∞g2(x)dF (x)

∣∣∣ < ε.


Is (8), (9),(10), kai n pakankamai didelis, isplaukia

F (x0)− 2ε < Fn(x0) < F (x0) + 2ε. utMums pravers dar viena teorema.

7 teorema. Jei pasiskirstymo funkciju‘

seka Fn(x) (n = 1, 2, ...) konver-guoja i

‘tolydzia


‘F (x), kai n → ∞, tai Fn(x) → F (x)

tolygiai visiems realiesiems x.I‘r o d y m a s. Kadangi F yra monotoniska ir aprezta, tai kiekvienam

ε > 0 galime rasti toki‘N = N(ε) ir taskus −∞ = x0 < x1 < x2 < ... <

< xN−1 < xN = ∞, jog funkcijos F pokytis intervaluose I1 = (x0, x1), Ik == [xk−1, xk) (k = 2, 3, ..., N − 1), IN = [xN−1, xN ) butu

‘mazesnis uz

ε

5, ir

toki‘n0 = n0(ε), kad |F (xk)− Fn(xk)| < ε

5 (k = 0, 1, ..., N).Tarkime, kad x ∈ Ik. Kadangi

Fn(x)− F (x) =(Fn(x)− Fn(xk)

)+

+(Fn(xk)− F (xk)

)+(F (xk)− F (x)

)ir is pasiskirstymo funkciju

‘monotoniskumo

|Fn(x)− Fn(xk)| ≤ Fn(xk+1)− F (xk) ≤≤ |Fn(xk+1)− F (xk+1)|+ F (xk+1)− F (xk)+

+ |F (xk)− Fn(xk)|,|F (xk)− F (x)| ≤ F (xk+1)− F (xk),

tai

|Fn(x)− F (x)| ≤ |Fn(xk+1)− F (xk+1)|+

+ 2(F (xk+1)− F (xk)

)+ 2|F (xk)− Fn(xk)| < 5 · ε

5= ε. ut


‘, rysius tarp atsitiktiniu

‘dydziu

‘i‘vairiu

‘konvergavimo

rusiu‘pailiustruosime tokia schema.

Konvergavimassu tikimybe 1

⇒ Konvergavimaspagal tikimybe

‘

⇒ Konvergavimas pa-gal pasiskirstyma

‘



8. CHARAKTERISTINES FUNKCIJOSIR PAPRASCIAUSIOS JU

‘SAVYBES

Mums dabar reikes kompleksiniu‘

funkciju‘

integralu‘. Tarkime, kad turime

erdve‘Ω,A, µ. Jei kompleksines funkcijos g, apibreztos aibeje Ω, kompo-

nentai Re g, Im g yra matus ir egzistuoja integralai∫Ω

Re g(ω)µ(dω),∫

Ω

Im g(ω)µ(dω),

tai funkcijos g integralu laikome

(1)∫

Ω

g(ω)µ(dω) =∫

Ω

Re g(ω)µ(dω) + i

∫Ω

Im g(ω)µ(dω).

Sakome, kad g yra integruojama, jei Re g ir Im g yra integruojamos funkcijos.Kompleksiniu

‘funkciju

‘integralai turi savybes, analogiskas realiu

‘ju

‘funk-

ciju‘integralu

‘savybems. Paminesime pora

‘is ju

‘.

Kadangi|Re g| ≤ |g|, |Im g| ≤ |g|,|g| ≤ |Re g|+ |Im g|,

tai kompleksine funkcija g yra integruojama tada ir tik tada, kai integruojama|g|. Parodysime, kad tuo atveju, kai g integruojama, galioja nelygybe∣∣ ∫

Ω

g(ω)µ(dω)∣∣ ≤ ∫

Ω

|g(ω)|µ(dω).

Bet kuriems kompleksiniams skaiciams z1, z2 teisinga nelygybe

Re z1z2 ≤ |z1z2|.

Todel ∣∣∣ ∫Ω

g(ω)µ(dω)∣∣∣2 = Re

(∫Ω

g(ω)µ(dω) ·∫

Ω

g(ω1)µ(dω1))

=

=∫

Ω

∫Ω

Re g(ω)g(ω1)µ(dω)µ(dω1) ≤

≤∫

Ω

∫Ω

|g(ω)g(ω1)|µ(dω)µ(dω1) =

=(∫

Ω

|g(ω)|µ(dω))2

.

Jei G ≥ 0 yra integruojama funkcija, o g – mati kompleksine funkcija ir|g| ≤ G, tai ir g yra integruojama, be to,

Charakteristines funkcijos 177∣∣∣ ∫Ω

g(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫

Ω

G(ω)µ(dω).

Nagrinesime taip pat ir kompleksinius atsitiktinius dydzius. Jei Ω,A, Pyra tikimybine erdve ir X,Y yra realieji atsitiktiniai dydziai, tai kompleksine

‘funkcija

‘Z = X + iY laikysime kompleksiniu atsitiktiniu dydziu. Tokio atsi-

tiktinio dydzio vidurkis yra

MZ = MX + iMY =∫

Ω

Z(ω)P (dω),

kai Z yra integruojama funkcija, t. y. egzistuoja MX ir MY . Kompleksiniu‘


‘vidurkiai turi tas pacias savybes, kaip ir realiu

‘ju

‘atsitik-

tiniu‘dydziu

‘vidurkiai.

Jie turi adityvumo savybe‘:

M(Z1 + Z2) = MZ1 +MZ2.

Kompleksine‘konstanta

‘c galima iskelti pries vidurkio zenkla

‘:

McZ = cMZ.

Du kompleksinius dydzius Z1 = X1 + iY1, Z2 = X2 + iY2 laikysimenepriklausomais, jei vektoriai (X1, Y1) ir (X2, Y2) yra nepriklausomi. Jei ne-priklausomi atsitiktiniai dydziai Z1 ir Z2 turi vidurkius, tai

MZ1Z2 = M(X1 + iY1)(X2 + iY2) =

= MX1X2 + iMX1Y2 + iMX2Y1 −MY1Y2 =

= MX1 ·MX2 + iMX1 ·MY2 + iMX2MY2 −MY1 ·MY2 =

= (MX1 + iMY1)(MX2 + iMY2) = MZ1 ·MZ2.

Labai svarbios, nagrinejant atsitiktinius dydzius bei ju‘pasiskirstyma

‘, yra

vadinamosios charakteristines funkcijos. Tarkime, kad X yra realusis atsitik-tinis dydis. Tada kiekvienam t ∈ R

eitX = cos tX + i sin tX

yra kompleksinis atsitiktinis dydis, nes cos tx ir sin tx yra tolydzios, taigi josyra Borelio funkcijos. Sio dydzio vidurkis egzistuoja kiekvienam t ∈ R, nes

|eitX | = 1.

Atsitiktinio dydzio X charakteristine funkcija vadinsime



f(t) = fX(t) = MeitX =∫

Ω

eitX(ω)P (dω) =

=∫ ∞

−∞eitxPX(dx) =

∫ ∞

−∞eitxdFX(x),

apibrezta‘visiems t ∈ R.

Jei X yra diskretusis atsitiktinis dydis, i‘gyjantis reiksmes xk su tikimy-

bemis P (X = xk) = pk, tai jo charakteristine‘funkcija


fX(t) =∑k

pkeitxk .

Jei X yra absoliuciai tolydus dydis su tankio funkcija pX , tai

fX(t) =∫ ∞

−∞eitxpX(x)dx.

Nagrinesime charakteristiniu‘funkciju

‘savybes.

1 teorema. Visiems realiesiems t

|f(t)| ≤ f(0) = 1.

I‘r o d y m a s. Pagal charakteristines funkcijos apibrezima

‘

f(0) =∫

Ω

P (dω) = P (Ω) = 1

ir|f(t)| =

∣∣∣ ∫Ω

eitX(ω)P (ω)∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|eitX(ω)|P (dω) =∫

Ω

P (dω). ut

2 teorema. Visiems realiesiems t teisingos lygybes

fX(−t) = f−X(t) = fX(t);

cia bruksnys reiskia kompleksini‘

jungtini‘

skaiciu‘.

I‘r o d y m a s isplaukia is charakteristines funkcijos apibrezimo ir lygybiu

‘

Me−itX = Meit(−X) = MeitX . ut

3 teorema. Charakteristine funkcija yra tolygiai tolydi visoje realiu‘ju‘

skaiciu‘

tieseje.I‘r o d y m a s. Paeme

‘bet koki

‘teigiama

‘ε, pagal II.2.2 teorema

‘galime

rasti toki‘λ = λ(ε) > 0, kad butu

‘

Charakteristines funkcijos 179∫|x|>λ

dF (x) <ε

3,

ir toki‘δ = δ(ε) > 0, kad visiems x ir h, |x| ≤ λ, |h| ≤ δ,

|eihx − 1| < ε

3.

Todel

|f(t+ h)− f(t)| =∣∣∣ ∫ ∞

−∞eitx(eihx − 1)dF (x)

∣∣∣ ≤≤∫|x|≤λ

|eihx − 1|dF (x) + 2∫|x|>λ

dF (x) <

<ε

3

∫ ∞

−∞dF (x) + 2 · ε

3= ε. ut

4 teorema. Jei a ir b yra realios konstantos, X – atsitiktinis dydis, tai

faX+b(t) = eibtfX(at).

I‘r o d y m a s. Is vidurkio savybiu

‘isplaukia

faX+b(t) = Meit(aX+b) = eibtMei(at)X = eibtfX(at). ut

5 teorema. Jei X1, ..., Xn yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, tai ju‘

sumos charakteristine funkcija yra lygi tu‘

dydziu‘

charakteristiniu‘

funkciju‘

sandaugai:fX1+...+Xn(t) = fX1(t)...fXn(t).

I‘

r o d y m a s. Teorema‘

pakanka i‘rodyti tik tuo atveju, kai n = 2.

Kadangi X1 ir X2 yra nepriklausomi, tai nepriklausomi yra ir kompleksiniaiatsitiktiniai dydziai

eitX1 = cos tX1 + i sin tX1, eitX2 = cos tX2 + i sin tX2.

Todel

fX1+X2(t) = Meit(X1+X2) = M(eitX1 · eitX2) =

= MeitX1 ·MeitX2 = fX1(t)fX2(t). ut

Lema. Bet kuriems realiesiems x ir sveikiesiems neneigiamiems n



∣∣∣eix − n∑k=0

(ix)k

k!

∣∣∣ ≤ |x|n+1

(n+ 1)!.

I‘r o d y m a s. Nelygybe

‘i‘rodinesime matematines indukcijos metodu. Is

lygybes ∫ x

0

eiudu =eix − 1

i

isplaukia

|eix − 1| =∣∣∣ ∫ x

0

eiudu∣∣∣ ≤ ∫ |x|

0

du = |x|.

Vadinasi, i‘rodomoji nelygybe yra teisinga, kai n = 0. Tarkime, kad ji teisinga

kuriam nors n. Is lygybes∫ x

0

(eiu −

n∑k=0

(iu)k

k!

)du =

eix − 1i

−n∑k=0

ikxk+1

(k + 1)!

ir indukcines prielaidos isplaukia

∣∣∣eix − n+1∑k=0

(ix)k

k!

∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ x

0

(eiu −

n∑k=0

(iu)k

k!

)du∣∣∣ ≤

≤∫ |x|

0

∣∣∣eiu − n∑k=0

(iu)k

k!

∣∣∣du ≤ ∫ |x|

0

un+1

(n+ 1)!du =

|x|n+2

(n+ 2)!.

Todel pagal matematines indukcijos principa‘i‘rodomoji nelygybe yra teisinga

visiems sveikiesiems neneigiamiems n. ut

6 teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi n-a‘ji‘

momenta‘, tai jo charak-

teristine funkcija turi n tolydziu‘

isvestiniu‘,

(2) f (k)(t) = ik∫ ∞

−∞xkeitxdF (x) (k = 0, 1, ..., n);

(3) MXk = i−kf (k)(0) (k = 0, 1, ..., n);

(4) f(t) =n∑k=0

(it)k

k!MXk + o(|t|n),

kai t→ 0;

Charakteristines funkcijos 181

(5) f(t) =n−1∑k=0

(it)k

k!MXk + Θ

|t|k

k!M |X|n;

cia |Θ| ≤ 1, n ≥ 1.I‘r o d y m a s. Pakanka imti n ≥ 1. Teisinga lygybe

f(t+ h)− f(t)h

=∫ ∞

−∞eitx

eihx − 1h

dF (x).

Pagal lema‘(x 6= 0) ∣∣∣eihx − 1

hx

∣∣∣ ≤ 1.

Kadangi ∫ ∞

−∞|x|dF (x) <∞,

tai is V.9.16 teoremos isplaukia, kad egzistuoja riba

limh→0

∫ ∞

−∞xeitx

eihx − 1hx

dF (x) =

=∫ ∞

−∞xeitx lim

h→0

eihx − 1hx

dF (x) = i

∫ ∞

−∞xeitxdF (x).

Todel isvestinef ′(t) = lim

h→0

f(t+ h)− f(t)h

egzistuoja ir lygi

f ′(t) = i

∫ ∞

−∞xeitxdF (x).

Parodysime, kad ji yra tolydi. Is gautosios formules isplaukia

f ′(t+ h)− f ′(t) = i

∫ ∞

−∞xeitx(eihx − 1)dF (x).

Kadangi pointegralines funkcijos modulis nevirsija 2|x|, tai vel pagal ta‘pacia

‘V.9.16 teorema

‘galime pereiti prie ribos po integralo zenklu, kai h → 0.

Gauname, kad f ′(t+ h)− f ′(t) → 0, kai h→ 0. Vadinasi, f ′(t) yra tolydi.Toliau taikome indukcijos metoda

‘. Tarkime, kad kuriam nors k < n

f (k)(t) = ik∫ ∞

−∞xkeitxdF (x).

Pritaike‘siam integralui tuos pacius samprotavimus, gauname



f (k+1)(t) = ik+1

∫ ∞

−∞xk+1eitxdF (x).

Taip i‘rodome (2) lygybe

‘. Is cia trivialiai gauname (3). I

‘rodinejant (4)

lygybe‘, reikia remtis Teiloro formule. Matematines analizes kurse ta formule

paprastai i‘rodoma tik realiosioms funkcijoms. Tokiu pavidalu formule

‘galime

atskirai pritaikyti realiajai ir menamajai daliai.I‘rodinedami (5) lygybe

‘, integruojame lemos nelygybe

‘(pakeite

‘n skaiciumi

n− 1) funkcijos F (x) atzvilgiu. utJei egzistuoja visu

‘eiliu

‘momentai, tai galime formaliai uzrasyti

f(t) =∫ ∞

−∞eitxdF (x) =

∞∑k=0

(it)k

k!MXk.

Pakeite‘z = it, gautume

f(−iz) =∫ ∞

−∞ezxdF (x) =

∞∑k=0

zk

k!MXk.

Jei sis reiskinys turi prasme‘, tai funkcija

‘f(−iz) vadiname momentu

‘generuo-

jancia‘ja funkcija.

7 teorema. Jei atsitiktinis dydis X yra absoliuciai tolydus, tai jo charak-teristine funkcija fX(t) → 0, kai t→ ±∞.

I‘r o d y m a s. Sis teiginys yra Lebego teoremos apie Furje transformacijas

isvada (zr. [16], VIII.4). ut

8 (Bochnerio1–Chincino) teorema. Tolydzioji kompleksine funkcijaf , apibrezta realiu

‘ju‘

skaiciu‘

tieseje, yra charakteristine funkcija tada ir tiktada, kai ji yra neneigiamai apibrezta, t. y. bet kuriems kompleksiniamsλ1, ..., λn ir bet kuriems realiesiems skaiciams t1, ..., tn teisinga nelygybe

n∑k,l=1

λkλlf(tk − tl) ≥ 0.

I‘r o d y m a

‘zr. [10], VII.39. ut

Rasime keleta‘charakteristiniu

‘funkciju

‘.

1 p a v y z d y s. Jei P (X = c) = 1, tai

fX(t) = 1 · eict = eict.

1 Salomon Bochner (1899–1982) – amerikieciu‘matematikas.


2 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X pasiskirste‘s pagal binomini

‘desni

‘(zr. II.2.2 pvz.). Jo charakteristine funkcija yra

fX(t) =

n∑k=0

(n

k

)pkqn−keitk = (peit + q)n.

Sia‘

funkcija‘

galejome ir kitaip gauti. Dydi‘

X galime isreiksti nepriklausomu‘


‘suma X = X1 + ... + Xn, kurioje dydis Xk i

‘gyja dvi reiksmes:

1 su tikimybe p ir 0 su tikimybe q. Dydzio Xk charakteristine funkcija yra

fXk (t) = peit + q.

Pagal 5 teorema‘

fX(t) = fX1(t)...fXn(t) = (peit + q)n.

3 p a v y z d y s. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirste‘s pagal

Puasono desni‘(zr. II.5.2 pvz.). Jo charakteristine funkcija

fX(t) =

∞∑k=1

λk

k!e−λeitk = e−λ

∞∑k=1

(λeit)k

k!= eλ(eit−1).

4 p a v y z d y s. Rasime atsitiktinio dydzio X, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘

desni‘

N(a, σ2) (zr. II.5.6 pvz.), charakteristine‘funkcija

‘. Atkreipsime demesi

‘, kad

atsitiktinio dydzio Y = (X − a)/σ pasiskirstymo funkcija yra

P (Y < x) = P (X < a + σx) =

=1

σ√

2π

∫ a+σx

−∞exp− (u− a)2

2σ2

du =

1√2π

∫ x

−∞e−u2/2du.

Todel pakanka rasti atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagal normalu‘ji‘desni

‘N(0, 1),

charakteristine‘funkcija

‘

(6) fY (t) =1√2π

∫ ∞

−∞eitx−x2/2dx.

Ja‘galima apskaiciuoti i

‘vairiais budais.

Pakeisime integravimo kintama‘ji‘z = x− it. Gausime

fY (t) =e−t2/2

√2π

∫ ∞−it

−∞−it

e−z2/2dz;

cia integruojama kompleksineje plokstumoje tiese, lygiagrecia realiajai asiai (zr.26 pav.). Imkime dideli

‘teigiama

‘skaiciu

‘y; jam veliau leisime tolti i

‘begalybe

‘.

Kadangi exp(−z2/2) yra sveikoji funkcija, tai pagal Kosi teorema‘



(7)

I1 + I2 + I3 =

∫ −y−it

−y

+

∫ y−it

−y−it

+

∫ y

y−it

e−z2/2dz =

=

∫ y

−y

e−z2/2dz.

26 pav.

I‘vertinsime I1 ir I3. Turime

|I1| ≤ |t| sup |e−(−y−iu)2/2|;

cia supremumas imamas pagal visus u nuo 0 iki t. Gauname

|I1| ≤ |t| sup |e−y2/2−2iuy+u2/2| ≤ |t|e−y2/2+t2/2.

Todel I1 → 0, kai y →∞. Analogiskai i‘rodome, kad I3 → 0, kai y →∞. Pereje

‘prie

ribos (7) lygybeje, kai y →∞, pagal I.15.3 lema‘gauname∫ ∞−it

−∞−it

e−z2/2dz =

∫ ∞

−∞e−z2/2dz =

√2π.

Vadinasi,

fY (t) = e−t2/2.

Is cia isplaukia, kad

fX(t) = fσY +a(t) = eiatfY (σt) = eiat−σ2t2/2.

Dabar apskaiciuosime fY (t) kitu budu. Isskleide‘

exp(itx) laipsnine eilute irsukeite

‘sumavimo bei integravimo tvarka

‘, is (6) gauname

fY (t) =1√2π

∞∑k=0

(it)k

k!

∫ ∞

−∞xke−x2/2dx.

Integralas lygus 0, kai k nelyginis, ir lygus

(k − 1)!√

2π

2k/2−1(k/2− 1)!,


kai k lyginis (zr. II.9.1 pavyzdi‘). Todel

fY (t) =

∞∑n=0

(−t2/2)n

n!= e−t2/2.

Apskaiciuosime fY (t) dar vienu budu. Pagal 6 teorema‘

f ′Y (t) =i√2π

∫ ∞

−∞xeitx−x2/2dx.

Integruojame dalimis

f ′Y (t) =−i√2π

∫ ∞

−∞eitxde−x2/2 = − t√

2π

∫ ∞

−∞eitx−x2/2dx = −tfY (t).

Vadinasi,

f ′Y (t)

fY (t)= −t.

Kadangi fY (0) = 1, tai

ln fY (t) = −t2/2.

5 p a v y z d y s. Tarkime, kad X yra pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘N(0, 1).

Apskaiciuosime X2 charakteristine‘

funkcija‘. Pirmiausia rasime jo pasiskirstymo

funkcija‘. P (X2 < x) = 0, kai x ≤ 0, ir

P (X2 < x) = P (−√

x < X <√

x) =1√2π

∫ √x

−√

x

e−u2/2du =

=2√2π

∫ √x

0

e−u2/2du =1√2π

∫ x

0

e−v/2

√v

dv,

kai x > 0. Pakeiteme u2 = v. Todel X2 charakteristine funkcija yra

fX2(t) =1√2π

∫ ∞

0

x−1/2e−(1−2it)x/2dx.

Po pakeitimo x = y2 gauname

fX2(t) =2√2π

∫ ∞

0

e−y2(1−2it)/2dy.

Dar karta‘

keiciame kintama‘ji‘

z = y(1 − 2it)1/2; cia imame pagrindine‘

sakniesreiksme

‘(t. y. 1, kai t = 0). Gauname



(8) fX2(t) =2√

2π(1− 2it)

∫e−z2/2dz;

cia integruojama (zr. 27 pav.) nuo 0 spinduliu z = y(1 − 2it)1/2. Pazymesime L1

spindulio z = y(1 − 2it)1/2 dali‘, kai 0 ≤ y ≤ r, o L2 – lanka

‘z = r exp(iϕ) tarp

realiosios asies ir L1. Funkcija exp(−z2/2) yra sveikoji. Todel pagal Kosi teorema‘

(9)

∫L1

+

∫L2

e−z2/2dz =

∫ r

0

e−z2/2dz.

Desiniosios puses integralas yra imamas realiosios asies atkarpa.

27 pav.

I‘vertinsime antra

‘ji‘integrala

‘∣∣∣ ∫L2

e−z2/2dz

∣∣∣ ≤ 1

4πr sup

z∈L2

|e−z2/2| = 1

4πr sup |e−1/2r2e2iϕ

| =

=1

4πr sup e−1/2r2 cos 2ϕ ≤ 1

4πre−1/2r2 cos 2ϕ0 ;

cia ϕ0 = arg√

1− 2it, |ϕ0| < π/4.

Pastarasis reiskinys konverguoja i‘nuli

‘, kai r →∞.

Todel, pereje‘prie ribos (9) lygybeje, kai r →∞, is (8) gauname

fX2(t) =2√

2π(1− 2it)

∫ ∞

0

e−z2/2dz =1√

1− 2it.

Apvertimo ir vienaties teoremos 187

9. APVERTIMO IR VIENATIES TEOREMOS

Kiekviena‘pasiskirstymo funkcija

‘atitinka viena charakteristine funkcija. I

‘ro-

dysime, kad teisingas ir atvirkstinis teiginys. Kartu bus pateisintas ir charak-teristines funkcijos terminas.

1 lema. Visiems realiesiems x

| sinx| ≤ |x|.

I‘r o d y m a s. Is 8 skyrelio lemos, kai n = 0, isplaukia

|eix − 1| ≤ |x|.

Kadangi bet kuriam kompleksiniam skaiciui z visada |Im z| ≤ |z|, tai

|Im (eix − 1)| ≤ |x|,

arba| sinx| ≤ |x|. ut

2 lema. Visiems kompleksiniams z

|ez − 1| ≤ |z|e|z|.

I‘r o d y m a s niekuo nesiskiria nuo I.15.2 lemos i

‘rodymo. ut

3 lema. Jei α ir T yra realieji skaiciai,

I(T, α) =2π

∫ T

0

sinαtt

dt,

tai

(1) |I(T, α)| ≤ 2

ir

(2) I(T, α) → sgnα,

kai T →∞, tolygiai visiems α, |α| ≥ δ, kai δ – fiksuotas teigiamas skaicius.I‘r o d y m a s. Pakeite

‘integrale I(T, α) kintama

‘ji‘t nauju kintamuoju

t/α, gauname

(3) I(T, α) = I(Tα, 1).



Taip pat aisku, kad

(4) I(−T, 1) = −I(T, 1).

Tirsime integrala‘I(T, 1), kai T > 0. Pazymeje

‘

ck =2π

∫ (k+1)π

kπ

sin ttdt = (−1)k

2π

∫ π

0

sin tkπ + t

dt,

r(T ) =2π

∫ T

[T/π]π

sin ttdt,

turime

I(T, 1) =[T/π]−1∑k=0

ck + r(T ).

Skaiciu‘ck zenklai eina pakaitomis, o ju

‘absoliutusis didumas mazeja. Is cia

ir is Leibnico1 kriterijaus isplaukia, kad integralas

J =∫ ∞

0

sin ttdt = lim

T→∞I(T, 1)

egzistuoja. Dydis r(T ) yra teigiamas, kai [T/π] lyginis, ir neigiamas, kai [T/π]nelyginis. Todel lyginiams [T/π]

[T/π]−1∑k=0

ck ≤ I(T, 1) ≤[T/π]∑k=0

ck,

o nelyginiams [T/π]

[T/π]∑k=0

ck ≤ I(T, 1) ≤[T/π]−1∑k=0

ck.

Is cia 0 ≤ I(T, 1) ≤ c0 ≤ 2, nes pagal 1 lema‘

c0 =2π

∫ π

0

sin ttdt ≤ 2

π

∫ π

0

dt = 2.

1 Gotfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – vokieciu‘matematikas.


Is (3) ir (4) lygybiu‘

isplaukia, kad visada teisinga (1) nelygybe. Jeii‘rodytume lygybe

‘J = 1, tai is (3) ir (4) gautume, kad teisingas (2) teiginys

ir teiginys apie tolygu‘konvergavima

‘.

28 pav.

Integrala‘J galime apskaiciuoti i

‘vairiais budais. Remsimes kompleksinio

kintamojo funkciju‘integralais. Imkime integrala

‘∫L

eiz

zdz,

paimta‘konturu L (zr. 28 pav.), sudarytu is realiosios asies atkarpos nuo z = r

iki z = R (cia 0 < r < R), pusapskritimio L1 su spinduliu R ir centru taske 0,vel realiosios asies atkarpos nuo z = −R iki z = −r ir pagaliau pusapskritimioL2 su spinduliu r ir centru taske 0. Pointegraline funkcija yra analizine tuokonturu apribotoje srityje ir ant konturo. Todel

(5)∫ R

r

eix

xdx+

∫L1

eiz

zdz +

∫ −r

−R

eix

xdx+

∫L2

eiz

zdz = 0.

Pirmasis ir treciasis integralai kartu yra lygus∫ R

r

eix − e−ix

xdx = 2i

∫ R

r

sinxx

dx.

Parodysime, kad antrasis integralas konverguoja i‘nuli

‘, kai R → ∞. Paeme

‘maza

‘teigiama

‘skaiciu

‘δ, turime∣∣∣ ∫

L1

eiz

zdz∣∣∣ = ∣∣∣i∫ π

0

eiReiϕ

dϕ∣∣∣ ≤ ∫ π

0

e−R sinϕdϕ ≤

≤∫ δ

0

dϕ+∫ π−δ

δ

e−R sinϕdϕ+∫ π

π−δdϕ < 2δ + πe−R sin δ.

Lieka istirti ketvirta‘ji‘integrala

‘. Ji

‘uzrasysime pavidalu


‘sekos. Atsitiktiniai procesai∫

L2

eiz

zdz =

∫L2

eiz − 1z

dz +∫L2

dz

z.

Pagal 2 lema‘ ∣∣∣ ∫

L2

eiz − 1z

dz∣∣∣ ≤ πrer.

Kitas integralas ∫L2

dz

z=∫ 0

−πidϕ = πi.

Is (5), kai R→∞, isplaukia, kad J = 1. ut1 teorema. Jei F yra pasiskirstymo funkcija, f – jos charakteristine

funkcija, a ir b – bet kurie realieji skaiciai, tai

F (b+ 0) + F (b)2

− F (a+ 0) + F (a)2

=

= limT→∞

12π

∫ T

−T

e−iat − e−ibt

itf(t)dt.

P a s t a b a. Pointegraline funkcija ϕ taske t = 0 nera apibrezta, ja‘

galima apibrezti bet kaip, pavyzdziui, imti ϕ(0) = limt→0

ϕ(t) = b − a. Tada ϕbus apibrezta ir tolydi visoje realiu

‘ju

‘skaiciu

‘tieseje. Kiekvienam baigtiniam

T integralas yra paprastas Rymano1 integralas. Jei netiesioginis Rymanointegralas ∫ ∞

−∞ϕ(t)dt = lim

T1→−∞T2→∞

∫ T2

T1

ϕ(t)dt

egzistuoja ir yra baigtinis, tai

limT→∞

∫ T

−Tϕ(t)dt =

∫ ∞

−∞ϕ(t)dt.

Taciau riba kaireje lygybes puseje gali egzistuoti ir buti baigtine net tada,kai desines puses netiesioginis integralas neegzistuoja. Tada kalbame apieintegrala

‘Kosi prasme. Taip yra ir su integralu apvertimo formuleje, apie kuria

‘kalbama teoremos formuluoteje. Taciau ja

‘galima uzrasyti ir su netiesioginiu

integralu:F (b+ 0) + F (b)

2− F (a+ 0) + F (a)

2=

=1π

∫ ∞

0

Ree−iat − e−ibt

itf(t)dt.

1 Bernhard Riemann (1826–1866) – vokieciu‘matematikas.


Sia‘formule

‘gauname sitokiu budu. Prisimine

‘, kad f(−t) = f(t), turime∫ T

−T

e−iat − e−ibt

itf(t)dt =

∫ 0

−T+∫ T

0

=

=∫ T

0

(eiat − eibt

−itf(−t) +

e−iat − e−ibt

itf(t)

)dt =

= 2∫ T

0

Ree−iat − e−ibt

itf(t)dt.

I‘

r o d y m a s. Pakanka tirti tik atveji‘, kai a < b. Teigiamiems T

pazymekime

J(T ) =12π

∫ T

−T

e−iat − e−ibt

itf(t)dt.

Isreiske‘charakteristine

‘funkcija

‘pasiskirstymo funkcija F , gauname

J(T ) =12π

∫ T

−T

(∫ ∞

−∞

eit(x−a) − eit(x−b)

itdF (x)

)dt.

Sukeisime integravimo tvarka‘:

J(T ) =12π

∫ ∞

−∞

(∫ T

−T


itdt)dF (x).

Kadangi pagal 8 skyrelio lema‘∣∣∣eit(x−a) − eit(x−b)

it

∣∣∣ = ∣∣∣eit(b−a) − 1it

∣∣∣ ≤ b− a

ir ∫ ∞

−∞

(∫ T

−T(b− a)dt

)dF (x) = 2T (b− a),

tai integravimo ribu‘sukeitimas yra galimas pagal Fubinio teorema

‘. Pasinau-

doje‘Oilerio1 formule, gauname


it=

=cos t(x− a)− cos t(x− b)

it+

sin t(x− a)− sin t(x− b)t

.

Pirmasis desines puses narys yra nelygine t funkcija, antrasis – lygine. Todel

1 Leonhard Euler (1707–1783) – sveicaru‘kilmes matematikas.



J(T ) =1π

∫ ∞

−∞

(∫ T

0

sin t(x− a)− sin t(x− b)t

dt)dF (x) =

=1π

∫ ∞

−∞

(I(T, x− a)− I(T, x− b)

)dF (x);

cia vartojame 3 lemos zymejima‘. Pereisime prie ribos, kai T → ∞. Pagal

3 lema‘

|I(T, x− a)− I(T, x− b)| ≤ 4.

Todel pagal V.9.16 teorema‘

galime pereiti prie ribos po integralo zenklu.Gauname

limT→∞

J(T ) =1π

∫ ∞

−∞limT→∞

(I(T, x− a)− I(T, x− b)

)dF (x).

Is 3 lemos isplaukia, kad limT→∞

(I(T, x− a)− I(T, x− b)

)yra

−12−(−1

2

)= 0, kai x < a,

0−(−1

2

)=

12, kai x = a,

12−(−1

2

)= 1, kai a < x < b,

12− 0 =

12, kai x = b,

12− 1

2= 0, kai x > b.

Todel

limT→∞

J(T ) =∫

(−∞,a)

0 +∫a

12+

+∫

(a,b)

1 +∫b

12

+∫

(b,∞)

0 dF (x) =

=12(F (a+ 0)− F (a)

)+ F (b)−

− F (a+ 0) +12(F (b+ 0)− F (b)

). ut

Jei a ir b yra funkcijos F tolydumo taskai, tai apvertimo formule virstasitokia:

F (b)− F (a) = limT→∞

12π

∫ T

−T

e−iat − e−ibt

itf(t)dt.


2 (vienaties) teorema. Jei dvi pasiskirstymo funkcijos turi ta‘

pacia‘

charakteristine‘

funkcija‘, tai jos sutampa.

I‘r o d y m a s. Is 1 teoremos isplaukia, kad charakteristine funkcija viena-

reiksmiskai nusako pasiskirstymo funkcijos F pokyti‘tarp dvieju

‘jos tolydumo

tasku‘: F (b) − F (a). Kaip zinome, pasiskirstymo funkcijos trukio tasku

‘aibe

yra baigtine arba skaiti. Tarkime, kad a tolsta i‘−∞, prabegdamas tik F

tolydumo taskus. Gauname, kad funkcijos F reiksme yra vienareiksmiskainusakyta kiekviename jos tolydumo taske b. Taciau F yra tolydi is kaires.Todel vienareiksmiskai gauname jos reiksmes ir trukio taskuose. Reikia tik,kad b konverguotu

‘i‘trukio taska

‘is kaires. ut

Atkreipsime demesi‘, kad dvieju

‘skirtingu


‘charak-

teristines funkcijos gali sutapti baigtiniame intervale (zr., pvz., [30], p. 271).

3 teorema. Jei charakteristine funkcija f yra integruojama Lebegoprasme visoje tieseje R, tai ja

‘atitinkanti pasiskirstymo funkcija F turi

aprezta‘

ir tolydzia‘

isvestine‘

ir visiems x ∈ R

F ′(x) =12π

∫ ∞

−∞e−itxf(t)dt.

I‘r o d y m a s. Kadangi f yra integruojama funkcija, tai egzistuoja Lebego

integralas12π

∫ ∞

−∞

e−ixt − e−i(x+h)t

itf(t)dt,

nes pointegralines funkcijos modulis∣∣∣1− e−iht

itf(t)

∣∣∣ ≤ |f(t)| |h|.

Todel pagal 1 teorema‘

(6)

F (x+ h+ 0) + F (x+ h)2

− F (x+ 0)− F (x)2

=

=12π

∫ ∞

−∞


itf(t)dt,

nes apvertimo formules desines puses integrala‘pagal V.9.16 teorema

‘galima

uzrasyti tuo pavidalu. Be to, pagal ta‘pacia

‘teorema

‘galima pereiti prie ribos

po integralo zenklu, kai h→ 0. Gauname, kad F (x+0)−F (x) = 0. Vadinasi,funkcija F yra tolydi kiekviename taske x ∈ R. Dabar (6) formule

‘uzrasome

pavidalu

F (x+ h)− F (x)h

=12π

∫ ∞

−∞


ithf(t)dt.



Tuo paciu budu i‘rodome, kad galime pereiti prie ribos po integralo zenklu,

kai h→ 0. Gauname

F ′(x) =12π

∫ ∞

−∞e−ixtf(t) lim

h→0

1− e−iht

ithdt =

=12π

∫ ∞

−∞e−ixtf(t)dt.

F ′ tolyduma‘i‘rodome vel tuo paciu budu. Pereje

‘prie ribos, kai h → 0, po

integralo zenklu lygybeje

F ′(x+ h)− F ′(x) =12π

∫ ∞

−∞e−ixt(eiht − 1)f(t)dt,

gauname, kad F ′(x+ h)− F ′(x) → 0, kai h→ 0. ut

4 teorema. Jei F yra pasiskirstymo funkcija, o f – ja‘

atitinkanti cha-rakteristine funkcija, tai kiekvienam realiajam x

F (x+ 0)− F (x) = limT→∞

12T

∫ T

−Te−ixtf(t)dt.

I‘r o d y m a s analogiskas 1 teoremos i

‘rodymui. Detalizuoti ji

‘paliekame

skaitytojui. utPateiksime keleta

‘vienaties teoremos taikymu

‘.

Daznai tenka rasti dvieju‘nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sumos pasi-

skirstymo funkcija‘, kai zinomos demenu

‘pasiskirstymo funkcijos. Tai galime

gauti ir be charakteristiniu‘funkciju

‘metodo. Tarkime, kad dydziai X ir Y

yra nepriklausomi atsitiktiniai dydziai su pasiskirstymo funkcijomis FX irFY . Samprotaudami analogiskai, kaip ir II.7.1 teoremos i

‘rodyme, gauname

FX+Y (z) =∫ ∞

−∞FX(z − y)dFY (y).

Lygybes

FX+Y (z) =∫

Ω

1ω:X(ω)+Y (ω)<z(ω)P (dω) =

=∫ ∫

R21(x,y):x+y<z(x, y)P(X,Y )(dx, dy)

paskutinis integralas pagal Fubinio teorema‘lygus


(7)

∫R

(∫R

1(x,y):x+y<z(x, y)PX(dx))PY (dy) =

=∫R

(∫(−∞,z−y)

PX(dx))PY (dy) =

=∫ ∞

−∞FX(z − y)PY (dy).

Integrala‘ ∫ ∞

−∞G(x− y)dF (y),

jei jis egzistuoja, vadiname funkciju‘F ir G sa

‘suka ir zymime F ∗G = F ∗G(x).

Tas integralas egzistuoja, kai F ir G yra pasiskirstymo funkcijos.Jei X yra absoliuciai tolydus ir pX yra jo tankio funkcija, tai, remiantis

Fubinio teorema,

FX+Y (z) =∫ ∞

−∞FX(z − y)dFY (y) =

=∫ ∞

−∞

(∫ z−y

−∞pX(x)dx

)dFY (y) =

=∫ ∞

−∞

(∫ z

−∞pX(x− y)dx

)dFY (y) =

=∫ z

−∞

(∫ ∞

−∞pX(x− y)dFY (y)

)dx;

vadinasi, suma X + Y yra absoliuciai tolydus atsitiktinis dydis ir jo tankiofunkcija

‘galime laikyti lygia

pX+Y (x) =∫ ∞

−∞pX(x− y)dFY (y).

Jei ir Y yra absoliuciai tolydus su tankio funkcija pY , tai sumos tankiofunkcija galime laikyti

pX+Y (x) =∫ ∞

−∞pX(x− y)pY (y)dy.

1 p a v y z d y s. Tarkime, kad nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1 ir X2

yra atitinkamai pasiskirste‘pagal normaliuosius desnius N(a1, σ

21) ir N(a2, σ

22). Tu

‘dydziu

‘charakteristines funkcijos pagal 8.4 pavyzdi

‘yra

fX1(t) = eia1t−σ21t2/2, fX2(t) = eia2t−σ2

2t2/2,



o ju‘sumos charakteristine funkcija pagal 8.5 teorema

‘yra

fX1+X2(t) = ei(a1+a2)t−(σ21+σ2

2)t2/2.

Is vienaties teoremos isplaukia, kad suma X1 +X2 yra taip pat pasiskirsciusi pagal


‘, butent, N

(a1 + a2, (σ

21 + σ2

2)1/2).

Si‘teigini

‘galejome ir kitaip i

‘rodyti. Reikejo suskaiciuoti integrala

‘

1

2πσ1σ2

∫ ∞

−∞exp− (x− y − a1)

2

2σ21

− (y − a2)2

2σ22

dy.

Carakteristiniu‘funkciju

‘metodas yra paprastesnis.

H. Krameras1 (zr. [21]) i‘rode atvirkstine

‘teorema

‘: jei dvieju

‘nepriklausomu

‘neissigimusiu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘X1, X2 suma X1 + X2 yra pasiskirsciusi pagal


‘, tai ir demenys X1, X2 yra pasiskirste

‘pagal normaliuosius desnius.

Sakome, kad atsitiktinis dydis yra issigime‘s, jei jis su tikimybe 1 lygus konstan-

tai. Zinoma, issigimusi‘pasiskirstyma

‘galima butu

‘laikyti normaliojo pasiskirstymo

atskiru atveju, bet tai ne visada patogu.

2 p a v y z d y s. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1 ir X2 yra pasiskirste‘

atitinkamai pagal Puasono desnius su parametrais λ1 ir λ2, tai pagal 8.3 pavyzdi‘

ir 8.5 teorema‘

fX1+X2(t) = e(λ1+λ2)(eit−1).

Is vienaties teoremos isplaukia, kad suma X1 + X2 taip pat pasiskirsciusi pagalPuasono desni

‘, kurio parametras yra λ1 + λ2.

Cia galejome taikyti (7) formule‘. Vargo butu

‘buve

‘daugiau.

D. Raikovas2 (zr. [21]) i‘rode atvirkstine

‘teorema

‘: jei dvieju

‘nepriklausomu

‘neissigimusiu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘X1, X2 suma X1 + X2 yra pasiskirsciusi pagal

Puasono desni‘, tai dydziai X1, X2 yra taip pat pasiskirste

‘pagal Puasono desnius.

3 p a v y z d y s. Imkime nepriklausomus atsitiktinius dydzius X1, ..., Xn,pasiskirsciusius pagal normalu

‘ji‘desni

‘N(0, 1). Rasime atsitiktinio dydzio

χ2n = X2

1 + ... + X2n

pasiskirstyma‘. Jis vadinamas χ2 su n laisves laipsniu

‘pasiskirstymu ir vaidina svarbu

‘vaidmeni

‘matematineje statistikoje.

8.5 pavyzdyje radome dydzio X2k charakteristine

‘funkcija

‘. Ji yra lygi (1 −

−2it)−1/2. Todel χ2n charakteristine funkcija yra (1− 2it)−n/2.

Imkime pasiskirstymo funkcija‘

F (x) =

0, kai x ≤ 0,

2−n/2Γ−1(

n

2

)∫ x

0

un/2−1e−u/2du, kai x > 0.

Apskaiciuosime jos charakteristine‘funkcija

‘

1 Harold Cramer (1893–1985) – svedu‘matematikas.

2 Dmitrijus Raikovas (g. 1905 m.) – rusu‘matematikas.


f(t) = 2−n/2Γ−1(

n

2

)∫ ∞

0

xn/2−1e−(1−2it)x/2dx.

Po pakeitimo z = (1− 2it)x/2 turime

(8) f(t) = Γ−1(

n

2

)(1− 2it)−n/2

∫zn/2−1e−zdz;

cia integruojama kompleksineje plokstumoje spinduliu z = (1 − 2it)x/2. Ap-skaiciuosime integrala

‘tuo paciu budu, kaip ir 8.5 pavyzdyje. Pazymekime L1 spin-

dulio z = (1−2it)x/2 dali‘, kai 0 ≤ x ≤ r, o L2 – lanka

‘z = r exp(iϕ) tarp realiosios

asies ir L1. Funkcija exp(z) yra sveikoji. Todel pagal Kosi teorema‘

(9)

∫L1

+

∫L2

zn/2−1e−zdz =

∫ r

0

zn/2−1e−zdz.

Desines puses integralas yra imamas realiosios asies atkarpa nuo 0 iki r. I‘vertinsime

kaires puses antra‘ji‘integrala

‘:∣∣∣ ∫

L2

zn/2−1e−zdz

∣∣∣ ≤ 1

2πr sup

z∈L2

|zn/2−1e−z| =

=1

2πrn/2 sup |e−reiϕ

| = 1

2πrn/2 sup e−r cos ϕ ≤ 1

2πrn/2e−r cos ϕ0 .

Pastarasis reiskinys konverguoja i‘nuli

‘, kai r →∞, nes

ϕ0 = arg(1− 2it), |ϕ0| <π

2.

Todel, pereje‘prie ribos (9) lygybeje, kai r →∞, is (8) gauname

f(t) = (1− 2it)−n/2.

Is 2 teoremos isplaukia isvada, kad F yra χ2n pasiskirstymo funkcija.

4 p a v y z d y s. Pasinaudoje‘

3 pavyzdziu, rasime labai svarbu‘

mate-matineje statistikoje Stjudento pasiskirstyma

‘. Tarkime, kad atsitiktiniai dydziai

X, X1, ..., Xn yra nepriklausomi ir pasiskirste‘pagal N(0, 1). Tada atsitiktinio dydzio

t =X

Y=

X√(X2

1 + ... + X2n)/n

pasiskirstymas yra vadinamas Stjudento1 pasiskirstymu su n laisves laipsniu‘. Pir-

miausia apskaiciuosime atsitiktinio dydzio Y pasiskirstyma‘. Turime

P (Y < x) = P (χ2n < nx2).

Is 3 pavyzdzio isplaukia, kad si pasiskirstymo funkcija lygi 0, kai x ≤ 0, ir lygi

1 Student – anglu‘statistiko William Sealy Gosset (1876–1937) slapyvardis.



2−n/2Γ−1(

n

2

)∫ nx2

0

vn/2−1e−v/2dv,

kai x > 0. Po kintamojo pakeitimo u = (v/n)1/2 antruoju atveju gauname

P (Y < x) = An

∫ x

0

un−1e−nu2/2du;

cia

An = 2−n/2+1nn/2Γ−1(

n

2

).

Atsitiktinio dydzio t pasiskirstymo funkcija

Sn(x) = P (t < x) = P(

X

Y< x)

=

∫ ∫u>0

v/u<x

P(X,Y )(du, dv)

(integravimo sriti‘zr. 29 pav.). Kadangi atsitiktiniai dydziai X ir Y yra nepriklau-

somi, tai

Sn(x) =

∫ ∫u>0

v/u<x

un−1e−(v2+nu2)/2dudv.

29 pav.

Pakeite‘kintama

‘ji‘v = uw, gauname

Sn(x) = (2π)−1/2An

∫ ∫u>0w<x

une−(n+w2)u2/2dudw.

Vel keiciame kintama‘ji‘: (n + w2)u2/2 = y. Galutinai gauname

Tolydumo teorema 199

Sn(x) = (2π)−1/2An2(n−1)/2×

×∫ x

−∞(n + w2)−(n+1)/2dw

∫ ∞

0

y(n−1)/2e−ydy =

=Γ(

n + 1

2

)√

πnΓ(

n

2

) ∫ x

−∞(1 + w2/n)−(n+1)/2dw.

5 p a v y z d y s. Matematineje statistikoje svarbu‘vaidmeni

‘vaidina ir dvieju

‘nepriklausomu

‘χ2 santykio pasiskirstymas. Tarkime, kad X1, ..., Xn, Y1, ..., Ym yra

nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, pasiskirste‘

pagal N(0, 1). Rasime atsitiktiniodydzio

Z =X2

1 + ... + X2n

Y 21 + ... + Y 2

m

pasiskirstyma‘. Jis vadinamas Fiserio1 pasiskirstymu su n ir m laisves laipsniu

‘. Kai

x ≤ 0, tai FZ(x) = 0. Imkime x < 0. Kaip ir 4 pavyzdyje,

FZ(x) =

∫ ∫u>0,v>0

v/u<x

pχ2m

(u)pχ2n(v)dudv =

= Bm,n

∫ ∫u>0,v>0

v/u<x

um/2−1vn/2−1e−(u+v)/2dudv;

cia

Bm,n = 2−(n+m)/2Γ−1(

n

2

)Γ−1(

m

2

).

Po pakeitimo v = uw turime

FZ(x) = Bm,n

∫ x

0

wn/2−1dw

∫ ∞

0

u(n+m)/2−1e−(1+w)udu =

=Γ(

n + m

2

)Γ(

n

2

)Γ(

m

2

) ∫ x

0

wn/2−1(1 + w)−(n+m)/2dw.

10. TOLYDUMO TEOREMA

Ankstesniame skyrelyje i‘rodeme, kad tarp pasiskirstymo funkciju

‘ir charakte-

ristiniu‘funkciju

‘yra abipus vienareiksme atitiktis. Dabar musu

‘tikslas – pa-

rodyti, kad ta atitiktis tam tikra prasme tolydi, t. y. is pasiskirstymo funkciju‘

1 Ronald Alymer Fisher (1890–1962) – anglu‘statistikas.



silpno konvergavimo i‘

pasiskirstymo funkcija‘

isplaukia tas pasiskirstymofunkcijas atitinkanciu

‘charakteristiniu

‘funkciju

‘konvergavimas i

‘ribines funkci-

jos charakteristine‘funkcija

‘, ir atvirksciai. Tiksliau tas teiginys yra nusakytas

1 ir 2 teoremose.

1 teorema. Jei pasiskirstymo funkciju‘

seka Fn (n = 1, 2, ...) kon-verguoja i


‘F jos tolydumo taskuose, tai atitinkamu

‘charakteristiniu

‘funkciju

‘seka fn (n = 1, 2, ...) konverguoja i

‘funkcijos F

charakteristine‘

funkcija‘. Tas konvergavimas yra tolygus kiekviename baigti-

niame intervale.I‘r o d y m a s. Teiginys apie charakteristiniu

‘funkciju

‘fn konvergavima

‘isplaukia is 7.5 Helio–Brejaus teoremos (ja

‘taikome atskirai realiosioms ir

menamosioms integralu‘dalims). Truputi

‘pakeite

‘7.5 teoremos i

‘rodyma

‘, ga-

lime parodyti, kad konvergavimas yra tolygus (tai paliekame skaitytojui). utAtkreipsime demesi

‘, kad teoremos teiginys gali buti neteisingas, kai ribine

funkcija F yra bet kuri nemazejanti, taciau ne pasiskirstymo funkcija. Imkimeseka


‘

Fn(x) = 0, kai x ≤ n,

1, kai x > n.

Kiekvienam baigtiniam x seka Fn(x) konverguoja i‘F (x) ≡ 0, bet atitinkamu

‘charakteristiniu

‘funkciju

‘seka fn(t) = exp(int) nekonverguoja i

‘jokia

‘riba

‘,

isskyrus taskus t = 2kπ (k = 0,±1, ...).

Isvada. Jei charakteristiniu‘funkciju

‘seka fn (n = 1, 2, ...) konverguoja i

‘charakteristine

‘funkcija

‘f ir realiu

‘ju‘skaiciu

‘seka un (n = 1, 2, ...) konverguoja

i‘

baigtini‘

skaiciu‘u, tai fn(un) konverguoja i

‘f(u).

I‘r o d y m a s. Teiginys isplaukia is nelygybes

|fn(un)− f(u)| ≤ |fn(un)− f(un)|+ |f(un)− f(u)|,

1 teoremos ir charakteristines funkcijos f(t) tolydumo. ut2 teorema. Jei charakteristiniu

‘funkciju

‘seka fn (n = 1, 2, ...) visoms

argumento reiksmems konverguoja i‘kokia

‘nors funkcija

‘f , tolydzia

‘nuliniame

taske, tai atitinkamu‘pasiskirstymo funkciju

‘seka Fn (n = 1, 2, ...) konverguoja

i‘

pasiskirstymo funkcija‘F jos tolydumo taskuose. Tada funkcija f yra F

charakteristine funkcija.I‘r o d y m a s. Remdamiesi 7.4 Helio kompaktiskumo teorema, isskirsime

is sekos Fn poseki‘Fnk

, konverguojanti‘i‘kokia

‘nors nemazejancia

‘funkcija

‘F jos tolydumo taskuose. Aisku, 0 ≤ F (−∞) ≤ F (∞) ≤ 1. Tarkime, kad

δ = F (∞)− F (−∞) < 1.

Imkime koki‘nors skaiciu

‘ε su sa

‘lyga 0 < ε < 1 − δ. Kadangi fnk

→ f , taif(0) = 1. Is f tolydumo taske t = 0 isplaukia, kad galima parinkti pakanka-mai maza

‘τ > 0, tenkinanti

‘sa

‘lyga

‘


(1)12τ

∣∣∣ ∫ τ

−τf(t)dt

∣∣∣ > 1− ε/2.

I‘vertinsime ta

‘reiskini

‘kitaip. Pakeite

‘integravimo tvarka

‘, turime∫ τ

−τfnk

(t)dt =∫ ∞

−∞

(∫ τ

−τeitxdt

)dFnk

(x).

Is cia bet kuriam a > 4(τε)−1∣∣∣ 12τ

∫ τ

−τfnk

(t)dt∣∣∣ ≤ 1

2τ

∫−a≤x<a

∣∣∣ ∫ τ

−τeitxdt

∣∣∣dFnk(x)+

+12τ

∫|x|≥a

∣∣∣ ∫ τ

−τeitxdt

∣∣∣dFnk(x) ≤

≤ Fnk(a)− Fnk

(−a) +12τ

∫|x|≥a

∣∣∣2 sin τxx

∣∣∣dFnk(x) ≤

≤ Fnk(a)− Fnk

(−a) +1τa

< Fnk(a)− Fnk

(−a) +ε

4.

KadangiFnk

(a)− Fnk(−a) → F (a)− F (−a),

kai a ir −a yra F (x) tolydumo taskai, tai pakankamai dideliems a ir k

Fnk(a)− Fnk

(−a) < δ +ε

4.

Vadinasi, ∣∣∣ 12τ

∫ τ

−τfnk

(t)dt∣∣∣ < δ +

ε

2.

Pereje‘prie ribos, kai k →∞, gauname∣∣∣ 1

2τ

∫ τ

−τf(t)dt

∣∣∣ ≤ δ +ε

2< 1− ε+

ε

2= 1− ε

2.

Si nelygybe priestarauja (1).Taigi funkcija F , i

‘kuria

‘konverguoja seka Fnk

, yra pasiskirstymo funkcija.Pagal 1 teorema

‘jos charakteristine funkcija yra f .

Lieka i‘rodyti, kad duotoji seka Fn konverguoja i

‘F . Tarkime, kad taip

nera. Tada galima rasti poseki‘Fmk

, konverguojanti‘i‘kokia

‘nors kita

‘funkcija

‘F ∗, nelygia

‘F bent viename jos tolydumo taske. Pagal jau i

‘rodyta

‘teoremos

dali‘funkcijos F ∗ charakteristine funkcija butu

‘f . Taciau pagal 9.2 vienaties

teorema‘funkcijos F ir F ∗ turetu

‘sutapti. Gautas priestaravimas rodo, kad

prielaida buvo neteisinga. ut



Teoremos teiginys gali buti neteisingas, jei ribine funkcija f nera tolyditaske t = 0. Imkime pasiskirstymo funkcijas

Fn(x) =

0, kai x ≤ −n,12

+x

2n, kai −n < x < n,

1, kai x ≥ n;

ju‘charakteristines funkcijos yra

fn(t) =

1, kai t = 0,sinntnt

, kai t 6= 0.

Tadafn(t) → f(t) =

1, kai t = 0,0, kai t 6= 0.

Ribine funkcija f nera tolydi nuliniame taske. Antra vertus, Fn konverguojai‘funkcija

‘F ≡ 1/2, kuri nera pasiskirstymo funkcija.

Charakteristiniu‘funkciju

‘aparatas yra labai naudingas, i

‘rodinejant i

‘vai-

rias teoremas apie atsitiktiniu‘dydziu

‘pasiskirstyma

‘. Tuo jau galejome i

‘siti-

kinti is ankstesniu‘skyreliu

‘pavyzdziu

‘. Jis ypac pravercia, tiriant nepriklauso-

mu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sumu

‘pasiskirstymus. Sakykime, turime nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘seka

‘X1, X2, ... ir dvi realiu

‘ju

‘skaiciu

‘sekas A1, A2, ...;

B1, B2, ..., be to, skaiciai Bn > 0. Pazymekime Sn = X1 + ... + Xn. Reikiaistirti normuotu

‘sumu

‘Zn = B−1

n (Sn −An)

ribini‘pasiskirstyma

‘. Tu

‘sumu

‘pasiskirstymo funkcija yra

P (Zn < x) = FX1 ∗ ... ∗ FXn(An +Bnx).

Sa‘sukio operacija yra gana sudetinga, todel tirti tos lygybes desiniosios puses

ribini‘

kitimo pobudi‘

nera lengva. Paprasciau yra apskaiciuoti sumos Zncharakteristine

‘funkcija

‘

fZn(t) = e−itAn/BnfX1

( t

Bn

)...fXn

( t

Bn

)ir nagrineti jos kitima

‘, kai n→∞. Jei fZn konverguoja i

‘kokia

‘nors funkcija

‘f , tolydzia

‘nuliniame taske, tai P (Zn < x) silpnai konverguoja i

‘atitinkama


‘.

Paaiskinsime sia‘

ideja‘

paprastu kasdieniniu pavyzdziu. Jei, sakysime,mums reikia isspre

‘sti uzdavini

‘, kurio sa

‘lygos suformuluotos svetima kalba,

ir ta‘kalba

‘blogai mokame, tai pirmiausia issiverciame sa

‘lyga

‘i‘gimta

‘ja

‘kalba

‘,

issprendziame uzdavini‘ta kalba, po to atsakyma

‘isverciame i

‘svetima

‘kalba

‘.

Taip elgiames ir tikimybiu‘

teorijoje. Tarp pasiskirstymo funkciju‘

”kal-bos” ir charakteristiniu

‘funkciju

‘”kalbos” yra abipus vienareiksme atitiktis


(to daznai nera tarp i‘prastiniu

‘kalbu

‘): vienos kalbos ”zodzius” abipus viena-

reiksmiskai atitinka kitos kalbos ”zodziai” (kiekviena‘pasiskirstymo funkcija

‘atitinka viena charakteristine funkcija, ir atvirksciai), vienos kalbos ”gra-matikos” taisykles atitinka kitos kalbos ”gramatikos” taisykles (pasiskirstymofunkciju

‘sa

‘suka

‘atitinka charakteristiniu

‘funkciju

‘daugyba; pasiskirstymo

funkciju‘

silpna‘

konvergavima‘

atitinka charakteristiniu‘

funkciju‘

tam tikraskonvergavimas ir t. t.).

Pailiustruosime si‘metoda

‘keletu paprastu

‘, bet gana efektyviu

‘pavyzdziu

‘.

Mums reikes paprastos lemos.

Lema. Jei z – kompleksinis skaicius, |z| ≤ 1/2, tai

| ln(1 + z)− z| ≤ |z|2.

I‘r o d y m a s. Is lygybes

ln(1 + z) =∞∑k=1

(−1)k−1

kzk

isplaukia

| ln(1 + z)− z| ≤∞∑k=2

|z|k

k≤ 1

2

∞∑k=2

|z|k =|z|2

2(1− |z|)≤ |z|2. ut

1 p a v y z d y s. Pirmajame skyriuje i‘rodeme Muavro-Laplaso integraline

‘teorema

‘(I.15.2 teorema). Dabar pateiksime gana trumpa

‘ir paprasta

‘tos teoremos

i‘rodyma

‘, pagri

‘sta

‘charakteristinemis funkcijomis.

Tirsime Bernulio eksperimentus. Tarkime, kad, atliekant kiekviena‘eksperimen-

ta‘, i

‘vyksta i

‘vykis A su tikimybe p, 0 < p < 1. Pazymekime κn i

‘vykiu

‘A skaiciu

‘,

atlikus n eksperimentu‘. 8.2 pavyzdyje buvo parodyta, kad

fκn(t) = (peit + q)n;

cia q = 1− p. Todel dydzio

Zn =κn − np√

npq

charakteristine funkcija

fZn(t) = fκn

(t

√npq

)exp

(− inpt√

npq

)=

=

p exp

(it

√npq

)+ q

n

exp

(− inpt√

npq

)=

=

p exp

(it

√q

np

)+ q exp

(−it

√p

nq

)n

.



Pazymeje‘Θ kompleksini

‘skaiciu

‘(ne visada ta

‘pati

‘), kurio modulis ne didesnis kaip

1, pagal 8 skyrelio lema‘gauname

p exp

(it

√q

np

)+ q exp

(−it

√p

nq

)=

= p

(1 + it

√q

np− qt2

2np+ Θ

|t|3q3/2

p3/2n3/2

)+

+ q

(1− it

√p

nq− pt2

2nq+ Θ

|t|3p3/2

q3/2n3/2

)=

= 1− t2

2n+ Θ

|t|3

n3/2

(q3/2

p1/2+

p3/2

q1/2

)=

= 1− t2

2n+ Rn.

Tarkime, kad T – bet koks teigiamas skaicius. Kai n yra pakankamai didelis, n ≥≥ n0(T ), visiems t su sa

‘lyga |t| ≤ T teisinga lygybe

fZn(t) = exp

n ln

(1− t2

2n+ Rn

).

Pagal lema‘ ∣∣∣∣n ln

(1− t2

2n+ Rn

)+

t2

2

∣∣∣∣ ≤≤∣∣∣∣n ln

(1− t2

2n+ Rn

)+

t2

2n−Rn

∣∣∣∣++ n|Rn| ≤ n

∣∣∣∣− t2

2n+ Rn

∣∣∣∣2 + n|Rn| ≤C

n1/2;

cia C – teigiamas skaicius, nepriklausantis nuo n. Taigi

fZn(t) → e−t2/2,

kai |t| ≤ T . Is 2 teoremos isplaukia, kad

P (Zn < x) → Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−u2/2du.

2 p a v y z d y s. Nauju metodu i‘rodysime Puasono teorema

‘(I.15.4 teorema),

siek tiek ja‘apibendrindami. Tarkime, kad turime atsitiktiniu

‘dydziu

‘seriju

‘seka

‘

Xn1 , ..., Xnkn (n = 1, 2, ...),

kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi, be to, kiekvienas is ju‘i‘gyja tik po dvi

reiksmes: 0 ir 1 su tikimybemis


P (Xnk = 1) = pnk, P (Xnk = 0) = 1− pnk (k = 1, ..., kn).

Padarykime prielaidas, kad

max1≤k≤kn

pnk → 0,

kn∑k=1

pnk → λ,

kai n →∞. Pazymekime

Sn =

kn∑k=1

Xnk.

I‘rodysime, kad

P (Sn = k) → λk

k!e−λ (k = 0, 1, ...).

Atsitiktinio dydzio Xnk charakteristine funkcija lygi

1 + pnk(eit − 1),

o sumos Sn charakteristine funkcija

fSn(t) =

kn∏k=1

1 + pnk(eit − 1).

Kai n dideli, pagal lema‘

| ln1 + pnk(eit − 1) − pnk(eit − 1)| ≤ 4p2nk.

Todel

∣∣ ln fSn(t)− (eit − 1)

kn∑k=1

pnk

∣∣ ≤ 4

kn∑k=1

p2nk ≤ 4

kn∑k=1

pnk max1≤k≤kn

pnk.

Vadinasi,

fSn(t) → eλ(eit−1)

tolygiai visiems t.Sumos Sn charakteristine

‘funkcija


fSn(t) =

∞∑k=0

P (Sn = k)eitk.

Is cia

P (Sn = k) =1

2π

∫ π

−π

fSn(t)e−itkdt =e−λ

2π

∫ π

−π

eλeit−itkdt + o(1)



tolygiai k atzvilgiu. Apskaiciuosime integrala‘. Isskleide

‘exp(λeit) laipsnine eilute ir

sukeite‘integravima

‘su sumavimu vietomis, gauname

1

2π

∫ ∞

−∞eλeit−itkdt =

∞∑l=0

λl

l!

1

2π

∫ π

−π

eit(l−k)dt =λk

k!.

Vadinasi, tolygiai k atzvilgiu

P (Sn = k) =λk

k!e−λ + o(1).

3 p a v y z d y s. Remdamiesi charakteristinemis funkcijomis, i‘rodysime 3.3

Chincino teorema‘. Imkime seka

‘nepriklausomu

‘vienodai pasiskirsciusiu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘X1, X2, ..., turinciu

‘vidurki

‘a.

Jei f yra kiekvieno is tu‘dydziu

‘charakteristine funkcija, tai normuotos ju

‘sumos

Zn =1

n

n∑k=1

Xk − a

charakteristine funkcija

fZn(t) = e−iatfn(

t

n

).

Kadangi atsitiktinis dydis turi vidurki‘, tai pagal 8.6 teorema

‘nulinio tasko aplinkoje

f(t) = 1 + iat + tr(t);

cia r(t) yra funkcija, konverguojanti i‘nuli

‘, kai t → 0. Kai |t| ≤ T ir n yra pakanka-

mai didelis, pagal sio skyrelio lema‘

fZn(t) = exp

− iat + n ln

(1 +

t

n

(ia + r

(t

n

)))=

= exp

− tr

(t

n

)+ Θn

∣∣∣∣ tn(

ia + r(

t

n

))∣∣∣∣2

.

Is cia

fZn(t) → 1,

kai n → ∞. Taciau issigimusio pasiskirstymo ε(x) charakteristine funkcija yratapati 1. Vadinasi, visur, isskyrus x = 0, P (Zn < x) → ε(x), t. y. kiekvienam δ > 0

P (|Zn| ≥ δ)−−−−−→n→∞

0.

Centrine ribine teorema 207

11. CENTRINE RIBINE TEOREMA

Muavro–Laplaso integraline teorema yra tik labai specialus bendresnio ti-kimybiu

‘teorijos desnio atvejis. Mat, atitinkamai normuotu

‘nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sumu

‘pasiskirstymo funkcijos konverguoja i

‘normalia

‘ja


‘, kai tie dydziai tenkina gana bendras sa

‘lygas. Pateik-

sime klasikini‘tokio desnio pavyzdi

‘.

1 (Lindebergo1) teorema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1,X2, ... turi dispersijas, bent vienas is ju

‘yra neissigime

‘s,

B2n =

n∑k=1

DXk, Zn = B−1n

n∑k=1

(Xk −MXk),

Fk(x) (k = 1, 2, ...) yra tu‘

dydziu‘

pasiskirstymo funkcijos ir kiekvienam fik-suotam τ > 0

(1) B−2n

n∑k=1

∫|x−MXk|>τBn

(x−MXk)2dFk(x) → 0,

kai n→∞, tai tolygiai x atzvilgiu

P (Zn < x) → Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−u

2/2du,

kai n→∞.(1) sa

‘lyga yra vadinama Lindebergo sa

‘lyga.

Pazymeje‘

Xnk = B−1n (Xk −MXk), Fnk(x) = P (Xnk < x) (k = 1, ..., n),

turime

MXnk = 0, DXnk = B−2n DXk,

n∑k=1

DXnk = 1,

Fk(x) = P (BnXnk +MXnk < x) =

= P(Xnk <

x−MXk

Bn

)= Fnk

(x−MXk

Bn

).

Tada Lindebergo sa‘lyga

‘galime uzrasyti pavidalun∑k=1

∫|x|>τ

x2dFnk(x) → 0,

1 Jarl Waldemar Lindeberg (1876–1932) – svedu‘kilmes suomiu

‘matematikas.



o teoremos teigini‘–

P( n∑k=1

Xnk < x)→ Φ(x).

I‘rodysime kiek bendresne

‘teorema

‘, kurios specialus atvejis bus 1 teorema.

2 teorema. Sakykime, turime atsitiktiniu‘dydziu

‘seriju

‘seka

‘Xn1, ..., Xnkn

(n = 1, 2, ...), kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi ir turi dispersijas,be to,

(2) MXnk = 0 (k = 1, ..., kn),kn∑k=1

DXnk = 1.

Pazymekime dydzio Xnk pasiskirstymo funkcija‘Fnk(x),

Sn =kn∑k=1

Xnk.

Jei kiekvienam fiksuotam teigiamam τ

(3)kn∑k=1

∫|x|>τ

x2dFnk(x) → 0,


P (Sn < x) → Φ(x),

kai n→∞.(3) sa

‘lyga

‘taip pat vadinsime Lindebergo sa

‘lyga.

I‘

r o d y m a s. Pazymekime fnk dydzio Xnk charakteristine‘funkcija

‘.

Reikes i‘rodyti, kad visiems realiesiems t

ϕn(t) =kn∏k=1

fnk(t) → e−t2/2.

Imkime bet koki‘

fiksuota‘

skaiciu‘T > 2. Toliau laikysime |t| ≤ T . Bet

kuriam ε, 0 < ε < 1, ir τ = εT−3 pagal (3) sa‘lyga

‘egzistuoja toks pakankamai

didelis n0 = n0(ε, T ), kad

(4)kn∑k=1

∫|x|>τ

x2dFnk(x) <ε

2T 4,

kai n ≥ n0.


Tirsime charakteristines funkcijas fnk. Kadangi MXnk = 0, tai

fnk(t)− 1 =∫ ∞

−∞(e−itx − 1− itx)dFnk(x).

Pagal 8 skyrelio lema‘

|eitx − 1− itx| ≤ 12t2x2.

Todel

(5) |fnk(t)− 1| ≤ 12t2∫ ∞

−∞x2dFnk(x) =

12t2DXnk.

Mums pravers ir kitoks to paties reiskinio i‘vertinimas, kurio ieskodami rem-

simes (4) i‘vertinimu. Turime

(6)

|fnk(t)− 1| ≤

≤ 12t2(∫

|x|≤τx2dFnk(x) +

∫|x|>τ

x2dFnk(x))≤

≤ 12t2(τ2

∫ ∞

−∞dFnk(x) +

ε

2T 4

)<

12T 2(τ2 +

ε

2T 4

)=

=T 2

2

( ε2T 6

+ε

2T 4

)<

ε

2T 2<

12.

Is (6) isplaukia, kad fnk(t) 6= 0, kai |t| ≤ T . Todel galime kalbeti apie fnk(t)ir ϕn(t) logaritmus. Imame ju

‘pagrindines reiksmes. Is (2) gauname

(7)

∣∣∣ lnϕn(t) +t2

2

∣∣∣ ≤≤

kn∑k=1

∣∣∣ ln [1 +(fnk(t)− 1

)]−(fnk(t)− 1

)∣∣∣++

kn∑k=1

∣∣∣fnk(t)− 1 +t2

2DXnk

∣∣∣ = Rn1 +Rn2.

Dydi‘Rn1 i

‘vertinsime, remdamiesi 10 skyrelio lema ir (6), (5) bei (2)

sa‘rysiais. Gausime

(8)

Rn1 ≤kn∑k=1

|fnk(t)− 1|2 ≤ ε

2T 2

k∑k=1

|fnk(t)− 1| ≤

≤ ε

2T 2· 12T 2

kn∑k=1

DXnk =ε

4.



Dabar i‘vertinsime dydi

‘Rn2

Rn2 =kn∑k=1

∣∣∣ ∫ ∞

−∞

(eitx − 1− itx+

12t2x2

)dFnk(x)

∣∣∣.Is 8 skyrelio lemos isplaukia nelygybes∣∣∣eitx − 1− itx+

12t2x2

∣∣∣ ≤ |eitx − 1− itx|+ 12t2x2 ≤ t2x2,∣∣∣eitx − 1− itx+

12t2x2

∣∣∣ ≤ 16|tx|3.

Pirma‘ja

‘nelygybe

‘taikome integravimo sriciai |x| > τ , antra

‘ja

‘– likusiai in-

tegravimo sriciai |x| ≤ τ . Is (2) ir (4) gauname

(9)

Rn2 ≤kn∑k=1

( |t|36

∫|x|≤τ

|x|3dFnk(x)+

+ t2∫|x|>τ

x2dFnk(x))≤

≤ T 3τ

6

kn∑k=1

∫|x|≤τ

x2dFnk(x) + T 2n∑k=1

∫|x|>τ

x2dFnk(x) <

<T 3τ

6

kn∑k=1

DXnk + T 2 · ε

2T 4=ε

6+

ε

2T 2<ε

2.

I‘rase

‘(8) ir (9) i

‘(7), gauname∣∣∣ lnϕn(t) +

t2

2

∣∣∣ < ε,

kai n ≥ n0, |t| ≤ T . Remdamiesi 10.2 teorema, gausime i‘rodoma

‘ji‘teigini

‘,

jei pastebesime, kad konvergavimo tolydumas isplaukia is normaliojo pa-siskirstymo tolydumo ir 7.7 teoremos. ut

Lindebergo sa‘lyga nera butina, kad teoremoje nusakytu

‘atsitiktiniu

‘dy-

dziu‘

sumos turetu‘

ribini‘

normalu‘ji‘

pasiskirstyma‘. Imkime atsitiktinius dy-

dzius Xn1 = Y, Xn2 = ... = Xnkn= 0. Tarkime, kad Y yra pasiskirste

‘s pagal

N(0, 1). Aisku, 2 teoremos visos sa‘lygos bus patenkintos, isskyrus Lindebergo

sa‘lyga

‘, nors

P (Sn < x) = Φ(y).

Antra vertus, kiekvienam τ > 0 is nelygybiu‘


max1≤k≤kn

P (|Xnk| ≥ τ) ≤kn∑k=1

P (|Xnk| ≥ τ) =

=kn∑k=1

∫|x|≥τ

dFnk(x) ≤1τ2

kn∑k=1

∫|x|≥τ

x2dFnk(x)

ir is Lindebergo sa‘lygos isplaukia

(10) max1≤k≤kn

P (|Xnk| ≥ τ) → 0.

Atsitiktiniai dydziai, tenkinantys (10) sa‘lyga

‘, vadinami nykstamais. Taigi, jei

dydziai Xnk (k = 1, ..., kn) tenkina Lindebergo sa‘lyga

‘, tai jie yra nykstami.

Lindebergo sa‘lyga yra butina, kad nykstamu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘, tenki-

nanciu‘(2) sa

‘lyga

‘, sumos turetu

‘ribini

‘normalu


‘.

3 (Felerio1) teorema. Sakykime, turime atsitiktiniu‘

dydziu‘

seriju‘

seka‘

Xn1, ..., Xnkn(n = 1, 2, ...), kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi, turi

dispersijas ir tenkina 2 teoremos (2) sa‘lyga

‘. Pazymekime Sn = Xn1 + ... +

+Xnkn. Jei atsitiktiniai dydziai Xnk yra nykstami ir

P (Sn < x) → Φ(x),

tai teisinga (3) Lindebergo sa‘lyga.

I‘r o d y m a s. Vartosime 2 teoremos zymejimus. Kiekvienam τ > 0

|fnk(1)− 1| ≤∫|x|≤τ

|eix − 1|dFnk(x) +∫|x|>τ

|eix − 1|dFnk(x).

Pirmajame integrale pointegraline‘funkcija

‘i‘vertinsime pagal 8 skyrelio lema

‘dydziu |x|, o antrajame – trivialiai skaiciumi 2. Gausime

|fnk(1)− 1| ≤∫|x|≤τ

|x|dFnk(x) + 2∫|x|>τ

dFnk(x) ≤

≤ τ + 2P (|Xnk| > τ).

Kadangi dydziaiXnk yra nykstami, o τ gali buti parinktas kiek norima mazas,tai

(11) max1≤k≤kn

|fnk(1)− 1| → 0.

Is sa‘lygos MXnk = 0 pagal 8 skyrelio lema

‘isplaukia

1 William Feller (1906–1970) – amerikieciu‘matematikas.



(12)|fnk(1)− 1| =

∣∣∣ ∫ ∞

−∞(eix − 1− ix)dFnk(x)

∣∣∣ ≤≤ 1

2

∫ ∞

−∞x2dFnk(x) =

12DXnk.

Kai n pakankamai dideli, remiantis 10 skyrelio lema ir (11) sa‘rysiu,∣∣ ln fnk(1)−

(fnk(1)− 1

)∣∣ ≤ |fnk(1)− 1|2.

Is (11), (12) ir (2) isplaukia∣∣∣ lnϕn(1)−kn∑k=1

(fnk(1)− 1

)∣∣∣ ≤ kn∑k=1

|fnk(1)− 1|2 ≤

≤ max1≤k≤kn

|fnk(1)− 1|kn∑k=1

|fnk(1)− 1| ≤

≤ 12

max1≤k≤kn

|fnk(1)− 1| → 0.

Kadangi lnϕn(1) → −1/2, tai

kn∑k=1

(fnk(1)− 1

)+

12→ 0,

kitaip tariant,

kn∑k=1

∫ ∞

−∞

(eix − 1− ix+

12x2)dFnk(x) → 0.

Taciau tada ir realioji dalis

(13)∞∑k=1

∫ ∞

−∞

(cosx− 1 +

12x2)dFnk(x) → 0.

Panagrinesime pointegraline‘funkcija

‘. Kai |x| ≥ 3,

cosx− 1 +12x2 ≥

(−2 +

14x2)

+14x2 >

14x2.

Kai |x| < 3, eilute

cosx− 1 +12x2 =

∞∑k=2

(−1)kx2k

(2k)!


yra alternuojanti. Todel, kai τ < |x| < 3,

cosx− 1 +12x2 ≥ x4

4!− x6

6!=x4

4!

(1− 9

5 · 6

)>

7τ2

240x2.

Is (13) ir i‘rodytu

‘nelygybiu

‘isplaukia Lindebergo sa

‘lyga. ut

Paminesime pora‘specialiu

‘Lindebergo teoremos atveju

‘.

1 isvada (Liapunovo teorema). Tarkime, kad X1, X2, ... yra neprik-lausomi atsitiktiniai dydziai, kuriu

‘bent vienas yra neissigime

‘s ir visi turi

2 + δ, δ > 0, eiles absoliuciuosius momentus. Pazymekime

B2n =

n∑k=1

DXk, Zn = B−1n

n∑k=1

(Xk −MXk).

Jei

(14) B−2−δn

n∑k=1

M |Xk −MXk|2+δ → 0,


P (Zn < x) → Φ(x),

kai n→∞.I‘r o d y m a s. Patikrinsime, ar teisinga Lindebergo sa

‘lyga. Pazymeje

‘MXk = ak, turime

B−2n

n∑k=1

∫|x−ak|>τBn

(x− ak)2dFXk(x) ≤

≤ B−2−δn τ−δ

n∑k=1

∫R

|x− ak|2+δdFXk(x).

Is (14) Liapunovo sa‘lygos isplaukia, kad teisinga ir Lindebergo sa

‘lyga. ut

2 isvada. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai X1, X2, ... yra vienodaipasiskirste

‘, turi vidurkius a ir teigiamas dispersijas σ2,

Zn = (σ√n)−1

( n∑k=1

Xk − na),

tai tolygiai x atzvilgiuP (Zn < x) → Φ(x),

kai n→∞.



I‘r o d y m a s. Ir siuo atveju pakaks patikrinti, ar teisinga Lindebergo

sa‘lyga. Pazymeje

‘dydziu

‘Xk pasiskirstymo funkcija

‘F ir pastebeje

‘, kad Bn =

= σn1/2, turime

B−2n

n∑k=1

∫|x−a|>τBn

(x− a)2dF (x) =

= σ−2

∫|x−a|>τσn1/2

(x− a)2dF (x).

Is dispersijos egzistavimo isplaukia, kad desines puses integralas konverguojai‘nuli

‘.

Sia‘teorema

‘nesunku i

‘rodyti ir nesiremiant Lindebergo teorema. Pakanka

dydziu‘Xk charakteristine

‘funkcija

‘uzrasyti pavidalu

f(t) = 1 + iat− 12σ2t2 + t2r(t)

(cia r(t) → 0, kai t → 0) ir pastebeti, kad normuotos sumos charakteristinefunkcija yra

a−ian1/2σ−1tfn

( t

σ√n

)=

= e−ian1/2σ−1t

(1 +

iat

σ√n− t2

2n+t2

2nr( t

σ√n

))n.

Jau ne karta‘taikytais metodais galima i

‘rodyti, kad ta charakteristine funkcija

konverguoja i‘exp(−t2/2). ut

2 ir 3 teoremose dareme prielaida‘, kad egzistuoja atsitiktiniu

‘dydziu

‘antrieji momentai. Taciau yra ir bendresniu

‘teoremu

‘, kuriose apsieinama be

tokio tipo sa‘lygu

‘.

4 teorema. Sakykime, Xn1, ..., Xnkn (n = 1, 2, ...) yra atsitiktiniu‘dydziu

‘seriju

‘seka ir kiekvienos serijos dydziai yra nepriklausomi. Pazymekime Sn =

= Xn1 + ...+Xnkn. Konstantu

‘seka an su sa

‘lygomis, kad

P (Sn − an < x) → Φ(x)

ir dydziai Xnk butu‘

nykstami, egzistuoja tada ir tik tada, kai kiekvienamτ > 0

kn∑k=1

∫|x|>τ

dFnk(x) → 0,

kn∑k=1

∫|x|≤τ

x2dFnk(x)−(∫

|x|≤τxdFnk(x)

)2→ 1;


cia Fnk yra dydzio Xnk pasiskirstymo funkcija.Sios teoremos i

‘rodyma

‘galima rasti, pvz., [28].

Bendro pobudzio teoremos apie atsitiktiniu‘

dydziu‘

sumu‘

asimptotini‘

normalu‘ji‘

pasiskirstyma‘

paprastai vadinamos centrinemis ribinemis teore-momis. Sis istorinis pavadinimas atsirado todel, kad normalusis desnis yralabai svarbus tikimybiu

‘teorijoje bei jos taikymuose. Praktikoje pasitaikanciu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘pasiskirstymai labai daznai buna normalieji arba mazai

nuo ju‘skiriasi. Siuo desniu grindziama matavimo paklaidu

‘teorija. Kiekvienas

matavimas yra susije‘s su dvieju

‘rusiu

‘paklaidomis: sisteminemis ir atsitik-

tinemis. Atsitiktines paklaidos priklauso nuo daugelio priezasciu‘. Sakykime,

sveriame kuna‘tiksliomis svarstyklemis. Bendra paklaida susidaro is elemen-

tariu‘ju

‘paklaidu

‘, kurios priklauso nuo atmosferos sa

‘lygu

‘(oro dregmes, tem-

peraturos bei tankio svyravimu‘, i

‘vairiu

‘oro sroviu

‘ir t. t.), ant svarstykliu

‘patenkanciu

‘dulkeliu

‘, nuo svarstykliu

‘pagrindo vibraciju

‘(jas sukelia vel

gausybe i‘vairiu

‘priezasciu

‘). Taigi priezasciu

‘, sukelianciu

‘nedideles paklaidas,

yra labai daug, ir bendra paklaida yra suma daugelio atsitiktiniu‘

dydziu‘

– arba nepriklausomu‘, arba labai mazai priklausomu

‘. Nors paprastai ir

nezinome atskiru‘demenu

‘pasiskirstymo, bet sumines paklaidos pasiskirsty-

mas yra labai artimas normaliajam, nes demenys paprastai tenkina Linde-bergo sa

‘lyga

‘, be to, juos galima laikyti nykstamais.

Praktikoje svarbu zinoti, kokiu greiciu atsitiktiniu‘

dydziu‘

sumos pa-siskirstymo funkcija konverguoja i

‘ribine

‘normalia

‘ja


‘.

Yra daug sio uzdavinio sprendimu‘. Suformuluosime viena

‘is ju

‘.

5 teorema. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydziai Xn (n = 1, 2, ...) turitreciuosius momentus,

B2n =

n∑k=1

DXk,

Cn =n∑k=1

M |X −MXk|3,

Zn = B−1n

n∑k=1

(Xk −MXk),

tai

(15) supx|P (Zn < x)− Φ(x)| ≤ cB−3

N Cn;

cia c – absoliuti konstanta.Tiksli maziausios galimos konstantos c reiksme nera zinoma, bet yra

i‘rodyta, kad ji tenkina nelygybes 0, 40973... = (3 +

√10)/(6

√2π) ≤ c <

< 0, 7975.



Jei atsitiktiniai dydziai yra vienodai pasiskirste‘ir ju

‘dispersijos yra σ2,

o tretieji centriniai absoliutieji momentai µ3, tai (15) nelygybes desine puselygi cµ3σ

−3n−1/2.Yra isvystyta ir nykstamu

‘dydziu

‘sumu

‘pasiskirstymu

‘konvergavimo i

‘kitus pasiskirstymus teorija. Ne kiekviena pasiskirstymo funkcija gali butiribine – tik vadinamosios neapreztai dalios funkcijos gali buti ribines.

Atsitiktinis dydisX vadinamas neapreztai daliu, jei kiekvienam naturalia-jam n jo pasiskirstymo funkcija yra n nepriklausomu

‘vienodai pasiskirsciusiu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sumos Xn1 + ... + Xnn pasiskirstymo funkcija. Atitinka-

mai charakteristine funkcija f yra vadinama neapreztai dalia, jei kiekvienamnaturaliajam n egzistuoja tokia charakteristine funkcija fn, kad f(t) = fnn (t),kitaip tariant, kiekvienam naturaliajam n pagrindine saknies reiksme f1/n

yra charakteristine funkcija. Atitinkama‘pasiskirstymo funkcija

‘taip pat va-

diname neapreztai dalia.Tiesiog is apibrezimo isplaukia, kad issigimusios, normaliosios ir Puasono

pasiskirstymo funkciju‘charakteristines funkcijos

eiat, eiat−σ2t2/2, eλ(eit−1)

yra neapreztai dalios.Patikrinti, ar charakteristine funkcija yra neapreztai dali, padeda sitokia

teorema.

6 (Levi1–Chincino) teorema. Funkcija f , apibrezta realiu‘ju‘

skaiciu‘

tieseje, yra neapreztai dali charakteristine funkcija tada ir tik tada, kai egzis-tuoja realusis skaicius α ir tokia aprezta nemazejanti funkcija Ψ, apibreztarealiu

‘ju‘

skaiciu‘

tieseje, kad

(16) f(t) = expiαt+

∫ ∞

−∞

(eitx − 1− itx

1 + x2

)1 + x2

x2dΨ(x)

;

pointegraline funkcija taske x = 0 laikoma lygia

limx→0

(eitx − 1− itx

1 + x2

)1 + x2

x2= −t2/2.

Jei susitarsime laikyti Ψ(−∞) = 0, o funkcija‘

Ψ – tolydzia is kaires (siesusitarimai nekeicia (15) integralo), tai (16) formule aprasys abipus viena-reiksme

‘atitikti

‘tarp neapreztai daliu

‘charakteristiniu

‘funkciju

‘ir dydziu

‘(α,Ψ).

Atkreipsime demesi‘, kad normaliajam desniui N(a, σ2)

α = a, Ψ(x) = 0, kai x ≤ 0,σ2, kai x > 0.

1 Paul Levy (1886–1971) – prancuzu‘matematikas.

Lokalioji ribine teorema 217

I‘rodoma, kad nykstamu

‘nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sumu

‘galimu

‘ribiniu


‘klase sutampa su neapreztai daliu

‘pasiskirsty-

mo funkciju‘klase. Yra zinomos butinos ir pakankamos konvergavimo i

‘duota

‘ja

‘funkcija

‘sa

‘lygos. Si teorija sukurta daugelio matematiku

‘pastangomis. Tarp

ju‘ypac minetini A. Chincinas, B. Gnedenka1, A. Kolmogorovas, P. Levi. Ta

teorija isdestyta [11, 13, 28].Pastaruoju metu vystoma nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sumu

‘ribiniu

‘teoremu

‘teorija, kai nereikalaujama, kad dydziai butu

‘nykstami (zr. [11]).

12. LOKALIOJI RIBINE TEOREMA

11 skyrelyje apibendrinome integraline‘

Muavro–Laplaso teorema‘. Dabar

musu‘

tikslas – apibendrinti to paties pavadinimo lokalia‘ja

‘teorema

‘. Ji i

‘ro-

dinejama vadinamiesiems gardeliskiems atsitiktiniams dydziams.Sakysime, kad atsitiktinis dydis X yra gardeliskas, jei jis yra diskretusis

ir jo reiksmes, i‘gyjamos su teigiamomis tikimybemis, priklauso kuriai nors

aritmetinei progresijai a+dk; cia a yra koks nors realusis skaicius, d – teigia-mas skaicius, o k = 0,±1,±2, ... Tos progresijos skirtumas d paprastai yravadinamas pasiskirstymo zingsniu.

Gardeliski yra atsitiktiniai dydziai, pasiskirste‘pagal binomini

‘, Puasono

desnius. Ju‘zingsnis lygus 1.

Skaicius a ir pasiskirstymo zingsnis d nera vienareiksmiskai nusakyti. Kaiatsitiktinis dydis yra pasiskirste

‘s pagal Puasono desni

‘, zingsnis d gali buti

lygus ne tik 1, bet ir bet kuriam is skaiciu‘1/2, 1/3, 1/4 ir t. t. Didziausias

tarp visu‘zingsniu

‘yra lygus 1.

Ir bendruoju atveju, jeiX reiksmes, i‘gyjamos su teigiamomis tikimybemis,

priklauso progresijai a+ dk, tai jos priklauso ir progresijai a′ + d′k, kai d/d′yra sveikasis skaicius, a′ = a + ld′, l – sveikasis skaicius. Taciau, jei X neraissigime

‘s, tai tarp pasiskirstymo zingsniu

‘yra didziausias.

Jei gardelisko atsitiktinio dydzio reiksmes, i‘gyjamos su teigiamomis ti-

kimybemis, yra pavidalo a + kd, kur k i‘gyja kurias nors sveika

‘sias reiksmes

ir visu‘

tu‘k bendras didziausias daliklis yra D, tai tos reiksmes taip pat

priklauso progresijai a +Ddm, m = 0,±1,±2, ...; didziausias pasiskirstymozingsnis yra Dd.

1 lema. Atsitiktinis dydis su carakteristine funkcija f(t) yra gardeliskastada ir tik tada, kai egzistuoja t0 6= 0 su sa

‘lyga |f(t0)| = 1. Jei gardeliskas

atsitiktinis dydis nera issigime‘s, tai toks maziausias teigiamas t0 egzistuoja;

tada didziausias pasiskirstymo zingsnis yra 2π/t0.I‘r o d y m a s. 1. Jei atsitiktinis dydis i

‘gyja reiksmes a+dk su tikimybemis

pk, tai jo charakteristine funkcija yra

1 Boris Gnedenko (g. 1912m.) – ukrainieciu‘kilmes matematikas.



f(t) = eiat∑k

pkeidkt.

Is ciaf(2πd

)= e2πia/d

∑k

pk = e2πia/d,

vadinasi, |f(2π/d)| = 1.2. Tarkime, kad kuriam nors t0 6= 0 turime |f(t0)| = 1. Tada f(t) =

= exp(iΘ) su realiuoju skaiciumi Θ. Jei F yra tiriamojo atsitiktinio dydziopasiskirstymo funkcija, tai ∫ ∞

−∞eit0xdF (x) = eiΘ,

arba ∫ ∞

−∞cos(t0x−Θ)− 1dF (x) = 0.

Kadangi pointegraline funkcija yra neteigiama, tai F gali dideti tik taskuose

Θt0

+2πt0k (k = 0,±1, ...). ut

1 (Gnedenkos) teorema. Jei vienodai pasiskirste‘

nepriklausomi at-sitiktiniai dydziai X1, X2, ... yra gardeliski, i

‘gyja reiksmes su teigiamomis

tikimybemis is progresijos a+dk, be to, turi vidurkius A ir dispersijas σ2 > 0,tai

σ√n

dP( n∑ν=1

Xν = na+ dm)−

− 1√2π

exp−((a−A)n+ dm

)22σ2n

−−−−−→n→∞

0

tolygiai m atzvilgiu tada ir tik tada, kai d yra didziausias pasiskirstymozingsnis.

I‘

r o d y m a s. 1. P a k a n k a m u m a s. Tarkime, kad d yradidziausias pasiskirstymo zingsnis. Pazymekime f dydziu

‘Xn charakteristine

‘funkcija

‘. Suma Sn = X1 + ...+Xn priklausys progresijai na+ dk. Pazymeje

‘

Pn(k) = P (Sn = an+ dk),

sumos Sn charakteristine‘funkcija

‘galime uzrasyti pavidalu

fn(t) = eiant∑n

Pn(k)eidkt.


Furje1 koeficientas

Pn(m) =d

2π

∫ π/d

−π/dfn(t)e−i(an+dm)tdt =

=d

2πσ√n

∫ πσ√n/d

−πσ√n/d

fn( u

σ√n

)exp

− i(an+ dm)u

σ√n

du.

Jeiϕ(t) = f

( t

σ√n

)exp(− iAt

σ√n

),

tai normuotos sumos

(1)Sn − nA

σ√n

charakteristine funkcija lygi ϕn(t). Todel

(2)σ√n

dPn(m) =

12π

∫ πσ√n/d

−πσ√n/d

ϕn(t)e−itwdt;

cia, kad butu‘trumpiau, pazymeta

w =(a−A)n+ dm

σ√n

.

Kadangi (1) yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘N(0, 1),

tai

(3) ϕn(t) → e−t2/2

tolygiai, kai |t| ≤ T, T – bet koks fiksuotas skaicius.f(t) exp(−iAt) yra atsitiktinio dydzio Xν − A charakteristine funkcija.

Sio dydzio vidurkis yra 0, o dispersija σ2. Todel pagal 8.6 teorema‘

f(t)e−iAt = 1− 12σ2t2 + o(t2).

Pagal 1.2 lema‘

|f(t)e−iAt| ≤ 1− 14σ2t2 ≤ e−σ

2t2/4,

kai |t| ≤ δ, δ > 0 – pakankamai mazas skaicius. Is cia

(4) |ϕn(t)| ≤ e−t2/4,

1 Joseph Fourier (1768–1830) – prancuzu‘matematikas.



kai |t| ≤ δσ√n.

Kadangi d yra didziausias pasiskirstymo zingsnis, tai pagal 1 lema‘galima

rasti toki‘c > 0, kad butu

‘ |f(t)| < e−c,

kai δ ≤ |t| ≤ π/d. Vadinasi,

(5) |ϕn(t)| < e−cn,

kai δσ√n ≤ |t| ≤ πσ

√n/d.

Atsizvelge‘i‘(3), (4) ir (5) i

‘vercius, (2) integrala

‘suskaidysime i

‘kelis inte-

gralusσ√n

dPn(m) =

12π

(∫|t|≤T

(ϕn(t)− e−t

2/2)e−itwdt+

+∫ ∞

−∞e−t

2/2−itwdt−∫|t|>T

e−t2/2−itwdt+

+∫T<|t|≤δσ

√n

ϕn(t)e−itwdt+

+∫δσ√n<|t|≤πσ

√n/d

ϕn(t)e−itwdt)

=

= I1 + I2 + I3 + I4 + I5.

Pirmasis integralas pagal (3) konverguoja i‘nuli

‘, kai n → ∞. 8.4 pavyzdyje

parodeme, kad

I2 =e−w

2/2

√2π

.

I‘vertinsime trecia

‘ji‘integrala

‘

|I3| ≤12π

∫|t|>T

e−t2/2dt ≤ 1

πT

∫ ∞

T

te−t2/2dt =

e−T2/2

πT.

Pagal (4)

|I4| ≤1π

∫ ∞

T

e−t2/4dt ≤ 1

πT

∫ ∞

T

te−t2/4dt =

2e−T2/4

πT.

Pagaliau pagal (5)

|I5| <e−cn

π

(πd− δ)σ√n.

Todel σ√nd−1Pn(m) nuo (2π)−1/2 exp(−w2/2) skiriasi kiek norima mazu

dydziu, jei tik T ir n yra pakankamai dideli.


2. B u t i n u m a s. Tarkime, kad galimu‘Sn reiksmiu

‘, i

‘gyjamu

‘su

teigiamomis tikimybemis, skirtumu‘, padalytu

‘is d, bendras didziausias da-

liklis yra h. Skirtumas tarp artimiausiu‘galimu

‘sumos reiksmiu

‘negali buti

mazesnis uz dh. Jei d nera didziausias, tai h > 1 visiems n. Tada bus tokiu‘

sveiku‘ju

‘m, kad visiems n tikimybes Pn(m) = 0. ut

Tarkime, kad normuotos atsitiktiniu‘dydziu

‘sumos turi ribini

‘normalu

‘ji‘

pasiskirstyma‘. Kyla klausimas, ar tu

‘sumu

‘tikimybiniai tankiai, jei jie egzis-

tuoja, konverguoja i‘

normaliojo pasiskirstymo tanki‘. Cia, matyt, reikia

papildomu‘

sa‘lygu

‘. Juk is Fn konvergavimo i

‘Φ be papildomu

‘sa

‘lygu

‘dar

neisplaukia, kad isvestines F ′n, jei jos egzistuoja, konverguoja i‘Φ′. I

‘rodysime

viena‘

is paprastesniu‘

tokio tipo teoremu‘. Mums reikes dvieju

‘pagalbiniu

‘teiginiu

‘.

2 lema. Visiems realiesiems t∫ ∞

−∞

1− cos txx2

dx = π|t|.

I‘r o d y m a s. Pakanka i

‘rodyti ta

‘lygybe

‘, kai t = 1. Lygybes∫ ∞

0

1− cosxx2

dx =∫ ∞

0

1x2

(∫ x

0

sinudu)dx

desineje puseje keiciame integravimo tvarka‘∫ ∞

0

1− cosxx2

dx =∫ ∞

0

(∫ ∞

u

dx

x2

)sinudu =

∫ ∞

0

sinuu

du =π

2

pagal 9.3 lema‘. ut

3 lema. Jei g yra aprezta ir integruojama Lebego prasme funkcija visojerealiu

‘ju‘

skaiciu‘

tieseje,

(6) ψ(t) =∫ ∞

−∞eitxg(x)dx

yra visiems t neneigiama, tai ir ψ yra integruojama Lebego prasme realiu‘ju‘

skaiciu‘

tieseje.I‘

r o d y m a s. Nesunku i‘rodyti, kad ψ yra tolydi (plg. 8.3 teoremos

i‘rodyma

‘). Paeme

‘bet kuri

‘teigiama

‘y, is (6), sukeite

‘integravimo tvarka

‘,

gauname ∫ y

−yψ(t)dt = 2

∫ ∞

−∞g(x)

sinxyy

dx.

Paeme‘teigiama

‘T , dar karta

‘integruojame ka

‘tik gauta

‘lygybe

‘



(7)∫ 2T

0

(∫ y

−yψ(t)dt

)dy = 2

∫ ∞

−∞g(x)

1− cos 2Txx2

dx.

Kaireje puseje keiciame integravimo tvarka‘

ir remiames sa‘lyga, kad ψ yra

neneigiama funkcija. Gauname∫ 2T

0

(∫ y

−yψ(t)dt

)dy =

∫ 2T

−2T

ψ(t)(2T − |t|)dt ≥ T

∫ T

−Tψ(t)dt.

Jei K yra konstanta, aprezianti funkcija‘g, tai pagal 2 lema

‘∫ ∞

−∞g(x)

1− cos 2Txx2

dx ≤ K

∫ ∞

−∞

1− cos 2Txx2

dx = 2πTK.

Is (7) isplaukia ∫ T

−Tψ(t)dt ≤ 2πK.

Lieka remtis integralo savybemis, pvz., V.9.14 teorema. ut2 (Gnedenkos) teorema. Jei nepriklausomi vienodai pasiskirste

‘atsi-

tiktiniai dydziai X1, X2, ... turi vidurkius a, dispersijas σ2 > 0 ir, pradedantkuriuo nors n0, normuotos sumos

Zn =X1 + ...+Xn − na

σ√n

turi tanki‘pn(x), tai

pn(x) →1√2πe−x

2/2,

kai n→∞, tolygiai x atzvilgiu tada ir tik tada, kai egzistuoja naturalusis n1,kuriam pn1(x) yra apreztas.

P a s t a b a. Is 9 skyrelio isplaukia: jei egzistuoja tankis pn0 , tai egzistuojair pn, kai n > n0.

I‘r o d y m a s. Sa

‘lygos butinumas yra akivaizdus. I

‘rodinesime jos pa-

kankamuma‘. Pirmiausia i

‘rodysime, kad atsitiktinio dydzio Zn charakteristine

funkcija yra integruojama visoje tieseje R, kai n ≥ 2n1.Pazymekime f dydziu

‘Xk charakteristines funkcijas,

ϕ(t) = f( t

σ√n

)exp(− iat

σ√n

).

Tada sumos Zn charakteristine funkcija yra ϕn(t). Imkime kita‘

atsitiktini‘

dydi‘Z ′n, nepriklausoma

‘nuo Zn, bet taip pat pasiskirsciusi

‘. Atsitiktinio

dydzio Zn − Z ′n charakteristine funkcija yra |ϕn(t)|2. Is 9 skyrelio isplaukia,kad atsitiktinio dydzio Zn1 − Z ′n1

tankis qn1 yra apreztas. Kadangi


|ϕ2n1(t)| =∫ ∞

−∞eitxqn1(x)dx,

tai pagal 3 lema‘|ϕ2n1 |, taigi ir |f |2n1 , yra integruojamos tieseje R. Is nely-

gybes |f(t)| ≤ 1 isplaukia, kad |f |n, vadinasi, ir ϕn, yra integruojamos, kain ≥ 2n1.

Remiantis 9.3 teorema, kai n ≥ 2n1,

pn(x) =12π

∫ ∞

−∞e−itxϕn(t)dt.

Kaip ir 1 teoremos i‘rodyme, suskaidysime si

‘integrala

‘i‘kelis:

(8)

pn(x) =12π

(∫|t|≤T

(ϕn(t)− e−t

2/2)e−itxdt+

+∫ ∞

−∞e−t

2/2−itxdt−∫|t|>T

e−t2/2−itxdt+

+∫T<|t|≤δσ

√n

ϕn(t)e−itxdt+∫δσ√n<|t|

ϕn(t)e−itxdt)

=

= I1 + I2 + I3 + I4 + I5;

cia T yra teigiamas fiksuotas skaicius, δ – pakankamai mazas teigiamasskaicius, kuri

‘parinksime veliau.

Samprotaudami visai taip pat, kaip ir 1 teoremos i‘rodyme, gauname, kad

I1 → 0, kai n→∞, tolygiai x atzvilgiu,

I2 =e−x

2/2

√2π

, |I3| ≤e−T

2/2

πT, |I4| ≤

2e−T2/4

πT.

Lieka i‘vertinti I5.

Is funkcijos |f |2n1 integruojamumo isplaukia, kad egzistuoja δ > 0 susa

‘lyga |f(t)| ≤ η < 1, kai |t| ≥ δ. Todel

|I5| ≤12π

∫|t|>δσ

√n

∣∣∣f( t

σ√n

)∣∣∣ndt ≤≤ ηn−2n1σ

√n/(2π)

∫|t|>δ

|f(t)|2n1dt−−−−−→n→∞

0.

Is (8) isplaukia, kad pn(x) ir (2π)−1/2 exp(−x2/2) kiek norima mazaiskiriasi, kai T ir n pakankamai dideli. ut



13. ATSITIKTINIU‘

VEKTORIU‘

CHARAKTERISTINES FUNKCIJOS

Ir daugiamaciu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘teorijoje ju

‘charakteristines funkcijos vai-

dina svarbu‘vaidmeni

‘.

Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xs), apibrezto tikimybineje erdvejeΩ,A, P, charakteristine funkcija vadinsime funkcija

‘, apibrezta

‘visiems t =

= (t1, ..., ts) ∈ Rs,

fX(t) = f(X1,...,Xs)(t1, ..., ts) = Mei(t1X1+...+tsXs) =

=∫

Ω

ei(t1X1(ω)+...+tsXs(ω)

)P (dω) =

=∫Rs

ei(t1x1+...+tsxs)PX1,...,Xs(dx1, ..., dxs) =

=∫Rs

ei(t1x1+...+tsxs)dF (x1, ..., xs).

Tokia funkcija kiekvienam atsitiktiniam vektoriui X yra vienareiksmiskainusakyta.

Daugiamaciu‘

atsitiktiniu‘

dydziu‘

charakteristiniu‘

funkciju‘

teorija yraanalogiska vienamaciu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘atitinkamu

‘funkciju

‘teorijai. Is-

vardysime ju‘savybes, palikdami i

‘rodymus skaitytojui. Visur f reiskia cha-

rakteristine‘funkcija

‘.

1. f(0) = 1.2. |f | ≤ 1.3. f(−t) = f(t); cia bruksnys reiskia kompleksini

‘jungtini

‘dydi

‘.

4. f yra tolygiai tolydi visoje erdveje Rs.5. Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xs) komponento Xk charakteris-

tine funkcijafXk

(tk) = f(X1,...,Xs)(0, ..., 0︸︷︷︸k−1

, tk, 0, ..., 0).

6. Jei a1, ..., as, b1, ..., bs yra konstantos, tai

f(a1X1+b1,...,asXs+bs)(t1, ..., ts) =

= ei(b1t1+...+bsts)f(X1,...,Xs)(a1t1, ..., asts).

7. Jei A yra s× s realiu‘ju

‘skaiciu

‘matrica, tai atsitiktinio vektoriaus XA

charakteristine funkcijafXA(t) = fX(tA′).


‘sumos X1 + ...+Xs charakteristine funkcija

f(X1+...+Xs)(t1) = f(X1,...,Xs)(t1, ..., t1).


‘charakteristines funkcijos 225

9. Jei atsitiktiniai dydziai X1, ..., Xs yra nepriklausomi, tai

f(X1,...,Xs)(t1, ..., ts) = fX1(t1)...fXs(ts).

10. Jei egzistuoja momentasMXk11 ...Xks

s , tai charakteristine funkcija turiisvestine

‘ ∂k1+...+ksf(t1, ..., ts)∂tk11 ...∂t

kss

,

be to,

MXk11 ...Xks

s = i−k1−...−ks

(∂k1+...+ksf(t1, ..., ts)

∂tk11 ...∂tkss

)t1=...=ts=0

.

11. Teisinga a p v e r t i m o t e o r e m a: jei I yra intervalasa1 ≤ x1 < b1, ..., as ≤ xs < bs ir tikimybe, kad atsitiktinis vektorius Xpriklausys to intervalo briaunoms, yra lygi nuliui, tai

4IF = P (X ∈ I) =

= limT→∞

∫ T

−T...

∫ T

−Tf(t1, ..., ts)

s∏k=1

eiakt − eibkt

itkdt1...dts.

12. Charakteristine funkcija vienareiksmiskai nusako pasiskirstymo funk-cija

‘.13. Jei daugiamaciu


‘seka Fn (n = 1, 2, ...) kon-

verguoja i‘

pasiskirstymo funkcija‘F visuose taskuose x = (x1, ..., xs) su

sa‘lyga, kad kiekvienam k (1 ≤ k ≤ s) taskas xk yra vienamates marginalio-

sios pasiskirstymo funkcijos F (∞, ...,∞, yk,∞, ...,∞) tolydumo taskas, taiatitinkamos charakteristines funkcijos fn (n = 1, 2, ...) konverguoja visiemst ∈ Rs i

‘funkcijos F charakteristine

‘funkcija

‘.

Jei charakteristines funkcijos fn (n = 1, 2, ...) visiems t ∈ Rs konver-guoja i

‘kokia

‘nors funkcija

‘f , tolydzia

‘nuliniame taske, tai atitinkamos pa-

siskirstymo funkcijos Fn (n = 1, 2, ...) konverguoja anksciau nurodyta prasmei‘pasiskirstymo funkcija

‘F , ir f yra F charakteristine funkcija.

Atitiktis tarp charakteristiniu‘

ir pasiskirstymo funkciju‘

bus formuluo-jama paprasciau, jei pasiskirstymo funkcijas pakeisime tikimybiniais matais.Kaip zinome, tarp pasiskirstymo funkciju

‘ir tikimybiniu

‘matu

‘yra abi-

pus vienareiksme atitiktis. Todel abipus vienareiksme atitiktis yra ir tarpcharakteristiniu

‘funkciju

‘ir tikimybiniu

‘matu

‘.

Tarkime, s-mateje erdveje turime tikimybiniu‘matu

‘seka

‘Pn (n = 1, 2, ...).

Sakysime, kad ji silpnai konverguoja i‘

tikimybini‘

mata‘P , jei kiekvienai

tolydziai apreztai funkcijai ϕ(x) turime∫Rs

ϕ(x)Pn(dx) →∫Rs

ϕ(x)P (dx).



Galima butu‘

i‘rodyti, kad tikimybiniai matai Pn silpnai konverguoja i

‘tikimybini

‘mata

‘P tada ir tik tada, kai kiekvienam t ∈ Rs charakteristines

funkcijos

fn(t) =∫Rs

eitx′Pn(dx)

konverguoja i‘charakteristine

‘funkcija

‘

f(t) =∫Rs

eitx′P (dx).


‘, apskaiciuosime daugiamacio atsitiktinio dydzio, pasi-

skirsciusio pagal normalu‘ji‘desni

‘, charakteristine

‘funkcija

‘. Imkime normalu

‘ji‘

pasiskirstyma‘su tankio funkcija

p(x1, ..., xs) =

√|A|

(2π)s/2e−1/2Q(x1−a1,...,xs−as)

(zr. II.5 skyreli‘); cia Q(x) = xAx′ yra teigiamai apibrezta kvadratine forma

su matrica A; a = (a1, ..., as). Sia‘tankio funkcija

‘atitinkanti charakteristine

funkcija yra

f(t) =

√|A|

(2π)s/2eiat

′∫ ∞

−∞eitx

′−1/2xAx′dx.

Integrala‘

apskaiciuosime visai taip pat, kaip ir II.5 skyrelyje. Paeme‘

tokia‘

ortogonalia‘matrica

‘C, kad CAC ′ = D butu

‘diagonalioji matrica su diago-

naliaisiais elementais σ21 , ..., σ

2s , keiciame x = yC ir t = vC. Tada

itx′ − 1/2xAx′ = ivy′ − 1/2yDy′ = is∑

k=1

(vkyk − σ2ky

2k/2)

ir, remiantis 8.4 pavyzdziu,

f(t) =

√|A|

(2π)s/2eiat

′s∏

k=1

∫ ∞

−∞eivkyk−σ2

ky2k/2dyk =

= eiat′√|A|

s∏k=1

|σk|−1e−v2k/(2σ

2k) = eiat

′−1/2vD−1v′ =

= eiat′−1/2tC−1D−1(C−1)′t′ = eiat

′−1/2tA−1t′ .

Isskleide‘

charakteristine‘

funkcija‘

nulinio tasko aplinkoje pagal Teiloroformule

‘, turime

f(t) = 1 + iat′ − 12(at′)2 − 1

2tA−1t′ + o(t21 + ...+ t2s).


‘charakteristines funkcijos 227

Antra vertus, atsitiktinio vektoriausX = (X1, ..., Xs), turincio antruosiusmomentus, charakteristine funkcija nulinio tasko aplinkoje lygi

1 + i(MX1, ...,MXs)t′ −12tSt′ + o(t21 + ...+ t2s);

cia

S =

∥∥∥∥∥∥∥MX2

1 MX1X2 ... MX1Xs

MX2X1 MX22 ... MX2Xs

... ... ... ...MXsX1 MXsX2 ... MX2

s

∥∥∥∥∥∥∥ .Todel

a = (MX1, ...,MXs)

ir matricos A−1 = (ajk) elementas

ajk = MXjXk −MXjMXk

yra dydziu‘Xj , Xk kovariacija. Vadinasi, A−1 yra atsitiktinio vektoriaus X

kovariaciju‘

matrica. Taigi s-macio atsitiktinio dydzio, pasiskirsciusio pagalnormalu

‘ji‘desni

‘, charakteristine funkcija yra

f(t) = eiat′−1/2tHt′ ;

cia H yra simetrine teigiamai apibrezta matrica. Jei H yra diagonalioji ma-trica, tai charakteristine funkcija yra pavidalo

eiat′−(t21σ

21+...+t2sσ

2s)

su teigiamais σ21 , ..., σ

2s . Tarkime, kad kuris nors is tu

‘skaiciu

‘, sakysime, σ2

skonverguoja i

‘nuli

‘. Pagal 13 savybe

‘riba taip pat yra charakteristine funkcija

su atitinkama pasiskirstymo funkcija. Taciau visa tikimybe bus sukoncentruo-ta hiperplokstumoje xs = 0. Tai bus (s−1)-matis normalusis pasiskirstymas,neturintis tankio s-mateje erdveje.

Del patogumo desnius su charakteristinemis funkcijomis

eiat′−1/2tHt′ ,

kai H yra simetriska neneigiamai apibrezta matrica, taip pat laikysime nor-maliaisiais; kai H nera teigiamai apibrezta, turesime issigimusius s-maciusnormaliuosius desnius.

IV skyriuje mums pravers sitoks teiginys.

Teorema. Normaliojo atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xs) kompo-nentai X1, ..., Xs yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai jie kas du nekore-liuoti.



I‘r o d y m a s. Jei atsitiktiniai dydziai Xj ir Xk yra nepriklausomi, tai

jie yra ir nekoreliuoti. Todel reikia i‘rodyti tik atvirkstini

‘teigini

‘. Tarkime, kad

vektoriaus X komponentai yra kas du nekoreliuoti. Tada jo kovariaciju‘matri-

cos A−1 = (ajk) elementai ajk = 0, kai j 6= k. Vektoriaus X charakteristinefunkcija yra

fX(t) =s∏

k=1

eiaktk−akkt2k/2,

o jo komponento Xk charakteristine funkcija

fXk(tk) = fX(0, ..., 0, tk, 0, ..., 0) = eiaktk−akkt

2k/2.

Vadinasi,fX(t) = fX1(t1)...fXs

(ts),

arba pagal Fubinio teorema‘

fX(t) =s∏

k=1

∫ ∞

−∞eitkxkdFXk

(xk) =

=∫ ∞

−∞...

∫ ∞

−∞ei(t1x1+...+tsxs)dFX1(x1)...dFXs

(xs).

Kadangi charakteristine funkcija vienareiksmiskai nusako pasiskirstymo funk-cija

‘, tai visiems x1, ..., xs

FX(x1, ..., xs) = FX1(x1)...FXs(xs).

Tai ir reiskia, kad komponentai X1, ..., Xs yra nepriklausomi. ut

14. ATSITIKTINIO PROCESO SA‘VOKA

Jau II.3 skyrelyje uzsimineme, kad daznai atsitiktiniams reiskiniams aprasytiir analizuoti nepakanka atskiru

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘, bet reikia istisu

‘ju

‘sistemu

‘.

Tam reikalui i‘vedeme atsitiktinio vektoriaus, t. y. baigtines atsitiktiniu

‘dydziu

‘sistemos, sa

‘voka

‘. Taciau daznai ir to maza. Reikia ir begaliniu

‘sistemu

‘. An-

tai, skrendancio lektuvo atstumas nuo zemes pavirsiaus kiekvienu apibreztolaiko momentu yra atsitiktinis dydis. Ta

‘atstuma

‘kuriuo nors skridimo laiko-

tarpiu aprasys begaline atsitiktniu‘dydziu

‘sistema. Kitas pavyzdys: maitini-

mo terpeje auginamos bakterijos. Ju‘skaiciaus kitima

‘kuriuo nors laiko tarpu

taip pat galesime nusakyti begaline atsitiktiniu‘dydziu

‘sistema. Panasiai yra

su radioaktyviosios medziagos atomu‘, suskylanciu

‘per kuri

‘nors laikotarpi

‘,

skaiciumi, pokalbiu‘telefonu per kuri

‘nors laiko tarpa

‘skaiciumi, elektros ener-

gijos kiekiu, sunaudotu per kuri‘nors laikotarpi

‘Vilniuje, ir t. t.

Atsitiktinio proceso sa‘voka 229

Visais minetais atvejais turime kokia‘nors kintancia

‘sistema

‘, kuria

‘veikia

atsitiktiniai faktoriai. Kiekvienu laiko momentu t ja‘galima nusakyti atsitik-

tiniu dydziu X(t). Kai t kinta, gauname atsitiktiniu‘dydziu

‘sistema

‘X(t),

priklausancia‘nuo parametro t. Sakome, jog turime atsitiktini

‘procesa

‘. Ma-

tematiniu poziuriu visiskai nesvarbu, kad t yra laikas. Gali buti uzdaviniu‘,

kuriu‘matematinis modelis yra atsitiktiniu

‘dydziu

‘sistema, priklausanti nuo

parametru‘, i

‘gyjanciu

‘reiksmes is bet kokios prigimties aibes.

Dabar apibresime atsitiktini‘procesa

‘grieztai.

Sakykime, duota tikimybine erdve Ω,A,P ir dar kokia nors netusciaaibe T . Atsitiktiniu (tikimybiniu, stochastiniu) procesu vadiname atsitiktiniu

‘dydziu

‘sistema

‘X(t), t ∈ T, nusakyta

‘toje tikimybineje erdveje. Jei norime

nurodyti ir tikimybine‘

erdve‘, galime rasyti pilniau Ω,A, P,X(t), t ∈ T.

Taigi atsitiktinis procesas yra dvieju‘argumentu

‘funkcija X(t, ω), apibrezta

aibeje T ×Ω ir kiekvienam t ∈ T ismatuojama σ algebros A atzvilgiu. Para-metras t is tradicijos paprastai vadinamas laiku, nors jis gali buti bet kokiosprigimties. Tas pavadinimas atsirado istoriskai, nes pradzioje tikimybiu

‘teori-

jai teko nagrineti tik tokius atsitiktinius procesus, kuriuose parametras t istikru

‘ju

‘buvo laikas.

Nepriklausomu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘sekos, kurias nagrinejome ankstesniuo-

se skyreliuose,X1, X2, ... yra atsitiktiniai procesai, kuriems T = 1, 2, ....Procesas yra ir atsitiktiniu

‘dydziu

‘daliniu

‘sumu

‘Sn = X1 + ... + Xn (n =

= 1, 2, ...) seka. Procesus, kuriems T yra visu‘sveiku

‘ju

‘skaiciu

‘seka ar jos dalis

arba bet kokia baigtine arba skaiti (sutvarkyta) aibe, vadinsime diskreciojolaiko procesais, arba atsitiktinemis sekomis.

Jei T yra baigtinis arba begalinis realiu‘ju

‘skaiciu

‘intervalas, tai X(t), t ∈

∈ T vadinamas tolydziojo laiko procesu. Pavyzdys gali buti vadinamasis ve-duoklinis procesas. Jis nusakomas sitaip. Imkime koki

‘nors atsitiktini

‘dydi

‘Y (ω) ir du fiksuotus skaicius a, b. Tada procesas

X(t, ω) = Y (ω)(t− a) + b,

kai t ∈ R, yra vadinamas veduokliniu.Atsitiktinio proceso sa

‘voka

‘galima apibendrinti. Tarkime, kad, be tikimy-

bines erdves Ω,A,P ir aibes T , turime macia‘

erdve‘Γ, E. Atsitiktine

funkcija, arba atsitiktiniu procesu, vadiname sistema‘funkciju

‘X(t, ω), t ∈

∈ T, apibreztu‘

aibeje T × Ω, i‘gyjanciu

‘reiksmes is aibes Γ ir kiekvienam

t ∈ T bei E ∈ E tenkinanciu‘sa

‘lyga

‘ω : X(t, ω) ∈ E) ∈ A. Erdve Γ, E

paprastai vadinama proceso busenu‘, arba fazine, erdve.

Jei T yra erdves Rs aibe, tai, uzuot kalbeje‘

apie atsitiktini‘

procesa‘,

kalbame apie atsitiktini‘

lauka‘.

Atsitiktinis procesas, kaip mateme, yra dvieju‘

argumentu‘

funkcija. Jeifiksuosime ω ∈ Ω, tai gausime vieno argumento funkcija

‘X(t), t ∈ T , kuri

paprastai vadinama proceso trajektorija, arba realizacija. Realiai stebedamiatsitiktini

‘procesa

‘, faktiskai stebime viena

‘is jo realizaciju

‘.



Su atsitiktiniu procesu galime susieti jo trajektoriju‘

tikimybine‘

erdve‘.

Imkime kuria‘nors funkciju

‘x(t), t ∈ T , erdve

‘Ξ, kuriai priklauso trajektorijos

X(t). Pazymekime F tos erdves poaibiu‘σ algebra

‘, generuota

‘aibiu

‘pavidalo

C = x ∈ Ξ : x(t1) ∈ E1, ..., x(tn) ∈ En su bet kuriuo n, bet kuriaist1, ..., tn ∈ T ir bet kuriomis aibemis E1, ..., En ∈ E .

Tokios aibes vadinamos cilindrinemis (zr. V.10 skyreli‘). Cilindriniu

‘aibiu

‘baigtines sa

‘jungos sudaro algebra

‘, generuojancia

‘F . Procesas X(t, ω) nusako

matu‘erdves Ω,A atvaizdi

‘erdveje Ξ,F, nes kiekvienai cilindrinei aibei

C turime ω : X(·, ω) ∈ C ∈ A, vadinasi, ir kiekvienai D ∈ F teisin-gas sa

‘rysis ω : X(·, ω) ∈ D ∈ A. Tas atvaizdis erdveje Ξ,F indukuoja

tikimybini‘mata

‘PX , aprasoma

‘lygybe PX(D) = P (ω : X(·, ω) ∈ D). Trejetas

Ξ,F , PX ir vadinamas trajektoriju‘

tikimybine erdve.Jei X(t) yra koks nors procesas, o t1, ..., tn ∈ T – fiksuotos parametro t

reiksmes, tai X(t1), ..., X(tn) yra daugiamatis atsitiktinis dydis. Tokiu‘dydziu

‘pasiskirstymai vadinami atsitiktinio proceso baigtiniamaciais pasiskirstymais.Jei turime atsitiktini

‘procesa

‘, tai visi jo baigtiniamaciai pasiskirstymai yra

vienareiksmiskai nusakyti. Kyla klausimas, ar visi baigtiniamaciai pasiskirsty-mai taip pat nusako atsitiktinio proceso pasiskirstyma

‘. I

‘tai atsako Kol-

mogorovo teorema (zr. V.10 skyreli‘): jei fazine erdve yra (R,B) ir visi baig-

tiniamaciai pasiskirstymai suderinti, tai jie vienareiksmiskai nusako procesopasiskirstyma

‘. Sis teiginys teisingas ir tada, kai Γ yra separabilioji metrine

erdve, o E – jos Borelio aibiu‘σ algebra.

Praktiniams taikymams labai svarbios i‘vairios specialios atsitiktiniu

‘pro-

cesu‘

klases: procesai su nepriklausomais pokyciais, Markovo procesai irt. t. Juos apibudinant, vienaip ar kitaip nusakomas priklausomumas tarpatsitiktiniu

‘dydziu

‘X(t), t ∈ T . Su keliais paprasciausiais procesais susipa-

zinsime kituose skyreliuose.

15. MARKOVO GRANDINES

Prie paprasciausiu‘

procesu‘

priskiriamos vadinamosios Markovo grandines.Nagrinesime atsitiktini

‘procesa

‘Ω,A, P,X(t), t ∈ T, i

‘gyjanti

‘reiksmes is

macios erdves Γ, E. Laikysime T = 0, 1, ..., o busenu‘erdve

‘Γ – baigtine

arba skaicia. Busenas zymesime tiesiog naturaliaisiais skaiciais. Sakysime, kadprocesas yra Markovo grandine (tiksliau: diskreciojo laiko Markovo grandine),jei bet kuriam naturaliajam skaiciui n ir bet kuriems k, j0, j1, ..., jn−2, j ∈ Γteisingos lygybes

(1)P(X(n) = k|X(0) = j0, X(1) = j1, ...

..., X(n− 2) = jn−2, X(n− 1) = j)

= P(X(n) = k|X(n− 1) = j

).

Remdamiesi II.10 skyrelio sa‘lygines tikimybes sa

‘voka, sias lygybes galime

uzrasyti sitaip:

Markovo grandines 231

P(X(n) = k|X(0), ..., X(n− 1)

)= P

(X(n) = k|X(n− 1)

).

(1) tikimybe‘vadinsime perejimo is j-osios busenos i

‘k-a

‘ja‘

busena‘

tikimybeir zymesime p(n)

jk . Matrica

π(n) =

∥∥∥∥∥∥p(n)11 p

(n)12 ...

p(n)21 p

(n)22 ...

... ... ...

∥∥∥∥∥∥vadinama perejimo matrica. Aisku,∑

k

p(n)jk = 1,

kai sumuojama pagal visas galimas busenas. Apskritai, kiekviena kvadratinematrica, sudaryta is neneigiamu

‘elementu

‘, vadinama stochastine, jei kiekvie-

nos jos eilutes elementu‘suma yra lygi 1.

PazymesimeP(X(0) = k

)= p0

k (k = 1, 2, ...).

Sios tikimybes vadinamos pradinemis tikimybemis. Ir cia

(2)∑k

p0k = 1.

Nagrinejant Markovo grandines, daznai vartojama sitokia terminologija.Kalbama apie fizine

‘sistema

‘, kuri gali buti vienoje is busenu

‘, sunumeruotu

‘skaiciais 1, 2, ... Pradiniu laiko momentu 0 ji su tikimybe p0

k gali buti k--ojoje busenoje. Laiko momentais 1, 2, ... ji gali su tam tikromis tikimybemispereiti is vienu

‘busenu

‘i‘

kitas. Tikimybe laiko momentu n patekti i‘k-a

‘ja

‘busena

‘, kai zinoma visa ankstesne sistemos evoliucija, priklauso tik nuo to,

kokioje busenoje ji buvo n − 1 laiko momentu. Papildoma informacija apieankstesne

‘sistemos evoliucija

‘nekeicia tos tikimybes. Vaizdziai, bet ne visai

tiksliai kalbant, sia‘savybe

‘galima nusakyti sitaip: kai sistemos dabartis fik-

suota, jos ateitis nepriklauso nuo praeities.Markovo grandine vadinama homogenine, jei tikimybes p(n)

jk = pjk ne-priklauso nuo n. Jei busenu

‘skaicius yra baigtinis, tai grandine vadinama

baigtine; jei busenu‘aibe skaiti, tai ir grandine vadinama skaicia.

1 p a v y z d y s. Tarkime, kad turime seka‘deziu

‘, kuriose yra po 1 balta

‘ir

1 juoda‘rutuli

‘. Sunumeruokime dezes skaiciais 0, 1, 2, ... Atsitiktinai imkime rutuli

‘is nulines dezes ir permeskime i

‘pirma

‘ja

‘. Is pirmosios dezes vel atsitiktinai imkime

rutuli‘ir i

‘meskime i

‘antra

‘ja

‘. Taip darykime ir toliau. Tikimybe istraukti apibreztos

spalvos rutuli‘is n-osios dezes (n ≥ 1) priklauso tik nuo to, kokios spalvos rutulys

buvo istrauktas is (n−1)-osios dezes, ir nesikeicia nuo papildomos informacijos, kasi‘vyko anksciau. Apibrezkime atsitiktinius dydzius X(n) (n = 0, 1, 2, ...), laikydami



X(n) = 1, jei is n-osios dezes buvo istrauktas baltas rutulys, ir X(n) = 2, jei is tosdezes buvo istrauktas juodas rutulys. Tada

P(X(0) = 1

)=

1

2, P(X(0) = 2

)=

1

2,

P(X(n) = 1|X(n− 1) = 1

)=

2

3, P(X(n) = 1|X(n− 1) = 2

)=

1

3,

P(X(n) = 2|X(n− 1) = 1

)=

1

3, P(X(n) = 2|X(n− 1) = 2

)=

2

3(n = 1, 2, ...).

Turime baigtine‘homogenine

‘Markovo grandine

‘su dviem busenomis, su pradinemis

tikimybemis (1/2, 1/2) ir perejimo matrica∥∥∥∥∥∥2

31

3

1

32

3

∥∥∥∥∥∥ .

2 p a v y z d y s. Dalele juda tiese, laiko momentais 1, 2, 3, ... veikiamaatsitiktiniu

‘postumiu

‘. Pradzioje dalele gali buti su atitinkamomis tikimybemis tik

taskuose su sveikosiomis koordinatemis a + 1, a + 2, ..., b− 1. Kiekvienas postumispaslenka dalele

‘su tikimybe p i

‘desineje puseje esnti

‘gretima

‘taska

‘su sveika

‘ja koor-

dinate arba su tikimybe q = 1− p i‘kaireje puseje esanti

‘gretima

‘taska

‘su sveika

‘ja

koordinate. Jei dalele atsiduria taske a arba taske b, tai ji iskart pastumiama i‘

intervalo viduje esanti‘gretima

‘taska

‘su sveika

‘ja koordinate.

Pazymekime X(n) = l − a + 1 (l = a, a + 1, ..., b), jei n-uoju laiko momentudalele atsiduria taske su koordinate l. Vel turesime baigtine

‘homogenine

‘Markovo

grandine‘su perejimo matrica∥∥∥∥∥∥∥∥∥

0 1 0 0 ... 0 0q 0 p 0 ... 0 00 q 0 p ... 0 0... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... 0 p0 0 0 0 ... 1 0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥,

kurioje yra b− a + 1 eiluciu‘.

Gri‘zkime prie teorijos. Nagrinesime homogenine

‘grandine

‘su perejimo

matrica π =‖ pjk ‖. Si matrica nusako sistemos busenos pasikeitima‘vienu

zingsniu, tiksliau kalbant, nusako tikimybes sistemai patekti i‘kuria

‘nors k-a

‘ja

‘busena

‘m-uoju laiko momentu, jei (m−1)-uoju laiko momentu ji buvo kurioje

nors j-ojoje busenoje. Apskaiciuosime tikimybe‘pereiti is j-osios busenos i

‘k-

-a‘ja

‘busena

‘per n laiko tarpu

‘– n zingsniu

‘. Pazymekime ta

‘tikimybe

‘

pjk(n) = P(X(n) = k|X(0) = j

),

o ju‘matrica

‘π(n) =‖ pjk(n) ‖ .

Markovo grandines 233

Visus perejimus is j-osios busenos i‘k-a

‘ja

‘busena

‘per n1 + n2 laiko tarpu

‘suskaidysime i

‘klases: 1) sistema is j-osios busenos per pirmuosius n1 laiko

tarpu‘

pereina i‘

pirma‘ja

‘busena

‘, o per n2 laiko tarpu

‘is pirmosios busenos

pereina i‘k-a

‘ja

‘busena

‘; 2) per n1 laiko tarpu

‘sistema is j-osios busenos pereina

i‘

antra‘ja

‘busena

‘, o per n2 laiko tarpu

‘is antrosios busenos pereina i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘ir t. t. Is pilnosios tikimybes formules ir grandines homogeniskumo

isplaukia

(3) pjk(n1 + n2) =∑m

pjm(n1)pmk(n2);

cia sumuojama pagal visas busenas. Is siu‘lygybiu

‘, prisimine

‘matricu

‘daugy-

bos apibrezima‘, gausime

π(n1 + n2) = π(n1)π(n2).

Taigiπ(2) = π2(1) = π2, π(3) = π(2)π = π3, ...

Vadinasi,π(n) = πn (n = 1, 2, ...).

(3) formule teisinga ir tada, kai n1 ≥ 0, n2 ≥ 0, jei laikome

pjk(0) = 1, kai j = k,

0, kai j 6= k.

Zinodami perejimo ir pradines tikimybes, nesunkiai galime rasti tikimybe‘

pk(n) = P (X(n) = k), kad sistema laiko momentu n bus k-ojoje busenoje.Samprotaudami taip pat, kaip ir (3) formules i

‘rodyme, gauname

pk(n1 + n2) =∑j

pj(n1)pjk(n2).

Atskiru atvejupk(n) =

∑j

p0jpjk(n).

Sios formules teisingos, kai n1 ≥ 0, n2 ≥ 0, n ≥ 0.Zinodami pradines ir perejimo tikimybes, galime rasti ir Markovo gran-

dines baigtiniamacius pasiskirstymus. Pasirinkime laiko momentus 0 ≤ n1 << ... < nm ir busenas k1, ..., km. Apskaiciuokime tikimybe

‘PX(n1) =

= k1, ..., X(nm) = km. Is grandines apibrezimo isplaukia

PX(n1) = k1, ..., X(nm) = km|X(n1) = k1, ..., X(nm−1) = km−1 =

= pkm−1km(nm − nm−1).



Is cia

PX(n1) = k1, ..., X(nm) = km = PX(n1) = k1, ..., X(nm−1) =

= km−1pkm−1km(nm − nm−1).

Analogiskai

PX(n1) = k1, ..., X(nm−1) = km−1 =

PX(n1) = k1, ..., X(nm−2) = km−2pkm−2km−1(nm−1 − nm−2).

Samprotaudami taip pat ir toliau, gausime

(4)PX(n1) = k1, X(n2) = k2, ..., X(nm) = km =

= pk1(n1)pk1k2(n2 − n1)...pkm−1km(nm − nm−1).

Markovo grandiniu‘teorijoje svarbu atsakyti i

‘sitoki

‘klausima

‘. Sakykime,

duoti neneigiami skaiciai p0k, tenkinantys (2) sa

‘lyga

‘, ir stochastine matrica

‖ pjk ‖. Kyla klausimas, ar egzistuoja homogenine Markovo grandine, ku-rios pradines tikimybes yra skaiciai p0

k ir perejimo tikimybes – skaiciai pjk.I‘si‘klausima

‘galima atsakyti teigiamai. Imkime baigtiniamacius pasiskirsty-

mus, nusakytus (4) lygybemis. Nesunku suvokti, kad jie tenkina (1) sa‘lyga

‘ir yra suderinti (zr. V.10 skyreli

‘). Todel is Kolmogorovo teoremos isplaukia

atitinkamos Markovo grandines egzistavimas.Analogiski rezultatai teisingi ir nehomogeninems grandinems.

16. MARKOVO GRANDINIU‘

BUSENU‘

KLASIFIKACIJA

Nagrinesime homogenines Markovo grandines. Sios rusies procesu‘

evoliuci-jai tirti pravercia grandiniu

‘busenu

‘klasifikacija, pagri

‘sta galimybe is vienos

busenos patekti i‘kita

‘. Susipazinsime su Kolmogorovo pasiulyta klasifikacija.

Sakoma, kad k-oji busena yra pasiekiama is j-osios busenos, jei kuriamnors sveikajam teigiamam n tikimybe is j-osios busenos patekti i

‘k-a

‘ja

‘per n

laiko tarpu‘yra teigiama: pjk(n) > 0.

Jei k-oji busena yra pasiekiama is j-osios busenos, o l-oji – is k-osios, tai l--oji busena taip pat pasiekiama is j-osios. Tai lengva i

‘rodyti. Pagal apibrezima

‘egzistuoja tokie du naturalieji skaiciai n1 ir n2, kad pjk(n1) > 0, pkl(n2) > 0.Is 15 skyrelio (3) formules gauname

pjl(n1 + n2) =∑m

pjm(n1)pml(n2) ≥ pjk(n1)pkl(n2) > 0.

j-oji busena vadinama neesmine, jei galima rasti busena‘, kuri butu

‘pasiekiama is j-osios busenos, taciau j-oji busena butu

‘is jos nepasiekiama, ki-

taip tariant, jei egzistuoja tokie k ir n, kad pjk(n) > 0, bet pkj(m) = 0 visiems

Markovo grandiniu‘busenu

‘klasifikacija 235

m. Visos busenos, kurios nera neesmines, vadinamos esminemis. Esmine‘

busena‘galima apibrezti ir sitaip: j-oji busena yra esmine, jei ji pasiekiama

is kiekvienos busenos, kuri yra pasiekiama is j-osios.Dvi esmines busenos vadinamos susisiekianciomis, jei kiekviena is ju

‘yra

pasiekiama is kitos.Atkreipsime demesi

‘: jei j-oji ir k-oji, taip pat k-oji ir l-oji busenos yra

susisiekiancios, tai j-oji ir l-oji busenos yra susisiekiancios.1 p a v y z d y s. Imkime homogenine

‘grandine

‘su perejimo matrica∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

01

3

2

30 0

1

2

1

20 0 0

0 0 0 1 02

30

1

30 0

0 0 01

4

3

4

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥.

30 paveiksle busenos simboliskai pazymetos skrituliukais su numeriais. Perejimaiis busenos i

‘busena

‘(per viena

‘laiko tarpa

‘) su teigiamomis tikimybemis nurodyti

rodyklemis. Ties rodyklemis nurodytos perejimo tikimybes. Sioje grandineje penk-toji busena yra neesmine, visos kitos – esmines; kiekvienos dvi is ju

‘(ir kiekviena

pati su savimi) yra susisiekiancios.

30 pav.

Suklasifikuosime visas grandines busenas. Pirmiausia surinkime visasneesmines busenas ir ju

‘klase

‘pazymekime K0. Toliau klasifikuosime sitaip.

Imkime kuria‘

nors busena‘

ir surinkime visas su ja susisiekiancias busenas.



Aisku, kiekvienos dvi is tu‘busenu

‘bus ir tarp save

‘s susisiekiancios. Taip visas

esmines busenas bus galima suskirstyti i‘klases, neturincias bendru

‘elementu

‘.

Pazymekime tas klases K1,K2, .... Jei procesas pateko i‘

kuria‘

nors esmine‘

busena‘, tai jis su teigiama tikimybe pasiliks toje klaseje, kuriai priklauso

minetoji busena.j-oji busena su sa

‘lyga pjj = 1 vadinama absorbuojancia

‘ja. Ji viena sudaro

klase‘, kuria

‘taip pat naturalu pavadinti absorbuojancia

‘ja.

Grandine, sudaryta is vienos klases esminiu‘susisiekianciu

‘busenu

‘, vadi-

nama nesuskaidoma. Jei grandine yra sudaryta is daugiau kaip vienos klasesbusenu

‘, tai ji vadinama suskaidoma.

2 p a v y z d y s. 1 pavyzdyje nagrinetos grandines busenas galima suskirstytii‘dvi klases: viena klase yra sudaryta is neesmines busenos 5, o kita klase – is

visu‘esminiu

‘susisiekianciu

‘busenu

‘1, 2, 3, 4. Grandine yra suskaidoma.

Pravartu grandines busenas pernumeruoti taip, kad pradzioje eitu‘klases

K0 busenos, po to klases K1 busenos ir t. t. Tada perejimo matrica bus 31paveiksle nurodyto pavidalo. Jame pomatriciai, uzbruksniuoti dvieju

‘krypciu

‘linijomis, yra stochastiniai; kiekviena

‘is ju

‘atitinka nesuskaidoma Markovo

grandine. Pomatriciai, pazymeti 0, yra sudaryti vien tik is nuliu‘. Jei grandine

nera baigtine, tai kai kurios, o gal ir visos, klases gali buti begalines. Tada iratitinkami pomatriciai bus begaliniai.

31 pav.

Te‘sime toliau busenu

‘klasifikacija

‘, taciau jau kitu aspektu. Tuo tikslu

tikimybe‘, kad sistema, isejusi is k-osios busenos, per n laiko tarpu

‘pirma

‘karta

‘gri

‘s atgal i

‘ta

‘busena

‘, zymesime vk(n):

vk(n) = P(X(n) = k, X(n− 1) 6= k, ...,X(1) 6= k|X(0) = k

).



Raide Vk zymesime tikimybe‘, kad sistema, isejusi is k-osios busenos, kada

nors gri‘s i

‘ja

‘,

Vk = vk(1) + vk(2) + ...

Dabar klasifikuosime busenas, atsizvelgdami i‘

gri‘ztamumo savybes. k-

-a‘ja

‘busena

‘vadinsime rekurentine, arba gri

‘ztama

‘ja, kai Vk = 1, ir tranzien-

tine, arba negri‘ztama

‘ja, kai Vk < 1. Charakterizuosime busenu

‘gri

‘ztamuma

‘tikimybiu

‘pkk(n) terminais.

Lema. Jei realiu‘ju‘

skaiciu‘

eilute

(1)∞∑k=1

ak

konverguoja ir jos suma lygi a, tai laipsnine eilute

(2)∞∑k=1

akxk

konverguoja, kai |x| < 1, ir jos suma konverguoja i‘a, kai x 1. Jei

ak ≥ 0 ir (2) eilutes suma konverguoja i‘a < ∞, kai x 1, tai ir (1)

eilute konverguoja i‘a.

Si lema yra atskiras Abelio lemos atvejis; jos i‘rodyma

‘galima rasti mate-

matines analizes kursuose.

1 teorema. k-oji busena yra gri‘ztama tada ir tik tada, kai eilute

Pk =∞∑n=1

pkk(n)

diverguoja. Jei k-oji busena yra negri‘ztama, tai

(3) Vk =Pk

1 + Pk.

I‘r o d y m a s. Nagrinesime funkcijas

Pk(x) =∞∑n=1

pkk(n)xn,

Vk(x) =∞∑n=1

vk(n)xn.



Kai |x| < 1, abi eilutes konverguoja absoliuciai. Pagal pilnosios tikimybesformule

‘

pkk(n) = vk(1)pkk(n− 1) + vk(2)pkk(n− 2) + ...+

+ vk(n− 1)pkk(1) + vk(n).

Padaugine‘abi lygybes puses is xn ir susumave

‘pagal n, gausime

Pk(x) = xvk(1)(1 + Pk(x)

)+ x2vk(2)

(1 + Pk(x)

)+ ... =

=(1 + Pk(x)

)Vk(x).

Is cia

(4) Vk(x) =Pk(x)

1 + Pk(x), Pk(x) =

Vk(x)1− Vk(x)

.

Is siu‘formuliu

‘isplaukia teoremos teiginys.

Jei eilute Pk diverguoja, tai Pk(x) →∞, kai x 1. Tada Vk(x) → 1, kaix 1. Is Abelio lemos isplaukia, kad Vk = 1.

Jei Vk = 1, tai vel pagal Abelio lema‘Vk(x) → 1, kai x 1. Tada eilute

P diverguoja.Jei eilute Pk konverguoja, tai is (4) gauname (3). utIs toliau i

‘rodomos teoremos labiau paaiskes gri

‘ztamu

‘ir negri

‘ztamu

‘busenu

‘sa

‘voka.

2 teorema. Jei k-oji busena yra gri‘ztamoji, tai sistema, kurios evoliucija

‘nusako Markovo grandine, isejusi is k-osios busenos, su tikimybe 1 gri

‘s per

be galo daug zingsniu‘

be galo daug kartu‘

i‘k-a

‘ja‘

busena‘. Jei ta busena yra

negri‘ztamoji, tai sistema su tikimybe 1 gri

‘s per be galo daug zingsniu

‘baigtini

‘skaiciu

‘kartu

‘i‘

ta‘

busena‘, kitaip tariant, po kurio nors baigtinio zingsniu

‘skaiciaus ji niekada jau nebegri

‘s i

‘k-a

‘ja‘

busena‘.

I‘r o d y m a s. Pazymekime ξm skaiciu

‘zingsniu

‘iki m-ojo gri

‘zimo i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘. Jei per be galo daug zingsniu

‘gauname maziau kaip m gri

‘zimu

‘, tai

laikome ξm = ∞. I‘vykis ξm < ∞ reiskia, kad sistema ne maziau kaip m

kartu‘gri

‘zta i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘. Pazymekime V = Vk = P (ξ1 <∞).

Tarkime, kad i‘vyko i

‘vykis ξ1 < ∞. Vadinasi, sistema per kuri

‘nors

baigtini‘

zingsniu‘

skaiciu‘ξ1 gri

‘zo i

‘pradine

‘k-a

‘ja

‘busena

‘. Po to jos tolesne

evoliucija vyksta pagal tuos pacius desnius, lyg ji prasidetu‘

vel is naujo.Taigi i

‘vykio ξ2 <∞ tikimybe su sa

‘lyga ξ1 <∞ bus taip pat lygi V :

P (ξ2 <∞|ξ1 <∞) = V.

Jei ξ1 = ∞, tai ir ξ2 = ∞. Todel

P (ξ2 <∞) = P (ξ2 <∞|ξ1 <∞) · P (ξ1 <∞) = V 2.



Visai taip pat bet kuriam m = 3, 4, ...

P (ξm <∞|ξm−1 <∞) = V, P (ξm <∞) = V m.

Jei k-oji busena yra negri‘ztama, tai

∞∑m=1

P (ξm <∞) =∞∑m=1

V m <∞,

nes pagal negri‘ztamos busenos apibrezima

‘V < 1. Is Borelio-Kantelio lemos

isplaukia, kad su tikimybe 1 gali i‘vykti tik baigtinis i

‘vykiu

‘ξm <∞ skaicius,

kitaip tariant, su tikimybe 1 sistema tik baigtini‘

skaiciu‘

kartu‘

gri‘s i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘.

Jei k-oji busena yra gri‘ztama, tai P (ξm < ∞) = 1 kiekvienam m.

Pazymekime η skaiciu‘

gri‘zimu

‘per be galo daug zingsniu

‘. I

‘vykis η ≥ m

yra tapatus i‘vykiui ξm <∞ ir

η = ∞ =∞⋂m=1

ξm <∞.

Todel

P (η = ∞) = limm→∞

P (ξm <∞) = 1. ut

Jei k-oji busena yra negri‘ztama, tai is 1 teoremos isplaukia, kad pkk(n) →

→ 0, kai n→∞. Busenos, turincios tokias savybes, yra vadinamos nulinemis,o visos kitos busenos – nenulinemis. Is teoremos isplaukia, kad negri

‘ztamos

busenos yra nulines, bet ne kiekviena nuline busena yra negri‘ztama, o

nenulines busenos – gri‘ztamos (atvirkstinis teiginys ir cia ne visada teisin-

gas).

3 p a v y z d y s. Nagrinekime daleles klaidziojima‘sveikaisiais tieses taskais,

nusakyta‘sitaip. Dalele sveikaisiais laiko momentais arba su tikimybe 1/2 lieka savo

vietoje, arba su ta pacia tikimybe pasislenka i‘desineje puseje esanti

‘gretima

‘taska

‘su sveika

‘ja koordinate. Cia vk(1) = 1/2 ir vk(n) = 0, kai n > 1. Todel Vk = 1/2 < 1.

Vadinasi, visos busenos yra negri‘ztamos. Jos yra taip pat ir nulines.

Tarkime, kad pkk(n) > 0 ir pkk(m) > 0. Is 15 skyrelio (3) formulesgauname, kad tada ir pkk(n + m) > 0. Todel is grandines homogeniskumoisplaukia, kad visi n, kuriems pkk(n) > 0, turi buti pavidalo n = ds (s == 1, 2, ...). Tarp skaiciu

‘n su sa

‘lyga pkk(n) > 0 (jei tokie n egzistuoja) dalikliu

‘d yra didziausias dk. Jis vadinamas busenos periodu. Jei periodas dk > 1, taik-oji busena vadinama periodine.

4 p a v y z d y s. 15.2 pavyzdyje, kai 0 < p < 1, visos busenos yra periodinessu periodu 2.



3 teorema. Jei nesuskaidomoje Markovo grandineje bent viena busenayra gri

‘ztama, tai ir visos – gri

‘ztamos, jei bent viena – nuline, tai ir visos –

nulines, jei bent viena – periodine su periodu d, tai ir visos – periodines superiodu d.

I‘r o d y m a s. Imkime bet kurias dvi esmines susisiekiancias busenas,

sakykime, j-a‘ja

‘ir k-a

‘ja

‘. Is susisiekianciu

‘busenu

‘apibrezimo isplaukia, jog

egzistuoja tokie naturalieji skaiciai n1 ir n2, kad

α = pjk(n1) > 0, β = pkj(n2) > 0.

Kiekvienam naturaliajam skaiciui n is pilnosios tikimybes formules gauname

(5)pjj(n1 + n2 + n) =

∑l,m

pjl(n1)plm(n)pmj(n2) ≥

≥ pjk(n1)pkk(n)pkj(n2) = αβpkk(n).

Visai taip pat i‘rodoma nelygybe

pkk(n1 + n2 + n) ≥ αβpjj(n).

Is tu‘nelygybiu

‘isplaukia pirmieji du teoremos teiginiai: jei j-oji busena yra

nuline, tai tokia yra ir k-oji; jei j-oji busena yra gri‘ztamoji, tai tokia yra ir

k-oji.Tarkime, kad j-oji busena yra periodine su periodu dj . Vadinasi, jei

pjj(n) > 0, tai dj |n. Kadangi

pjj(n1 + n2) =∑l

pji(n1)plj(n2) ≥ pjk(n1)pkj(n2) = αβ > 0,

tai dj |(n1 +n2). Parodysime, kad visi n su sa‘lyga pkk(n) > 0 dalijasi is dj . Is

(5) turime, kad tokiems n teisinga nelygybe pjj(n1 + n2 + n) > 0. Vadinasi,dj |(n1+n2+n). Todel dj |n. Vadinasi, k-oji busena yra periodine. Jos periodasyra dk ≤ dj . Analogiskai i

‘rodome, kad dj ≤ dk. Taigi dk = dj . ut

Jei nesuskaidomos grandines visos busenos yra periodines su periodu d >> 1, tai ir pati grandine vadinama periodine. Panagrinesime tokios grandinesstruktura

‘.

4 teorema. Periodines grandines su periodu d busenas galima suskaidytii‘viena kitos nedengiancias klases L0, L1, ..., Ld−1, turincias savybe

‘: grandine

per viena‘

laiko tarpa‘

su tikimybe 1 pereina is klases Lk i‘

klase‘Lk+1 (k =

= 0, 1, ..., d− 1); cia simboliskai pazymeta Ld = L0.

I‘r o d y m a s. Imkime kuria

‘nors fiksuota

‘busena

‘, sakykime, pirma

‘ja

‘.

j-a‘ja

‘busena

‘priskirsime klasei Lk (k = 0, 1, ..., d− 1), jei egzistuoja sveikasis

teigiamas skaicius m su sa‘lyga p1j(md + k) > 0. I

‘rodysime, kad busenos



gali priklausyti tik skirtingoms klasems. Pakanka i‘rodyti: jei j-oji busena

priklauso klasei Lk ir kuriam nors r teisinga nelygybe p1j(r) > 0, tai r ≡≡ kmod d. Pastebesime, jog egzistuoja toks skaicius s, kad pj1(s) > 0. Ka-dangi

p11(md+ k + s) =∑l

p1l(md+ k)pl1(s) ≥ p1j(md+ k)pj1(s),

tai pagal klases L apibrezima‘p11(md+ k + s) > 0. Be to,

p11(r + s) =∑l

p1l(r)pl1(s) ≥ p1j(r)pj1(s) > 0.

Vadinasi, d|(md+ k + s) ir d|(r + s), taigi k ≡ rmod d.Kadangi is pirmosios busenos galima patekti i

‘bet kuria

‘busena

‘su

teigiama tikimybe, tai kiekviena busena priklauso kuriai nors is klasiu‘

L0, L1, ..., Ld−1.Reikia dar i

‘rodyti, kad per viena

‘laiko tarpa

‘su tikimybe 1 grandine is

klases Lk pereina i‘

klase‘Lk+1. Parodysime, kad pjl = 0, jei j-oji busena

priklauso Lk, o l-oji nepriklauso Lk+1. Tarkime, kad yra priesingai. Tada isnelygybes p1j(md+ k) > 0 gautume

p1l(md+ k + 1) =∑r

p1r(md+ k)prl ≥ p1j(md+ k)pjl > 0.

Iseitu‘, kad l-oji busena priklauso Lk+1. Gautas priestaravimas i

‘rodo musu

‘teigini

‘. Is jo isplaukia: jei j-oji busena priklauso Lk, tai

(6)∑

pjl = 1;

cia sumuojama pagal visas l-a‘sias busenas is klases Lk+1. ut

Klases Lk vadinamos ciklinemis.



Periodines grandines matrica yra tokio pavidalo, kaip ir 32 paveiksle. Tojematricoje neuzbruksniuoti pomatriciai yra sudaryti is nuliu

‘, o uzbruksniuoti

pomatriciai – is nenuliniu‘elementu

‘.

32 pav.

Periodine‘grandine

‘su periodu d galima suskaidyti i

‘d nauju

‘grandiniu

‘.

k-osios grandines busenos bus k-osios ciklines klases Lk busenos. Perejimotikimybes bus pjl(d). Is (6) isplaukia, kad perejimo matrica bus stochastine.Naujosios grandines jau netures poklasiu

‘.

17. MARKOVO GRANDINIU‘

ERGODINES TEOREMOS

Imkime grandine‘su perejimo matrica

π =

∥∥∥∥∥∥∥2313

1323

∥∥∥∥∥∥∥ .Sia

‘grandine

‘nagrinejome 15.1 pavyzdyje. Perejimo per du laiko tarpus ma-

trica bus

π2 =

∥∥∥∥∥∥∥5949

4959

∥∥∥∥∥∥∥ ,per tris laiko tarpus

π3 =

∥∥∥∥∥∥∥14271327

13271427

∥∥∥∥∥∥∥ .Matematines indukcijos metodu galima i

‘rodyti, kad

Markovo grandiniu‘ergodines teoremos 243

πn =

∥∥∥∥∥∥∥12

+1

2 · 3n12− 1

2 · 3n

12− 1

2 · 3n12

+1

2 · 3n

∥∥∥∥∥∥∥ .Matome, kad perejimo tikimybes pjk(n) → 1/2, kai n → ∞. Vadinasi,tikimybe sistemai patekti i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘praktiskai nepriklauso nuo to, kokioje

busenoje ji buvo tolimoje praeityje. Persasi mintis, kad analogiskas teiginysgali buti teisingas ir kitokioms Markovo grandinems. Tokiu atveju ribos

p∗k = limn→∞

pjk(n)

vadinamos ribinemis tikimybemis, o grandines, turincios tokia‘savybe

‘, – er-

godinemis1.Imkime bet kuria

‘homogenine

‘Markovo grandine

‘su perejimo matrica

‖ pjk ‖ ir perejimo per n laiko tarpu‘

matrica ‖ pjk(n) ‖. Kiekvienam napibresime ergodiskumo koeficienta

‘

ρ(n) = 1− 12

supj,k

∑l

|pjl(n)− pkl(n)|.

Panagrinesime jo savybes. Is lygybiu‘∑

l

pjl(n) = 1,∑l

pkl(n) = 1

visiems j ir k gauname ∑l

(pjl(n)− pkl(n)

)= 0,

arba ∑l

+(pjl(n)− pkl(n)

)+∑l

−(pjl(n)− pkl(n)

)= 0;

cia + prie sumavimo zenklo reiskia sumavima‘pagal tuos l, kuriems tas skir-

tumas yra teigiamas, o – pagal tuos l, kuriems jis yra neigiamas. Todel∑l

+(pjl(n)− pkl(n)

)=

12

∑l

∣∣pjl(n)− pkl(n)∣∣

ir

(1) ρ(n) = 1− supj,k

∑l

+(pjl(n)− pkl(n)

).

1 Is graiku‘kalbos zodziu

‘εργoν – darbas, oδoζ – kelias.



Aisku, kad 0 ≤ ρ(n) ≤ 1.Ergodiskumo koeficientas gali buti ir lygus 0. Imkime grandine

‘su dviem

busenomis ir perejimo per n laiko tarpu‘

tikimybemis, nusakytomis sitaip:p11(n) = 1, p12(n) = 0, p21(n) = 0, p22(n) = 1, kai n yra lyginis, beip11(n) = 0, p12(n) = 1, p21(n) = 1, p22(n) = 0, kai n – nelyginis. Tada

|p11(n)− p21(n)|+ |p12(n)− p22(n)| = 2

visiems n ir ρ(n) = 0.

1 teorema. Jei kuriam nors n0 ergodiskumo koeficientas ρ(n0) > 0, taiegzistuoja ribos

p∗k = limn→∞

pjk(n) (j = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...),

nepriklausancios nuo indekso j, be to,

supj|pjk(n)− p∗k| ≤ Ce−Dn;

ciaC =

11− ρ(n0)

, D =1n0

ln1

1− ρ(n0).


rk(n) = infjpjk(n), Rk(n) = sup

jpjk(n).

Teisingos nelygybes

rk(n+ 1) = infjpjk(n+ 1) = inf

j

∑l

pjlplk(n) ≥

≥ rk(n) infj

∑l

pjl = rk(n),

Rk(n+ 1) = supjpjk(n+ 1) = sup

j

∑l

pjlplk(n) ≤

≤ Rk(n) supj

∑l

pjl = Rk(n).

Is (1) lygybes gauname

Rk(n0)− rk(n0) = supmpmk(n0)− inf

spsk(n0) =

= supm,s

(pmk(n0)− psk(n0)

)≤

≤ supm,s

∑j

+(pmj(n0)− psj(n0)

)= 1− ρ(n0)

Markovo grandiniu‘ergodines teoremos 245

irRk(n0 + n)− rk(n0 + n) = sup

m,s

(pmk(n0 + n)− psk(n0 + n)

)=

= supm,s

∑j

(pmj(n0)− psj(n0)

)pjk(n) ≤

≤ supm,s

Rk(n)

∑j


)+

+ rk(n)∑j

−(pmj(n0)− psj(n0)

)=

= supm,s

(Rk(n)− rk(n)

)∑j


)=

=(1− ρ(n0)

)(Rk(n)− rk(n)

).

Pakartotinai pritaike‘tas formules, gauname

(2) Rk(vn0)− rk(vn0) ≤(1− ρ(n0)

)v (v = 1, 2, ...).

Mateme, kad seka rk(n) (n = 1, 2, ...) nemazeja, o seka Rk(n) (n = 1, 2, ...)nedideja, be to, rk(n) ≤ Rk(n). Is (2) ir teoremos sa

‘lygu

‘isplaukia, kad abi

sekos turi ribas ir tos ribos sutampa

limn→∞

rk(n) = limn→∞

Rk(n) = p∗k.

Aisku,|pjk(n)− p∗k| ≤ Rk(n)− rk(n) ≤

(1− ρ(n0)

)n/n0−1. ut

Isvada. Jei grandine turi tik baigtini‘busenu

‘skaiciu

‘ir ispildomos 1 teo-

remos sa‘lygos, tai ribines tikimybes tenkina lygybes

p∗k =∑

p∗jpjk,∑k

p∗k = 1.

I‘r o d y m a s. Pakanka lygybese

plk(n+ 1) =∑j

plj(n)pjk,∑k

plk(n) = 1

pereiti prie ribos, kai n→∞. utIsvada teisinga ir tada, kai busenu

‘skaicius yra skaitus, tik i

‘rodymas daug

sudetingesnis.

2 teorema. Jei ispildomos 1 teoremos sa‘lygos, tai egzistuoja ribos



limn→∞

pk(n) = p∗k (k = 1, 2, ...),

be to,|pk(n)− p∗k| ≤ Ce−Dn;

cia p∗k ir C,D turi tas pacias reiksmes.I‘r o d y m a s. Is 1 teoremos i

‘rodyme gautu

‘nelygybiu

‘isplaukia

|pk(n)− p∗k| =∣∣∣∑j

p0jpjk(n)− p∗k

∣∣∣ ≤∑j

p0j |pjk(n)− p∗k| ≤

≤∑j

p0j |Rk(n)− rk(n)| = Rk(n)− rk(n) ≤ Ce−Dn. ut

Tikimybiu‘pasiskirstymas p∗k(k = 1, 2, ...) su sa

‘lyga

p∗k =∑j

p∗jpjk

yra vadinamas stacionariuoju. Jo prasme sitokia. Jei kuriam nors n0 turimepk(n0) = p∗k (k = 1, 2, ...), tai tikimybes pk(n), kad laiko momentu n sistemapateks i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘, visiems n ≥ n0 yra tos pacios ir lygios pk(n) = p∗k. Tai

isplaukia is 15 skyrelio (3) formules.Is (1) gauname

supk

infjpjk(n0) = ρ(n0).

Vadinasi, ρ(n0) > 0, jei grandine yra baigtine ir visos perejimo tikimybespjk(n0) yra teigiamos. Tuo atveju teisingos abi teoremos ir isvada.


‘, be i

‘rodymo paminesime dar keleta

‘teiginiu

‘.

3 teorema. Bet kuriems j ir k egzistuoja nepriklausancios nuo j teigia-mos ribos

p∗k = limn→∞

pjk(n) (j = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...)

tada ir tik tada, kai grandine yra nesuskaidoma bei neperiodine ir egzistuojabusena, gri

‘zimo i

‘kuria

‘laikas turi (baigtini

‘) vidurki

‘. Skaiciai p∗k yra vienin-

teliai lygciu‘

sistemos

∞∑k=1

p∗k = 1,

p∗k =∞∑j=1

p∗jpjk (k = 1, 2, ...)

sprendiniai, jei nagrinesime tik sekas, is kuriu‘sudarytos eilutes konverguoja

absoliuciai.

Tolydaus laiko Markovo grandines. Markovo procesai. Martingalai 247

Jei grandine yra baigtine, tai butinos ir pakankamos sa‘lygos suprasteja:

grandine turi buti nesuskaidoma ir neperiodine.Jei grandine yra periodine su periodu d, tai bet kurioms j-ajai ir k-ajai

busenoms is tos pacios klases (zr. 16.4 teorema‘) pjk(n) = 0, kai n 6= md. Jei

n = md, tai is 3 ir 16.4 teoremu‘isplaukia, jog egzistuoja riba

limm→∞

pjk(md) = p∗k > 0,

nepriklausanti nuo j.Tarkime, kad turime baigtine

‘grandine

‘. Kaip mateme 16 skyrelyje, jos

busenas galima suskirstyti i‘

klases: neesminiu‘

busenu‘

klase‘K0 ir keleta

‘esminiu

‘busenu

‘klasiu

‘K1, ...,Kr. Suprantama, klase K0 gali buti tuscia, gali

nebuti ir klasiu‘K1, ...,Kr. Panagrinesime tikimybiu

‘pjk(n) asimptotika

‘ir

tokioms grandinems. Pakanka tirti tik atveji‘, kai klase K0 yra netuscia, o

esminiu‘busenu

‘yra tik viena klase K1. Is 2 teoremos isplaukia, kad pjk(n)

turi teigiamas ribas, kai j-oji ir k-oji busenos priklauso K1. Galima butu‘

i‘rodyti, kad pjk(n) turi riba

‘, lygia

‘0, kai j-oji ir k-oji busenos priklauso K0,

ir teigiama‘riba

‘, kai j-oji busena priklauso klasei K0, o k-oji busena priklauso

klasei k1. Ribos nepriklauso nuo j.Siu

‘rezultatu

‘i‘rodyma

‘galima rasti, pvz., [3] knygoje.

18. TOLYDAUS LAIKO MARKOVO GRANDINES.MARKOVO PROCESAI. MARTINGALAI

Kita‘svarbia

‘atsitiktiniu

‘procesu

‘klase

‘sudaro tolydaus laiko Markovo gran-

dines. Jos skiriasi nuo 15 skyrelyje apibreztu‘procesu

‘tik tuo, kad parametru

‘aibe T yra baigtinis arba begalinis realiu

‘ju

‘skaiciu

‘intervalas. Apibresime juos

tiksliau. Turime atsitiktini‘procesa

‘Ω,A, P,X(t), t ∈ T, i

‘gyjanti

‘reiksmes

is macios erdves Γ, E. Laikysime, kad T yra jau nusakyto pobudzio, obusenu

‘erdve Γ – baigtine arba skaiti. Ir siuo atveju busenas zymesime

tiesiog naturaliaisiais skaiciais. Sakysime, kad procesas yra tolydaus laikoMarkovo grandine, jei bet kuriam naturaliajam skaiciui n, bet kuriemst0 < t1 < ... < tn−1 < s < t is T ir bet kuriems k, j0, j1, ..., jn−1, j teisingoslygybes

P(X(t) = k|X(t0) = j0, X(t1) = j1, ..., X(tn−1) = jn−1, X(s) = j

)=

= P(X(t) = k|X(s) = j

).

Ir cia galime kalbeti apie fizine‘sistema

‘, kurios busena laiko momentu t

yra X(t). Tada P(X(t) = k|X(s) = j

)yra tikimybe sistemai patekti i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘laiko momentu t, jei laiko momentu s ji buvo j-ojoje busenoje. Jei ta

tikimybe priklauso tik nuo t − s, tai grandine vadinama homogenine. Tada



galima kalbeti apie perejimo tikimybe‘pjk(t) is j-osios busenos i

‘k-a

‘ja

‘per laiko

tarpa‘t. Toliau tik tokias grandines ir nagrinesime. Laikysime T = [0,∞).

Pazymesime p0k = pk(0) tikimybe

‘, kad sistema pradiniu momentu bus

k-ojoje busenoje, o pk(t) tikimybe‘, kad ji pateks i

‘k-a

‘ja

‘busena

‘momentu t.

Kaip ir 15 skyrelyje, i‘rodomos formules

(1)

pjk(s+ t) =∑l

pjl(s)plk(t),

pk(s+ t) =∑l

pl(s)plk(t),

pk(t) =∑l

p0l plk(t).

Jos teisingos, kai s ≥ 0, t ≥ 0, jei susitarsime laikyti

pjk(0) = 1, kai j = k,

0, kai j 6= k.

Tolydaus laiko grandiniu‘egzistavimo klausimai sprendziami analogiskai

atvejui, kai laikas diskretus.Kai ispildomos gana bendros sa

‘lygos, perejimo tikimybes tenkina tam

tikras diferencialines lygtis. Tarkime, kad grandine turi tik baigtini‘busenu

‘skaiciu

‘ir perejimo tikimybes tenkina sa

‘lygas

(2)1− pkk(∆t) = λk∆t+ o(∆t),

pjk(∆t) = λjk∆t+ o(∆t).

Antroji sa‘lyga rodo, kad tikimybe pereiti is j-osios busenos i

‘k-a

‘ja

‘, kai j

ir k skirtingi, per nedideli‘laiko tarpa

‘∆t yra proporcinga to laikotarpio il-

giui aukstesnes eiles nykstamo dydzio tikslumu. Pirmoji sa‘lyga reiskia, kad

tikimybe iseiti is k-osios busenos i‘kuria

‘nors kita

‘busena

‘per maza

‘laiko tarpa

‘∆t yra proporcinga to laikotarpio ilgiui aukstesnes eiles nykstamo dydzio tiks-lumu. λk galima vadinti isejimo is k-osios busenos, o λjk – perejimo is j-osiosbusenos i

‘k-a

‘ja

‘tankiais, arba intensyvumais.

Is (1) formules

pjk(t+ ∆t) =∑l

pjl(∆t)plk(t).

Pasinaudoje‘(2) sa

‘lygomis, gauname

pjk(t+ ∆t) =(1− λj∆t+ o(∆t)

)pjk(t)+

+∑l 6=j

(λjl∆t+ o(∆t)

)plk(t).


Is cia

pjk(t+ ∆t)− pjk(t)∆t

= −λjpjk(t) +∑l 6=j

(λjl + o(1)

)plk(t).

Kai ∆t→ 0, desinioji puse turi riba‘. Todel riba

‘turi ir kairioji puse. Gauname

diferencialine‘lygti

‘

p′jk(t) = −pjk(t)λj +∑l 6=j

λjlplk(t).

Ji vadinama tiesiogine Kolmogorovo–Felerio diferencialine lygtimi.Vel pasinaudoje

‘(1) lygybe, gauname

pjk(t+ ∆t) =∑l

pjl(t)plk(∆t).

Is sios lygybes ir (2) sa‘lygu

‘analogiskai gauname lygti

‘

p′jk(t) = −pjk(t)λk +∑l 6=k

pjl(t)λlk,

vadinama‘atvirkstine Kolmogorovo–Felerio diferencialine lygtimi.

Jei tenkinamos papildomos sa‘lygos, abi tos lygtys teisingos ir tada, kai

busenu‘

skaicius yra begalinis. Pavyzdziui, tiesioginiu‘

lygciu‘

i‘rodymas yra

teisingas ir tada, kai busenu‘

yra be galo daug, jei (2) sa‘lygose liekamu

‘ju

‘nariu

‘i‘vertinimai o(∆t) yra tolygus k atzvilgiu ir fiksuotam k dydziai λjk yra

tolygiai aprezti.Galime gauti diferencialines lygtis ir tikimybems pk(t):

(3) p′k(t) =∑l

pl(t)λlk (k = 1, 2, ...).

Ir tolydziojo laiko grandinems i‘vesime ergodiskumo koeficiento sa

‘voka

‘. Jis

apibreziamas analogiskai:

ρ(t) = 1− 12

supj,k

∑l

|pjl(t)− pkl(t)|.

Jei kuriam nors t0 > 0 ergodiskumo koeficientas ρ(t0) > 0, tai, kaip ir17 skyrelyje, galime i

‘rodyti ergodiskumo teorema

‘: egzistuoja ribos p∗k(k =

= 1, 2, ...)limt→∞

pjk(t) = p∗k,

limt→∞

pk(t) = p∗k,



be to,|pjk(t)− p∗k| ≤ Ce−Dt,

|pk(t)− p∗k| ≤ Ce−Dt;

ciaC =

11− ρ(t0)

, D =1t0

ln1

1− ρ(t0).

Jei teisingos ka‘tik minetos sa

‘lygos ir busenu

‘skaicius yra baigtinis, tai

ribines tikimybes p∗k visiems t tenkina lygybe‘

(4) p∗k =∑j

p∗jpjk(t) (k = 1, 2, ...).

Vel galime kalbeti apie stacionaru‘ji‘pasiskirstyma

‘. Apskritai, kai laikas yra

tolydus, tikimybiu‘pasiskirstyma

‘p∗k(k = 1, 2, ...), tenkinanti

‘(4) sa

‘lyga

‘, vadin-

sime stacionariuoju.Stacionariosioms tikimybems p∗k = pk(t) (3) diferencialines lygtys virsta

sitokiomis:

(5)∑l

p∗l λlk = 0 (k = 1, 2, ...),

nes tada p′k(t) = 0.Markovo grandines yra tik specialus atvejai daug bendresniu

‘Markovo

procesu‘. Kalbant ne visai grieztai, tai yra procesai X(t), kiekvienam t tu-

rintys savybe‘: jei zinoma atsitiktinio proceso reiksme X(t) laiko momentu

t, tai proceso eiga po laiko momento t nepriklausys nuo jo eigos iki to mo-mento. Kitaip tariant, tikimybe bet kurio i

‘vykio, susijusio su busima pro-

ceso eiga, kai jo dabartine bukle tiksliai zinoma, nepasikeis, atsizvelgus i‘

papildoma‘informacija

‘apie proceso praeiti

‘. Vaizdziai kalbant, procesas neturi

”atminties”.Knygos apimtis neleidzia placiau nagrineti tu

‘procesu

‘. Todel susipazinsi-

me tik su kai kuriomis sa‘vokomis.

Pirmiausia apibresime Markovo procesa‘.

Imkime tikimybine‘erdve

‘Ω,A, P, aibe

‘T ⊂ R ir busenu

‘erdve

‘Γ, E.

Tarkime, kad duotas procesas X(t), t ∈ T, i‘gyjantis reiksmes is Γ. Pazyme-

kime AT maziausia‘σ algebra

‘, kuriai priklauso visi i

‘vykiai X(s) ∈ E, E ∈

∈ E , s ∈ T ,

AT = σX(s), s ∈ T = σX(s) ∈ E, s ∈ T, E ∈ E

.

Analogiskai apibreziamos σ algebros

AT∩(−∞,t] = σX(s), s ∈ T, s ≤ t,AT∩[t,∞) = σX(s), s ∈ T, s ≥ t


(reikia tik parametru‘aibe

‘T pakeisti kitomis). Atsitiktinis procesas X(t), t ∈

∈ T vadinamas Markovo procesu, jei bet kuriems s, t ∈ T, s < t, ir bet ku-rioms A ∈ AT∩[t,∞) beveik visur tikimybinio mato P prasme

P (A|AT∩(−∞,s]) = P(A|X(s)

).

Si‘apibrezima

‘galima pakeisti jam ekvivalenciu. Procesas X(t) yra Mar-

kovo procesas, jei bet kuriam naturaliajam n, bet kuriems t1, t2, ..., tn, t ∈ Tsu sa

‘lyga t1 < t2 < ... < tn < t ir bet kuriai aibei E ∈ E

P(X(t) ∈ E|X(t1), X(t2), ..., X(tn)

)= P

(X(t) ∈ E|X(tn)

)beveik visur mato P prasme.

Yra ir daugiau ekvivalenciu‘Markovo proceso apibrezimu

‘.

Kintamu‘ju

‘s, t ∈ T, x ∈ Γ, E ∈ E funkcija p(s, x, t, E) yra vadinama

Markovo proceso perejimo funkcija, jei ji tenkina sa‘lygas:

1) visiems s, t ∈ T, x ∈ Γ funkcija p(s, x, t, ·) yra tikimybinis matas σalgebroje E ;

2) visiems s, t ∈ T, E ∈ E funkcija p(s, ·, t, E) yra (A, E) mati;3) visiems s ∈ T, x ∈ Γ, E ∈ E funkcija p(s, x, s, E) yra aibes E indika-

toriusp(s, x, s, E) = 1E(x);

4) visiems s, t ∈ T, E ∈ E beveik visur mato P atzvilgiu

p(s,X(s), t, E

)= p(X(t) ∈ E|X(s)

).

Vaizdziai kalbant, p(s, x, t, E) yra tikimybe, kad procesas laiko momentut pateks i

‘busenu

‘aibe

‘E, jei laiko momentu s ≤ t jis buvo busenoje x. Todel

perejimo funkcija vadinama ir perejimo tikimybe.Kiekvienas Markovo procesas su busenu

‘erdve Rk,Bk turi perejimo

funkcija‘. Ji egzistuoja ir tada, kai busenu

‘erdve yra separabili pilna metrine

erdve su atitinkama Borelio aibiu‘σ algebra. Siuo atveju perejimo funkcija

turi dar ir sitokia‘savybe

‘:

5) visiems s, t, u ∈ T, s ≤ u ≤ t, E ∈ E beveik visur mato Ps atzvilgiuteisinga lygybe

p(s, x, t, E) =∫Rk

p(u, y, t, E)p(s, x, u, dy);

cia Ps yra lygybes Ps(E) = P (X(s) ∈ E) nusakytas matas σ algebroje E .Si savybe paprastai vadinama Cepmeno1–Kolmogorovo lygtimi.

1 Douglas George Chapman (g. 1920 m.) – amerikieciu‘matematikas.



Tarkime, kad T yra viena is aibiu‘R, [0,∞), (0,±1,±2, ...) arba 0, 1,

2, .... Markovo procesas X(t), t ∈ T vadinamas homogeniniu, jei betkuriems s, t, u ∈ T, s ≤ t, x ∈ Γ, E ∈ E

p(s+ u, x, t+ u,E) = p(s, x, t, E).

Tada funkcijos p(s, x, t, E) reiksmes priklauso tik nuo skirtumo t− s, x ir E.Todel galima zymeti p(0, x, t, E) = p(t, x, E). Si funkcija paprastai ir vadi-nama homogeninio Markovo proceso perejimo funkcija.

Nesunku suvokti, kad Markovo grandines yra specialus Markovo procesu‘

atvejai.Paminesime dar viena

‘pavyzdi

‘.

Imkime seka‘

nepriklausomu‘

vienodai pasiskirsciusiu‘

atsitiktiniu‘

dydziu‘

Y1, Y2, ..., i‘gyjanciu

‘tik sveika

‘sias reiksmes. Pazymekime X(n) = Y1+ ...+Yn,

X(0) = 0. Sumos X(n) (n = 0, 1, ...) sudaro diskreciojo laiko homogenine‘

Markovo grandine‘. Jei atsisakytume reikalavimo, kad atsitiktiniai dydziai Yk

i‘gyja tik sveika

‘sias reiksmes, ju

‘sumos X(n)(n = 0, 1, ...) sudarytu

‘bendresni

‘diskreciojo laiko Markovo procesa

‘. Dar bendresni

‘Markovo procesa

‘gautume,

atsisake‘reikalavimo, kad dydziai Yk yra vienodai pasiskirste

‘.

Be Markovo procesu‘pastaruoju metu svarbu

‘vaidmeni

‘procesu

‘teorijoje

vaidina martingalai, i‘vesti 1929 m. Dubo1.

Tarkime, kad Ω,A, P yra tikimybine erdve T – netuscia realiu‘ju

‘skaiciu

‘aibe ir At, t ∈ T – σ algebru

‘sistema, tenkinanti sa

‘lygas As ⊂ At ⊂ A

visiems s, t ∈ T, s ≤ t. Realusis atsitiktinis procesas X(t), t ∈ T yravadinamas martingalu σ algebru

‘sistemos At atzvilgiu, jei

1) kiekvienam t ∈ T atsitiktinis dydis X(t) yra integruojamas ir At ma-tus;

2) visiems s, t ∈ T, s ≤ t, beveik visur

X(s) = M(X(t)|As

).

Antra‘ja

‘sa

‘lyga

‘galima uzrasyti ir kitu ekvivalenciu pavidalu: visiems s, t ∈

∈ T, s ≤ t, ir visoms aibems A ∈ As∫A

X(s, ω)P (dω) =∫A

X(t, ω)P (dω).

Jei antrojoje sa‘lygoje lygybes zenkla

‘pakeistume zenklu ≤, gautume sub-

martingala‘, o jei pakeistume zenklu ≥, gautume supermartingala

‘.

Jei At = σX(s), s ≤ t yra maziausia σ algebra, kurios atzvilgiuvisi X(t), s, t ∈ T, s ≤ t, yra matus, tai martingalai tos σ algebru

‘sistemos atzvilgiu tiesiog vadinami martingalais. Galima butu

‘i‘rodyti, kad

1 Joseph Leo Doob (g. 1910 m.) – amerikieciu‘matematikas.

Brauno ir Puasono procesai 253

kiekvienas martingalas σ algebru‘sistemos At, t ∈ T atzvilgiu yra martin-

galas pastara‘ja prasme. Tas pats tinka ir submartingalams bei supermartin-

galams.Paminesime paprasta

‘pavyzdi

‘, kuriuo remiantis buvo i

‘vesta martingalo

sa‘voka.

Tarkime, kad Yn yra seka nepriklausomu‘

integruojamu‘

atsitiktiniu‘

dydziu‘

su sa‘lygomis MYn = 0. Pazymekime ju

‘dalines sumas X(n) =

= Y1 + ...+ Yn. Is sa‘lyginiu

‘vidurkiu

‘savybiu

‘isplaukia, kad beveik visur

M(X(n+ 1)|Y1, ..., Yn

)= M

(X(n) + Yn+1|Y1, ..., Yn

)=

= X(n) +M(Yn+1|Y1, ..., Yn) = Xn +M(Yn+1) = X(n).

Nesunku suvokti, kad sa‘lyginius vidurkius Y1, ..., Yn atzvilgiu galime pakeisti

sa‘lyginiais vidurkiais X(1), ..., X(n) atzvilgiu.

Matome, kad seka X(n) (n = 1, 2, ...) yra martingalas.

19. BRAUNO IR PUASONO PROCESAI

Susipazinsime su dviem specialiais Markovo procesais: Brauno ir Puasono. Tai– palyginti gana paprasti procesai, bet labai placiai taikomi praktikoje. Jieturejo nemazai reiksmes bendrajai atsitiktiniu

‘procesu

‘raidai. Tiems proce-

sams apibrezti i‘vesime keleta

‘bendresniu

‘sa

‘voku

‘.

Atsitiktinis procesas X(t), t ∈ T ⊂ R, i‘gyjantis reiksmes is R, yra

vadinamas procesu su nepriklausomais pokyciais, jei bet kuriems tk ∈ T (k == 1, ..., n), t1 < ... < tn, atsitiktiniai dydziai

X(tn)−X(tn−1), X(tn−1)−X(tn−2), ..., X(t2)−X(t1)

yra nepriklausomi.Procesas su nepriklausomais pokyciais yra vadinamas homogeniniu, jei

bet kuriems t1, t2, t1 + t, t2 + t ∈ T atsitiktiniai dydziai

X(t2)−X(t1), X(t2 + t)−X(t1 + t)

yra vienodai pasiskirste‘, kitaip tariant, jei atsitiktinio dydzio X(t2)−X(t1)

pasiskirstymas priklauso tik nuo intervalo t2 − t1 ilgio, bet ne nuo paciu‘

t1 ir t2.Procesas su nepriklausomais pokyciais yra Markovo procesas. Jei kiekvie-

nam t ∈ T atsitiktinis dydis yra integruojamas, tai X(t) −MX(t), t ∈ Tyra martingalas. Galima i

‘rodyti, kad toks procesas egzistuoja.

(Vienamaciu) Brauno procesu vadinamas homogeninis procesas su nepri-klausomais pokyciais W (t), t ∈ [0,∞), kuriam P (W (0) = 0) = 1 ir betkuriems s, t, 0 ≤ s < t, pokytis W (t)−W (s) yra pasiskirste

‘s pagal normalu

‘ji‘

desni‘N(0, t− s).



Sio proceso tyrimai turi ilgoka‘istorija

‘. 1827 m. R. Braunas1, stebedamas

pro mikroskopa‘

mazytes kietas daleles skystyje, pamate, kad jos labai ne-taisyklingai juda. Panasiai juda mazytes dulkeles ore. To proceso mechaniz-mo isaiskinimas buvo vienas is didziausiu

‘statistines mechanikos bei kinetines

teorijos laimejimu‘. Paaiskejo, kad netaisyklinga

‘daleliu

‘judejima

‘sukelia

aplinkos molekuliu‘bombardavimas. Brauno judejimo teorijos matematinius

pagrindus 1923 m. padejo N. Vyneris2, todel sis procesas daznai vadinamas jovardu. Veliau tas procesas buvo placiai pritaikytas i

‘vairiose srityse: kvantu

‘mechanikoje, statistikoje, radiotechnikoje ir t. t. Tik cia dazniausiai tenkakalbeti ne apie vienamati

‘, o trimati

‘procesa

‘, kuris nuo apibreztojo skiriasi

tik tuo, kad W (t) i‘gyja reiksmes erdveje R3, o jo komponentai yra nepriklau-

somi vienamaciai Brauno procesai.Brauno procesa

‘W (t), 0 ≤ t < ∞ galima nusakyti ir kaip homogenini

‘Markovo procesa

‘su perejimo funkcija

p(t, x, E) =∫E

ϕ(t, x, y)dy,

kai ϕ(t, x, y) yra parabolines diferencialines lygties

(1)∂ϕ

∂t=

12∂2ϕ

∂x2

fundamentalusis sprendinys. Jis lygus

ϕ(t, x, y) =1√2πt

exp(− (y − x)2

2t

).

(1) lygtis yra specialus atvejis lygciu‘, kurias tenkina gana placios Markovo

procesu‘klases perejimo funkcijos.

Brauno procesas nera toks paprastas, kaip gali atrodyti. Galima i‘rodyti,

kad su tikimybe 1 Brauno proceso trajektorijos yra tolydzios, bet visuosetaskuose nediferencijuojamos funkcijos.

Panagrinesime kiek detaliau kita‘

– Puasono procesa‘. Taip vadinsime

homogenini‘

tolydaus laiko procesa‘X(t), t ∈ [0,∞) su nepriklausomais

pokyciais, jei X(t)−X(0) yra pasiskirste‘s pagal Puasono desni

‘su parametru

λt. Cia λ yra teigiamas skaicius; jis vadinamas proceso intensyvumu. Delpaprastumo laikysime P (X(0) = 0) = 1.

Tokio proceso egzistavimas isplaukia is Kolmogorovo teoremos, nes poky-cio nepriklausomumas ir proceso homogeniskumas bei pokycio pasiskirstymaspagal Puasono desni

‘indukuoja suderintus baigtiniamacius pasiskirstymus.

1 Robert Brown (1773–1858) – anglu‘botanikas.

2 Norbert Wiener (1894–1964) – amerikieciu‘matematikas.


Puasono procesas gerai atitinka daugeli‘realiu

‘procesu

‘. Paminesime keleta

‘pavyzdziu

‘. Skaicius radioaktyviosios medziagos atomu

‘, suskilusiu

‘per laiko-

tarpi‘(0, t], yra atsitiktinis procesas, kurio matematinis modelis gali buti Pua-

sono procesas. Duota sudetinga radiotechnine schema is vienodu‘

detaliu‘.

Skaicius detaliu‘, kurios sugenda per laikotarpi

‘(0, t], taip pat daznai ap-

rasomas Puasono procesu. Taip pat galima aprasyti matematiskai telefonoskambuciu

‘gelezinkelio stoties informacineje per ilgio t laikotarpi

‘, sakysime,

mazdaug tuo paciu darbo dienos metu (i‘vairiu paros metu, aisku, skambuciu

‘skaicius bus skirtingai pasiskirste

‘s – nakti

‘ju

‘bus maziau).

Puasono procesa‘galime gauti pagal sitokia

‘schema

‘.

Sakykime, tiriame atsitiktini‘i‘vyki

‘A – stebime jo i

‘vykimus laiko inter-

vale (0,∞). Pazymekime X(t) to i‘vykio i

‘vykimu

‘skaiciu

‘laikotarpiu (0, t]. Tai

gali buti, pavyzdziui, skaicius suskilusiu‘radioaktyviosios medziagos atomu

‘,

sugedusiu‘radiotechnines schemos detaliu

‘, telefono skambuciu

‘ir pan. Vadi-

nasi, X(t) i‘gis tik sveika

‘sias neneigiamas reiksmes. Susitarsime laikyti

P (X(0) = 0) = 1. Pareikalausime, kad butu‘tenkinamos sa

‘lygos.

1. Procesas turi buti su nepriklausomais pokyciais, t. y. i‘vykio A i

‘vy-

kimu‘

skaiciai per i‘vairius vienas kito nedengiancius laiko tarpus turi buti

nepriklausomi atsitiktiniai dydziai.2. Jis turi buti homogeninis, t. y. tikimybe, kad i

‘vykis A i

‘vyks kuri

‘nors

skaiciu‘kartu

‘, turi priklausyti tik nuo stebejimo trukmes.

3. Kai t→ 0,

P(X(t) > 1

)= o(t);

tai reiskia, kad per trumpa‘laiko tarpa

‘i‘vykis A praktiskai negali i

‘vykti dau-

giau kaip viena‘karta

‘.

Atkreipsime demesi‘, kad si sa

‘lyga Puasono proceso atveju isplaukia is jo

apibrezimo. Turime

P(X(t) > 1

)= e−λt

∞∑k=2

(λt)k

k!<

< e−λt(λt)2

2

∞∑k=2

(λt)k−2

(k − 2)!= (λt)2/2 = o(t).

4. Visiems t > 0 turi buti teisinga nelygybe

0 < P(X(t) > 0

)< 1.

Tiesa‘pasakius, kaip veliau matysime, uztenka reikalauti, kad

0 < P(X(1) > 0

)< 1.

Sia sa‘lyga atmetami atvejai, kai i

‘vykis A su tikimybe 1 negali i

‘vykti per joki

‘laikotarpi

‘arba kai jis su tikimybe 1 per bet kuri

‘laikotarpi

‘i‘vyksta be galo

daug kartu‘.



I‘rodysime, kad visos tos sa

‘lygos nusako Puasono procesa

‘. Tuo tikslu reikes

i‘rodyti, kad

pk(t) = P(X(t) = k

)=

(λt)k

k!e−λt (k = 0, 1, ...);

cia λ yra kokia nors teigiama konstanta.Is uzrasytu

‘ju

‘sa

‘lygu

‘isplaukia, kad

(2) pk(0) = 1, kai k = 0,

0, kai k ≥ 1.

Remdamiesi 4 sa‘lyga, pazymekime

p0(1) = 1− P(X(1) > 0

)= e−λ;

cia λ yra teigiama konstanta.I‘vykis A ne karto nei

‘vyks laikotarpiu (0, l/n], jei jis ne karto nei

‘vyks

laikotarpiais (0,

1n

],( 1n,2n

], ...,

( l − 1n

,l

n

].

Todel is 1 ir 2 sa‘lygu

‘isplaukia

P

(X( ln

)= 0)

= P

( l⋂j=1

X( jn

)−X

(j − 1n

)= 0)

=

= P l(X( 1n

)= 0).

Kai l = n,

P(X(1) = 0

)= e−λ = pn0

( 1n

).

Todel

p0

( 1n

)= e−λ/n, p0

( ln

)= e−λl/n.

Vadinasi, bet kuriam neneigiamam racionaliajam skaiciui r

p0(r) = e−λr.

Tarkime, kad t yra bet kuris realusis neneigiamas skaicius, nebutinai racio-nalusis. Galesime rasti du racionaliuosius skaicius r1 ir r2, tenkinancius ne-lygybes 0 ≤ r1 ≤ t ≤ r2. Kadangi p0(t) yra nedidejanti funkcija, tai


p0(r1) ≥ p0(t) ≥ p0(r2),

vadinasi,

e−λr1 ≥ p0(t) ≥ e−λr2 .

Taciau racionaliuosius skaicius r1, r2 galime parinkti kiek norima artimusskaiciui t. Todel visiems neneigiamiems t

(3) p0(t) = e−λt.

Tirsime pk(t), kai k ≥ 1. I‘vyki

‘, kai A laikotarpiu (0, t + ∆t] i

‘vyksta k

kartu‘, galima suskaidyti i

‘k+1 atveju

‘: laikotarpiu (0, t] jis i

‘vyksta k kartu

‘, o

laikotarpiu (t, t+∆t] – ne karto; laikotarpiu (0, t] tas i‘vykis i

‘vyksta k−1 kartu

‘,

o laikotarpiu (t, t+∆t] – viena‘karta

‘; ...; laikotarpiu (0, t] i

‘vykis A nei

‘vyksta

ne karto, o laikotarpiu (t, t+ ∆t] i‘vyksta k kartu

‘. Is tikimybes adityvumo ir

proceso homogeniskumo bei pokyciu‘nepriklausomumo isplaukia

pk(t+ ∆t) =k∑j=0

pj(t)pk−j(∆t).

Is (3) sa‘lygos

pj(∆t) = o(∆t),

kai ∆t→ 0 ir j > 1. Todel

pk(t+ ∆t) = p0(∆t)pk(t) + p1(∆t)pk−1(t) + o(∆t).

Be to, is lygybes

P(X(∆t) = 0

)+ P

(X(∆t) = 1

)+ P

(X(∆t) > 1

)= 1,

3 sa‘lygos ir (3) gauname

p1(∆t) = 1− p0(∆t) + o(∆t) = 1− e−λ∆t + o(∆t).

Vadinasi,

pk(t+ ∆t) = e−λ∆tpk(t) + (1− e−λ∆t)pk−1(t) + o(∆t).

Is cia gauname lygybe‘

pk(t+ ∆t)− pk(t)∆t

=e−λ∆t − 1

∆t(pk(t)− pk−1(t)

)+ o(1).



Toje lygybeje pereiname prie ribos, kai ∆t → 0. Kadangi desiniosios pusesriba egzistuoja, tai turi egzistuoti ir kairiosios. Gauname sistema

‘diferencia-

liniu‘lygciu

‘

(4)dpk(t)dt

= −λpk(t) + λpk−1(t) (k = 1, 2, ...).

Pakeisime

pk(t) = e−λtvk(t).

(2) pradines sa‘lygos virs sitokiomis:

vk(0) = 1. kai k = 0,

0, kai k ≥ 1.

(4) lygtys bus pavidalo

dvk(t)dt

= λvk−1(t) (k = 1, 2, ...),

be to, pagal (3) bus v0(t) = 1. Is eiles spre‘sdami tas lygtis, gausime

v1(t) = λt, v2(t) =(λt)2

2!, ..., vk(t) =

(λt)k

k!.

Vadinasi,

pk(t) =(λt)k

k!e−λt (k = 1, 2, ...).

Nesunku suvokti, kad Puasono procesa‘

galima traktuoti kaip tolygauslaiko homogenini

‘Markovo procesa

‘X(t), 0 ≤ t < ∞ su busenu

‘aibe

0, 1, ... ir perejimo tikimybemis

pjk(t) = P(X(t0 + t) = k|X(t0) = j

)=

=P(X(t0) = j,X(t0 + t)−X(t0) = k − j

)P(X(t0) = j

) =

= P(X(t0 + t)−X(t0) = k − j

)=

(λt)k−j

(k − j)!e−λt,

kai k ≥ j, ir pij(t) = 0, kai k < j.Paminesime dar viena

‘Puasono proceso konstravimo buda

‘. Sakykime,

duota seka nepriklausomu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘ξ1, ξ2, ..., turinciu

‘ta

‘pati

‘eks-

ponentini‘pasiskirstyma

‘(zr. II.5.9 pvz.) su tankio funkcija


q(x) = 0, kai x ≤ 0,λe−λx, kai x > 0;

cia λ – teigiama konstanta. Konstruosime procesa‘X(t), 0 ≤ t <∞. Imame

X(0) = 0. PazymekimeX(t) skaiciu‘tasku

‘su koordinatemis τ1 = ξ1, τ2 = ξ1+

+ξ2, ..., τk = ξ1 + ...+ ξk, ... intervale (0, t]. Parodysime, kad X(t), 0 ≤ t <<∞ yra Puasono procesas.

Apskaiciuosime tikimybe‘pk(t) = P (X(t) = k). Realiesiems u imkime

integrala‘

(5)∫ ∞

0

eiux−λxdx =1

λ− iu.

Vadinasi, kiekvieno is atsitiktiniu‘dydziu

‘ξk charakteristine funkcija

fξk(u) =

λ

λ− iu,

o sumos τk charakteristine funkcija

fτk(u) = fkξ1(u) =

λk

(λ− iu)k.

Diferencijuodami (5) lygybe‘k − 1 kartu

‘pagal parametra

‘λ, gauname∫ ∞

0

xk−1eiux−λxdx =(k − 1)!(λ− iu)k

.

Todel sumos τk tankio funkcija

qτk(u) =

0, kai x ≤ 0,λkxk−1

(k − 1)!e−λx, kai x > 0.

Intervale (0, t] turime k nagrinejamu‘tasku

‘tada ir tik tada, kai τk ≤ t ir

τk+1 = τk + ξk+1 > t. Todel

pk(t) = P (τk ≤ t, τk + ξk+1 > t) = P (τk ≤ t, ξk+1 > t− τk).

Taciau dydziai τk ir ξk+1 yra nepriklausomi. Vadinasi,

pk(t) =∫ t

0

∫ ∞

t−xqτk

(x)q(y)dxdy =

=λk

(k − 1)!

∫ t

0

xk−1e−λxdx

∫ ∞

t−xλe−λydy =

=λk

(k − 1)!e−λt

∫ t

0

xk−1dx =(λt)k

k!e−λt.



Nesunku patikrinti, kad procesas X(t), 0 ≤ t <∞ yra homogeninis irturi nepriklausomus pokycius. Vadinasi, jis yra Puasono procesas.

20. DAUGINIMOSI IR NYKIMO PROCESAS

Siek tiek apibendrinsime praeitame skyrelyje aprasyta‘ja

‘schema

‘. Sakykime,

turime automatine‘telefono stoti

‘, kuria

‘jungia su abonentais daugybe liniju

‘.

Kartkartemis abonentai naudojasi telefonu. Uzimtu‘

liniju‘

skaicius nuolatkeiciasi. Svarbu zinoti ne tik kiek abonentu

‘naudojasi telefonu per kuri

‘nors

laiko tarpa‘, bet ir kiek liniju

‘yra uzimtos konkreciu momentu. Panasiai yra

ir kitose masinio aptarnavimo sistemose: gelezinkelio, aviacijos, autobusu‘ir

t. t. bilietu‘kasose, parduotuvese ir pan. Cia kreipiasi vis nauji klientai, jie

aptarnaujami, o laukianciu‘eilese klientu

‘skaicius nuolat kinta.

Panasus klausimai iskyla ir biologijoje, nagrinejant kurios nors populiaci-jos didumo kitima

‘: gimsta nauji individai, kiti mirsta.

Tokiems procesams aprasyti daznai tinka dauginimosi ir nykimo proce-sas, kuri

‘dabar nagrinesime. Kalbesime apie signalus, kurie atsiranda arba

isnyksta. Pazymesime X(t) signalu‘

skaiciu‘

laiko momentu t. Tarsime, kadsignalu

‘skaicius nera ribotas (idealizacija!). Vadinasi, kalbesime apie atsitiktini

‘procesa

‘X(t), 0 ≤ t <∞, kurio busenu

‘aibe yra 0, 1, 2, .... Reikalausime,

kad butu‘tenkinamos sitokios sa

‘lygos.

1. Procesas turi buti su nepriklausomais pokyciais.2. Jis turi buti homogeninis.3. Jei momentu t yra k signalu

‘, tai tikimybe naujam signalui atsirasti ir

ne vienam neisnykti laikotarpiu (t, t+ ∆t] yra

λk∆t+ o(∆t),

kai ∆t→ 0. Jei momentu t yra k signalu‘, tai tikimybe vienam is ju

‘isnykti ir

neatsirasti ne vienam naujam signalui laikotarpiu (t, t+ ∆t] yra

µk∆t+ o(∆t),

kai ∆t → 0. Cia λk ir µk yra neneigiami skaiciai. Tikimybe, kad laikotarpiu(t, t + ∆t] atsiras ne maziau kaip k nauju

‘signalu

‘ir isnyks ne maziau kaip l

signalu‘, yra o(∆t), kai k + l ≥ 2 ir ∆t→ 0.

Turime tolydaus laiko homogenine‘

Markovo grandine‘

su busenu‘

aibe0, 1, .... Perejimo tikimybes pjk(t) tenkina sa

‘lygas (plg. 18 skyrelio (2)

sa‘lygas)

pjk(∆t) = o(∆t), kai |j − k| ≥ 2,

pk,k+1(∆t) = λk∆t+ o(∆t), kai k = 0, 1, ...,

pk,k−1(∆t) = µk∆t+ o(∆t), kai k = 1, 2, ...,

pkk(∆t) = 1− (λk + µk)∆t+ o(∆t), kai k = 0, 1, ...;

Dauginimosi ir nykimo procesai 261

cia visur ∆t→ 0;µ0 = 0. Be to, reikalausime, kad butu‘pjk(0) = 0, kai j 6= k,

ir pkk(0) = 1. Gauname tiesioginiu‘diferencialiniu

‘lygciu

‘sistema

‘

p′0k(t) = −λ0p0k(t) + λ0p1k(t) (k = 0, 1, ...),

p′jk(t) = µkpj−1,k(t)− (λj + µj)pjk(t) + λkpj+1,k(t)

(j = 1, 2, ...; k = 0, 1, ...)

ir atvirkstiniu‘

p′j0(t) = −λ0pj0(t) + µ1pj1(t) (j = 0, 1, ...),

p′jk(t) = λk−1pj,k−1(t)− (λk + µk)pjk(t) + µk+1pj,k+1(t)

(j = 0, 1, ...; k = 1, 2, ...).

Pazymeje‘pk(t) tikimybe

‘, kad laiko momentu t bus k signalu

‘, turime diferen-

cialiniu‘lygciu

‘sistema

‘

p′0(t) = −λ0p0(t) + µ1p1(t),

p′k(t) = λk−1pk−1(t)− (λk + µk)pk(t) + µk+1pk+1(t)

(k = 1, 2, ...).

Procesui apibrezti dar reikia pradiniu‘tikimybiu

‘pk(0).

Bendruoju atveju tas lygciu‘

sistemas sunkoka isspre‘sti. Taciau to ir

nereikia, kai mums rupi tikimybiu‘pjk(t) ir pk(t) kitimo pobudis dideliems

t. Galima i‘rodyti, kad egzistuoja ribos

limt→∞

pjk(t) = p∗k (j = 0, 1, ...; k = 0, 1, ...),

nepriklausancios nuo j ir tenkinancios lygtis

− λ0p∗0 + µ1p

∗1 = 0,

λk−1p∗k−1 − (λk + µk)p∗k + µk+1p

∗k+1 (k = 1, 2, ...).

Is cia indukcijos metodu gauname

µkp∗k = λk−1p

∗k−1 (k = 1, 2, ...).

Jei µk > 0 visiems k = 1, 2, ..., tai

p∗k = p∗0λ0

µ1· λ1

µ2· · · λk−1

µk(k = 1, 2, ...).

Seka p∗k nusako stacionaru‘ji‘

pasiskirstyma‘, kai visu

‘p∗k suma lygi 1. Jei

eilute



(1)∞∑n=1

λ0λ1...λn−1

µ1µ2...µn

konverguoja, tai

p∗k =

λ0λ1...λk−1

µ1µ2...µk

1 +∞∑n=1

λ0λ1...λn−1

µ1µ2...µn

(k = 1, 2, ...).

Jei (1) eilute diverguoja, tai butinai p∗k = 0. Tada ribinis stacionarusis pa-siskirstymas neegzistuoja.

Panagrinesime specialu‘

dauginimosi ir nykimo procesa‘, kuris svarbus

masinio aptarnavimo teorijoje. Sakykime, turime sistema‘, kuri vienu metu

gali aptarnautim klientu‘. Tarkime, jog sistemoje is viso yram liniju

‘ir klienta

‘gali aptarnauti bet kuri laisva linija. Jei visos linijos uzimtos, tai klientas liekaneaptarnautas ir jis is aptarnavimo sistemos iskrenta (eiliu

‘nera).

Mums rupi uzimtu‘liniju

‘skaicius, kuri

‘laiko momentu t zymesime X(t).

Taigi busenu‘aibe yra 0, 1, ...,m. Laikysime, kad procesas tenkina daugini-

mosi ir nykimo proceso sa‘lygas su λk = λ0 > 0 (k = 1, 2, ...,m − 1), λk =

= 0 (n = m,m+ 1, ...), µk = kµ (k = 1, ...,m), µ > 0, µk = 0 (k = m+ 1, ...).Siuo atveju ribinis stacionarusis pasiskirstymas egzistuoja ir ribines tiki-mybes yra

p∗k =

1k!

(λµ

)km∑n=0

1n!

(λµ

)n (k = 0, 1, ...,m).

Tos formules vadinamos ju‘autoriaus – vieno is masinio aptarnavimo teorijos

pionieriu‘– Erlango1 vardu.

1 Agner Krarup Erlang (1878–1929) – danu‘mokslininkas.

IV skyrius. MATEMATINES STATISTIKOS

PRADMENYS

1. MATEMATINES STATISTIKOS UZDAVINIAI

Matematine statistika nagrineja stebejimo rezultatu‘matematinio aprasymo

ir analizavimo budus. Tipiskas matematines statistikos uzdavinys gali butinusakytas sitaip. Sakykime, turime aibe

‘objektu

‘, kuriuos tiriame pagal ku-

riuos nors pozymius, o pacius pozymius galime charakterizuoti skaiciais.Tu

‘skaiciu

‘arba vektoriu

‘(jei tiriame keleta

‘pozymiu

‘) aibe

‘i‘prasta vad-

inti generaline aibe. Paprastai tiriamojo pozymio pasiskirstymas generalinejeaibeje nera zinomas. Norint ji

‘nustatyti, reiketu

‘istirti visus generalines

aibes objektus. Tai gali pareikalauti daug darbo ir lesu‘, o kartais toks tyri-

mas is principo nera galimas. Tarkime, kad automatines stakles gaminakokias nors pigias detales. Mums rupi tu

‘detaliu

‘svorio pasiskirstymas vi-

soje vienos dienos produkcijoje. Tektu‘

sverti kiekviena‘

detale‘. Sis darbas

kainuotu‘daugiau negu pati detaliu

‘partija. Kitas pavyzdys. Fabrikas gamina

elektros lemputes. Reikia suzinoti, kiek laiko vidutiniskai jos dega. Norintpatikrinti visu

‘per diena

‘pagamintu

‘lempuciu

‘degimo trukme

‘, reiketu

‘jas

zibinti tol, kol perdegs. Taip sugadintume visa‘produkcija

‘. Todel elgiamasi

kitaip: atsitiktinai parenkama generalines aibes objektu‘

dalis, istiriamasreikiamo pozymio pasiskirstymas tame poaibyje ir is jo sprendziama apieto pozymio pasiskirstyma

‘visoje generalineje aibeje. Parinktoji generalines

aibes dalis vadinama imtimi. Taikant matematines statistikos metodus,galima i

‘vertinti tiriamojo pozymio pasiskirstyma

‘generalineje aibeje, kai

zinomas to pozymio pasiskirstymas imtyje.Matematines statistikos metodai tinka tik tada, kai imtis yra reprezen-

tatyvi, t. y. kai ji teisingai atspindi tiriamojo pozymio galimu‘reiksmiu

‘pro-

porcijas generalineje aibeje.Imti

‘galima sudaryti i

‘vairiai. Galima atsitiktinai imti kuri

‘nors generali-

nes aibes objekta‘, po to gra

‘zinti ji

‘i‘generaline

‘aibe

‘ir toliau vel atsitiktinai

imti bet kuri‘

tos aibes objekta‘. Taciau galima kiekvieno parinkto objekto

i‘

generaline‘

aibe‘

nebegra‘zinti. Parinkimai gali buti nepriklausomi, bet gali

buti ir priklausomi.Matematineje statistikoje stengiamasi imtis aprasyti atsitiktiniu

‘dydziu

‘terminais. Paprasciausiu atveju tinka sitokia schema. Tiriame atsitiktini

‘dydi

‘su nezinoma pasiskirstymo funkcija. Stebime ta

‘dydi

‘n kartu

‘. Gauname n

stebejimo rezultatu‘– imti

‘. Is jos reikia spre

‘sti apie nezinoma

‘pasiskirstymo

funkcija‘. Toliau visur stebejimus laikysime nepriklausomais. Sudarysime vie-

namacio atsitiktinio dydzio n nepriklausomu‘stebejimu

‘matematini

‘modeli

‘.

264 Matematines statistikos pradmenys

Kaip zinome, atsitiktinis dydis yra mati funkcija, atvaizduojanti pirmykste‘

tikimybine‘erdve

‘macioje erdveje R,B. Taciau tiriant to dydzio reiksmiu

‘pasiskirstyma

‘, nebutina zinoti pirmykstes tikimybines erdves – galima ope-

ruoti erdve R,B ir atsitiktinio dydzio indukuotu tikimybiniu pasiskirstymutoje erdveje (zr. II.2 skyreli

‘).

Sakykime, stebime atsitiktini‘

dydi‘, indukuojanti

‘tikimybine

‘erdve

‘R,B, Pθ. Apie to dydzio tikimybini‘pasiskirtyma

‘Pθ zinome tik tiek, kad

jis priklauso pasiskirstymu‘klasei Pθ, θ ∈ Θ; cia Θ gali buti realiu

‘ju

‘skaiciu

‘,

arba erdves Rs, s > 1, tasku‘, arba ir dar sudetingesne aibe. Sakykime, zinome,

kad stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal Puasono desni

‘su

nezinomu parametru λ; tada aibe Θ galime laikyti visu‘

realiu‘ju

‘teigiamu

‘skaiciu

‘aibe

‘(0,∞). Jei atsitiktinis dydis pasiskirste

‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘N(a, σ2) su nezinomu vidurkiu a ir nezinoma dispersija σ2, tai aibe Θ galibuti erdves R2 aibe R × (0,∞). Taciau apie atsitiktini

‘dydi

‘galime tureti ir

maziau informacijos. Sakysime, galime zinoti, tik kad jis yra diskretusis arbatolydusis. Tada Θ teks laikyti daug sudetingesne aibe.

Atsitiktinio dydzio n stebejimu‘

bus n-matis atsitiktinis vektorius X == (X1, ..., Xn). Kadangi stebejimai yra nepriklausomi, tai X1, ..., Xn busnepriklausomi atsitiktiniai dydziai. X pasiskirstyma

‘nusakys jo indukuota

tikimybine erdve

Rn,Bn,Pθ = Rn,Bn, Pnθ = R,B, Pθn

(zr. V.10 skyreli‘). Atsitiktinis dydis Xk atitinka k-a

‘ji‘stebejima

‘, o vektorius

X = (X1, ..., Xn) yra atsitiktine, arba matematine, imtis. Konkreti to vek-toriaus reiksme x = (x1, ..., xn) yra konkreti imtis arba atsitiktines imtiesX = (X1, ..., Xn) realizacija. Erdve R,B, Pθn paprastai vadinama imciu

‘erdve.

Kartais stebejimu‘skaicius n yra labai didelis. Tada tikslinga kalbeti apie

begaline‘nepriklausomu

‘stebejimu

‘seka

‘. Jos matematinis modelis yra erdve

R,B, Pθ∞. Kiekvienam n erdve‘R,B, Pθn galima traktuoti kaip begalines

erdviu‘sandaugos poerdvi

‘.

Didzioji dalis klausimu‘, kuriuos tenka spre

‘sti matematineje statistikoje,

yra dvieju‘tipu

‘.

1. I‘v e r t i n i m u

‘t e o r i j a. Jos tikslas – nurodyti metodus, kuriais ga-

lima butu‘i‘vertinti stebimojo atsitiktinio dydzio pasiskirstymo funkcija

‘arba

kitas pasiskirstymo charakteristikas: vidurki‘, dispersija

‘ir pan. Daznai, re-

miantis kokiais nors teoriniais samprotavimais ar praktine patirtimi, galimateigti, kad pasiskirstymo funkcija yra zinomo analizinio pavidalo, bet pri-klauso nuo vieno arba keliu

‘nezinomu

‘parametru

‘θ. Reikia tuos parametrus

i‘vertinti.

Panagrinesime pavyzdi‘. Metame moneta

‘. Realios monetos nera simet-

riskos. Is stebejimo rezultatu‘

reikia i‘vertinti herbo atsivertimo tikimybe

‘p.

Su monetos metimu galime susieti atsitiktini‘dydi

‘, i

‘gyjanti

‘reiksme

‘1, kai at-

sivercia herbas, ir 0, kai atsivercia kita monetos puse. To dydzio pasiskirstymo

Atsitiktinio dydzio empirines charakteristikos 265

funkcija(1− p)ε(y) + pε(y − 1)

priklauso nuo nezinomo parametro p; cia ε(y) yra III.7.2 teoremos i‘rodyme

nusakyta vienetine pasiskirstymo funkcija.Suprantama, is stebejimo rezultatu

‘negalime tiksliai nusakyti nezinomu

‘pasiskirstymo charakteristiku

‘, galime tik apytiksliai jas i

‘vertinti.

2. H i p o t e z i u‘

t i k r i n i m a s. Bet kokia‘prielaida

‘apie stebimojo

atsitiktinio dydzio pasiskirstymo desni‘vadiname statistine hipoteze. Reikia

patikrinti, ar stebejimo duomenys nepriestarauja tai prielaidai. Matematiskaita

‘uzdavini

‘galime formuluoti sitaip. Tarkime, kad stebimojo atsitiktinio

dydzio pasiskirstymas Pθ priklauso klasei Pθ, θ ∈ Θ. Statistine hipotezevadinsime prielaida

‘, kad θ ∈ Θ0; cia Θ0 yra aibes Θ tikrinis poaibis. Rasoma

H : θ ∈ Θ0. Hipoteze vadinama paprasta‘ja, kai Θ0 yra sudaryta tik is

vieno elemento, ir sudetinga‘ja, kai aibeje Θ0 yra daugiau elementu

‘. Tikri-

namoji hipoteze, kad θ ∈ Θ0, dar vadinama nuline hipoteze H0, o hipotezeH1 : θ ∈ Θ\Θ0 vadinama alternatyvia

‘ja hipoteze, arba tiesiog alternatyva.

Gri‘zkime prie jau mineto pavyzdzio apie moneta

‘. Hipoteze p = 1/2 (mo-

neta simetriska) yra paprastoji; jos alternatyva yra p 6= 1/2. Hipoteze p > 1/2yra sudetingoji.

Cia paminejome tik pora‘pagrindiniu

‘matematines statistikos uzdaviniu

‘–

su kitais susipazinsime kituose skyreliuose. Taciau ir ten pateiksime tik maza‘

dali‘uzdaviniu

‘, kuriuos nagrineja matematine statistika. Sis skyrius yra tik

trumpas i‘vadas i

‘matematines statistikos idejas ir metodus.

2. ATSITIKTINIO DYDZIO EMPIRINESCHARAKTERISTIKOS

Statistinems isvadoms daryti is stebejimo rezultatu‘

naudojamos i‘vairios

imties funkcijos, is tradicijos vadinamos statistikomis. Su jomis tenka at-likineti algebrines bei analizines operacijas. Todel naturalu reikalauti, kadtos funkcijos butu

‘macios. Apibresime jas tiksliai.

Tarkime, kad, be erdves R,B, Pθn, tiriame dar ir macia‘erdve

‘Γ, E,

ir funkcija T : Rn → Γ yra (Bn, E) mati, t. y. T−1(A) ∈ Bn kiekvienaiA ∈ E . Tada imties funkcija T (X) = T (X1, ..., Xn) yra vadinama statistika.Paprastai erdve Γ, E yra Rs,Bs, atskiru atveju R,B. Todel statistikaT (X) yra daugiamatis, arba atskiru atveju vienamatis, atsitiktinis dydis. Kaix = (x1, ..., xn) yra konkreti imtis, T (x) = T (x1, ..., xn) yra konkreti statis-tikos reiksme, jos realizacija.

Viena is pagrindiniu‘

statistiku‘

yra vadinamoji empirine pasiskirstymofunkcija Fn(y). Ji apibreziama sitaip:

Fn(y) =1n

∑Xk<y

1,


kitaip tariant, tai yra mazesniu‘

uz y imties elementu‘Xk skaicius, padaly-

tas is n. Ta‘funkcija

‘galime ir kitaip apibrezti. Surasykime imties elementus

didejancia tvarka. Gausime vadinama‘ja

‘variacine

‘seka

‘

X∗1 ≤ X∗

2 ≤ ... ≤ X∗n.

Tarkime, kad Y1 < Y2 < ... < Yr yra skirtingi imties elementai, pasikarto-jantys atitinkamai N1, N2, ..., Nr kartu

‘. Tada empirine


‘galime uzrasyti pavidalu

Fn(y) =∑Yk<y

Nkn.

Atkreipsime demesi‘, kad sioje formuleje Nk ir r yra atsitiktiniai dydziai.

Pasiskirstymo funkcija kiekvienam y ∈ R, aisku, yra atsitiktinis dydis. Jei(x1, ..., xn) yra konkreti imtis, tai Fn(y) realizacija bus pasiskirstymo funkcija

Fn(y) =1n

∑xk<y

1 =∑ym<y

nmn

;

cia y1, ..., ys – skirtingi variacines sekos realizacijos elementai, pasikartojantysatitinkamai n1, ..., nr kartu

‘.

Apibresime empirinius momentus. Analogiskai II.9 skyreliui (pradiniu)empiriniu l-uoju momentu vadinsime

Al =∫ ∞

−∞yldFn(y) =

1n

n∑k=1

X lk (l = 1, 2, ...).

Visi jie, aisku, egzistuoja. Pirmasis empirinis momentas, arba empirinisvidurkis, paprastai zymimas X:

X =X1 + ...+Xn

n.

l-uoju empiriniu centriniu momentu vadinsime

Ml =∫ ∞

−∞(y − X)ldFn(y) =

1n

n∑k=1

(Xk − X)l (l = 1, 2, ...).

Antra‘ji‘empirini

‘centrini

‘momenta

‘, arba empirine

‘dispersija

‘, zymesime

S2 =1n

n∑k=1

(Xk −X)2.

Is dispersijos savybiu‘(zr. II.9 skyreli

‘) isplaukia

Atsitiktinio dydzio empirines charakteristikos 267

S2 =1n

n∑k=1

X2k − X2.

Dydis

S =( 1n

n∑k=1

(Xk − X)2)1/2

vadinamas empiriniu vidutiniu kvadratiniu, arba empiriniu standartiniu,nuokrypiu. Visi tie dydziai yra atsitiktiniai. Konkrecioms imtims (x1, ..., xn)gauname tu

‘dydziu

‘realizacijas

al =1n

n∑k=1

xlk (l = 1, 2, ...),

x =x1 + ...+ xn

n,

ml =1n

n∑k=1

(xk − x)l (l = 1, 2, ...),

s2 =1n

n∑k=1

(xk − x)2,

s =( 1n

n∑k=1

(xk − x)2)1/2

.

Tarkime, kad 0 < p < 1. Empiriniu p-kvantiliu laikome atsitiktini‘dydi

‘

Xp = X∗[np]+1;

cia [np] yra skaiciaus np sveikoji dalis, o X∗[np]+1 – variacines sekos narys su

numeriu [np] + 1 . Kai p = 1/2, turime empirine‘

mediana‘; kai p = 1/4, 3/4,

turime apatini‘

ir virsutini‘

empirinius kvartilius. Kartais dar vartojami em-piriniai deciliai, procentiliai ir pan.

Paminesime dar viena‘empirine

‘charakteristika

‘– imties ploti

‘

max1≤k≤n

Xk − min1≤k≤n

Xk = X∗n −X∗

1 .

Vartojamos ir kitokios empirines charakteristikos.


3. STEBEJIMO DUOMENU‘

GRUPAVIMAS

Stebejimo duomenys retai buna ”grazus” skaiciai. Tokie jie buna tik viduriniu‘

mokyklu‘matematikos uzdavinynuose, o praktiniuose uzdaviniuose – papras-

tai labai ”negrazus”. Todel, kai stebejimo duomenu‘daug, juos apdoroti gana

sunku. Skaiciavimams palengvinti stebejimo duomenys paprastai apvalinamiir grupuojami.

Intervalas, kuriame telpa stebejimo duomenys x1, ..., xn, paprastai skaido-mas i

‘intervalus [τl−h/2, τl+h/2); cia τl = τ0+hl(l = 0,±1, ...), h – atitinka-

mai parinktas skaicius. Duomenys, pateke‘

i‘

intervala‘

[τl − h/2, τl + h/2),pakeiciami skaiciais τl. Taip elgiantis, galima gerokai suprastinti skaiciavimus,jei tik skaiciai τ0 ir h tinkamai parinkti. Skaicius τl reikia parinkti kuo”grazesnius”. Kuo skaicius h bus didesnis, tuo paprastesni skaiciavimai,bet tuo didesne bus padaryta paklaida. Ir atvirksciai, kuo mazesnis h, tuoskaiciavimai sudetingesni, bet paklaida mazesne.

Panagrinesime, kaip apskaiciuojami empiriniai momentai, naudojantissugrupuotais duomenimis. Pradinius momentus, gautus is sugrupuotu

‘duo-

menu‘, zymesime a′j , centrinius momentus – m′

j . Tarkime, kad intervale[τl − h/2, τl + h/2) yra nl stebejimo duomenu

‘. Tada

a′j =1n

∑l

nlτjl ;

sumuojame pagal visus intervalus, kuriuose yra stebejimo duomenu‘. Analo-

giskai

m′j =

1n

∑l

nl(τl − a′1)j .

Tos formules rodo, kad skaiciavimai su sugrupuotais duomenimis yra pa-prastesni. Taciau, kaip minejome, padarome paklaidas. Separdas1 pasiuleapytiksles formules

m′j ≈

1j + 1

[j/2]∑r=0

(j + 12r + 1

)(h2

)2r

mj−2r,

kuriomis naudojantis, dazniausiai pasitaikanciais atvejais gaunamos mazesnespaklaidos. Is cia, pasinaudoje

‘rysiu tarp centriniu

‘ir pradiniu

‘momentu

‘,

galime gauti ir apytiksles formules pradiniams momentams. Tu‘

formuliu‘

pagrindima‘galima rasti [6] knygoje. Is ju

‘gauname

1 W. F. Sheppard – anglu‘statistikas.

Stebejimo duomenu‘grupavimas 269

a1 ≈ a′1,

a2 ≈ a′2 −112h2,

a3 ≈ a′3 −14a′1h

2,

a4 ≈ a′4 −12a′2h

2 +7

240h4,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

m2 ≈ m′2 −

112h2,

m3 ≈ m′3,

m4 ≈ m′4 −

12m′

2h2 +

7240

h4,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Matome, kad aj nuo a′j bei mj nuo m′j skiriasi papildomais demenimis –

Separdo pataisomis.Yra ir kitokiu

‘pataisu

‘.

Stebejimo duomenys daznai vaizduojami grafiskai i‘vairiais budais. Pami-

nesime tik vadinama‘sias histogramas. Kiekvienam intervalui [τl−h/2, τl+h/2)

breziame staciakampi‘, kurio pagrindas yra tas intervalas, o plotas lygus nl/n

(kitaip tariant, aukstine lygi nl/(nh); zr. 33 pav.).

P a v y z d y s. Automatines stakles gamina rutuliukus. Is vienos dienosprodukcijos parinkome 60 rutuliuku

‘(kiekviena

‘karta

‘gra

‘zindami rutuliuka

‘atgal)

ir ismatavome ju‘skersmenis. Matavimu

‘duomenys sitokie (milimetrais):

7, 38 7, 29 7, 43 7, 40 7, 36 7, 41 7, 35 7, 31 7, 26 7, 377, 28 7, 37 7, 36 7, 35 7, 24 7, 33 7, 42 7, 36 7, 39 7, 357, 45 7, 36 7, 42 7, 40 7, 28 7, 38 7, 25 7, 34 7, 33 7, 327, 33 7, 30 7, 32 7, 30 7, 39 7, 34 7, 38 7, 39 7, 27 7, 357, 35 7, 32 7, 35 7, 27 7, 34 7, 32 7, 38 7, 41 7, 36 7, 447, 32 7, 37 7, 31 7, 46 7, 35 7, 35 7, 29 7, 34 7, 30 7, 40

Suskaiciuosime pirmuosius keturis imties momentus. Po gana varginanciu‘skai-

ciavimu‘galime gauti (autorius naudojosi kiseniniu programuojamu kalkuliatoriumi)

a1 = x = 7, 3490; a2 ≈ 54, 10267; a3 ≈ 396, 957690; a4 ≈ 2917, 641561;

m2 = s2 ≈ 0, 002466; m3 ≈ −0, 000001; m4 ≈ 0, 000016.

Skaiciavimus palengvinsime, sugrupave‘duomenis. Grupavimo intervalo ilgi

‘im-

sime lygu‘0,04. Pasirinktus skaicius τl ir nl surasysime lenteleje:


τl 7,26 7,30 7,34 7,38 7,42 7,46

nl 5 9 20 14 9 3

Vel apskaiciuosime pirmuosius keturis momentus. Skaiciavimai bus trumpesni.Gausime

a′1 ≈ 7, 354667; a′2 ≈ 54, 093733; a′3 ≈ 397, 879800; a′4 ≈ 2926, 697274;

m′2 ≈ 0, 002612; m′

3 ≈ 0, 000008; m′4 ≈ 0, 000017.

33 pav.

Kaip matome, gautos reiksmes nedaug skiriasi nuo anksciau apskaiciuotu‘ju

‘. Su

Separdo pataisomis turetume

a′′2 ≈ 54, 093600; a′′3 ≈ 397, 876858; a′′4 ≈ 2926, 653999;

m′′2 ≈ 0, 002478; m′′

4 ≈ 0, 000015.

Tos pataisos siuo atveju nedaug padeda. Praktiniuose skaiciavimuose nereiketu‘imti

tiek daug skaitmenu‘po kablelio. Cia norejome tik pademonstruoti metodo tiksluma

‘.

4. PAKANKAMOSIOS STATISTIKOS

Is visu‘

galimu‘

statistiku‘

isskirsime labai svarbia‘

ju‘

klase‘

– pakankama‘sias

statistikas. Sia‘sa

‘voka

‘i‘vede R. Fiseris.

Pameginsime pakankamosios statistikos sa‘voka

‘paaiskinti paprastu pa-

vyzdziu. Sakykime, turime n nepriklausomu‘

eksperimentu‘. Po kiekvieno

eksperimento gali i‘vykti kuris nors i

‘vykis su nezinoma tikimybe p (Bernulio

eksperimentai). Tarkime, kad Xk = 1, kai tas i‘vykis i

‘vyko po k-ojo eks-

perimento, ir Xk = 0, kai jis nei‘vyko. Imtis (X1, ..., Xn) rodo skaiciu

‘T =

= X1 + ...+Xn ir numerius eksperimentu‘, kai stebimasis i

‘vykis i

‘vyko. Intu-

ityviai aisku, kad tu‘numeriu

‘zinojimas neduoda jokios papildomos informa-

cijos apie p reiksme‘. Tai galima paaiskinti ir sitaip. Imkime tokius skaicius

Pakankamosios statistikos 271

xk (k = 1, ..., n), lygius 0 arba 1, kad butu‘x1 + ... + xn = t. Sa

‘lyginis

(X1, ..., Xn) pasiskirstymas, kai T = t,

P(X1 = x1, ..., Xn = xn | T = t) = 1/(

n

t

)nepriklauso nuo p. Galime laikyti statistika

‘T = X1 + ... + Xn pakankama

parametrui p i‘vertinti.

Pateiksime grieztus apibrezimus.Nagrinesime tikimybini

‘-statistini

‘modeli

‘Rn,Bn,Pθ, θ ∈ Θ ⊂ Rs,

aprasyta‘1 skyrelyje. Tarkime, kad T : Rn → Rs yra (Bn,Bs) mati funkcija.

Sakysime, kad statistika T (X) yra pakankama pasiskirstymu‘klasei Pθ, θ ∈

∈ Θ, jei egzistuoja sa‘lygines tikimybes variantas Pθ

(B|T (X)

), nepriklausan-

tis nuo θ. Taip pat sakoma, kad statistika T (X) yra pakankama parametruiθ, jei aisku apie kokia

‘Θ kalbama.

Teorijai suprastinti laikysime, kad tikimybiniu‘

pasiskirstymu‘

klasePθ, θ ∈ Θ tenkina reikalavima

‘: egzistuoja σ baigtinis matas µ, apibreztas

macioje erdveje Rn,Bn, ir µ integruojama funkcija pθ(x), apibrezta erdvejeRn, su sa

‘lyga

Pθ(B) =∫B

pθ(x)µ(dx)

visiems θ ∈ Θ ir visoms B ∈ Bn; kitaip tariant, matai Pθ yra absoliuciaitolydus mato µ atzvilgiu (zr. V.9 skyreli

‘). Funkcija

‘pθ galime vadinti tankiu

mato µ atzvilgiu. Sakome, kad matas µ dominuoja pasiskirstymu‘

klase‘Pθ, θ ∈ Θ, o ta klase yra dominuota.

Sios sa‘vokos vartojamos ir tada, kai Pθ, θ ∈ Θ yra bet kuri tikimybiniu

‘pasiskirstymu

‘klase, nesusijusi su minetuoju tikimybiniu-statistiniu modeliu.

Nors dominavimo reikalavimas siek tiek susiaurina nagrinejamu‘pasiskirs-

tymu‘

klase‘, bet ji

‘tenkina visi praktiniuose uzdaviniuose pasitaikantys pa-

siskirstymai.Panagrinesime keleta

‘pavyzdziu

‘.

1 p a v y z d y s. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s

pagal normalu‘ji‘desni

‘N(a, σ2) su nezinomais parametrais a ∈ R, σ > 0. Tikimybini

‘mata

‘P(a,σ2), remiantis Lebego integralu, galima uzrasyti sitaip:

P(a,σ2)(B) =1

(σ√

2π)n

∫B

exp− 1

2σ2

n∑k=1

(xk − a)2dx.

Taigi klase‘P(a,σ2), a ∈ R, σ > 0 dominuoja Lebego matas.

2 p a v y z d y s. Nesunku suvokti, kad ir bendresniu atveju, kai stebimasisatsitiktinis dydis yra absoliuciai tolydus ir jo tankis yra pθ(u),

Pθ(B) =

∫B

pθ(x1)...pθ(xn)dx.


Ir siuo atveju Lebego matas dominuos klase‘Pθ, θ ∈ Θ.


pagal Puasono desni‘su parametru λ > 0. Tada atsitiktine imtis (X1, ..., Xn) i

‘gyja

reiksmes (x1, ..., xn) su sveikomis neneigiamomis koordinatemis ir tikimybemis

λx1+...+xn

x1!...xn!e−λn.

Imkime funkcija‘

pλ(x1, ..., xn) =λx1+...+xn

x1!...xn!e−λn,

kai x1, ..., xn yra sveikieji neneigiami skaiciai, ir lygia‘

0 kitais atvejais (arba betkaip apibrezta

‘, kad tik pλ butu

‘Borelio funkcija). Visoms erdves Rn Borelio

aibems pazymekime µ(B) skaiciu‘tasku

‘su sveikomis neneigiamomis koordinatemis

aibeje B. Si aibes funkcija yra σ baigtinis matas macioje erdveje Rn,Bn. KlasesPλ, λ > 0 matus galime parasyti sitaip:

Pλ(B) =

∫B

pλ(x1, ..., xn)µ(dx).

Juos dominuoja matas µ.

4 p a v y z d y s. Nagrinekime bendresni‘

atveji‘, kai stebimasis atsitik-

tinis dydis yra diskretusis ir i‘gyja reiksmes is baigtines arba skaicios aibes A

su tikimybemis pθ(u), u ∈ A, θ ∈ Θ. Kiekvienai B ∈ Bn pazymekime µ(B)skaiciu

‘tasku

‘(x1, ..., xn), kuriu

‘koordinates xk ∈ A (k = 1, ..., n). Imkime funkcija

‘pθ(x1, ..., xn) = pθ(x1)...pθ(xn), kai xk ∈ A (k = 1, ..., n), ir laikykime ja

‘lygia 0

kitiems (x1, ..., xn). Tada

Pθ(B) =

∫B

pθ(x1, ..., xn)µ(dx).

Vel turime dominuojama‘pasiskirstymu

‘klase

‘Pθ, θ ∈ Θ.

Pakankama‘sias statistikas apibrezeme, remdamiesi sa

‘lyginemis tikimybe-

mis. Jomis ne visada patogu operuoti. Taciau dominuojamiems pasiskirsty-mams galima rasti gana paprasta

‘vadinama

‘ji‘faktorizavimo kriteriju

‘, nusa-

kyta‘sitokios teoremos.

Teorema. Tarkime, kad T : Rn → Rs yra (Bn,Bs) mati funkcija. T (X)yra pakankama pasiskirstymu

‘klasei Pθ, θ ∈ Θ, dominuojamai mato µ su

tankiu pθ, tada ir tik tada, kai visiems θ ∈ Θ egzistuoja tokia neneigiama(Bs,B1) mati funkcija gθ : Rs → R1 ir tokia Borelio funkcija h : Rn → Rn,nepriklausanti nuo θ, kad visiems θ ∈ Θ

µpθ(x) 6= gθ

(T (x)

)h(x)

= 0,

kitaip sakant,

Pakankamosios statistikos 273

(1) pθ(x) = gθ(T (x)

)h(x)

beveik visur mato µ atzvilgiu.I‘r o d y m a s. Teorema

‘i‘rodinesime tik diskretiesiems pasiskirstymams.

(Bendra‘

jos i‘rodyma

‘galima rasti, pvz., [20] knygoje.) Siuo atveju, norint

nustatyti pakankama‘ja

‘statistika

‘, uztenka reikalauti, kad lygybes

(2) Pθ(x) = gθ(T (x)

)h(x)

su pakankamosios statistikos apibrezime nurodytomis funkcijomis gθ ir h butu‘

teisingos tiems x ∈ Rn, kuriems Pθ(x) > 0.Pirmiausia i

‘rodysime pakankamuma

‘. Tarkime, kad (2) lygybe yra teisinga.

Fiksuokime x ir t. Laikydami Pθ(T (X) = t

)> 0, is lygybes

Pθ(X = x|T (X) = t

)=Pθ

(X = x, T (X) = t

)Pθ

(T (X) = t

)gauname

Pθ(X = x|T (X) = t

)= 0,

kai T (x) 6= t, ir

Pθ(X = x|T (X) = t

)=

Pθ(X = x)Pθ

(T (X) = t

) =

=gθ(t)h(x)

gθ(t)∑

y:T (y)=t

h(y)=

h(x)∑y:T (y)=t

h(y),

kai T (x) = t. Matome, kad sa‘lygine tikimybe Pθ

(X = x|T (X) = t

)nepri-

klauso nuo θ. Nuo θ nepriklauso ir Pθ(B|T (X) = t

).

Dabar i‘rodysime sa

‘lygos butinuma

‘. Tarkime, kad sa

‘lygine tikimybe

Pθ(X = x|T (X) = t

)nepriklauso nuo θ ir lygi, sakysime, w(x, t). Jei T (x) =

= t, tai

Pθ(X = x) = Pθ(X = x, T (X) = t

)= Pθ

(X = x, |T (X) = t

)×

× Pθ(T (X) = t

)= w(x, t)Pθ

(T (X) = t

).

Vadinasi, Pθ(X = x) tenkina (2) lygybe‘. ut

(1) formules desines puses antrasis dauginamasis nuo θ nepriklauso, onorint apskaiciuoti pirma

‘ji‘dauginama

‘ji‘, priklausanti

‘nuo θ, reikia zinoti tik

statistikos T reiksme‘ir visai nereikia konkreciu

‘imties x reiksmiu

‘. Vaizdziai

kalbant, pakankamoji statistika turi ta‘pacia

‘informacija

‘apie parametra

‘θ,

kaip ir visi stebejimo duomenys.


5 p a v y z d y s. Stebimasis atsitiktinis dydis i‘gyja reiksme

‘1 su nezinoma

tikimybe α, 0 < α < 1, ir reiksme‘0 su tikimybe 1 − α. Pagal 4 pavyzdi

‘visiems

xk (k = 1, ..., n), lygiems 0 arba 1,

pα(x1, ..., xn) = αx1+...+xn(1− α)n−(x1+...+xn) =

= (1− α)n(

α

1− α

)x1+...+xn

.

Statistika X1 + ...+Xn yra pakankama parametrui α.

6 p a v y z d y s. Kai turime Puasono desni‘su nezinomu parametru λ > 0,

visiems sveikiesiems neneigiamiems xk (k = 1, ..., n) (zr. 3 pvz.)

pλ(x1, ..., xn) = e−λnλx1+...+xn(x1!...xn!)−1.

Ir cia statistika X1 + ...+Xn yra pakankama parametrui λ.

7 p a v y z d y s. Imkime normalu‘ji‘

desni‘N(a, σ2). Atsitiktine imtis

(X1, ..., Xn) turi tanki‘

(3)1

(σ√

2π)nexp

− 1

2σ2

n∑k=1

(xk − a)2.

Jei a zinomas, o σ > 0 – nezinomas, tai statistika

n∑k=1

(Xk − a)2

yra pakankama parametrui σ2. Kai σ zinomas, o a ∈ R – nezinomas, uzrase‘(3)

pavidalu

(4)1

(σ√

2π)nexp

− na2

2σ2+

a

σ2

n∑k=1

xk

exp

− 1

2σ2

n∑k=1

x2k

,

matome, kad statistika X1 + ... +Xn yra pakankama parametrui a. Jei abu para-metrai a ∈ R ir σ > 0 yra nezinomi, tai is (4) isplaukia, kad vektorine statistika(T1, T2), kur

T1 = X1 + ...+Xn, T2 = X21 + ...+X2

n,

yra pakankama parametrams (a, σ2).

5. SUDERINTIEJI IR NEPASLINKTIEJI I‘VERCIAI

Kaip minejome 1 skyrelyje, vienas is pagrindiniu‘

matematines statistikosuzdaviniu

‘yra nezinomu

‘pasiskirstymo parametru

‘i‘vertinimas. Daznai, rem-

damiesi kokiais nors samprotavimais, galime pasirinkti nezinomos pasiskirs-tymo funkcijos pavidala

‘, bet i

‘ji‘i‘eina nezinomi parametrai. Reikia i

‘vertinti

Suderintieji ir nepaslinktieji i‘verciai 275

tuos parametrus. Suprantama, remiames stebejimo rezultatais – tinkamaiparinkta rezultatu

‘funkcija.

Sakykime, turime tikimybini‘-statistini

‘modeli

‘Rn,Bn,Pθ, θ ∈ Θ. Tir-

sime atveji‘, kai Θ yra realiu

‘ju

‘skaiciu

‘aibe. Nezinoma

‘parametra

‘θ reikia

i‘vertinti, remiantis imtimi X = (X1, ..., Xn). Kiekviena

‘realia

‘ja

‘statistika

‘θ∗(X) = θ∗(X1, ..., Xn) vadinsime parametro θ i

‘vercio funkcija, arba tiesiog

i‘verciu. Zinoma, ne kiekviena statistika tiks tam reikalui. Ji turi buti kokianors prasme artima nezinomojo parametro reiksmei. Isskirsime dvi R. Fiserioi‘vestas i

‘verciu

‘klases: suderintuosius ir nepaslinktuosius i

‘vercius.

Tarkime, kad θ∗n(X1, ..., Xn) (n = 1, 2, ...) yra i‘verciu

‘seka. Sakysime, jog

ji yra suderinta, jei kiekvienam ε > 0

Pθ(|θ∗n(X1, ..., Xn)− θ| ≥ ε

)→ 0,

kai n→∞, visiems θ ∈ Θ, t. y. θ∗n konverguoja i‘θ pagal tikimybe

‘. Tai reiskia,

kad su tikimybe, kiek norima artima 1, θ∗n(X) kiek norima mazai skirsis nuoθ, jei tik n bus pakankamai didelis. Paprastai (nors tai ir nera tikslu) netik seka, bet ir kiekvienas θ∗n vadinamas suderintu. Siame apibrezime tenkaoperuoti erdve R,B, Pθ∞.

Galima kalbeti ne tik apie nezinomo parametro θ, bet ir apie jo funkcijosψ(θ) suderinta

‘ji‘i‘verti

‘. Tinka analogiskas apibrezimas.

1 p a v y z d y s. Sakykime, stebime atsitiktini‘dydi

‘su nezinomu vidurkiu

a ∈ R. Parodysime, kad X yra suderintasis parametro a i‘vertis. Reikia i

‘rodyti, kad

X konverguoja pagal tikimybe‘i‘a, kai n→∞, t. y. kiekvienam ε > 0

Pa

∣∣∣ 1

n(X1 + ...+Xn)− a

∣∣∣ > ε→ 0,

kai n → ∞. Taciau sis teiginys isplaukia is Chincino III.3.3. (zr. taip pat III.10.3pavyzdi

‘) teoremos.

2 p a v y z d y s. Jei stebimasis atsitiktinis dydis turi zinoma‘vidurki

‘a, bet

nezinoma‘dispersija

‘σ2 > 0, tai statistika

S20 =

1

n

n∑k=0

(Xk − a)2

yra suderintas σ2 i‘vertis. Is tikru

‘ju

‘, pritaike

‘Chincino teorema

‘atsitiktiniams dy-

dziams (Xk − a)2, gauname, kad kiekvienam ε > 0

Pσ2

∣∣∣ 1

n

n∑k=1

(Xk − a)2 − σ2∣∣∣ ≥ ε

→ 0,

kai n→∞.

3 p a v y z d y s. Jei stebimasis atsitiktinis dydis turi nezinoma‘dispersija

‘σ2 > 0 ir jo vidurkis a ∈ R yra taip pat nezinomas, tai


S2 =1

n

n∑k=1

(Xk − X)2

yra suderintas parametro σ2 i‘vertis. I

‘rodysime ta

‘teigini

‘.

Kadangi

S2 =1

n

n∑k=1

((Xk − a)− (X − a)

)2=

1

n

n∑k=1

(Xk − a)2 − (X − a)2 =

= S20 − (X − a)2,

tai

P(a,σ2)

∣∣∣S2 − σ2∣∣∣ ≥ ε

≤ P(a,σ2)

∣∣∣S20 − σ2

∣∣∣ ≥ ε

2

+

+ P(a,σ2)

∣∣∣X − a

∣∣∣ ≥ √ε

2

.

Pasinaudoje‘1 ir 2 pavyzdziu

‘rezultatais, gauname reikiama

‘teigini

‘.

Sakykime, turime realia‘ja

‘integruojama

‘statistika

‘θ∗ = θ∗(X1, ..., Xn),

kuria norime i‘vertinti nezinoma

‘parametra

‘θ ∈ Θ. Dydi

‘Mθθ

∗(X1, ..., Xn)−θnaturalu vadinti i

‘vercio poslinkiu, arba sistemine paklaida. Cia indeksas θ

prie vidurkio zenklo M rodo, kad vidurkis imamas mato Pθ atzvilgiu. Jeivisiems θ ∈ Θ

Mθθ∗(X1, ..., Xn) = θ,

tai sakome, kad i‘vertis θ∗ yra nepaslinktas.

Panasiai galime apibudinti ir parametro funkcijos ψ(θ) i‘vercius.

4 p a v y z d y s. X yra nepaslinktasis nezinomo vidurkio a i‘vertis, nes

MaX =1

n

n∑k=1

MaXk = a.

5 p a v y z d y s . Jei atsitiktinis dydis turi zinoma‘vidurki

‘a, bet nezinoma

‘dispersija

‘σ2 > 0, tai statistika S2

0 yra nepaslinktasis σ2 i‘vertis. Is tikru

‘ju

‘

Mσ2S20 =

1

n

n∑k=1

Mσ2(Xk − a)2 = σ2.

6 p a v y z d y s. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis turi nezinoma‘

vidurki‘a ∈ R ir nezinoma

‘dispersija

‘σ2 > 0. Panagrinesime statistika

‘


S2 =1

n

n∑k=1

(Xk − a)2 −(

1

n

n∑k=1

(Xk − a))2

=

=1

n

(1− 1

n

) n∑k=1

(Xk − a)2 − 1

n2

∑1≤j<k≤n

(Xj − a)(Xk − a).

Is cia

M(a,σ2)S2 =

(1− 1

n

)σ2.

Vadinasi, S2 nera nepaslinktasis σ2 i‘vertis. Kuo mazesnis n, tuo didesnis poslinkis

(kai n = 2, M(a,σ2)S2 = σ2/2). Dideliems n tas poslinkis yra nedidelis: jis konver-

guoja i‘nuli

‘, kai n→∞. Todel sakoma, kad i

‘vertis S2 yra asimptotiskai nepaslinktas.

Pastebesime, kad

S21 =

n

n− 1S2 =

1

n− 1

n∑k=1

(Xk − X)2

yra nepaslinktasis σ2 i‘vertis.

Tam paciam nezinomam parametrui i‘vertinti galime sudaryti daug ne-

paslinktu‘ju

‘i‘verciu

‘. Mateme, kad X yra nepaslinktasis vidurkio a i

‘vertis.

Imkime kokius nors pastovius skaicius q1, ..., qn, tenkinancius sa‘lyga

‘q1 + ...+

+qn = 1, ir sudarykime statistika‘

V = q1X1 + ...+ qnXn.

Kadangi

MaV =n∑k=1

qkMaXk = an∑k=1

qk = a,

tai V yra taip pat nepaslinktasis a i‘vertis. X yra specialus jo atvejis, kai

q1 = ... = qn = 1/n. I‘vairiai parinkdami skaicius q1, ..., qn, galime gauti be

galo daug nezinomo parametro a i‘verciu

‘. Kuris is ju

‘geriausias?

Jei turime du nezinomo parametro θ i‘vercius, tai naturalu laikyti geresniu

ta‘, kurio reiksmes yra maziau issibarsciusios apie parametra

‘θ. Issibarstymo

mata‘galime parinkti i

‘vairiai. Patogus ir dazniausiai vartojamas yra antrasis

momentas Mθ(θ∗− θ)2, jei jis egzistuoja. Jei i‘vertis θ∗ yra nepaslinktasis, tai

tas dydis yra i‘vercio dispersija.

Tarkime, kad Pθ, θ ∈ Θ yra netuscia tikimybiniu‘matu

‘sistema erdveje

Rn,Bn ir ψ : Θ → R. Kiekvienam θ0 ∈ Θ pazymekime Hθ0 klase‘

visu‘

nepaslinktu‘ju

‘ψ(θ) i

‘verciu

‘T = T (X), turinciu

‘dispersija

‘Dθ0T . Sakome, kad

ψ(θ) i‘vertis T0 ∈ Hθ0 turi lokaliai maziausia

‘dispersija

‘taske θ = θ0, jei

visiems T ∈ Hθ0 teisingos nelygybes

Mθ0

(T0 − ψ(θ0)

)2 ≤Mθ0

(T − ψ(θ0)

)2.


Jei H yra klase visu‘nepaslinktu

‘ju

‘ψ(θ) i

‘verciu

‘T = T (X), visiems θ ∈ Θ

turinciu‘

dispersija‘DθT , tai sakome, kad ψ(θ) i

‘vertis T0 ∈ H turi tolygiai

maziausia‘

dispersija‘, kai visiems θ ∈ Θ ir visiems T ∈ H teisingos nelygybes

Mθ

(T0 − ψ(θ)

)2 ≤Mθ

(T − ψ(θ)

)2.

1 teorema. Pazymekime K klase‘

visu‘

realiu‘ju‘

statistiku‘W , turinciu

‘savybes MθW = 0, MθW

2 < ∞. Tarkime, kad i‘verciu

‘klase H nera tuscia.

ψ(θ) i‘vertis T0 ∈ H turi tolygiai maziausia

‘dispersija

‘tada ir tik tada, kai

kiekvienai statistikai W ∈ K ir visiems θ ∈ Θ

MθWT0 = 0.

Atkreipsime demesi‘, jog is Kosi nelygybes isplaukia, kad MθWT0 egzis-

tuoja.I‘

r o d y m a s. B u t i n u m a s. Tarkime, kad T0 turi tolygiaimaziausia

‘dispersija

‘ir kuriam nors θ0 ∈ Θ bei kuriai nors W0 ∈ K teisinga

nelygybe Mθ0W0T0 6= 0. Kiekvienam realiajam λ i‘vertis T0 + λW0 ∈ H.

Vidurkis Mθ0W20 negali buti lygus 0, nes tada ir Mθ0W0T0 butu

‘lygus 0.

Imkime λ0 = −Mθ0W0T0/Mθ0W20 . Tada gautume

Dθ0(T0 + λ0W0) = Dθ0T0 + 2λ0Mθ0W0T0 + λ20Mθ0W

20 =

= Dθ0T0 −M2θ0W0T0

Mθ0W20

< Dθ0T0,

bet tai priestarautu‘prielaidai, kad T0 turi tolygiai maziausia

‘dispersija

‘.

P a k a n k a m u m a s. Tarkime, kad kuriam nors i‘verciui T0 ∈ H ir

visiems θ ∈ Θ bei visoms statistikoms W ∈ K teisinga lygybe

MθWT0 = 0.

Kiekvienam i‘verciui T ∈ H turime T0 − T ∈ K. Vadinasi, visiems θ ∈ Θ

Mθ(T0 − T )T0 = 0,

t. y.MθT

20 = MθT0T.

Is Kosi nelygybes isplaukia

MθT20 ≤ (MθT

20 ·MθT

2)1/2.

Jei MθT20 = 0, tai nieko nereikia i

‘rodineti. Jei MθT

20 > 0, tai

MθT20 ≤MθT

2.


Tai ir reikejo i‘rodyti, nes MθT0 = MθT = ψ(θ). ut

I‘verciams su lokaliai maziausia dispersija teisinga analogiska teorema.

2 teorema. Pazymekime Kθ0 klase‘

visu‘

realiu‘ju‘

statistiku‘W , turinciu

‘savybes Mθ0W = 0, Mθ0W

2 < ∞. Tarkime, kad i‘verciu

‘klase Hθ0 nera

tuscia. ψ(θ) i‘vertis T0 ∈ Hθ0 turi lokaliai maziausia

‘dispersija

‘taske θ = θ0

tada ir tik tada, kai kiekvienai statistikai W ∈ Kθ0

Mθ0WT0 = 0.

I‘r o d y m a s analogiskas 1 teoremos i

‘rodymui.

1 ir 2 teoremos nurodo buda‘, kaip patikrinti, ar i

‘vertis turi maziausia

‘dispersija

‘. Konstruojant tokius i

‘vercius, pravercia dvi toliau i

‘rodomos teore-

mos.

3 (Rao1–Blekvelo2) teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘

sistemaPθ, θ ∈ Θ turi pakankama

‘ja‘

statistika‘T ir i

‘verciu


Tada sa‘lyginio vidurkio variantas Mθ(V |T ), V ∈ H, pagal pakankamosios

statistikos apibrezima‘

nepriklausantis nuo θ, yra ψ(θ) nepaslinktasis i‘vertis.

Be to, visiems θ ∈ Θ

(1) Mθ

(Mθ(V |T )− ψ(θ)

)2 ≤Mθ

(V − ψ(θ)

)2.

Si formule virsta lygybe visiems θ ∈ Θ tada ir tik tada, kai V = Mθ(V |T )beveik visur matu

‘Pθ atzvilgiu.

I‘r o d y m a s. Pagal II.10.4 teorema

‘

Mθ

(Mθ(V |T )

)= MθV.

Todel M(V |T ) yra nepaslinktasis ψ(θ) i‘vertis. Vadinasi, pakanka visiems θ ∈

∈ Θ i‘rodyti nelygybe

‘

Mθ

(Mθ(V |T )

)2 ≤MθV2.

KadangiMθV2 = Mθ

(Mθ(V 2|T )

), tai pakanka i

‘rodyti, kad beveik visur mato

Pθ atzvilgiu

(2)(Mθ(V |T )

)2 ≤Mθ(V 2|T ).

Nesunku suvokti, kad atsitiktiniam vidurkiui Mθ(V |T ) beveik visur mato Pθatzvilgiu galima taikyti Kosi nelygybe

‘. Gausime, kad beveik visur mato Pθ

atzvilgiu

1 Calyampudi Radhakrishna Rao (g. 1920 m.) – indu‘matematikas.

2 David Blackwell (g. 1919 m.) – amerikieciu‘matematikas.


M2θ (V |T ) ≤Mθ(V 2|T ) ·Mθ(1|T ),

o tai ir yra (2) nelygybe.Jei (1) formuleje kuriam nors θ turime lygybes zenkla

‘, tai teisinga lygybe

(3) Mθ

(Mθ(V |T )

)2 = MθV2.

Taciau pagal II.10.8 teorema‘

Mθ

(VMθ(V |T )

)= Mθ

(Mθ

(VMθ(V |T )T

))=

= Mθ

(Mθ(V |T )Mθ(V |T )

).

Is sios ir (3) formules

Mθ

(V −Mθ(V |T )

)2 = MθV2 − 2Mθ

(VMθ(V |T )

)+

+Mθ

(Mθ(V |T )

)2 = MθV2 −Mθ

(Mθ(V |T )

)2 = 0.

Is cia isplaukia, kad V = Mθ(V |T ) beveik visur mato Pθ atzvilgiu. utKita teorema pagri

‘sta pilnosios statistikos sa

‘voka.

Sakoma, kad pasiskirstymu‘

sistema Pθ, θ ∈ Θ, nusakyta erdvejeRk,Bk, yra pilna, jei kiekviena Borelio funkcija ϕ : Rk → R su sa

‘lyga∫

Rk

ϕ(x)Pθ(dx) = 0, θ ∈ Θ,

yra beveik visur lygi 0 visu‘matu

‘Pθ, θ ∈ Θ, prasme.

7 p a v y z d y s. Nagrinekime binominiu‘pasiskirstymu

‘sistema

‘Pθ, 0 < θ <

< 1, nusakyta‘erdveje R,B lygybemis

Pθ(y) =

(s

y

)θy(1− θ)s−y, kai y = 0, 1, ..., s,

0 visiems kitiems y.

Parodysime, kad si sistema yra pilna. Tarkime, kad kokiai nors Borelio funkcijai ϕ

(4)

∫R

ϕ(x)Pθ(dx) =

s∑k=0

ϕ(k)

(s

k

)θk(1− θ)s−k = 0, 0 < θ < 1.

Pazymekime z = θ/(1− θ). Tada (4) lygybe virsta sitokia:

s∑k=0

ϕ(k)

(s

k

)zk = 0, 0 < z <∞.

Kadangi s-ojo laipsnio polinomas turi ne daugiau kaip s skirtingu‘

saknu‘, o sis

polinomas virsta nuliu visiems teigiamiems z, tai visi jo koeficientai turi butilygus 0. Vadinasi, ϕ(k) = 0 (k = 0, 1, ..., s).


Statistika T yra vadinama pilna‘ja pasiskirstymu

‘sistemos Pθ, θ ∈ Θ

statistika, jei jos indukuotu‘pasiskirstymu

‘sistema PTθ , θ ∈ Θ yra pilna.

8 p a v y z d y s. Sakykime, atliekame n Bernulio eksperimentu‘, kuriuose

stebime koki‘nors i

‘vyki

‘. To i

‘vykio tikimybe p ∈ (0, 1) yra nezinoma, bet ta pati

visuose eksperimentuose. Imkime statistika‘T (X) = X1 + ...+Xn (i

‘vykiu

‘skaiciu

‘,

atlikus n eksperimentu‘). Jos generuota pasiskirstymu

‘sistema nusakyta 7 pavyzdyje.

Vadinasi, statistika T yra pilna siai pasiskirstymu‘sistemai.

Daznai statistikos pilnuma‘padeda nustatyti tolesne teorema.

4 teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘

sistema Pθ, θ ∈ Θ, Θ ⊂ R,nusakyta erdveje R,B, yra dominuojama kokio nors σ baigtinio mato sutankio funkcija

pθ(y) = h(y) expθ · U(y) + V (θ);cia h, U yra Borelio funkcijos. Tarkime, kad aibeje Θ telpa neissigime

‘s inter-

valas. Tada

T (X) =n∑k=1

U(Xk)

yra pilna ir pakankama pasiskirstymu‘

sistemos Pθ, θ ∈ Θ statistika.Sios teoremos i

‘rodyma

‘galima rasti, pavyzdziui, [39], p. 98.

5 (Lemano1–Sefe2) teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘sistema Pθ,

θ ∈ Θ turi pilna‘

pakankama‘ja‘

statistika‘T ir i

‘verciu


Tada kiekvienam V ∈ H sa‘lyginis vidurkis Mθ(V |T ) yra nepaslinktasis ψ(θ)

i‘vertis su tolygiai maziausia dispersija.

I‘r o d y m a s. Pirmiausia i

‘rodysime, kad bet kuriems V1 ∈ H, V2 ∈ H

beveik visur matu‘Pθ atzvilgiu

(5) Mθ(V1|T ) = Mθ(V2|T ).

Pazymekime PTθ mata‘, indukuota

‘statistikos T . Sakykime, Q = T (Rn).

Kadangi Mθ(V1|T ) ir Mθ(V2|T ) yra nepaslinktieji ψ(θ) i‘verciai, tai∫

Q

(Mθ(V1|T )−Mθ(V2|T )

)dPTθ

visiems θ ∈ Θ. Is matu‘PTθ sistemos pilnumo isplaukia, kad (5) teisinga beveik

visur matu‘PTθ atzvilgiu. Taigi visi Mθ(V |T ), V ∈ H, sutampa vienas su kitu

beveik visur matu‘Pθ atzvilgiu. Pagal 1 teorema

‘i‘vertis Mθ(V |T ) turi tolygiai

maziausia‘dispersija

‘. ut

1 Erich Leo Lehmann (g. 1917 m.) – amerikieciu‘matematikas.

2 Henry Scheffe (g. 1907 m.) – amerikieciu‘matematikas.


6. I‘VERCIU

‘SUDARYMO METODAI

I‘vercius galime sudaryti i

‘vairiais budais. Taciau ne visi bet kaip sudaryti

i‘verciai bus tinkami. Todel naudinga zinoti bendrus metodus, kuriuos taikant,galima gauti gerus i

‘vercius. Tokiu

‘metodu

‘yra nemazai. Nagrinesime tik du

is ju‘.Istoriskai pirmasis is tokiu

‘metodu

‘yra vadinamasis momentu

‘metodas,

pasiulytas K. Pirsono. Tarkime, kad pasiskirstymu‘klase Pθ, θ ∈ Θ, Θ ⊂

⊂ Rs, priklauso nuo vektorinio parametro θ = (θ1, ..., θs) ir tie pasiskirsty-mai turi s pirmu

‘ju

‘momentu

‘αr(θ1, ..., θs) (r = 1, ..., s). Imame pirmuosius

s empiriniu‘

momentu‘Ar (r = 1, ..., s) ir prilyginame juos atitinkamiems

teoriniams momentams. Gauname s lygciu‘su s nezinomu

‘ju

‘sistema

‘

Ar = αr(θ1, ..., θs) (r = 1, ..., s).

Spre‘sime ja

‘θ1, ..., θs atzvilgiu. Jei sprendiniai

θ∗r = θ∗r(X1, ..., Xn) (r = 1, ..., s)

egzistuoja, tai juos ir laikysime parametru‘θ1, ..., θs i

‘verciais.

Zinoma, uzuot eme‘is eiles pirmuosius s pradiniu

‘momentu

‘, galime imti s

kitu‘momentu

‘, nebutinai pirmu

‘ju

‘ir nebutinai pradiniu

‘, jei tik tie momentai

egzistuoja. Taciau is pirmu‘ju

‘momentu

‘gauname paprastesnius ir tikslesnius

i‘vercius.

Paaiskinsime si‘metoda

‘pavyzdziu.


pagal normalu‘ji‘desni

‘N(a, σ2) su nezinomais parametrais a ∈ R ir σ > 0. Imkime

pirma‘ji‘pradini

‘ir antra

‘ji‘centrini

‘momentus, lygindami teorinius ir empirinius mo-

mentus X = a,S2 = σ2.

Is karto gauname a ir σ2 i‘vercius X ir S2.

Momentu‘

metodas yra labai paprastas, bet ji‘

taikant, ne visada gali-ma gauti gerus rezultatus. Geresni i

‘verciai gaunami didziausio tiketinumo

metodu, pasiulytu R. Fiserio 1912 m.Tirsime pasiskirstymus Pθ, θ ∈ Θ, Θ ⊂ Rs, priklausancius nuo keliu

‘realiu

‘parametru

‘θ = (θ1, ..., θs) ir dominuojamus mato µ su tankio funkcija

pθ(x) = pθ(x1)...pθ(xn)

(zr. 4 skyreli‘). Parametro θ ∈ Θ reiksmems ir taskams x = (x1, ..., xn) ∈ Rn

su sa‘lyga pθ(x) > 0 apibrezkime funkcijas

h(θ, x) = pθ(x1)...pθ(xn)

ir

I‘verciu

‘sudarymo metodai 283

l(θ, x) = lnh(θ, x) = ln pθ(x1) + ...+ ln pθ(xn).

FunkcijaH(θ) = H(θ,X) = pθ(X1)...pθ(Xn)

vadinama tiketinumo funkcija. Nagrinejamas ir jos logaritmas

L(θ) = L(θ,X) = ln pθ(X1) + ...+ ln pθ(Xn).

h(θ, x) ir l(θ, x) yra ju‘realizacijos. Jei egzistuoja statistika θ∗ = θ∗(X1, ...,

Xn), tenkinanti sa‘lyga

‘l(θ∗) = sup

θ∈Θl(θ),

tai ji vadinama parametro θ didziausio tiketinumo i‘verciu.

Jei Θ yra s-matis intervalas, l(θ) turi maksimuma‘jo viduje ir yra dife-

rencijuojama θ1, ..., θs atzvilgiu, tai jos maksimumo taske

∂H(θ)∂θr

= 0 (r = 1, ..., s)

arba∂L(θ)∂θr

= 0 (r = 1, ..., s).

Vadinasi, didziausio tiketinumo i‘vertis yra siu

‘, vadinamu

‘ju

‘didziausio tiketi-

numo, lygciu‘sprendinys. Daznai tos lygtys turi tik viena

‘sprendini

‘.

2 p a v y z d y s. Tirkime Puasono pasiskirstyma‘su nezinomu parametru

λ > 0. Pagal 4.3 pavyzdi‘tiketinumo funkcija

H(λ) =λX1+...+Xn

X1!...Xn!e−λn.

Is cia

L(λ) = −λn+

n∑k=1

(Xk lnλ− lnXk!).

Diferencijuodami pagal λ, gauname didziausio tiketinumo lygti‘

∂L

∂λ= −n+

1

λ

n∑k=1

Xk = 0.

Is jos randame didziausio tiketinumo i‘verti

‘

λ∗ = X.

3 p a v y z d y s. Panagrinekime normalu‘ji‘desni

‘N(a, σ2) su zinomu σ2, bet

nezinomu a ∈ R. Pagal 4.1 pavyzdi‘tiketinumo funkcija


H(a) =1

(σ√

2π)nexp

− 1

2σ2

n∑k=1

(Xk − a)2

ir jos logaritmas

L(a) = −n ln(σ√

2π)− 1

2σ2

n∑k=1

(Xk − a)2.

Didziausio tiketinumo lygtis yra

∂L

∂a=

1

σ2

n∑k=1

(Xk − a) = 0.

Is jos gauname didziausio tiketinumo i‘verti

‘

a∗ = X.

4 p a v y z d y s. Jei turime normalu‘ji‘desni

‘N(a, σ2) su z i n o m u a,

bet n e z i n o m a dispersija σ2 > 0, tai, diferencijuodami tiketinumo funkcijoslogaritma

‘

L(σ2) = −n2

ln(2πσ2)− 1

2σ2

n∑k=1

(Xk − a)2

pagal σ2, gauname didziausio tiketinumo lygti‘

∂L

∂(σ2)= − n

2σ2+

1

2σ4

n∑k=1

(Xk − a)2.

Is jos gauname didziausio tiketinumo i‘verti

‘

(σ2)∗ = S20 .

5 p a v y z d y s. Jei turime normalu‘ji‘pasiskirstyma

‘su abiem nezinomais

parametrais a ∈ R ir σ2 > 0, tai, kaip ir 3 bei 4 pavyzdziuose, isdiferencijave‘

tiketinumo funkcijos logaritma‘pagal a ir σ2, gauname lygciu

‘sistema

‘

∂L

∂a=

1

σ2

n∑k=1

(Xk − a) = 0,

∂L

∂(σ2)= − n

2σ2+

1

2σ4

n∑k=1

(Xk − a)2 = 0.

Is pirmosios lygtiesa∗ = X.

I‘rase

‘si‘sprendini

‘i‘antra

‘ja

‘lygti

‘, gauname

Efektyvieji i‘verciai 285

− n

2σ2+

1

2σ4

n∑k=1

(Xk − X)2 = 0.

Is jos

(σ2)∗ = S2.

Vadinasi, a∗ = X ir (σ2)∗ = S2 yra parametru‘a ir σ2 didziausio tiketinumo i

‘verciai.

Paminesime be i‘rodymo (zr. [6], 33.3 skyreli

‘): jei yra ispildytos gana bend-

ros sa‘lygos, tai didziausio tiketinumo i

‘verciai yra suderinti ir asimptotiskai

nepaslinki.

7. EFEKTYVIEJI I‘VERCIAI

Jei pasiskirstymu‘klase ir i

‘verciai tenkina gana bendras sa

‘lygas, tai galima

rasti tokiu‘i‘verciu

‘dispersiju

‘apatini

‘rezi

‘.

(Rao–Kramero) teorema. Tarkime, kad pasiskirstymu‘klase Pθ, θ ∈

∈ Θ, dominuojama mato µ su tankio funkcija pθ(x), priklauso nuo vienorealaus parametro θ, Θ yra visa realiu

‘ju‘skaiciu

‘tiese arba intervalas, o T (X)

– integruojama statistika. Pareikalaukime, kad aibe A = x : pθ(x) > 0nepriklausytu

‘nuo θ ir visiems θ ∈ Θ butu

‘

∂

∂θ

∫A

pθ(x)µ(dx) =∫A

∂pθ(x)∂θ

µ(dx),

∂

∂θ

∫A

T (x)pθ(x)µ(dx) =∫A

T (x)∂pθ(x)∂θ

µ(dx),

I(θ) =∫A

(∂ lnpθ(x)∂θ

)2

pθ(x)µ(dx) > 0;

sakykime, kad cia nurodyti integralai ir isvestines egzistuoja. Jei MθT (X) == θ + b(θ) ir funkcija b(θ) yra diferencijuojama, tai

Mθ

(T (X)− θ

)2 ≥(1 + b′(θ)

)2

I(θ);

atskiru atveju, kai T (X) yra nepaslinktasis θ i‘vertis,

(1) DθT (X) ≥ I

I(θ).


Teoremos sa‘lygose minimu

‘integralu

‘integravimo sritis yra aibe A. Taciau

galima integruoti ir visoje erdveje Rn, jei susitarsime laikyti pointegra-lines funkcijas lygias 0 tuose taskuose, kuriuose jos nera apibreztos (juk tenpθ(x) = 0).

I‘r o d y m a s. Imkime lygybes

Pθ(Rn) =∫A

pθ(x)µ((dx),

MθT (X) =∫A

T (x)pθ(x)µ(dx),

arba ∫A

pθ(x)µ(dx) = 1,∫A

T (x)pθ(x)µ(dx) = θ + b(θ).

Diferencijuokime jas pagal θ. Teoremos sa‘lygos leidzia sukeisti diferencijavi-

mo ir integravimo tvarka‘. Gausime

(2)∫A

∂pθ(x)∂θ

µ(dx) = 0,

∫A

T (x)∂pθ(x)∂θ

µ(dx) = 1 + b′(θ).

Ateme‘is antrosios lygybes pirma

‘ja

‘, padauginta

‘is θ, turime∫

A

(T (x)− θ

)∂pθ(x)∂θ

µ(dx) = 1 + b′(θ),

arba ∫A

(T (x)− θ

)∂ lnpθ(x)∂θ

Pθ(dx) = 1 + b′(θ).

Taikome Kosi nelygybe‘(V.9.13 teorema

‘) ir gauname

(3)(1 + b′(θ)

)2 ≤∫A

(T (x)− θ

)2Pθ(dx)∫A

(∂ lnpθ(x)∂θ

)2

Pθ(dx).

Kadangi ∫A

(T (x)− θ

)2Pθ(dx) = Mθ

(T (X)− θ

)2,

tai (3) nelygybe ir yra ieskomoji. ut(1) nelygybe yra vadinama Rao-Kramero nelygybe.


Nepaslinktuosius i‘vercius T (X), tenkinancius teoremos sa

‘lygas, galima

butu‘

vadinti reguliariaisiais. Is Rao-Kramero nelygybes gaunamas tokiu‘

i‘verciu

‘dispersiju

‘i‘vertis is apacios. Reguliariuosius i

‘vercius T (X), kuriems

teisinga lygybe

DθT (X) =1I(θ)

,

vadinsime efektyviais.Panagrinesime, kada Rao-Kramero nelygybe virsta lygybe. Kaip matyti

is teoremos i‘rodymo, tai i

‘vyksta tada ir tik tada, kai (3) nelygybe virsta

lygybe, o (3), kaip zinome is V.9.13 teoremos, virsta lygybe tada ir tik tada,kai egzistuoja konstantos c1 ir c2, is kuriu

‘bent viena nelygi 0, tenkinancios

sa‘lyga

‘

c1∂ lnpθ(x)

∂θ+ c2

(T (x)− θ

)= 0

beveik visur mato Pθ atzvilgiu.Jei c1 = 0, tai tada beveik visur T (x) = θ. Taciau sis atvejis netinka, nes

i‘vertis T (X) turi nepriklausyti nuo θ. Jei c2 = 0, tai beveik visur mato Pθatzvilgiu

∂ lnpθ(x)∂θ

= 0;

tada butu‘I(θ) = 0, bet tai priestarautu

‘teoremos sa

‘lygoms.

Todel lieka atvejis, kai c1 6= 0, c2 6= 0. Tada beveik visur

(4)∂ lnpθ(x)

∂θ= κ

(T (x)− θ

);

cia κ = κ(θ) gali priklausyti nuo θ, bet ne nuo x. Jei θ∗ = T (X) yra efek-tyvusis θ i

‘vertis, tai is (4) isplaukia, kad ji

‘galima gauti didziausio tiketinumo

metodu, nes tokie i‘verciai yra lygties

∂ lnpθ(x)∂θ

= 0

sprendiniai. Didziausio tiketinumo lygties sprendiniai θ∗ = const paprastaiatmetami, nes jie atitinka atveji

‘κ(θ) = 0.

Is (4) isplaukia: jei T (X) yra efektyvusis i‘vertis, tai jis yra pasiskirstymu

‘klases Pθ, θ ∈ Θ pakankamoji statistika. Is tikru

‘ju

‘, suintegrave

‘(4),

gausimepθ(x) = h(x) expu(θ)T (x) + v(θ);

cia h(x) priklauso tik nuo x, o u(θ) ir v(θ) tik nuo θ, be to, u′(θ) 6= 0.Isnagrinesime keleta

‘pavyzdziu

‘. Skaiciavimams pravartu siek tiek per-

tvarkyti reiskini‘I(θ). Pastebesime, kad

I(θ) = Mθ

(∂ lnpθ(X)∂θ

)2

.


Is (2) isplaukia, kad

Mθ∂ lnpθ(X)

∂θ=

∫A

∂ lnpθ(x)∂θ

pθ(x)µ(dx) =∫A

∂pθ(x)∂θ

µ(dx) = 0.

Todel

I(θ) = Dθ∂ lnpθ(X)

∂θ.

Kadangi pθ(X) = pθ(X1)...pθ(Xn), tai

I(θ) = nDθ∂ ln pθ(X1)

∂θ.

Reiskini‘I(θ) galima uzrasyti ir kitaip, jei be teoremos sa

‘lygu

‘dar teisinga ir

sa‘lyga ∫ ∣∣∣∣∂2 lnpθ(x)

∂θ2

∣∣∣∣pθ(x)µ(dx) <∞.

Tada egzistuoja vidurkis

Mθ∂2 lnpθ(X)

∂θ2=

∫ ∂2pθ(x)∂θ2 pθ(x)−

(∂pθ(x)∂θ

)2

p2θ(x)

pθ(x)µ(dx) =

=∫∂2pθ(x)∂θ2

µ(dx)−∫ (

∂ lnpθ(x)∂θ

)2

pθ(x)µ(dx).

Kadangi antrasis desines puses narys yra I(θ) ir∫∂2pθ(x)∂θ2

µ(dx) =∂2

∂θ2

∫pθ(x)µ(dx) = 0,

tai

I(θ) = −Mθ∂2 lnpθ(X)

∂θ2= −nMθ

∂2 ln pθ(X1)∂θ2

.

1 p a v y z d y s. Nagrinesime atsitiktini‘dydi

‘, pasiskirsciusi

‘pagal binomini

‘desni

‘. Tarkime, kad jis i

‘gyja reiksmes 0, 1, ..., N , reiksme

‘x1 i

‘gyja su tikimybe(

N

x1

)αx1(1− α)N−x1 ;

cia α ∈ (0, 1) yra nezinomas parametras. Nesunku patikrinti, kad siuo atvejupasiskirstymu

‘klase tenkina Rao–Kramero teoremos sa

‘lygas, be to,

I(α) = nDα

(X1

α(1− α)− N

1− α

)=

Nn

α(1− α).


I‘vertis X/N taip pat tenkina teoremos sa

‘lygas. Kadangi

M(X/N) =1

nN

n∑k=1

MαXk = α,

Dα(X/N) =1

n2N2

n∑k=1

DαXk =α(1− α)

Nn,

tai X/N yra efektyvusis α i‘vertis.

2 p a v y z d y s. Tirsime atsitiktini‘dydi

‘, pasiskirsciusi

‘pagal Puasono desni

‘su nezinomu parametru λ > 0. Siuo atveju (zr. 4.6 ir 6.2 pavyzdzius) sveikiesiemsneneigiamiems x1

pλ(x1) =λx1

x1!e−λ,

∂2

∂λ2ln pλ(x1) = −x1

λ2,

I(λ) = −nMλ

(− X1

λ2

)=

n

λ2MλX1 =

n

λ.

Kadangi

MX = λ, DλX = λ/n,

tai X yra efektyvusis λ i‘vertis.

5 skyrelyje mateme, kad ir V = q1X1 + ... + qnXn su konstantomis q1, ..., qn,tenkinanciomis sa

‘lyga

‘q1 + ... + qn = 1, yra nepaslinktasis vidurkio i

‘vertis. Jo

dispersija nagrinejamu atveju

DλV =

n∑k=1

Dλ(qkXk) = λ

n∑k=1

q2k = λ

n∑k=1

(qk −

1

n

)2

+λ

n.

Matome, kad V yra efektyvusis λ i‘vertis tada ir tik tada, kai qk = 1/n.

3 p a v y z d y s. Nagrinesime atsitiktini‘dydi

‘, pasiskirsciusi

‘pagal normalu

‘ji‘

desni‘N(a, σ2) su z i n o m u σ2, bet n e z i n o m u a ∈ R. Parodysime, kad ir

cia X yra efektyvusis a i‘vertis. Visiems realiesiems x1 (zr. 6.3 pavyzdi

‘)

pa(x1) =1

σ√

2πexp

(− (x1 − a)2

2σ2

),

∂2

∂a2ln pa(x1) = − 1

σ2.

Po paprastu‘skaiciavimu

‘

I(a) =n

σ2, DaX =

σ2

n.


4 p a v y z d y s. Vel tirsime atsitiktini‘dydi

‘, pasiskirsciusi

‘pagal normalu

‘ji‘

desni‘, bet dabar laikysime a z i n o m u, o σ2 > 0 – n e z i n o m u. Parodysime,

kad S20 yra efektyvusis σ2 i

‘vertis. Visiems realiesiems x1

∂

∂(σ2)ln pσ2(x1) =

(x1 − a)2

2σ4− 1

2σ2.

Apskaiciuosime I(σ2) ir Dσ2S20 :

I(σ2) =n

4σ8Dσ2(X1 − a)2,

Dσ2S20 =

1

nDσ2(X1 − a)2.

Abiejuose reiskiniuose turime to paties atsitiktinio dydzio dispersija‘. Apskaiciuosime

ja‘. Is lygybes

Dσ2(X1 − a)2 =1

σ√

2π

∫ ∞

−∞(u− a)4 exp

(− (u− a)2

2σ2

)du−

−(

1

σ√

2π

∫ ∞

−∞(u− a)2 exp

(− (u− a)2

2σ2

)du

)2

po pakeitimo u− a = σy gauname

Dσ2(X1 − a)2 =σ4

√2π

∫ ∞

−∞y4e−y2/2dy −

(σ2

√2π

∫ ∞

−∞y2e−y2/2dy

)2

.

Pirma‘ji‘integrala

‘integruojame dalimis∫ ∞

−∞y4e−y2/2dy =

∫ ∞

−∞(−y3)de−y2/2 = 3

∫ ∞

−∞y2e−y2/2dy.

Visai taip pat∫ ∞

−∞y2e−y2/2dy =

∫ ∞

−∞(−y)de−y2/2 =

∫ ∞

−∞e−y2/2dy =

√2π.

Cia galejome naudotis ir II.9.1 pavyzdzio rezultatais. Todel

Dσ2(X1 − a)2 = 2σ4

ir

I(σ2) =n

2σ4, Dσ2S2

0 =2σ4

n.

Matome, kad S20 yra efektyvusis σ2 i

‘vertis.

Jei vietoj S20 imtume S2

1 , kuris, kaip mateme 5.6 pavyzdyje, yra nepaslinktasisσ2 i

‘vertis, tai gautume (apskaiciuokite!)

Pasikliautinieji intervalai 291

Dσ2S21 =

2σ4

n− 1.

Vadinasi, S21 nera efektyvusis σ2 i

‘vertis. Taciau

1/I(σ2)

Dσ2S21

= 1− 1

n

konverguoja i‘1, kai n → ∞. Toki

‘i‘verti

‘galima butu

‘pavadinti asimptotiskai efek-

tyviu.

Pastebesime (zr. [6], 33.3 skyreli‘), kad didziausio tiketinumo i

‘verciai, kai

patenkintos gana bendros sa‘lygos, yra asimptotiskai efektyvus.

Jei θ∗ yra bet kuris nepaslinktasis parametro θ i‘vertis, turintis dis-

persija‘, tai

1I(θ)Dθθ∗

paprastai vadinamas i‘vercio θ∗ efektyvumu.

Tenka pastebeti, kad ne visada egzistuoja efektyvus i‘verciai cia nurodyta

prasme. Kaip mateme, kai pasiskirstymas yra normalusis N(a, σ2) su nezi-nomais a, σ2, nepaslinktasis parametro σ2 i

‘vertis S2

1 turi dispersija‘2σ4/(n−

−1). Galima butu‘i‘rodyti, kad ji yra maziausia galima. Tuo tarpu 1/I(σ2) =

= 2σ4/n. Vadinasi, minimali pasiekiama reguliariu‘ju

‘i‘verciu

‘dispersija gali

buti didesne uz Rao–Kramero nelygybeje nurodyta‘apatini

‘rezi

‘.

Sia‘teorija

‘galima apibendrinti ir tuo atveju, kai pasiskirstymu

‘klase pri-

klauso nuo keliu‘realiu

‘ju

‘parametru

‘.

8. PASIKLIAUTINIEJI INTERVALAI

Jei nezinomam parametrui θ turime ”gera‘” i

‘verti

‘θ∗(X) ir x = (x1, ..., xn) yra

imties realizacija, tai galime laikyti θ ≈ θ∗(x1, ..., xn). Taciau toks parametroi‘vertinimo budas turi dideliu

‘trukumu

‘– juk θ∗(X1, ..., Xn) yra atsitiktinis

dydis. Kad ir koks ”geras” butu‘i‘vertis θ∗, jo reiksmes yra issibarsciusios apie

θ. Jei tas dydis yra tolydus, tai tikimybe jam i‘gyti konkrecia

‘reiksme

‘lygi

0. Todel, remdamiesi i‘verciais, galime rasti ne pacia

‘nezinomo parametro

reiksme‘, o tik sriti

‘, kuriai su tam tikra tikimybe priklauso vertinamasis

parametras. Jei ta tikimybe artima 1, tai praktiskai galime laikyti, jogparametras yra toje srityje.

Sakykime, reikia i‘vertinti nezinoma

‘parametra

‘θ. Imkime dvi statistikas

θ∗1(X1, ..., Xn) < θ∗2(X1, ..., Xn). Pazymekime

α = Pθθ∗1(X1, ..., Xn) < θ < θ∗2(X1, ..., Xn).

Jei α mazai skiriasi nuo 1, tai galime laikyti, kad praktiskai


θ∗1 < θ < θ∗2 .

Intervalas (θ∗1 , θ∗2) yra vadinamas parametro θ pasikliautinuoju intervalu, o

α – pasikliovimo tikimybe, arba pasikliovimo lygmeniu. 1 − α yra klaidostikimybe. Pasikliovimo tikimybe paprastai imama 0,9; 0,95; 0,99 ir pan. Siassa

‘vokas pasiule Dz. Neimanas1.

Statistikas θ∗1 ir θ∗2 galima parinkti i‘vairiausiais budais. Reikia stengtis,

kad tai paciai pasikliovimo tikimybei pasikliautinasis intervalas butu‘

kuotrumpesnis.

Sudarysime normaliojo pasiskirstymo N(a, σ2) parametru‘pasikliautinuo-

sius intervalus. Teks skirti atvejus, kai vienas is parametru‘a, σ2 yra zinomas,

o kitas – nezinomas, ir kai abu parametrai nezinomi.1. Tarkime, kad z i n o m a s σ2, o n e z i n o m a s a ∈ R. Tiesa, toks

atvejis turi tik teorine‘

reiksme‘: paprastai nezinome abieju

‘parametru

‘arba

zinome a, bet nezinome σ2. Mateme, kad X yra efektyvusis a i‘vertis. Juo ir

remsimes, sudarydami pasikliautinuosius intervalus. Imkime intervala‘(X −

−δ, X+δ); cia δ – teigiamas skaicius, kuri‘veliau parinksime. Apskaiciuosime

pasikliovimo tikimybe‘

α = Pa(X − δ < a < X + δ) = Pa(− δ

√n

σ<

1σ√n

n∑k=1

(Xk − a) <δ√n

σ

).

Kadangi Xk yra nepriklausomi ir kiekvienas is ju‘pasiskirste

‘s pagal N(a, σ2),

tai suma1

σ√n

n∑k=1

(Xk − a) = (X − a)√n

σ

yra pasiskirsciusi pagal desni‘N(0, 1) . Parinke

‘δ = σu/

√n, gauname

(1) α = Φ(u)− Φ(−u) = 2Φ(u)− 1 =

√2π

∫ u

0

e−y2/2dy.

Pasikliovimo tikimybe‘α parenkame, vadovaudamiesi praktiniais sumeti-

mais. Daznai tai bus ekonominiai samprotavimai. Turedami α, is (1) galimerasti u = u(α). Paprastai tam pravercia normaliojo pasiskirstymo lenteles.Zinodami u, randame pasikliautina

‘ji‘intervala

‘(X − σu√

n, X +

σu√n

).

Kuo didesnis α, tuo didesnis ir u(α), ir atvirksciai. Sakysime (zr., pvz., [17],1 lentele

‘),

1 Jerzy Neyman (1895–1981) – amerikieciu‘matematikas.


u(0, 9) ≈ 1, 64;u(0, 95) ≈ 1, 96;u(0, 99) ≈ 2, 58;u(0, 999) ≈ 3, 29.

Paeme‘didesni

‘α, turesime mazesne

‘klaidos tikimybe

‘1−α, taciau tada ir u(α)

bus didesnis bei platesnis pasikliautinasis intervalas, vadinasi, a i‘vertinsime

ne taip tiksliai. Pasikliautina‘ji‘intervala

‘galime susiaurinti, padidindami n (jei

tai leidzia eksperimento sa‘lygos). Jei is anksto parenkame α ir u, tai galime

rasti n.2. Tarkime, kad a yra z i n o m a s, o σ2 > 0 – n e z i n o m a s. 7.4

pavyzdyje parodeme, kad S0 yra efektyvusis σ2 i‘vertis. Nagrinekime intervala

‘(v1S2

0 , v2S20), kai 0 < v1 < v2. Ji

‘atitinka pasikliovimo tikimybe

α = Pσ2(v1S20 < σ2 < v2S

20) = Pσ2

(n

v2<

n∑k=1

(Xk − a

σ

)2

<n

v1

).

Is III.9.3 pavyzdzio zinome, kad suman∑k=1

(Xk − a

σ

)2

yra pasiskirsciusi pagal χ2 su n laisves laipsniu‘desni

‘. Todel, parinke

‘v1 =

= n/u2, v2 = n/u1, kai 0 < u1 < u2, turime

α = P (u1 < χ2n < u2) =

∫ u2

u1

pχ2n(y)dy.

Jei pasikliovimo tikimybe α yra duota, tai u1 ir u2 reikia taip parinkti, kad jietenkintu

‘ta

‘lygybe

‘. Aisku, tai galime padaryti be galo daug budu

‘. Paprastai

imama

(2)

∫ u1

0

pχ2n(y)dy =

1− α

2,∫ ∞

u2

pχ2n(y)dy =

1− α

2.

Rade‘u1 = u1(α), u2 = u2(α), gauname σ2 pasikliautina

‘ji‘intervala

‘(nu−1

2 (α)S20 , nu

−11 (α)S2

0

).

Spre‘sdami (2) lygtis, naudojames χ2

n pasiskirstymo lentelemis. Dideliemsn tokiu

‘lenteliu

‘nera. Ju

‘ir neverta sudarineti, nes atitinkamai normuotas

χ2n pasiskirstymas konverguoja i

‘normalu

‘ji‘

pasiskirstyma‘, kai n neapreztai

dideja. I‘rodysime si

‘fakta

‘. Kadangi χ2

n yra n normaliu‘ju

‘dydziu

‘, pasiskirs-

ciusiu‘pagal N(0, 1), kvadratu

‘suma, tai jo vidurkis yra n, o dispersija 2n (i

‘ro-

dykite!). Is centrines ribines teoremos (III.11.2 teoremos 2 isvados) isplaukia,kad


χ2n − n√

2n

yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal N(0, 1). Pasirodo, kad jau gana ne-

dideliems n liekamasis narys yra mazas. Yra sudarytos χ2n kvantiliu

‘ir ju

‘aproksimaciju

‘skirtumu

‘lenteles (zr. [17], IIIb lentele

‘).

3. Tirsime atveji‘, kai abu parametrai a ∈ R ir σ2 > 0 yra n e z i n o-

m i. Sudarydami pasikliautinuosius intervalus, jau negalime naudoti statistiku‘

√n(X − a)σ

, S20 ,

nes a ir σ2 yra nezinomi. Imsime statistikas√n(X − a)S1

, (n− 1)(S1

σ

)2

= n

(S

σ

)2

.

Laikysime, kad n > 1. Rasime ju‘pasiskirstymus. Mums reikes daugiamaciu

‘normaliu

‘ju

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘savybiu

‘.

Lema. Jei stebimasis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘

desni‘N(a, σ2), tai statistikos X ir S2 yra nepriklausomos, be to, statistika

(X − a)√n

σ=

1σ√n

n∑k=1

(Xk − a)

yra pasiskirsciusi pagal N(0, 1), statistika

(n− 1)(S1

σ

)2

=n∑k=1

(Xk − X

σ

)2

– pagal χ2 su n− 1 laisves laipsniu‘, o statistika

(X − a)√n

S1

– pagal Stjudento desni‘

su n− 1 laisves laipsniu‘.

I‘r o d y m a s. Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, ..., Xn) charakteristine

funkcija pagal III.12 skyreli‘

fX(t) = expi(a, ..., a)t′ − 12σ2tt′;

cia t = (t1, ..., tn), o bruksnelis reiskia transponavima‘. Imkime ortogonalia

‘matrica

‘


C =

∥∥∥∥∥ c11 . . . c1n. . . . . . . . .cn1 . . . cnn

∥∥∥∥∥ ,kurioje c11 = ... = cn1 = n−1/2. Kadangi matrica yra ortogonali, tai

n∑k=1

ckjckl = 1, kai j = l,

0, kai j 6= l.

Is cian∑k=1

ckj = 0 (j = 2, ..., n).

Nagrinesime vektoriu‘Y = (Y1, ..., Yn) = XC. Aisku,

(3) X21 + ...+X2

n = Y 21 + ...+ Y 2

n .

Parodysime, kad atsitiktiniai dydziai Y1, ..., Yn yra nepriklausomi. VektoriausY charakteristine funkcija

fY (t) = fX(tC ′) = expi(a, ..., a)Ct′ − 1

2σ2tC ′Ct

=

= expiat1

√n− 1

2σ2tt′

.

Matome, kad atsitiktiniai dydziai Y1, ..., Yn yra normalieji ir kas du nekore-liuoti. Pagal III.13 skyrelio teorema

‘jie yra nepriklausomi. Be to,

Y1 = (X1 + ...+Xn)n−1/2 = X√n,

MY1 = a√n, MYk = 0 (k = 2, ..., n),

DYk = σ2 (k = 1, ..., n).

Is (3) isplaukia, kad dydziai

n∑k=1

(Xk − X)2 =n∑k=1

X2k − nX2 =

n∑k=2

Y 2k

ir Y1 yra nepriklausomi. Lieka remtis III.9.3 pavyzdziu.Is III.9.4 pavyzdzio isplaukia, kad statistika

(X − a)√n

S1

yra pasiskirsciusi pagal Stjudento desni‘su n− 1 laisves laipsniu

‘. ut


Dabar jau galime sudaryti pasikliautinuosius intervalus nezinomiemsparametrams a ir σ2. Juos imame pavidalo(

X − u1S1√n, X − u2S1√

n

), u1 > u2,(nS2

1

v1,nS2

1

v2

), v1 > v2 > 0.

Atitinkamos pasikliovimo tikimybes lygios

α′ = P(a,σ)

(u2 <

(X − a)√n

S1< u1

)=

∫ u1

u2

pStn−1(y)dy,

α′′ = P(a,σ)

(v2 < n

(S1

σ

)2

< v1

)=

∫ v1

v2

pχ2n−1

(y)dy;

cia pStn−1(y) yra Stjudento pasiskirstymo su n − 1 laisves laipsniu‘

tankis.Pasirinke

‘α′ ir α′′, skaicius u1, u2, v1, v2 paprastai randame is lygciu

‘

u2 = −u1,1− α′

2=

∫ ∞

u1

pStn−1(y)dy,

1− α′′

2=

∫ v2

0

pχ2n−1

(y)dy,

1− α′′

2=

∫ ∞

v1

pχ2n−1

(y)dy.

Palygine‘antra

‘ji‘pasikliautina

‘ji‘intervala

‘dispersijai i

‘vertinti, kai vidurkis

a yra nezinomas, su pasikliautinuoju intervalu, kai a yra zinomas (2 atve-jis), matome, kad abiem atvejais vartojamas χ2 pasiskirstymas, tik antruojuatveju su n laisves laipsniu

‘, o pirmuoju – su n− 1 laisves laipsniu

‘.

Ieskant pasikliautinu‘ju

‘intervalu

‘, tenka naudotis χ2 ir Stjudento pasi-

skirstymu‘

lentelemis (zr. [17], III, IV, V lenteles), kurios yra sudarytostik nedideliems n. Jau mateme, kad χ2 pasiskirstyma

‘dideliems n gali-

ma aproksimuoti normaliuoju pasiskirstymu. Taip yra ir su Stjudento pa-siskirstymu. Sio desnio su n laisves laipsniu

‘tankio funkcija (zr. III.9.4

pavyzdi‘) yra

pStn(y) =Γ(n+1

2

)√

n2 Γ

(n2

) · 1√2π

(1 +

y2

n

)−(n+1)/2

.

Pagal Stirlingo formule‘pirmasis dauginamasis konverguoja i

‘1, kai n → ∞.

Bet kuriam fiksuotam y


−n+ 12

ln(1 +

y2

n

)→ −y

2

2,

vadinasi,

pStn(y) → 1√2πe−y

2/2.

Toliau

(1 + y2/n)(n+1)/2 ≥ (1 + y2/n)[(n+1)/2] ≥ 1 + [(n+ 1)/2]y2/n ≥ 1 + y2/2.

Todel funkcija pStn(y) yra mazoruojama funkcijos

C(1 + y2/2)−1.

Pasireme‘V.9.16 teorema, gauname∫ u

−∞pStn(y)dy → 1√

2π

∫ u

−∞e−y

2/2dy = Φ(u),

kai n→∞.Si

‘teigini

‘galima ir kitaip i

‘rodyti. III.9.4 pavyzdyje atsitiktinis dydis,

pasiskirste‘s pagal Stjudento desni

‘, buvo nusakytas kaip dvieju

‘nepriklausomu

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘santykis. Skaitiklyje buvo atsitiktinis dydis, pasiskirste

‘s

pagal N(0, 1), o vardiklyje – kvadratine saknis is vienodai pasiskirsciusiu‘

nepriklausomu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘aritmetinio vidurkio. Is Chincino teoremos

isplaukia, kad vardiklyje esancio atsitiktinio dydzio pasiskirstymas konver-guoja i

‘vienetini

‘pasiskirstyma

‘ε(y). Is cia isplaukia, kad minetu

‘ju

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘santykis yra pasiskirste

‘s pagal N(0, 1) (i

‘rodykite!).

4. Iki siol nagrinejome normaliojo pasiskirstymo parametru‘

i‘vertinima

‘.

Analogiskas teorijas galima sukurti ir kai kuriems kitiems pasiskirstymams.Taciau, kai eksperimento sa

‘lygos leidzia tureti daug stebejimo duomenu

‘,

daznai ju‘pasiskirstymas mazai skiriasi nuo normaliojo.

Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis turi nezinoma‘vidurki

‘a ∈ R

ir zinoma‘

dispersija‘σ2. Is centrines ribines teoremos (III.11.2 teoremos 2

isvada) isplaukia, kad normuotos sumos

(X − a)√n/σ

pasiskirstymas konverguoja i‘standartini

‘normalu


‘. Vadinasi,

α = Pa(− u < (X − a)

√n/σ < u

)≈

√2π

∫ u

0

e−y2/2dy,

kai n yra pakankamai didelis. Pasirinke‘

pasikliovimo tikimybe‘α, is tos

apytiksles lygybes apskaiciuojame apytiksle‘u = u(α) reiksme

‘ir gauname

nezinomo vidurkio pasikliautina‘ji‘intervala

‘

298 Matematines statistikos pradmenys(X − σu√

n, X +

σu√n

).

Jei dispersija σ2 > 0 yra nezinoma, tai siuose i‘vertinimuose σ2 reikia

pakeisti S21 arba S2. Galima i

‘rodyti, kad dideliems n statistika (X−a)

√n/S1

yra apytiksliai pasiskirsciusi pagal N(0, 1) (priminsime, kad ir Stjudentopasiskirstymas, kai laisves laipsniu

‘skaicius yra didelis, mazai skiriasi nuo

N(0, 1)). Pasirinke‘α, randame u = u(α) is apytiksles lygybes

α = P(a,σ)

(− u < (X − a)

√n/S1 < u

)≈

√2π

∫ u

0

e−y2/2dy

ir sudarome nezinomo vidurkio pasikliautina‘ji‘intervala

‘(X − S1u√

n, X +

S1u√n

).

5. Baigdami paminesime dar viena‘

praktiskai svarbu‘

pasikliautinu‘ju

‘intervalu

‘sudarymo metoda

‘. Tarkime, kad nezinomam parametrui θ i

‘vertinti

naudojames statistika T (X), gauta didziausio tiketinumo metodu. Kai ten-kinamos gana bendros sa

‘lygos, atsitiktinis dydis

(T (X)− θ

)/D

1/2θ T (X) yra

asimptotiskai pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘N(0, 1). Paeme

‘α, is apytiks-

les lygties

α = Pθ(− u <

T (X)− θ√DθT (X)

< u)≈

√2n

∫ u

0

e−y2/2dy

randame u = u(α) ir sudarome parametro θ pasikliautina‘ji‘intervala

‘(T (X)− u(α)

√DθT (X), T (X) + u(α)

√DθT (X)

).

P a v y z d y s. Fabriko cechas gamina kokias nors detales. Is jo vienos dienosprodukcijos atsitiktinai parenkame detale

‘, ja

‘pasveriame ir gra

‘ziname atgal. Po 24

sverimu‘gavome sitokius rezultatus (sakysime, gramais):

2, 1 2, 3 1, 9 2, 0 2, 1 2, 2 1, 8 1, 7 2, 1 2, 2 1, 9 2, 01, 9 2, 1 1, 8 2, 0 1, 9 2, 2 2, 1 2, 3 1, 9 2, 1 2, 2 2, 0

Laikydami, kad detaliu‘svoris pasiskirste

‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘, i

‘vertinsime jo

vidurki‘ir dispersija

‘.

Turimex ≈ 2, 0333, s2 ≈ 0, 0247, s21 ≈ 0, 0258.

Paeme‘α′ = α′′ = 0, 98, is Stjudento pasiskirstymo lenteliu

‘(su 23 laisves laipsniais)

randameu1 = −u2 ≈ 2, 4999,

o is χ2 lenteliu‘(su 23 laisves laipsniais)

Statistiniu‘hipoteziu

‘tikrinimas 299

v1 ≈ 41, 638, v2 ≈ 10, 196.

Vidurkio pasikliautinojo intervalo galai yra

x− u1s1√23

≈ 1, 9496, x+u1s1√

23≈ 2, 1170,

o dispersijos24s2

v1≈ 0, 0142,

24s2

v2≈ 0, 0581.

9. STATISTINIU‘

HIPOTEZIU‘

TIKRINIMAS

Si‘

uzdavini‘

jau formulavome 1 skyrelyje. Priminsime, kad statistinemisvadiname hipotezes apie stebimojo atsitiktinio dydzio arba keliu

‘dydziu

‘pasiskirstyma

‘. Statistines bus, pavyzdziui, hipotezes: stebimasis atsitikti-

nis dydis yra pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘

desni‘, dvieju

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘vidurkiai yra lygus, vieno atsitiktinio dydzio dispersija yra didesne negu kito.

Su tokiais uzdaviniais daznai susiduriame praktikoje. Sakysime, kokiainors ligai gydyti yra vartojami zinomi vaistai. Rasti nauji vaistai. Ar jie busefektyvesni uz senuosius? Fabrikas gamina elektros lemputes. Siuloma pakeistitechnologini

‘procesa

‘. Ar nauju budu pagamintos lemputes degs ilgiau?

Sakykime, turime pasiskirstymu‘

klase‘Pθ, θ ∈ Θ ir Θ0 yra aibes Θ

poaibis. Statistine hipoteze bus teiginys, kad stebimojo atsitiktinio dydziopasiskirstymas Pθ priklauso klasei Pθ, θ ∈ Θ0, kitaip tariant θ ∈ Θ0. Tikri-namoji hipoteze paprastai vadinama pagrindine, arba nuline, ir zymima H0.Kartu nagrinejama ir priesinga jai hipoteze H1. Ji vadinama konkuruojancia,arba alternatyvia

‘ja, hipoteze, arba tiesiog alternatyva. Tai bus teiginys, kad

θ ∈ Θ1 = Θ\Θ0. Jei aibe Θ0 yra sudaryta is vieno tasko, tai hipoteze vadi-nama paprasta

‘ja. Priesingu atveju ji vadinama sudetinga

‘ja.

Jei, pavyzdziui, turime klase‘normaliu

‘ju

‘pasiskirstymu

‘su zinomomis dis-

persijomis, bet nezinomais vidurkiais a ∈ R, tai teiginys, kad stebimojodydzio vidurkis a = 5, yra paprastoji hipoteze, o jos alternatyva yra teiginysa 6= 5. Teiginys a > 5 yra sudetingoji hipoteze.

Matematine statistika nagrineja kriterijus arba testus, kurie leistu‘spre

‘sti,

ar stebejimo duomenys suderinami su nuline hipoteze.Kriteriju

‘sudarymo ideja sitokia. Erdve

‘Rn suskaidome i

‘dvi sritis – Bore-

lio aibes: R0 ir R1 = Rn\R0. Sriti‘R1 parenkame taip, kad tikimybes imciai

X = (X1, ..., Xn) patekti i‘ta

‘sriti

‘, kai hipoteze H0 yra teisinga,

Pθ(X ∈ R1), θ ∈ Θ0,

butu‘mazos. Susitariame, kad hipotezeH0 nesuderinama su stebejimo duome-

nimis ir todel yra atmestina, kai x ∈ R1. Si sritis paprastai vadinama kritine.


Jei x ∈ R0, tai laikome hipoteze‘H0 suderinama su stebejimo duomenimis ir

todel priimtina.Si procedura negarantuoja, kad padarytoji isvada bus visada teisinga.

Mes galime tik teigti, kad ji bus teisinga su tam tikra tikimybe. Jei tikimybesPθ(X ∈ R1), θ ∈ Θ0, yra mazos, tai praktiskai labai retai atmesime hipoteze

‘H0, kai ji teisinga. Sakysime, jei tos tikimybes ne didesnes kaip 0,01, taividutiniskai ne daugiau kaip viena

‘karta

‘is 100 atmesime teisinga

‘hipoteze

‘.

Naudodamiesi statistiniu kriterijumi, galime padaryti dvieju‘rusiu

‘klaidas:

atmesti, kaip jau minejome, hipoteze‘H0, kai ji yra teisinga (pirmosios rusies

klaida), arba priimti H0, nors ji klaidinga (antrosios rusies klaida). Galimiatvejai nurodyti lenteleje.

Isvada

Priimta H0 Atmesta H0

H0 teisinga Teisingai I rusies klaidaH0 klaidinga II rusies klaida Teisingai

Geriausia butu‘kriterijus sudaryti taip, kad abieju

‘rusiu

‘klaidu

‘tikimybes

butu‘

minimalios. Deja, kai stebejimu‘

skaicius yra ribotas, to padaryti ne-galima. Prapletus kritine

‘sriti

‘, antrosios rusies klaidos tikimybe sumazes,

bet padides pirmosios rusies klaidos tikimybe, ir atvirksciai. Todel paprastaiparenkamas rezis, kurio neturetu

‘virsyti pirmosios rusies klaidos tikimybe,

ir stengiamasi minimizuoti antrosios rusies klaidos tikimybe‘. Kitaip tariant,

parenkamas nedidelis skaicius α ∈ (0, 1), vadinamas reiksmingumo lygmeniu,ir reikalaujama, kad pirmosios rusies klaidos tikimybe butu

‘ne didesne uz ta

‘skaiciu

‘supθ∈Θ0

Pθ(X ∈ R1) ≤ α,

o antrosios rusies klaidos tikimybe

Pθ(X ∈ R0), θ ∈ Θ1,

butu‘kiek galima mazesne, t. y. tikimybe

β(θ) = Pθ(X ∈ R1) = 1− Pθ(X ∈ R0), θ ∈ Θ1,

vadinama kriterijaus galia, kiek galima didesne. Si tikimybe, traktuojamakaip θ funkcija visiems θ ∈ Θ, yra vadinama kriterijaus galios funkcija. β(θ)reiskia tikimybe

‘atmesti hipoteze

‘H0, kai tikroji parametro reiksme yra θ.

Tarkime, kad turime du kriterijus su kritinemis sritimisR1 irR′1, turinciusta

‘pati

‘reiksmingumo lygmeni

‘. Kriterijus su kritine sritimi R1 vadinamas

tolygiai galingesniu uz kriteriju‘su kritine sritimi R′1, jei

Fundamentalioji Neimano–Pirsono lema 301

Pθ(X ∈ R1) ≤ Pθ(X ∈ R′1), θ ∈ Θ0,

Pθ(X ∈ R1) ≥ Pθ(X ∈ R′1), θ ∈ Θ1.

Kriteriju‘

su kritine sritimi R1 ir reiksmingumo lygmeniu α vadinametolygiai galingiausiu, jei

supR′1

Pθ(X ∈ R′1) = Pθ(X ∈ R1), θ ∈ Θ1;

cia supremumas imamas pagal visas kritines sritis R′1 su reiksmingumo lyg-meniu α. Kai alternatyva yra paprastoji (Θ1 turi tik viena

‘elementa

‘), tolygiai

galingiausia‘kriteriju

‘vadiname tiesiog galingiausiu.

10. FUNDAMENTALIOJI NEIMANO–PIRSONO

LEMA

Praeitame skyrelyje nagrinetus statistinius kriterijus galime aprasyti sitokiubudu. Kiekvienam x ∈ Rn apibreziame funkcija

‘ψ(x), i

‘gyjancia

‘dvi reiksmes:

0 ir 1, ir susitariame tikrinama‘ja

‘hipoteze

‘atmesti, kai imciai x ta funkcija

i‘gyja reiksme

‘1, arba priimti, kai ji i

‘gyja reiksme

‘0. Jei ψ(x) yra Borelio

funkcija, tai ji nusako erdveje Rn dvi sritis: kritine‘sriti

‘R1 = x : ψ(x) = 1

ir jos papildoma‘ja

‘sriti

‘R0 = x : ψ(x) = 0.

Praplesime funkciju‘ψ klase

‘, nagrinedami Borelio funkcijas, apibreztas

erdveje Rn ir galincias i‘gyti reiksmes is intervalo [0, 1]. Paeme

‘tokia

‘funkcija

‘,

sudarysime naujo tipo kriteriju‘. Kai imciai x turime ψ(x) = 1 arba ψ(x) = 0,

tai, kaip ir anksciau, hipoteze‘H0 atmetame arba priimame. Jei 0 < ψ(x) < 1,

tai hipoteze‘H0 su tikimybe ψ(x) atmetame ir su tikimybe 1−ψ(x) priimame.

Ta‘

procedura‘

galima interpretuoti sitaip: kiekvienai imciai x atliekameatsitiktini

‘eksperimenta

‘su dviem galimais rezultatais, kuriu

‘tikimybes yra

ψ(x) ir 1− ψ(x). Gave‘pirma

‘ji‘rezultata

‘, hipoteze

‘atmetame, gave

‘antra

‘ji‘–

priimame.Tokius kriterijus vadiname randomizuotais (nuo anglu

‘kalbos zodzio ran-

dom – atsitiktinis). 9 skyrelyje nagrineti kriterijai vadinami nerandomizuotaisarba determinuotais.

Funkcija‘

β(θ) = β(θ, ψ) = Mθψ(X), θ ∈ Θ,

vadinsime randomizuoto kriterijaus galios funkcija. Uzdavinys yra rasti tokiasfunkcijas ψ, kad galia butu

‘didziausia visiems θ ∈ Θ1, kai Mθψ(X) ≤ α

visiems θ ∈ Θ0.Toliau nagrinesime tik atveji

‘, kai hipoteze ir jos alternatyva yra paprasto-

sios, t. y. Θ0 = θ0, Θ1 = θ1. Pazymekime Kα klase‘funkciju

‘ψ, kurioms

pirmosios rusies klaidos tikimybe yra ne didesne uz α:


Kα = ψ : Mθ0ψ(X) ≤ α.

Kriteriju‘su funkcija ψ∗ ∈ Kα vadinsime galingiausiu, jei

β(θ1, ψ∗) = supψ∈Kα

β(θ1, ψ),

kitaip tariant, jei antrosios rusies klaidos tikimybe tenkina sa‘lyga

‘

Mθ1

(1− ψ∗(X)

)= infψ∈Kα

Mθ1

(1− ψ(X)

).

Laikysime, kad pasiskirstymus Pθk(k = 0, 1) dominuoja matas µ su tankio

funkcijomis pθk(x) = pθk

(x1) ... pθk(xn) (k = 0, 1).

Parodysime, kad galingiausias kriterijus egzistuoja ir rasime jo pavidala‘.

Teorema (fundamentalioji Neimano–Pirsono lema). Kiekvienamα ∈ (0, 1) galima rasti tokias konstantas c = cα ir h = hα, kad funkcijai

ψ∗(x) =

1, kai pθ1(x) > hpθ0(x),c, kai pθ1(x) = hpθ0(x),0, kai pθ1(x) < hpθ0(x),

butu‘

teisinga lygybeMθ0ψ

∗(X) = α

ir ja pagri‘stas kriterijus butu

‘galingiausias tarp klases Kα funkcijas atitin-

kanciu‘

kriteriju‘.

I‘r o d y m a s. 1. Nagrinekime funkcija

‘

w(h) = Pθ0(pθ1(X) > hpθ0(X)

)=

∫x:pθ1 (x)>hpθ0 (x)

pθ0(x)µ(dx).

Si funkcija yra nedidejanti, tolydi is desines, w(h) = 1, kai h < 0, irw(h) → 0, kai h→∞.

Kai α ∈ (0, 1), pazymekime hα maziausia‘h, kuriam

w(h) ≤ α ≤ w(h− 0).

Jei w(hα − 0)− w(hα) > 0, imkime

cα =α− w(hα)

w(hα − 0)− w(hα).

Jei w(hα − 0)− w(hα) = 0, tai imkime cα = 1. Apskaiciuosime

Mθ0ψ∗(X) =

∫Rn

ψ∗(x)pθ0(x)µ(dx).

Fundamentalioji Neimano–Pirsono lema 303

Integravimo sriti‘galime suskaidyti i

‘tris viena kitos nedengiancias sritis x :

pθ1(x) > hαpθ0(x), x : pθ1(x) = hαpθ0(x), x : pθ1(x) < hαpθ0(x).Pirmojoje srityje integralas lygus w(hα), antrojoje cα

(w(hα − 0) − w(hα)

),

treciojoje 0. Taigi

(1) Mθ0ψ∗(X) = w(hα) + cα

(w(hα − 0)− w(hα)

)= α.

2. Tarkime, kad ψ yra bet kuri klases Kα funkcija. Parodysime, kad

Mθ1ψ∗(X)−Mθ1ψ(X) =

∫Rn

(ψ∗(x)− ψ(x)

)pθ1(x)µ(dx) ≥ 0.

Imame integrala‘∫Rn

(ψ∗(x)− ψ(x)

)(pθ1(x)− hαpθ0(x)

)µ(dx) =

=∫x:ψ∗(x)>ψ(x)

+∫x:ψ∗(x)<ψ(x)

.

Pirmajame integrale funkcija ψ∗(x) > 0, todel pagal jos apibrezima‘pθ1(x)−

−hαpθ0(x) ≥ 0. Is cia isplaukia, kad tas integralas yra neneigiamas. Visaitaip pat antrajame integrale funkcija pθ1(x) − hαpθ0(x) ≤ 0; todel ir tasintegralas yra neneigiamas. Is cia∫

Rn

(ψ∗(x)− ψ(x)

)pθ1(x)µ(dx) ≥

≥ hα

∫Rn

(ψ∗(x)− ψ(x)

)pθ0(x)µ(dx) =

= hα(Mθ0ψ

∗(X)−Mθ0ψ(X)).

Remiantis klases Kα apibrezimu ir (1) lygybe, sis reiskinys yra neneigia-mas. ut

I‘rodinedami kriterijaus su funkcija ψ∗ galinguma

‘klaseje Kα, rememes

savybe, kad to kriterijaus pirmosios rusies klaidos tikimybe yra α. Tarprandomizuotu

‘kriteriju

‘toks kriterijus visada egzistuoja. Jei apsiribotume

nerandomizuotais kriterijais, tai ne kiekvienam α butu‘galima rasti toki

‘h,

kad funkcija‘

(2) ψ(x) =

1, kai pθ1(x) ≥ hpθ0(x),0, kai pθ1(x) < hpθ0(x),

atitinkancio kriterijaus pirmosios rusies klaidos tikimybe butu‘

lygi α. Jeikuriam nors α toki

‘h galima rasti, tai kriterijus su funkcija ψ bus galingiausias

klaseje Kα.


Jei funkcija w(h) yra tolydi, tai galingiausias kriterijus bus nerandomi-zuotas visiems α ∈ (0, 1); ji

‘atitinkanti funkcija bus (2) pavidalo.

Jei kuriam nors α funkcija w(h) taske hα yra tolydi: w(hα− 0) = w(hα),tai galingiausias kriterijus bus taip pat nerandomizuotas. Vadinasi, jei duo-tas kuris nors reiksmingumo lygmuo α, tai, pakeite

‘ji‘

siek tiek mazesniu(sakysime, skaiciumi w(hα) − ε), gausime nerandomizuota

‘kriteriju

‘. Toks

pakeitimas sumazina pirmosios rusies klaidos tikimybe‘, bet padidina antro-

sios rusies klaidos tikimybe‘. Taciau taip keisti apsimoka, nes nerandomizuoti

kriterijai yra paprastesni uz randomizuotus.Pastebesime, kad galingiausias kriterijus yra pagri

‘stas funkcija

pθ1(x)pθ0(x)

=pθ1(x1)...pθ1(xn)pθ0(x1)...pθ0(xn)

,

t. y. tiketinumo funkciju‘realizaciju

‘santykiu. Daznai patogu imti jos logaritma

‘

z = z(x) =n∑k=1

lnpθ1(xk)pθ0(xk)

ir funkcija‘ψ∗ uzrasyti sitaip:

ψ∗(x) =

1, kai z(x) > dα,cα, kai z(x) = dα,0, kai z(x) < dα.

11. HIPOTEZIU‘

APIE PASISKIRSTYMOPARAMETRUS TIKRINIMAS

Keliais pavyzdziais parodysime, kaip sudaromi kriterijai statistinems hipote-zems apie pasiskirstymo parametrus tikrinti. Remsimes 10 skyrelyje isdestytateorija.

1. Sakykime, turime normalu‘ji‘pasiskirstyma

‘su n e z i n o m u v i-

d u r k i u a ∈ R, bet z i n o m a d i s p e r s i j a σ2, ir reikia patikrintihipoteze

‘H0, kad a = a0, kai alternatyva yra a = a1 > a0 (nepainioti a1

su empiriniu vidurkiu!). Tiketinumo funkciju‘realizaciju

‘santykio logaritmo

pagrindinis narys yra lygus

− 12σ2

n∑k=1

(xk − a1)2 +1

2σ2

n∑k=1

(xk − a0)2 =

= n(a1 − a0)x/σ2 +12n(a2

1 − a20)/σ

2.

Hipoteziu‘apie pasiskirstymo parametrus tikrinimas 305

Siuo atveju funkcija w(h) yra tolydi. Todel galesime sudaryti galingiausia‘

nerandomizuota‘kriteriju

‘. Kritine sritis bus pavidalo

(x− a0)√n/σ ≥ u.

Jei hipoteze H0 yra teisinga, tai statistika (X − a0)√n/σ, kaip zinome is 8

skyrelio, yra pasiskirsciusi pagal N(0, 1). Pirmosios rusies klaidos tikimybe

(1) α = Pa0

((X − a0)

√n/σ ≥ u

)=

1√2π

∫ ∞

u

e−v2/2dv = 1− Φ(u).

Is sios lygybes randame u = uα; jis yra standartinio normaliojo pasiskirstymo(1− α)-kvantilis. Kriterijaus galia

β(a1) = Pa1

((X − a0)

√n/σ ≥ uα

)= Pa1

((X − a1)

√n/σ ≥

≥ uα + (a0 − a1)√n/σ

)= 1− Φ

(uα + (a0 − a1)

√n/σ

).

Matome, kad tikimybe atmesti H0 yra lygi kriterijaus reiksmingumo lygme-niui, kai a = a0, ir monotoniskai arteja prie 1, kai a1 → ∞. Is cia taip patmatome, kad, paeme

‘pakankamai dideli

‘n, kriterijaus galia

‘galime padaryti

kiek norima artima‘1. Galios funkcijos grafikas pavaizduotas 34 paveiksle.

Kritines srities pavidalas nepriklauso nuo alternatyvos a = a1. Todelgautasis kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai alternatyva yra sudetinga:Θ1 = a : a > a0.

Jei alternatyva yra a = a1 < a0, tai hipoteze‘

atmetame, kai konkretiimtis tenkina nelygybe

‘(x− a0)

√n/σ ≤ u.

Skaiciu‘u = uα randame is lygties

(2) α = Φ(u);

jis yra α-kvantilis. Kriterijaus galia

34 pav.


β(a1) = Pa1

((X − a0)

√n/σ ≤ u

)= Pa1

((X − a1)

√n/σ ≤

≤ uα + (a0 − a1)√n/σ

)= Φ

(uα + (a0 − a1)

√n/σ

).

Galios funkcijos grafikas pavaizduotas 35 paveiksle.

35 pav.

Ir sis kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai turime sudetinga‘alternatyva

‘Θ1 = a : a < a0.

Panagrinekime alternatyva‘a = a1 6= a0. Hipoteze

‘atmetame, kai konkreti

imtis tenkina nelygybe‘

|x− a0|√n/σ ≥ u.


Skaiciu‘u = uα rasime is lygties

(3)α = Pa0

(|X − a0|

√n/σ ≥ u

)=

=1√2π

∫|y|≥u

e−v2/2dv = Φ(−u) + 1− Φ(u) = 2

(1− Φ(u)

);

jis yra (1− α/2)-kvantilis. Galios funkcija

β(a1) = Φ(− uα + (a0 − a1)

√n/σ

)+ 1− Φ

(uα + (a0 − a1)

√n/σ

).

Jos grafikas pavaizduotas 36 paveiksle.Sis kriterijus nera tolygiai galingiausias sudetingai alternatyvai Θ1 = a :

a 6= a0. Is tikru‘ju

‘galingiausio paprastajai alternatyvai a = a1 6= a0 krite-

rijaus kritine sritis priklauso nuo a1 (ji yra vienokia, kai a1 < a0, ir kitokia,kai a1 > a0).

Paskutini‘ji‘is nagrinetu

‘kriteriju

‘galima butu

‘pavadinti dvipusiu, o pir-

muosius du – vienpusiais: desiniapusiu ir kairiapusiu.Jei pasiskirstymas nera normalusis, bet turi zinoma

‘dispersija

‘σ2, tai gali-

me pasinaudoti statistikos (X − a)√n/σ asimptotiniu normalumu. Hipotezei

a = a0 su atitinkamomis alternatyvomis kriteriju‘

kritines sritys gali butisudarytos taip pat, kaip ir turint normalu

‘ji‘

pasiskirstyma‘, tik (1), (2), (3)

lygtis skaiciams uα rasti reiketu‘

pakeisti apytikslemis lygtimis, tuo tik-slesnemis, kuo didesnis n.

36 pav.

2. Tarkime, kad stebimasis atsitiktinis dydis i‘gyja dvi reiksmes: 1 ir 0

su tikimybemis atitinkamai p ir 1 − p. Tikimybe p ∈ (0, 1) yra n e z i-n o m a. Reikia patikrinti hipoteze

‘p = p0, kai alternatyva yra p = p1 < p0.

Tiketinumo funkciju‘realizaciju

‘santykis yra

n∏k=1

(p1

p0

)xk(1− p1

1− p0

)1−xk

,


o jo logaritmas

κn ln1/p0 − 11/p1 − 1

+ n ln1− p1

1− p0;

cia κn = x1 + ... + xn yra sveikasis neneigiamas skaicius, o jo koeficientas –neigiamas. Todel funkcija ψ∗ yra sitokio pavidalo:

ψ∗(x) =

1, kai κn < m,c, kai κn = m,0, kai κn > m.

Tarkime, kad reiksmingumo lygmuo yra α. Pirmosios rusies klaidos tikimybeturi buti

α = cPp0(X1 + ...+Xn = m) +∑k<m

Pp0(X1 + ...+Xn = k).

Is cia reikia rasti c = cα ir m = mα. Kadangi statistika X1 + ... + Xn, kaiteisinga nuline hipoteze, yra pasiskirsciusi pagal binomini

‘desni

‘su p = p0,

taiPp0(X1 + ...+Xn = k) =

(n

k

)pk0(1− p0)n−k.

Jei egzistuoja toks sveikasis m, kadm∑k=0

(n

k

)pk0(1− p0)n−k = α,

tai ji‘

ir laikome mα; tada cα imame lygu‘

1. Gauname galingiausia‘

neran-domizuota

‘kriteriju

‘. Jei tokio sveikojo m nera, tai parenkame sveika

‘mα su

sa‘lyga

mα−1∑k=0

(n

k

)p0(1− p0)n−k < α <

mα∑k=0

(n

k

)p0(1− p0)n−k.

Tada

cα =

α−mα−1∑k=0

(n

k

)pk0(1− p0)n−k(

n

mα

)pmα0 (1− p0)n−mα

.

Vel gauname galingiausia‘, taciau randomizuota

‘kriteriju

‘.

Kritiskosios srities pavidalas nepriklauso nuo alternatyvos p = p1. Todelgautasis kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai alternatyva yra sudetinga:Θ1 = p : p < p0.

Praktiskai abiem atvejais, kaip buvo rasyta 10 skyrelyje, vartojamasnerandomizuotas kriterijus su funkcija


ψ(x) = 1, kai κn ≤ m,

0, kai κn > m.

Paliekame skaitytojui uzrasyti galios funkcija‘bei isnagrineti atvejus, kai al-

ternatyva yra p = p1 > p0 arba p = p1 6= p0.

1 p a v y z d y s. Laboratorijoje tiriami nauji vaistai kuriai nors ligai gydyti.Vaistu

‘atradejai teigia, kad jie efektyvus 80% atveju

‘. Laboratorijoje vaistus tikrino

7 kartus, ir 4 kartus jie buvo efektyvus. Patikrinsime, ar sie duomenys atitinkaatradeju

‘teigini

‘, kai reiksmingumo lygmuo α = 0, 1.

Tikrinsime hipoteze‘H0 : p = 0, 8, kai alternatyva yra H1 : p = p1 < 0, 8.

Nesunku suskaiciuoti, kad

3∑k=0

(7

k

)0, 8k · 0, 27−k ≈ 0, 033

ir (7

4

)0, 84 · 0, 23 ≈ 0, 115,

4∑k=0

(7

k

)0, 8k · 0, 27−k ≈ 0, 148.

Todel m0,1 = 4 ir c0,1 ≈ 0, 58. Turime galingiausia‘

randomizuota‘

kriteriju‘

sufunkcija

ψ∗(x) =

1, kai κ7 < 4,c0,1, kai κ7 = 4,0, kai κ7 > 4,

ir nerandomizuota‘kriteriju

‘su funkcija

ψ(x) =

1, kai κ7 ≤ 4,0, kai κ7 > 4.

Jei pasirinksime nerandomizuota‘

kriteriju‘, tai hipoteze

‘teks atmesti. Jei im-

sime randomizuota‘kriteriju

‘, tai hipoteze

‘atmesime su tikimybe c0,1 ≈ 0, 58, o su

tikimybe 1− c0,1 ≈ 0, 42 laikysime ja‘priimtina.

Skaiciavimai palengves, pasinaudojus lygybem∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k = 1− Ip(m+ 1, n−m);

ciaIp(m,n) =

1B(m,n)

∫ p

0

ym−1(1− y)n−1dy,

B(m,n) =∫ 1

0

ym−1(1− y)n−1dy.

Yra sudarytos lenteles (zr. [17], XII lentele‘; [2], 5.1, 5.2 lenteles). Vartojamos

taip pat i‘vairios apytiksles formules (Muavro–Laplaso, Puasono teoremos ir

t. t.).


3. Stebime atsitiktini‘

dydi‘, pasiskirsciusi

‘pagal Puasono desni

‘su n e-

z i n o m u p a r a m e t r u λ > 0. Reikia patikrinti hipoteze‘λ = λ0,

kai alternatyva yra λ = λ1 > λ0. Tiketinumo funkciju‘

realizaciju‘

santykiologaritmas yra

(x1 + ...+ xn) lnλ1

λ0− n(λ1 − λ0);

cia x1 + ...+ xn yra sveikasis neneigiamas skaicius, jo koeficientas yra teigia-mas. Imame funkcija

‘

ψ∗(x) =

1, kai x1 + ...+ xn > m,c, kai x1 + ...+ xn = m,0, kai x1 + ...+ xn < m.

Skaicius c = cα ir m = mα reikia rasti is lygties

α = cPλ0(X1 + ...+Xn = m) +∑k>m

Pλ0(X1 + ...+Xn = k).

Statistika X1 + ...+Xn, kai teisinga nuline hipoteze, yra pasiskirsciusi pagalPuasono desni

‘su parametru λ0n. Todel

Pλ0(X1 + ...+Xn = k) =(λ0n)k

k!e−λ0n.

Jei egzistuoja sveikasis skaicius m, tenkinantis sa‘lyga

‘

∞∑k=m

(λ0n)k

k!e−λ0n = α,

tai ji‘

ir laikome mα; tada cα = 1. Gauname galingiausia‘

nerandomizuota‘

kriteriju‘. Jei tokio sveikojo m nera, tai galime rasti sveika

‘ji‘mα su sa

‘lyga

∞∑k=mα+1

(λ0n)k

k!e−λ0n < α <

∞∑k=mα

(λ0n)k

k!e−λ0n.

Tada cα imame lygu‘

cα =

α−∞∑

k=mα+1

(λ0n)k

k!e−λ0n

(λ0n)mα

mα!e−λ0n

.

Gauname randomizuota‘galingiausia

‘kriteriju

‘.


Is cia kritines srities pavidalas nepriklauso nuo alternatyvos λ = λ1 > λ0.Kriterijus yra tolygiai galingiausias, kai alternatyva yra sudetinga: Θ1 = λ :: λ > λ0.

Praktiskai abiem atvejais vartojamas nerandomizuotas kriterijus su funk-cija

ψ(x) = 1, kai x1 + ...+ xn ≥ m,

0, kai x1 + ...+ xn < m.Siulome skaitytojui isnagrineti galios funkcija

‘bei sudaryti kriterijus, kai

alternatyvos yra λ = λ1 < λ0 arba λ = λ1 6= λ0.Praktiniuose skaiciavimuose galima naudotis lygybe

m∑k=0

λk

k!e−λ = P (χ2

2m+2 > 2λ),

atitinkamomis lentelemis (zr. [17], III lentele‘; [2], 5.3 lentele

‘) bei i

‘vairiomis

apytikslemis formulemis.4. Nagrinesime normalu


‘, kai a b u p a r a m e t r a i

a ∈ R ir σ2 > 0 yra n e z i n o m i. Tikrinsime hipoteze‘H0, kad a = a0.

Statistika (X−a0)√n/S1, kai teisinga H0, yra pasiskirsciusi pagal Stjudento

desni‘su n− 1 laisves laipsniu

‘(zr. 8 skyrelio lema

‘).

Kai alternatyva yra a = a1 > a0, hipoteze atmetama, jei

(x− a0)√n/s1 ≥ u.

Tadaα = Pa0

((X − a0)

√n/S1 ≥ u

)=

∫ ∞

u

pStn−1(v)dv;

u = uα yra Stjudento pasiskirstymo su n−1 laisves laipsniu‘(1−α)-kvantilis.

Jei alternatyva yra a = a1 < a0, tai hipoteze‘atmetame, kai

(x− a0)√n/s1 ≤ u;

u = uα randame is lygybes

α =∫ u

−∞pStn−1

(v)dv;

uα yra atitinkamo Stjudento pasiskirstymo α-kvantilis.Pagaliau, kai alternatyva yra a = a1 6= a0, hipoteze atmetama, jei

|x− a0|√n/s1 ≥ u,

ir u = uα randamas is lygties

α =∫|v|≥u

pStn−1(v)dv.


Jei pasiskirstymas yra bet koks, taciau turi dispersija‘σ2, tai galima butu

‘parodyti, kad statistika (X − a0)

√n/S1 yra asimptotiskai pasiskirsciusi pa-

gal N(0, 1), kai hipoteze H0 : a = a0 yra teisinga. Tam pakanka pastebeti,kad statistika (X − a0)

√n/σ, kai teisinga nuline hipoteze, yra asimptotiskai

pasiskirsciusi pagal N(0, 1), o S1 konverguoja pagal tikimybe‘

i‘σ. Kritines

sritis galime konstruoti kaip ir 1 uzdavinyje. Skaiciai u randami is apytiksliu‘

lygybiu‘, analogisku

‘(1), (2), (3).

2 p a v y z d y s. Knygos pradzioje (I.2 skyrelyje) pasakojome, kad Biufonasmete moneta

‘4040 kartu

‘, ir 2048 kartus atvirto herbas. Ar sie duomenys atitinka

hipoteze‘, kad moneta yra simetriska, kai reiksmingumo lygmuo lygus 0,05?

Reikia patikrinti hipoteze‘, kad herbo atvirtimo tikimybe p = 0, 5, kai alter-

natyva yra p = p1 6= 0, 5. Statistika (X − 0, 5)√

2n, kai teisinga nuline hipoteze,

yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal N(0, 1). Kritine sritis yra |x− 0, 5|√

2n ≥ u.Skaiciu

‘u = u0,05 randame is apytiksles lygties

0, 05 ≈ 2(1− Φ(u)

).

Is cia Φ(u) ≈ 0, 975 ir u0,05 ≈ 1, 960. Vadinasi, kritine‘

sriti‘

galime imti |x −−0, 5| ≥ 1, 96(2n)−1/2 ≈ 0, 0218. Is Biufono duomenu

‘x − 0, 5 ≈ 0, 007. Hipoteze

priimtina.

5. Panagrinekime hipoteziu‘apie normaliojo pasiskirstymo dispersija

‘tik-

rinima‘. Tarkime, kad v i d u r k i s a yra z i n o m a s, o d i s p e r-

s i j a σ2 > 0 – n e z i n o m a, ir reikia patikrinti hipoteze‘σ2 = σ2

0 , kaialternatyva yra σ2 = σ2

1 > σ20 . Remsimes Neimano–Pirsono fundamentalia

‘ja

lema. Tiketinumo funkciju‘

realizaciju‘

santykio logaritmo pagrindinis narysyra

−12

( 1σ2

0

− 1σ2

1

) n∑k=1

(xk − a)2.

Todel hipoteze atmetama, kai

ns20/σ20 ≤ u.

Statistika nS20/σ

20 , kai teisinga nuline hipoteze, yra pasiskirsciusi pagal χ2 su

n laisves laipsniu‘. Skaiciu

‘u = uα randame is lygties

α =∫ u

0

pχ2n(v)dv.

Jis yra to pasiskirstymo α-kvantilis.Jei alternatyva yra σ2 = σ2

1 < σ20 , tai hipoteze atmetama, kai

ns20/σ20 ≥ u

su u = uα, lygiu (1− α)-kvantiliui.


Alternatyvai σ2 = σ21 6= σ2

0 nuline hipoteze atmetama, kai

ns20/σ20 ≤ u′ arba ns20/σ

20 ≥ u′′;

cia u′ = u′α yra α/2-kvantilis, o u′′ = u′′α yra (1− α/2)-kvantilis.Siu

‘kriteriju

‘galios atitinkamai lygios

1− Fχ2n(uασ2

0/σ21), Fχ2

n(uασ2

0/σ21),

Fχ2n(u′ασ

20/σ

21) + 1− Fχ2

n(u′′ασ

20/σ

21).

Visi trys yra galingiausi, kai atitinkamos alternatyvos paprastosios. Pirmiejidu yra tolygiai galingiausi, kai alternatyvos sudetingos.

Jei vidurkis a ∈ R yra n e z i n o m a s, tai vietoj statistikos nS20/σ

20

imame statistika‘(n− 1)S2

1/σ20 . Kai teisinga nuline hipoteze, si statistika yra

pasiskirsciusi pagal χ2 su n − 1 laisves laipsniu‘. Kritines sritys sudaromos

analogiskai.6. Daznai tenka lyginti dvieju

‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘nezinomus vidurkius.

Tarkime, kad du stebimieji atsitiktiniai dydziai yra pasiskirste‘pagalN(a1, σ

21)

ir N(a2, σ22) su n e z i n o m a i s v i d u r k i a i s a1 ∈ R, a2 ∈ R, bet z i-

n o m o m i s d i s p e r s i j o m i s σ21 ir σ2

2 . Stebime n kartu‘pirma

‘ji‘dydi

‘ir m kartu

‘– antra

‘ji‘. Gauname imtis X = (X1, ..., Xn) ir Y = (Y1, ..., Ym).

Imkime statistika‘

X − Y − b0√σ2

1/n+ σ22/m

.

Jei teisinga hipoteze a1−a2 = b0, tai ta statistika pasiskirsciusi pagal N(0, 1).Tikriname hipoteze

‘a1 − a2 = b0 su alternatyva a1 − a2 = b1 > b0.

Remdamiesi Neimano–Pirsono lema, gauname, kad hipoteze‘reikia atmesti,

kaix− y − b0√σ2

1/n+ σ22/m

≥ u.

Jei alternatyva yra a1 − a2 < b0, tai hipoteze‘atmetame, kai

x− y − b0√σ2

1/n+ σ22/m

≤ u.

Pagaliau, jei alternatyva yra a1 − a2 6= b0, tai hipoteze‘atmetame, kai

|x− y − b0|√σ2

1/n+ σ22/m

≥ u.

Lygtis skaiciams u = uα rasti paliekame parasyti skaitytojui. Galima butu‘

i‘rodyti, kad pirmieji du kriterijai yra tolygiai galingiausi sudetingoms desi-niapusei ir kairiapusei alternatyvoms.


Jei d i s p e r s i j o s σ21 ir σ2

2 n e r a z i n o m o s, bet zinomas ju‘

santykis σ21/σ

22 = λ, tai, sudarydami kritines sritis, galime naudotis statistika

X − Y − b0√(n− 1)S2

11 + λ(m− 1)S212

√λnm(n+m− 2)

n+ λm;

cia

(4) S211 =

1n− 1

n∑k=1

(Xk − X)2, S212 =

1m− 1

m∑k=1

(Yk − Y )2.

Jei teisinga hipoteze a1 − a2 = b0, tai analogiskai 8 skyrelio lemai galimaparodyti, kad si statistika pasiskirsciusi pagal Stjudento desni

‘su n +m − 2

laisves laipsniu‘.

Jei ir dispersiju‘santykis yra nezinomas, tai galima imti statistika

‘

X − Y − b0√(n− 1)S2

11 + (m− 1)S212

√nm(n+m− 2)

n+m.

Kai teisinga nuline hipoteze, ta statistika yra apytiksliai pasiskirsciusi pagalStjudento desni

‘su n+m− 2 laisves laipsniu

‘. Kritines sritis galima sudaryti

kaip ir anksciau. Taciau siuo atveju statistika gali patekti i‘kritine

‘sriti

‘ir del

dispersiju‘

skirtumo, nors nuline hipoteze apie vidurkius ir teisinga. Esamabudu

‘, leidzianciu

‘sumazinti σ2

1/σ22 i

‘taka

‘.

7. Tenka lyginti ir dvieju‘dydziu

‘dispersijas. Sakykime, turime du nor-

maliuosius atsitiktinius dydzius su n e z i n o m o m i s d i s p e r s i j o-m i s σ2

1 ir σ22 . Reikia patikrinti hipoteze

‘σ2

1 = λ0σ22 . Jei v i d u r k i a i a1

ir a2 yra z i n o m i, tai imame statistika‘S2

01/(λ0S202); cia

S201 =

1n

n∑k=1

(Xk − a1)2, S202 =

1m

m∑k=1

(Yk − a2)2.

Jei hipoteze teisinga, tai ta statistika pagal III.9.5 pavyzdi‘

turi Fiseriopasiskirstyma

‘su n ir m laisves laipsniu

‘.

Jei alternatyva yra σ21 > λ0σ

22 , tai hipoteze

‘atmetame, kai

s201/(λ0s202) ≥ u;

cia u = uα yra Fiserio pasiskirstymo su n irm laisves laipsniu‘(1−α)-kvantilis.

Jei alternatyva yra σ21 < λ2

0σ22 , tai hipoteze atmetama, kai

s201/(λ0s202) ≤ u;

cia u = uα yra α-kvantilis (zr. [17], VII lentele‘).

χ2 kriterijus 315

Pagaliau, jei alternatyva yra σ21 6= λ0σ

22 , tai nuline

‘hipoteze

‘atmetame,

kais201/(λ0s

202) ≤ u′ arba s201/(λ0s

202) ≥ u′′;

skaicius u′ = u′α yra Fiserio pasiskirstymo su m ir n laisves laipsniu‘α/2-

kvantilis, o u′′ = u′′α – to pasiskirstymo (1− α/2)-kvantilis.Jei v i d u r k i a i a1 ir a2 yra n e z i n o m i, tai nagrinejame

statistika‘S2

11/(λ0S212); dydziai S2

11 ir S212 apibrezti (4) formule. Si statis-

tika, kai teisinga nuline hipoteze, pagal 8 skyrelio lema‘

ir III.9.5 pavyzdi‘

turi Fiserio pasiskirstyma‘su n − 1 ir m − 1 laisves laipsniu

‘. Kritines sritys

sudaromos analogiskai.Paliekame skaitytojui parasyti tu

‘kriteriju

‘galios funkcijas.

3 p a v y z d y s. Detalems gaminti buvo pasiulyti du budai. Kadangi josgaminamos is reto metalo, tai buvo tiriama, kuriuo budu gaminant detale

‘, reikia

maziau metalo. Pirmuoju budu buvo pagamintos 6 detales; joms prireike 3,1; 3,8;3,6; 4,0; 3,4; 3,7 gramu

‘metalo. Antruoju budu pagamino 5 detales; joms prireike

4,1; 4,3; 4,7; 4,8; 4,6 gramu‘metalo.

Laikysime, kad abiem atvejais turime normalu‘ji‘

pasiskirstyma‘. Pirmiausia

patikrinsime hipoteze‘, ar su reiksmingumo lygmeniu 0,1 galime laikyti, kad abiem

atvejais dispersijos yra tos pacios. Turime:

x = 3, 6, y = 4, 5,

5s211 = 0, 5, 4s212 = 0, 34.

Kai teisinga si hipoteze, statistika S211/S

212 yra pasiskirsciusi pagal Fiserio desni

‘su

5 ir 4 laisves laipsniais. Randame jo 0,05 ir 0,95-kvantilius. Jie apytiksliai lygus 0,19ir 6,26, o s211/s

212 ≈ 1, 18. Hipoteze priimtina.

Laikydami, kad abi dispersijos yra lygios, patikrinsime, ar ir vidurkiai yra lygus.Reiksmingumo lygmeni

‘imsime 0,05. Rasime Stjudento pasiskirstymo su 9 laisves

laipsniais 0,975-kvantili‘. Jis lygus 2,26. Hipoteze

‘reikia atmesti, kai

|x− y|√5s211 + 4s212

√6 · 5 · 9

11≥ 2, 26.

Kairioji sios lygybes puse musu‘atveju yra apytiksliai lygi 4,87. Hipoteze atmestina.

12. χ2 KRITERIJUS

Tarp daugybes kriteriju‘statistinems hipotezems tikrinti svarbia

‘vieta

‘uzima

vadinamasis χ2 kriterijus, pasiulytas K. Pirsono. Jis yra gana paprastas irplaciai taikomas.

Tarkime, kad atliekame n nepriklausomu‘eksperimentu

‘. Atlikus bet kuri

‘eksperimenta

‘, i

‘vyksta vienas is nesutaikomu

‘i‘vykiu

‘A1, ..., Ar, A1∪ ...∪Ar =

= Ω, su pastoviomis tikimybemis p1, ..., pr; p1 + ... + pr = 1. Pazymekime


i‘vykio Ak i

‘vykimu

‘skaiciu


‘, raide κk. Taigi κ1 + ...+

+κr = n. Statistiniai dazniai κ1/n, ..., κr/n yra tikimybiu‘pk i

‘verciai.

I‘vesime dazniu

‘κ1/n, ..., κr/n ir tikimybiu

‘p1, ..., pr nukrypimo mata

‘

r∑k=1

ck

(κkn− pk

)2

;

cia ck yra bet kokios teigiamos konstantos. Tinkamai jas parinkus, tasreiskinys turi paprastas asimptotines savybes. Taip, pavyzdziui, yra, kaick = n/pk. Pazymekime

∆n =r∑

k=1

(κk − npk)2

npk=

r∑k=1

κ2k

npk− n.

Lema. Jei kompleksinis skaicius z tenkina nelygybe‘|z| ≤ 1/2, tai∣∣∣ ln(1 + z)− z +

z2

2

∣∣∣ ≤ 23|z|3.

I‘r o d y m a s analogiskas III.10 skyrelio lemos i

‘rodymui. Turime∣∣∣ ln(1 + z)− z +

z2

2

∣∣∣ ≤ ∞∑k=3

|z|k

k≤ 1

3

∞∑k=3

|z|k =|z|3

3(1− |z|)≤ 2

3|z|3. ut

1 (Pirsono) teorema. ∆n yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal χ2 su

r − 1 laisves laipsniu‘.

I‘r o d y m a s. Tikimybe, kad κ1 = m1, ..., κr = mr, yra lygi

n!m1!...mr!

pm11 ...pmr

r .

Todel vektoriaus (κ1, ..., κr) charakteristine funkcija

f(κ1,...,κr)(t1, ..., tr) =

=∑

m1≥0,...,mr≥0m1+...+mr=n

ei(t1m1+...+trmr) n!m1!...mr!

pm11 ...pmr

r =

= (p1eit1 + ...+ pre

itr )n.

Pazymekime

Zk =κk − npk√

npk(k = 1, ..., r).

χ2 kriterijus 317

Tada

∆n =r∑

k=1

Z2k ,

r∑k=1

Zk√pk = 0.

Vektoriaus Z = (Z1, ..., Zr) charakteristine funkcija

fZ(t1, ..., tr) = exp(− i√n

r∑k=1

tk√pk

)f( t1√

np1, ...,

tr√npr

)=

=( r∑k=1

pkeitk/

√npk

)nexp

(− i√n

r∑k=1

tk√pk

).

Pasinaudoje‘nelygybe (zr. III.8 skyrelio lema

‘)∣∣∣eiv − 1− iv +

v2

2

∣∣∣ ≤ |v|3

6,

teisinga visiems realiesiems v, ir laikydami n pakankamai dideliu, gauname

ln fZ(t1, ..., tr) = n lnr∑

k=1

pkeitk/

√npk − i

√n

r∑k=1

tk√pk =

= n lnr∑

k=1

pk

(1 +

itk√npk

− t2k2npk

+B|tk|3

(npr)3/2

)− i√n

r∑k=1

tk√pk =

= n ln(1 +

i√n

r∑k=1

tk√pk −

12n

r∑k=1

t2k +B

n3/2

)− i√n

r∑k=1

tk√pk.

Cia ir toliau B reiskia skaiciu‘, ne visada ta

‘pati

‘, bet aprezta

‘konstantos,

nepriklausancios nuo n. Remsimes sio skyrelio lema. Pakankamai dideliemsn

ln fZ(t1, ..., tr) = n( i√

n

r∑k=1

tk√pk −

12n

r∑k=1

t2k +B

n3/2

)−

− n

2

( i√n

r∑k=1

tk√pk +

B

n

)2

+B√n− i√n

r∑k=1

tk√pk =

= −12

r∑k=1

t2k +12

( r∑k=1

tk√pk

)2

+B√n.

Todel, kai n→∞,

fZ(t1, ..., tr) → exp− 1

2Q(t1, ..., tr)

;


cia

Q(t1, ..., tr) =r∑

k=1

t2k −( r∑k=1

tk√pk

)2

yra neneigiamai apibrezta kvadratine forma (i‘rodykite!).

Tarkime, kad Y = (Y1, ..., Yr) yra normalusis vektorius su charakteristine

funkcija exp− 1

2Q(t1, ..., tr)

. Kvadratine

‘forma

‘Q, panaudoje

‘ortogonalia

‘

transformacija‘(t1, ..., tr) = (u1, ..., ur)C su sa

‘lyga ur = t1p

1/21 + ...+ trp

1/2r ,

galime uzrasyti pavidalu Q(t1, ..., tr) = u21 + ... + u2

r−1. Tai bus vektoriausY (C−1)′ = (V1, ..., Vr−1, 0) (zr. III.13 skyreli

‘) charakteristine funkcija. Atsi-

tiktiniai dydziai V1, ..., Vr−1 yra nepriklausomi ir pasiskirste‘pagal N(0, 1).

Pasinaudoje‘teorema apie tolydzia

‘atitikti

‘tarp pasiskirstymo funkciju

‘ir

charakteristiniu‘funkciju

‘(zr. III.13 skyreli

‘), gauname

f∆n(t) =∫...

∫Rr

eit(v21+...+v2r)dFZ(v1, ..., vr) →

→∫...

∫Rr

eit(v21+...+v2r)dFY (v1, ..., vr) = fY 2

1 +...+Y 2r(t).

Kadangi matrica (C−1)′ yra ortogonali, tai Y 21 + ...+ Y 2

r = V 21 + ...+ V 2

r−1.Todel

f∆n(t) → fV 21 +...+V 2

r−1(t),

kai n → ∞. Vadinasi, ∆n yra asimptotiskai pasiskirste‘s pagal χ2 su r − 1

laisves laipsniu‘. ut

Remdamiesi sia teorema, galime sudaryti kriteriju‘

hipotezei H0 : p1 == p0

1, ..., pr = p0r tikrinti. Jei i

‘vykiu

‘A1, ..., Ar tikimybes zymiai skiriasi nuo

p01, ..., p

0r, tai skirtumai κk/n − p0

k dazniau i‘gis didesnes reiksmes, negu jas

i‘gytu

‘tuo atveju, kai hipoteze teisinga.

Paeme‘reiksmingumo lygmeni

‘α, kritine

‘kriterijaus sriti

‘apibresime nely-

gybe ∆n ≥ u; skaiciu‘u = uα randame is lygties

P(∆n ≥ u) = α.

Statistikos ∆n pasiskirstymo nezinome, bet zinome, kad ji asimptotiskai pa-siskirsciusi pagal χ2 su r−1 laisves laipsniu

‘. Todel ta

‘lygti

‘, kai n yra pakanka-

mai didelis, pakeiciame apytiksle lygtimi∫ ∞

u

pχ2r−1

(v)dv ≈ α.

Taigi uα laikome apytiksliai lygiu pasiskirstymo χ2 su r − 1 laisves laipsniu‘

(1− α)-kvantiliu.

χ2 kriterijus 319

1 p a v y z d y s. Genetikos pradininkas G. Mendelis1 dare bandymus suzirniais. Tarp jo uzaugintu

‘zirniu

‘buvo 315 lygus ir geltoni, 108 – lygus ir zali, 101

– rauksleti ir geltoni bei 32 – rauksleti ir zali. Pagal paveldimumo teorija‘tokiu

‘zirniu

‘skaiciu

‘santykis turetu

‘buti 9:3:3:1. Ar Mendelio duomenys patvirtina jo teorija

‘su

reiksmingumo lygmeniu α = 0, 05?Siuo atveju p1 = 9/16; p2 = p3 = 3/16; p4 = 1/16;n = 315 + 108 + 101 + 32 =

= 556. Pasiskirstymo χ2 su 3 laisves laipsniais 0,95-kvantilis yra≈ 7, 815. Statistikos∆n reiksme

3152

556 · 9/16+

1082

556 · 3/16+

1012

556 · 3/16+

322

556 · 1/16− 556 ≈ 0, 470.

Hipoteze atitinka stebejimo duomenis.

Is Pirsono teoremos i‘rodymo isplaukia, kad ∆n pasiskirstymo konverga-

vimas i‘ribini

‘yra tuo letesnis, kuo mazesnes pk. Rekomenduojama si

‘kriteriju

‘taikyti tada, kai npk ≥ 5.

Remdamiesi Pirsono teorema, galime sudaryti kriteriju‘tikrinti hipotezei

H0, kad stebimasis atsitiktinis dydis turi kokia‘nors konkrecia

‘pasiskirstymo

funkcija‘F (y). Ta funkcija turi buti visiskai apibrezta ir neturi priklausyti

nuo jokiu‘nezinomu

‘parametru

‘.

Padalykime atsitiktinio dydzio visu‘galimu

‘reiksmiu

‘aibe

‘W i

‘poaibius

W1, ...,Wr, kurie kas du neturi bendru‘elementu

‘ir kuriu

‘sa

‘junga lygi aibei

W . Pazymekime Ak i‘vyki

‘, kai atsitiktinis dydis i

‘gyja reiksme

‘is srities Wk.

Jei hipoteze H0 yra teisinga, tai galime apskaiciuoti i‘vykiu

‘Ak tikimybes p0

k.Uzuot tikrine

‘hipoteze

‘H0, tikriname hipoteze

‘H ′

0, kad tikimybes stebimajamatsitiktiniam dydziui i

‘gyti reiksmes is aibiu

‘Wk yra p0

k (k = 1, ..., r).Daznai tenka tikrinti hipotezes, kai pasiskirstymas yra, pavyzdziui, nor-

malusis, Puasono ar pan. Tokie pasiskirstymai priklauso nuo parametru‘, kurie

paprastai yra nezinomi. Sakykime, reikia patikrinti hipoteze‘, kad stebimojo

dydzio pasiskirstymas yra P(θ1,...,θs) su kokiomis nors parametru‘θ1, ..., θs

reiksmemis. Kaip ir anksciau, suskaide‘to dydzio galimu

‘reiksmiu

‘aibe

‘W i

‘sritis W1, ...,Wr (r > s), imame tikimybes pk(θ1, ..., θs) (k = 1, ..., r), kadstebimasis dydis i

‘gis reiksmes is poaibiu

‘Wk, ir sudarome atstumo mata

‘

(1) ∆n(θ1, ..., θs) =r∑

k−1

(κk − npk(θ1, ..., θs)

)2

npk(θ1, ..., θs).

Jei parametru‘θ1, ..., θs reiksmes butu

‘zinomos, tai turetume jau isnagrineta

‘atveji

‘. Taciau jos nezinomos. Persasi paprasta iseitis: reikia parametrus

pakeisti ju‘

i‘verciais. Imkime kuriuos nors parametru

‘i‘vercius θ∗1 , ..., θ

∗s ir

pakeiskime jais (1) formuleje pacius parametrus θ1, ..., θs. Deja, vel iskils naujisunkumai: pk(θ∗1 , ..., θ

∗s) bus ne konstantos, bet atsitiktiniai dydziai. Todel 1

teorema nebus pritaikoma.

1 Gregor–Johann Mendel (1822–1884) – austru‘botanikas.


I‘vercius θ∗1 , ..., θ

∗s galime parinkti daugybe budu

‘. Suprantama, statistikos

∆n pasiskirstymas priklausys nuo tu‘i‘verciu

‘parinkimo. Juos galima parinkti

ir taip, kad po nedideliu‘pakeitimu

‘tiktu

‘anksciau isdestyta teorija. Naturalu

stengtis i‘vercius θ∗1 , ..., θ

∗s parinkti taip, kad statistika ∆n butu

‘kuo mazesne.

Tai – vadinamasis χ2 minimumo metodas. Tam reikalui (1) diferencijuojameparametru

‘θ1, ..., θs atzvilgiu (jei toks diferencijavimas yra galimas) ir gautas

dalines isvestines prilyginame 0. Gauname lygciu‘sistema

‘

(2) −12∂∆n

∂θj=

r∑k=1

(κk − npkpk

+(κk − npk)2

2np2k

)∂pk∂θj

= 0 (j = 1, ..., s).

Is ju‘randame i

‘vercius θj ir jais pakeiciame θj (1) formuleje. Kai patenkintos

gana bendros sa‘lygos, ∆n(θ1, ..., θs) yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2

su r − s− 1 laisves laipsniu‘.

(2) lygtis net paprasciausiais atvejais sunku isspre‘sti. Galima butu

‘paro-

dyti, kad antruosius narius tose lygtyse, kai n yra didelis, galima atmesti; nuoto nesikeicia statistikos ∆n asimptotinis pasiskirstymas. Turime paprastesne

‘lygciu

‘sistema

‘

(3)r∑

k=1

κk − npkpk

∂pk∂θj

= 0 (j = 1, ..., s).

Si sistema gaunama, prilyginus nuliui ∆n(θ1, ..., θs) isvestines pagal paramet-rus θ1, ..., θs, bet, skaiciuojant isvestines, laikoma, kad (1) formules vardikliaiyra pastovus. Kadangi

r∑k=1

pk(θ1, ..., θs) = 1,

tai (3) sistema‘galima dar suprastinti:

(4)r∑

k=1

κkpk

∂pk∂θj

= 0 (j = 1, ..., s).

Sis metodas yra vadinamas modifikuotu χ2 minimumo metodu.

2 teorema. Tarkime, kad funkcijos pk(θ1, ..., θs) (k = 1, ..., r) kuriamenors neissigimusiame erdves Rs intervale Θ tenkina sa

‘lygas:

pk(θ1, ..., θs) ≥ c > 0 (k = 1, ..., r),r∑

k=1

pk(θ1, ..., θs) = 1,

egzistuoja tolydzios isvestines

χ2 kriterijus 321

∂pk∂θj

,∂2pk∂θj∂θl

(k = 1, ..., r; j = 1, ..., s; l = 1, ..., s)

ir matricos ∥∥∥∂pk∂θj

∥∥∥ (k = 1, ..., r; j = 1, ..., s)

rangas yra lygus s. Sakykime, atliekame sio skyrelio pradzioje aprasytus nnepriklausomu

‘eksperimentu

‘ir tikimybe, kad i

‘vykis Ak i

‘vyks, atlikus kuri

‘nors

is tu‘

eksperimentu‘, yra p0

k = pk(θ01, ..., θ0s); cia (θ01, ..., θ

0s) – vidinis intervalo

Θ taskas. Tada (3) lygtys turi vieninteli‘sprendini

‘(θ1, ..., θs), konverguojanti

‘pagal tikimybe

‘i‘

(θ01, ..., θ0s). Statistika

(5) ∆n(θ1, ..., θs) =r∑

k=1

(κk − npk(θ1, ..., θs)

)2

npk(θ1, ..., θs)

yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2 su r − s− 1 laisves laipsniu‘.

Sios teoremos i‘rodymas yra gana ilgas ir sudetingas. Ji

‘galima rasti,

pavyzdziui, [6], 30.3 skyrelyje.Ta teorema grindziamas kriterijus konstruojamas jau mums zinomais

budais.Sakykime, reikia patikrinti hipoteze

‘H0, jog stebimojo atsitiktinio dydzio

pasiskirstymas priklauso klasei Pθ, θ ∈ Θ, Θ0 ⊂ Rs. Suskirstykime todydzio galimu

‘reiksmiu

‘aibe

‘i‘r aibiu

‘Wk (k = 1, ..., r). Pazymekime pk

tikimybe‘i‘vykio Ak, kad atsitiktinis dydis pateks i

‘Wk. Si tikimybe priklauso

nuo parametru‘θ = (θ1, ..., θs). Jei teisingos 2 teoremos sa

‘lygos, hipoteze

‘H0

pakeiciame hipoteze H ′0, kad i

‘vykiu

‘Ak tikimybes butu

‘pk, sprendziame (4)

lygciu‘sistema

‘ir sudarome statistika

‘∆n(θ1, ..., θs).

Pailiustruosime sia‘procedura

‘dviem pavyzdziais.

Sakykime, reikia patikrinti hipoteze‘H0, kad stebimasis atsitiktinis dydis

yra pasiskirste‘s pagal Puasono desni

‘su nezinomu parametru λ > 0. Sis dy-

dis i‘gyja sveika

‘sias neneigiamas reiksmes. Suskaidykime sveiku

‘ju

‘neneigiamu

‘skaiciu

‘aibe

‘i‘poaibius W1 = 0, 1, ..., l, Wk = l + k − 1 (k = 2, ..., r −

−1), Wr = l + r − 1, l + r, .... Tada

p1 = p1(λ) =l∑

m=0

λm

m!e−λ,

pk = pk(λ) =λl+k−1

(l + k − 1)!e−λ (k = 2, ..., r − 1),

pr = pr(λ) =∞∑

m=l+r−1

λm

m!e−λ.


Tikimybes pk tenkina 2 teoremos sa‘lygas. (4) sistema yra sudaryta is vienos

lygties

κ1

l∑m=0

(mλ− 1

)λmm!

l∑m=0

λm

m!

+r−1∑k=2

( l + k − 1λ

− 1)κk+

+ κr

∞∑m=l+r−1

(mλ− 1

)λmm!

∞∑m=l+r−1

λm

m!

= 0.

Is cia

λ =1n

κ1

l∑m=0

mλm

m!l∑

m=0

λm

m!

+r−1∑k=2

(l + k − 1)κk + κr

∞∑m=l+r−1

mλm

m!∞∑

m=l+r−1

λm

m!

.

Vidurine suma lygi ∑l<xk<l+r−1

Xk;

pirmoji ir trecioji sumos paprastai nedaug skiriasi nuo sumu‘∑

xk≤l

Xk,∑

xk≥l+r−1

Xk.

Todel sprendinys yra λ ≈ X. Patariama poaibius Wk parinkti taip, kad butu‘

npk ≥ 5.

2 p a v y z d y s. Buvo stebimos radioaktyviosios daleles ir registruojama, kieksignalu

‘gaunama kas valanda

‘. Stai rezultatai: 0 signalu

‘uzregistruota 1924 kartus,

1 signalas – 541 karta‘, 2 signalai – 103 kartus, 3 signalai – 17 kartu

‘, 4 signalai – 1

karta‘, 5 signalai – 1 karta

‘, 6 ir daugiau signalu

‘– ne vieno karto. Su reiksmingumo

lygmeniu 0,05 patikrinsime hipoteze‘, kad signalu

‘skaicius pasiskirste

‘s pagal Puasono

desni‘.

Cia n = 1924+541+103+17+1+1 = 2587, empirinis vidurkis x = (0 ·1924++1 · 541 + 2 · 103 + 3 · 17 + 4 · 1 + 5 · 1 + 6 · 0)/n ≈ 0, 3119443.

Sudarome poaibius Wk = k − 1 (k = 1, 2, 3), W4 = 3, 4, ....

χ2 kriterijus 323

Skaiciavimai surasyti lenteleje.

k κk pk npk (κk − npk)2/(npk)

1 1924 0,7320223 1893,74 0,482 541 0,2283502 590,74 4,193 103 0,0356163 92,14 1,284 19 0,0040112 10,38 7,17

Is viso 2587 1,0000000 2587 13,12

χ2 pasiskirstymo su 2 laisves laipsniais 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 5,991.Todel hipoteze atmestina.

Remdamiesi nagrinejamuoju kriterijumi, tikrinsime hipoteze‘, kad stebi-

masis atsitiktinis dydis yra pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘su nezinomais

parametrais a ∈ R ir σ > 0. Suskaidykime realiu‘ju

‘skaiciu

‘tiese

‘i‘

sritisW1 = (−∞, τ − h/2),Wk = [τk − h/2, τk + h/2) (k = 2, ..., r − 1),Wr == [τr−1 + h/2,∞); cia τk = τ + (k − 1)h. Jei hipoteze teisinga, tai

pk = pk(a, σ) =1

σ√

2π

∫Wk

exp(− (u− a)2

2σ2

)du (k = 1, ..., r).

Is cia∂pk∂a

=1

σ3√

2π

∫Wk

(u− a) exp(− (u− a)2

2σ2

)du,

∂pk∂σ2

=1

σ4√

2π

∫Wk

(u− a)2 exp(− (u− a)2

2σ2

)du−

− 1σ2√

2π

∫Wk

exp(− (u− a)2

2σ2

)du.

(4) lygciu‘sistema

‘galima uzrasyti sitaip:

a =1n

r∑k=1

κk

∫Wk

u exp(− (u− a)2

2σ2

)du∫

Wk

exp(− (u− a)2

2σ2

)du

,

σ2 =1n

r∑k=1

κk

∫Wk

(u− a)2 exp(− (u− a)2

2σ2

)du∫

Wk

exp(− (u− a)2

2σ2

)du

.

Maziems h teisingos apytiksles lygybes

324 Matematines statistikos pradmenys∫Wk

u exp(− (u− a)2

2σ2

)du ≈ τk

∫Wk

exp(− (u− a)2

2σ2

)du,∫

Wk

(u− a)2 exp(− (u− a)2

2σ2

)du ≈ (τk − a)2

∫Wk

exp(− (u− a)2

2σ2

)du,

kai k = 2, ..., r − 1. Jei κ1 = κr = 0, tai gauname apytikslius (4) sistemossprendinius

a =1n

∑k

κkτk, σ2 =

1n

∑k

κk(τk − a)2.

Isskleide‘pointegralinius reiskinius Teiloro eilutemis tasku

‘τk aplinkose, gau-

tume tikslesnius sprendinius:

a =1n

∑k

κkτk +O(h4),

σ2 =1n

∑k

κk(τk − a)2 − h2

12+O(h4).

Atmete‘

narius O(h4), galime gauti apytikslius (4) sistemos sprendinius: ai‘vertis yra sugrupuotu

‘stebejimo duomenu

‘vidurkis, o σ2 i

‘vertis – sugrupuotu

‘duomenu

‘dispersija su Separdo pataisa.

Sprendiniai

(6)

a =1n

r∑k=1

κkτk,

σ2 =1n

r∑k=1

κk(τk − a)2 − h2

12

paprastai naudojami ir tada, kai h nera labai mazas, o κ1 ir κr nera lygusnuliui, nes daznai jie gerai aproksimuoja (4) sistemos sprendinius. Rekomen-duojama sekti, kad butu

‘npk ≥ 5. Kai i

‘W1 ir Wr patenka nedaug reiksmiu

‘κk, jas galima sujungti.

3 p a v y z d y s. Buvo stebimas atsitiktinis dydis. Stebejimo duomenyssugrupuoti, paemus h = 2. I

‘intervalus [4, 6), ..., [20,22) pateko atitinkamai 15, 20,

25, 30, 30, 27, 24, 16, 13 stebimojo dydzio reiksmiu‘. Patikrinsime hipoteze

‘, kad su

reiksmingumo lygmeniu 0,05 atsitiktinis dydis pasiskirste‘s pagal normalu

‘ji‘desni

‘.

Skaiciavimo rezultatai surasyti lenteleje.

χ2 kriterijus 325

k κk pk npk (κk − npk)2/(npk)

1 15 0,0830 16,60 0,152 20 0,0901 18,02 0,223 25 0,1359 27,18 0,174 30 0,2129 42,58 3,725 30 0,1290 25,80 0,686 27 0,1461 29,22 0,177 24 0,1017 20,34 0,668 16 0,0583 11,66 1,629 13 0,0429 8,58 2,28Is viso 200 0,9999 199,98 9,67

Pagal (6) formules

a = 12, 25; σ2 ≈ 4, 512.

Sudarome sritis W1 = (−∞, 6),W2 = [6, 8),W3 = [8, 10), ...,W8 = [18, 20),W9 == [20,∞). Tikimybes pk randame is formuliu

‘

p1 = Φ(

6− a

σ

),

p2 = Φ(

8− a

σ

)− Φ

(10− a

σ

),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p8 = Φ(

20− a

σ

)− Φ

(18− a

σ

),

p9 = 1− Φ(

20− a

σ

).

Lenteleje visu‘pk suma del apvalinimo paklaidu

‘nera lygi 1. Pasiskirstymo χ2 su

9− 2− 1 = 6 laisves laipsniais 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 12,592. Hipotezepriimtina.

χ2 kriterijus labai placiai taikomas. Paminesime dar pora‘atveju

‘. Pirmasis

yra pozymiu‘nepriklausomumo tikrinimas. Tarkime, kad generalines aibes ele-

mentai turi du pozymius A ir B. Pirmasis pozymis turi r kategoriju‘A1, ..., Ar,

o antrasis – s kategoriju‘B1, ..., Bs. Vadinasi, visus generalines aibes elementus

galime suskirstyti i‘rs klasiu

‘, priskirdami vienai klasei elementus, turincius

pozymius Aj ir Bk(j = 1, ..., r; k = 1, ..., s). Pazymekime pj· tikimybe‘, kad

atsitiktinai parinktas generalines aibes elementas turi pozymi‘Aj , raide p·k –

tikimybe‘, kad jis turi pozymi

‘Bk, ir raide pjk – tikimybe

‘, kad jis turi pozymius

Aj ir Bk. Reikia patikrinti hipoteze‘, kad tie pozymiai yra nepriklausomi,

t. y. pjk = pj·p·k visiems j = 1, ..., r; k = 1, ..., s. Aisku,


r∑j=1

pj· = 1,

s∑k=1

p·k = 1.

Kai hipoteze teisinga, tikimybes pjk yra r + s − 2 nezinomu‘

parametru‘

p1., ..., pr−1·; p·1, ..., p·s−1 funkcijos.Pazymekime raide κjk skaiciu

‘imties elementu

‘, turinciu

‘pozymius Aj ir

Bk. (4) sistema bus pavidalo

r∑j=1

(κjkp·k

− κjsp·s

)=0 (k = 1, ..., s− 1),

s∑k=1

(κjkpj·

− κrkpr·

)=0 (j = 1, ..., r − 1).

Gauname i‘vercius

pj· =κj·n

(j = 1, ..., r),

p·k =κ·kn

(k = 1, ..., s);

cia

κj· =s∑

k=1

κjk (j = 1, ..., r),

κ·k =r∑j=1

κjk (k = 1, ..., s).

(5) statistika yra pavidalo

(7) nr∑j=1

s∑k=1

(κjk −

κj·κ·kn

)2

κj·κ·k= n

( r∑j=1

s∑k=1

κ2jk

κj·κ·k− 1

).

Ji yra asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2 su rs−(r+s−2)−1 = (r−1)(s−1)laisves laipsniu

‘.

4 p a v y z d y s. Dvi grupes ligoniu‘A ir B, po 100 asmenu

‘kiekviena,

serga kokia nors liga. Grupes A ligoniai buvo gydomi serumu, o grupes B ligo-niai to serumo negavo (B buvo kontroline grupe). Siaip abi grupes buvo gydomosvienodai. Nustatyta, kad pirmojoje grupeje pagijo 75 ligoniai, o antrojoje 65. Sureiksmingumo lygmeniu 0,05 reikia patikrinti hipoteze

‘, kad serumas nebuvo efek-

tyvus.Bandymo rezultatus surasome lenteleje.

χ2 kriterijus 327

Pasveiko Nepasveiko Is viso

Grupe A 75 25 100Grupe B 65 35 100

Is viso 140 60

(7) statistikos reiksme

200(

752

140 · 100+

652

140 · 100+

252

60 · 100+

352

60 · 100− 1

)≈ 2, 38.

χ2 pasiskirstymo su 1 laisves laipsniu 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 3,841.Todel hipoteze atitinka stebejimo duomenis.

Cia aprasyta‘procedura

‘nesunku pritaikyti, remiantis anksciau nurodytu

budu, dvieju‘

atsitiktiniu‘

dydziu‘

nepriklausomumui tikrinti. Paliekame taipadaryti skaitytojui.

Pritaikysime dar χ2 kriteriju‘stebejimu

‘homogeniskumui tikrinti. Sakyki-

me, turime s seriju‘bandymu

‘; tose serijose yra atitinkamai n1, ..., ns pavieniu

‘bandymu

‘. Atlikus bet kuri

‘bandyma

‘, gali i

‘vykti vienas is nesutaikomu

‘i‘vykiu

‘A1, ..., Ar; visu

‘tu

‘i‘vyku

‘sa

‘junga yra butinas i

‘vykis. I

‘vykiu

‘Aj skaiciu

‘k-

-ojoje bandymu‘serijoje pazymekime κkj(κk1 + ... + κkr = nk), o i

‘vykio Aj

pasirodymo tikimybe‘, atlikus k-osios serijos bandyma

‘, pazymekime pkj(pk1+

+...+ pkr = 1). Remiantis stebejimu‘duomenimis, reikia patikrinti hipoteze

‘,

kad kiekvienoje bandymu‘serijoje i

‘vykio Aj pasirodymo tikimybe yra ta pati:

pkj = pj(j = 1, ..., r; k = 1, ..., s). Jei hipoteze teisinga, tai p1 + ...+ pr = 1.Sprendziant si

‘uzdavini

‘, reikia atsizvelgti i

‘tai, kiek is tikimybiu

‘pj yra

zinomu‘.

Jei visos jos zinomos ir s = 1, tai turime sio skyrelio pradzioje aprasyta‘

atveji‘. Atitinkama statistika ∆n, remiantis Pirsono teorema, yra asimp-

totiskai pasiskirsciusi pagal χ2 desni‘su r − 1 laisves laipsniu

‘. Jei s > 1, tai

kiekvienai bandymu‘serijai sudarome statistika

‘∆nk

ir visas jas sudedame.Gautoji statistika

s∑k=1

r∑j=1

(κkj − nkpj)2

nkpj,

analogiskai 1 teoremai, bus asimptotiskai pasiskirsciusi pagal χ2 su s(r − 1)laisves laipsniu

‘.

Jei visos tikimybes p1, ..., pr yra nezinomos, tai pkj yra nezinomu‘

pa-rametru

‘p1, ..., pr−1 funkcijos. Tu

‘parametru

‘i‘vercius randame is (4) lygciu

‘sistemos; jie lygus

pj =κ·jn

(j = 1, ..., r);


cia κ·j = κ1j + ...+ κsj . Sudarome statistika‘

(8)s∑

k=1

r∑j=1

(κkj − nkpj)2

nkpj= n

( s∑k=1

r∑j=1

κ2kj

nkκ·j− 1

).

Galima butu‘parodyti, kad ji turi asimptotini

‘pasiskirstyma

‘χ2 su (r − 1)×

×(s− 1) laisves laipsniu‘, kai tikrinamoji hipoteze yra teisinga.

Jei tikimybes p1, ..., pr yra parametru‘θ1, ..., θl (1 ≤ l < s) funkcijos,

tai parametru‘θm i

‘vercius randame is (4) sistemos ir sudarome statistika

‘,

analogiska‘(5). Galima butu

‘parodyti, kad ji turi asimptotini

‘χ2 pasiskirstyma

‘su s(r − 1)− l laisves laipsniu

‘.

5 p a v y z d y s. Lenteleje pateikti i‘vairiais 1935 m. menesiais Svedijoje

gimusiu‘berniuku

‘ir mergaiciu

‘skaiciai (pavyzdys paimtas is [6] knygos).

Menuo Berniuku‘

Mergaiciu‘

Is visoskaicius skaicius

1 3743 3537 72802 3550 3407 69573 4017 3866 78834 4173 3711 78845 4117 3775 78926 3944 3665 76097 3964 3621 75858 3797 3596 73939 3712 3491 720310 3512 3991 690311 3392 3160 655212 3761 3371 7132Is viso 45682 42591 88273

Su reiksmingumo lygmeniu 0,05 patikrinsime hipoteze‘, kad visais menesiais berniuko

gimimo tikimybe yra ta pati.Cia turime r = 2, s = 12. Nezinomas parametras yra berniuko gimimo tikimybe

p. Jos i‘vertis p = κ·1/n.

(8) statistikos

12∑k=1

((κk1 − nkp)

2

nkp+

(κk2 − nk(1− p)

)2

nk(1− p)

)=

=

12∑k=1

(κk1 − nkp)2

nkp(1− p)=

1

1− p

(1

p

12∑k=1

κ2k1

nk− κ·1

)

Kriterijai, pagri‘sti empirines ir teorines pasisk. f-ju

‘skirtumu 329

reiksme yra apytiksliai lygi 14,986. χ2 su (s − 1)(r − 1) = 11 laisves laipsniu‘

0,95-kvantilis yra 19,675. Galime laikyti, kad hipoteze nepriestarauja stebejimoduomenims.

13. KRITERIJAI, PAGRI‘STI EMPIRINES IR

TEORINES PASISKIRSTYMO FUNKCIJU‘

SKIRTUMU

Nagrinesime, kaip empirine pasiskirstymo funkcija aproksimuoja teorine‘pa-

siskirstymo funkcija‘.

Tarkime, kad stebimojo atsitiktinio dydzio su pasiskirstymo funkcijaF (y) atsitiktine imtis yra (X1, ..., Xn). Jo empirine


‘apibrezeme 2 skyrelyje. Kiekvienam fiksuotam y tai yra atsitiktinis dydis

Fn(y) =1n

∑Xk<y

1.

Pazymekime Yky atsitiktini‘dydi

‘, i

‘gyjanti

‘reiksme

‘1 su tikimybe P(Xk < y) =

= F (y) ir reiksme‘0 su tikimybe P(Xk ≥ y) = 1− F (y). Dydziai Y1y, ..., Yny

yra nepriklausomi. Tada empirine‘

pasiskirstymo funkcija‘

galime uzrasytisitaip:

Fn(y) =1n

n∑k=1

Yky.

Pastebesime, kad dydzio Yky vidurkis

MYky = F (y),

o dispersijaDYky = F (y)

(1− F (y)

).

Is vidurkio ir dispersijos savybiu‘isplaukia, kad

MFn(y) = F (y), DFn(y) =1nF (y)

(1− F (y)

).

Is stipriojo didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnio (III.5.2 teoremos 2 isvados) isplaukia,

kad kiekvienam y ∈ R empirine pasiskirstymo funkcija konverguoja sutikimybe 1 i

‘teorine


‘

PFn(y)−−−−−→n→∞

F (y) = 1.

Vadinasi, Fn(y) yra nepaslinktasis ir suderintasis F (y) i‘vertis.


Dar daugiau: is centrines ribines teoremos (III.11.2 teoremos 2 isvados)isplaukia, kad kiekvienam y ∈ R su sa

‘lyga 0 < F (y) < 1

P

n∑k=1

(Yky −MYky)

( n∑k=1

DYky

)1/2< u

= P

√n(Fn(y)− F (y)

)√F (y)

(1− F (y)

) < u

−−−−−→n→∞

Φ(u).

Sie teiginiai rodo, kad kiekvienam fiksuotam y ∈ R empirine pasiskirstymofunkcija Fn(y) arteja prie tikrosios pasiskirstymo funkcijos F (y). V. Glivenka1

1933 m. i‘rode, kad Fn(y) su tikimybe 1 konverguoja i

‘F (y) tolygiai visiems

y ∈ R. I‘rodysime ta

‘teorema

‘.

1 lema. Jei turime baigtine‘arba skaicia

‘i‘vykiu

‘sistema

‘Ak ir kiekvieno

ju‘

tikimybe P (Ak) = 1, tai ir tos sistemos sankirtos tikimybe

P( ⋂

k

Ak

)= 1.

I‘r o d y m a s. Kadangi

P( ⋃

k

Ack

)≤

∑k

P (Ack)

ir P (Ack) = 0, tai

P( ⋃

k

Ack

)= 0.

Is cia

P( ⋂

k

Ak

)= 1− P

(( ⋂k

Ak

)c)= 1− P

( ⋃k

Ack

)= 1. ut

1(Glivenkos) teorema. Jei F (y) yra atsitiktinio dydzio pasiskirstymofunkcija, o Fn(y) – jo empirine pasiskirstymo funkcija, tai

P

sup−∞<y<∞

|Fn(y)− F (y)| −−−−−→n→∞

0

= 1.

I‘

r o d y m a s. Imkime bet kuri‘

naturalu‘ji‘

skaiciu‘r. Pazymekime

yrk (k = 1, ..., r) maziausia‘y, tenkinanti

‘nelygybes

1 Valerijus Glivenka (1897–1940) – ukrainieciu‘kilmes matematikas.


‘skirtumu 331

F (y) ≤ k

r≤ F (y + 0).

Tarkime, kad

Erk =Fn(yrk)−−−−−→

n→∞F (yrk)

,

Er = Er1 ∩ ... ∩ Err =

max1≤k≤r

|Fn(yrk)− F (yrk)| −−−−−→n→∞

0,

E = E1 ∩ E2 ∩ ... =

max1≤k≤r

|Fn(yrk)− F (yrk)| −−−−−→n→∞

0; r = 1, 2, ....

Is stipriojo didziu‘ju

‘skaiciu

‘desnio isplaukia, kad

P(Erk) = 1 (r = 1, 2, ...; k = 1, ..., r).

Pagal 1 lema‘

(1)P(Er) = 1,

P(E) = 1.

Pazymekime

C = sup−∞<y<∞

|Fn(y)− F (y)| −−−−−→n→∞

0.

Jei i‘rodytume, kad E ⊂ C, tai is (1) isplauktu

‘teoremos teiginys.

Kiekvienam y ∈ (yrk, yr,k+1] teisingos nelygybes

(2) Fn(yrk + 0) ≤ Fn(y) ≤ Fn(yr,k+1)

ir

(3) F (yrk + 0) ≤ F (y) ≤ F (yr,k+1),

be to,

(4) 0 ≤ F (yr,k+1)− F (yrk + 0) ≤ 1r.

Ateme‘is (2) nelygybes (3), gauname

Fn(yrk + 0)− F (yr,k+1) ≤ Fn(y)− F (y) ≤ Fn(yr,k+1)− F (yrk + 0).

Is cia ir is (4) nelygybes isplaukia

|Fn(y)− F (y)| ≤ max1≤k≤r

|Fn(yrk)− F (yrk)|+1r.

Todel


sup−∞<y<∞

|Fn(y)− F (y)| ≤ max1≤k≤r

|Fn(yrk)− F (yrk)|+1r.

Kadangi si nelygybe yra teisinga kiekvienam r, tai galime padaryti isvada‘,

kad E ⊂ C. utPazymeje

‘Dn = sup

y|Fn(y)− F (y)|,

Glivenkos teorema‘galime uzrasyti sitaip:

P(Dn−−−−−→n→∞

0) = 1.

Statistika Dn yra funkcijos Fn nuokrypio nuo F matas. Pasirodo, kadtolydziosioms pasiskirstymo funkcijoms (i

‘prasta matematineje analizeje pras-

me) Dn pasiskirstymas nepriklauso nuo F .

2 lema. Jei Z yra atsitiktinis dydis su tolydzia pasiskirstymo funkcijaH(z), tai atsitiktinio dydzio Y = H(Z) pasiskirstymo funkcija yra

G(y) =

0, kai y ≤ 0,y, kai 0 < y ≤ 1,1, kai y > 1.

Vadinasi, Y yra tolygiai pasiskirste‘s intervale (0, 1).

I‘

r o d y m a s. Tolydi funkcija y = H(z) atvaizduoja tiese‘R i

‘viena

‘is intervalu

‘[0, 1], [0, 1), (0, 1], (0, 1). Jei H(z) yra (grieztai) didejanti,

tai tas atvaizdis yra abipus vienareiksmis. Bendresniu atveju (kai H(z) yranemazejanti ir egzistuoja intervalai, kuriuose ji yra pastovi) viena

‘y reiksme

‘gali atitikti daugiau z reiksmiu

‘– visas neissigime

‘s intervalas. Kiekvienam

y ∈ (0, 1] apibrezkimezy = infz : H(z) = y.

Is funkcijos H(z) tolydumo isplaukia, kad H(zy) = y.Lema

‘pakanka i

‘rodyti tik visiems y ∈ (0, 1). Turime

G(y) = P (Y < y) = PH(Z) < y = PH(Z) < H(zy) =

= P (Z < zy) = H(zy) = y. ut

2 teorema. Kiekvienai tolydziajai pasiskirstymo funkcijai F (y) statistikaDn turi ta

‘pati

‘pasiskirstyma

‘.

I‘r o d y m a s. Kaip ir visame siame skyrelyje, (X1, ..., Xn) zymesime

atsitiktine‘

imti‘. Stebimojo atsitiktinio dydzio pasiskirstymo funkcijos F (y)

pastovumo intervalu vadinsime kiekviena‘uzdara

‘intervala

‘[b, c], jei PX1 ∈

∈ [b, c) = 0 ir nera kito uzdaro intervalo, kuriam priklausytu‘

[b, c] su ta


‘skirtumu 333

savybe. Ismeskime is R visus pastovumo intervalus. Gauta‘aibe

‘pazymekime

A. TadaDn = sup

y∈R|Fn(y)− F (y)| = sup

y∈A|Fn(y)− F (y)|

ir kiekvienam y ∈ A

Xk < y = F (Xk) < F (y).

Pazymekime Uk = F (Xk) ir

Gn(y) =1n

∑Uk<y

1.

Tada visiems y ∈ A

Gn(F (y)

)=

1n

∑F (Xk)<F (y)

1 =1n

∑Xk<y

1 = Fn(y).

Vadinasi,

Dn = supy∈A

∣∣Gn(F (y))− F (y)

∣∣ =

= supy∈R

∣∣Gn(F (y))− F (y)

∣∣ = sup0≤u≤1

∣∣Gn(u)− u∣∣.

Teorema isplaukia is 2 lemos. utTeoremos i

‘rodymas yra ir budas statistikos Dn pasiskirstymo funkcijai

rasti. Tam reikia imti atsitiktinio dydzio, tolygiai pasiskirsciusio intervale(0, 1), empirine


‘Gn(u) ir apskaiciuoti statistikos

sup0≤u≤1

|Gn(u)− u|

pasiskirstymo funkcija‘. Ji bus ir Dn pasiskirstymo funkcija.

Galima rasti gana paprasta‘ribini

‘statistikos Dn pasiskirstyma

‘.

3 (Kolmogorovo) teorema. Kiekvienai tolydziajai pasiskirstymo funk-cijai F (y)

P(√nDn < y) → K(y);

cia

K(y) =

0, kai y ≤ 0,∞∑

k=−∞

(−1)ke−2k2y2, kai y > 0.

Sios teoremos i‘rodymo ideja isdestyta 14 skyrelyje.


Funkcija K(y) yra tabuliuota (zr. [17], XII lentele‘, [2], 6.1, 6.2 lenteles).

Remdamiesi siais rezultatais, pagal jau gerai zinoma‘

schema‘

galimesudaryti Kolmogorovo kriteriju

‘tikrinti hipotezei, kad stebimasis dydis yra

pasiskirste‘s pagal tolydu

‘ji‘

desni‘F (x). Tarkime, kad konkretus stebejimo

rezultatai surasyti nemazejancia tvarka. Turime variacine‘

seka‘x∗1 ≤ x∗2 ≤

≤ ... ≤ x∗n. Apskaiciuojame dydzius

D+n = max

1≤k≤n

(kn− Fn(x∗k)

), D−

n = max1≤k≤n

(Fn(x∗k)−

k − 1n

).

TadaDn = max(D+

n , D−n ).

Paeme‘reiksmingumo lygmeni

‘α, is lenteliu

‘randameDn pasiskirstymo (1−α)-

-kvantili‘uα. Kai n dideli, galima remtis Kolmogorovo teorema. Kai n ≥ 10

ir 0, 01 ≤ α ≤ 0, 2, galima naudotis apytiksle formule

uα ≈√

12n

(v − 2v2 − 4v − 1

18n

)− 1

6n≈

√v

2n− 1

6n;

cia v = − ln(α/2).Jei Dn > uα, tai hipoteze atmestina, priesingu atveju galime manyti, kad

ji nepriestarauja stebejimo duomenims.Empirines funkcijos nuokrypi

‘nuo teorines galima apibudinti ir kitais

budais. H. Krameras 1928 m. ir nepriklausomai nuo jo R. Mizesas1 1931m. pasiule tam reikalui naudoti statistika

‘∫ ∞

−∞

(Fn(y)− F (y)

)2dL(y)

su nemazejancia funkcija L(y). Paprastai naudojamos dvi statistikos

ω2n =

∫ ∞

−∞

(Fn(y)− F (y)

)2dF (y),

Ω2n =

∫ ∞

−∞

(Fn(y)− F (y)

)2

F (y)(1− F (y)

) dF (y).

Cia funkcija F (y), kaip ir anksciau, yra tolydi. Galima butu‘i‘rodyti, kad

nω2n =

n∑k=1

(F (X∗

k)−2k − 1

2n

)2

+1

12n,

nΩ2n = −2

n∑k=1

[2k − 12n

lnF (X∗k) +

(1− 2k − 1

2n

)ln

(1− F (X∗

k))]− n

1 Richard von Mises (1883–1953) – vokieciu‘matematikas.


‘skirtumu 335

ir kad tu‘statistiku

‘pasiskirstymai nepriklauso nuo funkcijos F (y). I

‘rodyta,

kad egzistuoja ir tu‘statistiku

‘ribiniai pasiskirstymai

P(nω2n < u) → a1(u),

P(nΩ2n < u) → a2(u).

Funkciju‘a1(u) ir a2(u) analizines israiskos yra gana sudetingos. Jos – ta-

buliuotos (zr. [17], XV, XVI lenteles, [2], 6.4 lentele‘ir artutines formules).

Siais rezultatais pagri‘stas vadinamasis ω2, arba Kramero–Mizeso, kriterijus

tikrinti hipotezei, kad stebimasis dydis yra pasiskirste‘s pagal tolydu

‘ji‘desni

‘F (y). Jis sudaromas jau mums zinomais metodais.

P a v y z d y s. Automatines stakles gamina rutuliukus. Atsitiktinai parinkti25 rutuliukai ir ismatuotas ju

‘skersmuo (milimetrais). Gautieji rezultatai surasyti

lenteleje didejancia tvarka. Su reiksmingumo lygmeniu α = 0, 05 reikia patikrintihipoteze

‘, kad rutuliuku

‘skersmenys pasiskirste

‘pagal N(12; 0, 1). Skaiciavimu

‘rezul-

tatai surasyti lenteleje. Cia zk = 10(x∗k−12). Rezultatai apvalinami 0,001 tikslumu.

k x∗k k/n zk Φ(zk) k/n− Φ(zk) Φ(zk)− (k − 1)/n

1 11,790 0,04 -2,10 0,018 0,022 0,0182 11,834 0,08 -1,66 0,048 0,032 0,0083 11,862 0,12 -1,38 0,084 0,036 0,0044 11,882 0,16 -1,18 0,119 0,041 -0,0015 11,902 0,20 -0,98 0,164 0,036 0,004

6 11,912 0,24 -0,88 0,189 0,051 -0,0117 11,916 0,28 -0,84 0,200 0,080 -0,0408 11,944 0,32 -0,56 0,288 0,032 0,0089 11,954 0,36 -0,46 0,323 0,037 0,00310 11,970 0,40 -0,30 0,382 0,018 0,022

11 11,986 0,44 -0,14 0,444 -0,004 0,04412 11,990 0,48 -0,10 0,460 0,020 0,01613 12,002 0,52 0,02 0,508 0,012 0,02814 12,006 0,56 0,06 0,524 0,036 0,00415 12,018 0,60 0,18 0,571 0,029 0,011

16 12,030 0,64 0,30 0,618 0,022 0,01817 12,034 0,68 0,34 0,633 0,047 -0,00718 12,040 0,72 0,40 0,655 0,017 -0,02519 12,052 0,76 0,52 0,698 0,062 -0,02220 12,062 0,80 0,62 0,732 0,068 -0,028


k x∗k k/n zk Φ(zk) k/n− Φ(zk) Φ(zk)− (k − 1)/n

21 12,072 0,84 0,72 0,764 0,076 -0,03622 12,090 0,88 0,90 0,816 0,064 -0,02423 12,100 0,92 1,00 0,841 0,079 -0,03924 12,122 0,96 1,22 0,889 0,071 -0,03125 12,130 1,00 1,30 0,903 0,097 -0,057

Skaiciavimai rodo, kadDn = 0, 097.

Is lenteliu‘randame, kad Dn pasiskirstymo 0,95-kvantilis yra apytiksliai lygus 0,264.

Hipoteze atitinka stebejimo duomenis.Analogiska

‘isvada

‘gautume ir pritaike

‘ω2 kriteriju

‘.

14. SMIRNOVO KRITERIJUS

Sakykime, stebime du atsitiktinius dydzius ir turime dvi tu‘dydziu

‘nepriklau-

somu‘stebejimu

‘serijas

X1, ..., Xn,

Y1, ..., Ym.

Remiantis stebejimu‘duomenimis, reikia patikrinti hipoteze

‘, kad abu dydziai

yra vienodai pasiskirste‘. Su tokiais uzdaviniais jau susidureme, kai abu ste-

bimieji dydziai turejo ta‘pati

‘pasiskirstymo tipa

‘ir reikejo patikrinti hipoteze

‘,

kad pasiskirstymu‘parametrai yra lygus. Sprendziant si

‘uzdavini

‘, galima buvo

taikyti ir χ2 kriteriju‘.

Jei apie abieju‘dydziu

‘pasiskirstyma

‘zinoma tik tiek, kad jie yra tolydus,

tai galima taikyti Smirnovo1 kriteriju‘, su kurio teorija dabar susipazinsime.

Taigi tarkime, kad abu dydziai turi ta‘

pacia‘

tolydzia‘

pasiskirstymofunkcija

‘F (u). Pazymekime pirmosios imties empirine


‘Fn(u), o antrosios – Gm(u) ir sudarykime statistikas

D+nm = sup

−∞<u<∞

(Fn(u)− Gm(u)

),

Dnm = sup−∞<u<∞

|Fn(u)− Gm(u)|.

Pasirodo, kad abieju‘tu

‘statistiku

‘pasiskirstymas priklauso tik nuo n ir m,

bet nepriklauso nuo F , jei tik ji yra tolydi.Kad butu

‘paprasciau, nagrinesime tik specialu

‘atveji

‘n = m. Zymesime

1 Nikolajus Smirnovas (1900–1966) – rusu‘matematikas.

Smirnovo kriterijus 337

D+n = D+

nn, Dn = Dnn.

1 teorema. Jei abu stebimieji dydziai yra tolydus ir vienodai pasiskirste‘,

tai sveikiesiems s

P(nD+n < s) =

0, kai s ≤ 0,

1−

(2nn− s

)(

2nn

) , kai 0 < s ≤ n,

1, kai s > n.

I‘

r o d y m a s. Kadangi stebimieji dydziai yra tolydus, tai tarpstebejimo rezultatu

‘X1, ..., Xn, Y1, ..., Yn lygus gales buti tik su tikimybe

0. Todel laikysime visus stebejimo rezultatus skirtingais. Surasysime juosdidejancia tvarka

Z1 < Z2 < ... < Z2n.

I‘vesime pagalbinius dydzius U1, ..., U2n, imdami Uk = 1, kai Zk yra is pirmo-

sios, ir Uk = −1, kai Zk yra is antrosios imties. Pazymekime V0 = 0, Vk == U1+...+Uk (k = 1, ..., 2n). Skaicius n

(Fn(u)−Gn(u)

)yra imties X1, ..., Xn

elementu‘, mazesniu

‘uz u, ir imties Y1, ..., Yn elementu

‘, mazesniu

‘uz u, skaiciu

‘skirtumas. Jei u prabega visa

‘realiu

‘ju

‘skaiciu

‘tiese

‘, tai n(Fn(u) − Gn(u))

pasikeicia tik tada, kai u perzengia reiksmes Zk (k = 1, ..., 2n); pokytis yraUk. Todel

nD+n = max

1≤k≤2nn(Fn(Zk + 0)− Gn(Zk + 0)

)= max

1≤k≤2nVk.

Skaicius galimu‘seku

‘U1, ..., U2n yra lygus skaiciui deriniu

‘is 2n elementu

‘po n, t. y. (

2nn

).

KadangiX1, ..., Xn, Y1, ..., Yn yra nepriklausomi ir turi tuos pacius pasiskirsty-mus, tai kiekviena seka U1, ..., U2n turi ta

‘pacia

‘tikimybe

‘

1/(

2nn

).

Reikia rasti skaiciu‘

tu‘

seku‘U1, ..., U2n, kurioms maxVk < s. Tam pravers

geometrine interpretacija. Plokstumoje (v, t) atidekime taskus su koordi-natemis (k, Vk) (k = 0, 1, ..., 2n) ir sujunkime juos atkarpomis. Gausimelauzte

‘. Jos pradzia bus taske (0, 0), galas – taske (2n, 0). Atkarpos su abscisiu

‘asimi sudaro 45 arba −45 kampus; abieju

‘rusiu

‘atkarpu

‘bus po n. Reikia

rasti skaiciu‘

lauzciu‘, nekertanciu

‘tieses t = s. Tuo tikslu kiekviena

‘lauzte

‘,


pasiekiancia‘tiese

‘t = s, pakeiskime nauja lauzte, kuri nuo (0, 0) iki pirmojo

susikirtimo su t = s sutampa su pirmykste lauzte, o veliau yra pastarosiosveidrodinis atspindys tos tieses atzvilgiu. Naujoji lauzte prasides taske (0, 0)ir baigsis taske (2n, 2s). Joje turi buti n + s pakilimu

‘ir n − s nusileidimu

‘.

Todel tokiu‘lauzciu

‘bus (

2nn− s

).

Vadinasi, skaicius pirmyksciu‘lauzciu

‘, nepasiekianciu

‘tieses t = s, yra(

2nn

)−

(2nn− s

). ut

2 teorema. Jei ispildytos 1 teoremos sa‘lygos, tai

P(D+n

√n

2< z

)→

0, kai z ≤ 0,1− e−2z2 , kai z > 0.

I‘r o d y m a s. Pastebesime, kad

P(D+n

√n

2< z

)= P(nD+

n < z√

2n).

Tirdami sios tikimybes asimptotika‘, remsimes 1 teorema. Pakanka nagrineti

atveji‘, kai z > 0. Pazymekime s = z

√2n, kai tas skaicius yra sveikasis,

ir s = [z√

2n] + 1, kai jis nera sveikas. Taigi s = z√

2n + δ, 0 ≤ δ < 1.Laikysime, kad n yra didelis.

Is Stirlingo formules (zr. I.6 skyreli‘), pazymeje

‘

p =

(2nn− s

)(

2nn

) =(n!)2

(n+ s)!(n− s)!,

gauname

(1)ln p = (2n+ 1) lnn−

(n+ s+

12

)ln(n+ s)−

−(n− s+

12

)ln(n− s) +O

( 1n

).

Kadangi pagal 12 skyrelio lema‘


ln(n+ s) = lnn+ ln(1 +

s

n

)= lnn+

s

n− s2

2n2+O

( s3n3

),

ln(n− s) = lnn− s

n− s2

2n2+O

( s3n3

),

tai is (1), atlike‘paprastus skaiciavimus, gauname

ln p = −s2

n+O(n−1/2) = −2z2 +O(n−1/2).

Vadinasi,

P(D+n

√n

2< z

)= 1− exp−2z2 +O(n−1/2) → 1− e−2z2 ,

kai n→∞. ut3 teorema. Jei teisingos 1 teoremos sa

‘lygos, tai sveikiesiems s

P(nDn < s) =

0, kai s ≤ 1,

1(2nn

) [n/s]∑k=−[n/s]

(2n

n− ks

), kai 1 < s ≤ n,

1, kai s > n.

I‘r o d y m a s panasus i

‘1 teoremos i

‘rodyma

‘. Vartosime vel tuos pacius

zymejimus ir remsimes ta pacia geometrine interpretacija. Si‘karta

‘ieskosime

skaiciaus N0 lauzciu‘, kurios telpa tarp tiesiu

‘t = −s ir t = s, ju

‘nepasiek-

damos.Kaip zinome, lauzciu

‘yra is viso

N =(

2nn

).

Ieskoma‘ji‘lauzciu

‘skaiciu

‘N0 gausime, atmete

‘is N skaiciu

‘lauzciu

‘, kurios turi

bendru‘tasku

‘su tiesemis t = −s, t = s. Pirmiausia atmesime skaiciu

‘N(+)

lauzciu‘, kurios turi bendra

‘taska

‘su t = s, ir skaiciu

‘N(−) lauzciu

‘, kurios

turi bendra‘

taska‘

su t = −s. Taciau tada bus du kartus atmestos lauztes,turincios bendru

‘tasku

‘su abiem tiesem. Todel pridesime skaiciu

‘N(+,−)

lauzciu‘, kurios po bendro tasko su t = s turi bendra

‘taska

‘su t = −s, ir skaiciu

‘N(−,+) lauzciu

‘, kurios po bendro tasko su t = −s turi bendra

‘taska

‘su t = s.

Kai kurios lauztes bus pridetos du kartus. Todel te‘sime siuos samprotavimus.

Vartodami lengvai suvokiamus zymejimus, gausime

N0 = N −N(+)−N(−) +N(+,−) +N(−,+)−N(+,−,+)−−N(−,+,−) + ...


1 teoremos i‘rodyme gavome

N(+) =(

2nn− s

).

Skaicius N(−) = N(+). Tai isplaukia is simetriskumo.Apskaiciuosime N(+,−). Kiekviena

‘lauzte

‘, iseinancia

‘is tasko (0, 0) ir

pasiekiancia‘tiese

‘t = s, pakeisime nauja lauzte, kuri sutampa su pirmykste

nuo (0, 0) iki bendro tasko su t = s, o toliau yra jos veidrodinis atspindystieses t = s atzvilgiu. Taip gauta lauzte pasibaigs taske (2n, 2s). Jei pirmykstelauzte is pradziu

‘turi bendra

‘taska

‘su t = s, o po to su t = −s, tai ka

‘tik

gauta naujoji lauzte pasieks tiese‘t = 3s. Konstruojame dar viena

‘lauzte

‘, kuri

sutaps su nauja‘ja iki bendro tasko su t = 3s, o po to sutaps su pirmykstes

lauztes veidrodiniu atspindziu tieses t = 3s atzvilgiu. Vadinasi, naujausiojilauzte baigsis taske (2n, 4s). Tokiu

‘naujausiu

‘lauzciu

‘yra(

2nn− 2s

).

Taigi

N(+,−) = N(−,+) =(

2nn− 2s

)=

(2n

n+ 2s

).

Analogiskai samprotaudami, galime gauti

N(ε1, ε2, ..., εk) =(

2nn− ks

)=

(2n

n+ ks

),

kai ε1, ..., εk yra alternuojanti + ir − seka.Galutinai

N0 =[n/s]∑

k=−[n/s]

(−1)k(

2nn− ks

). ut

4 teorema. Jei teisingos 1 teoremos sa‘lygos, tai

P(Dn

√n

2< z

)→ K(z),

kai n→∞; cia K(z) yra 13.3 teoremoje apibrezta funkcija.I‘r o d y m a s. Pakanka nagrineti atveji

‘, kai z > 0. Toliau z laikysime

fiksuotu, o n – pakankamai dideliu. Atkreipsime demesi‘, kad

P(Dn

√n

2< z

)= P(nDn < zn);


cia zn = z√

2n, kai pastarasis skaicius yra sveikasis, ir zn = [z√

2n] + 1, kaijis nera sveikasis. Tada

P(Dn

√n

2< z

)=

[n/zn]∑k=−[n/zn]

(−1)k

(2n

n− kzn

)(

2nn

) =

=[n/zn]∑

k=−[n/zn]

(−1)k(n!)2

(n− kzn)!(n+ kzn)!.

Paeme‘bet koki

‘ε > 0, parinkime toki

‘sveika

‘ji‘teigiama

‘n0, kad butu

‘

e−2n20z

2<

ε

16,

∣∣∣ ∑|k|>n0

(−1)ke−2k2z2∣∣∣ < ε

6.

Kaip ir 2 teoremos i‘rodyme, is Stirlingo formules gauname (skaiciavimus

paliekame skaitytojui)

(n!)2

(n− kzn)!(n+ kzn)!= e−2k2z2

(1 + o(1)

)tolygiai visiems k su sa

‘lyga |k| ≤ n0. Todel∣∣∣ n0∑

k=−n0

(−1)ke−2k2z2 −n0∑

k=−n0

(−1)(n!)2

(n− kzn)!(n+ kzn)!

∣∣∣ =

= o(1)n0∑

k=−n0

e−2k2z2 <ε

2

pakankamai dideliems n. Kadangi(2n

n− kzn

)>

(2n

n− (k + 1)zn

),

tai ∣∣∣ ∑n0<|k|≤zn

(−1)k(n!)2


∣∣∣ <<

4(n!)2

(n− n0zn)!(n+ n0zn)!= 4e−2n2

0z2(1 + o(1)

)<ε

3,

kai n yra pakankamai didelis. Todel pakankamai dideliems n


∣∣∣P(Dn

√n

2< z

)−K(z)

∣∣∣ ≤ ∣∣∣ n0∑k=−n0

(−1)ke−2k2z2−

−n0∑

k=−n0

(−1)k(n!)2


∣∣∣++

∣∣∣ ∑n0<|k|≤zn

(−1)k(n!)2


∣∣∣++

∣∣∣ ∑|k|>n0

(−1)ke−2k2z2∣∣∣ < ε

2+ε

3+ε

6= ε. ut

Pateiksime be i‘rodymo statistiku

‘D+nm ir Dnm pasiskirstymo ribines teo-

remas, kai n ir m yra bet kokie.

5 teorema. Jei stebimieji dydziai yra tolydus ir vienodai pasiskirste‘, tai

P(D+nm

√nm

n+m< z

)→

0, kai z ≤ 0,1− e−2z2 , kai z > 0,

,

P(Dnm

√nm

n+m< z

)→ K(z),

kai n→∞, m→∞; cia K(z) yra 13.3 teoremoje apibrezta funkcija.Statistiku

‘D+nm ir Dnm pasiskirstymu grindziamas Smirnovo kriterijus

tikrinti hipotezei, kad abu stebimi tolydieji atsitiktiniai dydziai turi ta‘pati

‘pasiskirstyma

‘. Tu

‘statistiku

‘pasiskirstymai yra tabuliuoti (zr. [17], XVII

lentele‘; [2], 6.5a lentele

‘). Skaiciavimams suprastinti naudojamos formules

D+nm = max

1≤k≤n

(kn− Gm(X∗

k))

= max1≤k≤m

(Fn(Y ∗

k )− k − 1m

),

D−nm = max

1≤k≤n

(Gm(X∗

k)−k − 1n

)= max

1≤k≤m

( km−Fn(Y ∗

k )),

Dnm = max(D+nm,D−

nm);

cia X∗k yra pirmojo stebimo dydzio, o Y ∗

k – antrojo dydzio variacinessekos.

15. ZENKLU‘

KRITERIJUS

11 skyrelyje nagrinejome sitoki‘uzdavini

‘. Stebejome atsitiktini

‘dydi

‘, i

‘gyjanti

‘dvi reiksmes 1 ir 0 atitinkamai su tikimybemis p ir 1 − p. Tikimybe p buvonezinoma. Nurodeme metoda

‘tikrinti hipotezei, kad p yra koks nors konkre-

tus skaicius p0 ∈ (0, 1). Dabar mums pravers specialus atvejis p0 = 1/2.Priminsime ta

‘kriteriju

‘.

Zenklu‘kriterijus 343

Atliekame n nepriklausomu‘

stebejimu‘. Pazymekime κn skaiciu

‘atveju

‘,

kai stebimasis atsitiktinis dydis i‘gyja reiksme

‘1. Statistika κn turi binomini

‘pasiskirstyma

‘

P(κn = k) =(n

k

)(12

)n(k = 0, 1, ..., n).

Nerandomizuotas kriterijus sudaromas sitaip. Imkime reiksmingumo lygmeni‘

α. Pazymekime kn statistikos κn realizacija‘. Jei alternuojanti hipoteze yra

p = p1 < 1/2, tai hipoteze‘atmetame, kai

kn∑k=0

(n

k

)(12

)n≤ α.

Jei alternatyva yra p = p1 > 1/2, tai hipoteze‘atmetame, kai

n∑k=kn

(n

k

)(12

)n≤ α.

Pagaliau, jei alternatyva yra p = p1 6= 1/2, tai hipoteze‘atmetame, kai

kn∑k=0

(n

k

)(12

)n≤ α

2

arban∑

k=kn

(n

k

)(12

)n≤ α

2.

Siuo kriterijumi yra pagri‘stas vadinamasis zenklu

‘kriterijus, vienas is pa-

prasciausiu‘statistikoje. Panagrinesime pora

‘jo taikymo atveju

‘.

1. Sakykime, stebime tolydu‘ji‘atsitiktini

‘dydi

‘. Reikia patikrinti hipoteze

‘,

kad jo mediana yra lygi z0. Kaip paprastai, tarkime, kad X1, ..., Xn yra at-sitiktine imtis. Kadangi stebimasis dydis yra tolydus, tai jo mediana tenkinasa

‘lyga

‘

P (X1 < z0) = P (X1 > z0) =12.

Pazymekime κn skaiciu‘tu

‘k, kuriems Xk−z0 yra neigiamas. Si statistika yra

pasiskirsciusi pagal binomini‘

desni‘. Todel hipotezei tikrinti galima taikyti

anksciau aprasyta‘procedura

‘. Praktiskai ja

‘taikant, tenka suskaiciuoti, kiek

yra neigiamu‘

ir kiek yra teigiamu‘

skirtumu‘Xk − z0. Is cia ir kile

‘s zenklu

‘kriterijaus pavadinimas.

2. Sakykime, stebime dvimati‘tolydu

‘ji‘atsitiktini

‘dydi

‘su tankio funkcija

p(u, v). Reikia patikrinti hipoteze‘, kad p(u, v) = p(v, u). Jei stebimojo dydzio


komponentai yra nepriklausomi, tai tikrinamoji hipoteze reiskia, kad jieyra vienodai pasiskirste

‘. Imkime n nepriklausomu

‘stebejimu

‘(X1, Y1), ...,

(Xn, Yn). Jei hipoteze yra teisinga, tai skirtumai Xk − Yk i‘gyja teigiamas

ir neigiamas reiksmes su ta pacia tikimybe 1/2. Todel galime taikyti zenklu‘

kriteriju‘.

16. RANGINIAI KRITERIJAI

Sakykime, tiriame du tolydziuosius atsitiktinius dydzius. Ju‘nepriklausomu

‘stebejimu

‘rezultatai yra X1, ..., Xn ir Y1, ..., Ym. Reikia patikrinti hipoteze

‘,

kad tie dydziai turi ta‘pacia


‘.

Sujunkime visus stebejimo rezultatus ir is ju‘sudarykime viena

‘variacine

‘seka

‘. Joje bus N = n+m nariu

‘. Praleiskime indeksus. Gausime, pavyzdziui,

sitokio tipo seka‘

X X Y X Y Y . . . X Y Y.1 2 3 4 5 6 N-2 N-1 N

Apacioje surasyti nariu‘numeriai – ju

‘rangai. Tiesa, gali pasitaikyti vienodu

‘pirmosios ir antrosios imties nariu

‘. Tada gautoji seka nebus vienareiksmiskai

nusakyta. Taciau tokie atvejai gales pasitaikyti tik su tikimybe 0, nes dydziaiyra tolydieji. Jei vis delto taip atsitiko, tai lygius stebejimo rezultatusisdestome bet kaip.

Tarkime, kad R1 < R2 < ... < Rn yra X numeriai. Parenkame kokia‘nors

funkcija‘f(r), apibrezta

‘visiems r = 1, ..., N , ir imame statistika

‘

W = f(R1) + ...+ f(Rn).

Atitinkamai konkretizave‘funkcija

‘f(r), gauname Vilkoksono ir Van der

Vardeno kriterijus.1. V i l k o k s o n o1 k r i t e r i j u s. Tarkime, kad s(1), s(2), ..., s(N)

yra skaiciai 1, 2, ..., N , surasyti kokia nors is anksto fiksuota (nepriklausancianuo stebejimo rezultatu

‘) tvarka, kitaip tariant, s(1), s(2), ..., s(N) yra skaiciu

‘1, 2, ..., N kelinys. Paeme

‘f(r) = s(r), turime statistika

‘

W = f(R1) + ...+ f(Rn).

Galima i‘rodyti: jei hipoteze yra teisinga, tai taip sudarytos statistikos pa-

siskirstymas nepriklauso nuo teorines pasiskirstymo funkcijos ir funkcijoss(r), priklauso tik nuo n ir m. Statistikos W pasiskirstymo funkcija yra ta-buliuota (zr. [2], 6.8 lentele

‘). Kai n ir m dideli, galima naudotis asimptotine

formule

1 F. Wilcoxon – anglu‘matematikas.

Ranginiai kriterijai 345

P

W − m

2(m+ n+ 1)√

mn

12(m+ n+ 1)

< u

→ Φ(u),

kai N = n+m→∞.2. V a n d e r V a r d e n o1 k r i t e r i j u s yra panasus i

‘Vilkoksono,

tik funkcija f(r) parenkama siek tiek kitaip:

f(r) = Φ−1( s(r)n+m+ 1

);

cia Φ−1 reiskia funkcija‘, atvirkstine

‘standartinei normaliajai pasiskirstymo

funkcijai Φ. Ir siuo atveju statistikos

W =n∑k=1

Φ−1( s(R)n+m+ 1

)pasiskirstymas priklauso tik nuo n ir m. Kai N →∞,

P(W < u√DW ) → Φ(u);

cia

DW =nm

n+m+ 11

n+m

n+m∑k=1

(Φ−1

( k

n+m+ 1

))2

.

Statistikos W pasiskirstymo funkcija yra tabuliuota (zr. [17], XIX lentele‘, [2],

6.9 lentele‘).

Kriterijus, pagri‘stas sia statistika, yra gana tikslus, kai stebimieji atsitik-

tiniai dydziai pasiskirste‘pagal normalu

‘ji‘desni

‘arba artima

‘jam.

1 Van der Waerden (g. 1903) – olandu‘matematikas, siuo metu dirba

‘s Sveicarijoje.

V skyrius. PRIEDAS. MATO IR INTEGRALOTEORIJOS PRADMENYS

1. AIBIU‘

KLASES

Susitarkime toliau nagrinejamas aibes laikyti kurios nors universaliosios aibespoaibiais.

Mato teorijai svarbiausios yra dvi aibiu‘

klases: algebros ir σ algebros(sigma algebros).

Bet kurios aibes Ω (ji gali buti ir tuscia) poaibiu‘

sistema‘A vadiname

aibiu‘

algebra (aibiu‘kunu, lauku), jei ji tenkina sias sa

‘lygas:

I. Ω ∈ A.II. Jei A ∈ A, tai Ac ∈ A.III. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A ∪B ∈ A.

1 p a v y z d y s. Sistema, sudaryta is dvieju‘

aibiu‘

∅ ir Ω, Ω 6= ∅, yraaibiu

‘algebra. Sistema, sudaryta is vienos aibes ∅, yra algebra. Tokia algebra telpa

kiekvienoje algebroje.

2 p a v y z d y s. Tarkime, kad A ⊂ Ω, A 6= ∅, A 6= Ω. Sistema ∅, A, Ac, Ωyra aibiu

‘algebra.

3 p a v y z d y s. Kiekvienos aibes Ω visu‘poaibiu

‘sistema yra aibiu

‘algebra.

4 p a v y z d y s. Tarkime, kad

Ω =

s⋃k=1

Ak

ir aibes Ak (k = 1, ..., s) yra disjunkcios (t. y. kas dvi neturi bendru‘

elementu‘).

Sudarykime visas galimas tu‘aibiu

‘sa

‘jungas Ak1 ∩ ... ∩ Akr (tuscia sa

‘junga pagal

susitarima‘yra laikoma tuscia aibe). Visu

‘tu

‘sa

‘jungu

‘sistema yra algebra.

5 p a v y z d y s. Imkime visus galimus intervalus (a, b), [a, b), (a, b], [a, b],kuriuose a ir b – baigtiniai skaiciai (kai a = b, intervalas [a, b] yra sudary-tas is vieno tasko, o kitu

‘tipu

‘intervalai – tuscios aibes), ir visus intervalus

(−∞, a), (−∞, a], (a,∞), [a,∞), (−∞,∞). Visu‘tu

‘intervalu

‘sistema nera aibiu

‘al-

gebra. Taciau sistema, sudaryta is visu‘galimu

‘baigtinio skaiciaus intervalu

‘sa

‘jungu

‘,

yra algebra.

Panagrinesime aibiu‘

algebru‘

savybes. Zymesime A aibes Ω poaibiu‘

al-gebra

‘. Is apibrezimo isplaukia sie teiginiai.

1. ∅ ∈ A, nes ∅ = Ωc ∈ A.2. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A ∩B = (Ac ∪Bc)c ∈ A.

Aibiu‘klases 347

3. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A\B = A ∩Bc ∈ A.4. Jei A1, A2, ..., An yra algebros A aibes, tai jai priklauso ir A1∪A2∪ ...∪

∪An, A1∩A2∩...∩An. Sis teiginys isplaukia is III ir 2, remiantis matematinesindukcijos principu.

Atkreipsime demesi‘, kad aibiu

‘algebra

‘buvo galima apibrezti ir trumpiau,

pakeitus II ir III reikalavimus vienu – sistemos uzdarumu aibiu‘

atimtiesatzvilgiu: jei A ∈ A ir B ∈ A, tai ir A\B ∈ A. Tada jos uzdarumas jungimoir papildymo operaciju

‘atzvilgiu isplauktu

‘is tapatybiu

‘Ac = Ω\A, A ∪B =

= Ω\((Ω\A)\B).Galimi ir kiti aibiu

‘algebros apibrezimo variantai. Sakysime, I reikalavima

‘galima pakeisti reikalavimu ∅ ∈ A arba III reikalavima

‘– sa

‘lyga: jei A ∈ A ir

B ∈ A, tai ir A∩B ∈ A. Siulome skaitytojui paciam i‘rodyti, kad tie variantai

yra ekvivalentus pirmiesiems.Taigi algebra yra kurios nors aibes Ω poaibiu

‘sistema, kuriai priklauso pati

Ω ir kuri yra uzdara jungimo, kirtimosi ir atimties operaciju‘atzvilgiu, jei tik

jas atliekame baigtini‘skaiciu

‘kartu

‘. 5 pavyzdys rodo, kad, atlike

‘su algebros

aibemis jungimo arba kirtimosi operacijas be galo daug kartu‘, galime gauti ir

aibes, nepriklausancias algebrai. Del to kartais susidaro dideliu‘nepatogumu

‘.

Todel i‘vesime siauresne

‘algebru

‘klase

‘– vadinama

‘sias σ algebras.

Kurios nors aibes Ω poaibiu‘sistema A vadinama aibiu

‘σ algebra (σ kunu,

σ lauku, aibiu‘Borelio kunu, Borelio lauku), kai ji tenkina sa

‘lygas:

I. Ω ∈ A.II. Jei A ∈ A, tai Ac ∈ A.III′. Jei A1, A2, ... yra sistemos A aibes, tai ir

∞⋃k=1

Ak ∈ A.

III algebros sa‘lyga

‘pakeiteme III′ sa

‘lyga. Nesunku suvokti, kad is III′

isplaukia III. Is tikru‘ju

‘is I ir II isplaukia, kad ∅ ∈ A. Todel, jei A ir B ∈ A,

tai ir A ∪ B = A ∪ B ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ... ∈ A. Vadinasi, aibiu‘σ algebra yra aibiu

‘algebra.

Parodysime, kad aibiu‘σ algebra yra uzdara ir bet kurios aibiu

‘is A sekos

kirtimosi atzvilgiu.5. Jei A1, A2, ... yra A aibes, tai ir

∞⋂k=1

Ak =( ∞⋃

k=1

Ack

)c

∈ A.

Siulome skaitytojui parodyti, kad aibiu‘σ algebra

‘galime apibrezti, reika-

laudami, kad butu‘tenkinamos I, II ir 5 sa

‘lygos.

1, 2 ir 3 pavyzdziu‘

algebros yra σ algebros. 5 pavyzdzio algebra, kaip jauminejome, nera σ algebra.

348 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys

6 p a v y z d y s. Kiekviena baigtine algebra yra kartu ir σ algebra. Is tikru‘ju

‘,

jei A1, A2, ... yra baigtines algebros A aibiu‘seka, tai tarp ju

‘gali buti tik baigtinis

skaicius skirtingu‘(nes tik tiek tera aibiu

‘sistemoje A). Todel

∞⋃k=1

Ak

yra is esmes baigtinio aibiu‘skaiciaus sa

‘junga.

Kiekviena‘

aibes Ω poaibiu‘

sistema‘S visada galima papildyti naujomis

aibemis – Ω poaibiais, kad ji virstu‘

algebra arba net σ algebra. Pakankata

‘sistema

‘papildyti iki visu

‘aibes Ω poaibiu

‘sistemos. Taciau kartais gali-

ma elgtis ekonomiskiau – imti maziau papildomu‘

aibiu‘. Tarp visu

‘algebru

‘(σ algebru

‘), kurioms priklauso sistemos S aibes, yra pati negausiausia a(S)

(atitinkamai σ(S)): ji priklauso kiekvienai aibiu‘algebrai (σ algebrai), apre-

pianciai sistema‘S, ir yra vadinama algebra (σ algebra), generuota sistemos

S, arba maziausia algebra (σ algebra), kuriai priklauso S. I‘rodysime tuos

teiginius.

1 teorema. Jei Aλ, λ ∈ Λ yra aibes Ω poaibiu‘

algebru‘

(σ algebru‘)

sistema, tai visu‘

tos sistemos algebru‘

(σ algebru‘) sankirta⋂

λ∈Λ

Aλ

yra taip pat Ω poaibiu‘

algebra (σ algebra).I‘

r o d y m a s. Tirsime tik σ algebru‘

atveji‘. Pazymekime σ algebru

‘sankirta

‘A. Parodysime, kad ji tenkina I, II, III′ sa

‘lygas. Kadangi Ω ∈ Aλ

visiems λ ∈ Λ, tai Ω ∈ A. Jei aibe A ∈ A, tai ji priklauso kiekvienai isAλ, λ ∈ Λ. Taciau tada Ac ∈ Aλ, λ ∈ Λ. Vadinasi, Ac ∈ A. Tarkime, kadAk (k = 1, 2, ...) yra A aibes. Tada jos priklauso ir kiekvienai is Aλ. Todelkiekvienai is Aλ priklauso ir ju

‘sa

‘junga

∞⋃k=1

Ak.

Vadinasi, ta sa‘junga priklauso ir A. ut

2 teorema. Tarkime, kad S yra kuri nors aibes Ω poaibiu‘sistema. Egzis-

tuoja vienintele algebra a(S) (atitinkamai σ algebra σ(S)), turinti savybes:a) S ⊂ σ(S); b) jei S priklauso kuriai nors aibes Ω poaibiu

‘algebrai (σ algeb-

rai) A, tai ir σ(S) ⊂ A.I‘

r o d y m a s. Vel tirsime tik σ algebru‘

atveji‘. Visada egzistuoja

bent viena aibes Ω poaibiu‘σ algebra, kuriai priklauso sistema S. Tokia yra

visu‘

aibes Ω poaibiu‘σ algebra. Imkime visas aibes Ω poaibiu

‘σ algebras,

Aibiu‘klases 349

kurioms priklauso S, ir pazymekime ju‘

sankirta‘σ(S). I

‘rodysime, kad ji ir

yra ieskomoji σ algebra.Pagal 1 teorema

‘σ(S) yra σ algebra. Jei A yra kuri nors aibes Ω poaibiu

‘σ algebra, kuriai priklauso S, tai jai turi priklausyti σ(S) pagal pastarosiosapibrezima

‘.

Lieka i‘rodyti, kad gali buti tik viena maziausia σ algebra. Tarkime, kad

turime dvi σ algebras A1 ir A2, tenkinancias sa‘lygas a ir b. Is sa

‘lygos b

gautume, kad A1 ⊂ A2, A2 ⊂ A1. Vadinasi, A1 = A2. utImkime visu

‘tieses Ω = R intervalu

‘sistema

‘. Prapleskime ja

‘iki maziausios

σ algebros B. Aibes, sudarancios B, yra vadinamos Borelio aibemis. Jas galimegauti ir praplesdami iki maziausios σ algebros visu

‘intervalu

‘(−∞, x), x ∈ R,

sistema‘. Is tikru

‘ju

‘visu

‘kitu

‘tipu

‘intervalus galime gauti is siu

‘intervalu

‘, atlike

‘aibiu

‘operacijas, kuriu

‘atzvilgiu yra uzdara aibiu

‘σ algebra. Kai c < a < b,

turime[a, b) = (−∞, b)\(−∞, a),

[a, b] =∞⋂

n=1

[a, b+

1n

),

(a, b) = [c, b)\[c, a]

ir t. t.Borelio aibiu

‘klase yra labai plati. Jai priklauso ne tik visi intervalai, bet

ir visos atviros, visos uzdaros ir dar sudetingesnes aibes.Visai taip pat, praplesdami erdves Ω = Rs visu

‘intervalu

‘sistema

‘iki

maziausios σ algebros Bs, gauname erdves Rs Borelio aibes.Dvejetas Ω,A, sudarytas is netuscios aibes Ω ir jos poaibiu

‘σ algebros

A (kuriai priklauso pati Ω), yra vadinamas macia erdve. Sistemos A aibestada vadinamos A maciomis, arba tiesiog maciomis, kai aisku, apie kokia

‘σ

algebra‘kalbame.

Mato teorijoje be algebru‘bei σ algebru

‘dar vartojamos ziedu

‘ir σ ziedu

‘sa

‘vokos. Jos apibreziamos panasiai, kaip ir algebros, taciau nera reikalaujama,

kad Ω priklausytu‘toms aibiu

‘klasems.

I‘vesime dar viena

‘sa

‘voka

‘– aibiu

‘monotoniniu

‘klasiu

‘. Jai apibrezti pri-

minsime aibiu‘sekos ribos sa

‘voka

‘.

Tarkime, kad A1, A2, ... yra aibes Ω poaibiu‘seka. Aibe

‘tu

‘ω ∈ Ω, kurie

priklauso be galo dideliam skaiciui aibiu‘An, zymesime lim sup

nAn ir vadinsime

sekos An virsutine riba. Nesunku i‘rodyti, kad

(1) lim supn

An =∞⋂

k=1

∞⋃n=k

An.

Jei ω priklauso be galo dideliam aibiu‘An skaiciui, tai ω priklauso visoms

aibems


(2) Ck =∞⋃

n=k

An (k = 1, 2, ...),

vadinasi, priklauso aibei

(3)∞⋂

k=1

Ck =∞⋂

k=1

∞⋃n=k

An.

Antra vertus, jei ω priklauso (3) aibei, tai jis priklauso kiekvienai aibeiCk (k = 1, 2, ...). Jei ω priklausytu

‘tik baigtiniam aibiu

‘An skaiciui, tai butu

‘toks m, kad ω 6∈ An, kai n ≥ m, t. y.

ω 6∈∞⋃

n=k

An = Ck,

kai k ≥ m. Is sio priestaravimo isplaukia, kad ω turi priklausyti be galodideliam aibiu

‘An skaiciui.

Aibe‘

tu‘ω ∈ Ω, kurie priklauso visoms An, galbut isskyrus baigtini

‘ju

‘skaiciu

‘, kitaip tariant, priklauso visoms An, kuriu

‘indeksai pakankamai dideli,

zymesime lim infn

An ir vadinsime sekos An apatine riba. I‘rodysime, kad

(4) lim infn

An =∞⋃

k=1

∞⋂n=k

An.

Jei ω priklauso visoms aibems An, pradedant kuriuo nors indeksu m, taiω priklauso visoms aibems

Dk =∞⋂

n=k

An,

kai k ≥ m, vadinasi, ω priklauso aibei

(5)∞⋃

k=1

Dk =∞⋃

k=1

∞⋂n=k

An.

Jei ω priklauso (5) aibei, tai jis priklauso kuriai nors aibei Dk, vadinasi,ir visoms An, kai n ≥ k.

Is (1) ir (4) isplaukia, kad

(lim infn

An)c = lim supn

Acn,

(lim supn

An)c = lim infn

Acn.

Aibiu‘klases 351

Jei aibes An priklauso aibes Ω poaibiu‘σ algebrai A, tai ju

‘sekos apatine

ir virsutine ribos, kaip matyti is (1) ir (4) lygybiu‘, taip pat priklauso A.

Jeilim inf

nAn = lim sup

nAn,

tai bendra‘ja

‘apatines ir virsutines ribos reiksme

‘vadiname sekos An riba ir

zymimelimnAn.

Jei seka An yra monotoniskai didejanti: A1 ⊂ A2 ⊂ ..., tai

limnAn =

∞⋃n=1

An.

Jei seka An yra monotoniskai mazejanti: A1 ⊃ A2 ⊃ ..., tai

limnAn =

∞⋂n=1

An.

Mums cia tereiks tik monotoniniu‘aibiu

‘ribu

‘sa

‘vokos.

Monotonine aibiu‘

klase vadinama netuscia aibes Ω poaibiu‘sistema M,

kai kiekvienos monotoniskos aibiu‘is M sekos riba priklauso M.

Nagrinesime monotoniniu‘klasiu

‘savybes.

3 teorema. Jei Mλ, λ ∈ Λ yra aibes Ω poaibiu‘

monotoniniu‘

klasiu‘

sistema, tai visu‘

tos sistemos monotoniniu‘

klasiu‘

sankirta

M =⋂λ∈Λ

Mλ

yra arba tuscia, arba vel monotonine klase.I‘r o d y m a s. Sakykime, sankirta M nera tuscia ir An (n = 1, 2, ...) yra

monotoniska sistemos M aibiu‘seka. Kadangi aibes An priklauso kiekvienai

is klasiu‘Mλ, tai ir ju

‘riba turi priklausyti kiekvienai is tu

‘klasiu

‘, vadinasi,

ji priklauso ir tu‘klasiu

‘sankirtai M. ut

4 teorema. Tarkime, kad H yra bet kuri netuscia aibes Ω poaibiu‘sistema.

Egzistuoja vienintele monotonine aibiu‘klase M(H), turinti savybes: a) H ⊂

⊂ M(H), b) jei H priklauso kuriai nors aibes Ω poaibiu‘

monotoninei klaseiM, tai M(H) ⊂M.

M(H) yra vadinama sistemos H generuota‘ja monotonine aibiu

‘klase,

arba maziausia‘ja monotonine aibiu

‘klase, kuriai priklauso H.

I‘r o d y m a s. Aibes Ω visu

‘poaibiu

‘sistema yra monotonine klase ir jai

priklauso sistema H. Vadinasi, egzistuoja monotonine klase, apimanti H.


Pazymekime M(H) visu‘

monotoniniu‘

klasiu‘, sudarytu

‘is Ω poaibiu

‘ir

apimanciu‘H, sankirta

‘. I

‘rodysime, kad ji yra ieskomoji. Pagal 3 teorema

‘M(H) yra monotonine klase. Tarkime, kad M yra bet kuri monotonine aibesΩ poaibiu

‘klase, apimanti H. Tada M(H) turi priklausyti M (pagal M(H)

apibrezima‘).

Klases M(H) vienatis isplaukia is jos minimalumo (zr. 2 teoremosi‘rodyma

‘). ut

5 teorema. Aibes Ω poaibiu‘algebra A yra σ algebra tada ir tik tada, kai

ji yra monotonine klase.I‘

r o d y m a s. Kiekviena σ algebra yra, aisku, ir monotonine klase.Tarkime, kad algebra A yra monotonine klase. I

‘rodysime, kad ji yra ir σ

algebra. Imkime bet kuria‘

algebros A aibiu‘

seka‘Ak (k = 1, 2, ...). Tada

baigtines sa‘jungos

n⋃k=1

Ak (n = 1, 2, ...)

sudaro monotoniskai didejancia‘aibiu

‘seka

‘, kurios riba yra visu

‘aibiu

‘Ak (k =

= 1, 2, ...) sa‘junga. Ji priklauso A. ut

6 teorema. Algebros A generuota σ algebra σ(A) sutampa su taip patalgebros A generuota monotonine klase M(A).

I‘r o d y m a s. 1. Pagal 5 teorema

‘σ(A) yra monotonine klase. Todel

is M(A) minimalumo gauname: M(A) ⊂ σ(A). Jei i‘rodytume, kad M(A)

yra algebra, tai pagal 5 teorema‘gautume, kad ji yra ir σ algebra, o is σ(A)

minimalumo isplauktu‘, kad σ(A) ⊂M(A), taigi M(A) = σ(A).

2. Tarkime, kad A yra aibes Ω poaibiu‘algebra. I

‘rodysime: jei A ∈M(A),

tai ir Ac = Ω\A ∈ M(A). Imkime tam reikalui aibiu‘klase

‘M = A : A ∈

∈ M(A), Ac ∈ M(A). Aisku, visos algebros A aibes priklauso klasei M,vadinasi,

(6) A ⊂M ⊂M(A).

Jei An (n = 1, 2, ...) yra didejanti klases M, taigi ir klases M(A), aibiu‘seka,

tai Acn (n = 1, 2, ...) yra mazejanti klases M(A) aibiu

‘seka ir

limn→∞

An =∞⋃

n=1

An ∈M(A),

( limn→∞

An)c =( ∞⋃

n=1

An

)c

=∞⋂

n=1

Acn = lim

n→∞Ac

n ∈M(A).

Analogiskai, jei Bn (n = 1, 2, ...) yra mazejanti klases M, taigi ir klasesM(A), aibiu

‘seka, tai Bc

n (n = 1, 2, ...) yra didejanti klases M(A) aibiu‘

seka ir

Aibiu‘matas 353

limn→∞

Bn =∞⋂

n=1

Bn ∈M(A),

( limn→∞

Bn)c =( ∞⋂

n=1

Bn

)c

=∞⋃

n=1

Bcn = lim

n→∞Bc

n ∈M(A).

Vadinasi, klases M monotonisku‘seku

‘ribos vel priklauso M. Todel M yra

monotonine klase. Is (6) ir M(A) minimalumo isplaukia, kad M = M(A).3. I

‘rodysime, kad klase M(A) yra uzdara dvieju

‘aibiu

‘kirtimosi atzvilgiu.

Jei A ∈ M(A), imkime aibiu‘

klase‘MA = B : B ∈ M(A), A ∩ B ∈

∈ M(A). Pirmiausia parodysime, kad MA yra monotonine klase. Imkimebet kuria

‘monotoniska

‘tos klases aibiu

‘seka

‘Bn (n = 1, 2, ...). Jos riba limBn

ir lim(A ∩ Bn) turi priklausyti M(A). Is lygybes A ∩ limBn = lim(A ∩ Bn)isplaukia, kad ir A ∩ limBn ∈MA. Vadinasi, MA yra monotonine klase.

Jei A ∈ A, tai A ⊂ MA ⊂ M(A). Todel, jei A ∈ A ir B ∈ M(A), taiA ∩B ∈M(A), taigi A ∈MB .

Is cia gauname: A ⊂ MB ⊂ M(A), kai B ∈ M(A). Todel, kai B ∈∈M(A), (is M(A) minimalumo) MB = M(A). Vadinasi, M(A) yra uzdaradvieju

‘aibiu

‘kirtimosi atzvilgiu. ut

2. AIBIU‘

MATAS

Elementariojoje geometrijoje i‘vedamos geometriniu

‘figuru

‘ilgio, ploto bei

turio sa‘vokos. Jos i

‘vedamos tik paprasciausiais atvejais. Sakysime, apibrezia-

ma tik tieses atkarpu‘, apskritimo bei jo daliu

‘ilgio sa

‘voka, daugiakampiu

‘, skri-

tulio bei jo daliu‘ir rutulio pavirsiaus bei jo daliu

‘ploto sa

‘voka, briaunainiu

‘,

rutulio bei jo daliu‘

turio sa‘voka. Kyla klausimas, ar negalima tas sa

‘vokas

praplesti ir daug bendresnems tasku‘

aibems. Tai nera lengvas klausimas.Imkime, pavyzdziui, aibe

‘, sudaryta

‘is visu

‘racionaliu

‘ju

‘intervalo (0, 1) tasku

‘.

Si aibe nera paprasta. Kiekviename kiek norint mazame to intervalo poin-tervalyje yra be galo daug racionaliu

‘ju

‘ir be galo daug iracionaliu

‘ju

‘tasku

‘.

Neaisku, kas laikytina tokios aibes ”ilgiu”.Kad butu

‘trumpiau, ilgi

‘, plota

‘, turi

‘susitarsime vadinti vienu zodziu –

matu.Figuros A matas yra skaicius µ(A), priskiriamas tai figurai ir turi

‘s sias

savybes:I. Jis yra neneigiamas: µ(A) ≥ 0.II. Jei figura

‘A suskaidysime i

‘keleta

‘figuru

‘A1, ..., An, kurios turi matus

ir yra disjunkcios (kas dvi neturi bendru‘tasku

‘), tai figuros A matas turi buti

lygus figuru‘A1, ..., An matu

‘sumai

µ(A) = µ(A1) + ...+ µ(An).


Si mato savybe paprastai vadinama jo adityvumu, tiksliau baigtiniu adi-tyvumu.

II′. Elementariojoje geometrijoje nagrinejamu‘paprastu

‘geometriniu

‘figu-

ru‘matas turi vadinama

‘ja

‘visiskojo, arba skaiciojo, ar dar kitaip, σ adityvumo

(sigma adityvumo) savybe‘: jei figura A yra suskaidoma i

‘begaline

‘figuru

‘seka

‘A1, A2, ... ir figuros yra disjunkcios bei turi matus, tai figuros A matas yralygus figuru

‘A1, A2, ... matu

‘sumai:

µ(A) = µ(A1) + µ(A2) + ...

III. Intervalo (a, b) ilgis lygus b−a, staciakampio su krastinemis c, d plotaslygus cd, staciojo gretasienio su krastinemis e, f, g turis lygus efg.

Persasi mintis, kad ir kitoms aibems mato sa‘voka

‘reikia i

‘vesti taip, kad

ji tenkintu‘

tas sa‘lygas. Deja, buvo i

‘rodyta, kad nera tokios aibes funkci-

jos, kuri bet kurio matavimo erdviu‘visoms tasku

‘aibems tenkintu

‘I, II′, III

sa‘lygas. Tieses ir plokstumos aibems galima rasti funkcija

‘, tenkinancia

‘I,

II, III sa‘lygas; ji nera vienareiksmiskai nusakyta. Trimateje erdveje ir tokia

funkcija neegzistuoja.Vadinasi, reikia ieskoti aibes funkcijos, kuri butu

‘nusakyta ne visoms,

o tik kai kuriu‘, gana placiu

‘, klasiu

‘aibems. Turint galvoje taikymus, tos

klases turetu‘buti uzdaros aibiu

‘paprasciausiu

‘veiksmu

‘atzvilgiu. Antra ver-

tus, daznai naudinga atsisakyti III reikalavimo. Sakysime, kai erdve yra ne-homogenine, figuros svoris (ji

‘galime laikyti matu) pastumus gali keistis. Pa-

galiau, mato sa‘voka

‘pravartu i

‘vesti ne tik tasku

‘, bet ir abstrakcioms aibems.

Mato teorijoje pravercia be galo dideli skaiciai. Todel prie realiu‘ju

‘skaiciu

‘tieses R prijunge

‘du simbolius +∞ = ∞ ir −∞, praplesime ja

‘iki isplestines

skaiciu‘

tieses R = [−∞,∞], kartu i‘vesdami sitokias papildomas nelygybes

bei veiksmu‘taisykles:

jei x ∈ R, tai −∞ ≤ x ≤ ∞;

+(+∞) = −(−∞) = ∞, +(−∞) = −(+∞) = −∞;

x+ (±∞) = ±∞+ x = x±∞, jei x ∈ R;

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞,

(+∞)− (−∞) = +∞, (−∞)− (+∞) = −∞;

x · (±∞) = (±∞) · x =

±∞, kai 0 < x ≤ ∞,0, kai x = 0,∓∞, kai −∞ ≤ x < 0;

±∞x

=±∞, kai 0 < x <∞,∓∞, kai −∞ < x < 0;x

±∞= 0, kai x ∈ R.

Reiskiniai

Aibiu‘matas 355

(+∞)−(+∞), (−∞)−(−∞), (+∞)+(−∞), (−∞)+(+∞),±∞±∞

,x

0(x ∈ R)

neturi prasmes.Dabar jau galime kalbeti ir apie intervalus [−∞, a), [−∞, a], (a,∞],

[a,∞], [−∞,∞] = R bei ju‘generuota

‘aibiu

‘σ algebra

‘B. Jos aibes vel vadin-

sime Borelio aibemis.Nagrinesime aibes funkcijas, t. y. funkcijas, apibreztas kurioje nors aibiu

‘sistemoje E . Aibes funkcija ϕ : E → R yra vadinama adityvia

‘ja, kai ji turi

savybe‘: jei A yra sistemos E aibe ir yra sa

‘junga baigtinio skaiciaus sistemos

E disjunkciu‘aibiu

‘A1, ..., An, tai

ϕ(A) =n∑

k=1

ϕ(Ak).

Panasiai apibreziamas ir aibes funkcijos visiskasis, skaitusis, arba dar kitaip– σ adityvumas. Jei

A = A1 ∪A2 ∪ ..., A ∈ E , Ak ∈ E (k = 1, 2, ...); Aj ∩Ak = ∅ (j 6= k),

tai turi buti

ϕ(A) =∞∑

k=1

ϕ(Ak).

Paprasta‘ji‘adityvuma

‘daznai vadina baigtiniu adityvumu.

Dabar jau galime apibrezti mato sa‘voka

‘.

Tarkime, kad A yra netuscios aibes Ω poaibiu‘algebra (kuri gali ir nebuti

σ algebra). Neneigiama funkcija µ (galinti i‘gyti ir reiksmes +∞), apibrezta

visoms algebros A aibems, vadinama matu, kai µ(∅) = 0 ir µ yra visiskaiadityvi. Kitais zodziais, matu vadiname aibes funkcija

‘µ : A → R, turincia

‘savybes:

I. µ yra neneigiama.II. µ(∅) = 0.III. Jei A1, A2, ... yra bet kuri disjunkciu

‘algebros A aibiu

‘seka ir

A =∞⋃

k=1

Ak ∈ A

(kai A yra σ algebra, pastarasis reikalavimas yra automatiskai tenkinamas),tai

µ(A) =∞∑

k=1

µ(Ak).

Reikalavimas µ(∅) = 0 i‘vedamas siekiant isvengti trivialaus atvejo,

kai funkcija µ(A) = ∞ visoje algebroje A. Ji‘

galima pakeisti ekvivalenciu


reikalavimu, kad egzistuotu‘bent viena aibe A0 ∈ A su sa

‘lyga µ(A0) < ∞.

Is tikru‘ju

‘, jei A0 ∈ A yra tokia aibe, tai is lygybes A0 = A0 ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ... ir

funkcijos µ visiskojo adityvumo gauname µ(A0) = µ(A0)+µ(∅)+µ(∅)+ ...,o is cia isplaukia, kad µ(∅) = 0.

Matas µ yra vadinamas baigtiniu, kai µ(Ω) < ∞, ir σ baigtiniu, kai aibe‘

Ω galima isreiksti skaicios sistemos aibiu‘Ck ∈ A sa

‘junga su sa

‘lyga µ(Ck) <

< ∞(k = 1, 2, ...). Siais atvejais reikalavimas µ(∅) = 0 isplaukia is adi-tyvumo. Jei µ(Ω) = 1, tai mata

‘vadiname tikimybiniu.

Daznai matas apibreziamas ir kitokioms aibiu‘klasems, kurios nera aibiu

‘algebros. Jo apibrezimas tada yra toks pat. Tiesa, kartais is mato reikalau-jama tik baigtinio adityvumo.

3. MATO SAVYBES

1–7 teoremose µ bus matas, apibreztas netuscios aibes Ω poaibiu‘

algeb-roje A.

1 teorema. Jei A1, ..., An yra algebros A disjunkcios aibes, tai

µ( n⋃

k=1

Ak

)=

n∑k=1

µ(Ak).

Si teorema parodo, kad matas yra ne tik visiskai adityvi aibes funkcija,bet turi ir baigtini

‘adityvuma

‘.

I‘r o d y m a s. Papildykime aibes A1, ..., An iki begalines sekos, imdami

An+1 = An+2 = ... = ∅. Gautoji seka bus sudaryta is disjunkciu‘aibiu

‘. Todel

pagal II ir III

µ( n⋃

k=1

Ak

)= µ

( ∞⋃k=1

Ak

)=

∞∑k=1

µ(Ak) =n∑

k=1

µ(Ak). ut

2 teorema. Jei A ∈ A ir B ∈ A, tai

µ(A) = µ(A ∩B) + µ(A\B).

P a s t a b a. Kai µ(A∩B) <∞, tai sia‘lygybe

‘galime perrasyti pavidalu

µ(A\B) = µ(A)− µ(A ∩B).I‘r o d y m a s. Lygybeje

A = (A ∩B) ∪ (A\B)

Mato savybes 357

aibes A ∩B ir A\B neturi bendru‘elementu

‘. Todel pagal 1 teorema

‘

µ(A) = µ(A ∩B) + µ(A\B). ut

1 isvada. Jei B ⊂ A, A ∈ A, B ∈ A, tai

µ(A) = µ(B) + µ(A\B);

atskiru atveju, kai µ(B) <∞,

µ(A\B) = µ(A)− µ(B).

2 isvada. Jei B ⊂ A ir A ∈ A, B ∈ A, tai

µ(B) ≤ µ(A).

3 teorema. Jei A1, A2, ... yra algebros A aibiu‘

seka

∞⋃k=1

Ak ∈ A,

tai

µ( ∞⋃

k=1

Ak

)≤

∞∑k=1

µ(Ak).

I‘

r o d y m a s. Pasistengsime visu‘aibiu

‘Ak sa

‘junga

‘isreiksti sa

‘junga

aibiu‘, kurios kas dvi neturi bendru

‘elementu

‘. Pazymekime

A∗1 = A1,

A∗2 = A2\A1,

A∗3 = A3\(A1 ∪A2),

A∗4 = A4\(A1 ∪A2 ∪A3),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aisku, kad aibes A∗k kas dvi neturi bendru‘elementu

‘ir

∞⋃k=1

Ak =∞⋃

k=1

A∗k.

Todel is III

µ( ∞⋃

k=1

Ak

)=

∞∑k=1

µ(A∗k).


Pagal 2 teoremos 2 isvada‘

µ(A∗k) ≤ µ(Ak).

Vadinasi,

µ( ∞⋃

k=1

Ak

)≤

∞∑k=1

µ(A∗k) ≤n∑

k=1

µ(Ak). ut

Isvada. Jei A1, ..., An yra algebros A aibes, tai

µ( n⋃

k=1

Ak

)≤

n∑k=1

µ(Ak).

I‘

r o d y m a s. Pazymeje‘An+1 = An+2 = ... = ∅, is 3 teoremos ir I

gauname

µ( n⋃

k=1

Ak

)= µ

( ∞⋃k=1

Ak

)≤

∞∑k=1

µ(Ak) =n∑

k=1

µ(Ak). ut

4 teorema. Jei A ∈ A, B ∈ A, tai

µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B).

I‘r o d y m a s. Teisingos lygybes

A ∪B = (A ∩B) ∪ (A\B) ∪ (B\A),

A = (A ∩B) ∪ (A\B),

B = (A ∩B) ∪ (B\A).

Kiekvienos lygybes desineje puseje jungiamos aibes neturi bendru‘elementu

‘.

Todel pagal 1 teorema‘

µ(A ∪B) = µ(A ∩B) + µ(A\B) + µ(B\A),

µA = µ(A ∩B) + µ(A\B),

µB = µ(A ∩B) + µ(B\A).

Sudeje‘dvi paskutines lygybes ir pasinaudoje

‘pirma

‘ja, gauname

µ(A) + µ(B) = µ(A ∩B) + µ(A ∩B) + µ(A\B) + µ(B\A) =

= µ(A ∩B) + µ(A ∪B). ut

Mato savybes 359

P a s t a b a. Kai µ(A ∩ B) < ∞, 4 teoremos lygybe‘galime parasyti

pavidaluµ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B).

5 teorema. Jei algebros A aibes Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskaididejancia

‘seka

‘: A1 ⊂ A2 ⊂ ... ir jos riba

A = limAn =∞⋃

k=1

Ak ∈ A,

taiµ(An) → µ(A),

kai n→∞.I‘r o d y m a s. Pazymeje

‘A0 = ∅, aibe

‘A isreiksime nepersidengianciu

‘aibiu

‘sa

‘junga

A =∞⋃

k=1

(Ak\Ak−1).

Pritaike‘III, gauname

µ(A) =∞∑

k=1

µ(Ak\Ak−1) = limn→∞

n∑k=1

µ(Ak\Ak−1).

Is 1 teoremos isplaukia

µ(A) = limn→∞

µ( n⋃

k=1

(Ak\Ak−1))

= limn→∞

µ(An). ut

6 teorema. Jei algebros A aibes Ak (k = 1, 2, ...) sudaro monotoniskaimazejancia

‘aibiu

‘seka

‘: A1 ⊃ A2 ⊃ ..., jos riba

A = limAn =∞⋂

k=1

Ak ∈ A

ir egzistuoja n0 su sa‘lyga µ(An0) <∞, tai

µ(An) → µ(A),

kai n→∞.I‘r o d y m a s. Ateme

‘is aibes An0 paeiliui duotosios sekos aibes, gauname

monotoniskai didejancia‘aibiu

‘seka

‘

An0\A1 ⊂ An0\A2 ⊂ ...


Kadangi∞⋃

k=1

(An0\Ak) = An0\∞⋃

k=1

Ak = An0\A,

tai is 5 teoremos isplaukia, kad

µ(An0\An) → µ(An0\A),

kai n→∞. Is 2 teoremos 1 isvados (kai n ≥ n0) gauname

µ(An0\An) = µ(An0)− µ(An), µ(An0\A) = µ(An0)− µ(A).

Vadinasi,µ(An) → µ(A),

kai n→∞. utBaigdami nagrineti bendra

‘sias mato savybes, pastebesime, kad mata

‘galejome ir kiek kitaip apibrezti.

7 teorema. Tarkime, kad aibes Ω poaibiu‘

algebroje A yra apibreztaneneigiama aibes funkcija µ(A):

µ : A → R,

turinti savybes: a) µ(∅) = 0; b) jei A1, ..., An yra disjunkcios algebros Aaibes, tai

µ( n⋃

k=1

Ak

)=

n∑k=1

µ(Ak)

(baigtinis adityvumas). Si funkcija yra matas algebroje A, jei yra tenkinamabent viena is sa

‘lygu

‘:

1 jei A1 ⊂ A2 ⊂ ... yra nemazejanti algebros A aibiu‘

seka ir jos riba

A =∞⋃

k=1

Ak

yra algebros A aibe, taiµ(An) → µ(A),

kai n→∞;2 jei µ(Ω) <∞ ir A1 ⊃ A2 ⊃ ... yra nedidejanti algebros A aibiu

‘seka,

kurios riba∞⋂

k=1

Ak = ∅,

tai teisingas teiginysµ(An) → 0,

Mato savybes 361

kai n→∞.I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad teisingas 1 teiginys. Reikia i

‘rodyti, kad

funkcija µ yra visiskai adityvi. Imkime bet kuria‘sistemos A disjunkciu

‘aibiu

‘seka

‘B1, B2, ... su sa

‘lyga

∞⋃k=1

Bk ∈ A.

Tada

µ( ∞⋃

k=1

Bk

)= lim

n→∞µ( n⋃

k=1

Bk

)= lim

n→∞

n∑k=1

µ(Bk) =∞∑

k=1

µ(Bk).

2. Tarkime, kad teisingas 2 teiginys. Vel reikes i‘rodyti, kad funkcija µ

yra visiskai adityvi. Imkime bet kuria‘sistemos A aibiu

‘seka

‘B1, B2, ..., kurios

kas dvi neturi bendru‘elementu

‘ir∞⋃

k=1

Bk ∈ A.

Pazymeje‘

Rn =∞⋃

k=n+1

Bk (n = 1, 2, ...),

gauname

(1) µ( ∞⋃

k=1

Bk

)= µ

(( n⋃k=1

Bk

)∪Rn

)=

n∑k=1

µ(Bk) + µ(Rn).

Kadangi aibes Rn sudaro nedidejancia‘seka

‘ir

∞⋂n=1

Rn = ∅,

tai is 2µ(Rn) → 0,

kai n→∞. Is (1) isplaukia, kad

µ( ∞⋃

k=1

Bk

)=

∞∑k=1

µ(Bk). ut

Kaip jau sakeme 1 skyrelyje, dvejetas Ω,A, sudarytas is netuscios aibesΩ ir jos poaibiu

‘σ algebros A, yra vadinamas macia

‘ja erdve.


Trejetas Ω,A, µ, sudarytas is netuscios aibes Ω, jos poaibiu‘σ algebros

A ir mato µ, apibrezto σ algebroje A, yra vadinamas erdve su matu.Tarp erdviu

‘su matu svarbu

‘vaidmeni

‘vaidina pilnosios erdves. Joms

apibrezti i‘vesime nulines aibes sa

‘voka

‘. Tarkime, kad Ω,A, µ yra erdve su

matu. Bet kuris aibes Ω poaibis O (jis gali ir nepriklausyti A) yra vadina-mas nuline aibe (mato µ atzvilgiu), jei egzistuoja jo virsaibis B is A, turi

‘s

nulini‘mata

‘µ(B) = 0. Erdve su matu Ω,A, µ yra vadinama pilna

‘ja, jei visi

nuliniai Ω poaibiai priklauso A.Nulines aibes poaibis yra taip pat nuline aibe. Baigtinio skaiciaus arba

begalines sekos nuliniu‘aibiu

‘sa

‘junga vel yra nuline aibe. Is tikru

‘ju

‘, jei Ok

yra nulines aibes, tai egzistuoja sistemos A aibes Bk, padengiancios Ok irturincios nulini

‘mata

‘; tada ⋃

k

Ok ⊂⋃k

Bk

irµ( ⋃

k

Bk

)≤

∑k

µ(Bk) = 0.

Bet kuria‘erdve

‘su matu galima praplesti, pridedant prie σ algebros A nauju

‘aibiu

‘ir papildomai apibreziant toms naujoms aibems mata

‘, kad jis virstu

‘pilna

‘ja erdve.

8 teorema. Tarkime, kad Ω,A, µ yra erdve su matu. Visu‘jos nuliniu

‘aibiu

‘sistema

‘pazymekime O, o sistema

‘aibiu

‘pavidalo A∪O su A ∈ A, O ∈

∈ O, pazymekime A. Tada sistema A sutampa su σ algebra, generuota siste-mos A ∪O. Apibrezkime σ algebroje A aibes funkcija

‘µ formule

(2) µ(A ∪O) = µ(A).

Funkcija µ yra matas σ algebroje A. Trejetas Ω, A, µ yra pilnoji erdve.(2) formule vienareiksmiskai nusako mata

‘µ, apibrezta

‘σ algebroje A, turinti

‘savybe

‘µ(A) = µ(A), kai A yra bet kuri A aibe.

I‘r o d y m a s. 1. Parodysime, kad A yra σ algebra. Is pradziu

‘i‘sitikinsime,

kad A yra uzdara aibiu‘sekos jungimo atzvilgiu. Jei Ak ∈ A, Ok ∈ O (k =

= 1, 2, ...), tai

∞⋃k=1

(Ak ∪Ok) = (∞⋃

k=1

Ak) ∪ (∞⋃

k=1

Ok) ∈ A,

nes∞⋃

k=1

Ok ∈ O

yra nuline aibe.

Mato savybes 363

Nesunku parodyti A uzdaruma‘ir papildymo atzvilgiu. Tarkime, kad A ∈

∈ A, O ∈ O. Egzistuoja B ∈ A, O ⊂ B, su sa‘lyga µ(B) = 0. Teisinga lygybe

A ∪O =[(A ∪O) ∪B

]∩

[(A ∪O) ∪Bc

]=

= (A ∪B) ∩[(A ∪O) ∪Bc

].

Is cia(A ∪O)c = (A ∪B)c ∪

[(A ∪O)c ∩B

].

Kadangi (A ∪ B)c ∈ A ir (A ∪ O)c ∩ B ⊂ B, tai (A ∪ O)c ∩ B ∈ O, taigi(A ∪O)c ∈ A.

Taigi parodeme, kad A yra σ algebra. Nesunku suvokti, kad ji yrageneruota A ir O. Is tikru

‘ju

‘kiekvienai tokiai σ algebrai turi priklausyti visos

aibes pavidalo A ∪O, A ∈ A, O ∈ O.2. A∪O pavidalo aibe

‘galima parasyti tuo pavidalu keliais budais. Paro-

dysime, kad µ reiksme nepriklauso nuo aibes israiskos. Tarkime, kad

A1 ∪O1 = A2 ∪O2, A1 ∈ A, A2 ∈ A, O1 ∈ O, O2 ∈ O,O1 ⊂ B1, B1 ∈ A, µ(B1) = 0,

O2 ⊂ B2, B2 ∈ A, µ(B2) = 0.

TurimeA1\A2 ⊂ (A1 ∩O1)\A2 = (A2 ∪O2)\A2 ⊂ O2 ⊂ B2.

Is ciaµ(A1\A2) ≤ µ(B2) = 0.

Vadinasi,

µ(A1) ≤ µ((A1\A2) ∪A2

)= µ(A1\A2) + µ(A2) = µ(A2).

Analogiskai i‘rodome, kad

µ(A2) ≤ µ(A1).

Taigiµ(A1) = µ(A2), µ(A1 ∪O1) = µ(A2 ∪O2).

3. Parodysime, kad µ yra matas. Pakanka i‘rodyti tik tos funkcijos visiska

‘ji‘

adityvuma‘. Tarkime, kad Ak ∪ Ok (k = 1, 2, ...) kas dvi neturi bendru

‘elementu

‘, Ak ∈ A, Ok ∈ O. Turime

µ( ∞⋃

k=1

(Ak ∪Ok))

= µ

(( ∞⋃k=1

Ak

)∪

( ∞⋃k=1

Ok

))=

= µ( ∞⋃

k=1

Ak

)=

∞∑k=1

µ(Ak) =∞∑

k=1

µ(Ak +Ok).


Mato vienatis yra triviali.4. Lieka i

‘rodyti, kad erdve Ω, A, µ yra pilna. Imkime bet kuria

‘aibe

‘A ∪O, A ∈ A, O ∈ O, su µ(A ∪O) = µ(A) = 0. Sakykime, C yra bet kuristos aibes poaibis. Egzistuoja B ∈ A su sa

‘lygomis O ⊂ B, µ(B) = 0. Todel

C ⊂ A ∪B. Kadangi

µ(A ∪B) ≤ µ(A) + µ(B) = 0,

tai C ∈ O; todel C ∈ A. ut

4. MATO PRATE‘SIMAS

Tarkime, kad turime netuscios aibes Ω poaibiu‘algebra

‘A ir joje apibrezta

‘mata

‘µ, t. y. neneigiama

‘aibes funkcija

‘µ : A → R, kuri yra visiskai adityvi,

ir µ(∅) = 0. Algebra‘A galime praplesti iki σ algebros σ(A). Kyla klausimas,

ar negalima ir aibes funkcija‘µ praplesti ir σ(A) aibems, kad ir naujojoje

apibrezimo srityje ji butu‘matas.

Imkime bet kuria‘aibe

‘A ⊂ Ω. Apibrezkime aibes funkcija

‘

µ∗(A) = inf ∞∑

k=1

µ(Ak), Ak ∈ A (k = 1, 2, ...),∞⋃

k=1

Ak ⊃ A

;

Kitais zodziais, tai funkcijai apibrezti reikia imti visus galimus aibes Adenginius algebros A aibiu

‘seku

‘sa

‘jungomis; po to reikia imti tu

‘seku

‘aibiu

‘matu

‘sumu

‘apatini

‘rezi

‘. Kadangi Ω ∈ A, tai toks denginys visada yra ga-

limas. Funkcija‘µ∗(A) pavadinsime aibes A isoriniu matu. Panagrinesime jo

savybes.

1 lema. Jei A ∈ A, tai µ∗(A) = µ(A).I‘r o d y m a s. Kadangi aibe

‘A galime uzdengti seka A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...,

tai is µ∗ apibrezimo isplaukia, kad µ∗(A) ≤ µ(A). Imkime bet kuri‘aibes A

dengini‘

A ⊂∞⋃

k=1

Ak.

Is 3.3 teoremos ir 3.2 teoremos 2 isvados gauname

µ(A) = µ( ∞⋃

k=1

(A ∩Ak))≤

∞∑k=1

µ(A ∩Ak) ≤∞∑

k=1

µ(Ak).

Imdami apatini‘rezi

‘pagal visus galimus denginius, gausime µ(A) ≤ µ∗(A).

Todel µ∗(A) = µ(A) visoms aibems A ∈ A. ut

Mato prate‘simas 365

Is cia, tarp kitko, isplaukia µ∗(∅) = 0.

2 lema. Jei A ⊂ B ⊂ Ω, tai

µ∗(A) ≤ µ∗(B).

I‘r o d y m a s. Kiekvienas aibes B denginys yra ir aibes A denginys. ut

3 lema. Jei Ak (k = 1, 2, ...) yra algebros A aibiu‘

seka, tai

µ∗( ∞⋃

k=1

Ak

)≤

∞∑k=1

µ(Ak).

I‘r o d y m a s. Imkime bet kuria

‘aibe

‘Ak ir bet kuri

‘ε > 0. Is isorinio

mato apibrezimo isplaukia, jog galime rasti toki‘

aibes Ak dengini‘

aibemisAkj , kad butu

‘ ∞∑j=1

µ(Akj) ≤ µ∗(Ak) +ε

2k.

Kadangi∞⋃

k=1

Ak ⊂∞⋃

k,j=1

Akj ,

tai

µ∗( ∞⋃

k=1

Ak

)≤

∞∑k,j=1

µ(Akj) ≤∞∑

k=1

µ∗(Ak) + ε.

Taciau ε yra bet koks. Todel

µ∗( ∞⋃

k=1

Ak

)≤

∞∑k=1

µ∗(Ak). ut

Aibes Ω poaibi‘A vadinsime µ∗ maciu, jei

µ∗(E) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E),

koks bebutu‘aibes Ω poaibis E. Si nelygybe visada teisinga, kai µ∗(E) = ∞.

Todel pakanka ja‘

patikrinti tik aibems E su µ∗(E) < ∞. Kadangi E == (A ∩ E) ∪ (Ac ∩ E), tai is 3 lemos gauname

µ∗(E) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).

Vadinasi, aibe A yra µ∗ mati tada ir tik tada, kai


µ∗(E) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E),

koks bebutu‘aibes Ω poaibis E.

Visu‘µ∗ maciu

‘aibiu

‘sistema

‘zymesime A∗.

4 lema. Sistema A∗ yra algebra.I‘r o d y m a s. Tiesiog is apibrezimo isplaukia, kad Ω ∈ A∗. Jei A ∈ A∗,

tai ir Ac ∈ A∗, nes µ∗ matumas yra simetriskas A ir Ac atzvilgiu.I‘rodysime, kad A∗ yra uzdara aibiu

‘jungimo atzvilgiu. Imkime dvi aibes

A ir B is A∗. Kadangi

A ∪B =(A ∩ (B ∪Bc)

)∪

(B ∩ (A ∪Ac)

)= (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B),

tai

µ∗((A ∪B) ∩ E

)≤ µ∗(A ∩B ∩ E) + µ∗(A ∩Bc ∩ E) + µ∗(Ac ∩B ∩ E).

Prideje‘prie abieju

‘nelygybes pusiu

‘po µ∗(Ac ∩ Bc ∩ E) ir atkreipe

‘demesi

‘i‘

tai, kad (Ac ∩Bc)c = A ∪B, is aibiu‘A ir B µ∗ matumo gauname

µ∗((A ∪B) ∩ E

)+ µ∗

((A ∪B)c ∪ E

)≤ µ∗(A ∩B ∩ E)+

+ µ∗(A ∩Bc ∩ E) + µ∗(Ac ∩B ∩ E) + µ∗(Ac ∩Bc ∩ E) =

= µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E) = µ∗(E).

Taigi A ∪B yra µ∗ mati. ut

5 lema. Aibes funkcija µ∗ yra baigiai adityvi algebroje A∗.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad A ∈ A∗ ir B ∈ A∗ viena kitos nedengia.

Pagal µ∗ apibrezima‘

µ∗(A ∪B) = µ∗((A ∪B) ∩A

)+ µ∗

((A ∪B) ∩Ac

)= µ∗(A) + µ∗(B). ut

6 lema. Algebra A∗ yra σ algebra, o µ∗ yra visiskai adityvi.I‘r o d y m a s. Reikia parodyti, kad bet kurios aibiu

‘Ak ∈ A∗ (k = 1, 2, ...)

sekos sa‘junga A priklauso sistemai A∗. Tarkime, kad tos aibes kas dvi neturi

bendru‘elementu

‘. Kadangi

Bn =n⋃

k=1

Ak ∈ A∗,

tai

µ∗(E) = µ∗(Bn ∩ E) + µ∗(Bcn ∩ E) ≥

n∑k=1

µ∗(Ak ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).

Mato prate‘simas 367

Is cia, kai n→∞, gauname

µ∗(E) ≥∞∑

k=1

µ∗(Ak ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).

Vadinasi, A ∈ A∗. Paskutineje nelygybeje aibe‘E pakeite

‘aibe A, gauname

µ∗(A) ≥∞∑

k=1

µ∗(Ak) ≥ µ∗(A).

Todel

µ∗(A) =∞∑

k=1

µ∗(Ak).

Kartu i‘rodeme, kad funkcija µ∗ yra visiskai adityvi.

Jei aibes Ak yra bet kokios, tai sa‘junga

‘A galime isreiksti µ∗ maciomis

disjunkciomis aibemis

A = A1 ∪ (A2\A1) ∪ [A3\(A1 ∪A2)] ∪ [A4\(A1 ∪A2 ∪A3)] ∪ ... ut

7 lema. σ(A) ⊂ A∗.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad A ∈ A. Imkime bet kuria

‘aibe

‘E ⊂ Ω ir

bet kuri‘ε > 0. Galima rasti toki

‘E dengini

‘aibemis Ak ∈ A (k = 1, 2, ...),

kad butu‘ ∞∑

k=1

µ(Ak) < µ∗(E) + ε.

Kadangi µ(Ak) = µ(A ∩Ak) + µ(Ac ∩Ak), tai

µ∗(E) + ε >∞∑

k=1

µ(A ∩Ak) +∞∑

k=1

µ(Ac ∩Ak) ≥

≥ µ( ∞⋃

k=1

(A ∩Ak))

+( ∞⋃

k=1

(Ac ∩Ak))≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E).

Taciau ε yra bet koks. Todel µ∗(E) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(Ac ∩ E). Vadinasi, Ayra µ∗ mati. Taigi A ⊂ A∗. Kadangi σ(A) yra maziausia σ algebra, kuriaipriklauso A, tai ji turi tilpti σ algebroje A∗. ut

Is 1, 6 ir 7 lemu‘matome, kad µ∗ yra mato µ te

‘sinys. Ar jis vienintelis?

8 lema. µ te‘sinys yra vienintelis.

I‘r o d y m a s. Is pradziu

‘i‘rodysime mato te

‘sinio vienati

‘, kai funkcija µ

yra baigtine. Tarkime, kad µ1 ir µ2 yra du µ te‘siniai. Pazymekime K sistema

‘aibiu

‘, kurioms µ1 ir µ2 sutampa. Nagrinesime K savybes.


Aisku, A ⊂ K. I‘rodysime, kad K yra monotonine aibiu

‘klase. Tarkime,

kad An (n = 1, 2, ...) yra monotoniska aibiu‘

is K seka. Parodysime, kadtos sekos riba A priklauso K. Kaip ir 3.5 ir 3.6 teoremu

‘i‘rodymuose (matas

µ yra baigtinis!), gauname, kad µ1(An) → µ1(A), µ2(An) → µ2(A), kain → ∞. Kadangi aibes An priklauso K, tai µ1(An) = µ2(An). Vadinasi,µ1(A) = µ2(A), taigi A ∈ A. Pagal 1.6 teorema

‘klasei K priklauso σ(A).

Taigi matai µ1 ir µ2 sutampa σ algebroje σ(A).Dabar tarkime, kad µ yra σ baigtinis algebroje A, t. y. egzistuoja skaiti

sistema disjunkciu‘aibiu

‘Ck ∈ A (k = 1, 2, ...), kuriu

‘

∞⋃k=1

Ck = Ω

ir kurioms µ(Ck) <∞ (k = 1, 2, ...). Imkime aibes Ck poaibiu‘algebra

‘Ak =

= A ∩ Ck : A ∈ A ir σ algebra‘σ(Ak), kuri, aisku, bus sudaryta is aibiu

‘A ∩ Ak, A ∈ σ(A). Jei µ1 ir µ2 yra du µ te

‘siniai iki mato σ algebroje

σ(A), tai is pirmojoje dalyje i‘rodyto teiginio isplaukia, kad bet kokiam k jie

sutampa visoms σ(Ak) aibems. Vadinasi, jie sutampa ir visoms σ(A) aibems,nes kiekvienai A ∈ σ(A)

µ1(A) = µ1

( ⋃k

(A ∩Ak))

=∑

k

µ1(A ∩Ak) =

=∑

k

µ2(A ∩Ak) = µ2

( ⋃k

(A ∩Ak))

= µ2(A). ut

I‘rodeme labai naudinga

‘teorema

‘apie mato prate

‘sima

‘.

Teorema (Karateodorio). Tarkime, kad netuscios aibes Ω poaibiu‘

al-gebroje A apibreztas matas µ. Tada galime rasti mata

‘ν, nusakyta

‘algebros A

generuotoje σ algebroje σ(A) ir tenkinanti‘

sa‘lyga

‘ν(A) = µ(A), kai A ∈ A.

Jei matas µ yra σ baigtinis, tai ir matas ν taip pat σ baigtinis ir vienintelis.Jei matas µ yra baigtinis, tai ir matas ν taip pat baigtinis.

5. PUSALGEBRIAI

Mato teorijoje pravercia dar viena aibiu‘sistema.

Aibes Ω poaibiu‘

sistema C yra vadinama pusalgebriu, jei ji tenkinasa

‘lygas:

I. ∅ ∈ C.II. Ω ∈ C.III. Jei A1, A2 ∈ C, tai ir A1 ∩A2 ∈ C.

Pusalgebriai 369

IV. Jei A ∈ C, tai papildini‘Ac galima isreiksti baigtine sistemos C dis-

junkciu‘aibiu

‘sa

‘junga.

1 p a v y z d y s. Kiekviena algebra yra pusalgebris.

2 p a v y z d y s. Tarkime, kad Ω = R, o D yra sudaryta is ∅, R ir visu‘

(−∞, a), [a,∞) ir [a, b) intervalu‘; cia a, b ∈ R. Nesunku patikrinti, kad D yra

pusalgebris.

Pusalgebris C generuoja algebra‘a(C). Kokia jos sandara?

1 teorema. Sistema visu‘

baigtiniu‘

sa‘jungu

‘, sudarytu

‘is pusalgebrio C

disjunkciu‘

aibiu‘, sutampa su a(C).

I‘r o d y m a s. Pazymekime A aibe

‘visu

‘baigtiniu

‘sa

‘jungu

‘, sudarytu

‘is

pusalgebrio C disjunkciu‘aibiu

‘. Parodysime, kad A yra algebra.

Pirmiausia aisku, kad ∅ ir Ω priklauso A. Toliau, jei

m⋃j=1

Aj ,n⋃

k=1

Bk

yra disjunkciu‘sistemos C aibiu

‘baigtines sa

‘jungos, tai( m⋃

j=1

Aj

)∩

( n⋃k=1

Bk

)=

m⋃j=1

n⋃k=1

(Aj ∩Bk)

taip pat priklauso A.I‘rodysime, kad A yra uzdara papildymo atzvilgiu. Vel imkime baigtine

‘disjunkciu

‘C aibiu

‘sa

‘junga

‘

⋃nk=1Ak. Gauname lygybe

‘( n⋃k=1

Ak

)c

=n⋂

k=1

Ack.

Taciau aibes Ack galime isreiksti baigtinemis disjunkciu

‘aibiu

‘is C sa

‘jungomis.

Todel⋂n

k=1Ack yra taip pat disjunkciu

‘aibiu

‘sa

‘junga, vadinasi, priklauso A.

Lieka i‘rodyti, kad A yra maziausia algebra, kuriai priklauso C. Taciau

ji tokia ir yra, nes jai turi priklausyti visos baigtines disjunkciu‘

aibiu‘

is Csa

‘jungos. ut

2 teorema. Tarkime, kad pusalgebryje C yra apibrezta baigiai adityvi,neneigiama funkcija µ : C → R, tenkinanti sa

‘lyga

‘µ(∅) = 0. Algebroje A =

= a(C) apibrezkime funkcija‘µ′ : A → R tokiu budu. Jei A yra pusalgebrio C

disjunkciu‘

aibiu‘

baigtine sa‘junga

A =n⋃

k=1

Ak,


tai

µ′(A) =n∑

k=1

µ(Ak).

Tada µ′ yra neneigiama, baigiai adityvi ir vienareiksmiskai nusakyta aibesfunkcija, apibrezta algebroje A. Jei µ yra visiskai adityvi, tai µ′ yra matas.Pastaruoju atveju µ′ galima praplesti iki mato, apibrezto pusalgebrio C gene-ruotoje σ algebroje σ(C). Jei µ yra σ baigtine, tai matas µ′ yra vienintelis.

P a s t a b a. σ(C) = σ(A).I‘r o d y m a s. Parodysime, kad µ′(A) reiksme priklauso tik nuo aibes

A ir nepriklauso nuo jos israiskos pusalgebrio C disjunkciu‘

aibiu‘

sa‘junga.

Tarkime, kad

A =n⋃

k=1

Ak =m⋃

j=1

Bj ; Ak ∈ C (k = 1, ..., n), Bj ∈ C (j = 1, ...,m)

yra dvi tokios israiskos. I‘rodysime, kad

n∑k=1

µ(Ak) =m∑

j=1

µ(Bj).

Teisingos lygybes

Ak = Ak ∩( m⋃

j=1

Bj

)=

m⋃j=1

(Ak ∩Bj),

Bj = Bj ∩( n⋃

k=1

Ak

)=

n⋃k=1

(Bj ∩Ak).

Is funkcijos µ adityvumo pusalgebryje C gaunamen∑

k=1

µ(Ak) =n∑

k=1

µ( m⋃

j=1

(Ak ∩Bj))

=n∑

k=1

m∑j=1

µ(Ak ∩Bj) =

=m∑

j=1

( n∑k=1

µ(Ak ∩Bj))

=m∑

j=1

µ( n⋃

k=1

(Ak ∩Bj))

=m∑

j=1

µ(Bj).

Funkcijos µ′ adityvuma‘(arba σ adityvuma

‘) i

‘rodome analogiskai. Tam vel

reikes panaudoti funkcijos µ adityvuma‘(arba σ adityvuma

‘). Tarkime, kad L

yra baigtine (arba skaiti antruoju atveju) naturaliu‘ju

‘skaiciu

‘aibe. Tarkime,

toliau, kadA =

⋃j∈L

Aj , A ∈ A, Aj ∈ A (j ∈ L)

Lebego–Styltjeso matas 371

ir aibes Aj yra disjunkcios. Isreiksime aibes A ir Aj pusalgebrio C disjunkciu‘

aibiu‘baigtinemis sa

‘jungomis

A =r⋃

l=1

Al, Al ∈ C (l = 1, ..., r),

Aj =rj⋃

k=1

Ajk, A

jk ∈ C (j = 1, ..., rj).

Pasinaudosime lygybemis

Al = A ∩Al =( ⋃

j∈L

Aj)∩Al =

( ⋃j∈L

rj⋃k=1

Ajk

)∩Al =

⋃j∈L

rj⋃k=1

(Ajk ∩Al),

Ajk = A ∩Aj

k =( r⋃

l=1

Al

)∩Aj

k =r⋃

l=1

(Al ∩Ajk).

Is funkcijos µ adityvumo (σ adityvumo) pusalgebryje C gauname

µ′(A) =r∑

l=1

µ(Al) =r∑

l=1

∑j∈L

rj∑k=1

µ(Al ∩Ajk) =

=∑j∈L

rj∑k=1

r∑l=1

µ(Al ∩Ajk) =

∑j∈L

rj∑k=1

µ(Ajk) =

∑j∈L

µ′(Aj).

Prate‘simo vienatis yra akivaizdi. Paskutinis teoremos teiginys isplaukia

is toremos apie mato prate‘sima

‘. ut

6. LEBEGO–STYLTJESO MATAS

Tirsime dabar 5 skyrelio pradzioje nusakyta‘pusalgebri

‘D.

Imkime baigtine‘realia

‘ja

‘nemazejancia

‘ir tolydzia

‘is kaires funkcija

‘F (x),

apibrezta‘tieseje R. Si funkcija turi ribas

F (−∞) = limx→−∞

F (x), F (∞) = limx→∞

F (x).

Apibresime pusalgebryje D aibes funkcija‘µ = µF lygybemis

µ([a, b)

)= F (b)− F (a), −∞ < a < b <∞,

µ((−∞, b)

)= F (b)− F (−∞), −∞ < b <∞,

µ([a,∞)

)= F (∞)− F (a), −∞ < a <∞,

µ(R) = µ((−∞,∞)

)= F (∞)− F (−∞).


1 lema. Jei intervalai I ir Ik (k = 1, 2, ..., n) priklauso D ir yra baigtiniai,be to, Ik yra disjunktus ir

n⋃k=1

Ik ⊂ I,

tain∑

k=1

µ(Ik) ≤ µ(I).

I‘

r o d y m a s. Tarkime, kad I = [a, b), Ik = [ak, bk). Sakykime, jogintervalai Ik sunumeruoti taip, kad

a ≤ a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ bn ≤ b.

Tadan∑

k=1

µ(Ik) =n∑

k=1

[F (bk)− F (ak)

]≤

≤n∑

k=1

[F (bk)− F (ak)

]+

n−1∑k=1

[F (ak+1)− F (bk)

]=

= F (bn)− F (a1) ≤ F (b)− F (a) = µ(I). ut

2 lema. Tarkime, kad uzdaras intervalas [a, b] yra padengtas atviru‘

intervalu‘

sistemos Jk = (ak, bk) (k = 1, ..., n); tada

F (b)− F (a) ≤n∑

k=1

[F (bk)− F (ak)

].

I‘r o d y m a s. Is intervalu

‘Jk parinksime dali

‘ju

‘tokiu budu. Imkime

k1 su sa‘lyga, kad a ∈ Jk1 . Jei b ∈ Jk1 , tai parinkimo procesas baigtas. Jei

b 6∈ Jk1 , tai ji‘te

‘siame toliau. Rasime k2 su sa

‘lyga bk1 ∈ Jk2 ir t. t. Si

‘procesa

‘te

‘sime tol, kol rasime kuri

‘nors m su sa

‘lyga b ∈ Jkm

. Turesime

[a, b] ⊂m⋃

j=1

Jkj

irak1 <a < bk1 ,

akj+1 <bkj< bkj+1 , (j = 1, ...,m− 1),

akm<b < bkm

.

Gausime


F (b)− F (a) ≤ F (bkm)− F (ak1) =

= F (bk1)− F (ak1) +m−1∑j=1

[F (bkj+1)− F (bkj

)]≤

≤ F (bk1)− F (ak1) +m−1∑j=1

[F (bkj+1)− F (akj+1)

]=

=m∑

j=1

[F (bkj

)− F (akj)]≤

≤n∑

k=1

[F (bk)− F (ak)

]. ut

Teorema. Funkcija µF = µ yra visiskai adityvi pusalgebryje D.I‘r o d y m a s. Tarkime, kad

I =∞⋃

k=1

Ik

ir intervalai Ik kas du neturi bendru‘tasku

‘. I

‘rodysime, kad

(1) µ(I) =∞∑

k=1

µ(Ik).

1. Tarkime, kad I = [a, b), Ik = [ak, bk), a ir b – baigtiniai skaiciai. Is 1lemos kiekvienam naturaliajam n gauname

n∑k=1

µ(Ik) ≤ µ(I).

Pereje‘prie ribos, kai n→∞, gauname

(2)∞∑

k=1

µ(Ik) ≤ µ(I).

Pasistengsime i‘rodyti, kad teisinga nelygybe su priesingu zenklu. Imkime ε

su sa‘lyga 0 < ε < b− a. Pazymekime Iε = [a, b− ε]. Funkcija F yra tolydi is

kaires. Todel, paeme‘bet kuri

‘k, galime rasti toki

‘δk > 0, kad

µ([ak − δk, ak)

)= F (ak)− F (ak − δk) <

ε

2k.

Pazymekime Iεk = (ak − δk, bk). Aisku, kad


Iε ⊂∞⋃

k=1

Iεk.

Is Heines1–Borelio teoremos isplaukia, kad egzistuoja baigtinis rinkinys in-tervalu

‘Iεk1, ..., Iε

kn, kuriu

‘sa

‘junga padengia Iε:

Iε ⊂n⋃

j=1

Iεkj.

Pasinaudosime 2 lema. Gausime

F (b− ε)− F (a) ≤n∑

j=1

[F (bkj

)− F (akj− δkj

)].

Is cia

F (b− ε)− F (a) ≤n∑

j=1

[F (bkj

)− F (akj) +

ε

2kj

]≤

≤∞∑

k=1

[F (bk)− F (ak)

]+ ε =

∞∑k=1

µ(Ik) + ε.

Pereje‘prie ribos, kai ε→ 0, gauname

µ(I) ≤∞∑

k=1

µ(Ik).

Is cia ir is (2) isplaukia (1) formule.2. Lieka parodyti, kad (1) formule teisinga, kai intervalai gali buti ir be-

galiniai. Is µ apibrezimo

µ(I) = limn→∞

µ(I ∩ [−n, n)

).

Todel

µ(I) = limn→∞

(( ∞⋃k=1

Ik)∩ [−n, n)

)=

= limn→∞

µ( ∞⋃

k=1

(Ik ∩ [−n, n)

))=

= limn→∞

∞∑k=1

µ(Ik ∩ [−n, n)

).

1 Heinrich Eduard Heine (1821–1881) – vokieciu‘matematikas.


Paskutiniame reiskinyje galime sukeisti sumavimo ir perejimo prie ribos ope-racijas. Todel is µ apibrezimo gauname

µ(I) =∞∑

k=1

limn→∞

µ(Ik ∩ [−n, n)

)=

∞∑k=1

µ(Ik). ut

Is 5.2 ir sio skyrelio teoremu‘isplaukia, kad funkcija

‘µF , apibrezta

‘pusal-

gebryje D, galime vienareiksmiskai prate‘sti iki mato, nusakyto visoms tieses

tasku‘Borelio aibems. Si

‘mata

‘vel zymesime µF ir vadinsime Styltjeso matu.

Specialiu atveju, kai F (x) ≡ x, mata‘vadinsime Borelio matu. Turime erdve

‘su matu R,B, µF . Remdamiesi 3.8 teorema, sia

‘erdve

‘galime praplesti iki

pilnosios erdves R,B∗, µF . Gauta‘ji‘mata

‘vadinsime Lebego–Styltjeso matu.

Kai F (x) ≡ x, mata‘µF vadinsime Lebego matu, o algebros B∗ aibes –

maciosiomis Lebego prasme aibemis.Funkcija

‘F , kurios pagalba apibrezeme mata

‘µF , galime pavadinti gene-

ruojancia‘ja. Kyla klausimas, ar kiekviena

‘mata

‘, apibrezta

‘macioje erdveje

R,B ir baigtiniuose intervaluose i‘gyjanti

‘baigtines reiksmes, atitinka kuri

nors generuojanti funkcija?Lengvai gauname, kad tokiu

‘funkciju

‘yra be galo daug, taciau jos skiriasi

tik konstanta. Fiksuokime kuri‘nors taska

‘a0 ir apibrezkime funkcija

‘

F (x) =µ([a0, x)

), kai x > a0,

−µ([x, a0)

), kai x ≤ a0.

Is mato monotoniskumo isplaukia funkcijos F monotoniskumas. Tolydumasis kaires isplaukia is mato tolydumo: jei x > a0 ir xn x, tai

∞⋃n=1

[a0, xn) = [a0, x)

irF (xn) = µ

([a0, xn)

)→ µ

([a0, x)

)= F (x);

jei x ≤ a0 ir xn x, tai∞⋂

n=1

[x, a0)

irF (xn) = −µ

([xn, a0)

)→ −µ

([x, a0)

)= F (x).

Parodysime, kad F generuoja mata‘µ. Turime

µ([a, b)

)=

µ([a0, b)

)− µ

([a0, a)

)= F (b)− F (a), kai a0 < a,

µ([a, a0)

)+ µ

([a0, b)

)= F (b)− F (a), kai a ≤ a0 < b,

µ([a, a0)

)− µ

([b, a0)

)= F (b)− F (a), kai b < a0.


Tarkime, kad dvi funkcijos F1 ir F2 generuoja ta‘pati

‘mata

‘µ. Fiksuokime

taska‘a0. Tada

F1(x)− F1(a0) = F2(x)− F2(a0) =µ([a0, x)

), kai x > a0,

−µ([x, a0)

), kai x ≤ a0.

TodelF1(x)− F2(x) = F1(a0)− F2(a0) = const.

Vadinasi, bet kurios dvi funkcijos, generuojancios ta‘pati

‘mata

‘, skiriasi tik

konstanta.Trumpai nurodysime buda

‘, kaip isdestyta

‘teorija

‘apibendrinti daugiama-

ciam atvejui. Imkime intervalus erdveje Rs

I = I1 × ...× Is;

cia Ik (k = 1, ..., s) yra intervalai [a, b), (−∞, b), [a,∞), (−∞,∞); a, b ∈ R.Visi tokie intervalai sudaro pusalgebri

‘.

Tarkime, kad funkcija F (x1, ..., xs) yra apibrezta ir baigtine erdveje Rs

bei tolydi is kaires kiekvieno argumento atzvilgiu. Pareikalausime, kad tafunkcija tenkintu

‘dar viena

‘sa

‘lyga

‘. Jai nusakyti i

‘vesime dar viena

‘pazymejima

‘.

Tarkime, kad I = [a1, b1) × ... × [as, bs) yra baigtinis intervalas erdveje Rs.Imkime kartotini

‘skirtuma

‘

∆IF = F (b1, b2, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs)− F (b1, a2, b3, ..., bs)− ...−− F (b1, ..., bs−1, bs) + F (a1, a2, b3, ..., bs)+

+ F (a1, b2, a3, b4, ..., bs) + ...+ F (b1, ..., bs−2, bs−1, as) + ...+

+ (−1)sF (a1, a2, ..., as),

arba trumpiau –

∆IF =∑

ν1,...,νs

(−1)ν1+···+νsF (ν1a1 + (1− ν1)b1, ..., νsas + (1− νs)bs);

cia ν1, ..., νs nepriklausomai vienas nuo kito i‘gyja reiksmes 0 ir 1. Pareikalau-

sime, kad musu‘funkcija tenkintu

‘sa

‘lyga

‘

∆IF ≥ 0,

koks bebutu‘

intervalas I. Is sios sa‘lygos isplaukia, kad funkcija F yra

nemazejanti kiekvieno argumento atzvilgiu. Parodysime tai pirmajam ar-gumentui. Leiskime skaiciams ak (k = 2, ..., s) konverguoti i

‘bk is kaires.

GausimeF (b1, ..., bs)− F (a1, ..., bs)− F (a1, b2, ..., bs) ≥ 0.

Pasinaudoje‘schema, kuria

‘isdesteme vienamaciu atveju, galime sukonstruoti

erdve‘

su matu Rs,Bs, µF . Cia µF bus vel vadinamas Styltjeso matu.

Maciosios funkcijos 377

Papilde‘sia

‘erdve

‘iki pilnosios, gausime Lebego–Styltjeso mata

‘. Kai F (x1, ...,

xs) ≡ x1...xs, – gausime atitinkamai Borelio bei Lebego matus.

7. MACIOSIOS FUNKCIJOS

Klasikineje analizeje pagrindini‘

vaidmeni‘

vaidina tolydziosios funkcijos. Ju‘

klase yra uzdara paprasciausiu‘aritmetiniu

‘operaciju

‘atzvilgiu: dvieju

‘tolydziu

‘funkciju

‘suma, skirtumas, sandauga ir dalmuo (jei jis turi prasme

‘) yra

tolydziosios funkcijos. Taciau taip nera, kai nagrinejame pagrindine‘

mate-matines analizes operacija

‘– perejima

‘prie ribos. Ne visada tolydziu

‘funkciju

‘sekos riba, jei ji egzistuoja, yra tolydi funkcija. Del sios priezasties turimedaug nepatogumu

‘. Teko tolydziu

‘ju

‘funkciju

‘klase

‘praplesti, i

‘vedant vadina-

ma‘sias macia

‘sias funkcijas.

Tarkime, turime macia‘ja

‘erdve

‘Ω,A. Funkcija f : Ω → R vadinama A

macia‘ja, jei pirmavaizdis

f−1(B) = ω : f(ω) ∈ B ∈ A

(yra A macioji aibe), kai B yra bet kuri Borelio aibe is B. Kai σ algebra Ayra fiksuota ir nera kitu

‘, sakome tiesiog macioji funkcija.

Kai Ω = B, o A = B yra isplestine realiu‘ju

‘skaiciu

‘visu

‘Borelio aibiu

‘sistema, tai B macioji funkcija f : B → R yra vadinama Borelio funkcija.

Maciosios funkcijos sa‘voka

‘galima apibendrinti – kalbeti apie maciuosius

atvaizdzius. Tarkime, turime dvi macia‘sias erdves Ω,A ir Γ,H. Sakome,

kad atvaizdis f : Ω → Γ yra (A,H) matusis, jei kiekvienai aibei E ∈ Hpirmavaizdis f−1(E) ∈ A.

Priminsime, kad pirmavaizdzio sudarymo operacija turi savybes:

f−1(∅) = ∅,

f−1( ⋃

λ

Bλ

)=

⋃λ

f−1(Bλ),

f−1( ⋂

λ

Bλ

)=

⋂λ

f−1(Bλ),

f−1(Bc) =(f−1(B)

)c;

cia B – bet kuri aibe, Bλ – bet kuri aibiu‘sistema.

Jei norime patikrinti, ar funkcija f : Ω → R yra mati, turime pagalapibrezima

‘patikrinti, ar visu

‘Borelio aibiu

‘B pirmavaizdziai f−1(B) ∈ A.

Tokio patikrinimo nereikia, kai sistema A sudaryta is visu‘aibes Ω poaibiu

‘:

A = P(Ω). Ir kitais atvejais tikrinima‘galime ”racionalizuoti”: pakanka imti

tik aibes, kuriu‘generuota σ algebra sutampa su visu

‘Borelio aibiu

‘sistema.


1 teorema. Tarkime, kad C yra kuri nors tieses tasku‘

aibiu‘

sistema,kurios generuota σ algebra yra sudaryta is visu

‘Borelio aibiu

‘: σ(C) = B.

Funkcija f : Ω → R yra mati tada ir tik tada, kai pirmavaizdis f−1(C) ∈ A,kokia bebutu

‘aibe C ∈ C.

I‘r o d y m a s. Butinumas yra trivialus.

I‘rodysime pakankamuma

‘. Tarkime, kad D yra sistema tu

‘Borelio aibiu

‘D, kuriu

‘pirmavaizdziai f−1(D) ∈ A. Is pirmavaizdzio sudarymo operacijos

savybiu‘

isplaukia, kad D yra σ algebra. Taciau Borelio aibiu‘

sistema yramaziausia σ algebra, kuriai priklauso sistema C. Vadinasi, B ⊂ D. Todel Dturi sutapti su B.ut

Isvada. Funkcija f : Ω → R yra mati tada ir tik tada, kai ω : f(ω) << x ∈ A, koks bebutu

‘x ∈ R.

I‘

r o d y m a s. Intervalu‘sistema [−∞, x), x ∈ R, generuoja Borelio

aibiu‘σ algebra

‘B.ut

Isskirsime paprasciausiu‘maciu

‘ju

‘funkciju

‘klase

‘. Tai – paprastosios funkci-

jos. Paprasta‘ja funkcija vadinsime macia

‘ja

‘funkcija

‘, i

‘gyjancia

‘tik baigtini

‘skaiciu

‘reiksmiu

‘, kurios yra taip pat baigtines.

Tarkime, kad paprastoji funkcija ϕ i‘gyja reiksmes y1, ..., yr ir visos yra

skirtingos. Pazymekime

Ak = ϕ−1(yk) = ω : ϕ(ω) = yk.

Sios aibes turi buti macios (vieno tasko aibes yra Borelio aibes).Atvirksciai, jei funkcija ϕ i

‘gyja baigtini

‘skaiciu

‘baigtiniu

‘reiksmiu

‘y1, ..., yr

ir jos yra skirtingos, o aibes Ak = ϕ−1(yk) yra macios, tai funkcija ϕ yra mati,t. y. paprastoji. Is tikru

‘ju

‘kokia bebutu

‘Borelio aibe B,

ϕ−1(B) =⋃

yk∈B

ϕ−1(yk) =⋃

yk∈B

Ak.

Funkcija ϕ(ω), lygi baigtinei konstantai, yra paprastoji funkcija.Mums pravers aibes indikatoriaus sa

‘voka. Kai A ⊂ Ω, tai jos indikatoriu-

mi vadinsime funkcija‘

1A(ω) = 1, kai ω ∈ A,

0, kai ω ∈ Ac.Paminesime keleta

‘indikatoriaus savybiu

‘:

1Ac(ω) = 1− 1A(ω);

1A∪B(ω) = 1A(ω) + 1B(ω), kai A ∩B = ∅;

1A∩B(ω) = 1A(ω) · 1B(ω).

Aisku, macios aibes indikatorius yra paprastoji funkcija, nes ji i‘gyja dvi

reiksmes 0 ir 1 ir


ω : 1A(ω) = 1 = A, ω : 1A(ω) = 0 = Ac.

Kiekviena‘

paprasta‘ja

‘funkcija

‘galima isreiksti maciu

‘aibiu

‘indikatoriu

‘tiesine kombinacija. Tarkime, kad ϕ yra paprastoji funkcija ir i

‘gyja skirtingas

reiksmes y1, ..., yr. Pazymekime

Ak = ω : ϕ(ω) = yk.

Tada

ϕ(ω) =r∑

k=1

yk1Ak(ω).

Atvirksciai, jei Ak yra macios, kiekviena tokia israiska yra, aisku, pa-prastoji funkcija. Galime atsisakyti reikalavimo, kad yk butu

‘visi skirtingi;

pakanka aibes, kurias atitinka vienodi yk, sujungti. Pagaliau, tas tiks ir tada,kai visu

‘aibiu

‘Ak sa

‘junga nera lygi visai aibei Ω; tokia israiska yra paprastoji

funkcija. Pakanka aibei Ω\ ∪k Ak priskirti reiksme‘0.

2 teorema. Jei ϕ yra paprastoji funkcija, c – baigtine konstanta, tai cϕ,taip pat 1/ϕ, kai ϕ(ω) 6= 0 visoje aibeje Ω, yra paprastosios funkcijos.

I‘r o d y m a s. Jei

ϕ(ω) =r∑

k=1

yk1Ak(ω),

tai

cϕ(ω) =r∑

k=1

(cyk)1Ak(ω),

1ϕ(ω)

=r∑

k=1

1yk

1Ak(ω). ut

3 teorema. Jei ϕ ir ψ yra paprastosios funkcijos, tai ϕ+ψ, ϕ ·ψ, ϕ/ψ(kai ψ 6= 0), min(ϕ,ψ), max(ϕ,ψ) yra taip pat paprastosios funkcijos.

I‘r o d y m a s. Tarkime, kad

(1) ϕ(ω) =r∑

k=1

yk1Ak(ω),

(2) ψ(ω) =s∑

l=1

zl1Bl(ω);

cia


r⋃k=1

Ak = Ω,s⋃

l=1

Bl = Ω,

Aj ∩Ak = ∅ (j 6= k), Bl ∩Bm = ∅ (l 6= m).

Kadangi

Ak = Ak ∩ Ω = Ak ∩( s⋃

l=1

Bs

)=

s⋃l=1

(Ak ∩Bl),

1Ak(ω) =

s∑l=1

1Ak∩Bl(ω),

tai

ϕ(ω) =r∑

k=1

s∑l=1

yk1Ak∩Bl(ω).

Analogiskai

ψ(ω) =s∑

l=1

r∑k=1

zl1Ak∩Bl(ω).

Todel

ϕ(ω) + ψ(ω) =r∑

k=1

s∑l=1

(yk + zl)1Ak∩Bl(ω),

min(ϕ(ω), ψ(ω)

)=

r∑k=1

s∑l=1

min(yk, zl)1Ak∩Bl(ω),

max(ϕ(ω), ψ(ω)

)=

r∑k=1

s∑l=1

max(yk, zl)1Ak∩Bl(ω).

Sudaugine‘ϕ ir ψ israiskas (1) ir (2), gauname

ϕ(ω)ψ(ω) =r∑

k=1

s∑l=1

ykzl1Ak(ω)1Bl

(ω) =

=r∑

k=1

s∑l=1

ykzl1Ak∩Bl(ω).

Teiginys apie dalmeni‘isplaukia is 2 teoremos ir lygybes

ϕ(ω)ψ(ω)

= ϕ(ω) · 1ψ(ω)

. ut

Ateityje labai daznai vartosime zymejimus


f+(ω) = max(0, f(ω)

)=

f(ω), kai f(ω) ≥ 0,0, kai f(ω) < 0;

f−(ω) = max(0,−f(ω)

)=

0, kai f(ω) ≥ 0,−f(ω), kai f(ω) < 0.

Sios funkcijos yra neneigiamos ir

f(ω) = f+(ω)− f−(ω), |f(ω)| = f+(ω) + f−(ω).

Jei f yra mati funkcija, tai tokios yra ir f+, irf−. Is tikru‘ju

‘

ω : f+(ω) < x =ω : f(ω) < x, kai x > 0,∅, kai x ≤ 0;

ω : f−(ω) < x =ω : −x < f(ω), kai x > 0,∅, kai x ≤ 0.

4 teorema. Funkcija f yra mati tada ir tik tada, kai ji yra paprastu‘ju‘

funkciju‘ϕn sekos riba. Jei funkcija f yra neneigiama, tai funkcijas ϕn galima

parinkti neneigiamas ir dar taip, kad seka ϕn butu‘

nemazejanti.I‘

r o d y m a s. 1. Is pradziu‘

tirsime atveji‘, kai f yra neneigiama.

I‘rodysime sa

‘lygos butinuma

‘. Tarkime, kad f yra neneigiama mati funkcija.

Paeme‘bet kuri

‘n, pazymekime

Ank =ω :

k − 12n

≤ f(ω) <k

2n

(k = 1, ..., 2nn),

Bn = ω : f(ω) ≥ n.

Apibresime funkcijas

ϕn(ω) =2nn∑k=1

k − 12n

1Ank(ω) + n1Bn(ω).

Tai – neneigiamos paprastosios funkcijos. I‘rodysime, kad teisinga nelygybe

ϕn(ω) ≤ ϕn+1(ω), koks bebutu‘n. Jei ω ∈ Ank, tai ω ∈ An+1,2k+1 arba

ω ∈ An+1,2k. Pirmuoju atveju

ϕn(ω) =k − 12n

= ϕn+1(ω),

antruoju

ϕn(ω) =k − 12n

<2k − 12n+1

= ϕn+1(ω).

Jei ω ∈ Bn, tai arba ω ∈ An+1,k (k = 2n+1n + 1, ..., 2n+1(n + 1)), arbaω ∈ Bn+1. Tada atitinkamai turime: arba


ϕn(ω) = n ≤ k − 12n+1

= ϕn+1(ω),

arbaϕn(ω) = n < n+ 1 = ϕn+1(ω).

Lieka parodyti, kad ϕn → f . Imkime bet kuri‘ω0 ∈ Ω. Jei f(ω0) yra

baigtinis skaicius, tai 0 ≤ f(ω0) < n, kai n yra pakankamai didelis. Vadinasi,ω0 priklauso vienai is aibiu

‘Ank ir

0 ≤ f(ω0)− ϕn(ω0) <12n.

Jei f(ω0) = ∞, tai ϕn(ω0) = n, kai n bet koks. Visais atvejais ϕn(ω0) →→ f(ω0).

Jei funkcija f yra bet kurio zenklo, tai ja‘parasome pavidalu f = f+−f−

ir taikome ka‘tik i

‘rodyta

‘teigini

‘.

2. I‘rodysime sa


‘. Tarkime, kad paprastu

‘ju

‘funkciju

‘seka ϕn konverguoja i

‘f . Tada, koks bebutu

‘x ∈ R,

ω : f(ω) < x =∞⋃

k=1

∞⋃m=1

∞⋂n=m

ω : ϕn(ω) < x− 1

k

∈ A.

Sia‘lygybe

‘siulome skaitytojui i

‘rodyti paciam. Is jos isplaukia sa

‘lygos pakanka-

mumas. ut5 teorema. Jei f ir g yra macios funkcijos, tai tokios yra ir f + g,

f · g, f/g, jei tik visiems ω tie reiskiniai turi prasme‘.

I‘

r o d y m a s. Funkcijas f ir g isreiskiame paprastu‘ju

‘funkciju

‘seku

‘ribomis ir taikome 4 teorema

‘. ut

6 teorema. Jei f yra mati funkcija, tai tokios yra ir |f | bei cf , kai c –konstanta.

I‘r o d y m a s isplaukia is 5 teoremos. ut

7 teorema. Jei f(ω) yra mati funkcija, o ϕ(x) – Borelio funkcija,apibrezta aibeje R, tai funkcija g(ω) = ϕ

(f(ω)

)yra taip pat mati.


‘rodyti, kad g−1(B) ∈ A, kokia bebutu

‘Borelio

aibe B. Tai isplaukia is lygybiu‘

g−1(B) = ω : g(ω) ∈ B = ω : ϕ(f(ω)

)∈ B =

= ω : f(ω) ∈ ϕ−1(B) ∈ A,

nes ϕ−1(B) yra Borelio aibe. utPanagrinesime maciu

‘funkciju

‘seku

‘konvergavima

‘. Prisiminsime kai ku-

riuos faktus is klasikines matematines analizes.


Sakykime, turime skaiciu‘seka

‘xn ∈ R, (n = 1, 2, ...). Jei seka yra mono-

toniska, tai ji visada turi riba‘(baigtine

‘ar begaline

‘). Jei seka yra nemazejanti,

tailim

n→∞xn = sup

nxn,

o jei – nedidejanti, tailim

n→∞xn = inf

nxn.

Tarkime dabar, kad seka yra bet kuri, nebutinai monotoniska. Pazyme-kime

yn = infk≥n

xk, Yn = supk≥n

xk.

Seka yn yra nemazejanti, o seka Yn – nedidejanti, be to, yn ≤ Yn. Tu‘seku

‘ribos

y = limn→∞

yn = supn

infk≥n

xk,

Y = limn→∞

Yn = infn

supk≥n

xk

yra vadinamos atitinkamai apatine bei virsutine ribomis ir zymimos

lim infn→∞

xn, lim supn→∞

xn.

Aisku, y ≤ Y .Seka xn (n = 1, 2, ...) turi riba

‘

limn→∞

xn

tada ir tik tada, kailim infn→∞

xn = lim supn→∞

xn.

Jei ta riba egzistuoja, tai ji sutampa su apatines ir virsutines ribu‘bendra

‘ja

reiksme.

8 teorema. Jei fn(ω) (n = 1, 2, ...) yra maciu‘

funkciju‘

seka, tai maciosir funkcijos

infnfn(ω), sup

nfn(ω), lim inf

n→∞fn(ω), lim sup

n→∞fn(ω).

I‘r o d y m a s. Jei kuriame nors taske ω0 turime infn fn(ω0) < x, tai

bent vienas is skaiciu‘fn(ω0) (n = 1, 2, ...) yra mazesnis uz x, ir atvirksciai,

jei bent vienas fn(ω0) (n = 1, 2, ...) yra mazesnis uz x, tai infn fn(ω) < x.Todel

ω : infnfn(ω) < x =

∞⋃n=1

ω : fn(ω) < x.


Is maciosios funkcijos apibrezimo ir maciu‘ju

‘aibiu

‘savybiu

‘isplaukia, kad aibe

ω : infn fn(ω) < x yra mati. Taigi funkcija infn fn(ω) yra mati.Funkciju

‘sekos virsutinio rezio matumas isplaukia is ka

‘tik i

‘rodyto teiginio

ir lygybessup

nfn(ω) = − inf

n

(− fn(ω)

)arba lygybes

ω : supnfn(ω) ≤ x =

∞⋂n=1

ω : fn(ω) ≤ x.

Like‘du teiginiai isplaukia is ka

‘tik i

‘rodytu

‘ju

‘ir lygybiu

‘

lim infn→∞

fn(ω) = supn

(infk≥n

fk(ω)),

lim supn→∞

fn(ω) = infn

(supk≥n

fk(ω)). ut

9 teorema. Jei maciu‘

funkciju‘

seka fn(ω) (n = 1, 2, ...) konverguoja i‘

funkcija‘

f(ω) = limn→∞

fn(ω),

tai ribine funkcija f(ω) yra taip pat mati.I‘r o d y m a s isplaukia is 8 teoremos ir musu

‘padarytu

‘pastabu

‘apie

seku‘konvergavima

‘. ut

8. INTEGRALO SA‘VOKA

Nagrinesime erdve‘

su matu Ω,A, µ ir apibresime A maciu‘

funkciju‘f :

Ω → R integralus. Pradesime nuo paprastu‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju

‘integralu

‘,

veliau ta‘sa

‘voka

‘praplesime neneigiamoms macioms funkcijoms ir, pagaliau,

bet kurio zenklo macioms funkcijoms.Paprasta

‘ja

‘funkcija

‘, kaip zinome, galime parasyti pavidalu

(1) f(ω) =r∑

k=1

yk1Ak(ω);

cia yk yra baigtiniai skaiciai, Ak – macios disjunkcios aibes, kuriu‘

sa‘junga

yra Ω. Tarkime, kad si funkcija yra neneigiama. Jos integralu vadinsime suma‘

(2)r∑

k=1

ykµ(Ak)

Integralo sa‘voka 385

ir zymesime ∫Ω

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

fdµ.

Integralas visada egzistuoja ir yra neneigiamas. Jis gali buti ir ∞. Jei butumeeme

‘bet kurio zenklo paprasta

‘sias funkcijas, tai butume galeje

‘gauti ir

reiskinius, neturincius prasmes – skirtingo zenklo begalybiu‘

sumas, jei tikkai kuriu

‘aibiu

‘Ak matai butu

‘buve

‘begaliniai.

Mums reikia parodyti, kad (2) suma nepriklauso nuo paprastosios funkci-jos (1) israiskos. Tarkime, kad z1, ..., zs yra visos skirtingos funkcijos freiksmes. Tada

r∑k=1

ykµ(Ak) =s∑

j=1

∑k,yk=zj

yk = kµ(Ak) =

=s∑

j=1

zj

∑k,yk=zj

µ(Ak) =s∑

j=1

zjµω : f(ω) = zj.

Is to isplaukia, kad (2) suma nepriklauso nuo funkcijos f israiskos.Be integralu

‘visoje aibeje Ω tenka nagrineti ir integralus tik tos aibes

dalyje – kuriame nors maciame poaibyje A. Pagal apibrezima‘∫

A

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

f(ω)1A(ω)µ(dω).

Siuos integralus galima traktuoti taip pat, kaip ir integralus visoje pa-grindineje aibeje Ω. Tam reikia erdve

‘su matu Ω,A, µ pakeisti kita erdve

su matu Ω,AA, µ; cia AA – aibiu‘σ algebra, sudaryta is tu

‘A aibiu

‘, kurios

yra aibes A poaibiai. Nesunku patikrinti, kad abu integralai yra tapatus.Kol kas aibeje A apibrezeme tik neneigiamu

‘paprastu

‘ju

‘funkciju

‘inte-

gralus. Visai taip pat juos galesime apibrezti ir kitais atvejais, kuriuos na-grinesime veliau.

1 teorema. Sakykime, A ∈ A, f ir g yra neneigiamos paprastosiosfunkcijos, o c – neneigiama konstanta. Teisingi teiginiai:

1)∫Ω

1A(ω)µ(dω) = µ(A);

2)∫Ωcf(ω)µ(dω) = c

∫Ωf(ω)µ(dω);

3)∫Ω

(f(ω) + g(ω)

)µ(dω) =

∫Ωf(ω)µ(dω) +

∫Ωg(ω)µ(dω);

4) jei f(ω) ≤ g(ω), tai∫Ω

(g(ω)− f(ω)

)µ(dω) +

∫Ω

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

g(ω)µ(dω),∫Ω

f(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

g(ω)µ(dω);


5) jei f(ω) ≤ c, tai ∫Ω

f(ω) ≤ cµ(Ω).

I‘r o d y m a s. 1 ir 2 savybes yra akivaizdzios. I

‘rodysime trecia

‘ja

‘. Jei

f(ω) =r∑

k=1

yk1Ak(ω), g(ω) =

s∑l=1

zl1Bl(ω),

tai ∫Ω

f(ω)µ(dω) +∫

Ω

g(ω)µ(dω) =r∑

k=1

ykµ(Ak) +s∑

l=1

zlµ(Bl) =

=r∑

k=1

ykµ( s⋃

l=1

(Ak ∩Bl))

+s∑

l=1

zlµ( r⋃

k=1

(Ak ∩Bl))

=

=r∑

k=1

s∑l=1

(yk + zl)µ(Ak ∩Bl) =∫

Ω

(f(ω) + g(ω)

)µ(dω).

Ketvirta‘ja

‘savybe

‘i‘rodome sitaip:∫

Ω

g(ω)µ(dω) =∫

Ω

(f(ω) +

(g(ω)− f(ω)

))µ(dω) =

=∫

Ω

f(ω)µ(dω) +∫

Ω

(g(ω)− f(ω)

)µ(dω) ≥

∫Ω

f(ω)µ(dω).

5 savybe isplaukia is 4 ir 1. utNeneigiamu

‘maciu

‘funkciju

‘integralams apibrezti reikes keliu

‘pagalbiniu

‘teiginiu

‘.

1 lema. Jei f yra neneigiama paprastoji funkcija, o fn (n = 1, ...) –nemazejanti paprastu

‘ju‘

neneigiamu‘

funkciju‘

seka ir

limn→∞

fn(ω) ≥ f(ω),

tai

limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) ≥∫

Ω

f(ω)µ(dω).

P a s t a b a. Cia minima riba egzistuoja, kadangi pagal 1 teorema‘

integralu‘seka yra monotoniska.

I‘r o d y m a s. Pazymekime a = min f(ω).


1. Tarkime, kad a > 0. Imkime bet koki‘

teigiama‘ε < a. Pazymekime

An = ω : fn(ω) > f(ω)− ε. Aibes An sudaro didejancia‘seka

‘ir

∞⋃n=1

An = Ω.

Todel

(3) µ(An) → µ(Ω).


(4)∫

Ω


Ω

fn(ω)1An(ω)µ(dω) ≥

∫Ω

(f(ω)− ε

)1An

(ω)µ(dω).

Jei µ(Ω) <∞, tai is (3) isplaukia, kad µ(Acn) → 0. Tada pagal 1 teorema

‘∫Ω


Ω

f(ω)1An(ω)µ(dω)− εµ(An) =

=∫

Ω

f(ω)µ(dω)−∫

Ω

f(ω)1Acn(ω)µ(dω)− εµ(An) ≥

≥∫

Ω

f(ω)µ(dω)− µ(Acn) max f(ω)− εµ(An).

Paeme‘n→∞, po to ε→ 0, gauname lemos nelygybe

‘.

Jei µ(Ω) = ∞, tai is (4) isplaukia∫Ω

fn(ω)µ(dω) ≥ (a− ε)µ(An) →∞ =∫

Ω

f(ω)µ(dω).

Lemos nelygybe ir siuo atveju teisinga.2. Tirsime atveji

‘a = 0. Pazymekime B = ω : f(ω) > 0. Turime∫

Ω


Ω

fn(ω)1B(ω)µ(dω) =∫

B

fn(ω)µ(dω).

Pastarajam integralui pritaike‘pirmosios i

‘rodymo dalies rezultata

‘, gauname

limn→∞

∫Ω


B

f(ω)µ(dω) =

=∫

Ω

f(ω)1B(ω)µ(dω) +∫

Ω

f(ω)1Bc(ω)µ(dω) =∫

Ω

f(ω)µ(dω). ut

2 lema. Jei fn ir gn yra dvi nemazejancios paprastu‘ju‘

neneigiamu‘

funkciju‘

sekos ir


limn→∞

fn(ω) ≤ limn→∞

gn(ω),

tai irlim

n→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) ≤ limn→∞

∫Ω

gn(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. Sekos yra monotoniskos, todel visiems k

limn→∞

gn(ω) ≥ fk(ω).

Pagal 1 lema‘

limn→∞

∫Ω

gn(ω)µ(dω) ≥∫

Ω

fk(ω)µ(dω).

Is cialim

n→∞

∫Ω

gn(ω)µ(dω) ≥ limk→∞

∫Ω

fk(ω)µ(dω). ut

3 lema. Jei fn ir gn (n = 1, 2, ...) yra nemazejancios paprastu‘ju‘

nenei-giamu

‘funkciju

‘sekos ir

limn→∞

fn(ω) = limn→∞

gn(ω),

tai irlim

n→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) = limn→∞

∫Ω

gn(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. Si lema yra 2 lemos isvada. ut

Dabar jau galime apibrezti neneigiamos macios funkcijos integrala‘. Pagal

7.5 teorema‘egzistuoja nemazejanti neneigiamu

‘paprastu

‘ju

‘funkciju

‘fn seka,

konverguojanti i‘f . Pagal 1 teorema

‘integralai∫

Ω

fn(ω)µ(dω)

sudaro nemazejancia‘skaiciu

‘seka

‘. Vadinasi, egzistuoja riba

limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω),

kuri, kaip matome is 3 lemos, nepriklauso nuo sekos fn parinkimo. Ta‘riba

‘vadinsime funkcijos f integralu ir zymesime∫

Ω

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

fdµ.


Si‘integrala

‘zymime taip pat, kaip ir paprastu

‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju

‘integrala

‘,

nes naujoji integralo sa‘voka, kai pointegraline funkcija yra neneigiama pa-

prastoji, sutampa su anksciau i‘vesta

‘ja. Tada seka, kurios reikia funkcijos f

integralui apibrezti, galime laikyti seka‘, kurios visos funkcijos yra lygios f .

Neneigiamu‘

maciu‘

funkciju‘

integralai turi analogiskas savybes, kaip irpaprastu

‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju

‘.

2 teorema. Sakykime, f ir g yra neneigiamos macios funkcijos, c –neneigiama konstanta. Tada:

1)∫Ωcf(ω)µ(dω) = c

∫Ωf(ω)µ(dω);

2)∫Ω

(f(ω) + g(ω)

)µ(dω) =

∫Ωf(ω)µ(dω) +

∫Ωg(ω)µ(dω);

3) jei f(ω) ≤ g(ω), tai∫Ω

f(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

f(ω)µ(dω).

I‘

r o d y m a s. 1. Jei fn yra nemazejanti paprastu‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju


‘f , tai cfn yra taip pat nemazejanti neneigiamu

‘paprastu

‘ju

‘funkciju


‘cf . Pagal 1 teorema

‘∫Ω

cf(ω)µ(dω) = limn→∞

∫Ω

cfn(ω)µ(dω) =

= c limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) = c

∫Ω

f(ω)µ(dω).

2. Jei fn ir gn yra nemazejancios paprastu‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju

‘sekos,

konverguojancios atitinkamai i‘f ir g, tai fn + gn yra taip pat nemazejanti

paprastu‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju


‘f + g. Is 1 teoremos

gauname∫Ω

(f(ω) + g(ω)

)µ(dω) = lim

n→∞

∫Ω

(fn(ω) + gn(ω)

)µ(dω) =

= limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) + limn→∞

∫Ω

gn(ω)µ(dω) =

=∫

Ω

f(ω)µ(dω) +∫

Ω

g(ω)µ(dω).

Treciasis teiginys isplaukia is 3 lemos. utPagaliau galime pateikti bendra

‘integralo apibrezima

‘. Tarkime, kad f yra

mati funkcija, galinti i‘gyti bet kurio zenklo reiksmes. Ja

‘, kaip zinome, galime

parasyti pavidalu f = f+ − f−. Galime kalbeti apie integralus

(5)∫

Ω

f+(ω)µ(dω),∫

Ω

f−(ω)µ(dω).


Jei bent vienas is tu‘

integralu‘

yra baigtinis, tai sakome, kad funkcija yrakvaziintegruojama, o skirtumas∫

Ω

f+(ω)µ(dω)−∫

Ω

f−(ω)µ(dω)

vadinamas funkcijos f integralu ir zymimas taip pat, kaip ir anksciau i‘vestieji

integralai: ∫Ω

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

fdµ.

Jei abu (5) integralai yra baigtiniai, tai sakome, kad funkcija f yra integruo-jamoji.

Jei funkcija f yra neneigiama mati, tai f+ = f, f− = 0, ir antrasis is (5)integralu

‘lygus 0. Matome, kad siuo atveju naujasis integralas sutampa su

anksciau i‘vestuoju ir yra jo pletinys gausesnei funkciju

‘klasei.

Tikimybiu‘teorijoje ir apskritai matematineje analizeje svarbu

‘vaidmeni

‘vaidina specialus integralo atvejis, kai turime erdve

‘su matu, kurioje Ω = Rs,

σ algebra A sutampa su Borelio aibiu‘sistema Bs, o matas yra Styltjeso matas

µF . Tada integrala‘vadiname Styltjeso integralu ir zymime∫

Rs

f(x)µF (dx) =∫

Rs

f(x)dF (x) =∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞f(x1, ..., xs)dF (x1, ..., xs).

Praplete‘erdve

‘Rs,Bs, µF iki pilnosios erdves Rs, B, µF , galime kal-

beti apie Lebego-Styltjeso integrala‘. Ji

‘zymesime taip pat, kaip ir Styltjeso

integrala‘. Kai matas µF yra tiesiog Lebego matas, Lebego-Styltjeso integrala

‘vadinsime tiesiog Lebego integralu ir zymesime∫

Rs

f(x)dx =∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞f(x1, ..., xs)dx1...dxs.

Suprantama, galime kalbeti ir apie integralus maciose aibese A:∫A

f(x)µF (dx) =∫

A

f(x)dF (x).

Jei aibe A yra intervalas [a1, b1] × ... × [as, bs], tai vartojami ir zymejimai,i‘prasti klasikineje matematineje analizeje,∫ b1

a1

· · ·∫ bs

as

f(x1, ..., xs)dx1...dxs.

Veliau siuos integralus dar apibendrinsime.

Integralo savybes 391

9. INTEGRALO SAVYBES

8 skyrelyje jau i‘rodeme keleta

‘paprastu

‘ju

‘neneigiamu

‘ir neneigiamu

‘maciu

‘ju

‘funkciju

‘integralo savybiu

‘. Dabar nagrinesime integralo savybes bendruoju

atveju.

1 teorema. Jei f yra integruojama (kvaziintegruojama) funkcija, o c –baigtine konstanta, tai cf yra taip pat integruojama (kvaziintegruojama) ir∫

Ω

cf(ω)µ(dω) = c

∫Ω

f(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. 1. Jei c = 0, tai teoremos teiginys yra trivialus.

2. Tarkime, kad c > 0. Tada(cf(ω)

)+ = cf+(ω),(cf(ω)

)− = cf−(ω). Is8.2 teoremos isplaukia, kad cf integruojama (kvaziintegruojama) ir∫

Ω

cf(ω)µ(dω) =∫

Ω

cf+(ω)µ(dω)−∫

Ω

cf−(ω)µ(dω) =

= c

∫Ω

f+(ω)µ(dω)− c

∫Ω

f−(ω)µ(dω) = c

∫Ω

f(ω)µ(dω).

3. Jei c < 0, tai(cf(ω)

)+ = −cf−(ω),(cf(ω)

)− = −cf+(ω). Tada velpagal 8.2 teorema

‘cf yra integruojama (kvaziintegruojama) ir∫

Ω

cf(ω)µ(dω) =∫

Ω

(−c)f−(ω)µ(dω)−∫

Ω

(−c)f+(ω)µ(dω) =

= −c∫

Ω

f−(ω)µ(dω) + c

∫Ω

f+(ω)µ(dω) = c

∫Ω

f(ω)µ(dω). ut

2 teorema. Jei A ir B yra viena kitos nedengiancios macios aibes, o f– integruojama tose aibese funkcija, tai f yra integruojama aibeje A ∪B ir∫

A∪B

f(ω)µ(dω) =∫

A

f(ω)µ(dω) +∫

B

f(ω)µ(dω).

P a s t a b a. Kvaziintegruojamumo atveju teorema yra ne visada teisinga.

I‘r o d y m a s. 1. Sakykime, f yra neneigiama mati funkcija. Pagal 8.2

teorema‘

392 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys∫A∪B

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

f(ω)1A∪B(ω)µ(dω) =

=∫

Ω

f(ω)(1A(ω) + 1B(ω)

)µ(dω) =

=∫

Ω

f(ω)1A(ω)µ(dω) +∫

Ω

f(ω)1B(ω)µ(dω) =

=∫

A

f(ω)µ(dω) +∫

B

f(ω)µ(dω).

2. Jei f yra bet kurio zenklo mati funkcija, tai pagal pirma‘ja

‘i‘rodymo

dali‘ ∫

A∪B

f+(ω)µ(dω) =∫

A

f+(ω)µ(dω) +∫

B

f+(ω)µ(dω),∫A∪B

f−(ω)µ(dω) =∫

A

f−(ω)µ(dω) +∫

B

f−(ω)µ(dω).

Is cia isplaukia, kad funkcija f yra integruojama aibeje A ∪ B. Is pirmosioslygybes panariui ateme

‘antra

‘ja

‘, gauname teoremos lygybe

‘. ut

3 teorema. Jei f ir g yra integruojamos funkcijos, tai ju‘

suma, jei jiapibrezta, yra taip pat integruojama ir∫

Ω

(f(ω) + g(ω)

)µ(dω) =

∫Ω

f(ω)µ(dω) +∫

Ω

g(ω)µ(dω).

P a s t a b a. Ir cia reikalingas integruojamumas, nes kvaziintegruo-jamoms funkcijoms sis teiginys ne visada teisingas.

I‘r o d y m a s. Tokia

‘teorema

‘i‘rodeme neneigiamoms macioms funkcijoms

(8.2 teorema). Pazymeje‘h = f+g, suskaidykime Ω i

‘sesias disjunkcias aibes:

A1 = ω : f(ω) ≥ 0, g(ω) ≥ 0, A2 = ω : f(ω) ≥ 0, g(ω) < 0, h(ω) ≥ 0,A3 = ω : f(ω) ≥ 0, g(ω) < 0, h(ω) < 0,A4 = ω : f(ω) < 0, g(ω) ≥ 0, h(ω) ≥ 0,A5 = ω : f(ω) < 0, g(ω) ≥ 0, h(ω) < 0, A6 = ω : f(ω) < 0, g(ω) < 0.

Kiekvienai is tu‘

aibiu‘

i‘rodysime teoremos lygybe

‘, remdamiesi 8.2 ir 1 teo-

remomis. Perrasysime reiskini‘h(ω) = f(ω) + g(ω), taip perkeldami narius

i‘atitinkamas lygybes puses, kad visi gautos lygybes nariai butu

‘neneigiami.

Teoremos lygybe‘i‘rodinedami, sakysime, aibei A5, turesime nagrineti lygybe

‘

g(ω) +(− h(ω)

)=

(− f(ω)

).

Pagal 8.2 teorema‘

Integralo savybes 393∫A5

g(ω)µ(dω) +∫

A5

(− h(ω)

)µ(dω) =

∫A5

(− f(ω)

)µ(dω).

Remdamiesi 1 teorema, gauname∫A5

g(ω)µ(dω)−∫

A5

h(ω)µ(dω) = −∫

A5

f(ω)µ(dω).

Tai yra teoremos lygybe, kol kas i‘rodyta ne visai aibei Ω, bet tik jos daliai.

Analogiskai i‘rodome teoremos lygybe

‘ir kitoms aibems Ak. Susumave

‘tas

lygybes ir pasinaudoje‘2 teorema, i

‘sitikiname, kad teoremos lygybe teisinga

ir visai aibei Ω. ut

4 teorema. Jei f, g yra integruojamos funkcijos ir f(ω) ≤ g(ω), tai ir∫Ω

f(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

g(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. Pastebesime, kad f+(ω) ≤ g+(ω), f−(ω) ≥ g−(ω). Todel

pagal 8.2 teorema‘ ∫

Ω

f+(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

g+(ω)µ(dω),∫Ω

f−(ω)µ(dω) ≥∫

Ω

g−(ω)µ(dω).

Is pirmosios nelygybes panariui ateme‘antra

‘ja

‘, gauname i

‘rodoma

‘ji‘teigini

‘. ut

5 teorema. Jei funkcija f yra integruojama aibeje A, o B – matus aibesA poaibis, tai funkcija f yra integruojama ir aibeje B.

I‘

r o d y m a s. Kadangi(f(ω)1B(ω)

)+ ≤(f(ω)1A(ω)

)+ ir(f(ω)1B(ω)

)− ≤ (f(ω)1A(ω)

)−, tai is f(ω) integruojamumo aibeje A ir 8.2teoremos isplaukia, kad integralai∫

Ω

(f(ω)1B(ω)

)+µ(dω),

∫Ω

(f(ω)1B(ω)

)−µ(dω)

yra baigtiniai. ut

6 teorema. Mati funkcija f yra integruojama tada ir tik tada, kai yraintegruojama funkcija |f |, be to,∣∣∣ ∫

Ω

f(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|f(ω)|µ(dω).


I‘

r o d y m a s. |f(ω)| = f+(ω) + f−(ω). Jei f yra integruojama, taif+ ir f− integralai yra baigtiniai. Tada pagal 8.2 teorema

‘ir funkcijos |f |

integralas yra baigtinis.Jei |f | yra integruojama, tai is 8.2 teoremos treciojo teiginio isplaukia,

jog funkciju‘f+ ir f− integralai yra baigtiniai, vadinasi, f yra integruojama.

Nelygybe i‘rodoma remiantis 8.2 teoremos antruoju teiginiu:∣∣∣ ∫

Ω

f(ω)µ(dω)∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Ω

f+(ω)µ(dω)−∫

Ω

f−(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤

≤∫

Ω

f+(ω)µ(dω) +∫

Ω

f−(ω)µ(dω) =

=∫

Ω

(f+(ω) + f−(ω)

)µ(dω) =

∫Ω

|f(ω)|µ(dω). ut

7 teorema. Jei f yra mati funkcija, o g – neneigiama integruojamafunkcija ir |f(ω)| ≤ g(ω), tai funkcija f taip pat yra integruojama ir∣∣∣ ∫

Ω

f(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫

Ω

g(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. Kadangi f+(ω) ≤ g(ω) ir f−(ω) ≤ g(ω), tai pagal 8.2

teorema‘funkciju

‘f+ ir f− integralai yra baigtiniai, vadinasi, f yra integruo-

jama. Is 6 ir 8.2 teoremu‘turime∣∣∣ ∫

Ω

f(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|f(ω)|µ(dω) ≤∫

Ω

g(ω)µ(dω). ut

8 teorema (Bjeneme–Cebysovo nelygybe). Jei f yra neneigiamamati funkcija, tai, koks bebutu

‘c > 0,

µω : f(ω ≥ c) ≤ c−1

∫Ω

f(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. Pazymekime A = ω : f(ω) ≥ c. Pagal 2 teorema

‘∫Ω

f(ω)µ(dω) =∫

A

f(ω)µ(dω) +∫

Ac

f(ω)µ(dω).

Antrasis integralas yra neneigiamas. Remiantis 8.2 ir 8.1 teoremomis, pirma-sis integralas yra ne mazesnis uz

c

∫A

µ(dω) = cµ(A).


Todelcµ(A) ≤

∫Ω

f(ω)µ(dω). ut

9 teorema. Jei f yra neneigiama mati funkcija ir∫Ω

f(ω)µ(dω) = 0,

tai µω : f(ω) 6= 0 = 0.Jei kuris nors teiginys yra teisingas visur aibeje A, isskyrus nulinio mato

poaibi‘, tai sakoma, kad jis teisingas aibeje A beveik visur. Taigi teigini

‘µω : f(ω) 6= 0 = 0 galime skaityti ir sitaip: ”funkcija f yra beveik vi-sur lygi 0”.

I‘r o d y m a s. Pazymeje

‘Ak = ω : f(ω) ≥ 1/k, gauname lygybe

‘

ω : f(ω) > 0 =∞⋃

k=1

Ak.

Pagal 8 teorema‘

µ(Ak) ≤ k

∫Ω

f(ω)µ(dω) = 0.

Todel

µω : f(ω) > 0 ≤∞∑

k=1

µ(Ak) = 0. ut

10 teorema. Integruojama funkcija yra beveik visur baigtine.I‘

r o d y m a s. Jei funkcija f yra integruojama, tai pagal 6 teorema‘

funkcija |f | taip pat integruojama; vadinasi, integralas

J =∫

Ω

f(ω)µ(dω)

yra baigtinis. Pazymekime

H = ω : |f(ω)| = ∞.

Koks bebutu‘N > 0,

H ⊂ ω : |f(ω)| ≥ N.Pagal 8 teorema

‘

µ(H) ≤ J

N.

Skaicius N yra bet koks. Is cia µ(H) = 0. ut


11 teorema. Jei funkcija f yra mati aibeje A ir µ(A) = 0, tai ji yraintegruojama toje aibeje ir ∫

A

f(ω)µ(dω) = 0.

Jei erdve Ω,A, µ yra pilna, t. y. nulinio mato aibiu‘poaibiai priklauso

A, tai reikalavima‘, kad funkcija f butu

‘mati, galime praleisti. Tada kiekviena

funkcija yra mati nulinio mato aibeje.I‘r o d y m a s. Lengva suvokti, kad neneigiamos paprastosios funkcijos

integralas nulinio mato aibeje yra lygus 0. Is cia isplaukia, kad tokia‘savybe

‘turi ir neneigiamu

‘maciu

‘funkciju

‘integralai. Vadinasi, tas teiginys yra teisin-

gas ir bet kurio zenklo maciu‘funkciju

‘integralams. ut

12 teorema. Jei f yra integruojama funkcija, g – mati funkcija, beveikvisur sutampanti su f :

µω : f(ω) 6= g(ω) = 0,

tai g yra taip pat integruojama ir∫Ω

f(ω)µ(dω) =∫

Ω

g(ω)µ(dω).

Kai matas yra pilnasis, reikalavima‘, kad funkcija g butu

‘mati, galime

praleisti: jis isplaukia is funkcijos f matumo.I‘r o d y m a s. Pazymekime A = ω : f(ω) = g(ω). Aibes A ir Ac yra

macios. Funkcija f yra integruojama aibeje A, taigi integruojama ir funkcijag. Kadangi µ(Ac) = 0, tai pagal 11 teorema

‘g yra integruojama aibeje Ac. Is

2 teoremos gauname, kad g integruojama aibeje A ∪Ac = Ω.Kadangi pagal 11 teorema

‘maciu

‘funkciju

‘integralai nulinio mato aibese

yra lygus 0, tai∫Ω

f(ω)µ(dω) =∫

A

f(ω)µ(dω) +∫

Ac

f(ω)µ(dω) =

=∫

A

g(ω)µ(dω) +∫

Ac

g(ω)µ(dω) =∫

Ω

g(ω)µ(dω). ut

13 teorema (Kosi nelygybe). Jei funkciju‘f1 ir f2 kvadratai yra inte-

gruojami, tai sandauga f1f2 yra taip pat integruojama ir

(1)( ∫

Ω

f1(ω)f2(ω)µ(dω))2

≤∫

Ω

f21 (ω)µ(dω) ·

∫Ω

f22 (ω)µ(dω).


Nelygybe virsta lygybe tada ir tik tada, kai egzistuoja tokios konstantos c1 irc2, kuriu

‘bent viena nelygi 0, kad

(2) c1f1(ω) + c2f2(ω) = 0

beveik visur mato µ atzvilgiu.I‘r o d y m a s. Sandaugos f1f2 integruojamumas isplaukia is elementarios

nelygybes |f1f2| ≤ (f21 + f2

2 )/2. Jei bent vienas is integralu‘

K1 =∫

Ω

f21 (ω)µ(dω), K2 =

∫Ω

f22 (ω)µ(dω)

yra lygus 0, tai (1) nelygybe yra teisinga. Dar daugiau: ji virsta lygybe.Tarkime, kad K1 = 0. Tada f1 pagal 9 teorema

‘beveik visur lygi 0. Vadinasi,

(1) nelygybes abieju‘pusiu

‘nariai yra lygus 0. Antra vertus, tada teisinga ir

(2) lygybe su bet kuria c1 6= 0 ir c2 = 0.Todel lieka isnagrineti atveji

‘, kai K1 6= 0, K2 6= 0. Teisinga nelygybe

(3)∫

Ω

( |f1(ω)|√K1

− |f2(ω)|√K2

)2

µ(dω) ≥ 0.

Pointegralini‘

reiskini‘

pakele‘

kvadratu ir sumos integrala‘

pakeite‘

integralu‘

suma, gauname ∫Ω

|f1(ω)f2(ω)|µ(dω) ≤√K1K2.

Todel ∣∣∣ ∫Ω

f1(ω)f2(ω)µ(dω)∣∣∣ ≤ √

K1K2.

Remiantis 9 teorema, (3) nelygybe virsta lygybe, kai

(f1(ω))√K1

− (f2(ω))√K2

= 0

beveik visur mato µ atzvilgiu. Vadinasi, teisinga (2) lygybe.I‘rodeme (1) nelygybe

‘ir (2) sa

‘lygos butinuma

‘, kad (1) nelygybe virstu

‘lygybe. (2) sa


‘paliekame i

‘rodyti skaitytojui. ut

14 teorema. Jei f1, f2, ... yra nemazejanti neneigiamu‘

maciu‘

funkciju‘

seka irf(ω) = lim

n→∞fn(ω),

tai ∫Ω

fn(ω)µ(dω) →∫

Ω

f(ω)µ(dω),

kai n→∞.


I‘

r o d y m a s. Kiekvienam k imkime nemazejancia‘

paprastu‘ju

‘neneigiamu

‘funkciju

‘fkn seka

‘, konverguojancia

‘i‘fk. Pazymekime

gn(ω) = maxk≤n

fkn(ω).

Sios funkcijos taip pat yra neneigiamos paprastosios funkcijos, ju‘seka nema-

zejanti ir

fkn(ω) ≤ gn(ω) ≤ fn(ω),∫Ω

fkn(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

gn(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

fn(ω)µ(dω),

jei k ≤ n. Kai n→∞, gauname

fk(ω) ≤ limn→∞

gn(ω) ≤ f(ω),∫Ω

fk(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

limn→∞

gn(ω)µ(dω) ≤ limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).

Kai k →∞, turime

f(ω) ≤ limn→∞

gn(ω) ≤ f(ω),

limk→∞

∫Ω

fk(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

limn→∞

gn(ω)µ(dω) ≤ limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).

Vadinasi,lim

n→∞gn(ω) = f(ω)

ir ∫Ω

f(ω)µ(dω) = limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω). ut

15 (Fatu1) teorema. Jei fn (n = 1, 2, ...) yra neneigiamos maciosfunkcijos, tai ∫

Ω

lim infn→∞

fn(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).


hn(ω) = infm≥n

fm(ω).

Funkcijos hn yra neneigiamos ir macios, ju‘seka nemazejanti, be to,

1 Pierre Fatou (1878–1929) – prancuzu‘matematikas.


hn(ω) ≤ fn(ω).

Todel ∫Ω

hn(ω)µ(dω) ≤∫

Ω

fn(ω)µ(dω).

Imame abieju‘pusiu

‘apatines ribas

lim infn→∞

∫Ω

hn(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).

Taciau funkciju‘hn integralu

‘seka yra nemazejanti, todel apatine riba yra

tiesiog riba. Be to, toms funkcijoms galima taikyti 14 teorema‘. Turime∫

Ω

limn→∞

hn(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).

Kadangilim

n→∞hn(ω) = lim

n→∞

(inf

m≥nfm(ω)

)= lim inf

n→∞fn(ω),

tai teoremos teiginys yra teisingas. ut16 (Lebego) teorema. Jei fn (n = 1, 2, ...) yra macios funkcijos, g –

neneigiama integruojama funkcija, |fn(ω)| ≤ g(ω) (n = 1, 2, ...) ir fn → f ,tai ∫

Ω

fn(ω)µ(dω) →∫

Ω

f(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. f integruojamumas isplaukia is nelygybes |f | ≤ g ir 7

teoremos. Funkciju‘sekai g(ω)− fn(ω) ≥ 0 pritaike

‘Fatu teorema

‘, gauname∫

Ω

limn→∞

(g(ω)− fn(ω)

)µ(dω) ≤ lim inf

n→∞

∫Ω

(g(ω)− fn(ω)

)µ(dω),

t. y.

(4)∫

Ω

f(ω)µ(dω) ≥ lim supn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).

Ta‘pacia

‘teorema

‘taikome ir sekai funkciju

‘g(ω) + fn(ω) ≥ 0:∫

Ω

limn→∞

(g(ω) + fn(ω)

)µ(dω) ≤ lim inf

n→∞

∫Ω

(g(ω) + fn(ω)

)µ(dω).

Is cia gauname

(5)∫

Ω

f(ω)µ(dω) ≤ lim infn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω).


Is (4) ir(5) isplaukia

lim infn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) = lim supn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) =∫

Ω

f(ω)µ(dω). ut

17 teorema. Jei gk (k = 1, 2, ...) yra neneigiamos macios funkcijos, tai∫Ω

∞∑k=1

gk(ω)µ(dω) =∞∑

k=1

∫Ω

gk(ω)µ(dω).

I‘r o d y m a s. Funkcijos

fn(ω) =n∑

k=1

gk(ω)

yra neneigiamos macios, ju‘seka nemazeja, o tos sekos riba lygi

f(ω) =∞∑

k=1

gk(ω).


limn→∞

∫Ω

fn(ω)µ(dω) =∫

Ω

f(ω)µ(dω).

Pagal 3 teorema‘ ∫

Ω

fn(ω)µ(dω) =n∑

k=1

∫Ω

gk(ω)µ(dω).

Is cia isplaukia teoremos teiginys. ut18 teorema. Jei f yra integruojama aibeje A, o A yra maciu

‘disjunkciu

‘aibiu

‘sekos sa

‘junga,

A =∞⋃

k=1

Ak,

tai ∫A

f(ω)µ(dω) =∞∑

k=1

∫Ak

f(ω)µ(dω).

Jei f yra neneigiama mati funkcija, tai pastaroji lygybe yra teisinga irtada, kai ta funkcija nera integruojama.


I‘r o d y m a s. Tarkime, kad f yra neneigiama mati funkcija. Kadangi

f(ω)1A(ω) =∞∑

k=1

f(ω)1Ak(ω),

tai pagal 17 teorema‘∫

Ω

f(ω)1A(ω)µ(dω) =∞∑

k=1

∫Ω

f(ω)1Ak(ω)µ(dω),

t. y. ∫A

f(ω)µ(dω) =∞∑

k=1

∫Ak

f(ω)µ(dω).

Jei f yra bet kurio zenklo integruojama funkcija, tai ka‘tik i

‘rodyta

‘lygybe

‘taikome kiekvienai is funkciju

‘f+, f−. Is cia gauname teoremos teigini

‘. ut

Pakomentuosime sia‘teorema

‘. Tarkime, kad f yra neneigiama mati arba

bet kurio zenklo integruojama funkcija erdveje Ω,A, µ. Pazymekime

(6) ν(A) =∫

A

f(ω)µ(dω), A ∈ A.

Is 18 teoremos isplaukia, kad ν yra visiskai adityvi aibes funkcija: jei A yradisjunkciu

‘aibiu

‘Ak sekos sa

‘junga, tai

ν(A) =∞∑

k=1

ν(Ak).

Vadinasi, kai f yra neneigiama mati funkcija, tai ν taip pat yra matas maciojeerdveje Ω,A (nes ν(∅) = 0).

Jei ϕ ir % yra matai macioje erdveje Ω,A ir is lygybes %(A) = 0, A ∈ A,isplaukia ϕ(A) = 0, tai sakome, kad matas % yra absoliuciai tolydus mato ϕatzvilgiu.

Is 18 teoremos turime, kad matas ν yra absoliuciai tolydus mato µatzvilgiu. Pasirodo, mata

‘%, absoliuciai tolydu

‘mato ϕ atzvilgiu, visada gali-

ma uzrasyti (6) pavidalu.

19 (Radono–Nikodimo) teorema. Jei ϕ ir % yra matai maciojeerdveje Ω,A, matas ϕ yra σ baigtinis, o matas % – absoliuciai tolydus matoϕ atzvilgiu, tai egzistuoja neneigiama A mati funkcija f , tenkinanti lygybe

‘

%(A) =∫

A

f(ω)ϕ(dω),


kokia bebutu‘A ∈ A. Jei ir matas % yra σ baigtinis, tai funkcija f yra beveik

visur baigtine. Jei, be funkcijos f , yra dar ir kita A mati funkcija g, tenkinantilygybe

‘

%(A) =∫

A

g(ω)ϕ(dω),

kokia bebutu‘A ∈ A, tai funkcijos f ir g yra beveik visur lygios mato ϕ

atzvilgiu.Panasi teorija yra teisinga ir tuo atveju, kai (6) integrale f yra bet kuri

integruojama funkcija. Tada aibes funkcija ν gali buti ir neigiama, taciauvisiskai adityvi. Tokia

‘aibes funkcija

‘galime pavadinti apibendrintuoju matu.

Apskritai apibendrintuoju matu, arba kruviu, vadiname realia‘visiskai adityvia

‘aibes funkcija

‘ν, macioje erdveje Ω,A turincia

‘savybes: 1) ν(∅) = 0;

2) is dvieju‘begaliniu

‘reiksmiu

‘−∞ ir ∞ funkcija ν gali i

‘gyti tik kuria

‘nors

viena‘. Kruvis ν yra vadinamas baigtiniu, jei jo reiksmes ν(A) yra baigtines,

kokios bebutu‘A ∈ A, ir σ baigtiniu, jei Ω galima suskaidyti i

‘skaicia

‘sistema

‘aibiu

‘Ωk (k = 1, 2, ...), kuriu

‘poaibiams, priklausantiems A, kruvio

reiksmes yra baigtines. Kiekviena‘

kruvi‘

galima isreiksti dvieju‘

matu‘

skir-tumu. Pazymekime

ν+(A) = supB⊂A,B∈A

ν(B), ν−(A) = supB⊂A,B∈A

(− ν(B)

), A ∈ A.

Galima i‘rodyti, kad ν+ ir ν− yra neneigiamos, visiskai adityvios aibes funkci-

jos. Jei ν yra baigtinis arba σ baigtinis, tai tokie yra ir ν+, ν−. Kiekviena‘

kruvi‘galima parasyti pavidalu

ν = ν+ − ν−.

Ir kruviams galime i‘vesti absoliutaus tolydumo sa

‘voka

‘. Sakysime, kad

kruvis % yra absoliuciai tolydus kruvio ϕ atzvilgiu, jei is ϕ(A) = 0, A ∈ A,isplaukia %(A) = 0.

Teisinga ir bendresne Radono–Nikodimo teorema. Tarkime, kad erdvejeΩ,A, ϕ, kurioje matas ϕ yra σ baigtinis, σ baigtinis kruvis % yra absoliuciaitolydus mato ϕ atzvilgiu. Tada egzistuoja mati funkcija f , tenkinanti sa

‘lyga

‘

%(A) =∫

A

f(ω)ϕ(dω), A ∈ A.

Jei egzistuoja dar viena funkcija g su sa‘lyga

%(A) =∫

A

g(ω)ϕ(dω),

tai funkcijos f ir g yra beveik visur lygios mato ϕ atzvilgiu.

Matu‘sandauga. Kartotiniai integralai 403

Galima nagrineti ir bendresnius negu iki siol nagrinetieji integralus – in-tegralus apibendrinto mato atzvilgiu. Jei ϕ yra kruvis macioje erdveje Ω,Air jis isreiskiamas dvieju

‘matu

‘skirtumu µ− ν, tai pagal apibrezima

‘∫Ω

f(ω)ϕ(dω) =∫

Ω

f(ω)µ(dω)−∫

Ω

f(ω)ν(dω).

Abu desines puses integralai ir ju‘skirtumas turi tureti prasme

‘. I

‘rodoma, kad

integralas nepriklauso nuo kruvio ϕ israiskos dvieju‘matu

‘skirtumu, t. y. jei

ϕ = µ1 − ν1 ir ϕ = µ2 − ν2, tai∫Ω

f(ω)µ1(dω)−∫

Ω

f(ω)ν1(dω) =∫

Ω

f(ω)µ2(dω)−∫

Ω

f(ω)ν2(dω).

Taip apibendrinti vadinamieji Radono integralai turi daugeli‘svarbiausiu

‘in-

tegralo savybiu‘.

Teisinga ir Radono–Nikodimo teorema, kai ϕ yra kruvis. Beje, ji yrateisinga ir tada, kai % nera σ baigtinis, bet tada funkcija f gali i

‘gyti ir bega-

lines reiksmes.Funkcija f Radono-Nikodimo teoremoje daznai vadinama mato % Ra-

dono-Nikodimo isvestine mato ϕ atzvilgiu ir zymima d%/dϕ. Ji turi daugeli‘

paprastos klasikineje analizeje nagrinejamos isvestines savybiu‘.

Radono-Nikodimo teoremos i‘rodyma

‘ir jos apibendrinimus galima rasti,

pvz., [12, 22].

10. MATU‘

SANDAUGA. KARTOTINIAI INTEGRALAI

Priminsime aibiu‘sandaugos sa

‘voka

‘. Dvieju

‘aibiu

‘A ir B (Dekarto)sandauga

A × B vadiname visuma‘

dvejetu‘

(x, y), kai x yra bet kuris aibes A, o y –aibes B elementas:

A×B = (x, y) : x ∈ A, y ∈ B.

Aibiu‘sandauga nera nei komutatyvi, nei asociatyvi. Taciau ji turi sias dis-

tributyvumo savybes: jei A,B,C,D yra bet kurios aibes, tai

(A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C),

C × (A ∪B) = (C ×A) ∪ (C ×B),

A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C),

(B ∩ C)×A = (B ×A) ∩ (C ×A),

(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).

Panasiai apibreziama ir keliu‘aibiu

‘sandauga. Aibiu

‘A1, ..., An sandauga


A1 × ...×An =n/∖

k=1

Ak

vadinsime visuma‘baigtiniu

‘seku

‘(x1, ..., xn), kuriose x1 yra bet kuris aibes

A1 elementas, ir t. t., xn yra bet kuris aibes An elementas:(x1, ..., xn) : x1 ∈ A1, ..., xn ∈ An

.

Aibiu‘sekos A1, A2, ... sandauga

A1 ×A2 × ... =∞/∖

k=1

Ak

yra visuma seku‘

(x1, x2, ...) : x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, ....

Toliau kalbesime apie maciu‘erdviu

‘sandaugas. Kad butu

‘paprasciau, is

pradziu‘imsime tik dvi erdves. Tarkime, turime dvi macias erdves Ω1,A1 ir

Ω2,A2. Dvieju‘aibiu

‘A1 ⊂ Ω1, A2 ⊂ Ω2 sandauga

‘A1 × A2 susitarsime va-

dinti staciakampiu. Jei aibes A1 ir A2 butu‘realiu

‘ju

‘skaiciu

‘aibes – intervalai

ir jas atidetume plokstumos staciakampiu‘

koordinaciu‘

asyse, tai sandaugaA1 × A2 butu

‘tikrai staciakampis i

‘prastine prasme. Kai A1 ∈ A1, A2 ∈ A2,

tai staciakampi‘A1 × A2 vadinsime maciuoju. Visu

‘maciu

‘staciakampiu

‘sis-

tema apskritai nera aibiu‘σ algebra, taciau ji generuoja σ algebra

‘, vadinama

‘algebru

‘A1 irA2 sandauga. Ja

‘zymesimeA1⊗A2. Si sandaugos sa

‘voka skiriasi

nuo aibiu‘sandaugos sa

‘vokos. Todel vartojame ir skirtinga

‘zymejima

‘.

Mati erdve Ω1 × Ω2,A1 ⊗ A2 yra vadinama maciu‘erdviu

‘Ω1,A1 ir

Ω2,A2 sandauga ir zymima Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2.Imkime aibe

‘A ∈ A1 ×A2. Jos pjuviu taske ω1 ∈ Ω1 vadinama aibe

Aω1 = ω2 ∈ Ω2 : (ω1, ω2) ∈ A,

o pjuviu taske ω2 ∈ Ω2 – aibe

Aω2 = ω1 ∈ Ω1 : (ω1, ω2) ∈ A.

Specialiu atveju, kai A = A1 ⊗A2,

(1) Aω1 =A2, kai ω1 ∈ A1,∅, kai ω1 /∈ A1,

(2) Aω2 =A1, kai ω2 ∈ A2,∅, kai ω2 /∈ A2.


1 teorema. Jei Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2 yra dvieju‘

maciu‘

erdviu‘

sandaugair A ∈ A1 ⊗ A2, tai pjuvis Aω1 ∈ A2, kai ω1 ∈ Ω1, ir pjuvis Aω2 ∈ A1,kai ω2 ∈ Ω2 (kitaip tariant, A1 ⊗A2 macios aibes A pjuviai Aω1 ir Aω2 yraatitinkamai A2 matus ir A1 matus).

I‘r o d y m a s. Pazymekime Cω1 visu

‘aibes Ω1×Ω2 poaibiu

‘A su sa

‘lyga

Aω1 ∈ A2 sistema‘. Aisku, siai sistemai pagal (1) ir (2) priklauso visi matus

staciakampiai A1 ×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2.Parodysime, kad sistema Cω1 yra uzdara papildymo ir sekos jungimo

operaciju‘atzvilgiu. Is tikru

‘ju

‘, jei A ∈ Ω1 × Ω2, tai(

(Ω1 × Ω2)\A)ω1

= Ω2\Aω1 ;

jei A1, A2... yra aibes Ω1 × Ω2 poaibiai, tai( ∞⋃k=1

Ak

)ω1

=∞⋃

k=1

(Ak)ω1 .

Vadinasi, sistema Cω1 yra σ algebra ir jai priklauso matus staciakampiai.Todel A1 ⊗A2 ⊂ Cω1 .

Analogiskai nagrinejami pjuviai Aω2 . ut

Isvada. Netuscias staciakampis A1 × A2 ⊂ Ω1 × Ω2 maciu‘

erdviu‘

sandaugoje Ω1,A1 ⊗ Ω2,A2 yra A1 ⊗ A2 matus tada ir tik tada, kaiA1 ∈ A1, A2 ∈ A2.

I‘r o d y m a s. Jei A1 ∈ A1 ir A2 ∈ A2, tai A1 ×A2 ∈ A1 ⊗A2 pagal σ

algebros apibrezima‘.

Tarkime, kad staciakampis A1×A2 ∈ A1⊗A2 yra netuscias. Tada aibe A1

yra netuscia, vadinasi, egzistuoja ω1 ∈ A1. Pagal (1) A2 = (A1×A2)ω1 ∈ A2.Analogiskai i

‘rodome, kad A1 ∈ A1. ut


maciu‘

erdviu‘

sandaugair f(ω1, ω2) yra A1 ⊗ A2 mati funkcija, tai kiekvienam ω1 ∈ Ω1 funkcijaϕω1(ω2) = f(ω1, ω2), traktuojama kaip vieno kintamojo ω2 funkcija, yraA2 mati, o funkcija ψω2 = f(ω1, ω2), traktuojama kaip vieno kintamojo ω1

funkcija, yra A1 mati.I‘r o d y m a s. Paeme

‘bet kuria

‘tieses Borelio aibe

‘B, turime

ϕ−1ω1

(B) = ω2 : ϕω1(ω2) ∈ B = (ω1, ω2) : f(ω1, ω2) ∈ Bω1 ∈ A2.

Analogiskai tiriama ir funkcija ψω2(ω1). ut


maciu‘

erdviu‘

sandauga,tai tapaciai nelygi nuliui funkcija f(ω1, ω2) = f1(ω1)f2(ω2), apibrezta aibejeΩ1×Ω2, yra A1⊗A2 mati tada ir tik tada, kai f1(ω1) yra A1 mati, o f2(ω2)yra A2 mati.


I‘

r o d y m a s. 1. Tarkime, kad f(ω1, ω2) nera tapaciai lygi nuliui irA1 ⊗A2 mati. Galime rasti toki

‘ω10 ∈ Ω1, kad f1(ω10) 6= 0. Pagal 2 teorema

‘funkcija f1(ω10)f2(ω2), t. y. f2(ω2) yra A2 mati. Analogiskai i

‘rodomas f1(ω1)

A1 matumas.2. I

‘rodysime sa


‘. Pazymekime f1(ω1, ω2) = f1(ω1) ir

f2(ω1, ω2) = f2(ω2). Kadangi f−11 (B) =

(f−11 (B)

)× Ω2 ∈ A1 ⊗ A2, kokia

bebutu‘B ∈ B, ir analogiskai f−1

2 (B) ∈ A1⊗A2, tai funkcija f1(ω1)f2(ω2) == f1(ω1, ω2)f2(ω1, ω2) yra A1 ⊗A2 mati. ut

1 lema. Tarkime, kad Ω1,A1, Ω2,A2 yra macios erdves. Sudarykimevisas galimas baigtines sa

‘jungas is disjunkciu

‘maciu

‘staciakampiu

‘A1 ×

×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2. Ju‘

sistema yra aibiu‘

algebra.I‘

r o d y m a s. Is pradziu‘

parodysime, kad visi matus staciakampiaisudaro aibiu

‘pusalgebri

‘. Pazymekime ju

‘sistema

‘raide C. Aisku, jog Ω1×Ω2 ∈

∈ C ir ∅ ∈ C (tuscia sa‘junga laikoma tuscia aibe).

Imkime du macius staciakampius A11 × A1

2 ir A21 × A2

2, Ak1 ∈ A1, A

k2 ∈

∈ A2 (k = 1, 2). Ju‘sankirta

(A11 ×A1

2) ∩ (A21 ×A2

2) = (A11 ∩A2

1)× (A12 ∩A2

2)

yra C aibe.Tarkime, kad A1 × A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2, yra matus staciakampis.

Turime lygybe‘

Ω1 × Ω2 =[A1 ∪ (Ω1\A1)

]×

[A2 ∪ (Ω2\A2)

]=

=[A1 ×A2

]∪

[A1 × (Ω2\A2)

]∪

[(Ω1\A1)×A2

]∪

[(Ω1\A1)× (Ω2\A2)

];

desineje puseje jungiamosios aibes yra disjunktus matus staciakampiai. Is ciamatome, kad papildinys (Ω1×Ω2)\(A1×A2) yra reiskiamas disjunkciu

‘maciu

‘staciakampiu

‘sa

‘junga.

Lemos teiginys isplaukia is 5.1 teoremos. ut

2 lema. Jei Ω1,A1, µ1 ir Ω2,A2, µ2 yra erdves su σ baigtiniaismatais ir A ∈ A1 ⊗ A2, tai funkcija µ2(Aω1), apibrezta aibeje Ω1, yra A1

mati, o funkcija µ1(Aω2), apibrezta aibeje Ω2, yra A2 mati, be to,∫Ω1

µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫

Ω2

µ1(Aω2)µ2(dω2).

Kai A = A1 ×A2, tie integralai yra lygus µ1(A1)µ2(A2).I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad matai µ1 ir µ2 yra baigtiniai. Pazymekime

M visu‘A1 ⊗A2 maciu

‘aibiu

‘, kurioms teisingas lemos teiginys, sistema

‘.

Parodysime, kad sistemai priklauso visi matus staciakampiai. Jei A == A1 ×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2, tai pagal (1) ir (2)


µ2(Aω1) = µ2(A2)1A1(ω1), µ1(Aω2) = µ1(A1)1A2(ω2).

Is cia matome, kad funkcijos µ2(Aω1) ir µ1(Aω2) yra neneigiamos, pirmoji isju

‘A1 mati, antroji – A2 mati, ir∫

Ω1

µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫

Ω2

µ1(Aω2)µ2(dω2) = µ1(A1)µ2(A2).

Is cia turime, kad visos baigtines maciu‘staciakampiu

‘sa

‘jungos priklauso M.

Taciau, kaip teigia 1 lema, disjunkciu‘

staciakampiu‘

visu‘

baigtiniu‘

sa‘jungu

‘sistema sudaro aibiu

‘algebra

‘. Vadinasi, M yra aibiu

‘algebra.

Parodysime, kadM yra σ algebra. Tam i‘rodysime, kad ji yra monotonine

aibu‘klase. Imkime monotoniska

‘sistemos M aibiu

‘seka

‘A(n) (n = 1, 2, ...).

Pazymekime A = limA(n). Tada aibes A(n)ω2 ir aibe Aω2 yra A1 macios, oaibes A(n)

ω1 ir aibe Aω1 yra A2 macios. Funkcijos µ1(A(n)ω2) yra neneigiamosir A1 macios, ju

‘seka konverguoja i

‘neneigiama

‘A1 macia

‘funkcija

‘µ(Aω2).

Lygiai taip pat funkcijos µ2(A(n)ω1 ) yra A2 macios ir neneigiamos, ju

‘seka

konverguoja i‘neneigiama

‘A2 macia

‘funkcija

‘µ2(Aω2). Pereje

‘lygybeje∫

Ω1

µ2(A(n)ω1

)µ1(dω1) =∫

Ω2

µ1(A(n)ω2)µ2(dω2)

prie ribos, kai n→∞, pagal 9.14 teorema‘gauname∫

Ω1

µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫

Ω2

µ1(Aω2)µ2(dω2).

Vadinasi, A ∈ M. Taigi M yra σ algebra, kuriai priklauso visi matusstaciakampiai. Kadangi A1 ⊗ A2 yra σ algebra, generuota visu

‘maciu

‘sta-

ciakampiu‘sistemos, tai A1 ⊗A2 ⊂M.

2. Tarkime dabar, kad visi matai yra σ baigtiniai. Aibes Ω1 ir Ω2 galimeparasyti disjunkciu

‘aibiu

‘skaiciomis sa

‘jungomis

Ω1 =∞⋃

k=1

C1k, Ω2 =∞⋃

j=1

C2j

su sa‘lygomis µ1(C1k) <∞ (k = 1, 2, ...), µ2(C2j) <∞ (j = 1, 2, ...). Tada

Ω1 × Ω2 =( ∞⋃

k=1

C1k

)×

( ∞⋃j=1

C2j

)=

∞⋃k=1

∞⋃j=1

(C1k × C2j

).

Kiekvienai is aibiu‘C1k×C2j galime pritaikyti i

‘rodyta

‘ja

‘lemos dali

‘. Susumave

‘gauname, jog lema teisinga ir bendruoju atveju. ut


4 teorema. Jei Ω1,A1, µ1 ir Ω2,A2, µ2 yra erdves su σ baigtiniaismatais, tai aibes funkcija

(3) λ(A) =∫

Ω1

µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫

Ω2

µ1(Aω2)µ2(dω2),

apibrezta σ algebros A1 ⊗A2 aibems A, yra σ baigtinis matas, kuris tenkinalygybe

‘λ(A1 ×A2) = µ1(A1)µ2(A2),

kai A1×A2 yra bet kuris matus staciakampis. Kiekvienas kitas matas maciojeerdveje Ω1 × Ω2,A1 ⊗A2, turi

‘s ta

‘savybe

‘, sutampa su λ.

I‘

r o d y m a s. Is 9.18 teoremos turime, kad aibes funkcija λ yra σadityvi. Is 9.11 teoremos isplaukia, kad ji yra matas.

Aibe‘

Ω1 × Ω2 galima suskaidyti i‘

skaicia‘

sistema‘

maciu‘

staciakampiu‘,

kuriu‘

kiekvienas turi baigtini‘

mata‘. Vadinasi, λ yra σ baigtinis matas. Jo

vienatis isplaukia is 4.6 teoremos apie mato prate‘sima

‘. ut

Nusakytas 4 teoremoje matas vadinamas matu‘µ1 ir µ2 (Dekarto) san-

dauga ir zymimas µ1 × µ2. Erdve su matu Ω1 × Ω2,A1 ⊗A2, µ1 × µ2 yravadinama erdviu

‘su matais Ω1,A1, µ1 ir Ω2,A2, µ2 sandauga ir daznai

zymima Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2.5 teorema. Jei Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2 yra erdviu

‘su baigtiniais

matais sandauga ir A yra A1 ⊗A2 mati aibe, tai ji turi nulini‘µ1 × µ2 mata

‘tada ir tik tada, kai beveik visur mato µ1 atzvilgiu pjuviai Aω1 turi nulini

‘µ1

mata‘:

µ1ω1 : µ2(Aω1) 6= 0 = 0,

arba beveik visur mato µ2 atzvilgiu pjuviai Aω2 turi nulini‘µ2 mata

‘:

µ2ω2 : µ1(Aω2) 6= 0 = 0.

I‘

r o d y m a s. Jei µ1 × µ2(A) = 0, tai is 9.9 teoremos turime, kad(3) formuleje pointegralines funkcijos turi buti beveik visur lygios nuliui, pir-majame integrale mato µ1 atzvilgiu, antrajame – mato µ2 atzvilgiu. Is (3)formules matome, kad teisingas ir atvirkstinis teiginys. Reikia pasinaudoti9.11 teorema. ut

6 (Tonelio1) teorema. Jei Ω1,A1, µ1⊗Ω2,A2, µ2 yra dvieju‘erdviu

‘su σ baigtiniais matais sandauga ir f yra neneigiama A1⊗A2 mati funkcija,tai integralai ∫

Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1),∫

Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2)

1 Leonida Tonelli (1885–1946) – italu‘matematikas.


yra atitinkamai A2 mati ir A1 mati neneigiamos funkcijos ir∫Ω1×Ω2

f(ω1, ω2)µ1 × µ2

(d(ω1, ω2)

)=

=∫

Ω1

( ∫Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) =

=∫

Ω2

( ∫Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).

Jei f yra µ1 × µ2 integruojama funkcija, tai beveik visur mato µ1 atzvilgiuta funkcija (kaip kintamojo ω2 funkcija) yra µ2 integruojama ir beveik visurmato µ2 atzvilgiu ji (kaip kintamojo ω1 funkcija) yra µ1 integruojama.

I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad A yra A1 ⊗A2 mati aibe ir f(ω1, ω2) =

= 1A(ω1, ω2). Tada∫Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2) = µ2(Aω1),∫

Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1) = µ1(Aω2).

Pagal 2 lema‘funkcija µ2(Aω1) yra A1 mati, o funkcija µ1(Aω2) yra A2 mati.

Pagal 4 teorema‘∫

Ω1

µ2(Aω1)µ1(dω1) =∫

Ω2

µ1(Aω2)µ2(dω2) =

= µ1 × µ2(A) =∫

Ω1×Ω2

f(ω1, ω2)µ1 × µ2

(d(ω1, ω2)

).

Vadinasi, siai funkcijai teoremos teiginys yra teisingas.2. Teorema teisinga ir kiekvienai paprastajai neneigiamai funkcijai, nes

ja‘galima uzrasyti kaip A1 ⊗A2 maciu

‘aibiu

‘tiesine

‘kombinacija

‘.

3. Jei f yra bet kuri neneigiama A1 ⊗A2 mati funkcija, tai galima rastinemazejancia

‘neneigiamu

‘paprastu

‘ju

‘funkciju

‘fn seka

‘, konverguojancia

‘i‘f .

Pagal antra‘ja

‘i‘rodymo dali

‘teisingos lygybes

(4)

∫Ω1×Ω2

fn(ω1, ω2)µ1 × µ2

(d(ω1, ω2)

)=

=∫

Ω1

( ∫Ω2

fn(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) =

=∫

Ω2

( ∫Ω1

fn(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).

Pereisime prie ribos, kai n→∞. Pirmasis narys virs

410 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys∫Ω1×Ω2

f(ω1, ω2)µ1 × µ2

(d(ω1, ω2)

).

Funkcijos ∫Ω2

fn(ω1, ω2)µ2(dω2),∫

Ω1

fn(ω1, ω2)µ1(dω1)

sudaro nemazejancias neneigiamu‘A1 maciu

‘bei A2 maciu

‘funkciju

‘sekas. Ju

‘ribos yra A1 mati bei A2 mati funkcijos. Pastarosios pagal 9.14 teorema

‘yra

lygios ∫Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2),∫

Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1).

Pagal ta‘pacia

‘teorema

‘∫Ω1

( ∫Ω2

fn(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) →

→∫

Ω1

( ∫Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1),∫

Ω2

( ∫Ω1

fn(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2) →

→∫

Ω2

( ∫Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).

Is (4) gauname i‘rodoma

‘ja

‘lygybe

‘.

Teiginys apie f integruojamuma‘isplaukia is 9.10 teoremos. ut

7 (Fubinio) teorema. Tarkime, kad Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2 yradvieju

‘maciu

‘erdviu

‘su σ baigtiniais matais sandauga ir f yra integruo-

jama toje sandaugoje funkcija. Tada beveik visur mato µ1 atzvilgiu funkcijaf(ω1, ω2), kaip kintamojo ω2 funkcija, yra µ2 integruojama ir beveik visurmato µ2 atzvilgiu ji, kaip kintamojo ω1 funkcija, yra µ1 integruojama, be to,integralai ∫

Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2),∫

Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1)

yra integruojami atitinkamai matu‘µ1 bei µ2 atzvilgiu ir∫

Ω1×Ω2

f(ω1, ω2)µ1 × µ2

(d(ω1, ω2)

)=

=∫

Ω1

( ∫Ω2

f(ω1, ω2)µ2(dω2))µ1(dω1) =

=∫

Ω2

( ∫Ω1

f(ω1, ω2)µ1(dω1))µ2(dω2).


I‘r o d y m a s. Funkcijoms f+ ir f− taikome 5 teorema

‘. ut

Sioje teoremoje funkcijos integruojamuma‘galime pakeisti jos kvaziinte-

gruojamumu. I‘rodymas toks pat.

Remiantis 6 ir 7 teoremomis, is dvilypiu‘

integralu‘

galima gauti karto-tinius.

Dabar pameginsime ka‘tik isdestyta

‘teorija

‘apibendrinti keliu

‘erdviu

‘su

matais sandaugai. Maciu‘

erdviu‘Ω1,A1, ..., Ωs,As sandauga vadiname

macia‘erdve

‘Ω1× ...×Ωs,A1⊗ ...⊗As, kurioje A1⊗ ...⊗As yra σ algebra,

generuota vadinamu‘ju

‘maciu

‘staciakampiu

‘A1 × ... × As, Ak ∈ Ak (k =

= 1, ..., s). Vartojamas zymejimas Ω1,A1 ⊗ ...⊗ Ωs,As.Nezymiai pakeite

‘anksciau isdestyta

‘teorija

‘, galime gauti tokia

‘teorema

‘.

8 teorema. Jei Ω1,A1, µ1, ..., Ωs,As, µs yra erdves su σ baigtiniaismatais, tai galima rasti vieninteli

‘σ baigtini

‘mata

‘µ, apibrezta

‘σ algebroje

A1 ⊗ ...⊗As ir turinti‘savybe

‘: µ(A1 × ...×As) = µ1(A1)...µs(As), kai A1 ∈

∈ A1, ..., As ∈ As. Jei visi matai µk (k = 1, ..., s) yra baigtiniai, tai ir matasµ yra baigtinis.

Sis matas vadinamas matu‘µ1, ..., µs sandauga ir zymimas µ1 × ... × µs.

Erdve Ω1× ...×Ωs,A1⊗ ...⊗As, µ1× ...×µs daznai zymima Ω1,A1, µ1⊗...⊗ Ωs,As, µs.

Galima apibendrinti ir Fubinio teorema‘.

9 teorema. Tarkime, kad Ω1,A1, µ1 ⊗ ...⊗ Ωs,As, µs yra erdviu‘su

σ baigtiniais matais sandauga, o f – integruojama toje sandaugoje funkcija.Tada beveik visiems (ω1, ..., ωs−1) mato µ1 × ... × µs−1 atzvilgiu funkcijaf(ω1, ..., ωs−1, ωs) (kaip ωs funkcija) yra µs integruojama; beveik visiems(ω1, ..., ωs−2) mato µ1 × ...× µs−2 atzvilgiu funkcija∫

Ωs

f(ω1, ..., ωs−1, ωs)µs(dωs)

(kaip ωs−1 funkcija) yra µs−1 integruojama ir t. t.; beveik visiems ω1 matoµ1 atzvilgiu funkcija∫

Ω2

µ2(dω2)∫

Ω3

µ3(dω3)...∫

Ωs

µs(dωs)f(ω1, ω2, ω3, ..., ωs)

yra µ1 integruojama ir∫Ω1×...×Ωs

f(ω1, ..., ωs)µ1 × ...× µs

(d(ω1, ..., ωs)

)=

=∫

Ω1

µ1(dω1)∫

Ω2

µ2(dω2)...∫

Ωs

µs(dωs)f(ω1, ω2, ..., ωs).


Ir cia funkcijos integruojamuma‘galima pakeisti jos kvaziintegruojamumu.

Teisingas ir Tonelio teoremos analogas: vietoje integruojamos funkcijos gali-ma imti neneigiama

‘macia

‘funkcija

‘.

Galima apibendrinti ir kitas sio skyrelio teoremas. Tai paliekame skaity-tojui.

Tikimybiu‘

teorijoje nagrinejamos ir erdviu‘

su matu begaliniu‘

sistemu‘

sandaugos.Tarkime, turime seka

‘erdviu

‘su σ baigtiniais matais Ω1,A1, µ1, Ω2,A2,

µ2, ... Sudarykime sandauga‘Ω = Ω1×Ω2× ... Imkime visas galimas sandau-

gas A1×...×An×Ωn+1×Ωn+2×..., kuriose A1 ∈ A1, ..., An ∈ An, ..., o n – betkuris naturalusis skaicius, ir sudarykime baigtinio skaiciaus tokiu

‘sandaugu

‘disjunkciu

‘sa

‘jungu

‘sistema

‘. Ji bus aibes Ω poaibiu

‘algebra. Prapleskime ja

‘iki jos generuotos σ algebros, kuria

‘vel zymesime A = A1⊗A2⊗ ... Mata

‘vel

is pradziu‘i‘vedame aibems A1 × ...×An × Ωn+1 × Ωn+2 × ...:

µ(A1 × ...×An × Ωn+1 × Ωn+2 × ...) = µ1(A1)...µn(An),

veliau baigtinio ju‘skaiciaus disjunkcioms sa

‘jungoms

µ

( r⋃j=1

(Aj

1 × ...×Ajnj× Ωnj+1 × Ωnj+2 × ...

))=

r∑j=1

µ1(Aj1)...µnj

(Ajnj

).

Po to, remdamiesi teorema apie mato prate‘sima

‘, si

‘mata

‘galime praplesti

visoms σ algebros A aibems. Ta‘

mata‘

galima zymeti µ = µ1 × µ2 × ..., ogauta

‘ja

‘erdve

‘su matu –

Ω,A, µ = Ω1,A1, µ1 ⊗ Ω2,A2, µ2 ⊗ ...

Reikia ir bendresnio atvejo, kai sistema yra begaline ir bet kokios galios.Tokios erdves pravercia atsitiktiniu

‘procesu

‘teorijoje.

Bet kurios netusciu‘

aibiu‘

sistemos Ωλ, λ ∈ Λ sandauga vadinamesistemu

‘ω = ωλ, λ ∈ Λ

visuma‘, kurioje kiekviena

‘λ ∈ Λ atitinka elementas ωλ is Ωλ. Sia

‘sandauga

‘paprastai zymi

(5)/∖

λ∈Λ

Ωλ.

(5) sandaugos poaibis

A = B ×( /∖

λ∈Sc

Ωλ

),

kai


B ⊂/∖

λ∈S

Ωλ,

S ⊂ Λ, yra vadinamas cilindru su pagrindu B, kai S yra baigtinis Λ poaibis.Jei cilindras yra pavidalo

(6)( /∖

λ∈S

Aλ

)×

( /∖λ∈Sc

Ωλ

)(cia S – baigtinis Λ poaibis, o Aλ ⊂ Ωλ), tai jis vadinamas staciakampiu.Jei turime macias erdves Ωλ,Aλ (λ ∈ Λ) ir Aλ ∈ Aλ (λ ∈ S), tai (6)staciakampi

‘vadiname maciu. Nesunku i

‘rodyti, kad visos galimos baigtines

maciu‘staciakampiu

‘disjunkcios sa

‘jungos sudaro aibiu

‘algebra

‘. Sios algebros

generuota σ algebra yra zymima ⊗λ∈Λ

Aλ

ir vadinama σ algebru‘Aλ (λ ∈ Λ) sandauga. Mati erdve

(7) /∖

λ∈Λ

Ωλ,⊗λ∈Λ

Aλ

vadinama maciu

‘erdviu

‘Ωλ,Aλ sandauga ir daznai zymima⊗

λ∈Λ

Ωλ,Aλ.

Tarkime, kad (7) maciu‘erdviu

‘sandaugoje yra duotas tikimybinis matas

P . Imkime bet kuri‘baigtini

‘aibes Λ poaibi

‘S. Macioje erdveje

(8) /∖

λ∈S

Ωλ,⊗λ∈S

Aλ

apibresime tikimybini

‘mata

‘PS , kiekvienai aibei

A ∈/∖

λ∈S

Aλ

priskirdami cilindro su pagrindu A (7) erdveje mata‘

PS(A) = PA×

/∖λ∈Sc

Ωλ

.

Mata‘PS vadiname mato P projekcija (8) macioje erdveje. Nesunkiai i

‘rodoma

(tai gali padaryti skaitytojas), kad tikimybinio mato P projekciju‘

sistemaPS, kai S perbega visus galimus baigtinius aibes Λ poaibius, tenkina


vadinama‘ja

‘suderinimo sa

‘lyga

‘: kai S1 ir S2, S1 ⊂ S2, yra bet kurie baig-

tiniai aibes λ poaibiai, erdveje /∖λ∈S2

Ωλ,⊗λ∈S2

Aλ

,

projekcija (PS2)S1 macioje erdveje /∖λ∈S1

Ωλ,⊗λ∈S2

Aλ

,

sutampa su matu PS1 .Kyla klausimas: ar teisingas atvirkstinis teiginys. Sakykime, duota maciu

‘erdviu

‘sistema Ωλ,Aλ (λ ∈ Λ) ir kiekvienam baigtiniam aibes Λ poaibiui S

nurodytas tikimybinis matas (8) macioje erdveje. Tarkime, kad matu‘sistema

PS tenkina suderinimo sa‘lyga

‘. Ar egzistuoja (7) macioje erdveje tikimy-

binis matas P , kurio projekcija kiekvienoje (7) pavidalo erdveje sutampa sumatu PS? Bendruoju atveju toks matas, deja, neegzistuoja. Reikia i

‘vesti kai

kuriuos apribojimus. Toks matas egzistuoja, kai aibes Ωλ yra visu‘tieses tasku

‘aibes R, o Aλ – tieses tasku

‘visu

‘Borelio aibiu

‘σ algebros B (Kolmogorovo

teorema); jos i‘rodyma

‘zr., pvz., [27].

11. LEBEGO–STYLTJESO IRRYMANO–STYLTJESO INTEGRALAI

8 skyrelyje apibrezeme Lebego–Styltjeso integrala‘. Jei F yra apibrezta realiu

‘ju

‘skaiciu

‘tieseje nemazejanti tolydi is kaires funkcija, tai ji generuoja Lebego–

Styltjeso mata‘µF . Integralas∫ ∞

−∞f(x)µF (dx),

kaip sakeme, yra vadinamas Lebego-Styltjeso integralu ir dar kitaip zymimas∫ ∞

−∞f(x)dF (x).

Si‘integrala

‘(plg. 9 skyrelio gale i

‘vesta

‘ji‘Radono integrala

‘) galime dar api-

bendrinti. Jei F yra dvieju‘nemazejanciu

‘ir tolydziu

‘is kaires funkciju

‘skirtu-

mas F1−F2, o µF1 ir µF2 – ju‘generuoti matai, tai µF1 −µF2 yra apibendrin-

tas matas (arba kruvis). Ji‘vel zymesime µF ir vadinsime kruviu, generuotu

funkcijos F . Tada integralu‘skirtuma

‘

Lebego–Styltjeso ir Rymano–Styltjeso integralai 415∫ ∞

−∞f(x)µF1(dx)−

∫ ∞

−∞f(x)µF2(dx) =

∫ ∞

−∞f(x)dF1(x)−

∫ ∞

−∞f(x)dF2(x),

kai kiekvienas is ju‘ir skirtumas turi prasme

‘, vel vadiname Lebego–Styltjeso

integralu ir vel zymime ∫ ∞

−∞f(x)dF (x).

Galime parodyti, kad jo reiksme nepriklauso nuo F israiskos dvieju‘nemaze-

janciu‘funkciju

‘skirtumu.

Matematikoje daznai pravercia ir kitokie, vadinamieji Rymano–Styltjesointegralai. Tarkime, kad F yra apibrezta baigtiniame intervale [a, b), isreis-kiama dvieju

‘apreztu

‘nemazejanciu

‘tolydziu

‘is kaires funkciju

‘skirtumu, o f

– bet kuri realioji funkcija, nusakyta tame paciame intervale. Suskaidykimeintervala

‘[a, b) taskais

a = x0 < x1 < ... < xn = b

i‘

intervalus [xk−1, xk). Kiekviename intervale [xk−1, xk) parinkime po betkuri

‘taska

‘ξk. Sudarykime integralines sumas

s =n∑

k=1

f(ξk)(F (xk)− F (xk−1)

).

Cia laikome F (xn) = F (b − 0). Ji priklausys nuo suskaidymo ir tasku‘

ξk parinkimo. Didinkime suskaidymo tasku‘

skaiciu‘

taip, kad suskaidymointervalu

‘ilgiai tolygiai konverguotu

‘i‘nuli

‘:

max1≤k≤n

(xk − xk−1) → 0.

Jei egzistuoja riba lim s ir ji nepriklauso nei nuo skaidymo tasku‘, nei nuo tasku

‘ξk parinkimo budu

‘, tai sakome, kad funkcija f yra integruojama Rymano–

Styltjeso prasme funkcijos F atzvilgiu, o pati riba vadinama funkcijos fRymano–Styltjeso integralu funkcijos F atzvilgiu ir zymima taip pat kaipir Lebego–Styltjeso integralas:∫

[a,b)

f(x)dF (x).

Kai F (x) ≡ x, turime i‘prasta

‘Rymano integrala

‘∫ b

a

f(x)dx.

Apibrezdami Rymano–Styltjeso integrala‘, laikeme F nemazejancia to-

lydzia is kaires. Taciau apibrezimas tinka ir tada, kai ji yra dvieju‘

bet


kokiu‘

nemazejanciu‘

funkciju‘

skirtumas. Tokias funkcijas vadina baigtinesvariacijos funkcijomis. Analogiskai apibreziamas integralas ir intervaluose(a, b], [a, b], (a, b). Apskritai integralai minetuose intervaluose ne visada su-tampa. Pavyzdziui, jei a yra funkcijos F trukio taskas, tai integralas intervale[a, b] yra lygus integralo intervale (a, b] ir nario f(a)

(F (a+0)−F (a)

)sumai.

Rymano–Styltjeso integralu begaliniame intervale – visoje realiu‘ju

‘skaiciu

‘tieseje ar pustieseje – laikoma integralo baigtiniame intervale riba, kai vienasar abu to intervalo galai tolsta begalyben. Antai, integralas tieseje R == (−∞,∞) nusakomas lygybe∫ ∞

−∞f(x)dF (x) = lim

a→−∞b→∞

∫[a,b)

f(x)dF (x),

jei ta riba egzistuoja, kai a tolsta i‘−∞, o b – i

‘∞ nepriklausomai vienas

nuo kito.Kaip mateme, Lebego–Styltjeso integralas yra apibreziamas bet kokiose

maciose aibese, tuo tarpu Rymano–Styltjeso integralas – tik intervaluose,baigtiniuose ir begaliniuose.

Lebego ir Rymano integralu‘apibrezimu

‘principai yra is esmes skirtingi.

Apibrezdami Rymano integrala‘, mes grupuojame tieses taskus, kurie yra arti

vienas kito. Apibrezdami Lebego integrala‘, tuos taskus grupuojame pagal

funkcijos reiksmiu‘artuma

‘. Todel Rymano integralas egzistuoja tada, kai inte-

gruojamoji funkcija nera ”labai truki”, o Lebego integralas – zymiai platesneifunkciju

‘klasei.

Toliau rasime butinas ir pakankamas integruojamumo Rymano prasmesa

‘lygas bei rysi

‘tarp Rymano ir Lebego integralu

‘.

Mums pravers keletas pazymejimu‘.

Tarkime, kad f yra realioji funkcija intervale [a, b). Imkime to intervaloskaidiniu

‘seka

‘

a = xn0 < xn1 < ... < xnkn= b (n = 1, 2, ...),

turincia‘

savybes: (n + 1)-asis skaidinys yra gaunamas is n-ojo skaidinio,pridejus nauju

‘skaidymo tasku

‘, ir

λn = max1≤k≤kn

(xnk − xn,k−1) → 0,

kai n→∞. Pazymekime

Ink = [xn,k−1, xnk],

mnk = infx∈Ink

f(x),

Mnk = supx∈Ink

f(x),

(k = 1, ..., kn;n = 1, 2, ...)

Lebego–Styltjeso ir Rymano–Styltjeso integralai 417

ir i‘veskime funkcijas

An(x) = mnk, kai x ∈ Ink,

Vn(x) = Mnk, kai x ∈ Ink.

Visiems x ∈ [a, b) turime

A1(x) ≤ A2(x) ≤ ... ≤ f(x) ≤ ... ≤ V2(x) ≤ V1(x).

PazymekimeA(x) = lim

n→∞An(x), V (x) = lim

n→∞Vn(x).

Aisku, kadA(x) ≤ f(x) ≤ V (x).

I‘veskime

sn =kn∑

k=1

mnk∆nk, Sn =kn∑

k=1

Mnk∆nk;

cia ∆nk = xnk−xn,k−1. Pastarosios sumos yra vadinamos apatine ir virsutineDarbu1 sumomis.

1 teorema. Jei funkcija f yra aprezta ir integruojama Rymano prasmeintervale [a, b), tai V (x) beveik visur Lebego mato prasme lygi A(x) ir

(R)∫ b

a

f(x)dx = (L)∫ b

a

f(x)dx.

I‘

r o d y m a s. Is klasikines matematines analizes zinome: jei f yraintegruojama Rymano prasme, tai

sn (R)∫ b

a

f(x)dx, sn (R)∫ b

a

f(x)dx.

Apatines ir virsutines Darbu sumas galime isreiksti Lebego integralais

sn =kn∑

k=1

mnk∆nk =kn∑

k=1

∫Ink

mnkdx =

=kn∑

k=1

∫Ink

An(x)dx =∫ b

a

An(x)dx,

Sn =∫ b

a

Vn(x)dx.

1 Gaston Darboux (1842–1917) – prancuzu‘matematikas.


Kadangi An ir Vn yra tolygiai apreztos (nes funkcija f yra aprezta), tai isintegralo savybiu

‘turime

sn =∫ b

a

An(x)dx∫ b

a

A(x)dx,

Sn =∫ b

a

Vn(x)dx∫ b

a

V (x)dx.

Vadinasi, ∫ b

a

A(x)dx =∫ b

a

V (x)dx = (R)∫ b

a

f(x)dx.

Is cia ∫ b

a

(V (x)−A(x)

)dx = 0.

Kadangi pointegraline funkcija yra neneigiama, tai ji beveik visur Lebegomato prasme turi buti lygi nuliui.

Is nelygybiu‘A(x) ≤ f(x) ≤ V (x) isplaukia, kad

x : f(x) 6= A(x) ⊂ x : V (x) 6= A(x).

Todel beveik visur

(1) f(x) = A(x).

A(x) yra Borelio funkcija, kaip Borelio funkciju‘sekos An(x) riba. Paro-

dysime, kad f yra mati Lebego prasme. Kiekvienam z ∈ R aibe

x : f(x) < z =(x : A(x) < z ∩ x : A(x) = V (x)

)∪

∪(x : f(x) < z ∩ x : A(x) 6= V (x)

)yra mati Lebego prasme, nes pirmuosiuose skliaustuose esanti aibe yra Borelioaibe, o antruosiuose skliaustuose esanti aibe yra nuline.

Is (1) pagal 9.12 teorema‘∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

A(x)dx = (R)∫ b

a

f(x)dx. ut

Lema. Tarkime, kad x0 nesutampa ne su vienu is tasku‘xn0, ..., xnkn

(n == 1, 2, ...). Funkcija f yra tolydi taske x0 tada ir tik tada, kai V (x0) = A(x0)(ir, zinoma, = f(x0)).

I‘r o d y m a s. 1. Tarkime, kad f yra tolydi taske x0. Imkime bet kuri

‘ε > 0. Egzistuoja toks δ > 0, kad |f(y) − f(x0)| < ε

2 , kai |y − x0| < δ.Egzistuoja toks n0, kad λn < δ, kai n ≥ n0. Jei x0 ∈ Ink ir n ≥ n0, tai


Vn(x0)− f(x0) = Mnk − f(x0) = supy∈Ink

(f(y)− f(x0)

)≤ ε

2

ir analogiskaif(x0)−An(x0) ≤

ε

2.

Todel, sudeje‘abi nelygybes, gauname

Vn(x0)−An(x0) ≤ ε.

Is ciaV (x0)−A(x0) = lim

n→∞

(Vn(x0)−An(x0)

)= 0.

2. Tarkime, kad x0 nesutampa ne su vienu is tasku‘xn0, ..., xnkn (n =

= 1, 2, ...) ir V (x0) = A(x0). Bet kuriam ε > 0 galime rasti toki‘n0, kad

Vn(x0)−A(x0) < ε,

kai n ≥ n0. Jei x0 ir y0 ∈ (xn,k−1, xnk), tai

f(y)− f(x0) ≤Mnk − f(x0) = Vn(x0)− f(x0) ≤ Vn(x0)−An(x0) < ε

ir

f(x0)− f(y) ≤ f(x0)−mnk = f(x0)−An(x0) ≤ Vn(x0)−An(x0) < ε,

kai n ≥ n0. Taigi|f(y)− f(x0)| < ε,

kai n ≥ n0 ir x0, y ∈ (xn,k−1, xnk). Vadinasi, f yra tolydi taske x0. ut2 teorema. Jei funkcija f yra aprezta intervale [a, b), tai ji integruojama

Rymano prasme tame intervale tada ir tik tada, kai jos trukio tasku‘

aibesLebego matas yra lygus nuliui.

I‘r o d y m a s. 1. Jei f yra integruojama intervale [a, b) Rymano prasme,

tai V (x) = A(x) beveik visur Lebego mato prasme. Is lemos isplaukia, kadf gali tureti trukio taskus tik skaidiniu

‘taskuose xnk (n = 1, 2, ...; k =

= 0, 1, ..., kn) ir tuose taskuose x0, kuriuose V (x0) = A(x0). Vadinasi, ju‘

aibes matas yra lygus nuliui.2. Tarkime, kad apreztos funkcijos f trukio tasku

‘aibes T Lebego matas

yra 0. Tada aibes

x : V (x) 6= A(x) ∪ xnk; n = 1, 2, ...; k = 0, 1, ..., kn

Lebego matas taip pat yra lygus nuliui, t. y. beveik visur

A(x) = f(x) = V (x).

Todel

420 Priedas. Mato ir integralo teorijos pradmenys∫ b

a

A(x)dx =∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

V (x)dx.

Kadangi

sn ∫ b

a

A(x)dx =∫ b

a

f(x)dx

ir

Sn ∫ b

a

V (x)dx =∫ b

a

f(x)dx,

gaunamelim

n→∞sn = lim

n→∞Sn.

Tai reiskia, kad egzistuoja funkcijos f integralas Rymano prasme intervale[a, b) ir

(R)∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

f(x)dx. ut

3 teorema. Jei funkcija f yra tolydi, o F – baigtines variacijos funkcijaintervale [a, b], tai Rymano–Styltjeso integralas

(2) (RS)∫

[a,b)

f(x)dF (x)

egzistuoja ir sutampa su Lebego–Styltjeso integralu

(3) (LS)∫

[a,b)

f(x)dF (x).

I‘r o d y m a s. Imkime intervalo [a, b) skaidinius

a = xn0 < xn1 < ... < xnkn = b

su sa‘lyga

max1≤k≤kn

|xnk − xn,k−1| → 0,

kai n → ∞. Kiekviename intervale [xn,k−1, xnk) parinkime po taska‘ξnk.

Pazymekime fn(x) = f(ξnk), kai xn,k−1 ≤ x ≤ xnk. Kadangi funkcija f yratolydi intervale [a, b], tai ji ir tolygiai tolydi. Todel

supa≤x<b

|fn(x)− f(x)| → 0,

kai n→∞. Vadinasi, visiems pakankamai dideliems n

(4) |fn(x)| ≤ f(x) + C;


cia C yra konstanta. Tada suma

kn∑k=1

f(ξnk)(F (xnk)− F (xn,k−1)

)yra lygi Lebego–Styltjeso integralui (fn(x) yra paprastoji funkcija)

(LS)∫

[a,b)

fn(x)dF (x).

Kadangi funkcija f(x), kaip paprastu‘ju

‘funkciju

‘sekos riba, yra mati, be to,

pagal (4) aprezta, tai pagal 9.16 (Lebego) teorema‘(ji tinka ir kruviams)

limn→∞

(LS)∫

[a,b)

fn(x)dF (x) = (LS)∫

[a,b)

f(x)dF (x).

Gavome, kad egzistuoja integraliniu‘sumu

‘riba, t. y. (2) Rymano–Styltjeso

integralas ir jis lygus (3) Lebego–Styltjeso integralui. ut

422 Literatura

LITERATURA

1. Barra .-R. (Barra J.-R.) Osnovnye ponti matematiqesko$istatistiki. – M.: Mir, 1974. – 280 s.

2. Bol~xev L. N., Smirnov N. V. Tablicy matematiqesko$i sta-tistiki. – M.: Nauka, 1965. – 464 s.

3. Borovkov A. A. Kurs teorii verotnoste$i. – M.: Nauka, 1972.– 288 s.Tas pat. – 2-e izd. – M.: Nauka, 1976. – 352 s.

4. Borovkov A. F. Teori verotnoste$i. – M.: Nauka, 1976. –352 s.Tas pat. – 2 izd., pererab. – M.: Nauka, 1986. – 432 s.

5. Chung Kai Lai. A course in probability theory. – New York and London:Academic Press, 1974. – 366 p.

6. Kramer G. (Cramer H.) Matematiqeskie metody statistiki. –M.: IL, 1948. – 632 s.Tas pat. – 2-e izd., stereotip. – M.: Mir, 1975. – 648 s.

7. Dub D. L. (Doob J. L.) Verotnostnye processy. – M.: IL,1956. – 608 s.

8. Feller W. An introduction to probability theory and its applications. –New York, London, Sidney: John Wiley & Sons, 1965, vol. 1. – 461 p.Tas pat. – New York, London, Sidney: John Wiley & Sons, 1966, vol. 2.– 626 p.Feller V. (Feller W.) Vvedenie v teori verotnoste$i i eepriloeni. – M.: Mir, 1964, T. 1. – 500 s.Tas pat. – M.: Mir, 1967, T. 2. – 752 s.

9. Fisz M. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. –Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1958. – 528 S.Tas pat. – Probability theory and mathematical statistics, third ed. –New York, London: John Wiley & Sons, 1963. – 677 p.Fisas M. Tikimybiu

‘teorija ir matematine statistika. – V.: Mintis, 1968.

– 552 p.10. Gnedenko B. V. Kurs teorii verotnoste$i. – M.: Gos. izdat.

tehn.-teoret. lit., 1950. – 388 s.Tas pat. – 2-e izd., pererab. – M.: Gos. izdat. fiz.-mat. lit., 1954.– 412 s.Tas pat. – 3-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1961. – 406 s.Tas pat. – 4-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1965. – 400 s.Tas pat. – 5-e izd., stereotip. – M.: Nauka, 1969. – 400 s.Tas pat. – 6-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1988. – 448 s.

11. Gnedenko B. V., Kolmogorov A. N. Predel~nye raspredelenidl summ nezavisimyh sluqa$inyh veliqin. – M.-L.: Gos. izdat.tehn.-teoret. lit., 1949. – 264 s.

Literatura 423

12. Halmos P. R. Measure theory. – Toronto, New York, London: D. vanNostrand Comp., 1950. – 304 p.Halmox P. R. (Halmos P. R.) Teori mery. – M.: IL, 1953. –292 s.

13. Ibragimov I. A., Linnik . V. Nezavisimye i stacionarnosvzannye veliqiny. – M.: Nauka, 1965. – 524 s.

14. Emel~nov G. V., Skitoviq V. P. Zadaqnik po teorii verot-noste$i i matematiqesko$i statistiki. – L.: Izd-vo Leningrad-skogo un-ta, 1967. – 332 s.

15. Kolmogorov A. N. Osnovnye ponti teorii verotnoste$i. –M.-L.: Glav. red. obwetehn. lit. i monografi$i, 1936.Tas pat. – 2-e izd. – M.: Nauka, 1974. – 120 s.

16. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. lementy teorii funkci$i ifunkcional~nogo analiza. – 4-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1976.– 544 s.

17. Kruopis J. Matematine statistika. – V.: Mokslas, 1977. – 364 p.18. Kubilius J. Realaus kintamojo funkciju

‘teorija. – V.: Mintis, 1970. –

183 p.19. Lamperti D. Verotnost~. – M.: Nauka, 1973. – 184 s.20. Leman . L. (Lehmann E. L.) Proverka statistiqeskih gipotez.

– M.: Nauka, 1964. – 500 s.21. Linnik . V., Ostrovski$i I. V. Razloeni sluqa$inyh ve-

liqin i vektorov. – M.: Nauka, 1972. – 480 s.22. Loeve M. Probability theory. – Toronto, New York, London: D. van

Nostrand Comp., 1955. – 515 p.Tas pat. – 4th ed. – New York, Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1977,vol. 1. – 425 p.Tas pat. – 4th ed. – New York, Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1978,vol. 2. – 413 p.Lov M. (Loeve M.) Teori verotnoste$i. – M.: IL, 1962. –720 s.

23. Mackevicius V. Mato teorijos pagrindai. – V.: Vilniaus univ., 1976. –96 p.

24. Mexalkin L. D. Sbornik zadaq po teorii verotnoste$i. – M.:Izd-vo Moskovskogo un-ta, 1963. – 160 s.

25. Mosteller F., Rurke R., Tomas D. (Mosteller F., Rourke R. E.K., Thomas G. B.) Verotnost~. – M.: Mir, 1969. – 432 s.

26. Ne$iman . (Neyman J.) Vvodny$i kurs teorii verotnoste$i imatematiqesko$i statistiki. – M.: Nauka, 1968. – 448 s.

27. Neve . (Neveu J.) Matematiqeskie osnovy teorii verotnoste$i.– M.: Mir, 1969. – 312 s.

28. Petrov V. V. Summy nezavisimyh sluqa$inyh veliqin. M.: Na-uka, 1972. – 416 s.

424 Literatura

29. Prohorov . V., Rozanov . A. Teori verotnoste$i. Os-novnye ponti. Predel~nye teoremy. Sluqa$inye processy. –M.: Nauka, 1967. – 496 s.Tas pat. – 2-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1973. – 496 s.

30. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. – Berlin: VEB Deutscher Verlagder Wissenschaften, 1962. – 550 S.

31. Xmetterer L. (Schmetterer L.) Vvedenie v matematiqesku sta-tistiku. – M.: Nauka, 1976. – 520 s.

32. Sevast~nov B. A. Kurs teorii verotnoste$i i matematiqesko$istatistiki. – M.: Nauka, 1982. – 256 s.

33. Xirev A. N. Verotnost~. – M.: Nauka, 1980. – 576 s.Tas pat. – 2-e izd., pererab. – M.: Nauka, 1989. – 640 s.

34. Xirev A. N. Verotnost~, statistika, sluqa$inye processy. –M.: Izd-vo Moskovskogo un-ta, 1973. – Q. 1. – 204 s.Tas pat. – 1974. – Q. 2. – 224 s.

35. Tucker H. G. A graduate course in probability. – New York and London:Academic Press, 1967. – 274 p.

36. Van der Varden B. L. (Van der Waerden B. L.) Matematiqeskastatistika. – M.: IL, 1960. – 436 s.

37. Ventcel~ A. D. Kurs teorii sluqa$inyh processov. – M.: Nauka,1975. – 320 s.

38. Uilks S. (Wilks S. S.) Matematiqeska statistika. – M.: Nauka,1967. – 632 s.

39. Zaks X. (Zacks S.) Teori statistiqeskih vyvodov. – M.: Mir,1975. – 776 s.

40. Zubkov A. N., Sevast~nov B. A., Qistkov V. P. Sbornikzadaq po teorii verotnoste$i. 2-e izd., pererab. – M.: Nauka,1980. – 224 s.

j. kubilius - tikimybių teorija

Documents