2014.03.12.
1
Kalkulus MIA 1
Kalkulus MIA
Műszaki informatikus asszisztens
Galambos Gábor
JGYPK2013-2014
http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf
2014.03.12.
2
Kalkulus MIA 2
A Kalkulus főbb témái:
Intervallum, távolság, környezetValós függvényekSzámsorozatok és sorokFüggvények határértéke, folytonosságDifferenciálszámításDifferenciálható függvények vizsgálataIntegrálszámítás és alkalmazásai
2014.03.12.
3
Matematika II. 3
A valós számok axiómarendszere I.
I. Testaxiómák
• Definiálható két művelet: az összeadás és a szorzás.• Mindkét művelet kommutatív és asszociatív
a+b = b+a a·b = b·a (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)• A műveletek követik a disztributív törvényt
a·(b+c) =a·b + a·c
• Van a halmazban zérus elem (0) és egység elem (1):a+0 = a a·1 = a
• Minden a ∊ ℝ esetén az a+x = 0 és az a·x = 1 (a ≠ 0) egyenlet-nek van megoldása. (létezik az additív és a multiplikatív inverzelem)
Kalkulus MIA 3
2014.03.12.
4
Matematika II. 4
A valós számok axiómarendszere II.
II. Rendezettségi axiómák:
A valós számok halmaza rendezett halmaz, azaz értelmezhetünk ben-ne egy rendezettségi relációt. Az a > 0 ill. a < 0 relációk aztjelentik, hogy a pozitív ill. negatív, és b > a jelentése az, hogy b –
a > 0.
A definiált ( > ) reláció rendelkezik a következő tulajdonságokkal:
• Ha a,b ∊ ℝ, akkor az a = b, a > b, a < b állítások közül egy éscsak egy teljesül
• Ha a < b, akkor a + c < b + c minden a,b,c ∊ ℝ.• Ha a > 0 és b > 0, akkor ab > 0 minden a,b,c ∊ ℝ.• Ha a > 0 és b < 0, akkor ab < 0 minden a,b,c ∊ ℝ.
Kalkulus MIA 4
2014.03.12.
5
Matematika II. 5
A valós számok axiómarendszere III.
III. Archimedesi axióma: Minden való számnál van nagyobbtermészetes szám.
IV. Cantor axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumok soro-zatának mindig van közös pontja.Más szóval: ha adott két számsorozat:
úgy, hogy tetszőleges n-re an ≤ bn, akkor az
intervallumoknak van közös része.
Kalkulus MIA 5
2014.03.12.
6
Matematika II.6
A valós számok axiómáinak ismeretében bebizonyítható, hogy alétezik:
A bizonyítás konstruktív:
n = 1
n = n+1
igen nem
Kalkulus MIA 6
2014.03.12.
7
Matematika II. 7
Így egy intervallumsorozatot definiálunk, amelyben minden n-re
(1)
A Cantor-axióma szerint ennek az intervallumsorozatnak van közöseleme. Jelöljük ezt c-vel. Ugyanakkor c-ről tudjuk, hogy (1) miatt
Ezért
(2)
(1)-hez hasonlóan induljunk most ki a
egyenlőtlenségekből.
Kalkulus MIA 7
2014.03.12.
8
Matematika II. 8
Elvégezve a hasonló műveleteket azt kapjuk, hogy
(3)
(2)-ből és (3)-ból azt kapjuk, hogy
Ami azt jelenti, hogy c2 tetszőlegesen közel kerülhet 2-höz, ha n-et elég nagyra választjuk. Ezért |2 – c2| nem lehet pozitív szám. Így
c2 = 2Amiből azt kapjuk, hogy
Tehát a tényleg létezik.Kalkulus MIA 8
2014.03.12.
9
Kalkulus MIA 9
Két halmaz egyértelmű hozzárendelését függvénynek nevezzük.
1. Fogalmak
A: B:
x
y
y = f(x)
értelmezési tartomány képhalmaz
2014.03.12.
10
Kalkulus MIA 10
Az A halmaz valamely eleméhez rendelt B halmazbeli elemetfüggvényértéknek nevezzük és f(a)-val jelöljük, ahol a ∊ A.
A függvényértékek halmazát értékkészletnek nevezzük.
A függvény értelmezési tartományát Df-fel, az értékkészletét pedigRf-fel jelöljük.
A fentiekből következik, hogy Rf ⊆ B.
Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott az értelmezésitartomány és a hozzárendelési utasítás: f(x), x ∊ A.
f(x) = x, x ∊ N.
g(x) = x+3, x ∊ R.
h(x) = x2 – 1, x ∊ R.
2014.03.12.
11
Kalkulus MIA 11
Az f és g függvényt akkor mondjuk egyenlőknek, ha Df = Dg ésminden x∊Df esetén f(x) = g(x).
Azonos-e a két kifejezés?
Df = R és Dg = R \ {0}
2014.03.12.
12
Kalkulus MIA 12
Ha az f függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is avalós számok halmazának részhalmaza, akkor valós-valósfüggvényről vagy egyváltozós valós függvényről beszélünk.
Az egyváltozós valós függvény grafikonján az (x;f(x)) koordinátájúpontok halmazát értjük a Descartes-féle koordináta rendszerben,ahol x∊Df.
2014.03.12.
13
Kalkulus MIA 13
Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott nyílt interval-lumon azt a számhalmazt értjük, amely
(a,b) = {x∊ ℝ | a < x < b.}
Intervallumok
Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott zárt interval-lumon azt a számhalmazt értjük, amely
[a,b] = {x∊ ℝ | a ≤ x ≤ b.}
Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott balról zártjobbról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely
[a,b) = {x∊ ℝ | a ≤ x < b.}
Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott jobbról zártbalról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely
(a,b] = {x∊ ℝ | a < x ≤ b.}
2014.03.12.
14
Kalkulus MIA 14
Intervallumnak nevezzük még az alábbi számhalmazokat is:(-∞,b) = {x∊ ℝ | x < b}(-∞,b] = {x∊ ℝ | x ≤ b}
(a, +∞) = {x∊ ℝ | x >a} [a, +∞) = {x∊ ℝ | x ≥ a}
(-∞, +∞) = ℝ
2014.03.12.
15
Kalkulus MIA 15
A környezet és a távolság kapcsolata
Távolság definíciója valós számokra és n dimenzióra kiterjesztve.A távolság tulajdonságaiA környezet és a távolság viszonya.Belső pont, határpont.Zárt halmaz, nyílt halmaz.
2014.03.12.
16
Kalkulus MIA 16
Az A és B halmazoknak az A × B szimbólummal jelölt Descartes-féle szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) párokból álló halmazt értjük, amelyekre a ∊ A és b ∊ B. Jelölése:
A × B = { (a,b) | a ∊ A és b ∊ B }.Ha A = B, akkor az A × A helyett az A2 jelölést is használjuk.Ha A, B ⊆ ℝ, akkor rendezett számpárokról beszélünk.
Pl. Legyen A = {1, 2, 3} és B = {e, f}
A × B =
2014.03.12.
17
17
A táblázat felfogható egy speciális szorzótáblának. A szorzathalmazelemeinek a számát a két halmaz elemeinek szorzata adja.
Tétel: A Descartes-szorzás művelete nem kommutatív. (Nemfelcserélhető).
A szorzathalmaz kettőnél több halmaz szorzatára is értelmezett,ekkor rendezett hármasok, négyesek, stb. lesznek a szorzathalmazelemei.Ha az n darab halmaz mindegyike a valós számok halmazávalegyenlő, akkor szokás az ℝn jelölést használni.
A szorzathalmaz lehetővé teszi matematikai alakzatok konstrukcióját is:
Matematika II.Kalkulus MIA
2014.03.12.
18
18
ℕ
ℕ
Matematika II.Kalkulus MIA
2014.03.12.
19
Kalkulus MIA 19
Az a < b valós számok távolságán a számegyenes a és b pontjainak távolságát értjük:
A számsík a = (a1, a2) és b = (b1, b2) pontjainak távolságát a
értékkel definiáljuk.
Az a = (a1, a2 ,…, an) és b = (b1, b2 ,…, bn) pontjainak távolságát a
értékkel definiáljuk.
2014.03.12.
20
Kalkulus MIA 20
A fentebb definiált távolság fogalom az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:
• ρ(a, b) ≥ 0• ρ(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b.• ρ(a, b) = ρ(b, a) • ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b)
Valamely x0 ∈ ℝn pontnak δ > 0 sugarú környezetén ℝn azon x
pontjainak halmazát értjük, amelyek x0 -tól való távolsága kisebb δ-nál, azaz
2014.03.12.
21
Kalkulus MIA 21
Egy x0 hely δ sugarú környezete(másik definíció)
Legyen x∊R és δ∊R+.
Az x0 hely δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0 + δ) intervallumotértjük és kδ(x0)-al jelöljük. Ha x ∊ (x0 – δ, x0 + δ), akkor |x – x0| < δ.Az x0 hely szigorúbb értelemben vett δ sugarú környezetén az (x0 –δ, x0 + δ) \ {x0} intervallumot értjük és kδ(x0) \ {x0} -al jelöljük. Hax ∊ (x0 – δ, x0 + δ) \ {x0}, akkor |a – x0| < δ.Az x0 hely baloldali δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0)intervallumot értjük és kδ(x0 – 0)-al jelöljük.Az x0 hely jobboldali δ sugarú környezetén az (x0, x0 + δ)intervallumot értjük és kδ(x0 + 0)-al jelöljük.
2014.03.12.
22
Kalkulus MIA 22
Egy H ⊆ ℝ halmaznak a egy belső pontja, ha a-nak van olyan kör-nyezete, amely része H-nak.
Egy H ⊆ ℝ halmaznak a egy határpontja, ha a-nak bármelykörnyezetében H-nak is és H komplementerének is van pontja.
Ha egy H ⊆ ℝ halmaznak minden pontja belső pont, akkor H-t nyílthalmaznak, ha minden határpontját tartalmazza, akkor zárthalmaznak nevezzük.
2014.03.12.
23
Kalkulus MIA 23
Példa: Ábrázoljuk az f(x) = x2 – 4 függvényt a [-3;3] intervallumon és határozzuk meg a zérus helyeit!
Függvénytulajdonságok
Az f függvény zérus helyének nevezzük azt az értelmezésitartománybeli elemet, ahol a felvett függvényérték zérus, azaz a∊Df ,f(a) = 0.
Az egyenlet gyökei (zérus helyei):x1 = -2
x2 = 2.
2014.03.12.
24
Kalkulus MIA 24
2014.03.12.
25
Kalkulus MIA 25
Függvények paritása
Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x ∊ Df esetén -x ∊ Df
és f(-x) = f(x).
Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = | x | függvényt párosság szempontjá-ból!
A függvény grafikonjatengelyesen tükrös az f(x)tengelyre.
2014.03.12.
26
Kalkulus MIA 26
Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha minden x ∊ Df esetén -x ∊
Df és f(-x) = -f(x).
Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x3 – 4x függvényt párosság szem-pontjából!
A függvény grafikonjatükrös az origóra.
2014.03.12.
27
Kalkulus MIA 27
Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A
részhalmazán – felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R
valós szám, hogy minden a ∊ A esetén f(a) ≤ K.
Függvények korlátossága
Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A
részhalmazán – alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R
valós szám, hogy minden a ∊ A esetén f(a) ≥ K.
Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A
részhalmazán – korlátosnak nevezzük, ha a függvény alulról ésfelülről is korlátos.
2014.03.12.
28
Kalkulus MIA 28
Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = sin x + 2 függvényt korlátosságszempontjából!
A sin x + 2 függvény értékei az [1;3] intervallumba esnek, így afüggvény alulról és felülről is korlátos, azaz korlátos.
2014.03.12.
29
Kalkulus MIA 29
Függvények monotonitása
Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A ⊆ Df) rész-halmazán monoton növekvőnek nevezzük, ha tetszőleges x1, x2 ∊ A,
x1< x2 esetén f(x1) ≤ f(x2).
Ha x1< x2 esetén f(x1) < f(x2), akkor függvényt szigorúan monotonnövekvőnek nevezzük
Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A ⊆ Df) rész-halmazán monoton csökkenőnek nevezzük, ha tetszőleges x1, x2 ∊ A,
x1< x2 esetén f(x1) ≥ f(x2).
Ha x1< x2 esetén f(x1) > f(x2), akkor függvényt szigorúan monotoncsökkenőnek nevezzük
2014.03.12.
30
Kalkulus MIA 30
Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = ex függvényt monotonitás szempont-jából!
f(x) = ex
Az egynél nagyobb alapúhatványok esetében ha akitevőt növeljük, akkor ahatvány értéke is nő Ezért hax1 < x2, akkor
Tehát a függvény szigorúanmonoton növekvő.
2014.03.12.
31
Kalkulus MIA 31
Függvények szélsőértékhelyei
Legyen adott az f függvény, és legyen H az értelmezési tartományvalamely részhalmaza (H ⊆ Df).Az x0 ∊ H az f-nek minimumhelye, ha minden x∊ H, (x ≠ x0)esetén f(x) ≥ f(x0).
Az x0 ∊ H az f-nek maximumhelye, ha minden x∊ H, (x ≠ x0)esetén f(x) ≤ f(x0).
A minimum és maximumhelyeket együttesen szélsőértékhelyek-nek nevezzük.Ha x0-nak van olyan K környezete (K⊂Df), hogy minden x∊Df ∩K
és x ≠ x0 esetén f(x) ≤ f(x0),(vagy f(x) ≥ f(x0)), akkor x0 afüggvénynek lokális szélsőértékhelye.Ha H ≡ Df , akkor x0 a függvénynek abszolút szélsőértékhelye.
2014.03.12.
32
Kalkulus MIA 32
Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = (x+3)2-1 függvényt a szélsőértékekszempontjából!
A függvénynek az x = -3
helyen abszolút minimumhelye van.
2014.03.12.
33
Kalkulus MIA 33
Periódikus függvények
Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 valósés k egész szám, hogy minden x ∊ Df esetén x+kp∊ Df, és f(x+kp) =
f(x). A valós p számot periódusnak nevezzük.
A trigonometrikus függvények periodikusak. Pl. a sin x függvényperiódusa 2π.
Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x – [x] törtrész függvénytperiodicitás szempontjából!
A függvény periodikus, és a periódusa 1.
2014.03.12.
34
Kalkulus MIA 34
Konvex és konkáv függvények
Legyen adott az f függvény és a,b ∊ Df , a < b. Legyen továbbá x1 ésx2 az [a;b] intervallum két tetszőleges pontja (a ≤ x1< x2 ≤ b).Legyen e az f(x1) és f(x2) pontokon áthaladó szelő.
Az f függvényt az [a;b] intervallumon konvexnek nevezzük, habármely olyan x ∊ Df –re, amelyre x1 < x < x2 igaz, hogy f(x) <
e(x).
Az f függvényt az [a;b] intervallumon konkávnak nevezzük, habármely olyan x ∊ Df –re, amelyre x1 < x < x2 igaz, hogy f(x) >
e(x).
Ha az x0 ∊ Df helynek van olyan jobb és baloldali környezete,hogy a függvény az egyikben konvex, a másikban konkáv, akkoraz x0 helyet inflexiós pontnak nevezzük.
2014.03.12.
35
Kalkulus MIA 35
Példa: konvex függvény
a bx1
x2x
e(x)
f(x)
f(x) < e(x).
2014.03.12.
36
Kalkulus MIA 36
Példa: inflexiós pont
A függvény a (-∞;0] intervallumon konkáv, a [0,+ ∞) intervallumonkonvex, ezért az x0 = 0 pont a függvény inflexiós pontja.
2014.03.12.
37
37
Műveletek függvényekkel
Legyen adott az f és g függvény Df és Dg értelmezési tartománnyal,valamint egy c∊ℝ konstans. Tegyük fel, hogy Df ∩ Dg ≠ ∅.Ekkor
Az f függvény konstansszorosán azt a cf függvényt értjük, amelyreDcf = Df , és minden x ∊ Df-re (cf )(x) = c f(x).Két függvény összegén azt az (f+g) függvényt értjük, amelyreDf+g= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (f+g)(x) = f(x) + g(x).Két függvény szorzatán azt az (fg) függvényt értjük, amelyre Dfg=
Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (fg)(x) = f(x) g(x).
Két függvény hányadosán azt az függvényt értjük, amely-
re Df/g= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (x) = .
Kalkulus MIA
2014.03.12.
38
Kalkulus MIA 38
Legyen adott az f és a g függvény. Tegyük fel, hogy Df ∩ Rg = A,és A ≠ ∅. Legyen D az a halmaz, amely része g értelmezésitartományának és képe az A halmaz. Tegyük fel, hogy az f függvényaz A halmazt az E ⊆ Rf halmazra képezi le.
Azt a függvényt, amely a D halmazhoz az E halmazt rendeli(értékkészletként), összetett függvénynek nevezzük és f ° g-vel je-löljük. Az f-t külső, a g-t pedig belső függvénynek nevezzük.
(f ° g)(x) = f(g(x))
Rg
D
Df
A
Rf
Eg f
2014.03.12.
39
Kalkulus MIA 39
Példa: Határozzuk meg azt a legbővebb halmazt, amelyen az f(x) = lg (x2 – 1) függvény értelmezhető.
A külső függvény a logaritmus függvény, a belső függvény ahatványfüggvény.A belső függvény értelmezési tartománya a valós számokhalmaza.Mivel a logaritmus függvény értelmezési tartomány a pozitívvalós számok halmaza, ezért a x2 – 1 > 0 –nak kell teljesülni.Ezért x > 1 vagy x < -1.Ezért az f összetett függvény értelmezési tartományaDf = R \ [-1; 1].
2014.03.12.
40
Kalkulus MIA 40
Inverz függvény
Legyen az f függvény külcsönösen egyértelmű (x1, x2 ∊ Df , x1 ≠ x2
akkor f(x1) ≠ f(x2) ).Azt a függvényt, amely az f függvény értékkészletén (Rf) vanértelmezve, és az y ∊ Rf elemhez azt az egyetlen x ∊ Df elemetrendeli, amelyre f(x) = y, az f függvény inverzének nevezzük és f -1 –gyel jelöljük: f -1(y) = x
Megjegyzések:Az értelmezési tartomány és az értékkészlet inverz képzésnélmegcserélődik.( f -1)-1=f.
Egy függvény és inverzének grafikonja tükrös az y = x egyenesre.Ha Df = Rf , akkor f º f -1 = f -1 º f.
Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverze. (Ezelegendő de nem szükséges feltétel!)
2014.03.12.
41
Kalkulus MIA 41
Példa 1: Adjuk meg az f(x) = 2x – 3 függvény inverzét!Df = Rf = R.
A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.)
A definíció alapján f -1(y) = x, ezért .
2014.03.12.
42
Kalkulus MIA 42
Példa 2: Adjuk meg az f(x) = ex függvény inverzét!Df = (-∞, ∞), Rf = (0, ∞).
A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.)
A definíció alapján f -1(y) = x, ezért x = log y .
f(x) = ex
f(x) = log(x)
2014.03.12.
43
Kalkulus MIA 43
A trigonometrikus függvények inverzei(ciklometrikus függvények)
2014.03.12.
44
Kalkulus MIA 44
A hiperbolikus függvények és inverzeik
2014.03.12.
45
Kalkulus MIA 45
Külső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára
A külső függvénytranszformációnál mindig a kiszámított függvény-értéken hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az y
tengely irányába történő változás.
Legyen adott az f függvény grafikonja.
Az f+c, c ∊ ℝ függvény grafikonja az f függvény grafikonjának y
tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága | c |,iránya megegyezik c előjelével.A –f függvény grafikonja az f–nek x tengelyre vonatkozótükörképe.A cf függvény grafikonja az f-nek y tengely menti nyújtásával (c> 1), vagy zsugorításával (0 < c < 1) kapható. Ha c negatív,akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is.
2014.03.12.
46
Kalkulus MIA 46
Belső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára
A belső függvénytranszformációnál mindig a független változónhajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az x tengelyirányába történő változás.
Legyen adott az f függvény grafikonja.
Az f(x+a), a ∊ ℝ, a+x ∊ Df függvény grafikonja az f függvénygrafikonjának x tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolásnagysága | a |, iránya ellentétes a előjelével.A f (-x) függvény grafikonja az f–nek y tengelyre vonatkozótükörképe.A f (ax) függvény grafikonja az f-nek x tengely mentizsugorításával (a > 1), vagy nyújtásával (0 < a < 1) kapható. Haa negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódótükrözést is.
2014.03.12.
47
Kalkulus MIA 47
Példa: Ábrázoljuk az f(x) = -(x-3)2+4 függvényt.
f(x)=x2 f(x)=(x-3)2
f(x)=-(x-3)2
f(x)=-(x-3)2+4
2014.03.12.
48
Kalkulus MIA 48
Az elemi függvények halmazát alkotják a
KonstansfüggvényekHatványfüggvényekExponenciális függvényekTrigonometrikus függvények
és az ezekből véges számú összeadással, kivonással, szorzással,osztással, összetett- és inverz-függvény képzéssel előállíthatófüggvények.
2014.03.12.
49
Kalkulus MIA 4949
Függvények határértéke
Négy esetet különböztetünk meg attól függően, hogy hol vizsgáljuk ahatárértéket, és az véges vagy végtelen.
2014.03.12.
50
Kalkulus MIA 5050
Végtelenben vett véges határérték
Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ szám, ha bár-mely ε > 0 –hoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahány-szor x > K és x ∊ Df, akkor | f(x) – A | < ε. Jelölése:
Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ szám, ha bár-mely ε > 0 –hoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahány-szor x < K és x ∊ Df, akkor | f(x) – A | < ε. Jelölése:
2014.03.12.
51
Kalkulus MIA 5151
Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határér-
két -ben!
2
A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre.
2014.03.12.
52
Kalkulus MIA 5252
Végtelenben vett végtelen határérték
Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ
számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K
és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:
Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ
számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K
és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:
2014.03.12.
53
Kalkulus MIA 5353
Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ
számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K
és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:
Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ
számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K
és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:
2014.03.12.
54
Kalkulus MIA 5454
Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határér-
két -ben!
A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre.
2014.03.12.
55
Kalkulus MIA 5555
Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határér-
két -ben!
2014.03.12.
56
Kalkulus MIA 5656
Véges helyen vett végtelen határérték
Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ
számhoz létezik olyan δ > 0 (δ ∊ ℝ+) valós szám, hogy valahány-szor x ∊ kδ(x0)\{x0} és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:
Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ
számhoz létezik olyan δ > 0 (δ ∊ ℝ+) valós szám, hogy valahány-szor x ∊ kδ(x0)\{x0} és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:
2014.03.12.
57
Kalkulus MIA 5757
Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határér-
két az x0 = 0 pontban!
2014.03.12.
58
Kalkulus MIA 5858
Véges helyen vett véges határérték
Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a jobboldali határértéke az A ∊ ℝ,ha bármely ε ∊ ℝ+ számhoz létezik olyan δ ∊ ℝ+ valós szám, hogyvalahányszor x ∊ kδ(x0+0) ⊆ Df, mindannyiszor | f(x) – A | < ε .Jelölése:
Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a baloldali határértéke az A ∊ ℝ, habármely ε ∊ ℝ+ számhoz létezik olyan δ ∊ ℝ+ valós szám, hogyvalahányszor x ∊ kδ(x0-0) ⊆ Df, mindannyiszor | f(x) – A | < ε .Jelölése:
2014.03.12.
59
Kalkulus MIA 5959
Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x0 ∊ ℝ helyen a baloldali és ajobboldali határértéke, és
akkor
Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x0 ∊ ℝ helyen határértéke,akkor az egyértelműen meghatározott.
2014.03.12.
60
Kalkulus MIA 6060
Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg
a határértékétaz x0 = 5 pontban!
-5
2014.03.12.
61
Kalkulus MIA 6161
Műveleti tételek
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ
és legyen c ∊ ℝ tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is ahatárértéke, és
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ
és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezikaz f ± g függvénynek is a határértéke, és
2014.03.12.
62
Kalkulus MIA 6262
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ
és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezikaz fg függvénynek is a határértéke, és
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ
és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ, ahol B ≠ 0.Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és
2014.03.12.
63
Kalkulus MIA 6363
Az előző állítások igazak véges helyen vett határérték esetén is:
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A
∊ ℝ és legyen c ∊ ℝ tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is ahatárértéke, és
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A
∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ.Ekkor létezik az f ± g függvénynek is a határértéke, és
2014.03.12.
64
Kalkulus MIA 6464
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A
∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ.Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és
Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A
∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ, aholB ≠ 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és
2014.03.12.
65
Kalkulus MIA 6565
Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határér-
két -ben és x0 = 0 –ban is!
Ezért a függvénynek 0-ban nincs határértéke.
2014.03.12.
66
Kalkulus MIA 66
Nevezetes határértékek
Tétel:
Tétel:
Tétel:
Tétel:
Tétel:
Tétel:
2014.03.12.
67
Kalkulus MIA 6767
Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét az
x0 = 0 helyen!
Alakítsuk át az f(x) függvényt:
vegyük figyelembe, hogy ha x→ 0, akkor 2x→ 0. Ezért
2014.03.12.
68
Kalkulus MIA 6969
Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét
az x0 = +∞ helyen!
Alakítsuk át az f(x) függvényt:
Ezért – használva a műveletekre vonatkozó tételeket is – kapjuk,hogy
2014.03.12.
69
Kalkulus MIA 7070
Függvények folytonossága
Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik afüggvénynek az x0 helyen a határértéke és az egyenlő a függvényhelyettesítési értékével, azaz
Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen jobbról folytonosnak nevezzük, halétezik a függvénynek az x0 helyen a jobboldali határértéke és azegyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz
Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen balról folytonosnak nevezzük, halétezik a függvénynek az x0 helyen a baloldali határértéke és azegyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz
2014.03.12.
70
Kalkulus MIA 7171
Figyeljük meg, hogy a folytonosság pontbeli tulajdonság!
Az f függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha afüggvény az intervallum minden pontjában folytonos, továbbá a azintervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb végpontjában pedigbalról folytonos.
Tétel: Legyen az f és a g függvény az x0 helyen folytonos. Ekkor• cf is folytonos az x0 helyen, ahol c ∊ ℝ.• is folytonos az x0 helyen, ahol .• is folytonos az x0 helyen, ahol .• is folytonos az x0 helyen, ahol és g(x0) ≠ 0.• is folytonos az x0 helyen, ha g folytonos az x0 helyen és f
folytonos a g(x0) helyen.
2014.03.12.
71
Kalkulus MIA 7272
Tétel: Minden elemei függvény az értelmezési tartománya mindenpontjában folytonos.
Ha az f függvény az x0 helyen nem folytonos, de valamely ε ∊ ℝ+
környezetében folytonos, akkor az x0 pontot szakadási helyneknevezzük.
2014.03.12.
72
Kalkulus MIA 7373
A fentiek közül a 3. ábrán található szakadási pont az un.megszüntethető szakadás, a többi szakadási pont nem szüntethetőmeg.
2014.03.12.
73
Kalkulus MIA 7474
Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét az x0 = 0helyen!Az |x| függvény értelmezése alapján a függvény a következő alakbanírható fel:
ha x > 0
ha x < 0
Vizsgáljuk meg külön-külön a jobb- illetve a bal-oldalihatárértékeket:
A két határérték megegyezik, ezért van határértéke a függvénynek,és az:
Ez a szakadási hely megszüntethető, ha az x = 0 helyen a függvény-nek az f(x) = 0 értéket adjuk.
2014.03.12.
74
Kalkulus MIA 7575
Differenciálszámítás
Legyen adott az f(x) függvény, és legyen x0 ∊ Df . Ekkor a
függvényt az x0 helyhez tartozó differenciahányados függvényneknevezzük.
2014.03.12.
75
Kalkulus MIA 76
A differenciahányados nem más, mint az adott f(x) függvény f(x) ésf(x0) pontján átmenő szelő meredeksége:
x0 x
f(x)
f(x0) f(x) – f(x0)
x – x0
2014.03.12.
76
Kalkulus MIA 7777
Ha létezik az f(x) függvény x0 helyhez tartozó differenciahányadosfüggvényének határértéke az x0 helyen, akkor azt az f(x) függvénydifferenciálhányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontbandifferenciálhatónak mondjuk.
A differenciálhányados geometriai jelentése: az f(x) függvény adottpontjába húzott érintő meredeksége.
(Ennek belátására vizsgáljuk meg az előző oldal ábráját!
2014.03.12.
77
Kalkulus MIA 7878
A differenciálhatóság is pontbeli fogalom.
Tekintsük az f függvény értelmezési tartományának azt a részhal-mazát, amelyen a függvény differenciálható. Jelöljük ezt a halmaztA-val.Definiáljuk azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya A, ésminden x � A elemhez függvényértékként az x helyhez tartozódifferenciálhányadost rendeli.Ekkor az f ´(x)–vel jelölt függvényt az f(x) függvény differenciál-hányados függvényének (deriváltjának) nevezzük.
2014.03.12.
78
Kalkulus MIA 7979
Tétel: Az f(x) = c, c ∈ ℝ, függvény differenciálhányadosa nulla.
Biz.
Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen,akkor
2014.03.12.
79
Kalkulus MIA 8080
Tétel: Az f(x) = x függvény differenciálhányadosa 1.
Biz.
Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen,akkor
2014.03.12.
80
Kalkulus MIA 8181
Tétel: Az f(x) = x2, függvény differenciálhányadosa 2x.
Biz.
Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen,akkor
Ezért
2014.03.12.
81
Kalkulus MIA 8282
Példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 függvény differenciálhányadosfüggvényének értékét az x0 = 4 helyen!
Mivel ezért
2014.03.12.
82
Kalkulus MIA 8383
Egy függvényt az x0 ∊ Df helyen jobbról ill. balról differenciálható-nak mondunk, ha a differencia hányados függvénynek a az x0
pontban létezik a jobboldali, ill. a baloldali határértéke, és azokvégesek. Jelölésük:
Tétel: Ha egy függvénynek valamely x0 helyén létezik a jobboldaliés a baloldali deriváltja, és ezek megegyeznek, akkor a függvény azadott helyen differenciálható.
2014.03.12.
83
Kalkulus MIA 8484
Példa: Vizsgáljuk meg, hogy az
ha x ≤ 2
ha x > 2
függvény differenciálható-e az x0 = 2 helyen?
2014.03.12.
84
Kalkulus MIA 8585
A differenciálhányados akkor létezik, ha a jobboldali és a baloldalideriváltak megegyeznek:
Mivel a két érték nem egyezik meg, ezért a függvény az x0 = 2pontban nem differenciálható.
Általában igaz az, hogy egy folytonos függvény a „töréspontjában”nem differenciálható.
Tétel: Ha az f függvény az x0 ∊ Df helyen differenciálható, akkorezen a helyen a függvény folytonos.(Fontos: a folytonosság csak szükséges – de nem elegendő – feltétela differenciálhatósághoz!)
2014.03.12.
85
Kalkulus MIA 8686
A differenciálhányados geometriai jelentése mellett van egy nagyonfontos fizikai jelentése is:
Az út-idő függvény idő szerinti deriváltja a t0 időpillanatbanmegegyezik a pillanatnyi sebességgel.A sebesség-idő függvény idő szerinti differenciálhányadosa adja agyorsulást a t0 időpontban.
2014.03.12.
86
Kalkulus MIA 8787
A differenciálás műveleti szabályai
Tétel: legyen f differenciálható az x0 ∈ Df helyen, és legyen c � ℝ
tetszőleges konstans. Ekkor cf is differenciálható az x0 helyen, és
Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∈ Df ∩ Dg helyen, éslegyen c ∈ ℝ tetszőleges konstans. Ekkor f � g is differenciálható azx0 helyen, és
Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∊ Df � Dg helyen, éslegyen c ∈ ℝ tetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x0
helyen, és
2014.03.12.
87
Kalkulus MIA 8888
Tétel: legyen g differenciálható az x0 ∊ Df helyen, és tegyük fel,hogy g(x0) ≠ 0. Ekkor 1/g is differenciálható az x0 helyen, és
Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∊ Df � Dg helyen, és g(x0)≠ 0. Ekkor f /g is differenciálható az x0 helyen, és
Tétel: legyen g differenciálható az x0 ∊ Dg helyen, és f
differenciálható a g(x0) ∊ Df . Ekkor f ° g összetett függvény isdifferenciálható az x0 helyen, és
2014.03.12.
88
Kalkulus MIA 8989
Elemi függvények deriváltjai I.
f(x) f(x)f´(x) f´(x)
c c ∊ ℝ 0
xk k ∊ ℝ kxk-1
ax a ∊ ℝ ax ln a
ex ex
loga x
ln x
sin x cos x
cos x -sin x
tg x
ctg x
2014.03.12.
89
Kalkulus MIA 9090
Elemi függvények deriváltjai II.
f(x) f(x)f´(x) f´(x)
arcsin x
arccos x
arctg x
arcctg x
sh x
ch x
th x
cth x
arsh x
arch xch x
sh x
2014.03.12.
90
Kalkulus MIA 9191
Példa-1: Differenciálja az függvényt!
A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni:
2014.03.12.
91
Kalkulus MIA 9292
Példa-2: Differenciálja az függvényt!
A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni:
Itt az első tag egy szorzat, a második tag konstans:
2014.03.12.
92
Kalkulus MIA 9393
Példa-3: Differenciálja az függvényt!
Itt egy összetett függvény van, amelyben a külső függvény a tg
függvény, a belső függvény az 5x függvény. Ezért
2014.03.12.
93
Kalkulus MIA 9494
Magasabb rendű differenciálhányadosok
Ha az f és az f ' függvény is deriválható az x0 helyen, akkor az f '' azf függvény x0 helyen vett második deriváltjának nevezzük.
Analóg módon juthatunk el az n-dik derivált fogalmához. Jelölések:
f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4)(x), …, f (n)(x),
2014.03.12.
94
Kalkulus MIA 9595
Példa-1: Adja meg az f(x) = x4 függvény első 5 deriváltját!
f '(x) = 4x3, f ''(x) = 12x2, f '''(x) = 24x, f (4)(x) = 24, f (5)(x) = 0
Példa-2: Adja meg az f(x) = sin x függvény első 8 deriváltját!
(sin x)' = cos x, (sin x)'' = -sin x,(sin x)'''(x) = -cos x, (sin x)(4) = sin x,
(sin x)(5) = cos x, (sin x)(6) = -sin x,(sin x)(7)(x) = -cos x, (sin x)(8) = sin x,
2014.03.12.
95
Kalkulus MIA 9696
Függvényvizsgálat I.
Függvények növekedése, csökkenése
Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Legyen f´(x) = 0 minden x ∊ (a,b). Ekkor azf függvény az [a,b] intervallumon állandó.
Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor monoton növekvő ha f´(x) ≥ 0 minden x ∈ (a,b).
Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor monoton csökkenő ha f´(x) ≤ 0 minden x ∈
(a,b).
2014.03.12.
96
Kalkulus MIA 9797
Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor szigorúan monoton növekvő ha f´(x) > 0 mindenx ∈ (a,b).
Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor szigorúan monoton csökkenő ha f´(x) < 0minden x ∈ (a,b).
2014.03.12.
97
Kalkulus MIA 9898
Példa: Vizsgáljuk meg az függvényt monotonitásszempontjából az értelmezési tartományán, ha Df = ℝ.
A növekedési viszonyokat az első derivált előjele határozza meg.Differenciáljuk a függvényt:
A függvény szigorúan monoton növekvő, ha f ' (x) > 0:
A függvény szigorúan monoton csökkenő, ha
2014.03.12.
98
Kalkulus MIA 9999
Valóban, a függvény alakja:
2014.03.12.
99
Kalkulus MIA 100100
Függvényvizsgálat II.
Szélsőérték meghatározása
Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen differenciálható. Ha f-nekaz x0 helyen létezik a lokális szélsőértéke, akkor f '(x0) = 0.
Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható.Ha f '(x0) = 0 és f ''(x0) > 0, akkor f-nek az x0 helyen lokális minimu-ma van.
Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható.Ha f '(x0) = 0 és f ''(x0) < 0, akkor f-nek az x0 helyen lokális maxi-muma van.
2014.03.12.
100
Kalkulus MIA 101101
Példa: Határozza meg az függvény szélsőértékeit!
A szélsőérték létezésére vonatkozó tétel alapján határozzuk meg azelső deriváltak zérushelyeit:
amiből kapjuk, hogy
Ezzel a lehetséges szélsőértékeket kaptuk meg. Vizsgáljuk most amásodik deriváltakat a lehetséges szélsőérték helyeken:
és így
A második derivált az x = 2 helyen negatív, ezért itt lokálismaximuma van a függvénynek, az x = -2 helyen pedig pozitív, ezértitt lokális minimuma van a függvénynek.
2014.03.12.
101
Kalkulus MIA 102102
Függvényvizsgálat III.
Alaki viszonyok, inflexió
Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon kétszer differen-ciálható. Ahhoz a függvény az intervallumon konvex (konkáv)legyen, szükséges és elegendő feltétel, hogy az f '(x) függvény azintervallumon szigorúan monoton növekvő (csökkenő) legyen, azazf''(x) > 0, (ill. f''(x) < 0) minden x ∊ (a,b)-re.
Tétel (az inflexiós hely létezésének szükséges feltétele): Legyen az f
függvény az x0 helyen kétszer differenciálható, és itt a függvénynekinflexiója van, akkor f''(x0) = 0.
Tétel (az inflexiós hely létezésének elégséges feltétele): Legyen az f
függvény az x0 helyen kétszer differenciálható, és legyen f''(x0) = 0.Ekkor az f függvénynek az x0 helyen inflexiója van.
2014.03.12.
102
Kalkulus MIA 103103
Példa: Határozzuk meg az , Df = ℝ függvény inflexi-óshelyét, és állapítsa meg, mely intervallumon konvex és konkáv afüggvény.
Az inflexióshely létezésére vonatkozó tétel alapján keressük meg amásodik derivált zérushelyeit:
A második derivált sosem nulla, így nincs inflexiós hely.
Vizsgáljuk meg a második derivált előjelét: ez a kifejezés akkornegatív, ha x < 0, és akkor pozitív, ha x > 0. A függvény értelmezésitartománya a pozitív valós számok halmaza, tehát a függvénymindenütt konvex.
2014.03.12.
103
Kalkulus MIA 104104
A függvényvizsgálat lépései
• Az értelmezési tartomány megállapítása• Zérushelyek meghatározása• Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás• Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek
meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint azintervallum végpontjaiban.
• Monotonitás, szélsőérték vizsgálat.• Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok
meghatározása.• A függvény grafikonjának megrajzolása.• Értékkészlet meghatározása.
2014.03.12.
104
Kalkulus MIA 105105
Példa: Végezzen el teljeskörű függvényvizsgálatot az
függvényen!
1. A függvény értelmezési tartománya: Df = ℝ.
2. A zérushelyek meghatározása:?
2014.03.12.
105
Kalkulus MIA 106106
3. Szimmetriatulajdonságok. A függvény páros, mert
A hatványfüggvények nem periodikusak, így a különbségük sem az.
4. Folytonosság, szakadási helyek, határérték: a hatványfüggvényekfolytonosak minden x ∊ Df helyen, szakadási hely nincs.
5.Monotonitás, szélsőérték: szélsőérték ott lehet, ahol a függvénydifferenciálhányadosa nulla.
2014.03.12.
106
Kalkulus MIA 107
Az első derivált előjele adja a tényleges monotonitást:
Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monotoncsökkenő.
Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton növekvő.
A második derivált előjele a szélsőérték helyeken szolgáltatja aszélsőértékeket:
Amiből adódik, hogy
Ezért a függvénynek minimumhelye van +1-ben és -1-ben, ésmaximumhelye van 0-ban.
2014.03.12.
107
Kalkulus MIA 108
6. Alaki viszonyok:
ha
Amiből kapjuk, hogy
Ezeken az intervallumokon a függvény konvex.Hasonlóan:
ha
Amiből:
Itt a függvény konkáv.
2014.03.12.
108
Kalkulus MIA 109
Ahol a függvény konvexből konkávba megy át ott a függvénynekinflexiós pontja van. Ezek a pontok:
2014.03.12.
109
Kalkulus MIA 110
Az függvény grafikonja
1-1
2014.03.12.
110
111
2. Sorozatok
Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitívegész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számokhalmaza, sorozatnak nevezzük.Az a függvény n ∊ N helyen vett helyettesítési értékét a sorozat n-edik elemének nevezzük és a(n) = an-nel jelöljük.
A sorozat megadható
Képlettel:
Rekurziós formulával:
Felsorolással:
Kalkulus MIA
2014.03.12.
111
112
Monoton sorozatok
Az {an}n∊N sorozatot (szigorúan) monoton csökkenőnek nevezzük,ha minden n ∊ N esetén an ≤ an-1 ( an < an-1 ).
Az {an}n∊N sorozatot (szigorúan) monoton növekvőnek nevezzük, haminden n ∊ N esetén an ≥ an-1 ( an > an-1 ).
Azokat az {an}n∊N sorozatokat, amelyek minden n ∊ N esetén vagymonoton nőnek vagy monoton csökkennnek, monoton sorozatnaknevezzük.
Kalkulus MIA
2014.03.12.
112
Kalkulus MIA 113
Korlátos sorozatok
Az {an}n∊N sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyanK ∊ R, hogy minden n ∊ N esetén an ≤ K.
Az {an}n∊N sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyank ∊ R, hogy minden n ∊ N esetén an ≥ k.
Az {an}n∊N sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos.
2014.03.12.
113
Kalkulus MIA 114
Konvergens és divergens sorozatok
Az {an}n∊N sorozatnak létezik az A véges határértéke, ha minden ε >0 számhoz létezik olyan n0(ε) ∊ N küszöbszám (küszöbindex),amelyre igaz, hogy ha n > n0 , akkor | an – A | < ε. Jelölése
lim ({an}n∊N ) = A
Ha az {an}n∊N sorozatnak létezik az A véges határértéke, akkor asorozatot konvergensnek nevezzük, egyébként a sorozat divergens.
Ha lim ({an}n∊N ) = 0 , akkor a sorozatot zérussorozatnak nevezzük.
2014.03.12.
114
Kalkulus MIA
Tétel (”Rendőr elv”): Legyenek adottak az {an}n∊N, {bn}n∊N, {cn}n∊N
sorozatok, és legyen {an}n∊N és {bn}n∊N konvergens.Ha lim {an}n∊N = lim {bn}n∊N = A és minden n >N0-ra teljesül, hogyan ≤ cn ≤ bn, akkor a {cn}n∊N sorozat is konvergens, és lim ({cn}n∊N ) =A.
115
2014.03.12.
115
Kalkulus MIA
Sorozatokra vonatkozó tételek
Tétel : Ha az {an}n∊N sorozat konvergens, akkor csak egy határértékevan, azaz a határérték egyértelmű. (Unicitás).
Tétel : Ha az {an}n∊N sorozat konvergens, akkor korlátos.
A korlátosság szükséges, de nem elégséges feltétel. (Tekintsük a{(-1)n}n∊N sorozatot.
Tétel: Ha az {an}n∊N sorozat monoton növekvő (csökkenő) és felülről(alulról) korlátos, akkor konvergens.A feltétel csak elégséges, de szükséges, mert a konvergenciából nemkövetkezik a monotonitás. pl.
116
2014.03.12.
116
Kalkulus MIA
Műveletek véges határértékű sorozatokkal
Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat konvergens és c tetszőleges valósszám. Ekkor a c{an}n∊N = {can}n∊N sorozat is konvergens, és
lim {can}n∊N = c lim {an}n∊N .
Tétel: Legyen lim {an}n∊N = A és lim {bn}n∊N = B, (azaz mindkétsorozat konvergens). Ekkor igazak a következő állítások:
lim ({an + bn}n∊N ) = lim {an}n∊N + lim {bn}n∊N = A + B.lim ({an – bn}n∊N ) = lim {an}n∊N – lim {bn}n∊N = A – B.lim ({an · bn}n∊N ) = lim {an}n∊N · lim {bn}n∊N = A · B.
Amennyiben véges sok elemtől eltekintve bn ≠ 0 és B ≠ 0, akkor
117
2014.03.12.
117
Kalkulus MIA 118
Végtelen határértékű sorozatok
Az {an}n∊N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke +∞, haminden P ∊ R számhoz létezik olyan N0 ∊ N küszöbszám, amelyreigaz, hogy ha n > N0 , akkor an > P. Jelölése
lim ({an}n∊N ) = + ∞.
Az {an}n∊N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke –∞, haminden P ∊ R számhoz létezik olyan N0 ∊ N küszöbszám, amelyreigaz, hogy ha n > N0 , akkor an < P. Jelölése
lim ({an}n∊N ) = – ∞.
2014.03.12.
118
Kalkulus MIA 119
Műveletek végtelen határértékű sorozatokkal
Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat határértéke +∞. Ekkor
Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat konvergens, és lim {an}n∊N = A ≠ 0.
Legyen továbbá lim {bn}n∊N = +∞. Ekkor
Tétel: Legyen az {an}n∊N és {bn}n∊N sorozat konvergens úgy, hogylim {an}n∊N = A és lim {bn}n∊N = 0 és bn > 0 minden n ∊ N-re .
Ekkor
2014.03.12.
119
Kalkulus MIA 120
Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat korlátos, és lim {bn}n∊N = +∞.Ekkor
Tétel: Legyen az {an}n∊N és {bn}n∊N két olyan sorozat, amelyreteljesül, hogy létezik olyan k > N, hogy ha n > k , akkor an ≤ bn.Ekkor:
ha lim {an}n∊N = +∞, akkor lim {bn}n∊N = +∞.
ha lim {bn}n∊N = –∞, akkor lim {an}n∊N = –∞.
2014.03.12.
120
Kalkulus MIA 121
Tétel: Az sorozat konvergens, és
Nevezetes sorozatok I.
Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor
2014.03.12.
121
Nevezetes sorozatok II.
Tétel: Az sorozat konvergens, és
Tétel: Tetszőleges k valós szám esetén
Tétel:
Tétel:
Tétel:Tetszőleges a valós szám esetén Kalkulus MIA 122
2014.03.12.
122
Kalkulus MIA 123
Példa: Határozzuk meg az sorozat határértékét, és adjuk
meg az ε = 10-4 –hez tartozó küszöbindexet!
Alakítsuk át an-t a következőképpen:
Használjuk az előző tételeket:
2014.03.12.
123
Kalkulus MIA 124
A második rész kiszámításához használjuk fel, hogy
Helyettesítsünk be a határérték definíciójába:
Tudjuk, hogy n ∊ N, ezért , ezért az egyenlőtlenség:
Amiből kapjuk, hogy N0 = 5000.
2014.03.12.
124
Kalkulus MIA 125
Példa: Határozzuk meg az sorozat határérté-két!
Alakítsák át an-t a következőképpen:
Amiből adódik, hogy
2014.03.12.
125
Kalkulus MIA 126
Tétel(Cauchy-féle konvergencia kritérium): Az {an}n∊N sorozatakkor és csak akkor konvergens, ha bármely ε > 0 –hoz megadhatóolyan N(ε) küszöbszám, hogy ha n, m > N, akkor
|an – am| < ε.
A tétel jelentése: a sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elégnagy indextől kezdve az elemei tetszőlegesen keveset térnek elegymástól.
2014.03.12.
126
Kalkulus MIA 127
Megjegyzés: Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező ill.a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünkmeg:
Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkora határérték vagy +∞ vagy –∞, a legmagasabb fokú tagokegyütthatóinak előjelétől függően.Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkora határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinakhányadosával egyenlő.Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor ahatárérték 0.
2014.03.12.
127
Kalkulus MIA 128
Sorok
Feladat: Adott egy szakasz, amelynek hossza a < ∞. Mérjük fel aszakaszt egy egyenesre, majd mérjük fel a felét, az egyharmadát, anegyedét, és így tovább. Folytassuk az eljárást a „végtelenségig”.
Mekkora lesz a felmért szakaszok összhossza?
a
2014.03.12.
128
Kalkulus MIA 129
Feladat: Tekintsük azt a görbevonalat, amely olyan félkörívekből áll,amelynek sugarai egy r sugár 2n-ed részei (n = 0, 1, 2, …).
Mekkora lesz a felmért körívek összhossza?
Mindkét esetben végtelen sok tag összegét kell kiszámítani, és ezproblémát okozhat.
2014.03.12.
129
Kalkulus MIA 130
Legyen adott az {an} sorozat. Az {an} sorozat elemeiből képzett{Sn} sorozatot, amelynek elemeit az
képlettel adjuk meg, végtelen sornak nevezzük, és -nel jelöljük.
Sn-t a végtelen sor n-dik részletösszegének nevezzük, az an-t a sor n-dik tagjának hívjuk.
Példa: Tekintsük az harmonikus sorozatot. Ekkor
2014.03.12.
130
Kalkulus MIA 131
Az sort konvergensnek nevezzük, ha az {Sn} sorozat konver-
gens. Az számot a sor összegének nevezzük. A sort di-vergensnek nevezzük, ha nem konvergens.
Hasonlítsuk össze a geometriai sorozat és a belőle képzett végtelengeometriai sor konvergenciáját.
Példa: Tekintsük az mértani sorozatot. Ekkor
2014.03.12.
131
Kalkulus MIA 132
Az sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens . Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltétele-sen konvergens.
Példa: a sor feltételesen konvergens.
2014.03.12.
132
Kalkulus MIA 133
Tétel: Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.
Biz:
Legyen {Sn} a részletösszegek sorozata, {An} pedig a sor tagjainakabszolút értékeiből összeállított sor részletösszegeinek sorozata, azaz
A feltétel szerint {Sn} konvergens sorozat, ezért a sorozatokravonatkozó Cauchy kritérium szerint minden ε > 0-hoz létezik olyanN(ε) természetes szám, hogy minden olyan m, n természetesszámpárra, amelyre m > n ≥ N(ε), igaz, hogy |Am - An| < ε.Így
Tehát az {Sn} sorozat is Cauchy sorozat, ezért konvergens.
2014.03.12.
133
Kalkulus MIA 134
A következő tételeknél az alábbi feltételek és jelölések teljesülnek:
Legyen adott az sor, és
Legyen egy nem negatív tagú sor.
A sor részletösszegeinek sorozatát {Bn} jelöli,
A sor részletösszegeinek sorozatát {An} jelöli.
2014.03.12.
134
Kalkulus MIA 135
Tétel: Ha a és a sor konvergens, és λ és µ tetszőle-
ges valós számok, akkor a
sor is konvergens, és
Biz:
Jelölje a két sor részletösszegeinek sorozatát {An} és {Bn}, a sorokösszegét A és B. Legyen ε > 0 tetszőleges, definiáljuk a
értékeket. Mivel {An} és {Bn} konvergens, ezért mind εA-hoz mind εB-hez tartozik egy NA ill. NB küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n >
NA, akkor |An – A| < εA, és ha n > Nb, akkor |Bn – B| < εB.
2014.03.12.
135
Kalkulus MIA 136
Válasszuk most N(ε)-t ”elég nagynak”, azaz legyen
Ekkor, ha n ≥ N(ε), akkor
Összefonódás a vektoroknál tanultakkal, a tétel átfogalmazva:Konvergens sorozatok lineáris kombinációja is konvergens sorozat.(A lineáris kombináció nem vezet ki a konvergens sorozatokhalmazából.)
2014.03.12.
136
Kalkulus MIA 137
Tétel ( Cauchy-féle konvergencia kritérium): A sor akkorés csak akkor konvergens, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan N(ε)
természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes szám-párra,amelyre m > n ≥ N(ε), fennáll a
egyenlőtlenség.Biz:A sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot alkalmazzuk az {Sn}részletösszeg-sorozatra. (Eszerint: az {Sn} sorozat akkor és csakakkor konvergens, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan N(ε)
természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes számpárra,amelyre m > n ≥ N(ε), fennáll az |Sm -Sn| < ε egyenlőtlenség. Mivel
ezért a tétel állítása azonnal következik.
2014.03.12.
137
Kalkulus MIA 138
Értelmezzük a tétel állítását!
Minden ε > 0-hoz meg lehet adni egy olyan N(ε) természetes szá-mot, hogy abban az esetben, ha a sorozat N(ε)-nál nagyobb indexűelemeit összeadjuk, akkor az összeg értéke kisebb lesz, mint azelőre megadott ε.Minél kisebbre választjuk ε értékét, annál nagyobb lesz N(ε)
értéke. Mivel m-re csak annyi kikötés van, hogy m > n, ez aztjelenti, hogy m értéke tetszőlegesen nagy lehet, azaz konvergenssorozatnál a sorozat „hátsó” szeletének egyre kisebbnek kell lenni.
2014.03.12.
138
Kalkulus MIA 139
Következmény: A sorozat konvergenciájának szükségesfeltétele, hogy az {an} sorozat nullsorozat legyen.
Biz:
Tegyük fel, hogy a sor konvergens. Ekkor az előző tétel szerint min-den ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) természetes szám, hogy ha m = n+1
és n ≥ N(ε), akkor |an+1| < ε.Ezért az an+1 sorozat nullsorozat. Mivel ezt a sorozatot úgy kapjuk azan sorozatból, hogy abból elhagyjuk az első elemet, ezért a kétsorozat konvergenciatulajdonságai megegyeznek. Ezért | an| < ε isteljesül.Így az an sorozat is nullsorozat.
2014.03.12.
139
Kalkulus MIA 140
A feltétel csak szükséges, de nem elégséges. Ennek bizonyításához vizsgáljuk meg a
sort a konvergencia oldaláról.A feltétel nyílván teljesül, hiszen
de a részletösszegek sorozata nem konvergens, ugyanis
és ez a végtelenbe tart, ha n→ ∞.
2014.03.12.
140
Kalkulus MIA 141
Feladat: Konvergens-e az sor?
Az előző tétel alapján először vizsgáljuk, hogy a szükséges feltételteljesül-e?
Meg kell mutatni, hogy a részletösszegek sorozatának van végeshatárértéke. Vegyük észre, hogy
Ez alapján
(*)
2014.03.12.
141
Kalkulus MIA 142
A (*) azonosság bizonyítása. Bontsuk parciális törtekre a bal oldalt:
Ekkor teljesülni kell, hogy
alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét. Ezért
aminek a megoldása: B = 1 és A = -1.
Ezért
Tehát a sor konvergens, és összege 1.
2014.03.12.
142
Kalkulus MIA 143
A sort korlátosnak mondjuk, ha a részletösszegek sorozata korlátos.
Tétel: Ha egy sor konvergens, akkor korlátos is.
Biz.
Ha a sor konvergens, akkor korlátos is. Ha korlátos a sorozat, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos.Ha a részletösszegek sorozata korlátos, akkor a sor korlátos.
Megjegyzés: a tétel megfordítása általában nem igaz. A sorozat korlátosságából nem következik a konvergencia.Példa:
2014.03.12.
143
Kalkulus MIA 144
Tétel: Ha egy sor nem negatív tagú és korlátos, akkor konvergens.
Biz.
Ha a sor korlátos, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos.A nem-negativitás miatt a részletösszegek sorozata monotonnövekvő sorozatot alkot.Ha a részletösszegek sorozata monoton és korlátos, akkor asorozatokra vonatkozó tétel szerint a részletösszegek sorozatakonvergens.Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor – definíciószerint – a sor konvergens.
2014.03.12.
144
Kalkulus MIA 145
Nevezetes sorok I.
Harmonikus sor:
Tétel: A harmonikus sor divergens.
Biz.
Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor a sor konvergens. Ezért a részletösszegek sorozata is konvergens, és határértékük ugyanaz a szám. Ezért:
Ezért
2014.03.12.
145
Kalkulus MIA 146
Vizsgáljuk meg az S2n – Sn különbséget:
Ez azt jelenti, hogy a
nem állhat. Ezért a harmonikus sor nem teljesíti a konvergenciára vonatkozó szükséges feltételt. Ezért a sor nem lehet konvergens.
A harmonikus sor ismeretében választ tudunk adni a korábban felve-tett első feladat megoldására
2014.03.12.
146
Kalkulus MIA 147
A felmért szakaszok összhosszára a válasz a következő: Láttuk, hogy az összhossz a
végtelen sorral adható meg. Mivel a harmonikus sor divergens, ezért a felmért szakaszok összhossza végtelen!
2014.03.12.
147
Kalkulus MIA 148
Geometriai sor: ahol q ≠ 1.
Tétel:
Azaz a geometriai sor |q| < 1 esetén konvergens, és |q| > 1 eseténdivergens.
Nevezetes sorok II.
A geometriai sor ismeretében választ tudunk adni a korábban felve-tett második feladat megoldására.
2014.03.12.
148
Kalkulus MIA 149
Most az ívhosszak összegét a
végtelen sorral adható meg. Az összegzésben egy olyan geometriai sor áll, amelyre | q | < 1. Ezért az ívhossz:
azaz a szakaszok összhossza véges! (Éppen akkora, mint a kiinduló kör kerülete.)
2014.03.12.
149
Kalkulus MIA 150
Nevezetes sorok III.
Hiperharmonikus sor:
ahol p > 1.
Tétel. a hiperharmonikus sor konvergens.
Biz.
A tétel bizonyításához elegendő kimutatni, hogy a sor részletösz-szegei monoton növekvő és korlátos sorozatot alkotnak.A monoton növekedés azonnal következik abból, hogy a sor nem-negatív tagú.A korlátosság bizonyítása:
2014.03.12.
150
Kalkulus MIA 151
Vizsgáljuk a sor n-edik részletösszegét:
Csökkentsük a jobb oldalon a nevezőket oly módon, hogy a nevező helyébe 2i-t minden olyan esetben, amikor a nevező értéke a [2i,2i+1) intervallumba esik:
Mivel a [2i,2i+1) intervallumba mindig 2i darab egész szám esik,ezért a fenti összegben az egyforma nevezőjű tagok száma mindig2i. Ez alól csak az utolsó „szelet” lehet kivétel. (Ha n nem 2i alakú,akkor egészítsük ki a jobb oldalt megfelelő számú elemmel.)Így a sor a következőképpen írható fel:
2014.03.12.
151
Kalkulus MIA 152
A jobb oldal egy 1/(2p-1) kvóciensű geometriai sor i-edik részlet-összege. Jelőljük ezt si-vel. Ha 1/(2p-1) < 1, azaz p > 1, akkor
Ezért a hipergeometrikus sor korlátos.
2014.03.12.
152
Kalkulus MIA 153
Nevezetes sorok IV.
Leibnitz-féle sor:
Tétel. Ha a alternáló sorban az an > 0, és a tagok által
alkotott {an} sorozat monoton csökkenő és zérushoz tart, akkor a
sor konvergens.
Általánosabban vizsgáljuk a problémát:
2014.03.12.
153
Kalkulus MIA 154
További konvergencia-kritériumok
Tétel: Legyen {an} egy nemnegatív elemű sorozat. A sor ⇔konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos.
Biz:
Szükséges: Jelölje a részletösszegek sorozatát {an}. Legyen a sorkonvergens, azaz {Sn} sorozat konvergens. Ekkor {Sn} asorozatokra vonatkozó tétel szerint korlátos.
Elegendő: Legyen {Sn} sorozat korlátos. Ekkor minden n-reSn+1 –Sn = an+1 ≥ 0.
Ezért az {Sn} sorozat monoton növekvő. A sorozatoknál láttuk,hogy monoton korlátos sorozat konvergens, így az {Sn} sorozatkonver-gens.
2014.03.12.
154
Kalkulus MIA 155
Tétel (Majoráns Kritérium): Ha a sor konvergens, és van
olyan N, hogy minden n ≥ N-re |an| ≤ bn, akkor az sor abszo-lút konvergens.
Biz:
A feltételből következik, hogy m > n ≥ N-re ≤ .A Cauchy féle konvergencia kritérium miatt elegendő megmutatni,hogy az An sorozat Cauchy sorozat.
Mivel konvergens, ezért bármely ε > 0-hoz van olyan kü-
szöbindex N´(ε) = max (N, N(ε)) – ahol N(ε)-ra teljesül, hogy ha m
> n ≥ N´(ε), akkor – amelyre ha m > n ≥ N´(ε), akkor
vagyis az {An} sorozat Cauchy sorozat az N´(ε) küszöbindexszel.
2014.03.12.
155
Kalkulus MIA 156
Feladat: Döntsük el, hogy konvergens-e az alábbi sor:
Mivel minden n-re
teljesül, és a jobb oldalon álló geometriai sor konvergens, ezért afeladatban szereplő sor is konvergens.
2014.03.12.
156
Kalkulus MIA 157
Tétel (Minoráns Kritérium): Ha a sor divergens, és van
olyan N, hogy minden n ≥ N-re |an| ≥ bn, akkor az sor nemabszolút konvergens.
A tétel bizonyítása a Majoráns Kritériumnál használt eljárás segítsé-gével elvégezhető.
2014.03.12.
157
Kalkulus MIA 158
Tétel (D'Alambert-féle hányados kritérium-1): Ha a pozi-tív tagú sorban egy N küszöbindextől kezdve bármely n > N -re az
egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor konvergens.
Biz:A feltétel miatt
ha n > N. Legyen n = N + 1. Ekkor
….
2014.03.12.
158
Kalkulus MIA 159
Mivel a jobb oldal tagjaiból képezett
sor konvergens (mert q < 1), és a sort egy n-től kezdve majorálja a
sor, ezért a Majoráns Kritérium szerint a sor is konvergens.
2014.03.12.
159
Kalkulus MIA 160
Feladat: Konvergens-e a sor?
Alkalmazzuk a hányados kritériumot!
Ezért a sor konvergens.
2014.03.12.
160
Kalkulus MIA 161
Tétel (D'Alambert-féle hányados kritérium-2): Ha a pozitív tagú sorban egy N küszöbindextől kezdve az
egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor divergens.
Gyakorlati számítások során sokszor használható a D'Alambert-félekonvergencia kritérium tételeire alapuló következő tétel:
Tétel: Ha a sor tagjai pozitívak, és a határérték létezik és
ha , akkor a sor konvergens,
ha , akkor a sor divergens
ha , akkor a hányados kritérium nem használható.
2014.03.12.
161
Kalkulus MIA 162
Feladat: Konvergens-e a sor?
Alkalmazzuk a hányados kritériumot!
Ezért a sor konvergens.
2014.03.12.
162
Kalkulus MIA 163
Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium): Ha a pozitív tagú sorban
egy N küszöbszámtól kezdve az egyenlőtlenség teljesül,
akkor a sor konvergens.
Biz:
A feltétel szerint
Ezért
Ez éppen azt jelenti, hogy a sort a (1 < q < 1)
konvergens geometriai sor majorálja egy adott N indextől.
Használva a Majoráns Kritériumot azt kapjuk, hogy a sor konver-gens.
2014.03.12.
163
Kalkulus MIA 164
Feladat: Konvergens-e a sor?
Alkalmazzuk a gyök-kritériumot!
minden n-re.
Ezért a sor konvergens.
Gyakorlati számításoknál célszerűbb a következő – a gyökkritériu-mon alapuló – tételt alkalmazni:
2014.03.12.
164
Kalkulus MIA 165
Tétel: Ha a sor tagjai pozitívak, és a határérték létezik, és
ha , akkor a sor konvergens,
ha , akkor a sor divergens,
ha , akkor agyök-kritérium nem használható a konver-gencia eldöntésére.
2014.03.12.
165
Kalkulus MIA 166
Feladat: Konvergens-e a sor?
Mivel a tört nevezője magasabb rendben tart a végtelenbe, mint aszámláló, ezért a tört zérushoz konvergál. Vizsgáljuk meg a gyök-kritérium segítségével, hogy mely elégséges feltétel teljesül akonvegenciához:
Itt felhasználtuk, hogy
Ezért a sor konvergens.
2014.03.12.
166
Kalkulus MIA 167
Feladatok sorok konvergenciájának meghatározására
Feladat: Konvergens-e a sor?
A szükséges feltétel teljesül. (Az sorozat nullsorozat.)
Alkalmazzuk a hányados kritériumot!
Ezért a sor konvergens.
2014.03.12.
167
Kalkulus MIA 168
Feladat: Konvergens-e a sor?
A szükséges feltétel teljesül. (A nevezetes határértékmiatt.)
Alkalmazzuk a gyök-kritériumot!
Ezért a sor konvergens.
2014.03.12.
168
Kalkulus MIA 169
Feladat: Konvergens-e a sor?
Vizsgáljuk először a szükséges feltétel teljesülését. Mivel
Ezért a szükséges feltétel nem teljesül. Így a sor nem konvergens.
2014.03.12.
169
Kalkulus MIA 170
Feladatok sorok összegének meghatározásához
Feladat: Határozzuk meg a végtelen sor összegét!Írjuk fel parciális tört alakban a sor általános tagját!
Ebből kapjuk, hogy
Alkalmazzuk az „egyenlő együtthatók” módszerét:
Amiből:
2014.03.12.
170
Kalkulus MIA 171
Tehát
Így az n-edik részletösszeg:
Ebből a sor összegére adódik:
2014.03.12.
171
Kalkulus MIA 172
Feladat: Határozzuk meg a végtelen sor összegét!
Vegyük észre, hogy a sorozat általános tagja a következő alakban írható fel:
Ezért a sor összege:
A zárójelben egy olyan geometriai sor áll, amelyre q = 2/52. Ezért
2014.03.12.
172
Kalkulus MIA 173
Függvénysorok
Az f0(x), f1(x), f2(x),… függvénysorozat elemeiből képezett
összeget függvénysornak nevezzük.
A függvénysor értelmezési tartománya:
Az összeget a sor n. részlet összegfüggvényneknevezzük.
Az összeget a sor n. maradék összegfüggvényneknevezzük.
2014.03.12.
173
Kalkulus MIA 174
Az
összeget a sor összegfüggvénynek nevezzük. (x0 ∈ H ).
Példa
Tehát
Az értelmezési tartomány egy H⊂ D részhalmazát a függvénysorkonvergencia tartományának nevezzük, ha bármely x0∈H-ra a
határérték létezik. (Pontonkénti konvergencia)
Következmény: a konvergencia tartományon
2014.03.12.
174
Kalkulus MIA 177
Az abszolút konvergens az x0-ban, ha
konvergens.
Következmény: Ha egy sor abszolút konvergens x0-ban, akkor ott konvergens is.
2014.03.12.
175
Kalkulus MIA 178
Hatványsorok
Két típusú hatványsort ismerünk:
: az x0 középpont körül.
: az origó körül.
Elegendő az típusú sorokkal foglalkozni, mert az x0
középpontú hatványsor a ξ = x – x0 helyettesítéssel alakra
hozható.
2014.03.12.
176
Kalkulus MIA 179
Példa: Hatványsor például a
geometriai sor. Ez a sor konvergens, ha |x| < 1.
Ezért a hatványsor konvergenciatartománya a (-1, 1) inter-
vallum, azaz az x = 0 pont r = 1 sugarú környezete.
2014.03.12.
177
Kalkulus MIA 180
Tétel: Ha a sor x2-ben divergens, akkor bármely |x1| > |x2|
pontban is divergens.(Ennél több is igaz: ezekben a pontokban a sor abszolút konvergens.)
Következmény: a két fenti tétel egyenes következménye, hogy egyhatványsor konvergenciatatománya mindig egy x0 = 0 középpontúintervallum. Legyen H az értelmezési tartomány és R akonvergenciasugár. Ekkor a következő esetek lehetségesek.
H = {0}, akkor R = 0.
H = ℝ, akkor R = ℝ.
2014.03.12.
178
Kalkulus MIA 181
A korábbi megjegyzéseket felhasználva a hatvány-
sor konvergenciatartománya egy x0 középpontú intervallum.
Ebben az esetben a hatványsor az |x – x0| < R-ben konvergens, az |x – x0| > R-ben divergens,a végpontokat külön kell vizsgálni.
Hogyan határozható meg R ?
2014.03.12.
179
Kalkulus MIA 182
A konvergenciasugár meghatározása hatványsorok esetén
A konvergenciasugár meghatározása a pozitív tagú sorokra vonatko-zó hányados és gyökkritérium alkalmazásával történik.
Mivel a hatványsor konvergenciatartománya megegyezik a
sor konvergenciatartományával (pozitív tagú sorok ese-
tén) , ezért az utóbbi konvergenciatartományát kell meghatározni.
2014.03.12.
180
Kalkulus MIA 183
Vizsgáljuk először a hányadoskritérium alkalmazását.
A tétel szerint a hatványsor akkor konvergens, ha
reláció teljesül.Meg kell vizsgálni, hogy milyen x-kre teljesülnek a feltételek. Mivel
Azt kell tehát vizsgálni, hogy mikor teljesül, ha
= p
2014.03.12.
181
Kalkulus MIA 184
azaz , ha
Tehát a hatványsor olyan x-ekre lesz konvergens, amelyekre a (*) feltétel teljesül.
Ez pedig azt jelenti, hogy a hatványsor konvergenciasugara r = 1/p, ahol
(*)
2014.03.12.
182
Kalkulus MIA 185
Vizsgáljuk most a gyök-kritérium alkalmazását.
A tétel szerint a hatványsor akkor konvergens, ha
reláció teljesül.Meg kell vizsgálni, hogy milyen x-kre teljesülnek a feltételek. Mivel
Azt kell tehát vizsgálni, hogy mikor teljesül, ha
= p
2014.03.12.
183
Kalkulus MIA 186
azaz , ha
Tehát a hatványsor olyan x-ekre lesz konvergens, amelyekre a (*) feltétel teljesül.
Ez pedig azt jelenti, hogy a hatványsor konvergenciasugara r = 1/p, ahol
(*)
2014.03.12.
184
Kalkulus MIA 187
Feladatok a konvergenciasugár meghatározására
Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasugarát!
Alkalmazzuk a hányadoskritériumot:
Tehát a konvergenciasugár:
2014.03.12.
185
Kalkulus MIA 188
Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasuga-rát!
Alkalmazzuk a hányadoskritériumot:
Tehát a konvergenciasugár:
2014.03.12.
186
Kalkulus MIA 189
Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasuga-rát!
Alkalmazzuk a gyök-kritériumot:
Tehát a konvergenciasugár:
2014.03.12.
187
Kalkulus MIA 190
Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasuga-rát!
Alkalmazzuk a gyök-kritériumot:
Tehát a konvergenciasugár:
2014.03.12.
188
Kalkulus MIA 191
A Mac-Laurin sor és a Taylor sor
Az előzőekben láttuk, hogy
Ha adott egy f(x) függvény, és ehhez megadható egy olyan hatvány-sor, amelynek az összegfüggvénye f(x), akkor az f(x) függvénythatványsorba fejthetőnek nevezzük.
ha | x | < 1
ha | x | < 1
ha | x | < 1
2014.03.12.
189
Kalkulus MIA 192
Legyen adott a (-a, a) intervallumon értelmezett, hatványsorba fejt-hető f(x) függvény. Ekkor a függvény előállítható a következőalakban:
Ebben az előállításban nem ismerjük az ai együtthatók értékét.
Az együtthatók meghatározhatók f(x) és deriváltjainak az x = 0helyen felvett értékeinek segítségével:
Mivel az f(x) függvény hatványsora létezik, ezért használhatjuk aderiválásra vonatkozó tételt:
Így
2014.03.12.
190
Kalkulus MIA 193
Ha most az f '(x) függvényre alkalmazzuk a differenciálás szabályát, akkor azt kapjuk, hogy
amiből kapjuk, hogy
Folytassuk az eljárás. Ekkor – az n. lépés után – kapjuk, hogy
Összefoglalva: a keresett együtthatókat az f(x) függvény megfelelő deriváltjainak az x = 0 helyen vett helyettesítési értékei szolgáltatják.
2014.03.12.
191
Kalkulus MIA 194
ezért
ezért
….
ezért
2014.03.12.
192
Kalkulus MIA 195
Így az f(x) függvény x = 0 pont körüli hatványsorral történő előállítá-sára kaptuk:
Az f(x) függvénynek ezt az előállítását a függvény Mac-Laurinsorának nevezzük.
Kérdés: Hogyan lehet egy f(x) függvénynek az x = a pont körüli (a-ra nézve szimmetrikus konvergenciatartományú)
alakú hatványsorát felírni?
2014.03.12.
193
Kalkulus MIA 196
Kövessük a Mac-Laurin sor felírásánál alkalmazott eljárást. Most az x = a helyettesítési érték adja a keresett együtthatók értékét:
ezért
ezért
….
ezért
2014.03.12.
194
Kalkulus MIA 197
Így az f(x) függvény x = a pont körüli hatványsorral történő előállítá-sára kaptuk:
Az f(x) függvénynek ezt az előállítását a függvény Taylor soránaknevezzük.
2014.03.12.
195
Kalkulus MIA 198
Feladatok függvények Mac-Laurin és Taylor sorának felírására
Írjuk fel az y = ax függvény Mac-Laurin sorát!
Határozzuk meg az együtthatókat:
…
…
2014.03.12.
196
Kalkulus MIA 199
Így az y = ax függvény Mac-Laurin sora:
2014.03.12.
197
Kalkulus MIA 200
Fejtsük Taylor sorba az y = ln x függvényt az x = e pont körül!
Határozzuk meg először az együtthatókat:
Így az y = ln x függvény Taylor sora:
…
2014.03.12.
198
Kalkulus MIA 201
Fejtsük Taylor sorba az y = 2x3-x2+x-3 függvényt az x0 = 1 pontkörül!
Határozzuk mag az együthatókat:
Így a függvény Taylor sora:
2014.03.12.
199
Kalkulus MIA 202
Nevezetes függvények hatványsora
Határozzuk meg az y = ex függvény Mac-Laurin sorát!
Induljunk ki az y = ax Mac-Laurin sorából:
Vegyük figyelembe, hogy a = e esetben ln e = 1. Így
Ha x = 1, akkor az e szám sorbafejtését kapjuk:
2014.03.12.
200
Kalkulus MIA 203
Határozzuk meg az y = sin x függvény Mac-Laurin sorát!
Vizsgáljuk először az y = sin x függvény deriváltjait:
Látjuk, hogy a sin x függvénynek minden negyedik deriváltja megegyezik:
2014.03.12.
201
Kalkulus MIA 204
Így x = 0 helyen helyen felvett értékek:
Így a sin x függvény Mac-Laurin sorában az z együtthatók:
Ezért
= 0=1
2014.03.12.
202
Kalkulus MIA 205
Az y = cos x függvény Mac-Laurin sora hasonló gondolatmenettelszámítható ki.
A differenciálhányadosok periodicitása itt is érvényesül.A páratlan indexű tagok együtthatói lesznek zérusok.
Ezért:
2014.03.12.
203
Kalkulus MIA 206206
Integrálszámítás és alkalmazásai
A primitív függvény, a határozatlan integrálElemi függvények határozatlan integráljaIntegrálási szabályokA határozott integrál fogalma és tulajdonságaiA Newton-Leibniz szabályAz integrálszámítás alkalmazásai
2014.03.12.
204
207Matematika II. 207
A primitív függvény
A differenciálszámítás során megismertük azt, hogy egy f(x)függvény f´(x) deriváltját hogyan lehet megadni a függvényismeretében.A kérdés az, hogy a differenciálhányados ismeretében hogyan lehetmeghatározni az f(x) függvényt?Erre a kérdésre ad választ az integrálszámítás.
Akkor mondjuk, hogy az F(x) függvény primitív függvénye az f(x)függvénynek az I ⊂ R intervallumban, ha F folytonos az I-n ésminden belső pontjában F´(x) = f(x).
Kalkulus MIA
2014.03.12.
205
208Matematika II. 208
Példa: Vegyük észre, hogy az f(x) = x2 függvény primitív függvényea számegyenesen az
függvény, mert F´(x) = x2 = f(x).
Hasonló megfontolás alapján látható az is, hogy a
és
Függvények ugyancsak primitív függvényei az f(x) függvénynek.(Ez egyszerűen adódik abból, hogy a konstans differenciálhányadosa0.)
Tétel: Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkorvégtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy additívkonstansban térnek el egymástól.
Kalkulus MIA
2014.03.12.
206
209Matematika II. 209
Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I ⊂ R
intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát. Jele
Az integrál mögötti részt integrandusnak, az x változót integrációsegyütthatónak nevezzük.
A határozatlan integrál definíciójából következik, hogy
Egy függvény határozatlan integrálját megadni azt jelenti, hogymegkeressük a hozzá tartozó összes primitív függvényt.
Kalkulus MIA
2014.03.12.
207
210Matematika II. 210
Példa: Határozzuk meg f primitív függvényeit, ha
Megoldás:
A korábbi tétel miatt, ha grafikusan akarjuk ábrázolni a különbözőprimitív függvényeket, akkor azok olyan „párhuzamos” görbeseregetalkotnak, amelyek az y tengely mentén vannak eltolva. (Ld. Akövetkező oldalt.)
Kalkulus MIA
2014.03.12.
208
211Matematika II. 211
f(x) = x2
Kalkulus MIA
2014.03.12.
209
Kalkulus MIA 212212
Az elemi függvények határozatlan integráljai
n ≠ -1, n∈ℛ
2014.03.12.
210
Kalkulus MIA 213213
Integrálási szabályok
Tétel: Tegyük fel, hogy f-nek és g-nek létezik a primitív függvényeaz I intervallumban. Akkor cf-nek és (f + g)-nek is van primitívfüggvénye, és
2014.03.12.
211
Kalkulus MIA 214214
Példa: keressük az f(x) = 3x4 + 2x3 – 5x +2 függvény határozatlanintegrálját!
Példa: keressük az függvény határozatlan integ-rálját!
2014.03.12.
212
Kalkulus MIA 215215
Tétel: Tegyük fel, hogy f(x)-nek F a primitív függvénye az I
intervallumban, és ax+b ∈ I. Akkor
Biz.
2014.03.12.
213
Kalkulus MIA 216216
Példa: keressük az f(x) = (2x+4)3 függvény határozatlan integrálját!
Példa: keressük az f(x) = cos(3x+3) függvény határozatlanintegrálját!
2014.03.12.
214
Kalkulus MIA 217217
Tétel: Tegyük fel, hogy f(x) differenciálható és F a primitívfüggvénye az I intervallumban, és n ≠ -1. Akkor
Biz.
Figyeljük meg, hogy változtattunk a jelölésen!
2014.03.12.
215
Kalkulus MIA 218218
Példa: keressük az f = 2(2x+4)3 függvény határozatlan integrálját!
Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját!
2014.03.12.
216
Kalkulus MIA 219219
Tétel: Tegyük fel, hogy f differenciálható az I intervallumban, és f(x)
≠ 0, x ∈ I. Akkor
Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját!
2014.03.12.
217
Kalkulus MIA 220
Integráljuk mindkét oldalt:
Amiből átrendezéssel megkapjuk a tétel állítását.
220
Parciális integrálás
A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításábóladódó integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük.
Tétel: Tegyük fel, hogy f és g folytonos és differenciálható az I
intervallumban. Akkor
Biz.
2014.03.12.
218
221Matematika II. 221
Példa: keressük az határozatlan integrál értékét!
Legyen f(x) = x és gʹ(x) = ex. Ekkor fʹ(x) = 1 és g(x) = ex. Így
Kalkulus MIA
2014.03.12.
219
Kalkulus MIA 222VIG BSc Matematika II. 222
Integrálás helyettesítéssel
A helyettesítéses integráláshoz lényegében az összetett függvénydifferenciálási szabályának megfordításával juthatunk el.
Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I
intervallumban, és F’(x) =f(x), ahol x ∈ g(I). Akkor
Példa: keressük az határozatlan integrál értékét!
Az első tényező egy összetett függvény, amelynek belső függvényeg: g(x) = x2.
Az integrandus nem a megfelelő - - alakú, ha szoroz-zuk és osztjuk is 2-vel, akkor a kívánt forma elérhető:
2014.03.12.
220
223Matematika II. 223
A határozott integrál fogalma
Keressük annak a síkidomnak a területét, amelyet az f(x) = x2 görbe,az x tengely és az x = b egyenes határol.
Jelöljük a fenti „parabolikus” háromszög területét T-vel, és osszukfel a [0,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú – ekvidisztans –részintervallumra. Legyenek az osztópontok:
ahol
A T területnek egy alsó becslését kapjuk, ha mindenrészintevallumon egy olyan téglalapnak a területét számítjuk ki,amelynek alapja a részintervallum hossza, magassága arészintervallum bal végpontjában felvett függvényérték.
Kalkulus MIA
2014.03.12.
221
Kalkulus MIA 224
224
Így a parabolikus háromszög területét alulról egy törtvonallal határoltsokszög területével közelítjük meg:
x0 x1 x2 xi xn-2 xn-1 xn=b
2014.03.12.
222
Kalkulus MIA225225
Jelöljük az összterületet sn-nel és számítsuk ki az alsó közelítőterületek összegét:
Hasonlóan számítható ki a felső közelítő összeg, de most arészintervallumokon a jobb oldali végponthoz tartozó függvényértékadja a magasságot.
2014.03.12.
223
Kalkulus MIA 226226
Jelöljük az összterületet Sn-nel és számítsuk ki az felső közelítőterületek összegét:
Az nyílvánvaló, hogy
2014.03.12.
224
Kalkulus MIA 227227
Most n-et növelve osszuk a [0,b] intervallumot egyre több részre.Ekkor
Ezért
2014.03.12.
225
Kalkulus MIA 228228
A fentiekben alkalmazott technikát változtatás nélkül használhatjukmonoton növekvő függvények esetére.Legyen f az [a,b] intervallumon értelmezett monoton növekvőkorlátos függvény, és legyen f ≥ 0.Határozzuk meg a görbe vonalú trapéz területét, ha azt az x tengely,az f függvény grafikonja és az x = a, valamint az x = b egyenesekhatárolják.Eddig egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztottuk az adottszakaszt. Mivel ez nem kötelező előírás, és a következőkbenáltalánosabban akarjuk kezelni a problémát, be kell vezetnünk akövetkező definíciót:
Monoton függvények határozott integrálja
2014.03.12.
226
Kalkulus MIA 229229
f(b)f(a)
a b
T
f(x)
2014.03.12.
227
Kalkulus MIA 230230
Legyen
Az [a,b] intervallum felosztása n – nem feltétlenül egyenlő – részre.A felosztás finomságán a
számot értjük. A δn tehát a leghosszabb részintervallum hosszátjelöli.
Minden olyan felosztást, amelyet egy adott felosztásból úgy kapunk,hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és eközben δn csökken, azadott felosztás finomításának nevezzük.
2014.03.12.
228
Kalkulus MIA 231231
Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az
felosztáshoz tartozó alsó összegen (a beírt téglalapok területössze-gén) az
összeget értjük.
2014.03.12.
229
Kalkulus MIA 232232
Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az
felosztáshoz tartozó felső összegen (a beírt téglalapok területössze-gén) az
összeget értjük.
Monoton csökkenő függvények esetén az alsó és feslő összegekértelemszerűen definiálhatók.
A fenti definíciókból egyértelműen adódik, hogy az f(x) görbe alattiT terület az [a,b] intervallumon:
2014.03.12.
230
Kalkulus MIA 233233
Tétel: Legyen f(x) egy monoton növekvő, korlátos függvény az [a,b]intervallumon. Tekintsük az [a,b] intervallumnak egy felosztását, és afelosztást finomítsuk minden határon túl, azaz δn → 0. Ekkor a {sn}és a {Sn} sorozatok konvergálnak, és
A tétel – analóg módon – kimondható monoton csökkenő korlátosfüggvényekre is.
A következőkben megmutatjuk, hogy a függvényértékekválasztásánál nem kell ragaszkodnunk a részintervallumokvégpontjaihoz.
2014.03.12.
231
Kalkulus MIA 234234
Tétel: Legyen f az [a,b] intervallumon monoton és korlátos. Legyen
Az [a,b] intervallum egy felosztása, és legyenek
Tetszés szerinti valós számok. Legyen továbbá
Ekkor
A σn értéket az adott beosztáshoz tartozó közelítő összegneknevezzük.
2014.03.12.
232
Kalkulus MIA 235235
Az f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak nevezzük, haa felosztások minden határon túli finomításával keletkező σn
közelítő összegek sorozatának létezik a (beosztástól és a ξn közbülsőpontoktól független) határértéke.A határértéket az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljánakvagy határozott integráljának (vagy Riemann-integráljának)nevezzük. Jele:
A fenti definíció ismeretében az előző oldali tétel átfogalmazható: az[a,b] intervallumon monoton korlátos függvény integrálható.
2014.03.12.
233
Kalkulus MIA 236236
Az f függvényt az (a,b) intervallumban szakaszonként monotonfüggvénynek nevezzük, ha van az [a,b] intervallumnak olyan végesfelosztása, hogy minden részintervallumban f monoton.
Tétel: Szakaszonként monoton függvények integrálját a monotonszakaszokon vett integrálok összege szolgáltatja.
Tétel: Ha az [a,b] intervallumnak van olyan felosztása, hogy mindennyitott részintervallumon az f függvény folytonos, és f az [a,b]-nkorlátos, akkor az f függvény az [a,b]-n integrálható.
2014.03.12.
234
Kalkulus MIA 237237
A határozott integrál tulajdonságai
Tétel: Ha az f és a g függvény integrálható az [a,b] intervallumon, ésα ∈ R, akkor
és
Továbbá, ha a < c < b, akkor
(A két utolsó állítás más szóval: a határozott integrál mind függvény,mind intervallum szerint additív.)
2014.03.12.
235
Kalkulus MIA 238238
Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor
Tétel: Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban, akkorlétezik olyan
valós szám, amelyre
Tétel: Ha egy f függvény integrálható az [a,b] intervallumon, akkorintegrálható annak minden részintervallumán is.
2014.03.12.
236
Kalkulus MIA 239239
A Newton-Leibniz szabály
Ha az előző oldali utolsó tételét, akkor – az intervallum alsó határátrögzítve – az intervallumon vett integrál egy függvény, amelynekértéke a részintervallum felső határának értékétől függ.Más szóval minden x ∈ [a,b] számhoz egy valós szám rendelhető.Jelöljük ezt a függvényt G-vel:
Ezt G függvényt az f függvény integrálfüggvényének nevezzük.
Az integrálfüggvény jól használható a határozott integrálkiszámításakor, hiszen
2014.03.12.
237
Kalkulus MIA240240
Már a definícióból két dolog is látszik: Egyrészt azonnal adódik,hogy G(a) = 0, másrészt lehet látni,hogy a G függvénynek „közevan” a primitív függvényhez. Valóban, igaz a következő tétel:
Tétel: ha G az f-nek integrálfüggvénye, és f folytonos az [a,b]intervallumon, akkor
Azaz G az f-nek egy primitív függvénye.
A fenti tétel következménye az, hogy ha F(x) is primitív függvényef(x)-nek, akkor
Ezért
Mivel G(a) = 0, ezért
2014.03.12.
238
Kalkulus MIA 241241
Meghatározva C-t, azt kapjuk, hogy
És ezért
Ezt a képletet szokás Newton-Leibniz formulának is nevezni.
A határozott integrál értékét tehát úgy számítjuk ki, hogymegkeressük f egy primitív függvényét (F-et), és a felső határon vetthelyettesítési értékéből kivonjuk az alsó határon vett helyettesítésiértékét.
2014.03.12.
239
Kalkulus MIA 242242
Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a
Newton-Leibniz formula segítségével!
A megoldás helyességét egyszerű geometriai eszközökkel isellenőrizhetjük:
2 4
2014.03.12.
240
Kalkulus MIA 243243
Az integrálszámítás alkalmazásai
Az integrál geometriai értelmezésének a következménye, hogy ha f
korlátos és integrálható az [a,b] intervallumon, akkor az
annak a síkidomnak a területét adja, amelyet az f függvény, az x = a,az x = b egyenesek és az x tengely határolnak, feltéve, ha f(x) ≥ 0.
Ha a függvényre nem érvényes a nem-negativitás, akkor a negatívszakaszon külön számítjuk ki a függvényhez tartozó terület értékét,és annak az abszolút értékével számolunk.
2014.03.12.
241
Kalkulus MIA244244
Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a
Newton-Leibniz formula segítségével!
Az ellenőrzéshez rajzoljuk fel az (x-3) függvény grafikonját!
2014.03.12.
242
Kalkulus MIA245245
Példa: bizonyos esetekben érdemes kihasználni a szimmetriát. Szá-mítsuk ki, hogy mekkora területet zár be az x tengellyel az y = sinx
függvény a [0,2π] intervallumon!
Ha egyszerűen alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát, akkor:
Ami nyílván hibás eredmény. Használjuk ki a szimmetrát! Ekkor
Ez így már a helyes eredmény!
2014.03.12.
243
Kalkulus MIA 246246
Két vagy több függvénygörbe által határolt síkidom területénekmérőszáma a két (vagy több) függvény által határolt területekkülönbségéből határozható meg.
Példa: határozzuk meg az f(x) = x2 és a egyenletű görbékáltal bezárt síkidom területét!
Először határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: x1 = 0 és x2 = 1.Ezért
2014.03.12.
244
Kalkulus MIA 247247
Az improprius integrál
Az eddigiekben a határozott integrált csak véges intervallumokra éskorlátos függvényekre értelmeztük.Felhasználva a határátmenet eszközeit ebben a fejezetbenmegmutatjuk, hogy a határozott integrál kiterjeszthető bizonyosesetekben nem korlátos függvényekre és végtelent tartalmazóintervallumokra is.
Két esetet fogunk megkülönböztetni:
Az integráció intervalluma végtelen.Az [a,b] intervallumon az f függvény nem korlátos.
2014.03.12.
245
Kalkulus MIA 248248
Ha az f függvény integrálható az [a, ∞) intervallum minden [a,b]részintervallumában és létezik a
Véges határérték, akkor ezt az f függvény [a, ∞) intervallumon vettimproprius integráljának nevezzük, és
A fentihez hasonlóan definiálható az
Improprius integrál is.
2014.03.12.
246
Kalkulus MIA 249249
A két definícióból következik, hogy az f függvény (-∞,∞)intervallumon értelmezett improprius integrálján az
egyenlőséget értjük.
Példa: határozzuk meg a következő improprius integrál értékét:
2014.03.12.
247
Kalkulus MIA 250VIG BSc Matematika II. 250
Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor a függvény az adottintervallumon nem korlátos.
Tegyük fel, hogy az f az [a,b]-n nem integrálható, de tegyük fel, hogybármely [a,b-ε] részintervallumában integrálható. Ha létezik a
határérték, akkor ezt az f függvény [a,b] intervallumon vettimproprius integráljának nevezzük, és
2014.03.12.
248
Kalkulus MIA 251251
A fentihez hasonlóan definiálható az
improprius integrál is.
A két definícióból következik, hogy ha az f függvény az [a,b]intervallum egy belső c pontjában, a < c < b nem korlátos, akkor azimproprius integrál a következőképpen számítható ki:
2014.03.12.
249
Kalkulus MIA 252252
Példa: Határozzuk meg az alábbi improprius integrált!
2014.03.12.
250
Kalkulus MIA 253253
Forgástestek térfogata
Tekintsünk egy f függvényt, amelyet forgassunk meg az x tengelykörül.A forgástest térfogatát – a határozott integrálnál követett eljáráshozhasonlóan – közelítsük a beleírt és a körülírt kis korongokössztérfogatával.Legyen az i. részintervallumon a kis korong magassága δi =xi – xi-1.
Egy-egy kis szakaszon az xi abszcisszához tartozó sugár most f(xi),így egy kis korong térfogatát az f2(xi)π sugarú henger és a hozzátartozó δi magasság szorzata szolgáltatja.Ha a
határérték létezik, akkor az a forgástest V térfogatát adja.
2014.03.12.
251
Kalkulus MIA 254254
Ugyanakkor azt tudjuk, hogy
Ezért a forgástest térfogata
2014.03.12.
252
Kalkulus MIA 255255
f(x)
2014.03.12.
253
Kalkulus MIA 256256
Példa: Forgassuk meg az
függvény görbéjét az x tengely körül, és határozzuk meg akeletkezett forgástest térfogatát! (Vegyük észre, hogy a megadottgörbe egy félkör.)
Ez pedig a gömb térfogatának ismert képlete.