kalkulus mia műszaki informatikus asszisztens - jgypk.hu · kalkulus mia 23 példa : Ábrázoljuk...

2014.03.12.

1

Kalkulus MIA 1

Kalkulus MIA

Műszaki informatikus asszisztens

Galambos Gábor

JGYPK2013-2014

http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf

2014.03.12.

2

Kalkulus MIA 2

A Kalkulus főbb témái:

Intervallum, távolság, környezetValós függvényekSzámsorozatok és sorokFüggvények határértéke, folytonosságDifferenciálszámításDifferenciálható függvények vizsgálataIntegrálszámítás és alkalmazásai

2014.03.12.

3

Matematika II. 3

A valós számok axiómarendszere I.

I. Testaxiómák

• Definiálható két művelet: az összeadás és a szorzás.• Mindkét művelet kommutatív és asszociatív

a+b = b+a a·b = b·a (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)• A műveletek követik a disztributív törvényt

a·(b+c) =a·b + a·c

• Van a halmazban zérus elem (0) és egység elem (1):a+0 = a a·1 = a

• Minden a ∊ ℝ esetén az a+x = 0 és az a·x = 1 (a ≠ 0) egyenlet-nek van megoldása. (létezik az additív és a multiplikatív inverzelem)

Kalkulus MIA 3

2014.03.12.

4

Matematika II. 4

A valós számok axiómarendszere II.

II. Rendezettségi axiómák:

A valós számok halmaza rendezett halmaz, azaz értelmezhetünk ben-ne egy rendezettségi relációt. Az a > 0 ill. a < 0 relációk aztjelentik, hogy a pozitív ill. negatív, és b > a jelentése az, hogy b –

a > 0.

A definiált ( > ) reláció rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

• Ha a,b ∊ ℝ, akkor az a = b, a > b, a < b állítások közül egy éscsak egy teljesül

• Ha a < b, akkor a + c < b + c minden a,b,c ∊ ℝ.• Ha a > 0 és b > 0, akkor ab > 0 minden a,b,c ∊ ℝ.• Ha a > 0 és b < 0, akkor ab < 0 minden a,b,c ∊ ℝ.

Kalkulus MIA 4

2014.03.12.

5

Matematika II. 5

A valós számok axiómarendszere III.

III. Archimedesi axióma: Minden való számnál van nagyobbtermészetes szám.

IV. Cantor axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumok soro-zatának mindig van közös pontja.Más szóval: ha adott két számsorozat:

úgy, hogy tetszőleges n-re an ≤ bn, akkor az

intervallumoknak van közös része.

Kalkulus MIA 5

2014.03.12.

6

Matematika II.6

A valós számok axiómáinak ismeretében bebizonyítható, hogy alétezik:

A bizonyítás konstruktív:

n = 1

n = n+1

igen nem

Kalkulus MIA 6

2014.03.12.

7

Matematika II. 7

Így egy intervallumsorozatot definiálunk, amelyben minden n-re

(1)

A Cantor-axióma szerint ennek az intervallumsorozatnak van közöseleme. Jelöljük ezt c-vel. Ugyanakkor c-ről tudjuk, hogy (1) miatt

Ezért

(2)

(1)-hez hasonlóan induljunk most ki a

egyenlőtlenségekből.

Kalkulus MIA 7

2014.03.12.

8

Matematika II. 8

Elvégezve a hasonló műveleteket azt kapjuk, hogy

(3)

(2)-ből és (3)-ból azt kapjuk, hogy

Ami azt jelenti, hogy c2 tetszőlegesen közel kerülhet 2-höz, ha n-et elég nagyra választjuk. Ezért |2 – c2| nem lehet pozitív szám. Így

c2 = 2Amiből azt kapjuk, hogy

Tehát a tényleg létezik.Kalkulus MIA 8

2014.03.12.

9

Kalkulus MIA 9

Két halmaz egyértelmű hozzárendelését függvénynek nevezzük.

1. Fogalmak

A: B:

x

y

y = f(x)

értelmezési tartomány képhalmaz

2014.03.12.

10

Kalkulus MIA 10

Az A halmaz valamely eleméhez rendelt B halmazbeli elemetfüggvényértéknek nevezzük és f(a)-val jelöljük, ahol a ∊ A.

A függvényértékek halmazát értékkészletnek nevezzük.

A függvény értelmezési tartományát Df-fel, az értékkészletét pedigRf-fel jelöljük.

A fentiekből következik, hogy Rf ⊆ B.

Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott az értelmezésitartomány és a hozzárendelési utasítás: f(x), x ∊ A.

f(x) = x, x ∊ N.

g(x) = x+3, x ∊ R.

h(x) = x2 – 1, x ∊ R.

2014.03.12.

11

Kalkulus MIA 11

Az f és g függvényt akkor mondjuk egyenlőknek, ha Df = Dg ésminden x∊Df esetén f(x) = g(x).

Azonos-e a két kifejezés?

Df = R és Dg = R \ {0}

2014.03.12.

12

Kalkulus MIA 12

Ha az f függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is avalós számok halmazának részhalmaza, akkor valós-valósfüggvényről vagy egyváltozós valós függvényről beszélünk.

Az egyváltozós valós függvény grafikonján az (x;f(x)) koordinátájúpontok halmazát értjük a Descartes-féle koordináta rendszerben,ahol x∊Df.

2014.03.12.

13

Kalkulus MIA 13

Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott nyílt interval-lumon azt a számhalmazt értjük, amely

(a,b) = {x∊ ℝ | a < x < b.}

Intervallumok

Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott zárt interval-lumon azt a számhalmazt értjük, amely

[a,b] = {x∊ ℝ | a ≤ x ≤ b.}

Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott balról zártjobbról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely

[a,b) = {x∊ ℝ | a ≤ x < b.}

Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott jobbról zártbalról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely

(a,b] = {x∊ ℝ | a < x ≤ b.}

2014.03.12.

14

Kalkulus MIA 14

Intervallumnak nevezzük még az alábbi számhalmazokat is:(-∞,b) = {x∊ ℝ | x < b}(-∞,b] = {x∊ ℝ | x ≤ b}

(a, +∞) = {x∊ ℝ | x >a} [a, +∞) = {x∊ ℝ | x ≥ a}

(-∞, +∞) = ℝ

2014.03.12.

15

Kalkulus MIA 15

A környezet és a távolság kapcsolata

Távolság definíciója valós számokra és n dimenzióra kiterjesztve.A távolság tulajdonságaiA környezet és a távolság viszonya.Belső pont, határpont.Zárt halmaz, nyílt halmaz.

2014.03.12.

16

Kalkulus MIA 16

Az A és B halmazoknak az A × B szimbólummal jelölt Descartes-féle szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) párokból álló halmazt értjük, amelyekre a ∊ A és b ∊ B. Jelölése:

A × B = { (a,b) | a ∊ A és b ∊ B }.Ha A = B, akkor az A × A helyett az A2 jelölést is használjuk.Ha A, B ⊆ ℝ, akkor rendezett számpárokról beszélünk.

Pl. Legyen A = {1, 2, 3} és B = {e, f}

A × B =

2014.03.12.

17

17

A táblázat felfogható egy speciális szorzótáblának. A szorzathalmazelemeinek a számát a két halmaz elemeinek szorzata adja.

Tétel: A Descartes-szorzás művelete nem kommutatív. (Nemfelcserélhető).

A szorzathalmaz kettőnél több halmaz szorzatára is értelmezett,ekkor rendezett hármasok, négyesek, stb. lesznek a szorzathalmazelemei.Ha az n darab halmaz mindegyike a valós számok halmazávalegyenlő, akkor szokás az ℝn jelölést használni.

A szorzathalmaz lehetővé teszi matematikai alakzatok konstrukcióját is:

Matematika II.Kalkulus MIA

2014.03.12.

18

18

ℕ

ℕ

Matematika II.Kalkulus MIA

2014.03.12.

19

Kalkulus MIA 19

Az a < b valós számok távolságán a számegyenes a és b pontjainak távolságát értjük:

A számsík a = (a1, a2) és b = (b1, b2) pontjainak távolságát a

értékkel definiáljuk.

Az a = (a1, a2 ,…, an) és b = (b1, b2 ,…, bn) pontjainak távolságát a

értékkel definiáljuk.

2014.03.12.

20

Kalkulus MIA 20

A fentebb definiált távolság fogalom az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

• ρ(a, b) ≥ 0• ρ(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b.• ρ(a, b) = ρ(b, a) • ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b)

Valamely x0 ∈ ℝn pontnak δ > 0 sugarú környezetén ℝn azon x

pontjainak halmazát értjük, amelyek x0 -tól való távolsága kisebb δ-nál, azaz

2014.03.12.

21

Kalkulus MIA 21

Egy x0 hely δ sugarú környezete(másik definíció)

Legyen x∊R és δ∊R+.

Az x0 hely δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0 + δ) intervallumotértjük és kδ(x0)-al jelöljük. Ha x ∊ (x0 – δ, x0 + δ), akkor |x – x0| < δ.Az x0 hely szigorúbb értelemben vett δ sugarú környezetén az (x0 –δ, x0 + δ) \ {x0} intervallumot értjük és kδ(x0) \ {x0} -al jelöljük. Hax ∊ (x0 – δ, x0 + δ) \ {x0}, akkor |a – x0| < δ.Az x0 hely baloldali δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0)intervallumot értjük és kδ(x0 – 0)-al jelöljük.Az x0 hely jobboldali δ sugarú környezetén az (x0, x0 + δ)intervallumot értjük és kδ(x0 + 0)-al jelöljük.

2014.03.12.

22

Kalkulus MIA 22

Egy H ⊆ ℝ halmaznak a egy belső pontja, ha a-nak van olyan kör-nyezete, amely része H-nak.

Egy H ⊆ ℝ halmaznak a egy határpontja, ha a-nak bármelykörnyezetében H-nak is és H komplementerének is van pontja.

Ha egy H ⊆ ℝ halmaznak minden pontja belső pont, akkor H-t nyílthalmaznak, ha minden határpontját tartalmazza, akkor zárthalmaznak nevezzük.

2014.03.12.

23

Kalkulus MIA 23

Példa: Ábrázoljuk az f(x) = x2 – 4 függvényt a [-3;3] intervallumon és határozzuk meg a zérus helyeit!

Függvénytulajdonságok

Az f függvény zérus helyének nevezzük azt az értelmezésitartománybeli elemet, ahol a felvett függvényérték zérus, azaz a∊Df ,f(a) = 0.

Az egyenlet gyökei (zérus helyei):x1 = -2

x2 = 2.

2014.03.12.

24

Kalkulus MIA 24

2014.03.12.

25

Kalkulus MIA 25

Függvények paritása

Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x ∊ Df esetén -x ∊ Df

és f(-x) = f(x).

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = | x | függvényt párosság szempontjá-ból!

A függvény grafikonjatengelyesen tükrös az f(x)tengelyre.

2014.03.12.

26

Kalkulus MIA 26

Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha minden x ∊ Df esetén -x ∊

Df és f(-x) = -f(x).

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x3 – 4x függvényt párosság szem-pontjából!

A függvény grafikonjatükrös az origóra.

2014.03.12.

27

Kalkulus MIA 27

Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A

részhalmazán – felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R

valós szám, hogy minden a ∊ A esetén f(a) ≤ K.

Függvények korlátossága


részhalmazán – alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R

valós szám, hogy minden a ∊ A esetén f(a) ≥ K.


részhalmazán – korlátosnak nevezzük, ha a függvény alulról ésfelülről is korlátos.

2014.03.12.

28

Kalkulus MIA 28

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = sin x + 2 függvényt korlátosságszempontjából!

A sin x + 2 függvény értékei az [1;3] intervallumba esnek, így afüggvény alulról és felülről is korlátos, azaz korlátos.

2014.03.12.

29

Kalkulus MIA 29

Függvények monotonitása

Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A ⊆ Df) rész-halmazán monoton növekvőnek nevezzük, ha tetszőleges x1, x2 ∊ A,

x1< x2 esetén f(x1) ≤ f(x2).

Ha x1< x2 esetén f(x1) < f(x2), akkor függvényt szigorúan monotonnövekvőnek nevezzük

Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A ⊆ Df) rész-halmazán monoton csökkenőnek nevezzük, ha tetszőleges x1, x2 ∊ A,

x1< x2 esetén f(x1) ≥ f(x2).

Ha x1< x2 esetén f(x1) > f(x2), akkor függvényt szigorúan monotoncsökkenőnek nevezzük

2014.03.12.

30

Kalkulus MIA 30

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = ex függvényt monotonitás szempont-jából!

f(x) = ex

Az egynél nagyobb alapúhatványok esetében ha akitevőt növeljük, akkor ahatvány értéke is nő Ezért hax1 < x2, akkor

Tehát a függvény szigorúanmonoton növekvő.

2014.03.12.

31

Kalkulus MIA 31

Függvények szélsőértékhelyei

Legyen adott az f függvény, és legyen H az értelmezési tartományvalamely részhalmaza (H ⊆ Df).Az x0 ∊ H az f-nek minimumhelye, ha minden x∊ H, (x ≠ x0)esetén f(x) ≥ f(x0).

Az x0 ∊ H az f-nek maximumhelye, ha minden x∊ H, (x ≠ x0)esetén f(x) ≤ f(x0).

A minimum és maximumhelyeket együttesen szélsőértékhelyek-nek nevezzük.Ha x0-nak van olyan K környezete (K⊂Df), hogy minden x∊Df ∩K

és x ≠ x0 esetén f(x) ≤ f(x0),(vagy f(x) ≥ f(x0)), akkor x0 afüggvénynek lokális szélsőértékhelye.Ha H ≡ Df , akkor x0 a függvénynek abszolút szélsőértékhelye.

2014.03.12.

32

Kalkulus MIA 32

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = (x+3)2-1 függvényt a szélsőértékekszempontjából!

A függvénynek az x = -3

helyen abszolút minimumhelye van.

2014.03.12.

33

Kalkulus MIA 33

Periódikus függvények

Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 valósés k egész szám, hogy minden x ∊ Df esetén x+kp∊ Df, és f(x+kp) =

f(x). A valós p számot periódusnak nevezzük.

A trigonometrikus függvények periodikusak. Pl. a sin x függvényperiódusa 2π.

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x – [x] törtrész függvénytperiodicitás szempontjából!

A függvény periodikus, és a periódusa 1.

2014.03.12.

34

Kalkulus MIA 34

Konvex és konkáv függvények

Legyen adott az f függvény és a,b ∊ Df , a < b. Legyen továbbá x1 ésx2 az [a;b] intervallum két tetszőleges pontja (a ≤ x1< x2 ≤ b).Legyen e az f(x1) és f(x2) pontokon áthaladó szelő.

Az f függvényt az [a;b] intervallumon konvexnek nevezzük, habármely olyan x ∊ Df –re, amelyre x1 < x < x2 igaz, hogy f(x) <

e(x).

Az f függvényt az [a;b] intervallumon konkávnak nevezzük, habármely olyan x ∊ Df –re, amelyre x1 < x < x2 igaz, hogy f(x) >

e(x).

Ha az x0 ∊ Df helynek van olyan jobb és baloldali környezete,hogy a függvény az egyikben konvex, a másikban konkáv, akkoraz x0 helyet inflexiós pontnak nevezzük.

2014.03.12.

35

Kalkulus MIA 35

Példa: konvex függvény

a bx1

x2x

e(x)

f(x)

f(x) < e(x).

2014.03.12.

36

Kalkulus MIA 36

Példa: inflexiós pont

A függvény a (-∞;0] intervallumon konkáv, a [0,+ ∞) intervallumonkonvex, ezért az x0 = 0 pont a függvény inflexiós pontja.

2014.03.12.

37

37

Műveletek függvényekkel

Legyen adott az f és g függvény Df és Dg értelmezési tartománnyal,valamint egy c∊ℝ konstans. Tegyük fel, hogy Df ∩ Dg ≠ ∅.Ekkor

Az f függvény konstansszorosán azt a cf függvényt értjük, amelyreDcf = Df , és minden x ∊ Df-re (cf )(x) = c f(x).Két függvény összegén azt az (f+g) függvényt értjük, amelyreDf+g= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (f+g)(x) = f(x) + g(x).Két függvény szorzatán azt az (fg) függvényt értjük, amelyre Dfg=

Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (fg)(x) = f(x) g(x).

Két függvény hányadosán azt az függvényt értjük, amely-

re Df/g= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (x) = .

Kalkulus MIA

2014.03.12.

38

Kalkulus MIA 38

Legyen adott az f és a g függvény. Tegyük fel, hogy Df ∩ Rg = A,és A ≠ ∅. Legyen D az a halmaz, amely része g értelmezésitartományának és képe az A halmaz. Tegyük fel, hogy az f függvényaz A halmazt az E ⊆ Rf halmazra képezi le.

Azt a függvényt, amely a D halmazhoz az E halmazt rendeli(értékkészletként), összetett függvénynek nevezzük és f ° g-vel je-löljük. Az f-t külső, a g-t pedig belső függvénynek nevezzük.

(f ° g)(x) = f(g(x))

Rg

D

Df

A

Rf

Eg f

2014.03.12.

39

Kalkulus MIA 39

Példa: Határozzuk meg azt a legbővebb halmazt, amelyen az f(x) = lg (x2 – 1) függvény értelmezhető.

A külső függvény a logaritmus függvény, a belső függvény ahatványfüggvény.A belső függvény értelmezési tartománya a valós számokhalmaza.Mivel a logaritmus függvény értelmezési tartomány a pozitívvalós számok halmaza, ezért a x2 – 1 > 0 –nak kell teljesülni.Ezért x > 1 vagy x < -1.Ezért az f összetett függvény értelmezési tartományaDf = R \ [-1; 1].

2014.03.12.

40

Kalkulus MIA 40

Inverz függvény

Legyen az f függvény külcsönösen egyértelmű (x1, x2 ∊ Df , x1 ≠ x2

akkor f(x1) ≠ f(x2) ).Azt a függvényt, amely az f függvény értékkészletén (Rf) vanértelmezve, és az y ∊ Rf elemhez azt az egyetlen x ∊ Df elemetrendeli, amelyre f(x) = y, az f függvény inverzének nevezzük és f -1 –gyel jelöljük: f -1(y) = x

Megjegyzések:Az értelmezési tartomány és az értékkészlet inverz képzésnélmegcserélődik.( f -1)-1=f.

Egy függvény és inverzének grafikonja tükrös az y = x egyenesre.Ha Df = Rf , akkor f º f -1 = f -1 º f.

Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverze. (Ezelegendő de nem szükséges feltétel!)

2014.03.12.

41

Kalkulus MIA 41

Példa 1: Adjuk meg az f(x) = 2x – 3 függvény inverzét!Df = Rf = R.

A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.)

A definíció alapján f -1(y) = x, ezért .

2014.03.12.

42

Kalkulus MIA 42

Példa 2: Adjuk meg az f(x) = ex függvény inverzét!Df = (-∞, ∞), Rf = (0, ∞).

A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.)

A definíció alapján f -1(y) = x, ezért x = log y .

f(x) = ex

f(x) = log(x)

2014.03.12.

43

Kalkulus MIA 43

A trigonometrikus függvények inverzei(ciklometrikus függvények)

2014.03.12.

44

Kalkulus MIA 44

A hiperbolikus függvények és inverzeik

2014.03.12.

45

Kalkulus MIA 45

Külső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára

A külső függvénytranszformációnál mindig a kiszámított függvény-értéken hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az y

tengely irányába történő változás.

Legyen adott az f függvény grafikonja.

Az f+c, c ∊ ℝ függvény grafikonja az f függvény grafikonjának y

tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága | c |,iránya megegyezik c előjelével.A –f függvény grafikonja az f–nek x tengelyre vonatkozótükörképe.A cf függvény grafikonja az f-nek y tengely menti nyújtásával (c> 1), vagy zsugorításával (0 < c < 1) kapható. Ha c negatív,akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is.

2014.03.12.

46

Kalkulus MIA 46

Belső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára

A belső függvénytranszformációnál mindig a független változónhajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az x tengelyirányába történő változás.

Legyen adott az f függvény grafikonja.

Az f(x+a), a ∊ ℝ, a+x ∊ Df függvény grafikonja az f függvénygrafikonjának x tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolásnagysága | a |, iránya ellentétes a előjelével.A f (-x) függvény grafikonja az f–nek y tengelyre vonatkozótükörképe.A f (ax) függvény grafikonja az f-nek x tengely mentizsugorításával (a > 1), vagy nyújtásával (0 < a < 1) kapható. Haa negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódótükrözést is.

2014.03.12.

47

Kalkulus MIA 47

Példa: Ábrázoljuk az f(x) = -(x-3)2+4 függvényt.

f(x)=x2 f(x)=(x-3)2

f(x)=-(x-3)2

f(x)=-(x-3)2+4

2014.03.12.

48

Kalkulus MIA 48

Az elemi függvények halmazát alkotják a

KonstansfüggvényekHatványfüggvényekExponenciális függvényekTrigonometrikus függvények

és az ezekből véges számú összeadással, kivonással, szorzással,osztással, összetett- és inverz-függvény képzéssel előállíthatófüggvények.

2014.03.12.

49

Kalkulus MIA 4949

Függvények határértéke

Négy esetet különböztetünk meg attól függően, hogy hol vizsgáljuk ahatárértéket, és az véges vagy végtelen.

2014.03.12.

50

Kalkulus MIA 5050

Végtelenben vett véges határérték

Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ szám, ha bár-mely ε > 0 –hoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahány-szor x > K és x ∊ Df, akkor | f(x) – A | < ε. Jelölése:

Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ szám, ha bár-mely ε > 0 –hoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahány-szor x < K és x ∊ Df, akkor | f(x) – A | < ε. Jelölése:

2014.03.12.

51

Kalkulus MIA 5151

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határér-

két -ben!

2

A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre.

2014.03.12.

52

Kalkulus MIA 5252

Végtelenben vett végtelen határérték

Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ

számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K

és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:

Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ

számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K

és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:

2014.03.12.

53

Kalkulus MIA 5353

Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ

számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K

és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:

Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ

számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K

és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:

2014.03.12.

54

Kalkulus MIA 5454


két -ben!

A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre.

2014.03.12.

55

Kalkulus MIA 5555


két -ben!

2014.03.12.

56

Kalkulus MIA 5656

Véges helyen vett végtelen határérték

Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ

számhoz létezik olyan δ > 0 (δ ∊ ℝ+) valós szám, hogy valahány-szor x ∊ kδ(x0)\{x0} és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:

Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ

számhoz létezik olyan δ > 0 (δ ∊ ℝ+) valós szám, hogy valahány-szor x ∊ kδ(x0)\{x0} és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:

2014.03.12.

57

Kalkulus MIA 5757


két az x0 = 0 pontban!

2014.03.12.

58

Kalkulus MIA 5858

Véges helyen vett véges határérték

Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a jobboldali határértéke az A ∊ ℝ,ha bármely ε ∊ ℝ+ számhoz létezik olyan δ ∊ ℝ+ valós szám, hogyvalahányszor x ∊ kδ(x0+0) ⊆ Df, mindannyiszor | f(x) – A | < ε .Jelölése:

Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a baloldali határértéke az A ∊ ℝ, habármely ε ∊ ℝ+ számhoz létezik olyan δ ∊ ℝ+ valós szám, hogyvalahányszor x ∊ kδ(x0-0) ⊆ Df, mindannyiszor | f(x) – A | < ε .Jelölése:

2014.03.12.

59

Kalkulus MIA 5959

Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x0 ∊ ℝ helyen a baloldali és ajobboldali határértéke, és

akkor

Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x0 ∊ ℝ helyen határértéke,akkor az egyértelműen meghatározott.

2014.03.12.

60

Kalkulus MIA 6060

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg

a határértékétaz x0 = 5 pontban!

-5

2014.03.12.

61

Kalkulus MIA 6161

Műveleti tételek

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ

és legyen c ∊ ℝ tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is ahatárértéke, és


és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezikaz f ± g függvénynek is a határértéke, és

2014.03.12.

62

Kalkulus MIA 6262


és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezikaz fg függvénynek is a határértéke, és


és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ, ahol B ≠ 0.Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és

2014.03.12.

63

Kalkulus MIA 6363

Az előző állítások igazak véges helyen vett határérték esetén is:

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A

∊ ℝ és legyen c ∊ ℝ tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is ahatárértéke, és


∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ.Ekkor létezik az f ± g függvénynek is a határértéke, és

2014.03.12.

64

Kalkulus MIA 6464


∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ.Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és


∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ, aholB ≠ 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és

2014.03.12.

65

Kalkulus MIA 6565


két -ben és x0 = 0 –ban is!

Ezért a függvénynek 0-ban nincs határértéke.

2014.03.12.

66

Kalkulus MIA 66

Nevezetes határértékek

Tétel:

Tétel:

Tétel:

Tétel:

Tétel:

Tétel:

2014.03.12.

67

Kalkulus MIA 6767

Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét az

x0 = 0 helyen!

Alakítsuk át az f(x) függvényt:

vegyük figyelembe, hogy ha x→ 0, akkor 2x→ 0. Ezért

2014.03.12.

68

Kalkulus MIA 6969

Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét

az x0 = +∞ helyen!

Alakítsuk át az f(x) függvényt:

Ezért – használva a műveletekre vonatkozó tételeket is – kapjuk,hogy

2014.03.12.

69

Kalkulus MIA 7070

Függvények folytonossága

Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik afüggvénynek az x0 helyen a határértéke és az egyenlő a függvényhelyettesítési értékével, azaz

Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen jobbról folytonosnak nevezzük, halétezik a függvénynek az x0 helyen a jobboldali határértéke és azegyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz

Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen balról folytonosnak nevezzük, halétezik a függvénynek az x0 helyen a baloldali határértéke és azegyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz

2014.03.12.

70

Kalkulus MIA 7171

Figyeljük meg, hogy a folytonosság pontbeli tulajdonság!

Az f függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha afüggvény az intervallum minden pontjában folytonos, továbbá a azintervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb végpontjában pedigbalról folytonos.

Tétel: Legyen az f és a g függvény az x0 helyen folytonos. Ekkor• cf is folytonos az x0 helyen, ahol c ∊ ℝ.• is folytonos az x0 helyen, ahol .• is folytonos az x0 helyen, ahol .• is folytonos az x0 helyen, ahol és g(x0) ≠ 0.• is folytonos az x0 helyen, ha g folytonos az x0 helyen és f

folytonos a g(x0) helyen.

2014.03.12.

71

Kalkulus MIA 7272

Tétel: Minden elemei függvény az értelmezési tartománya mindenpontjában folytonos.

Ha az f függvény az x0 helyen nem folytonos, de valamely ε ∊ ℝ+

környezetében folytonos, akkor az x0 pontot szakadási helyneknevezzük.

2014.03.12.

72

Kalkulus MIA 7373

A fentiek közül a 3. ábrán található szakadási pont az un.megszüntethető szakadás, a többi szakadási pont nem szüntethetőmeg.

2014.03.12.

73

Kalkulus MIA 7474

Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét az x0 = 0helyen!Az |x| függvény értelmezése alapján a függvény a következő alakbanírható fel:

ha x > 0

ha x < 0

Vizsgáljuk meg külön-külön a jobb- illetve a bal-oldalihatárértékeket:

A két határérték megegyezik, ezért van határértéke a függvénynek,és az:

Ez a szakadási hely megszüntethető, ha az x = 0 helyen a függvény-nek az f(x) = 0 értéket adjuk.

2014.03.12.

74

Kalkulus MIA 7575

Differenciálszámítás

Legyen adott az f(x) függvény, és legyen x0 ∊ Df . Ekkor a

függvényt az x0 helyhez tartozó differenciahányados függvényneknevezzük.

2014.03.12.

75

Kalkulus MIA 76

A differenciahányados nem más, mint az adott f(x) függvény f(x) ésf(x0) pontján átmenő szelő meredeksége:

x0 x

f(x)

f(x0) f(x) – f(x0)

x – x0

2014.03.12.

76

Kalkulus MIA 7777

Ha létezik az f(x) függvény x0 helyhez tartozó differenciahányadosfüggvényének határértéke az x0 helyen, akkor azt az f(x) függvénydifferenciálhányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontbandifferenciálhatónak mondjuk.

A differenciálhányados geometriai jelentése: az f(x) függvény adottpontjába húzott érintő meredeksége.

(Ennek belátására vizsgáljuk meg az előző oldal ábráját!

2014.03.12.

77

Kalkulus MIA 7878

A differenciálhatóság is pontbeli fogalom.

Tekintsük az f függvény értelmezési tartományának azt a részhal-mazát, amelyen a függvény differenciálható. Jelöljük ezt a halmaztA-val.Definiáljuk azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya A, ésminden x � A elemhez függvényértékként az x helyhez tartozódifferenciálhányadost rendeli.Ekkor az f ´(x)–vel jelölt függvényt az f(x) függvény differenciál-hányados függvényének (deriváltjának) nevezzük.

2014.03.12.

78

Kalkulus MIA 7979

Tétel: Az f(x) = c, c ∈ ℝ, függvény differenciálhányadosa nulla.

Biz.

Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen,akkor

2014.03.12.

79

Kalkulus MIA 8080

Tétel: Az f(x) = x függvény differenciálhányadosa 1.

Biz.


2014.03.12.

80

Kalkulus MIA 8181

Tétel: Az f(x) = x2, függvény differenciálhányadosa 2x.

Biz.


Ezért

2014.03.12.

81

Kalkulus MIA 8282

Példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 függvény differenciálhányadosfüggvényének értékét az x0 = 4 helyen!

Mivel ezért

2014.03.12.

82

Kalkulus MIA 8383

Egy függvényt az x0 ∊ Df helyen jobbról ill. balról differenciálható-nak mondunk, ha a differencia hányados függvénynek a az x0

pontban létezik a jobboldali, ill. a baloldali határértéke, és azokvégesek. Jelölésük:

Tétel: Ha egy függvénynek valamely x0 helyén létezik a jobboldaliés a baloldali deriváltja, és ezek megegyeznek, akkor a függvény azadott helyen differenciálható.

2014.03.12.

83

Kalkulus MIA 8484

Példa: Vizsgáljuk meg, hogy az

ha x ≤ 2

ha x > 2

függvény differenciálható-e az x0 = 2 helyen?

2014.03.12.

84

Kalkulus MIA 8585

A differenciálhányados akkor létezik, ha a jobboldali és a baloldalideriváltak megegyeznek:

Mivel a két érték nem egyezik meg, ezért a függvény az x0 = 2pontban nem differenciálható.

Általában igaz az, hogy egy folytonos függvény a „töréspontjában”nem differenciálható.

Tétel: Ha az f függvény az x0 ∊ Df helyen differenciálható, akkorezen a helyen a függvény folytonos.(Fontos: a folytonosság csak szükséges – de nem elegendő – feltétela differenciálhatósághoz!)

2014.03.12.

85

Kalkulus MIA 8686

A differenciálhányados geometriai jelentése mellett van egy nagyonfontos fizikai jelentése is:

Az út-idő függvény idő szerinti deriváltja a t0 időpillanatbanmegegyezik a pillanatnyi sebességgel.A sebesség-idő függvény idő szerinti differenciálhányadosa adja agyorsulást a t0 időpontban.

2014.03.12.

86

Kalkulus MIA 8787

A differenciálás műveleti szabályai

Tétel: legyen f differenciálható az x0 ∈ Df helyen, és legyen c � ℝ

tetszőleges konstans. Ekkor cf is differenciálható az x0 helyen, és

Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∈ Df ∩ Dg helyen, éslegyen c ∈ ℝ tetszőleges konstans. Ekkor f � g is differenciálható azx0 helyen, és

Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∊ Df � Dg helyen, éslegyen c ∈ ℝ tetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x0

helyen, és

2014.03.12.

87

Kalkulus MIA 8888

Tétel: legyen g differenciálható az x0 ∊ Df helyen, és tegyük fel,hogy g(x0) ≠ 0. Ekkor 1/g is differenciálható az x0 helyen, és

Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∊ Df � Dg helyen, és g(x0)≠ 0. Ekkor f /g is differenciálható az x0 helyen, és

Tétel: legyen g differenciálható az x0 ∊ Dg helyen, és f

differenciálható a g(x0) ∊ Df . Ekkor f ° g összetett függvény isdifferenciálható az x0 helyen, és

2014.03.12.

88

Kalkulus MIA 8989

Elemi függvények deriváltjai I.

f(x) f(x)f´(x) f´(x)

c c ∊ ℝ 0

xk k ∊ ℝ kxk-1

ax a ∊ ℝ ax ln a

ex ex

loga x

ln x

sin x cos x

cos x -sin x

tg x

ctg x

2014.03.12.

89

Kalkulus MIA 9090

Elemi függvények deriváltjai II.

f(x) f(x)f´(x) f´(x)

arcsin x

arccos x

arctg x

arcctg x

sh x

ch x

th x

cth x

arsh x

arch xch x

sh x

2014.03.12.

90

Kalkulus MIA 9191

Példa-1: Differenciálja az függvényt!

A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni:

2014.03.12.

91

Kalkulus MIA 9292


A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni:

Itt az első tag egy szorzat, a második tag konstans:

2014.03.12.

92

Kalkulus MIA 9393


Itt egy összetett függvény van, amelyben a külső függvény a tg

függvény, a belső függvény az 5x függvény. Ezért

2014.03.12.

93

Kalkulus MIA 9494

Magasabb rendű differenciálhányadosok

Ha az f és az f ' függvény is deriválható az x0 helyen, akkor az f '' azf függvény x0 helyen vett második deriváltjának nevezzük.

Analóg módon juthatunk el az n-dik derivált fogalmához. Jelölések:

f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4)(x), …, f (n)(x),

2014.03.12.

94

Kalkulus MIA 9595

Példa-1: Adja meg az f(x) = x4 függvény első 5 deriváltját!

f '(x) = 4x3, f ''(x) = 12x2, f '''(x) = 24x, f (4)(x) = 24, f (5)(x) = 0

Példa-2: Adja meg az f(x) = sin x függvény első 8 deriváltját!

(sin x)' = cos x, (sin x)'' = -sin x,(sin x)'''(x) = -cos x, (sin x)(4) = sin x,

(sin x)(5) = cos x, (sin x)(6) = -sin x,(sin x)(7)(x) = -cos x, (sin x)(8) = sin x,

2014.03.12.

95

Kalkulus MIA 9696

Függvényvizsgálat I.

Függvények növekedése, csökkenése

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Legyen f´(x) = 0 minden x ∊ (a,b). Ekkor azf függvény az [a,b] intervallumon állandó.

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor monoton növekvő ha f´(x) ≥ 0 minden x ∈ (a,b).

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor monoton csökkenő ha f´(x) ≤ 0 minden x ∈

(a,b).

2014.03.12.

96

Kalkulus MIA 9797

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor szigorúan monoton növekvő ha f´(x) > 0 mindenx ∈ (a,b).

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az(a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumonakkor és csak akkor szigorúan monoton csökkenő ha f´(x) < 0minden x ∈ (a,b).

2014.03.12.

97

Kalkulus MIA 9898

Példa: Vizsgáljuk meg az függvényt monotonitásszempontjából az értelmezési tartományán, ha Df = ℝ.

A növekedési viszonyokat az első derivált előjele határozza meg.Differenciáljuk a függvényt:

A függvény szigorúan monoton növekvő, ha f ' (x) > 0:

A függvény szigorúan monoton csökkenő, ha

2014.03.12.

98

Kalkulus MIA 9999

Valóban, a függvény alakja:

2014.03.12.

99

Kalkulus MIA 100100

Függvényvizsgálat II.

Szélsőérték meghatározása

Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen differenciálható. Ha f-nekaz x0 helyen létezik a lokális szélsőértéke, akkor f '(x0) = 0.

Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható.Ha f '(x0) = 0 és f ''(x0) > 0, akkor f-nek az x0 helyen lokális minimu-ma van.

Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható.Ha f '(x0) = 0 és f ''(x0) < 0, akkor f-nek az x0 helyen lokális maxi-muma van.

2014.03.12.

100

Kalkulus MIA 101101

Példa: Határozza meg az függvény szélsőértékeit!

A szélsőérték létezésére vonatkozó tétel alapján határozzuk meg azelső deriváltak zérushelyeit:

amiből kapjuk, hogy

Ezzel a lehetséges szélsőértékeket kaptuk meg. Vizsgáljuk most amásodik deriváltakat a lehetséges szélsőérték helyeken:

és így

A második derivált az x = 2 helyen negatív, ezért itt lokálismaximuma van a függvénynek, az x = -2 helyen pedig pozitív, ezértitt lokális minimuma van a függvénynek.

2014.03.12.

101

Kalkulus MIA 102102

Függvényvizsgálat III.

Alaki viszonyok, inflexió

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon kétszer differen-ciálható. Ahhoz a függvény az intervallumon konvex (konkáv)legyen, szükséges és elegendő feltétel, hogy az f '(x) függvény azintervallumon szigorúan monoton növekvő (csökkenő) legyen, azazf''(x) > 0, (ill. f''(x) < 0) minden x ∊ (a,b)-re.

Tétel (az inflexiós hely létezésének szükséges feltétele): Legyen az f

függvény az x0 helyen kétszer differenciálható, és itt a függvénynekinflexiója van, akkor f''(x0) = 0.

Tétel (az inflexiós hely létezésének elégséges feltétele): Legyen az f

függvény az x0 helyen kétszer differenciálható, és legyen f''(x0) = 0.Ekkor az f függvénynek az x0 helyen inflexiója van.

2014.03.12.

102

Kalkulus MIA 103103

Példa: Határozzuk meg az , Df = ℝ függvény inflexi-óshelyét, és állapítsa meg, mely intervallumon konvex és konkáv afüggvény.

Az inflexióshely létezésére vonatkozó tétel alapján keressük meg amásodik derivált zérushelyeit:

A második derivált sosem nulla, így nincs inflexiós hely.

Vizsgáljuk meg a második derivált előjelét: ez a kifejezés akkornegatív, ha x < 0, és akkor pozitív, ha x > 0. A függvény értelmezésitartománya a pozitív valós számok halmaza, tehát a függvénymindenütt konvex.

2014.03.12.

103

Kalkulus MIA 104104

A függvényvizsgálat lépései

• Az értelmezési tartomány megállapítása• Zérushelyek meghatározása• Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás• Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek

meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint azintervallum végpontjaiban.

• Monotonitás, szélsőérték vizsgálat.• Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok

meghatározása.• A függvény grafikonjának megrajzolása.• Értékkészlet meghatározása.

2014.03.12.

104

Kalkulus MIA 105105

Példa: Végezzen el teljeskörű függvényvizsgálatot az

függvényen!

1. A függvény értelmezési tartománya: Df = ℝ.

2. A zérushelyek meghatározása:?

2014.03.12.

105

Kalkulus MIA 106106

3. Szimmetriatulajdonságok. A függvény páros, mert

A hatványfüggvények nem periodikusak, így a különbségük sem az.

4. Folytonosság, szakadási helyek, határérték: a hatványfüggvényekfolytonosak minden x ∊ Df helyen, szakadási hely nincs.

5.Monotonitás, szélsőérték: szélsőérték ott lehet, ahol a függvénydifferenciálhányadosa nulla.

2014.03.12.

106

Kalkulus MIA 107

Az első derivált előjele adja a tényleges monotonitást:

Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monotoncsökkenő.

Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton növekvő.

A második derivált előjele a szélsőérték helyeken szolgáltatja aszélsőértékeket:

Amiből adódik, hogy

Ezért a függvénynek minimumhelye van +1-ben és -1-ben, ésmaximumhelye van 0-ban.

2014.03.12.

107

Kalkulus MIA 108

6. Alaki viszonyok:

ha

Amiből kapjuk, hogy

Ezeken az intervallumokon a függvény konvex.Hasonlóan:

ha

Amiből:

Itt a függvény konkáv.

2014.03.12.

108

Kalkulus MIA 109

Ahol a függvény konvexből konkávba megy át ott a függvénynekinflexiós pontja van. Ezek a pontok:

2014.03.12.

109

Kalkulus MIA 110

Az függvény grafikonja

1-1

2014.03.12.

110

111

2. Sorozatok

Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitívegész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számokhalmaza, sorozatnak nevezzük.Az a függvény n ∊ N helyen vett helyettesítési értékét a sorozat n-edik elemének nevezzük és a(n) = an-nel jelöljük.

A sorozat megadható

Képlettel:

Rekurziós formulával:

Felsorolással:

Kalkulus MIA

2014.03.12.

111

112

Monoton sorozatok

Az {an}n∊N sorozatot (szigorúan) monoton csökkenőnek nevezzük,ha minden n ∊ N esetén an ≤ an-1 ( an < an-1 ).

Az {an}n∊N sorozatot (szigorúan) monoton növekvőnek nevezzük, haminden n ∊ N esetén an ≥ an-1 ( an > an-1 ).

Azokat az {an}n∊N sorozatokat, amelyek minden n ∊ N esetén vagymonoton nőnek vagy monoton csökkennnek, monoton sorozatnaknevezzük.

Kalkulus MIA

2014.03.12.

112

Kalkulus MIA 113

Korlátos sorozatok

Az {an}n∊N sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyanK ∊ R, hogy minden n ∊ N esetén an ≤ K.

Az {an}n∊N sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyank ∊ R, hogy minden n ∊ N esetén an ≥ k.

Az {an}n∊N sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos.

2014.03.12.

113

Kalkulus MIA 114

Konvergens és divergens sorozatok

Az {an}n∊N sorozatnak létezik az A véges határértéke, ha minden ε >0 számhoz létezik olyan n0(ε) ∊ N küszöbszám (küszöbindex),amelyre igaz, hogy ha n > n0 , akkor | an – A | < ε. Jelölése

lim ({an}n∊N ) = A

Ha az {an}n∊N sorozatnak létezik az A véges határértéke, akkor asorozatot konvergensnek nevezzük, egyébként a sorozat divergens.

Ha lim ({an}n∊N ) = 0 , akkor a sorozatot zérussorozatnak nevezzük.

2014.03.12.

114

Kalkulus MIA

Tétel (”Rendőr elv”): Legyenek adottak az {an}n∊N, {bn}n∊N, {cn}n∊N

sorozatok, és legyen {an}n∊N és {bn}n∊N konvergens.Ha lim {an}n∊N = lim {bn}n∊N = A és minden n >N0-ra teljesül, hogyan ≤ cn ≤ bn, akkor a {cn}n∊N sorozat is konvergens, és lim ({cn}n∊N ) =A.

115

2014.03.12.

115

Kalkulus MIA

Sorozatokra vonatkozó tételek

Tétel : Ha az {an}n∊N sorozat konvergens, akkor csak egy határértékevan, azaz a határérték egyértelmű. (Unicitás).

Tétel : Ha az {an}n∊N sorozat konvergens, akkor korlátos.

A korlátosság szükséges, de nem elégséges feltétel. (Tekintsük a{(-1)n}n∊N sorozatot.

Tétel: Ha az {an}n∊N sorozat monoton növekvő (csökkenő) és felülről(alulról) korlátos, akkor konvergens.A feltétel csak elégséges, de szükséges, mert a konvergenciából nemkövetkezik a monotonitás. pl.

116

2014.03.12.

116

Kalkulus MIA

Műveletek véges határértékű sorozatokkal

Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat konvergens és c tetszőleges valósszám. Ekkor a c{an}n∊N = {can}n∊N sorozat is konvergens, és

lim {can}n∊N = c lim {an}n∊N .

Tétel: Legyen lim {an}n∊N = A és lim {bn}n∊N = B, (azaz mindkétsorozat konvergens). Ekkor igazak a következő állítások:

lim ({an + bn}n∊N ) = lim {an}n∊N + lim {bn}n∊N = A + B.lim ({an – bn}n∊N ) = lim {an}n∊N – lim {bn}n∊N = A – B.lim ({an · bn}n∊N ) = lim {an}n∊N · lim {bn}n∊N = A · B.

Amennyiben véges sok elemtől eltekintve bn ≠ 0 és B ≠ 0, akkor

117

2014.03.12.

117

Kalkulus MIA 118

Végtelen határértékű sorozatok

Az {an}n∊N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke +∞, haminden P ∊ R számhoz létezik olyan N0 ∊ N küszöbszám, amelyreigaz, hogy ha n > N0 , akkor an > P. Jelölése

lim ({an}n∊N ) = + ∞.

Az {an}n∊N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke –∞, haminden P ∊ R számhoz létezik olyan N0 ∊ N küszöbszám, amelyreigaz, hogy ha n > N0 , akkor an < P. Jelölése

lim ({an}n∊N ) = – ∞.

2014.03.12.

118

Kalkulus MIA 119

Műveletek végtelen határértékű sorozatokkal

Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat határértéke +∞. Ekkor

Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat konvergens, és lim {an}n∊N = A ≠ 0.

Legyen továbbá lim {bn}n∊N = +∞. Ekkor

Tétel: Legyen az {an}n∊N és {bn}n∊N sorozat konvergens úgy, hogylim {an}n∊N = A és lim {bn}n∊N = 0 és bn > 0 minden n ∊ N-re .

Ekkor

2014.03.12.

119

Kalkulus MIA 120

Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat korlátos, és lim {bn}n∊N = +∞.Ekkor

Tétel: Legyen az {an}n∊N és {bn}n∊N két olyan sorozat, amelyreteljesül, hogy létezik olyan k > N, hogy ha n > k , akkor an ≤ bn.Ekkor:

ha lim {an}n∊N = +∞, akkor lim {bn}n∊N = +∞.

ha lim {bn}n∊N = –∞, akkor lim {an}n∊N = –∞.

2014.03.12.

120

Kalkulus MIA 121

Tétel: Az sorozat konvergens, és

Nevezetes sorozatok I.

Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor

2014.03.12.

121

Nevezetes sorozatok II.

Tétel: Az sorozat konvergens, és

Tétel: Tetszőleges k valós szám esetén

Tétel:

Tétel:

Tétel:Tetszőleges a valós szám esetén Kalkulus MIA 122

2014.03.12.

122

Kalkulus MIA 123

Példa: Határozzuk meg az sorozat határértékét, és adjuk

meg az ε = 10-4 –hez tartozó küszöbindexet!

Alakítsuk át an-t a következőképpen:

Használjuk az előző tételeket:

2014.03.12.

123

Kalkulus MIA 124

A második rész kiszámításához használjuk fel, hogy

Helyettesítsünk be a határérték definíciójába:

Tudjuk, hogy n ∊ N, ezért , ezért az egyenlőtlenség:

Amiből kapjuk, hogy N0 = 5000.

2014.03.12.

124

Kalkulus MIA 125

Példa: Határozzuk meg az sorozat határérté-két!

Alakítsák át an-t a következőképpen:

Amiből adódik, hogy

2014.03.12.

125

Kalkulus MIA 126

Tétel(Cauchy-féle konvergencia kritérium): Az {an}n∊N sorozatakkor és csak akkor konvergens, ha bármely ε > 0 –hoz megadhatóolyan N(ε) küszöbszám, hogy ha n, m > N, akkor

|an – am| < ε.

A tétel jelentése: a sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elégnagy indextől kezdve az elemei tetszőlegesen keveset térnek elegymástól.

2014.03.12.

126

Kalkulus MIA 127

Megjegyzés: Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező ill.a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünkmeg:

Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkora határérték vagy +∞ vagy –∞, a legmagasabb fokú tagokegyütthatóinak előjelétől függően.Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkora határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinakhányadosával egyenlő.Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor ahatárérték 0.

2014.03.12.

127

Kalkulus MIA 128

Sorok

Feladat: Adott egy szakasz, amelynek hossza a < ∞. Mérjük fel aszakaszt egy egyenesre, majd mérjük fel a felét, az egyharmadát, anegyedét, és így tovább. Folytassuk az eljárást a „végtelenségig”.

Mekkora lesz a felmért szakaszok összhossza?

a

2014.03.12.

128

Kalkulus MIA 129

Feladat: Tekintsük azt a görbevonalat, amely olyan félkörívekből áll,amelynek sugarai egy r sugár 2n-ed részei (n = 0, 1, 2, …).

Mekkora lesz a felmért körívek összhossza?

Mindkét esetben végtelen sok tag összegét kell kiszámítani, és ezproblémát okozhat.

2014.03.12.

129

Kalkulus MIA 130

Legyen adott az {an} sorozat. Az {an} sorozat elemeiből képzett{Sn} sorozatot, amelynek elemeit az

képlettel adjuk meg, végtelen sornak nevezzük, és -nel jelöljük.

Sn-t a végtelen sor n-dik részletösszegének nevezzük, az an-t a sor n-dik tagjának hívjuk.

Példa: Tekintsük az harmonikus sorozatot. Ekkor

2014.03.12.

130

Kalkulus MIA 131

Az sort konvergensnek nevezzük, ha az {Sn} sorozat konver-

gens. Az számot a sor összegének nevezzük. A sort di-vergensnek nevezzük, ha nem konvergens.

Hasonlítsuk össze a geometriai sorozat és a belőle képzett végtelengeometriai sor konvergenciáját.

Példa: Tekintsük az mértani sorozatot. Ekkor

2014.03.12.

131

Kalkulus MIA 132

Az sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens . Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltétele-sen konvergens.

Példa: a sor feltételesen konvergens.

2014.03.12.

132

Kalkulus MIA 133

Tétel: Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

Biz:

Legyen {Sn} a részletösszegek sorozata, {An} pedig a sor tagjainakabszolút értékeiből összeállított sor részletösszegeinek sorozata, azaz

A feltétel szerint {Sn} konvergens sorozat, ezért a sorozatokravonatkozó Cauchy kritérium szerint minden ε > 0-hoz létezik olyanN(ε) természetes szám, hogy minden olyan m, n természetesszámpárra, amelyre m > n ≥ N(ε), igaz, hogy |Am - An| < ε.Így

Tehát az {Sn} sorozat is Cauchy sorozat, ezért konvergens.

2014.03.12.

133

Kalkulus MIA 134

A következő tételeknél az alábbi feltételek és jelölések teljesülnek:

Legyen adott az sor, és

Legyen egy nem negatív tagú sor.

A sor részletösszegeinek sorozatát {Bn} jelöli,

A sor részletösszegeinek sorozatát {An} jelöli.

2014.03.12.

134

Kalkulus MIA 135

Tétel: Ha a és a sor konvergens, és λ és µ tetszőle-

ges valós számok, akkor a

sor is konvergens, és

Biz:

Jelölje a két sor részletösszegeinek sorozatát {An} és {Bn}, a sorokösszegét A és B. Legyen ε > 0 tetszőleges, definiáljuk a

értékeket. Mivel {An} és {Bn} konvergens, ezért mind εA-hoz mind εB-hez tartozik egy NA ill. NB küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n >

NA, akkor |An – A| < εA, és ha n > Nb, akkor |Bn – B| < εB.

2014.03.12.

135

Kalkulus MIA 136

Válasszuk most N(ε)-t ”elég nagynak”, azaz legyen

Ekkor, ha n ≥ N(ε), akkor

Összefonódás a vektoroknál tanultakkal, a tétel átfogalmazva:Konvergens sorozatok lineáris kombinációja is konvergens sorozat.(A lineáris kombináció nem vezet ki a konvergens sorozatokhalmazából.)

2014.03.12.

136

Kalkulus MIA 137

Tétel ( Cauchy-féle konvergencia kritérium): A sor akkorés csak akkor konvergens, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan N(ε)

természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes szám-párra,amelyre m > n ≥ N(ε), fennáll a

egyenlőtlenség.Biz:A sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot alkalmazzuk az {Sn}részletösszeg-sorozatra. (Eszerint: az {Sn} sorozat akkor és csakakkor konvergens, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan N(ε)

természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes számpárra,amelyre m > n ≥ N(ε), fennáll az |Sm -Sn| < ε egyenlőtlenség. Mivel

ezért a tétel állítása azonnal következik.

2014.03.12.

137

Kalkulus MIA 138

Értelmezzük a tétel állítását!

Minden ε > 0-hoz meg lehet adni egy olyan N(ε) természetes szá-mot, hogy abban az esetben, ha a sorozat N(ε)-nál nagyobb indexűelemeit összeadjuk, akkor az összeg értéke kisebb lesz, mint azelőre megadott ε.Minél kisebbre választjuk ε értékét, annál nagyobb lesz N(ε)

értéke. Mivel m-re csak annyi kikötés van, hogy m > n, ez aztjelenti, hogy m értéke tetszőlegesen nagy lehet, azaz konvergenssorozatnál a sorozat „hátsó” szeletének egyre kisebbnek kell lenni.

2014.03.12.

138

Kalkulus MIA 139

Következmény: A sorozat konvergenciájának szükségesfeltétele, hogy az {an} sorozat nullsorozat legyen.

Biz:

Tegyük fel, hogy a sor konvergens. Ekkor az előző tétel szerint min-den ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) természetes szám, hogy ha m = n+1

és n ≥ N(ε), akkor |an+1| < ε.Ezért az an+1 sorozat nullsorozat. Mivel ezt a sorozatot úgy kapjuk azan sorozatból, hogy abból elhagyjuk az első elemet, ezért a kétsorozat konvergenciatulajdonságai megegyeznek. Ezért | an| < ε isteljesül.Így az an sorozat is nullsorozat.

2014.03.12.

139

Kalkulus MIA 140

A feltétel csak szükséges, de nem elégséges. Ennek bizonyításához vizsgáljuk meg a

sort a konvergencia oldaláról.A feltétel nyílván teljesül, hiszen

de a részletösszegek sorozata nem konvergens, ugyanis

és ez a végtelenbe tart, ha n→ ∞.

2014.03.12.

140

Kalkulus MIA 141

Feladat: Konvergens-e az sor?

Az előző tétel alapján először vizsgáljuk, hogy a szükséges feltételteljesül-e?

Meg kell mutatni, hogy a részletösszegek sorozatának van végeshatárértéke. Vegyük észre, hogy

Ez alapján

(*)

2014.03.12.

141

Kalkulus MIA 142

A (*) azonosság bizonyítása. Bontsuk parciális törtekre a bal oldalt:

Ekkor teljesülni kell, hogy

alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét. Ezért

aminek a megoldása: B = 1 és A = -1.

Ezért

Tehát a sor konvergens, és összege 1.

2014.03.12.

142

Kalkulus MIA 143

A sort korlátosnak mondjuk, ha a részletösszegek sorozata korlátos.

Tétel: Ha egy sor konvergens, akkor korlátos is.

Biz.

Ha a sor konvergens, akkor korlátos is. Ha korlátos a sorozat, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos.Ha a részletösszegek sorozata korlátos, akkor a sor korlátos.

Megjegyzés: a tétel megfordítása általában nem igaz. A sorozat korlátosságából nem következik a konvergencia.Példa:

2014.03.12.

143

Kalkulus MIA 144

Tétel: Ha egy sor nem negatív tagú és korlátos, akkor konvergens.

Biz.

Ha a sor korlátos, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos.A nem-negativitás miatt a részletösszegek sorozata monotonnövekvő sorozatot alkot.Ha a részletösszegek sorozata monoton és korlátos, akkor asorozatokra vonatkozó tétel szerint a részletösszegek sorozatakonvergens.Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor – definíciószerint – a sor konvergens.

2014.03.12.

144

Kalkulus MIA 145

Nevezetes sorok I.

Harmonikus sor:

Tétel: A harmonikus sor divergens.

Biz.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor a sor konvergens. Ezért a részletösszegek sorozata is konvergens, és határértékük ugyanaz a szám. Ezért:

Ezért

2014.03.12.

145

Kalkulus MIA 146

Vizsgáljuk meg az S2n – Sn különbséget:

Ez azt jelenti, hogy a

nem állhat. Ezért a harmonikus sor nem teljesíti a konvergenciára vonatkozó szükséges feltételt. Ezért a sor nem lehet konvergens.

A harmonikus sor ismeretében választ tudunk adni a korábban felve-tett első feladat megoldására

2014.03.12.

146

Kalkulus MIA 147

A felmért szakaszok összhosszára a válasz a következő: Láttuk, hogy az összhossz a

végtelen sorral adható meg. Mivel a harmonikus sor divergens, ezért a felmért szakaszok összhossza végtelen!

2014.03.12.

147

Kalkulus MIA 148

Geometriai sor: ahol q ≠ 1.

Tétel:

Azaz a geometriai sor |q| < 1 esetén konvergens, és |q| > 1 eseténdivergens.

Nevezetes sorok II.

A geometriai sor ismeretében választ tudunk adni a korábban felve-tett második feladat megoldására.

2014.03.12.

148

Kalkulus MIA 149

Most az ívhosszak összegét a

végtelen sorral adható meg. Az összegzésben egy olyan geometriai sor áll, amelyre | q | < 1. Ezért az ívhossz:

azaz a szakaszok összhossza véges! (Éppen akkora, mint a kiinduló kör kerülete.)

2014.03.12.

149

Kalkulus MIA 150

Nevezetes sorok III.

Hiperharmonikus sor:

ahol p > 1.

Tétel. a hiperharmonikus sor konvergens.

Biz.

A tétel bizonyításához elegendő kimutatni, hogy a sor részletösz-szegei monoton növekvő és korlátos sorozatot alkotnak.A monoton növekedés azonnal következik abból, hogy a sor nem-negatív tagú.A korlátosság bizonyítása:

2014.03.12.

150

Kalkulus MIA 151

Vizsgáljuk a sor n-edik részletösszegét:

Csökkentsük a jobb oldalon a nevezőket oly módon, hogy a nevező helyébe 2i-t minden olyan esetben, amikor a nevező értéke a [2i,2i+1) intervallumba esik:

Mivel a [2i,2i+1) intervallumba mindig 2i darab egész szám esik,ezért a fenti összegben az egyforma nevezőjű tagok száma mindig2i. Ez alól csak az utolsó „szelet” lehet kivétel. (Ha n nem 2i alakú,akkor egészítsük ki a jobb oldalt megfelelő számú elemmel.)Így a sor a következőképpen írható fel:

2014.03.12.

151

Kalkulus MIA 152

A jobb oldal egy 1/(2p-1) kvóciensű geometriai sor i-edik részlet-összege. Jelőljük ezt si-vel. Ha 1/(2p-1) < 1, azaz p > 1, akkor

Ezért a hipergeometrikus sor korlátos.

2014.03.12.

152

Kalkulus MIA 153

Nevezetes sorok IV.

Leibnitz-féle sor:

Tétel. Ha a alternáló sorban az an > 0, és a tagok által

alkotott {an} sorozat monoton csökkenő és zérushoz tart, akkor a

sor konvergens.

Általánosabban vizsgáljuk a problémát:

2014.03.12.

153

Kalkulus MIA 154

További konvergencia-kritériumok

Tétel: Legyen {an} egy nemnegatív elemű sorozat. A sor ⇔konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos.

Biz:

Szükséges: Jelölje a részletösszegek sorozatát {an}. Legyen a sorkonvergens, azaz {Sn} sorozat konvergens. Ekkor {Sn} asorozatokra vonatkozó tétel szerint korlátos.

Elegendő: Legyen {Sn} sorozat korlátos. Ekkor minden n-reSn+1 –Sn = an+1 ≥ 0.

Ezért az {Sn} sorozat monoton növekvő. A sorozatoknál láttuk,hogy monoton korlátos sorozat konvergens, így az {Sn} sorozatkonver-gens.

2014.03.12.

154

Kalkulus MIA 155

Tétel (Majoráns Kritérium): Ha a sor konvergens, és van

olyan N, hogy minden n ≥ N-re |an| ≤ bn, akkor az sor abszo-lút konvergens.

Biz:

A feltételből következik, hogy m > n ≥ N-re ≤ .A Cauchy féle konvergencia kritérium miatt elegendő megmutatni,hogy az An sorozat Cauchy sorozat.

Mivel konvergens, ezért bármely ε > 0-hoz van olyan kü-

szöbindex N´(ε) = max (N, N(ε)) – ahol N(ε)-ra teljesül, hogy ha m

> n ≥ N´(ε), akkor – amelyre ha m > n ≥ N´(ε), akkor

vagyis az {An} sorozat Cauchy sorozat az N´(ε) küszöbindexszel.

2014.03.12.

155

Kalkulus MIA 156

Feladat: Döntsük el, hogy konvergens-e az alábbi sor:

Mivel minden n-re

teljesül, és a jobb oldalon álló geometriai sor konvergens, ezért afeladatban szereplő sor is konvergens.

2014.03.12.

156

Kalkulus MIA 157

Tétel (Minoráns Kritérium): Ha a sor divergens, és van

olyan N, hogy minden n ≥ N-re |an| ≥ bn, akkor az sor nemabszolút konvergens.

A tétel bizonyítása a Majoráns Kritériumnál használt eljárás segítsé-gével elvégezhető.

2014.03.12.

157

Kalkulus MIA 158

Tétel (D'Alambert-féle hányados kritérium-1): Ha a pozi-tív tagú sorban egy N küszöbindextől kezdve bármely n > N -re az

egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor konvergens.

Biz:A feltétel miatt

ha n > N. Legyen n = N + 1. Ekkor

….

2014.03.12.

158

Kalkulus MIA 159

Mivel a jobb oldal tagjaiból képezett

sor konvergens (mert q < 1), és a sort egy n-től kezdve majorálja a

sor, ezért a Majoráns Kritérium szerint a sor is konvergens.

2014.03.12.

159

Kalkulus MIA 160

Feladat: Konvergens-e a sor?

Alkalmazzuk a hányados kritériumot!

Ezért a sor konvergens.

2014.03.12.

160

Kalkulus MIA 161

Tétel (D'Alambert-féle hányados kritérium-2): Ha a pozitív tagú sorban egy N küszöbindextől kezdve az

egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor divergens.

Gyakorlati számítások során sokszor használható a D'Alambert-félekonvergencia kritérium tételeire alapuló következő tétel:

Tétel: Ha a sor tagjai pozitívak, és a határérték létezik és

ha , akkor a sor konvergens,

ha , akkor a sor divergens

ha , akkor a hányados kritérium nem használható.

2014.03.12.

161

Kalkulus MIA 162




2014.03.12.

162

Kalkulus MIA 163

Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium): Ha a pozitív tagú sorban

egy N küszöbszámtól kezdve az egyenlőtlenség teljesül,

akkor a sor konvergens.

Biz:

A feltétel szerint

Ezért

Ez éppen azt jelenti, hogy a sort a (1 < q < 1)

konvergens geometriai sor majorálja egy adott N indextől.

Használva a Majoráns Kritériumot azt kapjuk, hogy a sor konver-gens.

2014.03.12.

163

Kalkulus MIA 164


Alkalmazzuk a gyök-kritériumot!

minden n-re.


Gyakorlati számításoknál célszerűbb a következő – a gyökkritériu-mon alapuló – tételt alkalmazni:

2014.03.12.

164

Kalkulus MIA 165

Tétel: Ha a sor tagjai pozitívak, és a határérték létezik, és

ha , akkor a sor konvergens,

ha , akkor a sor divergens,

ha , akkor agyök-kritérium nem használható a konver-gencia eldöntésére.

2014.03.12.

165

Kalkulus MIA 166


Mivel a tört nevezője magasabb rendben tart a végtelenbe, mint aszámláló, ezért a tört zérushoz konvergál. Vizsgáljuk meg a gyök-kritérium segítségével, hogy mely elégséges feltétel teljesül akonvegenciához:

Itt felhasználtuk, hogy


2014.03.12.

166

Kalkulus MIA 167

Feladatok sorok konvergenciájának meghatározására


A szükséges feltétel teljesül. (Az sorozat nullsorozat.)



2014.03.12.

167

Kalkulus MIA 168


A szükséges feltétel teljesül. (A nevezetes határértékmiatt.)

Alkalmazzuk a gyök-kritériumot!


2014.03.12.

168

Kalkulus MIA 169


Vizsgáljuk először a szükséges feltétel teljesülését. Mivel

Ezért a szükséges feltétel nem teljesül. Így a sor nem konvergens.

2014.03.12.

169

Kalkulus MIA 170

Feladatok sorok összegének meghatározásához

Feladat: Határozzuk meg a végtelen sor összegét!Írjuk fel parciális tört alakban a sor általános tagját!

Ebből kapjuk, hogy

Alkalmazzuk az „egyenlő együtthatók” módszerét:

Amiből:

2014.03.12.

170

Kalkulus MIA 171

Tehát

Így az n-edik részletösszeg:

Ebből a sor összegére adódik:

2014.03.12.

171

Kalkulus MIA 172

Feladat: Határozzuk meg a végtelen sor összegét!

Vegyük észre, hogy a sorozat általános tagja a következő alakban írható fel:

Ezért a sor összege:

A zárójelben egy olyan geometriai sor áll, amelyre q = 2/52. Ezért

2014.03.12.

172

Kalkulus MIA 173

Függvénysorok

Az f0(x), f1(x), f2(x),… függvénysorozat elemeiből képezett

összeget függvénysornak nevezzük.

A függvénysor értelmezési tartománya:

Az összeget a sor n. részlet összegfüggvényneknevezzük.

Az összeget a sor n. maradék összegfüggvényneknevezzük.

2014.03.12.

173

Kalkulus MIA 174

Az

összeget a sor összegfüggvénynek nevezzük. (x0 ∈ H ).

Példa

Tehát

Az értelmezési tartomány egy H⊂ D részhalmazát a függvénysorkonvergencia tartományának nevezzük, ha bármely x0∈H-ra a

határérték létezik. (Pontonkénti konvergencia)

Következmény: a konvergencia tartományon

2014.03.12.

174

Kalkulus MIA 177

Az abszolút konvergens az x0-ban, ha

konvergens.

Következmény: Ha egy sor abszolút konvergens x0-ban, akkor ott konvergens is.

2014.03.12.

175

Kalkulus MIA 178

Hatványsorok

Két típusú hatványsort ismerünk:

: az x0 középpont körül.

: az origó körül.

Elegendő az típusú sorokkal foglalkozni, mert az x0

középpontú hatványsor a ξ = x – x0 helyettesítéssel alakra

hozható.

2014.03.12.

176

Kalkulus MIA 179

Példa: Hatványsor például a

geometriai sor. Ez a sor konvergens, ha |x| < 1.

Ezért a hatványsor konvergenciatartománya a (-1, 1) inter-

vallum, azaz az x = 0 pont r = 1 sugarú környezete.

2014.03.12.

177

Kalkulus MIA 180

Tétel: Ha a sor x2-ben divergens, akkor bármely |x1| > |x2|

pontban is divergens.(Ennél több is igaz: ezekben a pontokban a sor abszolút konvergens.)

Következmény: a két fenti tétel egyenes következménye, hogy egyhatványsor konvergenciatatománya mindig egy x0 = 0 középpontúintervallum. Legyen H az értelmezési tartomány és R akonvergenciasugár. Ekkor a következő esetek lehetségesek.

H = {0}, akkor R = 0.

H = ℝ, akkor R = ℝ.

2014.03.12.

178

Kalkulus MIA 181

A korábbi megjegyzéseket felhasználva a hatvány-

sor konvergenciatartománya egy x0 középpontú intervallum.

Ebben az esetben a hatványsor az |x – x0| < R-ben konvergens, az |x – x0| > R-ben divergens,a végpontokat külön kell vizsgálni.

Hogyan határozható meg R ?

2014.03.12.

179

Kalkulus MIA 182

A konvergenciasugár meghatározása hatványsorok esetén

A konvergenciasugár meghatározása a pozitív tagú sorokra vonatko-zó hányados és gyökkritérium alkalmazásával történik.

Mivel a hatványsor konvergenciatartománya megegyezik a

sor konvergenciatartományával (pozitív tagú sorok ese-

tén) , ezért az utóbbi konvergenciatartományát kell meghatározni.

2014.03.12.

180

Kalkulus MIA 183

Vizsgáljuk először a hányadoskritérium alkalmazását.

A tétel szerint a hatványsor akkor konvergens, ha

reláció teljesül.Meg kell vizsgálni, hogy milyen x-kre teljesülnek a feltételek. Mivel

Azt kell tehát vizsgálni, hogy mikor teljesül, ha

= p

2014.03.12.

181

Kalkulus MIA 184

azaz , ha

Tehát a hatványsor olyan x-ekre lesz konvergens, amelyekre a (*) feltétel teljesül.

Ez pedig azt jelenti, hogy a hatványsor konvergenciasugara r = 1/p, ahol

(*)

2014.03.12.

182

Kalkulus MIA 185

Vizsgáljuk most a gyök-kritérium alkalmazását.

A tétel szerint a hatványsor akkor konvergens, ha

reláció teljesül.Meg kell vizsgálni, hogy milyen x-kre teljesülnek a feltételek. Mivel

Azt kell tehát vizsgálni, hogy mikor teljesül, ha

= p

2014.03.12.

183

Kalkulus MIA 186

azaz , ha

Tehát a hatványsor olyan x-ekre lesz konvergens, amelyekre a (*) feltétel teljesül.

Ez pedig azt jelenti, hogy a hatványsor konvergenciasugara r = 1/p, ahol

(*)

2014.03.12.

184

Kalkulus MIA 187

Feladatok a konvergenciasugár meghatározására

Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasugarát!

Alkalmazzuk a hányadoskritériumot:

Tehát a konvergenciasugár:

2014.03.12.

185

Kalkulus MIA 188

Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasuga-rát!

Alkalmazzuk a hányadoskritériumot:


2014.03.12.

186

Kalkulus MIA 189


Alkalmazzuk a gyök-kritériumot:


2014.03.12.

187

Kalkulus MIA 190


Alkalmazzuk a gyök-kritériumot:


2014.03.12.

188

Kalkulus MIA 191

A Mac-Laurin sor és a Taylor sor

Az előzőekben láttuk, hogy

Ha adott egy f(x) függvény, és ehhez megadható egy olyan hatvány-sor, amelynek az összegfüggvénye f(x), akkor az f(x) függvénythatványsorba fejthetőnek nevezzük.

ha | x | < 1

ha | x | < 1

ha | x | < 1

2014.03.12.

189

Kalkulus MIA 192

Legyen adott a (-a, a) intervallumon értelmezett, hatványsorba fejt-hető f(x) függvény. Ekkor a függvény előállítható a következőalakban:

Ebben az előállításban nem ismerjük az ai együtthatók értékét.

Az együtthatók meghatározhatók f(x) és deriváltjainak az x = 0helyen felvett értékeinek segítségével:

Mivel az f(x) függvény hatványsora létezik, ezért használhatjuk aderiválásra vonatkozó tételt:

Így

2014.03.12.

190

Kalkulus MIA 193

Ha most az f '(x) függvényre alkalmazzuk a differenciálás szabályát, akkor azt kapjuk, hogy

amiből kapjuk, hogy

Folytassuk az eljárás. Ekkor – az n. lépés után – kapjuk, hogy

Összefoglalva: a keresett együtthatókat az f(x) függvény megfelelő deriváltjainak az x = 0 helyen vett helyettesítési értékei szolgáltatják.

2014.03.12.

191

Kalkulus MIA 194

ezért

ezért

….

ezért

2014.03.12.

192

Kalkulus MIA 195

Így az f(x) függvény x = 0 pont körüli hatványsorral történő előállítá-sára kaptuk:

Az f(x) függvénynek ezt az előállítását a függvény Mac-Laurinsorának nevezzük.

Kérdés: Hogyan lehet egy f(x) függvénynek az x = a pont körüli (a-ra nézve szimmetrikus konvergenciatartományú)

alakú hatványsorát felírni?

2014.03.12.

193

Kalkulus MIA 196

Kövessük a Mac-Laurin sor felírásánál alkalmazott eljárást. Most az x = a helyettesítési érték adja a keresett együtthatók értékét:

ezért

ezért

….

ezért

2014.03.12.

194

Kalkulus MIA 197

Így az f(x) függvény x = a pont körüli hatványsorral történő előállítá-sára kaptuk:

Az f(x) függvénynek ezt az előállítását a függvény Taylor soránaknevezzük.

2014.03.12.

195

Kalkulus MIA 198

Feladatok függvények Mac-Laurin és Taylor sorának felírására

Írjuk fel az y = ax függvény Mac-Laurin sorát!

Határozzuk meg az együtthatókat:

…

…

2014.03.12.

196

Kalkulus MIA 199

Így az y = ax függvény Mac-Laurin sora:

2014.03.12.

197

Kalkulus MIA 200

Fejtsük Taylor sorba az y = ln x függvényt az x = e pont körül!

Határozzuk meg először az együtthatókat:

Így az y = ln x függvény Taylor sora:

…

2014.03.12.

198

Kalkulus MIA 201

Fejtsük Taylor sorba az y = 2x3-x2+x-3 függvényt az x0 = 1 pontkörül!

Határozzuk mag az együthatókat:

Így a függvény Taylor sora:

2014.03.12.

199

Kalkulus MIA 202

Nevezetes függvények hatványsora

Határozzuk meg az y = ex függvény Mac-Laurin sorát!

Induljunk ki az y = ax Mac-Laurin sorából:

Vegyük figyelembe, hogy a = e esetben ln e = 1. Így

Ha x = 1, akkor az e szám sorbafejtését kapjuk:

2014.03.12.

200

Kalkulus MIA 203

Határozzuk meg az y = sin x függvény Mac-Laurin sorát!

Vizsgáljuk először az y = sin x függvény deriváltjait:

Látjuk, hogy a sin x függvénynek minden negyedik deriváltja megegyezik:

2014.03.12.

201

Kalkulus MIA 204

Így x = 0 helyen helyen felvett értékek:

Így a sin x függvény Mac-Laurin sorában az z együtthatók:

Ezért

= 0=1

2014.03.12.

202

Kalkulus MIA 205

Az y = cos x függvény Mac-Laurin sora hasonló gondolatmenettelszámítható ki.

A differenciálhányadosok periodicitása itt is érvényesül.A páratlan indexű tagok együtthatói lesznek zérusok.

Ezért:

2014.03.12.

203

Kalkulus MIA 206206

Integrálszámítás és alkalmazásai

A primitív függvény, a határozatlan integrálElemi függvények határozatlan integráljaIntegrálási szabályokA határozott integrál fogalma és tulajdonságaiA Newton-Leibniz szabályAz integrálszámítás alkalmazásai

2014.03.12.

204

207Matematika II. 207

A primitív függvény

A differenciálszámítás során megismertük azt, hogy egy f(x)függvény f´(x) deriváltját hogyan lehet megadni a függvényismeretében.A kérdés az, hogy a differenciálhányados ismeretében hogyan lehetmeghatározni az f(x) függvényt?Erre a kérdésre ad választ az integrálszámítás.

Akkor mondjuk, hogy az F(x) függvény primitív függvénye az f(x)függvénynek az I ⊂ R intervallumban, ha F folytonos az I-n ésminden belső pontjában F´(x) = f(x).

Kalkulus MIA

2014.03.12.

205


Példa: Vegyük észre, hogy az f(x) = x2 függvény primitív függvényea számegyenesen az

függvény, mert F´(x) = x2 = f(x).

Hasonló megfontolás alapján látható az is, hogy a

és

Függvények ugyancsak primitív függvényei az f(x) függvénynek.(Ez egyszerűen adódik abból, hogy a konstans differenciálhányadosa0.)

Tétel: Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkorvégtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy additívkonstansban térnek el egymástól.

Kalkulus MIA

2014.03.12.

206


Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I ⊂ R

intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát. Jele

Az integrál mögötti részt integrandusnak, az x változót integrációsegyütthatónak nevezzük.

A határozatlan integrál definíciójából következik, hogy

Egy függvény határozatlan integrálját megadni azt jelenti, hogymegkeressük a hozzá tartozó összes primitív függvényt.

Kalkulus MIA

2014.03.12.

207


Példa: Határozzuk meg f primitív függvényeit, ha

Megoldás:

A korábbi tétel miatt, ha grafikusan akarjuk ábrázolni a különbözőprimitív függvényeket, akkor azok olyan „párhuzamos” görbeseregetalkotnak, amelyek az y tengely mentén vannak eltolva. (Ld. Akövetkező oldalt.)

Kalkulus MIA

2014.03.12.

208


f(x) = x2

Kalkulus MIA

2014.03.12.

209

Kalkulus MIA 212212

Az elemi függvények határozatlan integráljai

n ≠ -1, n∈ℛ

2014.03.12.

210

Kalkulus MIA 213213

Integrálási szabályok

Tétel: Tegyük fel, hogy f-nek és g-nek létezik a primitív függvényeaz I intervallumban. Akkor cf-nek és (f + g)-nek is van primitívfüggvénye, és

2014.03.12.

211

Kalkulus MIA 214214

Példa: keressük az f(x) = 3x4 + 2x3 – 5x +2 függvény határozatlanintegrálját!

Példa: keressük az függvény határozatlan integ-rálját!

2014.03.12.

212

Kalkulus MIA 215215

Tétel: Tegyük fel, hogy f(x)-nek F a primitív függvénye az I

intervallumban, és ax+b ∈ I. Akkor

Biz.

2014.03.12.

213

Kalkulus MIA 216216

Példa: keressük az f(x) = (2x+4)3 függvény határozatlan integrálját!

Példa: keressük az f(x) = cos(3x+3) függvény határozatlanintegrálját!

2014.03.12.

214

Kalkulus MIA 217217

Tétel: Tegyük fel, hogy f(x) differenciálható és F a primitívfüggvénye az I intervallumban, és n ≠ -1. Akkor

Biz.

Figyeljük meg, hogy változtattunk a jelölésen!

2014.03.12.

215

Kalkulus MIA 218218

Példa: keressük az f = 2(2x+4)3 függvény határozatlan integrálját!

Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját!

2014.03.12.

216

Kalkulus MIA 219219

Tétel: Tegyük fel, hogy f differenciálható az I intervallumban, és f(x)

≠ 0, x ∈ I. Akkor

Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját!

2014.03.12.

217

Kalkulus MIA 220

Integráljuk mindkét oldalt:

Amiből átrendezéssel megkapjuk a tétel állítását.

220

Parciális integrálás

A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításábóladódó integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük.

Tétel: Tegyük fel, hogy f és g folytonos és differenciálható az I

intervallumban. Akkor

Biz.

2014.03.12.

218


Példa: keressük az határozatlan integrál értékét!

Legyen f(x) = x és gʹ(x) = ex. Ekkor fʹ(x) = 1 és g(x) = ex. Így

Kalkulus MIA

2014.03.12.

219

Kalkulus MIA 222VIG BSc Matematika II. 222

Integrálás helyettesítéssel

A helyettesítéses integráláshoz lényegében az összetett függvénydifferenciálási szabályának megfordításával juthatunk el.

Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I

intervallumban, és F’(x) =f(x), ahol x ∈ g(I). Akkor

Példa: keressük az határozatlan integrál értékét!

Az első tényező egy összetett függvény, amelynek belső függvényeg: g(x) = x2.

Az integrandus nem a megfelelő - - alakú, ha szoroz-zuk és osztjuk is 2-vel, akkor a kívánt forma elérhető:

2014.03.12.

220


A határozott integrál fogalma

Keressük annak a síkidomnak a területét, amelyet az f(x) = x2 görbe,az x tengely és az x = b egyenes határol.

Jelöljük a fenti „parabolikus” háromszög területét T-vel, és osszukfel a [0,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú – ekvidisztans –részintervallumra. Legyenek az osztópontok:

ahol

A T területnek egy alsó becslését kapjuk, ha mindenrészintevallumon egy olyan téglalapnak a területét számítjuk ki,amelynek alapja a részintervallum hossza, magassága arészintervallum bal végpontjában felvett függvényérték.

Kalkulus MIA

2014.03.12.

221

Kalkulus MIA 224

224

Így a parabolikus háromszög területét alulról egy törtvonallal határoltsokszög területével közelítjük meg:

x0 x1 x2 xi xn-2 xn-1 xn=b

2014.03.12.

222

Kalkulus MIA225225

Jelöljük az összterületet sn-nel és számítsuk ki az alsó közelítőterületek összegét:

Hasonlóan számítható ki a felső közelítő összeg, de most arészintervallumokon a jobb oldali végponthoz tartozó függvényértékadja a magasságot.

2014.03.12.

223

Kalkulus MIA 226226

Jelöljük az összterületet Sn-nel és számítsuk ki az felső közelítőterületek összegét:

Az nyílvánvaló, hogy

2014.03.12.

224

Kalkulus MIA 227227

Most n-et növelve osszuk a [0,b] intervallumot egyre több részre.Ekkor

Ezért

2014.03.12.

225

Kalkulus MIA 228228

A fentiekben alkalmazott technikát változtatás nélkül használhatjukmonoton növekvő függvények esetére.Legyen f az [a,b] intervallumon értelmezett monoton növekvőkorlátos függvény, és legyen f ≥ 0.Határozzuk meg a görbe vonalú trapéz területét, ha azt az x tengely,az f függvény grafikonja és az x = a, valamint az x = b egyenesekhatárolják.Eddig egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztottuk az adottszakaszt. Mivel ez nem kötelező előírás, és a következőkbenáltalánosabban akarjuk kezelni a problémát, be kell vezetnünk akövetkező definíciót:

Monoton függvények határozott integrálja

2014.03.12.

226

Kalkulus MIA 229229

f(b)f(a)

a b

T

f(x)

2014.03.12.

227

Kalkulus MIA 230230

Legyen

Az [a,b] intervallum felosztása n – nem feltétlenül egyenlő – részre.A felosztás finomságán a

számot értjük. A δn tehát a leghosszabb részintervallum hosszátjelöli.

Minden olyan felosztást, amelyet egy adott felosztásból úgy kapunk,hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és eközben δn csökken, azadott felosztás finomításának nevezzük.

2014.03.12.

228

Kalkulus MIA 231231

Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az

felosztáshoz tartozó alsó összegen (a beírt téglalapok területössze-gén) az

összeget értjük.

2014.03.12.

229

Kalkulus MIA 232232

Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az

felosztáshoz tartozó felső összegen (a beírt téglalapok területössze-gén) az

összeget értjük.

Monoton csökkenő függvények esetén az alsó és feslő összegekértelemszerűen definiálhatók.

A fenti definíciókból egyértelműen adódik, hogy az f(x) görbe alattiT terület az [a,b] intervallumon:

2014.03.12.

230

Kalkulus MIA 233233

Tétel: Legyen f(x) egy monoton növekvő, korlátos függvény az [a,b]intervallumon. Tekintsük az [a,b] intervallumnak egy felosztását, és afelosztást finomítsuk minden határon túl, azaz δn → 0. Ekkor a {sn}és a {Sn} sorozatok konvergálnak, és

A tétel – analóg módon – kimondható monoton csökkenő korlátosfüggvényekre is.

A következőkben megmutatjuk, hogy a függvényértékekválasztásánál nem kell ragaszkodnunk a részintervallumokvégpontjaihoz.

2014.03.12.

231

Kalkulus MIA 234234

Tétel: Legyen f az [a,b] intervallumon monoton és korlátos. Legyen

Az [a,b] intervallum egy felosztása, és legyenek

Tetszés szerinti valós számok. Legyen továbbá

Ekkor

A σn értéket az adott beosztáshoz tartozó közelítő összegneknevezzük.

2014.03.12.

232

Kalkulus MIA 235235

Az f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak nevezzük, haa felosztások minden határon túli finomításával keletkező σn

közelítő összegek sorozatának létezik a (beosztástól és a ξn közbülsőpontoktól független) határértéke.A határértéket az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljánakvagy határozott integráljának (vagy Riemann-integráljának)nevezzük. Jele:

A fenti definíció ismeretében az előző oldali tétel átfogalmazható: az[a,b] intervallumon monoton korlátos függvény integrálható.

2014.03.12.

233

Kalkulus MIA 236236

Az f függvényt az (a,b) intervallumban szakaszonként monotonfüggvénynek nevezzük, ha van az [a,b] intervallumnak olyan végesfelosztása, hogy minden részintervallumban f monoton.

Tétel: Szakaszonként monoton függvények integrálját a monotonszakaszokon vett integrálok összege szolgáltatja.

Tétel: Ha az [a,b] intervallumnak van olyan felosztása, hogy mindennyitott részintervallumon az f függvény folytonos, és f az [a,b]-nkorlátos, akkor az f függvény az [a,b]-n integrálható.

2014.03.12.

234

Kalkulus MIA 237237

A határozott integrál tulajdonságai

Tétel: Ha az f és a g függvény integrálható az [a,b] intervallumon, ésα ∈ R, akkor

és

Továbbá, ha a < c < b, akkor

(A két utolsó állítás más szóval: a határozott integrál mind függvény,mind intervallum szerint additív.)

2014.03.12.

235

Kalkulus MIA 238238

Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor

Tétel: Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban, akkorlétezik olyan

valós szám, amelyre

Tétel: Ha egy f függvény integrálható az [a,b] intervallumon, akkorintegrálható annak minden részintervallumán is.

2014.03.12.

236

Kalkulus MIA 239239

A Newton-Leibniz szabály

Ha az előző oldali utolsó tételét, akkor – az intervallum alsó határátrögzítve – az intervallumon vett integrál egy függvény, amelynekértéke a részintervallum felső határának értékétől függ.Más szóval minden x ∈ [a,b] számhoz egy valós szám rendelhető.Jelöljük ezt a függvényt G-vel:

Ezt G függvényt az f függvény integrálfüggvényének nevezzük.

Az integrálfüggvény jól használható a határozott integrálkiszámításakor, hiszen

2014.03.12.

237

Kalkulus MIA240240

Már a definícióból két dolog is látszik: Egyrészt azonnal adódik,hogy G(a) = 0, másrészt lehet látni,hogy a G függvénynek „közevan” a primitív függvényhez. Valóban, igaz a következő tétel:

Tétel: ha G az f-nek integrálfüggvénye, és f folytonos az [a,b]intervallumon, akkor

Azaz G az f-nek egy primitív függvénye.

A fenti tétel következménye az, hogy ha F(x) is primitív függvényef(x)-nek, akkor

Ezért

Mivel G(a) = 0, ezért

2014.03.12.

238

Kalkulus MIA 241241

Meghatározva C-t, azt kapjuk, hogy

És ezért

Ezt a képletet szokás Newton-Leibniz formulának is nevezni.

A határozott integrál értékét tehát úgy számítjuk ki, hogymegkeressük f egy primitív függvényét (F-et), és a felső határon vetthelyettesítési értékéből kivonjuk az alsó határon vett helyettesítésiértékét.

2014.03.12.

239

Kalkulus MIA 242242

Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a

Newton-Leibniz formula segítségével!

A megoldás helyességét egyszerű geometriai eszközökkel isellenőrizhetjük:

2 4

2014.03.12.

240

Kalkulus MIA 243243

Az integrálszámítás alkalmazásai

Az integrál geometriai értelmezésének a következménye, hogy ha f

korlátos és integrálható az [a,b] intervallumon, akkor az

annak a síkidomnak a területét adja, amelyet az f függvény, az x = a,az x = b egyenesek és az x tengely határolnak, feltéve, ha f(x) ≥ 0.

Ha a függvényre nem érvényes a nem-negativitás, akkor a negatívszakaszon külön számítjuk ki a függvényhez tartozó terület értékét,és annak az abszolút értékével számolunk.

2014.03.12.

241

Kalkulus MIA244244

Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a

Newton-Leibniz formula segítségével!

Az ellenőrzéshez rajzoljuk fel az (x-3) függvény grafikonját!

2014.03.12.

242

Kalkulus MIA245245

Példa: bizonyos esetekben érdemes kihasználni a szimmetriát. Szá-mítsuk ki, hogy mekkora területet zár be az x tengellyel az y = sinx

függvény a [0,2π] intervallumon!

Ha egyszerűen alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát, akkor:

Ami nyílván hibás eredmény. Használjuk ki a szimmetrát! Ekkor

Ez így már a helyes eredmény!

2014.03.12.

243

Kalkulus MIA 246246

Két vagy több függvénygörbe által határolt síkidom területénekmérőszáma a két (vagy több) függvény által határolt területekkülönbségéből határozható meg.

Példa: határozzuk meg az f(x) = x2 és a egyenletű görbékáltal bezárt síkidom területét!

Először határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: x1 = 0 és x2 = 1.Ezért

2014.03.12.

244

Kalkulus MIA 247247

Az improprius integrál

Az eddigiekben a határozott integrált csak véges intervallumokra éskorlátos függvényekre értelmeztük.Felhasználva a határátmenet eszközeit ebben a fejezetbenmegmutatjuk, hogy a határozott integrál kiterjeszthető bizonyosesetekben nem korlátos függvényekre és végtelent tartalmazóintervallumokra is.

Két esetet fogunk megkülönböztetni:

Az integráció intervalluma végtelen.Az [a,b] intervallumon az f függvény nem korlátos.

2014.03.12.

245

Kalkulus MIA 248248

Ha az f függvény integrálható az [a, ∞) intervallum minden [a,b]részintervallumában és létezik a

Véges határérték, akkor ezt az f függvény [a, ∞) intervallumon vettimproprius integráljának nevezzük, és

A fentihez hasonlóan definiálható az

Improprius integrál is.

2014.03.12.

246

Kalkulus MIA 249249

A két definícióból következik, hogy az f függvény (-∞,∞)intervallumon értelmezett improprius integrálján az

egyenlőséget értjük.

Példa: határozzuk meg a következő improprius integrál értékét:

2014.03.12.

247

Kalkulus MIA 250VIG BSc Matematika II. 250

Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor a függvény az adottintervallumon nem korlátos.

Tegyük fel, hogy az f az [a,b]-n nem integrálható, de tegyük fel, hogybármely [a,b-ε] részintervallumában integrálható. Ha létezik a

határérték, akkor ezt az f függvény [a,b] intervallumon vettimproprius integráljának nevezzük, és

2014.03.12.

248

Kalkulus MIA 251251

A fentihez hasonlóan definiálható az

improprius integrál is.

A két definícióból következik, hogy ha az f függvény az [a,b]intervallum egy belső c pontjában, a < c < b nem korlátos, akkor azimproprius integrál a következőképpen számítható ki:

2014.03.12.

249

Kalkulus MIA 252252

Példa: Határozzuk meg az alábbi improprius integrált!

2014.03.12.

250

Kalkulus MIA 253253

Forgástestek térfogata

Tekintsünk egy f függvényt, amelyet forgassunk meg az x tengelykörül.A forgástest térfogatát – a határozott integrálnál követett eljáráshozhasonlóan – közelítsük a beleírt és a körülírt kis korongokössztérfogatával.Legyen az i. részintervallumon a kis korong magassága δi =xi – xi-1.

Egy-egy kis szakaszon az xi abszcisszához tartozó sugár most f(xi),így egy kis korong térfogatát az f2(xi)π sugarú henger és a hozzátartozó δi magasság szorzata szolgáltatja.Ha a

határérték létezik, akkor az a forgástest V térfogatát adja.

2014.03.12.

251

Kalkulus MIA 254254

Ugyanakkor azt tudjuk, hogy

Ezért a forgástest térfogata

2014.03.12.

252

Kalkulus MIA 255255

f(x)

2014.03.12.

253

Kalkulus MIA 256256

Példa: Forgassuk meg az

függvény görbéjét az x tengely körül, és határozzuk meg akeletkezett forgástest térfogatát! (Vegyük észre, hogy a megadottgörbe egy félkör.)

Ez pedig a gömb térfogatának ismert képlete.

kalkulus mia műszaki informatikus asszisztens - jgypk.hu · kalkulus mia 23 példa : Ábrázoljuk...

Documents