Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS
X. Előadás
AZ OPCIÓÁRAZÁS ALAPJAI
Elektronikus kereskedelem
Az Európai Szociális Alap támogatásával
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2
Tartalom
Alapfogalmak
Az opció ára
Az opció végértéke
Az opció értéke lejárat előtt
A put-call paritás
Az amerikai vételi opció
1-periódusos binomiális opciók árazása
Opcióárazás többperiódusú modellekben
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3
BEVEZETÉS I.
Opció:
Vételi (vagy eladási) jog, ami nem kötelező, előre specifikált feltételek mellett
• Vételi opció: call option
• Eladási opció: put option
Az opció (a jogosultság) ára: prémium
Ha a vétel (vagy eladás) létrejön: az opció tulajdonosa (holder) lehívja (excersises) az opciót
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4
BEVEZETÉS II.
Példa:
vételi jog egy házra, egy éven belül $ 200.000 áron
az opció ára: $ 15.000 (nem része a vételárnak)
Az opció: egy származtatott eszköz (derivative security)
Alaptermék (underlying asset): a ház
Az opció értéke: legyen a ház piaci ára 1 év múlva $ 300.000
ekkor az opció értéke 1 év múlva $ 100.000
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5
BEVEZETÉS III.
Történelmi példa:
• a holland tulipán mánia (cca 1600 t)
• a termelők: eladási opciókat kötöttek
• a kereskedők: vételi opciókat kötöttek
• egy szabályozatlan piac; összeomlik 1636-ban
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6
ALAPFOGALMAK I.
• egy egység opció tipikusan 100 részvényből áll
• call vagy put: vételi vagy eladási opció
• kötési vagy lehívási árfolyam (strike price): egy darab részvény ára az opció lehívása esetén
• amerikai vs. európai opció:
• amerikai opció: a lejárati idő előtt bármikor lehívható
• európai opció: csak a lejárati időpontban hívható le
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7
ALAPFOGALMAK II.
• aki az opciót felajánlja, az írja (write) az opciót
• az opció ára: a kibocsátó prémiuma
• kockázatok:
• aki veszi az opciót: vesztesége maximuma az opció ára
• aki írja az opciót: tetszőlegesen nagy vesztesége lehet (ld. call)
Példa:
vételi opció az IBM részvényére $ 70 -ért
a tényleges ár a lejáratkor $ 90
veszteség: $ 20
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8
ALAPFOGALMAK III.
• 1. oszlop: záró ár
• 2. oszlop: kötési árfolyam
• 3. oszlop: a lejárati hónap (a lejárat napja: a 3. pénteket követő szombat)
• 4. oszlop (call): a forgalom mérete
• 5. oszlop (call): az opció utolsó jegyzett ára
• 6-7. oszlop: ugyanez put-ra
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9
AZ OPCIÓ ÁRA I.
Spekulatív opció :
Példa:
vételi opció 100 t búzára
semmi módon nem akarom lehívni!
Az opció forgalmazható: ha felmegy az ára, eladom
Az opció: pénzügyi termék (financial instrument)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10
AZ OPCIÓ ÁRA II.
Ki határozza meg az opció árát?
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11
AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE I.
Példa:
vételi opció, kötési ár: K
a részvény (stock) ára lejáratkor: S
az opció végértéke: S < K esetén: 0
S > K esetén: S - K
Tehát: egy vételi opció végértéke lejáratkor:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12
AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE II.
Példa:
eladási opció, kötési ár: K
a részvény ára lejáratkor: S
az opció végértéke: S > K esetén: 0
S < K esetén: K - S
Tehát: egy eladási opció végértéke lejáratkor:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13
AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE III.
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14
AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE IV.
Észrevétel:
a vételi opció potenciális vesztesége nem korlátos
az eladási opció potenciális vesztesége korlátos
Terminológia vételi opcióra:
S > K in the money
S = K at the money
S < K out of money
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15
AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT I.
Példa
GM részvény:
kötési ár: $ 40
lejárat: 3 hónap (time to expiration)
pillanatnyi részvényár: $ 37,88
kérdés: Mi az opció értéke?
Kvalitatív válasz:
a részvény végértéke lehet, hogy $ 40 fölé kerül
→ az opció értéke pozitív
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16
AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT II.
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17
AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT III.
Példa:
vételi opció, kötési ár: K
lejáratig 3 hónap: az opció ára C1
lejáratig 6 hónap: az opció ára C2
Észrevétel:
C1 < C2
Indoklás: a P(ST > K) valószínűség a 6 hónapos fennmaradó idő esetén
nagyobb
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18
AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT IV.
Példa:
vételi opció, kötési ár: K
jelenlegi ár: S
Észrevétel:
a fennmaradó idő hatása elenyészik, ha: S << K vagy
S >> K
Indoklás: S << K esetén P(ST > K) kicsi
S >> K esetén az opció haszna marginális
(alternatíva: vedd meg a részvényt és tartsd)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19
AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT V.
A volatilitás hatása:
Példa: (vételi opció)
két részvény: A, B
jelenlegi ár $ 90
kötési ár $ 100
lejárat 3 hónap
A változékonyabb (nagyobb volatilitású)
B nyugodtabb (kisebb volatilitású)
Állítás: az opció értéke a volatilitással együtt nő:
CA ≥ CB
Indoklás: P(SAT > K) ≥ P(SBT > K)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20
PUT-CALL PARITÁS (PUT-CALL PARITY) I.
Egy kombináció:
végy egy vételi opciót
adj el egy eladási opciót
A kombináció értéke (kifizetése) lejáratkor (ld. 12.2 ábra):
Tetszőleges t < T -re is öröklődik
Legyen a diszkont faktor a [t,T] -re: dt
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21
PUT-CALL PARITÁS II.
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22
AMERIKAI VÉTELI OPCIÓ I.
Meglepetés: a korai lehívás nem lehet optimális
Indoklás:
• ha S(t) < K és lehívom: veszítek
• ha S(t) > K és t < t’ < T és r = f(t,T):
tartom az opciót t’-ig és kamatot
kapok K után
t’-ben lehívom, ha S(t) > K
alternatíva: t-ben lehívom
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23
AMERIKAI VÉTELI OPCIÓ II.
A profit:
S(t’) > K esetén: S(t’) - K + rK
S(t’) ≤ K esetén: rK
Az alternatív profit t’-ben:
S(t’) - (1+ r)K
Az extra profit legalább 2rK !
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24
1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA I.
A modell elemei:
• a részvény kezdőára: S
• a részvény záróára: uS vagy dS
• u valószínűsége p, d valószínűsége 1-p
• kockázatmentes kamatláb: r és R = 1 + r
Arbitrázsmentesség szükséges feltétele:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25
1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA II.
Egy vételi opció a periódus végére, K kötési áron.
Az opció végértékei:
Alapötlet: a fenti követelést szintetizáljuk
Egy portfolió 0 -ban: x dollár részvény, b dollár kockázatmentes eszköz
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26
1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA III.
A portfolió értéke a periódus végére:
vagy
Paraméterek igazítása (matching): keressük x, b -t, amelyre
Megoldás:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27
1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA IV.
A portfolió értéke 0 -ban:
Ez kell, hogy legyen az opció ára!
Jelölés:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28
AZ OPCIÓ ÁRA
Itt q az ún. kockázatmentes valószínűség. Másképp:
Itt a várható érték a kockázatmentes valószínűség szerint.
Meglepetés: az opció ára független p -től!
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29
OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN I.
Példa: két periódusú modell, T = 2
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30
OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN II.
A kockázatmentes valószínűség:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31
OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN III.
A t = 1 időpontbeli árak:
Végül t = 0 -ban:
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32
EGY PÉLDA I.
• egy részvény mai ára $ 62
• a log-hozam volatilitása: = 0,2
• egy vételi opció:
5 hónapra
kötési ár $ 60
éves kamat: 10%, havi folytonos kamatszámítással
Mi az opció ára?
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33
EGY PÉLDA II.
Egy binomiális modell illesztése t = 1/12 -vel:
A kockázatmentes valószínűség
Visszafelé haladó rekurzióval: C = $ 5,85