Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS

X. Előadás

AZ OPCIÓÁRAZÁS ALAPJAI

Elektronikus kereskedelem

Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2

Tartalom

Alapfogalmak

Az opció ára

Az opció végértéke

Az opció értéke lejárat előtt

A put-call paritás

Az amerikai vételi opció

1-periódusos binomiális opciók árazása

Opcióárazás többperiódusú modellekben

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3

BEVEZETÉS I.

Opció:

Vételi (vagy eladási) jog, ami nem kötelező, előre specifikált feltételek mellett

• Vételi opció: call option

• Eladási opció: put option

Az opció (a jogosultság) ára: prémium

Ha a vétel (vagy eladás) létrejön: az opció tulajdonosa (holder) lehívja (excersises) az opciót

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4

BEVEZETÉS II.

Példa:

vételi jog egy házra, egy éven belül $ 200.000 áron

az opció ára: $ 15.000 (nem része a vételárnak)

Az opció: egy származtatott eszköz (derivative security)

Alaptermék (underlying asset): a ház

Az opció értéke: legyen a ház piaci ára 1 év múlva $ 300.000

ekkor az opció értéke 1 év múlva $ 100.000

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5

BEVEZETÉS III.

Történelmi példa:

• a holland tulipán mánia (cca 1600 t)

• a termelők: eladási opciókat kötöttek

• a kereskedők: vételi opciókat kötöttek

• egy szabályozatlan piac; összeomlik 1636-ban

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6

ALAPFOGALMAK I.

• egy egység opció tipikusan 100 részvényből áll

• call vagy put: vételi vagy eladási opció

• kötési vagy lehívási árfolyam (strike price): egy darab részvény ára az opció lehívása esetén

• amerikai vs. európai opció:

• amerikai opció: a lejárati idő előtt bármikor lehívható

• európai opció: csak a lejárati időpontban hívható le

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7

ALAPFOGALMAK II.

• aki az opciót felajánlja, az írja (write) az opciót

• az opció ára: a kibocsátó prémiuma

• kockázatok:

• aki veszi az opciót: vesztesége maximuma az opció ára

• aki írja az opciót: tetszőlegesen nagy vesztesége lehet (ld. call)

Példa:

vételi opció az IBM részvényére $ 70 -ért

a tényleges ár a lejáratkor $ 90

veszteség: $ 20

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8

ALAPFOGALMAK III.

• 1. oszlop: záró ár

• 2. oszlop: kötési árfolyam

• 3. oszlop: a lejárati hónap (a lejárat napja: a 3. pénteket követő szombat)

• 4. oszlop (call): a forgalom mérete

• 5. oszlop (call): az opció utolsó jegyzett ára

• 6-7. oszlop: ugyanez put-ra

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9

AZ OPCIÓ ÁRA I.

Spekulatív opció :

Példa:

vételi opció 100 t búzára

semmi módon nem akarom lehívni!

Az opció forgalmazható: ha felmegy az ára, eladom

Az opció: pénzügyi termék (financial instrument)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10

AZ OPCIÓ ÁRA II.

Ki határozza meg az opció árát?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11

AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE I.

Példa:

vételi opció, kötési ár: K

a részvény (stock) ára lejáratkor: S

az opció végértéke: S < K esetén: 0

S > K esetén: S - K

Tehát: egy vételi opció végértéke lejáratkor:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12

AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE II.

Példa:

eladási opció, kötési ár: K

a részvény ára lejáratkor: S

az opció végértéke: S > K esetén: 0

S < K esetén: K - S

Tehát: egy eladási opció végértéke lejáratkor:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13

AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE III.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14

AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE IV.

Észrevétel:

a vételi opció potenciális vesztesége nem korlátos

az eladási opció potenciális vesztesége korlátos

Terminológia vételi opcióra:

S > K in the money

S = K at the money

S < K out of money

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15

AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT I.

Példa

GM részvény:

kötési ár: $ 40

lejárat: 3 hónap (time to expiration)

pillanatnyi részvényár: $ 37,88

kérdés: Mi az opció értéke?

Kvalitatív válasz:

a részvény végértéke lehet, hogy $ 40 fölé kerül

→ az opció értéke pozitív

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16

AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT II.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17

AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT III.

Példa:

vételi opció, kötési ár: K

lejáratig 3 hónap: az opció ára C1

lejáratig 6 hónap: az opció ára C2

Észrevétel:

C1 < C2

Indoklás: a P(ST > K) valószínűség a 6 hónapos fennmaradó idő esetén

nagyobb

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18

AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT IV.

Példa:

vételi opció, kötési ár: K

jelenlegi ár: S

Észrevétel:

a fennmaradó idő hatása elenyészik, ha: S << K vagy

S >> K

Indoklás: S << K esetén P(ST > K) kicsi

S >> K esetén az opció haszna marginális

(alternatíva: vedd meg a részvényt és tartsd)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19

AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT V.

A volatilitás hatása:

Példa: (vételi opció)

két részvény: A, B

jelenlegi ár $ 90

kötési ár $ 100

lejárat 3 hónap

A változékonyabb (nagyobb volatilitású)

B nyugodtabb (kisebb volatilitású)

Állítás: az opció értéke a volatilitással együtt nő:

CA ≥ CB

Indoklás: P(SAT > K) ≥ P(SBT > K)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20

PUT-CALL PARITÁS (PUT-CALL PARITY) I.

Egy kombináció:

végy egy vételi opciót

adj el egy eladási opciót

A kombináció értéke (kifizetése) lejáratkor (ld. 12.2 ábra):

Tetszőleges t < T -re is öröklődik

Legyen a diszkont faktor a [t,T] -re: dt

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21

PUT-CALL PARITÁS II.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22

AMERIKAI VÉTELI OPCIÓ I.

Meglepetés: a korai lehívás nem lehet optimális

Indoklás:

• ha S(t) < K és lehívom: veszítek

• ha S(t) > K és t < t’ < T és r = f(t,T):

tartom az opciót t’-ig és kamatot

kapok K után

t’-ben lehívom, ha S(t) > K

alternatíva: t-ben lehívom

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23

AMERIKAI VÉTELI OPCIÓ II.

A profit:

S(t’) > K esetén: S(t’) - K + rK

S(t’) ≤ K esetén: rK

Az alternatív profit t’-ben:

S(t’) - (1+ r)K

Az extra profit legalább 2rK !

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24

1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA I.

A modell elemei:

• a részvény kezdőára: S

• a részvény záróára: uS vagy dS

• u valószínűsége p, d valószínűsége 1-p

• kockázatmentes kamatláb: r és R = 1 + r

Arbitrázsmentesség szükséges feltétele:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25

1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA II.

Egy vételi opció a periódus végére, K kötési áron.

Az opció végértékei:

Alapötlet: a fenti követelést szintetizáljuk

Egy portfolió 0 -ban: x dollár részvény, b dollár kockázatmentes eszköz

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26

1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA III.

A portfolió értéke a periódus végére:

vagy

Paraméterek igazítása (matching): keressük x, b -t, amelyre

Megoldás:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27

1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA IV.

A portfolió értéke 0 -ban:

Ez kell, hogy legyen az opció ára!

Jelölés:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28

AZ OPCIÓ ÁRA

Itt q az ún. kockázatmentes valószínűség. Másképp:

Itt a várható érték a kockázatmentes valószínűség szerint.

Meglepetés: az opció ára független p -től!

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29

OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN I.

Példa: két periódusú modell, T = 2

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30

OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN II.

A kockázatmentes valószínűség:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31

OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN III.

A t = 1 időpontbeli árak:

Végül t = 0 -ban:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32

EGY PÉLDA I.

• egy részvény mai ára $ 62

• a log-hozam volatilitása: = 0,2

• egy vételi opció:

5 hónapra

kötési ár $ 60

éves kamat: 10%, havi folytonos kamatszámítással

Mi az opció ára?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33

EGY PÉLDA II.

Egy binomiális modell illesztése t = 1/12 -vel:

A kockázatmentes valószínűség

Visszafelé haladó rekurzióval: C = $ 5,85