KOMPUTASI PROSES TEKNIK KIMIA MENGGUNAKAN MATLAB Teguh Kurniawan, ST.
Jurusan Teknik Kimia Fakultas Teknik Universitas Sultan Ageng Tirtayasa 2006
-3-2
-10
12
3
-2
0
2
-10
-5
0
5
XY
F(X
,Y)
i
Kata Pengantar
Segala rasa syukur saya panjatkan pada Allah SWT yang telah memberikan segala daya sehingga terwujudlah buku ajar dihadapan para pembaca. Momen bulan Ramadhan 1427 H telah memberikan kekuatan tersendiri bagi saya untuk memberikan karya yang sebaik-baiknya. Meskipun demikian, saya sadar tiada karya manusia yang sempurna. Oleh karena itu, diawal halaman pengantar saya ungkapkan harapan yang sangat besar kepada para pembaca seluruhnya untuk memberikan saran demi perbaikan buku ajar.
Perkembangan perangkat keras (hardware-microprocessor) yang amat cepat, membuat teknologi perangkat lunak (software) menjadi cepat pula berkembang. Berbagai macam perangkat lunak untuk mendukung penyelesaian persoalan keteknikan (engineering) bermunculan. Di mulai dengan Basic, Pascal, FORTRAN sebagai program pendahulu. Bahkan FORTRAN sempat menjadi primadona “senjata ampuh” bagi orang teknik. Belakangan muncul POLYMATH, MATHCAD dan MATLAB sebagai generasi baru perangkat lunak bidang teknik dan MIPA. Perangkat lunak yang terakhir disebut, saat ini sudah sangat banyak penggunanya baik dari kalangan akademisi maupun praktisi karena berbagai keunggulannya dalam menyelesaikan persoalan numerik dan simulasi proses.
Salah satu bidang keteknikan yang sarat dengan perhitungan numerik, pemodelan serta simulasi fenomena proses adalah bidang teknik kimia. Penggunaan paling banyak di jurusan teknik kimia adalah pada bagian teknik reaktor, pengendalian proses, kinetika katalisis, termodinamika, operasi perpindahan kalor, peristiwa perpindahan dan tentunya komputasi kroses teknik kimia. Seiring dengan makin luasnya penggunaan MATLAB di kalangan industri, maka sebagai langkah untuk mempersiapkan para mahasiswa agar siap terjun di dunia kerja sudah saatnya bagi setiap kampus yang berorientasi pada kebutuhan pasar untuk mengajarkan MATLAB.
Materi buku ajar disusun dengan pendekatan penyelesaian kasus-kasus persoalan numerik teknik kimia dengan menggunakan subrutin MATLAB versi 7.0 seperti roots, fzero, fsolve, quad, ode23, fminsearch dll. Namun demikian dalam buku ajar ini juga tetap dimasukkan berbagai materi asas numerik untuk mencegah terjadinya pengetahuan semu (black box) seperti pemrograman Gauss, Newton-Raphson, bisection dalam bahasa MATLAB.
Harapan penulis dengan hadirnya buku ajar ini dapat membantu memperkenalkan MATLAB sekaligus menjadi acuan praktis untuk memahami MATLAB sebagai alat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dalam dunia teknik, khususnya teknik kimia. Akhir kata saya ucapkan terima kasih kepada Universitas Sultan Ageng Tirtayasa (UNTIRTA) atas segala dukungannya.
Cilegon, 30 Oktober 2006
Teguh Kurniawan, ST Staf Pengajar Komputasi Proses Teknik Kimia
Jurusan Teknik Kimia-Fakultas Teknik Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
ii
DAFTAR ISI
Halaman
Kata Pengantar..........................................................................................................i
Daftar Isi..................................................................................................................ii
Daftar Tabel............................................................................................................iii
Daftar Gambar........................................................................................................iv
Bab 1 Pengenalan MATLAB...................................................................................1
Bab 2 Sistem Persamaan Linier.............................................................................27
Bab 3 Persamaan Tak Linier..................................................................................40
Bab 4 Optimisasi....................................................................................................62
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier.....................................................................65
Bab 6 Integrasi.......................................................................................................78
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa.......................................................................83
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial...................................................................109
Daftar Pustaka.........................................................................................................v
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 1 dari 101
Bab 1 Pengenalan Matlab & Pengantar Pemrograman
1.1 Perangkat Lunak MATLAB
MATLAB merupakan perangkat lunak produk dari The MathWorks,Inc
yang memadukan kemampuan perhitungan, pencitraan, dan permograman dalam
satu paket. MATLAB merupakan bahasa komputasi teknik yang lebih mudah dan
lebih canggih dalam penggunaannya dibandingkan dengan bahasa teknik
pendahulunya seperti FORTRAN, BASIC, PASCAL. Sebetulnya MATLAB
tidaklah berbeda dengan kalkulator scientific yang sehari-hari kita (orang teknik)
kenal. Bedanya MATLAB adalah kalkulator super canggih, karena MATLAB
memiliki keunggulan sbb:
1. Menghitung sampai dengan ketelitian 16 angka dibelakang koma,
sehingga perhitungan lebih akurat.
2. Menyediakan fasilitas untuk membuat program sesuai dengan kebutuhan
kita.
3. Mampu menampilkan data-data dalam grafik 2-D hingga 3-D dengan
pewarnaan yang akan memudahkan interpretasi data yang kita miliki.
4. Menyediakan perintah-perintah praktis untuk menyelesaikan berbagai
macam persoalan matematis seperti persamaan pangkat tinggi
(polinomial), persamaan linier, persamaan tak linier, optimasi fungsi,
persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, fungsi integral,
interpolasi data, operasi aljabar, operasi matrik, korelasi data-data dan
masih banyak lagi.
5. Memiliki kemudahan dalam mengelola data-data yang sangat banyak
dalam bentuk vektor/matrik.
6. Memiliki fasilitas toolbox yang berisi subrutin untuk menyelesaikan
persoalan tertentu dan dapat dengan mudah dimodifikasi serta ditambah
untuk pengembangan lebih lanjut.
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 2 dari 101
Secara garis besar lingkungan kerja MATLAB terdiri atas beberapa unsur,
yaitu:
1. Command window (layar kendali)
2. Workspace (rak data)
3. Command history (layar pengingat)
4. M-file (editor ) akan dibahas pada bagian khusus.
Gambar 1.1 Lingkungan kerja MATLAB 7.0
Untuk lebih jelas mengenai lingkungan kerja MATLAB perhatikan contoh
berikut ini (lihat gambar 1.2). Pada command window ketikkan a = 2 dan b = 4,
maka secara otomatis MATLAB akan menyimpan variabel a dengan harga 2 dan
variabel b dengan harga 4 pada workspace. Variabel a dan b dapat dipanggil
setiap saat dibutuhkan. Misalkan kita ingin menghitung perkalian a dan b,
kemudian menyimpannya dengan nama variabel c. Pada command window
ketikkan c = a*b, maka MATLAB akan memanggil harga a dan b kemudian
melakukan operasi perkalian dan menyimpan hasilnya dengan nama variabel c.
Segala sesuatu yang telah diketikkan pada command window disimpan dalam
command history dan dapat dipanggil kembali dengan menggunakan key arrow
atas dan bawah (↑↓).
Command window merupakan jendela utama MATLAB. Tempat untuk mengeksekusi perintah menampilkan masukan dan hasil
Workspace berfungsi sbg tempat menyimpan secara ototmatis segala variabel masukan dan hasil
Command history adalah tempat menyimpan secara otomatis segala perintah yang telah dituliskan pada command windows.
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 3 dari 101
Gambar 1.2 Sistem kerja MATLAB
Sekali kita mendefinisikan sebuah variabel, MATLAB akan menyimpan
dalam workspace untuk “selamanya”. Untuk menghapus seluruh variabel yang
telah dibuat dapat menggunakan perintah clear. Variabel a, b, dan c yang telah
tersimpan akan hilang. Jika ingin membersihkan layar command window tanpa
menghapus variabel-variabelnya kita dapat menggunakan perintah clc. Beberapa
nama variabel yang telah didefinisikan oleh MATLAB sebagai berikut:
Tabel 1.1 Variabel terdefinisi dalam MATLAB
Var Keterangan
eps Bilangan yang jika ditambahkan dengan suatu bilangan lain tidak
mengubah besar bilangan lain itu. Epsilon berharga 2.2204e-016
pi 3.1416....
inf Tak berhingga (Infinity). Simbol matematika = ~
NaN Bilangan tak tentu (Not a Number) contoh 0/0, ~ - ~
i,j Bilangan imajiner (akar dari -1)
Perintah memasukan data variabel a
Perintah memasukan data variabel b
Perintah menghitung harga variabel c
Menyimpan secara otomatis harga variabel a, b , dan c
Menyimpan secara otomatis perintah-perintah yang telah diketikkan di command window
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 4 dari 101
Untuk menamakan sebuah variabel sebaiknya tidak memakai nama-nama
yang telah didefinisikan oleh MATLAB.
1.2 Matrik, Vektor dan MATLAB
MATLAB adalah singkatan dari matrix laboratory. Oleh karena itu
pemahaman terhadap konsep matrik harus memadai agar dapat memanfaatkan
MATLAB sebagai bahasa komputasi dengan maksimal. Vektor merupakan matrik
yang hanya terdiri atas satu kolom atau satu baris saja.
Penulisan matrik di MATLAB
Tanda pisah antar elemen matrik
Tanda koma (,) atau spasi digunakan untuk memisahkan elemen-elemen satu
baris. Tanda titik koma(;) digunakan untuk memisahkan elemen-elemen satu
kolom. >> a=[1,2,3]
a =
1 2 3
>> b=[1;2;3]
b =
1
2
3
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Matrik transposisi >> A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 5 dari 101
Menentukan ukuran matrik >> size(A)
ans =
3 3
Menentukan determinan matrik >> det(A)
ans =
0
Menentukan invers matrik >> inv(A)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.
ans =
1.0e+016 *
-0.4504 0.9007 -0.4504
0.9007 -1.8014 0.9007
-0.4504 0.9007 -0.4504
Perhitungan invers matrik A menggunakan MATLAB ternyata
memunculkan peringatan yang menyatakan bahwa matrik A adalah singular (tak
wajar). Hal ini bisa diketahui lebih awal dengan melihat harga determinan A.
Apabila determinan A berharga nol dapat dipastikan matrik A adalah matrik
singular.
Vektor baris adalah matrik yang terdiri atas satu baris saja. >> B=[2:6]
B =
2 3 4 5 6
Penulisan seperti di atas akan menghasilkan vektor baris dengan selisih 1
>> C=[2:2:6]
C =
2 4 6
Penulisan seperti di atas akan menghasilkan vektor baris dengan selisih 2
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 6 dari 101
Vektor kolom adalah matrik yang terdiri atas satu kolom saja >> V=[2:0.5:4]'
V =
2.0000
2.5000
3.0000
3.5000
4.0000
Penulisan seperti di atas akan menghasilkan vektor kolom dengan selisih 0.5
Menentukan ukuran vektor >> length(V)
ans =
5
Matrik kerancang
Matrik kerancang adalah matrik berdimensi besar yang sebagian besar
elemennya adalah nol. Misalnya:
1 0 0 0 3 0 60 0 8 0 0 0 00 0 0 7 9 0 00 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 07 7 0 0 0 0 00 0 0 0 0 9 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Matrik segitiga atas
Matriks segitiga atas (disimbolkan U atau R) Adalah matriks bujur sangkar
yang semua elemen di bawah diagonalnya nol
4
1 2 3 40 5 6 70 0 8 90 0 0 10
U
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 7 dari 101
Matrik segitiga bawah
Matrik segitiga bawah (disimbolkan L) Adalah matriks bujur sangkar yang
semua elemen di atas diagonalnya nol.
Matrik identitas
Matrik identitas adalah matrik yang elemen diagonalnya bernilai 1 dan
elemen lainnya bernilai nol.
4
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
I
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Perhatikan cara membuat matrik identitas tanpa harus mengetik elemen
per elemen anggota matrik sbb: >> diag(ones(4,1))
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
atau >> eye(4)
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Matriks diagonal
Matrik diagonal adalah matrik yang elemen selain diagonalnya bernilai nol.
4
1 0 0 02 5 0 03 6 8 04 7 9 10
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 8 dari 101
4
1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4
D
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Perhatikan cara membuat matrik diagonal tanpa harus mengetik elemen per
elemen sbb: >> diag(1:4)
ans =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
Matrik Tridiagonal
Perhatikan cara membuat matrik diagonal tanpa harus mengetik elemen per
elemen sbb: >> diag(-2*ones(9,1))+diag(ones(8,1),1)+diag(ones(8,1),-1)
ans =
-2 1 0 0 0 0 0 0 0
1 -2 1 0 0 0 0 0 0
0 1 -2 1 0 0 0 0 0
0 0 1 -2 1 0 0 0 0
0 0 0 1 -2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 -2 1 0 0
0 0 0 0 0 1 -2 1 0
0 0 0 0 0 0 1 -2 1
0 0 0 0 0 0 0 1 -2
2 1 0 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 0 00 1 2 1 0 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 0 00 0 0 1 2 1 0 0 00 0 0 0 1 2 1 0 00 0 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 9 dari 101
Aljabar Matrik
Operasi aljabar matrik maupun skalar menggunakan simbol yang tidak jauh
berbeda. Berikut ini hirarki operasi aljabar dalam MATLAB. Pertama ^ kedua *
ketiga / atau \ dan terakhir + dan -. Keterangan:
^ Pangkat
* Perkalian
/ Pembagian matrik kanan (mis: B/A = B*inv(A))
\ Pembagian matrik kiri (mis: A\B = inv(A)*B)
+ Penambahan
- Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan
Hanya dapat dilakukan jika matrik-matrik yang akan dijumlahkan dan
dikurangkan memiliki orde sama.
2 3 1 6 2 3 1 6 4 6 2 121 4 5 2 1 4 5 2 2 8 10 4⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 3 1 6 2 3 1 6 0 0 0 01 4 5 2 1 4 5 2 0 0 0 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
>> A =[2 3 1 6;1 4 5 2]
A =
2 3 1 6
1 4 5 2
>> A+A
ans =
4 6 2 12
2 8 10 4
>> A-A
ans =
0 0 0 0
0 0 0 0
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 10 dari 101
Perkalian matrik
AB Syarat jumlah kolom A = jumlah kolom baris B
AB BA≠
Misal
[ ]1 2 3A = 123
B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]1
1 2 3 2 1 4 9 143
AB⎡ ⎤⎢ ⎥= = + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1 x 3) (3 x 1)=(1 x 1)
[ ]1 1 2 32 1 2 3 2 4 63 3 6 9
BA⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Operasi perkalian matrik dalam MATLAB dilakukan dengan simbol * >> A=[1,2,3]
A =
1 2 3
>> B=[1;2;3]
B =
1
2
3
>> A*B
ans =
14
>> B*A
ans =
1 2 3
2 4 6
3 6 9
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 11 dari 101
Pembagian matrik kanan
1
/
xA cx cAx c A
−
=
==
Misalkan:
[ ]1 2 32 5 4 20 15 84 3 1
x⎡ ⎤⎢ ⎥ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
>> A=[1 2 3;2 5 4;4 3 1]
A =
1 2 3
2 5 4
4 3 1
>> c=[20 15 -8]
c =
20 15 -8
>> x=c/A
x =
-8.6667 3.0952 5.6190
Pembagian matrik kiri
1
\
Ax cx A cx A c
−
=
==
Misalkan:
1 2 3 202 5 4 154 3 1 8
x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
>> A=[1 2 3;2 5 4;4 3 1]
A =
1 2 3
2 5 4
4 3 1
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 12 dari 101
>> c=[20;15;-8]
c =
20
15
-8
>> x=A\c
x =
-1.0000
-4.7143
10.1429
Beberapa fungsi built in matrik -perintah yang telah terdefinisi dalam
MATLAB- akan sangat berguna untuk mempermudah pekerjaan perhitungan
matrik, disajikan sebagai berikut.
expm eksponensial dari sebuah matrik
logm logaritma dari sebuah matrik
sqrtm akar kuadrat dari sebuah matrik
Operasi elemen matrik
Seringkali dibutuhkan operasi antar elemen-elemen matrik, oleh karena itu
MATLAB telah menyediakan perintah untuk melakukan operasi elemen matrik
dengan simbol .* (titik diikuti dengan bintang). Perkalian elemen hanya dapat
dilakukan untuk orde matrik yang sama.
1. .* perkalian antar elemen matrik. A.*B adalah perkalian antar elemen per
elemen matrik A dengan B. A dan B harus memiliki ukuran yang sama
kecuali jika salah satunya adalah skalar (bilangan tunggal).
2. ./ Pembagian elemen kanan. A./B adalah matrik dengan elemen-elemen
A(i,j)/B(i,j). A dan B harus memiliki ukuran yang sama, kecuali jika salah
satunya adalah skalar.
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 13 dari 101
3. .\ Pembagian elemen kiri. A.\B adalah matrik dengan elemen-elemen
B(i,j)/A(i,j). A dan B harus memiliki ukuran yang sama, kecuali jika salah
satunya adalah skalar.
4. .^ Pangkat elemen. A.^B is adalah matrik dengan elemen-elemen A(i,j)
pangkat B(i,j). A dan B harus memiliki ukuran yang sama, kecuali jika
salah satunya adalah skalar.
Berikut ini masing-masing contoh operasi elemen matrik. >> A=[1 2;3 4]
A =
1 2
3 4
>> A.*A
ans =
1 4
9 16
>> A./A'
ans =
1.0000 0.6667
1.5000 1.0000
>> A.\A'
ans =
1.0000 1.5000
0.6667 1.0000
>> A.^A
ans =
1 4
27 256
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 14 dari 101
1.3 Membuat Grafik
Grafik 2 Dimensi
Perintah menggambar grafik 2D
plot(x,y) Misalkan:
x 1 2 3 4 5
y 2.7 7.4 20.1 54.6 148.4
>> x=[1,2,3,4,5]
x =
1 2 3 4 5
>> y=[2.7,7.4,20.1,54.6,148.4]
y =
2.7000 7.4000 20.1000 54.6000 148.4000
>> plot(x,y)
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
Gambar 1.3 Grafik 2 Dimensi
Grafik 3 Dimensi
Perintah menggambar grafik 3D
surf(x,y,z) Misalkan:
x y z(x=1) z(x=2) z(x=3)
1 1 2 5 10
2 2 5 8 13
3 3 10 13 18
4 17 20 25
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
50
100
150
x
y
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 15 dari 101
>> x=[1 2 3]
x =
1 2 3
>> y=[1 2 3 4]
y =
1 2 3 4
>> z=[2 5 10;5 8 13;10 13 18;17 20 25]
z =
2 5 10
5 8 13
10 13 18
17 20 25
>> surf(x,y,z)
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
>> zlabel('z')
Gambar 1.4 Grafik 3 Dimensi
Untuk mempercantik tampilan dan mempermudah penafsiran grafik dengan
menambah legenda warna ketikkan perintah berikut ini. >> shading interp
>> colorbar
11.5
22.5
3
1
2
3
40
5
10
15
20
25
xy
z
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 16 dari 101
Gambar 1.5 Grafik 3 Dimensi yang diperhalus
Grafik 3 Dimensi Semu
Apabila penafsiran grafik 3D seperti tercetak di muka masih dirasakan
sulit, MATLAB telah menyediakan perintah untuk membuat grafik 3D menjadi
grafik 2D. >> pcolor(x,y,z)
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
>> zlabel('z')
>> shading interp
>> colorbar
Gambar 1.6 Grafik 3 Dimensi semu
1.4 Algoritma & Pemrograman
Algoritma adalah urutan langkah-langkah logis yang dibutuhkan untuk
melakukan suatu tugas spesifik. Algoritma dapat dituliskan dalam bentuk kalimat,
namun lebih umum dituliskan dalam bentuk diagram alir (flow chart).
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 17 dari 101
Tabel 1.2 Simbol algoritma pemrograman
Simbol Nama Fungsi
Garis alir
Menyatakan aliran logika
Terminal
Menyatakan awal atau
akhir suatu program.
Proses
Menyatakan perhitungan
atau manipulasi data.
Masukan/keluaran
Menyatakan masukan
atau keluaran data dan
informasi
Kondisi/keputusan
Menyatakan sebuah
perbandingan, pertanyaan
atau keputusan yang
menentukan lintasan
mana yang akan diikuti.
Konektor Menyatakan perpindahan
halaman.
M-file
Sampai saat ini kita masih menjalankan perintah-perintah serta masukan
data dengan mengetikkannya secara langsung dalam command window. Tentunya
akan sangat merepotkan jika kita dihadapkan pada persoalan yang menuntut
pembuatan program yang sangat panjang berpuluh-puluh bahkan beratus-ratus
baris perintah. Untuk kemudahan dalam membuat program, MATLAB
menyediakan fasilitas m-file atau editor sebagai tempat untuk mengetikkan
perintah dan menyimpan program-program yang dibuat. Penulisan program dalam
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 18 dari 101
m-file dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu skrip m-file dan fungsi m-file.
Berikutnya akan dibahas satu per satu.
Gambar 1.7 Membuka m-file
Aturan penamaan m-file
Penamaan m file baik untuk skrip maupun fungsi memiliki aturan tertentu
yang harus dipatuhi. Berikut ini aturan penamaan m-file pada MATLAB 7.
1. Penamaan harus dimulai dengan huruf latin (a-z atau A-Z) baru kemudian
boleh diikuti dengan angka. Huruf kapital dengan huruf kecil tidaklah
sama (FILE ≠ file)
2. Tidak boleh ada spasi, titik, koma, titik koma, dan segala macam tanda
baca lainnya kecuali underscore ( _ ).
3. Nama sebuah fungsi m-file sebaiknya disamakan dengan nama fungsinya.
4. Sebaiknya tidak menggunakan nama yang telah didefinisikan sebagai
fungsi MATLAB tertentu, contoh roots, fzero,zeros dll.
Cara membuka M-File: File/New/M-File
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 19 dari 101
Skrip m-file
Skrip adalah file sederhana yang tidak memiliki input argumen dan output
argumen. Definisi lain yang mudah diingat, skrip adalah penulisan program
MATLAB dalam m-file dengan bentuk bukan fungsi. Sebagai contoh berikut ini
adalah penulisan perintah-perintah dalam m-file untuk membuat grafik 3D yang
telah dituliskan sebelumnya secara langsung pada command window. File ini
disimpan dengan nama coba_m_file.m
Gambar 1.7 Skrip coba_m_file.m
Untuk memberikan komentar dalam m-file dapat dilakukan dengan
menambahkan % sebelum mengetikkan komentar atau keterangan yang
diperlukan seperti terlihat pada coba_m_file di atas.
Eksekusi atau menjalankan skrip tersebut dapat dilakukan dengan berbagai
cara yang berbeda sbb:
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 20 dari 101
1. Tekan tombol F5 pada keyboard, atau
2. Klik debug kemudian run, atau
3. Aktifkan command window. Ketikkan nama file yang akan dieksekusi. >>coba_m_file.
Fungsi m-file
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya selain dengan skrip kita dapat
juga melakukan pemrograman dalam bentuk lain yaitu fungsi m-file. Penjelasan
mengenai cara membuat fungsi m-file dilakukan dengan pendekatan contoh soal
kasus 1. Namun sebelum menginjak pada pembahasan cara membuat m-file, saya
akan mengajak untuk melihat beberapa fungsi yang telah ada dalam MATLAB
sebagai fungsi built in sebagai berikut.
Tabel 1.3 Fungsi built in MATLAB
Fungsi Keterangan
sin(x) harga sinus dari x, radian sind(x) harga sinus dari x, derajat cos(x) harga kosinus dari x, radian cosd(x) harga kosinus dari x, derajat tan(x) harga tangen dari x, radian tand(x) harga tangen dari x, derajat log(x) logaritma dengan basis bilangan natural e dari x log10(x) logaritma dengan basis bilangan 10 dari x log2(x) logaritma dengan basis bilangan 2 dari x exp(x) eksponensial dari x sqrt(x) akar kuadrat dari x
Kasus 1 [volume tangki penyimpan]
Senyawa kimia yang mudah menguap pada temperatur kamar biasa disimpan
dalam fasa cair pada tekanan uapnya. Dalam kasus ini n-butana (C4H10) di simpan
pada tekanan 2,581 bar dan temperatur 300 K. Penyimpanan skala besar (bulk>50
m3) n-butana seringkali dilakukan dalam tangki yang berbentuk bola (spherical).
Sebuah tangki penyimpan n-butana berbentuk bola. Hitunglah volume tangki jika
bola memiliki jari-jari 2,3,……9,10 m!.
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 21 dari 101
Jawaban:
343bolaV rπ=
Algoritma pemrograman
Penulisan program untuk kasus 1 kita dilakukan dengan dua cara, yaitu
dalam bentuk skrip dan fungsi .
Mulai
Masukan harga Jari-jari, r (m)
Hitung harga Volume bola V = 4/3*π*r^3
Harga Volume Bola (m3)
Selesai
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 22 dari 101
Penulisan program dalam bentuk skrip % kasus_1.m clc clear r = 2:10 V =4/3*pi*r.^3 % Membuat grafik V terhadap r plot(r,V) xlabel('jari-jari [m]') ylabel('Volume [m^3 ]')
Eksekusi kasus_1.m dalam command window >>kasus_1 r = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V = 1.0e+003 * Columns 1 through 5 0.0335 0.1131 0.2681 0.5236 0.9048 Columns 6 through 9 1.4368 2.1447 3.0536 4.1888
2 3 4 5 6 7 8 9 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
jari-jari [m]
Vol
ume
[m3 ]
Gambar 1.8 Volume vs jari-jari tangki penyimpan [skrip]
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 23 dari 101
Penulisan program dalam bentuk fungsi %kasus1.m function V = kasus1(r) V = 4/3*pi*r.^3 % Membuat gambar plot(r,V) xlabel('jari-jari [m]') ylabel('volume [m^3 ]')
Eksekusi fungsi kasus1.m di command window >> kasus1(2:10) ans = 1.0e+003 * Columns 1 through 5 0.0335 0.1131 0.2681 0.5236 0.9048 Columns 6 through 9 1.4368 2.1447 3.0536 4.1888 Eksekusi sebuah fungsi dapat pula dilakukan dengan perintah berikut ini.
feval(‘fungsi’,x1,...,xn) x1,....,xn adalah varibel bebas yang akan dievaluasi. >> feval('kasus1',[2:10])
ans =
1.0e+003 *
Columns 1 through 5
0.0335 0.1131 0.2681 0.5236 0.9048
Columns 6 through 9
1.4368 2.1447 3.0536 4.1888
2 3 4 5 6 7 8 9 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
jari-jari [m]
Vol
ume
[m3 ]
Gambar 1.8 Volume vs jari-jari tangki penyimpan [fungsi]
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 24 dari 101
Kontrol aliran
MATLAB memiliki kontrol aliran yang berguna dalam menentukan
berbagai keputusan selanjutnya sebuah program, diantaranya adalah for, if, while,
dan switch. Pernyataan relasi yang sering digunakan dalam kontrol aliran adalah
sebagai berikut: == sama dengan > lebih besar dari
<= kurang dari sama dengan ~ operator logika tidak
>= lebih dari sama dengan & operator logika dan
~= tidak sama dengan | operator logika atau
< kurang dari
for % ideal.m
clear
clc
R = 8.314; %J/mol.K
T =[310:10:400]; %K
P =1e5; %Pa
for i = 1:10
V(i)=R*T(i)/P; %m3/mol
end
V
if %nilai.m
x = input('masukkan nilai ujian=');
if x >= 80
disp('Nilai A')
elseif x >= 65
disp('Nilai B')
elseif x >= 55
disp('Nilai C')
elseif x >= 45
disp('Nilai D')
else
disp('Nilai E')
end
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 25 dari 101
While %diff.m
dif=1;
x2=7
while dif > 0.0005
x1=x2-cos(x2)/(1+x2);
dif=abs(x2-x1);
x2=x1
end
Switch %pilih.m
method = 'Bilinear';
switch lower(method)
case {'linear','bilinear'}
disp('Method is linear')
case 'cubic'
disp('Method is cubic')
case 'nearest'
disp('Method is nearest')
otherwise
disp('Unknown method.')
end
1.5 Manfaatkan fasilitas help!
Masih sangat banyak sekali bahasan MATLAB yang berlum tercakup
dalam buku ajar ini. Semua hal yang berkaitan dengan operasional MATLAB
sudah ada dalam help MATLAB. Kita tinggal membuka dan mempelajarinya
sendiri. Apabila menemukan kesulitan dalam melakukan pemrograman
menggunakan MATLAB, kita dapat memanfaatkan fasilitas help. Caranya dengan
mengetikkan help kemudian ketikan topik yang kita cari.
Bab 1 Pengenalan MATLAB &Pengantar Pemrograman
Halaman 26 dari 101
Tugas 1: Pengenalan MATLAB dan Membuat Program Sederhana
Nomor 1 (Tutorial MATLAB)
Baca tutorial “Cepat Mahir MATLAB”, Bab 1 Memulai Menggunakan
MATLAB dan Bab 5 Fungsi M-File.
Nomor 2 (Persamaan Antoine)
Buat sebuah algoritma dan program dalam M-file untuk menghitung tekanan uap
murni n-heksana dalam rentang temperatur 25 - 100 oC, dengan menggunakan
persamaan Antoine sbb:
ln /( )P A B T C= − +
Dengan
A = 14.0568 T = Temperatur (K)
B = 2825.42 P = Tekanan uap murni (kPa)
C = -42.7089
Buat pula grafik P terhadap T-nya menggunakan rutin plot dalam MATLAB.
Nomor 3 (Equimolar Counterdiffusion)
Gas amoniak (A) berdifusi melalui pipa sepanjang 0,10 m yang berisi gas N2 (B)
pada tekanan 1,0132 x 105 Pa dan temperatur 298 K. Tekanan pada titik 1 PA,1 =
1,013 x 104 Pa dan pada titik 2 PA,2 = 0,507 x 104 Pa. Diffusivitas DAB = 0,230
x 10-4 m2/s. Laju diffusi gas amoniak (A) dapat dievaluasi menggunakan Hukum
Fick’s berikut ini:
* 21 2( ) [ . /( . )]AB A AA
D P PJ kmol A s mRT z
−=
Δ R = 8314 J/(kmol.K)
Buat sebuah algoritma dan program MATLAB berupa suatu fungsi dalam M-file
untuk menghitung laju diffusi gas amoniak. Petunjuk : program terdiri atas 2 buah m-file. 1 buah untuk menulis fungsi, 1 buah untuk mengeksekusi fungsi. _____________________________________o0o_____________________________________
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 27 dari 101
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
2.1 Definisi Vektor-Vektor TSL (Terhubung Secara Linier)
Sehimpunan vektor x1, x2, ......, xn yang masing-masing berukuran m
disebut terhubung secara linier (TSL) jika dapat ditemukan sehimpunan
konstanta 1 2, ,...., nk k k dengan harga tidak semuanya nol, sehingga:
1 1 2 2 .... 0n nk x k x k x+ + + =
Catatan:
0 adalah vektor yang semua elemennya nol berukuran m.
Contoh himpunan vektor TSL
1 2 3
1 2 32 , 4 , 63 6 9
x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2.2 Definisi Vektor-Vektor TTSL
Sehimpunan vektor x1, x2, ......, xn yang masing-masing berukuran m
disebut tak terhubung secara linier (TTSL) jika TIDAK dapat ditemukan
sehimpunan konstanta seperti pada vektor TSL.
Penentuan keterhubungan linier dari vektor-vektor dengan cara yang telah
didefinisikan diatas tidaklah praktis karena hanya mengandalkan prinsip coba-
coba. Metode praktis yang dapat diterapkan untuk menentukan keterhubungan
linier dari vektor-vektor adalah ortogonalisasi Gram Schmidt.
1 2 3 0( 2) 2 (1) 4 +(0) 6 0
3 6 9 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1k 2k 3k
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 28 dari 101
2.3 Konsep Keortogonalan
Sehimpunan dari n buah vektor berdimensi m (x1, x2, ......, xn) disebut
himpunan ortogonal/saling tegak lurus jika kedua syarat di bawah ini terpenuhi.
( )( )
0 dan
0 dengan , 1, 2,...,
Ti j
Ti j
x x untuk i j
x x untuk i j i j n
= ≠
≠ = =
Sehimpunan vektor-vektor yang ortogonal pasti TTSL, namun TTSL belum tentu
ortogonal. Diagram vennya sbb:
Contoh:
(1) 1 2
3 0.6,
1 1.8x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Pada praktek komputasi seringkali ditemukan ( ) 0Ti jx x ≈ hampir ortogonal.
Untuk ( ) 510Ti jx x −≤ secara praktis bisa dikatakan ortogonal.
Ortogonalisasi Gram-Schmidt
Menegakkan sehimpunan vektor-vektor ortogonal y1,y2,....,yn dari suatu
himpunan vektor-vektor x1, x2,....,xn.
Ortogonal
TTSLS
[ ]1 2
0.63 1 1.8 1.8 0
1.8Tx x ⎡ ⎤
= − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]1 1
33 1 9 1 10
1Tx x
⎡ ⎤= − = + =⎢ ⎥−⎣ ⎦
ortogonal
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 29 dari 101
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1
1 22 2 1
1 1
1 3 2 33 3 1 2
1 1 2 2
1 11 1
1 1 1 1
1.
2.
3.
.
T
T
T T
T T
T Ti i i
i i iT Ti i
y x
y xy x y
y y
y x y xy x y y
y y y y
y x y xi y x y y
y y y y−
−
− −
=
⎡ ⎤= − ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
KK
Vektor-vektor 1 2, , , ny y yK saling tegak lurus satu sama lain dan y1 juga tegak
lurus pada 1 2 1, , , jx x x −K .
Pengujian Keterhubungan Linier Vektor-Vektor
Konstruksi vektor-vektor yang saling tegak lurus (ortogonal) dengan
metode Gram-Schmidt dari vektor-vektor yang akan diuji. Jika ( ) 0T
j jV V = (atau
mendekati nol), maka himpunan vektor yang diuji TSL.
Contoh:
Ortogonalisasikan vektor-vektor kolom dari matrik A berikut ini.
1 2 34 5 67 8 9
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Jawaban:
x1 x2 x3
1 2 34 5 67 8 9
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Menghitung y1
[ ]1 1 1 4 7 Ty x= =
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 30 dari 101
Menghitung y2
( ) [ ]1 1
11 4 7 4 1 16 49 66
7
Ty y⎡ ⎤⎢ ⎥= = + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) [ ]1 2
21 4 7 5 2 20 56 78
8
Ty x⎡ ⎤⎢ ⎥= = + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )
[ ] [ ] [ ]1 22 2 1
1 1
782 5 8 1 4 7 0.8182 0.2727 -0.2727 66
TT T
T
y xy x y
y y
⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Menghitung y3
( ) [ ]1 3
31 4 7 6 3 24 63 90
9
Ty x⎡ ⎤⎢ ⎥= = + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) [ ]2 3
30.8182 0.2727 -0.2727 6 1.6364
9
Ty x⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) [ ]2 2
0.81820.8182 0.2727 -0.2727 0.2727 0.8182
-0.2727
Ty y⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )
( )( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 3 2 33 3 1 2
1 1 2 2
390 1.63643 6 9 1 4 7 0.8182 0.2727 0.2727 0 0 066 0.8182
T T
T T
T
y x y xy x y y
y y y y
y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − − =
Dapat disimpulkan bahwa banyaknya vektor-vektor kolom A yang TTSL
adalah 2.
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 31 dari 101
2.4 Norma vektor dan matrik
Misalkan x adalah vektor kolom/baris berdimensi n
A adalah matrik bujursangkar berdimensi n x n
Norma ke-1
1 211
...n
i ni
x x x x x=
= = + + +∑
11
(norma kolom)n
ijj iA maks a
=
= ∑
Norma ke-2
( )1
22
21
Panjang Vektor
n
ii
x x=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⇒
∑
2Norma spektralA ≡ Memiliki sifat yang lebih baik daripada
1A dan
A∞
, sayangnya tidak mempunyai ungkapan matematis yang sederhana sehingga
jarang digunakan dalam komputasi numeris sebagai gantinya digunakan norma
frobenius.
Norma Frobenius
( )1
22
1 1
n n
ijFi j
A a= =
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑
Norma ke-∞
1
norma baris
iin
iji j
x maks x
A maks a
∞
∞=
=
=
⇒
∑
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 32 dari 101
Contoh:
[ ]1 2 3x = −
3
1 2 311
1 2 3 6ii
x x x x x=
= = + + = + − + =∑
( )1
232 2 2 2 2 2 2
1 2 321
(1) ( 2) (3) 1 4 9 14ii
x x x x x=
⎡ ⎤= = + + = + − + = + + =⎢ ⎥⎣ ⎦∑
3 3iix maks x
∞= = =
2.5 Martabat matrik
Martabat sebuah matrik adalah jumlah maksimum kolom-kolom TTSL
dari matrik yang bersangkutan. Banyak maksimum kolom TTSL sama dengan
banyak maksimum baris TTSL. Perintah dalam MATLAB untuk menentukan
martabat suatu matrik adalah rank.
Contoh: >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 34 5 6
7 8 9A
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 4 7 12+ − + =
2 5 8 15− + + − =
3 6 9 18+ + =
1 2 3 6+ − + =
4 5 6 15− + + =
7 8 9 24+ − + =
118A =
24A∞=
1 4 9 16 25 36 49 64 81 285F
A = + + + + + + + + =
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 33 dari 101
>> rank(A)
ans =
2
Tugas 2 Ortogonalisasi Gram-Schmidt (pilihlah salah satu soal berikut ini!)
Nomor 1
Konstruksi sekumpulan vektor kolom yang saling tegak lurus dari vektor-vektor
kolom matrik A di bawah ini, dengan menggunakan ortogonalisasi Gram-Schmdt.
1 0 1 1 11 1 0 2 2
1 1 2 0 43 1 2 4 00 1 1 1 3
A
− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Nomor 2
Buatlah sebuah program ortogonalisasi Gram-Schmidt dalam bahasa
pemrograman MATLAB. Jangan lupa untuk menyertakan algoritma
pemrogramannya.
2.6 Metode eliminasi Gauss
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 18 9 182 3 3 1174 2 283
x x xx x xx x x
+ + =+ + =+ + =
Matrik perbesarannya adalah sebagai berikut:
3 18 9 | 182 3 3 |1174 1 2 |283
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Langkah 1 Buat elemen di bawah a11 menjadi nol
Hitung:
2121
11
23
ala
= =
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 34 dari 101
3131
11
43
ala
= =
Hitung:
Baris ke-2 baru = baris ke-2 lama – l21 x baris ke-1
[ ] [ ][ ]
232 3 3 |117 x 3 18 9|18
0 9 3 |105
= −
= − −
Baris ke-3 baru = baris ke-3 lama – l31 x baris ke-1
[ ] [ ][ ]
434 1 2 | 283 x 3 18 9 |18
0 23 10 | 259
= −
= − −
3 18 9 | 180 9 3 | 1050 23 10 | 259
A⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Langkah 2
Hitung:
3232
22
239
ala
= =
Hitung:
Baris ke-3 baru = baris ke-3 lama – l32 x baris ke-2
[ ] [ ][ ]
239
7 283 3
0 23 10 |105 0 9 3 | 259
0 0 |
x= − − − − −
= − −
3 18 9 | 180 9 3 | 1050 0 7 / 3 | 28 / 3
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1 2 3
2 37 28
33 3
3 18 9 18 9 3 105
x x xx x
x
+ + =− − =
− = −
3 4x =
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 35 dari 101
2 13x = −
1 72x =
Berikut ini permrograman metode Gauss dalam bahasa MATLAB 7
function x = Gauss(A , c) %GAUSS Solves a set of linier algebraic equations by the Gauss % elimination method. % GAUSS(A,C) finds unknowns of a set of linier algebraic % equations. A is the matrix of coefficients and C is the % vector of constants. % % See also JORDAN, JACOBI. %(c) by N. Mostoufi & A. Constantinides %January 1,1999 c = (c(:).’)’ ; %Make sure it's a column vector n = length(c); [nr nc] = size(A); % Check coefficient matrix and vector of constants if nr ~= nc
error('Coefficient matrix is not square.') end if nr ~= n error('Coefficient matrix and vector of constants do not have the same length') end % Check if the coefficient matrix is singular if det(A) == 0 fprintf('\n Rank = %7.3g\n',rank(A)) error('The coefficient matrix is singular.') end unit = eye(n); % Unit matrix order = [1 : n]; % Order of unknowns aug = [A c]; % Augmented matrix % Gauss elimination for k = 1 : n-1 pivot = abs(aug(k , k)); prow = k; pcol = k;
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 36 dari 101
Kasus1
Kukus lewat jenuh bertemperatur 130 oC mengalir dalam sebuah pipa yang
memiliki diameter dalam 20 mm (D1), dan diameter luar 25 mm (D2). Pipa
diinsulasi setebal 40 mm [(D3 – D2)/2]. Koefisien konveksi kukus (hi) = 1700
% Locating the maximum pivot element for row = k : n for col = k : n if abs(aug(row , col)) > pivot pivot = abs(aug(row , col)); prow = row; pcol = col; end end end % Interchanging the rows pr = unit; tmp = pr(k , :); pr(k , :) = pr(prow , :); pr(prow , :) = tmp; aug = pr * aug; % Interchanging the columns pc = unit; tmp = pc(k , :); pc(k , :) = pc(pcol , :) ; pc(pcol , :) = tmp; aug(1 : n, 1 : n) = aug(1 : n , 1 : n) * pc; order = order * pc; % Keep track of the column interchanges % Reducing the elements below diagonal to zero in the column k lk = unit; for m = k + 1 : n lk(m , k) = - aug(m , k) / aug(k , k); end aug = lk * aug; end x = zeros(n , 1);
% Back substitution t(n) = aug(n , n + 1) / aug(n , n); x(order(n)) = t(n); for k = n - 1 : -1 : 1 t(k) = (aug(k,n+1) - sum(aug(k,k+1:n).*t(k+1:n))) / aug(k,k); x(order(k)) = t(k); end
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 37 dari 101
W/m2.K, dan koefisien konveksi udara (ho) = 3 W/m2.K. Konduktivitas termal
pipa (ks) = 45 W/m.K, dan insulasi (ki) = 0,064 W/m.K. Temperatur udara di luar
insulasi = 25 oC. Perkirakan temperatur T1, T2, dan T3.
Perpindahan panas dari kukus ke pipa.
( ) ( )( ) ( )
1 21 1
2 1ln / / 2i Ss
T Th D T T
D D kπ
π−
− =
Perpindahan panas dari pipa ke insulasi
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 2 2 3
2 1 3 2ln / / 2 ln / / 2s i
T T T TD D k D D kπ π
− −=
Perpindahan panas dari insulasi ke udara
( )( ) ( ) ( )2 3
3 33 2ln / / 2 O a
i
T Th D T T
D D kπ
π−
= −
Ada tiga persamaan linier yang berhasil dirumuskan dari peneracaan energi
tersebut.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 12 1 2 1
1 2 32 1 2 1 3 2 3 2
2 3 3 33 2 3 2
2 2ln / ln /
0ln / ln / ln / ln /
2 2ln / ln /
s si i S
s s i i
i iO O a
k kh D T T h D TD D D D
k k k kT T TD D D D D D D D
k kT h D T h D TD D D D
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ubah sistem persamaan linier menjadi bentuk matrik Ax = c, menjadi sbb:
Kukus, TS Udara, Ta
T1 T2 T3
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 38 dari 101
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
12 1 2 1
1 1
22 1 2 1 3 2 3 2
3 3
33 2 3 2
2 2 0ln / ln /
0ln / ln / ln( / ) ln /
2 20ln / ln /
s si
i Ss s i i
O a
i iO
k kh DD D D D
T h D Tk k k k T
D D D D D D D DT h D T
k k h DD D D D
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
Eksekusi persamaan di command window
>>kasus2 T = 129.7858 129.7678 48.1191
%kasus2.m clc clear % Input data Ts = 130; % oC Ta = 25; % oC D1 = 20e-3; % Diameter dalam pipa, m D2 = 25e-3; % Diameter luar pipa, m Ith = 40e-3; % Tebal insulasi, m D3 = (D2 + 2*Ith); % Diameter pipa + insulasi hi = 1700; % Koefisien transfer panas bagian dalam (W/m2.K) ho = 3 ; % koefisien transfer panas bagian luar (W/m2.K) ks = 45; % Konduktivitas panas baja (W/m.K) ki = 0.064; % Konduktivitas panas insulasi (W/m.K) % Matriks koefisien variabel A = [2*ks/log(D2/D1)+hi*D1 , -2*ks/log(D2/D1) , 0 ks/log(D2/D1) , -(ks/log(D2/D1)+ki/log(D3/D2)) , ki/log(D3/D2) 0 , 2*ki/log(D3/D2) , -(2*ki/log(D3/D2)+ho*D3)]; % Matriks konstanta c = [hi*D1*Ts ; 0 ; -ho*D3*Ta]; % Menyelesaikan sis pers. linier dengan fungsi invers MATLAB T = inv(A)*c
Bab 2 Sistem Persamaan Linier
Halaman 39 dari 101
Tugas 3: Menyelesaikan Sistem Persamaan Aljabar Linier Secara Simultan Suatu Sistem Distribusi Uap Dalam Sebuah Pabrik Kimia. Nomor 1
Sebuah sistem persamaan linier dirumuskan dari Neraca massa & energi distribusi
uap pabrik (ditampilkan di bawah). Sistem tersebut terdiri dari 14 buah variabel xi
dengan i = 3,...,16 belum diketahui, dan yi adalah parameter yang telah diketahui.
xi dan yi dalam 1000 lb/h. Dengan menggunakan MATLAB hitunglah 14 variabel
(xi, i=3,…,16) yang belum diketahui itu.
3 4 5 1 2 5 4
3 6
7
5 7 8 9 10 15 7 8 3
8 9 10 11 12 13 7
6 15 6 5
3 6 12 16 1 9
181.60 132.57 5.11.17 0132.57 0.745 61.2
99.18.4
24.21.15(181.60) 1.15 0.4 19.7
181.
x x x y y y yx x
xx x x x x x y y yx x x x x x yx x y y
x x x x y y
− − − − = − − + + =
− =
− =
+ − − − + = + − =
+ + + − − = − = −
− = − =
− + − + + = − + = −
12 16 1 9
11 1
4
8 16
5 14
9
12 14 16 9
60 4.594 0.11 1.0235 2.45 35.050.0423(181.60) 0.0423 2.880.016(181.60) 0
0.147 00.07 0
0.0805(181.60) 00.4 97.9
x x y yx y
xx xx x
xx x x y
− − = − + + =
− + = =− + =− =
− =
− + =
− + = − = −
Nomor 2
Ketik ulang program Gauss.m pada m-file MATLAB. Gunakan fungsi gauss itu
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier pada nomor 1.
________________________________o0o_______________________________
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 40 dari 101
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Persamaan Linier cmxy +=
Gambar 3.1 Kurva linier
Persamaan Tak Linier
Contoh:
Gambar 3.2 Kurva tak linier
y x=y
x LINIER
exp( )y x=y
x NON-LINIER
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 41 dari 101
Berikut ini beberapa contoh Persamaan Tak Linier
Tabel 3.1 Contoh Persamaan Tak linier
Jenis Pers.
Tak Linier Contoh
Persamaan Kuadrat 2 4 3 0x x− + =
Persamaan Polinomial 4 3 26 7 6 8 0x x x x+ + − − =
Persamaan Transenden 2sin 2exp( ) 0x x− − =
Persamaan Logaritmik 2 2ln(1 ) 2exp( ) 0x x+ − − =
Dalam aplikasinya di bidang teknik kimia, persamaan tak linier memiliki peranan
yang sangat penting.
Tabel 3.2 Aplikasi Persamaan Tak Linier dalam bidang teknik kimia
Aplikasi Pers. Tak Linier Contoh
Neraca Massa dan Energi,
0 , , 0out inT T
o out out in inP i P i
To To
H N C dT N CεΔ + − =∫ ∫
Termodinamika
Persamaan gas nyata/kubik,
Kesetimbangan reaksi
kimia,
(1
2
RT aPV b V
= −−
0 0
0 0 0
0
1ln 0o oT To o op p
T T
C CG H H dTK dTRT RT T R R T
Δ ΔΔ −Δ Δ+ + + − =∫ ∫
Operasi Teknik Kimia, dll.
(2
1
(1 ) 0 n
j jF
j j
z FF q
αα φ=
⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
∑
1) Persamaan kubik tersebut diusulkan oleh Johannes Diderik van der Waals (1873), Fisikawan Belanda, peraih nobel Fisika pada tahun 1910.
2) Persamaan Underwood untuk distilasi multikomponen.
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 42 dari 101
Klasifikasi persamaan tak Linier
Berdasarkan jumlah banyaknya persamaan tak linier dibagi menjadi dua
1. Persamaan Tunggal
Persamaan tak linier hanya satu buah.
Contoh: 0322 =−+ xx
2. Persamaan Serentak/Sistem Persamaan
Persamaan tak linier terdiri atas minimal dua buah.
Contoh : ( ){ }( ){ } 02/cos2
02/sin2=−−=+−
yxxyxx
Solusi Persamaan Tak Linier Tunggal
Mencari akar-akar x yang membuat harga y atau f(x) menjadi nol.
?....0)( =→= xxf
Ada berbagai metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
persaman tak linier tunggal, diantaranya:
Metode Penyetengahan Interval
Metode Substitusi Berurut
Metode Wegstein
Metode Interpolasi Linear
Metode Newton-Raphson,dll.
Dalam diktat ini hanya akan diterangkan metode penyetengahan interval dan
metode Newton-Raphson..
0)( =xf
( )( )
( ) 0,...,,...
0,...,,0,...,,
21
212
211
=
==
NN
N
N
xxxf
xxxfxxxf
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 43 dari 101
Metode penyetengahan interval
Tabel 3.3 Karakteristik metode penyetengahan interval
No Keunggulan Kelemahan
1. Sederhana Tebakan awal terdiri atas dua buah [a,b]
dan harus memenuhi f(a)*f(b)<0
2. Pasti konvergen Laju konvergensi relatif lebih lambat
daripada metode Newton-Raphson
Algoritma metode penyetengahan interval
1. Mulai
2. Definisikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya dan tetapkan
toleransinya.
Misalkan: f(x) = log(x) . Tol = 1e-5
3. Tetapkan dua buah tebakan awal a dan b.
Misalkan: a = 0.1 dan b = 10.
4. Hitung harga f(a) dan f(b)
Hitung: f(0.1) = log(0.1) = -1
f(10) = log(10) = 1
5. Periksa apakah syarat f(a) * f(b) < 0 terpenuhi. Jika syarat terpenuhi proses
dilanjutkan ke langkah berikutnya. Jika tidak kembali ke langkah 2.
Periksa: f(0.1) * f(10) = -1*1 = -1 < 0. Syarat terpenuhi proses berlanjut ke
langkah berikutnya.
6. Hitung harga 2/)( bam +=
Hitung: m = (0.1 + 10)/2 = 5.05
7. Hitung harga f(m)
Hitung: f(5.05) = log(5.05) = 0.7033
8. Periksa apakah f(a) * f(m) > 0 terpenuhi. Jika terpenuhi, harga a diganti
dengan m. Jika tidak terpenuhi harga b yang diganti dengan m.
Periksa: f(0.1) * f(5.05) = -1*0.7033 = -0.7033 < 0. Syarat tidak terpenuhi
harga b diganti dengan m, sehingga b yang baru = 5.05.
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 44 dari 101
9. Periksa kriteria iterasi, |(a - b)/a| > Tol. Jika kriteria iterasi terpenuhi proses
kembali ke langkah 5. Jika tidak dilanjutkan ke langkah berikutnya..
Periksa: |(0.1 – 5.05)/0.1| = 49.5 > 1e-5. Kriteria iterasi terpenuhi, maka
kembali ke langkah 5.
10. Hitung harga akar pembuat nol, 2/)( bax +=
11. Selesai
Algoritma yang telah disusun dimuka, dapat juga dituliskan dalam bentuk
diagram Alir (flow chart) sebagai berikut:
Gambar 3.3 Algoritma metode penyengahan interval
mulai
Definisikan f(x) dan toleransi
Hitung harga: f(a), f(b)
Tetapkan harga a dan b
f(a)*f(b)<
0
1
ya
tidak
1
m=(a+b)/2
Hitung harga: f(m)
f(a)*f(m)
a=m f(a)=f(m)
yb=m
f(b)=f(m)
tid
tidak
ya
x*=(a+b)/2
Selesai
|(a-b)/a|>tol
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 45 dari 101
Pemrograman metode penyetengahan interval dengan menggunakan bahasa
MATLAB.
Contoh:
Carilah akar-akar persamaan kuadrat 2 4 3 0x x+ + = dengan menggunakan metode
penyetengahan interval!.
Perintah pada command window sbb: >>biseksi(‘kuadrat’,-2,1,1e-6)
ans =
-1.0000
>> biseksi('kuadrat',-2,-4,1e-6)
ans = -3.0000
Dari perhitungan menggunakan metode bisection diperoleh akar-akar dari
persamaan kuadrat adalah [-1,-3].
biseksi.m
function x = biseksi(fungsi,a,b,tol) % a = tebakan awal pertama, b = tebakan awal kedua % tol = toleransi while abs((a - b)/a) > tol fa = feval(fungsi,a); fb = feval(fungsi,b); if fa*fb > 0 error('masukan tebakan a dan b yang berbeda') end m = (a + b)/2; fm = feval(fungsi,m); if fm*fa > 0; a = m; else b = m; end end x=(a+b)/2;
%kuadrat.m function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3;
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 46 dari 101
Metode Newton-Raphson
Tabel 4.3 Karakteristik metode penyetengahan interval
No Keunggulan Kelemahan
1. Hanya butuh satu tebakan
awal.
Kekonvergenan adakalanya gagal
dicapai.
2. Laju konvergensi cepat
Gambar 3.4 Metode newton-Raphson
1
1 1
( ) ( ) 0 ( )'( ) n n nn
n n n n
f x f x f xf x gradienx x x x+
+ +
− −= = =
− −
1( )'( )
nn n
n
f xx xf x+ = −
Metode Newton-Raphson.
Algoritma Metode Newton-Raphson
1. Mulai
2. Definisikan persamaan tak linier dan turunannya.
Misalkan: f(x) = log(x).
)10ln/(1)(' xxf =
3. Tetapkan harga tebakan awal ( 0x ) dan besar toleransinya
Misalkan: 1.00 =x . Tol = 1e-5
4. Nyatakan 0xx = dan 10 += xx .
nx
( )nf x
1nx +0 x
y
1( )'( )
nn n
n
f xx xf x+ = −
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 47 dari 101
x = 0.1
x0=0.1+1=1.1
5. Periksa kriteria iterasi |(x – x0)/x| > Tol. Jika kriteria iterasi terpenuhi
proses dilanjutkan. Jika kriteria iterasi tidak terpenuhi proses dihentikan.
Akar pembuat nol diperoleh.
6. Nyatakan x0 = x.
x0 = 0.1
7. Hitung harga f(x0) dan f’(x0).
f(0.1) = -1
f’(0.1) = 1/(0.1*ln10) = 4.343
8. Hitung harga )(')(
0
00 xf
xfxx −=
3303.0343.4
)1(1.0 =−
−=x
9. Kembali ke langkah 5
10. Selesai.
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 48 dari 101
Gambar 3.5 Algoritma metode Newton-Raphson
Mulai
Nyatakan: x = x0
x0 = x + 1
tidak
ya
Selesai
Nyatakan: x0 = x
Hitung harga: f(x0) dan f’(x0)
Hitung harga: x=x0-f(x0)/f’(x0)
Definisikan f(x) dan f’(x),
x0, tol
Tampilkan x* = x
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 49 dari 101
Kita gunakan contoh kasus yang sama dengan contoh pada metode bisection. 2 4 3 0
2 4
y x xdy xdx
= + + =
= +
>> [x iter]=NewRap('kuadrat','dkuadrat',2,1e-6)
x =
-1.0000
%kuadrat.m function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3;
%NewRap.m
function [x iter] = NewRap(fungsi,dfungsi,x0,tol) % fungsi = fungsi yang akan dicari akar-akarnya % dfungsi = turunan pertama fungsi % x0 = tebakan awal % tol = toleransi itermax = 100; iter = 0; x = x0; x0 = x + 1; % loop iterasi while abs((x - x0)/x) > tol & iter <= itermax iter = iter + 1; x0 = x; fx= feval(fungsi,x); df= feval(dfungsi,x); % Rumus Newton-Raphson x = x0 - fx/df; end
%dkuadrat.m function dy = dkuadrat(x) dy = 2*x+4;
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 50 dari 101
iter =
6
>> [x iter]=NewRap('kuadrat','dkuadrat',-4,1e-6)
x =
-3.0000
iter =
5
Dari perhitungan menggunakan metode Newton Raphson diperoleh akar-akar dari
persamaan kuadrat adalah [-1,-3].
Subrutin dalam MATLAB untuk persamaan tak linier tunggal
MATLAB telah menyediakan program untuk menyelesaikan persamaan linier
tunggal yang telah menyatu dengan program MATLAB itu sendiri. Ada dua
subrutin yang umum digunakan, yaitu roots dan fzero.
Tabel 4.4 Perbandingan subrutin roots terhadap fzero
Rutin Keunggulan Kelemahan
roots.m 1. Seluruh akar dapat diketahui
dengan hanya sekali
menjalankan rutin.
2. Tidak membutuhkan tebakan
mula.
1. Hanya untuk pers. kuadrat
dan polinomial.
fzero.m 1. Solusi bagi segala jenis pers
tak linier.
1. Hanya satu buah akar
yang dapat diketahui
sekali menjalankan rutin.
2. Membutuhkan tebakan
mula.
Penggunaan roots:
Penulisan perintah roots di Command window MATLAB
C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1)
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 51 dari 101
C = [C(1) C(2)........C(N) C(N+1)
roots(C)
Contoh persamaan kuadrat 2 4 5 0x x+ − = maka C(1)=1, C(2)=4, C(3)= -5.
Carilah akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini. 2 4 5 0x x+ − =
MATLAB Command window >> C=[1 4 -5] C = 1 4 -5 >> roots(C) ans = -5 1
Penggunaan fzero:
Penulisan fzero di MATLAB Command window
x =fzero(‘fungsi’,x0) Contoh penggunaan fzero:
2 4 3 0x x+ + = Penulisan contoh di MATLAB Command window >> fzero('x^2+4*x+3',0) ans = -1
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 52 dari 101
Untuk keteraturan dan kemudahan pemanggilan akan lebih baik mendefinisikan
fungsi pada m-file.
Baru kemudian kita panggil fungsi dari MATLAB Command window >> x = fzero('kuadrat',0)
x =
-1
Untuk mencari akar lainnya, ubah tebakan awalnya. >> x = fzero('kuadrat',-4)
x =
-3.0000
Jawaban:
Persamaan Van der Waals
2
RT aPV b V
= −−
2 227 1 dan
64 8c c
c c
R T RTa bP P
= =
Kasus 3 Aplikasi subrutin roots
%kuadrat.m
function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3
Kasus 3 Tekanan uap n-butana pada temperatur 350 K adalah 9.4573 bar. Hitunglah volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada Kondisi tersebut dengan menggunakan persamaan gas Van der Waals. (R=8.314j/mol.K ;Tc=425.1 K; Pc=37.96 bar)
Transformasi ke dalam bentuk umum
pers.polinomial
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 53 dari 101
2 2
3 2 2
3 2
( )( ) ( )( )
( ) 0
P V b V RTV a V bP V bV RTV aV abPV Pb RT V aV ab
− = − −
− = − +
− + + − =
Eksekusi program kasus3.m. Masukan dan hasil di Command Window
>>kasus3 masukan tekanan, Pa = 9.4573e5 masukan temperatur, K = 350 vol = 2.6669 0.3354 0.1910
% kasus3.m
clear clc % Masukan kondisi operasi P = input('masukan tekanan, Pa = '); T = input('masukan temperatur, K = '); R = 8314 ; %J/(kmol.K) Pc = 37.96e5; %Pa Tc = 425.1; %K % Hitung konstanta a & b a = (27/64)*R^2*Tc^2/Pc; b = (1/8)*R*Tc/Pc; % Definisikan koefisien polinomial VdW=[P, -(P*b + R*T), a, -a*b]; vol = roots(VdW) %liter/mol
Kasus 4 Aplikasi subrutin fzero
Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sbb. Tentukan temperatur pada saat Cp = 1 kJ/kg.K !
6 15.040.716 4.257.
kJCp E Tkg KT
− ⎡ ⎤= − + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 54 dari 101
Langkah 1 Membuat program fungsi yang akan dinolkan.
Langkah 2 Membuat program pengeksekusi
Langkah 3 Eksekusi program kasus4.m
Masukan dan hasil di Command Window
Tugas 4 Menyelesaikan persamaan tak linier tunggal dengan menggunakan subrutin MATLAB
Tekanan uap n-butana pada temperatur 350 K adalah 9.4573 bar. Volume molar
uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi tersebut dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan kubik Redlich-Kwong-Soave sebagai berikut:
( )RT aP
V b V V bα
= −− +
Dalam bentuk persamaan polinomial menjadi sebagai berikut::
%KapPns.m
function f = KapPns(T,cp) %Persamaan tak linier yang akan dinolkan f = cp - 0.716 + 4257e-6*T - 15.04/T^0.5;
% kasus4.m
clear clc cp = input('masukan kapasitas panas,kJ/kg.K = '); T = fzero(@(T) KapPns(T,cp),100)
>> kasus4 masukan harga kapasitas panas,kJ/kg.K = 1 T = 189.7597
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 55 dari 101
3 2 2( ) 0Z Z A B B Z AB− + − − − =
Dengan:
bPBRT
= 2 2
aPAR Tα
=PVZRT
=
2 20.4278 C
C
R TaP
= ; 0.0867 C
C
RTbP
=
2
1 1C
TST
α⎡ ⎤⎛ ⎞
= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦; 20.48508 1.55171 0.15613S ω ω= + −
(R=8.314j/mol.K ;Tc=425.1 K; Pc=37.96 bar; ω = 0.1931). Hitunglah volume
molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi itu !!.
Sistem Persamaan Tak Linier
Sistem persamaan tak linier merupkan persamaan tak linier yang terdiri atas lebih
dari satu buah persamaan tak linier.
Solusi Sistem Persamaan Tak Linier
Metode Newton
1 2
1 2
( , ) 0( , ) 0
f x xf x x
==
(1) (1)1 1(1) (1)
1 2 1 1(1) (1)
(1) (1)2 2 2 2
1 2
| |
| |
f fx xx x ff f fx xx x
δ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
J fδ = −( 1) ( )n nx x ρδ+ = +
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 56 dari 101
function [xnew , iter] = Newton(fnctn,x0,rho,tol,varargin) %(c) by N. Mostoufi & A. Constantinides,January 1, 1999 %Initialization if nargin < 4 | isempty(tol) tol = 1e-6; end if nargin < 3 | isempty(rho) rho = 1; end x0 = (x0(:).')'; % Make sure it's a column vector nx = length(x0); x = x0*1.1; xnew = x0; iter = 0; maxiter = 100; while max(abs(x-xnew)) > tol & iter < maxiter iter = iter + 1; x = xnew; fnk = feval(fnctn,x,varargin{:}); % Set dx for derivation for k = 1:nx if x(k) ~= 0 dx(k) = x(k) / 100; else dx(k) = 1/100; end end % Calculation of the Jacobian matrix a = x; b = x; for k = 1 : nx a(k) = a(k) - dx(k); fa = feval(fnctn,a,varargin{:}); b(k) = b(k) + dx(k); fb = feval(fnctn,b,varargin{:}); jacob(:,k) = (fb - fa) / (b(k) - a(k)); a(k) = a(k) + dx(k); b(k) = b(k) - dx(k); end % Next approximation of the roots if det(jacob) == 0 xnew = x + max([abs(dx), 1.1*tol]); else xnew = x - rho * inv(jacob) * fnk; end end if iter >= maxiter disp('Warning : Maximum iterations reached.') end
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 57 dari 101
Contoh sistem persamaan tak linier. 3 2
1
2 32
( , ) 3 1/ 2 0
( , ) 3 3 / 2 0
f x y x xy
f x y x y y
= − − =
= − − =
Langkah 1 Buat terlebih dahulu fungsi sistem persamaan taklinier dalam m-file.
Langkah 2 Buat program pengeksekusi menggunakan Newton.m pada m-file yang
berbeda atau dapat juga langsung di command window.
Langkah 3 Jalankan program pengeksekusi. Klik debug/run
Langkah 2 dapat di loncat dengan menuliskan langsung perintah eksekusi pada
Command window >> [x iter] = Newton('sistem',[1 2])
x =
2.5198
1.5874
iter =
7
Subrutin dalam MATLAB untuk sistem persamaan taklinier
Solusi sistem persamaan taklinier dapat menggunakan fsolve pada MATLAB.
Contoh: 3 2
2 3
3 1/ 2
3 3 / 2
x xy
x y y
− =
− =
Langkah 1 Buat terlebih dahulu fungsi sistem persamaan taklinier dalam m-file.
%run_sistem.m [x iter] = Newton('sistem',[1 2])
%sistem.m function f = sistem(x) f=[x(1)^3-3*x(1)*x(2)^2-0.5 3*x(1)^2*x(2)-x(2)^3-sqrt(3)/2]
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 58 dari 101
Langkah 2 Buat program pengeksekusi menggunakan fsolve pada m-file yang
berbeda atau dapat juga langsung di command window.
Langkah 3 Jalankan program pengeksekusi.
Kasus 5
Reaksi reformasi kukus berlangsung menurut rangkaian reaksi kesetimbangan
berikut:
4( ) 2 ( ) ( ) 2( )
( ) 2 ( ) 2( ) 2
3 R-1
R-2g g g g
g g g
CH H O CO H
CO H O CO H
+ +
+ +
Pada suhu 2000 K harga konstanta kesetimbangan untuk masing-masing reaksi
adalah 1,930x10-4 dan 5,528. Tentukan komposisi kesetimbangan komponen-
komponen apabila Gas umpan berkomposisi 20% CH4(g) dan 80% H2O(g)
berada pada kondisi suhu 2000 K dan tekanan 1 atm.
function f = sistem(x) f=[x(1)^3-3*x(1)*x(2)^2-0.5 3*x(1)^2*x(2)-x(2)^3-sqrt(3)/2]
>>[X,FVAL] = fsolve('sistem',[1 2]) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. X = 2.5198 1.5874 FVAL = 1.0e-010 * 0.1930
0.0966
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 59 dari 101
Jawaban
Misal ditetapkan basis perhitungan 10 mol gas umpan
1
2
derajat reaksi dari reaksi pertamaderajat reaksi dari reaksi kedua
ee==
Fraksi mol kesetimbangan setiap komponen dapat dinyatakan sebagai berikut:
1 2
110 2COe eY
e−
=+
2
1 2
1
310 2H
e eYe
+=
+
2
1 2
1
810 2H O
e eYe
− −=
+
2
2
110 2COeY
e=
+
4
1
1
210 2CH
eYe
−=
+
Persamaan konstanta kesetimbangan dinyatakan sebagai berikut:
2 2 2
4 2 2
3 2
1 2 CO H CO H
CH H O CO H O
Y Y P Y YK K
Y Y Y Y= =
Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
function y = KsT(e,K1,K2) %Sistem Pers.tak linier yang akan dinolkan y = [(e(1)-e(2))*(3*e(1)-e(2))^3 /((2-e(1))*(8-e(1)… - e(2))*(10+2*e(1))^2) - K1 e(2)*(3*e(1)+e(2)) / ((e(1)-e(2))*(8-e(1)-e(2))) - K2];
clear clc K1 = input(‘Masukan konstanta kst. reaksi 1 = '); K2 = input(‘Masukan konstanta kst. reaksi 2 = '); %Pencari nol fungsi KsT.m e = fsolve(@(e) KsT(e,K1,K2),[1 0.5])
( )( )( )( )( )
31 2 1 2
121 1 2 1
32 8 10 2
e e e eK
e e e e− −
=− − − +
( )( )( )
2 1 22
1 2 1 2
38
e e eK
e e e e+
=− − −
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 60 dari 101
Eksekusi di MATLAB command window
Tugas 5 Menyelesaikan sistem persamaan tak linier dengan menggunakan subrutin MATLAB Suatu reaksi elementer A → B + C berlangsung dalam sebuah reaktor tangki
berpengaduk kontinu. Laju umpan murni A, 12 mol/s pada temperatur 25 oC.
Reaksi bersifat eksotermik, untuk itu digunakan air pendingin bertemperatur 50
oC untuk menyerap kalor yang dibebaskan reaksi. Asumsi konstanta kapasitas
panas sama baik di sisi reaktan maupun produk, neraca energi untuk sistem ini
dirumuskan sebagai berikut:
, 0( ) ( )Ao R Ao P A aF X H F C T T UA T T− Δ = − + −
FA0 = laju molar umpan, mol/s.
X = konversi
∆HR = Kalor reaksi, J/(mol.K)
CP,A = kapasitas panas A, J/(mol.K)
T = temperatur reaktor, oC
T0 = temperatur referensi, 25 oC
Ta = temperatur air pendingin, oC
U = koefisien pindah panas total, W/(m2.K)
>>kasus5 Masukan harga konstanta kst. reaksi 1 = 1.93e-4 Masukan harga konstanta kst. reaksi 2 = 5.528 Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. e = 0.7480 0.6920
Bab 3 Persamaan Tak Linier
Halaman 61 dari 101
A = luas pindah panas, m2
Untuk reaksi orde pertama konversi dirumuskan sebagai berikut:
1kX
kττ
=+
Dengan τadalah waktu tinggal dalam sekon, dan k adalah laju reaksi spesifik
dalam s-1 dihitung dengan menggunakan persamaan Arrhenius:
650 exp[ 3800 /( 273)]k T= − +
Hitunglah harga temperatur reaktor dan konversinya!.
(∆HR=-1500 kJ/mol; τ=10 s; CP,A = 4500 J/(mol.K); UA/FA0 =700
W.s/(mol.K).
_______________________________o0o________________________________
Bab 4 Optimisasi
Halaman 62 dari 101
Bab 4 Optimisasi
Optimisasi Menggunakan MATLAB
Untuk mencari harga minimum dan maksimum kita dapat menggunakan perintah
fminsearch. Berikut ini cara penulisannya.
[x,fval,exitflag] = fminsearch(fun,x0) keterangan:
fun = Fungsi yang akan diminimumkan atau dimaksimumkan
x0 = Tebakan awal
x = Harga x yang menyebabkan fungsi minimum atau maksimum
fval = Nilai maksimum atau minimum.
exitflag = Kriteria penghentian proses iterasi. Harga x mencapai kekonvergenan
jika exitflag bernilai 1.
-3-2
-10
12
3
-2
0
2
-10
-5
0
5
XY
F(X
,Y)
Titik maksimum
Titik minimum
Bab 4 Optimisasi
Halaman 63 dari 101
Optimisasi Variabel Tunggal
Carilah titik minimum 2 4 3 0x x+ + = dengan menggunakan subrutin fiminsearch
dalam MATLAB. >> [x fval exitflag]=fminsearch('kuadrat',2)
x =
-2.0000
fval =
-1
exitflag =
1
Optimisasi Variabel Jamak
Kasus12
Carilah titik minimum dari persamaan multivariabel berikut ini. 2 2
1 2( 3) 0.5( 4) 3y x x= − + − +
Jawaban
>> kasus12
x =
3.0000 4.0000
fval =
3.0000
exitflag =
1
%multivaribel.m function y = multivariabel(x); y = (x(1)-3)^2 + 0.5*(x(2)-4)^2 + 3;
%kasus12.m [x,fval,exitflag] = fminsearch('multivariabel',[1,16])
Bab 4 Optimisasi
Halaman 64 dari 101
Tugas 11 Optimisasi
Nomor 1: Temperatur Optimal Dalam Reaktor kf
krA P⎯⎯→←⎯⎯ Diselenggarakan dalam reactor batch. Diketahui kf = 108e-5000/T detik-
1 dan kr = 1016e-10000/T detik-1, dimana T dalam K Neraca massa P dalam
reaktor partaian:
( )
( )
Pf A r P f Ao P r P
Pf r P f Ao
dC k C k C k C C k Cdt
dC k k C k Cdt
= − = − −
+ + =
Hasil integrasi persamaan ini adalah:
( )( )1 f rk k tf
P
Ao f r
k eCC k k
− +−=
+
CA0 = konsentrasi A mula-mula
Hitung temperatur optimal yang menyebabkan perolehan maksimal produk P
pada waktu reaksi 1 detik.
Nomor 2: Rosenbrock
Carilah titik minimum dari fungsi multidimensional Rosenbrock berikut. 2 2 2
2 1 1( ) 100( ) (1 )f x x x x= − + −
________________________________o0o_______________________________
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 65 dari 101
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
5.1 Regresi Linier
Misalkan kita memiliki sekumpulan data-data sbb
1 1 2 2( , ), ( , ),....., ( , )n nx y x y x y
Kemudian diperoleh suatu persamaan matematik untuk merepresentasikan data-
data eksperimental tersebut berupa persamaan linier.
0 1y a x a= +
Jumlah kuadrat terkecil dari selisih antara model dengan data sbb
[ ] [ ]2 2model 0 1
1 1( )
n n
i i i ii i
S y x y a x a y= =
= − = + −∑ ∑
Turunan terhadap parameter 0a
( )0 110
2 0n
i i ii
S x a x a ya =
∂= + − =
∂ ∑
( )0 11
0n
i i ii
x a x a y=
+ − =∑
20 1
1 1 1
n n n
i i i ii i i
x a x a x y= = =
+ =∑ ∑ ∑ ............................................(i
Turunan terhadap parameter 1a
( )0 111
2 0n
i ii
S x a a ya =
∂= + − =
∂ ∑
( )0 11
0n
i ii
a x a y=
+ − =∑
0 11 1
n n
i ii i
x a na y= =
+ =∑ ∑ .............................................................(ii
Persamaan (i dan (ii dapat dijelmakan dalam bentuk matrik sbb:
2
1 1 10
1
1 1
n n n
i i i ii i i
n n
i ii i
x x x yaa
x n y
= = =
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑ ∑
∑ ∑
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 66 dari 101
Harga paramter a0 dan parameter a1 dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem
persamaan linier di atas.
Kasus 1
Harga konduktivitas alumunium pada berbagai temperatur sbb
T (K) 300 400 500 600 800
k (Btu/(h×ft2)(°F/ft) 273 240 237 232 220 Model matematik dapat diwakili dengan menggunakan persamaan linier
0 1k a T a= +
Untuk mencari harga a0 dan a1 dapat menggunakan metode jumlah selisih kuadrat
terkecil seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. %konduktivitas.m clear clc T=[4,5,6,8]*100; % Absis k=[240,237,232,220]; % Ordinat n=length(k); A = [sum(T.^2),sum(T) sum(T), n]; c = [sum(k.*T) sum(k)]; a = A\c kmod = a(1)*T +a(2); S = sum((k-kmod).^2)
Hasil pada command window >>konduktivitas a = -0.0511 261.6571 S = 3.8857
Subrutin MATLAB untuk regresi persamaan linear dan polinomial dapat
menggunakan perintah sbb:
[P,S] = polyfit(x,y,n)
Kasus 1 merupakan persamaan linier, maka n yang digunakan dalam subrutin
polyfit adalah 1. Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
data-data n=orde polinom
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 67 dari 101
%konduktivitas2
T = [4,5,6,8]*100; % Absis
K = [240,237,232,220]; % Ordinat
[P,S] = polyfit(T,k,1)
>>konduktivitas2
P =
-0.0511 261.6571
S =
R: [2x2 double]
df: 2
normr: 1.9712
5.2 Linierisasi
Seringkali ditemukan persamaan tak linier dalam permasalah real teknk kimia.
Tentunya kita tak dapat begitu daja mengalurkan data-data dengan menggunakan
pemodelan linier. Agar dapat dimodelkan dengan pemodelan linier, maka
persamaan tak linier itu harus dilinierisasi terlebih dahulu. Berikut ini
pemaparannya.
bxy ae= ln ln( )ln ln
bxy aey bx a== +
Tabel 5.1 Hasil linearisasi persamaan-persamaan tak linier
Tipe persamaan absis ordinat slope intersep
y ax b= + x y a b
bxy ae= x ln(y) b ln(a)
( )xy
ax b=
+ x x/y a b
/y a x b= + 1/x y a b
LINIERISASI
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 68 dari 101
by ax c= + ln(x) ln(y-c) b ln(a)
Kasus
Suatu reaksi berorde n memiliki laju reaksi sbb:
nAr kC=
Apabila volume reaktor partaian (batch) konstan, persamaan laju reaksi menjadi
sbb:
nAA
dC kCdt
= −
Tentukan orde laju reaksi tersebut jika diketahui data-data eksperimen sbb:
Tabel 5.2 Konsentrasi, waktu, dan laju perubahannya
Waktu (s) CA (mol/liter) dCA/dt (mol/liter.s)
0 1.0 -0.10000
10 0.50 -0.02500
20 0.33 -0.01110
30 0.25 -0.00625
40 0.20 -0.00400
Jawaban:
nAA
dC kCdt
= −
ln ln lnAA
dC n C kdt
⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠
%linierisasi
t = [0:10:40]; % waktu
CA = [1,0.50,0.33,0.25,0.20]; %konsentrasi A
dCAdt = -[0.1,0.025,0.0111,0.00625,0.00400]; %Laju
y = log(-dCAdt);
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 69 dari 101
x = log(CA);
[P S] = polyfit(x,y,1);
n = P(1) %orde reaksi
k = exp(P(2)) %konstanta laju reaksi
Hasil pada command window n = 1.9982 k = 0.1002
5.3 Regresi Linier Peubah Banyak
1 2 0 1 1 2 2( , )y x x a x a x a= + +
20 1, 1 2, 2
1( )
n
i i ii
S y a x a x a=
= − − −∑
1, 0 1, 1 2, 210
2 ( ) 0n
i i i ii
S x y a x a x aa =
∂= − − − − =
∂ ∑
1,
21, 0 1, 2, 1 1, 2
1( ) 0
i
n
i i i i ii
x y x a x x a x a=
− − − =∑
1,
20 1, 2, 1 1, 2 1,
1 1 1 1i
n n n n
i i i i ii i i i
x a x x a x a x y= = = =
+ + =∑ ∑ ∑ ∑
2, 0 1, 1 2, 211
2 ( ) 0n
i i i ii
S x y a x a x aa =
∂= − − − − =
∂ ∑
2,
22, 1, 2, 0 1 2, 2
1( ) 0
i
n
i i i i ii
x y x x a x a x a=
− − − =∑
2,
21, 2, 0 1 2, 2 2,
1 1 1 1i
n n n n
i i i i ii i i i
x x a x a x a x y= = = =
+ + =∑ ∑ ∑ ∑
0 1, 1 2, 212
2 ( ) 0n
i i ii
S y a x a x aa =
∂= − − − − =
∂ ∑
1, 0 2, 1 21 1 1
n n n
i i ii i i
x a x a na y= = =
+ + =∑ ∑ ∑
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 70 dari 101
Ketiga buah persamaan linier tersebut dapat dijelmakan dalam matrik sbb:
21, 1, 2, 1, 1,
1 1 1 10
21, 2, 2, 2, 1 2,
1 1 1 12
1, 2,1 1 1
n n n n
i i i i i ii i i i
n n n n
i i i i i ii i i i
n n n
i i ii i i
x x x x x ya
x x x x a x ya
x x n y
= = = =
= = = =
= = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
Kasus
Perhatikan data-data reaksi non-isotermal suatu reaksi reversibel berikut ini: rA P⎯⎯→
Tabel 5.3 Data laju reaksi
CA(mol/liter) Temperatur (K) Laju reaksi (mol/liter.s)
1
0.023
1.15
0.87
1.05
0.75
0.55
0.65
373
395
365
400
405
388
410
380
1.508
2.936
1.293
3.242
4.566
1.899
2.780
1.255
Anggap reaksi tersebut memenuhi model persamaan laju sbb:
0 expn Er k CRT−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Perkirakan harga k0, E dan n dari data-data yang tersedia.
Jawaban.
01ln ln lnr n C E k
RT−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
lni iy r= 1, lni ix C= 2,1
ii
xRT
= −
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 71 dari 101
% multivariabel
clear
clc
CA = [1,0.023,1.15,0.87,1.05,0.75,0.55,0.65]; %mol/liter
T = [373,395,365,400,405,388,410,380]; %K
r = [1.508,2.936,1.293,3.242,4.566,1.899,2.780,1.255];%mol/liter.s
y = log(r);
x1 = log(CA);
x2 =-1./(0.082*T);
A = [sum(x1.^2),sum(x1.*x2), sum(x1)
sum(x1.*x2),sum(x2.^2),sum(x2)
sum(x1),sum(x2),length(r)];
c = [sum(x1.*y)
sum(x2.*y)
sum(y)];
a = A\c
Hasil pada Command window
a =
-0.0108
320.9052
10.8467
5.4 Regresi Non Linier
Pada bagian sebelumnya kita telah mempelajari regresi persamaan tak
linier dengan terlebih dahulu melakukan linierisasi. Namun tidak semua
persamaan tak linier dapat memberikan parameter yang akurat dengan linierisasi.
Pada bagian ini kita akan mempelajari regresi persamaan tak linier sehingga kita
tidak lagi harus melinierisasikan persamaan tak linier. Perhatikan fungsi tak linier
sbb:
10
2
exp( )
ay ax a
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
a0, a1, dan a2 merupakan parameter.
Persamaan Antoine
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 72 dari 101
2
10
1 2
exp( )
n
ii i
aS y ax a=
⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑
Turunan parsial terhadap a0
1 10 0
10 2 2
2 exp exp 0( ) ( )
n
ii i i
a aS y a aa x a x a=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= − − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
Turunan parsial terhadap a1
1 10 0
11 2 2 2
12 exp exp 0( ) ( )
n
ii i i i
a aS y a aa x a x a x a=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂= − − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
Turunan parsial terhadap a2
( )1 10 0 1 2
12 2 2
2 exp exp ln( ) 0( ) ( )
n
i ii i i
a aS y a a a x aa x a x a=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= − − + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
Pada akhirnya diperoleh sistem persamaan tak linier yang terdiri atas 3 buah
persamaan tak linier. Sistem persamaan tak linier dapat diselesaikan secara
simultan menggunakan metode Newton seperti yang telah dibahas pada bab 3
persamaan tak linier.
5.5 Subrutin MATLAB: nlinfit
[beta,R] = nlinfit(x,y,modelfun,beta0)
Kasus
Tabel 3.3 Tekanan uap dari Benzena (Perry)
Temperatur, T Tekanan, P oC (mmHg) -36.7 1 -19.6 5 -11.5 10 -2.6 20 7.6 40 15.4 60 26.1 100
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 73 dari 101
42.2 200 60.6 400 80.1 760
Persamaan polynomial 2 3
0 1 2 3( ) ... nnP x a a x a x a x a x= + + + + +
Persamaan Clapeyron
log( ) BP AT
= +
Persamaan Riedel
log( ) log( )BP A C T DTT
β= + + +
dengan harga 2β = .
a. Korelasikan data dengan berbagai orde persamaan polynomial dengan
menganggap temperatur absolut (Kelvin) adalah variabel bebas dan P
adalah variabel terikat.
b. Korelasikan data dengan menggunakan persamaan Clapeyron
c. Korelasikan data menggunakan persamaan Riedel
d. Diskusikan persamaan manakah yang terbaik mewakili data-data
eksperimental tersebut.
Jawab:
a. Polynom orde 2, 3, 4, 5 %polynom clear clc T =[-36.7,-19.6,-11.5,-2.6,7.6,15.4,26.1,42.2,60.6,80.1]+273;%K P = [1 5 10 20 40 60 100 200 400 760];%mmHg N =length(P); P2 = polyfit(T,P,2) Pmod2 = polyval(P2,T); R2 = Pmod2-P; Var2 = sum(R2.^2)/(N-2) P3 = polyfit(T,P,3) Pmod3 = polyval(P3,T); R3 = Pmod2-P; Var3 = sum(R3.^2)/(N-3) P4 = polyfit(T,P,4) Pmod4 = polyval(P4,T); R4 = Pmod2-P; Var4 = sum(R4.^2)/(N-4) P5 = polyfit(T,P,5) Pmod5 = polyval(P5,T); R5 = Pmod2-P; Var5 = sum(R5.^2)/(N-5) Hasil di Command Window
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 74 dari 101
P2 =
1.0e+003 *
0.0001 -0.0450 5.8560
Var2 =
1.0647e+003
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data
points
or try centering and scaling as described in HELP
POLYFIT.
> In polyfit at 81
In polinom at 9
P3 =
1.0e+004 *
0.0000 -0.0001 0.0146 -1.2519
Var3 =
1.2168e+003
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data
points
or try centering and scaling as described in HELP
POLYFIT.
> In polyfit at 81
In polinom at 11
P4 =
1.0e+004 *
0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0248 1.5881
Var4 =
1.4196e+003
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data
points
or try centering and scaling as described in HELP
POLYFIT.
> In polyfit at 81
In polinom at 13
P5 =
1.0e+004 *
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0002 -0.0339 2.1109
Var5 =
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 75 dari 101
1.7035e+003
b. Persamaan Clapeyron %clapeyron.m function logP = clapeyron(a,T); logP = a(1)+a(2)./T; %Persamaan Clapeyron
clear clc T =[-36.7,-19.6,-11.5,-2.6,7.6,15.4,26.1,42.2,60.6,80.1]; P = [1 5 10 20 40 60 100 200 400 760]; logP = log10(P); a0 = [0.1 0.3]; [a R]=nlinfit(T,logP,'clapeyron',a0) N = length(P); z = length(a0); Variance = sum(R.^2)/(N-z)
Hasil di Command Window a =
1.6667 1.9173
R =
Columns 1 through 8
-1.6145 -0.8699 -0.5000 0.3718 -0.3169 -0.0131
0.2598 0.5889
Columns 9 through 10
0.9037 1.1902
Variance =
0.8124
c. Persamaan Riedel
%riedel.m
function logP = riedel(a,T)
logP = a(1)+a(2)./T+a(3)*log10(T)+a(4)*T.^2;
%run_riedel.m
clear
clc
T =[-36.7,-19.6,-11.5,-2.6,7.6,15.4,26.1,42.2,60.6,80.1]+273;%K
P =[1 5 10 20 40 60 100 200 400 760];%mmHg
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 76 dari 101
logP = log10(P); a0 = [1 1 1 1];
[a R] = nlinfit(T,logP,'riedel',a0)
N = length(P); z = length(a0);
Variance = sum(R.^2)/(N-4)
Hasil di command window a =
1.0e+003 *
0.2162 -9.2955 -0.0756 0.0000
R =
Columns 1 through 6
0.0107 -0.0236 -0.0113 0.0080 0.0251 0.0081
Columns 7 through 10
-0.0065 -0.0112 -0.0046 0.0054
Variance =
2.9689e-004
d. Pembahasan
Tugas
Nomor 1
Harga viskositas air (centipoise) telah diukur pada berbagai temperatur. Hasil dari
eksperimen disajikan dibawah ini. Menggunakan regresi linier ganda (multiple
regresi linier), carilah konstanta-konstanta yang sesuan dengan persamaan
berikut:
21 2 3
1 k k T k Tμ= + +
T(oC) 10 20 30 40 50 60 70
μ (cp) 1.308 1.005 0.801 0.656 0.549 0.469 0.406
Nomor 2
Sebuah reaksi heterogen diketahui terjadi pada laju yang dapat digambarkan oleh
model Langmuir-Hinshelwood berikut ini:
Bab 5 Regresi Linier dan Non Linier
Halaman 77 dari 101
12(1 )
A
A A R R
k PrK P K P
=+ +
Dari pengukuran laju awal, k1 ditentukan sebagai 0.015 mol/s.g-cat.atm, pada 400
K. Dengan menggunakan data laju reaksi pada 400 K, perkirakan nilai dari KA
dan KR.
PA 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
PR 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
r 3.4x10-5 3.6x10-5 3.7x10-5 3.9x10-5 4.0x10-5 4.1x10-5 4.2x10-5
________________________________o0o______________________________
Bab 6 Integrasi
Halaman 78 dari 101
Bab 6 Integrasi
(Under construction)
6.1 Metode Trapesium
Gambar 5.1 Metode trapesium
( ) ( )( ) ( )2
b
a
f a f bf x dx b a += −∫
6.2 Metode Simpson
( )2
0 1 20
( ) ( ) 4 ( ) ( )3
x
x
hf x dx f x f x f x= + +∫
6.3 Metode Romberg
6.4 Metode Gauss
f(x)
x
f(a)
f(b)
a b
Bab 6 Integrasi
Halaman 79 dari 101
6.5 Subrutin MATLAB: trapz
Subrutin trapz menghitung harga integral dari nilai-nilai diskrit x dan y
dengan menggunakan metode Trapezoidal.
Z = trapz(x,y) Keterangan:
x dan y adalah vektor
Kasus 1
Dua buah besaran yang sangat penting dalam pembelajaran proses-proses
fermentasi adalan laju pembebasan CO2 dan laju pengambilan O2. Hal tersebut
dihitung dari analisis eksperimental dari gas masuk dan gas keluar fermentor, dan
laju alir, temperatur dan tekanan dari gas-gas ini. Rasio pembebasan CO2 terhadap
pengambilan O2 menghasilkan RQ (Respiratory Quotient) yang merupakan
barometer aktivitas metabolik dari mikroorganisme. Laju di atas dapat
dintegrasikan untuk memperoleh jumlah keseluruhan dari CO2 yang diproduksi
dan oksigen yang dikonsumsi selama fermentasi. Tabel berikut menunjukan laju
respirasi dihtung dari fermentasi Penicillium chrysogenum yang menghasilkan
antibiotik penicilin.
Tabel 5.1 Laju pembebasan CO2 dan laju pengambilan O2
Waktu fermentasi Laju Pembebasan CO2 Laju pengambilan O2 (jam) (g/jam) (g/jam) 140 15.72 15.49 141 15.53 16.16 142 15.19 15.35 143 16.56 15.13 144 16.21 14.20 145 17.39 14.23 146 17.36 14.29 147 17.42 12.74 148 17.60 14.74 149 17.75 13.68 150 18.95 14.51
Bab 6 Integrasi
Halaman 80 dari 101
Hitunglah jumlah keseluruhan CO2 yang dihasilkan dan Oksigen yang dikonsumsi
selama fermentasi berlangsung.
%Respiratory_Quotient
clear
clc
t = [140:150]; % Waktu fermentasi
dCO2dt = [15.72,15.53,15.19,16.56,16.21,17.39,17.36,17.42,...
17.60,17.75,18.95]; % Laju pembebasan CO2
dO2dt = [15.49,16.16,15.35,15.13,14.20,14.23,14.29,12.74,...
14.74,13.68,14.51]; % Laju pengambilan O2
CO2 = trapz(t,dCO2dt)
O2 = trapz(t,dO2dt)
RQ = CO2/O2
6.6 Subrutin MATLAB: quad
Q = quad(fungsi,A,B)
Kasus 2
Harga kapasitas panas suatu material dapat dievaluasi dengan menggunakan
persamaan sbb:
4 7 2( ) 0.132 1.56x10 2.64x10pc T T T− −= + + cal/goC
Hitunglah besar entalpi material sebanyak 1 gram pada rentang temperatur -100 oC s.d 200 oC dengan rumus sbb:
2
1
( )T
T
H m c T dTΔ = ∫
Bab 6 Integrasi
Halaman 81 dari 101
%kapasitas.m
function cp = kapasitas(T)
cp=0.132+1.56e-4.*T+2.64e-7*T.^2;
%runkapasitas.m
Q = quad('kapasitas',-100,200)
>> runkapasitas
Q =
42.7320
6.7 Subrutin MATLAB: dblquad
Subrutin dblquad digunakan untuk menghitung integral lipat dua.
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)
%integrnd.m
function z = integrnd(x, y)
z = y*sin(x)+x*cos(y);
%run_integrnd.m
Q = dblquad(@integrnd,pi,2*pi,0,pi);
6.8 Subrutin MATLAB: triplequad
Subrutin triplequad digunakan untuk menghitung integral lipat tiga.
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)
%intgrnd3
function f = integrnd3(x,y,z)
f = y*sin(x)+z*cos(x);
%run_integrnd3
Q = triplequad('integrnd3', 0, pi, 0, 1, -1, 1)
Bab 6 Integrasi
Halaman 82 dari 101
Tugas
Nomor 1
Lakukan komputasi yang sama seperti pada kasus 1, namun dengan massa
material 2000 gram dan temperatur -200 s.d 100 oC.
Nomor 2
Profil kecepatan dari partikel pasir unggun terfluidakan dengan udara pada
kecepatan 1 m/s diberikan pada tabel Tabel 1 dan Tabel 2. Hitunglah kecepatan
gradien aksial ( /zV z∂ ∂ , /rV z∂ ∂ ). Plot rata-rata gradien z versus posisi radial dan
bandingkanlah besar ordenya.
Posisi radial (mm) 4.7663 14.2988 23.8313 33.3638 42.8962 52.4288 61.9612 71.4938
25 -13.09 -37.66 -52.41 -54.44 -58.21 -41.35 -23.97 -7.2175 -15.81 -15.99 -27.81 -25.37 -22.3 -11.1 -2.26 1.63
125 1.77 1.17 3.45 5.5 1.63 -1.79 -0.26 1.09175 1.43 -0.57 4.86 2.44 0.2 -0.65 0.35 2.21225 -5.07 -7.26 -18.43 -18.17 -17.3 -10 -2.65 0.29275 13.11 16.51 19.32 21 20.29 15.64 0.98 -9.81325 11.7 34.5 58.3 71.44 73.49 64.88 50.91 19.14375 8.18 25.29 31.18 37.07 30.05 2.61 -17.06 -15.88425 3.35 -0.39 -18 -42.22 -57.42 -82.36 -69.34 -17.35
Posisi aksial, mm
475 -27.05 -22.25 -49.45 -79.45 -110.08 -116.62 -128.25 -76.49
Posisi radial (mm) 4.7663 14.2988 23.8313 33.3638 42.8962 52.4288 61.9612
25 93.33 74.12 69.35 43.68 18.8 -6.9 -21.5675 244.73 217.07 177.09 103.79 16.87 -39.74 -74.91
125 304.34 260.58 201.15 118.82 22.76 -52.23 -82.86175 308.81 281.67 209.18 133.9 53.88 -51.92 -98.47225 379.66 328.52 279.3 165.61 53.25 -65.97 -133.92275 416.08 366.96 314.09 203.08 44.97 -76.93 -160.04325 184.46 157.25 111.99 63.23 1.03 -63.66 -71.23375 55.74 -12.28 -18.74 -47.26 -42.1 -9.95 125.57425 -67.81 -118.77 -108.46 -89.68 9.24 61.78 175.43
Posisi aksial, mm
475 -136.25 -32.33 -65.5 -111.72 38.74 115.6 84.88
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 83 dari 101
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
Definisi PDB
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang terdiri atas fungsi
turunan satu buah variabel bebas.
Contoh:
Persamaan gaya geser (shear stress) pada aliran fluida dirumuskan sbb.
xzd gdxτ ρ=
Perhatikan PDB hanya memiliki satu buah variabel bebas yaitu x dan satu variabel
terikat yaitu τxz.
Aplikasi PDB
PDB banyak ditemukan pada pemodelan-pemodelan teknik reaktor, kinetika
reaksi kimia, peristiwa-peristiwa perpindahan dll.
Klasifikasi PDB
Berdasarkan ordenya PDB terdiri atas tiga jenis (paling umum ditemukan dalam
permasalahan teknik kimia).
Orde 1 dy y kxdx
+ =
Orde 2 2
2
d y dyy kxdx dx
+ =
Orde 3 23 2
3 2
d y d y dya b kxdx dx dx
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
Berdasarkan ordenya PDB terdiri atas dua jenis.
1. Linier
Persamaan umum PDB linier dirumuskan sbb:
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 84 dari 101
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 11 ...n n
o n nn n
d y d y dyb x b x b x b x y R xdx dx dx
−
−−+ + + + =
2. Taklinier
PDB yang tidak memenuhi persamaan umum PDB linier di muka
dikelompokan ke dalam PDB tak linier.
Berdasarkan kondisi batasnya PDB terdiri atas dua jenis.
1. PDB bernilai awal 2
2
(0) 2, (0) 1
y yxx
yyx
∂= −
∂∂
= =∂
harga samax
2. PDB bernilai batas 2
2
(0) 2, (1) 1
y yxx
y y
∂= −
∂= =
harga x berbeda
Transformasi ke Dalam Bentuk Kanonikal
Persamaan diferensial biasa linier orde 1 bernilai awal dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode matrik eksponensial dan metode eigen yang akan dibahas
di depan nanti. PDB linier orde 2, 3 bernilai awal dapat pula diselesaikan dengan
metode-metode tersebut, asalkan PDB tersebut ditransformsikan terlebih dahulu
ke dalam PDB orde 1. Berikut ini penjelasan teknik transformasi dari PDB
berorde tinggi menjadi PDB berorde 1.
Contoh 1: 4 3 2
4 3 25 2 6 3 0d z d z d z dz zdt dt dt dt
+ − − + =
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 85 dari 101
Transformasi PDB orde 4 linier tersebut akan menghasilkan 4 buah PDB linier
orde 1.
Misalkan:
1
12
22
32
33
43
44
4
z ydydz y
dt dtdyd z y
dt dtdyd z y
dt dtdyd z
dt dt
=
= =
= =
= =
=
12
23
34
41 2 3 43 6 2 5
dy ydtdy ydtdy ydtdy y y y ydt
=
=
=
= − + + −
Contoh 2: 4 3 2
4 3 25 2 6 3 td z d z d z dz z edt dt dt dt
−+ − − + =
Transformasi PDB orde 4 linier tersebut akan menghasilkan 5 buah PDB linier
orde 1.
Misalkan:
1
12
22
32
33
43
44
4
5
55
t
t
z ydydz y
dt dtdyd z y
dt dtdyd z y
dt dtdyd z
dt dty edy e ydt
−
−
=
= =
= =
= =
=
=
= − = −
12
23
34
41 2 3 4 5
55
3 6 2 5
dy ydtdy ydt
dy ydtdy y y y y ydt
dy ydt
=
=
=
= − + + − +
= −
Maka PDB orde 4 dapat dituliskan sbb:
Penulisan dalam bentuk matrik sbb:
1
2
3
4
1
2
3
4
0 1 0 00 0 1 00 0 0 13 6 2 5
dydt
dydt
dydt
dydt
yyyy
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Maka PDB orde 4 dapat dituliskan sbb:
Penulisan dalam bentuk matrik sbb:
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 86 dari 101
Contoh 3: 33 2
23 2 2 0d z d z dzz z
dx dx dx⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
Transformasi PDB orde 3 taklinier.
Misalkan:
1
12
22
32
33
3
z ydydz y
dx dxdyd z y
dx dxdyd z
dx dx
=
= =
= =
=
12
23
2 331 1 3 22
dy ydxdy ydxdy y y y ydx
=
=
= − +
PDB taklinier tidak dapat dituliskan dalam bentuk matrik.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 03 6 2 5 1
0 0 0 0 1
dydt
dydt
dydt
dydt
dydt
yyyyy
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Maka PDB orde 3 taklinier dituliskan sbb:
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 87 dari 101
Contoh 4:
3 2
3 23 2 5 0d z d z dzt t z
dt dt dt+ − + =
Transformasi PDB orde 3 taklinier.
Misalkan:
1
12
22
32
33
3
4
4 1
z ydydz y
dt dtdyd z y
dt dtdyd z
dt dty tdydt
=
= =
= =
=
=
=
12
23
2 331 4 2 4 3
4
5
1
dy ydtdy ydt
dy y y y y ydtdydt
=
=
= − + −
=
PDB taklinier tidak dapat dituliskan dalam bentuk matrik.
Nilai dan Vektor Eigen
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
0
0
k kk
k kk
kk
Aw w
Aw w
A I w
λ
λ
λ
=
− =
− =
( ) 0kA Iλ− = atau [ ] 0kw ≠
( )det 0kA Iλ− =
Keterangan:
A adalah sebuah matrik kubus
kλ adalah nilai eigen
[ ]kw adalah vektor eigen
Maka PDB orde 3 taklinier dituliskan sbb:
Vektor eigen tidak bernilai nol
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 88 dari 101
Berikut ini akan dipaparkan cara menghitung nilai dan vektor eigen secara
analitik.
Kasus 6
Tentukanlah vektor dan nilai eigen dari matrik A berikut ini dengan menggunakan
cara analitik.
1 0 30 2 13 1 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Jawaban:
( )( )
[ ] 0
det 0
kk
k
A I w
A I
λ
λ
− =
− =
(1 ) 0 30 (2 ) 1 03 1 ( 1 )
λλ
λ
−− =− − −
(1 ) 0 3 (1 ) 00 (2 ) 1 0 (2 ) 03 1 ( 1 ) 3 1
λ λλ λ
λ
− −− − =− − − −
2
3 2
3 2
(1 )(2 )( 1 ) (3)(2 )(3) (1 ) 0(1 )( 2) 9(2 ) (1 ) 0
2 2 18 9 1 02 11 21 0
λ λ λ λ λ
λ λ λ λλ λ λ λ λ
λ λ λ
− − − − − − − − =
− − − − − − =
− − + − + − + =
− + + − =
Dengan menggunakan subrutin roots MATLAB diperoleh harga akar-akar
polinom pangkat 3 (nilai eigen) tersebut, yaitu:
1 2 33.4211 3.2880 1.8669λ λ λ= = − =
Kembali ke persamaan awal.
( ) [ ] 0kkA I wλ− =
1
2
3
(1 ) 0 30 (2 ) 1 03 1 ( 1 )
www
λλ
λ
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 89 dari 101
Karena vektor eigen (w) tidak bernilai nol, maka kita misalkan harga w3 sebagai
basis bernilai 1.
1 3
2 3
(1 ) 3 0(2 ) 0
w ww w
λλ
− + =
− + =
Misalkan w3 = 1, maka system persamaan linier menjadi
1
2
(1 ) 3(2 ) 1
ww
λλ
− = −− = −
1
2
3
3(1 )
1(2 )1
w
w
w
λ
λ
−=
−−
=−
=
Masukan harga nilai eigen
Untuk:
1 3.4211 λ = 2 3.2880λ = − 3 1.8669λ =
[1]
1.23910.7037
1w
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[2]
0.69960.1891
1w
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[3]
3.46077.5131
1w
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Normalisasi vektor-vektor eigen tersebut dengan menggunakan norma ke-2.
( )[1] 2 2 2
21.2391 0.7037 1 1.741w = + + =
[1]
1.23911.741 0.7117
0.7037 0.40421.7410.57441
1.741
w
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
( )[2] 2 2 2
20.6996 0.1891 1 1.235w = + + =
[2]
0.69961.235 0.5665
0.1891 0.15311.2350.80971
1.235
w
−⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 90 dari 101
( )[3] 2 2 2
23.4607 7.5131 1 8.332w = + + =
[3]
3.46078.332 0.4153
7.5131 0.90178.3320.12001
8.332
w
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
Jadi nilai dan vektor eigen matrik A adalah
3.42113.2880
1.8669λ
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0.7117 0.5665 0.41530.4042 0.1531 0.90170.5744 0.8097 0.1200
w−⎡ ⎤
⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Catatan: Perkalian konstanta dengan vektor eigen tidak akan mengubah esensi dari vektor eigen
tersebut. Untuk persoalan ini harga vektor eigen yang diperoleh menggunakan MATLAB (sekejap
lagi akan dibahas) adalah hasil perkalian antara -1 dengan vektor eigen yang telah diperoleh pada
perhitungan secara analitik.
MATLAB telah menyediakan rutin untuk menghitung nilai dan vektor eigen
matriks A yaitu eig.
Penulisan perintahnya pada MATLAB command window sbb:
[ , ] ( )V D eig A=
Sebagai contoh berikut ini akan ditampilkan perintah pada command window
untuk menghitung nilai dan vektor eigen dari matrik A yang telah diselesaikan
secara analitik sebelumnya.
>> [V,D]=eig(A)
V =
-0.5665 -0.4153 -0.7118
-0.1531 0.9018 -0.4042
0.8097 -0.1200 -0.5744
Vektor eigen Nilai eigen
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 91 dari 101
D =
-3.2880 0 0
0 1.8669 0
0 0 3.4211
Tugas 6
Transformasi kanonikal PDB dan analisis eigen
Nomor 1
Hitunglah nilai dan vektor eigen dari matrik A berikut ini. Bandingkan hasilnya
dengan menggunakan subrutin eig di MATLAB.
Nomor 2
Ubahlah persamaan differensial berikut ke dalam bentuk kanonikal.
a. 2
2 3 10 0d x dx xdt dt
− − =
b. 3 2
3 23 2 10 0d T d T dTt t T
dt dt dt+ − − =
c. 23 2
33 2 9 0d y d y dyy y
dx dx dx⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 32 5 13 1 4
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 92 dari 101
Solusi Persamaan Differensial Biasa Linier bernilai awal
1. Metode matriks eksponensial
dy Aydt
= ( ) 00y y=
A adalah matriks persegi (m x m) dan y adalah vektor kolom (m x 1)
Integrasikan persamaan diferensial linier tersebut.
0 0
y t
y
dy A dty=∫ ∫
0
ln y Aty
=
0eAty y=
Fungsi matriks eksponensial dapat dituliskan sebagai berikut: 2 2 3 3
exp(A ) ...2! 3!
t tt t= + + + +A AI A
Contoh soal:
Kasus 7
Berikut ini adalah PDB linier orde 2. 2
2 3 10 0d x dx xdt dt
− − =
Dengan nilai awal pada t = 0, sbb:
0
(0) 3
15
xdxdt
=
=
Selesaikan PDB tercetak menggunakan metode matrik eksponensial dalam
interval 0 ≤ t ≤ 1.0 (Langkah integrasi 0.1).
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 93 dari 101
Jawaban : 2
2
1
12
22
2 12
3 10 0
3
d x dx xdt dtx y
dydx ydt dt
dyd x y ydt dt
− − =
=
= =
= = +
dy Aydt
=
Integrasikan.
0eAty y= 0
315
y⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Rentang integrasi 0 ≤ t ≤ 1.0. Langkah integrasi 0.1
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0
1 3
2
3e
15
tt ty
y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝ ⎠
Dengan mensubstitusikan t = 0 s.d 1 (langkah integrasi 0.1) selesailah persoalan
ini.
Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
kasus7.m
1
1
22
0 11 3
dyydtydy
dt
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
dydt
A y
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 94 dari 101
>>kasus7a t = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 x = 3.0000 4.7688 7.2122 10.5945
clear clc A = [0 1 1 3]; % Nilai awal yo = [3;15]; t = [0:0.1:1]'; for i = 1:length(t) y(i,:) = expm(A*t(i))*yo; end %kurva t-x x = y(:,1) plot(t,x) xlabel('t') ylabel('x') grid on
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 95 dari 101
15.2839 21.7922 30.8319 43.3941 60.8578 85.1416 118.9150
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
20
40
60
80
100
120
t
x
2. Metode nilai-vektor eigen
Harga teA dapat dihitung dengan menggunakan bantuan nilai dan vektor eigen.
1V Vt Dte e −=A
Sehingga solusi PDB linier menjadi.
10V VDty e y−⎡ ⎤= ⎣ ⎦
Untuk lebih memahami metode nilai-vektor eigen berikut ini disajikan
penyelesaian kasus 7 dengan menggunakan metode nilai-vektor eigen.
Langkah awal sama dengan metode matriks eksponensial.
0 11 3
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 96 dari 101
Dengan menggunakan rutin eig MATLAB diperoleh harga nilai (D) dan vektor
eigen (V).
0.9571 0.2898 0.3028 0 dan
0.2898 0.9571 0 3.3028V D
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Substitusikan matriks V dan D ke dalam persamaan
10V VDty e y−⎡ ⎤= ⎣ ⎦
10.3028
0.3028
0.9571 0.2898 0.9571 0.2898 30
0.2898 0.9571 0.2898 0.9571 150
t
t
ee
−−⎡ ⎤− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
y
Dengan mensubstitusikan t = 0 s.d 1 (langkah integrasi 0.1) selesailah persoalan
ini.
Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
>> A=[0 1 1 3] A = 0 1 1 3 >> [V,D]=eig(A) V = -0.9571 0.2898 0.2898 0.9571 D = -0.3028 0 0 3.3028
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 97 dari 101
kasus7.m
Eksekusi program kasus7.m (lanjutan) Hasil di Command Window :
clear clc A = [0 1 1 3]; % Nilai awal yo = [3;15]; a=length(yo); % Vektor dan Nilai eigen [V,D]=eig(A); % Rentang integrasi t=[0:0.1:1]' x =zeros(length(t),a); for i = 1 : length(t) y = (V*diag(exp(diag(D)*t(i)))*inv(V))*yo; x(i,:) = y; end x % kurva t-x plot(t,x(:,1)) xlabel('t') ylabel('x') grid on
>>kasus7 t = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
x = 3.0000 15.0000 4.7688 20.6902 7.2122 28.6127 10.5945 39.6409 15.2839 54.9901 21.7922 76.3512 30.8319 106.0768 43.3941 147.4403 60.8578 204.9959 85.1416 285.0806 118.9150 396.5110
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 98 dari 101
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
20
40
60
80
100
120
t
x
Tugas 7
Metode eigen untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial biasa linier
Suatu bahan radioaktif meluruh berdasarkan mekanisme reaksi berantai
sbb: 1 2k kA B C⎯⎯→ ⎯⎯→
k1 dan k2 adalah konstanta laju reaksi. B adalah produk intermediate dan C
adalah produk akhir. Persamaan laju reaksinya sbb:
CA, CB, dan CC adalah konsentrasi
bahan A, B, dan C.
k1= 3 s-1 , k2= 1 s-1.
Konsentrasi mula-mula bahan sbb:
CA(0)=1 mol/m3 CB(0)=0 CC(0)=0
1
1 2
2
AA
BA B
CB
dC k Cdt
dC k C k Cdt
dC k Cdt
= −
= −
=
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 99 dari 101
a) Menggunakan metode matriks eksponensial dan metode eigen tentukan
konsentrasi CA, CB, dan CC sebagai fungsi waktu.
b) Hitunglah konsentrasi CA, CB, dan CC saat t = 1 s dan t = 10 s.
c) Buatlah profil konsentrasi A, B, dan C.
Sistem PDB tak linier bernilai awal
Sistem PDB tak linier bernilai awal banyak ditemukan pada kajian-kajian teknik
kimia berikut ini:
1. Neraca massa dan energi yang melibatkan reaksi kimia.
2. Sistem dinamik nyata (tak ideal).
3. Hampir seluruh peristiwa perpindahan dalam teknologi proses.
Solusi PDB tak linier bernilai awal
1. Metode Euler
1 1
1
( , ) i i i i
i i
y y y ydy f x ydx x x h
+ +
+
− −= = =
−
1 ( , )i i i iy y hf x y+ = +
Harga baru = harga lama + ukuran langkah x slope
2. Metode Runge-Kutta orde ke-2 (Crank-Nicholson)
( ) ( )( )( )
311 1 22
1
2 1
,
,
i i
i i
i i
y y k k O h
k hf x y
k hf x h y k
+ = + + +
=
= + +
3. Metode Runge-Kutta orde ke-3
Kesalahan pemotongan lokal
( ) ( )21 ,i i i iy y hf x y O h+ = + +
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 100 dari 101
( ) ( )( )
( )
411 1 2 36
1
12
3 2 1
4
,
,2 2, 2
i i
i i
i i
i i
y y k k k O h
k hf x y
khk hf x y
k hf x h y k k
+ = + + + +
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + −
3. Metode Runge-Kutta orde ke-4
( ) ( )( )
( )
511 1 2 3 46
1
12
23
4 3
2 2
,
,2 2
,2 2,
i i
i i
i i
i i
i i
y y k k k k O h
k hf x y
khk hf x y
khk hf x y
k hf x h y k
+ = + + + + +
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + +
4. Metode Runge-Kutta orde ke-5
( ) ( )( )
611 1 3 4 5 690
1
12
1 23
34
32 45
3 52 46
7 32 12 32 7
,
,2 2
3,4 16 16
,2 2
63 93 ,4 16 16 16
6 84 121,7 7 7 7 7
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
y y k k k k k O h
k hf x y
khk hf x y
k khk hf x y
khk hf x y
kk khk hf x y
k kk kkk hf x h y
+ = + + + + + +
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛= + + + + − +⎝
⎞⎜ ⎟
⎠
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 101 dari 101
5. Metode Runge-Kutta-Fehlberg
( )( )( )( )( )
16 6656 28561 9 21 1 3 4 5 6135 12825 56430 50 55
1
2 14 4
3 3 93 1 28 8 32
12 1932 7200 72964 1 2 313 2197 2197 2197
439 3680 8455 1 2 3216 513 41
,
,
,
,
, 8
i i
i i
h hi i
h h hi i
h h h hi i
h h hi i
y y h k k k k k
k f x y
k f x y k
k f x y k k
k f x y k k k
k f x h y k hk k
+ = + + + − +
=
= + +
= + + +
= + + − +
= + + − + −( )( )( )
404
8 3544 1859 116 1 2 3 4 52 27 2565 4104 40
128 21971 1 21 1 3 4 5 6360 4275 75240 50 55
, 2h h h h hi i
i
k
k f x y k hk k k k
d h k k k k k+
= + − + − + −
= − − + +
Algoritma dan pemrograman metode euler
Algoritma
1. Mulai
2. Definisikan fungsi f(x,y) [turunan ke-1]
3. Tetapkan nilai awal, x awal, langkah integrasi (h), dan x akhir.
4. Hitung panjang vektor x
5. Hitung 1 ( , )i i i iy y hf x y+ = − untuk i = 1 s.d (panjang vektor-1)
6. selesai
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 102 dari 101
Algorima dalam diagram alir
Hitung panjang vector x
1 ( , )i i i iy y hf x y+ = −
untuk i = 1 s.d (panjang vektor x -1)
Mulai
Definisikan fungsi f(x,y)
Masukan harga yo, xo, h, xn
Selesai
function [x y] = eulerku(dfungsi,yo,xo,dx,xn) x = xo:dx:xn a = length(x) y(1) = yo for i = 1 : (a-1) y(i+1)= y(i) + dx*feval(dfungsi,x(i),y(i)) end
eulerku.m
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 103 dari 101
>> [x y] = eulerku('dcoba',0,0,1,10) x = Columns 1 through 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Columns 10 through 11 9 10 y = Columns 1 through 9 0 0 2 6 12 20 30 42 56 Columns 10 through 11 72 90
Subrutin dalam MATLAB untuk solusi PDB bernilai awal
Pada bagian ini akan dijelaskan subrutin ode23 dalam MATLAB untuk
menyelesaikan PDB bernilai awal dengan karakter linier, taklinier, tunggal
maupun jamak (sistem).
function f = dcoba(x,y) f = 2*x
dcoba.m
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 104 dari 101
Cara penulisan sintaks ode23
Misal:
3 22 12 20 8.5dy x x xdx
= − + − + dengan kondisi awal y = 1 pada x = 0 dan rentang
integrasi dari x = 0 s.d x = 4.
Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
[t,y] = ode23(‘fungsiPDB’,rentang_t,y0)
Fungsi PDB yang akan dievaluasi
Rentang integrasi
Harga awal
%pdb.m function dydx = pdb(x,y) dydx = -2*x^3+12*x^2-20*x+8.5;
%runpdb.m clear clc rentang_x = [0 4]; y0 = 1; [x,y] = ode23('pdb',rentang_x,y0) plot(x,y) xlabel('x') ylabel('y')
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 105 dari 101
Eksekusi di command window
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x
y
y = 1.0000 1.0791 1.4488 2.1817 2.7701 3.1483 3.3031 3.2609 3.0709 2.7893 2.4787 2.2006 2.0131 1.9808 2.2494 2.6978 3.2901 3.8780 4.3716 4.6749 4.6862 4.3176 3.4933 3.0015
x = 0 0.0094 0.0565 0.1712 0.3046 0.4524 0.6111 0.7777 0.9511 1.1319 1.3196 1.5150 1.7217 1.9512 2.2503 2.4902 2.7301 2.9516 3.1622 3.3655 3.5614 3.7483 3.9277 4.0000
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 106 dari 101
Kasus 8
Studi terhadap kinetika proses fermentasi berhasil dimodelkan secara matematis
sbb:
1 11 1
2
23 1 4 2
1dy yk ydt kdy k y k ydt
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
Dengan k1 = 0.03120; k2 = 47.70; k3 = 3.374 ;k4 = 0.01268 serta nilai pada t = 0,
y1=5, y2=0. Evaluasi harga y1 dan y2 dalam interval waktu 0 s.d 10 jam setiap
jamnya!.
Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.
%fermen.m function dydt = fermen(t,y) k1=0.03120; k2=47.70; k3=3.374; k4=0.01268; dydt=[k1*y(1)*(1-y(1)/k2) k3*y(1)-k4*y(2)];
%kasus8 clear clc tspan = [0:1:10]; yo = [5 0]; [t,y]=ode23('fermen',tspan,yo)
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 107 dari 101
Eksekusi di command window
Tugas 8
Solusi PDB tak linier menggunakan subrutin MATLAB ode23
Nomor 1
Konversi glukosa menjadi asam glukonik merupakan reaksi oksidasi sederhana
dari gugus aldehid gula menjadi gugus karboksil. Enzim glukosa oksidase,
terbentuk dalam mikroorganisme untuk mengubah glukosa menjadi
glukonolaktona. Kemudian glukonolaktona bereaksi dengan air membentuk asam
glukonik. Mekanisme reaksi secara keseluruhan proses fermentasi dapat dituliskan
sbb:
Glukosa oksidase2 2 2
2
Glukosa + sel sel
Glukosa + O
Pertumbuhan sel:
Oksidasi glukosa:
Hidrolisis
Glukonolactona + H O
Glukonolactona + H O Asam gluglukonolactona:
Dekomposisi per
konik
ok
→
⎯⎯⎯⎯⎯→
→
Katalis2 2 2 2
1H O H O + O
:
2
sida
⎯⎯⎯→
Model matematika untuk fermentasi bakteri Pseudomonas ovalis yang
memproduksi asam glukonik telah dirumuskan oleh Rai dan Constantinides.
Model yang menggambarkan dinamika pertumbuhan fasa logaritmik ini dapat
dituliskan sbb:
t =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y =
5.0000 0 5.1414 17.0000 5.2863 34.2657 5.4347 51.8056 5.5868 69.6282 5.7425 87.7422 5.9020 106.1564 6.0652 124.8796 6.2323 143.9206 6.4033 163.2886 6.5783 182.9924
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa
Halaman 108 dari 101
1 11 1
2
3 1 425 2
4 4
35 2
3 1 44
4 4
1
0.908
Laju pertumbuhan sel:
Laju pembentukan glukonolaktona:
Laju pembentukan asam glukonik:
Laju konsumsi glukosa:
2
1.011
dy yb ydt b
b y ydy b ydt b y
dy b ydt
b y ydydt b y
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −+
=
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Keterangan:
1
2
3
4
1 5
y = konsentrasi sely = konsentrasi glukonolaktonay = konsentrasi asam glukoniky = konsentrasi glukosab s.d b = parameter, f(T,pH)
Pada kondisi operasi T=30 oC dan pH 6.6 harga dari lima parameter yang
diperoleh secara eksperimental sbb:
1
2
3
4
5
0.9493.43918.7237.511.169
bbbbb
=====
Pada kondisi tersebut buatlah profil y1,y2,y3, dan y4 terhadap waktu selama 0 ≤ t
≤ 9 jam!. Nilai-nilai awal (pada saat t=0) adalah sbb:
y1(0) = 0.5 U.O.D./mL
y2(0) = 0.0 mg/mL
y3(0) = 0.0 mg/mL
y4(0) = 50.0 mg/mL
Petunjuk: soal ini mudah….!!!
_______________________________o0o________________________________
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 109 dari 101
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Definisi PDP
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang terdiri
atas fungsi turunan lebih dari satu variabel bebas.
Contoh:
Persamaan konduksi tak tunak satu dimensi pada lembaran suatu material
dirumuskan dalam PDP sbb.
2
2
xT
ck
tT
p ∂∂
=∂∂
ρ
PDP tersebut terdiri dari dua buah variabel bebas, yaitu x (tebal lembaran) dan t
(waktu). Sedangkan variabel terikatnya adalah T (Temperatur). Jika digambarkan
pada koordinat kartesius akan diperoleh gambar 3 dimensi.
Aplikasi PDP
Pemodelan kimia dan fisika atas suatu fenomena dalam bidang teknik
kimia seringkali menghasilkan rumusan matematis dalam bentuk PDP khususnya
pada berbagai fenomena perpindahan (momentum, massa, dan panas).
Klasifikasi PDP
Berdasarkan ordenya PDP terdiri atas tiga jenis.
Orde 1
0u ux y
α∂ ∂− =
∂ ∂
Orde 2 2
2 0u uux y∂ ∂
+ =∂ ∂
Orde 3
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 110 dari 101
23 2
3 0u u ux x y y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Umumnya PDP dalam teknik kimia berorde 2 dengan 2 sampai 4 variabel
bebas.
Berdasarkan kelinierannya PDP terdiri atas tiga jenis.
1. Linier
2. Quasilinier
3. Taklinier
Kajian PDP dalam diktat ini terbatas hanya untuk PDP orde 2 linier saja.
PDP linier orde 2 memiliki persamaan umum sbb:
Berdasarkan harga acb −2 PDP orde 2 linier terbagi atas tiga bagian, sbb:
1. Eliptik 02 <− acb
2. Parabolik 02 =− acb
3. hiperbolik 02 >− acb
Kondisi Batas
Untuk lebih memahami kondisi batas pada PDP perhatikan contoh persamaan
konduksi tak tunak satu dimensi sbb:
2
2
xT
ck
tT
p ∂∂
=∂∂
ρ
1. Kondisi Dirichlet
Nilai variabel terikat (T) diketahui pada nilai variabel bebas (x,t) tertentu
2 2 2
2 22 0u u u u ua b c d e fu gx x y y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 111 dari 101
0
kondisi awal( ) pada 0 dan 0 1, atau pada 0 dan 0 1
T f x t xT T t x= = ≤ ≤= = ≤ ≤
1
kondisi batas( ) pada 0 dan 0, dan pada 0 dan 0
T f t x tT T x t= = >= = >
Contoh :
( )( )( )
2
2
0
0
0
0, 120
1, 120
0 :1,0 25
T Tx t
T t C
T t C
T x C
α ∂ ∂=
∂ ∂=
=
= =
2. Kondisi Neuman
Turunan variabel terikat (T) diketahui pada nilai tertentu atau sebagai fungsi dari
variabel bebas (x,t).
0 pada 1 dan 0T x tx
∂= = ≥
∂
3. Kondisi Robbin
( ) pada 0 dan 0fTk h T T x tx
∂= − = ≥
∂
Turunan variabel terikat (T) diketahui sebagai fungsi dari variabel terikat itu
sendiri.
Solusi PDP
Solusi yang paling sederhana dan gampang untuk diterapkan yaitu dengang
metode penghampiran selisih terhingga (finite difference approximationi).
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 112 dari 101
Penghampiran Selisih Terhingga
1. Penghampiran selisih terpusat
( )
( )
( )
1 1
2
1 12 2
2,
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
12
1 2
14
ii i
ii i i
i ji j i j i j i j
u u ux xu u u ux xu
u u u uy x x y
+ −
+ −
+ + − + + − − −
∂= −
∂ Δ∂
= − +∂ Δ∂
= − − +∂ ∂ Δ Δ
2. Penghampiran selisih maju
( )
( )
( )
1
2
2 12 2
2,
1, 1 , 1 1, ,
1
1 2
14
ii i
ii i i
i ji j i j i j i j
u u ux xu u u ux xu
u u u uy x x y
+
+ +
+ + + +
∂= −
∂ Δ∂
= − +∂ Δ∂
= − − +∂ ∂ Δ Δ
3. Penghampiran selisih mundur
( )
( )
( )
1
2
1 22 2
2,
, , 1 1, 1, 1
1
1 2
1
ii i
ii i i
i ji j i j i j i j
u u ux xu u u ux xu
u u u uy x x y
−
− −
− − − −
∂= −
∂ Δ∂
= − +∂ Δ∂
= − − +∂ ∂ Δ Δ
Diskretisasi Persamaan Diferensial
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan penghampiran selisih
terhingga dikenal teknik diskretisasi. Penjelasannya diberikan berdasarkan contoh
soal sebagai berikut :
Kasus 9:
Selesaikan persamaan differensial di bawah ini, kemudian petakan harga x dan y
pada koordinat kartesius.
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 113 dari 101
2
2 6 4
0 11 1
Rentang Integrasi x = 0 s/d 1
d y xdxx yx y
= +
= → == → =
Jawaban:
Rentang integrasi x = 0 s.d 1 didiskretisasikan menjadi 10 bagian (N = 10).
Menggunakan penghampiran selisih terpusat.
( )2
1 12 2
1 2ii i i
y y y yx x + −
∂= − +
∂ Δ
Substitusikan penghampiran selisih terpusat itu ke persamaan diferensial.
0462
2
=+−∂∂ x
xy
menghasilkan
( )1 12
1 2 6 4 0i i i iy y y xx + −− + − − =
Δ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
109 8 76543 21
∆x
101 0.1
N
xN
=
Δ = =
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 114 dari 101
Untuk i = 1
( )2 12
1 2 1 6(0.1) 4 0y yx
− + − − =Δ
Untuk i = 2 s.d. 8
( )1 12
1 2 6 4 0i i i iy y y xx + −− + − − =
Δ
Untuk i = 9
( )9 82
1 1 2 6(0.9) 4 0y yx
− + − − =Δ
Transformasi sistem persamaan linier di atas menjadi bentuk matrik sbb:
Harga y dapat dihitung dengan metode yang telah dipelajari pada bagian sistem
persamaan linier.
CAyCAy
1−=
=
Berikut ini kita hitung harga vektor y dalam m-file MATLAB.
A y C
SISTEM PERSAMAAN LINIER
{ }{ }
21
22
3
4
5
6
7
8
9
2 1 0 0 0 0 0 0 0 6(0.1) 4 11 2 1 0 0 0 0 0 0 6(0.2) 40 1 2 1 0 0 0 0 0 6(0.3)0 0 1 2 1 0 0 0 00 0 0 1 2 1 0 0 00 0 0 0 1 2 1 0 00 0 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1 2
y xy xyyyyyyy
− + Δ −⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− + Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =−⎢ ⎥⎢ ⎥
− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
{ }{ }{ }{ }{ }{ }
{ }
2
2
2
2
2
2
2
46(0.4) 46(0.5) 46(0.6) 46(0.7) 46(0.8) 4
6(0.9) 4 1
xxxxxx
x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥
+ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥+ Δ⎢ ⎥
+ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥+ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥+ Δ⎢ ⎥+ Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 115 dari 101
kasus9.m
>> kasus9
y =
1.0000
0.7210
0.4880
0.3070
0.1840
0.1250
0.1360
0.2230
0.3920
0.6490
1.0000
clear clc %Diskretisasi terhadap x N=10; dx=1/N; x =[0:dx:1]' %Membuat matrik A koefisien y A = diag(-2*ones(N-1,1))+diag(ones(N-2,1),1) + diag(ones(N-2,1),-1) %Vektor konstanta C C = (6*[dx:dx:x(end)-dx]+4)*dx^2 C(1)=C(1)-1 C(end)=C(end)-1 %Menghitung harga y y=inv(A)*C' y=[1;y;1] %Membuat kurva x-y plot(x,y) xlabel('x') ylabel('y') grid on
Eksekusi program kasus9.m Masukan dan hasil di Command Window :
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 116 dari 101
Dari hasil perhitungan MATLAB di atas dapat dibuat grafik dan hasil lengkap
untuk persoalan ini sbb:
x y
0 1
0.1 0.721
0.2 0.488
0.3 0.307
0.4 0.184
0.5 0.125
0.6 0.136
0.7 0.223
0.8 0.392
0.9 0.649
1 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
y
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 117 dari 101
Tugas 9
Menyelesaikan persamaan differensial dengan penghampiran selisih
terhingga (diskretisasi)
Nomor 1
Dengan menggunakan penghampiran selisih terhingga terpusat selesaikan
persamaan diferensial sbb:
2
2 2
(0) (1) 1Rentang Integrasi = 0 s/d 1
d y ydxy y
= +
= =
Sertakan pula kurva x,y diagram kartesiusnya.
Semidiskretisasi Persamaan Diferensial Parsial
Di muka telah dipaparkan penjelasan mengenai diskretisasi untuk menyelesaikan
persamaan diferensial. PDP dapat diselesaikan juga dengan menggunakan teknik
diskretisasi, sayangnya penerapan pada PDP lebih rumit dan melibatkan banyak
angka. Sebagai penyederhanaan dapat digunakan teknik semidiskretisasi.
Penjelasannya akan diberikan berdasarkan contoh soal sbb:
kasus10
Sebuah lembaran plastik dengan tebal 1 cm mula-mula bertemperatur 25 oC
diletakan diantara pelat yang bertemperatur 120 oC. Diketahui massa jenis plastik
900 kg/m3, konduktivitas termal 0.13 W/moC, dan kalor jenis 1670 J/kgoC .
Pemodelan matematis untuk kasus konduksi tak tunak adalah sbb: 2
2
T Tx t
α ∂ ∂=
∂ ∂
p
kc
αρ
=
Dengan metode numeris evaluasi temperatur rata-rata plastik 10 menit kemudian?
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 118 dari 101
Jawaban:
( )( )( )
2
2
0
0
0
0, 120
1, 120
0 :1,0 25
T Tx t
T t C
T t C
T x C
α ∂ ∂=
∂ ∂=
=
= =
8 2
2 2
(0.13) = 8.6494x10 /(900)(1670)
5.1896x10 /p
k m sc
cm menit
αρ
−
−
= =
=
Diskretisasi dilakukan terhadap x.
Menggunakan penghampiran selisih terpusat turunan kedua T terhadap x,
( )2
1 12 2
1 2ii i i
T T T Tx x + −
∂= − +
∂ Δ
PDP tersebut akan menjadi.
( )1 12 2i i iT T T Tt x
α+ −
∂= − +
∂ Δ
Kondisi Dirichlet
2019 18 17 1615 1413121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1
∆x x
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
201 0 0.0520
N
x
=−
Δ = =
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 119 dari 101
Solusi sistem persamaan diferensial biasa telah dibahas pada bagian sebelumnya.
Rutin yang akan digunakan untuk sistem PDB di termaksud adalah ode23
MATLAB. Berikut ini pemrogramannya.
( )2 12 2 120T T Tt x
α∂= − +
∂ Δ
( )1 12 2i i iT T T Tt x
α+ −
∂= − +
∂ Δ
( )19 182 120 2T T Tt x
α∂= − +
∂ Δ
Untuk i = 1
Untuk i = 2 : 18
Untuk i = 19
SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
BIASA
taktunak.m Pemrograman MATLAB
function dTdt=taktunak(t,T) N=20; dx=1/N; a=5.1896e-2; %diffusivitas termal,cm2/menit % untuk i = 1 dTdt(1,:) = a/(dx^2)*(T(2)-2*T(1)+120); % untuk i = 2 s.d 18 for i = 2:18 dTdt(i,:) = a/(dx^2)*(T(i+1)-2*T(i)+T(i-1)); end % untuk i = 19 dTdt(19,:) = a/(dx^2)*(120-2*T(19)+T(18));
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 120 dari 101
kasus10.m Pemrograman MATLAB
clear clc % Nilai awal dan rentang integrasi. tspan=[0:1:10]; To = 25*ones(1,19); % Fungsi pengintegrasi. [t,T] = ode23(‘taktunak',tspan,To); % Menampilkan hasil perhitungan. x=[0:1/20:1]' t T0=120*ones(length(tspan),1); T0(1)=(25+120)/2 % Harga T pada t=0,x=0, diambil rata-rata. T20=120*ones(length(tspan),1); T20(1)=(25+120)/2 % Harga T pada t=0,x=1, diambil rata-rata. T=[T0 T T20] % Memetakan hasil pd diagram kartesius 3-D. figure(1) surf(x,t,T) xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') colorbar shading interp figure(2) pcolor(x,t,T) xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') colorbar shading interp % Menghitung rata-rata suhu plastik pd menit ke 10 [b k]=size(T); z=T(b,:); Tslab=mean(z)
Eksekusi program kasus10.m &runkasus10.m. Masukan dan hasil di Command Window :
>>runkasus10 Tslab = 119.5598
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 121 dari 101
Gambar 3-D. Profil temperatur plastik sepanjang x pada interval waktu t
Bab 8 Persamaan Diferensial Parsial
Halaman 122 dari 101
Tugas 10: Menyelesaikan PDP dengan penghampiran selisih terhingga
terpusat (semi diskretisasi)
Nomor 1
Suatu fenomena difusi-konveksi dapat dideskripsikan dengan PDP berikut ini: 2
2 0 1, t 0
(0, ) 1, 0
(1, ) 0, 0
( ,0) 0, 0 1
xt x x
t t
t txx x
θ θ θλ
θθ
θ
∂ ∂ ∂= − < < >
∂ ∂ ∂= >
∂= >
∂= < <
Jika harga λ = 25, selesaikan PDP diatas untuk rentang t = 0 s.d 5. Buat pula
gambar 3-D θ,t,x pada koordinat kubus (kartesius).
Gambar 3-D semu. Profil temperatur plastik sepanjang x pada interval waktu t
Daftar Pustaka
Daftar Pustaka
1. Chapra, Steven C. & Canale, Raymond P., “Numerical Methods for Engineers”, 1985, diterjemahkan ke dalam bahasa Indonesia dengan judul “Metode Numerik untuk Teknik” oleh UI-Press, Jakarta, 1991.
2. Constantinides A. & Mostoufi N., “Numerical Methods for Chemical
Engineers with MATLAB Applications”, Prentice Hall, New Jersey, 1983.
3. Cutlip, Michael B. & Shacham Mordechai, “Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical Methods”, Prentice Hall, New Jersey, 1999.
4. Hanna, Owen T. & Sandal, Orville C., “Computaional Methods In Chemical
Engineering”, Prentice Hall, New Jersey, 1999.
5. Lindfield G. & Penny J., “Numerical Method Using MATLAB”, Elis Horwood, London, 1995.
6. Riggs, James B., “An Introduction to Numerical Methods for Chemical
Engineers”, Texas Tech University Press, Texas, 1988.
7. Sediawan, W.B. & Prasetya A., “Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia”, Andi, Yogyakarta, 1997.