-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
1/9
BAB I
DIFERENSIASI NUMERIK
A. TUJUAN
Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial sederhana
dengan menggunakan persamaaan numerik.
B. DASAR T!RI
"ersamaan differensial biasa adalah suatau persamaan yang hanya melibatkan
satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi tak tentu y terhadap # dan mungkin
fungsi y sendiri$ fungsi tertentu dari #$ dan k%nstan&k%nstan. Jika sebuah persamaan
hanya mengandung turunan biasa dari satu atau beberapa 'ariabel tak bebas terhadap
satu 'ariabel bebas$ maka persamaan sifferensial yang bersangkutan dinamakan
persamaan differensial biasa (!rdinary Differential )uati%ns$ !D*.
+%nt%h persamaan differensial ,
dy
dx+10 y=℮ x
d2
yd x
2−dy
dx +6 y=0
-asalah diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau
hampiran untuk turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel.
Diferensiasi numerik harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai
pendekatan diferensial akan kurang teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan
asal nilai&nilai tersebut diturunkan.Sebenarnya$ turunan adalah limit dari hasil bagi. dan dalam hal ini ada pr%ses
pengurangan dua be saran bernilai besar dan membagi
dengan besaran keil. /ebih lan0ut 0ika fungsi f dihampiri menggunakan suatu
p%lin%m p$ selisih dalam nilai&nilai fungsi b%leh 0adi keil tetapi turunan&turunannya
mungkin sangat berbeda. 1arenanya masuk akal bahwa diferens iasi numerik adalah
runyam$ berlawanan dengan integrasi numerik$ yang tidak banyak dipengaruhi %leh
ketidaktelitian nilai&nilai fungsi$ karena integrasi pada dasarnya adalah suatu pr%ses
yang mulus.
"ersamaan differensial merupakan m%del matematis yang paling sering
munul dalam bidang keteknikan maupun saintifik
1
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
2/9
Salah satu penyelesaiannya dengan met%de beda hingga (finite differene*. 2ubungan
yang erat antara diferensiasi dan integrasi bisa ditin0au pada suatu fungsi y(t* yang
merupakan p%sisi benda sebagai fungsi waktu$ bentuk diferensialnya tertu0u pada
keepatan$
Sebaliknya$ dari k%nsep keepatan sebagai fungsi waktu$ integrasinya akan
menghasilkan suatu besaran p%sisi$
Berikut ini akan dibahas beberapa teknik atau met%de pendekatan yang pada
bab selan0utnya men0adi penting dan bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan&
persamaan diferensial seara k%mputasi numerik.
a. Definisi turunan (deri'atif*
Jika h 3 # 4 #5 3 6# maka pendekatan turunan di atas adalah
Diketahui suatu fungsi y 3 f (#*$ ingin diari padady
dx pada #3 x
0
"enyelesaiannya dapat menggunakan 7 ara yaitu ,
8. 9%rward Differene (Beda -a0u*
Dengan ara pertama$ mula&mula diambil titik hampiran pertama$
misal #5. Dengan selang sebesar h$ diambil titik kedua yang berada di depan
titik pertama$ misal #8. Sehingga #8 3 #5 : h. Dari kedua titik tersebut$ dapat
diari f ; (#* dengan rumus yang anal%gi dengan rumus persamaan garis. Bila
menggunakan -AT/AB$ atau s%ftware se0enis$ dapat digunakan fungsi
sebagai berikut,funti%n rsm0 3 selma0u(f$#$h*
rsm0 3
f ( x+h )− f ( x )¿¿¿
Beda hingga ma0u pertama dari y pada i atau # didefinisikan ,∆ yi= y i+1− y1 atau ∆ y ( x )= y ( x+h )− y ( x )
Beda ma0u kedua dari i atau # didefinikan 0uga ,
∆2
y1= y1+2−2 yi+1+ y i atau ∆2
y ( x )= y ( x+2h )−2 y ( x+h )+ y ( x)
2
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
3/9
Sehingga penyelesaian bisa dituliskan ,
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
4/9
rsp 3(f ( x+h )−f ( x−h ))
2×h
Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau # didefinisikan 0uga,
Atau
Turunan beda terpusat selan0utnya adalah ,
BAB II
+. /ATI2AN S!A/
LATIHAN DI LAB
NO 1
X0 2
ε 0,005
X0 X₀+ ε X₀‐ε f(X₀)F(x₀+ε
) f(X₀‐ε)
2,0000 2,00501,995
015,00
0015,10
5314,89
53
4
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
5/9
FORARD 21,0!00"A#KAR
D 20,9400
#EN$RA% 21,0000
LATIHAN DI LAB
NO 3
X₀ 8
7
8 <= x y
Ε 0,0005
X₀ X₀₊ε X₀‐ε f(X₀) F(x₀+
ε)
f(X₀‐
ε)
8,0000 8,0005
&,9995
9,8333
9,8358
9,8309
FORWARD
4,8335
BACKWAR
D
4,8332
CENTRAL
4,8333
LATIHAN SOAL NO4
@
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
6/9
X₀ X₀'ε X₀‐ε f(X₀)F(x₀+ε
) f(X₀‐ε)
&,0000 &,0020!,998
0!3,33
99!3,3!
83!3,31
15
FORWARD
14,20&2
BACKWAR
D
14,2048
CENTRAL
14,20!0
D. TUAS
==l%g=< <
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
7/9
FORWAR
D 1,5819BACKWA
RD 1,5819
CENTRAL 1,5819
BAB III
. 1SI-"U/AN DAN SARAN
1 KESIMU%AN* K*-.*.-f /*** -//-* /6*7* / *./*.- *: 6*-:
/-: ; **
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
8/9
-.:* -//-*- /-7 -7* 7/./-.-* **
/
-
8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx
9/9
>..6?CC*-***.*-*08./.-6..6?CC*./*.-7*-@6/;C.*:C/.//-7C
9
http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://matematikaindo.wordpress.com/tag/metode-numerik/http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://matematikaindo.wordpress.com/tag/metode-numerik/