Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen
Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev
Niveau
Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)
Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:
Niveaukleiner
Intervallbreiter
Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Schätzer von
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y
hat man
Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt
Annahme:
Konfidenzintervalle:
wobei
In unserem Beispiel:
Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:
und
Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
BeispielKaufhaus-Konzern
Kauf würde in Erwägung
gezogen
Kauf würde nicht in Erwägung
gezogen
572 1428
Der Zentrale Grenzwertsatz
Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau
Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes nn n 100 100
Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Konstante c ist dabei:
: Gamma-Funktion
Die Student- oder t-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Konstante d ist dabei:
Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen
mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
Für unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen W und U mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz unbekannt
Student-Verteilung(oder t-Verteilung)
Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt
Einseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt
zweiseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt
Einseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt
Zweiseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Übersicht IKonfidenzintervalle
für den Erwartungswert
Übersicht IIKonfidenzintervalle
für die Varianz
Rechenbeispiel
Stichprobe vom Umfang n = 5
3.5 7.2 5.0 4.3 7.9
Stichprobenfunktionen
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
Fehler:0,831
Fehler:0,831
Fehler:0,831
Fehler:0,831
Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
1.Fall
2.Fall
3.Fall
6.Fall
18.28
5.Fall
4.Fall
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!
2.Fall
5.Fall
TESTS
TESTS
TESTS
TESTS
TESTS
TESTSTESTS
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet
Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgaubehauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim,dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage„Sonnenstrahl“ dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen.G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor:Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigenSonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht.Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber-formel ein:
y = x + 0,438 s
Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nichtkaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft,obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?
Worum es gehtMan möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.
Beobachtung (Stichprobe)
EntscheidungEntscheidungVorgabe:
„Irrtumswahrscheinlichkeit“
Formulierung einerHypothese
NullhypotheseNullhypotheseIn der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“sollte wenigstens klein sein.
Mathematischer Rahmen ITESTS
Statistische Struktur
Testproblem(Hypothese)
NullhypotheseNullhypothese
Gegeben sind:
Stetiger Fall Diskreter Fall
Niveau
Mathematischer Rahmen IITESTS
TestTest gegeben durch:
Ablehnungsbereich
Teilmenge der Grundgesamtheit :
Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen
Mathematischer Rahmen IIITESTS
Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)
Entweder Oder
Beobachtung liegtim Annahmebereich
Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich
Hypotheseannehmen!
Hypothese ablehnen!
Fehler erster und zweiter Art
HypotheseHypotheseakzeptiertakzeptiert
Hypotheseabgelehnt
HypotheseHypothesewahrwahr
Hypothesefalsch
EntscheidungEntscheidung
RealitätRealität
Fehler 1. Art
Fehler 2. Art
Niveau und Macht
Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. ArtFehler 1. Art zu begehenNiveauNiveau
Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt
MachtMacht in einem Punkt der Alternative
2 Würfel
Fairer Würfel
Gezinkter Würfel
1/6
1/5
?
?
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung