konfidenzintervalle intervallschätzung jeder beobachtung wird ein intervall c( ) der reellen zahlen...
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Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen
Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
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Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev
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Niveau
Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)
Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:
Niveaukleiner
Intervallbreiter
Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Schätzer von
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Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y
hat man
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Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt
Annahme:
Konfidenzintervalle:
wobei
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In unserem Beispiel:
Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:
und
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Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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BeispielKaufhaus-Konzern
Kauf würde in Erwägung
gezogen
Kauf würde nicht in Erwägung
gezogen
572 1428
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Der Zentrale Grenzwertsatz
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes nn n 100 100
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Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Konstante c ist dabei:
: Gamma-Funktion
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Die Student- oder t-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
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Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Konstante d ist dabei:
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Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen
mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
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Für unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen W und U mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
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Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz unbekannt
Student-Verteilung(oder t-Verteilung)
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Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt
Einseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt
zweiseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt
Einseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt
Zweiseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
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Übersicht IKonfidenzintervalle
für den Erwartungswert
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Übersicht IIKonfidenzintervalle
für die Varianz
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Rechenbeispiel
Stichprobe vom Umfang n = 5
3.5 7.2 5.0 4.3 7.9
Stichprobenfunktionen
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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Fehler:0,831
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Fehler:0,831
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Fehler:0,831
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Fehler:0,831
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Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
1.Fall
2.Fall
3.Fall
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6.Fall
18.28
5.Fall
4.Fall
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
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Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!
2.Fall
5.Fall
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TESTS
TESTS
TESTS
TESTS
TESTS
TESTSTESTS
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet
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Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgaubehauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim,dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage„Sonnenstrahl“ dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen.G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor:Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigenSonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht.Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber-formel ein:
y = x + 0,438 s
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Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nichtkaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft,obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?
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![Page 45: Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd801/html5/thumbnails/45.jpg)
Worum es gehtMan möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.
Beobachtung (Stichprobe)
EntscheidungEntscheidungVorgabe:
„Irrtumswahrscheinlichkeit“
Formulierung einerHypothese
NullhypotheseNullhypotheseIn der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“sollte wenigstens klein sein.
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Mathematischer Rahmen ITESTS
Statistische Struktur
Testproblem(Hypothese)
NullhypotheseNullhypothese
Gegeben sind:
Stetiger Fall Diskreter Fall
Niveau
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Mathematischer Rahmen IITESTS
TestTest gegeben durch:
Ablehnungsbereich
Teilmenge der Grundgesamtheit :
Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen
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Mathematischer Rahmen IIITESTS
Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)
Entweder Oder
Beobachtung liegtim Annahmebereich
Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich
Hypotheseannehmen!
Hypothese ablehnen!
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Fehler erster und zweiter Art
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HypotheseHypotheseakzeptiertakzeptiert
Hypotheseabgelehnt
HypotheseHypothesewahrwahr
Hypothesefalsch
EntscheidungEntscheidung
RealitätRealität
Fehler 1. Art
Fehler 2. Art
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Niveau und Macht
Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. ArtFehler 1. Art zu begehenNiveauNiveau
Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt
MachtMacht in einem Punkt der Alternative
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2 Würfel
Fairer Würfel
Gezinkter Würfel
1/6
1/5
?
?
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung