Download - Kraftfelder und Minimierung
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 1
Kraftfelder und Minimierung
• verschiedene Kraftfelder
• Terme in Kraftfeldern
• Elektrostatik
• starke und schwache zwischenmolekulare Kräfte
• Optimierungs-/Minimierungsalgorithmen
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 2
Kovalente Bindungen
Kovalente Bindungen lassen sich erfolgreich als Oszillator darstellen.
Mathematisch kann diese Form des Energiepotentials auf verschiedene Weise angenähert werden.
E
Auslenkungro
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 3
Bindungen im Kraftfeld (I)
E
harmonisch (r2)
ro tatsächlich
Die einfacheste Annäherung ist das harmonische Potential
Vorteile: schnell zu berechnen (v.a. bei sehr vielen Atomen)Betonung des Minimums bei sehr großem r (z.B. schlechte
Startgeometrie)
Nachteil: schlechte Werte wenn r weit weg von r0 ist
202rrkrV
→ AMBER, CHARMM, ...
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 4
Bindungen im Kraftfeld (II)
E
Morse-Potential
tatsächlichD0
Sehr viel exakter ist das Morsepotential
Vorteile: sehr gute Übereinstimmung mit dem tatsächlichen Potentialverlauf
Nachteil: exp-Funktion ist numerisch aufwendig zu berechnen3 Parameter pro Bindung notwendig
200 exp1 rraDrV
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 5
Bindungen im Kraftfeld (III)
E
r2 + r3
ro tatsächlich
Quadratisches und kubische Funktion vom Abstand r
Vorteile: noch relativ schnell zu berechnen
Nachteile: falscher Verlauf wenn r sehr viel größer als r0 ist
3022
01
22rrkrrkrV
→ MM2, MM3, ...
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 6
Bindungsabstände und Bindungsdissoziationsenergien (I)
Bindung Abstand [Å] Do [kJ/mol] (homolytische Spaltung)
H–H 0.742 432C–H 1.09 ± 0.01 411 ± 7C–C 1.54 345C=C 1.34 - 1.40* 602 ± 21 *aromatische BindungC≡C 1.20 835C–N 1.47 305C=N 1.35 615C≡N 1.16 887C–O 1.43 358C=O 1.20 526C–Si 1.85 318C–P 1.84 264C–S 1.82 272C=S 1.60 577 ± 21
H
NaLi
K
Be
Cs
Rb
Ca
Sr
Ba
B C N O
Al SSi P Cl
He
F
Ge
Ne
In ITeSn
Br
XnSb
KrSeAsGa
Ar
Bi PoPb RnAtTl
Mg
länger
läng
er,
schw
äche
r
Verändert aus: J.E.Huheey Inorganic Chemistry, Wiley.
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 7
Bindungsabstände und Bindungsdissoziationsenergien (II)
Bindung Abstand [Å] Do [kJ/mol]
C–F 1.35 485C–Cl 1.77 327C–Br 1.94 285C–I 2.14 213C–H 1.09 411O–H 0.96 459N–H 1.01 386 ± 8S–H 1.34 363 ± 5N–N 1.45 247 ± 13N=N 1.25 418N–O 1.40 201N=O 1.21 607P–O 1.63 ≈335P=O ≈1.50 ≈544
polare Wasserstoffe, tauschen in polarem Solvens aus (z.B. mit denen des Wassers)
apolares Wasserstoffatom
Grund:N, O, und S sind elektronegativer als C;
Heterolytische Spaltung der Bindung → Ionen
Aber nicht in Kraftfeldern, da die Topologie nicht verändert wird !(kein Bindungsbruch)
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 8
Bindungen im Kraftfeld (II)Um die unterschiedlichen Bindungslängen und Bindungsstärken angemessen wiederzugeben brauchen wir also für jedes Element eine ganze Reihe von Atomtypen. Zumindest soviele, wie es Hybridisierungszustände gibt.
Bindung r0 [Å] k [kcal mol-1 Å-2]
Csp3–Csp3 1.523 317Csp3–Csp2 1.497 317Csp2=Csp2 1.337 690Csp2=O 1.208 777Csp3–Nsp3 1.438 367Auswahl an Atomtypen des MM Kraftfeldes (N. Allinger 1977)
CC C
O
sp3 sp2 sp spx
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 9
BindungsabständeExtreme Abweichungen von idealen Bindungsabständen
1.8 Å 1.54 Å
1.9 Å
1.54 Å
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 10
Bindungswinkel (I)Hängen sehr stark von der Hybridisierung ab
C CC CC109.5°
sp3+ 3
120°
sp2 + p
-Biungen
-Bindungen
=
180°
sp + 2p
2s 2p
Die C–C -Bindung ensteht durch Überlappung der 1s OrbitaleDie C–C -Bindung durch Überlappung der 2p Orbitale
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 11
Bindungswinkel (II)
→ Probleme für Kraftfelder. Man benötigt deshalb mehr als einen Atomtyp pro Hybridisierung (vgl. spx Hybridisierung).
Extreme Abweichungen von idealen Bindungswinkeln
C
C
C
H
H H
H
H
HC
C
C
C C
CC
C
H H
H
H
HH
H
H
C
C
CH H
H
H
60°
Cuban Cyclopropan
90°64°
Cyclopropen
58°
109.5°109.5°
109.5°
120°
Verursacht Ringspannung in 3- und 4-Ringen
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 12
Bindungswinkel (III)
202
kV
Mathematische Formen für das Bindungswinkelpotential
Harmonisches Potential → MM, MM2, MM3, AMBER, CHARMM,...
(cyclische) Cosinusterme → UFF
n
in nCV
1
cos
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 13
Torsionswinkel (I)
C
H
C
CH3
HH
H
CH3
H
CH3H
CH3
HH
Mathematische Formen für das Torsionspotential
Überlagerung von Cosinustermen
0 180 360
E
offsetcos120
nVVN
n
n
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 14
Zusätzliche Potentiale (I)
OO
135°120°
Problemfall Cyclobutanon
Out of plane bending
Improper torsion: Potential des Torsionswinkel über 1-2-3-4 soll bei 180° ein Minimum haben
12
3
4
Lösung: spezielle Atomtypen und Winkelpotentiale, oder
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 15
Zusätzliche Potentiale (II)
Typische Gruppen und Fragmente bei denen improper torsions oder out of plane bending Terme eingesetzt werden, um Planarität zu erzwingen
O O
N
NH2
NH2
H+
→ Seitenketten in Aminosäuren (welche ?)
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 16
Zusätzliche Potentiale (III)
Kreuzterme zwischen Winkel und Bindungslängen
Beobachtung: bei kleineren Winkeln werden die Bindungen länger
→ MM2, MM3, CHARMM
Weitere Kreuzterme:Bindung-Torsion, Winkel-Torsion, Winkel-Winkel,...
Ursache: Nichtbindende Wechselwirkungen zwischen Atomen zwischen denen keine Bindung besteht
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 17
Elektrostatische Kräfte (I)
+
0 -
qi
qj
rij
Das unterschiedliche Bestreben der Atome/Elemente Elektronen aufzunehmen bzw. abzugeben führt zu einer ungleichmäßigen Verteilung der Ladung über das Molekül.Am einfachsten wird diese durch die Annahme partieller Ladungen auf den Atomen modelliert.(Eigentlich: Atomkerne positiv geladen, Elektronenhülle negativ)
N
i
N
ij ij
ji
orestat r
qqE
41
In der Praxis werden solche nichtbindenden Wechselwirkungen nur Atome berechnet die mindestens 4 oder mehr Bindungen auseinander sind (implizit in Winkel- und Torsionstermen enthalten).
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 18
Elektrostatische Kräfte (II)
mC
CJm
rqq
EN
i
N
ij ij
ji
orestat
2
7
219
212 108.2106.1
1085.8141
41
Beispiel: die Coulomb-Anziehung zwischen einem Na+ und Cl- Ionenpaar im Abstand von r = 2.8 Å (= 280 pm = 2.8 ∙10-7 m) im Vakuum
Die Ladung eines Protons ist e = +1.60 ∙10-19 C,
die eines Elektrons e = –1.60 ∙10-19 C,
Dielektrizitätskonstante des Vakuums o = = 8.85 ∙10-12 C2 J-1m-1
relative Dielektrizitätskonstane r (Vakuum = 1, Wasser ≈ 80)
J221022.8
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 19
Partielle Atomladungen (I)
Das Konzept partieller Atomladungen ist zwar äußert nützlich, physikalisch sind diese jedoch weder beobachtbar noch meßbar.
Lit: J.Gasteiger, M.Marsili, Tetrahedron 36 (1980) 3219-3288.
Zur Ableitung partieller Atomladungen gibt es mehrere Verfahren:
Gasteiger-Marsili-Ladungen:
Partieller Ausgleich der Elektronegativität in einem iterativen Verfahren (es wird ein Teil der Elektronen auf das jeweils elektronegativere Element transferiert).
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 20
Partielle Atomladungen (II)
ii
iKerne
A A
AESP dr
rrr
RrZrV
2
Fit der Atomladungen aus quantenchemischen Berechnungen der Elektronendichte bzw. des elektrostatischen Potentials.
Die Summe der Atomladungen muß die elektrischen Multipolmomente wiedergeben. Deshalb iterativer Fit.
Literatur:
Cox & Williams J. Comput. Chem. 2 (1981) 304
Bieneman & Wiberg J. Comput. Chem. 11 (1990) 361 CHELPG Verfahren
Singh & Kollman J. Comput. Chem. 5 (1984) 129RESP Verfahren Ladungen für das AMBER Kraftfeld
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 21
Elektrische Multipole
+
+
+ +O C O+
Die elektrischen Multipole geben die Ladungsverteilung im Molekül wieder:
Cl- Ion Monopol
H- Cl >=2 Ladungen Dipol
allgemeines Dipolmoment vektorielle Größe = q ∙ l
Die höheren elektrischen Momente sind:
CO2 4 Ladungen Quadrupol 3*3 Matrix (Tensor)
CH4 8 Ladungen Octupol
16 Ladungen Hexadekapol ...
Ladungen müßen nicht zwangsweise auf den Atomen liegen !
+
+
+
+
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 22
Nichtbindende Wechselwirkungen (I)
Welche gibt es?
Elektrostatische: SalzbrückenKoordinative Bindung von Metallen (Komplexe)Wasserstoffbrücken(auch zu geladenen Gruppen)van der Waals
Bereichbis zu:
≈250 kcal/mol≈200 kcal/mol 1-8 kcal/mol (neutral) 0.5 kcal/mol (pro Atompaar)
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 23
Nichtbindende Wechselwirkungen (II)
+Na Cl
O
ON
NH
NHH
HH
+
carboxylateAsp, Glu
guanidiniumArg
Starke und mittlere Elektrostatische Interaktionen (statisch)
O
O
H O
H
HO
H
N
H
H
H+
-
+
ion-dipoleionic hydrogen bond
-
+
+
O H N- -++
dipole-dipolehydrogen bond
O
O
O
O
Mg++ ion-ionsalt bridge
S
H
Zn++
metal complexation
-ion-dipole interaction
coordinative binding
MO interactionalmost covalent binding
schw
äche
r
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 24
Nichtbindende Wechselwirkungen (III)
N HH H
+ion-quadrupolecation-
OH
quadrupole-quadrupole- stacking
C HH H octupole-quadrupole
schwache elektrostatische Interaktionen (induziert, dynamisch)
C
H
HH C
H
HH
octupole-octupole
Hydrophobe Interaktionenvan der Waals (vdW) WW
schw
äche
r
Ger
inge
re
Pol
aris
ierb
arke
itdelocalized-system
localized-bond
-bond
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 25
Nichtbindende Wechselwirkungen (IV)
E
r0welldepth
long rangeattractive
short rangerepulsive
collisiondiameter
+ +
+ +
verringerte ElektronendichteAbstoßung der Kerne
qi qj
r rijE =
Dispersive Interaktionen: London-Kräfte und van der Waals WW
Lennard-Jones potential
Fluktuationen der Elektronenwolke erzeugen kurzzeitige Dipole. Diese induzieren wiederum Dipole wodurch im zeitlichen Mittel eine Anziehung resultiert.
r6ELondon = +...
-C6
612
4rr
EvdW
durchschnittlicheselektrischesMomentist Null
Die Fluktuation der Elektronenverursacht kurzzeitigeDipolmomente
+ -
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 26
Nichtbindende Wechselwirkungen (V)
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
methylMe
isopropylipr
cyclohexyl phenyltert-butylt-butyl
naphthyl
Hydrophobe Interaktionen sind durch die Abwesenheit von polaren Wasserstoffen (und geringen Elektronegativitätsunterschieden) charakterisiert.
Beispiele für apolare Gruppen:
Beispiele für apolare Substituenten:Cl IBrF( )
Elektronegativität (Elektronen-ziehend)
Polarisierbarkeit
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 27
Zusätzliche Potentiale (IV)
1012 rC
rAE bondH
Zusätzlich zur elektrostatischen Anziehung gibt es Terme um Wasserstoffbrücken (exakter) zu beschreiben, v.a. deren Winkelabhängigkeit.
Eine Modifikation der van der Waals Anziehung berücksichtigt nur die Abstandsabhängigkeit
→ AMBER, CHARMM Kraftfeld
O H N
HNH
N
r
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 28
Zusätzliche Potentiale (V)
O
H
N
r
421012 coscos
r
CrAE bondH
Zusätzliche Berücksichtigung der Winkelabhängigkeit bei H-Brücken:
GRID Programm P.Goodford J.Med.Chem. 28 (1985) 849.
YETI Kraftfeld
41012 cos
r
CrAE bondH
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 29
Zusätzliche Potentiale (VI)
Spezielle Kraftfelder beinhalten Terme zur Modellierung von
• -Elektronen (konjugative Effekte auf Bindungslängen)
• Polarisierbarkeit
Nachteile: hoher numerischer Aufwand Parameterisierung erklärt nicht (immer) die zugrundeliegenden physikalischen Effekte
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 30
Kraftfelder – ein (unvollständiger) Stammbaum
MM Allinger 1973
MM2 Allinger 1977
MM3 Allinger 1989
MM4 Allinger 1996
AMBERWeiner, Kollman 1981
CHARMMBrooks, Karplus 1982
GROMOSvan Gunsteren, Berendsen 1987
OPLSJorgensen 1989
DreidingOlafson, Goddard 1990
UFFRappé, Goddard 1992
Karplus, Gelin
Sybyl, MMCV
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 31
Minimierungsalgorithmen (I)
Für eine vorgegebene Molekülgeometrie (Konformer) können wir nun also die spezifische Kraftfeldenergie berechnen.
Die Frage ist nun: Gibt es energetisch günstigere Konformere ?Wir brauchen also die Ableitung der Energie nach der Geometrie, sprich den Atomkoordinaten.
...
1cos22
612
20
20
Estat
ij ij
jivdW
ij
Torsionen
n
WinkelBindungen
rqq
rB
rA
nCkrrkE
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 32
Minimierungsalgorithmen (II)
202rrkrV
0rkrk
rrV
krrV
2
Im einfachsten Fall könnten wir zufällige Veränderungen der Atomkoordinaten generieren, und energetisch günstigere als neue Geometrie akzeptieren.Eine ähnliche Vorgehensweise liegt bei Monte Carlo Simulationen vor.
Für nur eine Koordinate (z.B. 1 Bindungslänge) könnten wir das Minimum durch Intervallschachtelung finden. Für eine zielgerichtete Suche nach einem Energieminimum werden wir aber die Ableitungen der Energiefunktion verwenden.
E
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 33
Energiehyperfläche
f = (x-2)2 + (y+1)2
Einfache Energiehyperflächen (2 Koordinaten) kann man entweder als Hyperfläche (links) oder als Contour-Plot (rechts) darstellen.
Ran Friedmanbioinfo.tau.ac.il/Protein_Visualization_01-02/Lesson%207/Introduction_Prot_Simul.ppt
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 34
Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (I)
Selbst einfachste Moleküle haben eine Vielzahl von Freiheitsgraden die die einzelnen Konformere ineinander überführen. Wir können diese Freiheitsgrade entweder durch die internen Koordinaten ausdrücken (Bindungen, Winkel, Torsionen), oder durch Angabe der kartesischen Koordinaten (x,y,z) für jedes der N Atome.
Im Falle von kartesischen Koordinaten haben wir 3 ∙ N Koordinaten. Durch reine Translationen und Rotationen des gesamten Moleküls ändert sich dessen Geometrie jedoch nicht. Benutzen wird dagegen interne Koordinaten so reduzieren sich die Optimierung auf 3N – 6 Koordinaten.
4 Atome: 3 Bindungen + 2 Winkel + 1 Torsion = 6 interne Koordinaten
4 Atome: 4 ∙ 3 x,y,z-Koordinaten = 12 kartesische Koordinaten
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 35
Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (II)
Die Verwendung internen Koordinaten macht dann Sinn, wenn die Generierung der Ableitungen rechenzeitaufwendig ist, z.B. bei quantenchemischen Methoden.Zur Darstellung/Eingabe solcher Molekülkoordinaten wird daher oft eine sog. Z-Matrix verwendet:
HC r1 1N r2 2 a1 1O r3 3 a2 2 d1 1
r1
r2a1
r3
a2d1
H
C N
O
x
z
y
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 36
Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (III)
Bei großen Molekülen kommt der Unterschied zwischen 3N – 6 und 3N Koordinaten kaum noch zum Tragen. Deshalb verwendet man bei Kraftfeldrechnungen üblicherweise kartesische Koordinaten.
Weiterer Vorteil von kartesischen Koordinaten:
Visuell einfach darstellbar
Keine numerischen Probleme der Z-Matrix bei linearen Molekülen
Nachteil kartesischer Koordinaten:
Zur Berechung der Ableitungen muß oftmals in interne Koordinaten transformiert werden.
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 37
Energiehyperfläche
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 38
• Gradient – die erste Ableitung der Energie E bezüglich der Koordinaten kartesische Koordinaten x, y, zinterne Koordinaten l, , , ...
Kraft
• Stationäre Punkte - Punkte auf der Energiehyperfläche, in denen der Gradient (bzw. die Kraft) gleich Null ist.
Dies sind Maxima, Minima, Übergangszustände und Sattelpunkte.
Energiehyperfläche: Gradient
E
bzwEx
E EFr y
Ez
F r
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 39
• Für eine stetige und zweimal differenzierbare Funktion f ist
g(x) =(g1, ..., gN) der Gradientenvektor der ersten Ableitungen
• Die N N Matrix der zweiten Ableitungen heisst Hess’sche-Matrix.
• In einem Minimum ist die Krümmung positiv.
In höheren Dimensionen wird Konvexität in einem Punkt x* als positive Definitheit der Hess’schen Matrix bezeichnet:
Positive Definitheit garantiert, daß alle Eigenwerte in x* positiv sind.
Energiehyperfläche: Hess’sche Matrix
ji
ij xxxfxH
2
i
i xxfxg
00* yyxHyT
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 40
• Eine positiv-semidefinite Matrix hat nichtnegative Eigenwerte.
• Eine negativ-semidefinite Matrix hat nichtpositive Eigenwerte.
• Eine negativ-definite Matrix hat lediglich negative Eigenwerte.
• Ansonsten ist die Matrix indefinit.
Energiehyperfläche: Definitionen
Stationäre Punkte sind fett markiert.
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 41
Vorzeichen der zweiten Ableitungen• Durch Diagonalisierung der Hess’schen Matrix erhält man Eigenvektoren, die die
normalen ( = orthogonalen) Schwingungsmoden des Moleküls sind.
Die zugehörigen Eigenwerte sind proportional zum Quadrat der jeweiligen Schwingungsfrequenz.
• Das Vorzeichen der zweiten Ableitungen entscheidet, ob es sich bei stationären Punkten auf der PES um Maxima oder um Minima handelt, da mit einer Frequenzrechnung das Vorzeichen der Schwingungsfrequenzen bestimmt wird. Damit lässt sich auch endgültig klären, ob eine Konformation tatsächlich ein Minimum auf der PES ist
• Minima auf der PES besitzen nur positive Eigenwerte bzw. reelle Schwingungsfrequenzen
• Maxima oder Sattelpunkte (Maximum in einer Richtung, aber Minima in allen anderen Richtungen) besitzen eine oder mehrere imaginäre Schwingungs-frequenzen. (Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ergibt eine imaginäre Zahl).
• Übergangszustände haben genau 1 negativen Eigenwert.
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 42
Algorithmen zur Energieminimierung
Lokales Minimum:
Für einen Vektor x mit n Komponenten {xi} lautet das Minimierungsproblem
minx { f(x) }, x D n. Dann ist x ein lokales Minimum und
f( x) < f(y) y D n, y x
Globales Minimum:
x n ist ein globales Minimum f( x) < f(y) y n x
[Schlick 10.2.4]
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 43
Methode, die nur die Energiewerte verwendet ...• Am einfachsten zu implementieren.
• Läuft in eine Richtung bis die Energie ansteigt, dreht dann um die Suchrichtung um 90º, etc.
• ist am wenigsten effizient– viele Schritte notwendig
– Schritte sind nicht gerichtet
• wird daher selten verwendet.
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 44
Grundlegende algorithmische KonzepteDie grundlegende Struktur von iterativen, lokalen Optimierungsalgorithmen ist die
des “greedy descent” (am schnellsten bergab).
D.h. ausgehend von einem Startpunkt x0 wird eine Sequenz von Schritten {xk}
erzeugt, wobei bei jeder Iteration versucht wird, den Wert der Zielfunktion f(x) zu verringern.
Es gibt 2 Klassen von Algorithmen: line-search und trust-region.
Beide sind weitverbreitet und sind Bestandteile von Optimierungsmethoden, die von jedem Startpunkt aus die Konvergenz zu einem lokalen Minimum garantieren. Beide Methoden sind gleichermaßen empfehlenswert.
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 45
Line-Search basierender Descent Algorithmus [A1]Von einem gegebenen Anfangspunkt x0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden
Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt.
(1) Überprüfe xk auf Konvergenz
(2) Berechne eine Abstiegs-Richtung pk
(3) Bestimme eine Schrittweite k durch eine 1-dimensionale Suche so dass für den
neuen Positionsvektor xk+1 = xk + k pk und den entsprechenden Gradient
gk+1 gilt:
(“ausreichende Abnahme”)
(“ausreichende Verringerung der
gerichteten Ableitung”)
z.B. = 10-4, = 0.9 in Newton-Methoden
(4) Setze xk+1 = xk + k pk und k k + 1 und gehe zurück nach (1)
10
und
1
1
mit
ff
kTkk
Tk
kTkkkk
pgpg
pgxx
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 46
[A1] (2): Richtung der AbnahmeEine solche Richtung pk ist eine Richtung, entlang derer die Funktion f lokal
abnimmt.
Solch einen Vektor kann man durch definieren.
Für genügend kleine gilt dann:
0kTkpg
02
2
pxg
pxHppxgxpx
T
TTff
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 47
Steepest Descent (SD)Die einfachste Möglichkeit, eine gültige Abnahme-Richtung vorzugeben, ist
zu setzen:
Damit ist automatisch erfüllt
kk gp
0...
......
223
22
21
3
2
1
321
n
n
n
kTkk
Tk
gggg
g
ggg
gggg
ggpg
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 48
Steepest Descent (SD) Methode in der Praxis• Ist die einfachste häufig verwendete Methode
• folgt wie oben erwähnt jeweils dem negativen Gradienten g (also der grössten Kraft)
d = - g
• man legt meist einen minimalen und maximalen Wert für die Verschiebung der Koordinaten fest
• jenach, wie steil der Gradient ist, wird die Schrittweite vergrössert oder verkleinert
• SD ist die schnellste Methode, wenn man eine schlechte Startgeometrie besitzt
• konvergiert langsam in der Nähe des Minimums
• kann dort um das Minimum oszillieren
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 49
Conjugate Gradient (CG) Methode• verwendet die ‘Geschichte’ der Minimierung,
also den vorherigen Wert di-1.
di = - gi + i-1 di-1
• Im Gegensatz zu SD wird also implizit die Information der zweiten Ableitungen verwendet um die Suche zu steuern.
• Es gibt viele Varianten von CG wie
Fletcher-Reeves, Davidon-Fletcher-Powell und Polak-Ribiere Methoden.
• CG konvergiert wesentlich schneller in der Nähe des Minimums als SD!
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 50
Methoden mit zweiter Ableitung• Die zweite Ableitung der Energie E bezüglich der (kartesischen)
Koordinaten r – die Hess’sche Matrix H(r) – bestimmt den Suchpfad.
Entwickle E(r) um r
Dann ist der Newton-Raphson Schritt
• fi ist die Projektion des Gradienten entlang des
Hess’schen Eigenvektors mit Eigenwert i.
• Ist rechenaufwendiger, aber gewöhnlich
schnell und zuverlässig, besonders in
der Nähe des Minimums.
• Varianten: Quasi-Newton (QN), Newton-Raphson ...
0 0 0 012
ttE E r r g r r r r H r r
' ' ', ii i
i i
fx x
r
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 51
Trust-Region basierender Descent Algorithmus [A2]Nimm an, daß in einer inneren Region eine quadratische Funktion qk als Näherung an f
existiert, der man “vertrauen kann”. Es reicht dann aus, das Minimum dieser quadratischen Funktion zu finden.
Algorithmus:
Von einem gegebenen Anfangspunkt x0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt.
(1) Überprüfe xk auf Konvergenz
(2) Berechne einen Schritt sk durch Lösen des Subproblems
wobei qk das quadratische Model der Zielfunktion ist:
Dies gilt für s innerhalb einer Schranke k > 0.
Ausgedrückt mit einer Skalierungsmatrix Dk gilt
(3) Setze xk+1 = xk + sk und k k + 1 und gehe zurück nach (1)
sqksmin
sHssgxs kTT
kkk fq21
kk sD
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 52
praktische Empfehlungen• Benutze viele unterschiedliche Startpunkte• Vergleiche Ergebnisse mehrerer Algorithmen (bzw. mehrerer Kraftfelder)
• überprüfe Eigenwerte im Minimum.
Bis auf 6 Eigenwerte, die fast gleich Null sein sollten und die Translations- und Rotationsinvarianz wiederspiegeln, sollten alle positiv sein.
[Schlick, Kap. 10.7]
Bei der Optimierung von Proteinstrukturen ausgehend von den Koordinaten aus der zugehörigen .pdb Datei empfiehlt sich folgende Strategie:
1. 100-500 Schritte mittels steepest descent (grobe Optimierung, v.a. Torsionswinkel und nichtbindende Wechselwirkungen)
2. anschließende Optimierung mit einem conjugate gradient Verfahren (schneller in der Nähe eines Minimums)
[Leach “Molecular Modelling”, Kap.4 Energy minimisation]
3. Vorlesung SS08 Computational Chemistry 53
Verfahren um das globale Energie-Minimum zu finden• Systematische Variation der Torsionswinkel
• Randomization-minimization (Monte Carlo)
• Moleküldynamik (Newton’sche Bewegungsgleichung)
• Simulated Annealing (reduziere Temperatur während MD Simulation)
• Genetische Algorithmen (man startet wird einer Menge von Konformationen; kleine Veränderungen; behalte die der geringsten Energie; wiederhole diese Schritte)
• Reine Zufallssuche (funktioniert am schlechtesten)