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Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 1 / 16
Koalgebraische Semantik und Minimierungin Mengen und darüber hinaus
Coalgebraic Semanticsand Minimizationin Sets and Beyond
Thorsten Wißmann3. Juni 2020
FAU Erlangen-Nürnberg
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 2 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 2 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 2 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 2 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
c∶C → PC
„Transitionssystem“
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:
„Bisimilarität“3a5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
c∶C → 2 × CA
„Determin. Automat“
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:
„Sprach-Äquivalenz“
3a5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
c∶C → R(C)„Markov-Kette“
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:
„Gewichtete Bisimil.“3a5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
c∶C → FXΦ
„CTS“
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:
„Conditional Bisim.“3a5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:3a
5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 3 / 16
Funktor F ∶C → C F -Koalgebra
F -Koalgebra-HomomorphismusBeispiel
P2 × (−)A
R(−)
F ∶PosF ∶Nom
F ∶Set→ Set c∶C
Zustandsmenge
→ FC
c∶C → FX
„Equivariant“
h∶ (C , c)→ (D, d)Semantik / Verhaltensäquivalenz:
„(α-)Äquiv.-Klassen“3a5b
8a3b 4a
4b
⊥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 4 / 16
Instanzen vonF -Koalgebren
KoalgebraischeErgebnisse
Transitionssysteme
Deterministische Automaten
Markov-Ketten
Koinduktions-Prinzip
Logik
Algorithmen
Neue Instanz Neue Methode
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 4 / 16
Instanzen vonF -Koalgebren
KoalgebraischeErgebnisse
Transitionssysteme
Deterministische Automaten
Markov-Ketten
Koinduktions-Prinzip
Logik
Algorithmen
Neue Instanz Neue Methode
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 4 / 16
Instanzen vonF -Koalgebren
KoalgebraischeErgebnisse
Transitionssysteme
Deterministische Automaten
Markov-Ketten
Koinduktions-Prinzip
Logik
Algorithmen
Neue Instanz Neue Methode
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 4 / 16
Instanzen vonF -Koalgebren
KoalgebraischeErgebnisse
Transitionssysteme
Deterministische Automaten
Markov-Ketten
Koinduktions-Prinzip
Logik
Algorithmen
Neue Instanz Neue Methode
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 5 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 5 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 5 / 16
Definition für halbgeordnete Menge (Φ,≤) Versionen
• Conditional Transition System:f ∶C → Pos((Φ,≤), (PC ,⊇))
• Conditional Bisimulation:Bisimulationen (Rφ)φ∈Φ, ...., monoton in φ.
[Beohar, König, Küpper, Silva, 2017]
x
z
yv1, v2
v1, v2
v2
Verallgemeinerte Definitionen für F ∶Pos → Pos• F hat Versionsfilter ∣φ∶FX → FX (in K̀ ((−)Φ)), wenn ....• Conditional Bisimulation auf c∶C → FCΦ:
Bisimulationen (Rφ)φ∈Φ, ... , monoton in φ
Theorem Für sog. Upgrade-erhaltende c∶C → FCΦ gilt:Conditional Bisimilarity = Koalgebraische Verhaltensäquivalenz
Neue Instanz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 5 / 16
Definition für halbgeordnete Menge (Φ,≤) Versionen
• Conditional Transition System:f ∶C → Pos((Φ,≤), (PC ,⊇))
• Conditional Bisimulation:Bisimulationen (Rφ)φ∈Φ, ...., monoton in φ.
[Beohar, König, Küpper, Silva, 2017]
x
z
yv1, v2
v1, v2
v2
Verallgemeinerte Definitionen für F ∶Pos → Pos• F hat Versionsfilter ∣φ∶FX → FX (in K̀ ((−)Φ)), wenn ....• Conditional Bisimulation auf c∶C → FCΦ:
Bisimulationen (Rφ)φ∈Φ, ... , monoton in φ
Theorem Für sog. Upgrade-erhaltende c∶C → FCΦ gilt:Conditional Bisimilarity = Koalgebraische Verhaltensäquivalenz
Neue Instanz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 5 / 16
Definition für halbgeordnete Menge (Φ,≤) Versionen
• Conditional Transition System:f ∶C → Pos((Φ,≤), (PC ,⊇))
• Conditional Bisimulation:Bisimulationen (Rφ)φ∈Φ, ...., monoton in φ.
[Beohar, König, Küpper, Silva, 2017]
x
z
yv1, v2
v1, v2
v2
Verallgemeinerte Definitionen für F ∶Pos → Pos• F hat Versionsfilter ∣φ∶FX → FX (in K̀ ((−)Φ)), wenn ....• Conditional Bisimulation auf c∶C → FCΦ:
Bisimulationen (Rφ)φ∈Φ, ... , monoton in φ
Theorem Für sog. Upgrade-erhaltende c∶C → FCΦ gilt:Conditional Bisimilarity = Koalgebraische Verhaltensäquivalenz
Neue Instanz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 6 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 6 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 6 / 16
Kategorie der Nominellen Mengen• Elemente halten endlich viele Atome
freie Variablen
von A = {a0
(Variablen-)Namen
, a1, . . .}• Formalisiert Umbenennen, Allozieren, Binden von Namen:
λx .x =α λy .y ≠α λx .y
KoalgebrenAutomaten für unendliches Eingabealphabet A (z.B. FX = 2×XA)Termbäume mit Bindung (z.B. FX
λ-Bäume= A + X × X + [A]Bindungs-Funktor
X )
Theorem Für F ∶∶= NKonstant ∣ F + F ∣ F × F ∣ Pf ∣ A ∣ [A](−) ∣ (−)A:
Orbit-endlicheF -Koalgebren =
Quotient von endlichenF ′-Koalgebren in Mengen
(z.B. α-Äquivalenzklassen) Neues Ergebnis
Nominelle Mengen(Endlicher Support)
Orbit-endliche Verhalten(Rationaler Fixpunkt)
Unendliche Verhalten(Finale Koalgebra)↯↯♥♥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 6 / 16
Kategorie der Nominellen Mengen• Elemente halten endlich viele Atome
freie Variablen
von A = {a0
(Variablen-)Namen
, a1, . . .}• Formalisiert Umbenennen, Allozieren, Binden von Namen:
λx .x =α λy .y ≠α λx .y
KoalgebrenAutomaten für unendliches Eingabealphabet A (z.B. FX = 2×XA)Termbäume mit Bindung (z.B. FX
λ-Bäume= A + X × X + [A]Bindungs-Funktor
X )
Theorem Für F ∶∶= NKonstant ∣ F + F ∣ F × F ∣ Pf ∣ A ∣ [A](−) ∣ (−)A:
Orbit-endlicheF -Koalgebren =
Quotient von endlichenF ′-Koalgebren in Mengen
(z.B. α-Äquivalenzklassen) Neues Ergebnis
Nominelle Mengen(Endlicher Support)
Orbit-endliche Verhalten(Rationaler Fixpunkt)
Unendliche Verhalten(Finale Koalgebra)↯↯♥♥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 6 / 16
Kategorie der Nominellen Mengen• Elemente halten endlich viele Atome
freie Variablen
von A = {a0
(Variablen-)Namen
, a1, . . .}• Formalisiert Umbenennen, Allozieren, Binden von Namen:
λx .x =α λy .y ≠α λx .y
KoalgebrenAutomaten für unendliches Eingabealphabet A (z.B. FX = 2×XA)Termbäume mit Bindung (z.B. FX
λ-Bäume= A + X × X + [A]Bindungs-Funktor
X )
Theorem Für F ∶∶= NKonstant ∣ F + F ∣ F × F ∣ Pf ∣ A ∣ [A](−) ∣ (−)A:
Orbit-endlicheF -Koalgebren =
Quotient von endlichenF ′-Koalgebren in Mengen
(z.B. α-Äquivalenzklassen) Neues Ergebnis
Nominelle Mengen(Endlicher Support)
Orbit-endliche Verhalten(Rationaler Fixpunkt)
Unendliche Verhalten(Finale Koalgebra)↯↯♥♥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 6 / 16
Kategorie der Nominellen Mengen• Elemente halten endlich viele Atome
freie Variablen
von A = {a0
(Variablen-)Namen
, a1, . . .}• Formalisiert Umbenennen, Allozieren, Binden von Namen:
λx .x =α λy .y ≠α λx .y
KoalgebrenAutomaten für unendliches Eingabealphabet A (z.B. FX = 2×XA)Termbäume mit Bindung (z.B. FX
λ-Bäume= A + X × X + [A]Bindungs-Funktor
X )
Theorem Für F ∶∶= NKonstant ∣ F + F ∣ F × F ∣ Pf ∣ A ∣ [A](−) ∣ (−)A:
Orbit-endlicheF -Koalgebren =
Quotient von endlichenF ′-Koalgebren in Mengen
(z.B. α-Äquivalenzklassen) Neues Ergebnis
Nominelle Mengen(Endlicher Support)
Orbit-endliche Verhalten(Rationaler Fixpunkt)
Unendliche Verhalten(Finale Koalgebra)↯↯♥♥
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
MinimierenReduzieren der Zustände
bei gleicher Semantik
ErreichbarkeitUnerreichbare
ZuständeEntfernen
VerhaltensäquivalenzZustände
gleichen VerhaltensVerschmelzen
dual
Kategorielle GemeinsamkeitenEindeutigkeit, Existenz
⟹
Aber: Algorithmisch verschieden!
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
MinimierenReduzieren der Zustände
bei gleicher Semantik
ErreichbarkeitUnerreichbare
ZuständeEntfernen
VerhaltensäquivalenzZustände
gleichen VerhaltensVerschmelzen
dual
Kategorielle GemeinsamkeitenEindeutigkeit, Existenz
⟹
Aber: Algorithmisch verschieden!
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
MinimierenReduzieren der Zustände
bei gleicher Semantik
ErreichbarkeitUnerreichbare
ZuständeEntfernen
VerhaltensäquivalenzZustände
gleichen VerhaltensVerschmelzen
dual
Kategorielle GemeinsamkeitenEindeutigkeit, Existenz
⟹
Aber: Algorithmisch verschieden!
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
MinimierenReduzieren der Zustände
bei gleicher Semantik
ErreichbarkeitUnerreichbare
ZuständeEntfernen
VerhaltensäquivalenzZustände
gleichen VerhaltensVerschmelzen
dual
Kategorielle GemeinsamkeitenEindeutigkeit, Existenz
⟹
Aber: Algorithmisch verschieden!
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 7 / 16
MinimierenReduzieren der Zustände
bei gleicher Semantik
ErreichbarkeitUnerreichbare
ZuständeEntfernen
VerhaltensäquivalenzZustände
gleichen VerhaltensVerschmelzen
dual
Kategorielle GemeinsamkeitenEindeutigkeit, Existenz
⟹
Aber: Algorithmisch verschieden!
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 8 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 8 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 8 / 16
Punktierte Unterkoalgebra
1 C FC
C ′ FC ′
x0
x ′0
c
h
c ′
Fh
von (C , f , x0)Definition Erreichbarer Teil
von (C , f , x0) = Kleinste punktierteUnterkoalgebra
Theorem Wenn F unendliche Schnitteschwache Bedingung
erhält und die Kategorieein Faktorisierungssystem hat:• Iterative Konstruktion (höchstens abzählbar viele Schritte).• Konstruktion ist funktoriell, wenn F Urbilder erhält.
Methode
In Mengen:Breitensuche auf
kanonischem Graph.
In Kleisli-Kategorien:Annahmen manchmal
erfüllt.
Reduktion
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 8 / 16
Punktierte Unterkoalgebra
1 C FC
C ′ FC ′
x0
x ′0
c
h
c ′
Fh
von (C , f , x0)Definition Erreichbarer Teil
von (C , f , x0) = Kleinste punktierteUnterkoalgebra
Theorem Wenn F unendliche Schnitteschwache Bedingung
erhält und die Kategorieein Faktorisierungssystem hat:• Iterative Konstruktion (höchstens abzählbar viele Schritte).• Konstruktion ist funktoriell, wenn F Urbilder erhält.
Methode
In Mengen:Breitensuche auf
kanonischem Graph.
In Kleisli-Kategorien:Annahmen manchmal
erfüllt.
Reduktion
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 8 / 16
Punktierte Unterkoalgebra
1 C FC
C ′ FC ′
x0
x ′0
c
h
c ′
Fh
von (C , f , x0)Definition Erreichbarer Teil
von (C , f , x0) = Kleinste punktierteUnterkoalgebra
Theorem Wenn F unendliche Schnitteschwache Bedingung
erhält und die Kategorieein Faktorisierungssystem hat:• Iterative Konstruktion (höchstens abzählbar viele Schritte).• Konstruktion ist funktoriell, wenn F Urbilder erhält.
Methode
In Mengen:Breitensuche auf
kanonischem Graph.
In Kleisli-Kategorien:Annahmen manchmal
erfüllt.
Reduktion
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 9 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 9 / 16
Semantik
Minimierung
Kapitel 2Standard-Literatur
Kapitel 5Erreichbarkeit
Kapitel 6Verhaltensäquivalenz
Kapitel 7Minimalitäts-
begriff
Koalgebren in Mengen und darüber hinaus
Kapitel 4Conditional Transition Systems
Kapitel 3Orbit-Endliche Verhalten
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 9 / 16
VerhaltensäquivalenzGegeben:
c∶C → FC
Gesucht: kleinster Quotient (D, d) /C FC
D FD
q
c
Fqd
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 10 / 16
Koalgebraischer Algorithmus
für Verhaltensäquivalenz
DeterministischeDeterministischeendl. Automatenendl. Automaten
n ⋅ log nn ⋅ log n ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n∣A∣ ⋅ n ⋅ log nHopcroft ’71Hopcroft ’71 Gries ’73Gries ’73
Knuutila ’01Knuutila ’01(Gelabelte)(Gelabelte)
Transitions-SystemeTransitions-Systemem ⋅ log nm ⋅ log n
Paige, Tarjan ’87Paige, Tarjan ’87Valmari ’09Valmari ’09
Gewichtete SystemeGewichtete Systeme“Markov Chain Lumping”“Markov Chain Lumping”
m ⋅ log nm ⋅ log nValmari, Franceschinis ’10Valmari, Franceschinis ’10
Segala-SystemeSegala-Systememdist ⋅ log mactsmdist ⋅ log macts
Groote, Verduzco,Groote, Verduzco,de Vink ’18de Vink ’18
GewichteteGewichteteBaumautomatenBaumautomatenm ⋅ nm ⋅ n // m ⋅ log nm ⋅ log nHögberg, Maletti,Högberg, Maletti,
May ’07May ’07
ÄhnlicherAblauf Ähnliche
Laufzeit
System-Typ fest-verdrahtet
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
"
Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
"
Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 11 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 12 / 16
Systemtyp Funktor FX Laufzeit (m ≥ n) Maßgeschneiderter Algorithmus
Transitions-Systeme PfX m ⋅ log n = m ⋅ log n Paige, Tarjan 1987
LTS Pf(N × X) m ⋅ log m = m ⋅ log m Dovier, Piazza, Policriti 2004
> m ⋅ log n Valmari 2009
Markov-Ketten R
(X) m ⋅ log n = m ⋅ log n Valmari, Franceschinis 2010
Determi-nistischeAutomaten
2 × XA (A fest) n ⋅ log n = n ⋅ log n Hopcroft 1971
2 ×Pf(A × X) ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n = ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n Gries 1973/Knuutila 2001
SegalaSysteme Pf(A ×DX) mD ⋅ log mPf
< m ⋅ log n Baier, Engelen,Majster-Cederbaum 2000
= mD ⋅ log mPf Groote, Verduzco, de Vink 2018
ColourRefinement BX = N(X) m ⋅ log n = m ⋅ log n Berkholz, Bonsma, Grohe 2017
GewichteteBaum-Automaten(BackwardsBisimulation)
M(ΣX) Neu
M nicht kürzbarm ⋅ log2 m < m ⋅ n Högberg, Maletti, May 2007
M(ΣX)M kürzbar
m ⋅ log m =Σ fest
m ⋅ log n Högberg, Maletti, May 2007
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 13 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
" "
"
Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 13 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 13 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
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S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 13 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 14 / 16
Systemtyp Funktor FX Laufzeit (m ≥ n) Maßgeschneiderter Algorithmus
Transitions-Systeme PfX m ⋅ log n = m ⋅ log n Paige, Tarjan 1987
LTS Pf(N × X) m ⋅ log m = m ⋅ log m Dovier, Piazza, Policriti 2004
> m ⋅ log n Valmari 2009
Markov-Ketten R
(X) m ⋅ log n = m ⋅ log n Valmari, Franceschinis 2010
Determi-nistischeAutomaten
2 × XA (A fest) n ⋅ log n = n ⋅ log n Hopcroft 1971
2 ×Pf(A × X) ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n = ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n Gries 1973/Knuutila 2001
SegalaSysteme Pf(A ×DX) mD ⋅ log mPf
< m ⋅ log n Baier, Engelen,Majster-Cederbaum 2000
= mD ⋅ log mPf Groote, Verduzco, de Vink 2018
ColourRefinement BX = N(X) m ⋅ log n = m ⋅ log n Berkholz, Bonsma, Grohe 2017
GewichteteBaum-Automaten(BackwardsBisimulation)
M(ΣX) Neu
M nicht kürzbarm ⋅ log2 m < m ⋅ n Högberg, Maletti, May 2007
M(ΣX)M kürzbar
m ⋅ log m =Σ fest
m ⋅ log n Högberg, Maletti, May 2007
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 14 / 16
Systemtyp Funktor FX Laufzeit (m ≥ n) Maßgeschneiderter Algorithmus
Transitions-Systeme PfX m ⋅ log n = m ⋅ log n Paige, Tarjan 1987
LTS Pf(N × X) m ⋅ log m = m ⋅ log m Dovier, Piazza, Policriti 2004
> m ⋅ log n Valmari 2009
Markov-Ketten R
(X) m ⋅ log n = m ⋅ log n Valmari, Franceschinis 2010
Determi-nistischeAutomaten
2 × XA (A fest) n ⋅ log n = n ⋅ log n Hopcroft 1971
2 ×Pf(A × X) ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n = ∣A∣ ⋅ n ⋅ log n Gries 1973/Knuutila 2001
SegalaSysteme Pf(A ×DX) mD ⋅ log mPf
< m ⋅ log n Baier, Engelen,Majster-Cederbaum 2000
= mD ⋅ log mPf Groote, Verduzco, de Vink 2018
ColourRefinement BX = N(X) m ⋅ log n = m ⋅ log n Berkholz, Bonsma, Grohe 2017
GewichteteBaum-Automaten(BackwardsBisimulation)
M(ΣX) Neu
M nicht kürzbarm ⋅ log2 m < m ⋅ n Högberg, Maletti, May 2007
M(ΣX)M kürzbar
m ⋅ log m =Σ fest
m ⋅ log n Högberg, Maletti, May 2007
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 15 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 15 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 15 / 16
Neue Methode
Konstruktion des kleinsten Quotienten von c∶C → FC inKategorie mit (RegEpi,Mono)-Faktorisierungssystem
Partitionen: Pi ≤ Qi auf C , werden schrittweise verfeinertHeuristik: Welche Information wird als Nächstes weiterver-arbeitet?• Alles gleichzeitig ⇒ Qi+1 = Pi
„Final Chain Algorithmus“ [König, Küpper ’14]• „Smaller half“ ⇒ S ∈ C/Pi B ∈ C/Qi S ⊆ B mit
∣S∣ ≤ 12 ⋅ ∣B∣
Optimierung für Koalgebren in Set:Inkrementelle Berechnung der Partitionen
Wenn F zippable, d.h. wenn
F(A + B)⟶ F(A + 1) × F(1 + B) injektiv
dann: Qi+1 = Qi ∩ kerχBS Pi+1 = Pi ∩ ker(χB
S ⋅ c)(zippable nicht abgeschlossen unter: Komposition, Quotient)
Pseudocode für Verfeinerungs-Schritt,Refinement-Interface für Funktor-Spezifisches
Encoding: ♭∶FX → B(A × X)Refinement-Interface für F :init∶F1→ BA→Wupdate∶BA ×W →W × F3 ×W
Korrektheit: w ∶PX → (FX →W ). . . . . .
a1 a2 a3 a4 a5 a6
S B \ S
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Laufzeitanalyse: O(mKanten
⋅ log nZustände) für F ∈ {Pf, M(−), R(−), B, Σ}
Laufzeit: O((m + n) ⋅ log n ⋅ p(C , c))Fast immer: m ≥ nLaufzeit-Parameter p(C , c) des Refinement Interfaces:p(C , c) = log min(∣M∣,m) für M(−) wenn M nicht kürzbarp(C , c) = maxσ∈Σ ar(σ) für Polynomialfunktor Σp(C , c) = 1 sonst
Modularität: Kombination der Funktoren via: +, ×, ◦
Vorverarbeitung durch Erzeugen von Zwischenzuständen:(F ◦ G)-Koalgebren ↝ (F + G)-KoalgebrenKonstruktion in extensiver Kategorie
Implementierung: CoPaRKombinierter Set-Funktor F
F -Koalgebra }⟹ Verhaltensäquivalenz
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz 16 / 16
NeueInstanzen
NeueMethoden
NeueErgebnisse
ConditionalTransitionSystems
GewichteteBaum-
Automaten
Weitere?
Erreichbarkeit:Konstruktion& Reduktion
Verhaltensäquivalenz:Generischer & Modularer
m ⋅ log n Algorithmusfür Partition Refinement
Weitere?
Gemeinsamkeitenzwischen
Minimierungs-aspekten
Orbit-endlicheKoalgebren in
Nominellen Mengen
Weitere?
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz ∞ / 16
Christoph Berkholz, Paul S. Bonsma, Martin Grohe.“Tight Lower and Upper Bounds for the Complexityof Canonical Colour Refinement”. In: TheoryComput. Syst. 60.4 (2017), S. 581–614. doi:10.1007/s00224-016-9686-0. url: https://doi.org/10.1007/s00224-016-9686-0.Christel Baier, Bettina Engelen,Mila Majster-Cederbaum. “Deciding Bisimilarity andSimilarity for Probabilistic Processes”. In: J.Comput. Syst. Sci. 60 (2000), S. 187–231.Harsh Beohar, Barbara König, Sebastian Küpper,Alexandra Silva. “Conditional Transition Systemswith Upgrades”. In: 11th International Symposiumon Theoretical Aspects of Software Engineering(TASE 2017) (2017). Full version available athttps://arxiv.org/abs/1706.02526.
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz ∞ / 16
Harsh Beohar, Barbara König, Sebastian Küpper,Alexandra Silva, Thorsten Wißmann. “A coalgebraictreatment of conditional transition systems withupgrades”. In: Logical Methods in ComputerScience Volume 14, Issue 1 (Feb. 2018). doi:10.23638/LMCS-14(1:19)2018. url:https://lmcs.episciences.org/4330/pdf.Ulrich Dorsch, Stefan Milius, Lutz Schröder,Thorsten Wißmann. “Efficient Coalgebraic PartitionRefinement”. In: Proc. 28th InternationalConference on Concurrency Theory (CONCUR2017). LIPIcs. Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrumfuer Informatik, 2017. doi:10.4230/LIPIcs.CONCUR.2017.32. url:https://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/7793/.
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz ∞ / 16
Agostino Dovier, Carla Piazza, Alberto Policriti. “Anefficient algorithm for computing bisimulationequivalence”. In: Theor. Comput. Sci. 311.1-3(2004), S. 221–256.David Gries. “Describing an algorithm by Hopcroft”.In: Acta Informatica 2 (1973), S. 97–109. issn:1432-0525.Jan Friso Groote, Jao Rivera Verduzco,Erik P. de Vink. “An Efficient Algorithm toDetermine Probabilistic Bisimulation”. In:Algorithms 11.9 (2018), S. 131. doi:10.3390/a11090131. url:https://doi.org/10.3390/a11090131.
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz ∞ / 16
Johanna Högberg, Andreas Maletti, Jonathan May.“Bisimulation Minimisation for Weighted TreeAutomata”. In: Developments in Language Theory,DLT 2007. Bd. 4588. LNCS. Springer, 2007,S. 229–241. isbn: 978-3-540-73207-5. doi:10.1007/978-3-540-73208-2. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-73208-2.John Hopcroft. “An n log n algorithm for minimizingstates in a finite automaton”. In: Theory ofMachines and Computations. Academic Press, 1971,S. 189–196.Barbara König, Sebastian Küpper. “GenericPartition Refinement Algorithms for Coalgebras andan Instantiation to Weighted Automata”. In:Theoretical Computer Science, IFIP TCS 2014.Bd. 8705. LNCS. Springer, 2014, S. 311–325. isbn:978-3-662-44601-0.
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz ∞ / 16
Timo Knuutila. “Re-describing an algorithm byHopcroft”. In: Theor. Comput. Sci. 250 (2001),S. 333–363. issn: 0304-3975.Robert Paige, Robert E. Tarjan. “Three partitionrefinement algorithms”. In: SIAM J. Comput. 16.6(1987), S. 973–989.Antti Valmari. “Bisimilarity Minimization inO(m log n) Time”. In: Applications and Theory ofPetri Nets, PETRI NETS 2009. Bd. 5606. LNCS.Springer, 2009, S. 123–142. isbn:978-3-642-02423-8.Antti Valmari, Giuliana Franceschinis. “SimpleO(m log n) Time Markov Chain Lumping”. In: Toolsand Algorithms for the Construction and Analysis ofSystems, TACAS 2010. Bd. 6015. LNCS. Springer,2010, S. 38–52.
Koalgebra CTS Nominelle Mengen Minimalitätsbegriff Erreichbarkeit Verhaltensäquivalenz ∞ / 16
Thorsten Wißmann, Ulrich Dorsch, Stefan Milius,Lutz Schröder. “Efficient and Modular CoalgebraicPartition Refinement”. In: Logical Methods inComputer Science Volume 16, Issue 1 (Jan. 2020).doi: 10.23638/LMCS-16(1:8)2020. url:https://lmcs.episciences.org/6064.Thorsten Wißmann, Stefan Milius,Shin-ya Katsumata, Jérémy Dubut. “A CoalgebraicView on Reachability”. In: CommentationesMathematicae Universitatis Carolinae 60, 4 (Dez.2019), S. 605–638.