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Límits de funcions
1
LIMITS DE FUNCIONS
1. CÀLCUL DE LÍMITS NIVELL1
1.1 LÍMITS DETERMINATS
1.2. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ±∞=0k
1.3. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS 00
1.4. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞∞
1.5. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞ -∞ 1.6. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞1
1.7. LÍMITS VARIATS 2. CÀLCUL DE LÍMITS NIVELL2 3. ASÍMPTOTES
NIVELL 1.
LÍMITS DETERMINATS Comproveu: 1.1.1.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
2x-3
0xlim = 3/2
1.1.2.
2x-x 1x
2
→lim = -1
1.1.3.
3-2xx+1
3x →lim = 4/3
1.1.4.
x-2x+3 -1x
2
→lim = 0
1.1
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2
1.1.5.
x + 3 +x
3
1lim→
=4
1.1.6.
32+x-x
x
2
0lim→
= 2/3
RAONAMENT
32+x-x
x
2
0lim→ 3
23
20→
+→
1.1.7.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−→ x-
3x+x-
x
24
1lim = 1/3
1.1.8.
)x-(1 x
2
0lim→
=1
1.1.9.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
2x-3
xlim = -∞
1.1.10. 2x-x
xlim 2
∞→= ∞
1.1.11.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
4-3x1+3x
xx
5+x2
2lim =(7/2)9/2
1.1.12.
x1-x 22
3)+(4x x1+x4
x 2lim→
=(17/22)4
RAONAMENT
x1-x
2
2
3)+(4x x1+x4
x 2lim→
4
4/1
2217
2217
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→→
1.1.13.
x + 3 +x
3
∞→lim =∞
1.1.14.
32+x-x
x
2
1lim→
=2/3
1.1.15. 2
0lim
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ x-
3x+x-
x
24 = 0
1.1.16.
)x-(1 +x
2
∞→lim =∞
1.1.17.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
3+x1+x 1+x
1-x2
xLí
1m =1
1.1.18.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+→
23x4+3x
7+x
xLí 4
0m =27
RAONAMENT
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3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+→
23x4+3x
7+x
xLí 4
0m
77
224
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→
1.1.19.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
3+x2-x
1+2x
xLí
3m =(1/6)7
1.1.20.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+→
12x2+2x
2-xx+x2
x
Lím
0=1
1.1.21.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
→
x-x21-2x+x2
1-x2x
x 2
lim =(7/2)4
1.1.22.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
2-x1+x
x 2
24
2lim =25/4
1.1.23. x
4x1+4x
x 2lim→
=(9/8)1/2
1.1.24.
x1+x
1-x231+2x-x23
x 1lim→
=1
RAONAMENT
x1+x
1-x231+2x-x23
x 1lim→
122→→
LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ±∞=0k Comproveu:
1.2.1.
x-1x
1x 2-→lim = ∞
1.2.2.
x-1x
1x 2+→lim = -∞
1.2.3. 1.2.4.
1.2
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xx
x 2-
430
lim +→
= ∞
x
x x 2+
430
lim +→
= ∞
1.2.5.
xxx
x - ++
→ 3
430
lim = -∞
1.2.6.
xxx
x ++
→ + 3
430
lim = ∞
RAONAMENT
xxx
x ++
→ + 3
430
lim+∞→
+→
04
LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS 00 Comproveu:
1.3.1.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
+−
→ 2(2)1(
2)1(2)1(
1 xx
xxLím
x=4/3
1.3.2.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+−
+→ )2(2)1(
2)1()1(
1 xx
xxLím
x=∞
1.3.3.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+−
→ 2()1(
2)1(2)1(
1 xx
xxLím
x=0
1.3.4.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
+−
−→ )1(2)1(
2)1(2)1(
1 xx
xxLím
x=0
1.3.5.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
++
−→ 2)2(2)1(
2)1(2)2(
2 xx
xxLím
x=1/9
1.3.6.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
→ )2(2
2)1(22
0 xx
xxLím
x=1
RAONAMENT
1.3
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5
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
→ )2(2
2)1(22
0 xx
xxLím
x→ 1
22
2)1(2 2
→→++
xx
1.3.7.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
+
+−→ )2(3)1(
22)1(
1 xx
xxLím
x=∞
1.3.8.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+++−
−→ )2)(1(
2)1(2)1(
1 xxxx
Límx
=0
1.3.9.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
−→ 22
2
1 xxxx
Límx
=1/3
1.3.10.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+−
→ 432123
1 xx
xxxLím
x=2/5
1.3.11.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
+−
→ 123
223
1 xxx
xxxLím
x=1/2
1.3.12.
2/1
22
2
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
→ xx
xxLím
x=
31
RAONAMENT 2/1
22
2
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
→ xx
xxLím
x 31
31
2
2/12/1
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+→
xx
1.3.13.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−
→ 12122
1 x
xxLím
x=0
1.3.14.
12
2
32
1−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→x
xxx
Límx
=32
1.3.15.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
→ xx
xxLím
x 2
2
0=-1
1.3.16.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+−
→ xx
xxxLím
x 32
23
0=1/3
1.3.17. 1.3.18.
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2/1
242
0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
→ xx
xxLím
x =2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−→2
22
0 x
xxLím
x=∞
RAONAMENT
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−→2
22
0 x
xxLím
x+∞→
−−
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→022
xx
1.3.19.
1-x1-x
1x
2
→lim =2
1.3.20.
x+xx+x
0x 2
3
→lim =1
1.3.21.
4-x2-x
2x 2→lim =1/4
1.3.22.
3-x6+5x-x
3x
2
→lim =1
1.3.23.
2+3x+x2+x
-2x 2→lim =-1
1.3.24.
4-x16-x
2x 2
4
→lim =8
RAONAMENT
4-x16-x
2x 2
4
→lim
84)4(
)4)(4( 2
2
22
→+→−
+−→ x
xxx
LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞∞
Comproveu:
1.4.1.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
+−
−∞→ )2(2)1(
2)1(2)1(
xx
xxLím
x=-∞
1.4.2.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+−
∞→ )2(2)1(
2)1()1(
xx
xxLím
x=1
1.4
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7
1.4.3.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+−
−∞→ 2()1(
2)1(2)1(
xx
xxLím
x=∞
1.4.4.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
+−
∞→ )1(2)1(
2)1(2)1(
xx
xxLím
x=∞
1.4.5.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
++
−∞→ 2)2(2)1(
2)1(2)2(
xx
xxLím
x=1
1.4.6.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
∞→ )2(2
2)1(22
xx
xxLím
x=∞
RAONAMENT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
∞→ )2(2
2)1(22
xx
xxLím
x+∞→→→ x
xx 22
3
4
1.4.7.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
+
−∞→ )2(3)1(
22)1(
xx
xxLím
x=1
1.4.8.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+++−
∞→ )2)(1(
2)1(2)1(xxxx
Límx
=∞
1.4.9,
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
−
−∞→ 22
2
xxxx
Límx
=1
1.4.10.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+−
∞→ 432123
xx
xxxLím
x=∞
1.4.11.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−−
+−−∞→ 1
223
23
xxxxxx
Límx
=1
1.4.12. 2/1
2
2
2⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
−
∞→ xxxx
Límx
=1
RAONAMENT
2/1
2
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−
∞→ xxxx
Límx
11 2/1
2/1
2
2
→→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→
xx
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8
1.4.13.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−
−∞→ 112
2
2
xxx
Límx
=1
1.4.14. 12
2
32 −
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
xxx
xLím
x=∞
1.4.15.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
−∞→ xxxx
Límx
2
2
=1
1.4.16.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+−∞→ xx
xxxLímx 32
23
=∞
1.4.17.
2/1
2
2 4⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
−∞→ xxxx
Límx
=1
1.4.18.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
∞→2
2 2x
xxLím
x=1
RAONAMENT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→2
2 2x
xxLím
x=1 1
2
2
→→xx
LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞−∞ Comproveu: 1.5.1
( ) x xx x
Lí2254
m2 ++−
−∞→=5/4
1.5.2
( ) x xx xLí
2259m
2 −+−∞→
=∞
1.5.3
( ) x xx xLí
3254m
2 −+−∞→
= -∞ 1.5.4
( ) x xx xLí
2254m
2 −+−∞→
=-
5/4 RAONAMENT
1.5
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9
( ) x xx xLí
2254m
2 −+−∞→
45
45
225
2254)2()254(
2
22 −→
−→
+−
→++−
−+−→
xx
xxx
xxxxxx
1.5.5
( ) x xx xLí
13259m
2 +−+−∞→
= 1/6 1.5.6
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−+
→ +
xxx
xLí
15
143
1m
2= -∞
1.5.7
( ) xx xx xLí
354254m
22 −+−+−∞→
=-5/2
1.5.8
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−→ +
xxx
xLí
31
93
3m
2= ∞
RAONAMENT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−→ +
xxx
xLí
31
93
3m
2+∞→
+→
+−+−
→0
3)3)(3(
)3(3xx
xx
LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞±1 Comproveu: 1.6.1.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
3+x1+x
x1+x1-x2
lim = e-2
1.6.2.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
2-3x4+3x
x
7+x4lim = e8
1.6.3.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
3+x2-x
x
1+2xlim = e-10
1.6.4.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1-x2+x
x 2
2 32+x
lim =1
1.6.5. 1.6.6.
1.6
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10
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1-2x2+2x
x2-xx+x2
lim = e3/2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
20x-x1-2x+x
x 2
2 1-x2x2
lim = e44
RAONAMENT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
20x-x1-2x+x
x 2
2 1-x2x 2
lim 4444
)20()122(
12
3
3
2
2
1 eee xx
xxx
xx
→→→→ −−
−∞
1.6.7.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞→
2-x1+x
x 2
2x
lim = 1
1.6.8. x
4x1+4x
x1lim
∞→= e1/4
1.6.9. 2
limx
1+x
2
2
1-x31+2x-x3
x ∞→= e -2/3
1.6.10.
x1-x 22
3)+(4x x1+x4
x ∞→lim = e-3/4
1.6.11.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
4-3x1+3x
xx+5x2
lim = e5/3
1.6.12.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1-x4+3x + 1
x 2
2+xlim = e3
RAONAMENT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1-x4+3x + 1
x 2
2+xlim3
3143·
12
2
2
21 eee xx
xxx
→→→→ −++
∞
1.6.13.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
2+x1-x
x 2
2 xlim = 1
1.6.14.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
2-xx-x
x 2
2 1+xlim = 1/e
1.6.15.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1+x2-x
x
1+xlim = e-3
1.6.16.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1+x32x-x3
x 2
2 15xlim =e1
1.6.17.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
−
3x-x2+x
x 2
2 xx 22
lim = e3
1.6.18.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞→
x-x1+x
x 2
2x
lim = e
RAONAMENT
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11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞→
x-x1+x
x 2
2x
limeeee x
xxx
xx
=→→→→ −+
∞ 21
21·
2 2
2
21
LÍMITS VARIATS: Comproveu: 1.7.1.
5+2x1+3x-x2
2x
2
→lim = 1/3
1.7.2.
x-32x-x
3x 2
2
→lim = - 1/2
1.7.3.
2-3xx4-2x
1x
2
→lim = -2
1.7.4.
x 4 - 3x
3-2x 3x →
lim = - 35/3
1.7.5.
1+3x1+x-x
1x
2
→lim = 1/4
1.7.6.
1+3x1+2x-x
0x
3
→lim =1
RAONAMENT
1+3x1+2x-x
0x
3
→lim
111=→
1.7.7.
1-x1+x - 2+3x-x
3x 2
22
→lim = 3/4
1.7.8.
1-3x-x1+2x-x3
-1x 2
2
→lim = 2
1.7.9.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
2+x1-x
x 2
2 xlim = 1
1.7.10.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
2-xx-x
x 2
2 1+xlim = 1/e
1.7.11.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1+x2-x
x
1+xlim = e3
1.7.12.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1+x32x-x3
x 2
2 15xlim = e-10
1.7
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12
RAONAMENT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1+x32x-x3
x 2
2 15xlim 10330
13)12(
115
2
2
21 −−
+−−
∞ →→→→ eee xx
xxx
1.7.13.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
3x-x2+x
x 2
2 x1
lim = 1
1.7.14.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞→
x-x1+x
x 2
2x
lim = e
1.7.15.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞→
1-x1+x
x
2-xlim =e
1.7.16.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1-x2x - 1
x 2
x32lim = 1
1.7.17.
3x-x - 2+x x
22
∞→lim = 3/2
1.7.18.
1-x - 2+x x ∞→
lim = 0
RAONAMENT
1-x - 2+x x ∞→
lim033
12)1()2(
→∞
→+
→−++−−+
→xxxx
xx
1.7.19.
2-x1 -
1+x1
x ∞→lim = 0
1.7.20.
2x+x 1x
2
→lim = 3
1.7.21.
3x+x1+x
x 2
2
∞→lim = 1
1.7.22.
1-x1-x
1x
2
→lim = 2
1.7.23.
x1+x
0x →lim = ∞
1.7.24.
2-x2-x
2x →lim = 2 /4
RAONAMENT
2-x2-x
2x →lim
42
221
21
=→+
→x
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Límits de funcions
13
1.7.25.
1+2xx
0x →lim = 0
1.7.26.
2xx
0x →lim = ∞
1.7.27.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1-x2+x
x3x
lim = e
1.7.28.
)1+(x 0x
x2
→lim = e2
1.7.29.
)x+(2 -1x
1+xx
→lim = 1/e
1.7.30.
x 1x
1-x1-x
2
→lim = 1
RAONAMENT
x 1x
1-x1-x
2
→lim
1121
11
=→→ +xx
1.7.31.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
21-x
3x3-x
3lim = e3/2
1.7.32.
)x+(1 0x
1/x
→lim = e
1.7.33.
x-22-x
2x →lim = - ∞
1.7.34.
)5-(2x 3x
9-x6-2x
2
→lim = 1
1.7.35.
)x+(2 -1x
2-x2x+x
2
2
→lim = 1
1.7.36.
)(x x
x2
10
lim+
→ = e2
RAONAMENT
)(x x
x2
10
lim+
→21
2
1 eex
x →→→ ∞
1.7.37.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
x31+x
x 2
2 1+xx2
lim = 0
1.7.38.
x-x-x2x - x+x
x 23
3
∞→lim = -1
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14
11.7.39.
2+x2
2 x
x+21-x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→lim = 1
1.7.40.
3x+x - x1
x 2∞→lim = - 2/3
1.7.41.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
21+x
x1+2x-x
1+x2lim = 1
1.7.42.
1-x1 - x
1x 2→lim = 1/4
RAONAMENT
1-x1 - x
1x 2→lim
41
)1)(1(1
→++
→xx
1.7.43.
3+x2+x -
1+x1-x
x 2
2
∞→lim = 0
1.7.44.
9-x3-x
3x 2→lim = ∞
1.7.45.
x+xx-x
0x 2
3
→lim = 1
1.7.46.
1+xx + x+x . 1)+(x
x 2
22
∞→lim = 2
NIVELL 2.
Comproveu: 2.1.
0 = ex
x x
3
∞→lim
2.2.
ππ 4- = x)2
tg( 1)-x( 1x
2+→
lim
2.3.
21- =
1)+(x1 -
x1
0x lnlim→
2.4.
0 = x cotg
x 0x
lnlim→
2.5.-
1 = x
1 - e 0x
x
→lim
2.6.
61 =
x 3x - 1
0x 2
coslim→
2
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2.7.
0 = x1 - x
0xcosec
lim→
2.8.
1- = 2 + 3x - x
1) - sin(x 1x 2→
lim
2.9.
1 = 1 + secx
3 - tgx /2x π→
lim
2.10.
31 =
9-x12 -
3-x2
3x 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→lim
2.11.
61 =
xe - e
0x 3
senxx
→lim
2.12.
1 = )(sinx /2x
tgx
π→lim
2.13.
1 = )3 + 2x - x( x
x1
3
∞→lim
2.14.
e = )cosx 2 + (1 2
x2cosx
1
π→
lim
2.15.
35 =
5x tg3x tg
/2x π→lim
2.16.
2 = sinx- x
2x - e - e 0x
-xx
→lim
2.17.
1 = )(sinx 0x
x
→lim
2.18.
0 = x) . x (tg 0x +
lnlim→
2.19.
e = 2x - x1 + x
x2
2
2 2 + x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→lim
2.20.
0 = sinx
1 - x1
0x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→lim
2.21.
0 =] )x ( x [ 0x
n
+ln
lim→
2.22.
1 = 1 + x
x x 2
4lnlim∞→
2.23.
e = )cosx + (sinx 0x
cotgx
→lim
2.24.
1 = x
x + 1 x x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→ln
lim
2.25.
0 = xx
xlnlim
∞→
2.26.
21 =
)1 - e(cosx - 1
0x 2x→lim
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16
2.27.
0 = x
x x
lnlim∞→
2.28.
5 = 1) - 5( x x
x1
lnlim
∞→
2.29.
1 = x 0xx
→lim
2.30.
e1 = x 1x
x - 11
→lim
2.31.
21 =
lnx1 -
1 - xx
1x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→lim
2.32.
0 = (tgx) cosx /2x
lnlimπ→
2.33
e1 = tgx
/4x2x
1cos
limπ→
2.34.
0 = lnx x 0x
2+→
lim
2.35.- 1 = )1 + x( x
x1
2
∞→lim 2.36.- ∞
∞→ =
x3
x 3
xlim
2.37.
31- =
xx sin- x x
0x 3
coslim→
2.38.
( ) 1 = x x
x1
lnlim
∞→
2.39.
e = x5 + 1
x35
7x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→lim
2.40.
0 = 1)-(x 1)-(x 1x +
lnlim→
2.41.
1 = )x ( x
x12ln
lim∞→
2.42.-
65- =
x31 - x 2 - x
0x 2
2coslim→
2.43.-31 =
x sin-x tgx sin-x
0x →lim 2.44.
21 =
x sin+xx
0x →lim
2.45.
4 = )x -(1
x sinx 0x 2
3
coslim→
2.46.
1 = x tgx sin
0x →lim
2.47.
0 = x tg x 0x
lnlim→
2.48.
0 = xx
x 3
lnlim∞→
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Límits de funcions
17
2.49.
31 =
x1 -
xsin1
0x 22 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→lim
2.50.
a = xa sinx
x ∞→lim
3. ASÍMPTOTES
Trobeu les asímptotes de les funcions: a)
1-xx 3 = (x) f b)
2+x3-x = (x) f c)
x-34 = (x) f
d)1+x
1 = (x) f2
e)x-x
2x = (x) f2
f))2+(x
x- = (x) f 2
RAONAMENT
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎩⎨⎧
→±∞→∞→−→
⇒..0..2
02
HAyVAx
yxyx
)2+(xx- = (x) f 2
Sol: a) x=1, y=3 b) x=-2, y=1 c) x=3, y=0 d) y=0 e) x=1, y=0 f) x=-2, y=0
Trobeu les asímptotes inclinades de les següents funcions: a)
2+xx = (x) f
2
b)xx-2 = (x) f
2
c)2x
1-x3 = (x) f2
d)1-x
1-2x+x = (x) f2
e)x-x2-x2 = (x) f
2
3
f)1+x
3+x2- = (x) f2
3.2
3.1
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18
RAONAMENT
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−→−
→=
⇒→
++
→+→− 21322)lim(
)lim( 222
2
xxx
1+x3+x2-mxf
xf
2n
xxm
1+x3+x2- = (x) f
2
y= -2 x + 2 Sol a) y= x -2 b) y = -x c) y=3x/2 d) y=x+3 e)y=2x+2 f) -2x+2
Trobeu les asímptotes de les següents funcions: a)
3+2xx+1 = (x) f b)
4-x1+3x = (x) f c)
1+x3-x = (x) f
2
d)3+x+x
x 2 = (x) f2
2
e)1-x
x = (x) f2
f)1-x
x2 = (x) f2
RAONAMENT
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→−
→−→−=
→→=
=
21
22)(
22
..
1..
2
2
xxx
1-xx2 mxflímn
xx
xflímm
OA
xVA
1-xx2 = (x) f
2
2
x = 1 y = 2 x + 2 Sol: a) x=-3/2, y=1/2 b) x=4, y=3 c) y=0 d) y=2 e) x=1, x=-1, y=0 f) x=1, y=2x+2
3.3
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Límits de funcions
19
Trobeu les asímptotes de la funció: 1+x1-3x = (x) f .
Sol: y=3 , x=-1
Trobeu les asímptotes de : a)
x1+x2 =y
2
2
b)1-x2+x =y
2
c)4x-x
3+x2 =y 2
2
d))1-(x2+x =y 2
2
e)3-x
1+2x+x =y 2
f)x5 + 1 + x =y
RAONAMENT
f)⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=⇒→+→−=
→=1
151)(
1.. xy
xmxflímn
xflímm
OAx5 + 1 + x =y
Sol: a) x=0, y=2 b) x=1, y=x+1 c) x=0, x=4, y=2 d) x=1, y=1 e) x=3, y=x+5 f) x=0, y=x+1
3.5
3.4