LÓGICA MATEMÁTICA

Es una parte de las matemáticas que nos permite transformar los argumentos verbales en

símbolos y letras.

Lenguaje Lenguaje castellano Lenguaje matemáticos

Letras a,b,c…z 1,2,3,4…

Palabras Mama Suma

4545 2424

Frases Pelota grande roja Maleta fea vieja

2+3 50/20

Oración La pelota es grande roja La maleta fea esta vieja

2+3=5 50*2=30

PROPOSICIÓN

Es un enunciado verbal o matemático al cual puedo otorgarle el valor de verdadero esta puede

ser solo verdadero o solo falso pero jamás ambos a la vez.

Las propiedades se determinan con letras minúsculas: p, q, r, s, t, w.

Ejemplos

P: Rafael correa es presidente del ecuador Vp (V)

Q: 2*2=9 Vq (F)

R: toda oración es proposición. Vr(V)

s: 2+2=5 Vs(F)

t: las facturas son documentos por cobrar Vt(F)

ESQUEMA PROPOSICIONAL

Son enunciado verbales o matemático al cual no se le puede otorgar un valor verdad o falso.

Ejemplos

P: mañana Lissette se va a morir Vp (NOSE)

Q: maria se fue al rio Vq (NOSE)

R: Juan tien un carro rojo Vr(NOSE)

S:Liliana esta en la universidad Vs(NOSE)

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS:

Es aquella que o se puede descomponer, que no se puede dividir. Es aquella proposición que

está formado por un solo enunciado.

Ejemplo

t: el ministro de relaciones laborales es Carlos Marx Carrasco.

PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES:

Es la unión de dos proposiciones simples o dos enunciados, y es aquella que se puede

descomponer en dos proposiciones simples

Ejemplo

Ambato es tierra de flores y cuna de los tres Juanes.

p: Ambato es tierra de flores

q: Ambato es cuna de los tres Juanes.

CONECTIVOS LÓGICOS

Son signos letras, palabras que nos sirven para unir dos proposiciones simples

Conectivo lógico Símbolo Lectura

Negación -p P` p

Negación de p P negado

Conjunción ∧ i

Disyunción V O

Condicional o implicación ⟹ Si entonces Si entonces

Bicondicional o doble implicación

⇔ Si i solo si Si i solo si

NEGACIÓN

Se utiliza porque tengo una sola proposición y sirve para cambiar el valor de verdad de la

proposición y la proposición simple se convierte en una proposición compuesta.

Su símbolo es (-)

-P: el precio del barril de petróleo es de $100.

-p: el precio del barril de petróleo no es de $100.

CONJUNCIÓN

Se utiliza cuando las dos proposiciones son totalmente diferentes y o tienen relación entre si

y se simboliza ^

Ejemplo

p: Fernando callejas es arquitecto.

q: quito es capital del ecuador.

(p^q) Fernando callejas es arquitecto i quito es capital del ecuador.

R: 7*3=25

S: √2-3^7√3

(r^s) 7*3=25^√2-3^7√3

DISYUNCIÓN

Utilizamos el conectivo lógico de disyunción porque los dos sujetos deben ser iguales y se

simboliza v.

Ejemplo

p: los tres Juanes fueron escritores.

q: Juan Montalvo, Juan benigno vela y Juan león mera nacieron en la merced.

(pvq) los tres Juanes fueron escritores o Juan Montalvo, Juan benigno vela y Juan león mera

nacieron en la merced.

R: 5+5=√3+1-8

S: 7+3 < 4+5

(rvs) 5+5=√3 +1-8v7+3 < 4+5

IMPLICACIÓN

Utilizamos este conectivo lógico porque el complemento de la primera proposición es igual al

sujeto de la segunda proposición y su símbolo es →

P: en el ecuador se comercializa el petróleo.

Q: el oro negro se explota en el oriente ecuatoriano.

(p q) en el ecuador se comercializa el petróleo entonces el oro negro se explota en el oriente

ecuatoriano.

R: 7+9=11

Q: 5+6=20+3√3

(r → s) 7+9=11 → 5+6=20+3√3

EQUIVALENCIA, BICONDICIONAL, DOBLE IMPLICACIÓN

Utilizamos este conectivo lógico cuando las dos proposiciones son iguales.

Ejemplos

p: Rafael correa vive en Guayaquil.

q: el presidente del ecuador tiene a su familia en la perla del pacifico.

(p ↔ q) Rafael correa vive en Guayaquil si i solo si el presidente del ecuador tiene a su familia

en la perla del pacifico.

r: 9+9=√100 +5

s: (5*2)+7+1=3*5

(r ↔ s) 9+9=√100 +5 ↔(5*2)+7+1=3*5

CUANTIFICADORES

Son signos matemáticos que me sirven para limitar la extensión de un conjunto se cuantifica

para transformar una proposición en función proposicional.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES

Cuantificador universal

Cuantificador existencial

Cuantificador singular

Cuantificador nulo

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Esta presentado por el conjunto universo su símbolo es ∀ y se lo lee (para todos).

U={ ∀ }

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Está representado por un subconjunto del conjunto universo su símbolo es ∃ y se lee (para

algunos).

U= { ∃}

CUANTIFICADOR SINGULAR

Está representado por el conjunto unitario siendo su símbolo el siguiente y se lee (para uno).

U= { }

CUANTIFICADOR NULO

Está representado por el conjunto nulo o vacio siendo su símbolo el siguiente y se lee (para

ninguno).

U= { }

¿QUÉ SE DEBE HACER PARA CUANTIFICAR?

Identificamos el conjunto con el que vamos a trabajar.

Escribimos el cuantificador correspondiente.

Establecemos la recepción de pertenencia.

Determinamos la relación matemática.

Comprobamos si está bien cuantificado ¿Cómo se comprueba? Por su lectura.

SIMBOLOGÍA

X equis Q racional

/ Tal que I irracional

; siendo i imaginario

E pertenece a o es elemento de complejo

E no pertenece a o no es elemento de N natural

= igual o es Z enteros

≠ es diferente de Z enteros positivos

˃ Mayor que Z enteros negativos

≥ Mayor o igual que v vector nulo o vector cero

Ↄ contiene Q fraccionarios

Ↄ no contiene en consecuencia

C está incluido en o es subconjunto de = congruente

C no está incluido en o no es subconjunto de alfa

Angulo infinito

# numero β beta

Perpendicular omega

Paralelo ˄ i

R Real v o

2x Par ͢ implica

2x+1 Impar ͍ equivalente

Menor menor o igual que

p: todos los números imaginarios son mayores que uno y menores que veinte.

∀ 𝑥/𝑥 > 1< 20; 𝑥 ∈ #𝑖 Ejercicios

q: todos los números fraccionarios consecutivos pares no incluido el cinco son

perpendiculares.

∀ 𝑥/𝑥 = 1; 𝑥 ∈ #𝑄; 𝑛 + 1,2𝑥 ⊄ 5

w: algunos números consecutivos impares no incluido un número infinito es diferente de un

numero irracional o un numero par.

∃𝑥/𝑥 ≠ #𝐼𝑣#2𝑥 ; 𝑥 ∈ #𝑛 + 1,2𝑥 + 1 ⊄ # ∞

x: los números dígitos impares son mayores que siete y menores que diez.

𝑥/𝑥 => 7 ∧< 10 ; 𝑥 ∈ #𝐷, 2𝑋 + 1

w: los números enteros no incluido el vector son mayores que cero y menores que cero.

∀𝑥/𝑥 > 0 ∧< 0; 𝑥 ∈ #𝑍 ⊄ ⋁

y: los números fraccionarios son mayores que uno y menores que dos.

∀𝑥/𝑥 > 1 ∧< 2; 𝑥 ∈ #𝑄´

z: los números divisores del veinte y cinco no incluido el tres son menores que el veinte y seis.

∀𝑥/𝑥 < 26; 𝑥 ∈ #ℸ25 ⊄ 3

m: los números múltiplos de cuatro incluido el siete impares son mayores que uno y menores

que veinte.

𝑥/𝑥 > 1 ∧< 20; 𝑥 ∈ #∟4𝐶7,2𝑋 + 1

TABLAS DE VERDAD

Con la siguiente formula podemos encontrar el número de verdaderos y falsos que debemos

emplear.

#C=2𝑛

#C=22

#C=4

P Q

V V

V F

F V

F F

NEGACIÓN

Transforma el valor de preposición y se la represente en este siguiente gráfico.

P ´P (P´)´

V F V

F V F

CONJUNCIÓN

Es verdadero cuando sus dos proposiciones simples son verdaderas y el resto es falsa y se lo

representa en la siguiente tabla.

P Q (P∧Q)

V V V

V F F

F V F

F F F

DISYUNCIÓN

La disyunción se clasifica en tres; incluyente, excluyente y incluyente de contrarios.

INCLUYENTE:

Es aquella que si me admite una tercera posibilidad al mismo tiempo. Esta proposición es

falsa cuando sus dos proposiciones son falsas y se la representa en la siguiente tabla.

P Q (PvQ)

V V V

V F V

F V V

F F F

EXCLUYENTE:

Es aquella que no permite una tercera posibilidad, una proposición binaria verdadera cuando

sus proposiciones son diferentes caso contrario son falsas.

P Q (P v Q)

V V F

V F V

F V V

F F F

INCLUYENTE DE CONTRARIOS:

Es aquella que da respuesta a la excluyente y admite una tercera posibilidad dependiendo de

la respuesta y se representa gráficamente en la siguiente tabla.

P Q (P/Q)

V V V

V F F

F V F

F F F

IMPLICACIÓN:

Es una proposición binaria falsa cuando los antecedentes son verdaderos y su sucesor es falso

y se lo representa en la siguiente tabla.

P Q (P ⟹Q) (Q⟹P)

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

EQUIVALENCIA:

Es una proposición binaria verdadera cuando sus dos proposiciones son iguales caso contrario

será falso y se lo representa en la siguiente tabla.

P Q (P ⇔Q)

V V V

V F F

F V F

F F V

TAUTOLOGÍA

Son las demostraciones de las propiedades de la lógica matemática que en su respuesta se

definen solo valores verdaderos.

CONTRADICCIÓN

Son leyes o propiedades de la matemática que su respuesta solo se define valores falsos es la

negación de la tautología.

CONTINGENCIA

Son operaciones de la lógica matemática que su respuesta se definen valores de respuesta

verdaderos y falsos.

Ejercicios

Dada la siguiente opción demostrar si es tautología, contingencia o contradicción.

(p v q)´ ⇔ (p´∧ q´)

#C=2𝑛

#C=22

#C=4

P Q P´ Q´ p v q (p v q)´ (p´∧ q´) X ⇔ Y

V V F F V F F V

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F V V V

MÉTODO DEL ÁRBOL

Solo sirve para demostrar las propiedades o leyes de la lógica matemática por tal motivo

demuestra tautologías o contradicciones.

Ejercicio:

(p ∨q)´ ⟺ (p´ v q´) V V F F

V F

F

V

TAUTOLOGIA

TEORÍA DE CONJUNTOS

Es la agrupación, asociación o reunión de varios elementos que tienen una misma

característica o que son de la misma especie. Se los nombra con una letra mayúscula del

abecedario; se delimitan únicamente con llaves y se separan con comas.

Ejemplos

A= [a,e,i,o,u]

B= (amarillo,azul,rojo)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS CONJUNTOS

PRIMERA PROPIEDAD

En un conjunto tabulado nunca se repiten los elementos.

Ejemplo

A= {cero,nueve,cinco,cuatro,tres}

A= {o,9,5,4,3}

SEGUNDA PROPIEDAD

El orden de los elementos no altera el conjunto.

B: {1,2,3,,6}= {1,2,6,3}

FORMAS PARA DETERMINAR UN CONJUNTO

Descripción

Tabulación

Fórmula matemática

Diagrama de Veen

DESCRIPCIÓN:

Es un enunciado verbal o escrito pero sus elementos siempre se deben enunciar en tipo

oración.

Ejemplo:

A: {números enteros positivos no incluido el cinco son mayores que uno y menores que diez}

TABULACIÓN:

Es la representación de los elementos por medio de sus cualidades o características.

Ejemplo:

A: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

FÓRMULA MATEMÁTICA:

Es la representación a través de signos, símbolos, números y letras, para ello se debe saber

cuantificar.

Ejemplo:

𝑥/𝑥 > 5 ∧< 10; 𝑥 ∈ #𝑍+⊄ 5

GRÁFICAMENTE:

Se representa a través de los diagramas de ven que son una línea curva cerrada.

Ejemplo:

A

RECOMENDACIONES:

Formula matemática:

Descriptivo

Tabulación

Gráficamente

Descripción:

Fórmula matemática

Tabulación

Gráficamente

Gráficamente:

Formula matemática

Descripción

Tabulación

Ejemplos

Descripción A: { las vocales }

Fórmula matemática: A: {a, e, i, o, u}

Tabulación: A: {a, e, i, o, u}

Gráficamente: A

a e i

o u

2 3 4

6

7 8 9

Fórmula matemática: A: {}

Descripción A: { números dígitos }

Tabulación: A: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }

Gráficamente: A

Tabulación: A: {3, 6, 7, 9 }

Fórmula matemática: A: {números dígitos}

Descripción A: {números múltiplos de tres incluido el siete son mayores o iguales que

tres y menores o iguales que nuevo}

Gráficamente: A

E: { 1, 2, 5, 10 }

E: {}

E: {números divisibles de diez}

E:

F: {77, 88, 99, 100, 121}

F: {}

F: {números múltiplos de once incluido el cien y no incluido el ciento diez son mayores iguales

que setenta y siete}

F:

1 2 3

4 5

6 7

8

9

3 6 7

9

1 2 5

10

88 77 121 99

100

L: {5, 10, 15, 20, 25, 50 }

L: {}

L: {números divisores de cien incluido el quince son mayores que cuatro y menores que cien}

L:

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

Los conjuntos se clasifican en:

Por el número de elementos

Por su relación

POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS

Universo

Finito

Infinito

Unitario

Vacío

CONJUNTO UNIVERSO

Es el conjunto que contiene y está formado por todos los elementos o subconjuntos de un

problema o un asunto del que vamos a tratar y se lo representa con la letra U

Ejemplos:

U= {𝑋 𝑋⁄ ;x∈ alfabeto }

U= {𝑋 𝑋 ⁄ ;x∈ # D }

U= {𝑋 𝑋⁄ ;x∈ figuras geométricas}

5 10 15 20 25

50

U= {𝑋 𝑋 ⁄ ;x∈ # I }

U= {𝑋 𝑋 ⁄ ;x∈ # 𝑍+ }

CONJUNTO FINITO

Es aquel que se lo puede tabular completamente, es el conjunto que tiene principio y tiene fin

Ejemplo:

A: {a, e, i, o, u}

B= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # D }

C= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈# 𝑍− }

E= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈días de la semana }

CONJUNTO INFINITO

Es el conjunto que no se lo puede tabular completamente; es el conjunto que conocemos al

primer elemento pero no el último.

Ejemplo:

F= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈# 𝑍+ }

G= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # N }

H= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # 𝑃− }

I = { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # Z }

CONJUNTO VACÍO

Es el conjunto que no tiene elementos

Ejemplo:

H= { 𝑋 𝑋⁄ > 3 ; x∈ # P, 2x }

I = { 𝑋 𝑋⁄ > 10; x∈ # D }

CONJUNTO UNITARIO

es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos:

F= { 𝑋 𝑋⁄ > 2 ˄ < 4 ; x∈# 𝑍+ }

F= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # 𝑃+ }

F= { 𝑋 𝑋⁄ > 1 ; x∈ # D }

RELACIÓN GRAFICA ENTRE CONJUNTOS

Los conjuntos mediante sus gráficos determinan ciertas relaciones que son:

Diagrama de conjuntos iguales: contiene a los demás conjuntos y nunca intercede con

ningún otro conjunto.

U

ABC

Diagrama de conjunto intersecantes: su característica es que son entrelazados,

entrecortados, entrecruzados.

A B

A∩B

5

Diagrama de conjuntos disjuntos: su característica es que se los grafica por separado.

A disj B

Diagrama de inclusión y contenencia: grafico donde aparece la relación de inclusión y

contenencia:

Contenencia A Ↄ B

Inclusión B C A A

B

5

B A

PASOS PARA RESOLVER EJERCICIOS:

Establecemos las relaciones de igualdad.

En una forma ordenada y cíclica establecemos todas las posibles relaciones entre

conjuntos.

Establecemos las relaciones de inclusión o contingencia dependiendo del ejercicio.

Ejemplo:

Paso 1

A: = x

G: = w

H: = y = z

Paso 2

A ∩ B B ∩ C C ∩ D D ∩ E EdisjF FdisjG GdisjH

AdisjC B ∩ D CdisjE DdisjF EdisjG FdisjH

A ∩ D B Ↄ E C ∩ F DdisjG EdisjH

AↃ EB B ↃF C Ↄ G

AdisjF B disj G C ∩ H

AdisjG B∩ H

A ∩

Paso 3

E C A

E C B

F C B

G C C

H C D

5

5

5

E

F G

A B C

A

D

H

RELACION GRAFICA Y NUMERICA ENTRE CONJUNTOS

El objetivo de este tema es llegar a construir, elaborar, estructurar la gráfica de los conjuntos

dados así por ejemplo.

A: {1, 2,3, 4}

B: {5, 6, 7, 8}

C: {2, 6, 9, 10}

D: {3, 7, 11, 12}

Comprobación: se comprueba solo si todos los elementos quedan colocados en el gráfico.

EJERCICIOS

A: {2, 4, 6, 8}

B: {1, 3, 5, 7}

C: {4, 5, 7, 9, 10}

D: {3, 5, 7, 1}

5

D

C

B A 11 12

2 3

2

7

6

8 5 1 4

9 1O

2

2 6

8

4

1 3

5 7

10 9 C

B=

DD

A

A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B: {3, 4, 5, 6}

C: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12}

D: {1, 2}

E: {2,4,6,8,10,12,13}

A= {2, 4, 6, 8}

B= {6, 8, 1, 3, 5}

C= {4, 8, 3, 9, 10, 11, 12}

D= {10, 11}

A= {1, 2, 3, 4}

B= {1, 2, 3, 4, 9, 5, 7}

C= {2, 3, 5, 6, 9, 10}

D= {1}

E = {2}

F= {9, 10}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

11 8

10

7

8

12

13

3 5

4 6

B

C

9

1

2

D

A

E

A

2 6

8

4

1 3

5 7

10 9 C

B A

A

1

4

D

7

B 9 2

3

E F

6

C

10 5

En teoría de conjuntos se definen las siguientes operaciones:

Unión

Intersección

Diferencia

Diferencia simétrica

Complemento

UNIÓN:

Es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos con los que vamos a trabajar,

teniendo en cuenta las propiedades de los conjuntos: no se deben repetirlos elementos de un

conjunto y el orden de los elementos no altera los conjuntos.

Ejemplo:

A= {1, 2, 3, 4}

B= { 3, 5, 6, 7}

C= {6, 7, 8, 9}

D= {2, 4}

E= {3, 5, 6, 9}

A U B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ← 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 → AUC={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A U B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ← 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 → A U C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

NOTA: se pinta todo

U

B A

5

7

6

3 1

2

4

U A C

1

2 3

4

6

7 8

9

U

B E

5

6 3

INTERSECCION:

Es el conjunto formado por todos los elementos que se repiten.

A= {1, 2, 3, 4}

B= { 3, 5, 6, 7}

C= {6, 7, 8, 9}

D= {2, 4}

E= {3, 5, 6, 9}

NOTA: se pinta todo

U A

D

2

4

1

3

U

A

5

7

6

1

2

4

B

3

U A C

1

2 3

4

6

7 8

9

U A

D

2

4

1

3

U

B E

5

6 3

7

NOTA: se pinta lo que esta entrelazado o entrecortado.

DIFERENCIA

Es el conjunto formado por todos los elementos de A que no están en B.

A= {1, 2, 3, 4}

B= { 3, 5, 6, 7}

C= {6, 7, 8, 9}

D= {2, 4}

E= {3, 5, 6, 9}

U

B A

5

7

6

3

1

2

4

U

B A

5

7

6

3 1

2

4

5

U A C

1

2 3

4

6

7 8

9

U A C

1

2 3

4

6

7 8

9

U

B E

5

6 3

7

U

B E

5

6 3

7

DIFERENCIA SIMÉTRICA

Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A unión con B pero que no estén

en A intersección con B.

A= {1, 2, 3, 4}

B= { 3, 5, 6, 7}

C= {6, 7, 8, 9}

D= {2, 4}

E= {3, 5, 6, 9}

A∆B= (AUB)\(A∩B)

AUB= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A∩B= { }

X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A∆C= (AUC)\ (A∩C)

AUC= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A∩C= { }

X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

U A

D

2

4

1

3

U A

D

2

4

1

3

U

B A

5

7

6

1

2

4

3

B∆E= (BUE)\ (B∩E)

BUE= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B∩E= { }

X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A∆D= (AUD)\ (A∩D)

AUD= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A∩D= { }

X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

U A C

1

2 3

4

6

7 8

9

U

B E

5

6 3

7

COMPLEMENTO

Llamamos complemento al conjunto formado por todos los elementos que se hacen falta al

conjunto A o al conjunto dado para ser idéntico al universo.

A= {1, 2, 3, 4}

U.= {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A´= {0, 5}

EJERCICIOS

U A

D

4

2

1

3

U

B E

1

2 3

4

5 0

NOTA: se pinta todo menos los interesantes.

Dado los siguientes conjuntos Resolver analíticamente y gráficamente la siguiente operación.

A= {1, 2, 3, 4}

B= {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

C= {7, 8, 9, 11, 13, 14}

D= {3, 4, 10, 11, 9, 12, 14, 15}

E= {6, 7, 10, 11}

U. ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

[(𝐴 − 𝐵)′ ∆ (𝐶 ∩ 𝐷′) ′

] ∩ ( 𝐸 ∩ 𝐴 )′

𝐴 − 𝐵 ={2, 3}

(𝐴 − 𝐵)′= {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

𝐷′={0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 13, 16}

(𝐶 ∩ 𝐷′)= {7. 8. 13}

(𝐶 ∩ 𝐷′)′={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16}

(𝑃 𝑈 𝑄)={0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 2, 3} =R

(𝑃 ∩ 𝑄)={0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16} =S

(𝑅 − 𝑆)={7, 8, 2, 3,} = Y

(𝐸 𝑈 𝐴)={6, 7, 10, 11, 1, 2, 3, 4}

𝑃∆𝑄 = (𝑃𝑈𝑄) − (𝑃 ∩ 𝑄)

(𝐸𝑈𝐴)′={0, 5, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16} =X

𝑋 ∩ 𝑌 ={8,13}

APLICACIONES DE CONJUNTOS

En la teoría de conjuntos se puede resolver un ejercicio razonado de tres maneras.

Diagrama de Carol.

Diagrama de Veen.

Por razonamiento.

Ejercicios

Se aplica una encuesta a cuarenta estudiantes de los cuales 16 estudiantes pierden el año. El

número de niñas es la mitad del número de estudiantes aprobados y el número de niños

aprobados es el cuádruple de niñas que pierden el año.

¿Cuántas niñas aprueban?

DATOS

U= 40 estudiantes

Niños y niñas pierden = 16 estudiantes

2

3

1

4

5

12

8 9

15 16

A B C

D

E

U

13

14

6 10

7 11

Niñas= 1 2⁄ estudiantes aprueban

Niños aprobados= cuádruple de niñas que aprueban

MÉTODO DE CAROL

4x+y=24

X+y=12(-1)

4x+y=24

-X - y=-12

3x =12

X= 12/3

X=4

X+y=12

4+y=12

Y=8

DIAGRAMA DE VEEN

40-16=24

4x+16-x+12=40

4x-x=40-16-12

3x=12

X=4

datos niños niñas total aprobados 16 8 24

perdidos 12 4 16 total 28 12 40

U

B A

16 8 12

4

U

B A

4x 12 16-x

De 106 personas, se sabe que los que hablan solo ingles son tantos como los que hablan inglés

y francés, además los que hablan solo francés es la quinta parte de los que hablan inglés. Si

diez personas no hablan ninguno de estos idiomas.

¿Cuántos hablan solo francés?

Datos:

Hablan inglés son iguales a los que hablan los dos idiomas.

Hablan francés es quinta parte de los que hablan inglés.

Diez personas no hablan ninguno de estos idiomas.

X+X+2X/5+10=106

2X+2X/5+106-10

10𝑋 + 2𝑋

5= 96

12X=96

96/1

12/5

X=40

En una población el 50% toma leche, el 40% come carne, además solo los que comen carne o

solo los que toman leche son el 54%.

5

U

Francés Ingles

40 16 40

U

Francés Ingles

X 2x/5 X

Ambos

Ambos

¿Cuál es el % de los que no toman leche y o comen carne?

Datos:

U:100%

T leche: 50%

C carne: 40%

Solo t leche o c carne =54%

No T leche o carne:

50-x+40-x=54

-2x=50-50-40

2x=36

X=36/2

X=18

32+18+22+X=100

X=100-32+18+22

X=28%

En un avión viajan 120 personas de las cuales los 2/3 de ellas no beben, los 4/5 de ellas no

fuman y 72 no fuman ni beben

U

Carne Leche

50-X 40-x X

U

carne leche

50-X 40-x X

U

No beben No fuman

8 24 72

¿Cuántas personas fuman y beben?

Datos:

U= 120 personas

2/3 no beben

4/5 no fuman

72 no fuman ni beben

120-80=40

120-96=24

U=120-(24+72+8)

U=120-(104)

U=16

RELACIONES

Llamamos relación al conjunto formado por una serie de pares ordenados que cumplen una

condición determinando y vienen representados del producto cartesiano y se lo representa de

la siguiente manera.

RAB

ARB

PAR ORDENADO

Es la unión de 2 números reales que en el plano cartesiano me dan un punto.

PRODUCTO CARTESIANO AXB

Es el conjunto formado por una serie de pares ordenados resultantes de la combinación, de un

elemento del conjunto A por cada elemento del conjunto B, hasta culminar con el último

elemento del conjunto A siendo su símbolo A*B.

DOMINIO DE LA RELACIÓN

Llamamos dominio al conjunto formado por las primeras componentes del conjunto relación y

su símbolo es DOM .

CODOMINIO RANGO O RECORRIDO

Es el conjunto formado por las segundas componentes del conjunto relación.

IMAGEN

Las segundas componentes son imagen de las primeras componentes.

El codominio es imagen del dominio.

ESCALA

Es el espacio que existe de un punto a otro, es independiente a cada eje.

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Diagrama de veen

Plano cartesiano

Diagrama de doble entrada

Diagrama matricial.

Ejercicios

A= {1, 2, 3, 4}

B= {3, 4, 5, 6}

R= X+1=Y

R= {2,3) , (3,4) , (4,5) }

DOMR= {2, 3, 4}

DODR= {3, 4, 5}

IMAGEN:

3 “ 2

4 “ 3

5 “ 4

(1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)

(2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)

A*B (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)

(4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)

NOTA: en una relación en el plano cartesiano jamás se unos los puntos.

R 3 4 5 6

1

2 2R3

3 3R4

4 4R5

FUNCIÓN

Llamamos función a toda relación cuyas primeras componentes nunca se repitan y sean

mínimos dos componentes y se representa F(x)

R1= {(1,1),(2,2),(3,3)} F(X)

R2= {(1,2),(2,3),(3,4)} F(X)

R3= {(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)} NO

R4= {(2,3)} NO

R5= {(5,2),(3,7),(8,9)} F(X)

3

4

1

2

5

6

PLANO CARTESIANO DIAGRAMA DE VEN

DIAGRAMA DE DOBLE ENTRADA DIAGRAMA MATRICIAL

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE UNA FUNCIÓN

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

Relación grafica de u a función: se traza una línea recta paralela al eje de las Y y si esta se

cortan en dos puntos iguales no es función

F(x)

F(x) F(x) F(x)

F(x) F(x)

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

Constante

Inversa

Compuesta

INYECTIVA

Llamamos función Inyectiva cuando a un elemento del conjunto de salida le corresponde uno

y solo un elemento del conjunto de llegada.

Ejemplo:

R=X+2=Y

A F B

B A

17

12

7

3

1

5

10

15

Inyectaba

F(X)={(1,3),(5,7),(10,12),(15,17)}

DOM={1,5,10,15}

COD={3,7,12,17}

Ejercicios:

X-7=Y

FA B

INYECTIVA

R= X/3=Y

A F B

INYECTIVA

𝑥2-1=y

A F B

SOBREYECTIVA

Es aquella función en el cual el conjunto de llegada es imagen del conjunto de salida

B A

3

-2

0

8

5

10

15

7

B A

2

3

7/3

1000

9

12

6

7

B A

24

35

3

0

5

6

2

1

R= X+3=Y

A F B

SOBREYECTIVA

BIYECTIVA

IDENTIDAD

Cuando los elementos del conjunto A son iguales al B

R= X=Y

A F B

IDENTIDAD O IGUALES

B A

8

4

13

1

7

5

10

5

B A

8

4

13

1

7

5

10

5

B A

1

2

3

4

1

2

3

4

INYECTIVA

SOBREYECTIVA

BIYECTIVA

CONSTANTE

Aquella función en la cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una misma

imagen

A B

R= 𝑥

𝑥 =Y

A F B

CONSTANTE

FUNCION INVERSA

Llamamos función inversa aquella función resultante de un cambio o una alteración. El

conjunto de salida se va a convertir en el conjunto de llegada y el conjunto de llegada en

conjunto de salida siendo su símbolo: 𝑓−1

𝑅−1:x=y +3 R:x=y +3

A F B B F A

FUNCIÓN COMPUESTA

Sea y =f(x) y Z=g(x)

Llamamos función compuesta a una nueva función resultante del análisis matemático entre

las dos funciones y se lo puede representar de la siguiente manera:

Siendo su símbolo H

Se lee al revés

1 2 5

50

1

2 7

10 11

-1 4 7

2 7

10 11

-1 4 7

H= (YoZ )

H= (ZoY)

PASOS PARA RESOLVER LA FUNCION COMPUESTA

Identificamos quien es primera y segunda función (por su estructura).

En la primera función reemplazamos los valores de la segunda función

Realizamos las operaciones indicadas; multiplicación algebraica, productos notables,

triangulo de pascal, binomio de newton, reducción de términos semejantes

Comprobamos gráficamente que está bien resuelto la función compuesta por su lectura

Ejercicios

1 y=2𝑥2 − 5𝑥 − 3

2 z=3𝑥2 + 4𝑥 + 2

H=𝑥2 − 5𝑥 − 3

H=2(3𝑥2 + 4𝑥 + 2)2 5(3𝑥2 + 4𝑥 + 2) − 3

H=2[(3𝑥2)2 + (4𝑥)2 + (2)2 + 2(3𝑥2)(4𝑥) + 2(3𝑥2)(2) + 2(4𝑥)(2)] − 15𝑥2 − 20𝑥 − 3 − 10

H=-2[(9𝑥4 + 16𝑥2 + 4 + 24𝑥3 + 12𝑥2 + 10𝑥] − 15𝑥2 − 20𝑥 − 13

H=18𝑥4 + 32𝑥2 + 8 + 48𝑥3 + 24𝑥2 + 32𝑥 − 15𝑥2 − 20𝑥 − 13

H=18𝑥4 + 48𝑥3 + 41𝑥2 + 12𝑥 − 5

A B C

H=18𝑥4 + 48𝑥3 + 41𝑥2 + 12𝑥 − 5

1

0

-1

114

-5

-6

9

2

1

z=3𝑥2 + 4𝑥 + 2

y=2𝑥2 − 5𝑥 − 3