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LÓGICA MATEMÁTICA
Es una parte de las matemáticas que nos permite transformar los argumentos verbales en
símbolos y letras.
Lenguaje Lenguaje castellano Lenguaje matemáticos
Letras a,b,c…z 1,2,3,4…
Palabras Mama Suma
4545 2424
Frases Pelota grande roja Maleta fea vieja
2+3 50/20
Oración La pelota es grande roja La maleta fea esta vieja
2+3=5 50*2=30
PROPOSICIÓN
Es un enunciado verbal o matemático al cual puedo otorgarle el valor de verdadero esta puede
ser solo verdadero o solo falso pero jamás ambos a la vez.
Las propiedades se determinan con letras minúsculas: p, q, r, s, t, w.
Ejemplos
P: Rafael correa es presidente del ecuador Vp (V)
Q: 2*2=9 Vq (F)
R: toda oración es proposición. Vr(V)
s: 2+2=5 Vs(F)
t: las facturas son documentos por cobrar Vt(F)
ESQUEMA PROPOSICIONAL
Son enunciado verbales o matemático al cual no se le puede otorgar un valor verdad o falso.
Ejemplos
P: mañana Lissette se va a morir Vp (NOSE)
Q: maria se fue al rio Vq (NOSE)
R: Juan tien un carro rojo Vr(NOSE)
S:Liliana esta en la universidad Vs(NOSE)
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CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS:
Es aquella que o se puede descomponer, que no se puede dividir. Es aquella proposición que
está formado por un solo enunciado.
Ejemplo
t: el ministro de relaciones laborales es Carlos Marx Carrasco.
PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES:
Es la unión de dos proposiciones simples o dos enunciados, y es aquella que se puede
descomponer en dos proposiciones simples
Ejemplo
Ambato es tierra de flores y cuna de los tres Juanes.
p: Ambato es tierra de flores
q: Ambato es cuna de los tres Juanes.
CONECTIVOS LÓGICOS
Son signos letras, palabras que nos sirven para unir dos proposiciones simples
Conectivo lógico Símbolo Lectura
Negación -p P` p
Negación de p P negado
Conjunción ∧ i
Disyunción V O
Condicional o implicación ⟹ Si entonces Si entonces
Bicondicional o doble implicación
⇔ Si i solo si Si i solo si
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NEGACIÓN
Se utiliza porque tengo una sola proposición y sirve para cambiar el valor de verdad de la
proposición y la proposición simple se convierte en una proposición compuesta.
Su símbolo es (-)
-P: el precio del barril de petróleo es de $100.
-p: el precio del barril de petróleo no es de $100.
CONJUNCIÓN
Se utiliza cuando las dos proposiciones son totalmente diferentes y o tienen relación entre si
y se simboliza ^
Ejemplo
p: Fernando callejas es arquitecto.
q: quito es capital del ecuador.
(p^q) Fernando callejas es arquitecto i quito es capital del ecuador.
R: 7*3=25
S: √2-3^7√3
(r^s) 7*3=25^√2-3^7√3
DISYUNCIÓN
Utilizamos el conectivo lógico de disyunción porque los dos sujetos deben ser iguales y se
simboliza v.
Ejemplo
p: los tres Juanes fueron escritores.
q: Juan Montalvo, Juan benigno vela y Juan león mera nacieron en la merced.
(pvq) los tres Juanes fueron escritores o Juan Montalvo, Juan benigno vela y Juan león mera
nacieron en la merced.
R: 5+5=√3+1-8
S: 7+3 < 4+5
(rvs) 5+5=√3 +1-8v7+3 < 4+5
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IMPLICACIÓN
Utilizamos este conectivo lógico porque el complemento de la primera proposición es igual al
sujeto de la segunda proposición y su símbolo es →
P: en el ecuador se comercializa el petróleo.
Q: el oro negro se explota en el oriente ecuatoriano.
(p q) en el ecuador se comercializa el petróleo entonces el oro negro se explota en el oriente
ecuatoriano.
R: 7+9=11
Q: 5+6=20+3√3
(r → s) 7+9=11 → 5+6=20+3√3
EQUIVALENCIA, BICONDICIONAL, DOBLE IMPLICACIÓN
Utilizamos este conectivo lógico cuando las dos proposiciones son iguales.
Ejemplos
p: Rafael correa vive en Guayaquil.
q: el presidente del ecuador tiene a su familia en la perla del pacifico.
(p ↔ q) Rafael correa vive en Guayaquil si i solo si el presidente del ecuador tiene a su familia
en la perla del pacifico.
r: 9+9=√100 +5
s: (5*2)+7+1=3*5
(r ↔ s) 9+9=√100 +5 ↔(5*2)+7+1=3*5
CUANTIFICADORES
Son signos matemáticos que me sirven para limitar la extensión de un conjunto se cuantifica
para transformar una proposición en función proposicional.
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CLASIFICACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES
Cuantificador universal
Cuantificador existencial
Cuantificador singular
Cuantificador nulo
CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Esta presentado por el conjunto universo su símbolo es ∀ y se lo lee (para todos).
U={ ∀ }
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Está representado por un subconjunto del conjunto universo su símbolo es ∃ y se lee (para
algunos).
U= { ∃}
CUANTIFICADOR SINGULAR
Está representado por el conjunto unitario siendo su símbolo el siguiente y se lee (para uno).
U= { }
CUANTIFICADOR NULO
Está representado por el conjunto nulo o vacio siendo su símbolo el siguiente y se lee (para
ninguno).
U= { }
¿QUÉ SE DEBE HACER PARA CUANTIFICAR?
Identificamos el conjunto con el que vamos a trabajar.
Escribimos el cuantificador correspondiente.
Establecemos la recepción de pertenencia.
Determinamos la relación matemática.
Comprobamos si está bien cuantificado ¿Cómo se comprueba? Por su lectura.
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SIMBOLOGÍA
X equis Q racional
/ Tal que I irracional
; siendo i imaginario
E pertenece a o es elemento de complejo
E no pertenece a o no es elemento de N natural
= igual o es Z enteros
≠ es diferente de Z enteros positivos
˃ Mayor que Z enteros negativos
≥ Mayor o igual que v vector nulo o vector cero
Ↄ contiene Q fraccionarios
Ↄ no contiene en consecuencia
C está incluido en o es subconjunto de = congruente
C no está incluido en o no es subconjunto de alfa
Angulo infinito
# numero β beta
Perpendicular omega
Paralelo ˄ i
R Real v o
2x Par ͢ implica
2x+1 Impar ͍ equivalente
Menor menor o igual que
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p: todos los números imaginarios son mayores que uno y menores que veinte.
∀ 𝑥/𝑥 > 1< 20; 𝑥 ∈ #𝑖 Ejercicios
q: todos los números fraccionarios consecutivos pares no incluido el cinco son
perpendiculares.
∀ 𝑥/𝑥 = 1; 𝑥 ∈ #𝑄; 𝑛 + 1,2𝑥 ⊄ 5
w: algunos números consecutivos impares no incluido un número infinito es diferente de un
numero irracional o un numero par.
∃𝑥/𝑥 ≠ #𝐼𝑣#2𝑥 ; 𝑥 ∈ #𝑛 + 1,2𝑥 + 1 ⊄ # ∞
x: los números dígitos impares son mayores que siete y menores que diez.
𝑥/𝑥 => 7 ∧< 10 ; 𝑥 ∈ #𝐷, 2𝑋 + 1
w: los números enteros no incluido el vector son mayores que cero y menores que cero.
∀𝑥/𝑥 > 0 ∧< 0; 𝑥 ∈ #𝑍 ⊄ ⋁
y: los números fraccionarios son mayores que uno y menores que dos.
∀𝑥/𝑥 > 1 ∧< 2; 𝑥 ∈ #𝑄´
z: los números divisores del veinte y cinco no incluido el tres son menores que el veinte y seis.
∀𝑥/𝑥 < 26; 𝑥 ∈ #ℸ25 ⊄ 3
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m: los números múltiplos de cuatro incluido el siete impares son mayores que uno y menores
que veinte.
𝑥/𝑥 > 1 ∧< 20; 𝑥 ∈ #∟4𝐶7,2𝑋 + 1
TABLAS DE VERDAD
Con la siguiente formula podemos encontrar el número de verdaderos y falsos que debemos
emplear.
#C=2𝑛
#C=22
#C=4
P Q
V V
V F
F V
F F
NEGACIÓN
Transforma el valor de preposición y se la represente en este siguiente gráfico.
P ´P (P´)´
V F V
F V F
CONJUNCIÓN
Es verdadero cuando sus dos proposiciones simples son verdaderas y el resto es falsa y se lo
representa en la siguiente tabla.
P Q (P∧Q)
V V V
V F F
F V F
F F F
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DISYUNCIÓN
La disyunción se clasifica en tres; incluyente, excluyente y incluyente de contrarios.
INCLUYENTE:
Es aquella que si me admite una tercera posibilidad al mismo tiempo. Esta proposición es
falsa cuando sus dos proposiciones son falsas y se la representa en la siguiente tabla.
P Q (PvQ)
V V V
V F V
F V V
F F F
EXCLUYENTE:
Es aquella que no permite una tercera posibilidad, una proposición binaria verdadera cuando
sus proposiciones son diferentes caso contrario son falsas.
P Q (P v Q)
V V F
V F V
F V V
F F F
INCLUYENTE DE CONTRARIOS:
Es aquella que da respuesta a la excluyente y admite una tercera posibilidad dependiendo de
la respuesta y se representa gráficamente en la siguiente tabla.
P Q (P/Q)
V V V
V F F
F V F
F F F
IMPLICACIÓN:
Es una proposición binaria falsa cuando los antecedentes son verdaderos y su sucesor es falso
y se lo representa en la siguiente tabla.
P Q (P ⟹Q) (Q⟹P)
V V V V
V F F V
F V V F
F F V V
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EQUIVALENCIA:
Es una proposición binaria verdadera cuando sus dos proposiciones son iguales caso contrario
será falso y se lo representa en la siguiente tabla.
P Q (P ⇔Q)
V V V
V F F
F V F
F F V
TAUTOLOGÍA
Son las demostraciones de las propiedades de la lógica matemática que en su respuesta se
definen solo valores verdaderos.
CONTRADICCIÓN
Son leyes o propiedades de la matemática que su respuesta solo se define valores falsos es la
negación de la tautología.
CONTINGENCIA
Son operaciones de la lógica matemática que su respuesta se definen valores de respuesta
verdaderos y falsos.
Ejercicios
Dada la siguiente opción demostrar si es tautología, contingencia o contradicción.
(p v q)´ ⇔ (p´∧ q´)
#C=2𝑛
#C=22
#C=4
P Q P´ Q´ p v q (p v q)´ (p´∧ q´) X ⇔ Y
V V F F V F F V
V F F V V F F V
F V V F V F F V
F F V V F V V V
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MÉTODO DEL ÁRBOL
Solo sirve para demostrar las propiedades o leyes de la lógica matemática por tal motivo
demuestra tautologías o contradicciones.
Ejercicio:
(p ∨q)´ ⟺ (p´ v q´) V V F F
V F
F
V
TAUTOLOGIA
TEORÍA DE CONJUNTOS
Es la agrupación, asociación o reunión de varios elementos que tienen una misma
característica o que son de la misma especie. Se los nombra con una letra mayúscula del
abecedario; se delimitan únicamente con llaves y se separan con comas.
Ejemplos
A= [a,e,i,o,u]
B= (amarillo,azul,rojo)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS CONJUNTOS
PRIMERA PROPIEDAD
En un conjunto tabulado nunca se repiten los elementos.
Ejemplo
A= {cero,nueve,cinco,cuatro,tres}
A= {o,9,5,4,3}
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SEGUNDA PROPIEDAD
El orden de los elementos no altera el conjunto.
B: {1,2,3,,6}= {1,2,6,3}
FORMAS PARA DETERMINAR UN CONJUNTO
Descripción
Tabulación
Fórmula matemática
Diagrama de Veen
DESCRIPCIÓN:
Es un enunciado verbal o escrito pero sus elementos siempre se deben enunciar en tipo
oración.
Ejemplo:
A: {números enteros positivos no incluido el cinco son mayores que uno y menores que diez}
TABULACIÓN:
Es la representación de los elementos por medio de sus cualidades o características.
Ejemplo:
A: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
FÓRMULA MATEMÁTICA:
Es la representación a través de signos, símbolos, números y letras, para ello se debe saber
cuantificar.
Ejemplo:
𝑥/𝑥 > 5 ∧< 10; 𝑥 ∈ #𝑍+⊄ 5
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GRÁFICAMENTE:
Se representa a través de los diagramas de ven que son una línea curva cerrada.
Ejemplo:
A
RECOMENDACIONES:
Formula matemática:
Descriptivo
Tabulación
Gráficamente
Descripción:
Fórmula matemática
Tabulación
Gráficamente
Gráficamente:
Formula matemática
Descripción
Tabulación
Ejemplos
Descripción A: { las vocales }
Fórmula matemática: A: {a, e, i, o, u}
Tabulación: A: {a, e, i, o, u}
Gráficamente: A
a e i
o u
2 3 4
6
7 8 9
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Fórmula matemática: A: {}
Descripción A: { números dígitos }
Tabulación: A: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }
Gráficamente: A
Tabulación: A: {3, 6, 7, 9 }
Fórmula matemática: A: {números dígitos}
Descripción A: {números múltiplos de tres incluido el siete son mayores o iguales que
tres y menores o iguales que nuevo}
Gráficamente: A
E: { 1, 2, 5, 10 }
E: {}
E: {números divisibles de diez}
E:
F: {77, 88, 99, 100, 121}
F: {}
F: {números múltiplos de once incluido el cien y no incluido el ciento diez son mayores iguales
que setenta y siete}
F:
1 2 3
4 5
6 7
8
9
3 6 7
9
1 2 5
10
88 77 121 99
100
![Page 15: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/15.jpg)
L: {5, 10, 15, 20, 25, 50 }
L: {}
L: {números divisores de cien incluido el quince son mayores que cuatro y menores que cien}
L:
CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Los conjuntos se clasifican en:
Por el número de elementos
Por su relación
POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS
Universo
Finito
Infinito
Unitario
Vacío
CONJUNTO UNIVERSO
Es el conjunto que contiene y está formado por todos los elementos o subconjuntos de un
problema o un asunto del que vamos a tratar y se lo representa con la letra U
Ejemplos:
U= {𝑋 𝑋⁄ ;x∈ alfabeto }
U= {𝑋 𝑋 ⁄ ;x∈ # D }
U= {𝑋 𝑋⁄ ;x∈ figuras geométricas}
5 10 15 20 25
50
![Page 16: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/16.jpg)
U= {𝑋 𝑋 ⁄ ;x∈ # I }
U= {𝑋 𝑋 ⁄ ;x∈ # 𝑍+ }
CONJUNTO FINITO
Es aquel que se lo puede tabular completamente, es el conjunto que tiene principio y tiene fin
Ejemplo:
A: {a, e, i, o, u}
B= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # D }
C= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈# 𝑍− }
E= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈días de la semana }
CONJUNTO INFINITO
Es el conjunto que no se lo puede tabular completamente; es el conjunto que conocemos al
primer elemento pero no el último.
Ejemplo:
F= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈# 𝑍+ }
G= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # N }
H= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # 𝑃− }
I = { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # Z }
CONJUNTO VACÍO
Es el conjunto que no tiene elementos
Ejemplo:
H= { 𝑋 𝑋⁄ > 3 ; x∈ # P, 2x }
I = { 𝑋 𝑋⁄ > 10; x∈ # D }
![Page 17: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/17.jpg)
CONJUNTO UNITARIO
es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
F= { 𝑋 𝑋⁄ > 2 ˄ < 4 ; x∈# 𝑍+ }
F= { 𝑋 𝑋⁄ ; x∈ # 𝑃+ }
F= { 𝑋 𝑋⁄ > 1 ; x∈ # D }
RELACIÓN GRAFICA ENTRE CONJUNTOS
Los conjuntos mediante sus gráficos determinan ciertas relaciones que son:
Diagrama de conjuntos iguales: contiene a los demás conjuntos y nunca intercede con
ningún otro conjunto.
U
ABC
Diagrama de conjunto intersecantes: su característica es que son entrelazados,
entrecortados, entrecruzados.
A B
A∩B
5
![Page 18: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/18.jpg)
Diagrama de conjuntos disjuntos: su característica es que se los grafica por separado.
A disj B
Diagrama de inclusión y contenencia: grafico donde aparece la relación de inclusión y
contenencia:
Contenencia A Ↄ B
Inclusión B C A A
B
5
B A
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PASOS PARA RESOLVER EJERCICIOS:
Establecemos las relaciones de igualdad.
En una forma ordenada y cíclica establecemos todas las posibles relaciones entre
conjuntos.
Establecemos las relaciones de inclusión o contingencia dependiendo del ejercicio.
Ejemplo:
Paso 1
A: = x
G: = w
H: = y = z
Paso 2
A ∩ B B ∩ C C ∩ D D ∩ E EdisjF FdisjG GdisjH
AdisjC B ∩ D CdisjE DdisjF EdisjG FdisjH
A ∩ D B Ↄ E C ∩ F DdisjG EdisjH
AↃ EB B ↃF C Ↄ G
AdisjF B disj G C ∩ H
AdisjG B∩ H
A ∩
Paso 3
E C A
E C B
F C B
G C C
H C D
5
5
5
E
F G
A B C
A
D
H
![Page 20: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/20.jpg)
RELACION GRAFICA Y NUMERICA ENTRE CONJUNTOS
El objetivo de este tema es llegar a construir, elaborar, estructurar la gráfica de los conjuntos
dados así por ejemplo.
A: {1, 2,3, 4}
B: {5, 6, 7, 8}
C: {2, 6, 9, 10}
D: {3, 7, 11, 12}
Comprobación: se comprueba solo si todos los elementos quedan colocados en el gráfico.
EJERCICIOS
A: {2, 4, 6, 8}
B: {1, 3, 5, 7}
C: {4, 5, 7, 9, 10}
D: {3, 5, 7, 1}
5
D
C
B A 11 12
2 3
2
7
6
8 5 1 4
9 1O
2
2 6
8
4
1 3
5 7
10 9 C
B=
DD
A
![Page 21: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/21.jpg)
A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B: {3, 4, 5, 6}
C: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12}
D: {1, 2}
E: {2,4,6,8,10,12,13}
A= {2, 4, 6, 8}
B= {6, 8, 1, 3, 5}
C= {4, 8, 3, 9, 10, 11, 12}
D= {10, 11}
A= {1, 2, 3, 4}
B= {1, 2, 3, 4, 9, 5, 7}
C= {2, 3, 5, 6, 9, 10}
D= {1}
E = {2}
F= {9, 10}
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
11 8
10
7
8
12
13
3 5
4 6
B
C
9
1
2
D
A
E
A
2 6
8
4
1 3
5 7
10 9 C
B A
A
1
4
D
7
B 9 2
3
E F
6
C
10 5
![Page 22: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/22.jpg)
En teoría de conjuntos se definen las siguientes operaciones:
Unión
Intersección
Diferencia
Diferencia simétrica
Complemento
UNIÓN:
Es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos con los que vamos a trabajar,
teniendo en cuenta las propiedades de los conjuntos: no se deben repetirlos elementos de un
conjunto y el orden de los elementos no altera los conjuntos.
Ejemplo:
A= {1, 2, 3, 4}
B= { 3, 5, 6, 7}
C= {6, 7, 8, 9}
D= {2, 4}
E= {3, 5, 6, 9}
A U B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ← 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 → AUC={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A U B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ← 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 → A U C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
NOTA: se pinta todo
U
B A
5
7
6
3 1
2
4
U A C
1
2 3
4
6
7 8
9
U
B E
5
6 3
![Page 23: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/23.jpg)
INTERSECCION:
Es el conjunto formado por todos los elementos que se repiten.
A= {1, 2, 3, 4}
B= { 3, 5, 6, 7}
C= {6, 7, 8, 9}
D= {2, 4}
E= {3, 5, 6, 9}
NOTA: se pinta todo
U A
D
2
4
1
3
U
A
5
7
6
1
2
4
B
3
U A C
1
2 3
4
6
7 8
9
U A
D
2
4
1
3
U
B E
5
6 3
7
NOTA: se pinta lo que esta entrelazado o entrecortado.
![Page 24: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/24.jpg)
DIFERENCIA
Es el conjunto formado por todos los elementos de A que no están en B.
A= {1, 2, 3, 4}
B= { 3, 5, 6, 7}
C= {6, 7, 8, 9}
D= {2, 4}
E= {3, 5, 6, 9}
U
B A
5
7
6
3
1
2
4
U
B A
5
7
6
3 1
2
4
5
U A C
1
2 3
4
6
7 8
9
U A C
1
2 3
4
6
7 8
9
U
B E
5
6 3
7
U
B E
5
6 3
7
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DIFERENCIA SIMÉTRICA
Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A unión con B pero que no estén
en A intersección con B.
A= {1, 2, 3, 4}
B= { 3, 5, 6, 7}
C= {6, 7, 8, 9}
D= {2, 4}
E= {3, 5, 6, 9}
A∆B= (AUB)\(A∩B)
AUB= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A∩B= { }
X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A∆C= (AUC)\ (A∩C)
AUC= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A∩C= { }
X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
U A
D
2
4
1
3
U A
D
2
4
1
3
U
B A
5
7
6
1
2
4
3
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B∆E= (BUE)\ (B∩E)
BUE= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B∩E= { }
X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A∆D= (AUD)\ (A∩D)
AUD= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A∩D= { }
X - Y= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
U A C
1
2 3
4
6
7 8
9
U
B E
5
6 3
7
![Page 27: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/27.jpg)
COMPLEMENTO
Llamamos complemento al conjunto formado por todos los elementos que se hacen falta al
conjunto A o al conjunto dado para ser idéntico al universo.
A= {1, 2, 3, 4}
U.= {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A´= {0, 5}
EJERCICIOS
U A
D
4
2
1
3
U
B E
1
2 3
4
5 0
NOTA: se pinta todo menos los interesantes.
![Page 28: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/28.jpg)
Dado los siguientes conjuntos Resolver analíticamente y gráficamente la siguiente operación.
A= {1, 2, 3, 4}
B= {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
C= {7, 8, 9, 11, 13, 14}
D= {3, 4, 10, 11, 9, 12, 14, 15}
E= {6, 7, 10, 11}
U. ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
[(𝐴 − 𝐵)′ ∆ (𝐶 ∩ 𝐷′) ′
] ∩ ( 𝐸 ∩ 𝐴 )′
𝐴 − 𝐵 ={2, 3}
(𝐴 − 𝐵)′= {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
𝐷′={0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 13, 16}
(𝐶 ∩ 𝐷′)= {7. 8. 13}
(𝐶 ∩ 𝐷′)′={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16}
(𝑃 𝑈 𝑄)={0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 2, 3} =R
(𝑃 ∩ 𝑄)={0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16} =S
(𝑅 − 𝑆)={7, 8, 2, 3,} = Y
(𝐸 𝑈 𝐴)={6, 7, 10, 11, 1, 2, 3, 4}
𝑃∆𝑄 = (𝑃𝑈𝑄) − (𝑃 ∩ 𝑄)
![Page 29: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/29.jpg)
(𝐸𝑈𝐴)′={0, 5, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16} =X
𝑋 ∩ 𝑌 ={8,13}
APLICACIONES DE CONJUNTOS
En la teoría de conjuntos se puede resolver un ejercicio razonado de tres maneras.
Diagrama de Carol.
Diagrama de Veen.
Por razonamiento.
Ejercicios
Se aplica una encuesta a cuarenta estudiantes de los cuales 16 estudiantes pierden el año. El
número de niñas es la mitad del número de estudiantes aprobados y el número de niños
aprobados es el cuádruple de niñas que pierden el año.
¿Cuántas niñas aprueban?
DATOS
U= 40 estudiantes
Niños y niñas pierden = 16 estudiantes
2
3
1
4
5
12
8 9
15 16
A B C
D
E
U
13
14
6 10
7 11
![Page 30: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/30.jpg)
Niñas= 1 2⁄ estudiantes aprueban
Niños aprobados= cuádruple de niñas que aprueban
MÉTODO DE CAROL
4x+y=24
X+y=12(-1)
4x+y=24
-X - y=-12
3x =12
X= 12/3
X=4
X+y=12
4+y=12
Y=8
DIAGRAMA DE VEEN
40-16=24
4x+16-x+12=40
4x-x=40-16-12
3x=12
X=4
datos niños niñas total aprobados 16 8 24
perdidos 12 4 16 total 28 12 40
U
B A
16 8 12
4
U
B A
4x 12 16-x
![Page 31: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/31.jpg)
De 106 personas, se sabe que los que hablan solo ingles son tantos como los que hablan inglés
y francés, además los que hablan solo francés es la quinta parte de los que hablan inglés. Si
diez personas no hablan ninguno de estos idiomas.
¿Cuántos hablan solo francés?
Datos:
Hablan inglés son iguales a los que hablan los dos idiomas.
Hablan francés es quinta parte de los que hablan inglés.
Diez personas no hablan ninguno de estos idiomas.
X+X+2X/5+10=106
2X+2X/5+106-10
10𝑋 + 2𝑋
5= 96
12X=96
96/1
12/5
X=40
En una población el 50% toma leche, el 40% come carne, además solo los que comen carne o
solo los que toman leche son el 54%.
5
U
Francés Ingles
40 16 40
U
Francés Ingles
X 2x/5 X
Ambos
Ambos
![Page 32: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/32.jpg)
¿Cuál es el % de los que no toman leche y o comen carne?
Datos:
U:100%
T leche: 50%
C carne: 40%
Solo t leche o c carne =54%
No T leche o carne:
50-x+40-x=54
-2x=50-50-40
2x=36
X=36/2
X=18
32+18+22+X=100
X=100-32+18+22
X=28%
En un avión viajan 120 personas de las cuales los 2/3 de ellas no beben, los 4/5 de ellas no
fuman y 72 no fuman ni beben
U
Carne Leche
50-X 40-x X
U
carne leche
50-X 40-x X
U
No beben No fuman
8 24 72
![Page 33: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/33.jpg)
¿Cuántas personas fuman y beben?
Datos:
U= 120 personas
2/3 no beben
4/5 no fuman
72 no fuman ni beben
120-80=40
120-96=24
U=120-(24+72+8)
U=120-(104)
U=16
RELACIONES
Llamamos relación al conjunto formado por una serie de pares ordenados que cumplen una
condición determinando y vienen representados del producto cartesiano y se lo representa de
la siguiente manera.
RAB
ARB
PAR ORDENADO
Es la unión de 2 números reales que en el plano cartesiano me dan un punto.
PRODUCTO CARTESIANO AXB
Es el conjunto formado por una serie de pares ordenados resultantes de la combinación, de un
elemento del conjunto A por cada elemento del conjunto B, hasta culminar con el último
elemento del conjunto A siendo su símbolo A*B.
DOMINIO DE LA RELACIÓN
Llamamos dominio al conjunto formado por las primeras componentes del conjunto relación y
su símbolo es DOM .
CODOMINIO RANGO O RECORRIDO
Es el conjunto formado por las segundas componentes del conjunto relación.
IMAGEN
![Page 34: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/34.jpg)
Las segundas componentes son imagen de las primeras componentes.
El codominio es imagen del dominio.
ESCALA
Es el espacio que existe de un punto a otro, es independiente a cada eje.
REPRESENTACIÓN GRAFICA
Diagrama de veen
Plano cartesiano
Diagrama de doble entrada
Diagrama matricial.
Ejercicios
A= {1, 2, 3, 4}
B= {3, 4, 5, 6}
R= X+1=Y
R= {2,3) , (3,4) , (4,5) }
DOMR= {2, 3, 4}
DODR= {3, 4, 5}
IMAGEN:
3 “ 2
4 “ 3
5 “ 4
(1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)
(2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)
A*B (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)
(4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)
NOTA: en una relación en el plano cartesiano jamás se unos los puntos.
![Page 35: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/35.jpg)
R 3 4 5 6
1
2 2R3
3 3R4
4 4R5
FUNCIÓN
Llamamos función a toda relación cuyas primeras componentes nunca se repitan y sean
mínimos dos componentes y se representa F(x)
R1= {(1,1),(2,2),(3,3)} F(X)
R2= {(1,2),(2,3),(3,4)} F(X)
R3= {(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)} NO
R4= {(2,3)} NO
R5= {(5,2),(3,7),(8,9)} F(X)
3
4
1
2
5
6
PLANO CARTESIANO DIAGRAMA DE VEN
DIAGRAMA DE DOBLE ENTRADA DIAGRAMA MATRICIAL
![Page 36: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/36.jpg)
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE UNA FUNCIÓN
Toda función es relación, pero no toda relación es función.
Relación grafica de u a función: se traza una línea recta paralela al eje de las Y y si esta se
cortan en dos puntos iguales no es función
F(x)
F(x) F(x) F(x)
F(x) F(x)
![Page 37: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/37.jpg)
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
Constante
Inversa
Compuesta
INYECTIVA
Llamamos función Inyectiva cuando a un elemento del conjunto de salida le corresponde uno
y solo un elemento del conjunto de llegada.
Ejemplo:
R=X+2=Y
A F B
B A
17
12
7
3
1
5
10
15
![Page 38: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/38.jpg)
Inyectaba
F(X)={(1,3),(5,7),(10,12),(15,17)}
DOM={1,5,10,15}
COD={3,7,12,17}
Ejercicios:
X-7=Y
FA B
INYECTIVA
R= X/3=Y
A F B
INYECTIVA
𝑥2-1=y
A F B
SOBREYECTIVA
Es aquella función en el cual el conjunto de llegada es imagen del conjunto de salida
B A
3
-2
0
8
5
10
15
7
B A
2
3
7/3
1000
9
12
6
7
B A
24
35
3
0
5
6
2
1
![Page 39: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/39.jpg)
R= X+3=Y
A F B
SOBREYECTIVA
BIYECTIVA
IDENTIDAD
Cuando los elementos del conjunto A son iguales al B
R= X=Y
A F B
IDENTIDAD O IGUALES
B A
8
4
13
1
7
5
10
5
B A
8
4
13
1
7
5
10
5
B A
1
2
3
4
1
2
3
4
INYECTIVA
SOBREYECTIVA
BIYECTIVA
![Page 40: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/40.jpg)
CONSTANTE
Aquella función en la cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una misma
imagen
A B
R= 𝑥
𝑥 =Y
A F B
CONSTANTE
FUNCION INVERSA
Llamamos función inversa aquella función resultante de un cambio o una alteración. El
conjunto de salida se va a convertir en el conjunto de llegada y el conjunto de llegada en
conjunto de salida siendo su símbolo: 𝑓−1
𝑅−1:x=y +3 R:x=y +3
A F B B F A
FUNCIÓN COMPUESTA
Sea y =f(x) y Z=g(x)
Llamamos función compuesta a una nueva función resultante del análisis matemático entre
las dos funciones y se lo puede representar de la siguiente manera:
Siendo su símbolo H
Se lee al revés
1 2 5
50
1
2 7
10 11
-1 4 7
2 7
10 11
-1 4 7
![Page 41: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/41.jpg)
H= (YoZ )
H= (ZoY)
PASOS PARA RESOLVER LA FUNCION COMPUESTA
Identificamos quien es primera y segunda función (por su estructura).
En la primera función reemplazamos los valores de la segunda función
Realizamos las operaciones indicadas; multiplicación algebraica, productos notables,
triangulo de pascal, binomio de newton, reducción de términos semejantes
Comprobamos gráficamente que está bien resuelto la función compuesta por su lectura
Ejercicios
1 y=2𝑥2 − 5𝑥 − 3
2 z=3𝑥2 + 4𝑥 + 2
H=𝑥2 − 5𝑥 − 3
H=2(3𝑥2 + 4𝑥 + 2)2 5(3𝑥2 + 4𝑥 + 2) − 3
H=2[(3𝑥2)2 + (4𝑥)2 + (2)2 + 2(3𝑥2)(4𝑥) + 2(3𝑥2)(2) + 2(4𝑥)(2)] − 15𝑥2 − 20𝑥 − 3 − 10
H=-2[(9𝑥4 + 16𝑥2 + 4 + 24𝑥3 + 12𝑥2 + 10𝑥] − 15𝑥2 − 20𝑥 − 13
H=18𝑥4 + 32𝑥2 + 8 + 48𝑥3 + 24𝑥2 + 32𝑥 − 15𝑥2 − 20𝑥 − 13
H=18𝑥4 + 48𝑥3 + 41𝑥2 + 12𝑥 − 5
A B C
H=18𝑥4 + 48𝑥3 + 41𝑥2 + 12𝑥 − 5
1
0
-1
114
-5
-6
9
2
1
z=3𝑥2 + 4𝑥 + 2
y=2𝑥2 − 5𝑥 − 3
![Page 42: Materia](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020521/57906d3f1a28ab68748f2b17/html5/thumbnails/42.jpg)