Matriks dan Transformasi Linier
Dra. Dwi Achadiani, M.Kom
Vektor• Definisi:
Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.
● ●
• Lambang : a : vektor a
besar arah
Titik awalTitik ujung
Operasi vektor dalam bidang Operasi penjumlahan dua vektor • Definisi:
Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang .
a
b
a + b
Sifat penjumlahan vektor
komutatif)(hukum.abba5.adariinversadalahbmaka0,baa4.
a0a3.)assosiatif).(Hukumcb(ac)ba(2.
2R)ba(,2Rb,2Ra1.
Operasi perkalian vektor dengan bil rielSifat perkalian vektor dengan bil riel
bab1)(a9.0αmaka,0aα8.
aa1)(7.00α;0a06.
bβaαaβ)(α5.bβaα)baα(4.
aa1.3.aαβ)aα(β2.
2Raα,2RaR,α1
Kombinasi Linier
Definisi:Jika na,........3a,2a,1a adalah vektor-vektor
di R²(atau di ), maka:
dinamakan kombinasi linier dari
3R nanα.............2a2α1a1α
na,,........3a,2a,1a
Panjang Vektor (Norm)
Definisi:
Panjang vektor di didefinisikan :nR2nx.........2
2x21xx
Sudut antara dua vektor Sudut θ antara dua vektor di R², jika
memenuhi persamaan berikut: , dengan
ydanx
yxyxcosθ
n
1i iyi
xyx
Perkalian Silang Definisi:Jika 2 vektor di , maka:
bdana 3R
k1
b2
a2
b1
aj3
b1
a1
b3
ai2
b3
a3
b2
abxa
:maka
k3
bj2
bi1
bxk3
aj2
ai1
abxa
absinθbxa
i panjangnya 1 unit dan searah sumbu x
j
kj
panjangnya 1 unit dan searah sumbu y
panjangnya 1 unit dan searah sumbu z
x
y
zk
i
Maka vektor dapat ditulis menjadi kajaiaazyx
• Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor
Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: 2
3a
3b
2
2a
2b
2
1a
1bd
)a,a,a(A321
)b,b,b(B321
x
y
zd
Bergantung Linier dan Bebas Linier
Vektor- vektor : , apabila
dengan tidak semua berharga nol, maka
vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila
semua berharga nol maka vektor disebut bebas
linier.
na.........,,.........3a,2a,1a
0n
1i iaiα iα
iα
Vektor pembentuk ruang vektorDefinisi: suatu himpunan vektor-vektor
disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap dapat ditulis sbg kombinasi linier dari }u,...,u,u{
m21
}u,...,u,u{Lm21
}u,...,u,u{m21
Vv
• Dimensi dan Basis
DimensiDefinisi:
suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linierAtau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .
BasisDefinisi:
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.
MATRIKS
Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang
disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.
mna......m2am1a........................... 2na......22a21a
1na......12a11a
Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n
Operasi Matriks1. Operasi Kesamaan
Dua matriks A dan B disebut sama, jika:a) A dan B sejenisb) Setiap unsur yang seletak sama.
1321C,
1321B,
1321A
A = B, A ≠ C, B ≠ C
2.Penjumlahan dua matriksDefinisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan:
. ijc
ijbijaijc
ijcC,ijbB,ijaA
9152C,
5142B,
4210A
13362-
9152
4210C A
9152-
5142
4210BA
Sifat-sifat penjumlahan:Komutatif : A + B = B + A
Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )
maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ).
, maka A = .
ijaA
ija
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar1. (A + B) = A + B2. ( + β ) A = A + β A3. (β A) = β A
4. Perkalian dua matriks Definisi:Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:
n
1k kjb
ika
ijc
njb
ina.......
j3b
3ia
j2b
2ia
j1b
1ia
ijc
Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika
banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.
• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks Adan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.
• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:
20C,432
B,321A
BxA
1 x 3 3 x 1 1 x 1
iterdefinis tdkBxAC
954100532
10532
954100532
B,10532A
2 x 2 3 x 3
Macam-macam matriks1. Matriks bujursangkar
Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom
2. Matrik satuan/ matriks identitas• Matriks bujur sangkar• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
954100532
B,10532
A
Contoh :
100010001
3I,
1001
2I
A.I = I.A
I.I = I
3. Matriks segitiga
• Matriks bujursangkar
• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
Contoh :
8701
B,900740321
A
4.Matriks Tranpose
• Tidak perlu bujursangkar
• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom
Contoh :
172054
B~,107524
B
321A~,321
A
Sifat-sifat matriks transfose
TTT
TT
TT
TTT
AB4.(AB)A)(A3.
A)2.(ABAB)1.(A
λλ
Contoh
TTT
TT
TT
T
AB(AB)
34120132
021AB
021B,120132
A
34(AB)34
AB
021
B,1 0 32 1 2
A
5. Matriks simetris
Matriks A disebut simetris apabila
• Matriks Bujur sangkar
Contoh
A~A
870732021
3221,
6. Matriks skew simetris
Matriks A disebut matriks skew simetri jika
• Bujur sangkar
Contoh
A~A
070702020
,0220
Matriks Skew simetris , maka
Untuk I = j maka
Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0
A~A ji
aij
a
iia
iia 0
ii2a
7. Matriks Diagonal• Matriks bujursangkar• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
500030001
9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol
000000
A.0 = 0
A + 0 = A
A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol
Dalil:
Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris
000
4020
0
4020
0
02
0003-42
AxB
2B,
0003-42
A
simetrisskewQQ~Q
AA~21A
~~A~21Q~,A~A
21Q
simetrisP,P~P
AA~21A
~~A~21P~,A~A
21
2A~
2AP
2A~
2AQ,
2A~
2AP
2A~
2A~
2A
2AA
Bukti:
0121101
2110
02102323121021
0232121230
0121
0221231
2111
02102323121021
0232121230
0121
22
010332101
031130021
/
//
////
////
//
//
////
////
/
Q
AAP
AA
Matriks Simetris
Matriks Skew Simetris
Cek
A
QP
031100021
0121101
2110
0221231
2111
/
/
/
/
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan
baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i
dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis
H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis
H (A)
ij
ij
i)(
i)(
ij)(
Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
K (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan
kali baris ke j, ditulis H (A)
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)
Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)
)(
ij
1
2
i)(
1
j)(
2
Contoh:
2- 4- 2 2-4 4 1 3
12 0 2 8
0 2- 2 2-1 2 1 34 0 2 8
0 2- 2 2-4 0 2 81 2 1 3
1 0 3 12 0 1 41 2 1 3
tersebut. B Carilah .
elementer sitransforma sederetan
dihasilkan yangB matrik carilah1 0 3 12 0 1 41 2 1 3
A
(1)41K
(2)3K
HH
H
(2)3
K ,(1)
41K
,12
H ,(2)
2H ,
(-1)31
H
121
31
22
)(
)(
,
Invers Suatu Transformasi Linier
Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)
)(
ij ij
ij
-1
ij
i
-1
i1/-1
i)( -1
i1/
ij)( -1
ij
)( ij
)( -1ij
)(
A110222112604
110226042211
111326042211
131124062112
132124062122
A..CarilahK,K,H,H :turut-berturut elementer sitransforma
sederetan dengan A dari diperoleh,132124062122
B
12H1)(31H
13K(1/2)2K
(2)
213
(1)
3112
Contoh
Penggunaan OBE
• Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol)
• Mecari invers matriks
( A:I ) ( I:A )-1OBE
Contoh
344212132
A dari matriks rank 1.Cari2)(
31
1)(21
HH
31022-0132 )1(
2)2(
3H
40022-0132
)2(2
)1(3H
00022-0132
Maka rank matriks A = 2
2. Carilah invers dari matriks
2)(21
4)(32
H
H
1-
100:814010:31-2001:201
)A:(I I):(A bentuk81431-2201
11 6 1 042211
A,11 6 :1 001 04:01 02211:001
11 6-:1-001-04:01-02211:001
11 6-: 1-00012-:11-0001:201
H
104-:010012-:11-0001:201
100:814010:31-2001:201
1H
H
H
H(1)
32
H
H
1)(3(-1)
2
1)(23
(2)13
2)(21
4)(32