–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 07-02-08
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e descritta dall’hamiltoniano:
H = ~! (1 + cos(↵) �x
+ sen(↵) �y
)
dove �x
,�y
sono le matrici di Pauli.
All’istante t = 0 la misura della terza componente dello spin della particella e pari ad~/2.
– Calcolare la probabilita di ottenere lo stesso risultato ripetendo la misura al tempo t.
– Calcolare il valore medio dell’operatore sz
= ~2�z sullo stato della particella al tempo
t.
Esercizio 2
Un oscillatore armonico si trova all’istante iniziale nello stato quantistico descritto dallafunzione d’onda
(x, t = 0) = Nx3e�m!x
2
2~
dove N e la costante di normalizzazione.
– Calcolare in funzione del tempo i valori medi dell’energia potenziale e dell’energiacinetica.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 15-07-08
Esercizio 1
Una particella di massa m si muove su un segmento unidimensionale che si estende da�L/2 ad L/2 ed il suo stato quantistico e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda
(x, t = 0) =1
N(�1(x) + 2�2(x))
dove �1 e �2 sono le autofunzioni dell’hamiltoniano relative allo stato fondamentale e alprimo stato eccitato, ed N e l’opportuna costante di normalizzazione.
– Calcolare in funzione del tempo la probabilita P (0 x L/2, t) di trovare la particellaa destra dell’origine.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2, soggetta ad un potenziale armonico tridimensionale eisotropo, si trova ad un certo istante nello stato quantistico
|nx
, ny
, nz
i |si = |0, 0, 1i |1/2ix
.
dove
H|nx
, ny
, nz
i = ~!(nx
+ ny
+ nz
+ 3/2),
Sx
|1/2ix
= ~/2 |1/2ix
.
– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita delle misure dei mo-menti angolari orbitale e totale
Lx
, Ly
, Lz
, L2
Jx
, Jy
, Jz
, J2 ~J = ~L+ ~S.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 15-07-08
Esercizio 1
Una particella di massa m si muove su un segmento unidimensionale che si estende da�L/2 ad L/2 ed il suo stato quantistico e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda
(x, t = 0) =1
N(�1(x) + 2�2(x))
dove �1 e �2 sono le autofunzioni dell’hamiltoniano relative allo stato fondamentale e alprimo stato eccitato, ed N e l’opportuna costante di normalizzazione.
– Calcolare in funzione del tempo la probabilita P (0 x L/2, t) di trovare la particellaa destra dell’origine.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 si trova ad un certo istante nello stato quantistico descrittodalla funzione d’onda:
(~r) |si = f(r)z |1/2iz
.
dove
Sz
|1/2iz
= ~/2 |1/2iz
.
– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita delle misure dei mo-menti angolari orbitale e totale
Lx
, Ly
, Lz
, L2
Jx
, Jy
, Jz
, J2 ~J = ~L+ ~S.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 18-01-08
Esercizio 1
Un rotatore quantistico e descritto dall’hamiltoniano:
H0 =1
2I(L2
x
+ L2y
) +1
2Iz
L2z
dove I, Iz
sono costanti reali e positive.
– Determinare l’e↵etto della perturbazione
V = ↵L2x
sugli autovalori dell’hamiltoniano al primo ordine in ↵ e relativamente alla rappresentazionel = 1 del momento angolare.
– Calcolare l’indeterminazione �Lx
sugli autostati di H0 + V stimati all’ordine zero.
Esercizio 2
Due particelle identiche di spin s sono vincolate a muoversi sull’asse x nel segmentox 2 [0, L] ed interagiscono con un campo magnetico diretto lungo l’asse z
H =1
2m(p2(1) + p2(2))� gB
z
(S(1)z
+ S(2)z
) x 2 [0, L]
– Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano nei casi s = 0 e s = 1/2,mettendo in evidenza le simmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni. Calcolareesplicitamente i primi due livelli energetici considerando gB~ < 1
2m (⇡~/L)2.
Esercizio 3
Considerare l’elemento di matrice dell’operatore f(r)cos(✓) tra due autostatidell’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno:
hnlm| f(r)cos(✓) |n000i– Indicare come tale elemento di matrice trasforma sotto parita.
– Determinare i valori di n, l,m, n0 per i quali esso e sicuramente uguale a zero.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 18-01-08
Esercizio 1
Un rotatore quantistico e descritto dall’hamiltoniano:
H0 =1
2I(L2
x
+ L2y
) +1
2Iz
L2z
dove I, Iz
sono costanti reali e positive.
– Determinare l’e↵etto della perturbazione
V = ↵L2x
sugli autovalori dell’hamiltoniano al primo ordine in ↵ e relativamente alla rappresentazionel = 1 del momento angolare.
Esercizio 2
Due particelle identiche di spin s sono vincolate a muoversi sull’asse x nel segmentox 2 [0, L] ed interagiscono con un campo magnetico diretto lungo l’asse z
H =1
2m(p2(1) + p2(2))� gB
z
(S(1)z
+ S(2)z
) x 2 [0, L]
– Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano nei casi s = 0 e s = 1/2,mettendo in evidenza le simmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni. Calcolareesplicitamente i primi due livelli energetici in entrambe i casi, s = 0 e s = 1/2, considerandogB~ < 1
2m (⇡~/L)2.
Esercizio 3
Considerare l’elemento di matrice dell’operatore f(r)cos(✓) tra due autostatidell’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno:
hnlm| f(r)cos(✓) |n000i– Indicare come tale elemento di matrice trasforma sotto parita.
– Determinare i valori di n, l,m, n0 per i quali esso e sicuramente uguale a zero.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 19-09-08
Esercizio 1
Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ! si trova all’istante iniziale nello statoin cui una misura dell’energia da con certezza un valore E 3/2~!. Nella misura il valoredell’energia fondamentale si verifica con una probabilita doppia rispetto a quello dell’energiadel primo livello eccitato. In questo stato inoltre la densita di probabilita (x)⇤ (x) e unafunzione simmetrica rispetto al centro delle oscillazioni x = 0.
– Calcolare il valor medio dell’energia.
– Calcolare il prodotto di indeterminazione �x�p in funzione del tempo.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 e soggetta ad un campo magnetico ~B diretto lungo l’asse z
H = �~µ · ~B ~µ = g~S
e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico | i tale che il valor medio dello spinrisulti:
h |Sx
| i = h |Sy
| i, h |Sz
| i = 0.
– Calcolare l’indeterminazione �Sx
della componente x dello spin in funzione deltempo.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 23-04-08
Esercizio 1
Una particella di massa m e spin 1/2 e vincolata a muoversi all’interno di una scatolatridimensionale simmetrica in presenza di un campo magnetico costante diretto lungol’asse z:
0 x L 0 y L 0 z L
H = ~p·~p2m � gBs
z
.
– Calcolare i livelli energetici del sistema con le relative degenerazioni
– Calcolare il valor medio dell’operatore O = ~s · ~r sullo stato fondamentale del sistemaed individuare le proprieta di simmetria dell’operatore sotto trasformazioni di rotazione dellecoordinate e di parita.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 non interagenti si trovano ad un certo istante nello statoquantistico in cui le misure simultanee della componente x dello spin della prima particella
s(1)x
e della componente z dello spin della seconda particella s(2)z
danno con certezza ilrisultato ~/2:
| i = | i(1) ⌦ | i(2)| i(1) = |1/2i
x
s(1)x
|1/2ix
= ~/2 |1/2ix
| i(2) = |1/2iz
s(2)z
|1/2iz
= ~/2 |1/2iz
– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita di una misura delle
osservabili s(1)z
e ~s(1) · ~s(2).
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 29-02-08
Esercizio 1
Un sistema quantistico di spin 1/2 si trova all’istante iniziale t = 0 nello stato nel qualeuna misura della terza componente dello spin risulta pari ad ~/2.L’hamiltoniano del sistema e definito tramite l’azione sugli autostati di s
z
:
H|+i = E|�iH|�i = E|+i
– Calcolare l’operatore di evoluzione U(t) ed evolvere lo stato del sistema al tempo t.
– Calcolare la probabilita di ottenere ~/2 facendo una misura di sz
al tempo t.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 e massa m e sottoposta all’azione di un potenziale armonicoe di un campo magnetico secondo l’hamiltoniano:
H = H0 + �V =p2
2m+
1
2m!2x2(1 + ��
z
)� gBz
~2
�z
dove �z
e la terza matrice di Pauli e 0 < � < 1.
– Considerare l’e↵etto della perturbazione �V sui livelli energetici dell’hamiltoniano Ho
al prim’ordine in �.
– Confrontare con il risultato esatto.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale
A.A. 2007-2008
Prova scritta del 29-11-07
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’energia darebbe con certezza un valore E 3/2~!.Su questo stato i valori medi dell’hamiltoniano, dell’impulso e della posizione sono tali che:
hHi = 3
4~!
hpi = �m!hxihxi > 0.
– Calcolare per quali tempi risulta nullo il valor medio della posizione.
– Calcolare la probabilita di trovare la particella in x � 0 al tempo t.
Esercizio 2
Una particella di massa m e vincolata sul segmento �L/2 x L/2 e si trova nellostato descritto dalla funzione d’onda:
(x) = N(|x|L
� 1
2)2
– Calcolare la costante di normalizzazione N .
– Calcolare il prodotto di indeterminazione �x�p su tale stato.
Esercizio 3
Un sistema quantistico e’ descritto dalla funzione d’onda (q, t).
– Si dimostri che se il sistema si trova al tempo t = 0 in uno stato stazionario (q, t = 0) =
n
(q) con
H n
(q) = En
n
(q)
allora il valore medio di qualunque osservabile non dipende dal tempo.
– Si dimostri anche che nel caso in cui il sistema si trovi al tempo iniziale in unasovrapposizione di stati stazionari:
(q, t = 0) =X
n
cn
n
(q)
allora solo i valori medi degli osservabili che commutano con l’Hamiltoniano sono indipen-denti dal tempo.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 02-12-08
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’energia e sicuramente 5/2~!.Su questo stato il valore medio dell’hamiltoniano e pari a 2~! e la parita risulta definita.
– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’operatore
A =1
2(xp+ px)
sapendo che il risultato al tempo iniziale t = 0 e il massimo possibile.
Esercizio 2
Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova nello statodescritto dalla funzione d’onda:
(x) = Nx2(1� x
L)
– Calcolare la costante di normalizzazione N e il valore medio dell’energia.
– Calcolare l’evoluzione temporale della funzione d’onda e le probabilita di misurareun’energia pari ad E
n
. (per gli integrali si puo usareRxnei↵x = (�i)n d
n
d↵
n
Rei↵x)
Esercizio 3
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 02-12-08
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’energia e sicuramente 5/2~!.Su questo stato il valore medio dell’hamiltoniano e pari a 2~! e la parita risulta definita.
– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’operatore
A =1
2(xp+ px)
sapendo che il risultato al tempo iniziale t = 0 e il massimo possibile.
Esercizio 2
Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova nello statodescritto dalla funzione d’onda:
(x) = Nx2(1� x
L)
– Calcolare la costante di normalizzazione N e il valore medio dell’energia.
– Calcolare l’evoluzione temporale della funzione d’onda e le probabilita di misurareun’energia pari ad E
n
.
Esercizio 3
Si consideri il potenziale definito come dalla figura seguente. Si discutano in modoqualitativo le proprieta’ dello spettro al variare dell’energia.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott-ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 05-02-09
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e massam e vincolata su un segmento 0 x L ed interagiscecon un campo magnetico costante:
H =p2
2m� µBS
x
La particella si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato tale che la misuradell’osservabile S
z
da con certezza il risultato ~/2 e le misure dell’energia danno con certezzaun risultato minore di 9 1
2m (⇡~L
)2, con valore medio pari a hHi = 5/2 12m (⇡~
L
)2.
– Determinare per quanto possibile lo stato del sistema al tempo iniziale.
– Calcolare al tempo t le probabilita dei possibili risultati dell’impulso e la probabilitache la terza componente dello spin risulti pari ad ~/2.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano H:
H = ~! �(1)z
�(2)z
dove �(i) sono le matrici di Pauli per la particella i. Al tempo iniziale t = 0 le misure
simultanee degli osservabili S(1)x
, S(2)z
danno con certezza il risultato ~/2.– Calcolare gli autovalori e gli autostati di H.
– Calcolare al tempo t le probabilita dei possibili risultati di una misura del quadratodel momento di spin totale.
Esercizio 3
Dato l’hamiltoniano imperturbato H
H = ~!
0
@1 0 00 0 10 1 0
1
A ,
– calcolare al prim’ordine della teoria delle perturbazioni le correzioni agli autovaloried agli autovettori indotte dalla perturbazione V :
V = �
0
@1 i
p2 0
�ip2 0 0
0 0 2
1
A .
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott-ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 17-09-09
Esercizio 1
Lo stato di una particella in una dimensione e descritto ad un certo istante dalla funzioned’onda:
(x) = Ae�↵|x|
dove ↵ 2 Re,> 0.
– Calcolare la costante di normalizzazione A della funzione d’onda.
– Calcolare l’indeterminazione �x della posizione della particella.
– Calcolare la probabilita che x sia maggiore di hxi+�x.
Esercizio 2
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova nello statoquantistico
(x) = A( 0(x) + ei↵ 1(x))
dove ↵ 2 Re, e 0(x), 1(x) sono le autofunzioni dello stato fondamentale e del primo statoeccitato.
– Calcolare in funzione del tempo t il valore medio hxi della posizione el’indeterminazione �x.
Esercizio 3
Lo stato di un elettrone in un atomo di idrogeno e descritto ad un certo istante dallacombinazione:
= (
r3
4Y 01 |+i+
r1
4Y 11 |�i) f(r).
dove |±i sono gli autostati della terza componente dello spin Sz
|±i = ±~2 |±i, Y m
l
le ar-moniche sferiche ed f(r) una funzione radiale.
– Calcolare le probabilita dei possibili risultati delle misure di L2, Lz
, S2, Sz
, J2, Jz
dove ~J = ~L+ ~S.
– Verificare il principio d’indeterminazione
�Lx
�Ly
� ~2|hL
z
i|.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott-ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 25-02-09
Esercizio 1
Lo stato di una particella in 3 dimensioni e descritto ad un certo istante dalla funzioned’onda:
(~r) = (x+ y + 2z) f(r).
– Calcolare le probabilita dei possibili risultati delle misure di L2 ed Lz
su questo stato.
– Calcolare il valor medio di ~x.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano H:
H =E
~2~S(1) · ~S(2)
dove S(i) e l’operatore di spin per la particella i.
Al tempo iniziale t = 0 le misure simultanee degli osservabili S(1)z
, S(2)z
danno rispettivamentei risultati +~/2, e �~/2.
– Calcolare al tempo t la probabilita che i risultati delle misure di S(1)z
, S(2)z
siano glistessi del tempo iniziale.
Esercizio 3
Un sistema a due stati e descritto al tempo t = 0 dallo spinore
✓10
◆, ed evolve nel
tempo secondo l’hamiltoniano H:
H =
✓E �� E
◆.
– Calcolare l’operatore di evoluzione temporale.
– Calcolare la probabilita che al tempo t il sistema si trovi nello stato
✓01
◆.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott-ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 25-06-09
Esercizio 1
Lo stato di una particella vincolata su un segmento monodimensionale 0 x Le descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda:
(x) = A(2 sin(kx) + 3 sin(2kx))
dove k = ⇡/L.
– Calcolare la costante di normalizzazione A della funzione d’onda.
– Calcolare l’evoluzione della funzione d’onda al generico tempo t.
– Calcolare il valor medio dell’energia e l’espressione della densita di corrente in funzionedel tempo.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano H:
H =E
~2~S(1) · ~S(2)
dove S(i) e l’operatore di spin per la particella i.
Al tempo iniziale t = 0 le misure simultanee degli osservabili S(1)z
, S(2)z
danno rispettivamentei risultati �~/2, e +~/2.
– Calcolare al tempo t le probabilita dei possibili risultati delle misure di S(1)z
.
Esercizio 3
Lo stato di un elettrone in un atomo di idrogeno e descritto ad un certo istante dallafunzione d’onda
(~r) = sin(✓) sin(�) f(r).
– Calcolare le probabilita dei possibili risultati delle misure di Lz
.
– Calcolare il valor medio di L2 e Ly
.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott-ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2008-2009
Prova scritta del 27-01-09
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e in uno stato tale che le misure simultanee degli operatoriL2, L
x
, Sz
danno con certezza rispettivamente i risultati 2~2, ~, ~/2.Su questo stato:
– calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura di J2.
– calcolare il valor medio dell’operatore ~B · ~L con ~B = (Bx
, By
, Bz
).
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano H:
H =1
4~!1(�
(1)z
+ �(2)z
)2 +1
4~!2(�
(1)+ �(2)
� + �(1)� �(2)
+ )
dove �(i) sono le matrici di Pauli per la particella i, e �(i)± = �(i)
x
± i�(i)y
.
– Calcolare gli autovalori e gli autostati di H.
– Dato l’operatore V :
V =1
2~!(�(1)
x
+ �(2)x
)
calcolare al prim’ordine della teoria delle perturbazioni gli autovalori dell’hamiltonianoperturbato H + V .
– Indicare cosa cambierebbe se le particelle fossero identiche.
Esercizio 3
Determinare le regole di selezione negli elementi di matrice del generico operatore Vtra autostati dell’atomo di idrogeno sapendo che [L
z
, V ] = 0.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2009-2010
Prova scritta del 01-10-10
Esercizio 1
Una particella si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico descritto dallafunzione d’onda:
hr,#,'| (t = 0)i = (r,#,'; t = 0) = N f(r) sen(#) sen(').
L’evoluzione temporale e dettata dall’hamiltoniano:
H = !Lz
.
– Calcolare al generico tempo t il prodotto di indeterminazione
�Lx
�Ly
.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato in cui il risultatodi una misura dello spin lungo l’asse z e con probabilita 1/3 uguale a ~/2:
P (Sz
= ~/2) = 1/3.
Su questo stato inoltre i valori medi delle altre due componenti dello spin sono:
hSx
i = 0, hSy
i > 0.
La particella e sottoposta ad un campo magnetico costante diretto lungo la direzione x:
H = �g~S · ~B
– Calcolare in funzione del tempo t il valor medio dell’operatore Sz
.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2009-2010
Prova scritta del 01-12-09
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’osservabile a+a e sicuramente 2. Su questo stato il valore mediodell’operatore a+a e uguale a 3/2 e la parita e positiva.
– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’energia potenziale sapendo che ilrisultato al tempo iniziale t = 0 e il massimo possibile. (Eseguire il calcolo come integralenello spazio delle coordinate e nel formalismo degli operatori di innalzamento e abbassa-mento).
Esercizio 2
Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova in uno stato
in cui il valore medio dell’energia e pari a 3~2⇡
2
2mL
2 . Su questo stato i risultati delle misure di
energia sarebbero con certezza 4~2⇡
2
2mL
2 .
– Calcolare la probabilita di trovare la particella in x � L/2 come funzione del tempo,sapendo che la probabilita e minima a t = 0.
Esercizio 3
Si consideri un sistema descritto da una Hamiltoniana H a tre stati:
H =
0
@H1 0 00 H2 00 0 H3
1
A
e due operatori, f e g tali che:
f =
0
@f1 0 00 f2 00 0 f3
1
A g =
0
@0 g 0g 0 00 0 0
1
A .
Lo stato del sistema e inizialmente al tempo t = t0
| (t0)i = a|1i+ b|2i+ c|3icon H|ii = H
i
|ii e i = 1, 2, 3.
– Si trovino gli autovalori e gli autovettori di g e li si ordini in senso crescente g1 < g2 <g3.
– Se al tempo t1 > t0 una misura di f da come risultato f2, si discuta qual e la probabilitache ad un tempo ancora successivo t2 > t1 una nuova misura di f dia come risultatouno dei tre autovalori f
i
.
– Se al tempo t1 > t0 una misura di f da come risultato f1, si discuta qual e la proba-bilita che ad un tempo ancora successivo t2 > t1 una misura di g dia come risultatol’autovalore intermedio g2.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2009-2010
Prova scritta del 05-02-10
Esercizio 1
Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova al tempo t = 0
in uno stato in cui il valore medio dell’energia e pari a ~2⇡
2
mL
2 . Per questo stato la densita di
corrente risulta nulla, e i valori delle misure di energia sarebbero con certezza 2~2⇡
2
mL
2 .
– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’osservabile
O = sen(⇡x
L).
Esercizio 2
Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano:
H =!
~L+L�,
dove L+, L� sono gli operatori a scala del momento angolare.
Al tempo t = 0 le misure simultanee degli osservabili L2, Lx
danno rispettivamente irisultati 2~2, ~.
– Calcolare il valor medio dell’operatore Lx
in funzione del tempo t.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2009-2010
Prova scritta del 14-07-10
Esercizio 1
Una particella di massa m e vincolata su una superficie in due dimensioni:
0 x L 0 y L,
e si trova ad un certo tempo nello stato descritto dalla funzione d’onda:
(x, y) = Nxy (L� x) (L� y)
dove N = 30/L5.
– Calcolare la quantita
h |xH| i � h |x| ih |H| idove H e l’operatore hamiltoniano. Confrontare il valore hHi con il valore dei livelli dienergia del sistema, ed indicare se lo stato evolve nel tempo.
– Dire se l’operatore O = xH e hermitiano e calcolare il commutatore [x,H].
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano:
H =~S · ~S2I
,
dove ~S = ~S(1) + ~S(2) e lo spin totale del sistema.
Il sistema si trova al tempo t = 0 in uno stato in cui le misure simultanee degli osservabili
S(1)z
e S(2)x
danno con certezza il valore ~/2.– Calcolare in funzione del tempo t il valor medio dell’operatore
O = S(2)x
.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2009-2010
Prova scritta del 23-02-10
Esercizio 1
Una particella di massa m e spin 1/2 vincolata in una dimensione e soggetta ad unpotenziale armonico di frequenza ! e ad un campo magnetico tale che l’hamiltoniano delsistema risulti:
H =p2
2m+
1
2m!2x2 � ⌦S
z
.
La particella si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato descritto dalla funzione d’onda:
N
|+i+
r2m!
~ x|�i!
e�m!
2~ x
2
,
dove |±i sono gli autostati della terza componente dello spin Sz
|±i = ±~/2|±i.– Calcolare la costante di normalizzazione N .
– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’operatore
O = xSx
,
dove Sx
e la prima componente dello spin.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano:
H = !⇣S(1)z
� S(2)z
⌘
.
Il sistema si trova al tempo t = 0 in uno stato di spin totale 1 con terza componentezero.
– Calcolare la probabilita di trovare al tempo t il sistema nello stato di tripletto.
– Calcolare il valor medio dell’operatore
O = S(1)+ S(2)
� + S(1)� S(2)
+
in funzione del tempo t, e il commutatore [O, H].
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2009-2010
Prova scritta del 25-01-10
Esercizio 1
Un elettrone in un atomo di idrogeno si trova nello stato
| i = ↵ |n=2, l=1,m=0,+i+ � |n=2, l=1,m=1,�idove |n, l,m,±i sono gli autostati dell’hamiltoniana e ↵ e � sono due coe�cienti complessi,tali che |↵|2 + |�|2 = 1.
– Indicare quali sono i possibili risultati delle misure degli osservabili
L2, Lz
, S2, Sz
, J2, Jz
dove ~J = ~L+ ~S
su questo stato e calcolare le rispettive probabilita.
– Calcolare il valor medio dell’operatore
e2
2m2c21
r3~S · ~L
su questo stato.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano:
H =4!
~~S(1) · ~S(2)
.
–(FAM) Calcolare il valor medio dell’operatore
V = ↵S(1)z
+ �S(2)z
in funzione del tempo t considerando che al tempo t = 0 la misura delle terze componenti
dello spin delle particelle ha dato il risultato S(1)z
=+ ~/2, S(2)z
=� ~/2.– Calcolare l’e↵etto della perturbazione �V
V = ↵S(1)z
+ �S(2)z
sugli autovalori di H al prim’ordine in �.
Esercizio 3
Si discuta brevemente il principio di esclusione di Pauli e si dimostri che due elettroniidentici nello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno devono trovarsi necessariamente inuno stato di singoletto per le componenti dello spin.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 07-02-11
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 nello stato quantistico
| i = ↵|ni+ �|n+ 1idove |ni sono gli autostati dell’operatore hamiltoniano.
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’impulso.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico descrittodalla funzione d’onda:
f(r) cos# |+i,dove |±i sono gli autostati dell’operatore S
z
: Sz
|±i = ±~/2 |±i.L’evoluzione temporale del sistema e dettata dall’hamiltoniano:
H =!
~ J2,
dove ~J = ~L+ ~S.
– Calcolare al generico tempo t il valore medio dell’operatore O = Lz
.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 12-09-11
Esercizio 1
Due oscillatori armonici unidimensionali non interagenti di massa m(1) ed m(2) e diuguale frequenza ! si trovano al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico definito dalleseguenti proprieta:
1) una misura dell’energia del primo oscillatore da con certezza il risultato E(1) = 1/2~!,2) una misura dell’energia del secondo oscillatore puo dare, con uguale probabilita, i
due risultati E(2) = 1/2~!, 3/2~!,3) il valor medio dell’impulso totale p = p(1) + p(2) e nullo, mentre il valor medio della
posizione x = x(1) + x(2) e positivo.
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’operatore � = x(1) � x(2).
– Indicare i livelli energetici del sistema e le rispettive degenerazioni.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 si trovano in uno stato che e una generica sovrapposizionedello stato |10i di spin totale s = 1 e terza componente zero, e dello stato |00i di spin totales = 0
~S =~2(~�(1) + ~�(2)),
S2|s,mi = ~2s(s+ 1)|s,mi,Sz
|s,mi = ~m|s,mi.
–In questo stato calcolare il valor medio del momento magnetico ~µ(1) = µ~�(1) dellaprima particella.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 13-12-10
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 in uno stato descritto dalla funzione d’onda
(x, t = 0) = N(1 +p2⇠) e�⇠
2/2
dove ⇠ =p
m!
~ x, ed N e la costante di normalizzazione.
– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’operatore posizione.
Esercizio 2
Un sistema a due stati si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato | (0)i in cui il valormedio della matrice di Pauli �
z
e pari ad 1:
h (0)|�z
| (0)i = 1.
L’hamiltoniana H del sistema agisce sugli autostati di �z
nel seguente modo:
H|±i = E|±i+ ~!|⌥i,dove �
z
|±i = ±|±i.– Calcolare in funzione del tempo t le probabilita dei possibili risultati di una misura
dell’osservabile �y
.
Esercizio 3
Una particella di massa m e vincolata nel segmento x 2 [�L/2, L/2].
– Indicare per quali valori dei coe�cienti ↵,� l’operatore
O = ↵xp+ � px
rappresenta un’osservabile fisica, e discutere se essa sia una grandezza fisica conservata.
– Considerare lo stato quantistico descritto dalla funzione d’onda
(x) = N#(x+ L/4)#(L/4� x)
ed indicare quali coe�cienti dello sviluppo in autofunzioni dell’hamiltoniana sono diversi dazero.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 18-07-11
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 nello stato quantistico descritto dalla funzione d’onda
(x, t = 0) =1
Nx2e�
m!x
2
2~ .
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’impulso e dell’energia cinetica.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato in cui una misuradello spin in direzione x risulta con certezza pari a ~/2.
L’interazione della particella con un campo magnetico ~B diretto lungo l’asse z e descrittadall’operatore hamiltoniano
H = �~µ · ~B,
dove il momento magnetico ~µ = g~S e proporzionale allo spin.
– Calcolare al generico tempo t la probabilita che una misura dello spin in direzione xdia come risultato ~/2.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 31-01-11
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico descrittodalla funzione d’onda:
(|+i+ (1 + cos#) |�i ) f(r),
dove|±i sono gli autostati dell’operatore Sz
: Sz
|±i = ±~/2 |±i.L’evoluzione temporale del sistema e dettata dall’hamiltoniano:
H =!
~ (L2x
+ L2y
).
– Calcolare al generico tempo t il valore medio dell’operatoreO = J+ J� dove ~J = ~L+~S.
Esercizio 2
Due particelle identiche di spin 1/2 e di massa m in una dimensione sono soggette adun potenziale di oscillatore armonico di frequenza !:
H = H(1) +H(2) dove H(i) =p2(i)2m
+1
2m!2x2
(i)
Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano mettendo in evidenza lesimmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni.
Considerare lo stato piu generale che descriva la situazione in cui le due particelle sianol’una nello stato fondamentale e l’altra nel primo stato eccitato, e abbiano terze componentidi spin opposte.
– Calcolare il valore medio dell’operatore O = x2(1) S(1)z su tale stato.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 21-02-11
Esercizio 1
Una particella di massa m e vincolata a muoversi sull’asse x nel segmento x 2 [0, L] e sitrova al tempo iniziale t = 0 in uno stato quantistico per cui una misura di energia darebbe
con certezza un risultato 2~2⇡
2
mL
2 e hHi = 3~2⇡
2
2mL
2 .
– Determinare per quanto possibile lo stato del sistema.
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’impulso.
Esercizio 2
Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano
H = !Lx
ed e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda (normalizzata)
(r,#,') = f(r) cos(#).
– Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura di Lz
in funzione deltempo.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2010-2011
Prova scritta del 21-02-11
Esercizio 1
Una particella di massa m e vincolata a muoversi sull’asse x nel segmento x 2 [0, L] e sitrova al tempo iniziale t = 0 in uno stato quantistico per cui una misura di energia darebbe
con certezza un risultato 2~2⇡
2
mL
2 e hHi = 3~2⇡
2
2mL
2 .
– Determinare per quanto possibile lo stato del sistema.
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’impulso.
Esercizio 2
Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano
H = !Lz
ed e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda (normalizzata)
(r,#,') = f(r) sin(#) cos(').
– Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura di Lx
in funzione deltempo.
–
MECCANICA QUANTISTICA
I Compito di Esonero - 2 Novembre 2011
Esercizio I.1
Una particella di spin 1/2 e descritta dall’Hamiltoniano
H = E0 + !(3Sx
� 4Sz
)
con E0 e ! costanti positive, Si
= ~�i
/2, i = x, y, z.
Calcolare l’operatore di evoluzione temporale.
Calcolare in funzione del tempo t il valor medio dell’operatore Sx
nello stato | (t)i nelquale una misura di S
y
al tempo iniziale (t = 0) risulta pari a �~/2.
Esercizio I.2
Una particella di massa m in una dimensione e soggetta al potenziale
V (x) = 0 per x < 0 V (x) = V1 per a > x > 0 V (x) = V2 per x > a .
con V1 > V2 > 0.
Calcolare i coe�cienti di riflessione e trasmissione per un’onda piana di energia E :V2 < E < V1 incidente da �1 in funzione di p = ~k e di a.
Esercizio I.3
Una particella di massa m in una buca infinita (0 < x < L) si trova al tempo t = 0 inuno stato in cui < x > (t = 0) = L/2 e P (E = E1, t = 0) = 1/3, P (E > E2, t = 0) = 0,dove E1 indica l’energia dello stato fondamentale.
Calcolare in funzione di t i valori medi di x, p, x2, p2 e verificare la relazione di indeter-minazione.
sinA sinB =1
2[cos(A�B)� cos(A+B)]
cosA cosB =1
2[cos(A�B) + cos(A+B)]
sinA cosB =1
2[sin(A�B) + sin(A+B)]
In
=
Z⇡
0d⇠⇠ cos(n⇠) = [(�)n � 1]/n2
Jn
=
Z⇡
0d⇠⇠2 cos(n⇠) = 2⇡(�)n/n2
–
MECCANICA QUANTISTICA
Prova Scritta - 22 giugno 2012
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e descritta dall’Hamiltoniano
H = !(Sx
+ Sy
)
con ! costante positiva e Si
= ~�i
/2. Determinare autostati ed autovalori di H e calco-lare l’operatore di evoluzione temporale. Al tempo t = 0 la misura di S
x
fornisce +~/2determinare in funzione di t le probabilita delle misure di S
y
.
Esercizio 2
Un fascio di particelle di energia E provenienti da x = �1 incide su un potenziale dellaforma
V (x) = V0[�L�(x) + ✓(x)]
con L e V0 costanti positive. Determinare il coe�ciente di riflessione in funzione di E.
Esercizio 3
Un atomo di idrogeno si trova inizialmente (t = 0) nello stato descritto da
hr,#,'| , t = 0i = N [3i 100 � 4 210]|+iDeterminare la costante di normalizzazione N e calcolare in funzione di t le probabilita dellemisure del momento angolare totale.
Esercizio 4
L’Hamiltoniano H0 di un oscillatore armonico bi-dimensionale viene perturbatodall’aggiunta dell’operatore
H1 = �eE(x+ y)
Discutere l’e↵etto della perturbazione sullo stato fondamentale e sul primo livello eccitatoal prim’ordine non nullo.
–
MECCANICA QUANTISTICA
Prova Scritta - 27 Gennaio 2012
Esercizio 1
Una particella in una buca infinita di larghezza L si trova nello stato iniziale descrittoda
hx| , t = 0i = N [3 1(x) + 4i 3(x)]
Determinare la costante di normalizzazione N e calcolare in funzione di t le probabilita dellemisure di energia ed il prodotto di indeterminazione.
Si ricorda che n
(x) =p2/L sin(n⇡x/L).
Esercizio 2
Usando la formula di Bohr-Sommerfeld, stimare gli autovalori dell’energia di una bucadi potenziale simmetrica
V (x) = 0 per |x| > 2a
V (x) =1
2(x2 � a2) per 2a > |x| > a
V (x) = �1
2a2 per a > |x| > 0
Discutere qualitativamente lo spettro e la densita dei livelli di energia sempre in approssi-mazione WKB.
Esercizio 3
Un rotatore anisotropo immerso in un campo magnetico ~B = (4B0, 3B0, 0) e descrittoda
H =L2x
+ L2y
2I+
L2z
2Iz
� µ
5~~B · ~L
Determinare autostati ed autovalori di H incluse le eventuali degenerazioni.
Determinare in funzione di t la probabilita di permanenza nello stato in cui per t = 0misure simultanee di L2 ed L
z
forniscano i valori 2~2 e +~.
Esercizio 4
Usando come funzione d’onda di prova
(r, ✓,�) = N↵
e�↵r
fissare N↵
e stimare l’energia dello stato fondamentale di un atomo idrogenoide. Confrontarecon il risultato esatto.
–
MECCANICA QUANTISTICA
Prova Scritta - 22 giugno 2012
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e descritta dall’Hamiltoniano
H = !(7Sx
� 24Sy
)
con ! costante positiva e Si
= ~�i
/2. Determinare autostati ed autovalori di H e calco-lare l’operatore di evoluzione temporale. Al tempo t = 0 la misura di S
x
fornisce +~/2,determinare in funzione di t le probabilita delle misure di S
x
, Sy
e Sz
.
Esercizio 2
Un fascio di particelle di massa m ed energia E provenienti da x = �1 incide su unpotenziale della forma
V (x) = V0[✓(x� a) + a�(x)]
con V0 ed a costanti positive.Determinare i coe�cienti di riflessione e trasmissione in funzione di E.
Esercizio 3
Al tempo t = 0, un atomo di idrogeno si trova nello stato descritto da
| i = N(| 100i+ 2| 210i)⌦ |+iDeterminare la costante di normalizzazione N . Calcolare il valor medio di r e le probabilitadelle misure del momento angolare totale J2 in funzione di t.
Esercizio 4
L’Hamiltoniano H0 di un oscillatore armonico bi-dimensionale viene perturbatodall’aggiunta dell’operatore
H1 = �(ypx
+ µxpy
)
con � e costanti reali, per cui � << ! mentre µ 2 [�1, 1] . Discutere l’e↵etto dellaperturbazione sullo stato fondamentale e sul primo livello eccitato al prim’ordine non nullo.
–
MECCANICA QUANTISTICA
Prova Scritta - 22 giugno 2012
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e descritta dall’Hamiltoniano
H = !(7Sx
� 24Sy
)
con ! costante positiva e Si
= ~�i
/2. Determinare autostati ed autovalori di H e calco-lare l’operatore di evoluzione temporale. Al tempo t = 0 la misura di S
x
fornisce +~/2,determinare in funzione di t le probabilita delle misure di S
x
, Sy
e Sz
.
Esercizio 2
Un fascio di particelle di massa m ed energia E provenienti da x = �1 incide su unpotenziale della forma
V (x) = V0[✓(x) + a�(x� a)]
con V0 ed a costanti positive.Determinare i coe�cienti di riflessione e trasmissione in funzione di E.
Esercizio 3
Al tempo t = 0, un atomo di idrogeno si trova nello stato descritto da
| i = N(| 100i+ 2| 210i)⌦ |+iDeterminare la costante di normalizzazione N . Calcolare il valor medio di r e le probabilitadelle misure del momento angolare totale J2 in funzione di t.
Esercizio 4
L’Hamiltoniano H0 di un oscillatore armonico bi-dimensionale viene perturbatodall’aggiunta dell’operatore
H1 = �(ypx
+ µxpy
)
con � e costanti reali, per cui � << ! mentre µ 2 [�1, 1] . Discutere l’e↵etto dellaperturbazione sullo stato fondamentale e sul primo livello eccitato al prim’ordine non nullo.
–
MECCANICA QUANTISTICA
Prova Scritta - 10 settembre 2012
Esercizio 1
Un rotatore rigido, governato dall’Hamiltoniano
H =L2x
+ L2y
+ 2L2z
2I
si trova al tempo iniziale nello stato con L2 = 2~2 e Lx
massimo. Determinare il valor mediodi L
y
in funzione di t.
Esercizio 2
Un sistema di due fermioni identici di spin 1/2 descritto dall’Hamiltoniana
H =1
2m|~p1|2 + 1
2m|~p2|2 +
2|~x1 � ~x2|2
Separando il moto del centro di massa dal moto relativo, determinare autovalori ed autostatidi H
rel
= H �HCM
incluse le eventuali degenerazioni.
Se al tempo t = 0 la misura di Hrel
fornisce con certezza Erel
= 3~!/2 (con ! =p2/m), determinare i possibili risultati delle misure dello spin totale ~S = ~S1 + ~S2 in
funzione di t.
Esercizio 3
Un atomo di idrogeno si trova nel primo livello eccitato. Le misure di Lz
fornisconocon certezza L
z
= 0, mentre le misure di L2 forniscono L2 = 0 con probabilita 2/3. Il valormedio di p
z
e nullo, mentre < z >= ` (costante positiva). Calcolare in funzione di t i valorimedi di p
z
, z e r.
Esercizio 4
Una particella di massa m si trova in una buca infinita di larghezza L. Al tempo t = 0,viene accesa la perturbazione
V (x) = �(2x� L) sin(!t)
Determinare in funzione di t la probabilita di permanenza nello stato fondamentale all’ordinepiu basso (non triviale) in �.
–
MECCANICA QUANTISTICA
II Compito di Esonero - 30 Novembre 2011
Esercizio I.1
Un oscillatore armonico si trova nello stato iniziale
| , t = 0i = C(|�i+ |� �i)con | ± �i stati coerenti normalizzati e � costante reale positiva.
Determinare la costante di normalizzazione C.
Determinare in funzione di t i valori medi degli operatori H ed x nello stato | , ti.
Esercizio I.2
Una particella di massa m in una dimensione e soggetta al potenziale
V (x) = 0 per x < �2a , V (x) =1
2m!2x(2a+ x) per � 2a < x < 0
V (x) =1
2m!2x(2a� x) per 0 < x < 2a , V (x) = 0 per 2a < x
con a,! costanti positive.
Discutere qualitativamente lo spettro dell’operatore Hamiltoniano.
Determinare gli autovalori dell’energia degli stati legati in approssimazione WKB, us-ando la formula di Bohr-Sommerfeld e stimare il numero di livelli.
Esercizio I.3
Usando il nucleo integrale di evoluzione o altrimenti, determinare per t > 0 la funzioned’onda di una particella di massa m in una buca infinita di larghezza L per cui a t = 0 unamisura di x dia con certezza L/2 e quindi
(x, t = 0) = hx| , 0i = A�(x� L
2)
dove A e una costante arbitraria.
Discutere il problema nella descrizione di Feynman tramite integrale sui cammini.
–
MECCANICA QUANTISTICA
IV Compito di Esonero - 25 Gennaio 2012
Esercizio IV.1 Due particelle identiche di spin 1 sono governate dall’Hamiltoniano
H0 =S21
2I+
S22
2I+ �~S1 · ~S2
discutere lo spettro di H0 incluse le eventuali degenerazioni. Calcolare l’e↵etto di un campo
magnetico esterno ~B = (B0, B0, 0) per cui
HB
= �µ
~~B · (~S1 + ~S2)
sugli stati accessibili al sistema.
Esercizio IVV.2
Discutere l’e↵etto dell’interazione spin-orbita
VLS
=�
r2~L · ~S
sui primi due livelli di un atomo idrogenoide.
Esercizio IV.3 Un oscillatore armonico tridimensionale si trova nello stato fondamen-tale. Al tempo t = 0 viene accesa la perturbazione
�V = �[1� e��t]z
Calcolare all’ordine piu basso in � la probabilita di permanenza nello stato fondamentale.
–
MECCANICA QUANTISTICA
IV Compito di Esonero - 25 Gennaio 2012
Esercizio IV.1
Due particelle identiche di spin 1 sono governate dall’Hamiltoniano
H0 =S21
2I+
S22
2I+ �~S1 · ~S2
determinare lo spettro di H0 e discutere le eventuali degenerazioni in funzione di I e �.Calcolare le correzioni ai livelli di energia prodotte da un campo magnetico esterno ~B =(B0, B0, 0) per cui H = H0 +H
B
con
HB
= �µ
~~B · (~S1 + ~S2)
Esercizio IV.2
Determinare all’ordine piu basso in �Z
⇡ Zq2e
/m2e
c2 l’e↵etto dell’interazione spin-orbita
VLS
=�Z
r3~L · ~S
sui primi due livelli di un atomo idrogenoide, dove ~L ed ~S indicano rispettivamente il mo-mento angolare orbitale e lo spin dell’elettrone.
Esercizio IV.3
Un oscillatore armonico tridimensionale si trova nello stato fondamentale. Al tempot = 0 viene accesa la perturbazione
�V = �[1� e��t]pz
dove pz
indica la componente z dell’impulso. Determinare le regole di selezione per glielementi di matrice di p
z
. Calcolare all’ordine piu basso in � la probabilita di permanenzanello stato fondamentale.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta del 14-12-12
Esercizio 1
Una particella di massa m in una buca infinita (0 < x < L) si trova al tempo t = 0 inuno stato quantistico descritto dalla funzione d’onda
(x) = Nsen(⇡x
L)⇣1 + i cos(
⇡x
L)⌘
– Calcolare la costante di normalizzazione N e i possibili risultati di una misuradell’energia con le rispettive probabilita.
– Calcolare in funzione del tempo la probabilita‘ di trovare la particella in x < L/2.
Esercizio 2
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 nello stato
(x) = Nx2 e�m!
2~ x
2
– Calcolare in funzione del tempo l’incertezza �x(t) delle misure di posizione.
Esercizio 3
Un sistema a due stati e governato dall’Hamiltoniano H:
H|+i = E0|+i+ E|�iH|�i = E0|�i+ E|+i
dove E0, E sono costanti reali, e |±i sono gli autostati di �z
: �z
|±i = ±|±i.
– Determinare autovalori e autovettori dell’Hamiltoniano.
– Calcolare in funzione del tempo la probabilita che una misura dell’osservabile O =1 + �
y
dia come risultato il valore +2, se al tempo iniziale t = 0 una misura di �z
ha datoil risultato -1.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta del 01-02-13
Esercizio 1
Al tempo t = 0, un elettrone nell’atomo di idrogeno si trova nello stato descritto da
| i = N (|100i ⌦ |+i+ |211i ⌦ |�i)dove |n, l,mi ⌦ |±i sono gli autostati dell’Hamiltonian.o
– Calcolare il valor medio della distanza r dal nucleo e le probabilita delle misure delmomento angolare totale J2 in funzione del tempo.
Esercizio 2
L’Hamiltoniano H0 di un oscillatore armonico bi-dimensionale e isotropo di massa m efrequenza ! viene perturbato dall’aggiunta dell’operatore V :
H = H0 + �V
V = ~!(ax
a†y
+ a†x
ay
)
con ai
operatore di abbassamento ai
|ni
i = pni
|ni
� 1i relativo alla direzione i = x, y.
– Discutere l’e↵etto della perturbazione al prim’ordine sui primi due livelli energetici esui rispettivi autostati.
Esercizio 3
– Si dimostri che due particelle identiche sono descritte da una funzione d’onda o com-pletamente simmetrica o completamente antisimmetrica.
Si consideri l’operatore F che rappresenta una quantita pseudoscalare, cioe unagrandezza che cambia segno sotto trasformazioni di parita; si pensi al prodotto scalaretra un vettore e uno pseudovettore.La proprieta di essere una grandezza pseudoscalare si traduce nella richiesta
FP = �PF,
dove P e l’operatore di parita.– Si dimostri che gli unici elementi di matrice non nulli per l’operatore F sono quelli checonnettono stati pari con stati dispari, e stati dispari con stati pari:
hp|F |di, hd|F |pidove
P |pi = +|piP |di = �|di.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta dell’ 11-02-13
Esercizio 1
Un rotatore rigido, governato dall’Hamiltoniano
H =L2 + ↵L2
x
2I, ↵ 2 <
si trova al tempo t = 0 nello stato con L2 = 2~2 e Lz
= 1.
– Determinare il valor medio dell’operatore L+L� in funzione di t.
Esercizio 2
L’Hamiltoniano H0 di una particella di massa m e spin 1/2 e perturbato dall’aggiuntadi un potenziale V
H = H0 + �V
H0 =p2
2m+
1
2m!2x2 + !S
z
V = 2⌦x
x0Sx
, x0 =
r~
2m!
– Discutere l’e↵etto della perturbazione al prim’ordine sui primi due livelli energetici esui rispettivi autostati.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta del 25-02-13
Esercizio 1
Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ! si trova, all’istante iniziale t = 0,in uno stato tale che le misure dell’energia danno con certezza un risultato E
i
32 ~! con
valore medio hHi = 3/4 ~!. Il valore medio dell’osservabile impulso e massimo possibile.
– Calcolare i valori medi della posizione e dell’impulso al generico tempo t.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 si trovano ad un certo istante t = 0 in uno stato in cui le
misure simultanee della terza componente dei loro spin S(1)z
e S(2)z
danno con certezza ilrisultato ~
2 .
Il sistema evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano
H = ~!(1 + �(1)x
)
– Calcolare al generico tempo t la probabilita che il sistema si trovi nello stato disingoletto S2(tot) = 0, e nei tre stati di tripletto.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta del 18-04-13
Esercizio 1
Una particella di massa m e libera di muoversi su un’area x 2 [0, L], y 2 [0, L] e si trova,all’istante iniziale t = 0, nello stato con funzione d’onda
(x, y) = sen(⇡x
L)h↵ cos(
⇡x
L)sen(
⇡y
L) + � sen(3
⇡y
L)i,
dove ↵ e � sono generici coe�cienti complessi.
– Determinare autofunzioni e autovalori dell’hamiltoniano indicando le eventualidegenerazioni.
– Calcolare i possibili valori del risultati di una misura dell’energia e le rispettiveprobabilita.
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’operatore
O(x, y) = #(x
L� 1
2)�(
y
L� 1
2)
dove # e la funzione gradino (pari ad 1 se l’argomento e positivo, nulla altrove) e � e la deltadi Dirac.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 si trovano all’istante t = 0 nello stato di singoletto di spintotale.
Il sistema evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano
H = !(↵S(1)z
+ �S(2)z
)
– Calcolare al generico tempo t la probabilita che il sistema si trovi nello stato disingoletto S2(tot) = 0, e nei tre stati di tripletto.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta del 02-07-13
Esercizio 1
Un elettrone in un atomo di idrogeno si trova nello stato
= R21(↵Y10|+i+ �Y00|�i)dove ↵ e � sono generici coe�cienti complessi.
– Determinare le probabilita dei possibili risultati delle misure delle osservabili L2, J2,Sz
.
– Calcolare la probabilita di trovare l’elettrone ad una distanza r dal nucleo inferiore alraggio di Bohr.
Esercizio 2
Due particelle identiche di spin nullo sono soggette ad un potenziale armonico
H = H(1) +H(2)
H(i) =p2i
2m+
1
2m!2x2
i
.
– Determinare gli autovalori, gli autostati e le rispettive degenerazioni dei livelli ener-getici del sistema.
– Calcolare l’e↵etto della perturbazione:
V = V0 x0�(x(1) � x(2))
sui primi due livelli energetici.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2012-2013
Prova scritta del 23-09-13
Esercizio 1
Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ! si trova all’istante iniziale nello statoiniziale
| (t = 0)i = N(1 +i
2a†)|0i
dove |0i rappresenta lo stato fondamentale del sistema.
–Determinare la costante di normalizzazione N ed indicare i possibili valori di unamisura dell’energia e le loro probabilita.
– Calcolare in funzione del tempo i valori di aspettazione degli operatori posizione eimpulso.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 e soggetta ad un campo magnetico ~B diretto lungo l’asse z
H = �~µ · ~B ~µ = g~S
e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico | i tale che il valor medio dello spinrisulti:
h |Sx
| i = 0, h |Sy
| i > 0, h |Sz
| i = 0.
– Determinare in funzione di t le probabilita delle misure di Sx
, Sy
ed Sz
.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 18-10-13
Esercizio 1
Un sistema quantistico a due stati e governato dall’hamiltoniana
H = ~! (b1 �1 + b3 �3), con b1, b3 reali
gli autovettori sono
1 =2p5
✓1
1/2
◆
2 =2p5
✓1/2�1
◆
e l’autovalore maggiore vale 5!.
1) Si spieghi perche b1, b3 devono essere reali
2) Si determini H, ovvero i coe�cienti b1 e b3.
3) Si determini lo stato del sistema 0 = (t = 0) al tempo iniziale t = 0, sapendo chein questo stato i valori medi di �1 e �2 sono nulli, e quello di �3 positivo:
0 = (t = 0) : h�1i = h�2i = 0
h�3i > 0
4) Si scriva l’evoluzione temporale dello stato del sistema (t) e si calcoli il valore mediodi �3 al generico tempo t.
5) Si verifichi che
d
dth�3i = i
~ h [H,�3] i
6) Si calcoli esplicitamente l’operatoreH2 e si dimostri che il suo valore medio non dipendedal tempo.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 28-10-13
Esercizio 1
Un sistema quantistico a due stati e governato dall’Hamiltoniana
H = ~! (3 I+ b�1), con b reale
e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato
(t = 0) =
✓10
◆.
Il primo istante successivo in cui il sistema si trova con probabilita 1 in questo stesso statoe pari a t = ⇡
5! .
1) Determinare il coe�ciente b dell’Hamiltoniana.
2) Calcolare il valore medio di �2 al generico tempo t.
3) Calcolare al tempo t⇤ = ⇡
10! le probabilita dei possibili risultati di una misura di �3.
4) Se al tempo t⇤ = ⇡
10! una misura di �3 ha dato come risultato 1, calcolare le probabilitadei possibili risultati di una misura di �3 al tempo t⇤⇤ = 3 ⇡
10! .
5) Mostrare che il valore medio di �1 non dipende dal tempo.
I =✓1 00 1
◆�1 =
✓0 11 0
◆�2 =
✓0 �ii 0
◆�3 =
✓1 00 �1
◆
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 22-11-13
Esercizio 1
Una particella di momento angolare orbitale l = 2 e spin s = 1/2 si trova al tempoiniziale t = 0 in uno stato tale che le misure della terza componente del momento angolaretotale J
z
= Lz
+ Sz
e del momento angolare di spin Sz
danno con certezza rispettivamentei risultati 3/2~ e 1/2~.
Data l’Hamiltoniana
H =!
~ J2
si calcoli:
– lo stato | (t)i al generico tempo t,
– il valor medio dell’operatore O = J2 + ~Lz
in funzione del tempo.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 si trovano in uno stato di momento angolare di spin totale
j = 0, dove ~J = ~S(1) + ~S(2).
– Si calcolino le probabilita di una misura di S(1)z
.
– Si calcolino le probabilita di una misura di S(1)x
.
– Si dia un argomento per spiegare i risultati precedenti.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 09-12-13
Esercizio 1
Si consideri un oscillatore armonico bidimensionale isotropo di massa m e frequenza !in presenza della perturbazione V
H = H0 + �V
V = �x2y2.
– Si calcolino le correzioni al prim’ordine in � sui livelli energetici con n = nx
+ ny
= 2indicando le relative autofunzioni dell’hamiltoniana imperturbata.
Esercizio 2
Si consideri una particella di massa m vincolata in una buca quadrata
x 2 [0, L] y 2 [0, L],
e si consideri la presenza della perturbazione V sul sistema
H = H0 + �V
V = �1
2m(p2
x
� p2y
).
– Si calcolino le correzioni al prim’ordine in � del livello fondamentale e del primo livelloeccitato.
– Si dimostri che le autofunzioni non cambiano.
– (facoltativo) Si confronti il risultato perturbativo con il risultato esatto.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 19-12-13
Esercizio 1
Si consideri l’hamiltoniana di due particelle identiche di spin 1/2 e di momento angolareorbitale 1:
H = a (~L(1) + ~L(2))2 + b (L(1)z
+ L(2)z
)
– Si calcolino i livelli energetici e la loro degenerazione.
– Si calcoli esattamente la variazione delle energie dovuta alla aggiunta del termine
W = c (S(1)z
+ S(2)z
)
con c << a, b.
Esercizio 2
Se il sistema e nello stato fondamentale al tempo t = 0, si trovi almeno un esempio diperturbazione che dipende dal tempo come
V (t) / sin(!t)
che permetta al sistema di transire nel livello energetico piu alto di H0 = H +W e si calcolila generica probabilita di transizione al tempo t.
Nota: lo svolgimento di questa parte annulla e sostituisce gli esoneri precedenti.
Esercizio 1 (recupero)
Si consideri l’hamiltoniana di un particella di spin 1 e momento angolare 1
H = a (~L · ~S)2
– Si calcoli lo spettro energetico.
– Si calcoli l’e↵etto della perturbazione:
V = a (Lx
+ Sx
),
sul secondo livello energetico e sull’eventuale sua degenerazione.
Esercizio 2 (recupero)
Si consideri un potenziale unidimensionale che scende da un valore positivo U a zero adx = 0 e che presenta una barriera infinita a x = L:
V (x) =
(U #(�x) x < L,
1 x = L.
– Si calcolino gli stati stazionari del sistema nei due casi di energia maggiore o minoredi U e le relative correnti di probabilita nelle zone accessibili al sistema.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 12-02-14
Esercizio 1
Si consideri un oscillatore armonico di massa m e pulsazione !. Lo stato del sistema altempo iniziale t = 0 e descritto dalla funzione d’onda
(x) = N x2 e�m!x
2/2~
dove N e la costante di normalizzazione.
1) Determinare lo stato al generico tempo t.
2) Calcolare il valor medio dell’operatore O = (xp+ px) in funzione del tempo.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano H:
H =E
~2 S+ S�
dove S± = S(1)± + S(2)
± , e S(i) e l’operatore di spin per la particella i-esima.
Al tempo iniziale t = 0 le misure simultanee degli osservabili S(1)z
, S(2)z
danno rispettivamentei risultati +~/2, e �~/2.
– Calcolare al tempo t il valore di aspettazione dell’osservabile S(1)z
S(2)z
.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 24-02-14
Esercizio 1
Un sistema quantistico a due stati e governato dall’Hamiltoniana
H = ~! (I+ �1),
e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato in cui misure delle componenti dell’osservabile~� risulterebbero pari ad 1 con probabilita
(P (�1 = +1) = P (�2 = +1) = 1
2 (1 +1p2)
P (�3 = +1) = 12
– Calcolare il valore medio di �2 al generico tempo t.
Esercizio 2
Si consideri l’hamiltoniana di un particella di momento angolare j = 1
H =E
~2 J2z
e si i calcoli l’e↵etto della perturbazione:
V =�
~2 J2x
sugli autovalori e sugli autovettori dell’hamiltoniana al prim’ordine della teoria delle pertur-bazioni.
Si confronti il risultato perturbativo con il risultato esatto.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 21-07-14
Esercizio 1
Un sistema quantistico a due stati e governato dall’Hamiltoniana
H = ~! �1
e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato
| (0)i = 1p2|+i+ ip
2|�i
dove |±i sono gli autovettori di �3 (�3|±i = (±1)|±i).Si consideri l’osservabile A avente autovalori a1 ed a2 corrispondenti agli autovettori
|a1i |a2i:(
|a1i = 1p2(|+i+ |�i)
|a2i = 1p2(|+i � |�i)
– Calcolare la probabilita dei possibili risultati di una misura di A al generico tempo t.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 si trovano in uno stato tale che le misure simultanee degli
osservabili S(1)z
, S(2)z
danno rispettivamente i risultati +~/2, e �~/2.– Calcolare su questo stato il valore di aspettazione dell’osservabile O:
O = (~S(1) · n)(~S(2) · n)� (~S(1) · ~S(2))
essendo n il versore della generica direzione ~n.
–
Meccanica Quantistica 1
A.A. 2013-2014
Prova scritta del 29-09-14
Esercizio 1
Si consideri un oscillatore armonico di massa m e pulsazione ! in una dimensione. Ilsistema si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato nel quale la funzione d’onda e realea meno di un fattore di fase costante, la parita e definita e una misura dell’energia da concertezza un risultato minore di E < 3~! con valore medio pari a hEi = ~!.
– Calcolare il prodotto di indeterminazione �x�p in funzione del tempo.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 e momento angolare orbitale l = 1 si trova al tempo inizialet = 0 in uno stato tale che le misure del momento angolare totale J2 e della sua terzacomponente J
z
danno con certezza rispettivamente i risultati 3/4 ~2e 1/2 ~.L’evoluzione temporale del sistema e governata dall’Hamiltoniana
H = E1L2
2~2 + (E2 � E1)(L
z
+ 2Sz
)
~ .
– Determinare i possibili valori e le rispettive probabilita di una misura di J2 e Jz
algenerico tempo t.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2014-2015
Prova scritta del 04-12-14
Esercizio 1
L’operatore hamiltoniano di un sistema a due stati e rappresentato dalla matrice
H =
✓0 EE 0
◆
Al tempo iniziale t = 0 il sistema si trova nello stato
| i = N
✓12 i
◆
1) Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura dell’osservabile O = �y
e�y
al generico tempo t.
Esercizio 2
Si consideri un oscillatore armonico di massa m e pulsazione !. Lo stato del sistema altempo iniziale t = 0 e descritto dalla funzione d’onda:
(x) = N(⇠ + z⇠2) e�⇠
2/2
dove ⇠ = xpm!/~ e z e un numero complesso di modulo 1.
1) Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura dell’energia, e determinarelo stato al generico tempo t.
2) Determinare l’incertezza dell’osservabile O = |1ih0|+ |0ih1| in funzione del tempo.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2014-2015
Prova scritta del 30-01-15
Esercizio 1
Due particelle identiche di spin 1 interagiscono secondo l’hamiltoniana
H =!
~~S(1) · ~S(2)
e si trovano al tempo iniziale t = 0 nello stato sul quale una misura dell’osservabile S(1)z
S(2)z
da con certezza il valore �~2.
1) Calcolare gli autovalori e gli autovettori dell’hamiltoniana.
2) Calcolare al generico tempo t la probabilita che entrambe le particelle abbiano la terza
componente dello spin uguale a zero: S(1)z
= S(2)z
= 0.
Esercizio 2
Considerare l’oscillatore armonico in 3 dimensioni
H =p2x
+ p2y
+ p2z
2m+
1
2m!2(x2 + y2 + z2)
e trovare autovettori, autovalori e relative degenerazioni osservando che l’hamiltoniana eseparabile nelle tre direzioni spaziali.
Si calcoli l’e↵etto della perturbazione:
V = �µ
~~L · ~B, con ~B = (0, 0, B) e L
z
= xpy
� ypx
sui primi due livelli di energia al prim’ordine della teoria delle perturbazioni, esprimendoil momento angolare in coordinate cartesiane e utilizzando il formalismo di Dirac degli
operatori di innalzamento e abbassamento (xk
=q
~2m!
(ak
+ a†k
), pk
= . . . ).
Si confronti il risultato perturbativo degli autovalori e della parte angolare delle auto-funzioni con il risultato esatto, considerando che [L2, H] = 0.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2014-2015
Prova scritta del 06-02-15
Esercizio 1
Un rotatore quantistico e descritto dall’hamiltoniano:
H0 =L2
2I+
L2z
2Iz
dove I, Iz
sono costanti reali e positive.
– Determinare l’e↵etto della perturbazione
V = !(Lx
+1
~ (Lx
Ly
+ Ly
Lx
)
sugli autovalori e gli autovettori dell’hamiltoniano al primo ordine in ! e relativamente allarappresentazione l = 1 del momento angolare.
Esercizio 2
Due particelle identiche di spin 1/2 sono vincolate a muoversi sull’asse x nel segmentox 2 [0, L] ed interagiscono per accoppiamento spin-spin:
H =1
2m(p2(1) + p2(2)) +
!
~~S(1) · ~S(2) x(1), x(2) 2 [0, L]
– Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano mettendo in evidenza lesimmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2014-2015
Prova scritta del 27-02-15
Esercizio 1
Una particella di spin 1/2 e soggetta ad un potenziale armonico:
H =p2
2m+
1
2m!2x2
ed e descritta al tempo iniziale t = 0 dallo stato:
| (t = 0)i = 1p2(|0,+i + |1,�i)
dove |n,±i indicano gli autovettori dell’hamiltoniana e della terza componente dello spin:
H |n,±i = En
|n,±iSz
|n,±i = ±~2|n,±i
– Calcolate l’indeterminazione della posizione �x al generico tempo t.
– Calcolate la probabilita dei possibili risultati di una misura di Sy
at tempo t.
Esercizio 2
Due particelle di spin 1/2 interagiscono tra loro secondo l’hamiltoniana:
H0 =!
~~S(1) · ~S(2)
– Calcolare l’e↵etto della perturbazione
V = �!Sz(2)
sugli autovalori e sugli autovettori di H0 al prim’ordine in � della teoria delle perturbazioni.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2014-2015
Prova scritta del 22-07-15
Esercizio 1
Una particella di massa m si muove su un segmento unidimensionale che si estende da�L/2 ad L/2 ed il suo stato quantistico e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda
(x, t = 0) = ↵�1(x) + ��2(x)
dove �1 e �2 sono le autofunzioni dell’hamiltoniano relative allo stato fondamentale e al primostato eccitato, ed ↵,� sono due generici coe�cienti complessi opportunamente normalizzati.
– Calcolare in funzione del tempo il valor medio hOi dell’osservabileO = L �(x� x0)
ed indicare per quali valori di x0 diversi dagli estremi (x0 6= ±L/2) il valor medio nondipende dal tempo.
– Calcolare in funzione del tempo la densita di corrente J(t) e verificare l’equazione dicontinuita:
d
dthOi =
ZL/2
�L/2dx O d
dt⇢(t) = �
ZL/2
�L/2dx O d
dxJ(t)
Esercizio 2
L’Hamiltoniano imperturbato H0 di un sistema a tre stati e rappresentato dalla matrice
H0 = ~⌦
0
@1 0 00 0 10 1 0
1
A
– Calcolare l’e↵etto della perturbazione
V = ~!p2
0
@0 0 10 0 01 0 0
1
A
sugli autovalori e sugli autovettori di H0 al prim’ordine in ! della teoria delle perturbazioni.
–
Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis
A.A. 2014-2015
Prova scritta del 28-09-15
Esercizio 1
Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 in uno stato descritto dalla funzione d’onda
hx| (t = 0)i = (x, t = 0) = N(1 + ⇠) e�⇠
2/2
dove ⇠ =p
m!
~ x, ed N e la costante di normalizzazione.
– Verificare il teorema di Ehrenfest su questo stato:
dhpidt
= �m!2hxi
dove hpi, hxi sono valori di aspettazione al tempo t:
hpi ⌘ h (t)| p | (t)ihxi ⌘ h (t)|x | (t)i.
Esercizio 2
Una particella di spin 1/2 si trova ad un certo istante nello stato quantistico
f(r) sin ✓ sin'| 1/2 idove
Sz
| 1/2 i = ~/2 | 1/2 i.
– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita delle misure dei mo-menti angolari orbitale, di spin e totale:
Lx
, Lz
, L2,
Sx
, S2,
Jz
, J2 ~J = ~L+ ~S.