Download - MEF II_ Metode Least Square
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
1/21
Metode Least Squares
Pertemuan Ke 2
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
2/21
Dalam analisis data sering dilakukan pembuatan suatukurva yang dapat mewakili suatu rangkaian data yangdiberikan dalam sistem koordinat x-y.
onto! " Pengu#ian kuat tekan beton yang memberikan
!ubungan antara beban dan kuat tekan beton
Pengukuran debit sungai yang memberikan !ubunganantara kedalaman aliran dan debit sungai.
$ubungan antara data !u#an dan debit di sungai.
Pertumbu!an arus barang atau penumpang di suatupelabu!an% terminal% atau bandara dari ta!un keta!un.
Pertumbu!an #umla! penduduk sebagai &ungsi waktu.
$ubungan antara kandungan oksigen di air dantemperatur.
Dsb.
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
3/21
Metode Kuadrat 'erke(il)Least Square Method*
Metode untuk mendapatkan kurvaterbaik yang mewakili titik-titik datadengan (ara meminimumkanperbedaan+selisi! antara titik-titikdata dan kurva.
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
4/21
Prosedur Metode Kuadrat 'erke(il
'itik-titik data digambar pada suatu sistemkoordinat.
Dipili! suatu &ungsi g(x)yang dianggap bisamewakili f(x)yang mempunyai bentuk umum
berikut ini.G(x) = ao+ a1x + a2x2+ .....+ arxr
,ungsi tersebut tergantung pada parameter a0, a1, ....., ar
Ditentukan parameter a0, a1, ..... , arsedemikian rupase!ingga g(xi; a0, a1, ..... , ar )melalui sedekat mungkintitik-titik data. entuk g(xi; a0, a1, ..... , ar )mempunyaiarti &ungsi g(xi)dengan parameter a0, a1, ..... , ar
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
5/21
pabila koordinat dari titik-titik per(obaan adala!M(xi,yi)% dengan i/ 0% 2% 1% ..... % n maka selisi! ordinatantara titik-titik tersebut dengan &ungsi g(xi; a0, a1, ....., ar* adala! "
Ei= MiGi= yi g(xi; a0, a1, ..... , ar) = yi (a0+a1xi+a2xi2+a3xi3+ ..... +arxir)
Dipili! suatu &ungsi g(x)yang mempunyai kesala!an Ei
terke(il. Dalam metode ini #umla! kuadrat darikesala!an adala! terke(il.
{ }==
==n
i
ii
n
i
i xgyED1
2
1
22 )(
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
6/21
Di(ari parameter a0, a1, ..... , ar sedemikian se!inggaD2adala! minimum. ilai D2akan minimum apabilaturunan pertamanya ter!adap a0, a1, ..... , ar adala!nol% se!ingga "
...
...
Penyelesaian dari persamaan tersebut akanmemberikan !asil parameter a0, a1, ..... , ar. Dengandemikian persamaan kurva terbaik yang mewakili titik-titik data tela! diperole!.
00
2
=
a
D
02
2
=
a
D
02
=
ra
D
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
7/21
M3'4D3 K5D6' '36K37L 5'5K K568 L7736
entuk paling seder!ana dari regresi kuadrat terke(iladala! apabila kurva yang mewakili titik-titik datamerupakan garis lurus% se!ingga persamaan adala! "
g)x* / a 9 bx
dalam !al ini a:/ a dan a0/ b setela! melalui pen#abaran diperole! "
Setela! !arga koe&isien a dan b diperole!% maka
&ungsi g)x* dapat di(ari.
xbya =
( ) 22
=
ii
iiii
xxn
yxyxnb
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
8/21
Koe&isien Korelasi
Koe&isien korelasi adala! suatu nilai yangdipakai untuk mengeta!ui dera#adkesesuaian dari persamaan yang didapat.
2
22
t
t
D
DDr
=
=
=n
i
it yyD1
22 )( =
=n
i
i xaayD1
2
10
2 )(
Dengan "
dan
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
9/21
ilai r bervariasi antara : dan 0. 5ntukperkiraan yang sempurna akan didapat nilair/0. pabila r/: perkiraan suatu &ungsi
sangat #elek. Koe&isien korelasi ini #ugadapat digunakan untuk memili! suatupersamaan dari beberapa alternati& yangada. Dari beberapa alternati& tersebut
dipili! persamaan yang mempunyai nilaikoe&isien korelasi terbesar )palingmendekati 0*.
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
10/21
onto!
No. xi yi xiyi xi2
1 1 4 4 1
2 2 6 12 4
3 3 8 24 94 4 10 40 16
5 5 14 70 25
6 6 16 96 36
7 7 20 140 49
8 8 22 176 64
9 9 24 216 81
10 10 28 280 100
55 152 1058 385
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
11/21
22
=
ii
iiii
xxn
yxyxnb
6909,25538510
152551058102 =
=b
4,010
556909,2
10
152=xbya
bxay
xy 6909,24,0
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
12/21
Koe&isien Korelasi
No. xi yi (yi-y)2 (yi-a0-a1x)2
1 1 4 125,44 0,82645
2 2 6 84,64 0,04761
3 3 8 51,84 0,223454 4 10 27,04 1,35396
5 5 14 1,44 0,02117
6 6 16 0,64 0,29746
7 7 20 23,04 0,58324
8 8 22 46,24 0,00530
9 9 24 77,44 0,38205
10 10 28 163,84 0,47748
55 152 601,6 4,21817
Dt2/ ;:0%; D2/
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
13/21
999975,02
22
==
t
t
D
DDr
6,601)( 22
=
=
n
ni
it yyD
218165,4)(
2
10
2
=
=
n
nii xaayD
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
14/21
Linierisasi Kurva 'idak Linier
Dalam praktek sering di#umpai ba!wasebaran titik-titik pada sistem koordinatmempunyai ke(enderungan )trend* yang
berupa kurva lengkung. gar persamaan regresi linier dapat
digunakan untuk mempresentasikan kurvalengkung maka perlu dilakukan
trans&ormasi koordinat sedemikianse!ingga sebaran titik data bisadipresentasikan dalam kurva linier.
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
15/21
Persamaan+,ungsi entuk ,ungsi ,ungsi yg Dilinierkan
erpangkat y = axb log y = b log x + log a
3ksponensial y = aebx ln y = ln a + b x ln e
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
16/21
'rans&ormasi ,ungsi Logaritmik
x
y
y=axb
log x
log y
log a
b
1
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
17/21
'rans&ormasi ,ungsi 3ksponensial
x
y
y=aebx
x
ln y
ln a
b
1
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
18/21
6egresi Polinomial
Persamaan polinomial order r mempunyaibentuk "
y = ao+ a1x + a2x2+ .....+ arxr
Selanjutnya diselesaikan dengan metode matriks ingga
diketaui !ilangan tak diketaui a0, a1, a2, .., ar. Saat ini, regresi "olinomial tela di"ermuda "enyelesaiannya
dengan "rogram kom"uter misalnya #i$roso%t &'&*
{ }
=
n
i
r
iriii xaxaxaayD1
2
210
2 )*****(
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
19/21
6egresi Linier dengan anyak8ariabel
entuk umum "
y = ao+ a1x1+ a2x2+ .....+ amxm
Koe&isien a0, a1, a2, .., am dapat
di(ari dari sistem persamaan yangdisusun dalam bentuk matriks.
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
20/21
'ugas
arila! kasus yang dapat dianalisisdengan regresi.
Setiap ma!asiswa !arus berbedakasus dan angkanya.
Diker#akan dengan Mi(roso&t 3?3L%Dilengkapi tabel dan gra&iknya.
Dikumpulkan saat u#ian 5'S Metnum.
-
7/24/2019 MEF II_ Metode Least Square
21/21
KataAljabardiambil dari salah satu judul bukunyaal-Jabr wal-Muqabala, tentang perhitungan linear
dan kuadrat, bahkan kata Algoritma berasal daripenyebutan namanya sendiri, Algorizm.Lahir dalam suasana kekhalifahan yang sangatmementingkan pendidikan, membuat MuhammadIbnu Musa al-Khawarizmi (780-80!mendedikasikan waktunya di "ait al-#ikmah,
"aghdad$ %elain di&uluki sebagai bapak al&abar danl'garitma, banyak kalangan &uga menyebutnyasebagai ahli matematika yang sangat berpengaruhsepan&ang masa$ada abad ke )*, beliau telah memperkenalkan pada dunia, sistemperhitungan desimaldan penyusunan daftar l'garitma dalam sebuahtabel rin+ian trig'n'metri yang memuat fungsi sinus, k'sinus, tangen dan
k'tangenserta k'nsep diferensiasi$ Karya Khawarizmi, al-Jabr wal-Muqabaladigunakan sebagai buku matematika ru&ukan berbagaiperguruan tinggi di r'pa$ .iset pengukuran yang dilakukannya di %an&ardan almyra berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumiyang kemudian melahirkan peta bumi yang kita kenal sebagai Globe$esungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung
mereka dengan hitungan yang teliti.!(/%$ Maryam 12!
Al-Khawarizmi