Download - mera-jun15.pdf
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS
MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,jun 2015)
1. Neka su M1,M2 dve σ−algebre takve da je
(∀A ∈M1)(∀B ∈M2)A = B ili A ∩B = ∅
i neka je M najmanja σ−algebra koja sadrzi elemente iz M1 i M2.(a)Dokazati da je M = {A ∪B : A ∈M1, B ∈M2} 10(b)Ako je µ1 mera definisana naM1 , µ2 mera definisana naM2 i µ1(A) = µ2(A) za sveA ∈M1 ∩M2, ispitati da li je preslikavanje µ :M−→ [−∞,+∞],µ(A ∪ B) = µ1(A) + µ2(B), A ∩ B = ∅ mera za koju je µ(A) = µ1(A) za A ∈ M1 iµ(A) = µ2(A) za A ∈M2. 10
2. (a)Dokazati da je Borelova σ−algebra na R ,generisana intervalima (−∞.α], α ∈ R 10(b)Ako je funkcija f : (X,M) −→ (−∞,+∞) merljiva ,dokazati da su skupovi{x ∈ X : α < f(x) ≤ β} i {x ∈ X : α ≤ f(x) < β} merljivi . 10
3. Primenom odgovarjucih Teorema o konvergenciji dokazati da je
limn→∞
+∞∫−1
ne−nt(1 + t)n
1 + n2t2dt = π
20
4. Izracunati
(a)
limn→∞
+∞∫0
( ∞∑k=0
(1 + k2) sin kx
2k
)e−x dx
10
(b)
limn→∞
n∫0
nexn
x4 + n2dx
10opravdavajuci postupak resavanja odgovarajucim teoremama .
5. Ako je (fn)n, fn : (X,M, µ) : X −→ R,niz merljivih i integrabilnih funkcija ,f(x) = lim
n→∞fn(x), za sve x ∈ X, integrabilna funkcija i∫
X
|fn| dµ→∫X
|f | dµ (n→∞),tada
∫X
fn dµ→∫X
f dµ (n→∞).Vazi li obrnuto? 20
∑= 100
broj bodova · · · − · · · = ocena/55-64=6 /65-74=7 /75-84=8 /85-94=9 /95-100=10