DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,jun 2015)

1. Neka su M1,M2 dve σ−algebre takve da je

(∀A ∈M1)(∀B ∈M2)A = B ili A ∩B = ∅

i neka je M najmanja σ−algebra koja sadrzi elemente iz M1 i M2.(a)Dokazati da je M = {A ∪B : A ∈M1, B ∈M2} 10(b)Ako je µ1 mera definisana naM1 , µ2 mera definisana naM2 i µ1(A) = µ2(A) za sveA ∈M1 ∩M2, ispitati da li je preslikavanje µ :M−→ [−∞,+∞],µ(A ∪ B) = µ1(A) + µ2(B), A ∩ B = ∅ mera za koju je µ(A) = µ1(A) za A ∈ M1 iµ(A) = µ2(A) za A ∈M2. 10

2. (a)Dokazati da je Borelova σ−algebra na R ,generisana intervalima (−∞.α], α ∈ R 10(b)Ako je funkcija f : (X,M) −→ (−∞,+∞) merljiva ,dokazati da su skupovi{x ∈ X : α < f(x) ≤ β} i {x ∈ X : α ≤ f(x) < β} merljivi . 10

3. Primenom odgovarjucih Teorema o konvergenciji dokazati da je

limn→∞

+∞∫−1

ne−nt(1 + t)n

1 + n2t2dt = π

20

4. Izracunati

(a)

limn→∞

+∞∫0

( ∞∑k=0

(1 + k2) sin kx

2k

)e−x dx

10

(b)

limn→∞

n∫0

nexn

x4 + n2dx

10opravdavajuci postupak resavanja odgovarajucim teoremama .

5. Ako je (fn)n, fn : (X,M, µ) : X −→ R,niz merljivih i integrabilnih funkcija ,f(x) = lim

n→∞fn(x), za sve x ∈ X, integrabilna funkcija i∫

X

|fn| dµ→∫X

|f | dµ (n→∞),tada

∫X

fn dµ→∫X

f dµ (n→∞).Vazi li obrnuto? 20

∑= 100

broj bodova · · · − · · · = ocena/55-64=6 /65-74=7 /75-84=8 /85-94=9 /95-100=10