벡터의 정의
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
벡터의 정의
스칼라량과 실수(또는 수): 크기만 있고 방향성이 없는 물리량을 스칼라량(scalar
quantity)이라고 하고, 스칼라량은 실수(real number)로 표현됨
벡터량과 벡터: 물리량(physical quantity)으로서 크기와 방향성을 갖는 양(quantity)을
벡터량(vector quantity)이라고 하고, 이를 수학적으로 표현한 것을 벡터(vector)라고 함
벡터의 표현
벡터 자체:
벡터 크기:
<벡터의 정의와 기하학적 표현>
, ,a x ABa, x,
, ,a aa
필수적 요소(수학적 요구조건)
작용점: B
작용선: 점 A와 B를 지나는 직선
벡터의 구성 요소
선택적 요소
크기: 점 A와 B 사이의 거리
방향: 점 A에서 점 B로 향하는 화살표의 방향
a
x
y
z
벡터량의 예: 힘, 변위,
속도, 가속도, 열유동,
운동량, 모멘트 등
스칼라량의 예: 일,
일률, 온도, 질량 등 A
B
AB
벡터의 종류
한정벡터(bound vector): 필수적 요소 + 작용점
미끄럼벡터(sliding vector): 필수적 요소 + 작용선
자유벡터(free vector): 필수적 요소(크기와 방향)
(c) free vector
<벡터의 종류>
(a) sliding vector
statics elasticity rigid-body translation
Unknowns : RA, RB
(b) bound vector
Unknowns : deformation, etc. Unknowns : displacement, etc.
BR
AR
P
F
u
u
P
3,a az
1,x x
2,y x1,xa a
2,ya a1
0
벡터의 표현
수학적 표현: 성분으로 표시하기
<직각좌표계에서 벡터의 성분>
행벡터:
열벡터:
x ya a
2 2
x ya a a
1cosa
xa
3
, , a x y za a a
, ,
T
a
x
y x y z
z
a
a a a a
a
2차원 평면
3차원 공간
행벡터: 또는
열벡터:
, a x ya a
,
T
ax
x y
y
aa a
a
(a) 2차원
(b) 3차원
성분으로 표시하면, 크기와 방향, 즉 벡터의
필수적 요건(수학적 요건)을 표현할 수 있음
1cos ii
a
a
2 2 2
x y za a a a
2
기계공학에서 아무 언급
없으면 열벡터를 의미함 3,z x
1,x x
1,y y
1,xa a
2,ya a
0
a
a
벡터 관련 용어 정리
방향여현(directional cosine) :
단위벡터 : 크기가 1인 벡터
단위기초벡터(unit basis vector) :
1 2 3cos , cos , cos T
( 0) a
u aa
<좌표계와 단위기초벡터>
벡터 a의 크기(magnitude) :
벡터의 방향(direction) :
2 2 2 2 2 2
1 2 3 a x y za a a a a a또는
1cos ( 1, 2, 3)a
ii
ai
또는 1u
3,z x
2,y x
1,x x
, 1ei
, 3ek
, 2ej 1, 0, 0
T
1i = ei
0, 1, 0 T
2j = ej
0, 0, 1k T
3k = e
벡터의 연산
벡터의 덧셈
벡터와 스칼라의 곱셈
벡터의 덧셈과 벡터-스칼라의 곱셈의 성질
1 1 2 2 3 3[ , , ]Ta b a b a b a b
1 2 3[ , , ]Ta a a a
( ) ( )
( 0 0 0 )
-
(
)
( )
T
a b b a
a b c a b c
0 + a = a 0=
a + ( a)= 0
a + b ) = a + b
( + a = a + a
a)=( a
1a = a
벡터 의 크기, 놂(norm) :
(
1
2a a a)
a a
a b a b
a+b a b
a a
b
b
a
2a
a
b a b
a b
<벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈>
평행사변형 법칙
a
b
단위기초벡터를 활용한 벡터의 수학적 표현
, ,x y z x y za a a a a a T
a = = i j k
벡터와 스칼라곱, 벡터의 덧셈으로부터
벡터의 연산(덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와 스칼라의
곱셈 등) 시, 단위기초벡터로 표현하는것이 원칙
, , T
a = x y za a a
, , T
b = x y zb b b
) ( ) ( )a + b = ( i j kx x y y z za b a b a b
za
x
o
z
xa
ya
y
kza
ixa
jya
i + jx ya a
ij
k
a
a
b
벡터의 연산
벡터의 내적 (inner product, dot product, scalar product)
<벡터의 내적>
내적의 기하학적 의미
cos
0
a b a b
a b 이면 두 벡터는 직교함
내적의 성질
(
( )
0
0 implies
a b b a
a b c) a b a c
( a ) b a b
a a
a a a = 0
0
1
i j = j k = k i =
i i = j j = k k =
기타
13
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2
1
3
, ,Ta b = a b=
i i
i
b
a b a b a b a b a a a b
b
크기 : 두 백터 가 이루는 평행사변형의 면적
벡터의 연산
벡터적 (vector product, cross product)
벡터적의 성질
<벡터적의 정의>
sin (0 ) c = a b
i j k, j k i, k i j
i i = j j = k k = 0
,a b
1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
( ) ( ) ( )a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
i j k
c = a b = i j k
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
//
a b b a
a b c a b a c
a b c a c b a b c
a b c a b c a b c
a b 0 a b
a
크기 :
기타
c = a bsinbb
a
a
벡터적의 기하학적 의미
방향 : 벡터 에 수직하면서 가 오른손법칙을 따름 , ,a b c,a b
<오른손법칙>
a
b
c
예제
벡터 와 에 대한 다음 물음에 답하라 T
2, 5, 3a T
6, 2, 1b
T
a) 2 14, 1, 1a b
b) 2a ba) 2a b c) a b d) b a e) a b 벡터 와 의사이각
T
b) 2 2, 12, 7a b
c) 2 6 ( 5) 2 3 ( 1) 1a b d) 6 2 2 ( 5) ( 1) 3 1b a
2 2 2 2 2 2
1
e) a b cos 2 5 3 6 2 1 cos 1558 cos
1 cos ( 1/ 1588) 91.45
a b
a b = .
문제 c)로부터 이므로 이다
f ) a b g) b a h) b a = a b
f ) (2 5 3 ) (6 2 ) 4 2 30 5 18 6 20 34i j k i j k k j k i j i i j k a b
g) (6 2 ) (2 5 3 ) 30 18 4 6 2 5 20 34i j k i j k k j k i j i i j k b a
h) a) b) b a = a b . 문제 와 로부터 이다
☞
n 차원으로의 벡터의 확장
Rk 유클리디안 벡터장
벡터의 차원 : 2(3)차원 평면에서 벡터량은 2(3)차원 벡터
k-차원 벡터 : 성분이 k개인 벡터
Rk : k-차원 유클리디안 벡터, k-차원 유한차원 실수벡터장
1
T 2
1 2
T
1 2 i
T
1 1 2 2
T
1 2
1
2
1
1
2
| , , , ; a 's are real
, , ,
, , ,
( )
( )
a
a a
a b
a
a b
a a a
k
k
k
k
k k
n
k
l
a
aa a a
a
R a a a
a b a b a b
a a a
a b
선형종속과 선형독립
선형조합 (linear combination)
1 1 2 2
1
n
i i n n
i
c c c c
a a a a
모든 가 0일 때만 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형독립이라고 함 ic a i
선형독립 (linearly independent)
어떤 가 0이 아닌데도 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형종속이라고 함 ic a i
선형종속 (linearly dependent)
예제
좌표계와 좌표
좌표
직교좌표계(orthogonal coordinate system)
직각좌표계(rectangular coordinate system)
원통좌표계(cylindrical coordinate system)
구좌표계(sphere coordinate system)
<좌표계와 좌표>
a) 직각좌표계 b) 원통좌표계 c) 구좌표계
<주요 직교좌표계>
x
cos
sin
x r
y r
z z
y
z z
x
y
θ r
z
y
z
x
θr
어떤 점의 위치를 기준좌표계에 대한 상대적 위치로 표현한 것
벡터량임
기준좌표계와 지방(국부)좌표계
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
local coordinate
system
reference coordinate system
3,z x
1,x x
i
i
i
2,y x
행렬의 정의
행렬 : m n
11 12 1
21 22 2
1 2
[ ]A
n
nij
m m mn
a a aa a a
a
a a a
용어 정의 :
행벡터(row vector) : 행렬
정방행렬(square matrix) : 행렬
열벡터(column vector) : 행렬
1 n
1m
n n
대각항(diagonal term) : 정방행렬에서
비대각항(off-diagonal term) :
n n ( 1,2, , )iia i n
( )ija i j
대각행렬(diagonal matrix) 단위행렬(unit matrix) 영행렬(zero matrix)
11
22
0 00 0
0 0 nn
aa
a
D
1 0 00 1 0
[ ]
0 0 1
ij
I
0 0 00 0 0
0 0 0
0
하삼각행렬(lower triangular matrix)
상삼각행렬(upper triangular matrix)
11
21 22
2 2
0 00
L
n n nn
aa a
a a a
11 12 1
22 20U
0 0
n
n
nn
a a aa a
a
행렬: 수의 규칙적인 배열
Kroneckerdelta
행렬의 정의
부분행렬(submatrix) : 원래의 행렬에서 일부의 행과 열을 제거한 행렬
주부분행렬(principal submatrix) : 정방행렬에서 동일번호의 행과 열을 동시에 제거하여
만든 부분행렬
전치행렬(transpose of a matrix), : 행렬 A의 (i,j)-요소 와 (j,i)-요소 의 자리를
바꾸어 만든 행렬
대칭행렬(symmetric matrix) :
의대칭행렬(skew-symmetric matrix) :
랭크 (rank) : 선형독립적인 행의 수(= 선형독립적인 열의 수)
특이행렬(singular matrix) : nⅹn 정방행렬에서 랭크가 n - 1 이하일 경우
TA ija jia
T , ij jia a A A
T , ij jia a A A
용어 정의(계속)
행렬과 벡터의 관계
mⅹn 행렬의 벡터 표현
1ⅹn 행벡터의 mⅹ1 열벡터
mⅹ1 열벡터의 nⅹ1 행벡터
11 12 11
21 22 2
2 1 2
1 2
, ,
a
A a b b b
a
Tn
n T
ij n
T
mm m mn
a a a
a a aa
a a a
11
22
ji
ji
i j
in mj
aa
aa
a a
a b
행렬의 덧셈 및 행렬과 스칼라 곱셈
행렬의 덧셈의 정의
성질
ij ij ijc a b C A B
행렬과 스칼라 곱셈의 정의
ij ijc a C A
( ) ( )
)
( )
( )
( ) ( ) 1
( ) (T T T T T
A + B B + A
A + B + C A B + C
A + 0 = A A + ( A 0
A + B A B
A A A
A A A A
A B A B A) A
일반적으로 이 반드시 와 를 의미하는 것이 아님
가 만족될 때, 행렬의 요소 가 정의됨
C = A B : 행렬 와 행렬 의 곱
행렬의 곱셈
행렬의 곱셈의 정의
m p q n[ ]ijaA [ ]ijbB
p q l ijc
1
Ta b a b
l
ij ik kj i j i jk
c a b
행렬의 곱의 성질
( ( ) ( )
(
(
)
(
T T T
A )B AB A B
A(BC) AB )C
A B )C AC BC
A(B C AB AC
AB ) B A
AB BA , AB 0이고 A 0 B 0
, ,I A A AI A Ix x
예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라.
☞ 이므로 이고, 1 0 228 7 3
T(AB)
1 80 722 3
AB
1 2 4 5 22 5 3 , 2 14 1 3 0 2
A B
1 2 4
5 2 0 1 0 222 5 1
2 1 2 8 7 34 3 3
T TB A
이다. 따라서 T T T
(AB) B A
T T T(AB) =B A
이다.
1
2
1 2 3 3
j
j
ij i i i il j
l j
b
b
i c i a a a a b
b
j
j
m n행렬 m l행렬 l n 행렬
행렬의 변환기능과 응용
행렬의 역할 :
수학적 오퍼레이터(operator)
전달함수(transfer function) 및 변환(transformation)의 역할
<행렬의 역할>
<좌표변환>
벡터량의 좌표변환 법칙 :
cos sin
sin cos
i i
j j
1 , 01 2 1 2
t t t t
2, ]1
T=[t t변환행렬
Ax = y
직교단위행렬(orthonormal matrix)
T
cos , sin1
t T
sin , cos2
t
1 TT T
x yTransformation
A
Mapping
x ' x y '
y ' y x '
cos sin
cos sin
F F F
F F F
x x '
y y '
cos sin
sin cos
F F
F F
O ixF x
'xF
'yF
yF
'yF
'ij
'j
y
'x
'y
cos sin
sin cos
x' x
y' y
F F
F F
cos sin
sin cosT
F
역학문제에서의 행렬
변위-하중 관계식
AF=U1 1
1 2 2 1
x
y
L Q u
AE P u
2 2 1 1
2 2 1 1
x
y
AE u Q
u PL
KU=F
0
0
0
yxxx zxx
xy yy zy
y
yzxz zzz
fx y z
fx y z
fx y z
변위-하중 관계식
2= , ( ) =0KU F K M U
강성행렬
변위벡터
하중벡터
유한요소보간 미분방정식의 근사해법
L
AE
L
AE
, xQ u
, yP u
행렬의 변환기능과 응용
행렬의 판별치 (determinant)
2×2 행렬의 판별치 :
11 1211 22 12 21
21 22
det A a a
D a a a aa a
3×3 행렬의 판별치 :
11 12 1322 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 1331 3232 33 31 33
31 32 33
det A a a a
a a a a a aD a a a a a a
a aa a a aa a a
11 12 1 22 23 2 21 23 2
21 22 2 32 33 3 31 33 311 12
1 2 2 3 1 3
1 1
det
( 1, 2, , ), ( 1) ( :
( 1)
A
n n n
n n n
n n nn n n nn n n nn
n ni j
ji ji ij ij ij ij iji i
i j
j
a a a a a a a a aa a a a a a a a a
D a a
a a a a a a a a a
D a C a C j n C M C
D a
1 1
( 1)n n
i j
i ji ij iji i
M a M
여인자(cofactor))
: 마이너(minor), i-행과 j-열을 소거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분행렬의 판별치 ijM
n×n 행렬의 판별치 :
11 11 12 12
11 11 12 12
M M
C C
a a
a a
행렬의 판별치
판별치의 일반적 성질
TA A
AB = BA = A B
①
②
③ 행렬의 한 행 또는 한 열에 상수 c를 곱하여 만든 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의
c 배임
④ 어떤 행렬의 임의의 두 행 (또는 두 열)을 교환하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래
행렬의 판별치의 부(negative)의 값을 가짐
⑤ 어떤 행렬의 한 행(또는 하나의 열)에 다른 행(또는 열)의 상수배를 더하여 만든 새로운
행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치와 동일함
⑥ 행(또는 열)벡터가 선형종속이면 판별치는 0임
11 12 1322 23 12 13 12 13
21 22 23 11 21 3132 33 32 33 22 23
31 32 33
det Aa a a
a a a a a aD a a a a a a
a a a a a aa a a
예제
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det det A Aa a a
D ca ca ca ca a a
11 12 13
31 32 33
21 22 23
det det A Aa a a
D a a aa a a
①
② ③
행렬 의 어조인트(adjoint)
역행렬
n×n 행렬 A의 역행렬: 1 1 1
1 1 1 1 1
( )
( )
AB B A
ABCD D C B A
일 때, 행렬 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 함
일 때, 행렬 를 직교단위행렬(orthonormal)이라고 함.
변환행렬은 직교단위행렬임. 즉, 임. 따라서 임
1 1 1 1, ,
Ax b
A Ax A b Ix A b x A b
*1 1[ ] [ ]
det det -1 T
AA A
ij ijC A
-1 -1AA I A A I 또는
*
11 21 1
* 12 22 2
1 2
[ ] [ ] :
[ ]
TAij ij
n
nij
n n nn
A C
C C CC C C
A
C C C
행렬의 곱의 역행렬
선형연립방정식
T , i j ij AA I a a
T TT I
-1AA D
직교단위행렬과 변환행렬
-1 TT T
-1 TA A
※ 참고사항: Kronecker delta 1
0ij
if i j
if i j
A
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
ij
-1A
선형방정식과 해법
선형방정식
직접법
Gauss-Jordan 소거법
LU 분해법 (또는 Cholesky 분해법)
띠형행렬법(banded matrix)
스카이라인법(skyline method)
저밀도행렬기법(sparse matrix techique)
전선해법(frontal solution method)
반복법
행렬직교방향법(conjugate direction method)
Ax = b
선형방정식의 해법
상사변환
와 의 고유치는 동일
고유벡터의 관계 : ( : 행렬 의 고유 벡터, : 의 고유벡터)
상사변환(similarity transformation)의 정의
1x = R x x A
A A
x A
TA RAR
상사변환의 성질
상사변환의 응용
' ' ' '
' '
i j i p j q pq
i p pq j q
T T
T T
' ' ' ' i p i p pq j qT T
행렬 의 랭크가 n보다 작기 위한 조건 또는 행렬 가 특이행렬이 될 조건
차의 비선형방정식
행렬 가 대칭이면, n 개의 실근 존재
고유치 문제
제차선형연립방정식(homogeneous linear equation) :
0A I
Ax = 0
: 무의미해(trivial solution)
IF : A = 0
고유치 문제 : Ax = x ( A I )x = 0 또는
행렬 의 행벡터 또는 열벡터는 선형종속이어야 함
: 고유치(eigenvalue) 또는 특성치(charactoeristic vector)
: 고유벡터(eigenvector) 또는 특성벡터(characteristic vector)
n n ( A I )
x
특성방정식(characteristic equation) :
n n A I
n
n n A
고유벡터의 직교성 : ( ) ( )
x x = 0i j
(i) (i) ( ) ( ) ( ) ( ),Ax x A x x i j j j
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( T
( ) Tx ( A A )x )x x
j i i j i j
A I
x = 0
0x
1 2
0A x
n
i
i
, , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), T T T T T
x Ax x x x Ax x xj j ii i i j j i j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )If 0, ( 0 0 T A A )x x x x
i j i j i j