FISIKA MATEMATIKA
INTEGRAL RANGKAP
DISUSUN OLEH:
1. NOVITA WIDIYASTUTI
1101135015
2. NOVITA YUSNIAWATI
110113506
3. TITAH ESTUNING AYU
1101135
4. WULAN SARI RAHAYU
1101135
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUA ALAM
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA
2013
A. INTEGRAL RNGKAP 2
1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk
fungsi banyak peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral
lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi,
yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua
dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada
suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga
integral lipat tiga.
Gambar 1.1
Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-
sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : }. Bentuk suatu
x
b
adc
kR),( kk yx
z
y
partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R
menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan
dengan k = 1,2,...n. Tetapkan dan adalah panjang sisi-sisi dan =
. adalah luas. Pada ambil sebuah titik misal dan bentuk
penjumlahan Riemann .
Definisi :
Integral lipat dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang
tertutup R, jika :
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut
, yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh
=
Sifat-sifat Integral Lipat Dua :
1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:
2.
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :
Perhitungan Integral Lipat dua
Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral
lipat dua merupakan luas R.
=
= k.A(R)
Contoh Soal
1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :
f(x,y) =
hitung dengan R = {
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = {
R2 = {
R3 = { , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat
dua, sehingga :
+ +
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
2. Hampiri dengan ,
R = { . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan
Riemann!
Jawab :
Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang
sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang
diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :
= (1,1), f =
= (1,3), f =
= (1,5), f =
= (1,7), f =
= (3,1), f =
= (3,3), f =
= (3,5), f =
= (3,7), f =
Jadi karena = 4, = = 2.2 = 4
4
8
(4,8)
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
x
y
z
≈
=
=
= 138
Integral Lipat
Jika pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1
V = , R = { .
Gambar 1.2
Iris : Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)
b
a
a b
R
z
Gb. 1
LATIHAN SOAL 1
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)
Volume dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh ≈ A(y) ,
diintegralkan ,
V = , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
A(y) = , sehingga : V = …….. (2)
Dari (1) dan (2) :
= begitu juga =
LA(y)
x
y
y Gb. 1.3
Gb. 2b
Permasalahan :
Hitung :
Jawab :
a.
Perhitungan Volume
Contoh soal :
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan
dibawah persegi panjang R = {
Jawab :
Jawab :
V =
= =
= =
= satuan volume
1.. Hitung :
12
(1,2)
(0,0,4)
(1,0,3)(1,2,1)
(0,2,2)
y
z
x
a.
b.
2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang
Gambar 2.1
Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu
persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y)
terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f
dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.
=
Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi
kontinu dan pada [a,b] sedemikian sehingga :
Gb.1Gb.2
Gb.3
S S
f(x,y)=0
z = f(x,y)
S
Gb.2.2 Gb. 2.3 Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x sederhana
Bukan himpunan x sederhana
Atau y sederhana
ba
S
c
d
x= x=
x
y y=(x)
y= (x)x
y
00
S
S
y= (x)
y= (x)
x
y
0
S
R
xa b
Gb.2.4
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi
kontinu dan pada [a,b] sedemikian sehingga :
. Sedangkan suatu himpunan S adalah x
sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan pada [c,d]
sedemikian sehingga : . Jika kita ingin
menghintung integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S
yang y sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan
membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :
= =
= , secara ringkas
=
Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu
adalah sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas
A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika
himpunan S adalah x sederhana, maka
=
Kerjakan soal berikut!
1. Hitung :
a.
Jawab :
a.
a
b
A(x)
z=f(x,y)
Gb.2.5
y= (x) y= (x)x
z
y
LATIHAN 3
3. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub
Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah
kontinu dan tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini
dan diatas R adalah
V = ...... (1)
Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk : R = {
Dengan dan . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai
z = f(x,y) =
R
z=f(x,y)=F(r, )
x
y
z
r=a
r=b
R
Rk
Rk
R
k
Partisi R dalam persegi panjang kutub yang
lebih kecil R1, R2
, …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub
pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis :
dengan adalah radius
rata-rata Rk. Jadi V
Gb.2.6
Gb.2.7
Sehingga :
V = ........ (2)
Dari (1) dan (2) :
=
Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari
yang lalu kita mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana,
pada pengintegralan kutub ini, kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana
dan himpunan sederhana. Himpunan r sederhana berbentuk
dan disebut sederhana jika berbentuk :
Gb.2.8
S
r=
r=
S
=
=
r=a r=b
1. Penerapan Integral 2
Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan
lain yaitu mencari massa, pusat massa dan momen inersia.
a. Massa
Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan
(massa/ satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh . Partisikan s dalam
persegi panjang kecil Ambil titik ( pada . Massa
secara hampiran dan massa total lamina secara hampiran
Gb.2.9Himpunan r sederhana
Gb.2.10Himpunan sederhana
Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma
partisi mendekati nol, sehingga :
Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:
b. Pusat Massa
Jika adalah kumpulan titik massa yang masing-masing
ditempatkan di ( ,( ,.......,( pada bidang maka momen
total terhadap sumbu y dan sumbu x. , .
Koordinat ( dari pusat massa:
Koordinat ( dari pusat massa.
dan
Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama),
tapi jika kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:
dan
c. Momen Inersia
Definisi:
Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat
jarak terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r
adalah jarak, sehingga :
Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan yang mencakup suatu
daerah s dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri
momen inersia tiap keping , ambil limit dan dbawa ke rumus diatas,
sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah , , dan
Latihan.
Sebuah lamina dengan kerpatan dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva
. Tentukan :
a. Massa
b. Pusat massa
c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z
Jawab :
a.
=
=
=
=
B. INTEGRAL RANGKAP 3
1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius
y
z
∆z
B
Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah
berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu
partisi P dari B dengan meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang
koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian, yaitu:
. Pada , ambil satu titik contoh dan dengan
penjumlahan Riemann diperoleh:
Dengan = adalah volum . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:
Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat
tiga mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua.
Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:
, misalnya kita tuliskan , yang
mempunyai arti:
a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z
sebagai konstanta
x
∆y
∆xBkGb. 3.1
b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z
sebagai konstanta
c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.
Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan
pengintegralannya menyesuaikan.
Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup
maka untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali,
demikian pula untuk menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f
kontinu. Sehingga bila B balok persegi panjang yang dibatasi. }
x
z
y
b
dc
a
e
f
Gb. 3.2
Bila }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah:
}
Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.
2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3
Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S
himpunan z sederhana dan adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang
xy, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
y
z
Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:
Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya
jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar
3.4 . yang dibatai oleh: , sehingga
dengan integral berulang diperoleh:
=
Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan
urutan-urutan pengintegralannya.
Sxy
x
Sxy
y
x
Gb. 3.3
Gb. 3.4
Sxy
1. Hitung
Jawab :
LATIHAN 4
2. Hitung
Jawab :