integral tak tentu dan integral tertentu
DESCRIPTION
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu. Pengertian Integral. Jika F ( x ) adalah fungsi umum yang bersifat F’ ( x ) = f ( x ), maka F ( x ) merupakan antiturunan atau integral dari f ( x ). Pengintegralan fungsi f ( x ) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Integral Tak Tentudan
Integral Tertentu
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)• c konstanta pengintegralan
cxFdxxf
• Jika f ‘(x) = xn, maka , n ≠ -1, dengan c sebagai konstanta
cxn
xf n
1
1
1
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
cxFdxxf
• di mana
• Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
• c Konstanta
dx
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta.
cxn
dxx nn
1
1
1
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka
dxxfkdxxkf
Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka
, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
cxur
dxxuxu tr 1
1
1'
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
vduuvudv
Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
• dimana c adalah konstanta.
cxx
cxxdx
cxxdx
tancos
1
cossin
sincos
2
...)4( 2.1 52 dxxx
x
dudx
2
cxcuduu 62655 )4(6
1
6
1
2x
du2x u
) ...(1
2.2
3
2
latihanbuatx
dxx
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx
duvvuddvu .).(.
duvvudvu ...
duv dvu.
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
dxx ln dvu.
ln x u dxdux
1
dxx ln dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
nnnnn axaxaxaxa
12
21
10 ......
)(
)()(
xQ
xPxH
22
22)(
23
2
xxx
xxxH
INTEGRAL FUNGSI RASIONALSebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomJika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati”Contoh :
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4
2336
4
1310)(
22
2
24
x
xx
x
xxxxH
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
)(
)(
xQ
xP : ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
)).....()(()( 21 naxaxaxxQ
)(.....
)()()(
)(
2
2
1
1
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
naxxQ )()(
nn
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(.....
)()()(
)(2
21
))(()( 22 fexdxcbxaxxQ
)()()(
)(22 fexdx
DCx
cbxax
BAx
xQ
xP
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
....
2
)1(.1
2dx
xx
x
)1)(2(
)2()1(
12)1)(2(
1
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
dx
xx
x
2
)1(2 23
1
x
dx 13
2
x
dx
cxx |1|ln3
2|2|ln
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A A = 1/3
x = -1 -1 – 1 = B(-1-2) -2= -3B B = 2/3
Jadi,
+
=
....
12
)1(.2
2dx
xx
x
222 )1(
)1(
)1(1)1(
1
x
BxA
x
B
x
A
x
x
dx
xx
x
12
)1(2 1x
dx 2)1(
2x
dx
cx
x
)1(
2|1|ln
x = 1 1 + 1 = B B = 2
mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B 1 = - A + 2 A = 1
Jadi,
+
,222 xba atauxba ,222 222 axb
222 xba zb
ax sin zaxba cos 222
222 xba ztgb
ax zaxba sec 222
222 axb zb
ax sec ztgaaxb 222
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk : ,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
....49
.12
dxx
x
zx sin2
3 zdzdx cos
2
3 cos 349 2 zx
dzz
zdzz
z
zdx
x
x
sin
cos3) cos
2
3(
sin23
cos349 22
dzzdzzec sin3 cos3
cxx
x
2
2
49|2
493|ln3
contoh :
jawab :
,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
dzz
z
sin
sin13
2
....4
.222 xx
dx
ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx
22 4 xx
dx dz
zztg
z
)sec2)(4(
sec22
2
dzz
z2sin4
cos
z
zd2sin
)(sin
4
1c
z
sin4
1c
x
x
4
4 2
jawab :
,
Jadi,
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
Integral TerTentu
b
a
dxxf )(
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
6,6183231255
1
255
1
5
1
5555
25
5
2
5
2
54
xx
dxx
a
a
dxxf 0)(
032325
1
225
1
5
1
5552
25
2
2
2
2
54
xx
dxx
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
6,6183125325
1
525
1
5
1
5552
55
2
5
2
5
54
xx
dxx
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTUKAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( 3093323125
5
1.5
555
5
25
5
2
5
2
54
x
xdxx
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 6,7111.330936,618
555
2
5
2
5
2
4444
dxxdxxdxxx
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183
2
5
3
5
2
444 dxxdxxdxx