Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Atom�zikai Tanszék
Neutronbefogási reakciók szerepének vizsgálata
az r-folyamat hálózatában
Szakdolgozat
Készítette:
Váli Tamás
Témavezet®:
Dr. Horváth Ákos
ELTE TTK Atom�zikai Tanszék
Budapest, 2016
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 2
2. Az r-folyamat egyszer¶sített modellje 4
2.1. Mit hanyagol el a modell? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. A paraméterek megválasztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. A di�erenciálegyenlet-rendszer felállítása . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. A di�erenciálegyenlet-rendszer numerikus megoldásának módszere 10
3. A numerikus pontosság vizsgálata egy egyszer¶ esetben 12
3.1. A Runge�Kutta-módszer els® lépésének el®jele . . . . . . . . . . 14
4. Eredmények 19
4.1. A folyamatok során keletkezett izotópok anyagmennyisége . . . 20
4.2. Egy adott elem eggyel nagyobb rendszámú elemmé történ® át-
alakulásának (β−-bomlás) tömegszám eloszlása . . . . . . . . . . 26
4.3. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mérséklet függése 27
4.4. A 58Fe id®függésének �gyelembevétele . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Összefoglalás 33
6. Köszönetnyilvánítás 34
A. Függelék 35
1
1. Bevezetés
A nukleáris asztro�zika az Univerzumban lezajló mag�zikai folyamatokkal
foglalkozik. Többségük a csillagokban lezajló magreakciók. Ha a csillag kezdeti
tömege nagyobb 15 Naptömegnél, akkor a csillag élete szupernóva-robbanással
végz®dik. Az ilyen jelenség során egzotikus atommagok keletkeznek, melyek
szerkezetét és tulajdonságait napjaink mag�zikai gyorsítóiban kutatják, vagy
a technika még nem jutott el odáig, hogy kutassák. A dolgozatban legtüzete-
sebben vizsgált izotóp a 72Fe. A mi modellünk ezt az izotópot még kötöttnek
veszi, tehát, ha eltalál egy ilyen atommagot egy neutron, akkor az a mag�zikai
id®vel összemérhet® id®n belül vissza is bomlik egy 72Fe atommagba és egy
neutronba. A numerikus szimuláció során legf®képpen arra a kérdésre keressük
a választ, hogy milyen �zikai (szimulációs) paraméterek mellett keletkezik vi-
szonylag sok 72Fe a kezdeti 56Fe-ból egy szupernóva robbanásban el®álló nagy
neutron�uxus hatására.
Az összeroppanó magvú szupernóva-robbanás egy nagyon különleges és lát-
ványos folyamat, amikor is egy hatalmas robbanással egy csillag élete véget ér.
A csillag ekkor már mindegyik fúziós lépcs®fokot átlépte, tehát a magja vasból
áll, és innen kifelé haladva találjuk az egyre kisebb rendszámú elemekb®l álló
héjakat. A robbanást megel®z®en a csillag sugárzási teljesítménye lecsökken,
aminek hatására a gravitációs összehúzódás legy®zi a fotonnyomást, és a csillag
elkezd összehúzódni. Ennek oka, hogy a csillag belsejében egyre több vas hal-
mozódik fel, amit a csillag már nem képes tovább fuzionálni, hiszen a vasnak
van a legnagyobb egy nukleonra jutó kötési energiája. Így bel®le már sehogy
sem vonható ki energia. Az összehúzódást egyedül a degenerált elektrongáz
nyomása lassítja. Amint a gravitáció ezt is legy®zte, a csillag magja összerop-
pan. Az egyre csökken® méret¶ mag h®mérséklete n®, így a fotonok száma is.
Ez alatt a vas atommagok egy része feltörik protonokra, neutronokra, és más
2
nagyobb fragmentumokra. Ez a folyamat a magtól energia elvonással jár, ami
visszafogja a h®mérséklet növekedést, vagyis kevesebb foton bocsátódik ki, így
az összeroppanás tovább gyorsul. Ha az elektrongáz s¶r¶sége elég nagy ahhoz,
hogy a 782 keV -nál nagyobb Pauli-energiát eredményezzen, akkor az elekt-
ronok egy része befogódik protonokba, ami energetikailag kedvez®bb állapot.
A létrejöv® neutronokkal együtt neutrínók is keletkeznek, amelyek ugyancsak
energiát visznek el a magtól, ezzel még tovább növelve az összeomlás sebessé-
gét. Egy bizonyos s¶r¶séget elérve a mag átlátszatlanná válik még a neutrínók
számára is. A s¶r¶ség ezután eléri a maganyag s¶r¶ségének párszorosát, ami-
kor is a mag összenyomhatatlanná válik. Ezen az összeomlás lefékez®dik és
visszapattan, ezzel kifelé induló lökéshullámot létrehozva. A neutrínók egy id®
után hirtelen kiszabadulnak, hiszen a s¶r¶ség már annyira lecsökkent, hogy
a neutrínók képesek áthaladni az anyagon. A kifelé áramló részecskék, töb-
bek között neutronok is, áthaladnak a küls® héjakon, amikor is az r-folyamat
kezdetét veheti.[1],[2]
A disszociált vas atomoknak, valamint az elektronok protonokba való befo-
gódásának eredményeképpen nagyon sok neutron van jelen a magban, így ezek
kirepülése egy óriási neutron�uxust hoz létre. Ezek a neutronok a csillag küls®
héjainak anyagával ütközve elnyel®dnek, az atommagok a neutronokat befog-
ják. Ez elég könnyen lejátszódik, hiszen a neutronokra nem hat a Coulomb-
taszítás, tehát mindenféle nehézség nélkül képesek eljutni az atommagokig. A
folyamat során az elemek összetétele a neutronban gazdag izotópok felé tolódik
el, ameddig el nem bomlanak β−-bomlással. Egy bizonyos neutronszám felett
a keletkez® atommag már nem lenne kötött, így mag�zikai id®n belül vissza is
bomlana az eggyel kisebb tömegszámú izotópba, és egy neutronba. Ez törté-
nik az izotóptérkép szélén lév® atommagokkal. Az egyre nagyobb tömegszámú
izotópok felé haladva a felezési id®k tendenciózusan csökkennek, így egyre na-
3
gyobb eséllyel bomlik el el®bb az izotóp, mintsem, hogy még egy neutront
befogna. Ezzel a folyamattal gyártódnak le a nagyobb rendszámú izotópok.
A neutronbefogások gyors egymásutánja miatt lett ez a folyamat r-folyamat,
azaz rapid (gyors) folyamat. A neutron�uxus csökkenése/megsz¶nése után
a keletkezett neutronban dús radioaktív izotópok addig bomlanának tovább
β−-bomlással, amíg egy stabil neutron-proton számot el nem érnének. [3]
Az r-folyamat több szempontból is nagyon fontos. El®ször is ezzel a folya-
mattal gyártódhatnak le a 56Fe-nál nehezebb elemek egy része, és az összes
209Bi-nál nehezebb hosszú felezési idej¶ elem, melyek nukleáris energiatermelés
szempontjából nagyon is lényegesek. Másodszor pedig az r-folyamat egy na-
gyon jó tesztkörnyezetet ad arra, hogy mag�zikai modelljeinket alkalmazhassuk
ott, ahol fontos, hogy egy elemnél mely izotóp kötött még és mely nem. Ugyan-
is a nagy neutrontöbblettel rendelkez® atommagok tulajdonsága nagyban eltér
a közel stabil atommagokétól, ahol a neutron-proton arány kis rendszámú ele-
mekre közel 50-50%, míg nehezebb elemekre a neutronok részaránya növekszik.
Egyik kérdés, hogy mit hoz létre a sok neutron az atommagban. Érdekes jelen-
ség továbbá, hogy a nagy neutrontöbblet¶ atommagoknál a mágikus számok
nemcsak, hogy eltolódnak, hanem bizonyos esetekben meg is sz¶nnek, tehát
egy eredetileg mágikus neutronszám mégsem lesz mágikus.
2. Az r-folyamat egyszer¶sített modellje
Az r-folyamat nagyon sok összetev®s és nagyon bonyolult, éppen ezért nem
kivitelezhet® a dolgozat keretein belül, hogy egyszer¶sítések nélkül modellez-
zük. Az általunk választott �zikai modell a legf®bb összetev®it tartalmazza az
r-folyamatnak. Ezek a neutronbefogás, és a β−-bomlás. Ezzel a két reakcióval
már nagyon sokféle út alakulhat ki a reakcióhálóban, több elem több izotópja
is létrejöhet. A mi esetünkben a vizsgált reakcióháló 3 elem (Fe, Co, Ni) egyen-
4
ként 15 izotópját tartalmazza (Fe esetén A = 58− 72, Co esetén A = 59− 73
és Ni esetén A = 60 − 74). Az így tehát összesen 45 izotópot tartalmazó
modellben a kezdeti anyageloszlásból a neutronbefogások és β−-bomlások so-
rán kialakul valamilyen új anyageloszlás, ami az adott �zikai paraméterekre is
jellemz®.
A modellünkben 56Fe helyett 58Fe-ból indulunk ki, aminek több oka is van.
El®ször is vegyük észre, hogy a 57Fe, 58Fe és 59Co egy "falat" képez a β−-
bomlásnak, hiszen ezek mind stabil izotópok, tehát ezek nem fognak elbomlani
β−-bomlással, így nem fog keletkezni se 57Co, se 58Co, de 59Ni sem. Másod-
szor, a 57Co, a 58Co és a 59Ni izotópok instabilak, azaz elbomlanak, méghozzá
e−-befogással, ami a modellünkben ugyancsak nincs benne, elhanyagoltuk.
Esetünkben a neutron száms¶r¶ség egy el®re beállított érték, a futás id®-
tartama alatt konstans. Fontos megjegyezni, hogy a numerikus számolás egyik
óriási el®nye abban rejlik, hogy bármilyen neutron száms¶r¶ség id®függés mel-
lett meg tudja oldani a di�erenciálegyenlet-rendszert, amíg ezt analitikusan
nagyon nehéz lenne. Igaz azonban, hogy kis id®intervallumokban konstans ne-
utron�uxust feltéve analitikusan is lehetne tárgyalni a problémát, de ez nagyon
bonyolult képletekre vezetne.
2.1. Mit hanyagol el a modell?
A neutronbefogáson és a β−-bomláson kívül minden más egyéb el lett ha-
nyagolva, tehát például a β-n-bomlások sem szerepelnek a programban. Az
inverz reakciókat is elhanyagoljuk, tehát nem történhet meg olyan, hogy az
egyik reakció a visszafelé irányba is lejátszódjon. Ilyen módon például egy
atommag protonja nem fog elektronbefogással neutronná alakulni, vagyis nem
fog inverz β-bomlásra sor kerülni. Úgy vesszük, hogy a megadott körülmények
között a folyamatok nem egyensúlyiak, tehát csak az egyik irányba játszódnak
5
le. Az n-p reakciókat is elhanyagoltuk, tehát �gyelmen kívül hagyjuk azokat
az eseteket, amikor a bejöv® neutron egy protont kiüt az atommagból.
2.2. A paraméterek megválasztása
A bomlásállandók (λij) a felezési id®kb®l (T1/2) számolhatóak, melyet egy
egyszer¶ Excel fájl hajt végre, az alábbi képletet használva: λ = ln2T1/2
. A
felezési id®ket a Nudat2 [4] internetes adatbázisból nyerjük, melynek sémáját
az 1. ábrán láthatjuk.
1. ábra. A nudat2 internetes adatbázis, a képen az izotóptérkép, melyen a
mágikus proton- és neutronszámok is fel vannak tüntetve
Az egyes izotópok 3 egymás feletti sorban helyezkednek el egészen pontosan
a Z = 26, 27, 28 sorokban. Az egyes izotópok fölé húzva a kurzort az izotópról
fontos adatok jelennek meg, mint az energiájaMeV -ban, a spinje, a paritása, a
felezési ideje és a bomlási módja(i). Ezen atommagok nagy részének a bomlása
6
csak β−-bomlás, de, mint azt már feljebb említettük, a β-n-bomlásokat is β−-
bomlásoknak vettük. A felezési id®ket és a bel®lük számolt bomlási állandókat
az 1. táblázat tartalmazza.
Az izotópok neutronbefogási reakciórátáját egy tudományos cikk eredmé-
nyei alapján számoljuk, melyet Thomas Rauscher és Friedrich-Karl Thiele-
mann publikált [5]. A tanulmány 0, 1 · 109K < T < 10, 0 · 109K h®mérséklet
között illesztette meg a Ne és Bi közötti elemek izotópjainak a reakciórátá-
ját többek között a neutronbefogási reakcióra is. Az illesztést 7 paraméterrel
végezték (a0 . . . a6). A tanulmány letöltése után minden egyes izotóphoz kike-
restem ezt a 7 paramétert. Ezeket kapja meg a program induláskor, melyekb®l
saját maga számolja ki az adott h®mérsékleten vett 〈σv〉 reakciórátákat. Ezt
egy, a tanulmányban megtalálható formula segítségével teszi, melyhez a 7 pa-
ramétert, illetve a h®mérsékletet kell tudni, konkrétan:
NA 〈σv〉 = exp(a0 + a1T−19 + a2T
−1/39 + a3T
1/39 + a4T9 + a5T
5/39 + a6lnT9),
ahol NA az Avogadro-szám és T9 az adott h®mérséklet milliárd (109) kelvinek-
ben mérve. A mi esetünkben a (n,γ) folyamat illesztési paramétereit használ-
tuk, tehát, ahol egy neutront fog be az adott izotóp, és egy fotont sugároz
ki, mellyel leadja a többlet energiáját, vagyis amivel legerjeszt®dik. A tanul-
mány h®mérsékletskáláján az általunk vizsgált izotópok viselkedése a 2. ábrán
látható. A neutronbefogási reakcióráták különböz® viselkedést mutatnak a h®-
mérséklet növekedésével, egy részük csökken, egy részük n®, de összességében
elmondható, hogy az utóbbiból van több.
2.3. A di�erenciálegyenlet-rendszer felállítása
A bejöv® neutronok gyorsan áthaladnak az anyagon. A csillag térbeli héj-
szerkezete el van hanyagolva, ezért nincs térfüggés az egyenletekben, kizárólag
csak id®függés. Kezdeti feltétel: N0 db 58Fe atommagunk van.
7
Izotóp
T1/2
λ(1/s
)Izotóp
T1/2
λ(1/s
)Izotóp
T1/2
λ(1/s
)
58Fe
stabil
059Co
stabil
060Ni
stabil
0
59Fe
44.4
95d
1.80
3·1
0−7
60Co
1925.2
8d
4.16
7·1
0−9
61Ni
stabil
0
60Fe
2.62·1
06y
8.38
3·1
0−15
61Co
1.65
0h
1.16
7·1
0−4
62Ni
stabil
0
61Fe
5.98
m1.
932·1
0−3
62Co
1.50
m7.
702·1
0−3
63Ni
101.
2y
2.17
0·1
0−10
62Fe
68s
1.01
9·1
0−2
63Co
27.4s
2.53
0·1
0−2
64Ni
stabil
0
63Fe
6.1s
1.13
6·1
0−1
64Co
0.30
s2.
310·1
0065Ni
2.51
75h
7.64
8·1
0−5
64Fe
2.0s
3.46
6·1
0−1
65Co
1.16
s5.
975·1
0−1
66Ni
54.6h
3.52
6·1
0−6
65Fe
0.81
s8.
557·1
0−1
66Co
0.20
s3.
466·1
0067Ni
21s
3.30
1·1
0−2
66Fe
440ms
1.57
5·1
0067Co
0.42
5s
1.63
1·1
0068Ni
29s
2.39
0·1
0−2
67Fe
0.40
s1.
733·1
0068Co
0.19
9s
3.48
3·1
0069Ni
11.2s
6.18
9·1
0−2
68Fe
180ms
3.85
1·1
0069Co
229ms
3.02
7·1
0070Ni
6.0s
1.15
5·1
0−1
69Fe
110ms
6.30
1·1
0070Co
108ms
6.41
8·1
0071Ni
2.56
s2.
708·1
0−1
70Fe
71ms
9.76
3·1
0071Co
80ms
8.66
4·1
0072Ni
1.57
s4.
415·1
0−1
71Fe
28ms
2.47
6·1
0172Co
59.9ms
1.15
7·1
0173Ni
0.84
s8.
252·1
0−1
72Fe
≥15
0ns≤
4.62
1·1
0373Co
41ms
1.69
1·1
0174Ni
0.68
s1.
019·1
00
1.táblázat.Afelhasználtizotópok
felezésiidejeés
bom
lásiállandója
8
2. ábra. A neutronbefogási reakcióráták h®mérsékletfüggése, ahol a 72Fe érté-
kei kivastagítva szerepelnek. (Az ábrán a pontok összekötése csak a szemünk
vezetése miatt van)
Az izotópok id®függését kormányzó összefüggés ebben a modellben:
dNij(~vij)
dt=− λijNij(~vij)
+ λi−1,jNi−1,j(~vi−1,j)
− σijΦ(~vn)Nij(~vij)
+ σi,j−1Φ(~vn)Ni,j−1(~vi,j−1),
ahol Nij a (Z,A) = (i, j) izotóp részecskéinek a száma. Termikus feltételek
miatt a sebességeloszlásokat Maxwell-Boltzmann-eloszlással írjuk le, a Füg-
gelékben részletezettek szerint. Így tehát a di�erenciálegyenlet-rendszerünk a
9
következ® alakot ölti:
dNij
dt=− λijNij
+ λi−1,jNi−1,j
− nn 〈σv〉ij Nij
+ nn 〈σv〉i,j−1Ni,j−1,
ahol nn a neutronok száms¶r¶sége, 〈σv〉ij a (Z,A) = (i, j) izotópra vonatkozó
neutronbefogási reakcióráta, Nij pedig a (Z,A) = (i, j) atommagok összes
száma függetlenül a sebességük irányától.
2.4. A di�erenciálegyenlet-rendszer numerikus megoldá-
sának módszere
A fenti di�erenciálegyenlet-rendszer numerikus megoldásához el®ször írtam
egy programot C programozási nyelven, melyben negyedrend¶ Runge�Kutta-
módszert használtam.
Induláskor a program beolvassa a következ® adatokat, mint a kezdeti anyag-
mennyiségek (Nij) (melyek közül a 58Fe-on kívüliek értéke mind 0), a bom-
lásállandók (λij), valamint azok az illesztési paraméterek (a0 . . . a6), amelyek
alapján a program kiszámolja a neutronbefogási reakciórátákat (〈σv〉ij) az
adott h®mérsékleten (T9). Ezután a beolvasott id®lépéssel (∆t) negyedren-
d¶ Runge�Kutta-módszert alkalmazva számolja az izotópok anyagmennyi-
ségeinek id®beli fel- illetve lefutását. A program mindig kiszámolja, hogy a
számunkra legfontosabb izotóp (72Fe) anyagmennyisége hogyan változik. Ha
ez eléri a maximumát, akkor addig fut a program, amíg a maximum 1000-ed
részére nem esik az anyagmennyiség. Ezt azért csinálja így, mert a program
nyomon követi azt is, hogy a futási id® alatt az egyes izotópokból összesen
mennyi keletkezett. Tehát a program lefutása után láthatjuk, hogy az adott
10
kezdeti paraméterekkel mennyi 72Fe és más egyéb izotóp keletkezett. A prog-
ram azt is �gyeli, hogy mennyire marad meg a barionszám. Ez úgy történik,
hogy a program végeztével kiíratódik a numerikus bizonytalanságok miatti
barionszám-megmaradástól való eltérés, tehát a kezdeti- és végs® anyagmennyi-
ségek közötti különbség. Ennek természetesen egzakt esetben 0-nak kellene
lennie, hiszen anyag csak úgy nem keletkezik, viszont a numerikus megoldás
miatt ötödrend¶ hibája lesz a lépéseknek, ami halmozódik. Ha ez a szám a
kezdeti anyagmennyiséghez (N0) képest kicsiny, akkor a program által számolt
eredmények megfelel®en pontosak.
A program a kezdeti adatokat is kiírja a számolt adatokkal együtt, s®t
a számolt értékekhez Gnuplot ábrázoló scriptet is készít. Ezek segítségével
ábrázolja a futtatás során kapott adatokat, majd képként le is menti mindet,
végül beleilleszti egy egységesített PDF-be.
A program képes egymás után többször is lefutni úgy, hogy a kiírandó fáj-
lok neveit automatikusan számozza. Ez azért nagyon hasznos, mert egy adott
h®mérsékleten elég egyszer elindítani a programot. A program ciklusról cik-
lusra más paraméterekkel fut le, változtatja a bejöv® neutronok száms¶r¶ségét
és az id®lépés hosszát is úgy, hogy a program zökken®mentesen végigpásztázza
a szóba jöhet® neutron száms¶r¶ségeket az adott h®mérsékleten. A program
az utolsó ciklus végeztével összesít® ábrát készít, melyben minden egyes cik-
lus 72Fe-vel kapcsolatos eredményét összegzi. Felrajzolja, hogy mennyi 72Fe
keletkezett az egyes neutron száms¶r¶ségek mellett, valamint azt is, hogy a
futtatás során mennyi szimulációs id®nél érte el a 72Fe a maximumát, és mi-
kor csökkent le az 1000-ed részére az anyagmennyiség, amikor is befejez®dött
az aktuális ciklus.
11
3. A numerikus pontosság vizsgálata egy egysze-
r¶ esetben
A numerikus pontosság kérdése felettébb fontos szempont a szimuláció-
nál, hiszen, ha az eredményeinknek túl nagy a hibája, akkor a kapott értékek
semmit nem mondanak a valóságról. A negyedrend¶ Runge�Kutta-módszer,
nevéb®l adódóan, ötödrend¶ hibát ejt minden egyes lépésnél, és ezek a hi-
bák halmozódnak, így feltehet® a kérdés, hogy vajon a végén mekkora hi-
bával kapjuk az adatokat. Nyilván lehet olyan nagy id®lépést adni, hogy a
szimuláció jócskán felül- vagy alulbecsülje a valódi analitikus megoldást. A
Runge�Kutta-módszer akkor m¶ködik jól, ha az id®lépés nagysága megfe-
lel®en kicsi, valamint, ha a függvény valódi változása és a számolt változása
jól egyeznek. Habár csak néhány izotópos esetben tudjuk a valódi változáso-
kat (és az egzakt megoldásokat) kiszámolni (ezért is oldjuk meg sok izotópra
numerikusan, és nem analitikusan), azért tudunk el®re bizonyos általános tu-
lajdonságokat az egzakt megoldásokról. Tudjuk, hogy a megoldásnak mindig a
kezdeti anyagmennyiségek összege és 0 között kell lennie, hiszen anyag nem ke-
letkezik, és negatív anyag triviálisan nincs. Azt is tudjuk, hogy a megoldás az
els® izotópot leszámítva különböz® mértékben lecseng® exponenciális függvé-
nyek összege. Az els® izotóp egyetlen egy exponenciálisan lecseng® függvény. A
különböz® lecsengés¶ exponenciális függvények összege egy kell®en sima függ-
vény, amelynek a 0-ból indulva van egy felfutása (általában egyre növekv®,
majd csökken® felfutása), majd egy maximuma, végül egy egyre csökken® mér-
ték¶ lefutása, ami a 0-hoz tart. Ezek alapján tehát tudjuk, hogy a függvény
nem ugrál összevissza, legnagyobb meredekség változása a maximuma körül
van, ahol a derivált el®jelet vált. Továbbá kvantitatív tulajdonságokat el®re
nem tudunk megállapítani.
12
Mint azt már említettük, csak viszonylag kevés izotópra lehet belátható
id®vel és munkával kiszámolni az analitikus megoldásokat. Éppen ezért a nu-
merikus pontosságot egy 3 izotópos esettel szimulált programmal vizsgáljuk.
Ebben 3, egymást neutronbefogással követ® izotóp van beprogramozva, melyek
még β−-bomlással is képesek elbomlani. A program induláskor 3 anyagmennyi-
séget, 3 bomlási állandót, 3 neutronbefogási reakciórátát, a lépésközt és a szi-
mulációs id®t kéri be, mint kezdeti paraméterek. A program ebben az esetben
is negyedrend¶ Runge�Kutta-módszerrel számolja az izotópok anyagmennyi-
ségeinek id®beli alakulását. Azonban a f®programtól eltér®en, itt megkapjuk
az egzakt megoldást is, s®t az ett®l való eltérésekkel χ2-próbát hajtunk vég-
re. A χ2-próba jó módszer arra, hogy kvantitatív tulajdonságot kapjunk az
analitikus- és numerikus megoldás eltérésének mértékér®l. A módszer lényege,
hogy minden egyes lépésben kiszámolja a kapott numerikus eredmény négy-
zetes eltérését az ebben a pontban érvényes analitikus megoldástól, és ezeket
összeadja a futás ideje alatt. A program a χ2 id®függését is ábrázoltatja ké-
s®bb Gnuplottal, amin láthatjuk, hogy a négyzetes eltérés legnagyobb részét
mikor szedte össze a kapott végs® χ2. Ha a 3 közül bármelyik χ2 nagyságrendje
megegyezik a kezdeti anyagmennyiség négyzetének nagyságrendjével, akkor az
azt jelenti, hogy a program nagyon eltért az analitikus megoldástól. A χ2-en
kívül a program a pontok számával súlyozott χ2n-eket is kiszámolja és ezekr®l
is készít ábrát.
A program minden adatról készít ábrázoló Gnuplot scripteket, valamint
ezeket meg is nyitja, és képeket is ment le futása során, melyeken mind az
egzakt, mind a numerikus megoldás rajta van, valamint az imént említett χ2-
ek és χ2n-ek is.
13
3.1. A Runge�Kutta-módszer els® lépésének el®jele
A 3 izotópos modellben a 3 di�erenciálegyenlet illetve azok kezdeti értékei:
y1 = −b1y1,
y2 = −b2y2 + σ1Φy1,
y3 = −b3y3 + σ2Φy2,
y1(t = 0) = 1 | y2(t = 0) = 0 | y3(t = 0) = 0,
ahol bi = λi+σiΦ és a pont jelöli az id® szerinti deriválást. A lefutás pontossága
nagyban függ a kezdeti paraméterekt®l, f®leg a lépésközt®l (∆t). Kiszámolva
az 1. illetve 2. egyenlet els® lépésbeli változását az alábbi két összefüggés
adódik:
∆y1 =− b1∆t+ ∆t2(
1
2b2
1
)−∆t3
(1
6b3
1
)+ ∆t4
(1
24b4
1
),
∆y2 =σ1Φ∆t−∆t2[
1
2σ1Φ(b1 + b2)
]+ ∆t3
[1
6σ1Φ(b2
1 + b1b2 + b22)
]−∆t4
[1
24σ1Φ(b3
1 + b21b2 + b1b
22 + b3
2)
].
Ebb®l a két egyenletb®l megtudhatjuk, hogy milyen kritikus ∆t-nél vált el®-
jelet az y1 vagy az y2 els® Runge�Kutta lépésbeli deltája. Ez azért lényeges,
mert ennél a ∆t-nél romlik el a szimuláció olyan mértékben, hogy az már tel-
jesen valótlan eredményeket ad ki. Mint láthatjuk, ezek az egyenletek ∆t-ben
negyedfokúak, és míg az els® egyenletnek pozitív a vezet® tagja, a másodiknak
negatív. Mivel az els® egyenlet y1 = 1-r®l, a második egyenlet y2 = 0-ról indul,
így azt várnánk a di�erenciálegyenletük alapján, hogy y1 csökkenni fog, míg y2
az elején n®ni, majd csökkenni. Ennek ellenére egy bizonyos ∆t fölött az els®
egyenlet biztos, hogy ∆y1 > 0-t fog adni, míg a második egyenlet ∆y2 < 0-
t. Ez egy módszert adhat az ideális ∆t meghatározására ebben az egyszer¶
14
modellben. A bemeneti adatokból ezek a negyedfokú egyenletek egyértelm¶en
megoldhatók, és a valós gyökök segítségével a ∆t megadható, hogy a program
kell®en gyorsan és pontosan fusson le. A sok izotópos esetben már sokkal ne-
hezebb dolgunk van, hiszen ott nem oldjuk meg egzaktul az egyenleteket, és
így az ideális ∆t-t sem tudjuk. Az egyenleteknek van egy triviális gyöke, ez
pedig a 0. Ezzel a ∆t-vel leosztva az egyenleteket harmadfokúra redukáltuk
®ket. Egy harmadfokú egyenletnek mindig van legalább egy valós gyöke, ha
nem egy, akkor három.
Konkrét eset:
Egy konkrét esetben használt futási paramétereket a 2. táblázat tartalmaz-
za. A 2. táblázatban leírt adatokkal a ∆y2 még pozitív, de ∆t = 25,5 esetén
σ1 = 0,05; σ2 = 0,005; σ3 = 0,005;
λ1 = 0,0005; λ2 = 0,005; λ3 = 0,05;
Φ = 2; ∆t = 25;
2. táblázat. Futási paraméterek
már negatív, valamint ∆y1 még negatív ∆t = 27,5-nél, viszont ∆t = 28-nál
már pozitív.
A következ® ábrákon láthatjuk, hogy ezt a futtatás valóban visszaadja (3.-6.
ábrák):
15
3. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 25 s-nál
4. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 25,5 s-nál
16
5. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 27,5 s-nál
6. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 28 s-nál
17
A futás legvégén a program még egy ábrát kiad, amin a χ2-ek szerepelnek
a ∆t függvényében. Ennek a bizonyos esetnek az összesít® ábrája a 7. áb-
rán látható, ahol a ∆t függvényében a χ2 az elején nagyon megindul, majd
lankásodik, végül a kezdeti anyagmennyiség (1) elérésével, és utána megint-
csak rohamosan növekedni kezd, amikor is elszállnak a numerikus értékeink az
analitikus megoldásoktól.
7. ábra. A χ2(∆t) függvény ebben a speciális esetben.
Tehát a számunkra megfelel®, kell®en pontos lépéshossz értéke ∆t ≈ 10 s,
ahol a legnagyobb χ2 értéke olyan 10−5 − 10−6, mert ennek gyökéb®l adódik,
hogy nagyjából 1%-nál kisebb hibát ejtünk.
18
4. Eredmények
A szimulációk során kapott összes PDF fájlom megtalálható a következ®
webcímen: http://atom�zika.elte.hu/akos/tezisek/szd/ext/vt/
Összefoglalva, hogy mir®l kapunk információt a program lefuttatásával:
� Minden izotóp anyagmennyiségének id®függése, ábrák mind lineáris- és
logaritmikus skálán.
� Minden izotóp β−-bomlással elbomlott anyagmennyiségének id®függése.
� Minden izotóp neutronbefogással átalakult anyagmennyiségének id®füg-
gése.
� Minden izotóp β−-bomlás és neutronbefogási ráta hányadosa(
λ〈σv〉nn
).
� Minden izotóp teljes futtatási id® alatt β−-bomlással és neutronbefogás-
sal elbomlott anyagmennyisége, oszlopdiagramon ábrázolva logaritmikus
skálán.
� Minden izotóp teljes futtatási id® alatt β−-bomlással és neutronbefogás-
sal keletkezett anyagmennyisége, oszlopdiagramon ábrázolva logaritmi-
kus skálán, összegükkel együtt.
� Az izotópok reakcióhálózatának ábrája.
� A 72Fe keletkezett anyagmennyiségének alakulása a neutronok száms¶-
r¶ségének függvényében.
� A 72Fe anyagmennyiség maximumának id®pontja és a maximum 1000-ed
részének elérésének az id®pontja, egy ábrán ábrázolva.
19
� A 72Fe keletkezett anyagmennyiségének alakulása a neutron száms¶r¶ség
és a h®mérséklet függvényében, 2- és 3-dimenziós ábrával.
Minden futtatást úgy végeztünk, hogy a kezd® anyagmennyiség 1 58Fe volt.
A darabszámok a 58Fe kezdeti darabszámához viszonyított relatív értékben
lettek kezelve.
4.1. A folyamatok során keletkezett izotópok anyagmennyi-
sége
Az izotópok anyagmennyiségének egy tipikus lefutását a 8. ábrán tekint-
hetjük meg. Ránézésre is elhihet®, hogy az izotópok id®függése exponenciális
függvények összege.
Egy izotóp kétféleképpen keletkezhet: β−-bomlással és neutronbefogással.
A β−-bomlással való keletkezéshez az kell, hogy legyen egy eggyel kisebb rend-
számú izotóp, ami elbomlik, tehát, ha van is ilyen izotóp, a bomlási-állandója
(λ) akkor sem lehet 0, vagyis nem lehet stabil. Ebb®l egyb®l következik, hogy
az általunk vizsgált izotópok közül a Fe atommagok nem keletkezhetnek β−-
bomlással, hiszen nem vizsgáljuk azokat az izotópokat, amelyekb®l ezek kelet-
kezhetnének.
Neutronbefogással akkor keletkezhet egy izotóp, ha van egy eggyel kisebb
tömegszámú (neutronszámú) izotóp, amely egy neutront befogva átalakul. Így
tehát egyértelm¶, hogy az általunk vizsgált izotópok közül a 58Fe, 59Co és
60Ni nem keletkezhet ilyen módon, mivel a szimulált izotóptérkép-részlet bal
szélén vannak.
A T9 = 1,3 esetben lefuttatott szimuláció néhány végeredménye a 9. ábrán
tekinthet®ek meg. Látható, hogy kisebb neutron száms¶r¶ség esetén keve-
sebb neutronban gazdag Fe atommag keletkezik. A Co és Ni izotópok anyag-
20
8. ábra. Az egyes izotópok keletkezése a teljes futási id® alatt nn = 6,309573 ·
1022 m−3-nál.
mennyisége legtöbb esetben azonban n®tt, ami annak tudható be, hogy sokkal
hosszabb ideig futott a szimuláció a kisebb neutron száms¶r¶ségek esetén.
Az egyes izotópok neutronbefogással és β−-bomlással átalakult anyagmennyi-
ségei alapján elkészíthet® a szimulált izotópokat jellemz® reakcióháló. Erre pél-
dát a 10. ábrán láthatunk. A két képet összehasonlítva látható, hogy nagyobb
neutrons¶r¶ség esetén nagyobb tömegszámú (neutronszámú) Fe atommagokig
jutunk a kezdeti 58Fe-ból.
A 72Fe-r®l külön összesít® ábra készült a neutron száms¶r¶ség függvényé-
ben, hiszen ezt az izotópot jelöltük ki, mint az izotóptérkép szélén álló Fe
izotóp, tehát ennél nagyobb tömegszámú (neutronszámú) Fe izotóp már nem
21
9. ábra. Az egyes izotópok keletkezése külön β−-bomlással és külön neutron-
befogással, valamint a kett® összege a teljes futási id® alatt nn = 1024 m−3-nál
és nn = 6, 309573 · 1018 m−3-nál.
22
10. ábra. Az izotópok reakcióhálója nn = 1024 m−3-nál és nn = 6,309573 ·
1018 m−3-nál. A nyilak vastagsága arányos az azon a csatornán elbomlott
anyag mennyiségével.
23
jöhet létre, mert nem lenne kötött, és egyb®l visszaalakulna 72Fe-vé. Az ugyan-
ezen h®mérsékleten (T9 = 1,3) készült 72Fe neutron száms¶r¶ség függését a 11.
ábra szemlélteti. Az eredmény intuitív, ugyanis nagyobb neutron száms¶r¶ség
esetén több 72Fe keletkezik abból az okból kifolyólag, hogy nagyobb eséllyel
jutnak el az izotópok a nagyobb tömegszám (neutronszám) felé, még miel®tt
elbomlanának (ezt jellemzi a(
λ〈σv〉nn
)arány). Kisebb neutron száms¶r¶ség
esetén a Fe el®bb elbomlik Co-ba, mintsem, hogy kell® mennyiség¶ neutront
befogva 72Fe-vé alakuljon.
11. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség függése T9 = 1,3 h®mér-
sékleten.
Ezen izotóp anyagmennyiségének id®függése határozza meg a szimuláció
leállását, hiszen, ha az anyagmennyisége eléri a maximumának 1/1000-ed ré-
szét, akkor a szimuláció véget ér. Éppen ezért a program feljegyzi a maximum
24
anyagmennyiség értékét és bekövetkezésének id®pontját is minden egyes neut-
ron száms¶r¶ségnél, majd ezt kés®bb ábrázolja is logaritmikus skálán. Ez azért
fontos, mert így láthatjuk, hogy milyen gyorsan esik a 72Fe anyagmennyisége
miután elérte a maximumát, ami a 72Fe β−-bomlásából adódik. A 12. ábrán
láthatjuk az el®z®ekkel azonos futásból született adatokat. Az ábrán látha-
tó, hogy nagy neutron száms¶r¶ségek esetén a 72Fe viszonylag hamar eléri a
maximumát, viszont utána nagyon lassan bomlik el az 1/1000-ed részére, ami
nagyban megnöveli a futási id®t.
12. ábra. A szimulációs id® és a 72Fe anyagmennyiség maximumának neutron
száms¶r¶ség függése T9 = 1,3 h®mérsékleten.
25
4.2. Egy adott elem eggyel nagyobb rendszámú elemmé
történ® átalakulásának (β−-bomlás) tömegszám elosz-
lása
Az adott tömegszámú β−-bomlások száma egy adott elemnél azt jelenti,
hogy ennyi részecske már biztosan nem éri el a nagyobb tömegszámokat. A
program számolja, hogy mennyi β−-bomlás történik minden egyes id®lépésben
izotóponként külön-külön, tehát úgymond integrálja az egyes izotópok aktivi-
tását a teljes futási id®re. A program a futása végén egy Gnuplot scriptet is
készít, aminek segítségével oszlopdiagramon ábrázolja az egyes izotópok β−-
bomlás eloszlását. Mivel mindig csak 1 58Fe-ból indulunk ki, így minden egyes
elem 15 − 15 − 15 izotópjának esetén a β−-bomlások száma az 1-hez fog tar-
tani, hiszen az összes Fe izotóp elbomlik Co izotópokká, majd ezek tovább
bomlanak Ni izotópokká, amelyek végül ugyanígy elbomlanak. Azért csak tart
az 1-hez, mert ehhez a programnak megfelel®en sokáig kell futnia, hogy az
összes Fe atommag el tudjon bomlani Co atommagokká, és így tovább. Ez
természetesen nem mindig valósul meg, ugyanis mi a 72Fe anyagmennyiségét
�gyeljük, ez határozza meg a futási id®t. Tehát összességében elmondható,
hogy az egyes elemek izotópjainak aktivitás integráljainak az összege a Fe-tól
a Ni-ig csökken® nagyságú lesz.
Most nézzük meg, hogy milyen tendenciát várunk az izotópok β−-bomlás
eloszlására különböz® neutron száms¶r¶ségeken (nn). Minél nagyobb a neut-
ron száms¶r¶ség egy adott h®mérsékleten, annál nagyobb valószín¶séggel fog
be egy neutront egy atommag, és nem lesz elég ideje β−-bomlással elbomlani,
hiszen a neutron száms¶r¶ség növelésével egyre kisebb id® telik el két neutron
befogása között. Felhasználva azt is, hogy a nagyobb tömegszámú izotópok fe-
lezési ideje tendenciózusan csökken, elmondható, hogy a neutron száms¶r¶ség
növelésével a kisebb tömegszámú izotópok legvalószín¶bben neutronbefogást
26
szenvednek, míg a nagyobb tömegszámú izotópok β−-bomlással elbomlanak.
Ahogy csökken a neutron száms¶r¶ség, az egész jelenség megfordul, és egy
elem kisebb tömegszámú izotópjainál már nagyobb valószín¶séggel megtörté-
nik a β−-bomlás, így ezen elem nagyobb tömegszámú izotópjaiba kevesebb
anyagmennyiség alakul át, tehát ezek kevesebbet fognak β−-bomlani.
Az eredményekr®l készült képek közül kett®t, melyek két nagyon eltér®
neutron száms¶r¶ség esetén készültek, a 13. ábrán tekinthetjük meg. Az ábrán
láthatjuk, hogy a bejöv® neutron száms¶r¶ség növelésével a kisebb tömegszámú
(neutronszámú) Fe atommagok gyorsabban elbomlanak neutronbefogással, így
a kisebb tömegszámú (neutronszámú) Co és Ni atommagok anyagmennyisége
csökken, amib®l kifolyólag ezek már kevesebbet bomlanak.
4.3. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mér-
séklet függése
A számunkra legfontosabb izotóp a 72Fe, ugyanis ennek a keletkezését sze-
retnénk maximalizálni. Olyan környezetet keresünk, ahol ezen izotópból kell®-
en sok keletkezik az esetleges kés®bbi vizsgálatok miatt. Éppen ezért a prog-
ram többször futtatja le önmagát egymás után, a megadott ciklusszámszor,
végigpásztázva így a számunkra fontosabb neutron száms¶r¶ségeket egy adott
h®mérsékleten. A különböz® h®mérsékleteken kapott végs®, összesít® adato-
kat, ha ábrázoljuk, akkor láthatjuk, hogy ugyanannyi 72Fe keletkezéséhez egy
adott neutron száms¶r¶ség esetén mekkora h®mérséklet szükséges, vagy for-
dítva, egy adott h®mérséklet esetén mekkora neutron száms¶r¶ség. Ezekr®l az
adatokról 2- és 3 dimenziós illusztrálást találunk a 14. ábrán. Ezen azt lát-
hatjuk, hogy a h®mérséklet növelésével a 72Fe keletkezésének felfutó szakasza
egyre jobban eltolódik a kisebb neutron száms¶r¶ségek felé, ahol bes¶r¶södik,
melyet a kinagyított kép mutat. Mint az látható, a h®mérséklet növelésével
27
13. ábra. A β−-bomlások és neutronbefogások alakulása a teljes futási id® alatt
nn = 1024 m−3-nál és nn = 1019 m−3-nál.
28
egy bizonyos h®mérsékletig (T9 = 1,3) a szükséges neutron száms¶r¶ség csök-
ken, majd újra elkezd n®ni, így már a T9 = 1,6 a T9 = 1,0 és T9 = 1,1 közé
csúszik. Az utolsó, 15. ábrán a 14. ábra 3-dimenziós alakja látható.
14. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mérséklet függésé-
nek 2 dimenziós ábrája, valamint ennek egy kinagyított részlete
4.4. A 58Fe id®függésének �gyelembevétele
Pontosíthatunk a szimulációnkon, ha �gyelembe vesszük a 58Fe id®fejl®dé-
sét, tehát ha nem 1 anyagmennyiség¶ 58Fe-b®l indulunk. Ezt megtehetjük,
29
15. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mérséklet függésé-
nek 3 dimenziós ábrája.
hiszen, mint azt már említettük, a 56Fe és a 57Fe is stabil, tehát nem bom-
lanának el a Co vagy Ni felé. A szupernóvák magjában valójában 56Fe van,
ami csak neutronbefogással képes átalakulni, ekkor 57Fe lesz bel®le. A 57Fe
szintén csak neutronbefogással képes elbomlani, ekkor lesz bel®le 58Fe. Így a
30
58Fe id®függése könnyen megadható. A következ®t kapjuk eredményül [7]:
N58(t) =N0,56〈σv〉56 〈σv〉57
(〈σv〉56 − 〈σv〉57) (〈σv〉57 − 〈σv〉58) (〈σv〉58 − 〈σv〉56)·
· [(〈σv〉58 − 〈σv〉57) e−〈σv〉56nnt
+ (〈σv〉56 − 〈σv〉58) e−〈σv〉57nnt
+ (〈σv〉57 − 〈σv〉56) e−〈σv〉58nnt],
ahol 〈σv〉i az i tömegszámú Fe izotóp neutronbefogási rátája, valamint N0,56
a kezdeti 56Fe anyagmennyisége. A továbbiakban ezt 1-nek vesszük. A kijött
eredményt jobban szemügyre véve láthatjuk, hogy az exponenciálisok együtt-
hatói függetlenek a neutron száms¶r¶ségt®l.
Az eddig használt program annyiban módosul, hogy a 56Fe és 57Fe reakci-
órátáinak kiszámításához szükséges együtthatókat is megkapja. Ebb®l kiszá-
molja az exponenciális függvények együtthatóit, tehát az egész függvényt. A
program továbbra is számolja a 58Fe anyagmennyiségének id®beli változását
Runge�Kutta-módszerrel, azonban minden egyes lépésnél végül a valódi, el®bb
kiszámolt függvény alapján határozza meg az anyagmennyiséget.
Elméletileg, ha végtelen ideig fut a program, akkor addigra az összes 56Fe
elbomlik (minden izotóp elbomlik, ami nem stabil), tehát ugyanúgy részt vett
az 1 anyagmennyiség¶ Fe a szimulációban, csak kisebb adagokban folyt be a
�zikai rendszerünkbe.
Miután ez is be lett programozva, vizsgálhatjuk, hogy mennyiben térnek
el az eddigi eredményekt®l a már így kapott adatok. A 72Fe keletkezésének
neutron száms¶r¶ség függését T9 = 1,3 h®mérsékleten a két különböz® futás
esetén a 16. ábra mutatja. Az ábrán látható, hogy viszonylag alacsony neutron
száms¶r¶ség esetén alig van eltérés, bár nagyobb értékekre sem túl nagy. Egy
lényeges eredmény, hogy, ha van id®függése a 58Fe keletkezésének, akkor a
72Fe anyagmennyisége valamivel 1 alatt tet®zik. Ez érthet® is, hiszen szinte az
31
összes kezdeti 58Fe a nagy neutron száms¶r¶ség miatt pillanatok alatt 72Fe-vé
alakul, ahogy bekerül �zikai rendszerünkbe.
16. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség függése a két különböz®
modell esetén.
32
5. Összefoglalás
A dolgozatomban az összeroppanó magvú szupernóva robbanások során
lejátszódó r-folyamatot taglaltam. A folyamatban lezajló reakciók tanulmá-
nyozása érdekében egy C nyelven írt programot is készítettem, mellyel több
szimulációt is lefuttattam. Ezek eredményeit, és az ezekb®l levonható követ-
keztetéseket tárgyaltam feljebb. A dolgozat f® kérdése az volt, hogy milyen
paraméterek mellett lényeges a 72Fe izotóp keletkezése. A szimulációkból arra
lehet következtetni, hogy ebben a két egyszer¶ modellben 1,3 milliárd kelvin
körül 1021 m−3-os neutron száms¶r¶ség felett szigni�káns a keletkezett 72Fe
anyagmennyisége. Kisebb h®mérsékleteken nagyságrendekkel több neutronra
van szükség ugyanannyi anyagmennyiség eléréséhez. A nagyobb h®mérsékletek
felé haladva a szükséges neutron száms¶r¶ség lassan n®. Nem tudunk hosszabb
távú következtetést levonni, mert csak 1,6 milliárd kelvinig futtattam szimu-
lációkat, ugyanis 1 milliárd kelvin felett és alatt a futási id® rohamosan n®tt.
Ennek oka valószín¶leg az volt, hogy a reakcióráták több nagyságrenddel el-
térnek egymástól, így viszonylag kicsi lépésközt kell alkalmazni a pontosság
meg®rzése érdekében, ami nagyon megnöveli a futási id®t.
Ha szeretnénk további reakciókat is bevenni a modellünkbe, akkor azzal
párhuzamosan a számítási kapacitás is n®ni fog, és még tovább fog tartani
egy szimuláció. Ennek érdekében ajánlatos lenne komolyabb számítógépeket
használni, amelyek ellen tudják súlyozni ezt a futási id® növekedést.
33
6. Köszönetnyilvánítás
Szeretnék köszönetet mondani Dr. Csótó Attila professzor úrnak, aki nélkül
a (Termikus) reakcióráták levezetése cím¶ rész nem jöhetett volna létre.
Köszönettel tartozom Dr. Fülöp Zsolt igazgató úrnak, akinek az óráján
több hasznos információval gyarapodtam az r-folyamattal kapcsolatban, ami-
nek nagy hasznát vettem a bevezetés megírásában.
Továbbá nagy hálával tartozom témavezet®mnek Dr. Horváth Ákosnak, aki
hosszú ideje jó irányba terelgette egyetemi tanulmányaimat, és így, szakdolgo-
zatom megvalósításában is meghatározó szerepe volt. Egy kit¶n® tanárral és
emberrel ismerkedtem meg.
Végül, de nem utolsó sorban szeretném megköszönni szüleimnek és csalá-
domnak a tanulmányaim kezdete óta nyújtott szüntelen lelki- és anyagi támo-
gatást.
34
A. Függelék
(Termikus) reakcióráták levezetése
Az ebben a fejezetben ismertetett elméleti levezetésben való segítséget sze-
retném még egyszer megköszönni Dr. Csótó Attila professzor úrnak.
Legyen 2 fajta részecskénk, egy A típusú és egy B típusú. A mi esetünkben
ez egy neutron és egy atommag. A neutronok valamilyen jA árams¶r¶ség-
gel haladnak át a B típusú atommagokon, aminek következtében egy reakció
lezajlik, nevezetesen egy neutronbefogás.
A másodpercenkénti reakciók számát megkapjuk, ha a jA-t megszorozzuk a
reakció hatáskeresztmetszetével (σAB), valamint a jelenlév® B atomok számával
(NB).
A jA kifejezhet® az alábbi módon:
jA =NA
A∆t=
NA
A∆sv
=NA
Vv = nAv,
ahol A a felület, v a neutronok sebessége, V a térfogat, ahol a reakció lezajlik
(azok az A típusú magok, amelyek ∆t id®intervallumban eljutnak a céltárgyig)
és nA az A típusú atomok száms¶r¶sége. Ezek felhasználásával a ráta:
R =jAσABNB
V= nAvσABnB =
1
1 + δABnAnB 〈σ(E)v〉 ,
ahol a δAB-re azért van szükség, hogy, ha ugyanolyan részecskéink vannak,
akkor az anyagmennyiségeket le kell felezni, valamint 〈σ(E)v〉 a pár reakcióráta
a h®mozgás E energiája szerint függ, és a v sebességekre ki van átlagolva.
Nem relativisztikus részecskéket feltételezve a sebességeloszlást a Maxwell�
Boltzmann-eloszlás írja le:
Φ(~v)d3~v =
(m
2πkBT
)3/2
e− mv2
2kBT d3~v,
35
ahol m a részecske tömege és kB a Boltzmann-faktor. Az eloszlás s¶r¶ségfügg-
vénye természetesen 1-re normált:∫Φ(~v)d3~v = 1.
H®mérsékleti egyensúlyban 2 részecske esetén bármilyen mennyiségnek az át-
laga a következ®képpen írható fel:
〈A〉 =
∫AΦ(~v1)d3 ~v1Φ(~v2)d3 ~v2,
ahol A függhet a ~v1-t®l és a ~v2-t®l is, de esetünkben csak a sebességkülönbség
abszolút értékét®l függ. Mivel h®mérsékleti egyensúlyt feltételezünk, így a két
s¶r¶ségfüggvény:
Φ(~v1) =
(m1
2πkBT
)3/2
e−m1v
21
2kBT ,
Φ(~v2) =
(m2
2πkBT
)3/2
e−m2v
22
2kBT .
Az integrál kiszámításához áttranszformáljuk a változókat, áttérünk tömegkö-
zépponti rendszerbe, tehát a két új változónk:
~v = ~v2 − ~v1 és ~V =m1 ~v1 +m2 ~v2
m1 +m2
=m1 ~v1 +m2 ~v2
M,
ahol M a részecskék együttes tömege, ~v a részecskék egymáshoz viszonyított,
relatív sebessége, míg ~V a közös tömegközéppont sebessége. Ezekkel kifejezzük
v21-et és v
22-et:
v21 = V 2 +
m22
M2v2 − 2
m2
M~V ~v és v2
2 = V 2 +m2
1
M2v2 + 2
m1
M~V ~v.
Ezekkel felírva az integrál:
〈A〉 =
∫A(v)Φ1(~v, ~V )Φ2(~v, ~V ) |J| d3~vd3~V ,
36
ahol |J| a Jacobi-determináns, ami esetünkben 1. A valószín¶ség s¶r¶ség tény-
leges alakját beírva:
〈A〉 =
(m1
2πkBT
)3/2(m2
2πkBT
)3/2 ∫A(v)e
−m1
(V 2+
m22
M2 v2−XXX2
m2M
~V ~v
)2kBT ·
· e−m2
(V 2+
m21
M2 v2+XXX2
m1M
~V ~v
)2kBT d3~vd3~V
m1m2M≡µ
=
(M
2πkBT
)3/2(µ
2πkBT
)3/2 ∫A(v)·
· e−MV 2
2kBT e− µv2
2kBT d3~vd3~V .
Esetünkben A(v) = σ(E)v, ami nem függ ~V -t®l, tehát a ~V szerinti integrál
elvégezhet®, ami az együtthatójával együtt 1-re normált. Tehát kapjuk:
〈σv〉 =
(µ
2πkBT
)3/2 ∫e− µv2
2kBT σ(E)vd3~v.
Mivel a mi esetünkben az integrál valójában izotróp rendszer, így az csak a ~v
nagyságától (|~v|) függ. Tehát az integrálási mérték a következ®képpen alakul:
d3~v = 4πv2dv.
Ezt az integrálba helyettesítve:
〈σv〉 = 4π
(µ
2πkBT
)3/2 ∫ ∞0
e− µv2
2kBT σ(E)v3dv.
Az energia sebességfüggésének felhasználásával áttérhetünk energia szerinti in-
tegrálásra a következ® módon:
E =1
2µv2 ⇒ v2 =
2E
µ⇒ 2vdv =
2
µdE ⇒ dv =
1
µvdE,
amit visszahelyettesítve az integrál végs® alakját kapjuk:
〈σv〉 =
(8
πµ
)1/2
(kBT )−3/2
∫ ∞0
e− EkBT σ(E)EdE.
Ezek az értékek számolhatók Thomas Rauscher és Friedrich-Karl Thielemann
publikációjából. [5]
37
Hivatkozások
[1] Szücs Tamás, A nukleáris asztro�zikai r-folyamat fontosabb mag-
reakcióinak vizsgálata, Eötvös Loránd Tudományegyetem, 2008
[2] Izsák Rudolf, A 8Li→7 Li+n Coulomb-disszociációs magreakció
kísérleti vizsgálata, Eötvös Loránd Tudományegyetem, 2014
[3] F.-K. Thielemann, F. Brachwitz, C. Freiburghaus, E. Kolbe, G.
Martinez-Pinedo, T. Rauscher, F. Rembges, W.R. Hix, M. Li-
ebendoerfer, A. Mezzacappa, K.-L. Kratz, B. Pfei�er, K. Lan-
ganke, K. Nomoto, S. Rosswog, H. Schatz, M. Wiescher, Element
Synthesis in Stars, Progress in Particle and Nuclear Physics, 2001
[4] NuDat 2.6, National Nuclear Data Center (NNDC),
www.nndc.bnl.gov/nudat2/
[5] Thomas Rauscher & Friedrich-Karl Thielemann, Astrophysical
reaction rates from statistical model calculations, Departement
für Physik und Astronomie, Universität Basel, 2000, Academic
Press
[6] X. D. Xu, B. Sun, Z. M. Niu, Z. Li, Y.-Z. Qian, J. Meng, Re-
examining the temperature and neutron density conditions for
r-process nucleosynthesis with augmented nuclear mass models,
2012, Physical Review C
[7] Vértes Attila, Magkémia, Egyetemi jegyzet
38
NYILATKOZAT
Név:
ELTE Természettudományi Kar, szak:
NEPTUN azonosító:
Szakdolgozat címe:
A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a
dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és
idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a
megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.
Budapest, 20 _______________________________
a hallgató aláírása