Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Atom�zikai Tanszék

Neutronbefogási reakciók szerepének vizsgálata

az r-folyamat hálózatában

Szakdolgozat

Készítette:

Váli Tamás

Témavezet®:

Dr. Horváth Ákos

ELTE TTK Atom�zikai Tanszék

Budapest, 2016

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 2

2. Az r-folyamat egyszer¶sített modellje 4

2.1. Mit hanyagol el a modell? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. A paraméterek megválasztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. A di�erenciálegyenlet-rendszer felállítása . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. A di�erenciálegyenlet-rendszer numerikus megoldásának módszere 10

3. A numerikus pontosság vizsgálata egy egyszer¶ esetben 12

3.1. A Runge�Kutta-módszer els® lépésének el®jele . . . . . . . . . . 14

4. Eredmények 19

4.1. A folyamatok során keletkezett izotópok anyagmennyisége . . . 20

4.2. Egy adott elem eggyel nagyobb rendszámú elemmé történ® át-

alakulásának (β−-bomlás) tömegszám eloszlása . . . . . . . . . . 26

4.3. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mérséklet függése 27

4.4. A 58Fe id®függésének �gyelembevétele . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Összefoglalás 33

6. Köszönetnyilvánítás 34

A. Függelék 35

1

1. Bevezetés

A nukleáris asztro�zika az Univerzumban lezajló mag�zikai folyamatokkal

foglalkozik. Többségük a csillagokban lezajló magreakciók. Ha a csillag kezdeti

tömege nagyobb 15 Naptömegnél, akkor a csillag élete szupernóva-robbanással

végz®dik. Az ilyen jelenség során egzotikus atommagok keletkeznek, melyek

szerkezetét és tulajdonságait napjaink mag�zikai gyorsítóiban kutatják, vagy

a technika még nem jutott el odáig, hogy kutassák. A dolgozatban legtüzete-

sebben vizsgált izotóp a 72Fe. A mi modellünk ezt az izotópot még kötöttnek

veszi, tehát, ha eltalál egy ilyen atommagot egy neutron, akkor az a mag�zikai

id®vel összemérhet® id®n belül vissza is bomlik egy 72Fe atommagba és egy

neutronba. A numerikus szimuláció során legf®képpen arra a kérdésre keressük

a választ, hogy milyen �zikai (szimulációs) paraméterek mellett keletkezik vi-

szonylag sok 72Fe a kezdeti 56Fe-ból egy szupernóva robbanásban el®álló nagy

neutron�uxus hatására.

Az összeroppanó magvú szupernóva-robbanás egy nagyon különleges és lát-

ványos folyamat, amikor is egy hatalmas robbanással egy csillag élete véget ér.

A csillag ekkor már mindegyik fúziós lépcs®fokot átlépte, tehát a magja vasból

áll, és innen kifelé haladva találjuk az egyre kisebb rendszámú elemekb®l álló

héjakat. A robbanást megel®z®en a csillag sugárzási teljesítménye lecsökken,

aminek hatására a gravitációs összehúzódás legy®zi a fotonnyomást, és a csillag

elkezd összehúzódni. Ennek oka, hogy a csillag belsejében egyre több vas hal-

mozódik fel, amit a csillag már nem képes tovább fuzionálni, hiszen a vasnak

van a legnagyobb egy nukleonra jutó kötési energiája. Így bel®le már sehogy

sem vonható ki energia. Az összehúzódást egyedül a degenerált elektrongáz

nyomása lassítja. Amint a gravitáció ezt is legy®zte, a csillag magja összerop-

pan. Az egyre csökken® méret¶ mag h®mérséklete n®, így a fotonok száma is.

Ez alatt a vas atommagok egy része feltörik protonokra, neutronokra, és más

2

nagyobb fragmentumokra. Ez a folyamat a magtól energia elvonással jár, ami

visszafogja a h®mérséklet növekedést, vagyis kevesebb foton bocsátódik ki, így

az összeroppanás tovább gyorsul. Ha az elektrongáz s¶r¶sége elég nagy ahhoz,

hogy a 782 keV -nál nagyobb Pauli-energiát eredményezzen, akkor az elekt-

ronok egy része befogódik protonokba, ami energetikailag kedvez®bb állapot.

A létrejöv® neutronokkal együtt neutrínók is keletkeznek, amelyek ugyancsak

energiát visznek el a magtól, ezzel még tovább növelve az összeomlás sebessé-

gét. Egy bizonyos s¶r¶séget elérve a mag átlátszatlanná válik még a neutrínók

számára is. A s¶r¶ség ezután eléri a maganyag s¶r¶ségének párszorosát, ami-

kor is a mag összenyomhatatlanná válik. Ezen az összeomlás lefékez®dik és

visszapattan, ezzel kifelé induló lökéshullámot létrehozva. A neutrínók egy id®

után hirtelen kiszabadulnak, hiszen a s¶r¶ség már annyira lecsökkent, hogy

a neutrínók képesek áthaladni az anyagon. A kifelé áramló részecskék, töb-

bek között neutronok is, áthaladnak a küls® héjakon, amikor is az r-folyamat

kezdetét veheti.[1],[2]

A disszociált vas atomoknak, valamint az elektronok protonokba való befo-

gódásának eredményeképpen nagyon sok neutron van jelen a magban, így ezek

kirepülése egy óriási neutron�uxust hoz létre. Ezek a neutronok a csillag küls®

héjainak anyagával ütközve elnyel®dnek, az atommagok a neutronokat befog-

ják. Ez elég könnyen lejátszódik, hiszen a neutronokra nem hat a Coulomb-

taszítás, tehát mindenféle nehézség nélkül képesek eljutni az atommagokig. A

folyamat során az elemek összetétele a neutronban gazdag izotópok felé tolódik

el, ameddig el nem bomlanak β−-bomlással. Egy bizonyos neutronszám felett

a keletkez® atommag már nem lenne kötött, így mag�zikai id®n belül vissza is

bomlana az eggyel kisebb tömegszámú izotópba, és egy neutronba. Ez törté-

nik az izotóptérkép szélén lév® atommagokkal. Az egyre nagyobb tömegszámú

izotópok felé haladva a felezési id®k tendenciózusan csökkennek, így egyre na-

3

gyobb eséllyel bomlik el el®bb az izotóp, mintsem, hogy még egy neutront

befogna. Ezzel a folyamattal gyártódnak le a nagyobb rendszámú izotópok.

A neutronbefogások gyors egymásutánja miatt lett ez a folyamat r-folyamat,

azaz rapid (gyors) folyamat. A neutron�uxus csökkenése/megsz¶nése után

a keletkezett neutronban dús radioaktív izotópok addig bomlanának tovább

β−-bomlással, amíg egy stabil neutron-proton számot el nem érnének. [3]

Az r-folyamat több szempontból is nagyon fontos. El®ször is ezzel a folya-

mattal gyártódhatnak le a 56Fe-nál nehezebb elemek egy része, és az összes

209Bi-nál nehezebb hosszú felezési idej¶ elem, melyek nukleáris energiatermelés

szempontjából nagyon is lényegesek. Másodszor pedig az r-folyamat egy na-

gyon jó tesztkörnyezetet ad arra, hogy mag�zikai modelljeinket alkalmazhassuk

ott, ahol fontos, hogy egy elemnél mely izotóp kötött még és mely nem. Ugyan-

is a nagy neutrontöbblettel rendelkez® atommagok tulajdonsága nagyban eltér

a közel stabil atommagokétól, ahol a neutron-proton arány kis rendszámú ele-

mekre közel 50-50%, míg nehezebb elemekre a neutronok részaránya növekszik.

Egyik kérdés, hogy mit hoz létre a sok neutron az atommagban. Érdekes jelen-

ség továbbá, hogy a nagy neutrontöbblet¶ atommagoknál a mágikus számok

nemcsak, hogy eltolódnak, hanem bizonyos esetekben meg is sz¶nnek, tehát

egy eredetileg mágikus neutronszám mégsem lesz mágikus.

2. Az r-folyamat egyszer¶sített modellje

Az r-folyamat nagyon sok összetev®s és nagyon bonyolult, éppen ezért nem

kivitelezhet® a dolgozat keretein belül, hogy egyszer¶sítések nélkül modellez-

zük. Az általunk választott �zikai modell a legf®bb összetev®it tartalmazza az

r-folyamatnak. Ezek a neutronbefogás, és a β−-bomlás. Ezzel a két reakcióval

már nagyon sokféle út alakulhat ki a reakcióhálóban, több elem több izotópja

is létrejöhet. A mi esetünkben a vizsgált reakcióháló 3 elem (Fe, Co, Ni) egyen-

4

ként 15 izotópját tartalmazza (Fe esetén A = 58− 72, Co esetén A = 59− 73

és Ni esetén A = 60 − 74). Az így tehát összesen 45 izotópot tartalmazó

modellben a kezdeti anyageloszlásból a neutronbefogások és β−-bomlások so-

rán kialakul valamilyen új anyageloszlás, ami az adott �zikai paraméterekre is

jellemz®.

A modellünkben 56Fe helyett 58Fe-ból indulunk ki, aminek több oka is van.

El®ször is vegyük észre, hogy a 57Fe, 58Fe és 59Co egy "falat" képez a β−-

bomlásnak, hiszen ezek mind stabil izotópok, tehát ezek nem fognak elbomlani

β−-bomlással, így nem fog keletkezni se 57Co, se 58Co, de 59Ni sem. Másod-

szor, a 57Co, a 58Co és a 59Ni izotópok instabilak, azaz elbomlanak, méghozzá

e−-befogással, ami a modellünkben ugyancsak nincs benne, elhanyagoltuk.

Esetünkben a neutron száms¶r¶ség egy el®re beállított érték, a futás id®-

tartama alatt konstans. Fontos megjegyezni, hogy a numerikus számolás egyik

óriási el®nye abban rejlik, hogy bármilyen neutron száms¶r¶ség id®függés mel-

lett meg tudja oldani a di�erenciálegyenlet-rendszert, amíg ezt analitikusan

nagyon nehéz lenne. Igaz azonban, hogy kis id®intervallumokban konstans ne-

utron�uxust feltéve analitikusan is lehetne tárgyalni a problémát, de ez nagyon

bonyolult képletekre vezetne.

2.1. Mit hanyagol el a modell?

A neutronbefogáson és a β−-bomláson kívül minden más egyéb el lett ha-

nyagolva, tehát például a β-n-bomlások sem szerepelnek a programban. Az

inverz reakciókat is elhanyagoljuk, tehát nem történhet meg olyan, hogy az

egyik reakció a visszafelé irányba is lejátszódjon. Ilyen módon például egy

atommag protonja nem fog elektronbefogással neutronná alakulni, vagyis nem

fog inverz β-bomlásra sor kerülni. Úgy vesszük, hogy a megadott körülmények

között a folyamatok nem egyensúlyiak, tehát csak az egyik irányba játszódnak

5

le. Az n-p reakciókat is elhanyagoltuk, tehát �gyelmen kívül hagyjuk azokat

az eseteket, amikor a bejöv® neutron egy protont kiüt az atommagból.

2.2. A paraméterek megválasztása

A bomlásállandók (λij) a felezési id®kb®l (T1/2) számolhatóak, melyet egy

egyszer¶ Excel fájl hajt végre, az alábbi képletet használva: λ = ln2T1/2

. A

felezési id®ket a Nudat2 [4] internetes adatbázisból nyerjük, melynek sémáját

az 1. ábrán láthatjuk.

1. ábra. A nudat2 internetes adatbázis, a képen az izotóptérkép, melyen a

mágikus proton- és neutronszámok is fel vannak tüntetve

Az egyes izotópok 3 egymás feletti sorban helyezkednek el egészen pontosan

a Z = 26, 27, 28 sorokban. Az egyes izotópok fölé húzva a kurzort az izotópról

fontos adatok jelennek meg, mint az energiájaMeV -ban, a spinje, a paritása, a

felezési ideje és a bomlási módja(i). Ezen atommagok nagy részének a bomlása

6

csak β−-bomlás, de, mint azt már feljebb említettük, a β-n-bomlásokat is β−-

bomlásoknak vettük. A felezési id®ket és a bel®lük számolt bomlási állandókat

az 1. táblázat tartalmazza.

Az izotópok neutronbefogási reakciórátáját egy tudományos cikk eredmé-

nyei alapján számoljuk, melyet Thomas Rauscher és Friedrich-Karl Thiele-

mann publikált [5]. A tanulmány 0, 1 · 109K < T < 10, 0 · 109K h®mérséklet

között illesztette meg a Ne és Bi közötti elemek izotópjainak a reakciórátá-

ját többek között a neutronbefogási reakcióra is. Az illesztést 7 paraméterrel

végezték (a0 . . . a6). A tanulmány letöltése után minden egyes izotóphoz kike-

restem ezt a 7 paramétert. Ezeket kapja meg a program induláskor, melyekb®l

saját maga számolja ki az adott h®mérsékleten vett 〈σv〉 reakciórátákat. Ezt

egy, a tanulmányban megtalálható formula segítségével teszi, melyhez a 7 pa-

ramétert, illetve a h®mérsékletet kell tudni, konkrétan:

NA 〈σv〉 = exp(a0 + a1T−19 + a2T

−1/39 + a3T

1/39 + a4T9 + a5T

5/39 + a6lnT9),

ahol NA az Avogadro-szám és T9 az adott h®mérséklet milliárd (109) kelvinek-

ben mérve. A mi esetünkben a (n,γ) folyamat illesztési paramétereit használ-

tuk, tehát, ahol egy neutront fog be az adott izotóp, és egy fotont sugároz

ki, mellyel leadja a többlet energiáját, vagyis amivel legerjeszt®dik. A tanul-

mány h®mérsékletskáláján az általunk vizsgált izotópok viselkedése a 2. ábrán

látható. A neutronbefogási reakcióráták különböz® viselkedést mutatnak a h®-

mérséklet növekedésével, egy részük csökken, egy részük n®, de összességében

elmondható, hogy az utóbbiból van több.

2.3. A di�erenciálegyenlet-rendszer felállítása

A bejöv® neutronok gyorsan áthaladnak az anyagon. A csillag térbeli héj-

szerkezete el van hanyagolva, ezért nincs térfüggés az egyenletekben, kizárólag

csak id®függés. Kezdeti feltétel: N0 db 58Fe atommagunk van.

7

Izotóp

T1/2

λ(1/s

)Izotóp

T1/2

λ(1/s

)Izotóp

T1/2

λ(1/s

)

58Fe

stabil

059Co

stabil

060Ni

stabil

0

59Fe

44.4

95d

1.80

3·1

0−7

60Co

1925.2

8d

4.16

7·1

0−9

61Ni

stabil

0

60Fe

2.62·1

06y

8.38

3·1

0−15

61Co

1.65

0h

1.16

7·1

0−4

62Ni

stabil

0

61Fe

5.98

m1.

932·1

0−3

62Co

1.50

m7.

702·1

0−3

63Ni

101.

2y

2.17

0·1

0−10

62Fe

68s

1.01

9·1

0−2

63Co

27.4s

2.53

0·1

0−2

64Ni

stabil

0

63Fe

6.1s

1.13

6·1

0−1

64Co

0.30

s2.

310·1

0065Ni

2.51

75h

7.64

8·1

0−5

64Fe

2.0s

3.46

6·1

0−1

65Co

1.16

s5.

975·1

0−1

66Ni

54.6h

3.52

6·1

0−6

65Fe

0.81

s8.

557·1

0−1

66Co

0.20

s3.

466·1

0067Ni

21s

3.30

1·1

0−2

66Fe

440ms

1.57

5·1

0067Co

0.42

5s

1.63

1·1

0068Ni

29s

2.39

0·1

0−2

67Fe

0.40

s1.

733·1

0068Co

0.19

9s

3.48

3·1

0069Ni

11.2s

6.18

9·1

0−2

68Fe

180ms

3.85

1·1

0069Co

229ms

3.02

7·1

0070Ni

6.0s

1.15

5·1

0−1

69Fe

110ms

6.30

1·1

0070Co

108ms

6.41

8·1

0071Ni

2.56

s2.

708·1

0−1

70Fe

71ms

9.76

3·1

0071Co

80ms

8.66

4·1

0072Ni

1.57

s4.

415·1

0−1

71Fe

28ms

2.47

6·1

0172Co

59.9ms

1.15

7·1

0173Ni

0.84

s8.

252·1

0−1

72Fe

≥15

0ns≤

4.62

1·1

0373Co

41ms

1.69

1·1

0174Ni

0.68

s1.

019·1

00

1.táblázat.Afelhasználtizotópok

felezésiidejeés

bom

lásiállandója

8

2. ábra. A neutronbefogási reakcióráták h®mérsékletfüggése, ahol a 72Fe érté-

kei kivastagítva szerepelnek. (Az ábrán a pontok összekötése csak a szemünk

vezetése miatt van)

Az izotópok id®függését kormányzó összefüggés ebben a modellben:

dNij(~vij)

dt=− λijNij(~vij)

+ λi−1,jNi−1,j(~vi−1,j)

− σijΦ(~vn)Nij(~vij)

+ σi,j−1Φ(~vn)Ni,j−1(~vi,j−1),

ahol Nij a (Z,A) = (i, j) izotóp részecskéinek a száma. Termikus feltételek

miatt a sebességeloszlásokat Maxwell-Boltzmann-eloszlással írjuk le, a Füg-

gelékben részletezettek szerint. Így tehát a di�erenciálegyenlet-rendszerünk a

9

következ® alakot ölti:

dNij

dt=− λijNij

+ λi−1,jNi−1,j

− nn 〈σv〉ij Nij

+ nn 〈σv〉i,j−1Ni,j−1,

ahol nn a neutronok száms¶r¶sége, 〈σv〉ij a (Z,A) = (i, j) izotópra vonatkozó

neutronbefogási reakcióráta, Nij pedig a (Z,A) = (i, j) atommagok összes

száma függetlenül a sebességük irányától.

2.4. A di�erenciálegyenlet-rendszer numerikus megoldá-

sának módszere

A fenti di�erenciálegyenlet-rendszer numerikus megoldásához el®ször írtam

egy programot C programozási nyelven, melyben negyedrend¶ Runge�Kutta-

módszert használtam.

Induláskor a program beolvassa a következ® adatokat, mint a kezdeti anyag-

mennyiségek (Nij) (melyek közül a 58Fe-on kívüliek értéke mind 0), a bom-

lásállandók (λij), valamint azok az illesztési paraméterek (a0 . . . a6), amelyek

alapján a program kiszámolja a neutronbefogási reakciórátákat (〈σv〉ij) az

adott h®mérsékleten (T9). Ezután a beolvasott id®lépéssel (∆t) negyedren-

d¶ Runge�Kutta-módszert alkalmazva számolja az izotópok anyagmennyi-

ségeinek id®beli fel- illetve lefutását. A program mindig kiszámolja, hogy a

számunkra legfontosabb izotóp (72Fe) anyagmennyisége hogyan változik. Ha

ez eléri a maximumát, akkor addig fut a program, amíg a maximum 1000-ed

részére nem esik az anyagmennyiség. Ezt azért csinálja így, mert a program

nyomon követi azt is, hogy a futási id® alatt az egyes izotópokból összesen

mennyi keletkezett. Tehát a program lefutása után láthatjuk, hogy az adott

10

kezdeti paraméterekkel mennyi 72Fe és más egyéb izotóp keletkezett. A prog-

ram azt is �gyeli, hogy mennyire marad meg a barionszám. Ez úgy történik,

hogy a program végeztével kiíratódik a numerikus bizonytalanságok miatti

barionszám-megmaradástól való eltérés, tehát a kezdeti- és végs® anyagmennyi-

ségek közötti különbség. Ennek természetesen egzakt esetben 0-nak kellene

lennie, hiszen anyag csak úgy nem keletkezik, viszont a numerikus megoldás

miatt ötödrend¶ hibája lesz a lépéseknek, ami halmozódik. Ha ez a szám a

kezdeti anyagmennyiséghez (N0) képest kicsiny, akkor a program által számolt

eredmények megfelel®en pontosak.

A program a kezdeti adatokat is kiírja a számolt adatokkal együtt, s®t

a számolt értékekhez Gnuplot ábrázoló scriptet is készít. Ezek segítségével

ábrázolja a futtatás során kapott adatokat, majd képként le is menti mindet,

végül beleilleszti egy egységesített PDF-be.

A program képes egymás után többször is lefutni úgy, hogy a kiírandó fáj-

lok neveit automatikusan számozza. Ez azért nagyon hasznos, mert egy adott

h®mérsékleten elég egyszer elindítani a programot. A program ciklusról cik-

lusra más paraméterekkel fut le, változtatja a bejöv® neutronok száms¶r¶ségét

és az id®lépés hosszát is úgy, hogy a program zökken®mentesen végigpásztázza

a szóba jöhet® neutron száms¶r¶ségeket az adott h®mérsékleten. A program

az utolsó ciklus végeztével összesít® ábrát készít, melyben minden egyes cik-

lus 72Fe-vel kapcsolatos eredményét összegzi. Felrajzolja, hogy mennyi 72Fe

keletkezett az egyes neutron száms¶r¶ségek mellett, valamint azt is, hogy a

futtatás során mennyi szimulációs id®nél érte el a 72Fe a maximumát, és mi-

kor csökkent le az 1000-ed részére az anyagmennyiség, amikor is befejez®dött

az aktuális ciklus.

11

3. A numerikus pontosság vizsgálata egy egysze-

r¶ esetben

A numerikus pontosság kérdése felettébb fontos szempont a szimuláció-

nál, hiszen, ha az eredményeinknek túl nagy a hibája, akkor a kapott értékek

semmit nem mondanak a valóságról. A negyedrend¶ Runge�Kutta-módszer,

nevéb®l adódóan, ötödrend¶ hibát ejt minden egyes lépésnél, és ezek a hi-

bák halmozódnak, így feltehet® a kérdés, hogy vajon a végén mekkora hi-

bával kapjuk az adatokat. Nyilván lehet olyan nagy id®lépést adni, hogy a

szimuláció jócskán felül- vagy alulbecsülje a valódi analitikus megoldást. A

Runge�Kutta-módszer akkor m¶ködik jól, ha az id®lépés nagysága megfe-

lel®en kicsi, valamint, ha a függvény valódi változása és a számolt változása

jól egyeznek. Habár csak néhány izotópos esetben tudjuk a valódi változáso-

kat (és az egzakt megoldásokat) kiszámolni (ezért is oldjuk meg sok izotópra

numerikusan, és nem analitikusan), azért tudunk el®re bizonyos általános tu-

lajdonságokat az egzakt megoldásokról. Tudjuk, hogy a megoldásnak mindig a

kezdeti anyagmennyiségek összege és 0 között kell lennie, hiszen anyag nem ke-

letkezik, és negatív anyag triviálisan nincs. Azt is tudjuk, hogy a megoldás az

els® izotópot leszámítva különböz® mértékben lecseng® exponenciális függvé-

nyek összege. Az els® izotóp egyetlen egy exponenciálisan lecseng® függvény. A

különböz® lecsengés¶ exponenciális függvények összege egy kell®en sima függ-

vény, amelynek a 0-ból indulva van egy felfutása (általában egyre növekv®,

majd csökken® felfutása), majd egy maximuma, végül egy egyre csökken® mér-

ték¶ lefutása, ami a 0-hoz tart. Ezek alapján tehát tudjuk, hogy a függvény

nem ugrál összevissza, legnagyobb meredekség változása a maximuma körül

van, ahol a derivált el®jelet vált. Továbbá kvantitatív tulajdonságokat el®re

nem tudunk megállapítani.

12

Mint azt már említettük, csak viszonylag kevés izotópra lehet belátható

id®vel és munkával kiszámolni az analitikus megoldásokat. Éppen ezért a nu-

merikus pontosságot egy 3 izotópos esettel szimulált programmal vizsgáljuk.

Ebben 3, egymást neutronbefogással követ® izotóp van beprogramozva, melyek

még β−-bomlással is képesek elbomlani. A program induláskor 3 anyagmennyi-

séget, 3 bomlási állandót, 3 neutronbefogási reakciórátát, a lépésközt és a szi-

mulációs id®t kéri be, mint kezdeti paraméterek. A program ebben az esetben

is negyedrend¶ Runge�Kutta-módszerrel számolja az izotópok anyagmennyi-

ségeinek id®beli alakulását. Azonban a f®programtól eltér®en, itt megkapjuk

az egzakt megoldást is, s®t az ett®l való eltérésekkel χ2-próbát hajtunk vég-

re. A χ2-próba jó módszer arra, hogy kvantitatív tulajdonságot kapjunk az

analitikus- és numerikus megoldás eltérésének mértékér®l. A módszer lényege,

hogy minden egyes lépésben kiszámolja a kapott numerikus eredmény négy-

zetes eltérését az ebben a pontban érvényes analitikus megoldástól, és ezeket

összeadja a futás ideje alatt. A program a χ2 id®függését is ábrázoltatja ké-

s®bb Gnuplottal, amin láthatjuk, hogy a négyzetes eltérés legnagyobb részét

mikor szedte össze a kapott végs® χ2. Ha a 3 közül bármelyik χ2 nagyságrendje

megegyezik a kezdeti anyagmennyiség négyzetének nagyságrendjével, akkor az

azt jelenti, hogy a program nagyon eltért az analitikus megoldástól. A χ2-en

kívül a program a pontok számával súlyozott χ2n-eket is kiszámolja és ezekr®l

is készít ábrát.

A program minden adatról készít ábrázoló Gnuplot scripteket, valamint

ezeket meg is nyitja, és képeket is ment le futása során, melyeken mind az

egzakt, mind a numerikus megoldás rajta van, valamint az imént említett χ2-

ek és χ2n-ek is.

13

3.1. A Runge�Kutta-módszer els® lépésének el®jele

A 3 izotópos modellben a 3 di�erenciálegyenlet illetve azok kezdeti értékei:

y1 = −b1y1,

y2 = −b2y2 + σ1Φy1,

y3 = −b3y3 + σ2Φy2,

y1(t = 0) = 1 | y2(t = 0) = 0 | y3(t = 0) = 0,

ahol bi = λi+σiΦ és a pont jelöli az id® szerinti deriválást. A lefutás pontossága

nagyban függ a kezdeti paraméterekt®l, f®leg a lépésközt®l (∆t). Kiszámolva

az 1. illetve 2. egyenlet els® lépésbeli változását az alábbi két összefüggés

adódik:

∆y1 =− b1∆t+ ∆t2(

1

2b2

1

)−∆t3

(1

6b3

1

)+ ∆t4

(1

24b4

1

),

∆y2 =σ1Φ∆t−∆t2[

1

2σ1Φ(b1 + b2)

]+ ∆t3

[1

6σ1Φ(b2

1 + b1b2 + b22)

]−∆t4

[1

24σ1Φ(b3

1 + b21b2 + b1b

22 + b3

2)

].

Ebb®l a két egyenletb®l megtudhatjuk, hogy milyen kritikus ∆t-nél vált el®-

jelet az y1 vagy az y2 els® Runge�Kutta lépésbeli deltája. Ez azért lényeges,

mert ennél a ∆t-nél romlik el a szimuláció olyan mértékben, hogy az már tel-

jesen valótlan eredményeket ad ki. Mint láthatjuk, ezek az egyenletek ∆t-ben

negyedfokúak, és míg az els® egyenletnek pozitív a vezet® tagja, a másodiknak

negatív. Mivel az els® egyenlet y1 = 1-r®l, a második egyenlet y2 = 0-ról indul,

így azt várnánk a di�erenciálegyenletük alapján, hogy y1 csökkenni fog, míg y2

az elején n®ni, majd csökkenni. Ennek ellenére egy bizonyos ∆t fölött az els®

egyenlet biztos, hogy ∆y1 > 0-t fog adni, míg a második egyenlet ∆y2 < 0-

t. Ez egy módszert adhat az ideális ∆t meghatározására ebben az egyszer¶

14

modellben. A bemeneti adatokból ezek a negyedfokú egyenletek egyértelm¶en

megoldhatók, és a valós gyökök segítségével a ∆t megadható, hogy a program

kell®en gyorsan és pontosan fusson le. A sok izotópos esetben már sokkal ne-

hezebb dolgunk van, hiszen ott nem oldjuk meg egzaktul az egyenleteket, és

így az ideális ∆t-t sem tudjuk. Az egyenleteknek van egy triviális gyöke, ez

pedig a 0. Ezzel a ∆t-vel leosztva az egyenleteket harmadfokúra redukáltuk

®ket. Egy harmadfokú egyenletnek mindig van legalább egy valós gyöke, ha

nem egy, akkor három.

Konkrét eset:

Egy konkrét esetben használt futási paramétereket a 2. táblázat tartalmaz-

za. A 2. táblázatban leírt adatokkal a ∆y2 még pozitív, de ∆t = 25,5 esetén

σ1 = 0,05; σ2 = 0,005; σ3 = 0,005;

λ1 = 0,0005; λ2 = 0,005; λ3 = 0,05;

Φ = 2; ∆t = 25;

2. táblázat. Futási paraméterek

már negatív, valamint ∆y1 még negatív ∆t = 27,5-nél, viszont ∆t = 28-nál

már pozitív.

A következ® ábrákon láthatjuk, hogy ezt a futtatás valóban visszaadja (3.-6.

ábrák):

15

3. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 25 s-nál

4. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 25,5 s-nál

16

5. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 27,5 s-nál

6. ábra. Az anyagmennyiségek id®beli változása ∆t = 28 s-nál

17

A futás legvégén a program még egy ábrát kiad, amin a χ2-ek szerepelnek

a ∆t függvényében. Ennek a bizonyos esetnek az összesít® ábrája a 7. áb-

rán látható, ahol a ∆t függvényében a χ2 az elején nagyon megindul, majd

lankásodik, végül a kezdeti anyagmennyiség (1) elérésével, és utána megint-

csak rohamosan növekedni kezd, amikor is elszállnak a numerikus értékeink az

analitikus megoldásoktól.

7. ábra. A χ2(∆t) függvény ebben a speciális esetben.

Tehát a számunkra megfelel®, kell®en pontos lépéshossz értéke ∆t ≈ 10 s,

ahol a legnagyobb χ2 értéke olyan 10−5 − 10−6, mert ennek gyökéb®l adódik,

hogy nagyjából 1%-nál kisebb hibát ejtünk.

18

4. Eredmények

A szimulációk során kapott összes PDF fájlom megtalálható a következ®

webcímen: http://atom�zika.elte.hu/akos/tezisek/szd/ext/vt/

Összefoglalva, hogy mir®l kapunk információt a program lefuttatásával:

� Minden izotóp anyagmennyiségének id®függése, ábrák mind lineáris- és

logaritmikus skálán.

� Minden izotóp β−-bomlással elbomlott anyagmennyiségének id®függése.

� Minden izotóp neutronbefogással átalakult anyagmennyiségének id®füg-

gése.

� Minden izotóp β−-bomlás és neutronbefogási ráta hányadosa(

λ〈σv〉nn

).

� Minden izotóp teljes futtatási id® alatt β−-bomlással és neutronbefogás-

sal elbomlott anyagmennyisége, oszlopdiagramon ábrázolva logaritmikus

skálán.

� Minden izotóp teljes futtatási id® alatt β−-bomlással és neutronbefogás-

sal keletkezett anyagmennyisége, oszlopdiagramon ábrázolva logaritmi-

kus skálán, összegükkel együtt.

� Az izotópok reakcióhálózatának ábrája.

� A 72Fe keletkezett anyagmennyiségének alakulása a neutronok száms¶-

r¶ségének függvényében.

� A 72Fe anyagmennyiség maximumának id®pontja és a maximum 1000-ed

részének elérésének az id®pontja, egy ábrán ábrázolva.

19

� A 72Fe keletkezett anyagmennyiségének alakulása a neutron száms¶r¶ség

és a h®mérséklet függvényében, 2- és 3-dimenziós ábrával.

Minden futtatást úgy végeztünk, hogy a kezd® anyagmennyiség 1 58Fe volt.

A darabszámok a 58Fe kezdeti darabszámához viszonyított relatív értékben

lettek kezelve.

4.1. A folyamatok során keletkezett izotópok anyagmennyi-

sége

Az izotópok anyagmennyiségének egy tipikus lefutását a 8. ábrán tekint-

hetjük meg. Ránézésre is elhihet®, hogy az izotópok id®függése exponenciális

függvények összege.

Egy izotóp kétféleképpen keletkezhet: β−-bomlással és neutronbefogással.

A β−-bomlással való keletkezéshez az kell, hogy legyen egy eggyel kisebb rend-

számú izotóp, ami elbomlik, tehát, ha van is ilyen izotóp, a bomlási-állandója

(λ) akkor sem lehet 0, vagyis nem lehet stabil. Ebb®l egyb®l következik, hogy

az általunk vizsgált izotópok közül a Fe atommagok nem keletkezhetnek β−-

bomlással, hiszen nem vizsgáljuk azokat az izotópokat, amelyekb®l ezek kelet-

kezhetnének.

Neutronbefogással akkor keletkezhet egy izotóp, ha van egy eggyel kisebb

tömegszámú (neutronszámú) izotóp, amely egy neutront befogva átalakul. Így

tehát egyértelm¶, hogy az általunk vizsgált izotópok közül a 58Fe, 59Co és

60Ni nem keletkezhet ilyen módon, mivel a szimulált izotóptérkép-részlet bal

szélén vannak.

A T9 = 1,3 esetben lefuttatott szimuláció néhány végeredménye a 9. ábrán

tekinthet®ek meg. Látható, hogy kisebb neutron száms¶r¶ség esetén keve-

sebb neutronban gazdag Fe atommag keletkezik. A Co és Ni izotópok anyag-

20

8. ábra. Az egyes izotópok keletkezése a teljes futási id® alatt nn = 6,309573 ·

1022 m−3-nál.

mennyisége legtöbb esetben azonban n®tt, ami annak tudható be, hogy sokkal

hosszabb ideig futott a szimuláció a kisebb neutron száms¶r¶ségek esetén.

Az egyes izotópok neutronbefogással és β−-bomlással átalakult anyagmennyi-

ségei alapján elkészíthet® a szimulált izotópokat jellemz® reakcióháló. Erre pél-

dát a 10. ábrán láthatunk. A két képet összehasonlítva látható, hogy nagyobb

neutrons¶r¶ség esetén nagyobb tömegszámú (neutronszámú) Fe atommagokig

jutunk a kezdeti 58Fe-ból.

A 72Fe-r®l külön összesít® ábra készült a neutron száms¶r¶ség függvényé-

ben, hiszen ezt az izotópot jelöltük ki, mint az izotóptérkép szélén álló Fe

izotóp, tehát ennél nagyobb tömegszámú (neutronszámú) Fe izotóp már nem

21

9. ábra. Az egyes izotópok keletkezése külön β−-bomlással és külön neutron-

befogással, valamint a kett® összege a teljes futási id® alatt nn = 1024 m−3-nál

és nn = 6, 309573 · 1018 m−3-nál.

22

10. ábra. Az izotópok reakcióhálója nn = 1024 m−3-nál és nn = 6,309573 ·

1018 m−3-nál. A nyilak vastagsága arányos az azon a csatornán elbomlott

anyag mennyiségével.

23

jöhet létre, mert nem lenne kötött, és egyb®l visszaalakulna 72Fe-vé. Az ugyan-

ezen h®mérsékleten (T9 = 1,3) készült 72Fe neutron száms¶r¶ség függését a 11.

ábra szemlélteti. Az eredmény intuitív, ugyanis nagyobb neutron száms¶r¶ség

esetén több 72Fe keletkezik abból az okból kifolyólag, hogy nagyobb eséllyel

jutnak el az izotópok a nagyobb tömegszám (neutronszám) felé, még miel®tt

elbomlanának (ezt jellemzi a(

λ〈σv〉nn

)arány). Kisebb neutron száms¶r¶ség

esetén a Fe el®bb elbomlik Co-ba, mintsem, hogy kell® mennyiség¶ neutront

befogva 72Fe-vé alakuljon.

11. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség függése T9 = 1,3 h®mér-

sékleten.

Ezen izotóp anyagmennyiségének id®függése határozza meg a szimuláció

leállását, hiszen, ha az anyagmennyisége eléri a maximumának 1/1000-ed ré-

szét, akkor a szimuláció véget ér. Éppen ezért a program feljegyzi a maximum

24

anyagmennyiség értékét és bekövetkezésének id®pontját is minden egyes neut-

ron száms¶r¶ségnél, majd ezt kés®bb ábrázolja is logaritmikus skálán. Ez azért

fontos, mert így láthatjuk, hogy milyen gyorsan esik a 72Fe anyagmennyisége

miután elérte a maximumát, ami a 72Fe β−-bomlásából adódik. A 12. ábrán

láthatjuk az el®z®ekkel azonos futásból született adatokat. Az ábrán látha-

tó, hogy nagy neutron száms¶r¶ségek esetén a 72Fe viszonylag hamar eléri a

maximumát, viszont utána nagyon lassan bomlik el az 1/1000-ed részére, ami

nagyban megnöveli a futási id®t.

12. ábra. A szimulációs id® és a 72Fe anyagmennyiség maximumának neutron

száms¶r¶ség függése T9 = 1,3 h®mérsékleten.

25

4.2. Egy adott elem eggyel nagyobb rendszámú elemmé

történ® átalakulásának (β−-bomlás) tömegszám elosz-

lása

Az adott tömegszámú β−-bomlások száma egy adott elemnél azt jelenti,

hogy ennyi részecske már biztosan nem éri el a nagyobb tömegszámokat. A

program számolja, hogy mennyi β−-bomlás történik minden egyes id®lépésben

izotóponként külön-külön, tehát úgymond integrálja az egyes izotópok aktivi-

tását a teljes futási id®re. A program a futása végén egy Gnuplot scriptet is

készít, aminek segítségével oszlopdiagramon ábrázolja az egyes izotópok β−-

bomlás eloszlását. Mivel mindig csak 1 58Fe-ból indulunk ki, így minden egyes

elem 15 − 15 − 15 izotópjának esetén a β−-bomlások száma az 1-hez fog tar-

tani, hiszen az összes Fe izotóp elbomlik Co izotópokká, majd ezek tovább

bomlanak Ni izotópokká, amelyek végül ugyanígy elbomlanak. Azért csak tart

az 1-hez, mert ehhez a programnak megfelel®en sokáig kell futnia, hogy az

összes Fe atommag el tudjon bomlani Co atommagokká, és így tovább. Ez

természetesen nem mindig valósul meg, ugyanis mi a 72Fe anyagmennyiségét

�gyeljük, ez határozza meg a futási id®t. Tehát összességében elmondható,

hogy az egyes elemek izotópjainak aktivitás integráljainak az összege a Fe-tól

a Ni-ig csökken® nagyságú lesz.

Most nézzük meg, hogy milyen tendenciát várunk az izotópok β−-bomlás

eloszlására különböz® neutron száms¶r¶ségeken (nn). Minél nagyobb a neut-

ron száms¶r¶ség egy adott h®mérsékleten, annál nagyobb valószín¶séggel fog

be egy neutront egy atommag, és nem lesz elég ideje β−-bomlással elbomlani,

hiszen a neutron száms¶r¶ség növelésével egyre kisebb id® telik el két neutron

befogása között. Felhasználva azt is, hogy a nagyobb tömegszámú izotópok fe-

lezési ideje tendenciózusan csökken, elmondható, hogy a neutron száms¶r¶ség

növelésével a kisebb tömegszámú izotópok legvalószín¶bben neutronbefogást

26

szenvednek, míg a nagyobb tömegszámú izotópok β−-bomlással elbomlanak.

Ahogy csökken a neutron száms¶r¶ség, az egész jelenség megfordul, és egy

elem kisebb tömegszámú izotópjainál már nagyobb valószín¶séggel megtörté-

nik a β−-bomlás, így ezen elem nagyobb tömegszámú izotópjaiba kevesebb

anyagmennyiség alakul át, tehát ezek kevesebbet fognak β−-bomlani.

Az eredményekr®l készült képek közül kett®t, melyek két nagyon eltér®

neutron száms¶r¶ség esetén készültek, a 13. ábrán tekinthetjük meg. Az ábrán

láthatjuk, hogy a bejöv® neutron száms¶r¶ség növelésével a kisebb tömegszámú

(neutronszámú) Fe atommagok gyorsabban elbomlanak neutronbefogással, így

a kisebb tömegszámú (neutronszámú) Co és Ni atommagok anyagmennyisége

csökken, amib®l kifolyólag ezek már kevesebbet bomlanak.

4.3. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mér-

séklet függése

A számunkra legfontosabb izotóp a 72Fe, ugyanis ennek a keletkezését sze-

retnénk maximalizálni. Olyan környezetet keresünk, ahol ezen izotópból kell®-

en sok keletkezik az esetleges kés®bbi vizsgálatok miatt. Éppen ezért a prog-

ram többször futtatja le önmagát egymás után, a megadott ciklusszámszor,

végigpásztázva így a számunkra fontosabb neutron száms¶r¶ségeket egy adott

h®mérsékleten. A különböz® h®mérsékleteken kapott végs®, összesít® adato-

kat, ha ábrázoljuk, akkor láthatjuk, hogy ugyanannyi 72Fe keletkezéséhez egy

adott neutron száms¶r¶ség esetén mekkora h®mérséklet szükséges, vagy for-

dítva, egy adott h®mérséklet esetén mekkora neutron száms¶r¶ség. Ezekr®l az

adatokról 2- és 3 dimenziós illusztrálást találunk a 14. ábrán. Ezen azt lát-

hatjuk, hogy a h®mérséklet növelésével a 72Fe keletkezésének felfutó szakasza

egyre jobban eltolódik a kisebb neutron száms¶r¶ségek felé, ahol bes¶r¶södik,

melyet a kinagyított kép mutat. Mint az látható, a h®mérséklet növelésével

27

13. ábra. A β−-bomlások és neutronbefogások alakulása a teljes futási id® alatt

nn = 1024 m−3-nál és nn = 1019 m−3-nál.

28

egy bizonyos h®mérsékletig (T9 = 1,3) a szükséges neutron száms¶r¶ség csök-

ken, majd újra elkezd n®ni, így már a T9 = 1,6 a T9 = 1,0 és T9 = 1,1 közé

csúszik. Az utolsó, 15. ábrán a 14. ábra 3-dimenziós alakja látható.

14. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mérséklet függésé-

nek 2 dimenziós ábrája, valamint ennek egy kinagyított részlete

4.4. A 58Fe id®függésének �gyelembevétele

Pontosíthatunk a szimulációnkon, ha �gyelembe vesszük a 58Fe id®fejl®dé-

sét, tehát ha nem 1 anyagmennyiség¶ 58Fe-b®l indulunk. Ezt megtehetjük,

29

15. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség és h®mérséklet függésé-

nek 3 dimenziós ábrája.

hiszen, mint azt már említettük, a 56Fe és a 57Fe is stabil, tehát nem bom-

lanának el a Co vagy Ni felé. A szupernóvák magjában valójában 56Fe van,

ami csak neutronbefogással képes átalakulni, ekkor 57Fe lesz bel®le. A 57Fe

szintén csak neutronbefogással képes elbomlani, ekkor lesz bel®le 58Fe. Így a

30

58Fe id®függése könnyen megadható. A következ®t kapjuk eredményül [7]:

N58(t) =N0,56〈σv〉56 〈σv〉57

(〈σv〉56 − 〈σv〉57) (〈σv〉57 − 〈σv〉58) (〈σv〉58 − 〈σv〉56)·

· [(〈σv〉58 − 〈σv〉57) e−〈σv〉56nnt

+ (〈σv〉56 − 〈σv〉58) e−〈σv〉57nnt

+ (〈σv〉57 − 〈σv〉56) e−〈σv〉58nnt],

ahol 〈σv〉i az i tömegszámú Fe izotóp neutronbefogási rátája, valamint N0,56

a kezdeti 56Fe anyagmennyisége. A továbbiakban ezt 1-nek vesszük. A kijött

eredményt jobban szemügyre véve láthatjuk, hogy az exponenciálisok együtt-

hatói függetlenek a neutron száms¶r¶ségt®l.

Az eddig használt program annyiban módosul, hogy a 56Fe és 57Fe reakci-

órátáinak kiszámításához szükséges együtthatókat is megkapja. Ebb®l kiszá-

molja az exponenciális függvények együtthatóit, tehát az egész függvényt. A

program továbbra is számolja a 58Fe anyagmennyiségének id®beli változását

Runge�Kutta-módszerrel, azonban minden egyes lépésnél végül a valódi, el®bb

kiszámolt függvény alapján határozza meg az anyagmennyiséget.

Elméletileg, ha végtelen ideig fut a program, akkor addigra az összes 56Fe

elbomlik (minden izotóp elbomlik, ami nem stabil), tehát ugyanúgy részt vett

az 1 anyagmennyiség¶ Fe a szimulációban, csak kisebb adagokban folyt be a

�zikai rendszerünkbe.

Miután ez is be lett programozva, vizsgálhatjuk, hogy mennyiben térnek

el az eddigi eredményekt®l a már így kapott adatok. A 72Fe keletkezésének

neutron száms¶r¶ség függését T9 = 1,3 h®mérsékleten a két különböz® futás

esetén a 16. ábra mutatja. Az ábrán látható, hogy viszonylag alacsony neutron

száms¶r¶ség esetén alig van eltérés, bár nagyobb értékekre sem túl nagy. Egy

lényeges eredmény, hogy, ha van id®függése a 58Fe keletkezésének, akkor a

72Fe anyagmennyisége valamivel 1 alatt tet®zik. Ez érthet® is, hiszen szinte az

31

összes kezdeti 58Fe a nagy neutron száms¶r¶ség miatt pillanatok alatt 72Fe-vé

alakul, ahogy bekerül �zikai rendszerünkbe.

16. ábra. A 72Fe keletkezésének neutron száms¶r¶ség függése a két különböz®

modell esetén.

32

5. Összefoglalás

A dolgozatomban az összeroppanó magvú szupernóva robbanások során

lejátszódó r-folyamatot taglaltam. A folyamatban lezajló reakciók tanulmá-

nyozása érdekében egy C nyelven írt programot is készítettem, mellyel több

szimulációt is lefuttattam. Ezek eredményeit, és az ezekb®l levonható követ-

keztetéseket tárgyaltam feljebb. A dolgozat f® kérdése az volt, hogy milyen

paraméterek mellett lényeges a 72Fe izotóp keletkezése. A szimulációkból arra

lehet következtetni, hogy ebben a két egyszer¶ modellben 1,3 milliárd kelvin

körül 1021 m−3-os neutron száms¶r¶ség felett szigni�káns a keletkezett 72Fe

anyagmennyisége. Kisebb h®mérsékleteken nagyságrendekkel több neutronra

van szükség ugyanannyi anyagmennyiség eléréséhez. A nagyobb h®mérsékletek

felé haladva a szükséges neutron száms¶r¶ség lassan n®. Nem tudunk hosszabb

távú következtetést levonni, mert csak 1,6 milliárd kelvinig futtattam szimu-

lációkat, ugyanis 1 milliárd kelvin felett és alatt a futási id® rohamosan n®tt.

Ennek oka valószín¶leg az volt, hogy a reakcióráták több nagyságrenddel el-

térnek egymástól, így viszonylag kicsi lépésközt kell alkalmazni a pontosság

meg®rzése érdekében, ami nagyon megnöveli a futási id®t.

Ha szeretnénk további reakciókat is bevenni a modellünkbe, akkor azzal

párhuzamosan a számítási kapacitás is n®ni fog, és még tovább fog tartani

egy szimuláció. Ennek érdekében ajánlatos lenne komolyabb számítógépeket

használni, amelyek ellen tudják súlyozni ezt a futási id® növekedést.

33

6. Köszönetnyilvánítás

Szeretnék köszönetet mondani Dr. Csótó Attila professzor úrnak, aki nélkül

a (Termikus) reakcióráták levezetése cím¶ rész nem jöhetett volna létre.

Köszönettel tartozom Dr. Fülöp Zsolt igazgató úrnak, akinek az óráján

több hasznos információval gyarapodtam az r-folyamattal kapcsolatban, ami-

nek nagy hasznát vettem a bevezetés megírásában.

Továbbá nagy hálával tartozom témavezet®mnek Dr. Horváth Ákosnak, aki

hosszú ideje jó irányba terelgette egyetemi tanulmányaimat, és így, szakdolgo-

zatom megvalósításában is meghatározó szerepe volt. Egy kit¶n® tanárral és

emberrel ismerkedtem meg.

Végül, de nem utolsó sorban szeretném megköszönni szüleimnek és csalá-

domnak a tanulmányaim kezdete óta nyújtott szüntelen lelki- és anyagi támo-

gatást.

34

A. Függelék

(Termikus) reakcióráták levezetése

Az ebben a fejezetben ismertetett elméleti levezetésben való segítséget sze-

retném még egyszer megköszönni Dr. Csótó Attila professzor úrnak.

Legyen 2 fajta részecskénk, egy A típusú és egy B típusú. A mi esetünkben

ez egy neutron és egy atommag. A neutronok valamilyen jA árams¶r¶ség-

gel haladnak át a B típusú atommagokon, aminek következtében egy reakció

lezajlik, nevezetesen egy neutronbefogás.

A másodpercenkénti reakciók számát megkapjuk, ha a jA-t megszorozzuk a

reakció hatáskeresztmetszetével (σAB), valamint a jelenlév® B atomok számával

(NB).

A jA kifejezhet® az alábbi módon:

jA =NA

A∆t=

NA

A∆sv

=NA

Vv = nAv,

ahol A a felület, v a neutronok sebessége, V a térfogat, ahol a reakció lezajlik

(azok az A típusú magok, amelyek ∆t id®intervallumban eljutnak a céltárgyig)

és nA az A típusú atomok száms¶r¶sége. Ezek felhasználásával a ráta:

R =jAσABNB

V= nAvσABnB =

1

1 + δABnAnB 〈σ(E)v〉 ,

ahol a δAB-re azért van szükség, hogy, ha ugyanolyan részecskéink vannak,

akkor az anyagmennyiségeket le kell felezni, valamint 〈σ(E)v〉 a pár reakcióráta

a h®mozgás E energiája szerint függ, és a v sebességekre ki van átlagolva.

Nem relativisztikus részecskéket feltételezve a sebességeloszlást a Maxwell�

Boltzmann-eloszlás írja le:

Φ(~v)d3~v =

(m

2πkBT

)3/2

e− mv2

2kBT d3~v,

35

ahol m a részecske tömege és kB a Boltzmann-faktor. Az eloszlás s¶r¶ségfügg-

vénye természetesen 1-re normált:∫Φ(~v)d3~v = 1.

H®mérsékleti egyensúlyban 2 részecske esetén bármilyen mennyiségnek az át-

laga a következ®képpen írható fel:

〈A〉 =

∫AΦ(~v1)d3 ~v1Φ(~v2)d3 ~v2,

ahol A függhet a ~v1-t®l és a ~v2-t®l is, de esetünkben csak a sebességkülönbség

abszolút értékét®l függ. Mivel h®mérsékleti egyensúlyt feltételezünk, így a két

s¶r¶ségfüggvény:

Φ(~v1) =

(m1

2πkBT

)3/2

e−m1v

21

2kBT ,

Φ(~v2) =

(m2

2πkBT

)3/2

e−m2v

22

2kBT .

Az integrál kiszámításához áttranszformáljuk a változókat, áttérünk tömegkö-

zépponti rendszerbe, tehát a két új változónk:

~v = ~v2 − ~v1 és ~V =m1 ~v1 +m2 ~v2

m1 +m2

=m1 ~v1 +m2 ~v2

M,

ahol M a részecskék együttes tömege, ~v a részecskék egymáshoz viszonyított,

relatív sebessége, míg ~V a közös tömegközéppont sebessége. Ezekkel kifejezzük

v21-et és v

22-et:

v21 = V 2 +

m22

M2v2 − 2

m2

M~V ~v és v2

2 = V 2 +m2

1

M2v2 + 2

m1

M~V ~v.

Ezekkel felírva az integrál:

〈A〉 =

∫A(v)Φ1(~v, ~V )Φ2(~v, ~V ) |J| d3~vd3~V ,

36

ahol |J| a Jacobi-determináns, ami esetünkben 1. A valószín¶ség s¶r¶ség tény-

leges alakját beírva:

〈A〉 =

(m1

2πkBT

)3/2(m2

2πkBT

)3/2 ∫A(v)e

−m1

(V 2+

m22

M2 v2−XXX2

m2M

~V ~v

)2kBT ·

· e−m2

(V 2+

m21

M2 v2+XXX2

m1M

~V ~v

)2kBT d3~vd3~V

m1m2M≡µ

=

(M

2πkBT

)3/2(µ

2πkBT

)3/2 ∫A(v)·

· e−MV 2

2kBT e− µv2

2kBT d3~vd3~V .

Esetünkben A(v) = σ(E)v, ami nem függ ~V -t®l, tehát a ~V szerinti integrál

elvégezhet®, ami az együtthatójával együtt 1-re normált. Tehát kapjuk:

〈σv〉 =

(µ

2πkBT

)3/2 ∫e− µv2

2kBT σ(E)vd3~v.

Mivel a mi esetünkben az integrál valójában izotróp rendszer, így az csak a ~v

nagyságától (|~v|) függ. Tehát az integrálási mérték a következ®képpen alakul:

d3~v = 4πv2dv.

Ezt az integrálba helyettesítve:

〈σv〉 = 4π

(µ

2πkBT

)3/2 ∫ ∞0

e− µv2

2kBT σ(E)v3dv.

Az energia sebességfüggésének felhasználásával áttérhetünk energia szerinti in-

tegrálásra a következ® módon:

E =1

2µv2 ⇒ v2 =

2E

µ⇒ 2vdv =

2

µdE ⇒ dv =

1

µvdE,

amit visszahelyettesítve az integrál végs® alakját kapjuk:

〈σv〉 =

(8

πµ

)1/2

(kBT )−3/2

∫ ∞0

e− EkBT σ(E)EdE.

Ezek az értékek számolhatók Thomas Rauscher és Friedrich-Karl Thielemann

publikációjából. [5]

37

Hivatkozások

[1] Szücs Tamás, A nukleáris asztro�zikai r-folyamat fontosabb mag-

reakcióinak vizsgálata, Eötvös Loránd Tudományegyetem, 2008

[2] Izsák Rudolf, A 8Li→7 Li+n Coulomb-disszociációs magreakció

kísérleti vizsgálata, Eötvös Loránd Tudományegyetem, 2014

[3] F.-K. Thielemann, F. Brachwitz, C. Freiburghaus, E. Kolbe, G.

Martinez-Pinedo, T. Rauscher, F. Rembges, W.R. Hix, M. Li-

ebendoerfer, A. Mezzacappa, K.-L. Kratz, B. Pfei�er, K. Lan-

ganke, K. Nomoto, S. Rosswog, H. Schatz, M. Wiescher, Element

Synthesis in Stars, Progress in Particle and Nuclear Physics, 2001

[4] NuDat 2.6, National Nuclear Data Center (NNDC),

www.nndc.bnl.gov/nudat2/

[5] Thomas Rauscher & Friedrich-Karl Thielemann, Astrophysical

reaction rates from statistical model calculations, Departement

für Physik und Astronomie, Universität Basel, 2000, Academic

Press

[6] X. D. Xu, B. Sun, Z. M. Niu, Z. Li, Y.-Z. Qian, J. Meng, Re-

examining the temperature and neutron density conditions for

r-process nucleosynthesis with augmented nuclear mass models,

2012, Physical Review C

[7] Vértes Attila, Magkémia, Egyetemi jegyzet

38

NYILATKOZAT

Név:

ELTE Természettudományi Kar, szak:

NEPTUN azonosító:

Szakdolgozat címe:

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a

dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és

idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a

megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.

Budapest, 20 _______________________________

a hallgató aláírása