BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Cao Thắng
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH
ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Cao Thắng
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH
ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. Lưu Xuân Hùng
2. GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh
Hà Nội – 2019
I
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu
được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được bảo vệ ở
bất kỳ học vị nào.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn,
các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả luận án
Nguyễn Cao Thắng
II
LỜI CÁM ƠN
Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy hướng dẫn khoa học, TS.
Lưu Xuân Hùng và GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học,
chỉ bảo tôi nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án.
Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Viện Cơ học, Học Viện
Khoa học và Công nghệ, các thầy cô đã tạo điều kiện đã giúp đỡ tôi ngay từ những
ngày đầu làm luận án.
Tôi xin cám ơn các đồng nghiệp, TS. Nguyễn Như Hiếu, TS. Nguyễn Văn Hải và
nhiều người khác đã hỗ trợ, động viên tôi trong nhiều lúc khó khăn.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã giúp đỡ, ủng hộ tôi trong suốt
thời gian làm luận án.
III
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................. I
LỜI CÁM ƠN ................................................................................................................... II
MỤC LỤC ......................................................................................................................... III
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .................................................... VI
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .......................................................................... IX
DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................................ X
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN
TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN .......................................................... 6
1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất ....................................................... 6
1.2 Quá trình ngẫu nhiên ................................................................................................... 8
1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt .......................................................................... 11
1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên ................... 16
1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp
trung bình hóa ngẫu nhiên ................................................................................................. 19
1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên ............................................ 25
Kết luận chương 1 ............................................................................................................. 28
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU
CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ ....... 29
2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển .................................................... 29
2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến ............................................ 36
2.2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng ................................................. 37
2.2.2 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh ............................................ 38
2.2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu ................................................... 39
IV
2.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) ......... 40
Kết luận chương 2 ............................................................................................................. 49
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH
CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO .................... 50
3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến ................................... 50
3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng ....................................................... 50
3.1.2.Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng ........................................... 52
3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng .................. 54
3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng
thể (GLOMSEC) ............................................................................................................... 57
3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba ........................................................................... 57
3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên ..................................... 60
3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên ........................................... 63
3.2.4. Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ...................... 66
3.2.5. Dao động của tàu thủy ............................................................................................ 70
Kết luận chương 3 ............................................................................................................. 72
CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH
CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO ................. 73
4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do ......................................................................... 73
4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ....................................... 80
4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ............ 80
4.2.2. Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ...................................... 83
4.2.3. Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ........... 86
Kết luận Chương 4 ............................................................................................................ 88
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................... 90
DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN........................... 92
V
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 93
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 100
VI
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GLOMSEC (GL) tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương tổng thể (Global-Local Mean Square Error
Criterion)
LOMSEC (L) tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (Local Mean Square Error Criterion)
TTH tuyến tính hóa
FPK phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov
ENL phi tuyến hóa tương đương (Equivalent Non –
Linearization)
kd kinh điển
MC mô phỏng Monte Carlo
PDF hàm mật độ xác xuất (Probability Density
Function)
SDOF hệ một bậc tự do
MDOF hệ nhiều bậc tự do
NL năng lượng
M ma trận khối lượng
K ma trận hệ số độ cứng
C ma trận hệ số cản
( )α ma trận đáp ứng tần số
( )wS ma trận mật độ phổ của véc-tơ w(t)
a, r biến không thứ nguyên dương
VII
, , , , hệ số dương
b, k, c hệ số tuyến tính hóa tương đương
,i jb k hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j
h hệ số cản tuyến tính
C hệ số chuẩn hóa
1 , ttc k hệ số độ cứng tuyến tính
1 2 12, ,xxD t t D hiệp phương sai
x hàm Delta Dirac
,E kỳ vọng toán
,e x x sai số phương trình
F x hàm phân phối xác suất
,f t u t kích động ngoài
,g x x hàm phi tuyến của dịch chuyển và vận tốc
,H x x hàm tổng năng lượng
,K x t ma trận hệ số khuyếch tán
1 2,R t t hàm tương quan
m khối lượng
xm trung bình xác suất
minS giá trị cực tiểu của tiêu chuẩn tuyến tính hóa
n mô men trung tâm
nm mô men liên kết trung tâm
P xác suất của một sự kiện
VIII
, ,p x p x x hàm mật độ xác suất một chiều, hai chiều
0 0, ,p x t x t mật độ xác suất chuyển tiếp
xS hàm mật độ phổ
0S mật độ phổ hằng số
T chu kỳ dao động
0 1 2, , ,t t t t thời gian
độ trễ
U x hàm thế năng
u, v véc tơ
,v t x t vận tốc
X, Y biến ngẫu nhiên
x t dịch chuyển
x t gia tốc
t quá trình Wiener
t quá trình ồn trắng
cường độ của ồn trắng
x độ lệch chuẩn
2x phương sai
tần số của kích động
0 tần số dao động tự do
IX
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên .................................... 9
Hình 1.2. Các hàm mật độ xác suất chuẩn ...................................................................... 14
Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, ( =0.1, 1, 10, 100) ............................ 52
Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản phi tuyến, (=0.1, 1, 10, 100) ............... 54
Hình 3.3. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, (=0.1, 1, 10,
100) ................................................................................................................................. 56
X
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo ......................................................... 51
Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo ......................................................... 53
Bảng 3.3. Các giá trị của a phụ thuộc theo ......................................................... 55
Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với
0.05, 1, 4oh h , và γ thay đổi..................................................................... 60
Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van der Pol với
α*ε=0.2; 0 =1; * =2; σ2 thay đổi ................................................................ 63
Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với
1, 0.25, 1o h ; hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi .................................... 65
Bảng 3.7. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với cản phi
tuyến ( 1.0, 0.1, 2 ; thay đổi) ........................................................ 69
Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo 1 2 với
1 2 1 2 0 1a b S . .................................................................................. 79
Bảng 4.2. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo b với
1 2 1 2 1 2 0 1a S .......................................................................... 79
Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với 1,,,, 22 fS và thay đổi ......... 85
Bảng 4.4. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với
2, , , , 1,fS hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi ............................................. 87
Bảng 4.5. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với
1,,,, 2 fS hệ số cản phi tuyến thay đổi ..................................................... 88
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết, ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài:
Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò rất quan
trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như kéo dài tuổi thọ của các công
trình, máy móc. Hạn chế hay loại bỏ những dao động không mong muốn, hoặc tạo
ra một mức độ dao động mong muốn là những mục tiêu chung của kỹ thuật dao
động. Để nghiên cứu các hiện tượng dao động, cần phải mô tả chúng bằng các
phương trình toán học, theo đó, các hệ dao động được gọi là tuyến tính hay phi
tuyến tùy theo phương trình vi phân mô tả dao động ấy là tuyến tính hay phi tuyến.
Hầu hết các bài toán dao động đều liên quan đến việc xác định chuyển động
của một hệ gây ra bởi tải trọng kích động. Nếu tải trọng thay đổi điều hòa hay chu
kỳ, hoặc theo một cách nào đó mà được mô tả đầy đủ như là một hàm của thời gian
(và vị trí) và nếu vị trí hay chuyển động ban đầu của hệ được biết thì đáp ứng của hệ
ở một thời điểm tùy ý sẽ hoàn toàn được xác định. Loại dao động như vậy được gọi
là dao động tiền định.
Trong dao động ngẫu nhiên, kích động thay đổi có tính chất ngẫu nhiên (bất
thường) và gây ra các đáp ứng cũng thay đổi bất thường làm cho các công trình,
thiết bị máy móc làm việc không hiệu quả, chóng hư hỏng, hoặc bị phá hủy đột
ngột. Chẳng hạn như: nhiễu động của gió lên máy bay, tên lửa; tải trọng gió lên
công trình cao tầng, tháp, cầu; tác động của sóng biển lên tầu biển, công trình biển;
lực do nhấp nhô của mặt đường tác động lên ô tô; tác động của động đất đến các
công trình, v.v. là các dạng kích động ngẫu nhiên. Về bản chất, giá trị của đại lượng
ngẫu nhiên ở một thời điểm bất kỳ là không thể dự báo được, thậm chí nếu có mối
liên hệ nào đó giữa cường độ của đại lượng ngẫu nhiên và thời gian mà đo được
trong một khoảng thời gian nhất định thì nó cũng không bao giờ lặp lại một cách
chính xác ở khoảng thời gian khác. Do đó, các công cụ quen thuộc trong phân tích
dao động tiền định sẽ không thể áp dụng được cho dao động ngẫu nhiên. Bởi vậy,
việc nghiên cứu dao động ngẫu nhiên bằng các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên
có ý nghĩa khoa học và ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật.
Trong hơn nửa thế kỷ qua, đã có những phát triển quan trọng về cơ học ngẫu
nhiên và dao động ngẫu nhiên, đặc biệt cùng với sự phát triển và đóng góp quan
2
trọng của kỹ thuật máy tính. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên
thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến.
Đối với dao động ngẫu nhiên mà tính chất động lực của cấu trúc được mô hình hóa
bằng các phương trình tuyến tính thì các thống kê đáp ứng có thể được phân tích
một cách thỏa đáng. Tuy nhiên, trong thực tế, những trường hợp như vậy chỉ là
thiểu số, phổ biến hơn cả là các cấu trúc phi tuyến. Việc phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến là rất khó khăn, phức tạp và chỉ một số trường hợp đặc biệt cho
phép nhận được lời giải chính xác. Bởi vậy, cần xây dựng những phương pháp phân
tích xấp xỉ dễ ứng dụng hơn và cho phép nhận được kết quả có độ chính xác hợp lý.
Về cơ bản, có thể phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ như sau: i) Nhóm các
phương pháp giải tích (tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương,
trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss và đóng không Gauss, hàm mật độ xác suất xấp
xỉ, phương pháp nhiễu, khai triển chuỗi); ii) Nhóm các phương pháp số (Runge
Kutta, phần tử hữu hạn,..); iii) Mô phỏng Monte Carlo; iv) Các phương pháp thực
nghiệm.
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa
tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính
đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do. Phương pháp tuyến
tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9] , [10] để phân
tích các hệ dao động ngẫu nhiên. Nội dung của phương pháp dựa trên sự thay thế
phương trình phi tuyến của hệ bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng
một kích động ngẫu nhiên. Các hệ số tuyến tính hóa tương đương nhận được theo
tiêu chuẩn cực tiểu hóa sai số bình phương trung bình giữa phương trình phi tuyến
gốc và phương trình tuyến tính tương đương. Đây là một phương pháp hữu hiệu đối
với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến
lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát
triển những tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số. Trong
nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã
được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương
đương [11-24]. Năm 1995, N. Đ. Anh và Di Paola đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC)
3
[15] dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân
trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của đáp ứng của hệ xuất
hiện nhiều nhất. (r là số dương, x là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên x). Tiêu
chuẩn này đã được Tiến sĩ Lưu Xuân Hùng phát triển trong luận án tiến sĩ [7]. Độ
chính xác của phương pháp này được cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền
thống của Caughey. Có thể thấy được ưu điểm của LOMSEC là: Trước hết, bằng
cách thay đổi miền lấy tích phân tiêu chuẩn LOMSEC tạo ra hàng loạt lời giải xấp
xỉ; trong đó, lời giải theo tiêu chuẩn kinh điển chỉ là một trường hợp đặc biệt khi
miền tích phân là vô cùng; thứ hai LOMSEC cũng chứa đựng sự tồn tại của một
miền tích phân mà về nguyên tắc cho phép nhận được lời giải chính xác, trong khi
điều này là không thể đối với tiêu chuẩn kinh điển. Tuy nhiên, nhược điểm chính
của LOMSEC là: đối với một hệ phi tuyến bất kỳ, miền tích phân khu vực phù hợp
(giá trị r) lại là một ẩn số, vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra ẩn số này. Gần đây,
quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến
[20] và đã được phát triển trong [21-24]. Một ưu điểm quan trọng của quan điểm
đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau của một vấn đề, điều này cho phép
nghiên cứu trở nên phù hợp hơn. Năm 2012, dựa trên quan điểm đối ngẫu, N. Đ.
Anh, L.X. Hùng và L. Đ. Việt [24] đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion -
GLOMSEC) cho các hệ ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (SDOF) bằng cách kết
hợp hai phạm vi địa phương và tổng thể. Những giá trị mới thu được của các hệ số
tuyến tính hóa là giá trị trung bình trên tổng thể của tất cả các hệ số tuyến tính hóa
địa phương.
Trước đây, hệ SDOF có thể được sử dụng làm mô hình toán học khi khảo sát
một số hệ, nhưng hiện nay, hệ nhiều bậc tự do (MDOF) phải được sử dụng trong
hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương
pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.
Đây chính là cơ sở hình thành ý tưởng của luận án, đó là: áp dụng quan niệm đối
ngẫu để khắc phục nhược điểm đã nêu của LOMSEC, phát triển tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error
4
Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự do
(MDOF).
2. Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp
tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động
ngẫu nhiên.
3. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các hệ dao động phi tuyến
thường gặp trong các lĩnh vực kỹ thuật với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau,
một bậc tự do và nhiều bậc tự do chịu kích động ồn trắng và ồn màu. Đại lượng
được quan tâm chủ yếu là mô men bậc hai của đáp ứng.
4. Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số,
mô phỏng Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể. Cụ thể là: dựa trên
nhược điểm còn tồn tại của tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
(chưa khép kín về mặt giải tích khi xác định giá trị các hệ số tuyến tính hóa khu
vực), kết hợp với quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến
(xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt
giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa, làm cơ sở để xây
dựng tiêu chuẩn mới. Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm
Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự
do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm nghiệm mô phỏng các dao động phi tuyến làm
cơ sở để đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa.
5. Bố cục của luận án
Luận án có bố cục gồm phần Mở đầu và 4 chương, phần Kết luận; Danh mục
các công bố của luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục.
Chương 1. Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và
quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số
phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích
chi tiết.
Chương 2. Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương
sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương
5
pháp bao gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu. Đặc biệt, trong luận
án sẽ tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do.
Chương 3. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ
một bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được
so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô
men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do.
Chương 4. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ
nhiều bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này
được so sánh với nghiệm chính xác, nghiệm mô phỏng và nghiệm theo tiêu chuẩn
kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến
nhiều bậc tự do.
Kết luận chung: Trình bày các kết quả chính và mới đã thu được trong luận
án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 6 bài báo,
trong đó có 1 bài trên Tạp chí quốc tế, 1 bài trên Tạp chí ISI, 1 bài trên Tạp chí
Vietnam Journal of Mechanics, và trong các hội nghị khoa học quốc tế và quốc gia.
6
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU
NHIÊN PHI TUYẾN
Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu
nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân
tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Một số kết
quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng được
trình bày.
1.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật chung của những hiện tượng
ngẫu nhiên. Một biến cố có thể xảy ra, hoặc có thể không xảy ra gọi là biến cố ngẫu
nhiên. Một biến cố chắc chắn sẽ xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử
được gọi là biến cố tiền định. Nếu mọi điều kiện thử nghiệm được giữ nguyên mà
các kết quả thu được lại khác nhau, thì biến cố như vậy được gọi là biến cố ngẫu
nhiên.
Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]:
Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M,
ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn
nlim f (M) P(M)
(1.1)
Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên
kết nó với một số thực X(r) sao cho
a) tập hợp X x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,
b) xác suất của biến cố X = bằng không
PX = = 0 (1.2)
Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X là
xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x,
F(x) = P[X x] (1.3)
7
Hàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất sau [29,69]:
1 2 1 2
0 F 1
thì F F
( ) lim ( ) 0x
x
x x x x
F F x
(1.4)
1 2 2 1
( ) lim ( ) 1
[ ] ( ) ( )
xF F x
P x X x F x F x
Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất F(x) của nó
liên tục. Đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất gọi là hàm mật độ xác suất,
ký hiệu p(x) xác định theo công thức [29,69]:
0
[ ]( ) lim '( )
x
P x X x xp x F x
x
(1.5)
Ta có
( ) [ ] ( )
[ ] ( )
( ) ( ) 1
x
b
a
F x P X x p x dx
P a X b p x dx
p x dx F
(1.6)
Khi xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ta có đại lượng ngẫu nhiên hai
chiều và hàm phân phối xác suất kết hợp được định nghĩa như sau:
( , ) [ , ]F x y P X x Y y (1.7)
còn hàm mật độ xác suất kết hợp là
2
00
[ , ] ( , )( , ) lim
xy
P x X x x y Y y y F x yp x y
x y x y
(1.8)
Hai hàm này có mối quan hệ sau:
( , ) ( , )yx
F x y p x y dxdy
(1.9)
8
và chúng có các tính chất sau:
2 1 2 1
2 1 2 1
1
2
1 2 2 1
1 2 2 1
0 ( , ) 1
, ( , ) ( , ),
, ( , ) ( , ).
( , ) 0 , ( , ) 0
( , ) 0, ( , ) ( ),
( , ) ( ), ( , ) 1.
[ , ] ( , ) ( , )
[ , ] ( , ) ( , )
[( , )
F x y
x x y F x y F x y
y y x F x y F x y
F y y F x x
F F x F x
F y F y F
P X x y Y y F x y F x y
P x X x Y y F x y F x y
P x y
] ( , )
( , ) 1
D
D p x y dxdy
p x y dxdy
(1.10)
Hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và Y tương ứng
được ký hiệu là p1(x) và p2(y) và thu được bằng phép tích phân:
1 2( ) ( , ) , ( ) ( , )p x p x y dy p y p x y dx
(1.11)
Nếu hai thành phần X và Y độc lập nhau, thì
p(x,y) = p1(x)p2(y) và F(x,y) = F1(x)F2(y) (1.12)
Tương tự ta có thể mở rộng các khái niệm này cho đại lượng ngẫu nhiên n chiều.
1.2 Quá trình ngẫu nhiên
Khi đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian ta có khái niệm về quá trình
ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại mỗi giá trị
cho trước của đối số (thời gian t) là một đại lượng ngẫu nhiên. Để mô tả một quá
trình ngẫu nhiên ta dùng các thể hiện. Mọi thể hiện đơn lẻ x(j)(t) thuộc tổng thể này
được gọi là một hàm mẫu (xem Hình 1.1). Các đặc trưng xác suất của quá trình
ngẫu nhiên là năm hàm không ngẫu nhiên sau đây: hàm mật độ xác suất, kỳ vọng
toán, phương sai, hàm tương quan, và mật độ phổ.
9
Hình 1.1. Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên
Hàm mật độ xác suất
Tại mỗi giá trị t=t1 cố định thì quá trình ngẫu nhiên là một đại lượng ngẫu nhiên
x(t1). Ký hiệu mật độ xác suất hay phân phối xác suất bậc một là p[x(t1)] hoặc đơn
giản là p(x), thì xác suất để mẫu nằm giữa a và b theo (1.13) sẽ là
( )b
a
p x dx (1.13)
Tương tự, đối với hai giá trị t1 và t2, thì cặp giá trị x(t1) và x(t2) có thể được coi như
biến ngẫu nhiên hai chiều. Nếu gọi p(x1,x2) là hàm mật độ xác suất kết hợp ta có
1 1 2 2 2 1 2 1( ) ( , ) , ( ) ( , )p x p x x dx p x p x x dx
(1.14)
Nhiều thông tin quan trọng của quá trình ngẫu nhiên có thể được biết thông qua các
đại lượng mô men bậc 1 và bậc 2. Mô men bậc 1 hay kỳ vọng toán học của quá
trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng một chiều p(x) được
định nghĩa như sau [3,29,30]
Mô men bậc nhất (hay Kỳ vọng toán)
[ ] ( )xm E x x xp x dx
(1.15)
Mô men bậc 2 (hay đại lượng trung bình bình phương) của quá trình ngẫu nhiên
(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]
t2 t1
10
Mô men bậc 2
2 2 2[ ] ( )E x x x p x dx
(1.16)
Mô men bậc 2 quy tâm hay còn được gọi là phương sai của quá trình ngẫu nhiên
(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]
Mô men bậc 2 quy tâm (hay Phương sai)
2 2 2 2 2( ) [( ) ] ( ) ( )xD x E x x x x p x dx x x
(1.17)
Đại lượng ( )x D x phản ánh mức độ phân tán của quá trình ngẫu nhiên X(t) so
với giá trị trung bình của nó, gọi là độ lệch chuẩn.
Một cách tổng quát mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên véc tơ m chiều (dừng)
X(t) với hàm mật độ xác suất dừng m chiều p(x1, x2, …. xm) được định nghĩa như
sau [3,29,30]
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
[ .. ] .. ... .. ( , ,... ) ... ,
... , 0, 1,...,
m m mm m mm m m m m mm m m m m
m i
E x x x x x x x x x p x x x dx dx dx
m m m n m i m
(1.18)
Hàm tự tương quan và hiệp phương sai
Gọi t1 và t2 là hai giá trị của t với t2 = t1 + và ký hiệu x1 và x2 là các tổng thể của
các mẫu x(t1) và x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x1, x2). Khi đó kỳ
vọng toán của tích x1x2 sẽ là [29,69]:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )R x x x x x x p x x dx dx
(1.19)
gọi là hàm tự tương quan (hay hàm tương quan). Ta có
R(x1,x2) = R(t1,)
với = t2 - t1 là độ trễ.
11
Xét hàm số bằng trung bình tích độ lệch giữa x(t) và trung bình của nó tại hai thời
điểm
1 21 2 12 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) [( )( )]
( )( ) ( , )
x x xK t t K K E x x x x
x x x x p x x dx dx
x x x x
(1.20)
gọi là hiệp phương sai hay hàm tương quan của quá trình x(t).
Khi x1 và x2 có trung bình zero thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương quan.
Khi t1 = t2 thì hiệp phương sai trùng với phương sai và hàm tự tương quan trùng với
trung bình bình phương.
Khi hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 độc lập nhau: p(x1,x2) =p1(x1)p2(x2) ta có
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0x xK x x x x x x x x (1.21)
Khi đó hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 không tương quan. Như vậy, mô men
tương quan (hiệp phương sai) đặc trưng cho mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu
nhiên hay giữa các giá trị x1 và x2 của một quá trình ngẫu nhiên tại hai thời điểm
khác nhau. Các mô men bậc hai của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều x1, x2 có thể mô
tả bằng ma trận hiệp phương sai sau đây:
1 2 1 1 1 2
2 1 2 1 2 2
1
2
x x x x x x
x x x x x x
Dx K K K
K Dx K K
(1.22)
1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Quá trình ngẫu nhiên dừng
Quá trình ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu tổng thể các thống kê của nó
không đổi theo thời gian [27-29]
1 1 1 1( ,..., , ,... ) ( ,..., , ,..., )n n n n n np x x t t p x x t t n (1.23)
Từ đó suy ra
12
1 1
2 1 2 1 2 2 1 2
12 1 2
( , ) ( )
( )
( , , , ) ( , , )
( ) ( ) ( )
x
x
p x t p x
x t m const
p x x t t p x x
K x t x t x x R
(1.24)
Nếu (1.23) đúng với n k thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng bậc k. Quá
trình dừng bậc hai còn gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp.
Quá trình ngẫu nhiên Ergodic
Xét một mẫu x(j) là hàm f(t) trong khoảng thời gian T của quá trình x(t). Lấy trung
bình theo thời gian dọc theo mẫu này [29-31]
( ) ( )
0 0
1 1( )
T Tj Jx x dt f t dt
T T
(1.25)
được gọi là trung bình theo thời gian. Quá trình dừng có trung bình tổng thể bằng
trung bình theo thời gian lấy dọc theo một hàm mẫu bất kỳ, được gọi là quá trình
Ergodic. Như vậy trung bình <x> và hàm tương quan Rx() chỉ dựa vào một thể
hiện của quá trình
( )
0
0
1lim ( )
1( ) ( ) lim ( ) ( )
Tj
T
T
xT
x x f t dtT
R f t f t dtT
(1.26)
Tóm lại, đối với quá trình Ergodic, thì một mẫu (một thể hiện) bất kỳ cũng đại diện
hoàn toàn được cho cả quá trình. Điều kiện cần và đủ để một quá trình là Ergodic là
0d)(R)T
1(T
1lim
T
0
xT
(1.27)
Xét quá trình ngẫu nhiên dừng x(t) với hàm tự tương quan Rx(t,t+) = Rx(). Đối với
quá trình thực x(t), thì S() là hàm chẵn, không âm của và đạt cực đại tại gốc toạ
độ, lấy tích phân Fourier cho hàm Rx() được
0
( ) ( )exp{ } 2 ( )cosx x xR S i d S d
(1.28)
13
trong đó Sx() là biến đổi ngược Fourier của hàm Rx()
0
1 1( ) ( )exp{ } ( )cos
2x x xS R i d R d
(1.29)
Khi đó Sx() được gọi là mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên. Để hiểu ý nghĩa vật
lý của Sx(), ta xét trường hợp tới hạn với = 0
2(0) ( )x xR x S d
(1.30)
Nghĩa là, trung bình bình phương của quá trình ngẫu nhiên bằng tổng tất cả các tần
số Sx()d. Do vậy, Sx() chính là mật độ phân phối của trung bình bình phương
dọc theo trục tần số.
Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss
Trong hầu hết các bài toán ứng dụng nhiều quá trình ngẫu nhiên là lực kích động lên
hệ dao động được coi một cách gần đúng là quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss.
Đó là quá trình mà hàm tương quan (hay mật độ phổ) cho đủ thông tin để xây dựng
tập hợp vô hạn các phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu
nhiên chuẩn n chiều có dạng [29-31]
11 1
1 1( ,... ) exp ( )( )
2(2 )
n n
n ij i i j jn
i jij
p x x x m x mK
(1.31)
trong đó
2
( )( )i
ij ji i i j j
ij i j
i jK K x m x m
i j
là ma trận n n của các mômen trung tâm, ijK là định thức tương ứng và ij là các
phần tử của ma trận nghịch đảo, mi = <xi>. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu
nhiên chuẩn 1 chiều và 2 chiều không tương quan có trung bình zero, tương ứng là:
21
1 211
1 xp(x ) exp
2σ2πσ
2 21 2
1 2 2 21 2 1 2
1( , ) exp
2 2 2
x xp x x
(1.32)
14
Hình 1.2. Các hàm mật độ xác suất chuẩn
Tham số σ đặc trưng cho mức độ phân tán của phân phối quanh tâm phân phối. Khi
tăng, mật độ xác suất tại tâm phân phối giảm, còn lại những điểm cách xa tâm phân
phối sẽ tăng. Tham số h =1/σ được gọi là độ đo độ chính xác (xem hình 1.2).
Quá trình ồn trắng
Quá trình ngẫu nhiên dừng chuẩn f(t) (thường được ký hiệu là ))t( có mật độ phổ
không đổi được gọi là quá trình ồn trắng. Mật độ phổ của quá trình này đồng đều
trên tất cả các tần số, tương tự như ánh sáng trắng trải một cách đều đặn trên toàn
phổ nhìn thấy được. Khi đó hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan tương ứng là
[29, 30, 31]:
2
22
( )2
( ) exp{ } ( )2
f
f
S
R i d
(1.33)
với là cường độ của ồn trắng còn () là hàm delta Dirac hay xung đơn vị
0( )
0 0
Về mặt vật lý thì ồn trắng là không có thực vì có phương sai lớn vô cùng và quá
trình ngẫu nhiên này là không liên tục.
Quá trình ồn màu
Quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả như là một quá trình ồn trắng đi
qua bộ lọc vi phân bậc cao, trong luận án chỉ giới hạn ở quá trình ồn màu bậc hai.
15
Gọi f là một quá trình ồn màu dải hẹp có thể thu được bằng cách qua một bộ lọc
tuyến tính bậc hai với tần số trung tâm trong đó phương trình vi phân cho bộ lọc là
2 2f ff f f w . (1.34)
trong đó w là quá trình ồn trắng có mật độ phổ S . Theo [29], hàm mật độ phổ của
f được xác định theo công thức
2 4
f fS H S .
trong đó HHH2
với H là đáp ứng tần số phức của bộ lọc:
12 2
fH i
Suy ra, hàm mật độ phổ và phương sai của quá trình ồn màu f sẽ là
22222
4
f
ff
SS
2
2 f
f f
SS d
(1.35)
Quá trình Wiener
Quá trình ngẫu nhiên X(t), t > 0 gọi là quá trình Wiener nếu:
1) số gia độc lập X(t) - X(s) là dừng. Nghĩa là các biến ngẫu nhiên X(t) - X(s) và
X(t+h) - X(s+h) có cùng phân phối xác suất p
2) đối với t > 0, thì X(t) có phân phối chuẩn
3) t > 0 có <x(t)> = 0
4) x(0) = 0.
Ta có [29-31]:
21( , ) exp{ }
22
xp x t
tt (1.36)
với Dx = 2(t) = t. Quá trình Wiener (t) có thể coi là tích phân của ồn trắng
Gauss
16
0
( ) ( )t
t d (1.37)
Quá trình Markov
Một quá trình ngẫu nhiên X(t) được gọi là quá trình Markov nếu [29, 30, 31] :
1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ,..., ( ) ] [ ( ) ( ) ]n n n n n n n nP X t x X t x X t x P X t x X t x (1.38)
với mọi tn > tn-1 >...> t1, nghĩa là, chỉ có giá trị xn-1 đứng ngay trước xn là có ảnh
hưởng tới xác suất của xn, Nói một cách khác, dáng điệu thống kê của quá trình
Markov trong tương lai được xác định duy nhất bởi hiện tại, không phụ thuộc vào
quá khứ. Về phương diện vật lý, đặc điểm đó tương đương với quá trình không có
quá khứ. Đối với quá trình Markov mọi phân phối nhiều chiều đều có thể biểu diễn
qua phân phối hai chiều
1 2 1 2 1 1 1 12
( , ,..., ; , ,..., ) ( , ) ( , , )n
n n r r r rr
p x x x t t t p x t p x t x t
(1.39)
trong đó các xác suất có điều kiện còn được gọi là các xác suất chuyển tiếp. Theo
định nghĩa thì quá trình ồn trắng và quá trình Wiener cũng là quá trình Markov.
1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên
Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là các công cụ hữu
hiệu để phân tích dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu
nhiên. Ngày nay, các phương pháp số làm cho các bài toán phi tuyến trở nên giải
được. Tuy nhiên, phương pháp số chỉ cho kết quả ở dạng số thiếu tính quy luật tổng
quát. Việc sử dụng các phương pháp giải tích gần đúng là cần thiết để phân tích các
hệ phi tuyến. Ta sẽ lần lượt điểm qua một số phương pháp giải tích gần đúng sau đó
sẽ lựa chọn một vài phương pháp liên quan đến luận án để trình bày chi tiết [29-31].
Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé)
Một trong những phương pháp xấp xỉ được sử dụng phổ biến là phương pháp nhiễu
(hay phương pháp tham số bé). Xuất phát từ việc áp dụng cho dao động tiền định,
phương pháp nhiễu được Crandall [25] sử dụng để đánh giá các mô men đáp ứng
của hệ một và nhiều bậc tự do chịu kích động dừng Gauss. Ý tưởng cơ bản của
phương pháp là khai triển nghiệm của dao động phi tuyến dưới dạng chuỗi lũy thừa
17
của tham số bé, thường là hệ số phi tuyến của hàm phi tuyến. Phương pháp này phù
hợp cho hệ có số hạng phi tuyến dạng đa thức, và hữu ích khi tính toán các mô men
của đáp ứng. Tuy nhiên, khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng
tăng lên theo bậc của tham số khai triển, trong khi để đơn giản trong áp dụng thực
tế, thường chỉ sử dụng đến bậc nhất. Do vậy, phương pháp nhiễu chỉ có hiệu quả
cho hệ phi tuyến yếu với nhiễu nhỏ. Một số áp dụng của phương pháp này được
trình bày trong [25, 26].
Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK)
Phương pháp này được sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên khi phương
pháp đưa bài toán ngẫu nhiên về việc giải một phương trình đạo hàm riêng [77, 78].
Phương pháp phương trình FPK cho nghiệm chính xác cho một số dạng dao động
cụ thể, được sử dụng để làm cơ sở đánh giá độ chính xác của các phương pháp gần
đúng. Phương pháp phương trình FPK có lẽ là phương pháp duy nhất cho nghiệm
chính xác tuy nhiên các lời giải chính xác rất hạn chế. Một số phương pháp đã được
để xuất để tìm nghiệm của phương trình FPK. Tuy nhiên việc xấp xỉ này đòi hỏi khá
nhiều thời gian tính toán và mới chỉ dừng lại ở bài toán bốn chiều với kích động
ngoài thường là ồn trắng Gauss; còn việc xấp xỉ giải tích cũng chỉ dừng lại đối với
một lớp hệ phi tuyến có tải trọng tuần hoàn và chịu kích động ngẫu nhiên.
Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên
Dựa trên phương pháp trung bình áp dụng cho các hệ tiền định của Bogoliubov và
Mitropolski [58] Stratonovich chứng minh đáp ứng của hệ một bậc tự do có cản
yếu chịu kích động băng rộng có thể được xấp xỉ bằng quá trình khuếch tán
Markov, nghĩa là hàm mật độ xác suất có thể xác định được bằng phương trình
FPK. Phương pháp này được Roberts và Spanos [29] tổng quát hóa cho hệ nhiều
bậc tự do, được Lin [70] áp dụng hệ có kích động không dừng. Mặc dù có thể áp
dụng cho hệ chịu kích động ngoài cũng như kích động tham số, nhưng phương pháp
này thường chỉ áp dụng được cho hệ một bậc tự do có cản yếu vì bị giới hạn bởi
việc giải phương trình FPK nhiều chiều.
18
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên
Ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương là thay thế hệ phi
tuyến ban đầu bằng một hệ tuyến tính tương đương có cùng kích động [9-19].
Trong hệ tuyến tính tương đương, các hàm phi tuyến được thay thế bằng các hàm
tuyến tính với hệ số tuyến tính hóa được lựa chọn tối ưu theo một tiêu chuẩn xác
suất nào đó. Các tiêu chuẩn của Caughey đề nghị điều kiện cực tiểu trung bình bình
phương của sai số phương trình, còn được biết đến với các tên gọi khác như tiêu
chuẩn kinh điển [9,10]. Các tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho hệ một bậc tự do hay
nhiều bậc tự do, hệ dừng hay không dừng, hệ có trễ với quy trình tính toán khá đơn
giản, rất có hiệu quả khi áp dụng để phân tích mô men bậc hai. Tuy nhiên, một
trong những nhược điểm cơ bản của tiêu chuẩn kinh điển là độ chính xác giảm khi
mức độ phi tuyến tăng. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương sẽ là công cụ
nghiên cứu chính của luận án nên sẽ được trình bày chi tiết và sâu hơn trong chương
sau.
Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên
Ý tưởng của phương pháp này là thay thế hệ phi tuyến ban đầu bằng một hệ phi
tuyến tương đương thuộc lớp hệ phi tuyến có nghiệm chính xác [77, 78, 81].
Phương pháp này chỉ thích hợp để áp dụng cho hệ một bậc tự do vì các hệ phi tuyến
có hàm mật độ xác suất nhiều chiều chính xác rất hạn chế [77, 78, 81].
Trong các phương pháp giải tích đề cập ở trên, mỗi phương pháp có một lợi thế
riêng. Phương pháp phương trình FPK là phương pháp giải tích chính xác. Phương
pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên
đều sử dụng các xấp xỉ giải tích để tìm hàm mật độ xác suất bằng phương pháp
phương trình FPK nên được dùng kết hợp với phương pháp này. Phương pháp
nhiễu, mặc dù có thể áp dụng cho bài toán nhiều chiều, nhưng chỉ phù hợp với hệ
phi tuyến yếu và khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng tăng theo
bậc của khai triển xấp xỉ. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên
thường được sử dụng nhất hiện nay để phân tích dao động ngẫu nhiên trong nghiên
cứu và trong ứng dụng kỹ thuật. Lý do là phương pháp này có thể áp dụng đối với
hệ nhiều bậc tự do hay bài toán nhiều chiều vốn rất phổ biến trong thực tế, trong khi
các phương pháp khác như đã liệt kê đều bị giới hạn bởi số chiều của bài toán.
19
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể được coi là phương pháp thông
dụng, được các tác giả sử dụng phổ biến nhất để tìm đáp ứng của các hệ phi tuyến
ngẫu nhiên. Tuy nhiên phương pháp tuyến tính hóa tương đương vẫn tồn tại một số
nhược điểm cơ bản cần phải giải quyết, một là không ước lượng được mức độ chính
xác của nghiệm xấp xỉ, hai là sai số của nghiệm xấp xỉ tăng khi mức độ phi tuyến
tăng, ba là chỉ cho kết quả dưới dạng mô men bậc hai của đáp ứng.
Đối với nhược điểm thứ nhất của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cần xác
định liên hệ toán học giữa tiêu chuẩn tuyến tính hóa được đề xuất với sai số của
nghiệm xấp xỉ, nhưng hiện nay vẫn chưa có chứng minh lí thuyết cho một tiêu
chuẩn cụ thể nào về sự liên hệ này, do đó để đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ cần
phải dựa trên các hệ có nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số. Để giải quyết
nhược điểm thứ hai, một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa mới đã được đề xuất theo các
cách tiếp cận dựa trên các tiêu chuẩn về năng lượng hay mô men xác suất, nhưng
vẫn chưa có tiêu chuẩn nào được khẳng định là thay thế hoàn toàn tiêu chuẩn kinh
điển. Nhược điểm thứ ba xuất phát từ giả thiết phân bố xác suất của đáp ứng xấp xỉ
là Gauss với trung bình không nên chỉ cần biết mô men bậc hai là xác định được
toàn bộ các đặc trưng xác suất khác của đáp ứng, do đó một số tiêu chuẩn tuyến tính
hóa đề xuất sử dụng phân bố của đáp ứng khác Gauss, tuy nhiên dạng của phân bố
phải giả thiết nên cũng chỉ phù hợp cho một số hệ phi tuyến nhất định. Cho đến nay
vẫn chưa có cách tiếp cận nào có thể giải quyết đồng thời ba nhược điểm cơ bản của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Trong luận án sẽ dùng các lời giải chính
xác để so sánh với các lời giải gần đúng của luận án, do vậy dưới đây ta trình bày
chi tiết phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và liên quan
đến phương pháp này là phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên.
1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và
phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên
Để áp dụng phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kongomorop (FPK) ta sẽ sử
dụng kiến thức về quá trình ngẫu nhiên Markov đã được trình bày ở mục 1.3 của
chương này. Khi đó hàm phân bố nhiều chiều đều có thể biểu diễn qua phân phối
hai chiều theo công thức (1.39), trong đó hàm mật độ xác suất có điều kiện còn
được gọi là hàm mật độ xác suất chuyển tiếp. Hàm mật độ xác suất p(X,t) và hàm
20
mật độ xác suất chuyển tiếp 0 0, ,p X t X t của quá trình Markov thoả mãn phương
trình thuận Kongomorop được gọi là phương trình FPK [70,77]:
2
1 , 1
1( , ) [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]
2
n n
i iji i ji i j
p X t K X t p X t K X t p X tt X X X
(1.40)
trong đó các hệ số dịch chuyển và hệ số khuyếch tán của quá trình Markov X(t)
được xác định theo công thức:
0
0
1( , ) lim [ ( ) ( )] ( ) ,
1( , ) lim [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( )
i i it
ij i i j jt
K X t X t t X t X tt
K X t X t t X t X t t X t X tt
(1.41)
Người ta đã chứng minh được rằng quá trình ngẫu nhiên X(t) = [X1(t),...,Xn(t)] được
cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito:
1
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( 1, )n
i i ik kk
dX t f X t dt g X t t i n
(1.42)
trong đó fi(X,t), gik(X,t) là các hàm khả vi liên tục, ( )k t là quá trình Wiener độc lập:
2 11 2 1 2
( ) 0,
[ ( ) ( )][ ( ) ( )]2
k
ik k i i k k
tt t
t t t t
(1.43)
sẽ là quá trình ngẫu nhiên Markov có các hệ số dịch chuyển và hệ số khuyếch tán
được tính theo công thức
1
( , ) ( , ),
1( , ) ( , ) ( , )
2
i i
n
ij i j ik jkk
K X t f X t
K X t g X t g X t
(1.44)
Thay (1.44) vào (1.40) ta thu được phương trình FPK sau đây
1
2
1 1 1
( , )( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
2 2
n
ii i
n n n
i j ik jki j ki j
p X tf X t p X t
t X
p X t g X t g X tX X
(1.45)
21
từ đó xác định hàm mật độ xác suất p(x,t) của quá trình ngẫu nhiên x(t) của hệ
phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.42). Các quá trình Wiener ( )k t (1.43) tương
đương với những đặc trưng của véc tơ ồn trắng có giá trị trung bình zero và các hàm
tương quan
2 11 2
( ) / 2 ; ( , 1, )( ) ( )0 ;
kk j
t t k j k j nt tk j
(1.46)
Giá trị dương k /2 gọi là cường độ của quá trình ồn trắng 1( )k t . Và phương trình
(1.43) có thể viết lại dưới dạng
( ) ( , ) ( ) ( 1, )i ix t f x t t i n (1.47)
Phương pháp phương trình FPK thường được sử dụng trong phân tích dao động
ngẫu nhiên. Phương pháp phương trình FPK cho nghiệm chính xác cho một số dạng
dao động cụ thể, được sử dụng để làm cơ sở đánh giá độ chính xác của các phương
pháp gần đúng trong đó có phương pháp tuyến tính hóa. Phương pháp phương trình
FPK có lẽ là phương pháp duy nhất cho nghiệm chính xác tuy nhiên các lời giải
chính xác rất hạn chế. Dưới đây là một số ví dụ hay được trình bày nhất.
Hệ có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
Ta xét hệ một bậc tự do có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng [26]
20,x f H x x x x g x t
(1.48)
trong đó 0 , 0, là tần số của hệ tuyến tính và cường độ của lực kích động ồn
trắng, ,f H x x là hàm của biến số H là tổng năng lượng hay hàm Hamilton
2
0
1,
2
x
H x x x g u du
(1.49)
g x - lực đàn hồi phi tuyến. Phương trình FPK tương ứng xác định hàm mật độ
xác suất dừng ( , )p x x của (1.48) có dạng
2 220
2
, , ( ), ,0
2
p x x f H x x x x g xp x x p x xx
x x x
(1.50)
22
Nghiệm chính xác của ( , )p x x sẽ là [6]
2
0
2, exp
H
p x x C f v dv
(1.51)
trong đó C là hệ số chuẩn hóa
1 ,C p x x dxdx
(1.52)
Trong trường hợp hệ có cản tuyến tính và lực đàn hồi phi tuyến:
202x hx x g x t
(1.53)
Hàm mật độ xác suất chính xác của hệ phi tuyến (1.53) là
2
2 2 202
0
4, exp ,
4 1 1exp
2 2
x
hp x x C H x x
hC x x g u du
(1.54)
Phân tích các hàm mật độ xác suất chính xác (1.51), (1.54) cho dao động phi tuyến
một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss ta thu được nhận xét:
- Các đáp ứng dịch chuyển x(t) và vận tốc ( )x t thường không là quá trình Gauss.
- x(t) và ( )x t có thể là các quá trình độc lập khi lực cản tuyến tính.
- x(t) và ( )x t là các quá trình không độc lập khi dao động có giảm chấn phi tuyến.
Phương trình vi phân ngẫu nhiên bậc cao
Phương pháp phương tŕnh FPK có thể áp dụng hiệu quả cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên bậc cao dạng sau [27,28]:
1
1,..., , ( )
n n
n n
d x d x dxf x t
dt dt dt
(1.55)
trong đó )t( là ồn trắng có cường độ đơn vị. Ta có thể đưa (1.55) về dạng
23
( )( 1) (0)
( 1)( 1)
, 0, 2, ,
( , ,..., ) ( ).
kk
nn
dxx k n x x
dtdx
f x x x tdt
(1.56)
Phương trình FPK tương ứng cho hàm mật độ xác suất dừng ( 1)( , ,..., )np x x x của
hệ (1.56) có dạng:
2 2( 1)
( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
( )... 0
2n
n n n n
p p p pf px x x
x x x x x x
(1.57)
Các lời giải chi tiết cho (1.57) có thể xem [77]. Đặc biệt, phương pháp phương trình
FPK có thể áp dụng hiệu quả khi kết hợp với phương pháp trung bình hóa ngẫu
nhiên được giới thiệu trong mục tiếp theo.
Xét phương trình của hệ dao động phi tuyến yếu chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng
như sau:
2 ,x x f x x t
(1.58)
Biến đổi phương trình (1.58) thành hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito
2
,
,
dx xdt
dx f x dt dW t
(1.59)
với W t là quá trình Wiener đơn vị. Khi 0 , nghiệm của hệ tuyến tính (1.58) sẽ
là:
cos ; sin ;x t a x t a t , (1.60)
trong đó a và là các hằng số. Khi 0 , tọa độ ,x x sẽ được chuyển thành cặp
tọa độ ,a bằng phép biến đổi (1.60). Theo công thức vi phân ngẫu nhiên Ito ta
thu được hệ phương trình cho biên độ và pha:
1
2
, sin ,
, cos ,
da K a dt dW t
d K a dt dW ta
(1.61)
trong đó [70, 77]
24
22
1 2
2
2 2 2
, cos sin ,2
, sin 2 cos .2
fK a
a
fK a
a a
(1.62)
Phương trình FPK cho hàm mật độ xác suất , ,p a t của hệ (1.61) như sau:
2 2 2
1 2 11 12 222 2
12
2
pK p K p K p K p K p
t a a a
(1.63)
trong đó
2 2 2
2 211 12 222 2 2 2
, sin , , sin cos , , cosK a K a K aa a
(1.64)
Theo phương pháp trung bình hoá ngẫu nhiên phương trình FPK được thay thế xấp
xỉ bởi phương trình FPK trung bình như sau:
1 2
pK p K p
t a
2 2 2
11 12 222 2
12
2K p K p K p
a a
(1.65)
với . là toán tử trung bình theo thời gian trong một chu kỳ T:
0
1. .
T
dtT
(1.66)
Cơ sở lý thuyết toán học của việc thay xấp xỉ này được chứng minh chặt chẽ bởi
Khasminskii (1966). Cho đến nay, phương trình FPK (1.65) là phương trình vi phân
đạo hàm riêng vẫn chưa có lời giải giải tích, tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta
có thể tìm được nghiệm dừng, là nghiệm của phương trình [70, 77]:
25
1 2
2 2 2
11 12 222 2
12 0
2
K p K pa
K p K p K pa a
(1.67)
Áp dụng toán tử trung bình (1.66), và sử dụng (1.64), phương trình (1.67) trở thành
2 2 2
1 2 2 2 2
1
4
p pK p K p
a a a
. (1.68)
Nếu các hệ số 1K và 2K thỏa mãn điều kiện
21 22K a K
a
, (1.69)
thì phương trình (1.68) cho nghiệm dừng chính xác sau :
2
21 22
4, exp , ,p a C K a d a K a da
(1.70)
với C là hằng số chuẩn hóa.
1.6 Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên
Dao động ngẫu nhiên là loại dao động mà không thể dự đoán được giá trị của nó tại
bất kỳ thời điểm nào. Trái ngược với dao động hình sin, dao động ngẫu nhiên không
có chu kỳ xác định rõ ràng. Sự khác biệt chính giữa dao động hình sin và dao động
ngẫu nhiên là dao động ngẫu nhiên có nhiều tần số và có thể được kích thích cùng
một lúc [26-29].
Đối với nhiều tải trọng tác động trong tự nhiên, chúng ta thường có thông tin hạn
chế về chúng thu được từ các dữ liệu ghi lại hoặc quan sát, chẳng hạn như tải trọng
động đất và sóng biển. Các ví dụ khác có thể là tải trọng gió lên các tòa nhà và tháp
cao tầng, cầu dây văng. Động đất xảy ra định kỳ trong các khu vực địa chấn với các
thông tin không biết rõ và sóng biển diễn ra liên tục với sự biến động ngẫu nhiên
của bề mặt biển.Thông tin mà chúng ta có được dựa trên trải nghiệm của các lần
xuất hiện trong quá khứ mà từ đó chúng ta có thể dự đoán thông tin về đáp ứng cấu
trúc theo cách tiếp cận xác suất. Một quá trình ứng xử như thế liên quan đến dao
động ngẫu nhiên và các đặc trưng của nó có thể được xác định bằng cách sử dụng lý
26
thuyết thống kê và phương pháp xác suất. Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được
nghiên cứu trong một thời gian dài và được trình bày trong nhiều sách giáo khoa
[26–33], và được công bố trong rất nhiều bài báo [34–43].
Hầu hết các hiện tượng trong thế giới của chúng ta về cơ bản là phi tuyến và được
mô tả bằng các phương trình phi tuyến. Chúng ta có thể đơn giản hóa các hiện
tượng phi tuyến như các hiện tượng tuyến tính để làm cho chúng dễ hiểu hơn; tuy
nhiên, để nắm sâu về các hiện tượng phi tuyến ta phải xét các mô hình phi tuyến.
Do đó, việc nghiên cứu các vấn đề phi tuyến là rất quan trọng không chỉ trong tất cả
các lĩnh vực vật lý mà còn trong kỹ thuật và trong các lĩnh vực khác. Việc phân tích
dao động dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp
thích hợp. Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính tương
đương ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính tương đương là một
phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo tồn một số tính chất thiết yếu của hệ
phi tuyến gốc. Phương pháp này đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42,
43] và được tóm tắt trong các chuyên khảo [29], [44] và [70]. Về hiệu quả và tính
linh hoạt của phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Elishakoff và Crandall đã
viết: Phương pháp này cho phép có được lời giải gần đúng của hệ phi tuyến khi
không có lời giải chính xác. Trái ngược với kỹ thuật nhiễu (phương pháp tham số
bé), việc thực hiện phương pháp tuyến tính hóa tương đương không yêu cầu sự tồn
tại của tham số bé; mặt khác, không giống như mô phỏng Monte Carlo, phương
pháp tuyến tính hóa tương đương không đòi hỏi chi phí tính toán lớn. Mặc dù độ
chính xác của của phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể không cao,
nhưng điều này được khắc phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43]. Canor et al. [45]
cũng đã viết: Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp
tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất chung phổ quát
để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn. Phương pháp tuyến tính hóa
tương đương đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên cứu. Một cách tuyến tính
hóa tương đương dựa trên phương pháp giải tích được phát triển trong [46, 47] để
phân tích các hệ khai thác năng lượng phi tuyến. Hệ dao động phi tuyến của thiết
diện cánh được nghiên cứu trong [48,49] bằng cách sử dụng phương pháp tuyến
tính hóa tương đương. Một phương pháp dựa trên phương trình tuyến tính hóa
27
tương đương được đề xuất trong [50] để xác định gần đúng lời giải tối ưu của bộ
giảm chấn động lực ba phần tử thiết kế cho hệ kết cấu chính có cản. Jalali [51] đã đề
xuất áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để tuyến tính hóa lực đàn
hồi phi tuyến trong đó các kết quả mô phỏng số cho thấy phương pháp được đề xuất
có hiệu quả trong việc phân tích hệ thống trễ phi tuyến yếu. Silva-Gonzlez và cs.
[52] đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên để nghiên cứu
hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn. Su và cs. [53] đã phát triển một
quy trình hiệu quả dựa trên phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi
tuyến chịu kích động ngẫu nhiên không dừng. Kỹ thuật tuyến tính hóa tương đương
cũng đã được sử dụng trong [54] để nghiên cứu bức xạ nhiệt của các vệ tinh nhỏ
theo mô hình một nút. Một kỹ thuật tương đương mới cho phương pháp tuyến tính
hóa sử dụng mô hình phân bố hỗn hợp Gaussian đã được phát triển trong [55] cho
hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên.
Tại Việt Nam trong những năm gần đây dã có một số luận án phát triển phương
pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên. Luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4]
đã phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương pháp
tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Trong
Luận án tiến sĩ của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu trong
phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu
kích động ngẫu nhiên. Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án tiến sĩ về vấn đề
phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó
nghiên cứu dao động tuần hoàn phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương
đương [6]. Trong luận án tiến sĩ năm 2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error
Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞,
+∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của
đáp ứng của hệ xuất hiện nhiều nhất. Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này,
trong luận án do nghiên cứu sinh thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai
số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error
Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một
và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên chuẩn. Trong việc phát triển
28
này sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn
[-rx , + rx].
Kết luận chương 1
Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản của lý xác suất và quá
trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên. Một số phương pháp phân tích
dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Một số kết quả
nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được
tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo. Đặc biệt đã giới thiệu
chi tiết về các luận án phát triển các tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến
tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Trong
các tiêu chuẩn đối ngẫu đã đi sâu vào tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế
tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , +
rx]. Trong luận án do nghiên cứu sinh thực hiện sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu
để tiếp tục hướng nghiên cứu này, cụ thể sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error
Criterion - GLOMSEC).
29
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ
TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG –
TỔNG THỂ
Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng
trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương pháp bao
gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu. Đặc biệt, trong chương hai sẽ
tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương –
tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương
pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do.
2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển
Dưới đây ta sẽ trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ)
cho hệ một và nhiều bậc tự do. Để hiểu rõ ta sẽ bắt đầu bằng hệ một bậc tự do. Nội
dung của phương pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên sự thay thế phương
trình phi tuyến của hệ gốc bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng một
kích động ngẫu nhiên, với lý do là hệ tuyến tính là có thể giải được [9-19]. Do vậy
ta sẽ bắt đầu phương pháp TTHTĐ bằng lời giải cho hệ dao động tuyến tính chịu
kích động ngẫu nhiên. Xét phương trình dao động của hệ một bậc tự do chịu kích
động ngẫu nhiên:
202 ( )x hx x t
(2.1)
trong đó 0, , 0h . ( )t là kích động ngẫu nhiên dạng ồn trắng cường độ đơn vị.
Phương trình FPK tương ứng cho mật độ xác suất dừng ( , )p x x có dạng [29, 44]
2 2 20
2
[ (2 )]0
2
p hx xp px
x x x
(2.2)
Giải phương trình trên thu được hàm mật độ xác suất dừng ( , )p x x là:
22 20 0
1 22 2 2
2 2 2( , ) exp ( ) ( )
h h hp x x x x p x p x
(2.3)
30
Ta biết rằng hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và
Y tương ứng được ký hiệu là p1(x) và p2(y)
1 2( ) ( , ) , ( ) ( , )p x p x y dy p y p x y dx
Do vậy tích phân (2.3) trên khoảng vô hạn theo ,x x ta được các hàm mật độ xác
suất một chiều cho dịch chuyển và vận tốc, tương ứng là:
2 22 20 0
1 22 2 2 2
2 2 2 2( ) exp , ( ) exp
h h h hp x x p x x
(2.4)
Trong đó sử dụng công thức [26,29]
22 (2 1)!!
(2 )n x
n
nx e dx
(2.5)
Lời giải (2.4) cho thấy dịch chuyển x(t) và vận tốc )t(x là các quá trình Gauss độc
lập. Ta thu được các giá trị trung bình bình phương của dịch chuyển và vận tốc:
2 22 2 2 2
1 220
( ) , ( )4 4
x x p x dx x x p x dxh h
(2.6)
Cho t1 và t2 là hai giá trị cố định của t với t2 = t1 + và dùng x1 và x2 ký hiệu các
tổng thể của các mẫu x(t1) và x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x1, x2).
Khi đó, trung bình tổng thể, hay kỳ vọng toán của tích x1x2 sẽ là
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )R x x x x x x p x x dx dx
được gọi là hàm tương quan. Hàm tương quan Rx() của dịch chuyển x(t) sẽ là [27]:
0
2
1 121
( ) exp cos sin4
x
hR h
h
(2.7)
trong đó 22
01 . Do vậy, hàm mật độ phổ sẽ là
0
2
2 2 2 2 2
0
1( ) ( )cos
2 [4 ( ) ]x xS R d
h
(2.8)
31
Với các kết quả thu được dao động tuyến tính một bậc tự do chịu kích động ồn trắng
Gauss có tính chất [29, 44]:
- Dịch chuyển x(t) và vận tốc ( )x t là các quá trình Gauss (tính chuẩn là bất biến qua
phép biến đổi tuyến tính).
- Mật độ xác suất hai chiều được biểu diễn qua các mật độ xác suất một chiều.
- Các mô men bậc lẻ của đáp ứng bằng không, còn các mômen bậc cao chẵn đều có
thể biểu diễn được qua mômen bậc hai.
2 2 2 2(2 1)!! , (2 1)!!n n n nx n x x n x (2.9)
Các công thức trên cho thấy lời giải của hệ tuyến tính (2.1) có các đặc trưng xác
suất hoàn toàn có thể tính được.
Ta trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương thông qua nghiên cứu hệ dao
động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu
nhiên dạng [9, 29, 44]
202 ( , ) ( )x hx x g x x t (2.10)
trong đó x , x và x lần lượt là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của dao động; h là
hệ số cản, ( , )g x x là hàm phi tuyến đối với x và x , ( )t là kích động ồn trắng
dừng Gauss có cường độ 2 ;
0 là tần số dao động riêng ứng với 0h ,
( , ) 0g x x Phương trình tuyến tính hóa tương đương của (2.10) như sau
202 ( )x hx x bx kx t
(2.11)
trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Theo kết quả về dao động tuyến tính đã
trình bày ở trên, trung bình bình phương của dịch chuyển và vận tốc của (2.11) xác
định bằng công thức [29]
22
202 2
xh b k
(2.12)
22 2 2
02 2
x k xh b
(2.13)
32
Sai số phương trình giữa (2.10) và (2.11) phải thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn tuyến
tính hóa tương đương kinh điển tức là tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung bình bình
phương sai số phương trình. Đây là tiêu chuẩn tương đương kinh điển do Caughey
[10] đề nghị:
2
d,
( , ) minkb k
S g x x bx kx
(2.14)
Từ đó
kd kd0; 0S S
b k
(2.15)
Giả thiết hệ dao động phi tuyến có nghiệm là quá trình ngẫu nhiên dừng nên đáp
ứng x , x là độc lập, nghĩa là 0xx , giải hệ phương trình (2.15) thu được
2
,xg x xb
x
(2.16)
2
,xg x xk
x
(2.17)
Các hệ số tuyến tính hóa trong các công thức (2.16), (2.17) có các hàm tương quan
,xg x x và ,xg x x phụ thuộc các đáp ứng chưa biết x , x . Nếu ,g x x là
hàm phi tuyến dạng đa thức của x và x , x và x là quá trình Gauss có trung bình
bằng không thì các hàm tương quan nêu trên có thể đưa về các mô men bậc cao đối
với x và x , các mô men này bằng không nếu là bậc lẻ, hoặc có thể biểu diễn được
qua các mô men bậc hai nếu là bậc chẵn. Thay các hệ số tuyến tính hóa trong
(2.16), (2.17) vào các công thức (2.12), (2.13) xác định được các đáp ứng trung bình
bình phương của dịch chuyển và vận tốc
22
202 2
, ,2 2
xxg x x xg x x
hx x
(2.18)
33
22
2
,2 2
xxg x x
hx
(2.19)
Các phương trình (2.18), (2.19) là các phương trình đại số phi tuyến đối với 2x
và 2x và có thể giải được bằng thuật toán lặp, trong trường hợp cụ thể có thể cho
kết quả giải tích. Thuật toán lặp thường được áp dụng được đề xuất bởi Atalik và
Utku [59] như sau:
a) Gán giá trị ban đầu cho các mô men bậc hai 2 ,x 2x .
b) Dùng phương trình (2.16), (2.17) để xác định các hệ số tuyến tính.
c) Giải phương trình (2.18), (2.19) để tìm mô men bậc hai tức thời mới 2 ,x 2x .
d) Lặp lại các bước b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định.
Ta tiếp tục xét phương trình dao động của hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích
động ngẫu nhiên:
, tMx + Cx + Kx + Φ x,x x = Q
(2.20)
trong đó x - véc tơ gia tốc, x - véc tơ vận tốc và x - véc tơ chuyển dịch
, ,ij ij ijn n n n n nm c k
M C K là các ma trận khối lượng, ma trận cản và
ma trận độ cứng; ,Φ x,x x - véc tơ hàm phi tuyến, 1 2 nt Q Q QT
Q
là quá trình ngẫu nhiên Gaussian ồn trắng có trung bình không và có ma trận mật độ
phổ ij n nS
S trong đó ijS là hàm mật độ phổ chéo của hai phần tử
iQ và jQ . Trường hợp hay gặp nhất của phương trình (2.20) là hệ có các ma trận
khối lượng, cản và độ cứng đều là hằng số. Các ma trận này thông thường là các ma
trận đối xứng. Trong trường hợp tổng quát người ta có thể nghiên cứu các hệ mà ở
đó các ma trận hệ số này là các hàm phụ thuộc thời gian, thậm chí chúng còn phụ
thuộc vào đáp ứng chuyển dịch hoặc vận tốc của hệ. Phương pháp giải tích xấp xỉ
vẫn là một giải pháp được ưu tiên vì nó tiết kiệm chi phí mà vẫn diễn đạt gần đúng
34
ứng xử của hệ phi tuyến ban đầu. Theo phương pháp TTHTĐ ta xấp xỉ véc tơ hàm
phi tuyến ,Φ x,x x bằng một tổ hợp của các véc tơ ,t t tx , x x , khi đó ta
có hệ tuyến tính hóa tương đương như sau:
t e e eM + M q C + C q K + K q Q
(2.21)
trong đó e e eM , C , K là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng tương đương thu
được tùy vào việc sử dụng các tiêu chuẩn cực tiểu sai số khác nhau. Phương pháp
TTH tương đương kinh điển sử dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình để
tìm các hệ tuyến tính hóa ở trên [29, 44]. Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký
hiệu tq để chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của tx trong phương trình
phi tuyến gốc (2.20). Người ta luôn mong muốn sai số giữa nghiệm tq của hệ
tuyến tính hóa và nghiệm chính xác tx của phương trình phi tuyến ban đầu, cụ
thể là giá trị t tx q càng nhỏ càng tốt, trong đố là một độ đo chuẩn nào
đó được chọn. Tuy nhiên sử dụng một tiêu chuẩn sai số bình phương tối thiểu cho
hiệu t tx q là rất khó vì ta không biết nghiệm chính xác tx . Trong phương
pháp TTHTĐ, người ta đề nghị cực tiểu hóa sai số giữa véc tơ hàm phi tuyến gốc và
véc tơ tuyến tính hóa. Sai số giữa hệ (2.20) và hệ (2.21) là
e e ee Φ q, q, q M q + C q + K q
(2.22)
Trong biểu thức (2.22), đối số của hàm phi tuyến được thay thế bằng đối số thu
được từ hệ tuyến tính hóa. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình dựa trên một
chuẩn thích hợp. Ở đây ta sử dụng chuẩn Euclid 2
e trong không gian n chiều.
Chuẩn Euclid được xác định bởi
2
21
,n
rr
e
Te e e
(2.23)
trong đó re ( 1,2,...,r n ) là các thành phần của véc tơ sai số e . Tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa của trung bình bình phương sai số e
theo các giá trị ma trận hệ số e e eM , C , K :
35
minE e e e
T
M ,C , Ke e
(2.24)
Trong đó kỳ vọng trong vế trái của (2.24) được tính theo hàm mật độ xác suất đồng
thời của các đáp ứng trong phương trình tuyến tính hóa (2.21). Atalik và Utku
(1976) [59] đã cho thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau cho việc xác
định các ma trận hệ số e e eM , C , K
E E TT e e e Tzz M C K zΦ z
(2.25)
trong đó
q
z q
q
(2.26)
là véc tơ cột ghép nối các véc tơ gia tốc, vận tốc và chuyển dịch của hệ tuyến tính
hóa (2.21). Véc tơ z là một véc tơ quá trình Gaussian vì hệ tuyến tính hóa có đầu
vào tQ là một quá trình Gaussian. Để dễ tính toán (2.25) ta có định lý sau đây
của Atalik và Utku [59]:
Định lý: Cho hàm vô hướng 1 2, ,..., ny y y y đủ trơn có đạo hàm bậc nhất
đối với biến y thỏa mãn tính chất
2
expn
ai
i
A y
y
(2.27)
trong đó 2a , A là một hằng số tùy ý, véc tơ y là một quá trình ngẫu nhiên trung
bình bằng không. Khi đó ta có tính chất sau:
E E E Ty y yy y
(2.28)
trong đó 1 2 ny y y
T
là toán tử gradient.
Áp dụng công thức (2.28) cho véc tơ z ta có
36
E E E T T TzΦ z zz Φ z
(2.29)
Thay (2.29) vào (2.25) với giải thiết ma trận E Tzz không suy biến ta thu được
kết quả đã đơn giản hóa (2.25) như sau:
.E Te e e TM C K Φ z
(2.30)
Như vậy các ma trận hệ số tương đương của hệ tuyến tính hóa được xác định thông
qua kỳ vọng của gradient của hàm phi tuyến gốc. Cụ thể các biểu thức của (2.30)
như sau:
,e iij
j
m Eq
,e i
ij
j
c Eq
.e i
ij
j
k Eq
, 1, 2,...,i j n (2.31)
Đây là kết quả thú vị thu được từ tính chất Gaussian của đáp ứng. Do q, q, q là
các quá trình ngẫu nhiên Gaussian dừng độc lập, và do đó hàm mật độ xác suất
dừng của chúng có dạng [29]:
1
1/22
1 1exp ,
22 detn
g
Tu
u
u u R uR
(2.32)
trong đó :
uR là ma trận tương quan của quá trình ngẫu nhiên dừng độc lập u ( , ,u q q q ).
Khi biết hàm mật độ thì có thể biết bất kỳ đặc trưng nào của đáp ứng (trung bình,
các mô men bậc cao) của hệ tuyến tính hóa, nghĩa là biết được các đặc trưng xấp xỉ
của hệ phi tuyến ban đầu (2.20).
2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến
Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương
đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa
tương đương [11-24, 67, 68].
Elishakoff và Zhang X [11] đã đề xuất phương pháp tuyến tính hóa tương đương
dựa trên cực tiểu hóa hàm sai số thế năng. Anh và Di Paola [15] đề xuất tiêu chuẩn
tuyến tính hóa tương đương Gauss có điều chỉnh dựa trên đánh giá: Sự thay thế hệ
37
phi tuyến gốc bằng một hệ tuyến tính tự nó đã làm giảm mức độ phi tuyến, để đạt
được nghiệm chính xác hơn thì cần cải thiện sự giảm nêu trên. Trong những năm
gần đây, việc áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu cho thấy sự hiệu quả trong nghiên cứu
dao động phi tuyến. Quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng
của các hệ phi tuyến [20] và đã được phát triển trong [20-24, 67, 68]. Một ưu điểm
quan trọng của quan điểm đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau, thường
là đối ngẫu với nhau, của một bài toán để giúp cho việc nghiên cứu được cân bằng
và phù hợp hơn. Cách thay thế đối ngẫu của Anh [20] bao gồm hai quá trình thay
thế lượt đi và quá trình thay thế lượt về, hai quá trình này được coi là đối ngẫu của
nhau. Ý tưởng thay thế tương đương đối ngẫu ngụ ý rằng do quá trình tuyến tính
hóa là một quá trình xấp xỉ nên việc thay thế trở lại sẽ không thu được nguyên dạng
ban đầu. Dưới đây ta sẽ trình bày một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải
tiến. Trong luận án hạn chế ở một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương liên
quan đến cách tiếp cận đối ngẫu được phát triển trong luận án.
2.2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng
Elishakoff và Zhang X [11] đã đề xuất phương pháp tuyến tính hóa tương đương
dựa trên cực tiểu hóa hàm sai số thế năng chỉ áp dụng cho dao động ngẫu nhiên phi
tuyến được mô tả bởi phương trình
22 ox hx x g x t
(2.33)
Theo phương pháp TTHTĐ, thay thế thành phần lực đàn hồi phi tuyến bằng lực đàn
hồi tuyến tính ( )g x kx , thu được phương trình tuyến tính tương đương với (2.33)
22 ox hx x kx t
(2.34)
Hệ số tuyến tính hóa k trong phương trình (2.34) được xác định bởi điều kiện cực
tiểu sai số giữa thế năng U(x) của phần tử đàn hồi phi tuyến và thế năng của phần tử
đàn hồi tuyến tính hóa tương đương 2 / 2kx dưới dạng trung bình bình phương
2
21( ) - min
2 kU x kx
(2.35)
38
trong đó, 0
( ) ( )x
U x g d
(2.36)
Tiêu chuẩn (2.35) dẫn đến kết quả
2 2
24 2
2 2
3
x U x x U xk
x x
(2.37)
Tiêu chuẩn (2.35) áp dụng cho các hệ đàn hồi phi tuyến thu được kết quả khá tốt, tuy nhiên
không áp dụng được cho các hệ cản phi tuyến.
2.2.2 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh
Anh và Di Paola [15] đề xuất tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh
dựa trên đánh giá: Sự thay thế hệ phi tuyến gốc bằng một hệ tuyến tính tự nó đã làm
giảm mức độ phi tuyến, để đạt được nghiệm chính xác hơn thì cần cải thiện sự giảm
nêu trên. Do đó, các tác giả đã thực hiện việc thay các số hạng phi tuyến ban đầu
bằng các số hạng phi tuyến bậc cao hơn trước khi tuyến tính hóa. Ta xét phương
trình (2.33), qui trình thực hiện của tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều
chỉnh như sau
1 2
g xg x k g x k g x kx
x
(2.38)
trong đó 1 2,k k và hệ số tuyến tính hóa k được xác định theo tiêu chuẩn cực tiểu sai
số trung bình bình phương
1
2
221
22
1 2
2
2
( ) / min
/ min
min
k
k
k
g x k g x x
k g x x k g x
k g x kx
(2.39)
Từ đó thu được các kết quả
3
1 4 2
/
/
g x xk
g x x ,
3
2 1 2
/g x xk k
g x .
Sử dụng điều kiện thứ ba trong (2.39) và hai phương trình trên sẽ cho
39
3 3
4 2 22
/ /
/
g x x g x x xg xk
xg x x g x
(2.40)
Tiêu chuẩn (2.38) được gọi là tiêu chuẩn điều chỉnh một bước, được áp dụng hiệu
quả cho một số dao động phi tuyến trong [15]. Năm 2008, Elishakoff và cộng sự
[16] phát triển tiêu chuẩn của Anh và Di Paola từ điều chỉnh một bước thành điều
chỉnh hai bước với qui trình
2
1 2 3 4
g x g x g xg x k g x k g x k g x k g x kx
x x x
(2.41)
trong đó 1 2 3 4, , , ,k k k k k được xác định theo tiêu chuẩn cực tiểu hóa thông thường.
Elishakoff và cộng sự áp dụng qui trình (2.41) cho dao động Lutes and Sarkani thu
được kết quả tốt hơn so với qui trình điều chỉnh một bước ở trường hợp mức độ phi
tuyến khá lớn [16].
2.2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu
Gọi A và B là quá trình dừng Gauss có trung bình bằng không và ta muốn thay A
xấp xỉ bằng kB. Dựa trên cách thay thế tương đương đối ngẫu ta xét tiêu chuẩn đối
ngẫu sau [20-23]:
2 2
,
1 1min
2 2 dn dndn dn dn dn
kS A k B k B A
(2.42)
trong đó sử dụng ký hiệu .dn cho tiêu chuẩn đối ngẫu. Các số hạng thứ nhất và thứ
hai trong (2.42) tương ứng là các sai số của quá trình thay thế lượt đi và lượt về
được biểu diễn dưới dạng trung bình bình phương. Cách biểu diễn như (2.42) cho
thấy vai trò tương đương nhau của hai quá trình này. Xuất phát từ điều kiện cực tiểu
(2.42) ta có
2 22 2 0dndn dn dn
dn
SAB k B k B AB
k
(2.43)
22 0dndn dn
dn
Sk AB A
Từ đó dẫn tới
40
2 2
1,
2dn
dn dn dn
AB ABk k
B A
Hay [20-23]
2 2
1
2dn
ABk
r B
,
2
22dn
r
r
(2.44)
trong đó ký hiệu
2
2
2 2
ABr
A B
(2.45)
2r là đại lượng không thứ nguyên, theo bất đẳng thức Schwarz có đặc điểm
2 1r (2.46)
Anh và cộng sự áp dụng qui trình tiêu chuẩn đối ngẫu cho nhiều hệ dao động phi
tuyến thu được kết quả chính xác hơn tiêu chuẩn kinh điển khi các hệ có tính phi
tuyến khá lớn [20-23].
2.3. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể
(GLOMSEC)
Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới gọi là Tiêu chuẩn sai
số bình phương trung bình địa phương - tổng thể. Để có thể hiểu rõ xuất xứ của tiêu
chuẩn này ta cần nhắc lại một số điểm căn bản của Tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình kinh điển.
Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do được biểu diễn dưới dạng
202 ( , ) ( )x hx x g x x t
(2.47)
trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương trình tuyến tính hóa
tương đương của (2.47) có dạng
202 ( )x hx x x x t (2.48)
trong đó , là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình giữa (2.47) và (2.48)
sẽ là
41
xxxxgxxe ,, (2.49)
Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44]
2
,( , ) mine x x
(2.50)
Hay
2
,( , ) ( , ) mine x x P x x dxdx
(2.51)
Trong đó, ),( xxP là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x với )()(),( xPxPxxP .
Ta có:
2 2, ,0, 0.
e x x e x x
(2.52)
Với giả thiết 0xx ta thu được
2 2
( , ) ( , ), .
g x x x g x x x
x x
(2.53)
Ta có hệ 3 phương trình (2.48) và (2.53) cho ba ẩn , và x(t). Do khoảng tích
phân trong (2.51) là ( , ), tiêu chuẩn (2.51) có thể được gọi là tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình tổng thể. Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân cần tập
trung hơn để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số
bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]:
0 0
0 0
2
,( , ) ( , ) min
x x
x x
e x x P x x dxdx
(2.54)
trong đó 0 0,x x là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến đổi cho các biến
không thứ nguyên 0 0,x xx r x r với r là một biến không thứ nguyên dương
nào đó, x và x là độ lệch chuẩn của x và x . Như vậy tiêu chuẩn (2.54) dẫn đến
2 2
,[ ( , )] ( , ) ( , ) m in
x x
x x
r r
r r
e x x e x x P x x dxdx
(2.55)
42
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương:
[ . ] ( . ) ( , )x x
x x
r r
r r
P x x dxdx
(2.56)
Tương tự tiêu chuẩn kinh điển ta có
2 2
( , ) ( , )( ) , ( ) .
g x x x g x x xr r
x x
(2.57)
Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là hàm số của r.
)(),( rr
Để tính toán (2.57) ta thay biến xx t , xx t và sử dụng (2.56), và ký hiệu
2 2 2 2,n nn n
x xx x ta thu được các momen địa phương bậc cao 2 2,n nx x
biểu diễn qua các momen tổng thể bậc hai 2 2,x x như sau [15-19]:
2 2 2, 0,
2 2 2, 0,
( ) ( ) 2 2 ,
( ) ( ) 2 2 .
x x
x x
x x
x x
r rnn n
n r r
r r
r rnn n
n r r
r r
x x P x dx P x dx T x T
x x P x dx P x dx T x T
(2.58)
trong đó ký hiệu các tích phân
22 2, 0,
0 0
1( ) , ( ) , ( ) .
2
r rn t
n r rT t t dt T t dt t e
(2.59)
Khi r , các công thức (2.58) dẫn đến các công thức kinh điển:
2 2 2 2,
2 2 2 2,
( ) ( ) 2 2 1 !! ,
( ) ( ) 2 2 1 !! .
n nn nn
n nn nn
x x P x dx P x dx T x n x
x x P x dx P x dx T x n x
Các công thức (2.57) và (2.58) là hàm số của tham số r do vậy ( ), ( )r r có thể gọi
là các hệ số TTH địa phương. Một số ưu điểm của LOMSEC như sau: Bằng cách
thay đổi giá trị của r , LOMSEC có thể tạo ra một dãy các lời giải gần đúng và khi
r , LOMSEC cho lời giải kinh điển. LOMSEC cũng có thể cho lời giải chính
43
xác ứng với giá trị r nào đó ký hiệu là ( exactr ) và về nguyên tắc LOMSEC có thể cho
nghiệm chính xác, trong khi tiêu chuẩn kinh điển không thể tạo ra được điều này [7,
15-19]. Nhược điểm chính của LOMSEC là chưa cho được giá trị exactr . Sử dụng
quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị thay cho việc xác định exactr ta có thể cho r thay
đổi trên toàn miền giá trị không âm với lập luận sau đây. Ý nghĩa khoa học của
( ), ( )r r là ở chỗ chúng là các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa
phương[ , ],[ , ]x x x xr r r r . Thay cho việc chọn một giá trị cụ thể nào của
( ), ( )r r làm đại diện cho tất cả các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa phương ta
có thể đặc trưng bằng giá trị trung bình của ( ), ( )r r trên toàn bộ miền giá trị có thể
của r, tức là miền các giá trị r không âm. Như vậy theo cách tiếp cận đối ngẫu các
hệ số tuyến tính hóa , có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]:
0 0
1 1( ) ( ) , ( ) ( ) .
s s
s sr Lim r dr r Lim r dr
s s
(2.60)
trong đó <.> là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ
LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương – tổng thể (GLOMSEC).
Tiếp theo ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương –
tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do. Giả sử rằng hệ dao động được mô
hình hóa bởi một hệ nhiều bậc tự do MDOF được mô tả bằng một tập các phương
trình vi phân bậc nhất phi tuyến:
tfzgz (2.61)
Trong đó, dấu ( . ) ký hiệu phép vi phân, Tnzzzz ,...,, 21 là vec tơ các biến trạng
thái, n là số tự nhiên, g là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu
nhiên chuẩn có giá trị trung bình bằng không. Giả sử rằng một nghiệm dừng của
phương trình (2.61) tồn tại. Ký hiệu
tfzgzze (2.62)
Phương trình (2.61) có thể viết ở dạng:
44
0ze (2.63)
Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong phương trình (2.62) như sau
A Ae z z z z g z f t (2.64)
Trong đó A ij nxna là ma trận n×n. Gọi vector y là một nghiệm dừng của phương
trình tuyến tính sau
0Ay y f t (2.65)
Từ (2.64) và (2.65) ta có:
Ae y y g y (2.66)
Ký hiệu p(y) hàm mật độ xác suất chung (PDF) của véctơ đáp ứng y của phương
trình (2.65). Tiêu chuẩn TTH kinh điển có thể được viết dưới dạng:
2 minij
i an e y p y dy
(2.67)
Vì tích phân được thực hiện trên toàn miền không gian tọa độ, do đó tiêu chuẩn
(2.67) có thể được gọi là "tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể". Qua
tính toán Anh và Di Paola đề xuất một khái niệm rằng tiêu chuẩn (2.67) có thể dẫn
đến một sai số lớn đối với một số hệ phi tuyến, đặc biệt là phi tuyến mạnh. Để tăng
độ chính xác, việc tích phân nên được thực hiện trong một khu vực nơi mà vectơ
đáp ứng được tập trung. Do đó theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC) ta có
1
1
2 2 min,n
n ij
y y
i iy y ae y n e y p y dy
i,j = 1,…,n (2.68)
Đưa vào biến không thứ nguyên
0
nn n yy y (2.69)
trong đó 002
01 ,....., nyyy là các biến không thứ nguyên có giá trị dương,
1 2, ,.....,y y yn là các độ lệch chuẩn của các biến nyyy ,....., 21 . Khi đó ta có:
45
0 0
11
0 01 1
2 2 min,y n yn
y n yn ij
y y
i iy y ae y n e y p y dy
i,j = 1,…,n (2.70)
Trong tuyến tính hóa tương đương các giá trị 1 2, ,.....,y y yn là độc lập với ija khi
ta cực tiểu (2.70). Do vậy ta sẽ có:
1T Tg y y yy
A (2.71)
Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề xuất bởi Atalik và
Utku [59] như sau:
a) Gán giá trị ban đầu dương cho 0 0 01 2 ny ,y ,.....y .
b) Gán giá trị ban đầu cho ma trận tương quan Tyy
c) Sử dụng phương trình (2.71) để xác định ma trận A.
d) Giải hệ phương trình tuyến tính (2.65) để xác định ma trận tương quan
Tyy mới
Lặp lại các bước b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định.
Rõ ràng, tiêu chuẩn (2.70) (LOMSEC) có thể tạo ra một loạt các lời giải gần đúng
khác nhau tùy thuộc vào cách lấy miền tích phân hữu hạn được thực hiện, và
LOMSEC cho lời giải của Caughey khi các biến 0 0 01 2, ,..... ny y y . LOMSEC chứa
đựng sự tồn tại của một tập hợp các giá trị tối ưu 0 0 01 2, ,..... ny y y
cho một hệ phi tuyến
cụ thể, cho phép có được lời giải gần đúng nhất có thể có. Tuy nhiên, không thể tìm
ra một liên kết toán học giữa 0 0 01 2, ,..... ny y y và các tham số của hệ dao dộng phi
tuyến, đặc biệt là tham số đặc trưng cho tính phi tuyến. Đây là một hạn chế đáng kể
của LOMSEC, và điều đó phải được giải quyết bằng một cách nào đó.
Anh và Di Paola [15], những người đầu tiên đề xuất LOMSEC cho các hệ dao động
phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động Duffing và Vanderpol, sau
đó các tác giả đề nghị chọn 30 y , điều đó có nghĩa là 1 13 yy . Tuy nhiên, ta có
thể chọn được giá trị khác của 0y để xác định miền tích phân để có lời giải tốt hơn.
Điều này đòi hỏi nhiều nghiên cứu hơn.
46
Sau kết quả ban đầu của Anh và Di Paola, L.X. Hùng đã phát triển LOMSEC cho
các hệ thống phi tuyến nhiều bậc tự do (MDOF) và đã nghiên cứu một loạt các hệ
phi tuyến khác nhau [7, 17 - 19]. Dựa trên các hệ phi tuyến mà các lời giải chính
xác của chúng tồn tại hoặc ta có thể tìm các nghiệm mô phỏng Monte Carlo, và
bằng cách gán các lời giải đó cho LOMSEC để giải quyết các bài toán ngược, L. X.
Hùng đã tìm thấy các giá trị tối ưu hiệu quả của 0ny là
0 (2, 2.7)ny (trừ hệ dao động
Van der Pol). Cuối cùng, với mục đích đưa ra một cách hợp lý giá trị 0y để áp dụng
cho bất kỳ hệ dao động phi tuyến nào, các phép tính toán ngược cho các giá trị trung
bình dẫn đến một giá trị đề xuất là 0 2.5y , điều đó có nghĩa 2.5n yny [7, 17 -
19].
Quay lại tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể, các hệ số
TTH aij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau:
001
0 0 01 2
0 0 01 2
0 0 0 0 0 01 2 1 20 0 0, ,.....
1 2 0 0
( , , ..... )
1.... ( , , ..... ) .....
.....
n
n
ij ij n
yy
ij n ny y y
n
a a y y y
Lim a y y y dy dy dyy y y
(2.72)
trong đó < . > là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ
LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do.
Trong nhiều mô hình cơ học, đặc biệt trong phương pháp phần tử hữu hạn, hệ dao
động được mô hình hóa bởi một hệ các phương trình vi phân bậc hai phi tuyến có
dạng:
Mq+Cq+Kq+Φ(q,q)=Q(t) (2.73)
trong đó M
ij n nm , C
ij n nc , K
ij n nk là các ma trận hằng n × n.
1 2, , , , T
nq q là véc tơ các hàm phi tuyến của 1 2q , , , T
nq q q và
1 2q , , , T
nq q q . (T) ký hiệu phép toán chuyển vị ma trận. Kích động Q(t) là véc
tơ các quá trình ngẫu nhiên chuẩn có trung bình bằng không và hàm mật độ phổ
S ( )
Q ij n nS với ijS là các hàm mật độ phổ tương quan của Qi và Qj.
47
Hệ phương trình tuyến tính tương đương sẽ là
e eMq+ C+C q+ K+K q=Q(t)
(2.74)
trong đó,
eC e
ij n nc ,
eK eij n n
k là các ma trận TTH xác định từ điều kiện min
của véc tơ hiệu sai số phương trình 1 2, , ,T
n với
( , ) e eC K q q q q (2.75)
Để phân tích hệ tuyến tính (2.74) ta có thể sử dụng lý thuyết hàm mật độ phổ. Ta có
[29, 44]:
( ) (- ) ( ) ( )T q QS =α S α
(2.76)
trong đó, α(ω) là ma trận đáp ứng tần số của hệ tuyến tính
-12 e eα( )= - M+ (C+C )+(K+K )i (2.77)
Các mô men bậc hai của đáp ứng sẽ tính theo công thức:
2
( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
i ji j q q
T TQ
T TQ
E qq S d
E qq S d
E qq S d
(2.78)
Để lập hệ phương trình khép kín ta cần các phương trình xác định các hệ số TTH
tương đương. Ký hiệu ( , )p q q là hàm mật độ xác suất liên kết dừng của véc tơ
1 2, , ,T
nq q q q và 1 2, , ,T
nq q q q . Theo tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình địa phương (LOMSEC) ta có
01 0 01
,01 0 01 0
2 21 2 1 2( ) ( ) ( , ) ... ... min
( , , 1, 2,..., )
n
e ec kij ijn n
q q q qn
n n
q q q q
n n p q q dq dq dq dq dq dq
i j n
(2.79)
48
với 01 02 0 01 02 0, ,..., , , ,...,n nq q q q q q là những giá trị dương. Đưa vào đại lượng không
thứ nguyên 01 1 02 2 0 01 1 02 2 0, ,..., ; , ,...,q q n qn q q n qnq r q r q r q r q r q r ;
1 2 1 2, ,..., ; , ,...,q q qn q q qn là độ lệch chuẩn của các biến 1 2, ,..., nq q q và
1 2, , ,T
nq q q q . khi đó ta có
1 1
,1 1
2 21 2 1 2( ) ( ) ( , ) ... ... min
( , , 1, 2,..., )
q qn q qn
e ec kij ijq qn q qn
r r r r
n n
r r r r
n n p q q dq dq dq dq dq dq
i j n
(2.80)
Cho các đạo hàm riêng triệt tiêu ta có
2 20, 0; ( , , 1,2,..., )e eij ij
E E i j nc k
(2.81)
Các hệ số TTH ,e eij ijc k sẽ phụ thuộc vào r (có nghĩa là ( ), ( )e e e e
ij ij ij ijc c r k k r ).
Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC)
các hệ số TTH ceij, k
eij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]:
0 0
1 1( ) ( ) , ( ) ( )
s se e e e e eij ij ij ij ij ij
s sc c r Lim c r dr k k r Lim k r dr
s s
(2.82)
Các phương trình (2.82) cùng với hệ phương trình tuyến tính (2.74) sẽ lập thành
một hệ khép kín cho phép xác định đáp ứng của hệ.
49
Kết luận Chương 2
Chương hai tập trung giới thiệu phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng
trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Phương pháp tuyến tính hóa tương
đương dựa trên tiêu chuẩn tương đương. Do vậy, tiêu chuẩn tương đương kinh điển
do Caughey đề xuất và một số tiêu chuẩn tương đương khác được giới thiệu tóm tắt.
Đặc biệt, trong chương này đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion -
GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc
tự do. Các ví dụ áp dụng khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ thuật này sẽ được trình
bày trong các chương 3 và 4 khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động
phi tuyến ngẫu nhiên một và nhiều bậc tự do.
Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong các bài báo [1,6] trong Danh sách
các công trình đã công bố của luận án.
50
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH
CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO
Trong chương này chúng ta sẽ ứng dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên
cho hệ một bậc tự do. Việc đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu
chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác (nếu có), hoặc nghiệm mô phỏng và
nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao
động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do. Vấn đề phân tích dao động ngẫu nhiên
cho hệ nhiều bậc tự do sẽ được tiến hành trong chương 4 tiếp theo.
3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến
Như đã phân tích trong chương 2 tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương – tổng thể (GLOMSEC) được xây dựng trên cách tiếp cận đối ngẫu cho tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC). Cơ sở khoa học của
tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) lại dựa trên giả
thiết cho rằng phép lấy tích phân sai số phương trình cần tập trung trong một miền
hẹp hơn để cho nghiệm chính xác hơn. Đây là một giả thuyết do Anh và Di Paola đề
nghị vào năm 1995. Để làm rõ hơn giả thuyết này, trong luận án sẽ phân tích các
hàm mật độ xác suất của một số hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên,
trong đó sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa vùng tập trung đáp ứng của hệ và tham số
phi tuyến.
3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng
Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng có dạng
32x hx x x t
(3.1)
với , , ,h là các hệ số dương, t là quá trình ồn trắng Gauss với
0,t t t t
(3.2)
t là hàm Delta Dirac. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ
Duffing sẽ là [29, 44]
51
2
2
42
2
2exp
42
4exp, x
hxx
hCxxp
(3.3)
trong đó C là hằng số chuẩn. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF được
tách thành hai hàm mật độ độc lập xpxpxxp , với
42
2142
4exp xx
hCxp
, 2
2 2
2exp
hp x C x
(3.4)
Ký hiệu Prob a x a là xác suất sao cho đáp ứng của hệ Duffing rơi vào vùng
aa, . Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng aa, sẽ được xác
định theo công thức:
Proba
aa x a p x dx
(3.5)
Giả sử ta chọn Prob 0.98a x a và xét các tham số của hệ như sau:
0.25; 1; 1h và tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị
a (xem Bảng 3.1). Từ Bảng 3.1 nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các
đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến tăng. Các quan
sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị của các hàm mật độ của dịch chuyển
và vận tốc khi tham số phi tuyến thay đổi, chẳng hạn đối với hàm p(x) (3.4) như
thấy trên Hình 3.1(a,b,c,d).
Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo
0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100
a 2.04 1.65 1.46 1.05 0.89 0.69 0.61 0.54 0.51
52
- 3 - 2 - 1 1 2 3x
0.1
0.2
0.3
0.4
p
a. =0.1
- 3 - 2 - 1 1 2 3x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
p
b. =1
- 1.5 - 1 - 0.5 0.5 1 1.5x
0.2
0.4
0.6
p
c. =10
- 1 - 0.5 0.5 1x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
p
d. =100
Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, ( =0.1, 1, 10, 100)
3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi
phương trình sau:
2 21x x x x x d t (3.6)
Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]:
22 2 2 2, exp 0.5p x x C x x x x
d
(3.7)
trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng
aa, sẽ được xác định theo công thức:
Prob ,a
aa x a p x x dx dx
(3.8)
Tương tự, giả sử ta chọn Prob 0.98a x a và xét tham số d=2 trong khi
tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (Bảng 3.2). Từ Bảng
53
3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với
xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến tăng. Các quan sát tương tự cũng thu
nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều của các hàm mật độ của dịch
chuyển và vận tốc ,p x x khi tham số phi tuyến thay đổi, thể hiện trên Hình
3.2(a,b,c,d).
Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo
0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100
a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07
-4-2
0
2
4
x -4
-2
0
2
4
x
0
0.02
0.04p
-4-2
0
2
4
x
a. =0.1
-2
0
2x -2
0
2
x
00.0250.05
0.0750.1
p
-2
0
2x
b. =1.0
54
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
x
0
0.1
0.2p
-2
-1
0
1x
c. =10
-1
0
1x -1
0
1
x
00.10.2
0.3
0.4
p
-1
0
1x
d. =100
Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản phi tuyến, (=0.1, 1, 10, 100)
3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng
Ta xét thêm hệ dao động phi tuyến thứ 3. Hệ dao dộng này có cả lực cản và lực đàn
hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi phương trình:
22 2 4 2 30
0
14 ( )
2 2 4x h x x x x x x t
(3.9)
Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]
2
42202
2 422
14exp, xxx
hCxxp
(3.10)
55
trong đó C là hằng số chuẩn. Giả sử ta chọn Prob 0.98a x a và xét tham số
200.1; 1; 1h
trong khi tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các
giá trị a (xem Bảng 3.3). Từ Bảng 3.3 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a]
trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến tăng.
Các quan sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều
của các hàm mật độ của dịch chuyển và vận tốc ,p x x khi tham số phi tuyến
thay đổi, thể hiện trên Hình 3.3 (a,b,c,d).
Bảng 3.3. Các giá trị của a phụ thuộc theo
0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100
a 1.80 1.51 1.35 0.99 0.85 0.66 0.58 0.51 0.48
-2
0
2x -2
0
2
x
0
0.05
0.1
p
-2
0
2x
a. =0.1
-2
0
2x -2
0
2
x
0
0.05
0.1
0.15
p
-2
0
2x
b. =1.0
56
-2-1
0
1
2
x -2
-1
0
1
2
x
00.050.1
0.15
0.2
p
-2-1
0
1
2
x
c. =10
-1
0
1x -2
-1
0
1
2
x
0
0.1
0.2
0.3p
-1
0
1x
d. =100
Hình 3.3. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, (=0.1, 1, 10,
100)
Kết luận
Sau khi xét 3 ví dụ đại diện trên ta đi đến một nhận xét rằng miền tích phân hữu hạn
[-a, a] trong đó đáp ứng của hệ phi tuyến tập trung sẽ bị thu hẹp khi tính phi tuyến
tăng lên. Do đó, theo luận điểm được đề xuất trong tiêu chuẩn LOMSEC, để tăng độ
chính xác của nghiệm gần đúng, đặc biệt khi tính phi tuyến trở nên lớn hơn, việc
tích phân hàm sai số theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
(LOMSEC) chỉ nên thực hiện trong một miền tích phân hữu hạn nơi mà đáp ứng
của hệ được tập trung.
57
3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương-tổng thể (GLOMSEC)
Trong mục này ta sẽ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương-tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ một bậc tự
do và đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này. Để đánh giá
sai số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương người ta chấp nhận 2 cách tiếp
cận sau [29, 30]:
- So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa tương
đương ví dụ
2
GLx , 2
kdx ) với nghiệm chính xác 2
CXx
(nếu biết nghiệm
chính xác).
- So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa tương
đương (ví dụ
2
GLx , 2
kdx ) với nghiệm mô phỏng 2
MCx hoặc nghiệm
xấp xỉ của một phương pháp gần đúng tin cậy khác (nếu không biết nghiệm
chính xác).
Trong luận án đã sử dụng 2 cách tiếp cận trên để đánh giá sai số của các
nghiệm xấp xỉ thu được bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
– tổng thể (trong chương 3 và chương 4).
3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba
Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:
3 22 ox h x x x t
(3.11)
với lực cản phi tuyến bậc ba, trong đó , , ,oh là các số thực dương, t là
ồn trắng Gauss trung bình không. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, ta
thay hàm cản phi tuyến 32g x h x bằng hàm tuyến tính bx . Hệ phi tuyến sẽ
thay bằng phương trình tuyến tính tương đương
22 ox h b x x t
(3.12)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của
(3.12) xác định theo công thức
58
22
22 2 o
xh b
;
2 2 2ox x
(3.13)
Để xác định hệ số tuyến tính hóa b, trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương
đương kinh điển, theo đó ta lấy cực tiểu sai số thay thế 32h x bằng bx :
3 2(2 ) minb
h x bx
(3.14)
Điều kiện này dẫn đến
26b h x
(3.15)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.15) vào công thức nghiệm (3.13) tìm được dịch chuyển
bình phương trung bình của hệ cản phi tuyến (3.11) theo tiêu chuẩn tương đương
kinh điển:
2 22
2
3
6kdo
h h hx
h
(3.16)
Để xác định b theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể
(GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC), tức là tính cực tiểu sau:
3 2(2 ) minb
h x bx (3.17)
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương:
[ . ] ( ) ( ) ( . ) ( )x x
x x
r r
r r
P x d x P x d x
(3.18)
Từ đó ta có
4
4
22
2 22, 0, 2, 2
21, 0, 1,
( ) ( )2
( ) 2
( ) ( )
2 22 2
2 2
x x
x x
x x
x x
r r
r r
r r
r r
r r r
r r r
P x dx x P x dxh x
b r hx
P x dx x P x dx
T x T Th h x
T x T T
(3.19)
59
trong đó (xem Phụ Lục 1)
2
2 4 2, 2, 0,
0 0 0
1( ) , ( ) , ( ) , ( )
2
r r r tn
n r r rT t t dt T t t dt T t dt t e
(3.20)
Như vậy hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC) sẽ bằng
4
2, 2
21,
( ) 2 r
r
h x Tb r h x
Tx
(3.21)
Hệ số này phụ thuộc vào giá trị của miền lấy tích phân r và được gọi là hệ số TTH
địa phương. Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của b(r) trên tất cả
các giá trị dương r. Như vậy ta có
2, 2
1,0 0
2,2 2
1,0
1 1( ) ( ) 2
12 2.4119 * 2
s sr
s sr
sr
sr
Tb b r Lim b r dr Lim h x dr
s s T
Th x Lim dr h x
s T
(3.22)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.22) vào công thức nghiệm (3.13) tìm được dịch chuyển
bình phương trung bình 2
GLx của hệ cản phi tuyến (3.11) như sau:
2 22
2
2.4119
2*2.4119GLo
h h hx
h
(3.23)
Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm xác định bằng phương pháp phi
tuyến hóa tương đương 2
ENLEx được công bố bởi Spanos và Robers [29]. Các
tính toán được thực hiện với số liệu 0.05, 1, 4oh h và tham số phi
tuyến γ thay đổi. Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2
GLx , 2
kdx so với
2
ENLEx tính theo (3.24) được trình bày trong Bảng 3.4. Kết quả cho thấy nghiệm
2
GLx có độ chính xác tốt hơn so với nghiệm 2
kdx , cụ thể đối với sai số lớn nhất
tương ứng là 1.93% so với 9.16%.
60
Kí hiệu ( ) ( ),C GLErr Err là các sai số tương đối của 2
kdx , 2
GLx so với nghiệm
chính xác 2
cxx
Công thức tính sai số tương đối được trình bày như sau:
2 2
( ) 2*100%kd cx
C
cx
x xErr
x
2 2
( ) 2*100%GL cx
GL
cx
x xErr
x
(3.24)
Trong luận án sẽ áp dụng công thức (3.24) để so sánh độ chính xác của các
nghiệm gần đúng tính theo các tiêu chuẩn kinh điển, tiêu chuẩn GLOMSEC so với
nghiệm tính bằng các phương pháp khác bao gồm: phương pháp phương trình FPK
( 2
cxx ), phi tuyến hóa tương đương ( 2
ENLx ), cân bằng năng lượng ( 2
Ex ), mô
phỏng Monte Carlo ( 2
MCx ).
Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với
0.05, 1, 4oh h , và γ thay đổi
Γ 2
ENLx 2
kdx
( )
%
CErr
2
GLx
( )
%
GLErr
1 0.4603 0.4342 5.61 0.4692 1.93
3 0.3058 0.2824 7.65 0.3090 1.05
5 0.2479 0.2270 8.32 0.2495 0.77
8 0.2025 0.1844 8.99 0.2032 0.35
10 0.1835 0.1667 9.16 0.1839 0.22
3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên
Xét dao động Van der Pol được mô tả bởi phương trình
2 2ox x x x t
(3.25)
61
trong đó , , , ,o là các số thực dương, t là kích động ồn trắng Gauss
cường độ đơn vị. Ta thay hàm phi tuyến của lực cản 2,g x x x x bằng hàm
tuyến tính bx , thu được phương trình tuyến tính
2ox b x x t (3.26)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Dịch chuyển và vận tốc trung bình bình phương
của (3.26):
22
22 o
xb
, 2 2 2
ox x (3.27)
Để xác định b trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo đó
ta lấy cực tiểu sai số thay thế 2x x bằng bx :
2 2( ) minb
x x bx (3.28)
Suy ra
2b x
(3.29)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.29) vào công thức nghiệm (3.27) tìm được dịch chuyển
bình phương trung bình của hệ Van der Pol (3.25) theo tiêu chuẩn tương đương kinh
điển:
22 2 2
2
1 2
2kdo
x
(3.30)
Để xác định b theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC), tức là tính cực tiểu sau:
2 2( ) minb
x x bx (3.31)
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương theo công thức (3.18).
Từ đó ta có hệ số TTH b(r) tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC) sẽ bằng
62
2 2 2
2 2
1, 2
20,2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x
x x x
x x x
r r r
r r r r
r r r
r
r r r
x P x dx x P x dx x P x dxx x T
b r xTx
P x dx x P x dx P x dx
(3.32)
trong đó
2
2 2 2, 1, 0,
0 0 0
1( ) , ( ) , ( ) , ( )
2
r r r tn
n r r rT t t dt T t t dt T t dt t e
(3.33)
Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng
thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của b(r). Như vậy ta có
1,2 2
0,0 0
1 1( ) ( ) 0.8371
s sr
s sr
Tb b r Lim b r dr x Lim dr x
s s T
(3.34)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.34) vào (3.27) tìm được phương trình xác định dịch
chuyển trung bình bình phương 2
GLx của hệ Van der Pol (3.25) như sau:
22
2 22 0.8371GLGL o
xx
(3.35)
Từ phương trình (3.35) thu được
22 2 2
2
1 1,6742
1,6742GLo
x
(3.36)
Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo trong tài
liệu của Spanos và Robers [29]. Các tính toán được thực hiện với
0 1, 0.2, 1, 10 và 2 thay đổi. Sai số tương đối tính theo phần trăm
giữa các nghiệm xấp xỉ 2
GLx , 2
kdx so với nghiệm mô phỏng 2
MCx tính theo
công thức (3.24) và được trình bày trong Bảng 3.5.
63
Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van der Pol với α*ε=0.2;
0 =1; * =2; σ2 thay đổi
2 2
MCx 2
kdx
( )
%
CErr 2
GLx ( )
%
GLErr
0.02 0.2081 0.1366 34.33 0.1574 24.32
0.20 0.3608 0.2791 22.46 0.3113 13.52
1.00 0.7325 0.5525 24.58 0.6095 16.79
2.00 1.0310 0.7589 26.40 0.8349 19.02
4.00 1.4540 1.0513 27.70 1.1544 20.61
Kết quả cho thấy nghiệm 2
GLx có độ chính xác tốt hơn so với nghiệm 2
dkx ,
trong đó các giá trị sai số lớn nhất tương ứng là 24.32% so với 34.33%.
3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên
Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng
2 32 ox hx x x t
(3.37)
với , , ,oh là các hệ số dương, t là quá trình ồn trắng Gauss với
0,t t t t (3.38)
Nghiệm chính xác của hệ Duffing là [29, 44]
2 2 2 4
22
x2 2 4
2
4 1 1exp
2 4
4 1 1exp
2 4
o
c
o
hx x x dx
xh
x x dx
(3.39)
Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là
22 ox hx x kx t (3.40)
64
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Áp dụng lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến
tính, mô men bậc hai của dịch chuyển của (3.40) xác định theo công thức
22
24 o
xh k
(3.41)
Để xác định k trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo đó
ta lấy cực tiểu sai số thay thế 3x bằng kx:
3 2( ) mink
x kx (3.42)
Suy ra
23k x (3.43)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.43) vào công thức nghiệm (3.41) tìm được dịch chuyển
trung bình bình phương của hệ Duffing (3.37) theo tiêu chuẩn tương đương kinh
điển:
22 2 4
d
13
6o ok
xh
(3.44)
Để xác định k theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC), tức là tính cực tiểu sau:
3 2( ) mink
x kx (3.45)
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương theo công thức (3.18).
Suy ra
4
4
22
2 22, 0, 2, 2
21, 0, 1,
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
x x
x x
x x
x x
r r
r r
r r
r r
r r r
r r r
x P x dx P x dxx
k rx
x P x dx P x dx
T x T Tx
T x T T
(3.46)
65
trong đó 2, 1, 0,, ,r r rT T T tính theo công thức (3.33).
Như vậy hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC) sẽ bằng
4
2, 2
21,
( ) r
r
x Tk r x
Tx
(3.47)
Hệ số k(r) này phụ thuộc vào giá trị của miền lấy tích phân r và được gọi là hệ số
TTH địa phương. Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của k(r). Như
vậy ta có
2, 2
1,0 0
2,2 2
1,0
1 1( ) ( )
12.4119
s sr
s sr
sr
sr
Tk k r Lim k r dr Lim x dr
s s T
Tx Lim dr x
s T
(3.48)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.48) vào công thức nghiệm (3.41) tìm được dịch chuyển
bình phương trung bình 2
GLx của hệ Duffing (3.37) như sau:
22 2 41
2.41192* 2.4119
o oGLx
h
(3.49)
Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2
GLx , 2
kdx so với nghiệm chính xác
2
xcx được tính như công thức (3.24).
Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing được trình bày trong
Bảng 3.6.
Bảng 3.6. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với
1, 0.25, 1o h ; hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi
66
2
xcx 2
kdx
( )
%
CErr
2
GLx
( )
%
GLErr
0.1 0.8176 0.8054 1.49 0.8327 1.857
1.0 0.4680 0.4343 7.194 0.4692 0.263
10 0.1889 0.1667 11.768 0.1839 2.626
100 0.0650 0.0561 13.704 0.0624 4.076
Kết quả cho thấy:
- Nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh điển có độ chính xác tốt với hệ
số đàn hồi phi tuyến nhỏ, tuy nhiên độ chính xác của tiêu chuẩn kinh điển
tăng lên trên 13% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng cao.
- Độ chính xác của tiêu chuẩn GLOMSEC là tốt hơn so với tiêu chuẩn kinh
điển với sai số lớn nhất là 4.08% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên.
3.2. 4. Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên
Trong ví dụ 4 này ta xét hệ dao động phi tuyến phức tạp nhất khi cả lực cản và lực
đàn hồi đều là các hàm phi tuyến. Với lực đàn hồi ở dạng bậc ba ta có hệ dao động
Duffing với cản phi tuyến cũng ở dạng bậc ba chịu kích động ngẫu nhiên:
3 3ox x x x t (3.50)
với , , , là các hệ số dương, t là quá trình ồn trắng Gauss với
0,t t t t
Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là
( )x x x t
(3.51)
trong đó , là các hệ số tuyến tính hóa tương ứng với lực cản và lực đàn hồi phi
tuyến. Áp dụng lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến tính, mô men bậc hai của dịch
chuyển của (3.51) xác định theo công thức
67
2 22 2,
2 2x x
(3.52)
Để xác định , trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo
đó ta lấy cực tiểu các sai số thay thế:
3 2( ) minx x
3 2( ) minx x
(3.53)
Lấy các đạo hàm tương ứng theo , và cho chúng bằng không ta thu được
22 2 2 23 , 3 3 9x x x x (3.54)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.54) vào công thức nghiệm (3.52) tìm được phương
trình xác định dịch chuyển trung bình bình phương của hệ Duffing với cản phi
tuyến (3.50) theo tiêu chuẩn tương đương kinh điển:
2
2
22 22 9 3kd
kd kd
xx x
(3.55)
Để xác định , theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng
thể (GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương (LOMSEC), tức là tính cực tiểu sau:
3 2( ) minx x
3 2( ) minx x
(3.56)
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương theo công thức (3.18):
4
4
22
2 22, 0, 2, 2
21, 0, 1,
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
x x
x x
x x
x x
r r
r r
r r
r r
r r r
r r r
x P x dx P x dxx
rx
x P x dx P x dx
T x T Tx
T x T T
(3.57)
68
4
4
22
2 22, 0 , 2 , 2
21, 0 , 1,
2
2 , 2 ,2 2 2
1, 1,
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
( )
x x
x x
x x
x x
r r
r r
r r
r r
r r r
r r r
r r
r r
P x dx x P x dxx
rx
P x dx x P x dx
T x T Tx
T x T T
T Tr x x
T T
(3.58)
Như vậy các hệ số TTH ( ), ( )r r tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương (LOMSEC) sẽ tính theo các công thức (3.57), (3.58).
Các hệ số ( ), ( )r r phụ thuộc vào giá trị của miền lấy tích phân r và được gọi là
các hệ số TTH địa phương. Các hệ số TTH tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương
trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của
( ), ( )r r . Như vậy ta có
2, 2
1,0 0
2,2 2
1,0
1 1( ) ( )
12.4119
s sr
s sr
sr
sr
Tr Lim r dr Lim x dr
s s T
Tx Lim dr x
s T
(3.59)
Tương tự
2
2, 2 2
1,0 0
2
2,2 2 2 2 2
1,0
1 1( ) ( )
12.4119
s sr
s sr
sr
sr
Tr Lim r dr Lim x dr
s s T
Tx Lim dr x
s T
(3.60)
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.60) vào công thức nghiệm (3.52) tìm được phương
trình xác định dịch chuyển bình phương trung bình 2
GLx của hệ Duffing với lực
cản phi tuyến (3.50) như sau:
22
2 2 2 22 2.4119 2.4119GLGL
xx x
(3.61)
69
Để đánh giá sai số của các lời giải thu được từ GLOMSEC và từ tiêu chuẩn kinh
điển, trong khi nghiệm chính xác của hệ phi tuyến gốc (3.50) không tồn tại, chúng
ta sẽ sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo ( 2
MCx ) để so sánh. Để thực hiện
mô phỏng Monte Carlo, ta sử dụng công cụ Simulink của phần mềm Matlab.
Trong đó,
- Số lần lặp là N=10000 lần,
- Thời gian mỗi lần mô phỏng ta lấy t=300 (s),
- Bước thời gian ta lấy là t =0.1 (s).
Chương trình Matlab tính toán mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing có cản phi
tuyến chịu kích động ồn trắng được trình bày trong Phụ lục 2.1.
Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2
GLx , 2
kdx so với nghiệm mô phỏng
Monte Carlo 2
MCx được tính theo công thức (3.24). Đáp ứng bình phương trung
bình của hệ dao động Duffing với cản phi tuyến được trình bày trong Bảng 3.7.
Bảng 3.7. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với cản phi
tuyến ( 1.0, 0.1, 2 ; thay đổi)
2
MCx 2
kdx
( )
%
CErr
2
GLx
( )
%
GLErr
0.1 2.5288 1.8319 27.559 2.1556 14.758
1.0 0.7860 0.5793 26.298 0.6817 13.27
10 0.2491 0.1832 26.455 0.2156 13.448
100 0.0784 0.0579 26.148 0.0682 13.01
Kết quả cho thấy nghiệm xấp xỉ tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương – tổng thể (GLOMSEC) tốt hơn rõ ràng so với nghiệm xấp xỉ xác định
theo tiêu chuẩn kinh điển.
70
3.2.5. Dao động của tàu thủy
Chuyển động lăn của một con tàu trong sóng ngẫu nhiên đã được xem xét bởi
Roberts [55], Roberts và Dacunha [56], David et al [57]. Phương trình chuyển động
của tàu có dạng [56-57]
2 3 2 ( )D t (3.62)
Ở đây 35o là góc lăn tính từ đường thẳng đứng, là tần số tự nhiên không cản
của dao động lăn. Các tham số , , là hằng số. Các sóng ngẫu nhiên được mô tả
là quá trình ồn trắng chuẩn, được biểu thị bằng t và 2D là cường độ của kích
thích nhiễu trắng. Lưu ý rằng phương trình (3.62) chỉ hợp lệ khi 35o . Điều này,
đến lượt nó, đòi hỏi and D là nhỏ sao cho xác suất của các quỹ đạo chuyển động
rời khỏi vùng ổn định trong mặt phẳng pha là rất nhỏ. Để có được một số kết quả
phân tích đơn giản, ta xét trường hợp 0 và hệ dao động có dạng như sau:
2 2 ( )D t (3.63)
Lời giải chính xác của hệ (3.63) không tồn tại; tuy nhiên, hàm mật độ xác suất gần
đúng thu được bằng phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL) [29], [57], [77]
có dạng.
3
2 2 2 22/3 8
93 8
( , )2 9
23
DP eD
(3.64)
Phương pháp ENL đưa ra các lời giải với độ chính xác khá cao [77]. Do đó, các lời
giải do ENL đưa ra có thể được sử dụng để đánh giá độ chính xác của các lời giải
thu được bằng các phương pháp gần đúng khác. Xét hệ (3.63) với 1 . Ký hiệu
2 2,ENL ENL
E E tương ứng là các bình phương trung bình của chuyển vị và
vận tốc được xác định từ hàm mật độ xác suất (3.64). Ngoài ra, do 1 , chúng ta
có 2 2
ENL ENLE E . Do đó, kết quả thu được bằng phương pháp phi tuyến
tương đương (ENL) theo [29], [57] , [77] cho:
2/3
2 2 0.765ENL ENL
DE E
(3.65)
71
Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay bằng hệ tuyến tính
2 ( )ec D t (3.66)
trong đó ( )e ec c r là hệ số TTH được xác định từ tiêu chuẩn LOMSEC:
22 0e
e eE E c
c c
Từ đó
3
3
,2 3 21,,
1, 0 0
( ) ; ( ( ) , ( ) )r r
t rert r
r
Tc r E T t t dt T t t dt
T (3.67)
Đối với hệ tuyến tính (3.66) ta có
3
2
2 2
,2
1,
2
2 ( ) ( )e eL Lt r
r
D D DE E
Tc r c rE
T
(3.68)
Khi r , Nghiệm (3.68) dẫn đến nghiệm thu được theo tiêu chuẩn kinh điển
2/3
2 2 0.732C C
DE E
(3.69)
Hệ số tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ tính như sau:
3 ,2 1/2
1,0 0
2 1/2
1 1( ) ( ) { }
1.49705 { }
s st re e e
s sr
Tc c r Lim c r dr E Lim dr
s s T
E
(3.70)
Giới hạn trong (3.70) bằng 1.49705. Lời giải nhận theo GLOMSEC sẽ là:
2/3
2 2
2 1/20.76415
1.49705 { }eGL GL
D D DE E
c E
(3.71)
Ký hiệu ( ) ( ),C GLErr Err là các sai số tương đối của nghiệm tính theo tiêu chuẩn kinh
điển và tiêu chuẩn GLOMSEC so với nghiệm tính theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa
tương đương ta có:
72
2 2
( ) 2
0.732 0.765*100% *100% 4.314%
0.765C ENL
C
ENL
E EErr
E
2 2
( ) 2
0.764 0.765*100% *100% 0.130%
0.765GL ENL
GL
ENL
E EErr
E
(3.72)
Kết quả trong (3.72) cho thấy rằng lời giải của GLOMSEC phù hợp với lời giải của
ENL và sự khác biệt là không đáng kể giữa các lời giải này. Như vậy GLOMSEC
mang lại một sự cải thiện đáng kể về tính chính xác của lời giải so với tiêu chuẩn
kinh điển.
Kết luận Chương 3
Trong chương 3 đã ứng dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
– tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao
động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do điển hình. Việc đánh giá sai số của
nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác
(nếu có), hoặc nghiệm của các tác giả quốc tế và cũng so sánh với nghiệm thu được
theo tiêu chuẩn kinh điển. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ
thuật được đề xuất trong tiêu chuẩn GLOMSEC cũng như tính hợp lý của miền tích
phân xác suất hữu hạn. Cụ thể là Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa
phương – tổng thể (GLOMSEC) cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô
men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do có tính
phi tuyến trung bình và lớn. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình kinh điển cho
nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao
động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do có tính phi tuyến nhỏ.
Các kết quả trong chương 3 được trình bày trong các bài báo [1,3,5] trong Danh
sách các công trình đã công bố của luận án.
73
CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH
CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO
Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ
nhiều bậc tự do. Việc đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn
này được so sánh với nghiệm chính xác (nếu có), hoặc nghiệm mô phỏng và nghiệm
theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số hệ dao động
ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. Việc tính toán hệ nhiều bậc tự do theo
phương pháp TTH tương đương nhìn chung khá dài dòng và phức tạp. Do vậy trong
luận án giới xem xét một hệ hai bậc tự do phi tuyến cả về lực cản và lực đàn hồi.
Ngoài ra, trong luận án trình bày phần mở rộng của GLOMSEC cho trường hợp đầu
vào là kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp, được mô tả bởi kích động ngẫu nhiên
ồn trắng qua một bộ lọc. Như vậy, việc xét dao động ngẫu nhiên của hệ phi tuyến
một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp, về mặt toán học, khá
giống với việc xét dao động ngẫu nhiên của hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích
động ngẫu nhiên ồn trắng.
4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do
Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do được mô tả bởi hệ phương trình sau [77]
32 21 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1
32 22 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
( )
( )
x x x x ax b x x w t
x x x x ax b x x w t
(4.1)
trong đó , , , ,i i ia b (i=1, 2) là các hằng số. 1 2( ), ( )w t w t là các quá rình ngẫu
nhiên ồn trắng có trung bình bằng không và ( ) ( ) 2 ( )i i iE w t w t S (i=1, 2),
( ) là hàm Delta Dirac, 1 2,S S là các giá trị hằng số. Hệ phương trình (4.1) có thể
được viết lại như sau:
32 31 1 1 1 1 2 1 11 1 2 1
32 32 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2
( )
( )
x x x ax x b x x w t
x x ax x x b x x w t
(4.2)
Biểu diễn hệ (4.2) ở dạng ma trận:
74
3321 1 1 21 1 1 1 11
2 332 1 2 2 2 22 2 22 2 1
0 ( )1 0
0 ( )0 1
x b x xx x x w ta
x x x w ta x b x x
(4.3)
Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là
21 1 1 11 11 12 1 11 12
22 2 2 221 1 2 22 21 2 22
( )1 0
( )0 1
e e e e
e e e e
x x x w tc c k a k
x x x w tc c a k k
(4.4)
trong đó , ; ( , 1,2)e eij ijc k i j
là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số giữa hệ phi tuyến
gốc và hệ tuyến tính hóa tương đương sẽ là
( , ) e eC X-K Xx x (4.5)
trong đó ký hiệu:
331 1 1 21
332 2 22 2 1
( , )x b x x
x xx b x x
111 12 11 12
221 22 21 22
; ; ;e eC X Ke e e e
e e e e
xc c k k
xc c k k
1
2
;Xx
x
(4.6)
Viết chi tiết phương trình (4.5) sẽ có:
331 1 1 2 11 1 12 2 11 1 12 21
332 2 22 2 1 21 1 22 2 21 1 22 2
e e e e
e e e e
x b x x c x c x k x k x
x b x x c x c x k x k x
(4.7)
Để xác định ( ), ( ); ( , 1,2)e eij ijc r k r i j
ta cho các đạo hàm riêng bằng không như sau:
4 3 2 2 321 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 11 2
11 1
11 12 1 2 11 1 1 12 2 1
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x
c c E x x k E x x k E x x
3 3 2 2 321 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 2
12 2
12 11 1 2 11 1 2 12 2 2
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x
c c E x x k E x x k E x x
3 3 2 2 322 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 12 2
21 1
21 22 1 2 21 1 1 22 2 1
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x
c c E x x k E x x k E x x
4 3 2 2 322 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2
22 2
22 21 1 2 21 1 2 22 2 2
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x
c c E x x k E x x k E x x
75
3 4 2 2 3 321 1 1 1 1 2 1 2 1 21 2
11 1
11 11 1 1 12 1 2 12 1 2
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x x b E x E x x E x x E x xEk E x
k c E x x c E x x k E x x
3 3 3 2 2 421 1 2 1 2 1 2 1 2 21 2
12 2
12 11 1 2 12 2 2 11 1 2
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x x b E x x E x x E x x E xEk E x
k c E x x c E x x k E x x
3 3 3 2 2 422 1 2 2 1 1 2 1 2 12 2
21 1
21 21 1 1 22 1 2 22 1 2
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x x b E x x E x x E x x E xEk E x
k c E x x c E x x k E x x
3 4 2 2 3 322 2 2 2 1 2 1 2 1 22 2
22 2
22 21 1 2 22 2 2 21 1 2
( 3 3 )2 2 0e
e e e e
E x x b E x E x x E x x E x xEk E x
k c E x x c E x x k E x x
(4.8)
Để đơn giản hóa việc tính toán, ta giả thiết 1 2,x x là độc lập với nhau. Như đã biết
nếu ( )x t là một quá trình ngẫu nhiên chuẩn với trung bình bằng không thì ( )x t cũng
là một quá trình như vậy. Bên cạnh đó, các quá trình này là trực giao với nhau. Sử
dụng phụ lục và lưu ý 2 1 2 1 0 ( )n mi jE x x i j . Từ (4.8) sẽ cho kết quả sau
4 41 22, 2,2 2
11 1 1 1 12 21 22 2 2 22 21, 1,1 2
( ) , ( ) ( ) 0, ( ) ,r re e e e
r r
E x E xT Tc r E x c r c r c r E x
T TE x E x
4 2 21 1 2 2, 1,2 2
11 1 221, 0,1
3( ) 3r re
r r
E x E x E x T Tk r b b E x E x
T TE x
4 2 22 1 2 2, 1,2 2
12 2 121, 0,2
3( ) 3r re
r r
E x E x E x T Tk r b b E x E x
T TE x
4 2 21 1 2 2, 1,2 2
21 1 221, 0,1
3( ) 3r re
r r
E x E x E x T Tk r b b E x E x
T TE x
4 2 22 1 2 2, 1,2 2
22 2 121, 0,2
3( ) 3r re
r r
E x E x E x T Tk r b b E x E x
T TE x
(4.9)
Trong (4.9), cho r , sử dụng các kết quả
2
4 2
2, 1, 20 0
21, 0,
0 0
( ) ( )1
3, 1, ( )2
( ) ( )
t
t t dt t t dtT T
t eT T
t t dt t dt
76
Ta thấy rằng các hệ số tuyến tính hóa sẽ trở thành các hệ số tuyến tính hóa thu được
theo tiêu chuẩn kinh điển:
2 211 1 1 12 21 22 2 23 , 0, 3 ,e e e ec E x c c c E x
2 211 22 1 23e ek k b E x E x ,
2 212 21 1 23 3e ek k b E x bE x
(4.10)
Áp dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(GLOMSEC) ta xác định:
2,211 11 1 1
1,0
1( )
sre e
sr
Tc c r E x Lim dr
s T
,
2,222 22 2 2
1,0
1( )
sre e
sr
Tc c r E x Lim dr
s T
12 21 0e ec c
2, 1,2 211 11 1 2
1, 0,0 0
1 1( ) 3 .
s sr re e
s sr r
T Tk k r b E x Lim dr E x Lim dr
s T s T
2, 1,2 212 12 2 1
1, 0,0 0
1 1( ) 3 .
s sr re e
s sr r
T Tk k r b E x Lim dr E x Lim dr
s T s T
2, 1,2 221 21 1 2
1, 0,0 0
1 1( ) 3 .
s sr re e
s sr r
T Tk k r b E x Lim dr E x Lim dr
s T s T
2, 1,2 222 22 2 1
1, 0,0 0
1 1( ) 3 .
s sr re e
s sr r
T Tk k r b E x Lim dr E x Lim dr
s T s T
(4.11)
Các giới hạn trong (4.11) sẽ bằng
2,
1,0
1lim 2.41189
sr
sr
Tdr
s T
,
1,
00
1lim 0.83706
sr
sr
Tdr
s T
(4.12)
77
Để đơn giản tính toán ta xét trường hợp 1 2 0S S S , khi đó ma trận mật độ phổ
( )wS của véc tơ w(t) được xác định bởi
0
0
0( )
0
S
S
wS
(4.13)
Ma trận hàm đáp ứng tần số của hệ tuyến tính (4.4) sẽ là
-1
( ) - ( ) ( )i 2 e eα = M + C+C + K+K (4.14)
trong đó
21 1 11 12 11 12
21 2 2 21 22 21 22
01 0, ,
0 1 0
e e e e
e e e e
a c c k k
a c c k k
e e
M C , K , C K
Sau một số phép rút gọn ma trận, ta có:
12 21 11 1 11 12 12
2 221 21 1 2 22 2 22
( )( )
( )
e e e e
e e e e
i c k i c a k
i c a k i c k
α
(4.15)
Để có một hệ phương trình khép kín xác định các ẩn số, tất cả các momen
2 ,iE x 2 ,iE x (i=1,2) (i = 1,2) phải được xác định. Để phân tích hệ tuyến tính
(4.4) ta có thể sử dụng lý thuyết hàm mật độ phổ và áp dụng công thức (2.76) của
chương 2 (với Q=W):
( ) (- ) ( ) ( )T q QS =α S α
trong đó, α(ω) là ma trận đáp ứng tần số (4.15), ( ) wS tính theo (4.13) và sau khi
một số phép toán rút gọn ma trận ta thu được:
11 11 12 12 11 21 12 22
0
11 21 12 22 21 21 22 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TE xx S d
2 2 2 22 21 0 11 12 2 0 21 22( ) ( ) ; ( ) ( )E x S d E x S d
11 11 12 12 11 21 12 2220
11 21 12 22 21 21 22 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TE xx S d
78
2 2 2 22 2 2 21 0 11 12 2 0 21 22( ) ( ) ; ( ) ( )E x S d E x S d
(4.16)
Trong công thức trên các đại lượng αi,j (i=1,2;j=1,2) là các phần tử của ma trận đáp
ứng tần số (4.15). Hệ phương trình (4.16) được giải cùng với (4.10) hoặc (4.11) để
xác định các mô men đáp ứng, tương ứng theo Tiêu chuẩn kinh điển hoặc theo Tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC). Để giải
các phương trình trên, cần sử dụng các phương pháp tính toán gần đúng, ví dụ, một
phương pháp lặp được áp dụng như sau:
(i) Gán giá trị ban đầu cho các mô men đáp ứng (4.16);
(ii) Sử dụng (4.10) hoặc (4..11) để xác định các hệ số tuyến tính hóa bằng
Tiêu chuẩn kinh điển hoặc bằng GLOMSEC;
(iii) Sử dụng (4.16) và (4.15) để xác định các giá trị mới của mô men đáp
ứng;
(iv) Lặp lại các bước (ii) và (iii) cho đến khi kết quả từ chu trình đến chu
kỳ có sự chênh lệch nhỏ hơn 10-4.
Với mục đích đánh giá độ chính xác của lời giải gần đúng trong khi hệ phi tuyến
ban đầu (4.3) không có lời giải chính xác, người ta có thể sử dụng hàm mật độ xác
suất gần đúng được đưa ra bởi phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL), đã
được báo cáo trong [77] như sau:
2
2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 9 1 1 1 1 1( , , , ) exp ( )
32 2 2 2 2 2i
p x x x x C x x U x x US
(4.17)
trong đó, 1 2( , )U x x là thế năng của hệ
42 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1( , )
2 2 4
bU x x x x ax x x x (4.18)
và C là hệ số chuẩn hóa
2
2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2
11 9 1 1 1 1 1
( ) 232 2 2 2 2 2
1
(4) i
x x U x x US
i ii
C e dx dx
(4.19)
79
Các mô men đáp ứng bậc hai 2i ENL
E x nhận được theo phương pháp ENL sẽ là:
22 2 2 2
1 2 1 2 2 1 1 21 9 1 1 1 1 1
( ) 232 2 2 2 2 22 2
1
(4) i
x x U x x US
i i i iENLi
E x C x e dx dx
(4.20)
Ta sẽ xét hai trường hợp các tham số đã cho. Bảng 4.1 và bảng 4.2. trình bày các
mô men đáp ứng bậc hai gần đúng cũng như các sai số tương đối của chúng so với
các lời giải theo phương pháp phi tuyến hóa tương đương. Ta sử dụng các công thức
tính sai số tương đối trong (3.24) của Chương 3. Chương trình Matlab tính mô men
bậc 2 của hệ 2 bậc tự do bằng phương pháp lặp được trình bày trong Phụ lục 2.2.
Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo 1 2 với
1 2 1 2 0 1a b S .
1 2,
2
1 ENLE x
21 C
E x
( )
%
CErr
21 GL
E x
( )
%
GLErr
22 ENL
E x
22 C
E x
( )
%
CErr
22 GL
E x
( )
%
GLErr
0.1 1.573 1.216 22.68 1.407 10.54 1.573 1.151 26.83 1.327 15.64
1 0.496 0.422 15.07 0.488 1.59 0.496 0.370 25.51 0.419 15.50
5 0.253 0.220 13.19 0.254 0.268 0.253 0.205 19.19 0.234 7.573
10 0.194 0.171 12.07 0.197 1.533 0.194 0.162 16.48 0.186 4.178
Bảng 4.2. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo b với
1 2 1 2 1 2 0 1a S
b 2
1 ENLE x
21 C
E x
( )
%
CErr
21 GL
E x
( )
%
GLErr
22 ENL
E x
22 C
E x
( )
%
CErr
22 GL
E x
( )
%
GLErr
1 0.496 0.422 15.07 0.488 1.586 0.496 0.370 25.51 0.419 15.51
10 0.365 0.296 18.98 0.335 8.309 0.365 0.290 20.42 0.328 10.20
50 0.331 0.281 15.09 0.316 4.329 0.331 0.281 15.20 0.316 4.472
100 0.323 0.279 13.64 0.315 2.743 0.323 0.279 13.67 0.314 2.783
80
Từ các sai số tương đối của các lời giải gần đúng đối với các lời giải của ENL, có
thể thấy rằng GLOMSEC mang lại sự cải thiện đáng kể về độ chính xác của lời giải
so với tiêu chuẩn kinh điển, đặc biệt khi tính phi tuyến vừa và mạnh.
4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
Kích động ngẫu nhiên ồn trắng đã được sử dụng rộng rãi cho đến nay là khái
niệm toán học được lý tưởng hóa nhiều hơn là một đại diện đầy đủ của nhiều quá
trình kích động ngẫu nhiên trong thực tế. Kích động ngẫu nhiên ồn trắng được thừa
nhận vì giúp cung cấp một cái nhìn sâu sắc đồng thời cho kết quả bổ ích trong quá
tŕnh thiết kế và phân tích một hệ cụ thể. Tuy nhiên trong thực tế, các kích động nên
được mô tả một cách tốt hơn thông qua các quá trình ngẫu nhiên dải hẹp. Các ứng
dụng của phương pháp TTH tương đương với tiêu chuẩn kinh điển cho các hệ dao
động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên dải hẹp được báo cáo trong [71-77].
Trong chương này sẽ trình bày phần mở rộng của GLOMSEC cho trường hợp đầu
vào là kích động ngẫu nhiên dải hẹp. Việc đưa hệ một bậc tự do chịu kích động
ngẫu nhiên ồn màu vào Chương 4 là vì quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả
như là một quá trình ồn trắng đi qua bộ lọc vi phân bậc hai. Phương trình dao động
được giải cùng với phương trình của bộ lọc do vậy đây có thể xem như là hệ nhiều
bậc tự do. Hai ví dụ minh họa bao gồm hệ Duffing và hệ Duffing có cản phi tuyến
được phân tích. Các ứng dụng cho thấy độ chính xác của đáp ứng theo tiêu chuẩn
GLOMSEC được cải thiện đáng kể so với tiêu chuẩn kinh điển.
4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn
màu
Ta xét một hệ dao động phi tuyến dưới sự kích động ồn màu dải hẹp được như sau:
,z g z z f (4.21)
trong đó ( , )g z z là hàm phi tuyến của ,z z ; f là một kích động ồn màu dải hẹp có
thể thu được bằng cách qua một bộ lọc tuyến tính bậc hai với tần số trung tâm sao
cho phương trình chuyển động cho bộ lọc là
2 2f ff f f w . (4.22)
trong đó wlà ồn trắng có mật độ phổ S . Do đó, hàm mật độ phổ của f là:
81
2 4
f fS H S . (4.23)
trong đó HHH2
với H là đáp ứng tần số phức của bộ lọc:
12 2
fH i
(4.24)
Suy ra,
22222
4
f
ff
SS
(4.25)
và
2
2 f
f f
SS d
(4.26)
Theo phương pháp TTH tương đương, phương trình (4.21) được thay bởi phương
trình tuyến tính tương đương sau:
fkxxcx (4.27)
Các hệ số tuyến tính ck , sẽ được xác định bằng cách lấy giá trị cực tiểu sai số giữa
phương trình phi tuyến ban đầu (4.21) và phương trình tuyến tính tương đương
(4.27) theo một tiêu chuẩn nào đó. Ký hiệu L là hàm đáp ứng tần số của phương
trình tuyến tính tương đương (4.27):
12L k i c
(4.28)
Hàm mật độ phổ của )(tx có dạng
2
22 2 2
f
x f
SS L S
k c
(4.29)
Phương sai của ( )x t và ( )x t sẽ bằng
2 2 2,x x x xS d S d
(4.30)
Kết hợp (4.25), (4.26), (4.29), (4.30) thu được [77]
82
2 2 22
2
22 2
4
2
22 2
,
.
ff
x
f f
f
x
f f
ck c cS
ck k c c k
S c
c k c c k
(4.31)
2 2,x x được coi là các lời giải gần đúng đối với phương trình phi tuyến ban đầu
(4.21). Như đã trình bày, trong (4.31), các hệ số tuyến tính phải được xác định bằng
cách lấy cực tiểu sai số giữa phương trình phi tuyến tính ban đầu (4.21) và phương
trình tuyến tính tương đương (4.27) theo một tiêu chuẩn nào đó. Sai số giữa phương
trình (4.21) và phương trình (4.27) là:
xckxxxgxxe ,, . (4.32)
Tiêu chuẩn kinh điển yêu cầu:
ck
xxe,
2 min, ,
Hay
ck
xdxdxxPxxe,
2 min,,
(4.33)
trong đó ),( xxP là hàm mật độ xác suất chung (PDF) của các biến ngẫu nhiên và có
thể được tách thành hai hàm mật độ xác suất đơn độc lập )()(),( xPxPxxP với giả
thiết )(tx và )(tx độc lập với nhau. Các điều kiện cần thiết cho tiêu chuẩn (4.33) là:
.0,
,0, 22
c
xxe
k
xxe
(4.34)
Lưu ý 0xx , ta có
2 2
( , ) ( , ), .
g x x x g x x xk c
x x
(4.35)
Hệ phương trình (4.30) và (4.35) lập thành một hệ khép kín để xác định ck , , )(tx
và )(tx .
83
Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân (4.33) cần tập trung hơn để cho nghiệm
chính xác hơn, ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
(LOMSEC), Anh và Di Paola [15]:
ck
x
x
x
x
xdxdxxPxxe,
2 min,,0
0
0
0
(4.36)
Hay đưa vào biến không thứ nguyên xx rxrx 00 , với r là một số dương nào
đó, x và x là độ lệch chuẩn của xvà x . Như vậy tiêu chuẩn (4.36) dẫn đến
ck
r
r
r
r
xdxdxxPxxexxex
x
x
x
,
22 min,,,
(4.37)
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương
xdxdxxPx
x
x
x
r
r
r
r
,..
(4.38)
Ta có
2 2
( , ) ( , )( ) , ( ) .
g x x x g x x xk r c r
x x
(4.39)
Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị chọn các hệ số TTH k,c có thể chọn
bằng giá trị trung bình tổng thể như sau:
0 0
1 1( ) ( ) , ( ) ( ) .
s s
s sk k r Lim k r dr c c r Lim c r dr
s s
(4.40)
trong đó <.> là ký hiệu giá trị trung bình thông thường của hàm số. Ta thu được từ
LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
địa phương – tổng thể (GLOMSEC).
Ta xét một số ví dụ áp dụng sau.
4.2.2. Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
Ta xét hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như sau
fzzzz )( 32 (4.41)
84
với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác định bởi phương trình (4.22). Phương
trình phi tuyến ban đầu (4.41) có thể được thay thế bằng phương trình tuyến tính
tương đương như được mô tả bởi (4.27). Quy trình chính là xác định các hệ số tuyến
tính ck , . Áp dụng (4.39) và kết quả từ phụ lục ta thu được
.00
)(),()(
,122
2210
)(),()(
2
3222
2
32
2
,1
,222
,02
,1
,0
22,22
2
4222
2
32
2
x
xxxxx
x
xxxx
x
xxxgrc
T
Tx
TxT
TxT
x
xxxx
x
xxxx
x
xxxgrk
r
r
rr
rr
(4.42)
Áp dụng (4.40) và lưu ý rằng 22xx , ta có
.1
)(1
)(0 ,1
,2222
0
s
r
r
sx
s
sdr
T
T
sLimdrrk
sLimrkk (4.43)
Giá trị giới hạn trong (4.43) có thể thu được gần đúng như sau:
2,
1,0
12.41189
sr
sr
TLim dr
s T
(4.44)
Cuối cùng ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC:
2 2 22.41189 , .xk c (4.45)
Cho r , ta thu được hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:
2 2 23 , .xk c (4.46)
Với mục đích đánh giá sai số của các lời giải thu được từ GLOMSEC và từ tiêu
chuẩn kinh điển (trong khi lời giải chính xác của hệ gốc là không được biết), ta sẽ
so sánh với lời giải khá chính xác thu được bằng phương pháp cân bằng năng lượng
[11]. Theo phương pháp này, ta xây dựng hàm thế năng:
0
( )U g d
(4.47)
85
trong đó g là hàm độ cứng đàn hồi. Áp dụng (4.47) để tính các hàm thế năng của
hệ phi tuyến (4.41) và hệ tuyến tính tương đương (4.27), phương pháp cân bằng
năng lượng yêu cầu:
2
2 3
0 0
minx x
kx x dx kxdx
(4.48)
Từ đó ta có
2
2 4 22 0
2 4 2
x x xk k
(4.49)
Suy ra
2 2 22.5 , .xk c (4.50)
Kết hợp các phương trình (4.45), (4.46), (4.50) với phương trình (4.31) dẫn đến các
cặp phương trình khép kín cho phép thu được một cách tương ứng các lời giải bằng
phương pháp GLOMSEC ( 2,x GL ), phương pháp kinh điển ( 2
,Cx ), phương pháp cân
bằng năng lượng ( 2,Ex ).Các tính toán được thực hiện với số liệu 2 2, , , , 1fS
và tham số phi tuyến thay đổi. Ta sử dụng các công thức tính sai số tương đối
(3.24) của Chương 3 để tính sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2,x GL , 2
,Cx so
với 2,Ex và trình bày trong bảng 4.3. Kết quả cho thấy nghiệm 2
,x GL có độ chính
xác tốt hơn nhiều so với nghiệm 2,Cx , cụ thể đối với sai số lớn nhất tương ứng là
2.392% so với 11.398%.
Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với 2 2f, , S, , 1 và thay đổi
2,Ex 2
,Cx %CErr 2,x GL %GLErr
0.1
1
10
100
1.86038
0.66376
0.16687
0.03720
1.75024
0.60015
0.14855
0.03296
5.920
9.583
10.979
11.398
1.88195
0.67688
0.17072
0.03809
1.159
1.977
2.307
2.392
86
4.2.3. Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn
màu
Ta xét hệ Duffing có cản phi tuyến bậc ba chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như
sau
fzzzz 33 (4.51)
trong đó ,, là các tham số dương, với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác
định bởi phương trình (4.22). Phương trình phi tuyến ban đầu (4.51) được thay thế
bằng phương trình tuyến tính tương đương được mô tả bởi (4.27). Để xác định các
hệ số tuyến tính hóa ,k c ta áp dụng (4.39) và với kết quả từ phụ lục ta thu được:
3 3 3 4
2 2
222 , 0 , 2 ,2
21,1, 0 ,
3 3 2 4 3
2 2
222, 0 ,
21, 0 ,
( )
2 20 0 ,
2 2
( )
2 2
2 2
r r r
rr r
r r
r r
x x x x xx x x xk r
x x
T x T Tx
TT x T
x x x x x x x xc r
x x
T x T
T x T
2,2
1,
0 r
r
Tx
T
(4.52)
Lưu ý rằng 2 2 2 2; ;x xx x ta thu được:
2,2
1,0 0
2,2
1,0 0
1 1( ) ( ) ,
1 1( ) ( ) .
s sr
xs s
r
s sr
xs s
r
Tk k r Lim k r dr Lim dr
s s T
Tc c r Lim c r dr Lim dr
s s T
(4.53)
Sau khi lấy giới hạn ta có:
2 22.41189 , 2.41189x xk c (4.54)
Cho r , ta thu được hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:
2 23 , 3x xk c (4.55)
87
Kết hợp các phương trình (4.54), (4.55) với phương trình (4.31) dẫn đến các cặp
phương trình khép kín cho phép thu được, một cách tương ứng, các lời giải bằng
tiêu chuẩn GLOMSEC ( 2,x GL ), và bằng tiêu chuẩn kinh điển ( 2
,Cx ).
Để đánh giá sai số của các lời giải thu được từ tiêu chuẩn GLOMSEC và từ tiêu
chuẩn kinh điển, trong khi nghiệm chính xác của hệ phi tuyến gốc không tồn tại,
chúng ta sẽ so sánh với lời giải thu được bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo
( 2,x MC ). Để thực hiện mô phỏng Monte Carlo, ta sử dụng công cụ Simulink của
phần mềm Matlab. Trong đó số lần mô phỏng là N=10000 lần, thời gian mỗi lần mô
phỏng ta lấy t=300 (s), bước thời gian ta lấy là t =0.1 (s). Chương trình Matlab
tính toán mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ồn
màu dải hẹp được trình bày trong Phụ lục 2.3.
Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2,x GL , 2
,Cx so với nghiệm chính xác 2,x MC
được trình bày trong Bảng 4.4 và 4.5 tương ứng với hai trường hợp:
,1,,,, 2 fS thay đổi và ,1,,,, 2 fS thay đổi. Ta sử dụng các công thức
tính sai số tương đối như công thức (3.24) của Chương 3.
Bảng 4.4. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với
2, , , , 1,fS hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi
2,x MC
2,Cx %CErr 2
,x GL %GLErr
0.1
1
10
100
2.62060
0.82554
0.22073
0.05138
2.14097
0.65974
0.16413
0.03502
18.302
20.084
25.642
30.841
2.46218
0.76111
0.19043
0.04067
6.045
7.805
13.727
20.845
88
Bảng 4.5. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với
2, , , , 1fS hệ số cản phi tuyến thay đổi
2,x MC
2,Cx %CErr 2
,x GL %GLErr
0.1
1
10
100
0.96597
0.82554
0.59389
0.40454
0.77228
0.65974
0.47760
0.32617
20.051
20.084
19.581
19.373
0.89053
0.76111
0.55128
0.37683
7.810
7.805
7.175
6.850
Kết quả cho thấy nghiệm thu được bằng GLOMSEC ( 2,x GL ) có độ chính xác tốt hơn
so với nghiệm 2,Cx thu được bằng phương pháp kinh điển.
Như vậy, các ví dụ áp
dụng cho thấy đối với kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp, độ chính xác của
nghiệm theo tiêu chuẩn GLOMSEC cũng được cải thiện đáng kể so với nghiệm theo
tiêu chuẩn kinh điển khi hệ có tính phi tuyến trung bình và lớn.
Kết luận của Chương 4
Trong chương 4 đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
– tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao
động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều bậc tự do và hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên
một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Việc đánh giá sai số của
nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác
(nếu có), hoặc nghiệm của phương pháp cân bằng năng lượng, hoặc sử dụng nghiệm
mô phỏng Monte Carlo, và cũng so sánh với nghiệm thu được theo tiêu chuẩn kinh
điển. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ thuật được đề xuất
trong tiêu chuẩn GLOMSEC cũng như tính hợp lý của miền tích phân xác suất hữu
hạn. Cụ thể là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(GLOMSEC) cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men đáp ứng bậc
hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi tuyến trung bình và lớn. Tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình kinh điển cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi
89
phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi
tuyến nhỏ.
Các kết quả trong chương 4 được trình bày trong các bài báo [1,2,4,6] trong Danh
sách các công trình đã công bố của luận án.
90
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa
tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính
đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do. Phương pháp tuyến
tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9, 10] để phân tích
các hệ dao động ngẫu nhiên. Đây là một phương pháp hữu hiệu đối với các hệ phi
tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ
chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát triển những tiêu
chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số. Luận án tập trung nghiên
cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng trong phân tích
dao động ngẫu nhiên phi tuyến.
Các kết quả mới của luận án bao gồm:
- Đã xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(Global-Local Mean Square Error Criterion – GLOMSEC) của phương pháp tuyến
tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích
động ngẫu nhiên ồn trắng. (được công bố trong [6,5], Danh sách các công bố của
luận án)
- Đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi
tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng. Việc đánh giá sai
số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính
xác (nếu có), hoặc nghiệm của phương pháp cân bằng năng lượng, hoặc nghiệm mô
phỏng Monte Carlo và cũng so sánh với nghiệm thu được theo tiêu chuẩn kinh điển.
(được công bố trong [6,3,1], Danh sách các công bố của luận án)
- Đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể
(GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do chịu kích động
ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Kết quả ứng dụng tiêu chuẩn sai số này khi phân tích
mô men đáp ứng bậc hai của hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động
91
ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp cũng cho nhận xét tương tự như trường hợp hệ chịu kích
động ồn trắng. (được công bố trong [4,2], Danh sách các công bố của luận án)
- Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của tiêu chuẩn GLOMSEC là đã
khắc phục được nhược điểm của tiêu chuẩn LOMSEC. Ngoài ra, các đóng góp quan
trọng của GLOMSEC trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến đó là:
+ Tiêu chuẩn GLOMSEC đã xây dựng được thuật toán để xác định miền tích phân
hữu hạn trung bình cho hệ phi tuyến bất kỳ dựa trên quan điểm đối ngẫu trong khi
tiêu chuẩn LOMSEC phải gán một giá trị tùy ý nào đó. Nếu như trước đây, tiêu
chuẩn LOMSEC đề nghị miền tích phân hữu hạn là 1 1 1(2 , 2.7 )y yy thì giờ đây,
áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC, hệ dao động Duffing có miền tích phân hữu hạn
trung bình là 1 12.52 yy ; hệ dao động Van Der Pol có miền tích phân hữu hạn
trung bình là 1 12.20 yy ; và hệ dao động của tàu thủy có miền tích phân hữu hạn
trung bình là 1 12.70 yy .
+ Tiêu chuẩn GLOMSEC cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men
đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi tuyến trung bình
và lớn.
+ Đã có nhiều phương pháp TTH tương đương cải tiến được công bố, nhưng không
phải phương pháp nào cũng phát triển được cho hệ nhiều bậc tự do, nhưng
GLOMSEC thì lại có thể thỏa mãn được vấn đề này.
Hướng nghiên cứu tiếp theo
Các kết quả nghiên cứu của luận án có thể được phát triển cho các hệ dao động ngẫu
nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ồn màu, hệ dao động chịu đồng thời
kích động ngẫu nhiên và kích động tham số, hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên
không dừng, hệ cơ điện tử.
92
DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
[1]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: Performance analysis of global-local
mean square error criterion of stochastic linearization for nonlinear oscillators,
Vietnam Journal of Mechanics, Vol. 41, No. 1, pp.1-15 (2019), DOI:
https://doi.org/10.15625/0866-7136/12015.
[2]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: A new stochastic linearization technique
for nonlinear oscillators under colored noise excitation, 10th National Conference on
Mechanics, Vol. 1, pp.211-220, Hanoi (2017).
[3]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: Analysis of randomly excited nonlinear
oscillators by the global-local mean square error criterion, 4th International
Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), pp.197-204,
Hanoi (2016).
[4]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: Extension of Global-local mean square
error criterion to nonlinear oscillators under narrow band excitation, J. of
Multidisciplinary Engineering Science Technology, 3, Iss. 11, pp.6000-6005, (2016)
(Tạp chí quốc tế).
[5]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: A new improvement of Gaussian
equivalent linearization for stochastic nonlinear oscillators, 2nd National Conference
on Mechanical Engineering and Automation, pp.274-280, Hanoi (2016).
[6]. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, N.C. Thang: Global-local mean square error
criterion for equivalent linearization of nonlinear systems under random excitation,
Acta Mechanica, 226, N9, pp.3011-3029 (2015), DOI: 10.1007/s00707-015-1332-4
(Tạp chí SCI).
93
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
[1]. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu Lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo
dục, 2005
[2]. Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007
[3]. Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009
[4]. Nguyễn Ngọc Linh, Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương
pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2016.
[5]. Nguyễn Như Hiếu, Tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa
tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên, Luận án
tiến sĩ, Hà Nội, 2018.
[6]. Nguyễn Minh Triết, Phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp
cận đối ngẫu, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2017.
[7]. Lưu Xuân Hùng, Nghiên cứu ảnh hưởng của kích động ngẫu nhiên lên hệ cơ
học bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2002.
[8]. Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, (Applied Nonlinear
Oscillations), Nhà xuất bản Bách Khoa Hà Nội, 2016.
Tài liệu tiếng Anh
[9] Caughey, T.K.: Response of a nonlinear string to random loading. J. Appl.
Mech.26, 341–344 (1959).
[10] Caughey, T.K.: Equivalent linearization technique, Jacoust Soc Am, 35, p.
1706-1711 (1963)
[11] Zhang, X., Elishakoff, I., Zhang, R.: A stochastic linearization technique based
on mean square deviation of potential energies. In: Lin, Y.K., Elishakoff, I. (eds.)
94
Stochastic Structural Dynamics. New Theoretical Development, vol. 1, pp. 327–
338. Springer, Berlin (1990)
[12] Casciati, F., Faravelli, L., Hasofer, A.M.: A new philosophy for stochastic
equivalent linearization. Probab. Eng. Mech.8,179–185 (1993)
[13] Anh, N.D., Schiehlen, W.: New criterion for Gaussian equivalent linearization.
Eur. J. Mech. A Solids16(6), 1025–1039 (1997)
[14] Proppe, C., Pradlwarter, H.J., Schueller, G.I.: Equivalent linearization and
Monte-Carlo simulation in stochastic dynamics. J.Probab. Eng. Mech.18(1), 1–15
(2003)
[15] Anh, N.D., Di Paola, M.: Some extensions of Gaussian equivalent
linearization. In: Proceedings of International Conference on Nonlinear Stochastic
Dynamics, Hanoi, Vietnam. Pp. 5–16 (1995)
[16] Elishakoff, I., Andrimasy, L., Dolley, M.:Application and extension of the
stochastic linearization by Anh and Di Paola. Acta Mech. 204, 89–98 (2009)
[17] Hung, L.X.: Approximate analysis of some two-degree-of-freedom non-linear
random systems by an extension of Gaussian equivalent linearization. Vietnam J.
Mech.23(N2), 95–109 (2001)
[18] Anh, N.D., Hung, L.X.: An improved criterion of Gaussian equivalent
linearization for analysis of nonlinear stochastic systems. J. Sound Vib.268, 177–
200 (2003)
[19] Anh, N.D., Hung, L.X.: A new improvement for stochastic linearization based
on concentrated response zone. J. Adv. Natural Sci. Vietnam Acad. Sci. Tech.9(1),
9–22 (2008)
[20] Anh, N.D.: Duality in the analysis of responses to nonlinear systems. Vietnam
J. Mech. VAST. 32(4), 263–266 (2010).
[21] Anh ND, Hieu NN and Linh NN.: A dual criterion of equivalent linearization
method for nonlinear systems subjected to random excitation. Acta Mechanica
(2012); 223(3): 645–654.
[22] Anh, N.D., Elishakoff, I.: A new view of the Bubnov–Galerkin method in the
linearization context. Vietnam J. Mech.34(N1), 1–6 (2012).
[23] Anh, N.D.: Dual approach to averaged values of functions. Vietnam J.
Mech.34(N3), 211–214 (2012).
95
[24] Anh, N.D., Hung, L.X., Viet, L.D.: Dual approach to local mean square error
criterion for stochastic equivalent linearization. Acta Mech. 224, 241–253 (2013).
Doi:10.1007/s00707-012-0751-8.
[25] Crandall, S. H.: Perturbation techniques for random vibration of nonlinear
systems, J. Acoust. Soc. Am., 35: 1700-1705 (1963)
[26] Crandall SH, Mark WD (1963) Random vibration in mechanical systems.
Academic Press, New York
[27] Newland DE (1984) An introduction to random vibrations and spectral
analysis, 2nd edn. Longman, London
[28] Yang CY (1986) Random vibration of structures. Wiley, New York
[29] Roberts JB, Spanos PD (1990) Random vibration and statistical linearization.
Wiley, Chichester
[30] Soong TT, Grigoriu M (1993) Random vibration of mechanical and structural
systems. PTR Prentice-Hall, Englewood Cliffs
[31] Preumont A (1994) Random vibration and spectral analysis. Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht
[32] Paz M, Leigh W (2004) Structural dynamics: theory and computation, 5th edn.
Kluwer Academic Publishers, Boston
[33] Wijker J (2009) Random vibrations in spacecraft structures design. Theory and
Applications. Springer, Dordrecht
[34] Shinozuka M, Yang JN (1969) Random vibration of linear structures. Int J
Solids Struct 5:1005–1036
[35] Iyengar RN, Dash PK (1976) Random vibration analysis of stochastic time-
varying systems. J Sound Vib 45(1):69–89
[36] Robson JD (1980) The response relationships of random vibration analysis. J
Sound Vib 73(2):312–315
[37] Lin YK, Kozin F, Wen YK et al (1986) Methods of stochastic structural
dynamics. Struct Saf 3:167–194.
96
[38] Ziegler F (1987) Random vibrations: a spectral method for linear and nonlinear
structures. Probab Eng Mech 2(2):92–99
[39] Shihab S, Preumont A (1989) Non-stationary random vibrations of linear
multi-degree-offreedom systems. J Sound Vib 132(3):457–471
[40] Chen SH, Liu ZS, Zhang NF (1992) Random vibration analysis for large-scale
structures with random parameters. Comput Struct 43(4):681685
[41] Elishakoff I, Zhu L (1993) Random vibration of structures by the finite element
method. Comput Meth Appl Mech Eng 105:359–373
[42] Crandall, S.H.: A half-century of stochastic equivalent linearization. Struct.
Control Health Monit. 13, 27–40 (2006)
[43] Elishakoff, I., Crandall, S.H.: Sixty years of stochastic linearization technique.
Meccanica 52, 299–305 (2017). https://doi. Org/10.1007/s11012-016-0399-x
[44] Socha, L.: Linearization methods for stochastic dynamic system. Lecture Notes
in Physics. Springer, Berlin (2008)
[45] Canor, T., Blaise, N., Deno, V.: A fast Newton–Raphson method in stochastic
linearization. In: Cunha, A., Caetano, E., Ribeiro, P., Mller, G. (eds.) EURODYN
2014 Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics,
Porto, Portugal, 2839–2844 (2014)
[46] Ali, S.F., Adhikari, S., Friswell, M., Narayanan, S.: The analysis of
piezomagnetoelastic energy harvesters under broadband random excitations. J.
Appl. Phys. 109(7), 074904–074908 (2011)
[47] Jiang, W.A., Chen, L.Q.: An equivalent linearization technique for nonlinear
piezoelectric energy harvesters under Gaussian white noise. Commun. Nonlinear
Sci. Numer. Simul. 19(8), 2897–2904 (2014)
[48] Chen, F.X., Chen, Y.M., Liu, J.K.: Equivalent linearization method for the
flutter system of an airfoil with multiple nonlinearities. Commun. Nonlinear Sci.
Numer. Simul. 17(12), 4529–4535 (2012)
97
[49] Triet, N.M.: Extension of dual equivalent linearization technique to flutter
analysis of two dimensional nonlinear airfoils. Vietnam J. Mech. 37(3), 217–230
(2015)
[50] Anh, N.D., Nguyen, N.X., Hoa, L.T.: Design of three-element dynamic
vibration absorber for damped linear structures. J. Sound Vib. 332(19), 4482–4495
(2013)
[51] Jalali, H.: An alternative linearization approach applicable to hysteretic
systems. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 19(1), 245–257 (2014)
[52] Silva-Gonzlez, F.L., Ruiz, S.E., Rodriguez Castellanos, A.: Non-Gaussian
stochastic equivalent linearization method for inelastic nonlinear systems with
softening behaviour, under seismic ground motions.Math. Probl. Eng. 2014, 539738
(2014). https://doi.org/10.1155/2014/539738
[53] Su, C., Huang, H., Ma, H.: Fast equivalent linearization method for nonlinear
structures under nonstationary random excitations. J. Eng. Mech. 142(8), 04016049
(2016). https://doi.org/10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001094
[54] Anh, N.D., Hieu, N.N., Chung, P.N., Anh, N.T.: Thermal radiation analysis for
small satellites with single-node model using techniques of equivalent linearization.
Appl. Therm. Eng. 94(5), 607–614 (2016)
[55] Roberts J.B. A stochastic theory for nonlinear ship rolling in irregular seas.
Journal of Ship Research 26, 229-245 (1982)
[56] Roberts J.B. and Dacunha N.M.C. The roll motion of a ship in random beam
waves: Comparison between theory and experiment. Journal of Ship Research 29,
112-126 (1985)
[57] David C.P., James L.B., Costas P. A new stationary PDF approximation for
nonlinear oscillators. Int. J. Nonlinear Mech. 35, 657–673 (2000)
[58] Krylov N. M., Bogolyubov N. N.: Introduction to non-linear mechanics (in
Russian). Kiev: Publisher AN SSSR (1937).
[59] Atalic, T.S., Utku, S.: Stochastic linearization of multi-degree of freedom
nonlinear systems. Earthq. Eng. Struct. Dyn.4,411–420 (1976).
98
[60] Spanos, P.D.: Formulation of stochastic linearization for symmetric or
asymmetric MDOF nonlinear systems. J. App. Mech47(1), 209–211 (1980)
[61] Faravelli, L., Casciati, F., Singh, M.P.: Stochastic equivalent linearization
algorithms and their applicability to hysteretic systems. Meccanica 23, 107–112
(1988).
[62] Casciati, F., Faravelli, L.: Stochastic equivalent linearization for 3-D frames. J.
Eng. Mech.114, 1760–1771 (1988).
[63] Casciati, F., Faravelli, L., Venini, P.: Frequency analysis in stochastic
linearization. J. Eng. Mech.120, 2498–2518 (1994).
[64] Di Paola, M., Loppolo, M., Muscolino, G.: Stochastic seismic analysis of
multi-degree of freedom systems. Eng. Struct. Elsevier6(2), 113–118 (1984).
[65] Falsone, G.: Stochastic linearization of MDOF systems under parametric
excitations. Int. J. Nonlinear Mech.27(6), 1025–1037 (1992).
[66] Bellizzl, S., Bouc, R.: Analysis of multi-degree of freedom strongly nonlinear
mechanical systems with random input. Probab. Eng. Mech. Elsevier 14(3), 229–
244 (1999).
[67] Anh, N.D., Zakovorotny, V.L., Hieu, N.N., Diep, D.V.: A dual criterion of
stochastic linearization method for multi-degreeof-freedom systems subjected to
random excitation. Acta Mech.223, 2667–2684. Doi:10.1007/s00707-012-0738-5.
[68] Anh ND, Hieu NN and Linh NN.: A dual criterion of equivalent linearization
method for nonlinear systems subjected to random excitation. Acta Mechanica
(2012); 223(3): 645–654.
[69] Papoulis A. (1984), Probability, Random Variables and Stochastic Process,
McGraw-Hill, NewYork, 2nd Edition.
[70] Lin,Y.K., Cai,G.Q.: Probabilistic Structural Dynamics: Advanced Theory and
Applications. McGraw-Hill, NewYork (1995)
[71] Dimentberg, M.F.: Oscillations of a system with nonlinear cubic characteristic
under narrow ban random excitation, Mechaics of Solids 6(2), p.142-146 (1971)
99
[72] Richard, K. and Anand, G.V.: Nonlinear resonance in strings under narrow
band random excitation, Part I: Planar response and stability, Journal of Sound and
Vibration, 86, p. 85-98 (1983)
[73] Davies, H.G. and Nandlall, D.: Phase plane for narrow band random excitation
of a Duffing oscillator, Journal of Sound and Vibration, 104, p. 277-283 (1986)
[74] Iyengar, R.N.: Response of nonlinear systems to narrow band excitation,
Structural Safety, Vol. 6, Issues. 2-4, p. 177-185 (1989)
[75] Zhu, W.Q., Huang, C.D., Soong, T.T.: Narrow band excitation of hysteretic
systems, Sock and Vibration, Vol. 4, N. 4, p.241-250 (1997)
[76] Hai-Wu, R., Xiang-Dong, W., Guang, M., et al.: Response of nonlinear
oscillators under narrow band random excitation, Appl Math Mech, Vol. 24, Issue.
7, p. 817-825 (2003)
[77] Cho, W.S.To, Nonlinear random vibration, CRC Press (2012)
[78] Lutes, L.D., Sarkani, S.: Random vibration: Analysis of structural and
mechanical systems, Elsevier, Amsterdam (2004).
[79] Rubinstein, R. Y.: Simulation and Monte Carlo method, John Wiley and Sons,
Inc., New York (1981)
[80] Wojtkiewicz S.F., Johnson E.A., Bergman L. A., Spencer B.F.Jr.(1997),
“Finite element and finite difference solutions to the transient Fokker–Planck
equation”, DESY 161: 290–306
[81] Zhao L., Chen Q.(1997), “An equivalent nonlinearization method for
99nalyzing response of nonlinear systems to random excitations”, Applied
Mathematics and Mechanics, June , Volume 18, Issue 6, pp 551-561.
[82] Zhu W, Cai G.(2002), “Nonlinear stochastic dynamics: A survey of recent
developments”, Acta Mechanica Sinica (English Series), Vo1.18, No.6, December.
100
PHỤ LỤC
1. Các công thức tính mô men theo tiêu chuẩn LOMSEC
Đối với quá trình chuẩn vô hướng y có trung bình bằng không, tất cả các mô men
bậc cao ny 2 có thể được biểu diễn theo mô men bậc hai:
nn yny 22 12...5.3.1
Tương tự, tất cả các mô men bậc cao ny2
trong LOMSEC cũng có thể được thể
hiện dưới dạng các mô men bậc hai 2y theo công thức có thể dễ dàng chứng minh
sau khi thay thế biến yty
n
yn
y
y
n yTy y
y
2
,
20
0
0 2
, n=1,2,
trong đó
nny y 22 ;
0
0
0
2
,
y
n
yndttntT ; 2
2
2
1t
etn
Gán các giá trị cụ thể cho 0, yn , ta sẽ thu được 0,ynT
là một giá trị dương. Ngoài ra,
tất cả các mô men bậc lẻ đều bằng 0.
Giả sử rằng x và x là các quá trình chuẩn có trung bình bằng không, ký hiệu [.] là
giá trị trung bình địa phương của các biến ngẫu nhiên được lấy như sau
xdxdxxPx
x
x
x
0
0
0
0
,..
(a.1)
trong đó 00, xx là các giá trị dương đã cho; xxP , là hàm mật độ xác suất chung
của chúng, có thể được phân thành hai hàm mật độ xác suất đơn độc lập:
.2
1)(,
2
1)(),()(),(
2222 22 xx x
x
x
x
exPexPxPxPxxP
(a.2)
trong đó x và x là độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên x và x . Các tích phân
trong (a.1) có thể được chuyển qua các biến không thứ nguyên bằng cách
xx rxrx 00 , với r là một giá trị dương xác định:
101
xdxdxxPx
x
x
x
r
r
r
r
,.. (a.3)
Như đã biết, với một biến ngẫu nhiên chuẩn có trung bình zero, tất cả các mô men
bậc lẻ đều bằng không, tất cả các mô-men bậc chẵn có bậc cao hơn bậc hai có thể
được biểu diễn theo mô men bậc hai. Bằng cách thay thế các biến xtx , xtx và
sử dụng các công thức (a.2), (a.3), khi sử dụng LOMSEC có thể được biểu diễn
nn xx 22 , theo các mô men bậc hai 22 , xx .
Đối với biến x:
rt
rtnn
x
r
r
xt
x
r
r
xt
x
nx
n
r
r
r
r
nn
dtedtet
dtedtet
dxxPdxxPxx
xxxx
x
x
x
x
0
2
0
222
2222
22
22
222222
2
12
2
12
2
1
2
1
)()(
(a.4)
Ký hiệu nn
x x 22 và
.)(,2
1)(
0
2,
22
r
nrn
t dtttTet
(a.5)
Công thức (a.4) có thể viết ở dạng
2 2 2, 0,
2 2, 0, 0,
0
( ) ( ) 2 2 ,
( ) 2 , ( ) 2 , ( ) .
x x
x x
x x
x x
r rnn n
n r r
r r
r r rnn
n r r r
r r
x x P x dx P x dx T x T
x P x dx T x P x dx T T t dt
(a.6)
Tương tự với biến x :
2 2 2, 0,
2 2, 0, 0,
0
( ) ( ) 2 2 ,
( ) 2 , ( ) 2 , ( ) .
x x
x x
x x
x x
r rnn n
n r r
r r
r r rnn
n r r r
r r
x x P x dx P x dx T x T
x P x dx T x P x dx T T t dt
(a.7)
Cho r , các công thức (a.6) và (a.7) sẽ trở thành các công thức quen thuộc:
102
nn
nnnn xnxTxdxPdxxPxxx 22
,222 !!122)()(
(a.8)
trong đó:
.12
12)(,2
2
12)(
0
22,
0
2222 22
dtexdxPxTdtetdxxPx tn
ntnn
xn
nn
nnnn xnxTdxxPxdxPxxx 22
,222 !!122)()(
(a.9)
2
2
2 2 2 2 2,
0
2
0
1( ) 2 2 ,
2
1( ) 2 1.
2
nn n n tx n
t
x P x dx t e dt T x
P x dx e dt
2. Các chương trình MATLAB tính toán mô phỏng hệ dao động ngẫu
nhiên phi tuyến
2.1 Chương trình Matlab mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing có cản chịu
kích động ồn trắng
% CHUONG TRINH TINH KICH DONG ON TRANG CHO HE DUFFING + can
bac 3 = MP MONTE CARLO.
% XDOTDOT+beta*XDOT+ga*XDOT^3+omega^2*X+epxilon*X^3=W(T)
% Clear memory
clear all;
format long;
% Pho tan so S
S=1;
% Buoc chia
time=0.1;
% POWER=Cuong do on trang mu 2=2*PI*S
power=S*2*pi;
103
% c = BETA he so bo can tuyen tinh
c=0.1;
ga=1;
% ga = [0.1 1 10 100] he so do can phi tuyen
ep=100;
% epxilon = [0.1 1 10 100] he so do cung phi tuyen
om=0;
Numtri=10000;
z2=zeros(Numtri,1);
% MOPHONG MONTE CARLO
% So lan lap bang 10000 lan
for i=1:Numtri
% gieo mau ngau nhien trong (0,1)
noise=round(100000*rand(1));
%goi so do simulink co ten ontrang.mdl trong thu muc C:\MATLAB7\work
[T X Y1]=sim('ontrang', [0 300]);
%tinh gia tri vecto dap ung chuyen dich Y1
L=length(Y1);
y1=Y1(L);
%z1(i)=mean(y1);
%plot(T,Y1)
% Tinh gia tri binh phuong cua y1
y2=y1*y1;
z2(i)=y2;
% hien thi thoi gian tinh
104
if mod(i,100)<1
display('processing %')
display(num2str(i/10000*100))
end;
end;
%Tinh gia tri binh phuong trung binh
X2=mean(z2);
mean_square_X=round(X2*100000)/100000
2
Out2
1
Out1
Product1
Product
1
s
Integrator3
1
s
Integrator2
-ga
Gain6
-ep
Gain5
-c
Gain4
Band-Limited
White Noise
Add1
Hình 1. Sơ đồ Simulink Ontrang.mdl
2.2 Chương trình Matlab tính mô men bậc 2 của hệ 2 bậc tự do chịu kích động
ồn trắng bằng phương pháp lặp
function mdofontrang146
% chuong trinh dung de tinh he on trang 2 bac tu do trang 146 book of W.S.To
% bang P.P Caughey & GLOMSEC su dung phuong phap lap {x1^2} tich phan
trong mien tan so.
105
% x1'' - lamda1*x1' + alpha1*x1dot^3+omega1^2*x1 + a*x2 + b*(x1-x2)^3 =
w1(t)
% x2'' -(lamda1-lamda2)*x2' + alpha2*x2dot^3+omega2^2*x2 + a*x1 + b*(x2-
x1)^3 = w2(t)
% clear all
clear all;
format long;
S11=1;
S22=1;
Sw=[S11 0;0 S22];
alpha1=0.1;
alpha2=0.1;
omega1=1;
omega2=1;
b=1;
a=1;
lamda1=1;
lamda2=1;
K=[omega1^2 a;a omega2^2];
C=[-lamda1 0;0 -lamda1+lamda2];
M=[1 0;0 1];
GL=1; % GL = 1 tinh nghiem GLOMSEC; GL = 0 tinh nghiem Caughey
switch GL
case 1
T2rT1r=2.41189;
T1rT0r=0.83706;
106
case 0
T2rT1r=3;
T1rT0r=1;
end;
% Gia tri ban dau cua Ke, Ce
k11=zeros(100,1);
k12=zeros(100,1);
k21=zeros(100,1);
k22=zeros(100,1);
c11=zeros(100,1);
c12=zeros(100,1);
c21=zeros(100,1);
c22=zeros(100,1);
j=1;
k11(j)=rand(1)*1e-3;
k22(j)=rand(1)*1e-3;
k12(j)=-k22(j);
k21(j)=-k11(j);
c11(j)=rand(1)*1e-3;
c22(j)=rand(1)*1e-3;
c12(j)=0;
c21(j)=0;
j=j+1;
k11(j)=rand(1)*1e-3;
k22(j)=rand(1)*1e-3;
107
k12(j)=-k22(j);
k21(j)=-k11(j);
c11(j)=rand(1)*1e-3;
c22(j)=rand(1)*1e-3;
c12(j)=0;
c21(j)=0;
m=3000;
s=1;
dx=0.01;
N=m/dx;
N1=N+1;
omega=[-m/2:dx:m/2];
maxerror=1e3;
%Vong lap While tinh lap cac gia tri mean square y1 y2 y1dot y2dot
%dk dung vong lap while
epxilon=1e-4;
j=j+1;
w1=1;%doi trong cua k(j-1), c(j-1) Note: Co the bat dau bang w1=1, neu khong hoi
tu thi giam w1 tu dong giam xuong.
w2=1-w1;%doi trong cua k(j-2), c(j-2) Note: w1+w2=1
% VONG LAP WHILE TINH MOMEN BAC 2 CUA DAP UNG BANG
PHUONG PHAP TAN SO + TINH GAN DUNG BANG PHUONG PHAP LAP
while maxerror>epxilon;
k11(j)=w1*k11(j-1)+w2*k11(j-2);
k12(j)=w1*k12(j-1)+w2*k12(j-2);
k21(j)=w1*k21(j-1)+w2*k21(j-2);
108
k22(j)=w1*k22(j-1)+w2*k22(j-2);
c11(j)=w1*c11(j-1)+w2*c11(j-2);
c12(j)=w1*c12(j-1)+w2*c12(j-2);
c21(j)=w1*c21(j-1)+w2*c21(j-2);
c22(j)=w1*c22(j-1)+w2*c22(j-2);
Kej=[k11(j) k12(j);k21(j) k22(j)];
Cej=[c11(j) c12(j);c21(j) c22(j)];
% Tinh tich phan y1 y2 y12 y21 y1dot y2dot (Kej,Cej=Ke3,4,5,...;Ce3,4,5...)
s=1;
Sxj11=zeros(N1,1);
Sxj12=zeros(N1,1);
Sxj21=zeros(N1,1);
Sxj22=zeros(N1,1);
Sxdotj11=zeros(N1,1);
Sxdotj12=zeros(N1,1);
Sxdotj21=zeros(N1,1);
Sxdotj22=zeros(N1,1);
y1=0;
y1dot=0;
y2=0;
y2dot=0;
y21=0;
y12=0;
y12dot=0;
y21dot=0;
109
while s<=N1;
Aj=zeros(2);
Bj=zeros(2);
invAj=zeros(2);
invBj=zeros(2);
Sxj=zeros(2);
Aj=-M*omega(s)^2+K+Kej-omega(s)*(C+Cej)*i;
Bj=-M*omega(s)^2+K+Kej+omega(s)*(C+Cej)*i;
invAj=inv(Aj);
invBj=inv(Bj);
Sxj=invAj*Sw*(invBj).';
Sxj11(s)=Sxj(1,1);
Sxj12(s)=Sxj(1,2);
Sxj21(s)=Sxj(2,1);
Sxj22(s)=Sxj(2,2);
Sxdotj11(s)=Sxj(1,1)*omega(s)^2;
Sxdotj12(s)=Sxj(1,2)*omega(s)^2;
Sxdotj21(s)=Sxj(2,1)*omega(s)^2;
Sxdotj22(s)=Sxj(2,2)*omega(s)^2;
s=s+1;
end;
y1=sum(Sxj11)*dx;
y2=sum(Sxj22)*dx;
y12=sum(Sxj12)*dx;
y21=sum(Sxj21)*dx;
110
y1dot=sum(Sxdotj11)*dx;
y2dot=sum(Sxdotj22)*dx;
y12dot=sum(Sxdotj12)*dx;
y21dot=sum(Sxdotj21)*dx;
k11(j+1)=b*T2rT1r*y1+3*b*T1rT0r*y2;
k22(j+1)=3*b*T1rT0r*y1+b*T2rT1r*y2;
k12(j+1)=-k22(j+1);
k21(j+1)=-k11(j+1);
c11(j+1)=alpha1*T2rT1r*y1dot;
c22(j+1)=alpha2*T2rT1r*y2dot;
c12(j+1)=0;
c21(j+1)=0;
error1=abs(k11(j)-k11(j+1));
error2=abs(k22(j)-k22(j+1));
error3=abs(c11(j)-c11(j+1));
error4=abs(c22(j)-c22(j+1));
maxerror=max([error1,error2,error3,error4])
j=j+2
w1=1-j/100;
w2=1-w1;
end;
switch GL
case 1
y1GL=y1
y2GL=y2
111
y1dotGL=y1dot
y2dotGL=y2dot
y12GL=y12
y21GL=y21
y12dotGL=y12dot
y21dotGL=y21dot
case 0
y1C=y1
y2C=y2
y1dotC=y1dot
y2dotC=y2dot
y12C=y12
y21C=y21
y12dotC=y12dot
y21dotC=y21dot
end;
k11=b*T2rT1r*y1+3*b*T1rT0r*y2
k22=3*b*T1rT0r*y1+b*T2rT1r*y2
c11=alpha1*T2rT1r*y1dot
c22=alpha2*T2rT1r*y2dot
figure(1)
plot(omega(1:N1),Sxdotj11(1:N1))
xlabel('Sxdot1');
figure(2)
plot(omega(1:N1),Sxdotj22(1:N1))
112
xlabel('Sxdot2');
figure(3)
plot(omega(1:N1),Sxj11(1:N1))
xlabel('Sx1');
figure(4)
plot(omega(1:N1),Sxj22(1:N1))
xlabel('Sx2');
maxSx11=max(Sxj11)
maxSxdot11=max(Sxdotj11)
minSx11=min(Sxj11)
minSxdot11=min(Sxdotj11)
b
j
N
dx
alpha1
lamda1
lamda2
clear all;
2.3 Chương trình Matlab mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing chịu kích động
ồn màu bậc 2
% CHUONG TRINH TINH KICH DONG ON MAU BAC 2 CHO HE DUFFING
% CAN PHI TUYEN MONTE CARLO.
% XDOTDOT+BETA*XDOT+GAMMA*XDOT^3+EPXILON*X^3=F(T)
% FDOTDOT+ALFA*FDOT+OMEGAF^2*F=OMEGAF^2*W(T)
% Clear memory
113
clear all;
format long;
% Pho tan so S
S=1;
% Buoc chia
time=0.1;
% Cuong do on trang mu 2
power=S*2*pi;
% He so do can, do cung bo loc on mau
afa=1;
OmegaF=1;
OmegaF2=OmegaF^2;
% c = He so can = beta
c=1;
% Neu khong co thanh phan k*X thi lay k = 0
k=0;
% gamma=[0.1 1 10 100] he so do can phi tuyen
ga=1;
% k*ep = [0.1 1 10 100] he so do cung phi tuyen
ep=0.1;
% So lan lap bang 10000 lan
for i=1:10000
% gieo mau ngau nhien trong (0,1)
noise=round(100000*rand(1));
%goi so do simulink co ten onmau2.mdl
[T X Y1]=sim('onmau2', [0 300]);
%tinh gia tri vecto dap ung chuyen dich Y1
L=length(Y1);
y1=Y1(L);
% Tinh gia tri binh phuong cua y1
y2=y1*y1;
%Tinh gia tri binh phuong cua y1
114
z2(i)=y2;
if mod(i,100)<1
display('processing %')
display(num2str(i/10000*100))
display('<X^2>')
display(num2str(mean(z2)))
end;
end;
%Tinh gia tri binh phuong trung binh
X2=mean(z2);
mean_square_X=round(X2*100000)/100000
2
Out2
1
Out1
Product1
Product
1
s
Integrator3
1
s
Integrator2
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
-ga
Gain6
-ep
Gain5
-c
Gain4
-k
Gain3
-K-
Gain2
-K-
Gain1
-K-
Gain
Band-Limited
White Noise
Add1
Add
Hình 2. Sơ đồ Simulink onmau2.mdl