nghiÊn cỨu dao ĐỘng ngẪu nhiÊn phi tuyẾn bẰng tiÊu...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Nguyễn Cao Thắng

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN

BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH

ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------


NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN

BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH

ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. TS. Lưu Xuân Hùng

2. GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh

Hà Nội – 2019

I

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu

được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được bảo vệ ở

bất kỳ học vị nào.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn,

các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được chỉ rõ nguồn gốc.

Tác giả luận án


II

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy hướng dẫn khoa học, TS.

Lưu Xuân Hùng và GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học,

chỉ bảo tôi nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án.

Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Viện Cơ học, Học Viện

Khoa học và Công nghệ, các thầy cô đã tạo điều kiện đã giúp đỡ tôi ngay từ những

ngày đầu làm luận án.

Tôi xin cám ơn các đồng nghiệp, TS. Nguyễn Như Hiếu, TS. Nguyễn Văn Hải và

nhiều người khác đã hỗ trợ, động viên tôi trong nhiều lúc khó khăn.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã giúp đỡ, ủng hộ tôi trong suốt

thời gian làm luận án.

III

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................. I

LỜI CÁM ƠN ................................................................................................................... II

MỤC LỤC ......................................................................................................................... III

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .................................................... VI

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .......................................................................... IX

DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................................ X

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN

TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN .......................................................... 6

1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất ....................................................... 6

1.2 Quá trình ngẫu nhiên ................................................................................................... 8

1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt .......................................................................... 11

1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên ................... 16

1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp

trung bình hóa ngẫu nhiên ................................................................................................. 19

1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên ............................................ 25

Kết luận chương 1 ............................................................................................................. 28

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU

CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ ....... 29

2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển .................................................... 29

2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến ............................................ 36

2.2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng ................................................. 37

2.2.2 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh ............................................ 38

2.2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu ................................................... 39

IV

2.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) ......... 40

Kết luận chương 2 ............................................................................................................. 49

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH

CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO .................... 50

3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến ................................... 50

3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng ....................................................... 50

3.1.2.Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng ........................................... 52

3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng .................. 54

3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng

thể (GLOMSEC) ............................................................................................................... 57

3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba ........................................................................... 57

3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên ..................................... 60

3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên ........................................... 63

3.2.4. Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ...................... 66

3.2.5. Dao động của tàu thủy ............................................................................................ 70

Kết luận chương 3 ............................................................................................................. 72


CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO ................. 73

4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do ......................................................................... 73

4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ....................................... 80

4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ............ 80

4.2.2. Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ...................................... 83

4.2.3. Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu ........... 86

Kết luận Chương 4 ............................................................................................................ 88

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................... 90

DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN........................... 92

V

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 93

PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 100

VI

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GLOMSEC (GL) tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương tổng thể (Global-Local Mean Square Error

Criterion)

LOMSEC (L) tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương (Local Mean Square Error Criterion)

TTH tuyến tính hóa

FPK phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov

ENL phi tuyến hóa tương đương (Equivalent Non –

Linearization)

kd kinh điển

MC mô phỏng Monte Carlo

PDF hàm mật độ xác xuất (Probability Density

Function)

SDOF hệ một bậc tự do

MDOF hệ nhiều bậc tự do

NL năng lượng

M ma trận khối lượng

K ma trận hệ số độ cứng

C ma trận hệ số cản

( )α ma trận đáp ứng tần số

( )wS ma trận mật độ phổ của véc-tơ w(t)

a, r biến không thứ nguyên dương

VII

, , , , hệ số dương

b, k, c hệ số tuyến tính hóa tương đương

,i jb k hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j

h hệ số cản tuyến tính

C hệ số chuẩn hóa

1 , ttc k hệ số độ cứng tuyến tính

1 2 12, ,xxD t t D hiệp phương sai

x hàm Delta Dirac

,E kỳ vọng toán

,e x x sai số phương trình

F x hàm phân phối xác suất

,f t u t kích động ngoài

,g x x hàm phi tuyến của dịch chuyển và vận tốc

,H x x hàm tổng năng lượng

,K x t ma trận hệ số khuyếch tán

1 2,R t t hàm tương quan

m khối lượng

xm trung bình xác suất

minS giá trị cực tiểu của tiêu chuẩn tuyến tính hóa

n mô men trung tâm

nm mô men liên kết trung tâm

P xác suất của một sự kiện

VIII

, ,p x p x x hàm mật độ xác suất một chiều, hai chiều

0 0, ,p x t x t mật độ xác suất chuyển tiếp

xS hàm mật độ phổ

0S mật độ phổ hằng số

T chu kỳ dao động

0 1 2, , ,t t t t thời gian

độ trễ

U x hàm thế năng

u, v véc tơ

,v t x t vận tốc

X, Y biến ngẫu nhiên

x t dịch chuyển

x t gia tốc

t quá trình Wiener

t quá trình ồn trắng

cường độ của ồn trắng

x độ lệch chuẩn

2x phương sai

tần số của kích động

0 tần số dao động tự do

IX

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên .................................... 9

Hình 1.2. Các hàm mật độ xác suất chuẩn ...................................................................... 14

Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, ( =0.1, 1, 10, 100) ............................ 52

Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản phi tuyến, (=0.1, 1, 10, 100) ............... 54

Hình 3.3. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, (=0.1, 1, 10,

100) ................................................................................................................................. 56

X

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo ......................................................... 51



Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với

0.05, 1, 4oh h , và γ thay đổi..................................................................... 60

Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van der Pol với

α*ε=0.2; 0 =1; * =2; σ2 thay đổi ................................................................ 63

Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với

1, 0.25, 1o h ; hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi .................................... 65

Bảng 3.7. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với cản phi

tuyến ( 1.0, 0.1, 2 ; thay đổi) ........................................................ 69

Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo 1 2 với

1 2 1 2 0 1a b S . .................................................................................. 79

Bảng 4.2. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo b với

1 2 1 2 1 2 0 1a S .......................................................................... 79

Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với 1,,,, 22 fS và thay đổi ......... 85

Bảng 4.4. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với

2, , , , 1,fS hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi ............................................. 87


1,,,, 2 fS hệ số cản phi tuyến thay đổi ..................................................... 88

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết, ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài:

Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò rất quan

trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như kéo dài tuổi thọ của các công

trình, máy móc. Hạn chế hay loại bỏ những dao động không mong muốn, hoặc tạo

ra một mức độ dao động mong muốn là những mục tiêu chung của kỹ thuật dao

động. Để nghiên cứu các hiện tượng dao động, cần phải mô tả chúng bằng các

phương trình toán học, theo đó, các hệ dao động được gọi là tuyến tính hay phi

tuyến tùy theo phương trình vi phân mô tả dao động ấy là tuyến tính hay phi tuyến.

Hầu hết các bài toán dao động đều liên quan đến việc xác định chuyển động

của một hệ gây ra bởi tải trọng kích động. Nếu tải trọng thay đổi điều hòa hay chu

kỳ, hoặc theo một cách nào đó mà được mô tả đầy đủ như là một hàm của thời gian

(và vị trí) và nếu vị trí hay chuyển động ban đầu của hệ được biết thì đáp ứng của hệ

ở một thời điểm tùy ý sẽ hoàn toàn được xác định. Loại dao động như vậy được gọi

là dao động tiền định.

Trong dao động ngẫu nhiên, kích động thay đổi có tính chất ngẫu nhiên (bất

thường) và gây ra các đáp ứng cũng thay đổi bất thường làm cho các công trình,

thiết bị máy móc làm việc không hiệu quả, chóng hư hỏng, hoặc bị phá hủy đột

ngột. Chẳng hạn như: nhiễu động của gió lên máy bay, tên lửa; tải trọng gió lên

công trình cao tầng, tháp, cầu; tác động của sóng biển lên tầu biển, công trình biển;

lực do nhấp nhô của mặt đường tác động lên ô tô; tác động của động đất đến các

công trình, v.v. là các dạng kích động ngẫu nhiên. Về bản chất, giá trị của đại lượng

ngẫu nhiên ở một thời điểm bất kỳ là không thể dự báo được, thậm chí nếu có mối

liên hệ nào đó giữa cường độ của đại lượng ngẫu nhiên và thời gian mà đo được

trong một khoảng thời gian nhất định thì nó cũng không bao giờ lặp lại một cách

chính xác ở khoảng thời gian khác. Do đó, các công cụ quen thuộc trong phân tích

dao động tiền định sẽ không thể áp dụng được cho dao động ngẫu nhiên. Bởi vậy,

việc nghiên cứu dao động ngẫu nhiên bằng các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên

có ý nghĩa khoa học và ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật.

Trong hơn nửa thế kỷ qua, đã có những phát triển quan trọng về cơ học ngẫu

nhiên và dao động ngẫu nhiên, đặc biệt cùng với sự phát triển và đóng góp quan

2

trọng của kỹ thuật máy tính. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên

thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến.

Đối với dao động ngẫu nhiên mà tính chất động lực của cấu trúc được mô hình hóa

bằng các phương trình tuyến tính thì các thống kê đáp ứng có thể được phân tích

một cách thỏa đáng. Tuy nhiên, trong thực tế, những trường hợp như vậy chỉ là

thiểu số, phổ biến hơn cả là các cấu trúc phi tuyến. Việc phân tích dao động ngẫu

nhiên phi tuyến là rất khó khăn, phức tạp và chỉ một số trường hợp đặc biệt cho

phép nhận được lời giải chính xác. Bởi vậy, cần xây dựng những phương pháp phân

tích xấp xỉ dễ ứng dụng hơn và cho phép nhận được kết quả có độ chính xác hợp lý.

Về cơ bản, có thể phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ như sau: i) Nhóm các

phương pháp giải tích (tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương,

trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss và đóng không Gauss, hàm mật độ xác suất xấp

xỉ, phương pháp nhiễu, khai triển chuỗi); ii) Nhóm các phương pháp số (Runge

Kutta, phần tử hữu hạn,..); iii) Mô phỏng Monte Carlo; iv) Các phương pháp thực

nghiệm.

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa

tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính

đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do. Phương pháp tuyến

tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9] , [10] để phân

tích các hệ dao động ngẫu nhiên. Nội dung của phương pháp dựa trên sự thay thế

phương trình phi tuyến của hệ bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng

một kích động ngẫu nhiên. Các hệ số tuyến tính hóa tương đương nhận được theo

tiêu chuẩn cực tiểu hóa sai số bình phương trung bình giữa phương trình phi tuyến

gốc và phương trình tuyến tính tương đương. Đây là một phương pháp hữu hiệu đối

với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến

lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát

triển những tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số. Trong

nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã

được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương

đương [11-24]. Năm 1995, N. Đ. Anh và Di Paola đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình

phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC)

3

[15] dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân

trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của đáp ứng của hệ xuất

hiện nhiều nhất. (r là số dương, x là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên x). Tiêu

chuẩn này đã được Tiến sĩ Lưu Xuân Hùng phát triển trong luận án tiến sĩ [7]. Độ

chính xác của phương pháp này được cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền

thống của Caughey. Có thể thấy được ưu điểm của LOMSEC là: Trước hết, bằng

cách thay đổi miền lấy tích phân tiêu chuẩn LOMSEC tạo ra hàng loạt lời giải xấp

xỉ; trong đó, lời giải theo tiêu chuẩn kinh điển chỉ là một trường hợp đặc biệt khi

miền tích phân là vô cùng; thứ hai LOMSEC cũng chứa đựng sự tồn tại của một

miền tích phân mà về nguyên tắc cho phép nhận được lời giải chính xác, trong khi

điều này là không thể đối với tiêu chuẩn kinh điển. Tuy nhiên, nhược điểm chính

của LOMSEC là: đối với một hệ phi tuyến bất kỳ, miền tích phân khu vực phù hợp

(giá trị r) lại là một ẩn số, vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra ẩn số này. Gần đây,

quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến

[20] và đã được phát triển trong [21-24]. Một ưu điểm quan trọng của quan điểm

đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau của một vấn đề, điều này cho phép

nghiên cứu trở nên phù hợp hơn. Năm 2012, dựa trên quan điểm đối ngẫu, N. Đ.

Anh, L.X. Hùng và L. Đ. Việt [24] đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung

bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion -

GLOMSEC) cho các hệ ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (SDOF) bằng cách kết

hợp hai phạm vi địa phương và tổng thể. Những giá trị mới thu được của các hệ số

tuyến tính hóa là giá trị trung bình trên tổng thể của tất cả các hệ số tuyến tính hóa

địa phương.

Trước đây, hệ SDOF có thể được sử dụng làm mô hình toán học khi khảo sát

một số hệ, nhưng hiện nay, hệ nhiều bậc tự do (MDOF) phải được sử dụng trong

hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương

pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.

Đây chính là cơ sở hình thành ý tưởng của luận án, đó là: áp dụng quan niệm đối

ngẫu để khắc phục nhược điểm đã nêu của LOMSEC, phát triển tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error

4

Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự do

(MDOF).

2. Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp

tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động

ngẫu nhiên.

3. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các hệ dao động phi tuyến

thường gặp trong các lĩnh vực kỹ thuật với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau,

một bậc tự do và nhiều bậc tự do chịu kích động ồn trắng và ồn màu. Đại lượng

được quan tâm chủ yếu là mô men bậc hai của đáp ứng.

4. Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số,

mô phỏng Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu

chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể. Cụ thể là: dựa trên

nhược điểm còn tồn tại của tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương

(chưa khép kín về mặt giải tích khi xác định giá trị các hệ số tuyến tính hóa khu

vực), kết hợp với quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến

(xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt

giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa, làm cơ sở để xây

dựng tiêu chuẩn mới. Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm

Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự

do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm nghiệm mô phỏng các dao động phi tuyến làm

cơ sở để đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa.

5. Bố cục của luận án

Luận án có bố cục gồm phần Mở đầu và 4 chương, phần Kết luận; Danh mục

các công bố của luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục.

Chương 1. Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và

quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số

phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích

chi tiết.

Chương 2. Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương

sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương

5

pháp bao gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu. Đặc biệt, trong luận

án sẽ tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của

phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do.

Chương 3. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ

một bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được

so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô

men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do.

Chương 4. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ

nhiều bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này

được so sánh với nghiệm chính xác, nghiệm mô phỏng và nghiệm theo tiêu chuẩn

kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến

nhiều bậc tự do.

Kết luận chung: Trình bày các kết quả chính và mới đã thu được trong luận

án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.

Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 6 bài báo,

trong đó có 1 bài trên Tạp chí quốc tế, 1 bài trên Tạp chí ISI, 1 bài trên Tạp chí

Vietnam Journal of Mechanics, và trong các hội nghị khoa học quốc tế và quốc gia.

6

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU

NHIÊN PHI TUYẾN

Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu

nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân

tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Một số kết

quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng được

trình bày.

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất

Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật chung của những hiện tượng

ngẫu nhiên. Một biến cố có thể xảy ra, hoặc có thể không xảy ra gọi là biến cố ngẫu

nhiên. Một biến cố chắc chắn sẽ xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử

được gọi là biến cố tiền định. Nếu mọi điều kiện thử nghiệm được giữ nguyên mà

các kết quả thu được lại khác nhau, thì biến cố như vậy được gọi là biến cố ngẫu

nhiên.

Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]:

Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M,

ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn

nlim f (M) P(M)

(1.1)

Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên

kết nó với một số thực X(r) sao cho

a) tập hợp X x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,

b) xác suất của biến cố X = bằng không

PX = = 0 (1.2)

Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X là

xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x,

F(x) = P[X x] (1.3)

7

Hàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất sau [29,69]:

1 2 1 2

0 F 1

thì F F

( ) lim ( ) 0x

x

x x x x

F F x

(1.4)

1 2 2 1

( ) lim ( ) 1

[ ] ( ) ( )

xF F x

P x X x F x F x

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất F(x) của nó

liên tục. Đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất gọi là hàm mật độ xác suất,

ký hiệu p(x) xác định theo công thức [29,69]:

0

[ ]( ) lim '( )

x

P x X x xp x F x

x

(1.5)

Ta có

( ) [ ] ( )

[ ] ( )

( ) ( ) 1

x

b

a

F x P X x p x dx

P a X b p x dx

p x dx F

(1.6)

Khi xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ta có đại lượng ngẫu nhiên hai

chiều và hàm phân phối xác suất kết hợp được định nghĩa như sau:

( , ) [ , ]F x y P X x Y y (1.7)

còn hàm mật độ xác suất kết hợp là

2

00

[ , ] ( , )( , ) lim

xy

P x X x x y Y y y F x yp x y

x y x y

(1.8)

Hai hàm này có mối quan hệ sau:

( , ) ( , )yx

F x y p x y dxdy

(1.9)

8

và chúng có các tính chất sau:

2 1 2 1

2 1 2 1

1

2

1 2 2 1

1 2 2 1

0 ( , ) 1

, ( , ) ( , ),

, ( , ) ( , ).

( , ) 0 , ( , ) 0

( , ) 0, ( , ) ( ),

( , ) ( ), ( , ) 1.

[ , ] ( , ) ( , )

[ , ] ( , ) ( , )

[( , )

F x y

x x y F x y F x y

y y x F x y F x y

F y y F x x

F F x F x

F y F y F

P X x y Y y F x y F x y

P x X x Y y F x y F x y

P x y

] ( , )

( , ) 1

D

D p x y dxdy

p x y dxdy

(1.10)

Hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và Y tương ứng

được ký hiệu là p1(x) và p2(y) và thu được bằng phép tích phân:

1 2( ) ( , ) , ( ) ( , )p x p x y dy p y p x y dx

(1.11)

Nếu hai thành phần X và Y độc lập nhau, thì

p(x,y) = p1(x)p2(y) và F(x,y) = F1(x)F2(y) (1.12)

Tương tự ta có thể mở rộng các khái niệm này cho đại lượng ngẫu nhiên n chiều.

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Khi đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian ta có khái niệm về quá trình

ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại mỗi giá trị

cho trước của đối số (thời gian t) là một đại lượng ngẫu nhiên. Để mô tả một quá

trình ngẫu nhiên ta dùng các thể hiện. Mọi thể hiện đơn lẻ x(j)(t) thuộc tổng thể này

được gọi là một hàm mẫu (xem Hình 1.1). Các đặc trưng xác suất của quá trình

ngẫu nhiên là năm hàm không ngẫu nhiên sau đây: hàm mật độ xác suất, kỳ vọng

toán, phương sai, hàm tương quan, và mật độ phổ.

9

Hình 1.1. Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên

Hàm mật độ xác suất

Tại mỗi giá trị t=t1 cố định thì quá trình ngẫu nhiên là một đại lượng ngẫu nhiên

x(t1). Ký hiệu mật độ xác suất hay phân phối xác suất bậc một là p[x(t1)] hoặc đơn

giản là p(x), thì xác suất để mẫu nằm giữa a và b theo (1.13) sẽ là

( )b

a

p x dx (1.13)

Tương tự, đối với hai giá trị t1 và t2, thì cặp giá trị x(t1) và x(t2) có thể được coi như

biến ngẫu nhiên hai chiều. Nếu gọi p(x1,x2) là hàm mật độ xác suất kết hợp ta có

1 1 2 2 2 1 2 1( ) ( , ) , ( ) ( , )p x p x x dx p x p x x dx

(1.14)

Nhiều thông tin quan trọng của quá trình ngẫu nhiên có thể được biết thông qua các

đại lượng mô men bậc 1 và bậc 2. Mô men bậc 1 hay kỳ vọng toán học của quá

trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng một chiều p(x) được

định nghĩa như sau [3,29,30]

Mô men bậc nhất (hay Kỳ vọng toán)

[ ] ( )xm E x x xp x dx

(1.15)

Mô men bậc 2 (hay đại lượng trung bình bình phương) của quá trình ngẫu nhiên

(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]

t2 t1

10

Mô men bậc 2

2 2 2[ ] ( )E x x x p x dx

(1.16)

Mô men bậc 2 quy tâm hay còn được gọi là phương sai của quá trình ngẫu nhiên

(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]

Mô men bậc 2 quy tâm (hay Phương sai)

2 2 2 2 2( ) [( ) ] ( ) ( )xD x E x x x x p x dx x x

(1.17)

Đại lượng ( )x D x phản ánh mức độ phân tán của quá trình ngẫu nhiên X(t) so

với giá trị trung bình của nó, gọi là độ lệch chuẩn.

Một cách tổng quát mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên véc tơ m chiều (dừng)

X(t) với hàm mật độ xác suất dừng m chiều p(x1, x2, …. xm) được định nghĩa như

sau [3,29,30]

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

[ .. ] .. ... .. ( , ,... ) ... ,

... , 0, 1,...,

m m mm m mm m m m m mm m m m m

m i

E x x x x x x x x x p x x x dx dx dx

m m m n m i m

(1.18)

Hàm tự tương quan và hiệp phương sai

Gọi t1 và t2 là hai giá trị của t với t2 = t1 + và ký hiệu x1 và x2 là các tổng thể của

các mẫu x(t1) và x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x1, x2). Khi đó kỳ

vọng toán của tích x1x2 sẽ là [29,69]:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )R x x x x x x p x x dx dx

(1.19)

gọi là hàm tự tương quan (hay hàm tương quan). Ta có

R(x1,x2) = R(t1,)

với = t2 - t1 là độ trễ.

11

Xét hàm số bằng trung bình tích độ lệch giữa x(t) và trung bình của nó tại hai thời

điểm

1 21 2 12 1 1 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) [( )( )]

( )( ) ( , )

x x xK t t K K E x x x x

x x x x p x x dx dx

x x x x

(1.20)

gọi là hiệp phương sai hay hàm tương quan của quá trình x(t).

Khi x1 và x2 có trung bình zero thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương quan.

Khi t1 = t2 thì hiệp phương sai trùng với phương sai và hàm tự tương quan trùng với

trung bình bình phương.

Khi hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 độc lập nhau: p(x1,x2) =p1(x1)p2(x2) ta có

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0x xK x x x x x x x x (1.21)

Khi đó hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 không tương quan. Như vậy, mô men

tương quan (hiệp phương sai) đặc trưng cho mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu

nhiên hay giữa các giá trị x1 và x2 của một quá trình ngẫu nhiên tại hai thời điểm

khác nhau. Các mô men bậc hai của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều x1, x2 có thể mô

tả bằng ma trận hiệp phương sai sau đây:

1 2 1 1 1 2

2 1 2 1 2 2

1

2

x x x x x x

x x x x x x

Dx K K K

K Dx K K

(1.22)

1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt

Quá trình ngẫu nhiên dừng

Quá trình ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu tổng thể các thống kê của nó

không đổi theo thời gian [27-29]

1 1 1 1( ,..., , ,... ) ( ,..., , ,..., )n n n n n np x x t t p x x t t n (1.23)

Từ đó suy ra

12

1 1

2 1 2 1 2 2 1 2

12 1 2

( , ) ( )

( )

( , , , ) ( , , )

( ) ( ) ( )

x

x

p x t p x

x t m const

p x x t t p x x

K x t x t x x R

(1.24)

Nếu (1.23) đúng với n k thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng bậc k. Quá

trình dừng bậc hai còn gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp.

Quá trình ngẫu nhiên Ergodic

Xét một mẫu x(j) là hàm f(t) trong khoảng thời gian T của quá trình x(t). Lấy trung

bình theo thời gian dọc theo mẫu này [29-31]

( ) ( )

0 0

1 1( )

T Tj Jx x dt f t dt

T T

(1.25)

được gọi là trung bình theo thời gian. Quá trình dừng có trung bình tổng thể bằng

trung bình theo thời gian lấy dọc theo một hàm mẫu bất kỳ, được gọi là quá trình

Ergodic. Như vậy trung bình <x> và hàm tương quan Rx() chỉ dựa vào một thể

hiện của quá trình

( )

0

0

1lim ( )

1( ) ( ) lim ( ) ( )

Tj

T

T

xT

x x f t dtT

R f t f t dtT

(1.26)

Tóm lại, đối với quá trình Ergodic, thì một mẫu (một thể hiện) bất kỳ cũng đại diện

hoàn toàn được cho cả quá trình. Điều kiện cần và đủ để một quá trình là Ergodic là

0d)(R)T

1(T

1lim

T

0

xT

(1.27)

Xét quá trình ngẫu nhiên dừng x(t) với hàm tự tương quan Rx(t,t+) = Rx(). Đối với

quá trình thực x(t), thì S() là hàm chẵn, không âm của và đạt cực đại tại gốc toạ

độ, lấy tích phân Fourier cho hàm Rx() được

0

( ) ( )exp{ } 2 ( )cosx x xR S i d S d

(1.28)

13

trong đó Sx() là biến đổi ngược Fourier của hàm Rx()

0

1 1( ) ( )exp{ } ( )cos

2x x xS R i d R d

(1.29)

Khi đó Sx() được gọi là mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên. Để hiểu ý nghĩa vật

lý của Sx(), ta xét trường hợp tới hạn với = 0

2(0) ( )x xR x S d

(1.30)

Nghĩa là, trung bình bình phương của quá trình ngẫu nhiên bằng tổng tất cả các tần

số Sx()d. Do vậy, Sx() chính là mật độ phân phối của trung bình bình phương

dọc theo trục tần số.

Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss

Trong hầu hết các bài toán ứng dụng nhiều quá trình ngẫu nhiên là lực kích động lên

hệ dao động được coi một cách gần đúng là quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss.

Đó là quá trình mà hàm tương quan (hay mật độ phổ) cho đủ thông tin để xây dựng

tập hợp vô hạn các phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu

nhiên chuẩn n chiều có dạng [29-31]

11 1

1 1( ,... ) exp ( )( )

2(2 )

n n

n ij i i j jn

i jij

p x x x m x mK

(1.31)

trong đó

2

( )( )i

ij ji i i j j

ij i j

i jK K x m x m

i j

là ma trận n n của các mômen trung tâm, ijK là định thức tương ứng và ij là các

phần tử của ma trận nghịch đảo, mi = <xi>. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu

nhiên chuẩn 1 chiều và 2 chiều không tương quan có trung bình zero, tương ứng là:

21

1 211

1 xp(x ) exp

2σ2πσ

2 21 2

1 2 2 21 2 1 2

1( , ) exp

2 2 2

x xp x x

(1.32)

14

Hình 1.2. Các hàm mật độ xác suất chuẩn

Tham số σ đặc trưng cho mức độ phân tán của phân phối quanh tâm phân phối. Khi

tăng, mật độ xác suất tại tâm phân phối giảm, còn lại những điểm cách xa tâm phân

phối sẽ tăng. Tham số h =1/σ được gọi là độ đo độ chính xác (xem hình 1.2).

Quá trình ồn trắng

Quá trình ngẫu nhiên dừng chuẩn f(t) (thường được ký hiệu là ))t( có mật độ phổ

không đổi được gọi là quá trình ồn trắng. Mật độ phổ của quá trình này đồng đều

trên tất cả các tần số, tương tự như ánh sáng trắng trải một cách đều đặn trên toàn

phổ nhìn thấy được. Khi đó hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan tương ứng là

[29, 30, 31]:

2

22

( )2

( ) exp{ } ( )2

f

f

S

R i d

(1.33)

với là cường độ của ồn trắng còn () là hàm delta Dirac hay xung đơn vị

0( )

0 0

Về mặt vật lý thì ồn trắng là không có thực vì có phương sai lớn vô cùng và quá

trình ngẫu nhiên này là không liên tục.

Quá trình ồn màu

Quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả như là một quá trình ồn trắng đi

qua bộ lọc vi phân bậc cao, trong luận án chỉ giới hạn ở quá trình ồn màu bậc hai.

15

Gọi f là một quá trình ồn màu dải hẹp có thể thu được bằng cách qua một bộ lọc

tuyến tính bậc hai với tần số trung tâm trong đó phương trình vi phân cho bộ lọc là

2 2f ff f f w . (1.34)

trong đó w là quá trình ồn trắng có mật độ phổ S . Theo [29], hàm mật độ phổ của

f được xác định theo công thức

2 4

f fS H S .

trong đó HHH2

với H là đáp ứng tần số phức của bộ lọc:

12 2

fH i

Suy ra, hàm mật độ phổ và phương sai của quá trình ồn màu f sẽ là

22222

4

f

ff

SS

2

2 f

f f

SS d

(1.35)

Quá trình Wiener

Quá trình ngẫu nhiên X(t), t > 0 gọi là quá trình Wiener nếu:

1) số gia độc lập X(t) - X(s) là dừng. Nghĩa là các biến ngẫu nhiên X(t) - X(s) và

X(t+h) - X(s+h) có cùng phân phối xác suất p

2) đối với t > 0, thì X(t) có phân phối chuẩn

3) t > 0 có <x(t)> = 0

4) x(0) = 0.

Ta có [29-31]:

21( , ) exp{ }

22

xp x t

tt (1.36)

với Dx = 2(t) = t. Quá trình Wiener (t) có thể coi là tích phân của ồn trắng

Gauss

16

0

( ) ( )t

t d (1.37)

Quá trình Markov

Một quá trình ngẫu nhiên X(t) được gọi là quá trình Markov nếu [29, 30, 31] :

1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ,..., ( ) ] [ ( ) ( ) ]n n n n n n n nP X t x X t x X t x P X t x X t x (1.38)

với mọi tn > tn-1 >...> t1, nghĩa là, chỉ có giá trị xn-1 đứng ngay trước xn là có ảnh

hưởng tới xác suất của xn, Nói một cách khác, dáng điệu thống kê của quá trình

Markov trong tương lai được xác định duy nhất bởi hiện tại, không phụ thuộc vào

quá khứ. Về phương diện vật lý, đặc điểm đó tương đương với quá trình không có

quá khứ. Đối với quá trình Markov mọi phân phối nhiều chiều đều có thể biểu diễn

qua phân phối hai chiều

1 2 1 2 1 1 1 12

( , ,..., ; , ,..., ) ( , ) ( , , )n

n n r r r rr

p x x x t t t p x t p x t x t

(1.39)

trong đó các xác suất có điều kiện còn được gọi là các xác suất chuyển tiếp. Theo

định nghĩa thì quá trình ồn trắng và quá trình Wiener cũng là quá trình Markov.

1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên

Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là các công cụ hữu

hiệu để phân tích dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu

nhiên. Ngày nay, các phương pháp số làm cho các bài toán phi tuyến trở nên giải

được. Tuy nhiên, phương pháp số chỉ cho kết quả ở dạng số thiếu tính quy luật tổng

quát. Việc sử dụng các phương pháp giải tích gần đúng là cần thiết để phân tích các

hệ phi tuyến. Ta sẽ lần lượt điểm qua một số phương pháp giải tích gần đúng sau đó

sẽ lựa chọn một vài phương pháp liên quan đến luận án để trình bày chi tiết [29-31].

Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé)

Một trong những phương pháp xấp xỉ được sử dụng phổ biến là phương pháp nhiễu

(hay phương pháp tham số bé). Xuất phát từ việc áp dụng cho dao động tiền định,

phương pháp nhiễu được Crandall [25] sử dụng để đánh giá các mô men đáp ứng

của hệ một và nhiều bậc tự do chịu kích động dừng Gauss. Ý tưởng cơ bản của

phương pháp là khai triển nghiệm của dao động phi tuyến dưới dạng chuỗi lũy thừa

17

của tham số bé, thường là hệ số phi tuyến của hàm phi tuyến. Phương pháp này phù

hợp cho hệ có số hạng phi tuyến dạng đa thức, và hữu ích khi tính toán các mô men

của đáp ứng. Tuy nhiên, khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng

tăng lên theo bậc của tham số khai triển, trong khi để đơn giản trong áp dụng thực

tế, thường chỉ sử dụng đến bậc nhất. Do vậy, phương pháp nhiễu chỉ có hiệu quả

cho hệ phi tuyến yếu với nhiễu nhỏ. Một số áp dụng của phương pháp này được

trình bày trong [25, 26].

Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK)

Phương pháp này được sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên khi phương

pháp đưa bài toán ngẫu nhiên về việc giải một phương trình đạo hàm riêng [77, 78].

Phương pháp phương trình FPK cho nghiệm chính xác cho một số dạng dao động

cụ thể, được sử dụng để làm cơ sở đánh giá độ chính xác của các phương pháp gần

đúng. Phương pháp phương trình FPK có lẽ là phương pháp duy nhất cho nghiệm

chính xác tuy nhiên các lời giải chính xác rất hạn chế. Một số phương pháp đã được

để xuất để tìm nghiệm của phương trình FPK. Tuy nhiên việc xấp xỉ này đòi hỏi khá

nhiều thời gian tính toán và mới chỉ dừng lại ở bài toán bốn chiều với kích động

ngoài thường là ồn trắng Gauss; còn việc xấp xỉ giải tích cũng chỉ dừng lại đối với

một lớp hệ phi tuyến có tải trọng tuần hoàn và chịu kích động ngẫu nhiên.

Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

Dựa trên phương pháp trung bình áp dụng cho các hệ tiền định của Bogoliubov và

Mitropolski [58] Stratonovich chứng minh đáp ứng của hệ một bậc tự do có cản

yếu chịu kích động băng rộng có thể được xấp xỉ bằng quá trình khuếch tán

Markov, nghĩa là hàm mật độ xác suất có thể xác định được bằng phương trình

FPK. Phương pháp này được Roberts và Spanos [29] tổng quát hóa cho hệ nhiều

bậc tự do, được Lin [70] áp dụng hệ có kích động không dừng. Mặc dù có thể áp

dụng cho hệ chịu kích động ngoài cũng như kích động tham số, nhưng phương pháp

này thường chỉ áp dụng được cho hệ một bậc tự do có cản yếu vì bị giới hạn bởi

việc giải phương trình FPK nhiều chiều.

18

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

Ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương là thay thế hệ phi

tuyến ban đầu bằng một hệ tuyến tính tương đương có cùng kích động [9-19].

Trong hệ tuyến tính tương đương, các hàm phi tuyến được thay thế bằng các hàm

tuyến tính với hệ số tuyến tính hóa được lựa chọn tối ưu theo một tiêu chuẩn xác

suất nào đó. Các tiêu chuẩn của Caughey đề nghị điều kiện cực tiểu trung bình bình

phương của sai số phương trình, còn được biết đến với các tên gọi khác như tiêu

chuẩn kinh điển [9,10]. Các tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho hệ một bậc tự do hay

nhiều bậc tự do, hệ dừng hay không dừng, hệ có trễ với quy trình tính toán khá đơn

giản, rất có hiệu quả khi áp dụng để phân tích mô men bậc hai. Tuy nhiên, một

trong những nhược điểm cơ bản của tiêu chuẩn kinh điển là độ chính xác giảm khi

mức độ phi tuyến tăng. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương sẽ là công cụ

nghiên cứu chính của luận án nên sẽ được trình bày chi tiết và sâu hơn trong chương

sau.

Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên

Ý tưởng của phương pháp này là thay thế hệ phi tuyến ban đầu bằng một hệ phi

tuyến tương đương thuộc lớp hệ phi tuyến có nghiệm chính xác [77, 78, 81].

Phương pháp này chỉ thích hợp để áp dụng cho hệ một bậc tự do vì các hệ phi tuyến

có hàm mật độ xác suất nhiều chiều chính xác rất hạn chế [77, 78, 81].

Trong các phương pháp giải tích đề cập ở trên, mỗi phương pháp có một lợi thế

riêng. Phương pháp phương trình FPK là phương pháp giải tích chính xác. Phương

pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên

đều sử dụng các xấp xỉ giải tích để tìm hàm mật độ xác suất bằng phương pháp

phương trình FPK nên được dùng kết hợp với phương pháp này. Phương pháp

nhiễu, mặc dù có thể áp dụng cho bài toán nhiều chiều, nhưng chỉ phù hợp với hệ

phi tuyến yếu và khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng tăng theo

bậc của khai triển xấp xỉ. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

thường được sử dụng nhất hiện nay để phân tích dao động ngẫu nhiên trong nghiên

cứu và trong ứng dụng kỹ thuật. Lý do là phương pháp này có thể áp dụng đối với

hệ nhiều bậc tự do hay bài toán nhiều chiều vốn rất phổ biến trong thực tế, trong khi

các phương pháp khác như đã liệt kê đều bị giới hạn bởi số chiều của bài toán.

19

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể được coi là phương pháp thông

dụng, được các tác giả sử dụng phổ biến nhất để tìm đáp ứng của các hệ phi tuyến

ngẫu nhiên. Tuy nhiên phương pháp tuyến tính hóa tương đương vẫn tồn tại một số

nhược điểm cơ bản cần phải giải quyết, một là không ước lượng được mức độ chính

xác của nghiệm xấp xỉ, hai là sai số của nghiệm xấp xỉ tăng khi mức độ phi tuyến

tăng, ba là chỉ cho kết quả dưới dạng mô men bậc hai của đáp ứng.

Đối với nhược điểm thứ nhất của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cần xác

định liên hệ toán học giữa tiêu chuẩn tuyến tính hóa được đề xuất với sai số của

nghiệm xấp xỉ, nhưng hiện nay vẫn chưa có chứng minh lí thuyết cho một tiêu

chuẩn cụ thể nào về sự liên hệ này, do đó để đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ cần

phải dựa trên các hệ có nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số. Để giải quyết

nhược điểm thứ hai, một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa mới đã được đề xuất theo các

cách tiếp cận dựa trên các tiêu chuẩn về năng lượng hay mô men xác suất, nhưng

vẫn chưa có tiêu chuẩn nào được khẳng định là thay thế hoàn toàn tiêu chuẩn kinh

điển. Nhược điểm thứ ba xuất phát từ giả thiết phân bố xác suất của đáp ứng xấp xỉ

là Gauss với trung bình không nên chỉ cần biết mô men bậc hai là xác định được

toàn bộ các đặc trưng xác suất khác của đáp ứng, do đó một số tiêu chuẩn tuyến tính

hóa đề xuất sử dụng phân bố của đáp ứng khác Gauss, tuy nhiên dạng của phân bố

phải giả thiết nên cũng chỉ phù hợp cho một số hệ phi tuyến nhất định. Cho đến nay

vẫn chưa có cách tiếp cận nào có thể giải quyết đồng thời ba nhược điểm cơ bản của

phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Trong luận án sẽ dùng các lời giải chính

xác để so sánh với các lời giải gần đúng của luận án, do vậy dưới đây ta trình bày

chi tiết phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và liên quan

đến phương pháp này là phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên.

1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và

phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

Để áp dụng phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kongomorop (FPK) ta sẽ sử

dụng kiến thức về quá trình ngẫu nhiên Markov đã được trình bày ở mục 1.3 của

chương này. Khi đó hàm phân bố nhiều chiều đều có thể biểu diễn qua phân phối

hai chiều theo công thức (1.39), trong đó hàm mật độ xác suất có điều kiện còn

được gọi là hàm mật độ xác suất chuyển tiếp. Hàm mật độ xác suất p(X,t) và hàm

20

mật độ xác suất chuyển tiếp 0 0, ,p X t X t của quá trình Markov thoả mãn phương

trình thuận Kongomorop được gọi là phương trình FPK [70,77]:

2

1 , 1

1( , ) [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]

2

n n

i iji i ji i j

p X t K X t p X t K X t p X tt X X X

(1.40)

trong đó các hệ số dịch chuyển và hệ số khuyếch tán của quá trình Markov X(t)

được xác định theo công thức:

0

0

1( , ) lim [ ( ) ( )] ( ) ,

1( , ) lim [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( )

i i it

ij i i j jt

K X t X t t X t X tt

K X t X t t X t X t t X t X tt

(1.41)

Người ta đã chứng minh được rằng quá trình ngẫu nhiên X(t) = [X1(t),...,Xn(t)] được

cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito:

1

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( 1, )n

i i ik kk

dX t f X t dt g X t t i n

(1.42)

trong đó fi(X,t), gik(X,t) là các hàm khả vi liên tục, ( )k t là quá trình Wiener độc lập:

2 11 2 1 2

( ) 0,

[ ( ) ( )][ ( ) ( )]2

k

ik k i i k k

tt t

t t t t

(1.43)

sẽ là quá trình ngẫu nhiên Markov có các hệ số dịch chuyển và hệ số khuyếch tán

được tính theo công thức

1

( , ) ( , ),

1( , ) ( , ) ( , )

2

i i

n

ij i j ik jkk

K X t f X t

K X t g X t g X t

(1.44)

Thay (1.44) vào (1.40) ta thu được phương trình FPK sau đây

1

2

1 1 1

( , )( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

2 2

n

ii i

n n n

i j ik jki j ki j

p X tf X t p X t

t X

p X t g X t g X tX X

(1.45)

21

từ đó xác định hàm mật độ xác suất p(x,t) của quá trình ngẫu nhiên x(t) của hệ

phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.42). Các quá trình Wiener ( )k t (1.43) tương

đương với những đặc trưng của véc tơ ồn trắng có giá trị trung bình zero và các hàm

tương quan

2 11 2

( ) / 2 ; ( , 1, )( ) ( )0 ;

kk j

t t k j k j nt tk j

(1.46)

Giá trị dương k /2 gọi là cường độ của quá trình ồn trắng 1( )k t . Và phương trình

(1.43) có thể viết lại dưới dạng

( ) ( , ) ( ) ( 1, )i ix t f x t t i n (1.47)

Phương pháp phương trình FPK thường được sử dụng trong phân tích dao động

ngẫu nhiên. Phương pháp phương trình FPK cho nghiệm chính xác cho một số dạng

dao động cụ thể, được sử dụng để làm cơ sở đánh giá độ chính xác của các phương

pháp gần đúng trong đó có phương pháp tuyến tính hóa. Phương pháp phương trình

FPK có lẽ là phương pháp duy nhất cho nghiệm chính xác tuy nhiên các lời giải

chính xác rất hạn chế. Dưới đây là một số ví dụ hay được trình bày nhất.

Hệ có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng

Ta xét hệ một bậc tự do có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng [26]

20,x f H x x x x g x t

(1.48)

trong đó 0 , 0, là tần số của hệ tuyến tính và cường độ của lực kích động ồn

trắng, ,f H x x là hàm của biến số H là tổng năng lượng hay hàm Hamilton

2

0

1,

2

x

H x x x g u du

(1.49)

g x - lực đàn hồi phi tuyến. Phương trình FPK tương ứng xác định hàm mật độ

xác suất dừng ( , )p x x của (1.48) có dạng

2 220

2

, , ( ), ,0

2

p x x f H x x x x g xp x x p x xx

x x x

(1.50)

22

Nghiệm chính xác của ( , )p x x sẽ là [6]

2

0

2, exp

H

p x x C f v dv

(1.51)

trong đó C là hệ số chuẩn hóa

1 ,C p x x dxdx

(1.52)

Trong trường hợp hệ có cản tuyến tính và lực đàn hồi phi tuyến:

202x hx x g x t

(1.53)

Hàm mật độ xác suất chính xác của hệ phi tuyến (1.53) là

2

2 2 202

0

4, exp ,

4 1 1exp

2 2

x

hp x x C H x x

hC x x g u du

(1.54)

Phân tích các hàm mật độ xác suất chính xác (1.51), (1.54) cho dao động phi tuyến

một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss ta thu được nhận xét:

- Các đáp ứng dịch chuyển x(t) và vận tốc ( )x t thường không là quá trình Gauss.

- x(t) và ( )x t có thể là các quá trình độc lập khi lực cản tuyến tính.

- x(t) và ( )x t là các quá trình không độc lập khi dao động có giảm chấn phi tuyến.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên bậc cao

Phương pháp phương tŕnh FPK có thể áp dụng hiệu quả cho phương trình vi phân

ngẫu nhiên bậc cao dạng sau [27,28]:

1

1,..., , ( )

n n

n n

d x d x dxf x t

dt dt dt

(1.55)

trong đó )t( là ồn trắng có cường độ đơn vị. Ta có thể đưa (1.55) về dạng

23

( )( 1) (0)

( 1)( 1)

, 0, 2, ,

( , ,..., ) ( ).

kk

nn

dxx k n x x

dtdx

f x x x tdt

(1.56)

Phương trình FPK tương ứng cho hàm mật độ xác suất dừng ( 1)( , ,..., )np x x x của

hệ (1.56) có dạng:

2 2( 1)

( 2) ( 1) ( 1) ( 1)

( )... 0

2n

n n n n

p p p pf px x x

x x x x x x

(1.57)

Các lời giải chi tiết cho (1.57) có thể xem [77]. Đặc biệt, phương pháp phương trình

FPK có thể áp dụng hiệu quả khi kết hợp với phương pháp trung bình hóa ngẫu

nhiên được giới thiệu trong mục tiếp theo.

Xét phương trình của hệ dao động phi tuyến yếu chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng

như sau:

2 ,x x f x x t

(1.58)

Biến đổi phương trình (1.58) thành hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito

2

,

,

dx xdt

dx f x dt dW t

(1.59)

với W t là quá trình Wiener đơn vị. Khi 0 , nghiệm của hệ tuyến tính (1.58) sẽ

là:

cos ; sin ;x t a x t a t , (1.60)

trong đó a và là các hằng số. Khi 0 , tọa độ ,x x sẽ được chuyển thành cặp

tọa độ ,a bằng phép biến đổi (1.60). Theo công thức vi phân ngẫu nhiên Ito ta

thu được hệ phương trình cho biên độ và pha:

1

2

, sin ,

, cos ,

da K a dt dW t

d K a dt dW ta

(1.61)

trong đó [70, 77]

24

22

1 2

2

2 2 2

, cos sin ,2

, sin 2 cos .2

fK a

a

fK a

a a

(1.62)

Phương trình FPK cho hàm mật độ xác suất , ,p a t của hệ (1.61) như sau:

2 2 2

1 2 11 12 222 2

12

2

pK p K p K p K p K p

t a a a

(1.63)

trong đó

2 2 2

2 211 12 222 2 2 2

, sin , , sin cos , , cosK a K a K aa a

(1.64)

Theo phương pháp trung bình hoá ngẫu nhiên phương trình FPK được thay thế xấp

xỉ bởi phương trình FPK trung bình như sau:

1 2

pK p K p

t a

2 2 2

11 12 222 2

12

2K p K p K p

a a

(1.65)

với . là toán tử trung bình theo thời gian trong một chu kỳ T:

0

1. .

T

dtT

(1.66)

Cơ sở lý thuyết toán học của việc thay xấp xỉ này được chứng minh chặt chẽ bởi

Khasminskii (1966). Cho đến nay, phương trình FPK (1.65) là phương trình vi phân

đạo hàm riêng vẫn chưa có lời giải giải tích, tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta

có thể tìm được nghiệm dừng, là nghiệm của phương trình [70, 77]:

25

1 2

2 2 2

11 12 222 2

12 0

2

K p K pa

K p K p K pa a

(1.67)

Áp dụng toán tử trung bình (1.66), và sử dụng (1.64), phương trình (1.67) trở thành

2 2 2

1 2 2 2 2

1

4

p pK p K p

a a a

. (1.68)

Nếu các hệ số 1K và 2K thỏa mãn điều kiện

21 22K a K

a

, (1.69)

thì phương trình (1.68) cho nghiệm dừng chính xác sau :

2

21 22

4, exp , ,p a C K a d a K a da

(1.70)

với C là hằng số chuẩn hóa.

1.6 Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên

Dao động ngẫu nhiên là loại dao động mà không thể dự đoán được giá trị của nó tại

bất kỳ thời điểm nào. Trái ngược với dao động hình sin, dao động ngẫu nhiên không

có chu kỳ xác định rõ ràng. Sự khác biệt chính giữa dao động hình sin và dao động

ngẫu nhiên là dao động ngẫu nhiên có nhiều tần số và có thể được kích thích cùng

một lúc [26-29].

Đối với nhiều tải trọng tác động trong tự nhiên, chúng ta thường có thông tin hạn

chế về chúng thu được từ các dữ liệu ghi lại hoặc quan sát, chẳng hạn như tải trọng

động đất và sóng biển. Các ví dụ khác có thể là tải trọng gió lên các tòa nhà và tháp

cao tầng, cầu dây văng. Động đất xảy ra định kỳ trong các khu vực địa chấn với các

thông tin không biết rõ và sóng biển diễn ra liên tục với sự biến động ngẫu nhiên

của bề mặt biển.Thông tin mà chúng ta có được dựa trên trải nghiệm của các lần

xuất hiện trong quá khứ mà từ đó chúng ta có thể dự đoán thông tin về đáp ứng cấu

trúc theo cách tiếp cận xác suất. Một quá trình ứng xử như thế liên quan đến dao

động ngẫu nhiên và các đặc trưng của nó có thể được xác định bằng cách sử dụng lý

26

thuyết thống kê và phương pháp xác suất. Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được

nghiên cứu trong một thời gian dài và được trình bày trong nhiều sách giáo khoa

[26–33], và được công bố trong rất nhiều bài báo [34–43].

Hầu hết các hiện tượng trong thế giới của chúng ta về cơ bản là phi tuyến và được

mô tả bằng các phương trình phi tuyến. Chúng ta có thể đơn giản hóa các hiện

tượng phi tuyến như các hiện tượng tuyến tính để làm cho chúng dễ hiểu hơn; tuy

nhiên, để nắm sâu về các hiện tượng phi tuyến ta phải xét các mô hình phi tuyến.

Do đó, việc nghiên cứu các vấn đề phi tuyến là rất quan trọng không chỉ trong tất cả

các lĩnh vực vật lý mà còn trong kỹ thuật và trong các lĩnh vực khác. Việc phân tích

dao động dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp

thích hợp. Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính tương

đương ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính tương đương là một

phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo tồn một số tính chất thiết yếu của hệ

phi tuyến gốc. Phương pháp này đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42,

43] và được tóm tắt trong các chuyên khảo [29], [44] và [70]. Về hiệu quả và tính

linh hoạt của phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Elishakoff và Crandall đã

viết: Phương pháp này cho phép có được lời giải gần đúng của hệ phi tuyến khi

không có lời giải chính xác. Trái ngược với kỹ thuật nhiễu (phương pháp tham số

bé), việc thực hiện phương pháp tuyến tính hóa tương đương không yêu cầu sự tồn

tại của tham số bé; mặt khác, không giống như mô phỏng Monte Carlo, phương

pháp tuyến tính hóa tương đương không đòi hỏi chi phí tính toán lớn. Mặc dù độ

chính xác của của phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể không cao,

nhưng điều này được khắc phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43]. Canor et al. [45]

cũng đã viết: Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp

tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất chung phổ quát

để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn. Phương pháp tuyến tính hóa

tương đương đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên cứu. Một cách tuyến tính

hóa tương đương dựa trên phương pháp giải tích được phát triển trong [46, 47] để

phân tích các hệ khai thác năng lượng phi tuyến. Hệ dao động phi tuyến của thiết

diện cánh được nghiên cứu trong [48,49] bằng cách sử dụng phương pháp tuyến

tính hóa tương đương. Một phương pháp dựa trên phương trình tuyến tính hóa

27

tương đương được đề xuất trong [50] để xác định gần đúng lời giải tối ưu của bộ

giảm chấn động lực ba phần tử thiết kế cho hệ kết cấu chính có cản. Jalali [51] đã đề

xuất áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để tuyến tính hóa lực đàn

hồi phi tuyến trong đó các kết quả mô phỏng số cho thấy phương pháp được đề xuất

có hiệu quả trong việc phân tích hệ thống trễ phi tuyến yếu. Silva-Gonzlez và cs.

[52] đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên để nghiên cứu

hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn. Su và cs. [53] đã phát triển một

quy trình hiệu quả dựa trên phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi

tuyến chịu kích động ngẫu nhiên không dừng. Kỹ thuật tuyến tính hóa tương đương

cũng đã được sử dụng trong [54] để nghiên cứu bức xạ nhiệt của các vệ tinh nhỏ

theo mô hình một nút. Một kỹ thuật tương đương mới cho phương pháp tuyến tính

hóa sử dụng mô hình phân bố hỗn hợp Gaussian đã được phát triển trong [55] cho

hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên.

Tại Việt Nam trong những năm gần đây dã có một số luận án phát triển phương

pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên. Luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4]

đã phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương pháp

tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Trong

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu trong

phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu

kích động ngẫu nhiên. Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án tiến sĩ về vấn đề

phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó

nghiên cứu dao động tuần hoàn phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương

đương [6]. Trong luận án tiến sĩ năm 2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu

chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error

Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞,

+∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của

đáp ứng của hệ xuất hiện nhiều nhất. Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này,

trong luận án do nghiên cứu sinh thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai

số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error

Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một

và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên chuẩn. Trong việc phát triển

28

này sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn

[-rx , + rx].

Kết luận chương 1

Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản của lý xác suất và quá

trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên. Một số phương pháp phân tích

dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Một số kết quả

nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được

tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo. Đặc biệt đã giới thiệu

chi tiết về các luận án phát triển các tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến

tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Trong

các tiêu chuẩn đối ngẫu đã đi sâu vào tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế

tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , +

rx]. Trong luận án do nghiên cứu sinh thực hiện sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu

để tiếp tục hướng nghiên cứu này, cụ thể sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error

Criterion - GLOMSEC).

29

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ

TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG –

TỔNG THỂ

Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng

trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương pháp bao

gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu. Đặc biệt, trong chương hai sẽ

tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương –

tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương

pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do.

2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển

Dưới đây ta sẽ trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ)

cho hệ một và nhiều bậc tự do. Để hiểu rõ ta sẽ bắt đầu bằng hệ một bậc tự do. Nội

dung của phương pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên sự thay thế phương

trình phi tuyến của hệ gốc bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng một

kích động ngẫu nhiên, với lý do là hệ tuyến tính là có thể giải được [9-19]. Do vậy

ta sẽ bắt đầu phương pháp TTHTĐ bằng lời giải cho hệ dao động tuyến tính chịu

kích động ngẫu nhiên. Xét phương trình dao động của hệ một bậc tự do chịu kích

động ngẫu nhiên:

202 ( )x hx x t

(2.1)

trong đó 0, , 0h . ( )t là kích động ngẫu nhiên dạng ồn trắng cường độ đơn vị.

Phương trình FPK tương ứng cho mật độ xác suất dừng ( , )p x x có dạng [29, 44]

2 2 20

2

[ (2 )]0

2

p hx xp px

x x x

(2.2)

Giải phương trình trên thu được hàm mật độ xác suất dừng ( , )p x x là:

22 20 0

1 22 2 2

2 2 2( , ) exp ( ) ( )

h h hp x x x x p x p x

(2.3)

30

Ta biết rằng hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và

Y tương ứng được ký hiệu là p1(x) và p2(y)

1 2( ) ( , ) , ( ) ( , )p x p x y dy p y p x y dx

Do vậy tích phân (2.3) trên khoảng vô hạn theo ,x x ta được các hàm mật độ xác

suất một chiều cho dịch chuyển và vận tốc, tương ứng là:

2 22 20 0

1 22 2 2 2

2 2 2 2( ) exp , ( ) exp

h h h hp x x p x x

(2.4)

Trong đó sử dụng công thức [26,29]

22 (2 1)!!

(2 )n x

n

nx e dx

(2.5)

Lời giải (2.4) cho thấy dịch chuyển x(t) và vận tốc )t(x là các quá trình Gauss độc

lập. Ta thu được các giá trị trung bình bình phương của dịch chuyển và vận tốc:

2 22 2 2 2

1 220

( ) , ( )4 4

x x p x dx x x p x dxh h

(2.6)

Cho t1 và t2 là hai giá trị cố định của t với t2 = t1 + và dùng x1 và x2 ký hiệu các

tổng thể của các mẫu x(t1) và x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x1, x2).

Khi đó, trung bình tổng thể, hay kỳ vọng toán của tích x1x2 sẽ là

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )R x x x x x x p x x dx dx

được gọi là hàm tương quan. Hàm tương quan Rx() của dịch chuyển x(t) sẽ là [27]:

0

2

1 121

( ) exp cos sin4

x

hR h

h

(2.7)

trong đó 22

01 . Do vậy, hàm mật độ phổ sẽ là

0

2

2 2 2 2 2

0

1( ) ( )cos

2 [4 ( ) ]x xS R d

h

(2.8)

31

Với các kết quả thu được dao động tuyến tính một bậc tự do chịu kích động ồn trắng

Gauss có tính chất [29, 44]:

- Dịch chuyển x(t) và vận tốc ( )x t là các quá trình Gauss (tính chuẩn là bất biến qua

phép biến đổi tuyến tính).

- Mật độ xác suất hai chiều được biểu diễn qua các mật độ xác suất một chiều.

- Các mô men bậc lẻ của đáp ứng bằng không, còn các mômen bậc cao chẵn đều có

thể biểu diễn được qua mômen bậc hai.

2 2 2 2(2 1)!! , (2 1)!!n n n nx n x x n x (2.9)

Các công thức trên cho thấy lời giải của hệ tuyến tính (2.1) có các đặc trưng xác

suất hoàn toàn có thể tính được.

Ta trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương thông qua nghiên cứu hệ dao

động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu

nhiên dạng [9, 29, 44]

202 ( , ) ( )x hx x g x x t (2.10)

trong đó x , x và x lần lượt là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của dao động; h là

hệ số cản, ( , )g x x là hàm phi tuyến đối với x và x , ( )t là kích động ồn trắng

dừng Gauss có cường độ 2 ;

0 là tần số dao động riêng ứng với 0h ,

( , ) 0g x x Phương trình tuyến tính hóa tương đương của (2.10) như sau

202 ( )x hx x bx kx t

(2.11)

trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Theo kết quả về dao động tuyến tính đã

trình bày ở trên, trung bình bình phương của dịch chuyển và vận tốc của (2.11) xác

định bằng công thức [29]

22

202 2

xh b k

(2.12)

22 2 2

02 2

x k xh b

(2.13)

32

Sai số phương trình giữa (2.10) và (2.11) phải thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn tuyến

tính hóa tương đương kinh điển tức là tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung bình bình

phương sai số phương trình. Đây là tiêu chuẩn tương đương kinh điển do Caughey

[10] đề nghị:

2

d,

( , ) minkb k

S g x x bx kx

(2.14)

Từ đó

kd kd0; 0S S

b k

(2.15)

Giả thiết hệ dao động phi tuyến có nghiệm là quá trình ngẫu nhiên dừng nên đáp

ứng x , x là độc lập, nghĩa là 0xx , giải hệ phương trình (2.15) thu được

2

,xg x xb

x

(2.16)

2

,xg x xk

x

(2.17)

Các hệ số tuyến tính hóa trong các công thức (2.16), (2.17) có các hàm tương quan

,xg x x và ,xg x x phụ thuộc các đáp ứng chưa biết x , x . Nếu ,g x x là

hàm phi tuyến dạng đa thức của x và x , x và x là quá trình Gauss có trung bình

bằng không thì các hàm tương quan nêu trên có thể đưa về các mô men bậc cao đối

với x và x , các mô men này bằng không nếu là bậc lẻ, hoặc có thể biểu diễn được

qua các mô men bậc hai nếu là bậc chẵn. Thay các hệ số tuyến tính hóa trong

(2.16), (2.17) vào các công thức (2.12), (2.13) xác định được các đáp ứng trung bình

bình phương của dịch chuyển và vận tốc

22

202 2

, ,2 2

xxg x x xg x x

hx x

(2.18)

33

22

2

,2 2

xxg x x

hx

(2.19)

Các phương trình (2.18), (2.19) là các phương trình đại số phi tuyến đối với 2x

và 2x và có thể giải được bằng thuật toán lặp, trong trường hợp cụ thể có thể cho

kết quả giải tích. Thuật toán lặp thường được áp dụng được đề xuất bởi Atalik và

Utku [59] như sau:

a) Gán giá trị ban đầu cho các mô men bậc hai 2 ,x 2x .

b) Dùng phương trình (2.16), (2.17) để xác định các hệ số tuyến tính.

c) Giải phương trình (2.18), (2.19) để tìm mô men bậc hai tức thời mới 2 ,x 2x .

d) Lặp lại các bước b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định.

Ta tiếp tục xét phương trình dao động của hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích

động ngẫu nhiên:

, tMx + Cx + Kx + Φ x,x x = Q

(2.20)

trong đó x - véc tơ gia tốc, x - véc tơ vận tốc và x - véc tơ chuyển dịch

, ,ij ij ijn n n n n nm c k

M C K là các ma trận khối lượng, ma trận cản và

ma trận độ cứng; ,Φ x,x x - véc tơ hàm phi tuyến, 1 2 nt Q Q QT

Q

là quá trình ngẫu nhiên Gaussian ồn trắng có trung bình không và có ma trận mật độ

phổ ij n nS

S trong đó ijS là hàm mật độ phổ chéo của hai phần tử

iQ và jQ . Trường hợp hay gặp nhất của phương trình (2.20) là hệ có các ma trận

khối lượng, cản và độ cứng đều là hằng số. Các ma trận này thông thường là các ma

trận đối xứng. Trong trường hợp tổng quát người ta có thể nghiên cứu các hệ mà ở

đó các ma trận hệ số này là các hàm phụ thuộc thời gian, thậm chí chúng còn phụ

thuộc vào đáp ứng chuyển dịch hoặc vận tốc của hệ. Phương pháp giải tích xấp xỉ

vẫn là một giải pháp được ưu tiên vì nó tiết kiệm chi phí mà vẫn diễn đạt gần đúng

34

ứng xử của hệ phi tuyến ban đầu. Theo phương pháp TTHTĐ ta xấp xỉ véc tơ hàm

phi tuyến ,Φ x,x x bằng một tổ hợp của các véc tơ ,t t tx , x x , khi đó ta

có hệ tuyến tính hóa tương đương như sau:

t e e eM + M q C + C q K + K q Q

(2.21)

trong đó e e eM , C , K là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng tương đương thu

được tùy vào việc sử dụng các tiêu chuẩn cực tiểu sai số khác nhau. Phương pháp

TTH tương đương kinh điển sử dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình để

tìm các hệ tuyến tính hóa ở trên [29, 44]. Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký

hiệu tq để chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của tx trong phương trình

phi tuyến gốc (2.20). Người ta luôn mong muốn sai số giữa nghiệm tq của hệ

tuyến tính hóa và nghiệm chính xác tx của phương trình phi tuyến ban đầu, cụ

thể là giá trị t tx q càng nhỏ càng tốt, trong đố là một độ đo chuẩn nào

đó được chọn. Tuy nhiên sử dụng một tiêu chuẩn sai số bình phương tối thiểu cho

hiệu t tx q là rất khó vì ta không biết nghiệm chính xác tx . Trong phương

pháp TTHTĐ, người ta đề nghị cực tiểu hóa sai số giữa véc tơ hàm phi tuyến gốc và

véc tơ tuyến tính hóa. Sai số giữa hệ (2.20) và hệ (2.21) là

e e ee Φ q, q, q M q + C q + K q

(2.22)

Trong biểu thức (2.22), đối số của hàm phi tuyến được thay thế bằng đối số thu

được từ hệ tuyến tính hóa. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình dựa trên một

chuẩn thích hợp. Ở đây ta sử dụng chuẩn Euclid 2

e trong không gian n chiều.

Chuẩn Euclid được xác định bởi

2

21

,n

rr

e

Te e e

(2.23)

trong đó re ( 1,2,...,r n ) là các thành phần của véc tơ sai số e . Tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa của trung bình bình phương sai số e

theo các giá trị ma trận hệ số e e eM , C , K :

35

minE e e e

T

M ,C , Ke e

(2.24)

Trong đó kỳ vọng trong vế trái của (2.24) được tính theo hàm mật độ xác suất đồng

thời của các đáp ứng trong phương trình tuyến tính hóa (2.21). Atalik và Utku

(1976) [59] đã cho thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau cho việc xác

định các ma trận hệ số e e eM , C , K

E E TT e e e Tzz M C K zΦ z

(2.25)

trong đó

q

z q

q

(2.26)

là véc tơ cột ghép nối các véc tơ gia tốc, vận tốc và chuyển dịch của hệ tuyến tính

hóa (2.21). Véc tơ z là một véc tơ quá trình Gaussian vì hệ tuyến tính hóa có đầu

vào tQ là một quá trình Gaussian. Để dễ tính toán (2.25) ta có định lý sau đây

của Atalik và Utku [59]:

Định lý: Cho hàm vô hướng 1 2, ,..., ny y y y đủ trơn có đạo hàm bậc nhất

đối với biến y thỏa mãn tính chất

2

expn

ai

i

A y

y

(2.27)

trong đó 2a , A là một hằng số tùy ý, véc tơ y là một quá trình ngẫu nhiên trung

bình bằng không. Khi đó ta có tính chất sau:

E E E Ty y yy y

(2.28)

trong đó 1 2 ny y y

T

là toán tử gradient.

Áp dụng công thức (2.28) cho véc tơ z ta có

36

E E E T T TzΦ z zz Φ z

(2.29)

Thay (2.29) vào (2.25) với giải thiết ma trận E Tzz không suy biến ta thu được

kết quả đã đơn giản hóa (2.25) như sau:

.E Te e e TM C K Φ z

(2.30)

Như vậy các ma trận hệ số tương đương của hệ tuyến tính hóa được xác định thông

qua kỳ vọng của gradient của hàm phi tuyến gốc. Cụ thể các biểu thức của (2.30)

như sau:

,e iij

j

m Eq

,e i

ij

j

c Eq

.e i

ij

j

k Eq

, 1, 2,...,i j n (2.31)

Đây là kết quả thú vị thu được từ tính chất Gaussian của đáp ứng. Do q, q, q là

các quá trình ngẫu nhiên Gaussian dừng độc lập, và do đó hàm mật độ xác suất

dừng của chúng có dạng [29]:

1

1/22

1 1exp ,

22 detn

g

Tu

u

u u R uR

(2.32)

trong đó :

uR là ma trận tương quan của quá trình ngẫu nhiên dừng độc lập u ( , ,u q q q ).

Khi biết hàm mật độ thì có thể biết bất kỳ đặc trưng nào của đáp ứng (trung bình,

các mô men bậc cao) của hệ tuyến tính hóa, nghĩa là biết được các đặc trưng xấp xỉ

của hệ phi tuyến ban đầu (2.20).

2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến

Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương

đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa

tương đương [11-24, 67, 68].

Elishakoff và Zhang X [11] đã đề xuất phương pháp tuyến tính hóa tương đương

dựa trên cực tiểu hóa hàm sai số thế năng. Anh và Di Paola [15] đề xuất tiêu chuẩn

tuyến tính hóa tương đương Gauss có điều chỉnh dựa trên đánh giá: Sự thay thế hệ

37

phi tuyến gốc bằng một hệ tuyến tính tự nó đã làm giảm mức độ phi tuyến, để đạt

được nghiệm chính xác hơn thì cần cải thiện sự giảm nêu trên. Trong những năm

gần đây, việc áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu cho thấy sự hiệu quả trong nghiên cứu

dao động phi tuyến. Quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng

của các hệ phi tuyến [20] và đã được phát triển trong [20-24, 67, 68]. Một ưu điểm

quan trọng của quan điểm đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau, thường

là đối ngẫu với nhau, của một bài toán để giúp cho việc nghiên cứu được cân bằng

và phù hợp hơn. Cách thay thế đối ngẫu của Anh [20] bao gồm hai quá trình thay

thế lượt đi và quá trình thay thế lượt về, hai quá trình này được coi là đối ngẫu của

nhau. Ý tưởng thay thế tương đương đối ngẫu ngụ ý rằng do quá trình tuyến tính

hóa là một quá trình xấp xỉ nên việc thay thế trở lại sẽ không thu được nguyên dạng

ban đầu. Dưới đây ta sẽ trình bày một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải

tiến. Trong luận án hạn chế ở một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương liên

quan đến cách tiếp cận đối ngẫu được phát triển trong luận án.

2.2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng

Elishakoff và Zhang X [11] đã đề xuất phương pháp tuyến tính hóa tương đương

dựa trên cực tiểu hóa hàm sai số thế năng chỉ áp dụng cho dao động ngẫu nhiên phi

tuyến được mô tả bởi phương trình

22 ox hx x g x t

(2.33)

Theo phương pháp TTHTĐ, thay thế thành phần lực đàn hồi phi tuyến bằng lực đàn

hồi tuyến tính ( )g x kx , thu được phương trình tuyến tính tương đương với (2.33)

22 ox hx x kx t

(2.34)

Hệ số tuyến tính hóa k trong phương trình (2.34) được xác định bởi điều kiện cực

tiểu sai số giữa thế năng U(x) của phần tử đàn hồi phi tuyến và thế năng của phần tử

đàn hồi tuyến tính hóa tương đương 2 / 2kx dưới dạng trung bình bình phương

2

21( ) - min

2 kU x kx

(2.35)

38

trong đó, 0

( ) ( )x

U x g d

(2.36)

Tiêu chuẩn (2.35) dẫn đến kết quả

2 2

24 2

2 2

3

x U x x U xk

x x

(2.37)

Tiêu chuẩn (2.35) áp dụng cho các hệ đàn hồi phi tuyến thu được kết quả khá tốt, tuy nhiên

không áp dụng được cho các hệ cản phi tuyến.

2.2.2 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh

Anh và Di Paola [15] đề xuất tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh

dựa trên đánh giá: Sự thay thế hệ phi tuyến gốc bằng một hệ tuyến tính tự nó đã làm

giảm mức độ phi tuyến, để đạt được nghiệm chính xác hơn thì cần cải thiện sự giảm

nêu trên. Do đó, các tác giả đã thực hiện việc thay các số hạng phi tuyến ban đầu

bằng các số hạng phi tuyến bậc cao hơn trước khi tuyến tính hóa. Ta xét phương

trình (2.33), qui trình thực hiện của tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều

chỉnh như sau

1 2

g xg x k g x k g x kx

x

(2.38)

trong đó 1 2,k k và hệ số tuyến tính hóa k được xác định theo tiêu chuẩn cực tiểu sai

số trung bình bình phương

1

2

221

22

1 2

2

2

( ) / min

/ min

min

k

k

k

g x k g x x

k g x x k g x

k g x kx

(2.39)

Từ đó thu được các kết quả

3

1 4 2

/

/

g x xk

g x x ,

3

2 1 2

/g x xk k

g x .

Sử dụng điều kiện thứ ba trong (2.39) và hai phương trình trên sẽ cho

39

3 3

4 2 22

/ /

/

g x x g x x xg xk

xg x x g x

(2.40)

Tiêu chuẩn (2.38) được gọi là tiêu chuẩn điều chỉnh một bước, được áp dụng hiệu

quả cho một số dao động phi tuyến trong [15]. Năm 2008, Elishakoff và cộng sự

[16] phát triển tiêu chuẩn của Anh và Di Paola từ điều chỉnh một bước thành điều

chỉnh hai bước với qui trình

2

1 2 3 4

g x g x g xg x k g x k g x k g x k g x kx

x x x

(2.41)

trong đó 1 2 3 4, , , ,k k k k k được xác định theo tiêu chuẩn cực tiểu hóa thông thường.

Elishakoff và cộng sự áp dụng qui trình (2.41) cho dao động Lutes and Sarkani thu

được kết quả tốt hơn so với qui trình điều chỉnh một bước ở trường hợp mức độ phi

tuyến khá lớn [16].

2.2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu

Gọi A và B là quá trình dừng Gauss có trung bình bằng không và ta muốn thay A

xấp xỉ bằng kB. Dựa trên cách thay thế tương đương đối ngẫu ta xét tiêu chuẩn đối

ngẫu sau [20-23]:

2 2

,

1 1min

2 2 dn dndn dn dn dn

kS A k B k B A

(2.42)

trong đó sử dụng ký hiệu .dn cho tiêu chuẩn đối ngẫu. Các số hạng thứ nhất và thứ

hai trong (2.42) tương ứng là các sai số của quá trình thay thế lượt đi và lượt về

được biểu diễn dưới dạng trung bình bình phương. Cách biểu diễn như (2.42) cho

thấy vai trò tương đương nhau của hai quá trình này. Xuất phát từ điều kiện cực tiểu

(2.42) ta có

2 22 2 0dndn dn dn

dn

SAB k B k B AB

k

(2.43)

22 0dndn dn

dn

Sk AB A

Từ đó dẫn tới

40

2 2

1,

2dn

dn dn dn

AB ABk k

B A

Hay [20-23]

2 2

1

2dn

ABk

r B

,

2

22dn

r

r

(2.44)

trong đó ký hiệu

2

2

2 2

ABr

A B

(2.45)

2r là đại lượng không thứ nguyên, theo bất đẳng thức Schwarz có đặc điểm

2 1r (2.46)

Anh và cộng sự áp dụng qui trình tiêu chuẩn đối ngẫu cho nhiều hệ dao động phi

tuyến thu được kết quả chính xác hơn tiêu chuẩn kinh điển khi các hệ có tính phi

tuyến khá lớn [20-23].

2.3. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể

(GLOMSEC)

Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới gọi là Tiêu chuẩn sai

số bình phương trung bình địa phương - tổng thể. Để có thể hiểu rõ xuất xứ của tiêu

chuẩn này ta cần nhắc lại một số điểm căn bản của Tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình kinh điển.

Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do được biểu diễn dưới dạng

202 ( , ) ( )x hx x g x x t

(2.47)

trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương trình tuyến tính hóa

tương đương của (2.47) có dạng

202 ( )x hx x x x t (2.48)

trong đó , là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình giữa (2.47) và (2.48)

sẽ là

41

xxxxgxxe ,, (2.49)

Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44]

2

,( , ) mine x x

(2.50)

Hay

2

,( , ) ( , ) mine x x P x x dxdx

(2.51)

Trong đó, ),( xxP là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x với )()(),( xPxPxxP .

Ta có:

2 2, ,0, 0.

e x x e x x

(2.52)

Với giả thiết 0xx ta thu được

2 2

( , ) ( , ), .

g x x x g x x x

x x

(2.53)

Ta có hệ 3 phương trình (2.48) và (2.53) cho ba ẩn , và x(t). Do khoảng tích

phân trong (2.51) là ( , ), tiêu chuẩn (2.51) có thể được gọi là tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình tổng thể. Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân cần tập

trung hơn để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]:

0 0

0 0

2

,( , ) ( , ) min

x x

x x

e x x P x x dxdx

(2.54)

trong đó 0 0,x x là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến đổi cho các biến

không thứ nguyên 0 0,x xx r x r với r là một biến không thứ nguyên dương

nào đó, x và x là độ lệch chuẩn của x và x . Như vậy tiêu chuẩn (2.54) dẫn đến

2 2

,[ ( , )] ( , ) ( , ) m in

x x

x x

r r

r r

e x x e x x P x x dxdx

(2.55)

42

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương:

[ . ] ( . ) ( , )x x

x x

r r

r r

P x x dxdx

(2.56)

Tương tự tiêu chuẩn kinh điển ta có

2 2

( , ) ( , )( ) , ( ) .

g x x x g x x xr r

x x

(2.57)

Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là hàm số của r.

)(),( rr

Để tính toán (2.57) ta thay biến xx t , xx t và sử dụng (2.56), và ký hiệu

2 2 2 2,n nn n

x xx x ta thu được các momen địa phương bậc cao 2 2,n nx x

biểu diễn qua các momen tổng thể bậc hai 2 2,x x như sau [15-19]:

2 2 2, 0,

2 2 2, 0,

( ) ( ) 2 2 ,

( ) ( ) 2 2 .

x x

x x

x x

x x

r rnn n

n r r

r r

r rnn n

n r r

r r

x x P x dx P x dx T x T


(2.58)

trong đó ký hiệu các tích phân

22 2, 0,

0 0

1( ) , ( ) , ( ) .

2

r rn t

n r rT t t dt T t dt t e

(2.59)

Khi r , các công thức (2.58) dẫn đến các công thức kinh điển:

2 2 2 2,

2 2 2 2,

( ) ( ) 2 2 1 !! ,

( ) ( ) 2 2 1 !! .

n nn nn

n nn nn

x x P x dx P x dx T x n x

x x P x dx P x dx T x n x

Các công thức (2.57) và (2.58) là hàm số của tham số r do vậy ( ), ( )r r có thể gọi

là các hệ số TTH địa phương. Một số ưu điểm của LOMSEC như sau: Bằng cách

thay đổi giá trị của r , LOMSEC có thể tạo ra một dãy các lời giải gần đúng và khi

r , LOMSEC cho lời giải kinh điển. LOMSEC cũng có thể cho lời giải chính

43

xác ứng với giá trị r nào đó ký hiệu là ( exactr ) và về nguyên tắc LOMSEC có thể cho

nghiệm chính xác, trong khi tiêu chuẩn kinh điển không thể tạo ra được điều này [7,

15-19]. Nhược điểm chính của LOMSEC là chưa cho được giá trị exactr . Sử dụng

quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị thay cho việc xác định exactr ta có thể cho r thay

đổi trên toàn miền giá trị không âm với lập luận sau đây. Ý nghĩa khoa học của

( ), ( )r r là ở chỗ chúng là các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa

phương[ , ],[ , ]x x x xr r r r . Thay cho việc chọn một giá trị cụ thể nào của

( ), ( )r r làm đại diện cho tất cả các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa phương ta

có thể đặc trưng bằng giá trị trung bình của ( ), ( )r r trên toàn bộ miền giá trị có thể

của r, tức là miền các giá trị r không âm. Như vậy theo cách tiếp cận đối ngẫu các

hệ số tuyến tính hóa , có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]:

0 0

1 1( ) ( ) , ( ) ( ) .

s s

s sr Lim r dr r Lim r dr

s s

(2.60)

trong đó <.> là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ

LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

địa phương – tổng thể (GLOMSEC).

Tiếp theo ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương –

tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do. Giả sử rằng hệ dao động được mô

hình hóa bởi một hệ nhiều bậc tự do MDOF được mô tả bằng một tập các phương

trình vi phân bậc nhất phi tuyến:

tfzgz (2.61)

Trong đó, dấu ( . ) ký hiệu phép vi phân, Tnzzzz ,...,, 21 là vec tơ các biến trạng

thái, n là số tự nhiên, g là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu

nhiên chuẩn có giá trị trung bình bằng không. Giả sử rằng một nghiệm dừng của

phương trình (2.61) tồn tại. Ký hiệu

tfzgzze (2.62)

Phương trình (2.61) có thể viết ở dạng:

44

0ze (2.63)

Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong phương trình (2.62) như sau

A Ae z z z z g z f t (2.64)

Trong đó A ij nxna là ma trận n×n. Gọi vector y là một nghiệm dừng của phương

trình tuyến tính sau

0Ay y f t (2.65)

Từ (2.64) và (2.65) ta có:

Ae y y g y (2.66)

Ký hiệu p(y) hàm mật độ xác suất chung (PDF) của véctơ đáp ứng y của phương

trình (2.65). Tiêu chuẩn TTH kinh điển có thể được viết dưới dạng:

2 minij

i an e y p y dy

(2.67)

Vì tích phân được thực hiện trên toàn miền không gian tọa độ, do đó tiêu chuẩn

(2.67) có thể được gọi là "tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể". Qua

tính toán Anh và Di Paola đề xuất một khái niệm rằng tiêu chuẩn (2.67) có thể dẫn

đến một sai số lớn đối với một số hệ phi tuyến, đặc biệt là phi tuyến mạnh. Để tăng

độ chính xác, việc tích phân nên được thực hiện trong một khu vực nơi mà vectơ

đáp ứng được tập trung. Do đó theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương (LOMSEC) ta có

1

1

2 2 min,n

n ij

y y

i iy y ae y n e y p y dy

i,j = 1,…,n (2.68)

Đưa vào biến không thứ nguyên

0

nn n yy y (2.69)

trong đó 002

01 ,....., nyyy là các biến không thứ nguyên có giá trị dương,

1 2, ,.....,y y yn là các độ lệch chuẩn của các biến nyyy ,....., 21 . Khi đó ta có:

45

0 0

11

0 01 1

2 2 min,y n yn

y n yn ij

y y

i iy y ae y n e y p y dy

i,j = 1,…,n (2.70)

Trong tuyến tính hóa tương đương các giá trị 1 2, ,.....,y y yn là độc lập với ija khi

ta cực tiểu (2.70). Do vậy ta sẽ có:

1T Tg y y yy

A (2.71)

Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề xuất bởi Atalik và

Utku [59] như sau:

a) Gán giá trị ban đầu dương cho 0 0 01 2 ny ,y ,.....y .

b) Gán giá trị ban đầu cho ma trận tương quan Tyy

c) Sử dụng phương trình (2.71) để xác định ma trận A.

d) Giải hệ phương trình tuyến tính (2.65) để xác định ma trận tương quan

Tyy mới

Lặp lại các bước b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định.

Rõ ràng, tiêu chuẩn (2.70) (LOMSEC) có thể tạo ra một loạt các lời giải gần đúng

khác nhau tùy thuộc vào cách lấy miền tích phân hữu hạn được thực hiện, và

LOMSEC cho lời giải của Caughey khi các biến 0 0 01 2, ,..... ny y y . LOMSEC chứa

đựng sự tồn tại của một tập hợp các giá trị tối ưu 0 0 01 2, ,..... ny y y

cho một hệ phi tuyến

cụ thể, cho phép có được lời giải gần đúng nhất có thể có. Tuy nhiên, không thể tìm

ra một liên kết toán học giữa 0 0 01 2, ,..... ny y y và các tham số của hệ dao dộng phi

tuyến, đặc biệt là tham số đặc trưng cho tính phi tuyến. Đây là một hạn chế đáng kể

của LOMSEC, và điều đó phải được giải quyết bằng một cách nào đó.

Anh và Di Paola [15], những người đầu tiên đề xuất LOMSEC cho các hệ dao động

phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động Duffing và Vanderpol, sau

đó các tác giả đề nghị chọn 30 y , điều đó có nghĩa là 1 13 yy . Tuy nhiên, ta có

thể chọn được giá trị khác của 0y để xác định miền tích phân để có lời giải tốt hơn.

Điều này đòi hỏi nhiều nghiên cứu hơn.

46

Sau kết quả ban đầu của Anh và Di Paola, L.X. Hùng đã phát triển LOMSEC cho

các hệ thống phi tuyến nhiều bậc tự do (MDOF) và đã nghiên cứu một loạt các hệ

phi tuyến khác nhau [7, 17 - 19]. Dựa trên các hệ phi tuyến mà các lời giải chính

xác của chúng tồn tại hoặc ta có thể tìm các nghiệm mô phỏng Monte Carlo, và

bằng cách gán các lời giải đó cho LOMSEC để giải quyết các bài toán ngược, L. X.

Hùng đã tìm thấy các giá trị tối ưu hiệu quả của 0ny là

0 (2, 2.7)ny (trừ hệ dao động

Van der Pol). Cuối cùng, với mục đích đưa ra một cách hợp lý giá trị 0y để áp dụng

cho bất kỳ hệ dao động phi tuyến nào, các phép tính toán ngược cho các giá trị trung

bình dẫn đến một giá trị đề xuất là 0 2.5y , điều đó có nghĩa 2.5n yny [7, 17 -

19].

Quay lại tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể, các hệ số

TTH aij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau:

001

0 0 01 2

0 0 01 2

0 0 0 0 0 01 2 1 20 0 0, ,.....

1 2 0 0

( , , ..... )

1.... ( , , ..... ) .....

.....

n

n

ij ij n

yy

ij n ny y y

n

a a y y y

Lim a y y y dy dy dyy y y

(2.72)

trong đó < . > là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ


địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do.

Trong nhiều mô hình cơ học, đặc biệt trong phương pháp phần tử hữu hạn, hệ dao

động được mô hình hóa bởi một hệ các phương trình vi phân bậc hai phi tuyến có

dạng:

Mq+Cq+Kq+Φ(q,q)=Q(t) (2.73)

trong đó M

ij n nm , C

ij n nc , K

ij n nk là các ma trận hằng n × n.

1 2, , , , T

nq q là véc tơ các hàm phi tuyến của 1 2q , , , T

nq q q và

1 2q , , , T

nq q q . (T) ký hiệu phép toán chuyển vị ma trận. Kích động Q(t) là véc

tơ các quá trình ngẫu nhiên chuẩn có trung bình bằng không và hàm mật độ phổ

S ( )

Q ij n nS với ijS là các hàm mật độ phổ tương quan của Qi và Qj.

47

Hệ phương trình tuyến tính tương đương sẽ là

e eMq+ C+C q+ K+K q=Q(t)

(2.74)

trong đó,

eC e

ij n nc ,

eK eij n n

k là các ma trận TTH xác định từ điều kiện min

của véc tơ hiệu sai số phương trình 1 2, , ,T

n với

( , ) e eC K q q q q (2.75)

Để phân tích hệ tuyến tính (2.74) ta có thể sử dụng lý thuyết hàm mật độ phổ. Ta có

[29, 44]:

( ) (- ) ( ) ( )T q QS =α S α

(2.76)

trong đó, α(ω) là ma trận đáp ứng tần số của hệ tuyến tính

-12 e eα( )= - M+ (C+C )+(K+K )i (2.77)

Các mô men bậc hai của đáp ứng sẽ tính theo công thức:

2

( ) ,

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( )

i ji j q q

T TQ

T TQ

E qq S d

E qq S d

E qq S d

(2.78)

Để lập hệ phương trình khép kín ta cần các phương trình xác định các hệ số TTH

tương đương. Ký hiệu ( , )p q q là hàm mật độ xác suất liên kết dừng của véc tơ

1 2, , ,T

nq q q q và 1 2, , ,T

nq q q q . Theo tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình địa phương (LOMSEC) ta có

01 0 01

,01 0 01 0

2 21 2 1 2( ) ( ) ( , ) ... ... min

( , , 1, 2,..., )

n

e ec kij ijn n

q q q qn

n n

q q q q

n n p q q dq dq dq dq dq dq

i j n

(2.79)

48

với 01 02 0 01 02 0, ,..., , , ,...,n nq q q q q q là những giá trị dương. Đưa vào đại lượng không

thứ nguyên 01 1 02 2 0 01 1 02 2 0, ,..., ; , ,...,q q n qn q q n qnq r q r q r q r q r q r ;

1 2 1 2, ,..., ; , ,...,q q qn q q qn là độ lệch chuẩn của các biến 1 2, ,..., nq q q và

1 2, , ,T

nq q q q . khi đó ta có

1 1

,1 1

2 21 2 1 2( ) ( ) ( , ) ... ... min

( , , 1, 2,..., )

q qn q qn

e ec kij ijq qn q qn

r r r r

n n

r r r r

n n p q q dq dq dq dq dq dq

i j n

(2.80)

Cho các đạo hàm riêng triệt tiêu ta có

2 20, 0; ( , , 1,2,..., )e eij ij

E E i j nc k

(2.81)

Các hệ số TTH ,e eij ijc k sẽ phụ thuộc vào r (có nghĩa là ( ), ( )e e e e

ij ij ij ijc c r k k r ).

Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC)

các hệ số TTH ceij, k

eij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]:

0 0

1 1( ) ( ) , ( ) ( )

s se e e e e eij ij ij ij ij ij

s sc c r Lim c r dr k k r Lim k r dr

s s

(2.82)

Các phương trình (2.82) cùng với hệ phương trình tuyến tính (2.74) sẽ lập thành

một hệ khép kín cho phép xác định đáp ứng của hệ.

49

Kết luận Chương 2

Chương hai tập trung giới thiệu phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng

trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Phương pháp tuyến tính hóa tương

đương dựa trên tiêu chuẩn tương đương. Do vậy, tiêu chuẩn tương đương kinh điển

do Caughey đề xuất và một số tiêu chuẩn tương đương khác được giới thiệu tóm tắt.

Đặc biệt, trong chương này đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion -

GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc

tự do. Các ví dụ áp dụng khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ thuật này sẽ được trình

bày trong các chương 3 và 4 khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động

phi tuyến ngẫu nhiên một và nhiều bậc tự do.

Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong các bài báo [1,6] trong Danh sách

các công trình đã công bố của luận án.

50


CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO

Trong chương này chúng ta sẽ ứng dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên

cho hệ một bậc tự do. Việc đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu

chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác (nếu có), hoặc nghiệm mô phỏng và

nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao

động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do. Vấn đề phân tích dao động ngẫu nhiên

cho hệ nhiều bậc tự do sẽ được tiến hành trong chương 4 tiếp theo.

3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến

Như đã phân tích trong chương 2 tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương – tổng thể (GLOMSEC) được xây dựng trên cách tiếp cận đối ngẫu cho tiêu

chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC). Cơ sở khoa học của

tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) lại dựa trên giả

thiết cho rằng phép lấy tích phân sai số phương trình cần tập trung trong một miền

hẹp hơn để cho nghiệm chính xác hơn. Đây là một giả thuyết do Anh và Di Paola đề

nghị vào năm 1995. Để làm rõ hơn giả thuyết này, trong luận án sẽ phân tích các

hàm mật độ xác suất của một số hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên,

trong đó sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa vùng tập trung đáp ứng của hệ và tham số

phi tuyến.

3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng

Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng có dạng

32x hx x x t

(3.1)

với , , ,h là các hệ số dương, t là quá trình ồn trắng Gauss với

0,t t t t

(3.2)

t là hàm Delta Dirac. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ

Duffing sẽ là [29, 44]

51

2

2

42

2

2exp

42

4exp, x

hxx

hCxxp

(3.3)

trong đó C là hằng số chuẩn. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF được

tách thành hai hàm mật độ độc lập xpxpxxp , với

42

2142

4exp xx

hCxp

, 2

2 2

2exp

hp x C x

(3.4)

Ký hiệu Prob a x a là xác suất sao cho đáp ứng của hệ Duffing rơi vào vùng

aa, . Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng aa, sẽ được xác

định theo công thức:

Proba

aa x a p x dx

(3.5)

Giả sử ta chọn Prob 0.98a x a và xét các tham số của hệ như sau:

0.25; 1; 1h và tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị

a (xem Bảng 3.1). Từ Bảng 3.1 nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các

đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến tăng. Các quan

sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị của các hàm mật độ của dịch chuyển

và vận tốc khi tham số phi tuyến thay đổi, chẳng hạn đối với hàm p(x) (3.4) như

thấy trên Hình 3.1(a,b,c,d).

Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo

0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100

a 2.04 1.65 1.46 1.05 0.89 0.69 0.61 0.54 0.51

52

- 3 - 2 - 1 1 2 3x

0.1

0.2

0.3

0.4

p

a. =0.1

- 3 - 2 - 1 1 2 3x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

p

b. =1

- 1.5 - 1 - 0.5 0.5 1 1.5x

0.2

0.4

0.6

p

c. =10

- 1 - 0.5 0.5 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

p

d. =100

Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, ( =0.1, 1, 10, 100)

3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng

Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi

phương trình sau:

2 21x x x x x d t (3.6)

Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]:

22 2 2 2, exp 0.5p x x C x x x x

d

(3.7)

trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng

aa, sẽ được xác định theo công thức:

Prob ,a

aa x a p x x dx dx

(3.8)

Tương tự, giả sử ta chọn Prob 0.98a x a và xét tham số d=2 trong khi

tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (Bảng 3.2). Từ Bảng

53

3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với

xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến tăng. Các quan sát tương tự cũng thu

nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều của các hàm mật độ của dịch

chuyển và vận tốc ,p x x khi tham số phi tuyến thay đổi, thể hiện trên Hình

3.2(a,b,c,d).


0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100

a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07

-4-2

0

2

4

x -4

-2

0

2

4

x

0

0.02

0.04p

-4-2

0

2

4

x

a. =0.1

-2

0

2x -2

0

2

x

00.0250.05

0.0750.1

p

-2

0

2x

b. =1.0

54

-2

-1

0

1

2

x

-2

-1

0

1

2

x

0

0.1

0.2p

-2

-1

0

1x

c. =10

-1

0

1x -1

0

1

x

00.10.2

0.3

0.4

p

-1

0

1x

d. =100

Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản phi tuyến, (=0.1, 1, 10, 100)

3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng

Ta xét thêm hệ dao động phi tuyến thứ 3. Hệ dao dộng này có cả lực cản và lực đàn

hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi phương trình:

22 2 4 2 30

0

14 ( )

2 2 4x h x x x x x x t

(3.9)

Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]

2

42202

2 422

14exp, xxx

hCxxp

(3.10)

55

trong đó C là hằng số chuẩn. Giả sử ta chọn Prob 0.98a x a và xét tham số

200.1; 1; 1h

trong khi tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các

giá trị a (xem Bảng 3.3). Từ Bảng 3.3 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a]

trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến tăng.

Các quan sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều

của các hàm mật độ của dịch chuyển và vận tốc ,p x x khi tham số phi tuyến

thay đổi, thể hiện trên Hình 3.3 (a,b,c,d).


0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100

a 1.80 1.51 1.35 0.99 0.85 0.66 0.58 0.51 0.48

-2

0

2x -2

0

2

x

0

0.05

0.1

p

-2

0

2x

a. =0.1

-2

0

2x -2

0

2

x

0

0.05

0.1

0.15

p

-2

0

2x

b. =1.0

56

-2-1

0

1

2

x -2

-1

0

1

2

x

00.050.1

0.15

0.2

p

-2-1

0

1

2

x

c. =10

-1

0

1x -2

-1

0

1

2

x

0

0.1

0.2

0.3p

-1

0

1x

d. =100

Hình 3.3. Đồ thị hàm PDF ,p x x của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, (=0.1, 1, 10,

100)

Kết luận

Sau khi xét 3 ví dụ đại diện trên ta đi đến một nhận xét rằng miền tích phân hữu hạn

[-a, a] trong đó đáp ứng của hệ phi tuyến tập trung sẽ bị thu hẹp khi tính phi tuyến

tăng lên. Do đó, theo luận điểm được đề xuất trong tiêu chuẩn LOMSEC, để tăng độ

chính xác của nghiệm gần đúng, đặc biệt khi tính phi tuyến trở nên lớn hơn, việc

tích phân hàm sai số theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương

(LOMSEC) chỉ nên thực hiện trong một miền tích phân hữu hạn nơi mà đáp ứng

của hệ được tập trung.

57

3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương-tổng thể (GLOMSEC)

Trong mục này ta sẽ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương-tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ một bậc tự

do và đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này. Để đánh giá

sai số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương người ta chấp nhận 2 cách tiếp

cận sau [29, 30]:

- So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa tương

đương ví dụ

2

GLx , 2

kdx ) với nghiệm chính xác 2

CXx

(nếu biết nghiệm

chính xác).

- So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa tương

đương (ví dụ

2

GLx , 2

kdx ) với nghiệm mô phỏng 2

MCx hoặc nghiệm

xấp xỉ của một phương pháp gần đúng tin cậy khác (nếu không biết nghiệm

chính xác).

Trong luận án đã sử dụng 2 cách tiếp cận trên để đánh giá sai số của các

nghiệm xấp xỉ thu được bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương

– tổng thể (trong chương 3 và chương 4).

3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba

Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:

3 22 ox h x x x t

(3.11)

với lực cản phi tuyến bậc ba, trong đó , , ,oh là các số thực dương, t là

ồn trắng Gauss trung bình không. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, ta

thay hàm cản phi tuyến 32g x h x bằng hàm tuyến tính bx . Hệ phi tuyến sẽ

thay bằng phương trình tuyến tính tương đương

22 ox h b x x t

(3.12)

trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của

(3.12) xác định theo công thức

58

22

22 2 o

xh b

;

2 2 2ox x

(3.13)

Để xác định hệ số tuyến tính hóa b, trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương

đương kinh điển, theo đó ta lấy cực tiểu sai số thay thế 32h x bằng bx :

3 2(2 ) minb

h x bx

(3.14)

Điều kiện này dẫn đến

26b h x

(3.15)

Thay hệ số tuyến tính hóa (3.15) vào công thức nghiệm (3.13) tìm được dịch chuyển

bình phương trung bình của hệ cản phi tuyến (3.11) theo tiêu chuẩn tương đương

kinh điển:

2 22

2

3

6kdo

h h hx

h

(3.16)

Để xác định b theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể

(GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương (LOMSEC), tức là tính cực tiểu sau:

3 2(2 ) minb

h x bx (3.17)

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương:

[ . ] ( ) ( ) ( . ) ( )x x

x x

r r

r r

P x d x P x d x

(3.18)

Từ đó ta có

4

4

22

2 22, 0, 2, 2

21, 0, 1,

( ) ( )2

( ) 2

( ) ( )

2 22 2

2 2

x x

x x

x x

x x

r r

r r

r r

r r

r r r

r r r

P x dx x P x dxh x

b r hx

P x dx x P x dx

T x T Th h x

T x T T

(3.19)

59

trong đó (xem Phụ Lục 1)

2

2 4 2, 2, 0,

0 0 0

1( ) , ( ) , ( ) , ( )

2

r r r tn

n r r rT t t dt T t t dt T t dt t e

(3.20)

Như vậy hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương (LOMSEC) sẽ bằng

4

2, 2

21,

( ) 2 r

r

h x Tb r h x

Tx

(3.21)

Hệ số này phụ thuộc vào giá trị của miền lấy tích phân r và được gọi là hệ số TTH

địa phương. Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của b(r) trên tất cả

các giá trị dương r. Như vậy ta có

2, 2

1,0 0

2,2 2

1,0

1 1( ) ( ) 2

12 2.4119 * 2

s sr

s sr

sr

sr

Tb b r Lim b r dr Lim h x dr

s s T

Th x Lim dr h x

s T

(3.22)


bình phương trung bình 2

GLx của hệ cản phi tuyến (3.11) như sau:

2 22

2

2.4119

2*2.4119GLo

h h hx

h

(3.23)

Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm xác định bằng phương pháp phi

tuyến hóa tương đương 2

ENLEx được công bố bởi Spanos và Robers [29]. Các

tính toán được thực hiện với số liệu 0.05, 1, 4oh h và tham số phi

tuyến γ thay đổi. Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2

GLx , 2

kdx so với

2

ENLEx tính theo (3.24) được trình bày trong Bảng 3.4. Kết quả cho thấy nghiệm

2

GLx có độ chính xác tốt hơn so với nghiệm 2

kdx , cụ thể đối với sai số lớn nhất

tương ứng là 1.93% so với 9.16%.

60

Kí hiệu ( ) ( ),C GLErr Err là các sai số tương đối của 2

kdx , 2

GLx so với nghiệm

chính xác 2

cxx

Công thức tính sai số tương đối được trình bày như sau:

2 2

( ) 2*100%kd cx

C

cx

x xErr

x

2 2

( ) 2*100%GL cx

GL

cx

x xErr

x

(3.24)

Trong luận án sẽ áp dụng công thức (3.24) để so sánh độ chính xác của các

nghiệm gần đúng tính theo các tiêu chuẩn kinh điển, tiêu chuẩn GLOMSEC so với

nghiệm tính bằng các phương pháp khác bao gồm: phương pháp phương trình FPK

( 2

cxx ), phi tuyến hóa tương đương ( 2

ENLx ), cân bằng năng lượng ( 2

Ex ), mô

phỏng Monte Carlo ( 2

MCx ).

Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với

0.05, 1, 4oh h , và γ thay đổi

Γ 2

ENLx 2

kdx

( )

%

CErr

2

GLx

( )

%

GLErr

1 0.4603 0.4342 5.61 0.4692 1.93

3 0.3058 0.2824 7.65 0.3090 1.05

5 0.2479 0.2270 8.32 0.2495 0.77

8 0.2025 0.1844 8.99 0.2032 0.35

10 0.1835 0.1667 9.16 0.1839 0.22

3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên

Xét dao động Van der Pol được mô tả bởi phương trình

2 2ox x x x t

(3.25)

61

trong đó , , , ,o là các số thực dương, t là kích động ồn trắng Gauss

cường độ đơn vị. Ta thay hàm phi tuyến của lực cản 2,g x x x x bằng hàm

tuyến tính bx , thu được phương trình tuyến tính

2ox b x x t (3.26)

trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Dịch chuyển và vận tốc trung bình bình phương

của (3.26):

22

22 o

xb

, 2 2 2

ox x (3.27)

Để xác định b trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo đó

ta lấy cực tiểu sai số thay thế 2x x bằng bx :

2 2( ) minb

x x bx (3.28)

Suy ra

2b x

(3.29)


bình phương trung bình của hệ Van der Pol (3.25) theo tiêu chuẩn tương đương kinh

điển:

22 2 2

2

1 2

2kdo

x

(3.30)

Để xác định b theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể



2 2( ) minb

x x bx (3.31)

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương theo công thức (3.18).

Từ đó ta có hệ số TTH b(r) tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa


62

2 2 2

2 2

1, 2

20,2

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

x x x

x x x

x x x

x x x

r r r

r r r r

r r r

r

r r r

x P x dx x P x dx x P x dxx x T

b r xTx

P x dx x P x dx P x dx

(3.32)

trong đó

2

2 2 2, 1, 0,

0 0 0

1( ) , ( ) , ( ) , ( )

2

r r r tn

n r r rT t t dt T t t dt T t dt t e

(3.33)

Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng

thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của b(r). Như vậy ta có

1,2 2

0,0 0

1 1( ) ( ) 0.8371

s sr

s sr

Tb b r Lim b r dr x Lim dr x

s s T

(3.34)

Thay hệ số tuyến tính hóa (3.34) vào (3.27) tìm được phương trình xác định dịch

chuyển trung bình bình phương 2

GLx của hệ Van der Pol (3.25) như sau:

22

2 22 0.8371GLGL o

xx

(3.35)

Từ phương trình (3.35) thu được

22 2 2

2

1 1,6742

1,6742GLo

x

(3.36)

Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo trong tài

liệu của Spanos và Robers [29]. Các tính toán được thực hiện với

0 1, 0.2, 1, 10 và 2 thay đổi. Sai số tương đối tính theo phần trăm

giữa các nghiệm xấp xỉ 2

GLx , 2

kdx so với nghiệm mô phỏng 2

MCx tính theo

công thức (3.24) và được trình bày trong Bảng 3.5.

63

Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van der Pol với α*ε=0.2;

0 =1; * =2; σ2 thay đổi

2 2

MCx 2

kdx

( )

%

CErr 2

GLx ( )

%

GLErr

0.02 0.2081 0.1366 34.33 0.1574 24.32

0.20 0.3608 0.2791 22.46 0.3113 13.52

1.00 0.7325 0.5525 24.58 0.6095 16.79

2.00 1.0310 0.7589 26.40 0.8349 19.02

4.00 1.4540 1.0513 27.70 1.1544 20.61

Kết quả cho thấy nghiệm 2

GLx có độ chính xác tốt hơn so với nghiệm 2

dkx ,

trong đó các giá trị sai số lớn nhất tương ứng là 24.32% so với 34.33%.

3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên

Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng

2 32 ox hx x x t

(3.37)

với , , ,oh là các hệ số dương, t là quá trình ồn trắng Gauss với

0,t t t t (3.38)

Nghiệm chính xác của hệ Duffing là [29, 44]

2 2 2 4

22

x2 2 4

2

4 1 1exp

2 4

4 1 1exp

2 4

o

c

o

hx x x dx

xh

x x dx

(3.39)

Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là

22 ox hx x kx t (3.40)

64

trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Áp dụng lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến

tính, mô men bậc hai của dịch chuyển của (3.40) xác định theo công thức

22

24 o

xh k

(3.41)

Để xác định k trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo đó

ta lấy cực tiểu sai số thay thế 3x bằng kx:

3 2( ) mink

x kx (3.42)

Suy ra

23k x (3.43)


trung bình bình phương của hệ Duffing (3.37) theo tiêu chuẩn tương đương kinh

điển:

22 2 4

d

13

6o ok

xh

(3.44)

Để xác định k theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể



3 2( ) mink

x kx (3.45)

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương theo công thức (3.18).

Suy ra

4

4

22

2 22, 0, 2, 2

21, 0, 1,

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

x x

x x

x x

x x

r r

r r

r r

r r

r r r

r r r

x P x dx P x dxx

k rx

x P x dx P x dx

T x T Tx

T x T T

(3.46)

65

trong đó 2, 1, 0,, ,r r rT T T tính theo công thức (3.33).

Như vậy hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa


4

2, 2

21,

( ) r

r

x Tk r x

Tx

(3.47)

Hệ số k(r) này phụ thuộc vào giá trị của miền lấy tích phân r và được gọi là hệ số

TTH địa phương. Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của k(r). Như

vậy ta có

2, 2

1,0 0

2,2 2

1,0

1 1( ) ( )

12.4119

s sr

s sr

sr

sr

Tk k r Lim k r dr Lim x dr

s s T

Tx Lim dr x

s T

(3.48)


bình phương trung bình 2

GLx của hệ Duffing (3.37) như sau:

22 2 41

2.41192* 2.4119

o oGLx

h

(3.49)

Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2

GLx , 2

kdx so với nghiệm chính xác

2

xcx được tính như công thức (3.24).

Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing được trình bày trong

Bảng 3.6.

Bảng 3.6. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với

1, 0.25, 1o h ; hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi

66

2

xcx 2

kdx

( )

%

CErr

2

GLx

( )

%

GLErr

0.1 0.8176 0.8054 1.49 0.8327 1.857

1.0 0.4680 0.4343 7.194 0.4692 0.263

10 0.1889 0.1667 11.768 0.1839 2.626

100 0.0650 0.0561 13.704 0.0624 4.076

Kết quả cho thấy:

- Nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh điển có độ chính xác tốt với hệ

số đàn hồi phi tuyến nhỏ, tuy nhiên độ chính xác của tiêu chuẩn kinh điển

tăng lên trên 13% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng cao.

- Độ chính xác của tiêu chuẩn GLOMSEC là tốt hơn so với tiêu chuẩn kinh

điển với sai số lớn nhất là 4.08% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên.

3.2. 4. Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên

Trong ví dụ 4 này ta xét hệ dao động phi tuyến phức tạp nhất khi cả lực cản và lực

đàn hồi đều là các hàm phi tuyến. Với lực đàn hồi ở dạng bậc ba ta có hệ dao động

Duffing với cản phi tuyến cũng ở dạng bậc ba chịu kích động ngẫu nhiên:

3 3ox x x x t (3.50)

với , , , là các hệ số dương, t là quá trình ồn trắng Gauss với

0,t t t t

Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là

( )x x x t

(3.51)

trong đó , là các hệ số tuyến tính hóa tương ứng với lực cản và lực đàn hồi phi

tuyến. Áp dụng lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến tính, mô men bậc hai của dịch

chuyển của (3.51) xác định theo công thức

67

2 22 2,

2 2x x

(3.52)

Để xác định , trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo

đó ta lấy cực tiểu các sai số thay thế:

3 2( ) minx x

3 2( ) minx x

(3.53)

Lấy các đạo hàm tương ứng theo , và cho chúng bằng không ta thu được

22 2 2 23 , 3 3 9x x x x (3.54)

Thay hệ số tuyến tính hóa (3.54) vào công thức nghiệm (3.52) tìm được phương

trình xác định dịch chuyển trung bình bình phương của hệ Duffing với cản phi

tuyến (3.50) theo tiêu chuẩn tương đương kinh điển:

2

2

22 22 9 3kd

kd kd

xx x

(3.55)

Để xác định , theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng

thể (GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa


3 2( ) minx x

3 2( ) minx x

(3.56)

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương theo công thức (3.18):

4

4

22

2 22, 0, 2, 2

21, 0, 1,

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

x x

x x

x x

x x

r r

r r

r r

r r

r r r

r r r

x P x dx P x dxx

rx

x P x dx P x dx

T x T Tx

T x T T

(3.57)

68

4

4

22

2 22, 0 , 2 , 2

21, 0 , 1,

2

2 , 2 ,2 2 2

1, 1,

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

( )

x x

x x

x x

x x

r r

r r

r r

r r

r r r

r r r

r r

r r

P x dx x P x dxx

rx

P x dx x P x dx

T x T Tx

T x T T

T Tr x x

T T

(3.58)

Như vậy các hệ số TTH ( ), ( )r r tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung

bình địa phương (LOMSEC) sẽ tính theo các công thức (3.57), (3.58).

Các hệ số ( ), ( )r r phụ thuộc vào giá trị của miền lấy tích phân r và được gọi là

các hệ số TTH địa phương. Các hệ số TTH tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng giá trị trung bình cộng của

( ), ( )r r . Như vậy ta có

2, 2

1,0 0

2,2 2

1,0

1 1( ) ( )

12.4119

s sr

s sr

sr

sr

Tr Lim r dr Lim x dr

s s T

Tx Lim dr x

s T

(3.59)

Tương tự

2

2, 2 2

1,0 0

2

2,2 2 2 2 2

1,0

1 1( ) ( )

12.4119

s sr

s sr

sr

sr

Tr Lim r dr Lim x dr

s s T

Tx Lim dr x

s T

(3.60)

Thay hệ số tuyến tính hóa (3.60) vào công thức nghiệm (3.52) tìm được phương

trình xác định dịch chuyển bình phương trung bình 2

GLx của hệ Duffing với lực

cản phi tuyến (3.50) như sau:

22

2 2 2 22 2.4119 2.4119GLGL

xx x

(3.61)

69

Để đánh giá sai số của các lời giải thu được từ GLOMSEC và từ tiêu chuẩn kinh

điển, trong khi nghiệm chính xác của hệ phi tuyến gốc (3.50) không tồn tại, chúng

ta sẽ sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo ( 2

MCx ) để so sánh. Để thực hiện

mô phỏng Monte Carlo, ta sử dụng công cụ Simulink của phần mềm Matlab.

Trong đó,

- Số lần lặp là N=10000 lần,

- Thời gian mỗi lần mô phỏng ta lấy t=300 (s),

- Bước thời gian ta lấy là t =0.1 (s).

Chương trình Matlab tính toán mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing có cản phi

tuyến chịu kích động ồn trắng được trình bày trong Phụ lục 2.1.

Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2

GLx , 2

kdx so với nghiệm mô phỏng

Monte Carlo 2

MCx được tính theo công thức (3.24). Đáp ứng bình phương trung

bình của hệ dao động Duffing với cản phi tuyến được trình bày trong Bảng 3.7.

Bảng 3.7. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với cản phi

tuyến ( 1.0, 0.1, 2 ; thay đổi)

2

MCx 2

kdx

( )

%

CErr

2

GLx

( )

%

GLErr

0.1 2.5288 1.8319 27.559 2.1556 14.758

1.0 0.7860 0.5793 26.298 0.6817 13.27

10 0.2491 0.1832 26.455 0.2156 13.448

100 0.0784 0.0579 26.148 0.0682 13.01

Kết quả cho thấy nghiệm xấp xỉ tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

địa phương – tổng thể (GLOMSEC) tốt hơn rõ ràng so với nghiệm xấp xỉ xác định

theo tiêu chuẩn kinh điển.

70

3.2.5. Dao động của tàu thủy

Chuyển động lăn của một con tàu trong sóng ngẫu nhiên đã được xem xét bởi

Roberts [55], Roberts và Dacunha [56], David et al [57]. Phương trình chuyển động

của tàu có dạng [56-57]

2 3 2 ( )D t (3.62)

Ở đây 35o là góc lăn tính từ đường thẳng đứng, là tần số tự nhiên không cản

của dao động lăn. Các tham số , , là hằng số. Các sóng ngẫu nhiên được mô tả

là quá trình ồn trắng chuẩn, được biểu thị bằng t và 2D là cường độ của kích

thích nhiễu trắng. Lưu ý rằng phương trình (3.62) chỉ hợp lệ khi 35o . Điều này,

đến lượt nó, đòi hỏi and D là nhỏ sao cho xác suất của các quỹ đạo chuyển động

rời khỏi vùng ổn định trong mặt phẳng pha là rất nhỏ. Để có được một số kết quả

phân tích đơn giản, ta xét trường hợp 0 và hệ dao động có dạng như sau:

2 2 ( )D t (3.63)

Lời giải chính xác của hệ (3.63) không tồn tại; tuy nhiên, hàm mật độ xác suất gần

đúng thu được bằng phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL) [29], [57], [77]

có dạng.

3

2 2 2 22/3 8

93 8

( , )2 9

23

DP eD

(3.64)

Phương pháp ENL đưa ra các lời giải với độ chính xác khá cao [77]. Do đó, các lời

giải do ENL đưa ra có thể được sử dụng để đánh giá độ chính xác của các lời giải

thu được bằng các phương pháp gần đúng khác. Xét hệ (3.63) với 1 . Ký hiệu

2 2,ENL ENL

E E tương ứng là các bình phương trung bình của chuyển vị và

vận tốc được xác định từ hàm mật độ xác suất (3.64). Ngoài ra, do 1 , chúng ta

có 2 2

ENL ENLE E . Do đó, kết quả thu được bằng phương pháp phi tuyến

tương đương (ENL) theo [29], [57] , [77] cho:

2/3

2 2 0.765ENL ENL

DE E

(3.65)

71

Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay bằng hệ tuyến tính

2 ( )ec D t (3.66)

trong đó ( )e ec c r là hệ số TTH được xác định từ tiêu chuẩn LOMSEC:

22 0e

e eE E c

c c

Từ đó

3

3

,2 3 21,,

1, 0 0

( ) ; ( ( ) , ( ) )r r

t rert r

r

Tc r E T t t dt T t t dt

T (3.67)

Đối với hệ tuyến tính (3.66) ta có

3

2

2 2

,2

1,

2

2 ( ) ( )e eL Lt r

r

D D DE E

Tc r c rE

T

(3.68)

Khi r , Nghiệm (3.68) dẫn đến nghiệm thu được theo tiêu chuẩn kinh điển

2/3

2 2 0.732C C

DE E

(3.69)

Hệ số tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ tính như sau:

3 ,2 1/2

1,0 0

2 1/2

1 1( ) ( ) { }

1.49705 { }

s st re e e

s sr

Tc c r Lim c r dr E Lim dr

s s T

E

(3.70)

Giới hạn trong (3.70) bằng 1.49705. Lời giải nhận theo GLOMSEC sẽ là:

2/3

2 2

2 1/20.76415

1.49705 { }eGL GL

D D DE E

c E

(3.71)

Ký hiệu ( ) ( ),C GLErr Err là các sai số tương đối của nghiệm tính theo tiêu chuẩn kinh

điển và tiêu chuẩn GLOMSEC so với nghiệm tính theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa

tương đương ta có:

72

2 2

( ) 2

0.732 0.765*100% *100% 4.314%

0.765C ENL

C

ENL

E EErr

E

2 2

( ) 2

0.764 0.765*100% *100% 0.130%

0.765GL ENL

GL

ENL

E EErr

E

(3.72)

Kết quả trong (3.72) cho thấy rằng lời giải của GLOMSEC phù hợp với lời giải của

ENL và sự khác biệt là không đáng kể giữa các lời giải này. Như vậy GLOMSEC

mang lại một sự cải thiện đáng kể về tính chính xác của lời giải so với tiêu chuẩn

kinh điển.

Kết luận Chương 3

Trong chương 3 đã ứng dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương

– tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao

động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do điển hình. Việc đánh giá sai số của

nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác

(nếu có), hoặc nghiệm của các tác giả quốc tế và cũng so sánh với nghiệm thu được

theo tiêu chuẩn kinh điển. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ

thuật được đề xuất trong tiêu chuẩn GLOMSEC cũng như tính hợp lý của miền tích

phân xác suất hữu hạn. Cụ thể là Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương – tổng thể (GLOMSEC) cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô

men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do có tính

phi tuyến trung bình và lớn. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình kinh điển cho

nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao

động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do có tính phi tuyến nhỏ.

Các kết quả trong chương 3 được trình bày trong các bài báo [1,3,5] trong Danh

sách các công trình đã công bố của luận án.

73


CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO

Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung

bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ

nhiều bậc tự do. Việc đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn

này được so sánh với nghiệm chính xác (nếu có), hoặc nghiệm mô phỏng và nghiệm

theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số hệ dao động

ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. Việc tính toán hệ nhiều bậc tự do theo

phương pháp TTH tương đương nhìn chung khá dài dòng và phức tạp. Do vậy trong

luận án giới xem xét một hệ hai bậc tự do phi tuyến cả về lực cản và lực đàn hồi.

Ngoài ra, trong luận án trình bày phần mở rộng của GLOMSEC cho trường hợp đầu

vào là kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp, được mô tả bởi kích động ngẫu nhiên

ồn trắng qua một bộ lọc. Như vậy, việc xét dao động ngẫu nhiên của hệ phi tuyến

một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp, về mặt toán học, khá

giống với việc xét dao động ngẫu nhiên của hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích

động ngẫu nhiên ồn trắng.

4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do

Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do được mô tả bởi hệ phương trình sau [77]

32 21 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1

32 22 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

( )

( )

x x x x ax b x x w t

x x x x ax b x x w t

(4.1)

trong đó , , , ,i i ia b (i=1, 2) là các hằng số. 1 2( ), ( )w t w t là các quá rình ngẫu

nhiên ồn trắng có trung bình bằng không và ( ) ( ) 2 ( )i i iE w t w t S (i=1, 2),

( ) là hàm Delta Dirac, 1 2,S S là các giá trị hằng số. Hệ phương trình (4.1) có thể

được viết lại như sau:

32 31 1 1 1 1 2 1 11 1 2 1

32 32 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2

( )

( )

x x x ax x b x x w t

x x ax x x b x x w t

(4.2)

Biểu diễn hệ (4.2) ở dạng ma trận:

74

3321 1 1 21 1 1 1 11

2 332 1 2 2 2 22 2 22 2 1

0 ( )1 0

0 ( )0 1

x b x xx x x w ta

x x x w ta x b x x

(4.3)

Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là

21 1 1 11 11 12 1 11 12

22 2 2 221 1 2 22 21 2 22

( )1 0

( )0 1

e e e e

e e e e

x x x w tc c k a k

x x x w tc c a k k

(4.4)

trong đó , ; ( , 1,2)e eij ijc k i j

là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số giữa hệ phi tuyến

gốc và hệ tuyến tính hóa tương đương sẽ là

( , ) e eC X-K Xx x (4.5)

trong đó ký hiệu:

331 1 1 21

332 2 22 2 1

( , )x b x x

x xx b x x

111 12 11 12

221 22 21 22

; ; ;e eC X Ke e e e

e e e e

xc c k k

xc c k k

1

2

;Xx

x

(4.6)

Viết chi tiết phương trình (4.5) sẽ có:

331 1 1 2 11 1 12 2 11 1 12 21

332 2 22 2 1 21 1 22 2 21 1 22 2

e e e e

e e e e

x b x x c x c x k x k x

x b x x c x c x k x k x

(4.7)

Để xác định ( ), ( ); ( , 1,2)e eij ijc r k r i j

ta cho các đạo hàm riêng bằng không như sau:

4 3 2 2 321 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 11 2

11 1

11 12 1 2 11 1 1 12 2 1

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x

c c E x x k E x x k E x x

3 3 2 2 321 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 2

12 2

12 11 1 2 11 1 2 12 2 2

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x


3 3 2 2 322 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 12 2

21 1

21 22 1 2 21 1 1 22 2 1

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x


4 3 2 2 322 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2

22 2

22 21 1 2 21 1 2 22 2 2

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x b E x x E x x x E x x x E x xEc E x


75

3 4 2 2 3 321 1 1 1 1 2 1 2 1 21 2

11 1

11 11 1 1 12 1 2 12 1 2

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x x b E x E x x E x x E x xEk E x

k c E x x c E x x k E x x

3 3 3 2 2 421 1 2 1 2 1 2 1 2 21 2

12 2

12 11 1 2 12 2 2 11 1 2

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x x b E x x E x x E x x E xEk E x


3 3 3 2 2 422 1 2 2 1 1 2 1 2 12 2

21 1

21 21 1 1 22 1 2 22 1 2

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x x b E x x E x x E x x E xEk E x


3 4 2 2 3 322 2 2 2 1 2 1 2 1 22 2

22 2

22 21 1 2 22 2 2 21 1 2

( 3 3 )2 2 0e

e e e e

E x x b E x E x x E x x E x xEk E x


(4.8)

Để đơn giản hóa việc tính toán, ta giả thiết 1 2,x x là độc lập với nhau. Như đã biết

nếu ( )x t là một quá trình ngẫu nhiên chuẩn với trung bình bằng không thì ( )x t cũng

là một quá trình như vậy. Bên cạnh đó, các quá trình này là trực giao với nhau. Sử

dụng phụ lục và lưu ý 2 1 2 1 0 ( )n mi jE x x i j . Từ (4.8) sẽ cho kết quả sau

4 41 22, 2,2 2

11 1 1 1 12 21 22 2 2 22 21, 1,1 2

( ) , ( ) ( ) 0, ( ) ,r re e e e

r r

E x E xT Tc r E x c r c r c r E x

T TE x E x

4 2 21 1 2 2, 1,2 2

11 1 221, 0,1

3( ) 3r re

r r

E x E x E x T Tk r b b E x E x

T TE x

4 2 22 1 2 2, 1,2 2

12 2 121, 0,2

3( ) 3r re

r r


T TE x

4 2 21 1 2 2, 1,2 2

21 1 221, 0,1

3( ) 3r re

r r


T TE x

4 2 22 1 2 2, 1,2 2

22 2 121, 0,2

3( ) 3r re

r r


T TE x

(4.9)

Trong (4.9), cho r , sử dụng các kết quả

2

4 2

2, 1, 20 0

21, 0,

0 0

( ) ( )1

3, 1, ( )2

( ) ( )

t

t t dt t t dtT T

t eT T

t t dt t dt

76

Ta thấy rằng các hệ số tuyến tính hóa sẽ trở thành các hệ số tuyến tính hóa thu được

theo tiêu chuẩn kinh điển:

2 211 1 1 12 21 22 2 23 , 0, 3 ,e e e ec E x c c c E x

2 211 22 1 23e ek k b E x E x ,

2 212 21 1 23 3e ek k b E x bE x

(4.10)

Áp dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

(GLOMSEC) ta xác định:

2,211 11 1 1

1,0

1( )

sre e

sr

Tc c r E x Lim dr

s T

,

2,222 22 2 2

1,0

1( )

sre e

sr

Tc c r E x Lim dr

s T

12 21 0e ec c

2, 1,2 211 11 1 2

1, 0,0 0

1 1( ) 3 .

s sr re e

s sr r

T Tk k r b E x Lim dr E x Lim dr

s T s T

2, 1,2 212 12 2 1

1, 0,0 0

1 1( ) 3 .

s sr re e

s sr r


s T s T

2, 1,2 221 21 1 2

1, 0,0 0

1 1( ) 3 .

s sr re e

s sr r


s T s T

2, 1,2 222 22 2 1

1, 0,0 0

1 1( ) 3 .

s sr re e

s sr r


s T s T

(4.11)

Các giới hạn trong (4.11) sẽ bằng

2,

1,0

1lim 2.41189

sr

sr

Tdr

s T

,

1,

00

1lim 0.83706

sr

sr

Tdr

s T

(4.12)

77

Để đơn giản tính toán ta xét trường hợp 1 2 0S S S , khi đó ma trận mật độ phổ

( )wS của véc tơ w(t) được xác định bởi

0

0

0( )

0

S

S

wS

(4.13)

Ma trận hàm đáp ứng tần số của hệ tuyến tính (4.4) sẽ là

-1

( ) - ( ) ( )i 2 e eα = M + C+C + K+K (4.14)

trong đó

21 1 11 12 11 12

21 2 2 21 22 21 22

01 0, ,

0 1 0

e e e e

e e e e

a c c k k

a c c k k

e e

M C , K , C K

Sau một số phép rút gọn ma trận, ta có:

12 21 11 1 11 12 12

2 221 21 1 2 22 2 22

( )( )

( )

e e e e

e e e e

i c k i c a k

i c a k i c k

α

(4.15)

Để có một hệ phương trình khép kín xác định các ẩn số, tất cả các momen

2 ,iE x 2 ,iE x (i=1,2) (i = 1,2) phải được xác định. Để phân tích hệ tuyến tính

(4.4) ta có thể sử dụng lý thuyết hàm mật độ phổ và áp dụng công thức (2.76) của

chương 2 (với Q=W):

( ) (- ) ( ) ( )T q QS =α S α

trong đó, α(ω) là ma trận đáp ứng tần số (4.15), ( ) wS tính theo (4.13) và sau khi

một số phép toán rút gọn ma trận ta thu được:

11 11 12 12 11 21 12 22

0

11 21 12 22 21 21 22 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TE xx S d

2 2 2 22 21 0 11 12 2 0 21 22( ) ( ) ; ( ) ( )E x S d E x S d

11 11 12 12 11 21 12 2220

11 21 12 22 21 21 22 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TE xx S d

78

2 2 2 22 2 2 21 0 11 12 2 0 21 22( ) ( ) ; ( ) ( )E x S d E x S d

(4.16)

Trong công thức trên các đại lượng αi,j (i=1,2;j=1,2) là các phần tử của ma trận đáp

ứng tần số (4.15). Hệ phương trình (4.16) được giải cùng với (4.10) hoặc (4.11) để

xác định các mô men đáp ứng, tương ứng theo Tiêu chuẩn kinh điển hoặc theo Tiêu

chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC). Để giải

các phương trình trên, cần sử dụng các phương pháp tính toán gần đúng, ví dụ, một

phương pháp lặp được áp dụng như sau:

(i) Gán giá trị ban đầu cho các mô men đáp ứng (4.16);

(ii) Sử dụng (4.10) hoặc (4..11) để xác định các hệ số tuyến tính hóa bằng

Tiêu chuẩn kinh điển hoặc bằng GLOMSEC;

(iii) Sử dụng (4.16) và (4.15) để xác định các giá trị mới của mô men đáp

ứng;

(iv) Lặp lại các bước (ii) và (iii) cho đến khi kết quả từ chu trình đến chu

kỳ có sự chênh lệch nhỏ hơn 10-4.

Với mục đích đánh giá độ chính xác của lời giải gần đúng trong khi hệ phi tuyến

ban đầu (4.3) không có lời giải chính xác, người ta có thể sử dụng hàm mật độ xác

suất gần đúng được đưa ra bởi phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL), đã

được báo cáo trong [77] như sau:

2

2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

1 9 1 1 1 1 1( , , , ) exp ( )

32 2 2 2 2 2i

p x x x x C x x U x x US

(4.17)

trong đó, 1 2( , )U x x là thế năng của hệ

42 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1( , )

2 2 4

bU x x x x ax x x x (4.18)

và C là hệ số chuẩn hóa

2

2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2

11 9 1 1 1 1 1

( ) 232 2 2 2 2 2

1

(4) i

x x U x x US

i ii

C e dx dx

(4.19)

79

Các mô men đáp ứng bậc hai 2i ENL

E x nhận được theo phương pháp ENL sẽ là:

22 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 21 9 1 1 1 1 1

( ) 232 2 2 2 2 22 2

1

(4) i

x x U x x US

i i i iENLi

E x C x e dx dx

(4.20)

Ta sẽ xét hai trường hợp các tham số đã cho. Bảng 4.1 và bảng 4.2. trình bày các

mô men đáp ứng bậc hai gần đúng cũng như các sai số tương đối của chúng so với

các lời giải theo phương pháp phi tuyến hóa tương đương. Ta sử dụng các công thức

tính sai số tương đối trong (3.24) của Chương 3. Chương trình Matlab tính mô men

bậc 2 của hệ 2 bậc tự do bằng phương pháp lặp được trình bày trong Phụ lục 2.2.

Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo 1 2 với

1 2 1 2 0 1a b S .

1 2,

2

1 ENLE x

21 C

E x

( )

%

CErr

21 GL

E x

( )

%

GLErr

22 ENL

E x

22 C

E x

( )

%

CErr

22 GL

E x

( )

%

GLErr

0.1 1.573 1.216 22.68 1.407 10.54 1.573 1.151 26.83 1.327 15.64

1 0.496 0.422 15.07 0.488 1.59 0.496 0.370 25.51 0.419 15.50

5 0.253 0.220 13.19 0.254 0.268 0.253 0.205 19.19 0.234 7.573

10 0.194 0.171 12.07 0.197 1.533 0.194 0.162 16.48 0.186 4.178

Bảng 4.2. Các mô men bậc hai của đáp ứng của 1 2,x x theo b với

1 2 1 2 1 2 0 1a S

b 2

1 ENLE x

21 C

E x

( )

%

CErr

21 GL

E x

( )

%

GLErr

22 ENL

E x

22 C

E x

( )

%

CErr

22 GL

E x

( )

%

GLErr

1 0.496 0.422 15.07 0.488 1.586 0.496 0.370 25.51 0.419 15.51

10 0.365 0.296 18.98 0.335 8.309 0.365 0.290 20.42 0.328 10.20

50 0.331 0.281 15.09 0.316 4.329 0.331 0.281 15.20 0.316 4.472

100 0.323 0.279 13.64 0.315 2.743 0.323 0.279 13.67 0.314 2.783

80

Từ các sai số tương đối của các lời giải gần đúng đối với các lời giải của ENL, có

thể thấy rằng GLOMSEC mang lại sự cải thiện đáng kể về độ chính xác của lời giải

so với tiêu chuẩn kinh điển, đặc biệt khi tính phi tuyến vừa và mạnh.

4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu

Kích động ngẫu nhiên ồn trắng đã được sử dụng rộng rãi cho đến nay là khái

niệm toán học được lý tưởng hóa nhiều hơn là một đại diện đầy đủ của nhiều quá

trình kích động ngẫu nhiên trong thực tế. Kích động ngẫu nhiên ồn trắng được thừa

nhận vì giúp cung cấp một cái nhìn sâu sắc đồng thời cho kết quả bổ ích trong quá

tŕnh thiết kế và phân tích một hệ cụ thể. Tuy nhiên trong thực tế, các kích động nên

được mô tả một cách tốt hơn thông qua các quá trình ngẫu nhiên dải hẹp. Các ứng

dụng của phương pháp TTH tương đương với tiêu chuẩn kinh điển cho các hệ dao

động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên dải hẹp được báo cáo trong [71-77].

Trong chương này sẽ trình bày phần mở rộng của GLOMSEC cho trường hợp đầu

vào là kích động ngẫu nhiên dải hẹp. Việc đưa hệ một bậc tự do chịu kích động

ngẫu nhiên ồn màu vào Chương 4 là vì quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả

như là một quá trình ồn trắng đi qua bộ lọc vi phân bậc hai. Phương trình dao động

được giải cùng với phương trình của bộ lọc do vậy đây có thể xem như là hệ nhiều

bậc tự do. Hai ví dụ minh họa bao gồm hệ Duffing và hệ Duffing có cản phi tuyến

được phân tích. Các ứng dụng cho thấy độ chính xác của đáp ứng theo tiêu chuẩn

GLOMSEC được cải thiện đáng kể so với tiêu chuẩn kinh điển.

4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn

màu

Ta xét một hệ dao động phi tuyến dưới sự kích động ồn màu dải hẹp được như sau:

,z g z z f (4.21)

trong đó ( , )g z z là hàm phi tuyến của ,z z ; f là một kích động ồn màu dải hẹp có

thể thu được bằng cách qua một bộ lọc tuyến tính bậc hai với tần số trung tâm sao

cho phương trình chuyển động cho bộ lọc là

2 2f ff f f w . (4.22)

trong đó wlà ồn trắng có mật độ phổ S . Do đó, hàm mật độ phổ của f là:

81

2 4

f fS H S . (4.23)

trong đó HHH2

với H là đáp ứng tần số phức của bộ lọc:

12 2

fH i

(4.24)

Suy ra,

22222

4

f

ff

SS

(4.25)

và

2

2 f

f f

SS d

(4.26)

Theo phương pháp TTH tương đương, phương trình (4.21) được thay bởi phương

trình tuyến tính tương đương sau:

fkxxcx (4.27)

Các hệ số tuyến tính ck , sẽ được xác định bằng cách lấy giá trị cực tiểu sai số giữa

phương trình phi tuyến ban đầu (4.21) và phương trình tuyến tính tương đương

(4.27) theo một tiêu chuẩn nào đó. Ký hiệu L là hàm đáp ứng tần số của phương

trình tuyến tính tương đương (4.27):

12L k i c

(4.28)

Hàm mật độ phổ của )(tx có dạng

2

22 2 2

f

x f

SS L S

k c

(4.29)

Phương sai của ( )x t và ( )x t sẽ bằng

2 2 2,x x x xS d S d

(4.30)

Kết hợp (4.25), (4.26), (4.29), (4.30) thu được [77]

82

2 2 22

2

22 2

4

2

22 2

,

.

ff

x

f f

f

x

f f

ck c cS

ck k c c k

S c

c k c c k

(4.31)

2 2,x x được coi là các lời giải gần đúng đối với phương trình phi tuyến ban đầu

(4.21). Như đã trình bày, trong (4.31), các hệ số tuyến tính phải được xác định bằng

cách lấy cực tiểu sai số giữa phương trình phi tuyến tính ban đầu (4.21) và phương

trình tuyến tính tương đương (4.27) theo một tiêu chuẩn nào đó. Sai số giữa phương

trình (4.21) và phương trình (4.27) là:

xckxxxgxxe ,, . (4.32)

Tiêu chuẩn kinh điển yêu cầu:

ck

xxe,

2 min, ,

Hay

ck

xdxdxxPxxe,

2 min,,

(4.33)

trong đó ),( xxP là hàm mật độ xác suất chung (PDF) của các biến ngẫu nhiên và có

thể được tách thành hai hàm mật độ xác suất đơn độc lập )()(),( xPxPxxP với giả

thiết )(tx và )(tx độc lập với nhau. Các điều kiện cần thiết cho tiêu chuẩn (4.33) là:

.0,

,0, 22

c

xxe

k

xxe

(4.34)

Lưu ý 0xx , ta có

2 2

( , ) ( , ), .

g x x x g x x xk c

x x

(4.35)

Hệ phương trình (4.30) và (4.35) lập thành một hệ khép kín để xác định ck , , )(tx

và )(tx .

83

Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân (4.33) cần tập trung hơn để cho nghiệm

chính xác hơn, ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương

(LOMSEC), Anh và Di Paola [15]:

ck

x

x

x

x

xdxdxxPxxe,

2 min,,0

0

0

0

(4.36)

Hay đưa vào biến không thứ nguyên xx rxrx 00 , với r là một số dương nào

đó, x và x là độ lệch chuẩn của xvà x . Như vậy tiêu chuẩn (4.36) dẫn đến

ck

r

r

r

r

xdxdxxPxxexxex

x

x

x

,

22 min,,,

(4.37)

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương

xdxdxxPx

x

x

x

r

r

r

r

,..

(4.38)

Ta có

2 2

( , ) ( , )( ) , ( ) .

g x x x g x x xk r c r

x x

(4.39)

Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị chọn các hệ số TTH k,c có thể chọn

bằng giá trị trung bình tổng thể như sau:

0 0

1 1( ) ( ) , ( ) ( ) .

s s

s sk k r Lim k r dr c c r Lim c r dr

s s

(4.40)

trong đó <.> là ký hiệu giá trị trung bình thông thường của hàm số. Ta thu được từ


địa phương – tổng thể (GLOMSEC).

Ta xét một số ví dụ áp dụng sau.

4.2.2. Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu

Ta xét hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như sau

fzzzz )( 32 (4.41)

84

với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác định bởi phương trình (4.22). Phương

trình phi tuyến ban đầu (4.41) có thể được thay thế bằng phương trình tuyến tính

tương đương như được mô tả bởi (4.27). Quy trình chính là xác định các hệ số tuyến

tính ck , . Áp dụng (4.39) và kết quả từ phụ lục ta thu được

.00

)(),()(

,122

2210

)(),()(

2

3222

2

32

2

,1

,222

,02

,1

,0

22,22

2

4222

2

32

2

x

xxxxx

x

xxxx

x

xxxgrc

T

Tx

TxT

TxT

x

xxxx

x

xxxx

x

xxxgrk

r

r

rr

rr

(4.42)

Áp dụng (4.40) và lưu ý rằng 22xx , ta có

.1

)(1

)(0 ,1

,2222

0

s

r

r

sx

s

sdr

T

T

sLimdrrk

sLimrkk (4.43)

Giá trị giới hạn trong (4.43) có thể thu được gần đúng như sau:

2,

1,0

12.41189

sr

sr

TLim dr

s T

(4.44)

Cuối cùng ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC:

2 2 22.41189 , .xk c (4.45)

Cho r , ta thu được hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:

2 2 23 , .xk c (4.46)

Với mục đích đánh giá sai số của các lời giải thu được từ GLOMSEC và từ tiêu

chuẩn kinh điển (trong khi lời giải chính xác của hệ gốc là không được biết), ta sẽ

so sánh với lời giải khá chính xác thu được bằng phương pháp cân bằng năng lượng

[11]. Theo phương pháp này, ta xây dựng hàm thế năng:

0

( )U g d

(4.47)

85

trong đó g là hàm độ cứng đàn hồi. Áp dụng (4.47) để tính các hàm thế năng của

hệ phi tuyến (4.41) và hệ tuyến tính tương đương (4.27), phương pháp cân bằng

năng lượng yêu cầu:

2

2 3

0 0

minx x

kx x dx kxdx

(4.48)

Từ đó ta có

2

2 4 22 0

2 4 2

x x xk k

(4.49)

Suy ra

2 2 22.5 , .xk c (4.50)

Kết hợp các phương trình (4.45), (4.46), (4.50) với phương trình (4.31) dẫn đến các

cặp phương trình khép kín cho phép thu được một cách tương ứng các lời giải bằng

phương pháp GLOMSEC ( 2,x GL ), phương pháp kinh điển ( 2

,Cx ), phương pháp cân

bằng năng lượng ( 2,Ex ).Các tính toán được thực hiện với số liệu 2 2, , , , 1fS

và tham số phi tuyến thay đổi. Ta sử dụng các công thức tính sai số tương đối

(3.24) của Chương 3 để tính sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2,x GL , 2

,Cx so

với 2,Ex và trình bày trong bảng 4.3. Kết quả cho thấy nghiệm 2

,x GL có độ chính

xác tốt hơn nhiều so với nghiệm 2,Cx , cụ thể đối với sai số lớn nhất tương ứng là

2.392% so với 11.398%.

Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với 2 2f, , S, , 1 và thay đổi

2,Ex 2

,Cx %CErr 2,x GL %GLErr

0.1

1

10

100

1.86038

0.66376

0.16687

0.03720

1.75024

0.60015

0.14855

0.03296

5.920

9.583

10.979

11.398

1.88195

0.67688

0.17072

0.03809

1.159

1.977

2.307

2.392

86

4.2.3. Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn

màu

Ta xét hệ Duffing có cản phi tuyến bậc ba chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như

sau

fzzzz 33 (4.51)

trong đó ,, là các tham số dương, với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác

định bởi phương trình (4.22). Phương trình phi tuyến ban đầu (4.51) được thay thế

bằng phương trình tuyến tính tương đương được mô tả bởi (4.27). Để xác định các

hệ số tuyến tính hóa ,k c ta áp dụng (4.39) và với kết quả từ phụ lục ta thu được:

3 3 3 4

2 2

222 , 0 , 2 ,2

21,1, 0 ,

3 3 2 4 3

2 2

222, 0 ,

21, 0 ,

( )

2 20 0 ,

2 2

( )

2 2

2 2

r r r

rr r

r r

r r

x x x x xx x x xk r

x x

T x T Tx

TT x T

x x x x x x x xc r

x x

T x T

T x T

2,2

1,

0 r

r

Tx

T

(4.52)

Lưu ý rằng 2 2 2 2; ;x xx x ta thu được:

2,2

1,0 0

2,2

1,0 0

1 1( ) ( ) ,

1 1( ) ( ) .

s sr

xs s

r

s sr

xs s

r

Tk k r Lim k r dr Lim dr

s s T

Tc c r Lim c r dr Lim dr

s s T

(4.53)

Sau khi lấy giới hạn ta có:

2 22.41189 , 2.41189x xk c (4.54)

Cho r , ta thu được hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:

2 23 , 3x xk c (4.55)

87

Kết hợp các phương trình (4.54), (4.55) với phương trình (4.31) dẫn đến các cặp

phương trình khép kín cho phép thu được, một cách tương ứng, các lời giải bằng

tiêu chuẩn GLOMSEC ( 2,x GL ), và bằng tiêu chuẩn kinh điển ( 2

,Cx ).

Để đánh giá sai số của các lời giải thu được từ tiêu chuẩn GLOMSEC và từ tiêu

chuẩn kinh điển, trong khi nghiệm chính xác của hệ phi tuyến gốc không tồn tại,

chúng ta sẽ so sánh với lời giải thu được bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo

( 2,x MC ). Để thực hiện mô phỏng Monte Carlo, ta sử dụng công cụ Simulink của

phần mềm Matlab. Trong đó số lần mô phỏng là N=10000 lần, thời gian mỗi lần mô

phỏng ta lấy t=300 (s), bước thời gian ta lấy là t =0.1 (s). Chương trình Matlab

tính toán mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ồn

màu dải hẹp được trình bày trong Phụ lục 2.3.

Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2,x GL , 2

,Cx so với nghiệm chính xác 2,x MC

được trình bày trong Bảng 4.4 và 4.5 tương ứng với hai trường hợp:

,1,,,, 2 fS thay đổi và ,1,,,, 2 fS thay đổi. Ta sử dụng các công thức

tính sai số tương đối như công thức (3.24) của Chương 3.


2, , , , 1,fS hệ số đàn hồi phi tuyến thay đổi

2,x MC

2,Cx %CErr 2

,x GL %GLErr

0.1

1

10

100

2.62060

0.82554

0.22073

0.05138

2.14097

0.65974

0.16413

0.03502

18.302

20.084

25.642

30.841

2.46218

0.76111

0.19043

0.04067

6.045

7.805

13.727

20.845

88


2, , , , 1fS hệ số cản phi tuyến thay đổi

2,x MC

2,Cx %CErr 2

,x GL %GLErr

0.1

1

10

100

0.96597

0.82554

0.59389

0.40454

0.77228

0.65974

0.47760

0.32617

20.051

20.084

19.581

19.373

0.89053

0.76111

0.55128

0.37683

7.810

7.805

7.175

6.850

Kết quả cho thấy nghiệm thu được bằng GLOMSEC ( 2,x GL ) có độ chính xác tốt hơn

so với nghiệm 2,Cx thu được bằng phương pháp kinh điển.

Như vậy, các ví dụ áp

dụng cho thấy đối với kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp, độ chính xác của

nghiệm theo tiêu chuẩn GLOMSEC cũng được cải thiện đáng kể so với nghiệm theo

tiêu chuẩn kinh điển khi hệ có tính phi tuyến trung bình và lớn.

Kết luận của Chương 4

Trong chương 4 đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương

– tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao

động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều bậc tự do và hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên

một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Việc đánh giá sai số của

nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác

(nếu có), hoặc nghiệm của phương pháp cân bằng năng lượng, hoặc sử dụng nghiệm

mô phỏng Monte Carlo, và cũng so sánh với nghiệm thu được theo tiêu chuẩn kinh

điển. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ thuật được đề xuất

trong tiêu chuẩn GLOMSEC cũng như tính hợp lý của miền tích phân xác suất hữu

hạn. Cụ thể là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

(GLOMSEC) cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men đáp ứng bậc

hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi tuyến trung bình và lớn. Tiêu

chuẩn sai số bình phương trung bình kinh điển cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi

89

phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi

tuyến nhỏ.

Các kết quả trong chương 4 được trình bày trong các bài báo [1,2,4,6] trong Danh

sách các công trình đã công bố của luận án.

90

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa

tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính

đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do. Phương pháp tuyến

tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9, 10] để phân tích

các hệ dao động ngẫu nhiên. Đây là một phương pháp hữu hiệu đối với các hệ phi

tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ

chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát triển những tiêu

chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số. Luận án tập trung nghiên

cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng trong phân tích

dao động ngẫu nhiên phi tuyến.

Các kết quả mới của luận án bao gồm:

- Đã xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

(Global-Local Mean Square Error Criterion – GLOMSEC) của phương pháp tuyến

tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích

động ngẫu nhiên ồn trắng. (được công bố trong [6,5], Danh sách các công bố của

luận án)

- Đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

(GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi

tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng. Việc đánh giá sai

số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính

xác (nếu có), hoặc nghiệm của phương pháp cân bằng năng lượng, hoặc nghiệm mô

phỏng Monte Carlo và cũng so sánh với nghiệm thu được theo tiêu chuẩn kinh điển.

(được công bố trong [6,3,1], Danh sách các công bố của luận án)

- Đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

(GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do chịu kích động

ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Kết quả ứng dụng tiêu chuẩn sai số này khi phân tích

mô men đáp ứng bậc hai của hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động

91

ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp cũng cho nhận xét tương tự như trường hợp hệ chịu kích

động ồn trắng. (được công bố trong [4,2], Danh sách các công bố của luận án)

- Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của tiêu chuẩn GLOMSEC là đã

khắc phục được nhược điểm của tiêu chuẩn LOMSEC. Ngoài ra, các đóng góp quan

trọng của GLOMSEC trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến đó là:

+ Tiêu chuẩn GLOMSEC đã xây dựng được thuật toán để xác định miền tích phân

hữu hạn trung bình cho hệ phi tuyến bất kỳ dựa trên quan điểm đối ngẫu trong khi

tiêu chuẩn LOMSEC phải gán một giá trị tùy ý nào đó. Nếu như trước đây, tiêu

chuẩn LOMSEC đề nghị miền tích phân hữu hạn là 1 1 1(2 , 2.7 )y yy thì giờ đây,

áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC, hệ dao động Duffing có miền tích phân hữu hạn

trung bình là 1 12.52 yy ; hệ dao động Van Der Pol có miền tích phân hữu hạn

trung bình là 1 12.20 yy ; và hệ dao động của tàu thủy có miền tích phân hữu hạn

trung bình là 1 12.70 yy .

+ Tiêu chuẩn GLOMSEC cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men

đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi tuyến trung bình

và lớn.

+ Đã có nhiều phương pháp TTH tương đương cải tiến được công bố, nhưng không

phải phương pháp nào cũng phát triển được cho hệ nhiều bậc tự do, nhưng

GLOMSEC thì lại có thể thỏa mãn được vấn đề này.

Hướng nghiên cứu tiếp theo

Các kết quả nghiên cứu của luận án có thể được phát triển cho các hệ dao động ngẫu

nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ồn màu, hệ dao động chịu đồng thời

kích động ngẫu nhiên và kích động tham số, hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên

không dừng, hệ cơ điện tử.

92

DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

[1]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: Performance analysis of global-local

mean square error criterion of stochastic linearization for nonlinear oscillators,

Vietnam Journal of Mechanics, Vol. 41, No. 1, pp.1-15 (2019), DOI:

https://doi.org/10.15625/0866-7136/12015.

[2]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: A new stochastic linearization technique

for nonlinear oscillators under colored noise excitation, 10th National Conference on

Mechanics, Vol. 1, pp.211-220, Hanoi (2017).

[3]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: Analysis of randomly excited nonlinear

oscillators by the global-local mean square error criterion, 4th International

Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), pp.197-204,

Hanoi (2016).

[4]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: Extension of Global-local mean square

error criterion to nonlinear oscillators under narrow band excitation, J. of

Multidisciplinary Engineering Science Technology, 3, Iss. 11, pp.6000-6005, (2016)

(Tạp chí quốc tế).

[5]. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang: A new improvement of Gaussian

equivalent linearization for stochastic nonlinear oscillators, 2nd National Conference

on Mechanical Engineering and Automation, pp.274-280, Hanoi (2016).

[6]. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, N.C. Thang: Global-local mean square error

criterion for equivalent linearization of nonlinear systems under random excitation,

Acta Mechanica, 226, N9, pp.3011-3029 (2015), DOI: 10.1007/s00707-015-1332-4

(Tạp chí SCI).

93

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

[1]. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu Lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo

dục, 2005

[2]. Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007

[3]. Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009

[4]. Nguyễn Ngọc Linh, Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương

pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2016.

[5]. Nguyễn Như Hiếu, Tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa

tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên, Luận án

tiến sĩ, Hà Nội, 2018.

[6]. Nguyễn Minh Triết, Phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp

cận đối ngẫu, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2017.

[7]. Lưu Xuân Hùng, Nghiên cứu ảnh hưởng của kích động ngẫu nhiên lên hệ cơ

học bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2002.

[8]. Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, (Applied Nonlinear

Oscillations), Nhà xuất bản Bách Khoa Hà Nội, 2016.

Tài liệu tiếng Anh

[9] Caughey, T.K.: Response of a nonlinear string to random loading. J. Appl.

Mech.26, 341–344 (1959).

[10] Caughey, T.K.: Equivalent linearization technique, Jacoust Soc Am, 35, p.

1706-1711 (1963)

[11] Zhang, X., Elishakoff, I., Zhang, R.: A stochastic linearization technique based

on mean square deviation of potential energies. In: Lin, Y.K., Elishakoff, I. (eds.)

94

Stochastic Structural Dynamics. New Theoretical Development, vol. 1, pp. 327–

338. Springer, Berlin (1990)

[12] Casciati, F., Faravelli, L., Hasofer, A.M.: A new philosophy for stochastic

equivalent linearization. Probab. Eng. Mech.8,179–185 (1993)

[13] Anh, N.D., Schiehlen, W.: New criterion for Gaussian equivalent linearization.

Eur. J. Mech. A Solids16(6), 1025–1039 (1997)

[14] Proppe, C., Pradlwarter, H.J., Schueller, G.I.: Equivalent linearization and

Monte-Carlo simulation in stochastic dynamics. J.Probab. Eng. Mech.18(1), 1–15

(2003)

[15] Anh, N.D., Di Paola, M.: Some extensions of Gaussian equivalent

linearization. In: Proceedings of International Conference on Nonlinear Stochastic

Dynamics, Hanoi, Vietnam. Pp. 5–16 (1995)

[16] Elishakoff, I., Andrimasy, L., Dolley, M.:Application and extension of the

stochastic linearization by Anh and Di Paola. Acta Mech. 204, 89–98 (2009)

[17] Hung, L.X.: Approximate analysis of some two-degree-of-freedom non-linear

random systems by an extension of Gaussian equivalent linearization. Vietnam J.

Mech.23(N2), 95–109 (2001)

[18] Anh, N.D., Hung, L.X.: An improved criterion of Gaussian equivalent

linearization for analysis of nonlinear stochastic systems. J. Sound Vib.268, 177–

200 (2003)

[19] Anh, N.D., Hung, L.X.: A new improvement for stochastic linearization based

on concentrated response zone. J. Adv. Natural Sci. Vietnam Acad. Sci. Tech.9(1),

9–22 (2008)

[20] Anh, N.D.: Duality in the analysis of responses to nonlinear systems. Vietnam

J. Mech. VAST. 32(4), 263–266 (2010).

[21] Anh ND, Hieu NN and Linh NN.: A dual criterion of equivalent linearization

method for nonlinear systems subjected to random excitation. Acta Mechanica

(2012); 223(3): 645–654.

[22] Anh, N.D., Elishakoff, I.: A new view of the Bubnov–Galerkin method in the

linearization context. Vietnam J. Mech.34(N1), 1–6 (2012).

[23] Anh, N.D.: Dual approach to averaged values of functions. Vietnam J.

Mech.34(N3), 211–214 (2012).

95

[24] Anh, N.D., Hung, L.X., Viet, L.D.: Dual approach to local mean square error

criterion for stochastic equivalent linearization. Acta Mech. 224, 241–253 (2013).

Doi:10.1007/s00707-012-0751-8.

[25] Crandall, S. H.: Perturbation techniques for random vibration of nonlinear

systems, J. Acoust. Soc. Am., 35: 1700-1705 (1963)

[26] Crandall SH, Mark WD (1963) Random vibration in mechanical systems.

Academic Press, New York

[27] Newland DE (1984) An introduction to random vibrations and spectral

analysis, 2nd edn. Longman, London

[28] Yang CY (1986) Random vibration of structures. Wiley, New York

[29] Roberts JB, Spanos PD (1990) Random vibration and statistical linearization.

Wiley, Chichester

[30] Soong TT, Grigoriu M (1993) Random vibration of mechanical and structural

systems. PTR Prentice-Hall, Englewood Cliffs

[31] Preumont A (1994) Random vibration and spectral analysis. Kluwer Academic

Publishers, Dordrecht

[32] Paz M, Leigh W (2004) Structural dynamics: theory and computation, 5th edn.

Kluwer Academic Publishers, Boston

[33] Wijker J (2009) Random vibrations in spacecraft structures design. Theory and

Applications. Springer, Dordrecht

[34] Shinozuka M, Yang JN (1969) Random vibration of linear structures. Int J

Solids Struct 5:1005–1036

[35] Iyengar RN, Dash PK (1976) Random vibration analysis of stochastic time-

varying systems. J Sound Vib 45(1):69–89

[36] Robson JD (1980) The response relationships of random vibration analysis. J

Sound Vib 73(2):312–315

[37] Lin YK, Kozin F, Wen YK et al (1986) Methods of stochastic structural

dynamics. Struct Saf 3:167–194.

96

[38] Ziegler F (1987) Random vibrations: a spectral method for linear and nonlinear

structures. Probab Eng Mech 2(2):92–99

[39] Shihab S, Preumont A (1989) Non-stationary random vibrations of linear

multi-degree-offreedom systems. J Sound Vib 132(3):457–471

[40] Chen SH, Liu ZS, Zhang NF (1992) Random vibration analysis for large-scale

structures with random parameters. Comput Struct 43(4):681685

[41] Elishakoff I, Zhu L (1993) Random vibration of structures by the finite element

method. Comput Meth Appl Mech Eng 105:359–373

[42] Crandall, S.H.: A half-century of stochastic equivalent linearization. Struct.

Control Health Monit. 13, 27–40 (2006)

[43] Elishakoff, I., Crandall, S.H.: Sixty years of stochastic linearization technique.

Meccanica 52, 299–305 (2017). https://doi. Org/10.1007/s11012-016-0399-x

[44] Socha, L.: Linearization methods for stochastic dynamic system. Lecture Notes

in Physics. Springer, Berlin (2008)

[45] Canor, T., Blaise, N., Deno, V.: A fast Newton–Raphson method in stochastic

linearization. In: Cunha, A., Caetano, E., Ribeiro, P., Mller, G. (eds.) EURODYN

2014 Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics,

Porto, Portugal, 2839–2844 (2014)

[46] Ali, S.F., Adhikari, S., Friswell, M., Narayanan, S.: The analysis of

piezomagnetoelastic energy harvesters under broadband random excitations. J.

Appl. Phys. 109(7), 074904–074908 (2011)

[47] Jiang, W.A., Chen, L.Q.: An equivalent linearization technique for nonlinear

piezoelectric energy harvesters under Gaussian white noise. Commun. Nonlinear

Sci. Numer. Simul. 19(8), 2897–2904 (2014)

[48] Chen, F.X., Chen, Y.M., Liu, J.K.: Equivalent linearization method for the

flutter system of an airfoil with multiple nonlinearities. Commun. Nonlinear Sci.

Numer. Simul. 17(12), 4529–4535 (2012)

97

[49] Triet, N.M.: Extension of dual equivalent linearization technique to flutter

analysis of two dimensional nonlinear airfoils. Vietnam J. Mech. 37(3), 217–230

(2015)

[50] Anh, N.D., Nguyen, N.X., Hoa, L.T.: Design of three-element dynamic

vibration absorber for damped linear structures. J. Sound Vib. 332(19), 4482–4495

(2013)

[51] Jalali, H.: An alternative linearization approach applicable to hysteretic

systems. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 19(1), 245–257 (2014)

[52] Silva-Gonzlez, F.L., Ruiz, S.E., Rodriguez Castellanos, A.: Non-Gaussian

stochastic equivalent linearization method for inelastic nonlinear systems with

softening behaviour, under seismic ground motions.Math. Probl. Eng. 2014, 539738

(2014). https://doi.org/10.1155/2014/539738

[53] Su, C., Huang, H., Ma, H.: Fast equivalent linearization method for nonlinear

structures under nonstationary random excitations. J. Eng. Mech. 142(8), 04016049

(2016). https://doi.org/10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001094

[54] Anh, N.D., Hieu, N.N., Chung, P.N., Anh, N.T.: Thermal radiation analysis for

small satellites with single-node model using techniques of equivalent linearization.

Appl. Therm. Eng. 94(5), 607–614 (2016)

[55] Roberts J.B. A stochastic theory for nonlinear ship rolling in irregular seas.

Journal of Ship Research 26, 229-245 (1982)

[56] Roberts J.B. and Dacunha N.M.C. The roll motion of a ship in random beam

waves: Comparison between theory and experiment. Journal of Ship Research 29,

112-126 (1985)

[57] David C.P., James L.B., Costas P. A new stationary PDF approximation for

nonlinear oscillators. Int. J. Nonlinear Mech. 35, 657–673 (2000)

[58] Krylov N. M., Bogolyubov N. N.: Introduction to non-linear mechanics (in

Russian). Kiev: Publisher AN SSSR (1937).

[59] Atalic, T.S., Utku, S.: Stochastic linearization of multi-degree of freedom

nonlinear systems. Earthq. Eng. Struct. Dyn.4,411–420 (1976).

98

[60] Spanos, P.D.: Formulation of stochastic linearization for symmetric or

asymmetric MDOF nonlinear systems. J. App. Mech47(1), 209–211 (1980)

[61] Faravelli, L., Casciati, F., Singh, M.P.: Stochastic equivalent linearization

algorithms and their applicability to hysteretic systems. Meccanica 23, 107–112

(1988).

[62] Casciati, F., Faravelli, L.: Stochastic equivalent linearization for 3-D frames. J.

Eng. Mech.114, 1760–1771 (1988).

[63] Casciati, F., Faravelli, L., Venini, P.: Frequency analysis in stochastic

linearization. J. Eng. Mech.120, 2498–2518 (1994).

[64] Di Paola, M., Loppolo, M., Muscolino, G.: Stochastic seismic analysis of

multi-degree of freedom systems. Eng. Struct. Elsevier6(2), 113–118 (1984).

[65] Falsone, G.: Stochastic linearization of MDOF systems under parametric

excitations. Int. J. Nonlinear Mech.27(6), 1025–1037 (1992).

[66] Bellizzl, S., Bouc, R.: Analysis of multi-degree of freedom strongly nonlinear

mechanical systems with random input. Probab. Eng. Mech. Elsevier 14(3), 229–

244 (1999).

[67] Anh, N.D., Zakovorotny, V.L., Hieu, N.N., Diep, D.V.: A dual criterion of

stochastic linearization method for multi-degreeof-freedom systems subjected to

random excitation. Acta Mech.223, 2667–2684. Doi:10.1007/s00707-012-0738-5.

[68] Anh ND, Hieu NN and Linh NN.: A dual criterion of equivalent linearization

method for nonlinear systems subjected to random excitation. Acta Mechanica

(2012); 223(3): 645–654.

[69] Papoulis A. (1984), Probability, Random Variables and Stochastic Process,

McGraw-Hill, NewYork, 2nd Edition.

[70] Lin,Y.K., Cai,G.Q.: Probabilistic Structural Dynamics: Advanced Theory and

Applications. McGraw-Hill, NewYork (1995)

[71] Dimentberg, M.F.: Oscillations of a system with nonlinear cubic characteristic

under narrow ban random excitation, Mechaics of Solids 6(2), p.142-146 (1971)

99

[72] Richard, K. and Anand, G.V.: Nonlinear resonance in strings under narrow

band random excitation, Part I: Planar response and stability, Journal of Sound and

Vibration, 86, p. 85-98 (1983)

[73] Davies, H.G. and Nandlall, D.: Phase plane for narrow band random excitation

of a Duffing oscillator, Journal of Sound and Vibration, 104, p. 277-283 (1986)

[74] Iyengar, R.N.: Response of nonlinear systems to narrow band excitation,

Structural Safety, Vol. 6, Issues. 2-4, p. 177-185 (1989)

[75] Zhu, W.Q., Huang, C.D., Soong, T.T.: Narrow band excitation of hysteretic

systems, Sock and Vibration, Vol. 4, N. 4, p.241-250 (1997)

[76] Hai-Wu, R., Xiang-Dong, W., Guang, M., et al.: Response of nonlinear

oscillators under narrow band random excitation, Appl Math Mech, Vol. 24, Issue.

7, p. 817-825 (2003)

[77] Cho, W.S.To, Nonlinear random vibration, CRC Press (2012)

[78] Lutes, L.D., Sarkani, S.: Random vibration: Analysis of structural and

mechanical systems, Elsevier, Amsterdam (2004).

[79] Rubinstein, R. Y.: Simulation and Monte Carlo method, John Wiley and Sons,

Inc., New York (1981)

[80] Wojtkiewicz S.F., Johnson E.A., Bergman L. A., Spencer B.F.Jr.(1997),

“Finite element and finite difference solutions to the transient Fokker–Planck

equation”, DESY 161: 290–306

[81] Zhao L., Chen Q.(1997), “An equivalent nonlinearization method for

99nalyzing response of nonlinear systems to random excitations”, Applied

Mathematics and Mechanics, June , Volume 18, Issue 6, pp 551-561.

[82] Zhu W, Cai G.(2002), “Nonlinear stochastic dynamics: A survey of recent

developments”, Acta Mechanica Sinica (English Series), Vo1.18, No.6, December.

100

PHỤ LỤC

1. Các công thức tính mô men theo tiêu chuẩn LOMSEC

Đối với quá trình chuẩn vô hướng y có trung bình bằng không, tất cả các mô men

bậc cao ny 2 có thể được biểu diễn theo mô men bậc hai:

nn yny 22 12...5.3.1

Tương tự, tất cả các mô men bậc cao ny2

trong LOMSEC cũng có thể được thể

hiện dưới dạng các mô men bậc hai 2y theo công thức có thể dễ dàng chứng minh

sau khi thay thế biến yty

n

yn

y

y

n yTy y

y

2

,

20

0

0 2

, n=1,2,

trong đó

nny y 22 ;

0

0

0

2

,

y

n

yndttntT ; 2

2

2

1t

etn

Gán các giá trị cụ thể cho 0, yn , ta sẽ thu được 0,ynT

là một giá trị dương. Ngoài ra,

tất cả các mô men bậc lẻ đều bằng 0.

Giả sử rằng x và x là các quá trình chuẩn có trung bình bằng không, ký hiệu [.] là

giá trị trung bình địa phương của các biến ngẫu nhiên được lấy như sau

xdxdxxPx

x

x

x

0

0

0

0

,..

(a.1)

trong đó 00, xx là các giá trị dương đã cho; xxP , là hàm mật độ xác suất chung

của chúng, có thể được phân thành hai hàm mật độ xác suất đơn độc lập:

.2

1)(,

2

1)(),()(),(

2222 22 xx x

x

x

x

exPexPxPxPxxP

(a.2)

trong đó x và x là độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên x và x . Các tích phân

trong (a.1) có thể được chuyển qua các biến không thứ nguyên bằng cách

xx rxrx 00 , với r là một giá trị dương xác định:

101

xdxdxxPx

x

x

x

r

r

r

r

,.. (a.3)

Như đã biết, với một biến ngẫu nhiên chuẩn có trung bình zero, tất cả các mô men

bậc lẻ đều bằng không, tất cả các mô-men bậc chẵn có bậc cao hơn bậc hai có thể

được biểu diễn theo mô men bậc hai. Bằng cách thay thế các biến xtx , xtx và

sử dụng các công thức (a.2), (a.3), khi sử dụng LOMSEC có thể được biểu diễn

nn xx 22 , theo các mô men bậc hai 22 , xx .

Đối với biến x:

rt

rtnn

x

r

r

xt

x

r

r

xt

x

nx

n

r

r

r

r

nn

dtedtet

dtedtet

dxxPdxxPxx

xxxx

x

x

x

x

0

2

0

222

2222

22

22

222222

2

12

2

12

2

1

2

1

)()(

(a.4)

Ký hiệu nn

x x 22 và

.)(,2

1)(

0

2,

22

r

nrn

t dtttTet

(a.5)

Công thức (a.4) có thể viết ở dạng

2 2 2, 0,

2 2, 0, 0,

0

( ) ( ) 2 2 ,

( ) 2 , ( ) 2 , ( ) .

x x

x x

x x

x x

r rnn n

n r r

r r

r r rnn

n r r r

r r


x P x dx T x P x dx T T t dt

(a.6)

Tương tự với biến x :

2 2 2, 0,

2 2, 0, 0,

0

( ) ( ) 2 2 ,

( ) 2 , ( ) 2 , ( ) .

x x

x x

x x

x x

r rnn n

n r r

r r

r r rnn

n r r r

r r


x P x dx T x P x dx T T t dt

(a.7)

Cho r , các công thức (a.6) và (a.7) sẽ trở thành các công thức quen thuộc:

102

nn

nnnn xnxTxdxPdxxPxxx 22

,222 !!122)()(

(a.8)

trong đó:

.12

12)(,2

2

12)(

0

22,

0

2222 22

dtexdxPxTdtetdxxPx tn

ntnn

xn

nn

nnnn xnxTdxxPxdxPxxx 22

,222 !!122)()(

(a.9)

2

2

2 2 2 2 2,

0

2

0

1( ) 2 2 ,

2

1( ) 2 1.

2

nn n n tx n

t

x P x dx t e dt T x

P x dx e dt

2. Các chương trình MATLAB tính toán mô phỏng hệ dao động ngẫu

nhiên phi tuyến

2.1 Chương trình Matlab mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing có cản chịu

kích động ồn trắng

% CHUONG TRINH TINH KICH DONG ON TRANG CHO HE DUFFING + can

bac 3 = MP MONTE CARLO.

% XDOTDOT+beta*XDOT+ga*XDOT^3+omega^2*X+epxilon*X^3=W(T)

% Clear memory

clear all;

format long;

% Pho tan so S

S=1;

% Buoc chia

time=0.1;

% POWER=Cuong do on trang mu 2=2*PI*S

power=S*2*pi;

103

% c = BETA he so bo can tuyen tinh

c=0.1;

ga=1;

% ga = [0.1 1 10 100] he so do can phi tuyen

ep=100;

% epxilon = [0.1 1 10 100] he so do cung phi tuyen

om=0;

Numtri=10000;

z2=zeros(Numtri,1);

% MOPHONG MONTE CARLO

% So lan lap bang 10000 lan

for i=1:Numtri

% gieo mau ngau nhien trong (0,1)

noise=round(100000*rand(1));

%goi so do simulink co ten ontrang.mdl trong thu muc C:\MATLAB7\work

[T X Y1]=sim('ontrang', [0 300]);

%tinh gia tri vecto dap ung chuyen dich Y1

L=length(Y1);

y1=Y1(L);

%z1(i)=mean(y1);

%plot(T,Y1)

% Tinh gia tri binh phuong cua y1

y2=y1*y1;

z2(i)=y2;

% hien thi thoi gian tinh

104

if mod(i,100)<1

display('processing %')

display(num2str(i/10000*100))

end;

end;

%Tinh gia tri binh phuong trung binh

X2=mean(z2);

mean_square_X=round(X2*100000)/100000

2

Out2

1

Out1

Product1

Product

1

s

Integrator3

1

s

Integrator2

-ga

Gain6

-ep

Gain5

-c

Gain4

Band-Limited

White Noise

Add1

Hình 1. Sơ đồ Simulink Ontrang.mdl

2.2 Chương trình Matlab tính mô men bậc 2 của hệ 2 bậc tự do chịu kích động

ồn trắng bằng phương pháp lặp

function mdofontrang146

% chuong trinh dung de tinh he on trang 2 bac tu do trang 146 book of W.S.To

% bang P.P Caughey & GLOMSEC su dung phuong phap lap {x1^2} tich phan

trong mien tan so.

105

% x1'' - lamda1*x1' + alpha1*x1dot^3+omega1^2*x1 + a*x2 + b*(x1-x2)^3 =

w1(t)

% x2'' -(lamda1-lamda2)*x2' + alpha2*x2dot^3+omega2^2*x2 + a*x1 + b*(x2-

x1)^3 = w2(t)

% clear all

clear all;

format long;

S11=1;

S22=1;

Sw=[S11 0;0 S22];

alpha1=0.1;

alpha2=0.1;

omega1=1;

omega2=1;

b=1;

a=1;

lamda1=1;

lamda2=1;

K=[omega1^2 a;a omega2^2];

C=[-lamda1 0;0 -lamda1+lamda2];

M=[1 0;0 1];

GL=1; % GL = 1 tinh nghiem GLOMSEC; GL = 0 tinh nghiem Caughey

switch GL

case 1

T2rT1r=2.41189;

T1rT0r=0.83706;

106

case 0

T2rT1r=3;

T1rT0r=1;

end;

% Gia tri ban dau cua Ke, Ce

k11=zeros(100,1);

k12=zeros(100,1);

k21=zeros(100,1);

k22=zeros(100,1);

c11=zeros(100,1);

c12=zeros(100,1);

c21=zeros(100,1);

c22=zeros(100,1);

j=1;

k11(j)=rand(1)*1e-3;

k22(j)=rand(1)*1e-3;

k12(j)=-k22(j);

k21(j)=-k11(j);

c11(j)=rand(1)*1e-3;

c22(j)=rand(1)*1e-3;

c12(j)=0;

c21(j)=0;

j=j+1;

k11(j)=rand(1)*1e-3;

k22(j)=rand(1)*1e-3;

107

k12(j)=-k22(j);

k21(j)=-k11(j);

c11(j)=rand(1)*1e-3;

c22(j)=rand(1)*1e-3;

c12(j)=0;

c21(j)=0;

m=3000;

s=1;

dx=0.01;

N=m/dx;

N1=N+1;

omega=[-m/2:dx:m/2];

maxerror=1e3;

%Vong lap While tinh lap cac gia tri mean square y1 y2 y1dot y2dot

%dk dung vong lap while

epxilon=1e-4;

j=j+1;

w1=1;%doi trong cua k(j-1), c(j-1) Note: Co the bat dau bang w1=1, neu khong hoi

tu thi giam w1 tu dong giam xuong.

w2=1-w1;%doi trong cua k(j-2), c(j-2) Note: w1+w2=1

% VONG LAP WHILE TINH MOMEN BAC 2 CUA DAP UNG BANG

PHUONG PHAP TAN SO + TINH GAN DUNG BANG PHUONG PHAP LAP

while maxerror>epxilon;

k11(j)=w1*k11(j-1)+w2*k11(j-2);

k12(j)=w1*k12(j-1)+w2*k12(j-2);

k21(j)=w1*k21(j-1)+w2*k21(j-2);

108

k22(j)=w1*k22(j-1)+w2*k22(j-2);

c11(j)=w1*c11(j-1)+w2*c11(j-2);

c12(j)=w1*c12(j-1)+w2*c12(j-2);

c21(j)=w1*c21(j-1)+w2*c21(j-2);

c22(j)=w1*c22(j-1)+w2*c22(j-2);

Kej=[k11(j) k12(j);k21(j) k22(j)];

Cej=[c11(j) c12(j);c21(j) c22(j)];

% Tinh tich phan y1 y2 y12 y21 y1dot y2dot (Kej,Cej=Ke3,4,5,...;Ce3,4,5...)

s=1;

Sxj11=zeros(N1,1);

Sxj12=zeros(N1,1);

Sxj21=zeros(N1,1);

Sxj22=zeros(N1,1);

Sxdotj11=zeros(N1,1);




y1=0;

y1dot=0;

y2=0;

y2dot=0;

y21=0;

y12=0;

y12dot=0;

y21dot=0;

109

while s<=N1;

Aj=zeros(2);

Bj=zeros(2);

invAj=zeros(2);

invBj=zeros(2);

Sxj=zeros(2);

Aj=-M*omega(s)^2+K+Kej-omega(s)*(C+Cej)*i;

Bj=-M*omega(s)^2+K+Kej+omega(s)*(C+Cej)*i;

invAj=inv(Aj);

invBj=inv(Bj);

Sxj=invAj*Sw*(invBj).';

Sxj11(s)=Sxj(1,1);

Sxj12(s)=Sxj(1,2);

Sxj21(s)=Sxj(2,1);

Sxj22(s)=Sxj(2,2);

Sxdotj11(s)=Sxj(1,1)*omega(s)^2;




s=s+1;

end;

y1=sum(Sxj11)*dx;

y2=sum(Sxj22)*dx;

y12=sum(Sxj12)*dx;

y21=sum(Sxj21)*dx;

110

y1dot=sum(Sxdotj11)*dx;




k11(j+1)=b*T2rT1r*y1+3*b*T1rT0r*y2;

k22(j+1)=3*b*T1rT0r*y1+b*T2rT1r*y2;

k12(j+1)=-k22(j+1);

k21(j+1)=-k11(j+1);

c11(j+1)=alpha1*T2rT1r*y1dot;

c22(j+1)=alpha2*T2rT1r*y2dot;

c12(j+1)=0;

c21(j+1)=0;

error1=abs(k11(j)-k11(j+1));

error2=abs(k22(j)-k22(j+1));

error3=abs(c11(j)-c11(j+1));

error4=abs(c22(j)-c22(j+1));

maxerror=max([error1,error2,error3,error4])

j=j+2

w1=1-j/100;

w2=1-w1;

end;

switch GL

case 1

y1GL=y1

y2GL=y2

111

y1dotGL=y1dot

y2dotGL=y2dot

y12GL=y12

y21GL=y21

y12dotGL=y12dot

y21dotGL=y21dot

case 0

y1C=y1

y2C=y2

y1dotC=y1dot

y2dotC=y2dot

y12C=y12

y21C=y21

y12dotC=y12dot

y21dotC=y21dot

end;

k11=b*T2rT1r*y1+3*b*T1rT0r*y2

k22=3*b*T1rT0r*y1+b*T2rT1r*y2

c11=alpha1*T2rT1r*y1dot

c22=alpha2*T2rT1r*y2dot

figure(1)

plot(omega(1:N1),Sxdotj11(1:N1))

xlabel('Sxdot1');

figure(2)

plot(omega(1:N1),Sxdotj22(1:N1))

112

xlabel('Sxdot2');

figure(3)

plot(omega(1:N1),Sxj11(1:N1))

xlabel('Sx1');

figure(4)

plot(omega(1:N1),Sxj22(1:N1))

xlabel('Sx2');

maxSx11=max(Sxj11)

maxSxdot11=max(Sxdotj11)

minSx11=min(Sxj11)

minSxdot11=min(Sxdotj11)

b

j

N

dx

alpha1

lamda1

lamda2

clear all;

2.3 Chương trình Matlab mô phỏng Monte Carlo cho hệ Duffing chịu kích động

ồn màu bậc 2

% CHUONG TRINH TINH KICH DONG ON MAU BAC 2 CHO HE DUFFING

% CAN PHI TUYEN MONTE CARLO.

% XDOTDOT+BETA*XDOT+GAMMA*XDOT^3+EPXILON*X^3=F(T)

% FDOTDOT+ALFA*FDOT+OMEGAF^2*F=OMEGAF^2*W(T)

% Clear memory

113

clear all;

format long;

% Pho tan so S

S=1;

% Buoc chia

time=0.1;

% Cuong do on trang mu 2

power=S*2*pi;

% He so do can, do cung bo loc on mau

afa=1;

OmegaF=1;

OmegaF2=OmegaF^2;

% c = He so can = beta

c=1;

% Neu khong co thanh phan k*X thi lay k = 0

k=0;

% gamma=[0.1 1 10 100] he so do can phi tuyen

ga=1;

% k*ep = [0.1 1 10 100] he so do cung phi tuyen

ep=0.1;

% So lan lap bang 10000 lan

for i=1:10000

% gieo mau ngau nhien trong (0,1)

noise=round(100000*rand(1));

%goi so do simulink co ten onmau2.mdl

[T X Y1]=sim('onmau2', [0 300]);

%tinh gia tri vecto dap ung chuyen dich Y1

L=length(Y1);

y1=Y1(L);

% Tinh gia tri binh phuong cua y1

y2=y1*y1;

%Tinh gia tri binh phuong cua y1

114

z2(i)=y2;

if mod(i,100)<1

display('processing %')

display(num2str(i/10000*100))

display('<X^2>')

display(num2str(mean(z2)))

end;

end;

%Tinh gia tri binh phuong trung binh

X2=mean(z2);

mean_square_X=round(X2*100000)/100000

2

Out2

1

Out1

Product1

Product

1

s

Integrator3

1

s

Integrator2

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

-ga

Gain6

-ep

Gain5

-c

Gain4

-k

Gain3

-K-

Gain2

-K-

Gain1

-K-

Gain

Band-Limited

White Noise

Add1

Add

Hình 2. Sơ đồ Simulink onmau2.mdl

nghiÊn cỨu dao ĐỘng ngẪu nhiÊn phi tuyẾn bẰng tiÊu...

Documents