M x
NORMALNA PORAZDELITEV
GAUSSOVA KRIVULJA
KORELACIJA
Vprašanja o povezanosti so
najpomembnejša vprašanja vsake
znanosti!
Kakšne so odvisnosti med vzgojnimi pojavi?
ALI JE RES?
1. To, koliko se učenec uči, VPLIVA na ocene.
2. Šolski uspeh je ODVISEN od izobrazbe
staršev.
3. Spol in stališča so POVEZANI: ženske in
moški imajo različna stališča (npr. o splavu).
NEVARNOST IZRAZA
VPLIV
Uporabljajmo ga skrajno redko!
FUNKCIJA
xy 20,2
KORELACIJSKI DIAGRAM
VAR00003
5,55,04,54,03,53,0
VA
R0
00
04
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
Vpliv x na y »vleče« točke k regresijski črti.
Ostali vplivi »vlečejo« točke stran od
regresijske črte.
Če je oblak točk zgoščen blizu regresijske
črte, je korelacija med x in y močna.
Če so točke daleč od regresijske črte, je
korelacija slaba (vpliv ostalih dejavnikov na y
je močan).
NE ZADOSTUJE IZMERITI
RAZPRŠENOSTI; POTREBNO JO
JE ANALIZIRATI!
ZA TO PA STA POTREBNI OBE
SPREMENLJIVKI.
POZITIVNA KORELACJA
NEGATIVNA KORELACIJA
LINEARNA in NELINEARNA
KORELACIJA
Regresijska črta je lahko premica ali pa krivulja
INDEKS KORELACIJE
celotna
pojasnjenaI
2
2
Indeks ima vrednosti med 0 in 1.
I=0 I=0,35 I=0,55
I=0,80 I=1
KORELACIJSKI KOEFICIENTI
Pearsonov korelacijski koeficient
Spearmanov korelacijski koeficient
Korelacijsko razmerje
Biserialna korelacijska koeficienta
Tetrakorični korelacijski koeficient
PEARSONOV KORELACIJSKI KOEFICIENT
yx
xy
xy
Cr
Cxy kovarianca (mera skupne razpršenosti x
in y)
σx standardni odklon spremenljivke x (koren
iz variance spremenljivke x)
σy standardni odklon spremenljivke y (koren
iz variance spremenljivke y)
Kovarianca
N
MyMxC
yx
xy
Varianca X
N
Mx xx
2
2
Varianca Y
N
My y
y
2
2
št.
učenca
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x 4 2 5 2 3 3 4 5 4 3 3 4 Σx=42
x2 16 4 25 4 9 9 16 25 16 9 9 16 Σx2=158
y 3 2 6 3 5 3 6 5 5 4 2 4 Σy=48
y2 9 4 36 9 25 9 36 25 25 16 4 16 Σy2=214
xy 12 4 30 6 15 9 24 25 20 12 6 16 Σxy=179
1
N
xxK x
22 )(
2
N
yyK y
22 )(
3
N
yxxyK xy
4
yx
xy
xyKK
Kr
1 00,11
12
)42(158
)( 222
N
xxK x
2 00,22
12
)48(214
)( 222
N
yyK y
3 00,11
12
4842179
N
yxxyK xy
4
71,000,2200,11
00,11
yx
xy
xyKK
Kr
ENAČBA „VSE V ENEM”
N
yy
N
xx
N
yxxy
rxy2
2
2
2
ZA NAŠ PRIMER:
71,0
12
48214
12
42158
12
4842179
22
xyr
POJEM UJEMANJA VREDNOSTI
x y
3 3
5 5
2 2
7 7
8 8
Zvezo med x in y lahko predstavimo z enačbo:
xy
Korelacijski koeficient mora biti
+1.
x y
3 4
5 6
2 3
7 8
8 9
Korelacija je pozitivna, saj večjim vrednostim
x ustrezajo večje vrednosti y
(in manjšim vrednostim x ustrezajo manjše
vrednosti y).
Zveza med x in y v drugem primeru se ni veliko
spremenila. Enačba:
1 xy
Korelacijski koeficient mora biti +1.
ALI UJEMANJE VREDNOSTI POMENI DA
MORATA BITI x in y ENAKA?
ODGOVOR: NE!
UJEMANJE NI ISTO KOT ENAKOST.
x y
1145 274 800
2036 414 529
1743 303 804
1007 241 680
756 181 440
Ujemanje je v resnici popolno.
V stolpcu x so plače petih zaposlenih, v stolpcu y
pa te iste plače preračunane v tolarje. (po tečaju 1
EURO = 240 SIT).
Tudi tu lahko postavimo enačbo:
240 xy
V vseh treh primerih bi izračun pokazal, da
korelacijski koeficient znaša 1.
ZAKLJUČEK:
NE SKLEPAJMO O MOČI
KORELACIJE BREZ IZRAČUNA!
x y
45 11
2 3
17 6
10 7
26 6
Korelacja je zelo močna,
čeprav se ne zdi tako.
Korelacijski koeficient r = 0,89.
Ocene učencev
ocena v devetem
razredu osnovne šole
ocena v prvem razredu
srednje šole
Aleš 3 2
Mojca 3 2
Ana 5 4
Kekec 5 4
Anže 4 3
Primer popolnega ujemanja v negativni smeri:
x y
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
Korelacijski koeficient
znaša –1
x y
4 17
7 13
8 10
11 9
15 6
Korelacijski koeficijent znaša
– 0,96
Z matematičnega vidika se
korelacija kaže kot
ujemanje vrednosti x in y.
INTERPRETACIJA PEARSONOVEGA
KORELACIJSKEGA KOEFICIENTA
Vrednosti Pearsonovega korelacijskega
koeficienta so v razponu
–1 do +1
Pozitivni predznak kaže, da čim večji
je x, tem večji je tudi y.
Čim manjši je x tem manjši je tudi y.
V PRIMERU NEGATIVNEGA PREDZNAKA JE
TO RAZMERJE OBRATNO:
večjim x ustrezajo manjši y
manjšim x pa večji y.
MOČ POVEZANOSTI (KORELACIJE)
INTERPRETIRAMO GLEDE NA ŠTEVILSKO
VREDNOST KOEFICIENTA.
Pozor: pri interpretaciji moči povezanosti
predznak nima nobene vloge.
0 do 0,20 nebistvena korelacija, praktično ni
nobene povezanosti
0,20 do 0,40 nizka korelacija, pojava sta komaj
povezana
0,40 do 0,70 srednje močna korelacija
0,70 do 0,90 močna korelacija, zelo opazna
povezanost, x močno vpliva na y
0,90 do 1 Zelo močna korelacija, praktično
popolna povezanost (funkcija)
VZROČNOST IN
KORELACIJA
KORELACIJA RANGA
popolna pozitivna korelacija popolna negativna korelacija
R1 R2 R1 R2
1 1 1 5
2 2 2 4
3 3 3 3
4 4 4 2
5 5 5 1
močna
pozitivna korelacija
močna
negativna korelacija
R1 R2 R1 R2
1 2 1 5
2 1 2 4
3 3 3 3
4 5 4 1
5 4 5 2
IZRAČUNAVANJE SPEARMANOVEGA
KOEFICIENTA
1
61
2
2
21
NN
RR
ρ Spearmanov koeficient
Σ(R1-R2)2 vsota kvadratov razlik med rangi
Primer:
R1 R2 R1 - R2 (R1 - R2)2
1 7 -6 36
2 5 -3 9
3 6 -3 9
4 4 0 0
5 3 2 4
6 1 5 25
7 2 5 25
Σ(R1 - R2)2=108
93,01497
10861
1
61
2
2
21
NN
RR
KORELACIJSKO RAZMERJE
2
2
celotna
pojasnjena
Dosežki učencev na testu (y) in njihove ocene (x).
x y
zadostno 30 21 22 24 18 20 18 18 19 20 30
dobro 28 24 30 29 25 23 33 30 26 29 34
prav dobro 34 29 33 40 26 29 25 20
odlično 35 43 38 44 31 48 35 28
η = 0,77
PEARSONOV KORELACIJSKI KOEFICIENT:
DVE INTERVALNI SPREMENLJIVKI
npr.
TELESNA VIŠINA in TELESNA TEŽA
SPEARMANOV KORELACIJSKI KOEFICIENT:
DVE ORDINALNI SPREMENLJIVKI V
OBLIKI RANGOV
npr.
RANGI PO MOTIVACIJI in RANGI PO
USPEŠNOSTI
KORELACIJSKO RAZMERJE:
X ORDINALNA ALI NOMINALNA spr.
Y INTERVALNA SPREMENLJIVKA
npr.
X KAKO POGOSTO JE KRUH (ob vsakem obroku,
ob nekaterih obrokih, samo za malico, sploh ne je kruha)
Y TELESNA TEŽA (kp)
BISERIALNI KORELACIJSKI KOEFICIENT:
X ORDINALNA, KI IMA SAMO DVE
VREDNOSTI
Y INTERVALNA SPREMENLJIVKA
npr.
X tehnika teka (dobra – slaba)
Y dolžina skoka v daljavo (cm)
TOČKOVNI BISERIALNI KORELACIJSKI
KOEFICIENT:
X NOMINALNA SPREMENLJIVKA, KI IMA SAMO
DVE VREDNOSTI
Y ENA INTERVALNA SPREMENLJIVKA
Npr.
X tehnika skoka (prekoračna t. – tehnika flop)
Y skok v višino (cm)
TETRAKORIČNI KORELACIJSKI KOEFICIENT:
DVE ORDINALNI SPREMENLJIVKI, OBE
IMATA SAMO DVE VREDNOSTI
npr.
X motivacija (visoka – nizka) in
Y uspešnost (boljša – slabša)