Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Środowiskowe Studia Doktoranckie
z Nauk Matematycznych
Od twierdzenia o liczbach pierwszych dotwierdzenia Fermat.
Teoria liczb w XX wieku
Władysław Narkiewicz
Wrocław
Publikacja współfinansowana ze środków Uni Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Spis treści
Opis wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I. Prehistoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II. Problemy Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III. Pierwsze lata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV. Pierwsze lata: 1901–1920. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . 99
V. 1920–1950. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VI. 1920–1950. Pozostałe metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
VII. Druga połowa stulecia. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . . . 224
VIII. Druga połowa stulecia. Inne metody . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
IX. Algebraiczna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
X. Wielkie Twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Opis wykładu
O ile w XIX wieku spora grupa czołowych matematyków zajmowała się zagadnieniamiteorii liczb jedynie na marginesie swoich głównych zainteresowań, to początek wieku dwudzie-stego przyniósł ugruntowanie tego działu matematyki jako samodzielnej części tej nauki i jegostosunkowo szybki rozwój. Wielka jest tutaj zasługa Edmunda Landau, który w 1909 rokuwydał obszerną monografię, poświęconą teorii liczb pierwszych. Hardy i Heilbronn napisalio niej:
„W niej analityczna teoria liczb jest po raz pierwszy przedstawiona nie jako zbiór kilkupięknych rozproszonych twierdzeń, ale jako systematyczna nauka. Książka ta przemieniła tenprzedmiot, będący dotąd miejscem polowań dla paru chętnych przygód bohaterów, w jednoz najbardziej płodnych pól badawczych.”
Celem wykładu jest prześledzenie tego rozwoju. Zostaną w nim omówione zarówno kla-syczne problemy teorii liczb, takie jak zagadnienia Goldbacha, Waringa, Catalana i Fermataoraz starożytny problem liczb doskonałych, jak i szereg nowszych problemów, takich jak hipo-teza Riemanna, czy też zagadnienie liczby klas form kwadratowych. Mam nadzieję, że wykładbędzie dostępny także i dla niespecjalistów, gdyż będę unikać spraw czysto technicznych.
Wykład rozpocznie się od krótkiej prehistorii rozważanej dziedziny (Gauss, Jacobi, Eisen-stein, Dirichlet, Kummer, Dedekind, Hadamard, de la Vallee-Poussin, Hensel) a potem będąomówione arytmetyczne problemy Hilberta, przedstawione na paryskim kongresie w roku 1900i ich dalsze losy. Następnie zajmę się głównymi odkryciami w kolejnych okresach dwudziestegostulecia, omawiając także nowe metody, posuwające naprzód badania nad starymi i nowymiproblemami. Wśród nich znajdą się między innymi metody sita, „circle method” Hardy’egoi Littlewooda, uproszczona następnie przez Winogradowa zasada Hassego, odnowienie teo-rii form modułowych, dokonane w latach trzydziestych przez Heckego, metoda Bakera i jejzastosowania w teorii równań diofantycznych.
Szczególna uwaga będzie poświęcona związkom teorii liczb z innymi działami matematyki,przede wszystkim z analizą i algebrą.
Wykład będzie oparty zasadniczo na mojej nowej książce Rational Number Theory in the
20th Century, która ukazała się przed miesiącem.
I. Prehistoria
Stare i nowePrehistoria
Stare
Twierdzenie Fermata: jesli p = 4k + 1, to p = a2 + b2.
Dowod Dirichleta: Niech p|1 + a2.
Par (x , y) z 0 ≤ x , y <√
p jest > p.Zatem istnieja
‘rozne pary (x1, y1), (x2, y2), spe lniaja
‘ce
x1 − ay1 ≡ x2 − ay2 (mod p),
wiecx1 − x2 ≡ a(y1 − y2) (mod p)
iA = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≡ 0 (mod p),
ale 0 < A < 2p i A = p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Nowe
Dowod Don Zagiera:
S = (x , y , z) : x2 + 4yz = p, x , y , z ≥ 1.
(x , y , z) 7→
(x + 2z , z , y − x − z) gdy x < y − z ,(2y − x , y , x − y + z) gdy y − z < x < 2y ,(x − 2y , x − y + z , y) gdy x > 2y .
Ta inwolucja ma jeden fixpunkt (1, 1, (p − 1)/4), wie‘c 2 - #S .
Zatem inwolucja
(x , y , z) 7→ (x , z , y)
ma tez fixpunkt. Wtedy y = z i p = x2 + (2y)2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
1. Disquisitiones Arithmeticae, Gottingae, 1801.
a) Podstawy arytmetyki
b) Formy kwadratowe aX 2 + 2bXY + cY 2,
c) Prawo wzajemnosci reszt kwadratowych,
d) Cyklotomia: wyrazenie pierwiastkow z jednosci przezpierwiastniki oraz konstrukcja n-ka
‘ta foremnego.
2. Theoria residuorum biquadraticorum, 1828.
a) Liczby ca lkowite Gaussa.
b) Prawo wzajemnosci reszt bikwadratowych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Dirichlet
Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805–1859)
Jako pierwszy stosuje analize‘
do teorii liczb.
a) 1837: L-funkcje mod p:
Lj(x) =∑
p-n
ζ jγnp−1
nx, n ≡ gγn (mod p), (j = 1, 2, . . . , p − 1)
gdzie g jest pierwiastkiem pierwotnym mod p.Ogolnie: L(x , χ) =
∑∞n=1
χ(n)nx , gdzie χ jest charakterem grupy
(Z/NZ)∗.
b) 1837-1839: Twierdzenie o poste‘pie arytmetycznym.
Nieskonczenie wiele liczb pierwszych p ≡ l mod k , gdy (k, l) = 1.
Wazny punkt dowodu: L(1, χ) 6= 0 dla χ 6= χ0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Dirichlet, c.d.
c) 1838: Wzor na liczbe‘
klas form kwadratowych o zadanymwyrozniku d :
h(d) =
√|d |π L(1, χd) gdy d < 0,√d
2 log εL(1, χd) gdy d > 0,
gdzie χd(n) =(dn
)jest symbolem Kroneckera, a
ε = (T + U√
D)/2, przy czym
D =
d gdy d jest nieparzyste,d/4 gdy d jest parzyste,
a (T ,U) to minimalne rozwia‘zanie rownania |T 2 − DU2| = 4.
d) 1846: Struktura jednostek w Z[θ].
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Jacobi
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851)
a) 1826: Sformu lowanie prawa wzajemnosci reszt szesciennych.Dowod poda l Eisenstein w 1844 roku.
b) Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum,Regiomonti, 1829.
Jako zastosowanie funkcji eliptycznych: wzor na r4(n), iloscprzedstawien n na sume
‘4 kwadratow:
r4(n) =
8σ(n) gdy 2 - n,24σ(n) gdy 2|n,
gdzie σ(n) jest suma‘
dzielnikow n.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Liouville
Joseph Liouville (1809–1882)
a) 1844: Pierwsze przyk lady liczb przeste‘pnych.
b) 1851: Jesli α jest liczba‘
algebraiczna‘
stopnia n, to istnieje sta lac(α) > 0 taka, ze ∣∣∣∣α−
p
q
∣∣∣∣ ≥c(α)
qn
zachodzi dla wszystkich ca lkowitych p i naturalnych q.
Wniosek: Liczba ∞∑
n=1
1
10n!
jest przeste‘pna.
c) Liczba e nie jest pierwiastkiem ax2 + bx + c ∈ Z[x ].
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Kummer
Ernst Eduard Kummer (1810–1893)
a) 1847: Liczby idealne w cia lach cyklotomicznych Q(ζn).
b) 1850: Wielkie Twierdzenie Fermata dla wyk ladnikowregularnych.
p jest regularna‘
liczba‘
pierwsza‘, gdy nie dzieli zadnego z licznikow
liczb Bernoulliego Bk przy k = 2, 4, . . . , p − 3 (p - hp).
z
ez − 1= 1 +
∞∑
n=1
Bn
n!zn.
c) 1859: Prawo wzajemnosci dla p-tych pote‘g w przypadku
regularnych liczb pierwszych p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Czebyszew
Pafnutij Lwowicz Czebyszew (1821–1894)
1850: π(x) :=∑
p≤x 1, θ(x) :=∑
p≤x log p.
Dla duzych x
a1x < θ(x) < a2x , b1x
log x< π(x) < b2
x
log x,
z a1, a2, b1, b2 bliskimi 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Riemann
Bernhard Riemann (1826–1866)
1860: a) ζ(s) =∑∞
n=11ns przed luza sie
‘do funkcji meromorficznej i
dla s 6= 0, 1 spe lnia rownanie
Γ( s
2
)π−s/2ζ(s) = Γ
(1− s
2
)π−(1−s)/2ζ(1− s).
b) Hipoteza Riemanna: ”Es ist sehr wahrscheinlich, dass alleWurzeln [von ζ(s + 1/2)] reell sind. Hiervor ware allerdings einstrenger Beweis zu wunschen; ich habe indess die Aufsuchungdesselben nach einigen fluchtigen Versuchen vorlaufig bei Seitegelassen, da er fur den nachsten Zweck meiner Untersuchungentbehrlich schien.”
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Riemann, c.d.
Riemann sformu lowa l szereg twierdzen bez dowodu:
c) Ilosc N(T ) zer ζ(s) w pasie 0 < =s ≤ T jest asymptotycznierowna
T
2πlog
(T
2π
)− T
2π.
To udowodni l von Mangoldt w 1895 r.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Riemann, c.d.
d) Dla x ≥ 2
π(x) =∞∑
n=1
µ(n)li(x1/n)
n,
gdzie
µ(n) =
(−1)ω(n) gdy n bezkwadratowe,0 w przeciwnym wypadku,
a ω(n) =∑
p|n 1.
Ten wzor jest fa lszywy. Wynika z niego π(x) < li(x) dla duzych x ,a tak nie jest (Littlewood, 1914).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Dedekind
Richard Dedekind (1831–1916)a) 1871–1893. Zbudowanie podstaw teorii liczb algebraicznychopartej na pojeciu idea lu.
b) 1882. Wspolnie z Weberem: teoria cia l funkcji algebraicznych 1zmiennej.
b) 1893: Funkcja zeta Dedekinda:
ζK (s) =∑
I
1
N(I )s,
gdzie N(I ) = #(ZK/I ).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Kronecker
Leopold Kronecker (1823–1891)
a) 1853, 1877: Twierdzenie Kroneckera-Webera: Cia lo o abelowejgrupie Galois jest podcia lem cia la cyklotomicznego.
Pierwszy dowod: Weber (1886). Pierwszy pe lny dowod: Hilbert(1896).
b) 1882: Oparcie teorii liczb algebraicznych na teorii form wieluzmiennych. Takze dla cia l funkcyjnych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Hermite
Charles Hermite (1822–1901)
1842 (uczen w College Louis-le-Grand): prosty dowod tw. Abela orownaniach 5 stopnia.
1850: Istnieje c(n) takie, ze jesli θ1, . . . , θn ∈ R sa‘
rozne, to dlanieskonczenie wielu q oraz a1, . . . , an mamy
∣∣∣∣θj −ajq
∣∣∣∣ ≤c(n)
q1+1/n.
Wyk ladnik jest optymalny (Borel 1903), c(1) =√
5 (Hurwitz1891),optymalne c(n) dla n ≥ 2 nie jest znane. Przypuszcza sie
‘, ze
c(2) =√
2/7.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Hermite, c.d.
1854: Minimum rzeczywistej formy kwadratowej n zmiennych owyrozniku D w punktach z Zn jest ≤ ρn/D1/n, gdzie
ρn = (4/3)(n−1)/2.
1873: Liczba e jest przeste‘pna.
W 1882 r. Lindemann zastosowa l metode‘
Hermite’a do dowoduprzeste
‘pnosci π. Ogolniej: jesli a 6= 0 jest algebraiczne, to ea jest
przeste‘pna (tw. Hermite’a-Lindemanna).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Minkowski
Hermann Minkowski (1864–1909)
1891: Metody geometryczne w badaniu form kwadratowych.
1896: Geometrie der Zahlen.
Tw. o ciele wypuk lym: Jesli zbior X ⊂ Rn jest wypuk ly isymetryczny wzgle
‘dem 0 o obje
‘tosci > 2n, to zawiera niezerowy
punkt kraty Zn.
1907: Diophantische Approximationen (teoria liczb algebraicznychw je
‘zyku geometrycznym).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Klein
Felix Klein (1849–1925)
1890-1892 (wspolnie z Fricke): ”Vorlesungen uber die Theorie derelliptischen Modulfunktionen”.
Klein o teorii grup:Die Lehre von den Vertauschungsgruppen hat sich . . . zu einerselbstandigen Disziplin entwickelt. Wir begegnen da Namen wieCayley, Sylow, Dyck, Holder, Frobenius, Burnside und in neuererZeit vielfach auch Amerikanern. Fur viele Gemuter ist es einbesonderer Reiz, daß man auch hier wieder arbeiten kann, ohnevon sonstiger Mathematik viel zu wissen . . . .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Formy modu lowe
Forma modu lowa lub modularna wagi k dla grupy Γ = SL2(Z), tofunkcja f okreslona i regularna w H = z : =z > 0, spe lniaja
‘ca
f (A · z) = (cz + d)k f (z),
gdzie
A =
[a bc d
]∈ Γ, A · z =
az + b
cz + d.
Jesli jest to spe lnione dla macierzy A z grupy Γ(N) ⊂ Γ(zdefiniowanej przez warunek A ≡ E mod N), a dla A ∈ Γ mamy
f (A · z)(cz + d)−k = c0(A) +∞∑
n=1
cn(A) exp(2πinz/N),
to f jest forma‘
modu lowa‘
wagi k i poziomu N.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Formy modu lowe, c.d.
Teoria takich funkcji zosta la zbudowana w koncu XIX wieku przezHermite’a, Kleina i Poincarego oraz ich uczniow.
Podsumowanie owczesnej teorii da l Weber (”Elliptische Functionenund algebraische Zahlen”, 1891; ”Lehrbuch der Algebra”, t.3,1898).
Teoria ta okaza la sie‘
wielce przydatna w teorii liczb sto lat pozniej.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Mertens
Franciszek Mertens (1840–1927)
1897: Hipoteza Mertensa:
|M(x)| = |∑
n≤xµ(n)| ≤
√x .
Mertens sprawdzi l to dla x < 10 000, a von Sterneck (1898–1901)dla x < 500 000.
Wczesniej Stieltjes twierdzi l w liscie do Hermite’a (11.07.1885), zema dowod tej nierownosci.
Juz z M(x) = O(√
x) wynika hipoteza Riemanna, bo
∞∑
n=1
µ(n)
ns=
1
ζ(s).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Hipoteza Mertensa
Littlewood (1912): M(x) = O(x1/2+ε) dla wszystkich ε > 0 jestrownowazne z RH.
Ingham (1942): Z hipotezy Riemanna i liniowej niezaleznosci=ρn 6= 0 (ζ(ρn) = 0), poza skonczona
‘iloscia
‘wyja
‘tkow, wynika
fa lszywosc hipotezy Mertensa.
Knapowski (1962-1964): |M(x)| przyjmuje wartosci bliskie√
x :
|M(x)| >√
x exp
(− log x log log log x
log log x
).
Odlyzko, te Riele (1985): Hipoteza Mertensa jest fa lszywa:
lim supx→∞M(x)√
x> 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
PNT
Jacques Hadamard (1865–1963)
de la Vallee-Poussin (1866–1962)
1896: ζ(1 + it) 6= 0. Jako wniosek:
θ(x) =∑
p≤xlog p = (1 + o(1))x ,
θ(x ; k , l) :=∑
p≤xε(p) log p =
(1
ϕ(k)+ o(1)
)x ,
gdzie
ε(p) =
1 gdy p ≡ l (mod k),0 gdy p 6≡ l (mod k).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
PNT, c.d.
To daje
π(x) = (1 + o(1))x
log x
oraz
π(x ; k , l) := p ≤ x : p ≡ l (mod k) =
(1
ϕ(k)+ o(1)
)x
log x.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Hensel
Kurt Hensel (1861–1941)
1897: Liczby p-adyczne.
Ugruntowanie teorii: Kurschak (1913) – poje‘cie waluacji w
dowolnym ciele:
v(a + b) ≤ v(a) + v(b), v(ab) = v(a)v(b), istnienie uzupe lnienia,uzupe lnienie Ωp algebraicznego domknie
‘cia Qp jest zupe lne i
algebraicznie domknie‘te.
1934: Hasse, F.K.Schmidt: Opis cia l zupe lnych z dyskretna‘
waluacja‘.
Teoria waluacji: Deuring (1932), Krull (1932).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Max Deuring (1907-1984)
Stare i nowePrehistoria
Hilbert
David Hilbert (1862–1943)
1897: Zahlbericht.
1899. Teoria rozszerzen kwadratowych.
1900. Odczyt na kongresie w Paryzu. 23 otwarte problemy.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowePrehistoria
Podsumowanie
1. Coraz wie‘ksza precyzja i poprawnosc rozumowan (Gauss,
Dirichlet, Weierstrass, Dedekind)
2. Zerwanie z zasada‘
”czystosci” teorii; zastosowanie metodanalitycznych w teorii liczb (Jacobi, Dirichlet)
3. Pojawienie sie‘
struktur. Nowe poje‘cia: grupa, cia lo, pierscien;
badanie grupy klas form (czy idea low) a nie tylko liczby klas.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
II. Problemy Hilberta
Problem 7
Problem 7:
a) Dla niewymiernych liczb algebraicznych z, exp(iπz) jestprzeste
‘pne.
b) Jesli a 6= 0, 1 jest algebraiczne, a b algebraiczneniewymierne, to ab jest liczba
‘przeste
‘pna
‘lub moze tylko
niewymierna‘. Chodzi tu np. o 2
√2, czy eπ = i−2i .
W 1738 r. Euler przypuszcza l, ze jesli a, b 6= 0, 1 algebraiczne, tolog a/ log b jest wymierne lub przeste
‘pne.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 7, pierwsze kroki
Gelfond (1929): Jesli a 6= 1 algebraiczne, to a√−n (n = 1, 2, . . . )
jest liczba‘
przeste‘pna
‘. W szczegolnosci e−π = i2i = i
√−4 jest
przeste‘pne.
Kuzmin (1930): Jesli a 6= 1 algebraiczne, a n nie jest kwadratem,
to a√n (n = 1, 2, . . . ) przeste
‘pne. W szczegolnosci 2
√2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Gelfond, Schneider
Gelfond i Schneider, niezaleznie (1934): Jesli a 6= 0, 1 jestalgebraiczne, a b algebraiczne niewymierne, to ab jest liczba
‘przestepna
‘.
Oba dowody wykorzystuja‘
algebraiczna‘
niezaleznosc funkcji ez ieaz przy algebraicznym a.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
A.O.Gelfond (1906-1968) i L.J.Mordell (1888-1972)
Hipotezy
1. Hipoteza Schanuela (1960): Jesli a1, . . . , an liniowo niezaleznenad Q, to
dim .trQ(a1, . . . , an; exp(a1), . . . , exp(an)) ≥ n.
Z tego wynikne‘ laby algebraiczna niezaleznosc e i π
(a1 = 1, a2 = iπ).
2. Lang (1966) (4-exponentials conjecture): Jesli x2/x1 oraz y2/y1
sa‘
niewymierne, to przynajmniej jedna z liczb exp(xiyj) jestprzeste
‘pna.
6-exponentials theorem (Lang, 1966): Jesli x2/x1 6∈ Q, a y1, y2, y3
sa‘
liniowo niezalezne nad Q, to przynajmniej jedna z liczb exp(xiyj)jest przeste
‘pna.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 8
Problem 8:
a) Hipoteza Riemanna: Jesli ζ(x + iy) = 0 i x > 0, to x = 1/2.
b) Oszacowanie roznicy π(x)− li(x). Czy jest ona rze‘du
niewie‘kszego niz rza
‘d√
x?
Nie jest jasne, czy chodzi tu o oszacowanie O(√
x), czy O(x1/2+ε)dla kazdego ε > 0. To ostatnie jest rownowazne hipotezieRiemanna (von Koch 1901).
c) Binarna hipoteza Goldbacha (1742): Kazda liczba parzystan ≥ 6 jest suma
‘2 liczb pierwszych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 8, c.d.
d) Istnienie nieskonczenie wielu liczb pierwszych blizniaczychp − p′ = 2.
e) Ogolniej: jesli (a, b, c) = 1 i 2|a + b + c, to rownanieax + by + c = 0 ma rozwia
‘zanie w liczbach pierwszych x , y .
f) Przeniesienie twierdzen o rozmieszczeniu liczb pierwszychna przypadek idea low pierwszych w algebraicznych cia lachliczbowych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Poste‘p w Problemie 8a
1915. Hardy: Na prostej <s = 1/2 lezy nieskonczenie wiele zerζ(s).
1942. A.Selberg: Dodatnia proporcja zer lezy na <s = 1/2.
1958. Winogradow, Korobow: ζ(s) 6= 0 w obszarze<s > 1− a
log2/3(|t|)(log log(|t|))1/3dla |t| ≥ t0 ( 1958).
Mozna przyja‘c a = 1/57.54 = 0.017 . . . , t0 = 3 (Ford, 2000).
1974. Levinson: Ponad 34.74% zer lezy na <s = 1/2.1989. Conrey: Ponad 40.88% zer lezy na <s = 1/2.2004. Gourdon: Pierwszych 1011 zer funkcji ζ(s) lezy na <s = 1/2(Gourdon, 2004).
2011. Bui, Conrey, Young: Ponad 41.05% zer lezy na <s = 1/2.2011. Feng (ArXiv): Ponad 41.28% zer lezy na <s = 1/2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Hipoteza Riemanna inaczej
Twierdzenia rownowazne RH:
1912. Littlewood: Jesli a1 < a2 < · · · < ak jest cia‘giem wszystkich
w lasciwych u lamkow o mianownikach ≤ n, to dla ε > 0
k∑
j=1
cos(2πaj) = O(
n1/2+ε).
1924. Franel: Dla ε > 0∑k
j=1
(aj − j
n
)= O(1/n1−ε).
1916. M.Riesz: Dla ε > 0 i duzych x
∞∑
k=1
(−1)k+1
Γ(k)ζ(2k)xk = O
(x1/4+ε
).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Hipoteza Riemanna inaczej, c.d.
1950–1954. Nymann, Beurling: Jesli ρa(t) = a/t, to rodzinaaρa(t)− ρ1(t) : a > 0 jest ge
‘sta w L2((0,∞)).
1984. Robin: Dla n ≥ 5041 σ(n) ≤ eγn log log n.
To zachodzi dla bezkwadratowych n (Choie i in., 2007) oraz dlaprawie wszystkich n (Wojtowicz, 2007).
2002. Lagarias: Jesli Hn = 1 + 1/2 + · · ·+ 1/n, to dla n ≥ 2σ(n) < Hn + exp(Hn) log(Hn).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Poste‘p w problemie 8b)
b) (∆(x) = π(x)− li(x))
∆(x) = O(
x exp(−c log1/2 x))
(de la Vallee-Poussin, 1899)
∆(x) = O(
x exp(−c log3/5 x
(log log x)1/5
))(Korobow, 1958).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Ingham
Ingham (1932): Jesli ζ(σ + it) 6= 0 dla σ > 1− c log−α |t|, to
π(x) = li(x) + O(
x exp(−c1 logβ x)),
z β = 1/(1 + α).
Turan (1950) udowodni l twierdzenie odwrotne.
Podobny wynik dla liczb pierwszych w poste‘pach udowodni l
Wiertelak (1971-1972).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Poste‘p w problemie 8f
Twierdzenie o idea lach pierwszych:
1903: Landau
πK (x) = #p : N(p) ≤ x = (1 + o(1))x
log x
= li(x) + O(x exp(− log1/13 x)).
1968: Mitsui i Soko lowski (niezaleznie):
πK (x) = li(x) + O
(x exp
(−c
log3/5 x
(log log x)1/5
)).
Podobne twierdzenia dla idea low w klasach : Landau (1907).W klasach mod f: Hecke (1917), Landau (1918).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 9
Problem 9:
Prawa wzajemnosci reszt dla dowolnych wyk ladnikow wcia lach liczbowych.
Jesli Q(ζk) ⊂ K i k 6∈ p, to N(p) ≡ 1 mod k.Dla a 6∈ p mamy aN(p)−1 ≡ 1 (mod )p (ma le tw. Fermata dla cia l).Sta
‘d przy pewnym i
a(N(p)−1)/k ≡ ζ ik (mod p) =
(a
p
).
Przez multyplikatywnosc rozszerza sie‘
ten symbol do(ab
)dla
(a, b) = 1, (k , ab) = 1.
Problem: Wyznaczyc(ab
) (ba
).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Prawa wzajemnosci
k = 2: Euler (1783) – Gauss (1801),
k = 3: Jacobi (1826) – Eisenstein (1844),
k = 4: Gauss (1832),
k = p pierwsze: Eisenstein (1850) i Kummer (1850–1861) dla pregularnych, tj. gdy p nie dzieli mianownika liczb Bernoulliego B2j
przy j ≤ (p − 3)/2,
k = p, pierwsze dowolne: Furtwangler (1909–1913).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Artin-Hasse-Szafarewicz
Ogolne prawo wzajemnosci Artina (1927): H∗f (K ) −→ Gal(L/K )prowadzi do praw wzajemnosci dla wszystkich k (Hasse, Bericht).
Jawna forma: Szafarewicz (1950).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 10
Problem 10:
”Man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelsteiner endlichen Anzahl von Operationen entscheiden laßt, obdie Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.”
1960. Putnam: Nie istnieje algorytm dla sprawdzenia, czy danywielomian przedstawia wszystkie (lub wszystkie duze) liczbynaturalne.
1961. Davis, Putnam, Robinson: Nie istnieje algorytm dla rownanwyk ladniczych.
1963. Davis, Putnam: Nie istnieje algorytm dla rownanwielomianowych w pierscieniu Z[X ].
1970. Matijasewicz: Nie istnieje algorytm dla rownanwielomianowych w Z.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 10, c.d.
1980. Denef: Nie istnieje algorytm dla rownan wielomianowych wZK dla cia l K w pe lni rzeczywistych.
1986. Rumely: Istnieje algorytm dla rownan wielomianowych wpierscieniu wszystkich liczb algebraicznych ca lkowitych.
1988. Pheidas: Nie istnieje algorytm dla rownan wielomianowychw ZK dla cia l K stopnia ≥ 3, maja
‘cych jedna
‘pare
‘nierzeczywistych w lozen w C.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 11
Problem 11:
” . . . eine quadratische Gleichung beliebig vieler Variabelnmit algebraischen Zahlencoeffizienten in solchen ganzen odergebrochenen Zahlen zu losen, die in dem durch dieCoefficienten bestimmten algebraischenRationalitatsbereiche gelegen sind.”
1924. Hasse: Jesli f (x1, . . . , xn) jest forma‘
kwadratowa‘
nad cia lemK , to rownanie f = 0 ma rozwia
‘zanie w K wtedy i tylko wtedy,
gdy ma rozwia‘zanie w kazdym uzupe lnieniu K .”
Zasada Hassego: Zdanie P jest prawdziwe w K , gdy jestprawdziwe w kazdym uzupe lnieniu K .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Zasada Hassego
Pierwszy przyk lad (Rados 1922): P = Wielomianf (X ) = X n + · · · ∈ Q[X ] rozk lada sie
‘na czynniki liniowe nad Q.
1923–1924. Hasse: P=Formy kwadratowe f , g sa‘
nad Krownowazne.1931. Hasse: Dla cyklicznych L/K : P = a ∈ K jest norma
‘w
L/K.1970. Schinzel: P: Istnieje rozwia
‘zanie
∏mj=1 a
xjj = b w danym
ciele K ([K : Q] <∞).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Andrzej Schinzel
Zasada Hassego
Zasada Hassego nie zawsze zachodzi:
1897. Hilbert: Wielomian x4 + 13x2 + 81 jest nieprzywiedlny nadQ, ale jest przywiedlny we wszystkich uzupe lnieniach.
1935. Witt: x2 + y 2 = a w cia lach funkcyjnych.
1940. Reichardt: x4 − y 2 = 2 w Q.
1951. Selmer: 3x3 + 4y 3 + 5z3 = 0 w Q.
Nie zachodzi tez dla form stopnia 5 nad Q (Fujiwara, 1972), orazdla form stopni 15, 25, . . . (Fujiwara, Sudo, 1976).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 12
Problem 12:
”Von der hochsten Bedeutung endlich erscheint mir dieAusdehnung des Kroneckerschen Satzes auf den Fall, daß anStelle des Bereichs der rationalen Zahlen oder desimaginaren quadratischen Zahlenbereiches ein beliebigeralgebraischer Zahlkorper als Rationalitatsbereich zu Grundegelegt wird; ich halte dies Problem fur eines dertiefgehendsten und weittragendsten Probleme der Zahlen-und Functionentheorie.”
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 12, c.d.
Abelowe rozszerzenia cia la liczb wymiernych sa‘
generowane przezkombinacje liniowe pierwiastkow z jednosci (twierdzenieKroneckera-Webera).
Kronecker przypuszcza l, ze abelowe rozszerzenia urojonych cia lakwadratowego K jest generowana przez wartosci funkcji j(z) przyz ∈ k .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Funkcja j
j(z) =(1 + 240
∑∞k=1 σ3(k)qk)3
q∏∞
k=1(1− qk)24
= q−1 + 744 + aq + bq2 + cq3 · · · , (q = exp(2πiz))
gdzie a = 196 884, b = 21 493 760, c = 864 299 970.
”Monster”, M, to najwie‘ksza sporadyczna grupa prosta o
∼ 8 · 1053 elementach (przypuszczenie: Fischer–Griess (1973);konstrukcja: Griess (1980), jako grupa automorfizmow pewnejalgebry o wymiarze 196883).
Wymiary jej reprezentacji nieprzywiedlnych, to1, φ = 196 883, ψ = 21 296 876, τ = 842 609 326, . . . .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Monster
Dziwne zwia‘zki: a = 1 + φ, b = ψ + φ+ 1, c = τ + ψ + 2φ+ 2 · 1.
1984: Frenkel, Lipowsky, Meurman: konstrukcja algebry z gradacja‘
V \ =∞⊕
k=0
Vn,
z Aut(V \) =M oraz
n∑
k=0
qn dim Vn = q(j(z)− 744).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Funkcja j a krzywe eliptyczne
Zwia‘zek j(z) z krzywymi eliptycznymi:
Dla z ∈ C \ R niech Λ oznacza krate‘a + bz : a, b ∈ Z.
z 7→ C/Λ 7→ ℘(z) =1
z2+
∑
w∈Λ,w 6=0
(1
(z + w)2− 1
w 2
),
gdzie ℘ to funkcja Weierstrassa dla okresow 1, z .Spe lnia ona rownanie postaci
(℘′)2 = 4℘3 − a℘− b,
sta‘d ℘ 7→ E , gdzie E : y 2 = 4x3 − ax − b jest krzywa
‘eliptyczna
‘.
Z kolei niezmiennik, klasyfikuja‘cy krzywe eliptyczne, to
j(E ) = 1728a3
a3−27b2 . Wreszcie j(z) := j(E ).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Fueter - Hasse
Fueter (1914) i Hasse (1927–1931) opisali elementy generuja‘ce dla
abelowych rozszerzen cia l Q(√
d) (d < 0) (teoria mnozeniazespolonego).
Przypuszczenie Kroneckera okaza lo sie‘
nies luszne dla rozszerzeniaQ( 4√
1 + 2i)/Q(i) (Fueter, 1914).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 18
Problem 18:
W tym problemie wspomina sie‘
o najge‘stszym upakowaniu sfer i
czworoscianow w R3.
Przypadek regularny: Dla danej kraty Λ ⊂ Rn rozpatruje sie‘
rodzine‘
jednakowych kul o srodkach w punktach Λ. Jesli In jestkostka
‘jednostkowa
‘, to ρn(Λ) oznacza granice
‘stosunku obje
‘tosci
zaje‘tej przez te kule w xIn do xn, a ρn = supΛ ρn(Λ).
To sie‘
wia‘ze z minimum m(f ) na kracie Zn dla dodatnio
okreslonych form kwadratowych f o n zmiennych. Jesliγn = maxf
m(f )
Disc1/n(f ), to ρn wyraza sie
‘przez γn.
ρ2 = π/12 (Lagrange, 1773), ρ3 = π/√
18 (Gauss, 1831),ρ4 = π2/16 i ρ5 = π2/450 (Korkin, Zo lotariew, 1872),ρ6 = π3/(48
√3), ρ7 = π3/105 i ρ8 = π4/384 (Blichfeldt,
1925–1935). Dla n ≥ 9 znamy jedynie oszacowania.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem Keplera
Przypadek nieregularny: Nie zak lada sie‘, ze srodki sfer leza
‘w
kracie.
Hipoteza Keplera: W R3 optymalna ge‘stosc, to π/
√18.
Dowod poda l Hales (1997–2006).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Literatura
1. ”Mathematical Developments Arising from Hilbert’s Problems”,AMS, 1976.
2. I.Kaplansky, ”Hilbert’s problems”, University of Chicago Press,1977.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
III. Pierwsze lata
Liczby doskona le
Liczba n jest doskona la, gdy σ(n) = 2n.
Euklides–Euler: Parzysta liczba n jest doskona la, gdy n = 2p−1Mp,a Mp = 2p − 1 jest liczba
‘pierwsza
‘(tzw. liczba
‘Mersenne’a).
Najwie‘ksza
‘znana liczba
‘Mersenne’a jest Mp z p = 43 112 609 (ma
ona prawie 13 · 106 cyfr).
Przypuszcza sie‘, ze nieparzystych liczb doskona lych (OPN) nie ma.
Jesli n jest taka‘, to n > 10300 (Brent i in., 1991).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Test Lucasa
Edouard Lucas (1842–1891)
Niech S1 = 4, Sk+1 = S2k − 2. Jesli p ≥ 3, to Mp = 2p − 1 jest
liczba‘
pierwsza‘
wtedy i tylko wtedy, gdy Mp dzieli Sp−1.
W sieci dzia la grupa GIMP (Great Internet Mersenne Search)stosuja
‘ca ten test dla wielkich liczb pierwszych.
Adres: http://www.mersenne.org
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Dickson
Leonard Dickson (1874–1954)
1913: Dla kazdego k liczb OPN maja‘cych k dzielnikow pierwszych
jest skonczenie wiele.
Kazda taka liczba jest mniejsza od 24k (Nielsen, 2003).
1919: History of the Theory of Numbers.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Hipoteza Dicksona
1908. Hipoteza Dicksona: Jesli fi (X ∈ Z[X ] (i = 1, 2, . . . , n) sa‘
liniowe, a ich iloczyn nie ma sta lego dzielnika > 1, to dlanieskonczenie wielu n liczby fi (n) sa
‘pierwsze.
1972. Hensley i Richards: Z hipotezy Dicksona wynika istnieniex , y z π(x + y) > π(x) + π(y).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem Waringa
Waring (1770): ”Every integer is a sum of two, three, . . . , ninecubes; every integer is also the square of a square, or the sum ofup to nineteen such; and so forth. Similar laws may be affirmed forthe correspondingly defined numbers or quantities of any degree,”
Minimalna liczba s taka, ze dla wszystkich naturalnych n mamyn =
∑sj=1 x s
j z xj ≥ 0, oznaczana jest przez g(k), zas G (k), tominimalna liczba s, dla ktorej to zachodzi dla duzych n.
Przypuszczenie Waringa: g(k) <∞.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem Waringa w XIX wieku
Lagrange (1770): g(2) = G (2) = 4.
Liouville (1859): g(4) ≤ 53.
Maillet (1895, 1896): g(3) ≤ 21, g(5) <∞.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Waring dla bikwadratow
Dowod Liouville’a:
6(x21 + x2
2 + x23 + x2
4 )2 =∑
1≤i<j≤4
(xi + xj)4 +
∑
1≤i<j≤4
(xi − xj)4,
zatem 6n2 jest suma‘
12 bikwadratow, a sta‘d 6m jest suma
‘48.
Ostatecznie g(4) ≤ 48 + 5 = 53.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Waring, rok 1909
a) g(3) = 9 (Wieferich)
b) G (3) ≤ 8 (Landau)
Dzis wiemy, ze 4 ≤ G (3) ≤ 7 (Linnik, 1943).
c) g(k) <∞ (Hilbert)
Dowody opiera ly sie‘
na mniej lub bardziej zawi lych tozsamosciach.Pierwszy dowod Hilberta uzywa l ca lki w R25. Prowadzi l dolog log log g(k) = O(k log k) (Rieger, 1953).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Twierdzenie Thue
Axel Thue (1863–1922)
Jesli α jest liczba‘
algebraiczna‘
stopnia d > 1, to dla ε > 0
∣∣∣∣α−p
q
∣∣∣∣ ≥c(α)
qd/2+1+ε
zachodzi dla wszystkich ca lkowitych p i naturalnych q.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Wnioski
a) Thue 1909: Jesli f ∈ Z[x , y ] jest forma‘
nieprzywiedlna‘
stopnia≥ 3, to dla c 6= 0 rownanie
f (x , y) = c
ma skonczenie wiele rozwia‘zan w Z.
b) Thue 1917: Jesli a 6= 0, b2 6= 4ac to przy ustalonym nrownanie yn = ax2 + bx + c ma skonczenie wiele rozwia
‘zan w Z.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Siegel
Carl Ludwig Siegel (1896–1981)
1921 (praca doktorska): Jesli α jest stopnia d > 1, to
∣∣∣∣α−p
q
∣∣∣∣ ≥c(α)
q2√d
zachodzi dla wszystkich ca lkowitych p i naturalnych q.
W 1947 r. Dyson zasta‘pi l wspo lczynnik 2 przez
√2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Roth
Klaus F.Roth, ur. 1925
1955 (Medal Fieldsa 1958): Jesli α 6∈ Q jest algebraiczna, to dlaε > 0 ∣∣∣∣α−
p
q
∣∣∣∣ ≥c(α)
q2+ε
zachodzi dla wszystkich ca lkowitych p i naturalnych q.
Sta la c(α) nie jest efektywna.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Efektywizacja
Efektywizacja:Dla α = 3
√2 mamy ∣∣∣∣α−
p
q
∣∣∣∣ ≥c
qλ,
λ = 2.955, c = 10−3 (A.Baker, 1964),
λ = 2.45, c = 0.25 (Bennett, 1997),
λ = 2.4325, c = 0.25 (Voutier, 2007).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Efektywizacja,c.d.
1971. Feldman: Jesli degα = n ≥ 3, to dla wszystkich ca lkowitychp i naturalnych q ∣∣∣∣α−
p
q
∣∣∣∣ ≥c(α)
qn−δ(a)
z efektywnymi c(α) i δ(a) > 0.
1996. Bombieri, van der Poorten, Vaaler: Jesli ε > 0,α3 + mα + 1 = 0 i m > m(ε), to
∣∣∣∣α−p
q
∣∣∣∣ ≥c
q2+ε
z efektywnym c .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Ge‘ste podzbiory [0, 1]
1914. Hardy, Littlewood: a) Jesli λn →∞, to dla prawiewszystkich θ ∈ R cia
‘g λnθ lezy ge
‘sto w I = [0, 1].
b) Istnieja‘
niewymierne liczby θ, dla ktorych cia‘g 2nθ nie lezy
ge‘sto w I .
c) Pytanie: Czy istnieje θ takie, ze dla pewnego 2 ≤ q ∈ Z cia‘g
qnθ da‘zy do zera?
d) 1919. Hardy: Liczba algebraiczna θ ma te‘
w lasnosc ⇔ θ > 1, ajej sprze
‘zone leza
‘we wne
‘trzu ko la jednostkowego. [Wczesniej:
Thue, 1912. Pozniej: Pisot (1936) i Vijayaraghavan (1940), tzw.liczby PV .]
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Liczby P-V
Pisot, Vijayaraghavan: a > 1 jest liczba‘
PV ⇔ Istnieje λ > 1takie, ze
∞∑
n=1
‖ λan ‖2<∞.
1944. Salem: Zbior liczb PV jest domknie‘ty i nigdzie ge
‘sty.
1944. Siegel: Najmniejsze liczby PV to rzeczywiste pierwiastkix3 − x − 1 i x4 − x3 − 1.
1953. Dufresnoy, Pisot: Najmniejszy punkt skupienia liczb PV to(1 +
√5)/2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Charles Pisot (1910-1984)
Weyl
Hermann Weyl (1885–1955)
Cia‘g r1, r2, . . . liczb z [0, 1) ma ekwipartycje
‘mod 1, gdy dla
0 ≤ a < b < 1
limn→∞
1
n#k ≤ n : a ≤ rk < b = b − a.
Bohl (1909), Weyl (1910), Sierpinski (1910): Dla α ∈ R \Q cia‘g
nα ma ekwipartycje‘
mod 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Przypuszczenie Chinczyna
1923. Chinczyn przypuszcza l, ze jesli zbior A ⊂ [0, 1] jestmierzalny, oraz m1 < m2 < . . . , to dla prawie wszystkich θ
limn→∞
1
n#k ≤ n : mjθ ∈ A = µ(A).
Kontrprzyk lad: Marstrand (1970).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Kryterium Weyla
Weyl (1914): Cia‘g r1, r2, · · · ⊂ [0, 1) ma ekwipartycje
‘mod 1 wtedy
i tylko wtedy, gdy dla kazdej funkcji F R-ca lkowalnej w [0, 1] mamy
limN→∞
1
N
∑
n≤NF (rn) =
∫ 1
0F (t)dt.
Jest to rowowazne z
limN→∞
1
N
N∑
k=1
exp(2πimrk) = 0 (m ∈ Z,m 6= 0).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Ekwipartycja wartoci wielomianow
Weyl i niezaleznie Hardy i Littlewood (1914): Jesli dlaf (x) =
∑dj=0 ajX
j ∈ R[x ] przynajmniej jeden ze wspo lczynnikowa1, . . . , ad jest niewymierny, to cia
‘g f (n) ma ekwipartycje
‘mod
1.
Weyl to udowodni l poprzez oszacowania sum postaci∑Nn=1 exp(2πif (n)) (sumy Weyla).
Pozniej elementarny dowod znalaz l van der Corput (1931).
Sumy Weyla znalaz ly zastosowanie w problemie Waringa, teoriifunkcji ζ(s), teorii liczb pierwszych oraz teorii aproksymacjidiofantycznych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Twierdzenie Gaussa
Ω – obszar na p laszczyznie o polu V , a N(Ω) – liczba punktowkratowych w Ω.
Gauss: Jesli Ω jest zbiorem wypuk lym, to N(xΩ) = x2V + O(x).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Wzor Picka
1886. Pick: Jesli P ⊂ R2 jest wieloka‘tem o wierzcho lkach w Z2, to
vol(P) = I + B/2− 1, gdzie I ,B, to liczby punktow kratowychwewna
‘trz wzgl. na brzegu P.
1993. Morelli: Uogolnienie na wielosciany w Rn.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Punkty kratowe w wieloscianach
1923. Chinczyn: Dla prawie wszystkich wieloka‘tow P ⊂ R2
#tP ∩ Z2 = t2vol(P) + O(log1+ε t
)(ε > 0).
1962. Ehrhart: Jesli P ⊂ Rn jest wieloscianem wypuk lym owierzcho lkach w Zn, to #tP ∩ Zn jest wielomianem w t(wielomian Ehrharta).
To sie‘
wia‘ze z charakterystyka
‘Eulera rozmaitosci algebraicznych
(Cappel, Shaneson, 1994).
1994. Barvinok: Istnieje wielomianowy algorytm dla znalezienialiczby punktow kratowych w wieloscianie ustalonego wymiaru(przedtem by lo to znane dla dim ≤ 4).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem dzielnikow
T (t), to liczba punktow kraty Z2 w obszarze x ≥ 1, 1 ≤ y ≤ t/x .Jesli d(n) jest suma
‘dzielnikow n, to
∑
n≤td(n) =
∑
n≤t
∑
d |n1 =
∑
d≤t
[ t
d
]= T (t).
Dirichlet: T (t) = t log t + (2γ − 1)t + O(√
t), gdzie
γ = limn→∞
(n∑
k=1
1
k− log n
)= 0.577 . . .
jest sta la‘
Eulera.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Woronoj
Georgij Feodosewicz Woronoj (1868–1908) nauczycielWac lawa Sierpinskiego
1903: T (t) = t log t + (2γ − 1)t + R(t), gdzieR(t) = O
(t1/3 log t
).
Metoda: Podzia l obszaru pod hiperbola‘
na odpowiednio dobranecze
‘sci.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem dzielnikow, c.d.
R(t) = −2∑
n≤√t
( t
n
− 1
2
)+ O(1).
Poniewaz
x − 1/2 =1
2π
∑
n∈Z,n 6=0
exp(2πnti)
n,
badanie reszty R(t) sprowadza sie‘
do oszacowania sumtrygonometrycznych. Metody oszacowan takich sum stworzyli vander Corput (1919) i I.M.Winogradow (1917).
Obecny rekord: R(t) = O(tc) z c > 131/416 = 0.3149 . . .(Huxley, 2003).
R(t) 6= O(t1/4) (Hardy, 1915).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem ko la
Jesli Ω jest ko lem jednostkowym, to V = π, wie‘c
F (x) = N(√
xΩ) =∑
a2+b2≤x1 = πx + r(x),
gdzie r(x) = O(√
x).
1906 Sierpinski: r(x) = O(xc), z c = 1/3.
W 1922 r. van der Corput uzyska l c = 0.33. Obecny rekord todowolne c > 131/416 = 0.3149 . . . (Huxley, 2003).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Krzywe eliptyczne
Krzywa eliptyczna E nad cia lem charakterystyki 6= 2, 3 da sie‘
sprowadzic do postaci
y 2 = f (x), deg f = 3, (f , f ′) = 1.
Po dodaniu punktu ∞ ma strukture‘
grupy abelowej (to jest ukrytew pracy Poincare o krzywych algebraicznych z 1901 r.)
Z twierdzenia Thue wynika, ze na krzywej eliptycznej E (Q) lezyjedynie skonczenie wiele punktow (x , y) ∈ Z2 (Mordell, 1922).
1922. Mordell: E (Q) jest skonczenie generowalna.
To jest tez prawda‘
dla krzywych E (K ), gdzie [K : Q]∞ (Weil,1928) i rozmaitosci abelowych nad cia lem skonczeniegenerowalnym (Neron, 1952).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Krzywe eliptyczne, c.d.
Twierdzenie Mordella daje: : E (Q) = Zr ⊕ A, gdzie A = Etor (Q)skonczona.
Efektywne wyznaczanie punktow torsyjnych:
Twierdzenie Nagell (1935) – Lutz (1937): JesliE : y 2 = x3 + ax + b (a, b ∈ Z) i P = (x , y) ∈ Etor (Q), to P =∞lub x , y ∈ Z oraz y 2|4a3 + 27b2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Levi – Mazur – Merel
Levi (1908) znalaz l ∞ krzywych E , dla ktorych Etor (Q) to Cn
(n ≤ 10), C12 oraz A = C2n ⊕ C2 (n ≤ 4) i przypuszcza l, ze innegrupy nie sa
‘mozliwe. Udowodni l to B.Mazur w 1977 r.
Merel (1996): #Etor (K ) ≤ c(N) (N = [K : Q]). Dok ladniej: jeslipn|#Etor (K ), to p ≤ N3N2
(Merel), a pk < 1055NN6 (Parent,1999).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Krzywe eliptyczne nad cia lami skonczonymi
1941: Deuring: Opis rze‘dow krzywych eliptycznych nad Fp.
1969: Waterhouse: Taki opis dla krzywych nad Fpn .
1987. Ruck: Opis struktury grupowej krzywych nad Fpn .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
IV. Pierwsze lata: 1901–1920. Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Omowienie
Szybki rozwoj analizy zespolonej w XIX wieku — zastosowania jejmetod w teorii liczb.Ca lkowanie zespolone stosowa l do tych celow juz Riemann, a teorie
‘szeregow Dirichleta
∞∑
n=1
anns
probowa l zbudowac Cahen (1894).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Landau o Cahenie
O pracy Cahena Landau napisa l w 1909 roku:”Alsdann enthalt aber der auf die allgemeine Theorie derDirichletschen Reihen bezuglicher Teil seiner Arbeit eine Reihe vonFehlschlussen verschiedenster Art und mit ihrer Hilfe eine so großeZahl tiefliegender und merkwurdiger Gesetze, daß vierzehn Jahreerforderlich waren, bis es moglich wurde bei jedem einzelnen derCahenscher Resultate festzustellen, ob es richtig oder falsch ist.”
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Wzor Perrona
Najcze‘stszy sposob stosowania analizy do teorii liczb, to warianty
wzoru (Riemann, Cahen, Perron)
∑
m≤xam =
1
2πi
∫ c+i∞
c−i∞f (s)
x s
sds
dla
f (s) =∞∑
n=1
anns.
Zak lada sie‘
tu zbieznosc szeregu∑∞
n=1anns dla <s > σ, zas c > σ,
a x nie jest liczba‘
ca lkowita‘.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Wzor Perrona, c.d.
Wzor ten wynika z tozsamosci
1
2πi
∫ c+i∞
c−i∞
y s
sds =
1 gdy y > 1,1/2 gdy y = 1,0 gdy 0 < y < 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Landau
Edmund Landau (1877–1938) Jako pierwszy systematycznie
stosowa l metody analityczne w teorii liczb.
1899: Nowy dowod rownosci∑∞
n=1µ(n)n = 0.
1902. Pierwsze kroki w problemie 8 (cz. f) Hilberta —przeniesienie teorii Czebyszewa na idea ly pierwsze:
ax
log x≤ #p : N(p) ≤ x ≤ b
x
log x.
1903. Twierdzenie o idea lach pierwszych:
πK (x) := #p : N(p) ≤ x = (1 + o(1))x
log x.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Landau, c.d.
1909. ”Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen”.
Hardy i Heilbronn napisali w nekrologu Landau’a o tej ksia‘zce:
”In it the analytic theory of numbers is presented for the first time,not as a collection of few beautiful scattered theorems, but as asystematic science. The book transformed the subject, hitherto thehunting ground of a few adventurous heroes, into one of the mostfruitful fields of research . . . ”.
Gronwall napisa l w recenzji w Biuletynie AMS: ”the exposition in itis a model of clearness and rigor”.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Problemy Landau
Jeszcze w 1911 pisano o teorii liczb: “Quoique methodes de latheorie des nombres paraissant encore bien vague et imprecises, onpeut neanmoins signaler dans cette partie de la Science l’existenced’un petit nombre d’idees generales . . . ” (Chatelet, These).
1912: Trzeci ICM w Cambridge, pierwszy odczyt z teorii liczb naKongresie wyg losi l Landau o problemach.
M.in.: Czy wielomian x2 + 1 przedstawia nieskonczenie wiele liczbpierwszych? (To jest szczegolny przypadek przypuszczeniaBuniakowskiego z po lowy XIX wieku).
To jest rownowazne z istnieniem ∞ wielu liczb pierwszych p z√p < 1
pc z c = 1/2. Dzis wiemy, ze mozna przyja‘c tu dowolne
c < 1/4 (Balog (1983), Harman (1983)). RH ⇒ (c < 1/2 jestdobre) (Kaufman, 1979).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Twierdzenie Littlewooda
Przypuszczenie (sprawdzone wowczas dla x ≤ 109, a obecnie do1014), ze dla x ≥ 2 zachodzi π(x) < li(x) obali l Littlewood (1914):
π(xn) > li(xn) + c√
xnlog log log xn
log xn(xn →∞).
1933. Skewes: RH ⇒ π(x) > li(x) dla pewnego x < 1010a za = 1034.
1955. Skewes: π(x) > li(x) dla pewnego x < 1010b z b = 101000.
2010. Saouter, Demichel: Juz dla pewnego x < 1.38 · 10316.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Zmiany znaku
ν(T ) – ilosc zmian znaku π(x)− li(x) w przedziale [2,T ].
1935. Ingham: RH ⇒ ν(T ) > c log T .
1961. Knapowski: ν(T ) > a log log T . Efektywnie:ν(T ) ≥ e−35 log log log log T .
1985. Kaczorowski: ν(T ) > b log T dla duzych T .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Jerzy Kaczorowski
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Eratostenes
Sito Eratostenesa-Legendre’a:
π(N) = π(√
N) +k∑
i=1
(−1)i∑
pj1<···<pji<√N
[N
pj1 · · · pji
],
wie‘c
π(N) = π√
N +∑
d |Dµ(d)
[N
d
],
gdzie D =∏
p≤√N p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Sito Bruna
Viggo Brun (1885–1978)
Brun (1915–1920) zauwazy l, ze przerywaja‘c procedure
‘Legendre’a
na parzystym kroku otrzymamy oszacowanie dolne, a przerywaja‘c
na kroku nieparzystym otrzymamy oszacowanie dolne. To da lo:
a) Ilosc liczb pierwszych p ≤ x , dla ktorych p + 2 jest pierwsze jest< 100x
log2 xdla duzych x .
b) Dla duzych n mamy 2n = a + b, przy czym ω(a), ω(b) ≤ 9(ω(n) =
∑p|n 1).
c) Dla x > x0 w przedziale [x , x +√
x ] lezy liczba a z ω(a) ≤ 11.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Twierdzenie Bruna-Titchmarsha
d) Istnieje sta la C taka, ze
π(x ; k , l) ≤ C
ϕ(k)
x
log(x/k).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Sito Bruna, c.d.
Dalsze zastosowania:
Nagell 1922: Dla 1 ≤ n ≤ x wielomian moze przedstawiacconajwyzej o(x) liczb pierwszych.(Dopiero w 1932 Heilbronn uzyska l tu O(x/ log x).
Rademacher 1923: Jesli f ∈ Z[X ] stopnia d jest nieprzywiedlny inie ma sta lego dzielnika, to Ω(f (n)) ≤ 4d − 1 dla ∞ n.
Znacznie silniejsze sita doprowadzi ly do Ω(f (n)) ≤ d + 1(Buchsztab, 1965 i Richert, 1969), a dla wielomianowkwadratowych mamy Ω(f (n)) ≤ 2 dla ∞ n (Iwaniec, 1978).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Henryk Iwaniec
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Polya-Winogradow
1918. Polya, Winogradow: Jesli χ 6= 1 jest charakterem mod k, to
S(χ) =
∣∣∣∣∣∣∑
n≤xχ(n)
∣∣∣∣∣∣≤√
k log k .
Mozna przyja‘c c = 1/(π
√2) = 0.225 . . . (Landau, 1918).
1977. Montgomery, Vaughan: GRH ⇒ S(χ) = O(√
k log log k).
To jest optymalne, bo istnieje cia‘g χj mod kj z
S(χj) >17
√kj log log kj (Paley, 1932).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Hugh Montgomery
Robert Vaughan
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Pierwiastki pierwotne
Zastosowania: g(p) – minimalny pierwiastek pierwotny mod p.
1918. Winogradow: g(p) ≤ 4ω(p−1)√p log p.
1930. Winogradow: g(p) ≤ 2ω(p−1)√p log log p.
1942. Hua: g(p) ≤ 2 · 2ω(p−1)√p.
1945. Erdos: g(p) <√
p log17 p dla duzych p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Ma le niereszty kwadratowe
n(p) – minimalna niereszta kwadratowa mod p.
1927. Winogradow: n(p) < pc log2 p dlac = exp(−1/2)/2 = 0.303 . . . .
1957. Burgess: n(p) = O(pc) dla c = exp(−1/2)/4 = 0.1516 . . . .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Burgess
1962. Burgess: Dla χ mod p mamy
N+h∑
m=N+1
χ(m) h1/2p1/4 log p.
Wniosek: g(p) = O(pc) dla wszystkich c > 1/4,
1990. Bach: GRH ⇒ g(p) < 3 log2 p.
1984. Gupta, Murty: g(p) < 2250 dla nieskonczenie wielu p.
1986: Heath-Brown zasta‘pi l 2250 przez 5.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Artin o pierwiastkach pierwotnych
1927. Hipoteza Artina: (a) Jesli a 6= −1, n2, to a jestpierwiastkiem pierwotnym dla ∞ p.
(b) Ilosc Na(x) takich p spe lnia
Na(x) = (c(a) + o(1))x
log x(c(a) > 0).
1967. Hooley: (a) i (b) wynikaja‘
z GRH.
1986. Heath-Brown: (a) jest prawdziwe dla wszystkich liczbpierwszych a, z wyja
‘tkiem conajwyzej dwoch.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Dane
Godfrey Harold Hardy (1877–1947)
John Edensor Littlewood (1885–1977)
Srinivasa Ramanujan (1887–1920)
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Ramanujan
1916: Funkcja τ Ramanujana:
∆(x) = x∞∏
k=1
(1− xk)24 =∞∑
n=1
τ(n)xn.
∆(exp(2πiz)), to wyroznik w teorii funkcji eliptycznych, formamodularna wagi 12.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Hipotezy Ramanujana
a) τ(mn) = τ(m)τ(n), gdy (m, n) = 1,
b) Dla liczb pierwszych i n ≥ 1:τ(pn) = τ(p)τ(pn−1)− p11τ(pn−2).
c) Dla liczb pierwszych |τ(p)| ≤ 2p11/2.
d) Dla nieskonczenie wielu n mamy |τ(n)| ≥ n11/2.
a) i b) udowodni l Mordell w 1917 r., a c) dopiero Deligne (1974).Hardy (1927) udowodni l |τ(n)| ≥ cn11/2 z c > 0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Hardy i Ramanujan, funkcja omega
Pocza‘tek probabilistycznej teorii liczb.
Hardy i Ramanujan (1917): Jesli ε(n)→∞, to dla prawiewszystkich liczb naturalnych n mamy
|ω(n)− log log n|√log log n
< ε(n).
1940. Erdos, Kac: Jesli
N(x ; a) = #n ≤ x :ω(n)− log log n√
log log n≤ a, to
limx→∞
1
xN(x , a) =
1√2π
∫ a
−∞exp(−t2/2)dt.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Paul Erdos (1913–1996)
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Oszacowanie reszty
R(x , a) =N(x , a)
x− 1√
2π
∫ a
−∞exp(−t2/2)dt.
1948: LeVeque: R(x , a) = O(log log log x/(log log x)1/4
).
1956: Kubilius: R(x , a) = O(log log log x/(log log x)1/2
).
1958. Renyi, Turan: R(x , a) = O((log log x)−1/2
), jednostajnie
wzgl. a.
1962. Delange: przy pewnych oganiczonych fj(x , a) i N = 1, 2, . . .
R(x , a) =N∑
j=1
fj(x , a)
(log log x)j/2+ O
(1
(log log x)(N+1)/2
).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Jonas Kubilius (1921–2011)
Hubert Delange (1913–2003)
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Partycje
Twierdzenie tauberowskie:Hardy i Ramanujan (1916): Jesli an ≥ 0, f (x) =
∑∞n=1 ann−x
(x > 0) i przy x → 0
log f (x) = (A + o(1))x−α(log(1/x))−β,
to
log∑
n≤xan = (B(A, α, β) + o(1))x(log log x)γ , (γ = −β/(1 + α)).
p(n) to ilosc partycji n. Euler:
Φ(x) := 1 +∞∑
n=1
p(n)xn =∞∏
k=1
(1− xk)−1.
To prowadzi do log p(n) ∼ π√
2n/3.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Partycje, c.d.
Hardy i Ramanujan (1917):
p(n) =
(1
4√
3+ o(1)
)exp(π
√2n/3)
n.
Wzor Cauchy’ego daje dla 0 < r < 1:
p(n) =1
2πi
∮
Γr
Φ(z)
zn+1dz ,
gdzie Γr = z : |z | < r.Rademacher (1937) zmodyfikowa l dowod i otrzyma l wzor na p(n)z b le
‘dem mniejszym od 0.5.
Bringmann i Ono (2007) oraz Bruinier i Ono (2011) uzyli pewnychrodzin form modularnych do ”prostych” wzorow na p(n).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum, Waring
Cykl prac ”Partitio Numerorum” Hardy’ego i Littlewooda(1920–1928):
a) Nowy dowod twierdzenia Waringa-Hilberta (PN I) oparty naca lkowaniu zespolonym.
Jesli 0 ≤ a1 < a2 < . . . i f (z) =∑∞
n=1 zan , a rs(N) oznacza iloscprzedstawien
N = ai1 + · · ·+ ais ,
to
f s(z) =∞∑
N=1
rs(N)zN .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Waring, c.d.
Dla s > 2k
rk,s(n) = #n = xk1 +· · ·+xk
s =
(Γ(1 + 1/k)k
Γ(s/k)+ o(1)
)S(n)ns/k−1,
gdzie
S(n) =∞∑
b=1
∑
1≤a<b
(a,b)=1
(Sa,b
b
)s
exp(−2πna/b),
Sa,b =b−1∑
h=0
exp(2πihka/b).
S(n) 6= 0 gdy n = yk1 + · · ·+ yk
s (yj ∈ Zp) dla wszystkich p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum, G(k)
b) Oszacowania G (k) – sta lej Waringa dla dostatecznie duzychliczb.
G (k) ≤ (k − 2)2k−1 + 5 (PN IV, 1922)
G (4) ≤ 19 (PN VI,1925). Dzis wiemy, ze G (4) = 16 (Davenport,1939).
Wiadomo, ze G (k) ≥ k + 1 (Hurwitz, Maillet, 1908).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum, Goldbach
c) Z ERH wynika ternarna hipoteza Goldbacha dla duzych nnieparzystych, a ilosc przedstawien, to
(c + o(1))n2
log3 n
∏
p|n,p 6=2
(p − 1)(p − 2)
p2 − 3p + 3.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum. Problemy
D luga lista problemow o liczbach pierwszych.
a) Duza liczba n 6= x2 jest postaci n = p + a2. Wiemy, ze tak jestdla prawie wszystkich n (Romanow, 1934).
b) Duza liczba n jest postaci p + x2 + y 2. Udowodni l to Linnik w1960 r.
c) x3 + y 3 + z3 przedstawia nieskonczenie wiele liczb pierwszych.Mocniejszy wynik dowodni l Heath-Brown (2001):Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych postaci x3 + 2y 3.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb
V. 1920–1950. Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Phragmen
ψ(x) =∑
pn≤x log p.
1891. Phragmen: ∆(x) = ψ(x)− x zmienia znak nieskonczeniewiele razy.
ω(T ) – liczba zmian znaku w przedziale [2,T ].
1930. Polya: lim supT→∞ ω(T )/logT ≥ γ0/π, gdzieγ0 = 14.13 . . . jest cze
‘scia
‘urojona
‘najmniejszego co do modu lu
nietrywialnego zera funkcji ζ(s) .
1961. Knapowski: ω(T ) ≥ (log log T )/3 + O(1).
1984. Kaczorowski: ω(T ) ≥ γ0/(4π) log T dla T ≥ T0.
1989. Szyd lo: ω(T ) ≥ (0.99999997γ0/π) log T dlaT > exp(9 · 1014).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Hipoteza Lindelofa
Ernst Leonard Lindelof (1870–1946)
Hipoteza Lindelofa (1908): Jesliµ(σ) = infa : |ζ(σ + it)| = O(ta), to
µ(σ) =
1/2− σ gdy 0 < σ < 1/2,0 gdy σ ≥ 1/2.
Jest ona konsekwencja‘
RH (Backlund 1918-1919) i jestrownowazna z |ζ(1/2 + it)| = O(tε) dla ε > 0 (Hardy, Littlewood,1923). Wynika z niej hipoteza ge
‘stosciowa
N(α,T ) = #σ + it : ζ(σ + it) = 0, 0 < t ≤ T , σ ≥ α
= O(
T 2(1−α)+ε)
(ε > 0),
oraz dn = pn+1 − pn = O(p1/2+εn ) (Ingham).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Hipoteza ge‘stosciowa
Hipoteza ge‘stosciowa jest prawdziwa dla σ ≥ C .
1965: Turan: C = 1− η przy pewnym η > 0.
1969. Montgomery: C = 0.9. . . . . .2000: Bourgain: C = 25/32 = 0.78125.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Hipoteza ge‘stosciowa dla L-funkcji
N(σ,T , χ) = #ρ = x + iy : x ≥ σ, |y | ≤ T , L(ρ, χ) = 0.
N1(σ,T , k) =∑
χ mod k
N(σ,T , χ).
1946. Przypuszczenie Linnika: N1(σ,T , k) = O((kT )2(1−σ)+ε
).
1971. Montgomery: Dowod dla σ ≥ 0.9.
1979. Heath-Brown: Dowod dla σ ≥ 15/19 = 0.7894 . . . .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Konsekwencje
Wniosek z hipotezy ge‘stosciowej:
Gao (1985): Dla prawie wszystkich n: dn = O(p1/6n log22 n).
Wniosek z hipotezy ge‘stosciowej dla L-funkcji:
p(k, l), najmniejsza liczba pierwsza p ≡ l mod k jest mniejsza odc(ε)k1/2+ε.
JesliN1(σ,T , k) = O
((kT )B(1−σ)+ε
),
top(k , l) = O(kB+ε).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Ikehara
Twierdzenie tauberowskie Ikehary (1931):
Jesli an ≥ 0, f (s) =∑∞
n=1 ann−s = cs−1 + g(s), gdzie g jest
regularna w <s ≥ 1, to∑
n≤xan = (c + o(1))x .
Daje ono natychmiastowy dowod twierdzenia o liczbach pierwszychprzez zastosowanie do
−ζ′(s)
ζ(s)=∞∑
n=1
Λ(n)
ns,
gdzie
Λ(n) =
log p gdy n = pk , k ≥ 1,0 w innym przypadku.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Dowod PNT
Poniewaz
ζ(s) =1
s − 1+ g(s),
gdzie g jest regularna w <s ≥ 1, zatem
−ζ ′(s)/ζ(s) =1
s − 1+ h(s),
z funkcja‘
h regularna‘
w <s ≥ 1. Tw. Ikehary daje
ψ(x) =∑
n≤xΛ(n) = (1 + o(1))x ,
aleψ(x)− θ(x) =
∑
pn≤x ,n≥2
log p = O(√
x log x),
wie‘c θ(x) = (1 + o(1)x).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
L(1) i zera Siegela
Gronwall (1913), Titchmarsh (1930), Page (1935): Istnieje c > 0takie, ze dla wszystkich pierwotnych charakterow χ mod k z k ≤ xz conajwyzej jednym wyja
‘tkiem i dla σ > 1− c/log(x(|t|+ 2))
mamy L(σ + it, χ) 6= 0 . Jesli wyja‘tek s = ρ istnieje (tzw. zero
Siegela), to charakter χ jest rzeczywisty oraz ρ ∈ R.
Wniosek. (Titchmarsh, 1930):
π(x ; k, l) =li(x)
ϕ(k)+ O(x exp(−c
√log x))
jednostajnie dla k ≤ exp(√
log x) z conajwyzej jednym wyja‘tkiem.
Z GRH wynika
π(x ; k , l) =li(x)
ϕ(k)+ O(
√x log x).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Twierdzenie Siegela
Siegel (1935): Dla rzeczywistych χ mod k i ε > 0 mamyL(1, χ) > c(ε)k−ε z nieefektywnym c(ε) > 0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Siegel-Walfisz
Arnold Walfisz (1892–1962)
1936: Z twierdzenia Siegela wynika
ρ < 1− B(ε)/kε
i
π(x ; k , l) =li(x)
ϕ(k)+ O(x exp(−c log1/2 x)),
jednostajnie dla k ≤ logq x .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
L(1)
χ rzeczywiste:
1951. Tatuzawa: Dla k > exp(1/ε) mamy L(1, χ) > 0.655εk−ε zconajwyzej jednym wyja
‘tkiem.
2007. Y.G.Chen: Dla ε < 1/6 log 10 i k > exp(1/ε) mamyL(1, χ) > 15 · 105εk−ε z conajwyzej jednym wyja
‘tkiem.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Zera Siegela
1966. Davenport:
1− ρ >
c/(√
k log log k) gdy χ(−1) = −1,c log k/(
√k log log k) gdy χ(−1) = 1.
1975. Goldfeld, Schinzel:
1− ρ >
c/√
k gdy χ(−1) = −1,c log k/
√k gdy χ(−1) = 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Konsekwencje
Jesli istnieja‘
zera Siegela, to
a) w twierdzeniu Bruna-Titchmarsha
π(x ; k, l) ≤ c
ϕ(k)
x
log(x/k)
mamy c ≥ 2 (Motohashi, 1979),
b) istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych blizniaczych(Heath-Brown, 1983).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Yoichi Motohashi
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Roznice kolejnych liczb pierwszych
1920. Cramer: Z RH wynika dn = pn+1 − pn = O(√
pn log pn).
Hipoteza Cramera (1936): dn = O(log2 pn).
Schinzel (1961) przypuszcza l, ze dla pn ≥ 11 mamy dn < log2 pn.
Wiemy jedynie, ze dn = O(pan) dla a > 107/200 = 0.535
(R.C.Baker, Harman, 1996).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Liczby pierwsze w krotkich przedzia lach
1937. Ingham: Jesli ζ(1/2 + it) = O(tc), to
π(x + xA)− π(x) = (1 + o(1)) xA
log x zachodzi dlaA > (1 + 4c)/(2 + 4c).
Hardy, Littlewood: c ≤ 1/6, wie‘c
(1 + 4c)/(2 + 4c) = 5/8 = 0.625, a zatem dla x > x0 sa‘
liczbypierwsze pomie
‘dzy x3 a (x + 1)3.
Dzis wiemy, ze za A mozna przyja‘c 0.6189 . . . (Maier, 1985).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Ma le roznice liczb pierwszych
E = lim inf dnlog pn
.
Z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika E ≤ 1.
Hardy, Littlewood: Z RH wynika E ≤ 2/3.
1940. Rankin: Z GRH wynika E ≤ 3/5.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Robert Rankin (1915–2001)
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Ma le roznice liczb pierwszych, c.d.
1940. Erdos: E < 1.
1950. Rankin: E ≤ 42/43 = 0.9767 . . . .
1965. Wang, Xie, Yu: E ≤ 29/32 = 0.9062 . . . .
1966. Bombieri, Davenport: E ≤ 0.4665 . . . .
1988. Maier: E ≤ 0.2484 . . . .
2009. Goldston, Pintz, Yildirim: E = 0.
2010. Goldston, Pintz, Yildirim:
lim infn→∞
dn√log pn(log log pn)2
<∞.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Janos Pintz
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Ma le liczby pierwsze w poste‘pach
p(k, l) – najmniejsza liczba pierwsza p ≡ l mod k.
1930. Titchmarsh: GRH ⇒ p(k, l) = O(k2+ε) dla ε > 0.
1934. Chowla: p(k , l) < exp(ck3/2 log6 k).
1944. Linnik: p(k, l) = O(kC ) z pewnym C (sta la Linnika).
1957. Pan: C ≤ 5448.. . . . . .1991. Heath-Brown: C ≤ 5.5.
2011: Xylouris: C ≤ 5.18.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Ma le liczby pierwsze w poste‘pach, c.d.
1961. Prachar: C ≥ 1, dok ladniej, dla kazdego l i nieskonczeniewielu k :
p(k , l) ≥ Bk log k log log k log log log log k
(log log log k)2.
1964. Barban, Czudakow, Linnik: Dla k = pn mamyp(k, l) ≤ c(p)ka dla a > 8/3 = 2.66 . . . .
1974. Iwaniec: Mozna tu przyja‘c kazde a > 2.4601 . . . .
1996: Bach, Sorenson: GRH ⇒ p(k , l) ≤ 2k2 log2 k.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Liczby pierwsze w poste‘pach
1939. van der Corput: Istnieje nieskonczenie wiele 3-elementowychposte
‘pow arytmetycznych z lozonych z liczb pierwszych.
1982. Grosswald: Istnieje (c + o(1)x2/log3x takich trojek ≤ x .
1992. Balog: Dla kazdego m ≥ 2 istnieje nieskonczenie cia‘gow
p1, p2, . . . , pm liczb pierwszych takich, ze (pi + pj)/2 jest tez liczba‘
pierwsza‘.
2004. Green, Tao (Medal Fieldsa 2006): Dla kazdego k istniejenieskonczenie wiele k-wyrazowych poste
‘pow arytmetycznych
z lozonych z liczb pierwszych.
2008. Tao, Ziegler: Jesli P1, . . . ,Pk ∈ Z[X ] iP1(0) = · · · = Pk(0) = 0, to istnieje nieskonczenie wiele n i m dlaktorych P1(n) + m, P2(n) + m, . . . , Pk(n) + m sa
‘liczbami
pierwszymi.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Elementarne dowody
1948. Erdos i Selberg podali elementarny dowod PNT:π(x) ∼ x/logx .
Tozsamosc Selberga:
∑
P≤xlog2 p +
∑
pq≤xlog p log q = 2x log x + O(x) (p, q pierwsze).
Elementarne dowody PNT niezwia‘zane z metodami
Erdosa-Selberga podali Daboussi (1984) i Hildebrand (1986).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Oszacowanie reszty
Reszta w elementarnym dowodzie PNT :
1955. Kuhn: π(x)− x/ log x = O(x/ loga x) z a = 0.1.1962. Bombieri oraz Wirsing: a dowolne.. . . . . .1999. Lu: π(x)− li(x) = O(x exp(−c logb x)) z b = 1/2− ε.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Eduard Wirsing
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Elementarne dowody, c.d.
Elementarne dowody:
1949. Selberg oraz Zassenhaus: π(x ; k , l) ∼ 1ϕ(k)
xlog x .
1949. Shapiro: Twierdzenie o idea lach pierwszych.
1954. Briggs: Twierdzenie Dirichleta-Webera o liczbachpierwszych przedstawialnych przez forme
‘kwadratowa
‘.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Ksiazki
1927. Landau: ”Vorlesungen uber Zahlentheorie”, I–III.
1930. Titchmarsh: ”The Zeta-Function of Riemann”.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Metoda Winogradowa
I.M.Winogradow (1891–1983)
1924–1928. W ”circle method” aby znalezc n-ty wspo lczynnik wf (z) =
∑∞k=0 akzk wystarczy stosowac wzor Cauchy’ego do
wielomianu Wn(z) =∑n
k=0 akzk .
To pozwala ca lkowac po okre‘gu |z | = 1 zamiast po |z | = r → 1 i
problem sprowadza sie‘
do oszacowan sum trygonometrycznych zuwagi na Wn(e it) =
∑nk=0 ak exp(kit).
Oszacowanie G (k) otrzymuje sie‘
rze‘du ck2k , podobnie jak u
Hardy’ego i Littlewooda.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Metoda Winogradowa
1934. Zamiast szacowac ilosc przedstawien n = xk1 + · · ·+ xk
s
Winogradow szacowa l liczbe‘
przedstawien
n =4m−2∑
j=1
xkj + u1 + u2 + yku3,
gdzie m jest rze‘du 2k log k , zas liczby ui sa
‘sumami O(k log k)
k-tych pote‘g, leza
‘cych w odpowiednio dobranych przedzia lach. To
doprowadzi lo doG (k) ≤ 6k log k + 10k .
1947. G (k) ≤ 3k log k + 11k (k ≥ 3).
Wooley (1992): G (k) ≤ k log k + k log log k + C .W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Idealny Waring
J.A.Euler:
g(k) ≥ I (k) :=
[(3
2
)k]
+ 2k − 2,
gdyz 2k [(3/2)k ]− 1 wymaga I (k) k-tych pote‘g.
1853. Bretschneider przypuszcza l, ze g(k) = I (k). Tak jest dlak = 2 (Lagrange) i k = 3 (Wieferich).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
”Ascent” Dicksona
1927–1936. ”Metoda wste‘powania” (method of ascent) Dicksona:
Podstawowy lemat: Jesli n > m, to istnieje x takie, zen − xk ∈ [m,m + kn1−1/k ].
q = [(3/2)k ], r = 3k − 2kq, s = [(4/3)k ].
g(k) =
I (k) gdy r ≤ 2k − q − 3,I (k) + s gdy r > 2k − q − 1, qs + q + s = 2k ,I (k) + s − 1 gdy r > 2k − q − 1, qs + q + s 6= 2k .
Przypadki r = 2k − q, r = 2k − q− 1 nie wyste‘puja
‘, a w przypadku
r = 2k − q − 2 rownosc I (k) = g(k) udowodni l Niven (1944).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Sta la Waringa
1940. Pillai: g(6) = I (6) = 73.
1964. Chen: g(5) = I (5) = 37.
1957. Mahler: Dla k ≥ k0 zachodzi g(k) = I (k) z nieefektywnymk0. Be
‘dzie to efektywne, jesli dla k ≥ K z efektywnym K zachodzi
∥∥∥∥∥
(3
2
)k∥∥∥∥∥ ≥ 2
(3
4
)k
,
gdzie ‖ a ‖ oznacza odleg losc a od najblizszej liczby ca lkowitej.Tak jest po zamianie 3/4 na 0.5803 (Zudilin, 2007.)
1986. Balasubramanian, Deshouillers, Dress: g(4) = 19.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Jean-Marc Deshouilliers
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Sznirelman
Lev Genrikowicz Sznirelman (1905–1938)
Istnieje sta la C (sta la Sznirelmana) taka, ze kazda liczba ≥ 4 jestsuma
‘conajwyzej C liczb pierwszych.
Ge‘stosc Sznirelmana:
δ(A) = infx≥1
1
x
∑
a∈A1≤a≤x
1.
Jesli A + B = a + b : a ∈ A, b ∈ B oraz 1 ∈ A, 0 ∈ B, to
δ(A + B) ≥ δ(A) + δ(B)− δ(A)δ(B).
Wniosek: Jesli δ(A) > 0 i 0 ∈ A, to A jest baza‘, tj. istnieje k take,
ze kazde n > 0 jest suma‘≤ k sk ladnikow z A.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Twierdzenie Sznirelmana
P – zbior liczb pierwszych. Sito Bruna prowadzi do δ(P + P) > 0,a wniosek daje tw. Sznirelmana.
1942. Mann: δ(A + B) ≥ min1, δ(A) + δ(B).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Sta la Sznirelmana
1936. Heilbronn, Landau, Scherk: Dla duzych n, C ≤ 73.
Dla n ≥ 4:C < 2 · 104 (Szanin, 1964), . . . , C ≤ 7 Ramare (1995).
RH ⇒ C ≤ 5 (Kaniecki, 1995).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Winogradow
1937. I.M.Winogradow (metoda‘
Hardy’ego-Littlewooda): Kazdenieparzyste n ≥ n0 jest suma
‘3 liczb pierwszych.
Znacznie prostszy dowod znalaz l Vaughan (1977).
1956. Borozdkin: n0 ≤ exp exp(16.038) ∼ 8 · 104 008 659.
1997. Zinoviev: GRH ⇒ n0 < 1020.
1998. Saouter: Kazde nieparzyste n ≤ 1020 jest suma‘
3 liczbpierwszych.
Wniosek: Z GRH wynika ternarna hipoteza Goldbacha.
2002. Liu, Wang: n0 ≤ exp(3100) ∼ 2 · 101346.
2003. Ramare, Saouter: Kazde nieparzyste n ≤ 1.13 · 1022 jestsuma
‘3 liczb pierwszych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Binarna hipoteza Goldbacha
E (x) = #n ≤ x : 2|n 6= p1 + p2.1937. Czudakow i van der Corput (niezaleznie):E (x) = O(x/ logm x) dla wszystkich m.
1972. Vaughan: E (x) = O(x exp(−c√
log x)).
1975. Montgomery, Vaughan: E (x) = O(xc) z pewnym c < 1.Najlepsze znane oszacowanie c , to c ≤ 0.879 (Liu, 2010).
Numerycznie sprawdzono binarna‘
hipoteze‘
Goldbacha az do1.6 · 1018 (Oliveira e Silva).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Aproksymacja binarnej hipotezy
1932. Estermann: Dla duzych n mamy 2n = P6 + P6, gdzie Pk
oznacza liczbe‘
o ≤ k czynnikach pierwszych.
1956. I.M.Winogradow: 2n = P3 + P3 dla duzych n.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Aproksymacja binarnej hipotezy, c.d.
1932. Estermann: GRH ⇒ 2n = p + P6 dla duzych n.
1948. Renyi (uzywaja‘c wielkiego sita Linnika): Istnieje sta la k
taka, ze dla duzych n mamy 2n = p + Pk .
1962. Pan: k = 5.1963. Barban i inni (niezaleznie): k = 4.1965. A.I.Winogradow i Buchsztab (niezaleznie): k = 3.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Chen
1973. Chen Jing Run: Dla duzych n mamy 2n = p + P2.
Ilosc takich przedstawien jest
≥ c∏
p|np 6=2
p − 1
p − 2
∏
p 6=2
(1− 1
(p − 1)2
)
z c ≥ 0.67. Teraz wiemy, ze c ≥ 0.899 (Wu, 2008).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
LinnikSelberg
Sito Linnika
1941. Linnik: Jesli p1, . . . , pm ≤ N, A ⊂ [1,N], a dlai = 1, 2, . . . ,m zbior A mod pi nie zawiera 0 < f (pi ) < pi reszt, to
#A ≤ 20πN
τ2m, gdzie τ = min
i
f (pi )
pi.
Zastosowanie:
n(p) – minimalna niereszta kwadratowa mod p.
Wniosek: n(p) > pε zachodzi dla conajwyzej O(xε) liczbpierwszych p ≤ x .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
LinnikSelberg
Renyi
A ⊂ [1,N], #A = Z , Z (p, h) = #a ∈ A : a ≡ h (mod p).Wariancja:
D(p) =
p−1∑
h=0
(Z (p, h)− Z
p
)2
.
1948. Renyi: Dla x ≤ N3/5:∑
p≤x pD(p) Z 2/3N4/3x1/3.
Wniosek: p + 2 = Pk dla nieskonczenie wielu p i to samo dlap + 2r .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
LinnikSelberg
Twins
1964. Ankeny, Onishi: GRH ⇒ p + 2 = P3 dla nieskonczenie wielup.
1967. Buchsztab oraz Halberstam, Jurkat, Richert: to samo bezGRH.
1973. Chen: p + 2 = P2 dla nieskonczenie wielu p.
Ilosc takich p ≤ x jest wie‘ksza od
c∏
p 6=2
(1− 1
(p − 1)2
)
z c ≥ 0.67. Teraz wiemy, ze c ≥ 2.26 (Cai, 2008).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Heini Halberstam
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
LinnikSelberg
Sito Selberga
Atle Selberg (1917–2007). (Medal Fieldsa 1950.)
Dla danych n1, n2, . . . , nN niech S(z) oznacza ilosc liczb ni bezdzielnikow pierwszych ≤ z , a Sd = #ni : d |ni. Sito Legendradaje
S(z) =∑
d |Dµ(d)Sd , (D =
∏
p≤zp).
1947. Selberg: Jesli cia‘g ρd spe lnia
∑d |n ρd ≥
∑d |n µd , to
S(z) ≤∑
d |DρdSd .
Jesli wiele ρd znika, to mozna otrzymac nietrywialne oszacowanie.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
LinnikSelberg
Sito Selberga, c.d.
Metoda Selberga: Jesli Sd = f (d)N + Rd , gdzie f jestmultyplikatywna, a Rd jest niewielka
‘reszta
‘, to wybiera sie
‘cia
‘g λd
z λ1 = 1 i k ladzieρd =
∑
[a,b]=d
λaλb.
Wybor λd zalezy od f i sprowadza sie‘
do znalezienia minimumpewnej formy kwadratowej z jednym warunkiem dodatkowym.
Wnioski: a) Prosty dowod twierdzenia Bruna-Titchmarsha:
π(x ; k , l) ≤ cx
ϕ(k) log(x/k).
b) #p ≤ x : 2p + 1 pierwsze = O(x/log2x) (Erdos, 1935).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
LinnikSelberg
Sito Selberga, c.d.
c) Ankeny, Onishi (1964): Dla nieskonczenie wielu n zachodzi:n = P2, n + 2 = P3.
d) Bombieri, Davenport (1966):
#p ≤ x : p + 2 pierwsze
≤ 8∏
p 6=2
(1− 1
(p − 1)2
)x
log2 x+ O
(log log x
log x
).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Formy modu lowe
Γ = SL(2,Z), Γ(N) = A ∈ Γ : A ≡ E (mod N).Jesli
A =
[a bc d
]∈ Γ,
to
A · z =az + b
cz + d.
Funkcja f (z), regularna w H = z : =z > 0 jest forma‘
modularna‘
wagi k, gdy
f (A · z) = (cz + d)k f (z). (∗)Wtedy f (z) = c0 +
∑∞n=1 cn exp(2πinz), bo f (z + 1) = f (z). Gdy
c0 = 0, to f jest forma‘
paraboliczna‘
(”cusp form”).W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Formy poziomu N
Jesli (*) zachodzi dla A ∈ Γ(N), a dla A ∈ Γ mamy
f (A · z)(cz + d)−k = c0(A) +∞∑
n=1
cn(A) exp
(2πinz
N
),
to f jest forma‘
modularna‘
wagi k i poziomu N. Jesli c0(A) = 0 dlawszystkich A, to f jest forma
‘paraboliczna
‘.
Formy wagi k i poziomu N tworza‘
przestrzen liniowa‘M(k,N), a
formy paraboliczne tworza‘
jej podprzestrzen M0(k ,N).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Hecke 1937
Szereg Dirichleta formy modularnej:
1937. Hecke: Jesli f (z) =∑∞
n=0 an exp(2πinz) ∈M(k, 1), to
Φf (s) =∞∑
n=1
anns, Res > k
jest funkcja‘
meromorficzna‘
z rownaniem funkcyjnym
R(s) = ε(f )R(k − s),
gdzie R(s) = (2π)−sΓ(s)Φf (s), a ε(f ) = (−1)k/2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Operatory Hecke
Operatory Hecke:
Tn(f )(z) = nk−1∑
d |n
1
dk
d−1∑
a=0
f
(n
d2z +
b
d
).
Tworza‘
one pierscien przemienny i spe lniaja‘
Tmn = TmTn, gdy(m, n) = 1.
Jesli f jest funkcja‘
w lasna‘
dla tych operatorow, to ma iloczyneulerowski.
1967. Rademacher: Operator Tpn jest postaci V (Tp), gdzie V jestjednym z wielomianow Uk(x) Czebyszewa:
∞∑
k=0
Uk(x)tk =1
1− 2tx + t2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa
Problem GoldbachaSita
Formy modu lowe
Petersson
Dla kilku wartosci k Hecke znalaz l bazy M0(k , 1) z lozone z funkcjiw lasnych. (dla k = 12: baza jednoelementowa: ∆(z)).
1939. Petersson: M0(k , 1) jest przestrzenia‘
Hilberta z iloczynemskalarnym
(f , g) =
∫ ∫
Df (x + iy)g(x + iy)yk−2dxdy ,
gdzie D jest obszarem fundamentalnym dla Γ.
Operatory Hecke sa‘
hermitowskie i komutuja‘, wie
‘c istnieje baza
M0(k , 1) z lozona z funkcji w lasnych.
Podobnie jest dla poziomow N > 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb
VI. 1920–1950. Pozostałe metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Chinczyn
Aleksandr Jakowlewicz Chinczyn (1894–1959)
1924: Jesli f (t) > 0 jest cia‘g la, a tf (t) maleje, to
∣∣∣∣α−p
q
∣∣∣∣ <f (q)
q
ma dla prawie wszystkich α ∈ R ∞ rozwia‘zan p, q ∈ Z (p, q) = 1
wtedy i tylko wtedy, gdy ∫ ∞
1f (t)dt =∞.
Przypuszczenie Duffina-Schaeffera (1941): Wystarczy zak ladacrozbieznosc szeregu
∞∑
m=1
f (m)ϕ(m)
m.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Chinczyn, c.d.
1924: Jesli [a0; a1, . . . ] jest u lamkiem lancuchowym dla α ∈ R, todla prawie wszystkich α
lim supn→∞
n√
a1a2 · · · an ≤ exp(√
2 log 2) = 3.2459 . . . .
1935: Mocniej: Dla prawie wszystkich α
limn→∞
n√
a1a2 · · · an = C > 0.
Ogolniej: Jesli f (t) = O(tc) (c < 1), to dla prawie wszystkich α
limn→∞
1
n
n∑
j=1
f (aj) =∞∑
r=1
f (r) log2
((r + 1)2
r(r + 2)
).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Kuzmin
Rodion Osijewicz Kuzmin (1891–1949)
1928: Przypuszczenie Gaussa (1812):α = [a0; a1, a2, . . . ], ξn(α) = [an; an+1, an+2, . . . ].
limn→∞
µα ∈ [0, 1] : ξn(α) < t = log2(1 + t).
1951. Ryll-Nardzewski: Prosty dowod przy pomocy teoriiergodycznej.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Czes law Ryll-Nardzewski
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Levy
Paul Levy (1886–1971)
1951: Mianownik qn(α) n-tego reduktu α spe lnia
limn→∞
1
nlog qn(α) =
π2
12 log 2
dla p.w. α.
Granica ta, gdy istnieje, nazywa sie‘
sta la‘
Levy’ego dla α. Istniejeona dla α stopnia 2 (Jager, Liardet, 1988), a nie istnieje dlanieprzeliczalnie wielu α (Baxa, 1999). Kazda liczba ≥ (1 +
√5)/2
jest sta la‘
Levy’ego dla pewnej liczby przeste‘pnej (Baxa, 2009).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Hipoteza Oppenheima
1929. Hipoteza Oppenheima: Jesli f (x , y) jest nieokreslona‘
forma‘
kwadratowa‘
o niewspo lmiernych wspo lczynnikach, to na Z2
przymuje wartosci dowolnie bliskie zeru.
1986. Margulis poda l dowod uzywaja‘c teorii przep lywow w
przestrzeniach jednorodnych. Medal Fieldsa (ICM Helsinki 1978)za rezultaty w teorii grup Liego.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Definicja
Dla nieskonczonego cia‘gu A : an ∈ [0, 1) jego dyskrepancja, to
dA(N) = supI⊂[0,1)
|#n ≤ N : an ∈ I − n|I || .
van der Corput (1935) przypuszcza l,ze dla kazdego cia‘gu A
dyskrepancja nie jest ograniczona.
1945. van Aaardenne-Ehrenfest:
lim supN→∞
dA(N) log log log N
log log N> 0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Roth, Schmidt
1954. Roth: lim supN→∞dA(N)√
log N> 0.
1972. W.M.Schmidt: lim supN→∞dA(N)log N ≥ 0.01.
1982. Bejian (1982) zasta‘pi l 0.01 przez 0.12. Napewno nie mozna
tu miec 0.3751 (Faure, 1981).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Siegel
Siegel:
1929. Przeste‘pnosc wartosci duzej klasy funkcji (tzw. E -funkcji),
spe lniaja‘cych liniowe rownania rozniczkowe, w punktach
algebraicznych, w szczegolnosci dla funkcji J0(z) Bessela.
J0(z) =∞∑
k=0
(−1)k
Γ2(k + 1)
(z
2
)2k.
1932. a) Jesli w rownaniu (℘′)2 = 4℘3 − a℘− b liczby a, b sa‘
algebraiczne, to jeden z okresow ℘(z) jest przeste‘pny.
b). Ca lki In =∫ 1−1
dx√1−xn przy n = 4, 6 sa
‘przeste
‘pne (I2 = 2π).
c) Conajmniej jedna z liczb Γ(m/n)π−m/n
(m = 1, 2, . . . , [(n − 1)/2]) jest przeste‘pna.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
1996
Przypuszczenie Mahlera (1969): Jesli w rownaniu(℘′)2 = 4℘3 − a℘− b liczby a, b sa
‘algebraiczne, a ω1, ω2, to
okresy ℘(z), to exp(2πiω1/ω2) jest liczba‘
przeste‘pna
‘.
1996: Barre-Sirieix, Diaz, Gramain, Philibert podali dowod.
Nesterenko (1996) udowodni l niezaleznosc algebraiczna‘
π, eπ, Γ(1/4) a takze π, exp(√
d) przy d naturalnym.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Apery
1978. Apery: Liczba ζ(3) jest niewymierna. Pe lne dowody: Cohenoraz Reyssat.
2001. Ball, Rivoal: a) Dla nieskonczenie wielu k liczba ζ(2k + 1)jest niewymierna,
b) dimQ LinSp1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1) ≥ c log n
2001. Zudilin: Jedna z liczb ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) jestniewymierna.
2004. Zudilin: Dla m ≥ 1 przynajmniej jedna z liczbζ(2m + 1), ζ(2m + 3), . . . , ζ(16m − 9) jest niewymierna.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Gelfond
1939. Gelfond: Jesli α1, α2 6= 0, 1 sa‘
algebraiczne o liniowoniezaleznych (nad Q) logarytmach, to dla algebraicznychβ1, β2 6= 0 mozna efektywnie oszacowac od do lu
|β1 log(α1) + β2 log(α2)|.
Gelfond przypuszcza l, ze istnieje podobne twierdzenie dla n liczbalgebraicznych.
Zastosowanie:
1967. Schinzel: Jesli f (x) = ax2 + bx + c ∈ Z[x ] ma roznepierwiastki, to maksymalny dzielnik pierwszy f (x) jest≥ c log log x .
1973. Kotov: To samo zachodzi dla wszystkich nieprzywiedlnychwielomianow nieliniowych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Alan Baker
Wysokosc H(z) liczby algebraicznej z , to maksimum modu luwspo lczynnikow wielomianu minimalnego dla z .
1966. A.Baker (Medal Fieldsa, 1970): Jesli αi , βi (i = 1, 2, . . . , n)sa
‘algebraiczne, αi 6= 0, 1, deg βi ≤ d, H = maxi H(βi ) oraz
Λ =n∑
i=1
βi log(αi ) 6= 0,
to dla 0 < δ < 1|Λ| > C exp(−δH),
gdzie C efektywnie zalezy od αi , d , δ.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Zastosowania
1966. Baker: a) Jesli βi sa‘
algebraiczne, 1, β1, . . . , βn sa‘
niezalezneliniowo, a α1, . . . , αn sa
‘algebraiczne 6= 0, 1, to liczba
n∏
i=1
αβii
jest przeste‘pna.
b) Dla niezerowych algebraicznych α, β liczby π + logα iexp(απ + β) sa
‘przeste
‘pne.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera
Zastosowania do rownan
1967. Baker: Efektywizacja rozwia‘zania rownania Thuego
f (x , y) = m (f – nieprzywiedlna forma stopnia ≥ 3)
1968. Baker: Efektywizacja rozwia‘zania rownania yn = f (x) (gdy
f ma conajmniej 3 pojedyncze zera).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Cia la gwiazdziste
X ⊂ Rn jest cia lem gwiazdzistym (star body), gdy zawiera 0 ikazda po lprosta wychodza
‘ca z tego punktu przecina brzeg X w
jednym punkcie.
1890. Minkowski: Jesli X jest gwiazdzisty i ograniczony o obje‘tosci
V < ζ(n), to istnieje krata o wyrozniku 1 nie zawieraja‘ca
niezerowych punktow X . Jesli X jest symetryczny wzgle‘dem 0, to
wystarczy za lozenie V < 2ζ(n). (Bez dowodu).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Hlawka
1943. Hlawka poda l dowod (tw. Minkowskiego-Hlawki).
1946. Mahler: Jesli nadto X jest ograniczony i wypuk ly, to dlan ≥ 3 wystarczy V < 2ζ(n) + 1/6, a dla n = 2, V <
√12.
1947. Davenport, Rogers: Dla duzych n wystarczy V < 4.921.
1970. Tammela: Dla n = 2 wystarczy V < 3.5706 . . . . Wiadomo,ze V < 3.6096 nie wystarcza (Reinhardt, 1934).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Edmund Hlawka (1916–2009)
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Siegel
1926. Siegel (w J. London Math. Soc. pod pseudonimem ”X”):Rownanie y 2 = f (X ), gdzie f ∈ Z[X ], bez pierwiastkowwielokrotnych, deg f ≥ 4, ma skonczenie wiele rozwia
‘zan.
1929. Siegel: Jesli f ∈ Z[X ,Y ] jest nieprzywiedlny, to rownanief (x , y) = 0 ma ∞ rozwia
‘zan w Q z ograniczonymi mianownikami
wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa f (X ,Y ) = 0 ma parametryzacje‘
x =m∑
j=−maj t
j , y =n∑
j=−nbj t
j (aj , bj ∈ Z).
Dostatecznosc tego warunku udowodni l wczesniej Maillet(1919–1920).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Siegel, c.d.
Wniosek: Jesli krzywa F (x , y) = 0 ma rodzaj ≥ 1, to lezy na niejconajwyzej skonczenie wiele punktow kraty Zn.Rodzaj (genus) krzywej Γ : f (x , y) = 0:
Jesli Γ jest nieosobliwa (f = f ′x = f ′y = 0 nie ma rozwia‘zan), to
g(Γ) = (d − 1)(d − 2)/2,
gdzie d = deg f .
1934. Mahler: Wniosek Siegela jest s luszny takze dla rozwia‘zan
wymiernych, ktorych mianowniki maja‘
dzielniki pierwsze wzadanym skonczonym zbiorze.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Kurt Mahler (1903–1988)
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Leveque, Schinzel, Tijdeman
1964: Leveque opisa l, kiedy rownanie yn = f (x) (gdzie f ∈ Z[X ])ma nieskonczenie wiele rozwia
‘zan ca lkowitych. Uzyska l takze
analogiczny wynik dla pierscieni liczb ca lkowitych cia l K z[K : Q] <∞.
1976: Schinzel, Tijdeman: Jesli f ∈ Z[X ] ma conajmniej dwarozne pierwiastki, to rownanie yn = f (x) nie ma rozwia
‘zan dla
n ≥ n0(f ). n0 jest efektywne.
Przypuszczenie (Schinzel, Tijdeman): Jesli f ∈ Z[X ] maconajmniej dwa rozne pierwiastki, to przedstawia conajwyzejskonczenie wiele liczb n nie maja
‘cych dzielnika pierwszego w
pierwszej pote‘dze (jesli p|n, to p2|n).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Robert Tijdeman
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Hipoteza Mordella
Hipoteza Mordella (Mordell, 1922): Jesli krzywa Γ : f (x , y) = 0ma g(Γ) ≥ 2, to lezy na niej conajwyzej skonczenie wiele punktowwymiernych.
Takze Siegel pisa l w 1929 r.:
”Doch durfte wohl der Beweis der Vermutung, daß jede solcheGleichung, wenn ihr Geschlecht großer als 1 ist, nur endlich vieleLosungen in rationalen Zahlen besitzt, noch die Uberwindungerheblicher Schwierigkeiten erfordern.”
1983. Faltings udowodni l hipoteze‘
Mordella. Medal Fieldsa 1986.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Sformu lowanie
1923. Hasse: Forma kwadratowa o n ≥ 5 zmiennych przedstawianietrywialnie zero w kazdym ciele p-adycznym Qp.
Hipoteza Artina: Forma stopnia d o n ≥ 1 + d2 zmiennychprzedstawia nietrywialnie zero w Qp.
1945. R.Brauer: Do kazdej liczby d istnieje vd takie, ze kazdaforma stopnia d maja
‘ca ≥ vd zmiennych przedstawia nietrywialnie
zero w Qp.
1998. Wooley: vd < d2d .2010. Heath-Brown: v4 ≤ 4221.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Specjalne przypadki
1950. Demjanow: Dowod hipotezy Artina dla d = 3, p 6= 3.
1952. Lewis: Dowod dla d = 3.
1960. Birch i Lewis: Dowod dla d = 5, p dostatecznie duze.
1965. Laxton i Lewis: Dowod dla d = 7, 11, p dostatecznie duze.
1963. Davenport i Lewis: Dowod dla form diagonalnych przyd ≥ 18. Vaughan (1977): dla d ≥ 11.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Ax i Kochen
1965. Ax i Kochen: Dowod dla p ≥ p0(d) metodami teorii modeli.
p0(5) ≤ 17 (Heath-Brown, 2010).
1978. Brown:
p0(d) < 22222d114d
.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Obalenie hipotezy
1966. Terjanian: Przyk lad formy z d = 4, n = 18 beznietrywialnego zera w Q2:
g(x1, x2, x3) =3∑
j=1
x4j −(x1x2)2−(x2x3)2−(x1x3)2−(x1x2x3)(x1+x2+x3),
f (x1, . . . , x18) = g(x1, x2, x3) + g(x4, x5, x6) + g(x7, x8, x9)
+4(g(x10, x11, x12) + g(x13, x14, x15) + g(x16, x17, x18)).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Guy Terjanian
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Kontrprzyk lady
1966. Browkin: Kontrprzyk lady dla kazdego cia la Qp.
1981. Archipow, Karacuba: Przyk lady z n > dm dla dowolnego m.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb
Rownania diofantyczne
Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach
Otwarte pytania
Pytania:
1. Czy hipoteza Artina jest s luszna dla d = 5? A moze dlawszystkich d nieparzystych?
2. Terjanian (1980): Czy w kazdym kontrprzyk ladzie p(p − 1)dzieli d?
3. Heath-Brown (2010): Czy hipoteza Artina jest s luszna dlad = 4, p 6= 2?
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody
VII. Druga połowa stulecia. Analityczna teoria liczb
Przypomnienie
A ⊂ [1,N], #A = Z , Z (p, h) = #a ∈ A : a ≡ h (mod p).Wariancja:
D(p) =
p−1∑
h=0
(Z (p, h)− Z
p
)2
.
1948. Renyi: Dla x ≤ N3/5∑
p≤x pD(p) Z 2/3N4/3x1/3.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Roth
1964. Roth: Dla x ≤ (N/logN)1/2
∑
p≤xpD(p) Zx2 log x .
1965. Bombieri:
∑
p≤xpD(p) ≤ 7Z maxN, x2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Bombieri
Jesli S(α) =∑
n≤N an exp(2πinα), to
∑
q≤x
∑
(a,q)=1
∣∣∣∣S(
a
q
)∣∣∣∣2
≤ 7 maxN, x2∑
n≤N|an|2.
oraz podobny wynik dla sum z charakterami:
∑
q≤Q
∑
χ mod q
∣∣∣∣∣M+N∑
n=M+1
anχ(n)
∣∣∣∣∣
2
≤ (N + Q2)M+N∑
n=M+1
|an|2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Zastosowania
Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa: Jesli
ψ(y ; k , l) =∑
n≤x
n≡l mod k
Λ(n),
to
∑
k≤√x/logBx
maxy≤x
max(k,l)=1
∣∣∣∣ψ(y ; k, l)− y
ϕ(k)
∣∣∣∣x
logA x,
przy czym A zalezy od B. Bombieri: B = 3A + 23.
To prowadzi do
∑
k≤√x/logBx
maxy≤x
max(k,l)=1
∣∣∣∣π(y ; k, l)− π(y)
ϕ(k)
∣∣∣∣x
logA x.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Elliott-Halberstam
Hipoteza Elliotta i Halberstama: Sumy te mozna rozszerzyc dok ≤ x1−ε. Wtedy istnia laby liczba pierwsza w prawie kazdymprzedziale (N,N + Nδ) (Heath-Brown, 1982).
1989. Friedlander, Granville: Nie mozna w tej sumie dojsc dok ≤ x/logcx .
1991. Friedlander, Granville, Hildebrand, Maier: Nawetk ≤ x exp(− logc x) z c < 1/2 nie jest mozliwe.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Montgomery
Wielkie sito Montgomery’ego:A ⊂ [M,M + N]. Dla p ≤ Q zbior A mod p nie zawiera f (p) klasreszt mod p (0 ≤ f (p) < p). Wtedy
#A ≤ Q2 + πN
L,
gdzie
L =∑
q≤Qµ2(q)
∏
p|q
f (p)
p − f (p).
Wspo lczynnik π mozna zasta‘pic przez 1 (Montgomery, Vaughan,
1973).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Zastosowania. I
a) 1970. Vaughan: Dla prawie wszystkich n mamy
4
n=
1
x+
1
y+
1
z.
Hipoteza Erdosa-Strausa: Jest tak dla wszystkich n ≥ 2.Sprawdzono to az do 1014.
Hipoteza Schinzla: Dla n ≥ n0(a) mamy
a
n=
1
x+
1
y+
1
z.
1973. Viola: Tak jest dla prawie wszystkich n.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Zastosowania. II
b) 1967. Gallagher: Prawie kazda liczba naturalna jestpierwiastkiem pierwotnym dla pewnej liczby pierwszej.
c) 1986. Hildebrand: nowy dowod PNT .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Korelacja par zer
1973. Montgomery: Hipoteza PCC (Pair Correlation Conjecture)Jesli 0 < γ1 < . . . sa
‘cze
‘sciami urojonymi zer ζ(s) na krytycznej
prostej, oraz
F (x ,T ) = 4∑
γi ,γj≤T
x i(γ1−γ2)
4 + (γ1 − γ2)2,
to dla kazdego M i T ≤ x ≤ TM mamy
F (x ,T ) =
(1
2π+ o(1)
)T log T .
Z PCC i RH wynika pn+1 − pn = O(√
pn log3/4 pn) (Mueller,1981),
ψ(x) = x + O(√
x log2 x)
i prostota prawie wszystkich zer ζ(s) (Gallagher, Mueller, 1978).W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Woronin
1929. Birkhoff: Istnieje funkcja ca lkowita F (s) taka, ze dla kazdejfunkcji ca lkowitej f (s) istnieje cia
‘g sn, taki, ze
limn→∞
F (s + sn) = f (s).
1975. Woronin: Jesli f (s) jest cia‘g la i nieznikaja
‘ca w |s| ≤ r < 1,
to dla kazdego ε > 0 istnieje τ > 0 takie, ze dla s| ≤ r
|f (s)− ζ(s + 3/4 + iτ)| < ε.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Prime race
1962–1972. Cykl prac Knapowskiego i Turana o porownywaniuπ(x ; k, l) z π(x ; r , s). 60 problemow.
Problem Shanksa-Renyi’ego (The race problem): Dla k ≥ 4niech l1, l2, . . . , lr be
‘dzie dowolna
‘permutacja
‘reszt mod k
wzgle‘dnie pierwszych z k. Pokazac, ze dla ∞ wielu n zachodzi
π(n; k , l1) > π(n; k , l2) > · · · > π(n; k , lr ).
Knapowski, Turan: Jesli L-funkcje mod k nie maja‘
nietrywialnychzer w prostoka
‘cie
s : 1/2 < <s > 1, 0 ≤ =s ≤ A(k),
gdzie A(k) ≥ ck, a l1, l2 sa‘
obie resztami lub obie nieresztamikwadratowymi mod k, to π(n; k, l1)− π(n; k , l2) zmienia znaknieskonczenie wiele razy .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Prime race, c.d.
1994. Rubinstein, Sarnak: To jest konsekwencja GRH orazQ-niezaleznosci zer L(s, χ), gdzie χ przebiega wszystkie charakterypierwotne.
1995. Kaczorowski: Dla k = 5 wystarczy GRH.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Hipoteza H
1958. Schinzel, Sierpinski. Hipoteza H: Jesli f1, . . . , fk ∈ Z[X ] sa‘
nieprzywiedlne, bez sta lych dzielnikow i maja‘
stopnie ≥ 1, to dlanieskonczenie wielu n liczby fi (n) sa
‘pierwsze.
1962-1965. Bateman-Horn: Ilosc takich n ≤ x powinna byc rowna
(c(f1, . . . , fk)
d1 · · · dk+ o(1)
)x
logk x,
gdzie
c(f1, . . . , fk) =∏
p
(1− ω(p)
p
)(1− 1
p
)−k,
ω(p) jest liczba‘
rozwia‘zan f1(x) · · · fk(x) ≡ 0 mod p, a di = deg fi .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Wielomiany kwadratowe
1957. Hooley: Z GRH wynika istnienie ∞ liczb pierwszych postacix2 + y 2 + a.
1959. Bredichin: GRH jest tu niepotrzebna. Ogolniej:p = f (x , y) + a, gdzie f – forma kwadratowa.
1972. Iwaniec: Ilosc takich p ≤ x ma rza‘d x/log3/2x .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Wielomiany kwadratowe,II
1966. Pleasants: Wielomian 3 stopnia o ≥ 10 zmiennych,spelniaja
‘cych naturalne warunki przedstawia ∞ liczb pierwszych.
To samo zachodzi dla wielomianow kwadratowych o ≥ 3zmiennych.
1974. Iwaniec: Wielomian ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + fprzedstawia ∞ liczb pierwszych o ile jest nieprzywiedlny i nie masta lego dzielnika.
Dla deg f ≥ 3 tak nie jest. Przyk lad: wielomian
f (x , y) = (y 2 + 15)(1− (x2 − 23y 2 − 1)2
)− 5
nie przedstawia zadnej liczby pierwszej. (Heath-Brown).
1997. Fouvry, Iwaniec: Istnieje ∞ liczb pierwszych postaci p2 + x2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Wyzsze stopnie
1998. Friedlander, Iwaniec: x4 + y 2 przedstawia ∞ liczbpierwszych.
2003. Heath-Brown: x3 + 2y 3 przedstawia ∞ liczb pierwszych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Dystrybuanta
Dystrybuanta funkcji arytmetycznej f to
F (t) = limx→∞
#n ≤ x : f (n) < tx
.
1928. Schoenberg: ϕ(n) i logϕ(n) maja‘
dystrybuanty.
1933. Davenport: σ(n)/n ma dystrybuante‘.
1935. Erdos: f (n) ≥ 0 addytywna, f (p1) 6= f (p2), madystrybuante
‘.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Erdos, Wintner
g +(p) =
g(n) gdy |g(n)| ≤ 1,1 gdy |g(n)| > 1.
1938. Erdos: Jesli f addytywna i szeregi
∑
p
f +(p)
p,∑
p
(f +(p))2
p
sa‘
zbiezne, to f ma dystrybuante‘.
1939. Erdos i Wintner: Warunek ten jest takze dostateczny.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Kubilius
1956–1959. Kubilius opisa l funkcje addytywne f , dla ktorychistnieje
Φ(t) = limx→∞
1
x#
n ≤ x :
f (n)− Ax
Bx≤ t
,
gdzie
Ax =∑
p
f (p)
p, Bx =
(∑
p
f 2(p)
p
)1/2
.
Dla f (n) = ω(n) jest to twierdzenie Erdosa-Kaca (1940).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Turan-Kubilius
Nierownosc Turana-Kubiliusa:
∑
n≤x|f (n)− Ax |2 ≤ C (x)xB2
x .
1985. Kubilius: C (x) = 1.5 + O(1/logx).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Wirsing
1944. Wintner twierdzi l, ze kazda multyplikatywna funkcja f owartosciach ±1 posiada wartosc srednia
‘
M(f ) = limx→∞
1
x
∑
n≤xf (n).
1959. Ciesielski: Tak jest dla wie‘kszosci funkcji f .
1967. Wirsing: Tak jest dla f rzeczywistych, spe lniaja‘cych
|f (n)| = 1.
1968. Halasz: Jesli f ma wartosci zespolone, to
∑
n≤xf (n) = cL(log x)x1+ia + o(x),
gdzie |L(x)| = 1 a ∈ R, c ∈ C i dla wszystkich M ≥ 1 zachodziL(Mn)/L(n)→ 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Elliott
1975. Elliott opisa l funkcje multyplikatywne z L2 (tj.∑∞n=1 |f (m)|2 <∞), dla ktorych istnieje niezerowa wartosc
srednia.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
van der Waerden
1927. van der Waerden: Istnieje liczba W (m, n) taka, ze jesliprzedzia l [1,W (m, n)] podzielimy na m klas, to jedna z nichzawierac be
‘dzie poste
‘p arytmetyczny o d lugosci n.
1962. W.M.Schmidt: log(W (m, n)) > (n − c√
n log n) log k .
Shelah (1985) i Gowers (2002) podali gorne oszacowania W (m, n).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Erdos, Graham
Problem Erdosa-Grahama:
Czy istnieje b > 1 takie, ze jesli liczby z przedzia lu [2, bk ]podzielimy na k klas, to jedna z nich zawiera podzbior S z
∑
n∈S
1
n= 1.
2003. Croot: Tak, kazde b > exp(167 000) jest dobre.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Problem Erdosa-Turana
1936. Erdos-Turan: Czy kazdy cia‘g o gornej ge
‘stosci dodatniej
zawiera dowolnie d lugie poste‘py arytmetyczne?
rk(n), to najmniejsze r takie, ze kazdy cia‘g r liczb ≤ n zawiera
k-wyrazowy poste‘p.
1938. Behrend: Dla kazdego k istnieje granicaγk = limn→∞ rk(n)/n i albo γ3 = γ4 = · · · = 0, albolimk→∞ γk = 1.
1952. Roth: γ3 = 0 metoda‘
ca lkowania zespolonego.
1953. Roth: r3(n) = O(
nlog log n
).
2008. Bourgain: r3(n) = O(
(log log n)2
log2/3 n
).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Szemeredi
1969. Szemeredi: γ4 = 0.
1975. Szemeredi: γk = 0 dla wszystkich k .
1977. Furstenberg: Dowod przy uzyciu teorii ergodycznej.
2001. Gowers: nowy dowod; rk(n) = O (n/(log log n)ck ) z ck > 0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb
Harry Furstenberg
VIII. Druga połowa stulecia. Inne metody
Funkcje L krzywych eliptycznych
E : y 2 = f (x), deg f = 3, D – wyroznik f .
Dla p - D Ap jest iloscia‘
rozwia‘zan y 2 ≡ f (x) mod p,
tp = p + 1− Ap.
Dla p - D tp ∈ 0,±1 w zaleznosci od geometrii E mod p.
LE (s) =∏
p|D
1
1− tpp−s∏
p-D
1
1− tpp−s + p1−2s.
LE (s) jest regularna dla <s > 3/2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Funkcje zeta
1949. Weil: X – rzutowa rozmaitosc algebraiczna nad cia lem Fq,tj.
X = P ∈ KN
: f1(P) = · · · = fm(P) = 0,[Kn : K ] = n, X (Kn) = KN
n ∩ X .
ζX (q; T ) = exp
( ∞∑
n=1
#X (Kn)T n
n
).
Dla krzywych to sie‘
pokrywa z funkcjami zeta F.K.Schmidta(1931).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipotezy Weila
X - rozmaitosc nieosobliwa.I: ζX (q; T ) jest funkcja
‘wymierna
‘.
II: Rownanie funkcyjne ζX (q; 1/qNT ) = ±qnε/2T εζX (q; T ) zpewnym ε ∈ Z.
III ”Hipoteza Riemanna”:
ζX (q; T ) =P1(T )P3(T ) · · ·P2N−1(T )
P0(T )P2(T ) · · ·P2N(T ),
gdzie Pi (T ) ∈ Z[T ], P0(T ) = 1− T , P2N(T ) = 1− qNT , a dlai = 1, 2, . . . , 2N − 1 mamy
Pj(T ) =∏
j
(1− αijT ), |αij | = qi/2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Zeta dla funkcji eliptycznych
LE (s) =ζ(s)ζ(s − 1)∏p ζE (p; p−s)
.
Gdy E ma dobra‘
redukcje‘
mod p (tj. E mod p jest krzywa‘
eliptyczna‘), to z pewnym a ∈ Z mamy
ζE (p; T ) =1− aT + pT 2
(1− T )(1− pT )
W tym przypadku hipotezy Weila by ly udowodnione przez Hassego(1933-1936), a dla dowolnych krzywych sformu lowane przezHassego w 1934 r.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Weil
1940: Weil poda l dowod hipotezy Riemanna dla krzywych.
Jako wniosek: Weil (1948): Jesli χ jest charakterem mod p rze‘du
d, a W (x) ∈ Fp[x ] jest wielomianem nie be‘da
‘cym postaci cV d(x),
to ∣∣∣∣∣∣∑
x mod p
χ(W (x))
∣∣∣∣∣∣≤ (deg W − 1)
√p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Dowod hipotez Weila
I. Wymiernosc: Dwork, 1960.
II. Rownanie funkcyjne: Dwork, 1962. M.Artin, Grothendieck
III. Rozk lad na czynniki: Dwork, 1960 (poza 2 przypadkami),Deligne, 1973.
IV. ”Hipoteza Riemanna o zerach”: Deligne, 1973 (Medal Fieldsa).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Grupa Weila-Chateleta
Chatelet (1941), Weil (1955): E (K ) – krzywa eliptyczna nadcia lem K . Istnieja
‘nieosobliwe krzywe nad K na ktorych E (K )
dzia la w sposob przechodni.Zbior WC (E/K ) (grupa Weila-Chateleta) klas rownowaznoscitakich krzywych z naturalna
‘rownowaznoscia
‘jest grupa
‘,
izomorficzna‘
z H1(GK ,E ), gdzie GK = Gal(K/K ), a K jestalgebraicznym domknie
‘ciem K .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Grupa Tate’a-Szafarewicza
Kanoniczny homomorfizm K −→ Kp daje homomorfizm
Φ : WC (E/K ) −→∏
p
WC (E/Kp).
Grupa Tate’a-Szafarewicza, X(E/K ), to ja‘dro Φ.
Przypuszcza sie‘, ze grupa X(E/K ) jest skonczona. Pierwsze takie
przyk lady podali Rubin (1987) i Ko lywagin (1988).
Szafarewicz (1959): X(E/Q) zawiera skonczenie wiele elementowo rze
‘dach ≤ n.
Cassels (1964) pokaza l, ze #X(E/Q) moze byc dowolnie duze.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipotezy Szafarewicza
ICM 1962. Twierdzenie Szafarewicza:
Istnieje jedynie skonczenie wiele nieizomorficznych krzywycheliptycznych nad Q , maja
‘cych dobra
‘redukcje
‘poza ustalonym
skonczonym zbiorem liczb pierwszych S. Analogicznie jest wprzypadku krzywych nad cia lami K z [K : Q] <∞.
Cremona i Lingham (2007) podali algorytm na znalezieniewszystkich krzywych z zadanym S .
Hipoteza: To samo zachodzi dla nieosobliwych, nieprzywiedlnychkrzywych ustalonego rodzju.
1968: Parszin: Hipoteza ta implikuje hipoteze‘
Mordella.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Dowod
Dowody hipotezy:
Dla krzywych nad C: Parszin (1968) dla S = ∅, Arakie low (1971)dla dowolnych skonczonych S .Dla cia l charakterystyki 6= 0: Szpiro (1979).Dla cia l funkcyjnych nad Fpn : Parszin (1968).Dla skonczonych rozszerzen Q: Faltings (1983).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipotezy Szafarewicza, c.d.
Druga hipoteza Szafarewicza: Nie istnieje krzywa eliptyczna nad Qmaja
‘ca
‘wsze
‘dzie dobra
‘redukcje
‘.
Udowodni l to Tate (1974). Poda l tez przyk lad krzywej E/K zK = Q(
√29), maja
‘cej wsze
‘dzie dobra
‘redukcje
‘.
1985. Fontaine: Ten sam wynik dla dowolnych rozmaitosciabelowych nad Q. Dla wymiarow 2, 3 udowodni l to Abraszkin(1976-1977).
Pytanie, czy jest skonczenie wiele krzywych E/Q maja‘cej dobra
‘redukcje
‘wsze
‘dzie poza jednym wyja
‘tkiem jest otwarte.
2005. Friedlander, Iwaniec: Tak be‘dzie, jesli istnieje ∞ wiele k z
1/L(1, χk) ≤ log−61 k, gdzie χk jest pierwotnym rzeczywistymcharakterem mod k.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipoteza Bircha–Swinnertona-Dyera
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera:
Jesli E/Q ma rza‘d r , to funkcja LE (s) ma zero rze
‘du r w punkcie
s = 1, tj.LE (s) = ar (s − 1)r + . . . , ar > 0
przy czymar = λ(E ) ·X(E/Q) 6= 0,
zas λ(E ) jest dana jawnym wzorem.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Brian Birch
B–Sw-D
1977. Coates i Wiles: Jesli E ma mnozenie zespolone przez liczbyca lkowite z cia la o liczbie klas 1, oraz LE (1) 6= 0, to r = 0.
1983. Greenberg: Jesli E ma mnozenie zespolone, a LE (s) ma ws = 1 zero rze
‘du nieparzystego, to r ≥ 1.
1986. Gross, Zagier: Jesli E jest modularna, a LE (s) mapojedyncze zero w s = 1, to r ≥ 1.
1987. Rubin: Jesli E ma mnozenie zespolone i r ≥ 2, to LE (s) maw s = 1 zero rze
‘du ≥ 2.
1988. Ko lywagin: Jesli E jest modularna, to z LE (1) 6= 0 wynikar = 0, a jesli LE (s) ma pojedyncze zero w s = 1, to r = 1.
Zatem dla krzywych modularnych jakosciowa cze‘sc hipotezy jest
s luszna przy r = 0, 1.Dzis wiemy, ze kazda krzywa eliptyczne jest modularna.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Ralph Greenberg
Sato-Tate
Hipoteza Sato-Tate:
E – krzywa eliptyczna, Np = #E mod p. Z hipotezy Riemannadla E wynika, ze
ST (p) =Np − p − 1
2√
p
spe lnia |ST (p)| ≤ 1.
Jesli ST (p) = cos(θ(p)) (0 ≤ θ ≤ π), to dla 0 ≤ a < b ≤ 1
limx→∞
#a ≤ θ(p) <≤ bπ(x)
=2
π
∫ b
asin2 tdt.
2006. Dowod dla duzej klasy krzywych podali Clozel, Harris,Shepherd-Barron, Taylor.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Otwarte problemy
A) Lang i Trotter (1976):
Jesli P ∈ E/Q jest nieskonczonego rze‘du, to dla nieskonczenie
wielu p E mod p jest grupa‘
cykliczna‘, generowana
‘przez P mod p.
1978. Serre: Z GRH wynika, ze zbior takich p ma ge‘stosc, ktora
jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy E ma niewymierny punktrze
‘du 2.
1983. Murty: Dla krzywych z mnozeniem zespolonym nie potrzebatu GRH.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Jean-Pierre Serre
Otwarte problemy, II
B) Koblitz (1988): Np = #E mod p.
#p ≤ x : Np jest pierwsze = (cE + o(1))x
log2 x.
2005. Cojocaru: Dla x/log2x liczb pierwszych p ≤ x liczba Np
ma ograniczona‘
liczbe‘
dzielnikow pierwszych.
2006. Iwaniec, Jimenez-Urroz: Dla krzywych z mnozeniemzespolonym ω(Np) ≤ 3 zachodzi dla ∞ p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Frobenius
Automorfizm Frobeniusa Frob(p):
Frob(q) jest elementem GalQ/Q, spe lniaja‘cym
Frob(p(x) ≡ xp (mod N(p))
gdzie p jest idea lem zawieraja‘cym p w ciele generowanym przez x .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipoteza Serre’a
Serre: Jesli f =∑
n anqn jest forma‘
paraboliczna‘
wagi k dlaSL2(Z), a1 = 1 oraz an ∈ Z, a nadto
∑n ann−s ma iloczyn Eulera,
to dla kazdej liczby pierwszej p istnieje cia‘g la reprezentacja
ρp : Gal(Kp/Q) −→ GL2(Zp),
gdzie Kp jest maksymalnym rozszerzeniem Q rozga le‘zionym tylko
w p. Nadto dla kazdej liczby pierwszej q 6= p macierz ρp(Frob(q))ma wielomian charakterystyczny
X 2 − apX + pk−1.
1974. Deligne: Dowod tej hipotezy.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Kongruencje dla τ(n)
1916. Ramanujan: τ(p) ≡ 1 + p11 (mod 691) (pierwszy dowod:Wilton, 1929).
Szereg innych kongruencji, m.in.:τ(p) ≡ 1 + p11 mod 25, τ(p) ≡ p + p10 mod 52 (Bambah, 1946);
τ(p) ≡ 1 + p mod 3 dla p 6= 3, τ(p) ≡ p + p4 mod 7(Ramanathan, 1945).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Kongruencje dla τ(n), c.d.
1976. Serre, Swinnerton-Dyer: Interpretacja kongruencji dla τ(n)w terminach reprezentacji ρp, zwia
‘zanej z forma
‘modularna
‘∆(z):
Taka kongruencja istnieje dla pewnej pote‘gi p wtedy i tylko wtedy,
gdy obraz ρp mod p w GL2(Fp) nie zawiera SL2(Fp). To da lope lny opis tych kongruencji.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Liczby kongruentne
Euler: Liczba n jest kongruentna, gdy istnieja‘
x , z ∈ Z takie, zex2 + ny 2 i x2 − ny 2 sa
‘kwadratami.
1 nie jest kongruentna ⇔ FLT (4).
1983. Tunnell: a) n jest kongruentne wtedy i tylko wtedy, gdykrzywa E : y 2 = x3 − nx2 ma rza
‘d ≥ 1.
b) Jesli n jest kongruentne, to
#
n = x2 + 2y 2 + 8z2
= 2#
n = x2 + 2y 2 + 32z2.
c) Odwrotna implikacja wynika z hipotezyBircha-Swinnertona-Dyera.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipoteza ABC
Hipoteza ABC (Masser 1985, Oesterle 1988):
Jesli a, b, c > 0 sa‘
wzgle‘dnie pierwsze oraz c = a + b, to dla ε > 0
c ≤ B(ε)R1+ε(abc),
gdzie R(n) =∏
p|n p.
Wiadomo jedynie, ze z za lozen wynika
c = O (exp (A(ε)Rc(abc)))
dla c > 2/3 (Stewart, Yu, 1991).
Ogolniejsza wersja (dla cia l liczbowych): Elkies (1991) i Vojta(1987).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Konsekwencje
Konsekwencje hipotezy ABC :
a). Twierdzenie Fermata dla duzych wyk ladnikow.
b) Efektywizacja twierdzenia Rotha (Bombieri, 1994).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Konsekwencje, c.d.
Z uogolnienia ABC na cia la wynikaja‘:
a) Hipoteza Mordella o punktach wymiernych na krzywych rodzaju≥ 2 (Elkies, 1991),
b) Nieistnienie zer Siegela (Granville, Stark, 2000).
Wykaz konsekwencji ABC znajduje sie‘
na stronie Nitaja (Univ.Caen).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Subspace theorem
1971. W.M.Schwarz: (Twierdzenie o podprzestrzeniach [Subspacetheorem]:
Jesli L1, . . . , Ln – formy liniowe n zmiennych z algebraicznymiwspo lczynnikami, to dla kazdego δ > 0 istnieje skonczona rodzinaV1, . . . ,Vm w lasciwych podprzestrzeni Qn taka, ze jesli x ∈ Zn
spe lnia ∣∣∣∣∣∣
n∏
j=1
Lj(x)
∣∣∣∣∣∣< |x |−δ,
gdzie |x | = |(x1, . . . , xn)| = maxj |xj |, to
x ∈n⋃
j=1
Vj .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Zastosowania
Zastosowania:
a) Jesli a jest liczba‘
algebraifczna‘, to k lada
‘c L1(x , y) = y ,
L2(x , y) = x − ay otrzymujemy twierdzenie Rotha.
b) Nowy dowod tw. Siegela o rownaniach diofantycznych (Corvaja,Zannier, 2003).
c) Jesli b > 1 nie jest pote‘ga
‘a > 1, to
NWD(an − 1, bn − 1) = O(an/2
)(Bugeaud, Corvaja, Zannier,
2003).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Zatosowania, c.d.
d) Z lozonosc ρq(n) liczby n w bazie q, to ilosc roznychn-elementowych cia
‘gow kolejnych cyfr liczby niewymiernej w
ustalonej bazie q > 1.
1997. Ferenczi, Maudit: limn→∞(ρq(n)− n) =∞.
2007. Adamczewski, Bugeaud: limn→∞ ρq(n)/n =∞.
2008. Bugeaud, Evertse: lim supn→∞ ρq(n)/(n(logc n)) =∞.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Problem Eulera
Euler przypuszcza l, ze dla n ≥ 3 rownanie
xn1 + · · ·+ xn
n−1 = yn
nie ma dodatnich ca lkowitych rozwia‘zan.
1967. Lander, Parkin: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.
1988. Elkies:
2 682 4004 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Erdos, Selfridge
1857. Terquem i Prouhet: Iloczyn kolejnych k ≥ 2 liczbnaturalnych nie jest pote
‘ga
‘:
n(n + 1) · · · (n + k − 1) 6= ym (k,m ≥ 2).
1917. Narumi. Dowod dla k ≤ 202.
1926. Z twierdzenia Siegela o wielomianach wynika, ze przyustalonych k ,m jest tylko <∞ rozwia
‘zan.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Eros, Selfridge, II
1939. Erdos i Rigge (niezaleznie). Dowod dla m = 2.
1939. Erdos: Dowod dla ustalonego m i k ≥ k0(m).
1955. Erdos: k0(m) nie zalezy od m.
1975. Erdos, Selfridge: k0(m) = 2, co dowodzi przypuszczeniaTerquema i Prouheta.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Erdos, Selfridge, III
Pytanie Erdosa-Selfridge’a:
Czy iloczyn kolejnych k wyrazow poste‘pu arytmetycznego moze
byc pote‘ga
‘dla duzego k?
Dla k ≤ 3 jest to mozliwe, gdyz jesli a2 + b2 = c4, to iloczyn(c2 − a2)c2(c2 + a2) jest kwadratem. Przypuszcza sie
‘, ze jest to
jedyne rozwia‘zanie rownania
x(x + d)(x + 2d) · · · (x + (k − 1)d) = ym
przy k ≥ 2.
1985. Marsza lek: Rownanie
x(x + d)(x + 2d) · · · (x + (k − 1)d) = ym
nie ma rozwia‘zan gdy (x , d) = 1 i k exp(d3/2). Dla m ≥ 7
zachodzi to przy k ≥ cd .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Erdos, Selfridge, IV
1992–1995. Shorey, Tijdeman: wzmocnienie tych oszacowan.
1999-2009. Gyory i in.: Przy m ≥ 3 i 3 ≤ k ≤ 34 nie marozwia
‘zan.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Catalan
Problem Catalana (1842): Jedynym rozwia‘zaniem rownania
ax − by = 1 z x , y ≥ 2 jest 32 − 23 = 1.
1850. Lebesgue: Tak, jesli y = 2.
1952. Leveque: Dla ustalonych a, b jest conajwyzej 1 rozwia‘zanie,
nawet jesli dopuscimy x , y = 1 (wtedy jest 1 wyja‘tek, bo
31 − 21 = 1).
1953. Cassels: Dla ustalonych a, b jawna postac rozwia‘zania.
1965. Chao Ko: Dowod w przypadku x = 2.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Tijdeman, Mihailescu
1976. Tijdeman: Efektywne ograniczenie na rozwia‘zania a, b, x , y
rownania Catalana ax − by = 1.
Np. ax < exp(exp(exp(exp(730)))) (Langevin)
1991. Aaltonen, Inkeri: a, b ≥ 10500.
1994. Mignotte: x < 1.2 · 1018, y ≤ 2.48 · 1024.
2002. Mihailescu znalaz l dowod hipotezy, uzywaja‘c cia l
cyklotomicznych.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
Hipoteza Pillai
1936. Hipoteza Pillai: Przy ustalonym d rownanie ax − by = d ma<∞ rozwia
‘zan.
Pillai: Dla d > d0(a, b) jest conajwyzej jedno rozwia‘zanie.
Z hipotezy ABC wynika ax ≤ c1(ab)3/2, wie‘c ax−3/2 ≤ c1b3/2.
Wobec b ≤ c2ax/y otrzymujemy ax−3/2 ≤ c3a3x/2y , wie‘c
x − 3/2 ≤ 3x/2y + O(1) ≤ 3x/4 + O(1),
i x ≤ c4. Tw. Schinzla-Tijdemana daje teraz y ≤ c5 i postajezastosowac tw. Siegela.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody
IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Hilbert, Weber
Pocza‘tek teorii cia l klas.
1898. Przypuszczenie Hilberta:
Jesli [K : Q] <∞, to istnieje jedyne maksymalne nierozga le‘zione
rozszerzenie abelowe L/K (”absolutne cia lo klas”). Przy tymGal(L/K ) ∼ H∗(K ), a rozk lad idea lu pierwszego p ⊂ ZK zalezy odklasy p w H∗(K ).
L/K jest nierozga le‘zione, gdy w rozk ladzie pZL = Pe1
1 · · ·Pegg
mamy e1 = · · · = eg = 1.
1903–1911. Furtwangler poda l dowod.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Weber, Takagi
Opis rozszerzen abelowych cia la K = Q(θ) daje teoria cia l klas(Weber, Takagi):
Dla idea lu f Gf jest grupa‘
generowana‘
przez idea ly wzgle‘dnie
pierwsze z f, a Hf jest jej podgrupa‘
generowana‘
przez idea lyg lowne aZK z a 0. Jesli Hf < G < Gf, to kazda
‘grupe
‘Gf/G
nazywamy grupa‘
klas mod f.
Definicja: (Weber, 1897): L/K stopnia N jest cia lem klas dla G ,gdy p jest iloczynem N idea low pierwszych w ZL wtedy i tylkowtedy, gdy p ∈ G .
Tw. Takagiego (1920, 1922): Jesli L/K jest abelowe, to jestcia lem klas dla pewnej grupy G , a przy tym Gal(L/K ) ∼ Gf/G (dlaK = Q(
√d) z d < 0 udowodni l to Weber).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Symbol Artina
L/K normalne. Jesli P < ZL, a p = P ∩ ZK , to istniejegP ∈ Gal(L/K ), taki, ze
g(x) ≡ xN(p) (mod P).
(Automorfizm Frobeniusa).
Dla p < ZK symbol Artina:
FL/K (p) = gP : p = P ∩ ZK.
Artin (1927): Kanoniczny izomorfizm Gf/G −→ Gal(L/K ),indukowany przez p −→ FL/K (p).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Czebotarew, Artin
1923. Czebotarew: Jesli L/K jest normalne stopnia n, a A klasa‘
sprze‘zonych w Gal(L/K ), to zbior
p : FL/K (p) = A
jest nieskonczony i ma ge‘stosc #A/n.
Zbior A idea low pierwszych ma ge‘stosc α, gdy
limx→∞
#p ∈ A : N(p) ≤ x log x
x= α.
1975. Lagarias, Odlyzko: Efektywna wersja.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Lokalna teoria cia l klas
Hasse (1930): Lokalna teoria cia l klas: abelowe L/K jestwyznaczone jednoznacznie przez otwarte podgrupy K ∗ poprzezL/K ⇔ NL/K (K ∗).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Teoria cia l klas nad Q, I
G (N) – grupa reszt mod N, wzgle‘dnie pierwszych z N, X (N) –
grupa charakterow G (N).
K/Q abelowe ⇒ K ⊂ Q(ζN) dla pewnego N.
Gal(Q(ζN)) = G (N), K ⇔ HK < G (N) (teoria Galois).
Zatem K ⇔ ΞK = ˆG (N)/HK < X (N).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Teoria cia l klas nad Q, II
W lasnosci:(i) pZK jest iloczynem [K : Q] idea low pierwszych ⇔ p modN ∈ HK .
(ii) Kanoniczny izomorfizm G (N)/HK −→ Gal(K/Q) indukowanyprzez p −→ Frob(p) ∈ Gal(K/Q).(Frob(p)(x) ≡ xp (mod p) dla p|p).
ζK (s) =∏
χ∈ΞK )
L(s, χ′),
gdzie χ′ jest charakterem pierwotnym dla χ.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Chevalley
Claude Chevalley (1909–1984)
Ograniczony produkt grup: Gdy Hn < Gn, to jest tog = (gn) ∈∏∞n=1 Gn : gn ∈ Hn dla n > n(g).Grupa ideli IK cia la K , to ograniczony produkt grup K ∗v wzgle
‘dem
grup elementow odwracalnych uzupe lnien pierscienia ZK .
Idele g lowne: i = (xv ) dla xv = x ∈ K ∗. PK – grupa idelig lownych.
1936: Abelowe rozszerzenia L/K sa‘
w odpowiedniosci 1-1 zpewnymi podgrupami grupy IK/PK .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Artin-Tate
Sformu lowanie teorii cia l w klas w terminach kohomologii klas ideli:
Artin, Tate (1951/52), Hochschild, Nakayama (1952).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Neukirch
1984, 1986. Neukirch: Aksjomatyczne podejscie:
G - grupa proskonczona, GK - rodzina wszystkich domknie‘tych
podgrup G .
Indeksy K nazywaja‘
sie‘
”cia lami”.
”Rozszerzenie” K < L := GL ⊂ GK . Ono jest ”normalne”, gdyGL / GK , a ”grupa Galois”, to GK/GL. Wprowadza sie
‘tez
”przekroj”: K ∩ L i ”z lozenie”: KL.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Neukirch, II
Jesli G = gp(σ) – grupa cykliczna, a A jest G -modu lem, to
H0(G ,A) = AG/NA,
gdzie N =∑
g∈G g ,
H−1(G ,A) = a ∈ A : Na = 0/σa− a : a ∈ A.Podstawowy aksjomat: Jesli GK/GL jest skonczona i cykliczna, to
H i (GK/GL,AGL) =
#(GK/GL) gdy i = 0,1 gdy i = −1.
To prowadzi do jednolitego uje‘cia globalnej, lokalnej i funkcjonalnej
teorii cia l klas.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Hecke, zeta
Erich Hecke (1887–1947)1917: Funkcja zeta Dedekinda jest funkcja
‘meromorficzna
‘z
jedynym biegunem w s = 1. Spe lnia rownanie funkcyjne typu
Φ(s)ζK (s) = Φ(1− s)ζK (1− s).
1917, 1918, 1920: Nowe klasy charakterow χ(I ) i odpowiednich
L-funkcji∑
Iχ(I )N(I )s .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Zastosowanie
a) Analogon tw. Dirichleta o poste‘pie dla cia l (w ciele Q(i)
wczesniej Mertens, 1899).
b) Przedstawianie liczb pierwszych przez formy kwadratowe oargumentach w sektorach:
Np.: Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych p z p = a2 + b2 ib = o(
√p).
Dzis wiemy, ze jest to mozliwe z b = O(pc) przy c = 0.1631(Coleman, 1993), a GRH daje b = o(log p) (Ankeny, 1952).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Artin
1924-1930. Artin: Dla normalnych L/K z grupa‘
Galois G icharakteru χ reprezentacji ρ : G −→ GLn(C) funkcja Artina:
L(s, χ, L/K ) =∏
p
∗ (det[1− ρ(σ(p))N(p)−s ]
),
gdzie σ(p) to automorfizm Frobeniusa, a∏∗ oznacza iloczyn po
nierozga le‘zionych idea lach. Do tego dodano pozniej czynniki
odpowiadaja‘ce rozga le
‘zionym p i waluacjom nieskonczonym,
otrzymuja‘c funkcje
‘Λ(s, χ).
Artin: Dla L/K abelowych i nieprzywiedlnych ρ sa‘
to zwyk leL-funkcje (Dirichleta, Heckego, . . . ).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Artin, II
1923: Artin:ζK (s) =
∏
χ
L(s, χ,K/Q)χ(1),
gdzie χ przebiega charaktery nieprzywiedlnych reprezentacji.
Hipoteza Artina: Jesli ρ nie zawiera reprezentacji trywialnej, toL(s, χ, L/K ) (a wie
‘c i Λ) jest ca lkowita.
1947. R.Brauer: Λ(s, χ) jest meromorficzna i spe lnia rownaniefunkcyjne
Λ(s, χ) = W (χ)Λ(1− s, χ),
prz czym |W (χ)| = 1 (jest tzw. Artin root number).
Dla wie‘kszosci reprezentacji 2-wymiarowych hipoteza jest
udowodniona (Artin 1924, Langlands 1970, Tunnell 1981, Buhler1978, . . . , Taylor 2003).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Problemy o funkcji Dedekinda
Problem Dedekinda: Jesli K ⊂ L sa‘
cia lami, to iloraz ζL(s)/ζK (s)jest funkcja
‘ca lkowita
‘.
1931. Aramata: Tak jest, gdy L/K jest normalne.
1973. Problem Brauera: Jesli L jest z lozeniem K1 i K2, ak = K1 ∩ K2, to iloraz
ζL(s)ζk(s)
ζK1(s)ζK2(s)
jest ca lkowity. Tak jest, gdy Ki/k sa‘
normalne.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Teza Tate’a
1950. Tate: teoria funkcji zeta Dedekinda i i L-funkcji zwia‘zanych
z charakterami w teorii cia l, oparta na teorii ideli Chevalleya.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Baza normalna
1932. E.Noether: Jesli L/K normalne z grupa‘
Galois G , to L jestwolnym K [G ]-modu lem.
Problem: Niech K/Q be‘dzie normalne z grupa
‘G . Kiedy ZK jest
wolnym Z[G ]-modu lem?
K/Q jest lagodnie rozga le‘zione, gdy z pZK = pe1
1 · · · pegg wynika
p - ei . To jest rownowazne z surjektywnoscia‘
sladu:Tr : ZL −→ ZK .
Hilbert (1897) - Speiser (1916): Jesli K/Q jest abelowe, towarunkiem koniecznym i dostatecznym jest lagodne rozga le
‘zienie.
Warunek ten jest zawsze warunkiem koniecznym.
1999. Greither, Rubin, Srivastav: Dla kazdego cia la K 6= Q istniejenierozga le
‘zione rozszerzenie L/K w ktorym ZL nie jest wolnym
ZK -modu lem.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Baza normalna, c.d.
Lagodna rozga le‘zionsc K/Q wystarcza m.in. dla rozszerzen
stopnia bezkwadratowego (Ph.Cassou-Nogues, 1977) i dlarozszerzen dihedralnych (Miyata, 1980).
1971. Martinet: Tak nie jest dla cia l z grupa‘
kwaternionowa‘
(H8).
1971. Hipoteza Serre’a: Jesli Gal(K/Q) = H8 i K/Q jest lagodnierozga le
‘zione (tj. 2 - d(K )), to ZK ma baze
‘normalna
‘wtedy i tylko
wtedy, gdy W (ψ) = 1, gdzie ψ jest jedynym charakteremnieprzywiedlnej symplektycznej reprezentacji ρ : H8 −→ GLn(C),tj. daja
‘cej sie
‘roz lozyc:
H8 −→ GLn(H) −→ GLn(C).
1972. Frohlich poda l dowod.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Frohlich
Przypuszczenie Frohlicha: Jesli rozszerzenie K/Q jest normalne i lagodnie rozga le
‘zione, to istnieje baza normalna ZK wtedy i tylko
wtedy, gdy dla kazdego charakteru ψ nieprzywiedlnej reprezentacjisymplektycznej grupy Gal(K/Q) mamy W (ψ) = 1.
Dowod znalaz l M.Taylor w 1981 r.W szczegolnosci jesli nie ma takich reprezentacji (np., gdy grupama rza
‘d nieparzysty), to istnieje baza normalna.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Albrecht Frohlich (1916–2001)
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Problem Kummera
hp – liczba klas cia la Q(ζp), h+p – liczba klas cia la Q(ζp) ∩ R.
Kummer: h−p = hp/h+p ∈ Z.
Przypuszczenie Kummera:
h−p ∼ L(p) := 2p
(√p
2π
)(p−1)/2
. (∗)
1949. Ankeny, Chowla: log h−p = logL(p) + o(log p).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Problem Kummera, c.d.
1990. Granville: Jesli (*) jest s luszne, to fa lszywa jest jedna zhipotez:
a) #p ≤ x : 2p + 1 ∈ P x/log2x (Hardy, Littlewood),
b)∑
k<x1−ε
∣∣∣∣ max(k,l)=1
(π(x ; k , l)− π(x)
ϕ(x))
∣∣∣∣x
logM x
dla kazdego M (Elliott, Halberstam).
2001. Murty, Petridis: Istnieje c > 0 takie, zelog h−p = logL(p) + O(1) zachodzi dla prawie wszystkich p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Kryterium Kummera
Kp = Q(ζp).
Kummer: p - h(Kp)⇔ p jest liczba‘
regularna‘.
Hipoteza Vandivera: p - h(Kp+).
Ap – p-grupa Sylowa H(Kp). Kanoniczny rozk lad:
Ap =⊕
χ mod p
Aχ.
Tutaj Aχ = εχAp, gdzie
εχ =1
p − 1
∑
g
χ(g)g−1 ∈ Q[G ].
(G = Gal(Kp/Q))
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Ribet
X jest charakterem mod p, spe lniaja‘cym X (a) ≡ a (mod pZKp).
1976. Ribet: Dla k = 2, 4, . . . , p − 3 AX 1−k 6= 0⇔ p|Bk .
Herbrand (1932) udowodni l implikacje‘⇒.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Jednostki cyklotomiczne
E + – grupa jednostek K +p = Q(ζp + ζp).
V – grupa generowana przez ±ζp, 1− ζap : 1 < a < p.C + = E + ∩ V – grupa jednostek cyklotomicznych K +
p .
1851. Kummer: #(E +/C +) = hp+.
Odpowiednie grupy nie zawsze sa‘
izomorficzne (np.dla p = 62501).
1984. Mazur, Wiles: #εχAχ = #εχ(E +/C +)p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Landau, Liczba klas.
1903: Rozwia‘zanie problemu Gaussa o wyroznikach d < 0 form
aX 2 + 2bXY + cY 2 z liczba‘
klas rowna‘
1 (tutaj wyroznik dzieli sie‘
przez 4). Jest ich 5.
Dla form aX 2 + bXY + cY 2 z nieparzystym wspo lczynnikiem bproblem okaza l sie
‘znacznie trudniejszy:
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
h = 1
h(d), to liczba klas idea low w ciele Q(√
d), rowna liczbie klas formo wyrozniku d .
a) Hecke (1918): Z ERH wynika, ze h(−d)→∞.ERH oznacza, ze L-funkcje Dirichleta maja
‘nietrywialne zera
jedynie na prostej <s = 1/2.
b) Deuring (1933): Jesli RH fa lszywa, to jest tylko skonczeniewiele d < 0 z h(d) = 1.
c) Heilbronn, Linfoot (1934): Jesli d < 0 i h(d) = 1, tod ∈ −3,−4,−7,−8,−11,−19,−43,−67,−163, d0.Heegner (1952), Stark, Baker (1968): Nie ma wyroznika d0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Harold Stark
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Class number
Mordell (1934): Jesli RH fa lszywa, to h(−d)→∞.
Heilbronn (1934): h(−d)→∞.
Landau (1935): Dla kazdego h istnieje conajwyzej jeden wyroznikd < 0, spe lniaja
‘cy h(d) = h i |d | ≥ Bh8 log6 h.
Tatuzawa (1951): Ostatnia‘
nierownosc mozna zasta‘pic przez
|d | > 21000h2 log2 h.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Siegel
1935. Siegel: Dla K = Q(√
d)
lim|d |→∞
log(h(d)R(d))
log(|d |) =1
2,
gdzie regulator
R(d) =
log(ε(d)) gdy d > 0,1 gdy d < 0,
zas ε jest podstawowa‘
jednostka‘
cia la K .
To wynika z twierdzenia Siegela o L(1, χ) i wzoru Dirichleta:
h(d)R(d) =
L(1, χd)
√|d |/2 gdy d > 0,
L(1, χd)w(d)√|d |/(2π) gdy d < 0,
gdzie w(d) a w to ilosc pierwiastkow z jednosci w Q(√
d).W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Brauer
1947. R.Brauer: Dla cia l K o ustalonym stopniu
lim|d(K)|→∞
log(h(K )R(K ))
log(|d(K )|) =1
2,
gdzie R(K ) jest regulatorem K .
1950. R.Brauer: To zachodzi takze dla cia‘gu cia l Kn, spe lniaja
‘cego
warunek
limn→∞
[Kn : Q]
log(|d(Kn)|) = 0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
h(−d) = h
1975. Stark: Lista d < 0 z h(−d) = 2.
1976. Goldfeld: Jesli istnieje krzywa eliptyczna E/Q maja‘ca w
s = 1 zero rze‘du ≥ 3, to
h(−d) ≥ B(ε) log1−ε d
z efektywnym B(ε).
1986. Gross i Zagier znalezli taka‘
krzywa‘.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
h(−d) = h,c.d.
Oesterle:
h(−d) ≥ log d
55
∏
p|d ,p 6=p′
(1− 2
√p
p − 1
),
gdzie p′ jest najwie‘kszym dzielnikiem pierwszym d .
To daje liste‘
d < 0 z h = 3.
1992. Arno: h = 4.
1996. Wagner: h = 5, 6, 7.
1998. Arno i in.: h ≤ 23, 2 - h.
2004. Watkins: h ≤ 100. Takich cia l jest ponad 40 000, anajwie
‘cej, bo 3283 ma h = 96.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
h dla d > 0
Problem: Czy istnieje nieskonczenie wiele cia l Q(√
d) z d > 0 ih = 1?
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Uchida
1971. Uchida: Dla p > 19 cia lo Q(ζp) ma h > 1.
1972. Uchida: a) Istnieje jedynie skonczenie wiele urojonych cia labelowych z zadana
‘liczba
‘klas.
b) Kazde takie cia lo z h = 1 lezy w ciele Q(ζN) z N < 2 · 1010.
1976. Masley, Montgomery: Lista cia l Q(ζn) z h = 1. Jest ich 29.
1992. Yamamura: Lista urojonych cia l abelowych z h = 1. Sa‘
172takie cia la.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Rozszerzenia nieskonczone
1926. Stiemke (1892–1915): Kazda addytywna grupa z lozona zliczb algebraicznych jest wolna.
1928-1930. Krull: Teoria idea low i teoria Galois w nieskonczonychrozszerzeniach.
Grupa Galois:Gal(L/K ) = lim
←G (M/K ),
gdzie [M : K ] <∞. Topologia: baza zbiorow otwartych, towarstwy wzgle
‘dem podgrup Gal(L/M), gdzie [M : K ] <∞.
1973. Waterhouse: Kazda grupa proskonczona jest grupa‘
Galoisdla pewnego rozszerzenia.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Iwasawa
Kenkichi Iwasawa (1917–1998)
1959. Teoria Γ-rozszerzen.
Γ = Zp, KN = Q(ζN). Kp∞ =⋃∞
n=1 Kpn .
Gal(Kp∞/Kp) ∼ Γ. Ogolniej, L/K jest Γ-rozszerzeniem, gdyGal(L/K ) ∼ Γ.
To implikuje
K1 = K ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · · ⊂ L,
przy czym [Ki+1 : Ki ] = p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Twierdzenie Iwasawy
Jesli [K : Q] <∞, a L/K jest Γ-rozszerzeniem, oraz pen ‖ h(Kn),to dla duzych n
en = λn + µpn + ν,
gdzie λ, µ, ν zaleza‘
tylko od K .
Jesli K = Q(ζp), L = Kp∞ , to Kn = Kpn .
Dowod ma trzy cze‘sci:
a)Opis struktury skonczenie generowalnych Zp[[T ]]-modu low.
b) Pokazanie, ze jesli M =⋃∞
n=1 Mn, gdzie Mn/Kn jestmaksymalnym abelowym nierozga le
‘zionym p-rozszerzeniem Kn, to
Gal(M/L) jest Zp[[T ]]-modu lem.
c) Skorzystanie z teorii cia l klas: pen = [Mn : Kn].
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda
Struktura GaloisLiczba klas
Wspo lczynniki Iwasawy
1978. Washington: Jesli K = Q(ζp) i q 6= p jest pierwsze, to dladuzych n mamy qc ‖ h(Kn) z c = c(K ).
1979. Ferrero, Washington: Jesli K = Q(ζp), to µ = 0.
Oba te twierdzenia zachodza‘
takze dla tzw. cyklotomicznychΓ-rozszerzen abelowych cia l K .
Greenberg (1976) przypuszcza l, ze jesli K jest w pe lni rzeczywiste,to dla cyklotomicznych rozszerzen mamy λ = µ = 0.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Stan w roku 1900
FLT (n) := xn + yn 6= zn; FLT1(p) := xp + yp 6= zp, gdy p - xyz .
Fermat: n = 4.
Euler: n = 3.
1823: Sophie Germain: Jesli p, 2p + 1 pierwsze, to FLT1(p).
1825. Legendre: n = 5 oraz jesli p, kp + 1 pierwsze przyk = 4, 8, 10, 14, 16, to FLT1(p).Zatem FLT1(p) dla p < 100.
1828. Dirichlet. n = 14.
1839. Lame: n = 7.
1847: Kummer: FLT (p) dla p regularnych p - hp := h(Q(ζp)),zatem dla p < 100 poza p ∈ 37, 59, 67.1898: Maillet: a) FLT1(p) dla p ≤ 223.
b) Dla k ≥ c(p) z xpk + ypk = zpk wynika p|xyz .
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Mirimanoff
Index nieregularnosci p, i(p), to ilosc 2k < p − 3 z p|B2k .
1905. Mirimanoff: Jesli i(p) ≤ 3, to FLT1(p). To zachodzi dlap ≤ 257.
1908. Dickson: FLT1(p) dla p < 6857.
1934. Krasner: Dla p > 104935, jesli i(p) < 2[log1/3 p] to FLT1(p).
. . . . . .1994. Jha: Dla duzych p, jesli i(p) < 2
√log p/log log p to
FLT1(p).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Wieferich
1909. Jesli 2p−1 6≡ 1 (mod p2), to FLT1(p).
p jest liczba‘
Wiefericha, gdy 2p−1 ≡ 1 (mod p2). Znane sa‘
dwie:p = 1093 (Meissner, 1913) i p = 3511 (Beeger, 1922). Dzis wiemy,ze ponizej 1.25 · 1015 nie ma innych (Knauer, Richstein, 2005).
Z hipotezy ABC wynika,ze nie kazda duza liczba pierwsza jestliczba
‘Wiefericha.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Wieferich, c.d.
Dalsze warunki konieczne na fa lszywosc FLT1(p):
3p−1 ≡ 1 (mod p2) (Mirimanoff, 1909).
qp−1 ≡ 1 (mod p2) dla pierwszych q ≤ 113 (Mirimanoff, . . . , . . . ,Suzuki).
To doprowadzi lo do FLT1(p) dla p < 8.858 · 1020 (Suzuki, 1994).
1985. Adleman, Heath-Brown: FLT1(p) dla nieskonczenie wielu p.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
FLT (p)
1929–1939. Vandiver: FLT (p) dla p ≤ 619.
1964. D.H.Lehmer, E.Lehmer, Vandiver: FLT (p) dla p ≤ 2000.. . . . . .1987. Tanner, Wagstaff: FLT (p) dla p ≤ 150 000.1985. Granville i Heath-Brown: FLT (n) dla prawie wszystkich n.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Faltings
1983. Twierdzenie Faltingsa implikuje, ze xn + yn = zn moze miecprzy ustalonym n ≥ 3 jedynie skonczenie wiele rozwia
‘zan z
(x , y) = 1.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Taniyama-Shimura
Hipoteza Taniyamy-Shimury.
TS: Kazda krzywa eliptyczna jest modularna, tj. do kazdej krzywejeliptycznej E istnieje forma modularna, ktorej szereg Dirichleta jestrowny LE (s).
1971. Shimura: Dowod hipotezy TS dla krzywych z mnozeniemzespolonym (tj. jesli pierscien endomorfizmow E (C) jest wie
‘kszy
od Z).
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Hipoteza Serre’a
1973. Hipoteza Serre’a: Jesli ρ : Gal(Q/Q) −→ GL2(Fp) jestcia
‘g la
‘nieprzywiedlna
‘reprezentacja
‘nieparzysta
‘(tj. dla sprze
‘zenia
zespolonego τ mamy ρ(τ) = −E ), to istnieje paraboliczna formamodularna f wagi 2 taka, ze ρ jest izomorficzna z reprezentacja
‘wyznaczona
‘przez f przez twierdzenie Deligne’a.
1987. Serre: TS jest konsekwencja‘
tej hipotezy.
2009. Khare i Winterberger: Dowod hipotezy Serre’a.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Frey
1986. Frey: Jesli ap + bp = cp i E : y 2 = x(x − ap)(x − bp) z 2|a,b ≡ 1 mod 4, to sa
‘powody, by sa
‘dzic, ze E be
‘dzie
kontrprzyk ladem dla hipotezy TS i hipotezy Serre’a.
1988. Ribet: Krzywa Freya nie jest modularna, zatem FLT wynikaz TS.
1995. Wiles, Taylor udowodnili modularnosc krzywych Freya, zwie
‘c i FLT .
1995–2001. Breuil, Conrad, Diamond, Kramer, Taylor: Dowod TS.
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Dalsze zastosowania
Problem Beala: Jesli r , s, t ≥ 3, to rownanie x r + y s = z t nie marozwia
‘zan x , y , z ≥ 1 (x , y , z) = 1.
1995. Darmon, Granville: a) Jesli 1/r + 1/s + 1/t < 1, to jestconajwyzej skonczenie wiele rozwia
‘zan.
b) Jesli 1/r + 1/s + 1/t > 1, to jest nieskonczenie wiele rozwia‘zan.
Dla niektorych rownan udowodniono hipoteze‘
Beala. Np. dlaxn + yn = z3, z4 + yp = z4 (Darmon, 1993), czy x2n + y 2n = z5
(Bennett, 2006),
W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata