geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach

Łukasz Bożyk

VI LO im. T. Reytana

12 stycznia 2012

Łukasz Bożyk (VI LO im. T. Reytana) Geometrycznie o liczbach 12 stycznia 2012 1 / 14

Jak geometrycznie przedstawić liczby naturalne?




Jak się okazuje, bardzo łatwo...




Niech n będzie liczbą naturalną.





Geometrycznie liczbę n będziemy reprezentować jako figurę o polu n.






Często będzie ona złożona z n kwadratów jednostkowych.







Na przykład obie poniższe figury oznaczają liczbę 5:







Na przykład obie poniższe figury oznaczają liczbę 5:

Pokazany sposób pozwala na rozpatrzenie pewnych liczb pod względemtego, jak wyglądają ich przedstawienia.

Liczby trójkątne


Liczby trójkątne


Sumę n początkowych liczb naturalnych oznaczmy przez T (n):

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n

Liczbę T (n) nazywać będziemy n-tą liczbą trójkątną.

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n

Liczbę T (n) nazywać będziemy n-tą liczbą trójkątną. Nazwę możnauzasadnić przedstawieniem geometrycznym:

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n


T(1)=1

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n


T(2)=1+2

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n


T(3)=1+2+3

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n


T(4)=1+2+3+4

Liczby trójkątne



T (n) = 1 + 2 + 3 + . . .+ n


T(4)=1+2+3+4

Pewna metoda geometryczna pozwala na wyprowadzenie wzoru na T (n).

Metoda Gaussa


Metoda Gaussa


Weźmy liczbę trójkątną T (n).

Metoda Gaussa



T (n)

Metoda Gaussa



Dołączmy do figury identyczny trójkąt, tylkoobrócony o 180◦.

T (n)

Metoda Gaussa




T (n)+�

Metoda Gaussa




Jego pole to oczywiście też T (n).

T (n)+T (n)

Metoda Gaussa





Dostaliśmy prostokąt o wymiarach n× n+ 1.

T (n)+T (n)

Metoda Gaussa






Jego pole to z jednej strony 2T (n),

2T (n)

Metoda Gaussa






Jego pole to z jednej strony 2T (n), z drugiejzaś oczywiście n(n + 1).

n(n + 1)

Metoda Gaussa







To oznacza, żen(n + 1)

Metoda Gaussa







To oznacza, że

2T (n) = n(n + 1)

Metoda Gaussa







To oznacza, że

T (n) = n(n+1)2

Sumy liczb nieparzystych




Zastanówmy się, co otrzymamy sumując kolejne liczby nieparzyste zamiastkolejnych liczb naturalnych.



Zastanówmy się, co otrzymamy sumując kolejne liczby nieparzyste zamiastkolejnych liczb naturalnych. Rozważmy sumę n początkowych liczbnieparzystych

1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1

Obliczając wartości tej sumy dla kilku początkowych n zauważamy, żeszukana suma jest równa n2.




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 = 12




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 = 4 = 22




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 + 5 = 9 = 32




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1

Spróbujemy uzasadnić geometrycznie, dlaczego szukana suma to n2.




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1

Spróbujemy uzasadnić geometrycznie, dlaczego szukana suma to n2.Możemy zastosować metodę Gaussa.




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1

Spróbujemy uzasadnić geometrycznie, dlaczego szukana suma to n2.Możemy zastosować metodę Gaussa.

Dwie szukane sumy dają prostokąt o wymiarach n × 2n i polu 2n2, skądjedna szukana suma jest równa n2.




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1

Spróbujemy uzasadnić geometrycznie, dlaczego szukana suma to n2.Możemy zastosować metodę Gaussa lub użyć innej metody geometrycznej:




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 = 12




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 = 22




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 + 5 = 32




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 + 5 + 7 = 42




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1


1 + 3 + 5 + 7 = 42

Okazuje się, że możemy udowodnić ten fakt korzystając z liczb trójkątnych.

Kwadraty a liczby trójkątne




Sumę n początkowych liczb nieparzystych przedstawmy układając jekolejno nad sobą.




1




1 + 3




1 + 3 + 5




1 + 3 + 5 + 7




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1




1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1

Zauważmy, że szukana suma to suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych.




T (n − 1) + T (n)

Zauważmy, że szukana suma to suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych.




T (n − 1) + T (n) = n2

Zauważmy, że szukana suma to suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych,a dwie kolejne liczby trójkątne sumują się do kwadratu.




T (n − 1) + T (n) = n2

Zauważmy, że szukana suma to suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych,a dwie kolejne liczby trójkątne sumują się do kwadratu. To oznacza, że

1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1




T (n − 1) + T (n) = n2


1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1 = T (n − 1) + T (n)




T (n − 1) + T (n) = n2


1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1 = T (n − 1) + T (n) = n2

Trochę ambitniej: sumy liczb trójkątnych




Teraz zajmiemy się szukaniem wzoru na sumę kolejnych liczb trójkątnych.



Teraz zajmiemy się szukaniem wzoru na sumę kolejnych liczb trójkątnych.Sumę n początkowych liczb trójkątnych oznaczmy przez S(n):

S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)

Geometrycznie S(n) możemy przedstawić jako ustawionych szeregowo ntrójkątów.




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)


S(1)




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)


S(2)




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)


S(3)




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)


S(n)




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)

Geometrycznie S(n) możemy przedstawić jako ustawionych szeregowo ntrójkątów. Do każdego z trójkątów możemy zastosować metodę Gaussa.

S(n)




S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + . . .+ T (n)

Geometrycznie S(n) możemy przedstawić jako ustawionych szeregowo ntrójkątów. Do każdego z trójkątów możemy zastosować metodę Gaussa.

S(n) + S(n)

Uzupełnianie do prostokąta


Aby wyznaczyć wzór na S(n) zastanówmy się czego potrzeba, abyuzupełnić nasz rysunek do prostokąta.




S(n) + S(n)




S(n) + S(n) + �

Innymi słowy musimy znaleźć pole szarej figury.




S(n) + S(n) + �

Innymi słowy musimy znaleźć pole szarej figury. Zauważmy, że poziomeszare paski są kolejnymi liczbami trójkątnymi od T (1) do T (n).




S(n) + S(n) + � + T (1)





S(n) + S(n) + � + T (2)





S(n) + S(n) + � + T (3)





S(n) + S(n) + � + T (n)





S(n) + S(n) + T (1) + · · ·+ T (n)

Innymi słowy musimy znaleźć pole szarej figury. Zauważmy, że poziomeszare paski są kolejnymi liczbami trójkątnymi od T (1) do T (n). Tooznacza, że szara figura ma pole T (1) + · · ·+ T (n) = S(n).




S(n) + S(n) + S(n)

Innymi słowy musimy znaleźć pole szarej figury. Zauważmy, że poziomeszare paski są kolejnymi liczbami trójkątnymi od T (1) do T (n). Tooznacza, że szara figura ma pole T (1) + · · ·+ T (n) = S(n).




Dostaliśmy prostokąt o wymiarach T (n)× n + 2.




Dostaliśmy prostokąt o wymiarach T (n)× n + 2. Jego pole to z jednejstrony (n + 2)T (n), z drugiej zaś 3S(n).




Dostaliśmy prostokąt o wymiarach T (n)× n + 2. Jego pole to z jednejstrony (n + 2)T (n), z drugiej zaś 3S(n). To oznacza, że

S(n) =(n + 2)T (n)

3




Dostaliśmy prostokąt o wymiarach T (n)× n + 2. Jego pole to z jednejstrony (n + 2)T (n), z drugiej zaś 3S(n). To oznacza, że

S(n) = n(n+1)(n+2)6

Suma kwadratów (sposób I)




Przeprowadzone obserwacje okazują się pomocne przy obliczaniu sumkwadratów.



Przeprowadzone obserwacje okazują się pomocne przy obliczaniu sumkwadratów. Sumę kwadratów n początkowych liczb naturalnych oznaczmyprzez K (n).




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2

Wyprowadzimy wzór na K (n), oczywiście geometrycznie.




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2

Wyprowadzimy wzór na K (n), oczywiście geometrycznie. Rozważmy sumę1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n(n + 1).




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2

Wyprowadzimy wzór na K (n), oczywiście geometrycznie. Rozważmy sumę1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n(n + 1). Jak już wcześniej zauważyliśmy wartość tejsumy to 2S(n).




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2


Z drugiej jednak strony wartość tej sumy to K (n) + T (n).




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2


Z drugiej jednak strony wartość tej sumy to K (n) + T (n). Otrzymaliśmyzależność

2S(n) = K (n) + T (n)




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2



K (n) = 2S(n)− T (n)




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2



K (n) = 2S(n)− T (n) = n(n + 1)(n + 2)3

− n(n + 1)2




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2



K (n) = 2S(n)− T (n) = n(n + 1)(2n + 4)6

− 3n(n + 1)6




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2



K (n) = n(n+1)(2n+1)6




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2



K (n) = n(n+1)(2n+1)6

Jak widać metodami geometrycznymi można uzyskać wzór, któryalgebraicznie byłby trudny do wyprowadzenia.




K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2



K (n) = n(n+1)(2n+1)6

Jak widać metodami geometrycznymi można uzyskać wzór, któryalgebraicznie byłby trudny do wyprowadzenia. Udowodnimy ten wzórgeometrycznie jeszcze dwoma sposobami.

Suma kwadratów (sposób II)




Pamiętamy, że każdy kwadrat udało nam się przedstawić jako sumę dwóchkolejnych liczb trójkątnych.



Pamiętamy, że każdy kwadrat udało nam się przedstawić jako sumę dwóchkolejnych liczb trójkątnych. Przedstawmy w ten sposób każdy z kwadratóww szukanej sumie K (n).




S(n) + S(n − 1)




S(n) + S(n − 1)

Otrzymujemy zależność

K (n) = S(n) + S(n − 1)




S(n) + S(n − 1)


K (n) = S(n) + S(n − 1) =n(n + 1)(n + 2)

6+

(n − 1)n(n + 1)6




S(n) + S(n − 1)


K (n) = S(n) + S(n − 1) =n(n + 1)(2n + 1)

6

Suma kwadratów (sposób III)




Wiemy, że każdy kwadrat można przedstawić jako sumę kolejnych liczbnieparzystych.



Wiemy, że każdy kwadrat można przedstawić jako sumę kolejnych liczbnieparzystych. Przedstawmy w ten sposób każdy z kwadratów w szukanejsumie K (n).




Ułóżmy teraz obok siebie liczbynieparzyste uzyskane z podziałukwadratów szukanej sumy.




K (n) = � + � + � + �



Okazuje się, że otrzymaną figuręmożemy uzupełnić do prostokąta


K (n) = � + � + � + �



Okazuje się, że otrzymaną figuręmożemy uzupełnić do prostokątadwiema sumami K (n).


K (n) = � + � + � + �





3K (n)




Dostajemy prostokąt o wymiarach2n + 1× T (n).


3K (n)




Dostajemy prostokąt o wymiarach2n + 1× T (n). Jego pole to 3K (n),a jednocześnie T (n)(2n + 1).


3K (n)






K (n) =T (n)(2n + 1)

3


3K (n)






K (n) =n(n + 1)(2n + 1)

6


3K (n)

Podsumowanie


Podsumowanie

Stosując metody geometryczne udowodniliśmy następujące wzory:


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2

S(n) = T (1) + T (2) + · · ·+ T (n) = n(n + 1)(n + 2)6


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2

S(n) = T (1) + T (2) + · · ·+ T (n) = n(n + 1)(n + 2)6

K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)6


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2

S(n) = T (1) + T (2) + · · ·+ T (n) = n(n + 1)(n + 2)6

K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

Oczywiście liczby naturalne można przedstawiać graficznie inaczej.


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2

S(n) = T (1) + T (2) + · · ·+ T (n) = n(n + 1)(n + 2)6

K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

Oczywiście liczby naturalne można przedstawiać graficznie inaczej. Naprzykład liczbę n można przedstawić jako n odcinków lub sześcianówjednostkowych.


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2

S(n) = T (1) + T (2) + · · ·+ T (n) = n(n + 1)(n + 2)6

K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)6


Wzory na S(n) i K (n) można wyprowadzić również przestrzennie


Podsumowanie


T (n) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)2

S(n) = T (1) + T (2) + · · ·+ T (n) = n(n + 1)(n + 2)6

K (n) = 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)6


Wzory na S(n) i K (n) można wyprowadzić również przestrzennie,dopełniając sumy do prostopadłościanu zamiast prostokąta.


Suma kwadratów z sześcianów



Jeśli w sumie kwadratów kolejnych liczb naturalnych kwadraty jednostkowezastąpimy sześcianami



Jeśli w sumie kwadratów kolejnych liczb naturalnych kwadraty jednostkowezastąpimy sześcianami, to sumę K (n) będzie można przedstawić tak:




K (n)




K (n)


Gdy do tej bryły dodamy jeszczedwie takie sumy K (n)



K (n) + K (n)





K (n) + K (n) + K (n)





K (n) + K (n) + K (n)


Gdy do tej bryły dodamy jeszczedwie takie sumy K (n), otrzymamyprostopadłościan o wymiarachn × n × n + 1 z dołączoną sumąT (n).



n2(n + 1) + T (n)





n2(n + 1) + T (n)



To oznacza, że



n2(n + 1) + T (n)



To oznacza, że

3K (n) = n2(n + 1) + T (n)



n2(n + 1) + T (n)



To oznacza, że

K (n) =n2(n + 1)

3+n(n + 1)

6



n2(n + 1) + T (n)



To oznacza, że

K (n) =n(n + 1)(2n + 1)

6

Koniec slajdów

Koniec slajdów,pora na zadanka ,

geometrycznie o liczbach

Documents