המכללה האקדמית להנדסה
אורט בראודה
ORT BRAUDE COLLEGE
אלגברה ליניארית
חוברת תרגילים
בעריכת לוצקי יעקב וקורמן ולדימיר
2008-2009
תוכן העניינים
3..............................אלמנטים של הנדסה אנליטית .1
7...........מרוכבים....................................מספרים .2
11............מערכת משוואות ליניאריות...................... .3
15..............פעולות במטריצות. מטריצה הפיכה......... .4
19................מרחבים וקטוריים............................... .5
27.......................................העתקות ליניאריות...... .6
31................טרמיננטות וכלל קרמר......................ד .7
34...ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון מטריצה.... .8
3
אלמנטים של הנדסה אנליטית. 1
ABCנתון משולש . 1 . M ונקודת חיתוך של תיכוני המשולש MA: הסכום חשב את MB MC
.
0: תשובה
.
. בהתאמה DC -ו AB ותעצלה נקודות האמצע של N-ו Mיהיו ו ABCD מרובענתון . 22AD : הוכח BC MN
.
2מצא את ראשו של וקטור . 3 3v i j k
נקודה כאשר עקבו ב, 2,1,4 .
: תשובה 1,3,1 .
מצא וקטור יחידה שכיוונו מנקודה . 4 1,1,0A לנקודה 3,1,1B.
: תשובה 1 417
i k
.
3.: נתון. 5 , 2 3u v i j k u v i k
. v-וuמצא את
: תשובה 8 1 4 5 2 1. ,7 7 7 7 7 7
v i j k u i j k
.נתונים וקטורים . 6 2 , 4 4i aj k i k aj
. לזה ם זהמאונכי( ב; מקבילים( א :כך שהוקטורים יהיו aמצא את 2a( ב; aאין ערך כזה של (א: ותתשוב .
aיהיו .7 i j
4 -ו 3b i j
:כך שמתקיים מצא .
b -ו a( א
; ניצבים
b -ו a הזווית בין( ב
; 045היא
b -ו a הזווית בין ( ג
; 060היא
b -ו a ( ד
. מקבילים
( א: ותתשוב 3
4
1 (ב ;7
( ג ;48 7 3
39
( ד ;43
.
b -ו a -ניצב ל vאם : כחהו .8
aכל וקטור מהצורה לניצב vאז , b
,כאשר , הם
. יםשרירותי שני סקלרים ממשיים
4
0aאם : הוכח. 9 b a c
)אז , ) 0a b c
.
yz מצא את כל וקטורי היחידה המקבילים למישור .10 3 וניצבים לווקטור 2v i j k
.
: תשובה 1 25
j k
.
b,י וקטורים נתונים שנ. 11 a
2uומקבילית שצלעותיה a b
v -ו a b
.
-המקבילית אם ידוע ש את שטחחשב 1,2, 1a b
.
3: תשובה 6 . 5 אם הוקטוריםהבדוק .12 2a i j k
,4 5b i j k
,2 4c i j k
.אחד מישורנמצאים ב .לא: תשובה
3 : הם מקצועותיונתון מקבילון ש .13 2a i j k
,2b i j k
,
3 3c i j k
. . ח המקבילוןמצא את נפ( א .c -ו a על ידי תמצא את שטח הפאה הנקבע( ב bמישור הפאה הנקבעת על ידי בין ל aאת הזווית שבין אמצ( ג
.c -ו
-סינוס הזווית המבוקשת שווה ל( ג ;122 (ב ;9( א :בהותש 9
14 .
(. 1,2,3)ומאונך לוקטור (1,2,3)מצא את משוואת המישור העובר דרך נקודה .14): תשובה 1) 2( 2) 3( 3) 0x y z 2או 3 14x y z .
) ,( 1,0,1), ( 1,1,1): מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות .15 1,0,1) .1z: תשובה .
? (2,3,4), ( 2,0,1), ( 1,1,2), ( 1,2,3): באות נמצאות במישור אחדההאם הנקודות . 16
. כן: תשובה
מצא את משוואת הישר המקביל לישר . 171 1 1
2 3 4x y z
(1,0,2)' ועובר דרך נק .
2: תשובה 1 , 3 , 4 2x t y t z t .
5
תאוהמשוו הראה כי. 18
4 6 1 31 2 , 2
2 4 2
x t x sy t y sz t z s
. אותו ישר תמייצגו
( 0,1,1), ( 2,3,4)העובר דרך נקודות מצא את נקודת החיתוך בין הישר . 19
16x לבין המישור y z . . (4,5,7): תשובה
ישרים. 20 2 נתונים 1
9 1 2: 5 3 , : 2
4 4 2
x t x sl y t l y s
z t z s
.
; נחתכים ומצא את נקודת החיתוך הראה כי הישרים( א ;מצא את הזווית החדה בין הישרים( ב 2l -ו 1l -צב לישר הניהפרמטרית של ההצגה אתה מצא ( ג .ועובר דרך נקודת חיתוך שלהם
( א: ותבתשו 7, 1, 2 ; סינוס הזווית שווה לקו (ב- 1
3 11( ג ;
712
x tyz t
.
:פרמטרית של ישר החיתוך של המישורים ההצגה את המצא . 21
2 3 5 0 , 2 3 7 2 0x y z x y z .
: תשובה 11 1223 , , 77 7
x t y t z t .
מצא את משוואת המישור המכיל את הישרים . 22
1 3 51 , 2
2 3 3 4x y x zz y .
13: תשובה 5 11 6x y z .
הראה כי הישרים .23
1 4 2 85 4 , 4 31 5 5
x t x ty t y tz t z t
. חשב מרחק ביניהם. מצטלבים
:תשובה 95
1817
6
המכיל את הישר משוואת המישוראת מצא .24
2 34 23
x ty tz t
2 וניצב למישור 5x y z . 2: תשובה 10 0y z .
הישרים ש הראה .25
1 2 23 4 , 25 2 1
x t x ty t y tz t z t
. ביניהםמקבילים וחשב מרחק
: תשובה 356
.
0aנתון וקטור . 26
. P היוצא מנקודה נתונה : ומקיימים את התכונה הבאה P' היוצאים מנק uתאר גיאומטרית את כל הוקטורים
0a( א u
0a( ב; u
.. a שכיוונו Pישר דרך ( ב; a -ומאונך ל Pמישור העובר דרך ( א: ותתשוב
7
מספרים מרוכבים .2
1: בתרגילים הבאים הצג על המישור מספרים הבאים. 12 1 2 1 2 1
2
, , , ,z z z z z z zz
1( א 23 3, 1z i z i ; 1( ב 21 2 , 1z i z i ;1 (ג 2, 1 3z i z i
: ג תוצאה בצורה אלגבריתהצהבאים ו הביטויםחשב את . 2
( א 21 2 2 5i i i ;ב ) 21 1 3 3 1 2i i i i ;
(ג
311
ii
(ד ;
25
19
21
ii
.
11 ( א :תשובות 3i ; 1( ב 7i; ג ) i; ד ) 322
i .
:ת הבאותאומצא פתרונות ממשיים של המשוו. 3
(א 1 2 5 4 17i x i y i ;
(ב 3 2 1 2 5 6x i i x iy i i ;
( ג 4 2 5 3 13i x i y i .
,2( א :תשובות 3x y ; ב )20 36,17 17
x y ;2( ג, 1x y .
:צורה טריגונומטריתבהבאים הצג מספרים . 4
2 (ג ;2i( ב ; 2( א 2 3i ; 4 (ד 3i; 1( ה 3i ;
. (*ו 0 1 sin cos2
i
( א :תשובות 2 cos sini ; 2( ב cos sin2 2
i
;
(ג 2 24 cos sin3 3
i
(ד; 3 35 cos sin4 4
arctg i arctg ;
( ה 4 42 cos sin3 3
i
;
8
( ו 2 1 sin cos sin4 2 4 2
i .
( א: חשב. 5 72 2i; ב) 63 3i ;ג)
5
3
11
ii
( ד ;
401 3
1i
i
.
( ה
4 10
5
1 1 23 4i i
i
( ו ;
6 3
4
1 3 6 2
2 3
i i
i
.
( א :תשובות 102 1 i ; ד ;2( ג ;1728 (ב ) 192 1 3i ;ו; 4( ה )102 2169
.
אם הוכח ש( א .6 cos sin 1ni , אז גם cos sin 1ni ;
-הוכח ש( ב
111 1
n itg nitgitg itg n
.
. השתמש בנוסחת דה מואבר :הדרכה
4( א: חשב .7 4 (ב ;1 1; 3 (ג i; 6( ד 1 3i ; 4 (ה 2 3 2i.
,1 (א :תשובות i ; ב) 1
2i
; ג ) 1 3 ,2
i i ;
6( ד 2 cos sin , 0,1,2,3,4,59 3 9 3
k ki k ;
2 (ה cos sin , 0,1,2,324 2 24 2
k ki k .
פתור את המשוואה. 8
25 1 0
1izi
את כל הפתרונות של המשוואה הנמצאים ומצא
.ברביע השני
:תשובה 2 2cos sin , 0,1,2,3,45 5k
k kz i k ברביע השני ולכן
1ן פתרורק נמצא 3 3cos sin5 5
z i .
9
: הבאות ותפתור את המשווא. 9
2( א 2 5 0z z ; ב ) 2 2 3 5 0z i z i ;
( ג 4 21 2 1 0z i z i ; 6( ד 34 3 0z z .
בשוויון השתמש( ב :הדרכה 215 8 1 4i i .
בשוויון השתמש( ג 28 6 1 3i i ;
3t: סמן( ד z .
1 (א :תשובות 2i ; 1( ב , 2 3i i ;
( ג 4 7 71 , 2 cos sin8 8
i i
;
( ד 3
31 31 3 , 1 , 1 3 , 32 2
i i .
8נתונה משוואה . 10 43 4 0z z .
. המשוואהמצא את כל הפתרונות של ( א
|: מצא מכפלה של כל הפתרונות המקיימים את התנאי (ב | 1z .
:פתרונות הבאים 8למשוואה יש ( א :ותתשוב
4 2 21 cos sin , 0,1,2,34 4k
k kz i k ו -
4 44 4 cos sin , 0,1,2,32 2k
k kz i k
;
0 (ב 1 2 3 1z z z z
: את הפולינומים הבאים( עם מקדמים ממשיים)ם ייעלגורמים לינאריים או ריבו פרק .11
4z( א 1; 4 (בz 1; 4 (ג 2 1z z .
( א :תשובות 21 1 1z z z ; ב) 2 22 1 2 1z z z z ;
(ג 2 21 1z z z z .
10
1z מספר. 12 i 4 הוא שורש של הפולינום 3 24 11 14 10z z z z . ים עם מקדמיםעיו ריבוא םליניאריישורשים של הפולינום ופרק אותו לגורמים השאר את מצא . ממשיים
1z :תשובה i ,1 2i , 2 22 2 2 5z z z z .
מספר. 131 32 2
z i 5 הוא שורש של הפולינום 4 3 2 1z z z z z 2בריבוי.
. ממשיים מקדמיםעם ייםועם לינאריים או ריבופרק אותו לגורמי שאר שורשי הפולינוםאת מצא
:תשובה 1 32 2
z i , 1 32 2
z i ( 2בריבוי), 1z ;
221 1z z z .
11
מערכות משוואות לינאריות . 3
: את המערכות הבאות( אם יש פתרון)דרג ופתור . 1
(א
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 2 4 27 4 3 55 7 4 6 3
x x x xx x x xx x x x
(ב
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4 26 4 4 3 39 6 3 2 4
x x x xx x x xx x x x
(ג
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5 8 84 3 9 92 3 5 7
8 7 12
x x xx x xx x xx x x
(ד
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 3 26 3 2 4 5 36 3 4 8 13 94 2 2 1
x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x
3( ב ;אין פתרון (א :בותתשו 1 2 4 1 26 15 10 , 7 18 12x x x x x x ; 1 (ג 2 33 , 2 , 1x x x ; 4 (ד 5 1 2, 0 , 1 2x x x x 3 1 21 8 4x x x .
עבורם יש למערכת kחקור את המערכות הבאות ומצא את הערכים של הפרמטר . 2: אינסוף פתרונות או אין פתרון, יחיד תרון פ
)א
(2 ) 12 3
2
x k y z kx y kz k
kx ky z
)ב; 2
3 2 22
3 2 1
x y zkx y kz kkx ky z k
)ג
13 3 2
2 2 2 4
x y z wx y kz kwx y z kw k
)ד ;
111
kx y zx ky zx y kz
: תשובות ,0( א 1,2k 0 ;פתרון יחידk 1; אינסוף פתרונות 2k or k אין פתרון .
,1 1 (ב 3
k 1 ;פתרון יחידk אינסוף פתרונות; 13
k אין פתרון .
3k (ג 3 ;ונותאינסוף פתרk אין פתרון .
12
2,1k(ד 1 ;פתרון יחידk 2 ;אינסוף פתרונותk אין פתרון .
נתונה מערכת .3
2 12 2 3
2 1
x y zx y z ax y z a
.
. עבורם אין פתרון למערכת aהערכים של כל את מצא . רשום פתרון כללי aלכל ערך אחר של
: 1a = עבור. 1a אין פתרון עבור :תשובה1 2,3 3
x z y z .
נתונה מערכת . 4
2 33 2
5 8
x y z ax y z bx y z c
.
,מצא תנאי על הפרמטרים ,a b c כך שלמערכת. לא יהיה פתרון (ב ;יהיה פתרון יחיד (א
; אין פתרון יחיד לכל הערכים של הפרמטרים (א :תשובה 2 -ון בתנאי שאין פתר (ב 0b a c .
נתונה מערכת .5
2 2 22 12 1
ax y z ax y bzx y cz
.
,הוכח שלכל הערכים של ,a b c יש פתרון למערכת .,מצא את ,a b c כך שיהיה פתרון יחד . ) אם :תשובה 2)( ) 0a c b ,אז יש פתרון יחיד למערכת .
י מטריצה "מערכת הומוגנית מוגדרת ע (א. 6
1 2 2 12 1 0 10 3 2 1
.
. מצא את מספר הנעלמים החופשיים במערכת
13
י מטריצה "מערכת הומוגנית מוגדרת ע (ב
1 1 23 1 11 3 c
.
? יש למערכת אינסוף פתרונות cעבור איזה
5c( ב; חופשי אחד נעלם (א :התשוב .
ידוע שלמערכת . 7
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 3 33 3
000
a x a x a xa x a x a xa x a x a x
. יש אינסוף פתרונות
אזי למערכת
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 3 33 3 3
a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b
אפשרויות 4ציין את התשובה הנכונה בין )
(: הבאות 1רים פאינסוף פתרונות לכל המס (א 2 3, ,b b b; 1פתרון יחיד עבור (ב 2 3, ,b b b
1עבור אין פתרון (ג ; מסוימים 2 3, ,b b b לא ניתן להסיק אף אחת (ד ;מסוימים
. מהמסקנות הקודמות . תן הסבר או דוגמה לתשובתך . (ג: תשובה
ידוע שלמערכת . *8
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 3 33 3 3
a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b
(. 1,0,2)יש פתרון יחיד
את המערכת פתור
1 1 12 2 13 3
2 1 22 2 23 3
3 1 32 2 33 3
000
b x a x a xb x a x a xb x a x a x
.
. את הדרגה של המטריצה של המערכת ההומוגנית מצא .הנחיה
14
1פתרון יחיד :תשובה 2 3 0x x x . כך שלמערכת aמצא את כל הערכים של . 9
2
02 ( 2) 2 ( 2) 0
( 1) ( 2) 1
x y z wx a y z a wx a y az a a w a
. שני נעלמים חופשיים (ב ;נעלם חופשי אחד (א : יהיה 1,0a (א: תשובה ; 1 (ב 0a or .
: כללי למערכת משוואות מסוימת יש פתרון. 10
1 3 4 2 4 52 3 , 2 1 , 3x x x x x x .. א פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימהמצ
1 :תשובה 2 3 4 53 , 2 , , , 0x s t x t x s x t x .
: למערכת משוואות מסוימת יש שני פתרונות הבאים .11
1 , 4 , 2; 2 , 8 , 4x y z x y z .הומוגנית חייבת להיות שהמערכת .הוכח
המערכת תוהשתמש בתכונות של פתרונו רונותלקשר בין הפת שים לב .הנחיה .ההומוגנית
: יש שני פתרונות הבאים לא הומוגניתלמערכת משוואות . 12
1 , 4 , 2; 2 , 3 , 4x y z x y z .. מצא פתרון לא טריוויאלי כלשהו של המערכת ההומוגנית המתאימה
,3 למשל :התשוב 1, 6x y z .
. למערכת משוואות לא הומוגנית אין פתרון. 13
(: בחר את התשובה הנכונה)אזי למערכת ההומוגנית המתאימה יש בהכרח ;אינסוף פתרונות (ג ;אין פתרון (ב ; פתרון יחיד (א ;ות הקודמות אינה נכונהאף אחת מהתשוב (ד
.(ד :תשובה
15
. מטריצה הפיכה. פעולות על מטריצות. 4 : חשב. 1
( א
1 2 1 0 10 1 2 2 13 1 1 1 3
( ב ;
1 2 11 2 1
0 1 22 1 1
3 1 1
;
(ג
1 3 2 2 5 63 4 1 1 2 52 5 3 1 3 2
(ד ;4 3 28 93 7 37 5 38 126 2 1
.
( א : ותתשוב
5 24 53 5
( ב; 2 3 4
5 6 5
(ג ;
1 5 53 10 02 9 7
( ד ;2 00 3
.
: הוכח ש . 2
( א
20072 1 2 13 2 3 2
( ב ;
20071 0 1 01 1 2007 1
;
( ג 1 1
,0 1 0 1
na naa R
(ד ;
11,
0 0
n n n n
n
nR
.
. השתמש באינדוקציה מתמטית( ד(-גילים בבתר :הדרכה
חשב ערך הפולינום .2ריבועית מסדר Aנתונה מטריצה .3 f A :אם
( א 23 4f x x , 2 10 3
A
;
(ב 2 3 14f x x x , 1 21 3
A
.
( א: תשובות 8 150 23
(ב ;10 2
1 12
.
16
המקיימת תנאי 3ריבועית מסדר Aנתונה מטריצה . 4
2 22 64 4
A
.
את המכפלהחשב
112
A
.
:תשובה
132
.
A,ריבועיות האם קיימות מטריצות . 5 B 3 -כך ש 3מסדרAB BA I ?
(n מסדראנחנו מסמנים מטריצת היחידה nIי "מכאן ואילך ע)
. לא: תשובה A,מטריצות נתונת . 6 B ריבועיות מסדרn תנאיהמקיימות AB BA. הוכח ש :
(א 22 22A AB B A B ;
(ב 2 2A B A B A B ;
( ג 10 10 10AB A B;
אז, הפיכה Aאם מטריצה (ד 1 1A B BA .
A,מטריצות נתונת .7 B סימטריות מסדרn. הוכח ש:
מטריצה ( א 2A B סימטרית ;
ABאם ( ב BA ; סימטרית 2AB מטריצה אז , ,מטריצות יהיו .8 , ,A B C X ריבועיות מסדרnהפיכותו .
: אם ידוע ש Xאת המטריצה חשב
2( א 1 1 1 3B A X C B A ; 2 (ב 2 3 3 2 2CA XB C B A C .
1ׂ (א :ותתשוב 1 1 1X C A B A ;2( ב 1 3 2 2X A C B A CB .
17
: מצא מטריצה הפוכה לכל אחת מהמטריצות הבאות. 9
( א 1 32 5
(ב; 1 23 4
( ג;
2 2 31 1 01 2 1
(ד ;
1 2 22 1 22 2 1
.
( א :תשובות 5 3
2 1
(ב; 2 1
3 12 2
( ג;
1 4 31 5 31 6 4
;
3 2 21 6 5 23
6 6 3
.
: פתור את המשוואות הבאות .10
( א 1 2 3 53 4 5 9
X
(ב ;
3 1 5 6 14 165 2 7 8 9 10
X
.
(א :תשובות 1 1
2 3
(ב ;1 23 4
.
A,מטריצות .11 B ריבועיות מסדרn. הבאותטענות הנכונות ם אה:
0ABאם ( א , 0 אואזB ; 0Aאו
2אם ׂ(ב nA I nAאז , I nAאו I ;
BAאם מטריצה ( ג Bו-AB A, 2אזB B 2-וA A; Aאם מטריצה ( ד AB Aאז גם מטריצה ,הפיכה BA הפיכה;
A,אם מטריצות ( ה B ;הפיכה ABאז גם מטריצה ,הפיכות A,אם מטריצות ( ו Bאז גם מטריצה ,סימטריותAB סימטריות .
A,אם מטריצות ( ז Bתנאי םמקייסימטריות ו AB BA , אז גם מטריצה
2A B סימטרית. . כן )ז ; כן( ז; כן (ה; כן( ד; כן( ג; לא (ב; לא( א: תשובות
2 -כך ש nריבועית מסדר Aנתונה מטריצה . 12 0nA A I .
2 -הפיכה ו Aהוכח כי ( א 1A A ;
18
2הוכח כי ( ב nA A I הפיכה .
A,מטריצות יהיו *.13 B ריבועיות מסדרn תנאיהמקיימות nA I AB . ש הוכח :
AB -הפיכה ו Aמטריצה ( א BA; ; מטריצה סימטרית Aאז גם ,מטריצה סימטרית Bאם ( ב
3( ג 0B 2אם ורק אם nA I B B .
19
מרחבים וקטוריים . 5 מרחב -מרחב ותת
. (Rמעל )וקטוריים ביחס לפעולות הנתונות מרחבים ןקבע אילו מהקבוצות הבאות ה. 1
1שלישיות האוסף של כל ( א 2 3( , , )x x x ,כאשר
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x y y y x y x y x y ,
1 2 3 1 2( , , ) ( , ,0)x x x x x ;
1שלישיות האוסף של כל (ב 2 3( , , )x x x,כאשר
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x y y y x y x y x y ,
1 2 3( , , ) (0,0,0)x x x .
. לא (ב; לא( א: תשובה
: 2Rמרחבים של -אילו מהקבוצות הבאות הן תת קבע. 2
( א ( , ) 2U x y y x ;
( ב ( , )U x y y x ;
( ג ( , ) 0U x y x y ;
( ד ( , ) 2 1U x y x y ;
( ה 2 2( , ) 0U x y x y .
. מרחב-תתהאת תגיאומטריבכל מקרה תאר . כן (ה; לא( ד; כן( ג; לא( ב; ןכ( א: תשובות
:3Rמרחבים של -אילו מהקבוצות הבאות הן תת קבע. 3
( א 0U u u v
vכאשר ,
; 3R -הוא וקטור שונה מאפס נתון ב
(ב 0U u u v
vכאשר ,
; 3R -הוא וקטור שונה מאפס נתון ב
( ג ( , , ) 2U x y z x y z ;
( ד 1 2 3 1 3( , , ) 2U x x x x x ;
(ה 2( , , ) 2U x y z x y z .
. מרחב-תתהאת תגיאומטריבכל מקרה תאר
20
. לא( ה; לא( ד; כן( ג; כן( ב; כן( א: תשובות הקבוצה aעבור אילו ערכים של . 4
2( , , , )U x y z w a x y az
? 4Rמרחב של -היא תת
. aלכל : שובהת
mמטריצה מסדר Aתהי . 5 n .
Axאת קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות P -בנסמן b (mb R )
0bאם ורק אם nRמרחב של-הוא תתP: הוכח .nR-תרון הוא וקטור בכל פ .הפתרונותנקרא Pבמקרה הזה ) .( של המערכת מרחב
:מרחבים במרחבים מתאימים-ות הבאות הן תתהקבוצמ קבע אילו. 6
( א ( ) (0) 0U p x p 2 מרחבב ( )P x;
( ב a b
U a d b cc d
2 במרחב המטריצות 2M ;
mמכאן ואילך) nM mמסדר ממשיותה צותהמטרי מרחב ןמסמ n)
( ג ( ) (0) 2 (1)U p x p p 2 מרחבב ( )P x ;
nקבוצת המטריצות הסימטריות במרחב (ד nM ;
( ה ( , , , )U x y z w x y z מרחב ב R4 ;
(ו 1
( ) 0n
ij iii
U a a
במרחבn nM ;
nאלכסוניות במרחב המטריצות הקבוצת ( ז nM ;
במרחב 5 -פולינומים שמעלתם שווה להקבוצת ( ח 5P x; 4 מרחבב 3 -ל שווה או קטנה ממעלה פולינומיםה כל של קבוצה( ט ( )P x;
(י 3 , ,U ax bx c a b c R במרחב 6P x;
nבמרחב ההפיכות המטריצות קבוצת( יא nM .
21
; לא( ח ; כן( ז ;כן (ו ; לא (ה ;כן (ד ;כן (ג ; לא (ב ;כן )א: תשובות . לא( יא ; כן( י ; ןכ (ט
(פרישה לינארית)מרחב נפרש -תתוליניארי צירוף
u(1,2,3)האם וקטור . 7
(: 3R -ב)של הוקטורים הבאים יליניארהוא צרוף
) , (3,3,4) (א 1,1,2) ; 2,1),(0,1,1),(1,1,0)( ב, 1) ?
. לא( ב ; כן( א: תשובות
האם המטריצה . 81 21 0
2-ב)הבאות מטריצות השל היא צירוף ליניארי 2M ) :
( א 2 0 1 1 0 1
, ,0 1 0 1 1 0
;
(ב 1 1 0 1 0 0 1 0
, , ,0 1 1 0 1 0 0 0
?
. כן (ב ; לא( א: תשובות
האם הפולינום . 9 3 23 2 1p x x x x של הפולינומים ליניארי הוא צירוף
3 2 2 2, , 2 , 1x x x x x ?
. כן :תשובה
: 3Rפורשים את 3R -האם וקטורים הבאים ב. 10),(1,1,2),(1,1,1) (א 1,2,1) ; ב) ( 2,1,2),(1,2,1) ; ) (ג 1,3,5),( 1,1,2),(1,1,1) ?
. לא( ג; לא( ב; כן( א: תשובות
vהאם וקטור . 11
-שייך ל 1 2 3, ,Sp v v v ,כאשר :
v(1,2,3) (א
, (1,1,1)1v
, (0,1,1)2v
,3 (0,1,2)v
;
22
v(1,0,1,2) (ב
, 1 (1,1,1,0)v
,2 (2,0,2,1)v
, 3 (1,2,1,1)v
?
. כן( ב; כן( א: תשובות
נתונות מטריצות . 124 0 1 1 0 2
, ,2 2 2 3 1 4
A B C
.
-ל תהבאות שייכוהאם מטריצות , ,Sp A B C ?
( א 6 8
11 14
( ב ; 0 00 0
(ג ; 1 5
7 1
.
.לא( ג; כן( ב; כן( א: תשובות
את ותפורש האם קבוצות פולינומים הבאות. 13 3P x :
( א 3 2, , 1, 1x x x x ;
( ב 3 2 22 , 3 1 , 1, ,1x x x x x x ?
. כן( ב; כן( א: תשובה
T,יהיו . 14 K וקטוריקבוצות של וקטורים במרחב V . האם נכונות טענות הבאות :
אם ( א Sp T Sp K , אז T K;
אם (ב T Sp K ו- K Sp T, אז K T .
. לא (ב; לא( א: תשובה
mמטריצה מסדר Aתהי . 15 n . הוכח שלמערכת משוואותAx b יש פתרון אם ורק
. Aי העמודות של "הנפרש ע( mRשל )מרחב -שייך לתת bאם וקטור
מימד וסיס ב ,תלות ליניארית
23
וקטורים .16 1 2 1 2, , ,x x y y 2 -בR ליניארית הם בלתי תלויים .
3של הממשיים ור כל הערכים הוכח שעב 3,x y הוקטורים 1 2 3 1 2 3, , , , ,x x x y y y
.3R -ב ליניארית בלתי תלויים םה
.תלויה ליניארית 0וקטור את המכילהי וקטור מרחבב וקטורים קבוצתכל ש הוכח. 17
1 וקטורי מסוים נתונים וקטוריםבמרחב . 18 2 3 9 10, , , ,u u u u u.
1 -נתון ש 2 3, ,u u u תלויים לינארית .
. הוכח שכל הוקטורים הנתונים תלויים לינארית
. Vמרחב של מהווה בסיס Uנתונהוקטורים תהאם קבוצבכל המקרים הבאים בדוק . 19
(א 1,1,3 , 5, 1,2 , 3,0,4U , 3V R ;
(ב 2,1,2,1 , 0, 2, 2,0 , 0,2,3,1 , 3,0, 3,6U , 4V R ;
(ג 1,1,3,0 , 0, 2,1,0 , 1, 2,0,1U , 4V R ;
(ד 3 22 , 3 1, 1, 1U x x x x x , 3V P x ;
(ה 2 2 26 4 , 2 4 1, 2 5U x x x x x x , 2V P x ;
(ו 2 2 21, ,U x x x x x , 2V P x ;
(ז 1 2 0 1 0 0 1 0
, , ,0 1 3 0 1 0 0 0
U
, 2 2V M ;
(ח 1 2 0 1 2 0 3 3
, , ,0 1 3 0 1 1 4 0
U
, 2 2V M .
. לא( ח ; כן( ז ; כן( ו ;לא( ה ; כן( ד ; לא( ג ; כן( ב ; כן )א: תשובות
mמטריצה מסדר Aתהי . 20 n . 0הוכח שלמערכת משוואותAx יש פתרון
. (mR -ב)וקטורים תלויים לינארית הן Aלא טריוויאלי אם ורק אם העמודות של .( 14ראה שאלה )
. פתרונות של מערכת משוואות הומוגניתהמרחב את P -בנסמן . 21
24
. dimP-וP של B בתרגילים הבאים מצא בסיס
(א 1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 02 8 6 2 0x x x xx x x x
( ב ;
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 02 6 2 03 9 3 0
x x xx x xx x x
;
(ג
1 2 3
1 2 3
1 2 3
04 3 06 5 0
x x xx x xx x x
.
( א :תשובות dim 3, 4,1,0,0 , 3,0,1,0 , 1,0,0,1P B .
( ב dim 2 , 3,1,0 , 1,0,1P B ;
( ג dim 1, 4, 5,1P B .
.Vוקטורילקבוצת וקטורים במרחב Kתהי . 22 שלבסיס ווההשת Bוקטורים קבוצת Kבתוך מצא( 1) Sp K;
( 1)בסעיף שמצאת Bבבסיס קואורדינטות חשב Kשל וקטוריםה לשאר( 2) : במקרים הבאים
(א 1 2 3 41,3,1 , 2,0,1 , 4,6,3 , 1,9,1K v v v v ;
(ב 1 2 33,2, 5,4 , 3, 1,3, 3 , 3,5, 13,11K v v v ;
( ג
, 1 2 32,3, 4, 1 , 1, 2,1,3 , 5, 3, 1,8K v v v ;
4 3,8, 9, 5v
1 (ד 2 3 4
1 2 0 1 3 3 2 0, , ,
0 1 3 0 4 0 1 1K A A A A
;
1 (ה 2 3 4
1 0 0 1 2 1 1 5, , ,
0 1 0 0 0 2 0 1K A A A A
;
(ו 3 2 21 2 3 4, 2 3, 1, 1K p x x p x x p x p x ;
3(ז 25p x x 3 2 2
1 2 3 4, , 1, 1,K p x x p x x p x p x .
25
(1) (א :תשובות 1 2,B v v, (2 ) 4 33, 2 , 2,1
B Bv v ;
( 1( )ב 1 2,B v v, (2 ) 3 2, 1B
v ;
(1( )ג 1 2,B v v , (2) 4 32, 1 , 1,3B B
v v ;
( 1( )ד 1 2 4, ,B A A A, (2) 3 1,1,1B
A ;
(1( )ה 1 2,B A A, (2) 4 31,5 , 2,1B B
A A ;
( 1) (ו 1 2 3, ,B p p p, (2) 4 0,1,2B
p ;
(1( )ז 1 2 3, ,B p p p, (2) 5 41,1,0 , 0,1,1B B
p p .
2יהיו .23 1,B B וקטורימרחב של בסיסיםV. היי v כלשהו ב וקטור- V .
-נסמן ב Bv שלתקואורדינטוה את וקטורv כלשהו בבסיס B.
רוקטואת ה מצא 2B
v במקרים הבאים:
( א 2 11,1,0 , 0,1,1 , 1,0,1 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1B B ,
3V R , 1
1,2,1B
v ;
( ב 2 2 21 2 1, 2 1, 2 1B x x x x x x ,
2 2 22 3 5, 3, 2B x x x x x , 2 ( )V P x ,
1
1,3, 3B
v .
( א: תשובות 2
0,2, 1B
v ; ב) 2
9 11, , 202 2B
v
.
תהי .24 1 2 3 1 2 3, , , , ,v v v u u u מסוים וקטוריקבוצת וקטורים במרחב.
ה קבוצנתון כי 1 2 1 3 2 32 3 ,7 6 ,4 5u u u u u u לינארית בלתי תלויה היא
-ו 1 2 3 1 2 3, , , ,u u u Sp v v v .
את מצא 1 2 3dim , ,Sp v v v .
תהי . *25 1 2, , , mK v v v וקטוריקבוצת וקטורים במרחב V .
:הבאותטענות ההאם נכונות בדוק
26
vאם (א K ו- K לינארית בלתי תלויה,
אז גם קבוצה 1 2, , , ,mv v v v לינארית בלתי תלויה ;
אם( ב v Sp K ו- K בלתי תלויה לינארית,
אז קבוצה 1 2, , , ,mv v v v לינארית בלתי תלויה ;
אם( ג v Sp K ו- K בלתי תלויה לינארית,
אז קבוצה 1 2, , , mv v v v v v לינארית בלתי תלויה.
-ו Vהיא בסיס של Kאם קבוצה ( ד 1 2 1, , , mv Sp v v v ,
קבוצה י"נפרש ע V אז 1 2 1, , , ,mv v v v .
.כן( ד; כן( ג; כן( ב; לא( א: תשובות
תהי *. 26 1 2 3 4, , ,v v v v 3 -קבוצת וקטורים בR .
נתון כי קבוצות 1 2,v v ו- 2 3 4, ,v v v ליניארית ו הן בלתי תלויות- 1 2 4,v Sp v v
:הוכח קבוצה ( א 1 2 3, ,v v v ;ליניארית בלתי תלויה
( ב 4 1 2 3, ,v Sp v v v .
27
העתקות ליניאריות . 7
3 בדוק האם העתקה. 1 2 :T R Rהיא ליניארית אם נתון ש -)ׂ(א , , ) (2 , 1)T x y z x y z ;
)( ב , , ) (2 , )T x y z x y z y ; )( ג , , ) (2 ,0)T x y z x y ;
)( ד , , ) (2 , )T x y z x y z . . כן( ד; כן( ג; כן( ב; לא( א :תשובות : נתונה העתקה . 2 n mT R Rי "המוגדרת ע( )T u Au , כאשרA היא מטריצה
mממשית מסדר n ,u כלשהו ב הוא וקטור עמודה-nR .תהוכח שההעתקה ליניארי .
3נתונה העתקה ליניארית . 3 2 :T R Rכך ש - (1,1,2) ( 1,0)T (2,1, 1) (1,2) ,T .
,3,1)חשב את ערכו של 4)T .
,3,1) :תשובה 4) (3,4)T .
: בדוק האם העתקות הבאות ליניאריות. 4
2( א 2: ( ) ( )T P x P x 2י "מוגדרת ע( ) 2 T ax bx c bx a ;
2( ב 2: ( )T P x R 2י "מוגדרת ע( ) ( , )T ax bx c b a c ;
2( ג 2,2: ( )T P x M י "מוגדרת ע 23
a c bc b a
2( )T ax bx c .
. כל ההעתקות הן ליניאריות :התשוב
3 תהעתקה ליניארי. 5 2 :T R Rמקיימת את הדברים הבאים :(1,0,0) (2,3) , (0,1,0) (0,0,1) ( 4,5)T T T .
)חשב את , , )T x y z 3 -לכל וקטור בR .
) :תשובה , , ) (2 4 4 , 3 5 5 )T x y z x y z x y z .
6
28
הוכח שהעתקת הגזירה במרחב הפולינומים . 6 nP x י "המוגדרת ע
)נוסחה ( )) (́ )T p x p x . היא טרנספורמציה ליניארית
3 הוכח שהעתקות. 7 3 :T R Rומצא את הבסיס והמימד של הגרעין תניאריולי : והתמונה )(א , , ) (2 , , 0) T x y z x y z ;
)( ב , , ) (2 , , )T x y z x y z y x ; )( ג , , ) ( , , 2 2 )T x y z x y x y x y ;
)( ד , , ) (0,0,0)T x y z . :תשובות dimker( א 1, ker {(1, 2,0)}, Im {(1,0,0),(0,1,0)}T T sp T sp ;
3dimker( ב 0, ker {(0,0,0)}, ImT T T R ;
dimker(ג 2, ker {(1,1,0),(0,0,1)}T T sp ,
Im {(1, 1, 2)}T sp ;
3dimker( ד 3, ker , Im {(0,0,0)}T T R T . : תעתקה ליניאריה. 8 n mT R Rי "מוגדרת ע( )T u Au , כאשרA היא
מטריצהmממשית מסדר n ,u הוא וקטור עמודה כלשהו ב-nR .ן שדרגת נתוA שווה ל- r .,בעזרת )מצא את מימדי הגרעין והתמונה של ההעתקה ,m n r .)
dimker :תשובה , dimImT n r T r .
2 תנתונה העתקה ליניארי. 9 3 :T R Rכך ש -(1,1) (0,0,0)T ,(2,1) (1,2,3)T .
. מצא את מימדי הגרעין והתמונה
dimker :תשובה dimIm 1T T .
: מצא את המימד והבסיס של הגרעין והתמונה של ההעתקות הליניאריות הבאות. 10
2( א 2: ( ) ( )T P x P x 2י "מוגדרת ע( ) 2 T ax bx c bx a ;
2( ב 2: ( )T P x R )2י "מוגדרת ע ) ( , ) T ax bx c b a c ;
29
2( ג 2,2: ( )T P x M י "מוגדרת ע a c c ac a a c
2( )T ax bx c ?
: תשובות dimker( א 1, ker {1}, Im {1, }T T sp T sp x ;
2( ב 2dimker 1, ker { }, ImT T sp x x T R ;
2( ג 1 1dimker 2 , ker { , 1}, Im { }
1 1T T sp x x T sp
.
3 תהעתקה ליניארי. 112: ( )T P x R מקיימת את התנאים הבאים :
2(1) (1,2,3) , ( ) (4,5,6) , ( ) (7,8,9)T T x T x .. מצא את הבסיס והמימד של התמונה
dimIm :תשובה 2, Im {(1,2,3),(4,5,6)}T T sp .
מצא את הגרעין של העתקת הגזירה במרחב הפולינומים . 12 nP x ( 6ראה שאלה .)
. התמונה של ההעתקה מצא את מימד
ker :תשובה {1}, dimImT sp T n .
: עתקות הבאות ביחס לבסיס הסטנדרטי המתאיםמצא את המטריצה המייצגת של הה. 13
3( א 3 :T R R י "מוגדרת ע( , , ) (2 , , )T x y z x y z y x ;
2( ב 2: ( ) ( )T P x P x 2י "מוגדרת ע( ) 2 T ax bx c bx a ;
2,2( ג 2,2:T M M י "מוגדרת עa b a c b a
Tc d c d b c
;
:( ד ( ) ( )n nT P x P x י "מוגדרת ע( ( )) (́ )T p x p x .
: תשובות
( א
2 1 00 1 11 0 0
( ב;
0 0 00 2 01 0 0
( ג;
1 0 1 01 1 0 00 0 1 10 1 1 0
;
30
( ד
0 0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 0
0 1 0 . . . 0 0. . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 0
nn
.
: מצא את המטריצה המייצגת של העתקה . 14 n nT R R המוגדרת בעזרת מטריצהA
nמסדר n , כלומר( )T u Au (nu R) , ביחס לבסיס הסטנדרטי שלnR .
. A: תשובה
3מצא את המטריצה המייצגת של העתקה . 15 3 :T R Rי "המוגדרת ע( , , ) (2 , , )T x y z x y z y x
: ביחס לבסיסים הבאים
( א (1,1,0),(1,0,1),(0,0,1) ;ב ) (1,1,1),(1,0,2),( 1,0,1) .
: תשובות
( א
1 1 12 1 11 0 1
( ב;
2 2 11 503 31 413 3
.
3תהי . 16 3 :T R Rבעלת מטריצה מייצגת תהעתקה ליניאריA בבסיס הסטנדרטי .1 -ב Aנסמן את העמודות של 2 3, ,u u u (לפי סדר ההופעה ב- A .) נתון שמתקיים
1 2 32 3 ( 1,2,3)u u u . חשב את( 2,1,3)T .
,1): תשובה 2, 3) .
31
דטרמיננטות וכלל קרמר . 6
: חשב את הדטרמיננטות הבאות. 1
( א 2007 4014
4 8( ב;
1 32 4
z zz z
( ג; cos sinsin cos
;
( ד 1 12 3
i ii i
(i היא היחידה המדומה) ;
( ה
1 2 34 5 67 8 9
( ו;
3 2 12 5 33 4 2
2( ז; 2
3 3
111
a ba ba b
( ח;
2
2
2
111
a ab bc c
.
; 3( ו; 0( ה; 2(ד; 1( ג; 2( ב; 0( א: תשובות )( ז )( 1)( 1)ab b a a b ;ח )( )( )( )b a c a c b .
: 4חשב את הדטרמיננטות הבאות מסדר . 2
( א
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
( ב;
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
( ג;
3 0 50 0 21 2 30 0 0
ab
cd
.
.abcd(ג;3(ב;8(א:תשובות : י הבאתן לצורה משולשת"ע nחשב את הדטרמיננטות הבאות מסדר . 3
( א
1 1 1 . . . 11 0 1 . . . 11 1 0 . . . 1. . . . . . .
1 1 1 . . . 0
( ב;
1 2 3 . . .1 0 3 . . .1 2 0 . . .. . . . . . .1 2 3 . . .
nnn
n
)1( א: תשובות 1)n ;ב )!n .
,השורות הן וקטורים 3בדטרמיננטה מסדר ( א. 4 ,a b c
. 3R -ב
aאם : הוכח xb yc
x,עבור מספרים מסוימים y ,0 -אז הדטרמיננטה שווה ל .
7
32
= 0: הוכח( ב
2 2
2 2
2 2
1 sin cos1 sin cos1 sin cos
(. ב הדטרמיננטהללא חישו)
נתונה דטרמיננטה . 5
1 2 41 4 161 5 25
.
(. בלי לחשב את ערך הדטרמיננטה)לא שארית ל 6 -הראה שערכה מתחלק ב
4: נתון. 6a l pb m qc n r
. חשב את הדטרמיננטות הבאות:
( א
222
a a l pb b m qc c n r
( ב ;
3 23 23 2
a l a l pb m b m qc n c n r
( ג;
3 3 32 2 23 3 3
a p b q c rp a q b r cp l q m r n
.
. 84(ג; 20( ב; 8( א: תשובות ,נתונות מטריצות הפיכות . 7 , , ,A B C D E 3מסדר .
: מתוך הנתונים הבאים Aאת חשב
1 (א 2tB A C D ,3, 9B C D ;
1 (ב 1 1 1tA B C D E ,4, 9, 3, 6B C D E ;
2( ג 1 12B A C E D ,4, 9, 3, 6B C D E .
. 3( ג; 2( ב; 3( א: תשובות : כך שהמטריצות הבאות יהיו הפיכות aמצא את ערכי הפרמטר. 8
( א 1 3
2a a
a a
( ב;
1 22 4
a aa a
;
( ג
211 2 41 3 9
a a
( ד;
215 2 63 1 4
a a
.
0a( ב ; a כל( א: תשובות ;2( ג, 3a a ;1( דa i .
33
:ת בעזרת כלל קרמרפתור את המערכות הבאו .9
(א cos sin cossin cos sin
x yx y
(,x y הם הנעלמים ) ;
( ב
2 3 5 103 7 4 3
2 2 3
x y zx y zx y z
( ג;
2 3 03 6 5 25 4 2 3
ax by czax by cz abcax by cz abc
(0abc ) ;
( ד
4 3 2
6 2 35 3 2
x y z a
x y z bx y z c
(, ,x y z
,,וקטורים נעלמים ,a b c
(. וקטורים נתונים
: תשובות )cos (א ), sin( )x y ;3( ב, 2 , 2x y z ;, (ג ,x bc y ac z ab ;
(ד 3 2 8 3, , 25 5 5 5
x a c y a b z a b c
.
נתונה מערכת משוואות . 10
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z da x b y c z da x b y c z d
,1: בעלת פתרון יחיד 0 , 2x y z .(: במידה ואפשר)בדוק האם למערכות הבאות יש פתרון יחיד ומצא אותו
( א 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x d y c z ba x d y c z ba x d y c z b
( ב; 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
d x a y b z cd x a y b z cd x a y b z c
;
( ג 1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
a x a y a z db x b y b z dc x c y c z d
.
.השתמש בכלל קרמר :הנחיה
( ב; אין פתרון יחיד( א: תשובות 1 1, , 02 2
x y z ;
. אך לא ניתן להגיע אליו על סמך הנתונים, קיים פתרון יחיד( ג
34
. לכסון מטריצה, וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים. 8
לכל אחת מה מטריצות הבאות . 1
( א 1 42 3
A ; ב )2 11 2
A ג )
1 0 01 1 1
1 0 1
A ;
( ד
4 1 12 5 21 1 2
A
( ה;
1 3 13 3 13 5 1
A
(ן;
0 0 10 1 01 0 0
A
.I וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים מצא; II . לכסינה מטריצההבדוק האם (כסון מעלמכאן ואילך מדובר על הליR) ;
III .מטריצה מלכסנת אמצלכסינות של "לכל מטריצות הנ P 1 וחשבP AP.
I .1( א :ותתשוב 5 , 11
,2 1 , 21
;II. מטריצה לכסינהה ;
III .1 21 1
P
, 1 5 00 1
P AP
.
I .1 (ב 1 ,11
, 2 3 ,11
; II. כסינההמטריצה ל ;
III .1 11 1
P
,1 1 00 3
P AP
.
I .1,2( ג 1 ,
010
,3 1 ,012
; .II המטריצה לא לכסינה .
I. 1,2 (ד 3 ,
1 11 , 0
0 1
,3 5 ,121
; II. המטריצה לכסינה ;
.III
1 1 11 0 2
0 1 1P
, 1
3 0 00 3 00 0 5
P AP
35
I .1( ה 1 ,
111
2 2 ,
417
, 3 2 ,
233
; II .המטריצה לכסינה ;
.III
1 4 21 1 31 7 3
P
, 1
1 0 00 2 00 0 2
P AP
.
I . 1,2( ו 1 ,
0 11 , 00 1
,2 1 ,
101
; II .המטריצה לכסינה ;
.III
1 0 10 1 01 0 1
P
, 1
1 0 00 1 00 0 1
P AP
.
נתונה מטריצה. 21 1
1A
c
.
טור הוק cעבור איזה ערך 12
?Aוקטור עצמי של המטריצה היהי
8c:תשובה .
נתונה מטריצה. 32
1 2 20 0 00 0
Aa
.הוא מספר ממשי aכאשר ,
.a ערך של עבור כל לכסינה הוכח שהמטריצה
2עבורם המטריצה aמצא את הערכים של . 4
2 0 01 01 4 0
a
. לכסינה
,0,1: תשובה 1a .
36
מטריצה נתונה. 5
4 1 11 2 11 1 2
A
Aע של "הוא ע 3מספר שידוע .
וקטור הוש
111
v
. ע אחר"ע אבל שייך לע"הוא ו
I . ע שאליו שייך ווקטור "מצא עv . II .אופייני של וחשב פולינום 3ע "מצא ריבוי גיאומטרי של עA .
I .2 :תשובה ;
II . אופייני של הפולינום ה, 2 -שווה ל 3ע "ריבוי גיאומטרי של עA הוא
22 3I A .
3 מסדר Aמטריצה נתונה .6 3 . נתון :
1 21 20 0
A
,
1 20 01 2
A
,
1 21 21 2
A
.
פולינום אופייני של וקטורים עצמיים של המטריצה, מצא ערכים עצמיים . Aוחשב
3ע "ע :תשובה 2 , 1,2 2 ,ע "ו
1 1 11 , 1 , 01 0 1
. א.פ 22 2I A .
. 2Aערך עצמי של היהי 2 מספר אז ,Aהוא ערך עצמי של הוכח שאם מספר . 7
יש אותם ערכים ( Aמטריצה משוחלפת של) TAולמטריצה Aהוכח שלמטריצה . 8
השתמש :הערה). יש אותם וקטורים עצמיים TA-ו Aהאם למטריצות .עצמיים
TAהבאה בעובדה A .)
יש אותם דומות האם למטריצות .עצמיים יש אותם ערכיםטריצות דומות הוכח שלמ .9
. וקטורים עצמיים
1 : נתון. 10 2,u u וקטורים עצמיים של המטריצה הםA השייכים לערכים עצמיים
37
1שונים 2, 1 -הוכח ש. בהתאמה 2,u u ליניארית יםיהם בלתי תלו.
1: נתון .11 2,u u וקטורים עצמיים של המטריצה הםA השייכים לערכים עצמיים
1שונים 2, 1קטור הוכח שו. בהתאמה 2u u איננו וקטור עצמי של המטריצה A .
. בדרך השלילה .הנחיה
.1 ע"השייך לע n מסדר Aמטריצה ריבועית הוא ווקטור עצמי של vווקטור ( א .12
2 מטריצה וקטור עצמי שלגם הוא v -הוכח ש 5 4 nA A I ;
האם מטריצה ( ב
1 0 4 70 2 9 40 0 3 10 0 0 4
A
מקיימת משוואה
245 4 0A A I ? אל: תשובה .
0נתונה מטריצה .130 0
a b ca d
e
,כאשר , ,a b c d R . עבור אילו ערכים של
, , ,a b c d המטריצה לכסינה ?
a: תשובה e, b=0 ,,c d שרירותיים או a e, b=c=d=0 . . 1 -כך שכל האלמנטים שלה שווים ל nנתונה מטריצה ריבועית מסדר *. 14
. מצא את כל הערכים העצמיים שלה A,מטריצות יהיו *.15 B ריבועיות מסדרn ש כך- A דומה למטריצהnI B .
1 אם הוכח כי אינו ערך עצמי שלA , אזB מטריצה הפיכה היא .
0kA -כך ש kנקראת נלפוטנטית אם קיים מספר טבעי Aמטריצה ריבועית *.16 0ערך עצמי יחיד לה ש אז י ,נטיתטלפוינ יצהמטר היא Aאם : הוכח .
A,מטריצות יהיו *.17 B ריבועיות מסדרn.
אז למטריצות ,הפיכה Aשאם מטריצה הוכח
1 1A B and BA .הערכים העצמיים ש אותם י