המכללה האקדמית להנדסה

אורט בראודה

ORT BRAUDE COLLEGE

אלגברה ליניארית

חוברת תרגילים

בעריכת לוצקי יעקב וקורמן ולדימיר

2008-2009

תוכן העניינים

3..............................אלמנטים של הנדסה אנליטית .1

7...........מרוכבים....................................מספרים .2

11............מערכת משוואות ליניאריות...................... .3

15..............פעולות במטריצות. מטריצה הפיכה......... .4

19................מרחבים וקטוריים............................... .5

27.......................................העתקות ליניאריות...... .6

31................טרמיננטות וכלל קרמר......................ד .7

34...ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון מטריצה.... .8

3

אלמנטים של הנדסה אנליטית. 1

ABCנתון משולש . 1 . M ונקודת חיתוך של תיכוני המשולש MA: הסכום חשב את MB MC

.

0: תשובה

.

. בהתאמה DC -ו AB ותעצלה נקודות האמצע של N-ו Mיהיו ו ABCD מרובענתון . 22AD : הוכח BC MN

.

2מצא את ראשו של וקטור . 3 3v i j k

נקודה כאשר עקבו ב, 2,1,4 .

: תשובה 1,3,1 .

מצא וקטור יחידה שכיוונו מנקודה . 4 1,1,0A לנקודה 3,1,1B.

: תשובה 1 417

i k

.

3.: נתון. 5 , 2 3u v i j k u v i k

. v-וuמצא את

: תשובה 8 1 4 5 2 1. ,7 7 7 7 7 7

v i j k u i j k

.נתונים וקטורים . 6 2 , 4 4i aj k i k aj

. לזה ם זהמאונכי( ב; מקבילים( א :כך שהוקטורים יהיו aמצא את 2a( ב; aאין ערך כזה של (א: ותתשוב .

aיהיו .7 i j

4 -ו 3b i j

:כך שמתקיים מצא .

b -ו a( א

; ניצבים

b -ו a הזווית בין( ב

; 045היא

b -ו a הזווית בין ( ג

; 060היא

b -ו a ( ד

. מקבילים

( א: ותתשוב 3

4

1 (ב ;7

( ג ;48 7 3

39

( ד ;43

.

b -ו a -ניצב ל vאם : כחהו .8

aכל וקטור מהצורה לניצב vאז , b

,כאשר , הם

. יםשרירותי שני סקלרים ממשיים

4

0aאם : הוכח. 9 b a c

)אז , ) 0a b c

.

yz מצא את כל וקטורי היחידה המקבילים למישור .10 3 וניצבים לווקטור 2v i j k

.

: תשובה 1 25

j k

.

b,י וקטורים נתונים שנ. 11 a

2uומקבילית שצלעותיה a b

v -ו a b

.

-המקבילית אם ידוע ש את שטחחשב 1,2, 1a b

.

3: תשובה 6 . 5 אם הוקטוריםהבדוק .12 2a i j k

,4 5b i j k

,2 4c i j k

.אחד מישורנמצאים ב .לא: תשובה

3 : הם מקצועותיונתון מקבילון ש .13 2a i j k

,2b i j k

,

3 3c i j k

. . ח המקבילוןמצא את נפ( א .c -ו a על ידי תמצא את שטח הפאה הנקבע( ב bמישור הפאה הנקבעת על ידי בין ל aאת הזווית שבין אמצ( ג

.c -ו

-סינוס הזווית המבוקשת שווה ל( ג ;122 (ב ;9( א :בהותש 9

14 .

(. 1,2,3)ומאונך לוקטור (1,2,3)מצא את משוואת המישור העובר דרך נקודה .14): תשובה 1) 2( 2) 3( 3) 0x y z 2או 3 14x y z .

) ,( 1,0,1), ( 1,1,1): מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות .15 1,0,1) .1z: תשובה .

? (2,3,4), ( 2,0,1), ( 1,1,2), ( 1,2,3): באות נמצאות במישור אחדההאם הנקודות . 16

. כן: תשובה

מצא את משוואת הישר המקביל לישר . 171 1 1

2 3 4x y z

(1,0,2)' ועובר דרך נק .

2: תשובה 1 , 3 , 4 2x t y t z t .

5

תאוהמשוו הראה כי. 18

4 6 1 31 2 , 2

2 4 2

x t x sy t y sz t z s

. אותו ישר תמייצגו

( 0,1,1), ( 2,3,4)העובר דרך נקודות מצא את נקודת החיתוך בין הישר . 19

16x לבין המישור y z . . (4,5,7): תשובה

ישרים. 20 2 נתונים 1

9 1 2: 5 3 , : 2

4 4 2

x t x sl y t l y s

z t z s

.

; נחתכים ומצא את נקודת החיתוך הראה כי הישרים( א ;מצא את הזווית החדה בין הישרים( ב 2l -ו 1l -צב לישר הניהפרמטרית של ההצגה אתה מצא ( ג .ועובר דרך נקודת חיתוך שלהם

( א: ותבתשו 7, 1, 2 ; סינוס הזווית שווה לקו (ב- 1

3 11( ג ;

712

x tyz t

.

:פרמטרית של ישר החיתוך של המישורים ההצגה את המצא . 21

2 3 5 0 , 2 3 7 2 0x y z x y z .

: תשובה 11 1223 , , 77 7

x t y t z t .

מצא את משוואת המישור המכיל את הישרים . 22

1 3 51 , 2

2 3 3 4x y x zz y .

13: תשובה 5 11 6x y z .

הראה כי הישרים .23

1 4 2 85 4 , 4 31 5 5

x t x ty t y tz t z t

. חשב מרחק ביניהם. מצטלבים

:תשובה 95

1817

6

המכיל את הישר משוואת המישוראת מצא .24

2 34 23

x ty tz t

2 וניצב למישור 5x y z . 2: תשובה 10 0y z .

הישרים ש הראה .25

1 2 23 4 , 25 2 1

x t x ty t y tz t z t

. ביניהםמקבילים וחשב מרחק

: תשובה 356

.

0aנתון וקטור . 26

. P היוצא מנקודה נתונה : ומקיימים את התכונה הבאה P' היוצאים מנק uתאר גיאומטרית את כל הוקטורים

0a( א u

0a( ב; u

.. a שכיוונו Pישר דרך ( ב; a -ומאונך ל Pמישור העובר דרך ( א: ותתשוב

7

מספרים מרוכבים .2

1: בתרגילים הבאים הצג על המישור מספרים הבאים. 12 1 2 1 2 1

2

, , , ,z z z z z z zz

1( א 23 3, 1z i z i ; 1( ב 21 2 , 1z i z i ;1 (ג 2, 1 3z i z i

: ג תוצאה בצורה אלגבריתהצהבאים ו הביטויםחשב את . 2

( א 21 2 2 5i i i ;ב ) 21 1 3 3 1 2i i i i ;

(ג

311

ii

(ד ;

25

19

21

ii

.

11 ( א :תשובות 3i ; 1( ב 7i; ג ) i; ד ) 322

i .

:ת הבאותאומצא פתרונות ממשיים של המשוו. 3

(א 1 2 5 4 17i x i y i ;

(ב 3 2 1 2 5 6x i i x iy i i ;

( ג 4 2 5 3 13i x i y i .

,2( א :תשובות 3x y ; ב )20 36,17 17

x y ;2( ג, 1x y .

:צורה טריגונומטריתבהבאים הצג מספרים . 4

2 (ג ;2i( ב ; 2( א 2 3i ; 4 (ד 3i; 1( ה 3i ;

. (*ו 0 1 sin cos2

i

( א :תשובות 2 cos sini ; 2( ב cos sin2 2

i

;

(ג 2 24 cos sin3 3

i

(ד; 3 35 cos sin4 4

arctg i arctg ;

( ה 4 42 cos sin3 3

i

;

8

( ו 2 1 sin cos sin4 2 4 2

i .

( א: חשב. 5 72 2i; ב) 63 3i ;ג)

5

3

11

ii

( ד ;

401 3

1i

i

.

( ה

4 10

5

1 1 23 4i i

i

( ו ;

6 3

4

1 3 6 2

2 3

i i

i

.

( א :תשובות 102 1 i ; ד ;2( ג ;1728 (ב ) 192 1 3i ;ו; 4( ה )102 2169

.

אם הוכח ש( א .6 cos sin 1ni , אז גם cos sin 1ni ;

-הוכח ש( ב

111 1

n itg nitgitg itg n

.

. השתמש בנוסחת דה מואבר :הדרכה

4( א: חשב .7 4 (ב ;1 1; 3 (ג i; 6( ד 1 3i ; 4 (ה 2 3 2i.

,1 (א :תשובות i ; ב) 1

2i

; ג ) 1 3 ,2

i i ;

6( ד 2 cos sin , 0,1,2,3,4,59 3 9 3

k ki k ;

2 (ה cos sin , 0,1,2,324 2 24 2

k ki k .

פתור את המשוואה. 8

25 1 0

1izi

את כל הפתרונות של המשוואה הנמצאים ומצא

.ברביע השני

:תשובה 2 2cos sin , 0,1,2,3,45 5k

k kz i k ברביע השני ולכן

1ן פתרורק נמצא 3 3cos sin5 5

z i .

9

: הבאות ותפתור את המשווא. 9

2( א 2 5 0z z ; ב ) 2 2 3 5 0z i z i ;

( ג 4 21 2 1 0z i z i ; 6( ד 34 3 0z z .

בשוויון השתמש( ב :הדרכה 215 8 1 4i i .

בשוויון השתמש( ג 28 6 1 3i i ;

3t: סמן( ד z .

1 (א :תשובות 2i ; 1( ב , 2 3i i ;

( ג 4 7 71 , 2 cos sin8 8

i i

;

( ד 3

31 31 3 , 1 , 1 3 , 32 2

i i .

8נתונה משוואה . 10 43 4 0z z .

. המשוואהמצא את כל הפתרונות של ( א

|: מצא מכפלה של כל הפתרונות המקיימים את התנאי (ב | 1z .

:פתרונות הבאים 8למשוואה יש ( א :ותתשוב

4 2 21 cos sin , 0,1,2,34 4k

k kz i k ו -

4 44 4 cos sin , 0,1,2,32 2k

k kz i k

;

0 (ב 1 2 3 1z z z z

: את הפולינומים הבאים( עם מקדמים ממשיים)ם ייעלגורמים לינאריים או ריבו פרק .11

4z( א 1; 4 (בz 1; 4 (ג 2 1z z .

( א :תשובות 21 1 1z z z ; ב) 2 22 1 2 1z z z z ;

(ג 2 21 1z z z z .

10

1z מספר. 12 i 4 הוא שורש של הפולינום 3 24 11 14 10z z z z . ים עם מקדמיםעיו ריבוא םליניאריישורשים של הפולינום ופרק אותו לגורמים השאר את מצא . ממשיים

1z :תשובה i ,1 2i , 2 22 2 2 5z z z z .

מספר. 131 32 2

z i 5 הוא שורש של הפולינום 4 3 2 1z z z z z 2בריבוי.

. ממשיים מקדמיםעם ייםועם לינאריים או ריבופרק אותו לגורמי שאר שורשי הפולינוםאת מצא

:תשובה 1 32 2

z i , 1 32 2

z i ( 2בריבוי), 1z ;

221 1z z z .

11

מערכות משוואות לינאריות . 3

: את המערכות הבאות( אם יש פתרון)דרג ופתור . 1

(א

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 2 4 27 4 3 55 7 4 6 3

x x x xx x x xx x x x

(ב

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 5 4 26 4 4 3 39 6 3 2 4

x x x xx x x xx x x x

(ג

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 5 8 84 3 9 92 3 5 7

8 7 12

x x xx x xx x xx x x

(ד

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 2 3 26 3 2 4 5 36 3 4 8 13 94 2 2 1

x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x

3( ב ;אין פתרון (א :בותתשו 1 2 4 1 26 15 10 , 7 18 12x x x x x x ; 1 (ג 2 33 , 2 , 1x x x ; 4 (ד 5 1 2, 0 , 1 2x x x x 3 1 21 8 4x x x .

עבורם יש למערכת kחקור את המערכות הבאות ומצא את הערכים של הפרמטר . 2: אינסוף פתרונות או אין פתרון, יחיד תרון פ

)א

(2 ) 12 3

2

x k y z kx y kz k

kx ky z

)ב; 2

3 2 22

3 2 1

x y zkx y kz kkx ky z k

)ג

13 3 2

2 2 2 4

x y z wx y kz kwx y z kw k

)ד ;

111

kx y zx ky zx y kz

: תשובות ,0( א 1,2k 0 ;פתרון יחידk 1; אינסוף פתרונות 2k or k אין פתרון .

,1 1 (ב 3

k 1 ;פתרון יחידk אינסוף פתרונות; 13

k אין פתרון .

3k (ג 3 ;ונותאינסוף פתרk אין פתרון .

12

2,1k(ד 1 ;פתרון יחידk 2 ;אינסוף פתרונותk אין פתרון .

נתונה מערכת .3

2 12 2 3

2 1

x y zx y z ax y z a

.

. עבורם אין פתרון למערכת aהערכים של כל את מצא . רשום פתרון כללי aלכל ערך אחר של

: 1a = עבור. 1a אין פתרון עבור :תשובה1 2,3 3

x z y z .

נתונה מערכת . 4

2 33 2

5 8

x y z ax y z bx y z c

.

,מצא תנאי על הפרמטרים ,a b c כך שלמערכת. לא יהיה פתרון (ב ;יהיה פתרון יחיד (א

; אין פתרון יחיד לכל הערכים של הפרמטרים (א :תשובה 2 -ון בתנאי שאין פתר (ב 0b a c .

נתונה מערכת .5

2 2 22 12 1

ax y z ax y bzx y cz

.

,הוכח שלכל הערכים של ,a b c יש פתרון למערכת .,מצא את ,a b c כך שיהיה פתרון יחד . ) אם :תשובה 2)( ) 0a c b ,אז יש פתרון יחיד למערכת .

י מטריצה "מערכת הומוגנית מוגדרת ע (א. 6

1 2 2 12 1 0 10 3 2 1

.

. מצא את מספר הנעלמים החופשיים במערכת

13

י מטריצה "מערכת הומוגנית מוגדרת ע (ב

1 1 23 1 11 3 c

.

? יש למערכת אינסוף פתרונות cעבור איזה

5c( ב; חופשי אחד נעלם (א :התשוב .

ידוע שלמערכת . 7

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 3 33 3

000

a x a x a xa x a x a xa x a x a x

. יש אינסוף פתרונות

אזי למערכת

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 3 33 3 3

a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b

אפשרויות 4ציין את התשובה הנכונה בין )

(: הבאות 1רים פאינסוף פתרונות לכל המס (א 2 3, ,b b b; 1פתרון יחיד עבור (ב 2 3, ,b b b

1עבור אין פתרון (ג ; מסוימים 2 3, ,b b b לא ניתן להסיק אף אחת (ד ;מסוימים

. מהמסקנות הקודמות . תן הסבר או דוגמה לתשובתך . (ג: תשובה

ידוע שלמערכת . *8

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 3 33 3 3

a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b

(. 1,0,2)יש פתרון יחיד

את המערכת פתור

1 1 12 2 13 3

2 1 22 2 23 3

3 1 32 2 33 3

000

b x a x a xb x a x a xb x a x a x

.

. את הדרגה של המטריצה של המערכת ההומוגנית מצא .הנחיה

14

1פתרון יחיד :תשובה 2 3 0x x x . כך שלמערכת aמצא את כל הערכים של . 9

2

02 ( 2) 2 ( 2) 0

( 1) ( 2) 1

x y z wx a y z a wx a y az a a w a

. שני נעלמים חופשיים (ב ;נעלם חופשי אחד (א : יהיה 1,0a (א: תשובה ; 1 (ב 0a or .

: כללי למערכת משוואות מסוימת יש פתרון. 10

1 3 4 2 4 52 3 , 2 1 , 3x x x x x x .. א פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימהמצ

1 :תשובה 2 3 4 53 , 2 , , , 0x s t x t x s x t x .

: למערכת משוואות מסוימת יש שני פתרונות הבאים .11

1 , 4 , 2; 2 , 8 , 4x y z x y z .הומוגנית חייבת להיות שהמערכת .הוכח

המערכת תוהשתמש בתכונות של פתרונו רונותלקשר בין הפת שים לב .הנחיה .ההומוגנית

: יש שני פתרונות הבאים לא הומוגניתלמערכת משוואות . 12

1 , 4 , 2; 2 , 3 , 4x y z x y z .. מצא פתרון לא טריוויאלי כלשהו של המערכת ההומוגנית המתאימה

,3 למשל :התשוב 1, 6x y z .

. למערכת משוואות לא הומוגנית אין פתרון. 13

(: בחר את התשובה הנכונה)אזי למערכת ההומוגנית המתאימה יש בהכרח ;אינסוף פתרונות (ג ;אין פתרון (ב ; פתרון יחיד (א ;ות הקודמות אינה נכונהאף אחת מהתשוב (ד

.(ד :תשובה

15

. מטריצה הפיכה. פעולות על מטריצות. 4 : חשב. 1

( א

1 2 1 0 10 1 2 2 13 1 1 1 3

( ב ;

1 2 11 2 1

0 1 22 1 1

3 1 1

;

(ג

1 3 2 2 5 63 4 1 1 2 52 5 3 1 3 2

(ד ;4 3 28 93 7 37 5 38 126 2 1

.

( א : ותתשוב

5 24 53 5

( ב; 2 3 4

5 6 5

(ג ;

1 5 53 10 02 9 7

( ד ;2 00 3

.

: הוכח ש . 2

( א

20072 1 2 13 2 3 2

( ב ;

20071 0 1 01 1 2007 1

;

( ג 1 1

,0 1 0 1

na naa R

(ד ;

11,

0 0

n n n n

n

nR

.

. השתמש באינדוקציה מתמטית( ד(-גילים בבתר :הדרכה

חשב ערך הפולינום .2ריבועית מסדר Aנתונה מטריצה .3 f A :אם

( א 23 4f x x , 2 10 3

A

;

(ב 2 3 14f x x x , 1 21 3

A

.

( א: תשובות 8 150 23

(ב ;10 2

1 12

.

16

המקיימת תנאי 3ריבועית מסדר Aנתונה מטריצה . 4

2 22 64 4

A

.

את המכפלהחשב

112

A

.

:תשובה

132

.

A,ריבועיות האם קיימות מטריצות . 5 B 3 -כך ש 3מסדרAB BA I ?

(n מסדראנחנו מסמנים מטריצת היחידה nIי "מכאן ואילך ע)

. לא: תשובה A,מטריצות נתונת . 6 B ריבועיות מסדרn תנאיהמקיימות AB BA. הוכח ש :

(א 22 22A AB B A B ;

(ב 2 2A B A B A B ;

( ג 10 10 10AB A B;

אז, הפיכה Aאם מטריצה (ד 1 1A B BA .

A,מטריצות נתונת .7 B סימטריות מסדרn. הוכח ש:

מטריצה ( א 2A B סימטרית ;

ABאם ( ב BA ; סימטרית 2AB מטריצה אז , ,מטריצות יהיו .8 , ,A B C X ריבועיות מסדרnהפיכותו .

: אם ידוע ש Xאת המטריצה חשב

2( א 1 1 1 3B A X C B A ; 2 (ב 2 3 3 2 2CA XB C B A C .

1ׂ (א :ותתשוב 1 1 1X C A B A ;2( ב 1 3 2 2X A C B A CB .

17

: מצא מטריצה הפוכה לכל אחת מהמטריצות הבאות. 9

( א 1 32 5

(ב; 1 23 4

( ג;

2 2 31 1 01 2 1

(ד ;

1 2 22 1 22 2 1

.

( א :תשובות 5 3

2 1

(ב; 2 1

3 12 2

( ג;

1 4 31 5 31 6 4

;

3 2 21 6 5 23

6 6 3

.

: פתור את המשוואות הבאות .10

( א 1 2 3 53 4 5 9

X

(ב ;

3 1 5 6 14 165 2 7 8 9 10

X

.

(א :תשובות 1 1

2 3

(ב ;1 23 4

.

A,מטריצות .11 B ריבועיות מסדרn. הבאותטענות הנכונות ם אה:

0ABאם ( א , 0 אואזB ; 0Aאו

2אם ׂ(ב nA I nAאז , I nAאו I ;

BAאם מטריצה ( ג Bו-AB A, 2אזB B 2-וA A; Aאם מטריצה ( ד AB Aאז גם מטריצה ,הפיכה BA הפיכה;

A,אם מטריצות ( ה B ;הפיכה ABאז גם מטריצה ,הפיכות A,אם מטריצות ( ו Bאז גם מטריצה ,סימטריותAB סימטריות .

A,אם מטריצות ( ז Bתנאי םמקייסימטריות ו AB BA , אז גם מטריצה

2A B סימטרית. . כן )ז ; כן( ז; כן (ה; כן( ד; כן( ג; לא (ב; לא( א: תשובות

2 -כך ש nריבועית מסדר Aנתונה מטריצה . 12 0nA A I .

2 -הפיכה ו Aהוכח כי ( א 1A A ;

18

2הוכח כי ( ב nA A I הפיכה .

A,מטריצות יהיו *.13 B ריבועיות מסדרn תנאיהמקיימות nA I AB . ש הוכח :

AB -הפיכה ו Aמטריצה ( א BA; ; מטריצה סימטרית Aאז גם ,מטריצה סימטרית Bאם ( ב

3( ג 0B 2אם ורק אם nA I B B .

19

מרחבים וקטוריים . 5 מרחב -מרחב ותת

. (Rמעל )וקטוריים ביחס לפעולות הנתונות מרחבים ןקבע אילו מהקבוצות הבאות ה. 1

1שלישיות האוסף של כל ( א 2 3( , , )x x x ,כאשר

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x y y y x y x y x y ,

1 2 3 1 2( , , ) ( , ,0)x x x x x ;

1שלישיות האוסף של כל (ב 2 3( , , )x x x,כאשר

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x y y y x y x y x y ,

1 2 3( , , ) (0,0,0)x x x .

. לא (ב; לא( א: תשובה

: 2Rמרחבים של -אילו מהקבוצות הבאות הן תת קבע. 2

( א ( , ) 2U x y y x ;

( ב ( , )U x y y x ;

( ג ( , ) 0U x y x y ;

( ד ( , ) 2 1U x y x y ;

( ה 2 2( , ) 0U x y x y .

. מרחב-תתהאת תגיאומטריבכל מקרה תאר . כן (ה; לא( ד; כן( ג; לא( ב; ןכ( א: תשובות

:3Rמרחבים של -אילו מהקבוצות הבאות הן תת קבע. 3

( א 0U u u v

vכאשר ,

; 3R -הוא וקטור שונה מאפס נתון ב

(ב 0U u u v

vכאשר ,

; 3R -הוא וקטור שונה מאפס נתון ב

( ג ( , , ) 2U x y z x y z ;

( ד 1 2 3 1 3( , , ) 2U x x x x x ;

(ה 2( , , ) 2U x y z x y z .

. מרחב-תתהאת תגיאומטריבכל מקרה תאר

20

. לא( ה; לא( ד; כן( ג; כן( ב; כן( א: תשובות הקבוצה aעבור אילו ערכים של . 4

2( , , , )U x y z w a x y az

? 4Rמרחב של -היא תת

. aלכל : שובהת

mמטריצה מסדר Aתהי . 5 n .

Axאת קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות P -בנסמן b (mb R )

0bאם ורק אם nRמרחב של-הוא תתP: הוכח .nR-תרון הוא וקטור בכל פ .הפתרונותנקרא Pבמקרה הזה ) .( של המערכת מרחב

:מרחבים במרחבים מתאימים-ות הבאות הן תתהקבוצמ קבע אילו. 6

( א ( ) (0) 0U p x p 2 מרחבב ( )P x;

( ב a b

U a d b cc d

2 במרחב המטריצות 2M ;

mמכאן ואילך) nM mמסדר ממשיותה צותהמטרי מרחב ןמסמ n)

( ג ( ) (0) 2 (1)U p x p p 2 מרחבב ( )P x ;

nקבוצת המטריצות הסימטריות במרחב (ד nM ;

( ה ( , , , )U x y z w x y z מרחב ב R4 ;

(ו 1

( ) 0n

ij iii

U a a

במרחבn nM ;

nאלכסוניות במרחב המטריצות הקבוצת ( ז nM ;

במרחב 5 -פולינומים שמעלתם שווה להקבוצת ( ח 5P x; 4 מרחבב 3 -ל שווה או קטנה ממעלה פולינומיםה כל של קבוצה( ט ( )P x;

(י 3 , ,U ax bx c a b c R במרחב 6P x;

nבמרחב ההפיכות המטריצות קבוצת( יא nM .

21

; לא( ח ; כן( ז ;כן (ו ; לא (ה ;כן (ד ;כן (ג ; לא (ב ;כן )א: תשובות . לא( יא ; כן( י ; ןכ (ט

(פרישה לינארית)מרחב נפרש -תתוליניארי צירוף

u(1,2,3)האם וקטור . 7

(: 3R -ב)של הוקטורים הבאים יליניארהוא צרוף

) , (3,3,4) (א 1,1,2) ; 2,1),(0,1,1),(1,1,0)( ב, 1) ?

. לא( ב ; כן( א: תשובות

האם המטריצה . 81 21 0

2-ב)הבאות מטריצות השל היא צירוף ליניארי 2M ) :

( א 2 0 1 1 0 1

, ,0 1 0 1 1 0

;

(ב 1 1 0 1 0 0 1 0

, , ,0 1 1 0 1 0 0 0

?

. כן (ב ; לא( א: תשובות

האם הפולינום . 9 3 23 2 1p x x x x של הפולינומים ליניארי הוא צירוף

3 2 2 2, , 2 , 1x x x x x ?

. כן :תשובה

: 3Rפורשים את 3R -האם וקטורים הבאים ב. 10),(1,1,2),(1,1,1) (א 1,2,1) ; ב) ( 2,1,2),(1,2,1) ; ) (ג 1,3,5),( 1,1,2),(1,1,1) ?

. לא( ג; לא( ב; כן( א: תשובות

vהאם וקטור . 11

-שייך ל 1 2 3, ,Sp v v v ,כאשר :

v(1,2,3) (א

, (1,1,1)1v

, (0,1,1)2v

,3 (0,1,2)v

;

22

v(1,0,1,2) (ב

, 1 (1,1,1,0)v

,2 (2,0,2,1)v

, 3 (1,2,1,1)v

?

. כן( ב; כן( א: תשובות

נתונות מטריצות . 124 0 1 1 0 2

, ,2 2 2 3 1 4

A B C

.

-ל תהבאות שייכוהאם מטריצות , ,Sp A B C ?

( א 6 8

11 14

( ב ; 0 00 0

(ג ; 1 5

7 1

.

.לא( ג; כן( ב; כן( א: תשובות

את ותפורש האם קבוצות פולינומים הבאות. 13 3P x :

( א 3 2, , 1, 1x x x x ;

( ב 3 2 22 , 3 1 , 1, ,1x x x x x x ?

. כן( ב; כן( א: תשובה

T,יהיו . 14 K וקטוריקבוצות של וקטורים במרחב V . האם נכונות טענות הבאות :

אם ( א Sp T Sp K , אז T K;

אם (ב T Sp K ו- K Sp T, אז K T .

. לא (ב; לא( א: תשובה

mמטריצה מסדר Aתהי . 15 n . הוכח שלמערכת משוואותAx b יש פתרון אם ורק

. Aי העמודות של "הנפרש ע( mRשל )מרחב -שייך לתת bאם וקטור

מימד וסיס ב ,תלות ליניארית

23

וקטורים .16 1 2 1 2, , ,x x y y 2 -בR ליניארית הם בלתי תלויים .

3של הממשיים ור כל הערכים הוכח שעב 3,x y הוקטורים 1 2 3 1 2 3, , , , ,x x x y y y

.3R -ב ליניארית בלתי תלויים םה

.תלויה ליניארית 0וקטור את המכילהי וקטור מרחבב וקטורים קבוצתכל ש הוכח. 17

1 וקטורי מסוים נתונים וקטוריםבמרחב . 18 2 3 9 10, , , ,u u u u u.

1 -נתון ש 2 3, ,u u u תלויים לינארית .

. הוכח שכל הוקטורים הנתונים תלויים לינארית

. Vמרחב של מהווה בסיס Uנתונהוקטורים תהאם קבוצבכל המקרים הבאים בדוק . 19

(א 1,1,3 , 5, 1,2 , 3,0,4U , 3V R ;

(ב 2,1,2,1 , 0, 2, 2,0 , 0,2,3,1 , 3,0, 3,6U , 4V R ;

(ג 1,1,3,0 , 0, 2,1,0 , 1, 2,0,1U , 4V R ;

(ד 3 22 , 3 1, 1, 1U x x x x x , 3V P x ;

(ה 2 2 26 4 , 2 4 1, 2 5U x x x x x x , 2V P x ;

(ו 2 2 21, ,U x x x x x , 2V P x ;

(ז 1 2 0 1 0 0 1 0

, , ,0 1 3 0 1 0 0 0

U

, 2 2V M ;

(ח 1 2 0 1 2 0 3 3

, , ,0 1 3 0 1 1 4 0

U

, 2 2V M .

. לא( ח ; כן( ז ; כן( ו ;לא( ה ; כן( ד ; לא( ג ; כן( ב ; כן )א: תשובות

mמטריצה מסדר Aתהי . 20 n . 0הוכח שלמערכת משוואותAx יש פתרון

. (mR -ב)וקטורים תלויים לינארית הן Aלא טריוויאלי אם ורק אם העמודות של .( 14ראה שאלה )

. פתרונות של מערכת משוואות הומוגניתהמרחב את P -בנסמן . 21

24

. dimP-וP של B בתרגילים הבאים מצא בסיס

(א 1 2 3 4

1 2 3 4

4 3 02 8 6 2 0x x x xx x x x

( ב ;

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 02 6 2 03 9 3 0

x x xx x xx x x

;

(ג

1 2 3

1 2 3

1 2 3

04 3 06 5 0

x x xx x xx x x

.

( א :תשובות dim 3, 4,1,0,0 , 3,0,1,0 , 1,0,0,1P B .

( ב dim 2 , 3,1,0 , 1,0,1P B ;

( ג dim 1, 4, 5,1P B .

.Vוקטורילקבוצת וקטורים במרחב Kתהי . 22 שלבסיס ווההשת Bוקטורים קבוצת Kבתוך מצא( 1) Sp K;

( 1)בסעיף שמצאת Bבבסיס קואורדינטות חשב Kשל וקטוריםה לשאר( 2) : במקרים הבאים

(א 1 2 3 41,3,1 , 2,0,1 , 4,6,3 , 1,9,1K v v v v ;

(ב 1 2 33,2, 5,4 , 3, 1,3, 3 , 3,5, 13,11K v v v ;

( ג

, 1 2 32,3, 4, 1 , 1, 2,1,3 , 5, 3, 1,8K v v v ;

4 3,8, 9, 5v

1 (ד 2 3 4

1 2 0 1 3 3 2 0, , ,

0 1 3 0 4 0 1 1K A A A A

;

1 (ה 2 3 4

1 0 0 1 2 1 1 5, , ,

0 1 0 0 0 2 0 1K A A A A

;

(ו 3 2 21 2 3 4, 2 3, 1, 1K p x x p x x p x p x ;

3(ז 25p x x 3 2 2

1 2 3 4, , 1, 1,K p x x p x x p x p x .

25

(1) (א :תשובות 1 2,B v v, (2 ) 4 33, 2 , 2,1

B Bv v ;

( 1( )ב 1 2,B v v, (2 ) 3 2, 1B

v ;

(1( )ג 1 2,B v v , (2) 4 32, 1 , 1,3B B

v v ;

( 1( )ד 1 2 4, ,B A A A, (2) 3 1,1,1B

A ;

(1( )ה 1 2,B A A, (2) 4 31,5 , 2,1B B

A A ;

( 1) (ו 1 2 3, ,B p p p, (2) 4 0,1,2B

p ;

(1( )ז 1 2 3, ,B p p p, (2) 5 41,1,0 , 0,1,1B B

p p .

2יהיו .23 1,B B וקטורימרחב של בסיסיםV. היי v כלשהו ב וקטור- V .

-נסמן ב Bv שלתקואורדינטוה את וקטורv כלשהו בבסיס B.

רוקטואת ה מצא 2B

v במקרים הבאים:

( א 2 11,1,0 , 0,1,1 , 1,0,1 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1B B ,

3V R , 1

1,2,1B

v ;

( ב 2 2 21 2 1, 2 1, 2 1B x x x x x x ,

2 2 22 3 5, 3, 2B x x x x x , 2 ( )V P x ,

1

1,3, 3B

v .

( א: תשובות 2

0,2, 1B

v ; ב) 2

9 11, , 202 2B

v

.

תהי .24 1 2 3 1 2 3, , , , ,v v v u u u מסוים וקטוריקבוצת וקטורים במרחב.

ה קבוצנתון כי 1 2 1 3 2 32 3 ,7 6 ,4 5u u u u u u לינארית בלתי תלויה היא

-ו 1 2 3 1 2 3, , , ,u u u Sp v v v .

את מצא 1 2 3dim , ,Sp v v v .

תהי . *25 1 2, , , mK v v v וקטוריקבוצת וקטורים במרחב V .

:הבאותטענות ההאם נכונות בדוק

26

vאם (א K ו- K לינארית בלתי תלויה,

אז גם קבוצה 1 2, , , ,mv v v v לינארית בלתי תלויה ;

אם( ב v Sp K ו- K בלתי תלויה לינארית,

אז קבוצה 1 2, , , ,mv v v v לינארית בלתי תלויה ;

אם( ג v Sp K ו- K בלתי תלויה לינארית,

אז קבוצה 1 2, , , mv v v v v v לינארית בלתי תלויה.

-ו Vהיא בסיס של Kאם קבוצה ( ד 1 2 1, , , mv Sp v v v ,

קבוצה י"נפרש ע V אז 1 2 1, , , ,mv v v v .

.כן( ד; כן( ג; כן( ב; לא( א: תשובות

תהי *. 26 1 2 3 4, , ,v v v v 3 -קבוצת וקטורים בR .

נתון כי קבוצות 1 2,v v ו- 2 3 4, ,v v v ליניארית ו הן בלתי תלויות- 1 2 4,v Sp v v

:הוכח קבוצה ( א 1 2 3, ,v v v ;ליניארית בלתי תלויה

( ב 4 1 2 3, ,v Sp v v v .

27

העתקות ליניאריות . 7

3 בדוק האם העתקה. 1 2 :T R Rהיא ליניארית אם נתון ש -)ׂ(א , , ) (2 , 1)T x y z x y z ;

)( ב , , ) (2 , )T x y z x y z y ; )( ג , , ) (2 ,0)T x y z x y ;

)( ד , , ) (2 , )T x y z x y z . . כן( ד; כן( ג; כן( ב; לא( א :תשובות : נתונה העתקה . 2 n mT R Rי "המוגדרת ע( )T u Au , כאשרA היא מטריצה

mממשית מסדר n ,u כלשהו ב הוא וקטור עמודה-nR .תהוכח שההעתקה ליניארי .

3נתונה העתקה ליניארית . 3 2 :T R Rכך ש - (1,1,2) ( 1,0)T (2,1, 1) (1,2) ,T .

,3,1)חשב את ערכו של 4)T .

,3,1) :תשובה 4) (3,4)T .

: בדוק האם העתקות הבאות ליניאריות. 4

2( א 2: ( ) ( )T P x P x 2י "מוגדרת ע( ) 2 T ax bx c bx a ;

2( ב 2: ( )T P x R 2י "מוגדרת ע( ) ( , )T ax bx c b a c ;

2( ג 2,2: ( )T P x M י "מוגדרת ע 23

a c bc b a

2( )T ax bx c .

. כל ההעתקות הן ליניאריות :התשוב

3 תהעתקה ליניארי. 5 2 :T R Rמקיימת את הדברים הבאים :(1,0,0) (2,3) , (0,1,0) (0,0,1) ( 4,5)T T T .

)חשב את , , )T x y z 3 -לכל וקטור בR .

) :תשובה , , ) (2 4 4 , 3 5 5 )T x y z x y z x y z .

6

28

הוכח שהעתקת הגזירה במרחב הפולינומים . 6 nP x י "המוגדרת ע

)נוסחה ( )) (́ )T p x p x . היא טרנספורמציה ליניארית

3 הוכח שהעתקות. 7 3 :T R Rומצא את הבסיס והמימד של הגרעין תניאריולי : והתמונה )(א , , ) (2 , , 0) T x y z x y z ;

)( ב , , ) (2 , , )T x y z x y z y x ; )( ג , , ) ( , , 2 2 )T x y z x y x y x y ;

)( ד , , ) (0,0,0)T x y z . :תשובות dimker( א 1, ker {(1, 2,0)}, Im {(1,0,0),(0,1,0)}T T sp T sp ;

3dimker( ב 0, ker {(0,0,0)}, ImT T T R ;

dimker(ג 2, ker {(1,1,0),(0,0,1)}T T sp ,

Im {(1, 1, 2)}T sp ;

3dimker( ד 3, ker , Im {(0,0,0)}T T R T . : תעתקה ליניאריה. 8 n mT R Rי "מוגדרת ע( )T u Au , כאשרA היא

מטריצהmממשית מסדר n ,u הוא וקטור עמודה כלשהו ב-nR .ן שדרגת נתוA שווה ל- r .,בעזרת )מצא את מימדי הגרעין והתמונה של ההעתקה ,m n r .)

dimker :תשובה , dimImT n r T r .

2 תנתונה העתקה ליניארי. 9 3 :T R Rכך ש -(1,1) (0,0,0)T ,(2,1) (1,2,3)T .

. מצא את מימדי הגרעין והתמונה

dimker :תשובה dimIm 1T T .

: מצא את המימד והבסיס של הגרעין והתמונה של ההעתקות הליניאריות הבאות. 10

2( א 2: ( ) ( )T P x P x 2י "מוגדרת ע( ) 2 T ax bx c bx a ;

2( ב 2: ( )T P x R )2י "מוגדרת ע ) ( , ) T ax bx c b a c ;

29

2( ג 2,2: ( )T P x M י "מוגדרת ע a c c ac a a c

2( )T ax bx c ?

: תשובות dimker( א 1, ker {1}, Im {1, }T T sp T sp x ;

2( ב 2dimker 1, ker { }, ImT T sp x x T R ;

2( ג 1 1dimker 2 , ker { , 1}, Im { }

1 1T T sp x x T sp

.

3 תהעתקה ליניארי. 112: ( )T P x R מקיימת את התנאים הבאים :

2(1) (1,2,3) , ( ) (4,5,6) , ( ) (7,8,9)T T x T x .. מצא את הבסיס והמימד של התמונה

dimIm :תשובה 2, Im {(1,2,3),(4,5,6)}T T sp .

מצא את הגרעין של העתקת הגזירה במרחב הפולינומים . 12 nP x ( 6ראה שאלה .)

. התמונה של ההעתקה מצא את מימד

ker :תשובה {1}, dimImT sp T n .

: עתקות הבאות ביחס לבסיס הסטנדרטי המתאיםמצא את המטריצה המייצגת של הה. 13

3( א 3 :T R R י "מוגדרת ע( , , ) (2 , , )T x y z x y z y x ;

2( ב 2: ( ) ( )T P x P x 2י "מוגדרת ע( ) 2 T ax bx c bx a ;

2,2( ג 2,2:T M M י "מוגדרת עa b a c b a

Tc d c d b c

;

:( ד ( ) ( )n nT P x P x י "מוגדרת ע( ( )) (́ )T p x p x .

: תשובות

( א

2 1 00 1 11 0 0

( ב;

0 0 00 2 01 0 0

( ג;

1 0 1 01 1 0 00 0 1 10 1 1 0

;

30

( ד

0 0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 0

0 1 0 . . . 0 0. . . . . . . .

0 0 0 . . . 1 0

nn

.

: מצא את המטריצה המייצגת של העתקה . 14 n nT R R המוגדרת בעזרת מטריצהA

nמסדר n , כלומר( )T u Au (nu R) , ביחס לבסיס הסטנדרטי שלnR .

. A: תשובה

3מצא את המטריצה המייצגת של העתקה . 15 3 :T R Rי "המוגדרת ע( , , ) (2 , , )T x y z x y z y x

: ביחס לבסיסים הבאים

( א (1,1,0),(1,0,1),(0,0,1) ;ב ) (1,1,1),(1,0,2),( 1,0,1) .

: תשובות

( א

1 1 12 1 11 0 1

( ב;

2 2 11 503 31 413 3

.

3תהי . 16 3 :T R Rבעלת מטריצה מייצגת תהעתקה ליניאריA בבסיס הסטנדרטי .1 -ב Aנסמן את העמודות של 2 3, ,u u u (לפי סדר ההופעה ב- A .) נתון שמתקיים

1 2 32 3 ( 1,2,3)u u u . חשב את( 2,1,3)T .

,1): תשובה 2, 3) .

31

דטרמיננטות וכלל קרמר . 6

: חשב את הדטרמיננטות הבאות. 1

( א 2007 4014

4 8( ב;

1 32 4

z zz z

( ג; cos sinsin cos

;

( ד 1 12 3

i ii i

(i היא היחידה המדומה) ;

( ה

1 2 34 5 67 8 9

( ו;

3 2 12 5 33 4 2

2( ז; 2

3 3

111

a ba ba b

( ח;

2

2

2

111

a ab bc c

.

; 3( ו; 0( ה; 2(ד; 1( ג; 2( ב; 0( א: תשובות )( ז )( 1)( 1)ab b a a b ;ח )( )( )( )b a c a c b .

: 4חשב את הדטרמיננטות הבאות מסדר . 2

( א

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

( ב;

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

( ג;

3 0 50 0 21 2 30 0 0

ab

cd

.

.abcd(ג;3(ב;8(א:תשובות : י הבאתן לצורה משולשת"ע nחשב את הדטרמיננטות הבאות מסדר . 3

( א

1 1 1 . . . 11 0 1 . . . 11 1 0 . . . 1. . . . . . .

1 1 1 . . . 0

( ב;

1 2 3 . . .1 0 3 . . .1 2 0 . . .. . . . . . .1 2 3 . . .

nnn

n

)1( א: תשובות 1)n ;ב )!n .

,השורות הן וקטורים 3בדטרמיננטה מסדר ( א. 4 ,a b c

. 3R -ב

aאם : הוכח xb yc

x,עבור מספרים מסוימים y ,0 -אז הדטרמיננטה שווה ל .

7

32

= 0: הוכח( ב

2 2

2 2

2 2

1 sin cos1 sin cos1 sin cos

(. ב הדטרמיננטהללא חישו)

נתונה דטרמיננטה . 5

1 2 41 4 161 5 25

.

(. בלי לחשב את ערך הדטרמיננטה)לא שארית ל 6 -הראה שערכה מתחלק ב

4: נתון. 6a l pb m qc n r

. חשב את הדטרמיננטות הבאות:

( א

222

a a l pb b m qc c n r

( ב ;

3 23 23 2

a l a l pb m b m qc n c n r

( ג;

3 3 32 2 23 3 3

a p b q c rp a q b r cp l q m r n

.

. 84(ג; 20( ב; 8( א: תשובות ,נתונות מטריצות הפיכות . 7 , , ,A B C D E 3מסדר .

: מתוך הנתונים הבאים Aאת חשב

1 (א 2tB A C D ,3, 9B C D ;

1 (ב 1 1 1tA B C D E ,4, 9, 3, 6B C D E ;

2( ג 1 12B A C E D ,4, 9, 3, 6B C D E .

. 3( ג; 2( ב; 3( א: תשובות : כך שהמטריצות הבאות יהיו הפיכות aמצא את ערכי הפרמטר. 8

( א 1 3

2a a

a a

( ב;

1 22 4

a aa a

;

( ג

211 2 41 3 9

a a

( ד;

215 2 63 1 4

a a

.

0a( ב ; a כל( א: תשובות ;2( ג, 3a a ;1( דa i .

33

:ת בעזרת כלל קרמרפתור את המערכות הבאו .9

(א cos sin cossin cos sin

x yx y

(,x y הם הנעלמים ) ;

( ב

2 3 5 103 7 4 3

2 2 3

x y zx y zx y z

( ג;

2 3 03 6 5 25 4 2 3

ax by czax by cz abcax by cz abc

(0abc ) ;

( ד

4 3 2

6 2 35 3 2

x y z a

x y z bx y z c

(, ,x y z

,,וקטורים נעלמים ,a b c

(. וקטורים נתונים

: תשובות )cos (א ), sin( )x y ;3( ב, 2 , 2x y z ;, (ג ,x bc y ac z ab ;

(ד 3 2 8 3, , 25 5 5 5

x a c y a b z a b c

.

נתונה מערכת משוואות . 10

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

,1: בעלת פתרון יחיד 0 , 2x y z .(: במידה ואפשר)בדוק האם למערכות הבאות יש פתרון יחיד ומצא אותו

( א 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x d y c z ba x d y c z ba x d y c z b

( ב; 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

d x a y b z cd x a y b z cd x a y b z c

;

( ג 1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

a x a y a z db x b y b z dc x c y c z d

.

.השתמש בכלל קרמר :הנחיה

( ב; אין פתרון יחיד( א: תשובות 1 1, , 02 2

x y z ;

. אך לא ניתן להגיע אליו על סמך הנתונים, קיים פתרון יחיד( ג

34

. לכסון מטריצה, וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים. 8

לכל אחת מה מטריצות הבאות . 1

( א 1 42 3

A ; ב )2 11 2

A ג )

1 0 01 1 1

1 0 1

A ;

( ד

4 1 12 5 21 1 2

A

( ה;

1 3 13 3 13 5 1

A

(ן;

0 0 10 1 01 0 0

A

.I וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים מצא; II . לכסינה מטריצההבדוק האם (כסון מעלמכאן ואילך מדובר על הליR) ;

III .מטריצה מלכסנת אמצלכסינות של "לכל מטריצות הנ P 1 וחשבP AP.

I .1( א :ותתשוב 5 , 11

,2 1 , 21

;II. מטריצה לכסינהה ;

III .1 21 1

P

, 1 5 00 1

P AP

.

I .1 (ב 1 ,11

, 2 3 ,11

; II. כסינההמטריצה ל ;

III .1 11 1

P

,1 1 00 3

P AP

.

I .1,2( ג 1 ,

010

,3 1 ,012

; .II המטריצה לא לכסינה .

I. 1,2 (ד 3 ,

1 11 , 0

0 1

,3 5 ,121

; II. המטריצה לכסינה ;

.III

1 1 11 0 2

0 1 1P

, 1

3 0 00 3 00 0 5

P AP

35

I .1( ה 1 ,

111

2 2 ,

417

, 3 2 ,

233

; II .המטריצה לכסינה ;

.III

1 4 21 1 31 7 3

P

, 1

1 0 00 2 00 0 2

P AP

.

I . 1,2( ו 1 ,

0 11 , 00 1

,2 1 ,

101

; II .המטריצה לכסינה ;

.III

1 0 10 1 01 0 1

P

, 1

1 0 00 1 00 0 1

P AP

.

נתונה מטריצה. 21 1

1A

c

.

טור הוק cעבור איזה ערך 12

?Aוקטור עצמי של המטריצה היהי

8c:תשובה .

נתונה מטריצה. 32

1 2 20 0 00 0

Aa

.הוא מספר ממשי aכאשר ,

.a ערך של עבור כל לכסינה הוכח שהמטריצה

2עבורם המטריצה aמצא את הערכים של . 4

2 0 01 01 4 0

a

. לכסינה

,0,1: תשובה 1a .

36

מטריצה נתונה. 5

4 1 11 2 11 1 2

A

Aע של "הוא ע 3מספר שידוע .

וקטור הוש

111

v

. ע אחר"ע אבל שייך לע"הוא ו

I . ע שאליו שייך ווקטור "מצא עv . II .אופייני של וחשב פולינום 3ע "מצא ריבוי גיאומטרי של עA .

I .2 :תשובה ;

II . אופייני של הפולינום ה, 2 -שווה ל 3ע "ריבוי גיאומטרי של עA הוא

22 3I A .

3 מסדר Aמטריצה נתונה .6 3 . נתון :

1 21 20 0

A

,

1 20 01 2

A

,

1 21 21 2

A

.

פולינום אופייני של וקטורים עצמיים של המטריצה, מצא ערכים עצמיים . Aוחשב

3ע "ע :תשובה 2 , 1,2 2 ,ע "ו

1 1 11 , 1 , 01 0 1

. א.פ 22 2I A .

. 2Aערך עצמי של היהי 2 מספר אז ,Aהוא ערך עצמי של הוכח שאם מספר . 7

יש אותם ערכים ( Aמטריצה משוחלפת של) TAולמטריצה Aהוכח שלמטריצה . 8

השתמש :הערה). יש אותם וקטורים עצמיים TA-ו Aהאם למטריצות .עצמיים

TAהבאה בעובדה A .)

יש אותם דומות האם למטריצות .עצמיים יש אותם ערכיםטריצות דומות הוכח שלמ .9

. וקטורים עצמיים

1 : נתון. 10 2,u u וקטורים עצמיים של המטריצה הםA השייכים לערכים עצמיים

37

1שונים 2, 1 -הוכח ש. בהתאמה 2,u u ליניארית יםיהם בלתי תלו.

1: נתון .11 2,u u וקטורים עצמיים של המטריצה הםA השייכים לערכים עצמיים

1שונים 2, 1קטור הוכח שו. בהתאמה 2u u איננו וקטור עצמי של המטריצה A .

. בדרך השלילה .הנחיה

.1 ע"השייך לע n מסדר Aמטריצה ריבועית הוא ווקטור עצמי של vווקטור ( א .12

2 מטריצה וקטור עצמי שלגם הוא v -הוכח ש 5 4 nA A I ;

האם מטריצה ( ב

1 0 4 70 2 9 40 0 3 10 0 0 4

A

מקיימת משוואה

245 4 0A A I ? אל: תשובה .

0נתונה מטריצה .130 0

a b ca d

e

,כאשר , ,a b c d R . עבור אילו ערכים של

, , ,a b c d המטריצה לכסינה ?

a: תשובה e, b=0 ,,c d שרירותיים או a e, b=c=d=0 . . 1 -כך שכל האלמנטים שלה שווים ל nנתונה מטריצה ריבועית מסדר *. 14

. מצא את כל הערכים העצמיים שלה A,מטריצות יהיו *.15 B ריבועיות מסדרn ש כך- A דומה למטריצהnI B .

1 אם הוכח כי אינו ערך עצמי שלA , אזB מטריצה הפיכה היא .

0kA -כך ש kנקראת נלפוטנטית אם קיים מספר טבעי Aמטריצה ריבועית *.16 0ערך עצמי יחיד לה ש אז י ,נטיתטלפוינ יצהמטר היא Aאם : הוכח .

A,מטריצות יהיו *.17 B ריבועיות מסדרn.

אז למטריצות ,הפיכה Aשאם מטריצה הוכח

1 1A B and BA .הערכים העצמיים ש אותם י

38

3מסדר A נתונה מטריצה *.18 3 כך ש -

2 3r I A r I A r I A .

. את כל המטריצות האלכסוניות שדומות לה אלכסינה ומצ A :הוכח

: תשובה

1 0 0 1 0 0 2 0 00 2 0 , 0 1 0 , 0 1 00 0 1 0 0 2 0 0 1

.