Download - ÖNGÖRÜMLEME (Forecasting)
ÖNGÖRÜMLEME(Forecasting)
ÖNGÖRÜMLEME
• Tek denklemli regresyon modeli ile öngörümleme– Öngörümleme nedir?– Öngörümleme tarihi gelişimi– Öngörümleme biçimleri nelerdir?– Koşulsuz Öngörümleme– Sıra korelasyonlu hatalarla öngörümleme– Koşullu öngörümleme– Öngörümleme yöntemine bağlı hatalar– Modelin değerlendirilmesi– Yapılan öngörünün anlamlılık testi
• Çok değişkenli model ile öngörümleme• Uygulama
Öngörümleme nedir…?
• Öngörümleme; geleceğe ait olayların (veya
faaliyetlerin) olasılıkları hakkında geçmiş ve cari
bilgiye dayanan bir nicel (kantitatif) tahmin
setidir.
• Bir tahmin; şu andaki ve geçmişteki bilgilere
dayanarak gelecekteki olayların olma olasılığı
hakkında yapılan nicel bir değerlendirmedir.
…Öngörümleme nedir…?
•İstatistikte “tahmin”, “kestirim” ve “öngörü” kavramları
birbirlerine yakın anlamlar içermesine rağmen bu üç
terim birbirlerinden tamamen farklı anlamlar ifade
etmektedir.
•Tahmin bir kitlenin parametresi hakkında elde edilen
istatistiğin aldığı değerdir.
•Kestirim bir rasgele değişkenin seçtiğimiz modele
göre parametrelerinin yerine konulması ile elde edilen
(rasgele değişkenin almasını beklediğimiz) değerdir.
…Öngörümleme nedir…?
• Öngörü, rasgele bir değişkenin gelecekteki
değerlerinin kestirilmesidir.
• Geleceğe yönelik strateji, planlar ve hedefler yapılan
öngörülerle belirlenir. Öngörüler nicel tekniklerle
olabileceği gibi nitel tekniklerle de yapılabilmektedir.
• Nicel öngörüler; ekonometri ve öngörü bilgisi, nitel
öngörüler ise; öngörü yapacak bireyin alan üzerinde
çok bilgili ve uzman olmasını gerektirir.
…Öngörümleme nedir…?
•Tek denklemli regresyon modellerinin kurulmasındaki
başlıca amaç tahminleme yapmaktır.
•Bir tahmin; şu andaki ve geçmişteki bilgilere
dayanarak gelecekteki olayların olma olasılığı hakkında
yapılan nicel bir değerlendirmedir. Bu bilgi tek
denklemli, eşanlı yada zaman serisi modelleri gibi
modellerle somutlaştırılır.
…Öngörümleme nedir…?
•Daha önceki dönemlere ait bilgilerden yararlanarak
hesapladığımız modellerden anlamlar çıkararak,
gelecek olaylar hakkında öngörümlemede
bulunulur.
•Öngörümlemeler sıklıkla kamu düzeni ve özel
politikalar için yol gösterici olarak kullanılır.
•Bir modelin oluşturulmasında ana hatları
belirlemeleri bakımından da yararlıdır.
…Öngörümleme nedir?Ekonometrik modellere göre geleceğin tahmini bir çok
bakımdan önemlidir :
Ekonometrik modellerin parametrelerinin
hesaplanmasında isabetli bir yol izlenip izlenmediğini
belirlemek için tahminden yararlanılmaktadır. İktisat
politikasının yapımında geleceğe ait tahminler büyük rol
oynar. Geleceğin ekonometrik modeller çerçevesinde
tahmini, ekonometri disiplininin kendi kendini düzeltmesi,
modelin geliştirilebilmesi için yararlıdır, zorunludur.
Öngörümlemenin tarihi gelişimi
•Pek çok öngörümleme tekniği aslında 19. yy’ dan bu
yana sağlanan gelişmelerle elde edilmiştir.
•Bilgisayarlardaki gelişmeler, buna paralel olarak
yazılımlardaki çeşitlilik daha uygun öngörümleme
tekniklerinin geliştirilmesini sağlamış bu da
öngörümlemeye verilen önemin daha da artmasına
neden olmuştur.
Öngörümleme biçimleri nelerdir…?
• Ekonomik tahmin iki biçimde sınıflandırılabilir :
1. Nedensel Öngörü/ Ekonometrik Modeller
2. Zaman Serisi Modelleri
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…? Nedensel Öngörü / Ekonometrik Modeller
Ekonometrik modele ait parametre tahminlerinin elde
edilmesi ile birlikte model, bağımsız değişkenlerin verilen
değerlerine bağlı olarak bağımlı değişken hakkında
öngörülerde bulunmak için kullanılabilir. Zaman Serisi Modelleri
Zaman serileri zaman trendi, mevsimlik etken, devresel
hareket ve hata teriminden oluşmuştur.
Zaman serilerini bu elemanlarına ayırmada ve böylece serinin
davranışını öngörmede kullanılabilecek çok sayıda yöntem
bulunmaktadır. Bu yöntemler temel olarak geçmişin geleceğe
rehber olacağını varsaymaktadır. En bilinen yöntem Box-
Jenkins analizidir.
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?
• Geleceğin tahmini çoğunlukla zaman serilerine yapılan tahminler olarak kabul edilir ve öyle anlaşılır.
• Ancak kesit verilerine dayalı modellerle de tahmin yapılabileceği unutulmamalıdır. Buna göre tahmin kavramının tanımını verecek olursak:
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?
•Tahmin, diğer değişkenlerin değerleri, değişme
biçimleri ve değişme biçimleri hakkındaki bilgilere
dayanarak bazı değişkenlerin değerleri hakkında
sayısal bilgi bulabilmektir.
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?
Ex-ante ve Ex-post Öngörümleme:
• Ex-post öngörümleme
İçsel değişkenlerle dışsal açıklayıcı değişkenlerin
her ikisine ait gözlemler, öngörümleme süresince
kesinlik gösterir. Ex-post öngörümleme mevcut
verilerle kontrol edilebilir ve öngörümleme
modelinin değerlendirilmesi için bize yol
gösterir.
Ex-ante öngörümleme
Tahminleme sürecinin dışında bağımlı
değişkene ait değerler kesin olarak bilinen ya da
bilinmeyen açıklayıcı değişkenler kullanılarak
tahmini hesaplanır.
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?
…Öngörümleme biçimleri nelerdir?
• Nokta ve Aralık Öngörümlemesi
Nokta öngörümlemesi
Her bir tahmin dönemi için tek bir sayı şeklinde
hesaplanırken
Aralık öngörümlemesi bir aralık gösterir ve
verilerin aralık boyunca uzanacağı düşünülür.
…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?Koşullu ve Koşulsuz Öngörümleme
• Koşulsuz öngörümleme
Öngörümleme yapılan eşitlikteki tüm açıklayıcı
değişkenlerin değerleri kesin olarak
bilinmektedir.
• Koşullu öngörümleme
Öngörümleme yapılan eşitlikteki bir yada daha
fazla açıklayıcı değişkenin değeri
bilinmemektedir.
Her hangi bir ex-post (gerçekleşen) öngörümleme
her zaman koşulsuz bir öngörümlemedir.
Fakat aynı zamanda ex-ante (tasarlanan)
öngörümleme de koşulsuz öngörümleme
olabilmektedir.
…Öngörümleme biçimleri nelerdir?
Koşulsuz Öngörümleme…
• Bir regresyon modeline göre koşulsuz
öngörümleme yapabilmek için; öngörümleme
dönemindeki (expost) açıklayıcı değişkenlerin
kesin ve tam bir şekilde biliniyor olması
gerekmektedir.
• Bu amaçla zaman gecikmeleri ile ortaya çıkan
açıklayıcı değişkenler kullanılabilir. Böylece
bağımlı değişken için koşulsuz öngörümleme
oluşturulur.
• Öncelikle iki değişkenli basit regresyon modelini dikkate alarak koşulsuz öngörümlemeyi açıklarsak;
…Koşulsuz Öngörümleme…
2(0, )t N
t t tY X 1,2,...t T (1)
(2)
1TX değişkenin değeri bilinmektedir.
T+1 döneminde Y için en iyi öngörümleme nedir?
1 1T TY X
(3)
Varsayım: ve katsayıları bilinmektedir.
1TY ile ilgili uygun öngörümleme için;
1 1 1T T Te Y Y
(4)
Öngörümleme hatası
1TY öngörümlemesi sapmasızdır1.
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0T T T T T T TE e E Y Y E X X E
(5)
…Koşulsuz Öngörümleme…
1 1 1T T TY X olur ve aşağıdaki iki önemli özelliğe sahiptir:
t t tY X 1 :TX değişkenin değeri bilinmektedir.
2(0, )t N
Öngörümleme hata varyansı :2.
2 2 2 21 1( ) ( )f T TE e E
(6)
olası tüm öngörümlemeler arasında minimum varyanslıdır.
(0,1)N
Öngörümleme hatası normal dağılım gösterir :
Normalleştirilmiş hatanın hesaplanması yoluyla Y’nin
öngörümlenmiş değeri için anlamlılık testleri oluşturulur.
Bunun için:
Normalleştirilmiş hata :
1 1T TY Y
(7)
21 (0, )T fe N
…Koşulsuz Öngörümleme…
1 10.05 0.05Prob 0.95T TY Y
Buna göre öngörümlemeye ilişkin %95 güven aralığı
(8)
1 0.05 1 1 0.05T T TY Y Y
(9)
0.05 normal dağılım tablosundan bulunur.
…Koşulsuz Öngörümleme…
…Koşulsuz Öngörümleme…
Şekil 2 : Model Parametrelerinin Bilindiği Durumda Öngörümleme
İki değişkenli bir regresyon modeli için %95 güven aralığı aşağıdadır:
…Koşulsuz Öngörümleme
• Güven aralıkları yoluyla regresyon modelinin güvenilirliği ile ilgili basit bir test yapılır.
’in gerçek değeri bilinirse, öncelikle
öngörümlenmiş değeri ile karşılaştırılabilir.
’in gerçek değeri %95 güven aralığının içinde
yer alıyorsa model tatmin edicidir.
Fakat aralığın dışına düşerse model iyi
oluşturulmamıştır.
1TY
1TY
…Koşulsuz Öngörümleme…
•Model güvenilirliğinin ölçümünde sadece t,F ve R2
istatistiklerine bakılmaz.
•Tek denklemli bir regresyon modeli anlamlı t
istatistikleri ve yüksek bir R2 değerine sahip olabilir.
Buna karşılık çok zayıf bir öngörümlemeye de sahip
olabilir.
•Bu durum modelde açıklanamayan, öngörümleme
döneminde gerçekleşen yapısal bir değişimin sonucu
olabilir.
…Koşulsuz Öngörümleme…
•Regresyon modelleri düşük belirlilik katsayısına
ve bir ya da daha fazla anlamsız regresyon
katsayısına sahip olsa bile öngörümlemeler iyi
olabilir. Bu durum genellikle bağımlı değişkende az
bir değişkenlik olduğunda meydana gelir.
…Koşulsuz Öngörümleme…•Genellikle regresyon modelinin parametreleri tahmin edilmiş değerlerdir. Aynı
zamanda hata varyansı değeri bilinmez ve tahmin edilir.
Şimdi bu durumu inceleyelim:
2
için iyi bir öngörümleme, basit iki aşamalı bir
yöntemle belirlenir :
1TY
1- Basit En Küçük Kareler Yöntemi kullanılarak
t t tY X ( 1,2,..., )t T (10)
modeli tahmin edilir.
1TX değeri yerine konduğunda
…Koşulsuz Öngörümleme…
1 1T TY X
2 - bulunur.
1 1 1T T TY X
• Öngörümleme hatası (11-12)
1 1 1 1 1( ) ( )T T T T Te Y Y X
(13)
(11)
(12)
t t tY X iken (10)
…Koşulsuz Öngörümleme
Bu eşitlikte iki tane hata kaynağı söz konusudur:(1)Eklenen hata teriminin varlığı
(2)Tahminlenen regresyon parametrelerinin rassal
yapısıdır.
1( )T
Bunlardan birincisi Y değişkenindeki varyanstan
kaynaklanmakta, ikincisi ise tahminleme yöntemi
ve serbestlik derecesinin duyarlılığından
kaynaklanmaktadır.
1 1 1 1 1( ) ( )T T T T Te Y Y X
(13)
…Koşulsuz Öngörümleme…• Öngörümleme hatasının dağılımı :
Öngörümleme hatası normal dağılım gösterir. Çünkü (13) denkleminde de görüldüğü üzere
1ˆˆ , Tve
1 1 1 1 1( ) ( )T T T T Te Y Y X
(13)
Öngörümleme hatasının ortalaması 0 dır.Çünkü
1 1 1
0 0 0
ˆˆˆ ( ) ( ) ( ) 0t T TE e E E X E (14)
’in doğrusal bir fonksiyonudur
1t̂E e
22 2 22 21 1 1
1
ˆˆˆ
ˆˆ 2
f T T T
T
E e E E X E
E X
(15)
Ya da
2 2 21 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) 2 ( , ) ( )f T TVar X Cov X Var (16)
sapmasız tahminci,
ˆˆ ve 1TX
…Koşulsuz Öngörümleme…
1T̂e
bilinmektedir.
Öngörümleme varyansı aşağıdaki gibi belirlenir:
2 2 21 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) 2 ( , ) ( )f T TVar X Cov X Var (16)
6 nolu bağlantıdan
1 1 1
0 0 0
ˆˆˆ ( ) ( ) ( ) 0t T TE e E E X E
…Koşulsuz Öngörümleme…
22
2
2
2
2
2
ˆ( )
ˆ( )
ˆˆ( , )
t
t
t
t
XVar
T X X
VarX X
XCov
X X
değerlerinin varyanslarına bakılırsa :̂ ̂ve
(17)
Burada toplamlar 1’den T’ye kadar olan gözlemler içindir .
: ilk T gözlem için X’in örnek ortalamasıdır. X
Öngörümleme hatasının dağılımı (…Devam)
…Koşulsuz Öngörümleme
Bu varyans ve kovaryans eşitlikleri (16) eşitliğinde yerine
konulur ve terimler sadeleştirilirse :
Öngörümleme hatasının dağılımı (…Devam)
2 2 2
2 2 2 21 12 2 2
2tf T T
t t t
X XX X
T X X X X X X
(18)
2 2 21 1
ˆ ˆˆ ˆ( ) 2 ( , ) ( )f T TVar X Cov X Var (16)
2 2
2 2 1 12 2 22 1t T T
f
t t t
X XX X
T X X X X X X
bulunur. (19) nolu eşitlikte parantez içindeki ilk terim aşağıdaki
gibi gösterilebilir:
(19)
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
1
t t
t t
t
t
t
X X X T TX TX
T X X T X X
X X TX
T X X
X
T X X
(20)
(20) nolu ifade (19) nolu ifadede yerine konduğunda
sadeleştirildiğinde
22
2 2 1 12 2
211 T T
f
t t
XX XX
T X X X X
2 2
2 2 1 12
211 T T
f
t
X XX X
T X X
(21)
_2 2 2
1 1 12 ( )T T TX XX X X X (22)
2 2
2 2 1 12 2 22 1t T T
f
t t t
X XX X
T X X X X X X
(19)
idi.
Böylece öngörümleme hatasının varyansı;
_2
2 2 1_
2
( )11
( )
Tf
t
X X
T X X
…Koşulsuz Öngörümleme…
(22)
Diğer değerler sabitken; örneklem hacmi ne kadar büyük ve
X ’in varyansı da ne kadar büyük olursa öngörümleme
hatasının varyansı o kadar küçük olur.
,X’in örneklem ortalamasına eşit olarak gerçekleşirse;
(22) eşitliğindeki son terim sıfır olacağından öngörümleme
hatasının en küçük değeri bulunmuş olur.
1TX
Normalleştirilmiş hata :
1 1ˆ
(0,1)T T
f
Y YN
(23)
2
2 21( )
2 t ts Y YT
(24)
değeri genellikle bilinmez.
2
2 ,s 2
Ancak değeri genellikle bilinmediği için pratikte
değerinin tutarlı ve sapmasız bir tahmincisi olarak kullanılır:
…Koşulsuz Öngörümleme…
Bu eşitlik t dağılımının kullanılmasıyla güven
aralıklarının hesaplanmasına olanak
sağlamaktadır. Tahmin edilmiş öngörümleme
hatası varyansı ise aşağıdaki şekilde
hesaplanacaktır :
2
12 22
11 T
f
t
X Xs s
T X X
(25)
…Koşulsuz Öngörümleme…
…Koşulsuz Öngörümleme…
• Normalleştirilmiş hatanın ise;
1 1T̂ T
f
Y Y
s
olduğu bilinmektedir. Bu eşitlik, T-2 serbestlik derecesine
sahip t dağılımı gösterecektir.
’in %95 güven aralığı şu şekilde bulunur:1T̂Y
1 .05 1 1 .05ˆ ˆT f T T fY t s Y Y t s (26)
…Koşulsuz Öngörümleme…
%95 güven aralığı örneği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir
%95 güven sınırları
Tahmin aralığı
XT+1
Xt
X
Şekil 3: Öngörümleme Güven Aralıkları
Yt
…Koşulsuz Öngörümleme…
• Bu özellikler çoklu regresyon modelinde de
uygulanır.
• Güven aralıkları yine aynı şekilde hesaplanır.
Ancak iki veya daha fazla değişkenin var
olmasından dolayı öngörümleme hatası
dağılımının ve güven aralıklarının cebirsel
türevleri daha karmaşık olacaktır.
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
Zaman serisi modellerinde hatalar arasında
otokorelasyon olduğunda; en iyi öngörümlemenin
ve dağılımının belirlenmesi oldukça zorlaşır.
Hatalar birinci dereceden otokorelasyonlu olsun:
1
2
1
(0, )
1, ,
t t t
t t t
t v
Y X
N
t T
(27)
Hatalar ‘0’ ortalamalı ve zaman boyunca birbirinden bağımsızdır.
Otokorelasyonlu durumda T+1 dönemindeki hata
tahmini önceki öngörümleme döneminden etkilenerek
değişikliğe uğrayacaktır.
Bu sorunu daha iyi tahmin etmek için regresyon
parametreleri olan , ve değerlerinin bilindiğini
varsayalım:
1TY tahmini değeri şu şekilde hesaplanacaktır :
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
1 1 1ˆ ˆT T TY X (28)
…Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
Koşulsuz öngörümlemede olduğu gibi 1ˆ 0T alınmaz.
1T̂ bir önceki hata teriminden hesaplanır. Çünkü;
1T T t
1ˆ ˆT T
2(0, )t vN
E(vt=0)
Çünkü 0 ortalamalıdır ve zaman boyunca ilişkisidir.
ve bilindiğinden dolayı da hiçbir tahminleme
yapılmaz.
(28) eşitliği şu şekilde yazılır:
1 1ˆ ˆT T TY X (30)
1ˆ ˆT T
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
1 1 1ˆ ˆT T TY X
(28)
ise
Model, Genelleştirilmiş fark denklemi biçimde yazılır.
* *
2
(1 )
(0, )
t t t
t
Y X
N
değerinin tahmini benzer şekilde elde edilir:
(32)
* *1 1t t t t t tY Y Y ve X X X
Öngörümleme aşağıdaki şekilde bulunur:
1TY
* *1 1(1 )T TY X
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
* *1 1 1 1
ˆT T T T T TY Y Y ve X X X (35)
1T̂Y
*1 1
*1
1
1
ˆ
(1 )
(1 )
(1 )
T T T
T T
T T T
T T T
Y Y Y
X Y
X X Y
X Y X
(36)
(35) nolu ilk ifade de i çekersek
* *1 1(1 )T TY X idi.
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
Aşağıdaki ifadede yerine eşitini, daha sonra da yerine eşitini koyalım.
1
*
TY
1
*
TX
1 1
1
1
1
1
ˆ (1 )
36 nolu denklemdeki yerine eşiti yazıldığında
(1 )
(1 ) ( )
)
T T T T
T
T T T T
T T
T T
T T
Y X Y X
Y
X X X
açıldığında
X
X
X
(37)
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
(36)
Bu eşitlik ise (30)’da ki eşitliğin aynısıdır.
ve değerleri biliniyorsa; öngörümleme hatası şu şekilde bulunur:
1 1 1 1 1 1
1
ˆT̂ T T T T T T
T T
e Y Y X X
(38)
Öngörümleme hatası 0 ortalamalı normal dağılım gösterir.
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
1T T t idi.
Varyansı ise :
22 2 2 21 1 1
2 2 2 21
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
1 2
2 1
(1 )
f T T T T T T
T T T
E E E E
E E E
(39)
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
2 2 21T T
burada
E E
otokorelasyonu dikkate almadan bu durum oluşturulursa,
değerinin etkisinden ötürü öngörümleme hatası
daha küçük olur.
2(1 )
Uygulamada ve değerleri genellikle bilinmemektedir.
Ancak herhangi bir tahminleme yöntemi kullanılarak
hesaplanabilmektedir.
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
Öngörümlemeyi göstermek için sadece genelleştirilmiş fark denklemi kullanılır.
1T̂Y şu şekilde hesaplanır:
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1T T T TY Y X X (40)
Örneklem hacmi arttığında öngörümleme hatası da sıfıra yaklaşır.
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…
ve ile değerleri hesaplanmış olduğunda,
öngörümleme hatasının varyansını açık bir ifade ile
belirlemek zordur.
Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…