7 完備化されたリーマン・ゼータ
7・1 偶関数・奇関数
定義 7・1・0
f( )z は開領域 D 内に定義された関数とする。
(1) f( )z = f( )-z のとき、 f( )z を 偶関数 と言う。
(2) f( )z = -f( )-z のとき、 f( )z を 奇関数 と言う。
Note この定義に従えば、直ちに次のことが言える。
(1) f( )z が偶関数のとき、 もし z1 が f( )z の零点ならば、 -z1 も f( )z の零点である。
(2) f( )z が奇関数のとき、 もし z1 が f( )z の零点ならば、 -z1 も f( )z の零点である。
定理 7・1・1
f1( )z , f2( )z は領域 D 内に定義された関数とするとき、
(1) f1( )z , f2( )z が偶関数ならば f1( )z f2( )z も偶関数である。
(2) f1( )z , f2( )z が奇関数ならば f1( )z f2( )z も奇関数である。
証明
f1( )z , f2( )z が偶関数のとき、 fk( )z = fk( )-z k=1,2 であるから
f1( )z f2( )z = f1( )-z f2( )-z
f1( )z , f2( )z が奇関数のとき、 fk( )z = -fk( )-z k=1,2 であるから
f1( )z f2( )z = -f1( )-z -f2( )-z = - f1( )-z f2( )-z
定理 7・1・2
f1( )z , f2( )z は領域 D 内に定義された関数とするとき、
(1) f1( )z , f2( )z が偶関数ならば f1( )z f2( )z は偶関数である。
(2) f1( )z , f2( )z が奇関数ならば f1( )z f2( )z は偶関数である。
(3) f1( )z が奇関数で f2( )z が偶関数ならば f1( )z f2( )z は奇関数である。
証明
f1( )z , f2( )z が奇関数のとき、 fk( )z = -fk( )-z k=1,2 であるから
f1( )z f2( )z = -f1( )-z - f2( )-z = f1( )-z f2( )-z
かくして (2) が証明された。
(1) (3) も類似の方法で証明される。
f( )z を実数部と虚数部に分けると、以下の定理が成立する。
- 1 -
定理 7・1・3
f( )z が領域 D 内に定義された複素関数とする。
(1) f( )z が偶関数のとき、その実数部も虚数部も共に偶関数である。
(2) f( )z が奇関数のとき、その実数部も虚数部も共に奇関数である。
証明
領域 D に含まれる実数空間を R とし
f( )z = u( )z +iv( )z , u , v R
z を -z に置換して
f( )-z = u( )-z + iv( )-zこれらより
f( )z = f( )-z ならば u( )z = u( )-z , v( )z = v( )-z
f( )z = -f( )-z ならば u( )z = -u( )-z , v( )z = -v( )-z
定理 7・1・4
f( )z が領域 D 内に定義された複素関数とする。このとき、
もし f( )z が偶関数もしくは奇関数であれば、 f( )z 2は偶関数である。
証明
領域 D に含まれる実数空間を R とし
f( )z = u( )z +iv( )z , u , v Rとすれば
f( )z 2 = u 2( )z + v2( )zもし f( )z が偶関数ならば、定理 7・1・3 ( )1 により u( )z , v( )z は共に偶関数であり、
もし f( )z が奇関数ならば、定理 7・1・3 ( )2 により u( )z , v( )z は共に奇関数である。
すると 定理 7・1・2 によりいづれの場合も u 2( )z , v2( )z は共に偶関数となり、さらに
定理 7・1・1 ( )1 により u 2( )z + v2( )z は偶関数となる。
f( )z の導関数とマクローリン級数に関して、よく知られた以下の定理が成立する。
定理 7・1・5
f( )z が領域 D 内に定義された正則な複素関数とする。
(1) f( )z が偶関数のとき、その第1階導関数 f( )1 ( )z は奇関数である。
(2) f( )z が奇関数のとき、その第1階導関数 f( )1 ( )z は偶関数である。
証明
f( )z が偶関数のとき、 f( )z = f( )-z両辺を z で微分すれば
- 2 -
f( )1 ( )z = f( )1 ( )-z ( )-z ( )1 = -f( )1 ( )-z
故に f( )1 ( )z は奇関数である。
f( )z が奇関数のとき、 f( )z = -f( )-z両辺を z で微分すれば
f( )1 ( )z = -f( )1 ( )-z ( )-z ( )1 = f( )1 ( )-z
故に f( )1 ( )z は偶関数である。
定理 7・1・6
f( )z が領域 D 内に定義された正則な複素関数とする。
(1) f( )z が偶関数であるための必要十分条件は、そのマクローリン級数が偶数冪のみを含む
ことである。
(2) f( )z が奇関数であるための必要十分条件は、そのマクローリン級数が奇数冪のみを含む
ことである。
証明
仮定により、 f( )z は次のようにマクローリン展開される。
f( )z = 0!
f( )0 ( )0z0 +
1!f( )1 ( )0
z1 + 2!
f( )2 ( )0z2 +
3!f( )3 ( )0
z3 +
(1) f( )z が偶関数のとき、定理 7・1・5 により f 2n-1 ( )z n=1,2,3, は奇関数となる。
すると、 f 2n+1 ( )0 = -f 2n+1 ( )-0 n=1,2,3,
これより、 f 2n+1 ( )0 = 0 n=1,2,3, を得る。
逆に上記マクローリン級数が偶数冪のみを含むとき、その各項は全て偶関数であるから、
定理 7・1・1 によりこのマクローリン級数も偶関数となる。
(2) f( )z が奇関数のとき、定理 7・1・5 により f 2n ( )z n =0,1,2, は奇関数となる。
すると、 f 2n ( )0 = -f 2n ( )-0 n =0,1,2,
これより、 f 2n ( )0 = 0 n=0,1,2, を得る。
逆に上記マクローリン級数が奇数冪のみを含むとき、その各項は全て奇関数であるから、
定理 7・1・1 によりこのマクローリン級数も奇関数となる。
- 3 -
7・2 複素共役性
定義 7・2・0
領域 D 内に定義された関数 f( )z が
f z = f( )z z Dを満たすとき、 f( )z は 複素共役性を持つ と言う。
例1 f( )z = ez-1
f( )z = f( )x,y = ex-1+ i y = ex-1( )cosy + i sin y
f z = f( )x,-y = ex-1- i y = ex-1( )cosy - i sin y = f( )z
例2 f( )z = ( )z-1 n
z =x-1+ iy を次のように球座標 r, に変換する。
r = x -1 2 + y 2 , cos = x -1 2 + y 2
x -1 , sin =
x -1 2 + y 2
y
すると
f( )z = r cos + i sin n = rn cos n i sin n
f z = r cos - i sin n = rn cos n i sin n = f( )z
cf.
f( )z = ez-i や f( )z = ( )z-i n は複素共役性を持たない。
次の公式及び定理が容易に証明できる。
公式 7・2・1
f1( )z , f2( )z は領域 D 内に定義された複素共役性を持つ関数とするとき、
(1) f1 z f2 z = f1( )z f2( )z
(2) f1 z f2 z = f1( )z f2( )z
証明
f1( )z = u1 + i v1 , f1 z = u1 - i v1
f2( )z = u2 + i v2 , f2 z = u2 - i v2
とすれば
f1 z f2 z = u1 - i v1 u2 - i v2 = u1 u2 - i v1 v2
= f1( )z f2( )z
次に
- 4 -
f1( )z f2( )z = u1u2 - v1v2 + i u1v2 + u2v1
f1( )z f2( )z = u1u2 - v1v2 - i u1v2 + u2v1
f1 z f2 z = u1u2 - v1v2 - i u1v2 + u2v1
f1 z f2 z = f( )z g( )z
定理 7・2・2
領域 D 内に定義された関数 f( )z が次のように級数展開されたとする。
f( )z = Σn =-
cn( )z-a n
このとき、もし a , cn (n =0 , 1 ,2 , ) が実数ならば、 f( )z は複素共役性を持つ。
証明
上記例2で見たとおり、 ( )z-1 n (n =0 , 1 ,2 , ) は複素共役性を持つ。従って a が実数
ならば ( )z-a n (n =0 , 1 ,2 , ) も複素共役性を持つ。 cn (n =0 , 1 ,2 , ) は実数であ
るから、公式 7・2・1(1) により、 Σn =-
cn( )z-a n も複素共役性を持つ。
Note1 この定理により、次の関数はいづれも複素共役性を持つことが分る。
z = ez log = Σn =0
n!log n
zn
( )z = z-11
+ Σn =0
n!( )-1 n
n ( )z-1 n s : Stieltjes constant
( )z = 1 + Σn =1
n!cn( )a
( )z-a n a >0
但し、 cn( )a = ( )a Σk=1
n
Bn,k 0( )a , 1( )a , , n-1( )a n=1,2,3,
n( )z はポリガンマ関数、 Bn,k f1 , f2 , は Bell 多項式。
Note2
f( )z は領域 D 内に定義された複素共役性をもつ関数とするとき、
もし z1 が f( )z の零点ならば、 z1 も f( )z の零点である。何故ならば、
f( )z = u( )z + i v( )z と表すとき、もし z1 が f( )z の零点ならば、
0 = f z1 = u z1 + i v z1 i.e. u z1 = v z1 = 0
= u z1 - i v z1 = f z1 = f z1
- 5 -
複素共役性持つ偶関数・奇関数
素共役性を持つ関数 f( )z が偶関数もしくは奇関数であるときは、以下のようにややこしくなる。
定理7・2・3
f( )x,y = u( )x,y + i v( )x,y は領域 D 内に定義された複素共役性を持つ関数とするとき、
(1) f( )x,y が偶関数ならば
u( )x,y = u( )x,-y = u( )-x,y = u( )-x,-y (2.1u)
v( )x,y = -v( )x,-y = -v( )-x,y = v( )-x,-y (2.1v)
(2) f( )x,y が奇関数ならば
u( )x,y = u( )x,-y = -u( )-x,y = -u( )-x,-y (2.2u)
v( )x,y = -v( )x,-y = v( )-x,y = -v( )-x,-y (2.2v)
証明
f( )x,y は複素共役性を持つから
u( )x,-y + iv( )x,-y = u( )x,y - iv( )x,y
u( )-x,-y + iv( )-x,-y = u( )-x,y - iv( )-x,yこれらより
u( )x,y = u( )x,-y , u( )-x,y = u( )-x,-y (2.u)
v( )x,y = -v( )x,-y , -v( )-x,y = v( )-x,-y (2.v)
(1) f( )x,y が偶関数のとき、 定理7・1・3 (1) より
u( )x,y = u( )-x,-y , v( )x,y = v( )-x,-yこれらと (2.u), (2.v) より (2.1u), (2.1v) を得る。
(2) f( )x,y が奇関数のとき、定理7・1・3 (2) より
u( )x,y = -u( )-x,-y , v( )x,y = -v( )-x,-yこれらと (2.u), (2.v) より (2.2u), (2.2v) を得る。
例 4次関数
偶関数の例として4次関数 f( )z = z4 +1 を取り上げる。 x =1/ 2 , y =1/ 2 として
(2.2u), (2.2v) を計算すると次のようになる。
- 6 -
系 7・2・3
f( )x,y = u( )x,y + i v( )x,y は領域 D 内に定義された複素共役性を持つ関数とする。
すると、任意の実数 x,yD について次が成立する。
(1) f( )x,y が偶関数のとき、 v( )x,0 =0 , v( )0,y =0
(2) f( )x,y が奇関数のとき、 u( )0,y =0 , v( )x,0 =0
証明
(1) f( )x,y が偶関数のとき、(2.1v) より、
v( )x,y = -v( )x,-y , v( )x,y = -v( )-x,yそれぞれ y=0 , x=0 と置けば、
v( )x,0 = -v( )x,0 , v( )0,y = -v( )0,yこれらより、 v( )x,0 =0 , v( )0,y =0
(2) f( )x,y が奇関数のとき、(2.2u), (2.2v) より、
u( )x,y = -u( )-x,y , v( )x,y = -v( )x,-yそれぞれ x=0 , y=0 と置けば、
u( )0,y = -u( )0,y , v( )x,0 = -v( )x,0
これらより、 u( )0,y =0 , v( )x,0 =0
例1 4次関数の虚数部
f( )z = z4 +1 とし、この虚数部の x =0 , y =0 での断面図を描いたのが次図である。両断面
が一直線であることが分る。
例2 3次関数の実数部と虚数部
f( )z = z3 とし、この実数部の x =0 での断面図を描いたのが左図であり、虚数部の y =0 で
の断面図を描いたのが右図である。実数部は任意の y について一直線、虚数部は任意に x に
ついて一直線になっている。
- 7 -
最後に、非常に重要な次の定理を提示し証明する。
定理 7・2・4
領域 D 内の複素共役性を持つ関数 f( )z が零点 z1= x1+ iy1 x1 0 を持つとき、
(1) f( )z が偶関数ならば、 -x1- iy1 , x1- iy1 , -x1+ iy1 も f( )z の零点である。
(2) f( )z が奇関数ならば、 -x1- iy1 , x1- iy1 , -x1+ iy1 も f( )z の零点である。
証明
(1) f( )z が偶関数で z1= x1+ iy1 x1 0 がその零点ならば、定理 7・2・3 (1) より
u x1 , y1 = u x1 ,-y1 = u -x1 ,y1 = u -x1 ,-y1 = 0
v x1 , y1 = -v x1 ,-y1 = -v -x1 ,y1 = v -x1 ,-y1 = 0
これらより、 x1 iy1 , x1 iy1 が f( )z の零点であることが解る。
(2) f( )z が奇関数で z1= x1+ iy1 x1 0 がその零点ならば、定理 7・2・3 (2) より
u x1 , y1 = u x1 ,-y1 = -u -x1 ,y1 = -u -x1 ,-y1 = 0
v x1 , y1 = -v x1 ,-y1 = v -x1 ,y1 = -v -x1 ,-y1 = 0
これらより、 x1 iy1 , x1 iy1 が f( )z の零点であることが解る。
別証
(1) f( )z が偶関数で零点 z1= x1+ iy1 x1 0 を持つならば、
f( )z = f( )-z であるから、 -x1- iy1 も f( )z の零点である。そして上記 Note2 により、
これらの共役複素数 x1- iy1 , -x1+ iy1 も f( )z の零点である。
(2) f( )z が奇関数で零点 z1= x1+ iy1 x1 0 を持つならば、
f( )z = -f( )-z であるから、 -x1- iy1 も f( )z の零点である。そして上記 Note2 により、
これらの共役複素数 x1- iy1 , -x1+ iy1 も f( )z の零点である。
- 8 -
7・3 対称関数等式
リーマン・ゼータの関数等式は対称的な形に変換できる。
公式 7・3・1 (Riemann)
-
2
z
2z
z = -
2
1-z
21-z
1-z z 0 ,1 (3.1)
-
2
1 2
1+ z
21 2
1+z 2
1+z =
-2
1 2
1- z
21 2
1-z 2
1-z
但し z 1/2 (3.1')
証明
関数等式より
( )z = 2 1-z
2( )1-zsin
2z( )1-z z 0 ,1
この両辺に-
2z
2z
を乗じると
-
2z
2z ( )z =
-2z
2z
2 1-z
2( )1-zsin
2z( )1-z
= -
2
1-z
2z
sin2z2z( )1-z
-2
1
( )1-z
ここで
( )z ( )1-z = sinz
より
2z
sin2z
= 1-
2z
これを上に代入して
-
2z
2z ( )z =
-2
1-z
1-2z
2z( )1-z
-2
1
( )1-z
= -
2
1-z
1-2z
2z( )1-z ( )1-z
さらに
2z 2
z+1 = 21-z ( )z
において z を 1-z に置換すれば
- 9 -
21-z 2
2-z = 2z ( )1-z
これより
1-2z
2z( )1-z = 2
1-z
これを上に代入して
-
2
z
2z
z = -
2
1-z
21-z
1-z z 0 ,1 (3.1)
最後に、 z を z+1/2 に置換すれば
-
2
1 2
1+ z
21 2
1+z 2
1+z =
-2
1 2
1- z
21 2
1-z 2
1-z
但し z 1/2 (3.1')
ディリクレ・イータ関数についても、対称的な関数等式が得られる。
公式 7・3・2
2z
-
2
z
1-2z z = 21-z
-
2
1-z
1-21-z 1-z
但し z 0 ,1 (3.3)
-
2
1 2
1+ z
21 2
1+z 1-2 2
1+ z
21
+z
= -
2
1 2
1- z
21 2
1-z 1-2 2
1- z
21
-z
但し z 1/2 (3.3')
証明
(3.1) に ( )z = ( )z / 1-21-z を代入して
2z
1-21-z
-
2
z
z = 21-z
1-21-( )1- z
-
2
1-z
1-z
i.e.
2z
-
2
z
1-2z z = 21-z
-
2
1-z
1-21-z 1-z (3.3)
次に、 z を z+1/2 に置換して (3.3') を得る。
- 10 -
7・4 完備化されたリーマン・ゼータ
関数 ( )z , ( )z を複素平面上でそれぞれ次のように定義する。
( )z = -z( )1-z -
2
z
2z ( )z (4.1)
( )z = - 21
+z 21
-z -
2
1 2
1+ z
21 2
1+z 2
1+z (4.1')
すると、公式 7・3・1 より、全複素平面上で次式が成立する。
( )z = ( )1-z (4.2)
( )z = ( )-z (4.2')
これらは完備化されたリーマン・ゼータ と総称されている。 z = x+ iy とするとき、 ( )z はその
実数部が x =1/2 に対して線対称であり、( )z はその実数部が x =0 に対して線対称である。
本章では( )z についてその性質を考察する。
cf.
本章における ( )z ,( )z の定義は、次のような Landau の定義とは異なっている。
( )z = 21
z( )z-1 -
2
z
2z ( )z : xi function
( )z = 21
+ i z : Xi function
7・4・1 完備化されたリーマン・ゼータの諸性質
( )z ,( )-z の実数部と虚数部を3次元図に描けば次のようになる。( )z がシアンで
( )-z がマゼンタである。
この図から次のことが見てとれる。
(1) 関数( )z は全複素平面上で正則である。特異点は何処にも見当たらない。
(2) 関数( )z は複素数 z に関して偶関数である。(( )z = ( )-z )
- 11 -
上図において( )z (シアン)と ( )-z (マゼンタ)は重なってマダラに見えている。
(3) 実数部 u( )x,y は x に関しても y に関しても偶関数である。(上左図参照。)
i.e. u( )x,y = u( )x,-y = u( )-x,y これらは( )z の偶数性と複素共役性によるものである。( 定理 7・2・3 (1) )
(4) 虚数部 v( )x,y は x に関しても y に関しても奇関数である。(上右図参照。)
i.e. v( )x,y = -v( )x,-y = -v( )-x,y これらもまた( )z の偶数性と複素共役性によるものである。( 定理 7・2・3 (1) )
(5) 任意の x, y に対して v( )x,0 =0 , v( )0,y =0 である。
これは( )z の偶数性と複素共役性によるものである。( 系 7・2・3 (1) )
上右図の x =0 , y =0 での断面図を描いたのが次図である。両断面は一直線となっている。
(6) 従って ( v( )0,y =0 for any y )、 u( )0, y =0 の解は( )z の零点となる。
(7) ( )z の絶対値の2乗 ( )z 2は x に関しても y に関しても偶関数となる。
これは( )z が偶関数であるからである。( 定理7・1・4 ) 複素共役性は要求されない。
- 12 -
これを3次元で示せば左図のとおりである。そして右図のような極小点が x=0 に沿って点在
しているように見える。
以上の性質から、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点に関する次の重要な定理が得られる。
定理 7・4・1
リーマン・ゼータ関数 ( )z が 実数部が 1/2 でない非自明な零点を持つならば、その1組は
次の4個から成る。
1/2+1 i1 , 1/2-1 i1 ( 0 < 1 < 1/2 )
証明
1/2+1 i1 が( )z の非自明な零点であることは 1 i1 が( )1/2+z の非自明な
零点であることと同値である。ここで (4.1') を観察しよう。
( )z = - 21
+z 21
-z -
2
1 2
1+ z
21 2
1+z 2
1+z (4.1')
すると次のことが分る。
(1) 21
+z の自明な零点と21
+z の零点は 21 2
1+z の特異点と相殺され、
それらの点において( )z は非ゼロ正則となる。
(2)21
-z の零点は 21
+z の特異点と相殺され、その点で( )z は非ゼロ正則となる。
(3) -
2
1 2
1+ z
は零点を持たない。
以上の結果、 ( )1/2+z の非自明な零点と( )z の零点は一致する。
(4.2') より( )z = ( )-z であるから、( )z は偶関数である。そして、 定理7・2・2 Note1で見たように、(4.1') を構成する関数は全て複素共役性を持つ。よって、公式 7・2・1 により、
( )z もまた複素共役性を持つ。すると 定理 7・2・4 (1) により、もし( )z が実数部が0でない
零点を持つならば、それは次の4個から成る。
- 13 -
1 i1 , -1 i1 ( 1 0 )
( )z と( )z との関係から、このことは次と同値である。
( )z が 実数部が 1/2 でない非自明な零点を持つならば、その1組は次の4個から成る。
1/2+1 i1 , 1/2-1 i1 ( 1 0 )
そして 0 < 1/21 < 1 が既知であるから 0 < 1 < 1/2 。これは定理と同値である。
2015.02.26
2017.12.07 Renewed
2018.03.30 Updated
Kano Kono
宇宙人の数学
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