DEFINISI 2.1
a R, a P a 0
Simbolik:
Untuk semua bilangan Real, misalkan a. a
anggota bilangan real positif jika dan hanya
jika a adalah bilangan real yang positif
Naratif:
Semua bilangan real yang positif adalah
anggota dari bilangan real positif
DEFINISI 2.2
a R, –a P a 0
Simbolik:
Untuk semua bilangan Real, misalkan a. a
anggota bilangan real positif jika dan hanya
jika a adalah bilangan real yang negatif
Naratif:
Invers dari semua bilangan real yang negatif
adalah anggota dari bilangan real positif
DEFINISI 2.3
a, b R, a – b P a b b a
Simbolik:
Untuk semua bilangan Real, misalkan a dan b. Pengurangan dari a oleh b menghasilkan bilangan Real positif jika dan hanya jika a lebih dari b atau b kurang dari a
Naratif:
Selisih dari dua bilangan real yang berbeda adalah anggota bilangan real positif
DEFINISI 2.4
a, b R, a – b P {0} a b b a
Simbolik:
Untuk semua bilangan Real, misalkan a dan b. Pengurangan dari a oleh b menghasilkan bilangan Real tidak negatif jika dan hanya jika a sama dengan b atau a lebih dari b atau b kurang dari a
Naratif:
Selisih dari dua bilangan real adalah anggota dari bilangan real tidak negatif
SIFAT 2.1
a, b P a b P
Simbolik:
Jika a dan b anggota bilangan real positif,
maka hasil penjumlahan a dan b anggota
bilangan positif juga
Naratif:
Operasi penjumlahan pada sistem bilangan
real positif bersifat tertutup
SIFAT 2.2
a, b P a b P
Simbolik:
Jika a dan b anggota bilangan real positif,
maka hasil perkalian a dengan b anggota
bilangan positif juga
Naratif:
Operasi perkalian pada sistem bilangan real
positif bersifat tertutup
SIFAT 2.3
a R a 0 a = 0 a 0
Simbolik:
Jika a anggota bilangan real, maka a bilangan negatif atau a sama dengan nol atau a bilangan positif
Naratif:
Sifat trikotomi dari bilangan real adalah bilangan negatif, bilangan nol atau bilangan positif
SIFAT 2.4
a, b R a b a = b a b
Simbolik:
Jika a dan anggota bilangan real, maka a
kurang dari b atau a sama dengan b atau a
lebih dari b
Naratif:
Sifat trikotomi dari dua bilangan real adalah
kurang dari, sama dengan atau lebih dari
SIFAT 2.5
a, b, c R, a b c b a b c
Simbolik:
Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan
real berurutan dan berbeda, maka b lebih
dari a dan b kurang dari c
Naratif:
Sifat dari tiga bilangan real berurutan yang
berbeda adalah lebih dari dan kurang dari
SIFAT 2.6
a, b, c R, a b c b a b c,
Simbolik:
Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan real berurutan dan dimungkinkan sama, maka b lebih dari atau sama dengan a dan b kurang dari atau sama dengan c
Naratif:
Sifat dari tiga bilangan real berurutan adalah lebih dari atau sama dengan dan kurang dari atau sama dengan
TUGAS KELOMPOK
Kel I : (Teorema 2.1 dan 2.2)
Kel II : (Teorema 2.3 dan 2.4)
Kel III : (Teorema 2.5 dan 2.6)
Kel IV : (Teorema 2.7 dan 2.8)
Kel V : (Teorema 2.9 dan 2.10)
Kel VI : (Teorema 2.11 dan 2.12)
Kel VII : (Teorema 2.13 dan 2.14)
Kel VIII : (Teorema 2.15 dan 2.16)
Kel IX : (Teorema 2.17 dan 2.18)
Kel X : (Teorema 2.19 dan 2.20)
TEOREMA 2.1
a R, a > 0 1/a > 0
Simbolik:
Jika a anggota bilangan real positif, maka hasil pembagian satu oleh a adalah bilangan positif juga.
Naratif:
Hasil satu oleh semua bilangan real positif adalah bilangan positif juga
TEOREMA 2.2
a R, a < 0 1/a < 0
Simbolik:
Jika a anggota bilangan real negatif, maka hasil pembagian satu oleh a adalah bilangan negatif juga.
Naratif:
Hasil satu oleh semua bilangan real negatif adalah bilangan negatif juga
TEOREMA 2.3
a, b, c R, a > b b > c a > c
Simbolik:
Jika a, b dan c anggota bilangan real, a lebih
dari b dan b lebih dari c maka a lebih dari c
Naratif:
Jika terdapat tiga bilangan real berurutan
secara menurun, maka tanda hubung
ketidaksamaannya adalah lebih dari
TEOREMA 2.4
a, b, c R, a < b b < c a < c
Simbolik:
Jika a, b dan c anggota bilangan real, a kurang dari b dan b kurang dari c maka a kurang dari c
Naratif:
Jika terdapat tiga bilangan real berurutan secara naik, maka tanda hubung ketidaksamaannya adalah kurang dari
TEOREMA 2.5
a, b, c R, a > b a + c > b + c
Simbolik:
Jika a, b, c anggota bilangan real, a lebih dari b, maka hasil penjumlahan a dan c lebih dari hasil penjumlahan b dan c
Naratif:
Jika dua bilangan real dengan tanda hubung lebih dari ditambah dengan bilangan real lainnya, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.6
a, b, c R, a < b a + c < b + c
Simbolik:
Jika a, b, c anggota bilangan real, a kurang dari b, maka hasil penjumlahan a dan c kurang dari hasil penjumlahan b dan c
Naratif:
Jika dua bilangan real dengan tanda hubung kurang dari ditambah dengan bilangan real lainnya, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.7
a, b, c R, a > b c > 0 a • c > b • c
Simbolik:
Jika a, b, c anggota bilangan real, a lebih dari b dan c bilangan real positif, maka hasil perkalian a dengan c lebih dari hasil perkalian b dengan c
Naratif:
Jika dua bilangan real dengan tanda hubung lebih dari dikalikan dengan bilangan real positif, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.8
a, b, c R, a < b c > 0 a • c < b • c
Simbolik:
Jika a, b, c anggota bilangan real, a kurang dari b dan c bilangan real positif, maka hasil perkalian a dengan c kurang dari hasil perkalian b dengan c
Naratif:
Jika dua bilangan real dengan tanda hubung kurang dari dikalikan dengan bilangan real positif, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.9
a, b, c R, a > b c < 0 a • c < b • c
Simbolik:
Jika a, b, c anggota bilangan real, a lebih dari b dan c bilangan real negatif, maka hasil perkalian a dengan c kurang dari hasil perkalian b dengan c
Naratif:
Jika dua bilangan real dengan tanda hubung lebih dari dikalikan dengan bilangan real negatif, maka tanda hubung ketidaksamaannya berubah menjadi kurang dari
TEOREMA 2.10
a, b, c R, a < b c < 0 a • c > b • c
Simbolik:
Jika a, b, c anggota bilangan real, a kurang dari b dan c bilangan real negatif, maka hasil perkalian a dengan c lebih dari hasil perkalian b dengan c
Naratif:
Jika dua bilangan real dengan tanda hubung kurang dari dikalikan dengan bilangan real negatif, maka tanda hubung ketidaksamaannya berubah menjadi lebih dari
TEOREMA 2.11
a, b, c, d R, a > b c > d a + c > b + d
Simbolik:
Jika a, b, c, d anggota bilangan real, a lebih dari b dan c lebih dari d maka penjumlahan a dan c lebih dari b dan c
Naratif:
Jika terdapat dua kelompok bilangan real dengan tanda ketidaksamaan yang sama yaitu lebih dari dan bilangan yang seletak dijumlahkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.12
a, b, c, d R, a < b c < d a + c < b + d
Simbolik:
Jika a, b, c, d anggota bilangan real, a kurang dari b dan c kurang dari d maka penjumlahan a dan c kurang dari b dan c
Naratif:
Jika terdapat dua kelompok bilangan real dengan tanda ketidaksamaan yang sama yaitu kurang dari dan bilangan yang seletak dijumlahkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.13
a, b R, a b 0 a 0 b 0
Simbolik:
Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan positif, maka a dan b adalah bilangan positif juga
Naratif:
Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan positif, maka kedua bilangan tersebut adalah bilangan positif juga
TEOREMA 2.14
a, b R, a b 0 a < 0 b < 0
Simbolik:
Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan positif, maka a dan b adalah bilangan negatif
Naratif:
Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan positif, maka kedua bilangan tersebut adalah bilangan negatif
TEOREMA 2.15
a, b R, a b < 0 a > 0 b < 0
Simbolik:
Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan negatif, maka a bilangan positif dan b adalah bilangan negatif
Naratif:
Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan negatif, maka salah satu dari bilangan tersebut adalah bilangan positif dan yang lainnya negatif
TEOREMA 2.16
a, b R, a b < 0 a < 0 b > 0
Simbolik:
Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan negatif, maka a bilangan negatif dan b adalah bilangan positif
Naratif:
Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan negatif, maka salah satu dari bilangan tersebut adalah bilangan negatif dan yang lainnya positif
TEOREMA 2.17
a, b R, 0 > a > b a2 < b2
Simbolik:
Jika a, b anggota bilangan real negatif, a lebih dari b, maka kuadrat dari a nilainya kurang dari kuadrat b.
Naratif:
Jika dua bilangan real negatif dengan tanda hubung lebih dari dikuadratkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya berubah menjadi kurang dari
TEOREMA 2.18
a, b R, 0 < a < b a2 < b2
Simbolik:
Jika a, b anggota bilangan real positif, a kurang dari b, maka kuadrat dari a nilainya kurang dari kuadrat b.
Naratif:
Jika dua bilangan real positif dengan tanda hubung kurang dari dikuadratkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah
TEOREMA 2.19
a, b R, a > b a > ½ (a + b) > b
Simbolik:
Jika a, b adalah bilangan real, a lebih dari b, maka setengah dari hasil penjumlahan a dan b terletak diantara a dan b dengan tanda hubung lebih dari
Naratif:
Jika dua bilangan real dihubungkan dengan tanda lebih dari, maka setengah dari hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut terletak diantaranya dan tidak mengubah tanda ketidaksamaannya
TEOREMA 2.20
a, b R, a < b a < ½ (a + b) < b
Simbolik:
Jika a, b adalah bilangan real, a kurang dari b, maka setengah dari hasil penjumlahan a dan b terletak diantara a dan b dengan tanda hubung kurang dari
Naratif:
Jika dua bilangan real dihubungkan dengan tanda kurang dari, maka setengah dari hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut terletak diantaranya dan tidak mengubah tanda ketidaksamaannya