-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 10 -
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- uvodna razmatranja
- tok Φ gustoća toka B i jakost magnetskog polja H
- homogeno i nehomogeno magnetsko polje
- zakon protjecanja
-magnetsko polje ravnog vodiča
-Biot-Savartov zakon
Tema 11 - OSNOVNE VELIČINE I OPIS MAGNETSKIH POLJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 11 -
učinci magnetskog polja
Uvod u magnetska polja (1)
učinci električne struje
toplinski
tRIQ 2
toplinska energija
magnetski
l
u ldHI
strujno protjecanje
kemijski
tIam elektrokemijski ekvivalent masa
lIBF
mehaničke sile
dt
dNe
elektromagnetska indukcija
osnovni učinci magnetskog polja sadržani su u dinamici elektromagnetskih polja kao
izraz predstavlja zakon protjecanja koji povezuje električna i magnetska polja i taj zakon
pokazuje da tamo gdje postoji određeno strujno protjecanje Iu nastaju i vrtlozi magnetskog polja l
u dlHI
ldH
bull Navedeni su osnovni učinci električne struje među kojima je i magnetsko polje
bull sila koja se javlja kada se
vodić protjecan strujom nalazi
u magnetskom polju
bull inducirani napon zbog
promijene magnetskog toka
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 12 -
S
N
N
S
N S
N
S
magnetska os
neutralna
zona Magnetske silnice elektromagneta prikazane uz pomoć
željezne piljevine
magnetska sila je vektorska veličina
silnice magnetskog polja opisuju veličinu i smjer
magnetske sile
silnice se izvan magneta prostiru od N ka S a
unutar magneta od S ka N
Magnetske silnice (1)
elektromagnet je magnetski materijal omotan električnom
žicom kroz koju prolazi struja
Magnetskim silnicama opisujemo magnetsko
polje u prostoru
na sl112 prikazane su silnice magnetskog
polja kao posljedica protoka struje I
NS
NS
NS
I
Sl112 Silnice magnetskog polja ravnog
vodiča protjecanog strujom I
I
pravilo desne ruke kaže da ako nam
ispruženi palac pokazuje smjer struje
tada savinuti prsti pokazuju smjer
kružnih silnica magnetskog polja
Pravilo prstiju desne ruke
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 13 -
dtedilidt
de
WbsVte ][][][
e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka
pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu
nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ
Weber (voltekunda)
magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I
Magnetski tok Φ
Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t
QI
to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja
veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ
više zavoja jače magnetsko polje
unutar svitka u sredini polje je homogeno a
izvan svitka polje je nehomogeno
Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj
vodljive električne žice u zraku ili oko nekog
magnetskog materijala
Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog
električnom strujom
na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak
protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 14 -
S
S B
α Φ
Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje
Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ
u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica
toka Φ
na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po
iznosu orijentaciji i smjeru
SB
SB 0
vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ
po površini S
konstB
za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu
površine S tada vrijedi
SB
SB
i vektora produkt skalarni
cos
SB0
ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice
magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B
u slijedećem obliku
Tm
sV
m
Wb
SB
][
][
][
][22
(Tesla)
prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B
(111)
cos SB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 15 -
Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje
U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost
na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a
posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i
vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A
SSS
dSBSdBd cos
ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi
dS
dS
α
S
B
A
Φ
n
Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja
ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za
tok Φ može pisati
cos BBn
za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti
diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i
gustoće toka B može pisati slijedeći izraz
SdBd
dS - infinitezimalno mali element površine
dΦ - diferencijal toka
(114)
konstB
S
dSB cos S
n dSB (115)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 11 -
učinci magnetskog polja
Uvod u magnetska polja (1)
učinci električne struje
toplinski
tRIQ 2
toplinska energija
magnetski
l
u ldHI
strujno protjecanje
kemijski
tIam elektrokemijski ekvivalent masa
lIBF
mehaničke sile
dt
dNe
elektromagnetska indukcija
osnovni učinci magnetskog polja sadržani su u dinamici elektromagnetskih polja kao
izraz predstavlja zakon protjecanja koji povezuje električna i magnetska polja i taj zakon
pokazuje da tamo gdje postoji određeno strujno protjecanje Iu nastaju i vrtlozi magnetskog polja l
u dlHI
ldH
bull Navedeni su osnovni učinci električne struje među kojima je i magnetsko polje
bull sila koja se javlja kada se
vodić protjecan strujom nalazi
u magnetskom polju
bull inducirani napon zbog
promijene magnetskog toka
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 12 -
S
N
N
S
N S
N
S
magnetska os
neutralna
zona Magnetske silnice elektromagneta prikazane uz pomoć
željezne piljevine
magnetska sila je vektorska veličina
silnice magnetskog polja opisuju veličinu i smjer
magnetske sile
silnice se izvan magneta prostiru od N ka S a
unutar magneta od S ka N
Magnetske silnice (1)
elektromagnet je magnetski materijal omotan električnom
žicom kroz koju prolazi struja
Magnetskim silnicama opisujemo magnetsko
polje u prostoru
na sl112 prikazane su silnice magnetskog
polja kao posljedica protoka struje I
NS
NS
NS
I
Sl112 Silnice magnetskog polja ravnog
vodiča protjecanog strujom I
I
pravilo desne ruke kaže da ako nam
ispruženi palac pokazuje smjer struje
tada savinuti prsti pokazuju smjer
kružnih silnica magnetskog polja
Pravilo prstiju desne ruke
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 13 -
dtedilidt
de
WbsVte ][][][
e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka
pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu
nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ
Weber (voltekunda)
magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I
Magnetski tok Φ
Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t
QI
to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja
veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ
više zavoja jače magnetsko polje
unutar svitka u sredini polje je homogeno a
izvan svitka polje je nehomogeno
Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj
vodljive električne žice u zraku ili oko nekog
magnetskog materijala
Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog
električnom strujom
na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak
protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 14 -
S
S B
α Φ
Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje
Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ
u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica
toka Φ
na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po
iznosu orijentaciji i smjeru
SB
SB 0
vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ
po površini S
konstB
za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu
površine S tada vrijedi
SB
SB
i vektora produkt skalarni
cos
SB0
ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice
magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B
u slijedećem obliku
Tm
sV
m
Wb
SB
][
][
][
][22
(Tesla)
prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B
(111)
cos SB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 15 -
Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje
U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost
na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a
posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i
vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A
SSS
dSBSdBd cos
ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi
dS
dS
α
S
B
A
Φ
n
Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja
ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za
tok Φ može pisati
cos BBn
za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti
diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i
gustoće toka B može pisati slijedeći izraz
SdBd
dS - infinitezimalno mali element površine
dΦ - diferencijal toka
(114)
konstB
S
dSB cos S
n dSB (115)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 12 -
S
N
N
S
N S
N
S
magnetska os
neutralna
zona Magnetske silnice elektromagneta prikazane uz pomoć
željezne piljevine
magnetska sila je vektorska veličina
silnice magnetskog polja opisuju veličinu i smjer
magnetske sile
silnice se izvan magneta prostiru od N ka S a
unutar magneta od S ka N
Magnetske silnice (1)
elektromagnet je magnetski materijal omotan električnom
žicom kroz koju prolazi struja
Magnetskim silnicama opisujemo magnetsko
polje u prostoru
na sl112 prikazane su silnice magnetskog
polja kao posljedica protoka struje I
NS
NS
NS
I
Sl112 Silnice magnetskog polja ravnog
vodiča protjecanog strujom I
I
pravilo desne ruke kaže da ako nam
ispruženi palac pokazuje smjer struje
tada savinuti prsti pokazuju smjer
kružnih silnica magnetskog polja
Pravilo prstiju desne ruke
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 13 -
dtedilidt
de
WbsVte ][][][
e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka
pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu
nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ
Weber (voltekunda)
magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I
Magnetski tok Φ
Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t
QI
to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja
veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ
više zavoja jače magnetsko polje
unutar svitka u sredini polje je homogeno a
izvan svitka polje je nehomogeno
Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj
vodljive električne žice u zraku ili oko nekog
magnetskog materijala
Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog
električnom strujom
na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak
protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 14 -
S
S B
α Φ
Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje
Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ
u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica
toka Φ
na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po
iznosu orijentaciji i smjeru
SB
SB 0
vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ
po površini S
konstB
za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu
površine S tada vrijedi
SB
SB
i vektora produkt skalarni
cos
SB0
ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice
magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B
u slijedećem obliku
Tm
sV
m
Wb
SB
][
][
][
][22
(Tesla)
prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B
(111)
cos SB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 15 -
Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje
U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost
na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a
posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i
vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A
SSS
dSBSdBd cos
ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi
dS
dS
α
S
B
A
Φ
n
Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja
ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za
tok Φ može pisati
cos BBn
za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti
diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i
gustoće toka B može pisati slijedeći izraz
SdBd
dS - infinitezimalno mali element površine
dΦ - diferencijal toka
(114)
konstB
S
dSB cos S
n dSB (115)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 13 -
dtedilidt
de
WbsVte ][][][
e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka
pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu
nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ
Weber (voltekunda)
magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I
Magnetski tok Φ
Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t
QI
to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja
veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ
više zavoja jače magnetsko polje
unutar svitka u sredini polje je homogeno a
izvan svitka polje je nehomogeno
Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj
vodljive električne žice u zraku ili oko nekog
magnetskog materijala
Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog
električnom strujom
na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak
protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 14 -
S
S B
α Φ
Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje
Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ
u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica
toka Φ
na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po
iznosu orijentaciji i smjeru
SB
SB 0
vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ
po površini S
konstB
za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu
površine S tada vrijedi
SB
SB
i vektora produkt skalarni
cos
SB0
ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice
magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B
u slijedećem obliku
Tm
sV
m
Wb
SB
][
][
][
][22
(Tesla)
prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B
(111)
cos SB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 15 -
Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje
U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost
na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a
posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i
vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A
SSS
dSBSdBd cos
ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi
dS
dS
α
S
B
A
Φ
n
Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja
ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za
tok Φ može pisati
cos BBn
za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti
diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i
gustoće toka B može pisati slijedeći izraz
SdBd
dS - infinitezimalno mali element površine
dΦ - diferencijal toka
(114)
konstB
S
dSB cos S
n dSB (115)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 14 -
S
S B
α Φ
Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje
Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ
u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica
toka Φ
na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po
iznosu orijentaciji i smjeru
SB
SB 0
vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ
po površini S
konstB
za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu
površine S tada vrijedi
SB
SB
i vektora produkt skalarni
cos
SB0
ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice
magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B
u slijedećem obliku
Tm
sV
m
Wb
SB
][
][
][
][22
(Tesla)
prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B
(111)
cos SB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 15 -
Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje
U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost
na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a
posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i
vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A
SSS
dSBSdBd cos
ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi
dS
dS
α
S
B
A
Φ
n
Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja
ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za
tok Φ može pisati
cos BBn
za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti
diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i
gustoće toka B može pisati slijedeći izraz
SdBd
dS - infinitezimalno mali element površine
dΦ - diferencijal toka
(114)
konstB
S
dSB cos S
n dSB (115)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 15 -
Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje
U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost
na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a
posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i
vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A
SSS
dSBSdBd cos
ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi
dS
dS
α
S
B
A
Φ
n
Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja
ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za
tok Φ može pisati
cos BBn
za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti
diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i
gustoće toka B može pisati slijedeći izraz
SdBd
dS - infinitezimalno mali element površine
dΦ - diferencijal toka
(114)
konstB
S
dSB cos S
n dSB (115)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 16 -
Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)
Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno
vezana sa protokom struje I
na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao
posljedica struje I
Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta
prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu
za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l
NIH
NI lHVm
R
l
H∙l
I
I
Pravilo prstiju
desne ruke
magnetomotorna sila magnetski napon
može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te
uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H
][
][
m
A
l
IH
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 17 -
Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H
i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se
torusni svitak sl1121
l
SNI 0
silnicezatvoreneduljinal
specijalnim mjerenjem induciranog napona u
pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski
tok torusnog svitka vrijedi
l
NI
S
0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka
0
l
NIBB
S
uz relaciju
HB
0
skalar
vektoriHiB
0
H
slijedi izraz
Torusni svitak- odnos vektora H i B
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
(118)
(119)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 18 -
H1H2 H3
H4dl1
dl2 dl3
dl4
I
Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice
nehomogenog magnetskog polja
Zakon protjecanja (1)
B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj
duljini silnice
zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog
polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl
magnetska uzbuda konstantna (H=konst)
ldHdVm
dVm - magnetski napon
za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od
struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl
Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona
elektromagnetkog polja
a izraz za ukupni magnetski napon za
zatvorenu silnicu l je l
m ldHV
izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju
obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a
prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu
l
l IldH
strujno protjecanje
Definicija zatvoreni linijski integral
magnetske uzbude H po bilo kojoj
zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj
sumi struja koje linija l obuhvaća
u
l
i
n
i
IldHNIalg
lHNI
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 19 -
zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve
točke na silnici radijusa r H=konst
Magnetsko polje ravnog vodiča (1)
Traži se magnetska uzbuda H i magnetska
gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog
strujom I na udaljenosti r od osi vodiča
r
l
I
H
dlA
Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog
ravnog vodiča protjecanog strujom
1cos 0
ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici
slijedi prema zakonu protjecanja
IldHl
l
i uz H=konst u svim točkama
kružne magnetske silnice slijedi IdlH
l
IrH 2
ako za silnicu l radijusa r vrijedi
tada slijedi
te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje
izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
rl 2
m
A
r
IH
2
HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T
r
IB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 110 -
struja I je ukupna struja kroz cijeli
presjek vodiča )( 2R
struja malo i predstavlja struju
koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi
2
2
2 rR
IrJi
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)
Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124
r
r
R
i
HI
Sl1124 Magnetsko polje unutar
vodiča protjecanog strujom I
2R
IJ
gustoća struje J za istosmjernu
struju je konstantna po cijelom
presjeku vodiča
(1116)
2
2
R
rIi (1117)
te je konačni izraz za veličinu
magnetskog polja unutar vodiča
mAr
R
IH
2 2
(1118)
r
IHB
2104 7
0
a za gustoću magnetsku polja B vrijedi
][ 102 7T
r
IB
(1120)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 111 -
Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog
strujom I
r
H (B)
r
IH
2
2 2
rR
IH
R
IH
2
r R r
R
IB 7102
Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča
Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)
prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko
polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog
polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 112 -
Biot - Savartov zakon
Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj
silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora
na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana
strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH
r
α
0dl
I
Magnetsko polje u točki A
prostora kao posljedica struje I
nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može
se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan
strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan
doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H
Biot-Savartov zakon
za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H
mogu se pisati izrazi
I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča
r - udaljenost dl od točke A
α - kut između dl i spojnice r -OA
dlr
IH
l
sin
4 2
2
sin
4
1
r
dlIdH
ovim zakonom i principom superpozicije može se
izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog
vodiča
smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog
produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r
r
rld
r
IHd A
24
0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 113 -
RRr
RIdl
r
I
r
dlIB
2
2
0
2
0
2
2
0
4
2sin
4
sin
4
sin
2
0 sin
2 r
RIB
slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku
indukciju B
222 xRr
rRsin
ako imamo N zavoja i
ako prema slici vrijedi 23
)(2 22
2
0
XR
RNIB
za točku M (X=0) u središtu
kružnog zavoja slijedi R
NIB
2
00
I
dl
dl
R
r
x x
y
dBdBy
dBx
M
prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B
24 r
dlIdH
2
0
4 r
dlIdB
ydB
sin
4sincos
2
0
r
dlIdBdBdBx
komponente u smjeru y se poništavaju
za komponente u smjeru osi x vrijedi
Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 114 -
2
0 sin
2 r
RIB
222 xRr
rRsin
uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu
kružnog zavoja i (X=0)
Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I
r
A
HI
I
H
l
prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija
2
sin
4 r
dlIdH
R
NIB
2
00
bull I∙dl - element struje kružnog zavoja
r - udaljenost elemenata dl od središta
bull kut između r i dl je 90 te vrijedi
slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet
polja H u središtu kružnog zavoja
r
r
Idl
r
IH
l
244 22
1sin
r
IH
2
uz N zavoja vrijedi za
jakost mag polja
r
NIH
2
a za gustoću
magnetskog toka u
vakuumu i u središtu A
kružnog zavoja slijedi r
NIB
2
0
a to je upravo granični slučaj iz
prethodnog primjera za vrijednost X=0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 115 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- sila na električne naboje u magnetskom polju
- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju
- magnetski krug
- serijski i pralelni spoj induktiviteta
- induktivitet zračnog voda i kabela
Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 116 -
Qt
lBl
t
QBF
u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)
Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se
promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se
promatrao kao kruto tijelo
kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi
u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF
ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada
slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na
naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju
B
F
v
+Q
Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
B
F
v
-Q
Sl122 Sila na negativni naboj koji se
kreće u magnetskom polju
v
QvBF (121)
smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana
ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i
ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja
pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje
smjer sile F
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 117 -
o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice
Homogeno magnetsko polje (1)
Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u
svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I
l - duljina vodiča u homogenom polju
I - struja
B - gustoća silnica magnetskog polja
][ NlIBF (125)
I
lF
BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I
u magnetskom polju indukcije B
ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju
te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku
sin QvBF )( BvQF
(122) (123)
(124)
Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)
lIBtIt
lBQvBF
v
Q
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 118 -
Homogeno magnetsko polje (2)
smjer sile F određuje se upravo prema pravilu
lijevog dlana
- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na
dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje
tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F
DLAN - polje B
PRSTI - struja I
PALAC - sila F B
F
I (l)
Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana
DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan
strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju
B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana
2 slučaj - vodič nije okomit na
silnice magnetskog polja B
o90
B
F
I (l)
α
Vektori B i l nisu pod
pravim kutem
slijede izrazi za silu na vodič protjecan
strujom I koji se nalazi u magnet polju
gustoće B
][ sinBF NlI ][ NBlIF
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 119 -
Nehomogeno magnetsko polje
Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu
konstantni u svakoj točki polja
u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I
s obzirom da se radi sa promijenjivim
veličinama potrebno je u ovom slučaju
analizirati silu sa diferencijalnim veličinama
na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič
duljine l nije okomit na silnice
sin dlIBFd
za prikazani slučaj potrebno je izraze za
silu ((126) i (127)) prikazati u
diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba
α
dF B
A
dl
Sl128 Sila na vodič u nehomogenom
magnetskom polju
za ukupnu silu F vrijedi
l
dlIBF sin
BldIFd
a izraz za diferencijal sile u vektorskom
obliku je slijedeći (129)
I
l
dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno
relacija i u integralnom obliku (1210)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 120 -
Sile između dva paralelna vodiča (1)
Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna
vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru
1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod
utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi
B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1
zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru
sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče
I1 I2
F1
B2
Ar
H l
Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom
u istom smjeru
promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od
struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1
I1 I2
r
F2
B1
A
H l
Sl1210 Sila F na vodiče protjecane
strujom u različitim smjerovima
primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima
promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)
na vodič protjecan strujom I2 duljine l2
izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem
magnetskog polja B1 vodiča 1 je
2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1
l2 - duljina vodiča 2
zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima
tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 121 -
Sile između dva paralelna vodiča (3)
a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1
r
IB
2
11
ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za
magnetsku indukciju B2
r
IB
2
22
221
2l
r
IIF
i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za
silu između dva paralelna vodiča
r
II
l
F
2
21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi
Nm
J
m
sAVmA
m
sVF
2
sada se može definirati i fizikalna
jedinica za silu prema izrazu Njutn
ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna
vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra
u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r
IIF 217102
slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla
Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na
isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu
prema relaciji F=B∙I∙l
može se napisati
I
F
lI
FB
T
m)(A
N
Definicija 1T magnetska indukcija
je brojčano jednaka 1 T ako na
vodič dužine 1 m pri struji od 1 A
djeluje sila od 1 N
a uz I=1A i l=1m
slijedi
i definicija za 1T je FB
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 122 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)
Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda
R ndash radijus kružnih vodiča
d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)
xdx - dio razmaka između vodiča
dS - diferencijal površine izmađu vodiča
μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala
l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)
N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)
Bu=B1+B2
B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1
B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2
Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja
Bva -dio magnetskih silnica u zraku
između vodiča
B
Buv -magnetske silnice unutar vodiča
I
B dS = ldx
l
I
x dx d
Bu
B2 B1
R
0
O1 O2
Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne
raspodjele magnetske indukcije B
1 2
ukupna vanjska magnetska indukcija
dobije se superponiranjem magnet toka
lijevog i desnog vodiča na slici te prema
zakonu protjecanja vrijedi
xdx
IBuv
11
2
0
)(22
00
xd
I
x
IBuv
za ukupni magnetski tok Φ
kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx
xdx
lIdxlBd u
11
2
0
R
RdlIu
ln0
R
dlIu ln0
uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 123 -
Induktivitet dvožičnog dalekovoda -
R
dl
ILV ln0
izraz za vanjski induktivitet
dvožičnog dalekovoda je
i uz 7
0 104 R
dlLV ln104 7
Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet
Idr
dr
dS
dΦ
l
R
r
Prikaz magnetskog toka Φ u
unutarnjem presjeku vodiča
Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča
gustoća struje J po presjeku
vodiča je konstantna ][ 22 m
A
R
IJ
unutar vodiča za
rltR vrijedi za struju
polumjera r 2
22
R
rIπrJIr
2
2
R
rII r
u izraz za mag
uzbudu Hr unutar
vodiča πr
IH r
r
2
uvrsti izraz za
struju Ir slijedi
rR
rIH r
2
12
2 πR
rIH r
22
ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B
rR
IB -
r 2
7102
ako se još proračuna i
ulančani tok Ψ=Φ N kao lI
2
10 7
za ukupni unutarnji induktiv Lun
za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun
i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog
induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H
R
dlLLL unv 101ln4 7
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 124 -
magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične
kružnice
r
IH
21
r
I
r
IB
7
01 1022
Induktivitet koaksijalnog kabela (1)
r1
r2 dr
dr r0
dS = lmiddotdr
r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča
r0 - radijus punog vodiča
Prikaz karakterističnih veličina
presjeka kabela
uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te
su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam
Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i
oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični
vodič radijusa r1 i r2
kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič
u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru
na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1
i gustoću magnetskog polja B1
ako se površina ds definira kao
tada za magnetski tok Φ vrijedi
drlds r
drIld 7
1 1020
17
1 ln102r
rIl
ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz
L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0
17
1 ln102r
rL L1 - po jedinici duljine
ako se još doda induktivitet
magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za
ukupni induktivitet Lu
po jedinici duljine
kabela mHLu
2
110 7
m
Hr
rLLL uu 10
2
1ln2 7
0
1
1
induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 125 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- magnetska provodnost μ
- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali
- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza
- zakon loma magnetskih silnica
Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 126 -
apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska
vodljivost
vodljivost vakuuma
Magnetska provodljivost μ
][ 0 AmVs
r (131)
ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ
AmVs 104 7
0
(132) 1r
(133)
magnetska susceptibilnost
veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj
Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB
vakuum (μv) - 00 1 rv
dijamagnetski materijali (μd )
- (srebro bakar živa)
1 rd0d
veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala
paramagnetski materijali (μp)
- (aluminij platina)
1 rp0p konstrp
feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)
1 rf konstrf 0p
konstrd
za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 127 -
Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv
Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se
sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1
odnos gustoće magnetskog polja
B i magnetske uzbude H je
konstantan HB rv 00
ako se promatra zavisnost veličina
B i H u vakuumu dobije se linearna
karakteristika prikazana na sl2
Zavisnost vodljivosti μ u
vakuumu o veličini H(B)
B
H
HB 0B-H karakteristika
Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B
o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali
To su slabo izraženi magnetski
materijali za koje vrijedi
promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno
prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA
proporcionalnost između H i Hm
1
konstrp
rp
HH pm
κ - magnetska susceptibilnost
HHB rpp
rp
00 1 HB rp 0
0 konstrpp
ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je
zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i
udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0
μp i μ0 se neznatno razlikuju
0 p
=1
gt1
0 konstH
B
H
B
)(BH
1rp HB p
HB 0
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 128 -
Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali
1
konstrd
rd
To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1
bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije
0 rdd1rdi
vektori Hu i H su suprotnog
smjera a za odnos B i H vrijedi HB d
bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja
magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude
lt1
za paramagnetske materijale vrijedi
za vakuum vrijedi
za dijamagnetske materijale vrijedi
)(BH
0
0 p
0 d
Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale
dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene
materijale nacrtane su prema relaciji
H
B
100 rH
B
p 10
)1(0 d
01 prp )1(0 pH
B
01 0 rv 0H
B
01 drd )1(0 pH
B
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 129 -
Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala
Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)
H
Hm
Hu
vanjska uzbuda
l
NIH
unutarnja uzbuda
Hm=f (materijala)
elementarna strujna petlja je
rezultat feromagnetskih
materijala
Sl135 Skica magnetskih uzbuda u
feromagnetskom materijalu
u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u
vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi
B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu
Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane
unutarnje uzbude H
Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih
elementarnih struja nije konstantna i naziva
se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja
magnetska polarizacija Bm
mHH 0
mm HμB 0
mHHB 00
HB 00 uz uvjet da je i
κf - mag susceptibilnost feromtvari
slijedi HHHB f )1()( 00
μrf
i konačno HB rf 0
faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja
elementarnih strujnih petlji unutar materijala
vanjska uzbuda
konstfe
Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala
1
konstrf
rf
HH fm
mBBB 0
frf 1
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 130 -
B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l
NIH
kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja
koja je prikazana na slici
Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika
konstH
Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude
H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna
0
B0=μ0middotH
Bm=μ0middotHu
B
H
B
I
II
III
- krivulja magnet indukcije
kao doprinos vanjske
uzbude u vakuumu
- krivulja magnet indukcije
kao rezultat djelovanja
unutarnjeg magnet polja
materijala
- rezultantna krivulja
magnet indukcije
feromagnet materijala
imamo tri karakteristična područja krivulje
1) područje I - izrazito naglog porasta B
2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje
3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0
kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća
magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje
kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl
povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm
u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do
magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala
B = f(H) μfe ne konst
B = μ0 ∙ μrf ∙ H
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 131 -
ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA
nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm
preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm
Magnetska histereza
Hm H
Bm
B
-Hm
-Bm
R
Br
C
Hc
R
C
M
M
Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda
Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u
materijalu uz H=0)
Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se
poništi zaostali magnetizam u materijalu)
Prikaz krivulje magnetske histereze
Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale
za feromagnet materijale magnet
provodljivost nije konstantna μrfnekonst
a B-H funkcija dana je na slici1
HHB rf 0
za odnos B i H i za veličinu μrf
vrijede relacije
H
Brf
0
0 H
B
ΔH
ΔH
ΔB
ΔB
ΔBi
ΔHi
α
Hm H
micro
microm
microimicro0
0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)
Sl1 Krivulja B=f(H) za
feromagnet materijal
μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina
tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi
tgHk
Brf
μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost
za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 132 -
da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od
specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja
Gubici vrtložnih struja Wv
Gubici histereze i vrtložnih struja (3)
Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu
nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem
se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič
električne struje vrtložne električne strujnice koje
stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija
)( 2 tRIfWv
struja vrtložnih električnih silnica
otpor feromagnet materijala
vrijeme promatranja pojave
iN
S B i
Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu
Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula
Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)
Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]
η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)
61 JBW mh (džula)
η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo
za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala
n - broj ciklusa promijene magnet toka
][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze
može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o
intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja
Gubici histereze
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 133 -
Zakon loma magnetskih silnica (1)
U praksi je često potrebno analizirati pojave na
prijelazu silnica magnet polja između različitih
magnet materijala
potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-
silnica na prijelazu između magnet materijala sa
različitim magnet provodljivostima μ
na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica
vektora H
21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S
mora iz nje i izlaziti te za B-linije
vrijedi za ortogonalne članove
za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je
ul IdlH
021 lHlH tt21 tt HH
μ1α1
B1 Bn1
B2Bn2
α2
μ2
a b
d c
α1
H1
Ht1
H2
Ht2
α2
n n
S
Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala
slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki
222
111
cos
cos
BB
BB
n
n
222
111
sin
sin
HH
HH
t
t
kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim
materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica
prema slici se mogu pisati izrazi
μ1 μ2
2
2
1
1
tgtg
22
22
11
11
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
H
B
H
B
H
B
H
B
t
n
t
n
2
1
2
1
tg
tg
tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala
odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 134 -
u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH
struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV
U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale
elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga
prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke
silnice se zatvaraju unutar svitka
tok Φ je homogen unutar svitka i
dr ltlt l
ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu
promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku
dt
dNe
Općenito
Magnetski krug (1)
Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo
ponašanje elektromagnetskih pojava
magnetski krug se sastoji od
magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja
određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ
Torusni svitak
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 135 -
Magnetski krug (2)
][ Hl
SNI
pokazuje se da je tok Φ indirektno
proporcionalan duljini silnica l a direktno
proporcionalan s veličinama I N S i micro
S
l
N
μ
B Φ H
μ0
I
dt
dNe
Sl1313 Magnetski krug na primjeru
torusnog svitka
sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi
mR
s
l
NI
1
Rm
Θ
otpor magnetskog kruga VsA
magnetomotorna sila ][ AzmRNI
S
lRm
1
specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za
magnetski tok torusnog svitka vrijedi
(1338)
mm RR
NI
silnicezatvoreneduljinal
slijedi relacija zakona protjecanja
mRlHNI
magnetski napon Vm Θ
(1339)
(1340)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 136 -
a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila
Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati
će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora
I slučaj
NI
Proračun magnetskog kruga (1)
Očitavanja veličine B
uz poznatu veličinu H
sa krivulje
magnetiziranja
S
I
μΦ
N
l
=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru
transformatorske jezgre
SB
prvo se izračuna magnetska indukcija B
N
lHI
veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici
B
HH
B
0
a za mms Θ i struju I vrijedi
b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =
II slučaj
Očitavanja veličine B sa
krivulje magnetiziranja
B
HH
B
0
veličina magnet indukcije B očita se s
dijagrama B=f(H) na slici
l
NIH
prvi korak je izračun se magnetske uzbude H
SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 137 -
Složeni magnetski krug
S3
S3
S2
S1
S2
I
μ1
μ2 μ3
μ0
Φ
Nl4
Sl1215 Složeni magnetski krug sa više
serijski vezanih magnetskih otpora
Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz
krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale
1
2
3
B [T]
H [Am]H2 H1H3
B3
B2
B1
Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala
40332211 lHlHlHlHNI
prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216
dlHNI
nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 138 -
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
- elektromagnetska indukcija
- elektromagnetska samoindukcija
- elektromagnetska međuindukcija
-magnetska energija svitka
Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Materijali za studente - (akgod 20112012)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 139 -
V(-e)
N
S
Magnet
Ispitni
svitak
Elektromagnetska indukcija (1)
Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak
magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ
I ldH
N
S
i
v
i
vB
V
Ispitni
zavoj
Vodič
u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji
se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro
Promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem
magneta u odnosu
na svitak
promjenljivi magnetski
tok Φpro stvara se
pomicanjem vodića
u magnet polju
definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo
kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e
prema definiciji slijedi
i matematički izraz ][ Vdt
d
dt
dNe
dt
d
N
dNd
ulančani tok
broj zavoja svitka
promijena magnetskog toka u
vremenu
važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt
d
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 140 -
Elektromagnetska samoindukcija (1)
Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a
razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro
u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro
stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e
napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu
struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro
u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se
svitak i u njemu se inducira napon e koji drži
ravnotežu naponu izvora ui
~u
Φproi
e
N
izvorni i ispitni
svitak
ui = e
Svitak priključen na izvor izmjeničnog
napona ui i pojava samoindukcje
definicija elektromagnetske samoindukcije
Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi
magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako
stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e
na krajevima svitka
dt
dNe
prema zakonu elektromagnet
indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun
diR
Nd
m
mR
NI ][
2
Vdt
di
R
Ne
m
L
s
lRm
1 magnetski
otpor svitka
a veličina N2Rm predstavlja koeficijent
samoindukcije L prema izrazu ][
1
22
H
s
l
N
R
NL
m
[H] henri
napon samoindukcije e
(143)
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 141 -
IINL
slijedi drugi oblik izraza
za induktivitet L (145)
definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira
u svitku napon 1V
di
dteL
dt
diLe
A
sVHs
A
sV
di
dteL
Elektromagnetska samoindukcija (2)
L u izrazu (143) za konstantu L je
navedena mjerna jedinica Henri
te slijedi definicija jedinice 1H
s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi
oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak
mm R
NN
R
NL
2
ako se prema izrazu
(143) piše mm R
N
IR
NI
i ako za tok Φ
vrijedi
N∙Φ=Ψ - ulančani tok
i na kraju se dobije konačni izraz za
inducirani napon samoindukcije e (144)
][ Vdt
diLe
izrazi za elektromagnetsku
indukciju i samoindukciju
dt
dNe
dt
diLe (141) (144)
elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 142 -
Lenzovo pravilo (1)
LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način
smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski
tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je
uzrok nastanka napona e
e - mjerenja pokazuju da je inducirani
napon povezan sa promjenom glavnog
toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog
vijka
i - struja koju bi potjerao napon e stvara
prema pravilu desnog vijka dodatno
magnetsko polje dΦd
dΦd - pojava novog toka dΦd vezana
induciranim naponom e pravilom
desnog vijka
e
dΦd
dΦg
Φg
(i)
edΦd
dΦg
Φg
(i)
1Utjecaj porasta magnetskog
toka za dΦ na inducirani napon e
2Utjecaj smanjenja magnetskog toka
za dΦ na smjer induciranog napona e
Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju
na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon
e smjera prema pravilu lijevog vijka
inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka
vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne
promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag
indukcije i samoindukcije
mjerna jedinica za
konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu
struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 143 -
Napon pomicanja (1)
Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič
duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim
priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ
][ VlvBe
za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi
ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju
indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e
cossin lvBe
ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito
brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi
N
S
v
I
l
e
u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi
cossin dlvBde
ldBvde
)(
α
βl∙c
osβ v∙sinα
B
l
v
v
lVektorski dijagram B v l
l
ldBve
)( a za ukupni napon vrjedi
v
B
ds
dS
e
l
pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B
kako se vodič pomiče mijenja se i veličina
magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt
de
l ndash dužina vodiča
ds ndash diferencijal puta
dS ndashdiferenc površine
vndash brzina
B ndash magnet indukcija
vidi se da umnožak predstavlja
diferenacijal površine dS i slijedi
Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja
lds
lvBe
površina
Bldt
ds
dt
BdS
dt
de
put
v - brzina
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 144 -
opis fizikalne slike
prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala
svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega
teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka
kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču
koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je
pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE
Elektromagnetska međuindukcija (1)
~ e1
V e2
i2
i1
N1
N2
Φ1
Međuinduktivitet dvaju svitaka
izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u
kojem se nalazi i svitak 2
svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag
međuindukcije e2
definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje
koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt
matematička formulacija problema
mR
Ni 111 prema poznatoj relacij 1
11 di
R
Nd
m
mR
NI slijedi
a prema zakonu elektromagnetske indukcije
slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt
di
R
NNdi
R
N
dt
N
dt
dNe
mm
1 211
12122
dΦ1
M12
mR
NNMM 21
2112
dt
diMe 1
122 dt
diMe 2
211
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 145 -
Mjerna jedinica za koeficijent
međuindukcije M može se definirati kako
slijedi
sA
sV
di
dteM
definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja
jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V
Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2
Elektromagnetska međuindukcija (2)
Henri
2
11
mR
NL
2
22
mR
NL pokazano je već prije
da za L1 i L2 vrijedi i
2
21
2
2
2
2
121
mm R
NN
R
NNLLa L1∙L2 je
M2
HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan
relacijom
1
1212
1
12212
i
MM
i
MM
Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2
Φ1 - magnetski tok svitka 1
Φr - rasipni tok
kod realnih svitaka mora se još
uzeti u obzir moguće rasipanje
magnetskog polja Φ1 121 r
HLLkM 21
međuinduktivitet uz rasipanje
razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i
zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u
obzir sa konstantom magnetske veze k
21 LL
Mk
k=1 ndash za idealne prilike
klt1 ndash za realne prilike
a za faktor magnetske veze k
vrijedi relacija
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 146 -
ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo
ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo
ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka
uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka
na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M
i
i
i
e
e
e
3
2
1
Φ
Φ
Φ
M=(+)
M=(-)
Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ
različitih smjerova
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 147 -
Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju
Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)
na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju
na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka
pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
konst
a)
b)
Sl1412 Prikaz sukladno spojenih
svitaka u strujnom krugu
MMM
MMLLLu
2112
211221
MLLLu 221
U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka
Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju
na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju
na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju
i i i
L1 L2
Φ1
M
Φ2
M
L1 L2I I
Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu
konst
a)
b)
MMM
MMLLLu
2112
211221 MLLLu 221
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 148 -
S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s
sin slIBsFA
Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka
uz transformacije i slijedi
za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju
sin BBn SIBA n SBn
][JIA
Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi
Magnetska energija svitka
U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi
se sklopka S i prati se prijelazna pojava do
uspostave ravnoteže u električnom strujnom
krugu i energija koja se akumulira u svitku
+E
iL
RL
e
s
e ndash inducirani napon samoindukcije
i ndash trenutna vrijednost struje
iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi
za trenutnu snagu p i energiju dW
dtiedW
diferencijal energije u vremenu dt
L ndash induktivitet svitka
R ndash radni otpor svitka
e ndash elektromotorna sila
proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L
diiLdtidt
diLdW
dt
diLe uz slijedi za energiju diiLdW
II
iLdiiLW0
2
02
1
ukupna magenergija svitka dobije
se integriranjem od i=0 do i=I ][2
2
1JILWm
uz relaciju da je
IL
LIWm
2
2
1
2
1
C
QUQUCWel
222
22
slijedi
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 149 -
lHiN dBSd
Magnetska energija svitka (2)
proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)
diNdtidt
dNdtiedWm
dt
dNe
uz izraz slijedi
diNdWm
dBSlHdWm
V - volumen
mB
m dBHVW0
ukupna energija svitka dobije se integriranjem
magnet indukcije B od 0 do Bm te je
V
WW m
m
BH
mB
m dBB
W0
a za magnetsku energiju po
jedinici volumena slijedi dalje
][2
2
JB
W m
a nakon integriranja i korištenja
izraza slijedi za Wm
][22
2
JHHB
Wm
HB
i
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 150 -
jer je I1 konstantno
Magnetska energija sustava svitka (1)
Opisati će se primjeru dva svitka prema slici
prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren
2
2
111
ILWL
za magnetsku energiju WL1
svitka 1 sada slijedi
L
1
L2
M
I
1 I
2
Dva svitka protjecana strujom I1 i I2
1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno
od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1
tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2
uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi
0222 diLd
2
0
222
I
L idW i integriranjem ulančanog toka
od 0 do I2 konačno vrijedi 2
2
222
ILWL
ulančani tok drugog svitka vrijedi
treći korak porast struje i2 izazvat će i
promjenu ulančanog toka prvog svitka
Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet
energija međuinduktiviteta WM
21 IIMWM
21
2
22
2
11
22IIM
ILILWuk
a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi
2111 IMIL 1222 IMIL 22112211
2
1
22
II
IIWukWuk i
uz supstitucije
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 151 -
Serijski spoj induktiviteta
Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET
prema slici slijede početni električni uvjeti
321 iiii
struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka
naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora
321 eeeei
L1 L2
i
L3
e1 e2 e3
~ei
Prikaz serijskog spoja induktiviteta
dt
diLe
ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi
dt
diLLLeeee 321321
L
n
i
iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta
Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka
za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi
kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona
321 iiii
dt
di
dt
di
dt
di 321
2121 LLee
3131 LLee
3232 LLee
inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 152 -
Paralelni spoj induktiviteta (1)
prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu
početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga
321 LLLi eeee
naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki
struje svitaka se zbrajaju
321 iiii
Prikaz paralelnog spoja induktiviteta
i
i1
i2
i3
~ei
L2
L3
L1
eL
ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju
dt
diLe
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL 3
32
21
1
te ako je L
dtedi
i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi
te uz početne uvjete
321 didididi
3
3
2
2
1
1L
dte
L
dte
L
dte
L
dte
i nakon sređivanja dobijemo
n
i iLL 1
11
321
1111
LLLL
Recipročna vrijednost ukupnog
induktiviteta jednaka je sumi
recipročnih vrijednosti induktiviteta
paralelno spojenih svitaka
Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto
proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -
- 153 -
KRAJ
TEMA 11-14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA