Download - P3 Matriks Invers
MATRIKS INVERS
Untuk Mahasiswa Semester 3
MATRIKS INVERS
Untuk A matriks persegi, A-1 adalah invers dari A jika berlaku :
A A-1 = A-1 A = I
Untuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :
1. Metode matriks adjoint
2. Metode OBE
Mencari Invers dengan Matriks Adjoint
Ingat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :
A adj(A) = adj(A) A = |A| I
Jika |A| ≠ 0, maka :
A = A = I
||
)(
A
Aadj
||
)(
A
Aadj
||
)(
A
Aadj
Menurut definisi matriks invers :
A A-1 = A-1 A = I
Ini berarti bahwa :
A-1 = dengan |A| ≠ 0
Carilah invers dari A =
dc
ba
Solusi :
C11 = M11 = d
C12 = - M12 = - c
C21 = - M21 = - b
C22 = M22 = a
adj(A) =
2212
2111
CC
CC=
ac
bd
| A | = ad – bc
A-1 = ||
)(
A
Aadj=
ac
bd
bcad 1
Contoh soal : matrik ordo 2x2
Ingat kembali pertemuan yang lalu Minor dan Kofaktor
Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor.
Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s.
Andaikan A =
a11a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
M11 = a22 a23
a32 a33
= a22 a33 – a23 a32
M32 = a11 a13
a21 a23
= a11a23 – a13a21
Matriks tersebut mempunyai 9 minor
Ingat kembali pertemuan yang lalu : Kofaktor
Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mij adalah Cij = (-1)i+j Mij.
A =
112
431
112
C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 11
43
= 1 (7) = 7
C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 12
41
= (-1) (9) = -9
C13 = (-1)4 M13 = M13 = 12
31
= 5
C21 = (-1)3 M21 = - M21 = - 11
11
= 0
C22 = M22 = 0
C23 = - M23 = 0
C31 = M31 = 7
C32 = - M32 = - 9
C33 = M33 = 5
Carilah invers dari A =
321
231
442
Solusi : C11 = M11 = - 5
C12 = - M12 = 1
C13 = M13 = 1
C21 = - M21 = 4
C22 = M22 = - 2
C23 = - M23 = 0
C31 = M31 = - 4
C32 = - M32 = 0
C33 = M33 = 2
adj(A) =
332313
322212
312111
CCC
CCC
CCC
=
201
021
445
|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2
A-1 = ||
)(
A
Aadj=
2
1
201
021
445
=
10
01
22
21
21
25
Contoh soal 1
Contoh soal 2
Jawab :Ingat !!Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mij adalah Cij = (-1)i+j Mij.
Mencari invers dengan OBE
Jika A matriks persegi non singular, dengan OBE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :
P A = I
dengan P hasil penggandaan matriks elementer (baris).
Selanjutnya, P A = IP-1 P A = P-1 II A = P-1
A = P-1
Ini berarti A-1 = P
Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.
Teknis pencarian invers dengan OBE :
(A | I) ~ (I | A-1)
Carilah invers dari A =
321
231
442dengan melakukan OBE !
Solusi :
(A | I) =
100321
010231
001442 b13
001442
010231
100321 b21(1)
201200
110110
100321
b31(2)
b1(-1)
b3(-1/2)
10100
110110
100321
21
b13(-3)
b23(1)
10100
01010
20021
21
21
23 b12(-2)
10100
01010
22001
21
21
25
= (I | A-1)
Jadi A-1 =
10
01
22
21
21
25
~ ~ ~
~~
Sifat-sifat Matriks Invers
(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe)
Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku :AB = BA = I, dan jugaAC = CA = ITetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B ....................(*)
BAC = (BA)C = IC = C .....................(**)Dari (*) dan (**) haruslah B = C.
(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri.
Andaikan matriks C = A-1, berarti berlaku :AC = CA = I (*)Tetapi juga berlaku C C-1 = C-1 C = I (**)Dari (*) dan (**) berarti :C-1 = A(A-1)-1 = A.
Sifat-sifat Matriks Invers
(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol )
det (A A-1) = det (A) det (A-1)det (I) = det (A) det (A-1)1 = det (A) det (A-1) ; karena det (A) 0 , maka :
det (A-1) =
ini berarti bahwa det (A-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).)det(
1
A
(4) Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan : (AB)-1 = B-1 A-1
(AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I (*)di sisi lain :(AB) (B-1 A-1) = A(BB-1) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1 I B = B-1 B = I (**)
Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)-1 = B-1 A-1 .
Sifat-sifat Matriks Invers
(5) Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (AT)-1 = (A-1)T .
Menurut sifat determinan : AT = A 0, oleh sebab itu (AT)-1 ada, dan haruslah :(AT)-1 AT = AT (AT)-1 = I (*)Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :(A A-1)T= (A-1)T AT
IT= (A-1)T AT
(A-1)T AT = I, hubungan ini berarti bahwa (A-1)T adalah juga invers dari AT. Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),haruslah :(A-1)T = (AT)-1 .
Latihan Soal :
003
211
225
A
Hitung invers matrik menggunakan: (a)Metode matriks adjoint(b)Metode OBE
Diketahui :
Selamat mengerjakan
Sampai Jumpa di pertemuan berikutnya
Terus Semangat Belajar
Wassalam