modul 2 determinan dan invers matriks -...

MODUL 2

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

2.1. Determinan

Definisi 2.1 (Determinan)

Untuk setiap matriks berukuran n x n, yang dikaitkan dengan suatu bilangan real

dengan sifat tertentu dinamakan determinan, dengan notasi dari determinan matriks

A adalah det(A) atau │A│

Contoh 2.1 :

Diberikan matriks A dan B sebagai berikut :

3 4 1

2 3 2

3 4 7

A

dan

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aB

a a a

Buat determinan dari A dan B.

Jawab :

Sesuai dengan definisi 2.1, maka diperoleh :

3 4 1

det( ) 2 3 2

3 4 7

A

11 12 1

21 22 2

1 2

det( )

n

n

n n nn

a a a

a a aB

a a a

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa determinan adalah suatu fungsi dengan

domain himpunan matriks-matriks bertipe n x n dan hasilnya adalah bilangan riil

dengan aturan untuk menentukan determinan akan dibicarakan dibawah ini.

Misal untuk n = 1 kita definisikan det(a11)= a11.

Untuk menentukan nilai determinan dari suatu matriks, dapat dilakukan dengan

beberapa metode, antara lain :

21

a. Perluasan Kofaktor

Untuk menghitung determinan dari suatu matriks, dengan menggunakan perluasan

kofaktor, pandanglah suatu unsur aij dari matriks A berukuran n x n sebagai berikut :

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

Jika pada A baris ke-i kolom ke-j dihilangkan maka kita mendapat submatriks

berukuran (n-1) x (n-1). Determinan submatriks ini disebut minor unsur aij

dilambangkan dengan Mij, sedang (-1)i+jMij disebut kofaktornya dan ini

dilambangkan dengan Aij.

Jadi :

Aij = (-1)i+jMij.

Jika A matriks berukuran n x n dengan n > 2, maka

a) det(A) = aijAij + a2jA2j + … + anjAnj

=

n

i 1

aijAij untuk j tetap 1 ≤ j ≤ n

b) det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin

=

n

j 1

aijAij untuk i tetap 1 ≤ i ≤ n

Bentuk a) disebut pengembangan determinan menurut kolom j dan

bentuk b) disebut pengembangan determinan menurut baris ke-i.

Untuk n = 2 kita dapatkan :

11 12 2 1 2 2

12 21 22 11

21 22

11 22 12 21

det( ) | | ( 1) ( 1)a a

A A a a a aa a

a a a a

Dengan kata lain determinan dari suatu matriks berukuran 2 x 2 adalah perkalian

elemen-elemen diagonal utama dikurangi dengan perkalian elemen-elemen diagonal

lainnya.

Sedang untuk n = 3, jika kita lakukan pengembangan baris pertama diperoleh :

det(A) = |A| =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

22

= (-1)1+1 ∙ a1122 23

32 33

a a

a a + (-1)1+2 ∙ a12

21 23

31 33

a a

a a

+ (-1)1+3 ∙ a1321 22

31 32

a a

a a

)(

)()(

3122322113

31233321123223332211

aaaaa

aaaaaaaaaa

312213322113

332112312312322311332211

aaaaaa

aaaaaaaaaaaa

b. Aturan Sarrus

Aturan sarrus, hanya digunakan untuk menentukan determinan matriks berukuran 3 x

3. Dimana untuk menghitung nilai determinannya sebagai berikut :

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a

Tulis lagi kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kolom ke-3. Kemudian tarik diagonal dari

kiri atas ke kanan bawah dan dua garis lagi yang sejajar. Ketiga garis tersebut

menghasilkan tiga suku yang bertanda (+).

Kemudian diagonal kedua beserta dua garis sejajar yang lain menghasilkan tiga suku

yang bertanda (-).

Jadi,

|A| = a11a22a33 – a11a23a32 – a12a23a31 + a12a21a33+ a13a21a32 - a13a22a31

Contoh 2.2.

Hitunglah determinan dari matriks :

2 3 13 1

1 2 34 2

3 1 2

A dan B

Jawab :

a. Dengan rumus untuk A berukuran 2x2 diperoleh :

(-)

(+)

23

3 1det( ) (3)( 2) (1)(4) 6 4 10

4 2A

b. Dengan menggunakan penguraian menurut baris ke 1 diperoleh :

1 1 1 2 1 3

2 3 12 3 1 3 1 2

det( ) 1 2 3 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 31 2 3 2 3 1

3 1 2

2(4 3) 3(2 9) (1 6) 18

B

Jika dikerjakan dengan aturan Sarrus diperoleh hasil sebagai berikut :

13213

21321

32132

sehingga

183.1.22.3.11.2.31.1.13.3.32.2.2

213

321

132

Contoh 2.3

Diberikan matriks A sebagai berikut :

2615

3211

1024

4321

A

Uraikan |A| menurut kolom ke-4 :

Jawab :

Dengan menggunakan perluasan pada kolom ke-4 maka :

211

024

321

2

615

024

321

3

615

211

321

1

615

211

024

)4(

2615

3211

1024

4321

||

A

24

Selanjutnya dapat digunakan aturan Sarrus. (lanjutkan sebagai latihan)

Jika kita menemui suatu matriks berukuran 4 x 4 atau lebih, tentu cara

penghitungan dengan teori seperti diatas, tidak jarang kita temui penghitungan yang

panjang. Untuk menghindari, kita dapat menggunakan sifat-sifat dari determinan .

Teorema 2.1.

Jika k adalah konstanta dan A matriks berukuran n xn, maka :

1. AT =A

2. kA=knA

3. Jika A adalah matriks diagonal maka A=a11 a22 … ann

4. Jika elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari matriks A semuanya

bernilai nol, maka A=0

5. Jika dua baris atau dua kolom sebanding maka A=0

6. Jika dua baris atau dua kolom matriks A dipertukarkan maka A akan

berubah tanda

7. Jika semua elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari A merupakan

pergandaan dari k maka determinanya dikalikan k

8. Jika A dan B Matriks bujur sangkar berukuran sama maka : AB=AB

Sifat-sifat Determinan

1. Untuk setiap matriks bujursangkar A berlaku det(A) = det(AT)

Contoh 2.4.


2 3

1 4A

Tentukan det(A) dan det(AT)

Jawab :

2 3det( ) ( 2)(4) (3)(1) 8 3 11

1 4

2 1

3 4

2 1det( ) ( 2)(4) (1)(3) 8 3 11

3 4

T

T

A

A

A

25

2. Jika semua unsur-unsur pada suatu baris (kolom) suatu matriks sama dengan nol

maka determinannya sama dengan nol.

Contoh 2.5.

Diberikan matriks A :

1 1 0

0 1 0

0 0 0

A

tentukan determinan dari A.

Jawab :

Sesuai dengan sifat 2, 0

000

010

011

(karena kolom ke 3 nilainya 0)

3. Jika A matriks segitiga berukuran n x n (Segitiga Atas, segitiga bawah atau

diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama,

yaitu det(A)= a11. a22….ann

Contoh 2.6.

Diberikan matriks A :

2 40 17

0 1 11

0 0 3

A

tentukan determinan dari A.

Jawab :

Menurut sifat 3,

2 40 17

0 1 11 (2.1.3) 6

0 0 3

(karena A merupakan matriks segitiga atas)

4. Jika B adalah matriks yang didapat dari matriks Anxn dengan menggandakan

semua unsur pada suatu baris (kolom) dengan k maka det(B) = k.det(A).

5. Jika B adalah matriks yang didapat dari matriks Anxm dengan menggandakan

semua unsur pada semua baris (kolom) dengan k maka det(B) = kn.det(A).

Contoh 2.7.

Diketahui matriks A , B dan C sebagai berikut :

26

2 1 3

3 2 1

1 4 5

A

,

4 2 6

3 2 1

1 4 5

B

dan

4 2 6

6 4 2

2 8 10

C

tentukan determinan dari A, B dan C

Jawab :

Karena matriks A berukuran 3 x 3, dapat digunakan aturan sarrus untuk mendapatkan

nilai determinannya, dan diperoleh :

2 1 3

det( ) 3 2 1 56

1 4 5

A

(tunjukkan sebagai latihan)

Untuk matriks B, dengan menggunakan sifat 4, karena pada baris I matriks B

merupakan (-2) kali dari matriks A maka diperoleh:

det(B) = det(-2A) = -2 det(A)= 2 x 56 = -112

Untuk matriks C, dengan menggunakan sifat 5, karena semua baris matriks C

merupakan (-2) kali matriks A maka diperoleh :

det(C) = det(-2A) = (-2)3 x 56 = -448

Secara umum sifat 4 dan 5 dapat diilustrasikan sebagai berikut :

Misal diberikan matriks A ukuran 3 x 3 :

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

ka ka ka a a a

a a a k a a a baris I dikalikan dengan k

a a a a a a

11 12 13 11 12 13

3

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

ka ka ka a a a

ka ka ka k a a a semua baris dikalikan dengan k

ka ka ka a a a

6. Jika B adalah matriks yang didapat dari matriks A dengan mempertukarkan dua

baris (dua kolom) maka det(B) = -det(A).

Contoh 2.8.

Diberikan matriks

2 1 3

3 2 1

1 4 5

A

dengan det(A) = 56

27

Tentukan determinan dari matriks

3 1 2

1 2 3

5 4 1

B

Jawab :

Dengan menggunaan sifat 6, Karena pada matriks B diperoleh dengan

mempertukarkan kolom I dan III maka det (B)= -56

Secara umum sifat 6 dapat diilustrasikan sebagai berikut :


21 22 23 11 12 13

11 12 13 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a a a a

a a a a a a baris I dan II dipertukarkan

a a a a a a

7. Jika B suatu matriks yang didapat dari matriks A dengan mengalikan suatu baris

(kolom) dengan bilangan k kemudian menambahkannya pada suatu baris (kolom)

yang lain maka det(B)=det(A).

Contoh 2.9.

Diberikan matriks

2 1 3

3 2 1

1 4 5

A

dengan det(A) = 56

Tentukan determinan dari matriks

8 3 5

3 2 1

1 4 5

B

Jawab :

Kasus diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat 7. Dapat diketahui

bahwa matriks B diperoleh dari matriks A, yaitu baris I matriks B diperoleh dengan

menambahkan baris I matriks A dengan 2 kali baris II. Sehingga det(B)=det(A)=56

Secara umum sifat 7 dapat diilustrasikan sebagai berikut :


28

11 21 12 22 13 23 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a ka a ka a ka a a a

a a a a a a suatu pergandaan baris II dari A

a a a a a a

ditambahkan pada baris I

8. Jika dua baris (dua kolom) suatu matriks A sebanding maka det(A)=0.

Contoh 2.10.

Misal diberikan matriks A dan B sebagai berikut :

1 2 3

3 7 6

1 2 3

A

dan

3 1 2

6 2 4

1 7 3

B

Tentukan determinan A dan B

Jawab :

Untuk matriks A, karena baris I dan III sebanding maka det(A) = 0

Untuk matriks B, karena baris II dua kali baris I maka det (B)= 0

Secara umum, misalnya diberikan matriks A berukuran 3x3 :

11 12 13

11 12 13

31 32 33

0

a a a

ka ka ka baris I dan II disebanding

a a a

9. Jika A, B dan C matriks berukuran nx n yang berbeda hanya pada salah satu

barisnya (kolomnya) misalnya baris ke- i , dan jika baris ke I dari C dapat

diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke

I dari A dan B maka :

det(C) = det(A) + det(B)

Contoh 2.11.

Diberikan matriks-matriks sebagai berikut :

1 7 5 1 7 5 1 7 5

2 0 3 ; 2 0 3 ; 2 0 3

1 0 4 1 7 ( 1) 1 4 7 0 1 1

C A B

29

Tunjukkan bahwa det(C) = det(A) + det(B)

1 7 5 1 7 5 1 7 5

det 2 0 3 det 2 0 3 det 2 0 3

1 0 4 1 7 ( 1) 1 4 7 0 1 1

Jawab :

Tentukan determinan dari tiap-tiap matriks, Tunjukkan contoh 2. 11, memenuhi sifat

9. (lakukan sebagai latihan anda)

10. Jika A dan B matriks-matriks bujursangkar berukuran sama, maka

det(AB) = det(A).det(B).

Contoh 2.12.

Jika diberikan matriks-matriks sebagai berikut :

3 1 1 3 2 17; ;

2 1 5 8 3 14A B AB

Maka akan diperoleh :

det(A)=1, det(B) = -23 dan det(AB) = -23

(penghitungan sebagai latihan)

Dari contoh-contoh diatas, sifat-sifat determinan sangat membantu dalam

menentukan determinan suatu matriks, akan tetapi jika anda menemui matriks dalam

ukuran yang besar dan perhitungan dengan menggunakan definisi determinan

menjadi lebih rumit, dimana penggunaan sifat-sifat determinan yang ada tidak dapat

secara langsung digunakan. Dari kasus ini, muncul suatu gagasan yaitu dengan

metode mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk matriks yang lebih

sederhana, misalnya dibentuk matriks segitiga atas.

c. Metode Reduksi

Sesuai dengan gagasan yang telah diungkapkan diatas, metode reduksi

dilakukan dengan cara mereduksi matriks asal menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.13 :

30

Hitung determinan dari 0 1 5

3 6 9

2 6 1

A

Jawab :

Matriks A diatas dapat direduksi menjadi bentuk matriks segitiga Atas :

0 1 5 3 6 9

det( ) 3 6 9 0 1 5 ( 1 2)

2 6 1 2 6 1

1 2 3

3 0 1 5 ( 3 1 )

2 6 1

1 2 3

3 0 1 5 ( 2 1 3)

0 10 5

1 2 3

3 0 1 5 ( 10 3 3)

0 0 55

1 2 3

( 3)( 55) 0 1 5 ( 55 3

0 0 55

A B ditukar dengan B

semua faktor umum dari B dikeluarkan

B B

B B

semua faktor umum dari B dikeluark

)

( 3)( 55)(1) 165

a

Dengan metode reduksi, perhitungan nilai determinan akan lebih sederhana.

Contoh 2.14

Hitung determinan :

1512

1111

2103

0112

||

A

Jawab :

Perhatikan matriks A diatas, jika kita menambahkan baris ke-3 pada baris ke-4

didapat :

31

0403

1111

2103

1003

||

A

Dengan mengembangkan kolom ke-2 diperoleh :

12 22 33 42| | 0 0 1 0

3 0 1

3 1 2

3 4 0

A A A A A

Dengan menambahkan 2 kali baris ke-1 pada baris ke-2 diperoleh :

3 0 1

3 1 0

3 4 0

A

943

13)1(

)001()1( 332313

AAAA

Dari beberapa cara atau metode menentukan determinan dari suatu matriks

yang telah dijelaskan diatas, tetap akan anda temui penyelesaian yang rumit, jika

menentukan determinan suatu matriks yang berukuran besar ( berukuran 4 x 4 atau

lebih) yang tidak mempunyai bentuk khusus.

Contoh 2.15 :


2 1 3 7 5

3 8 7 9 8

3 4 1 6 2

4 0 2 2 3

7 9 1 5 4

A

Tentukan determinan dari matriks A.

Jawab :

Jika determinan matriks A diatas dicari dengan menggunakan perluasan kofaktor,

tentu akan sangat panjang dan rumit. Untuk menentukan determinan dari suatu

matriks, dapat dilakukan dengan bantuan paket program. Dalam modul ini, akan

32

digunakan bantuan program Matlab, dengan langkah- langkahnya adalah sebagai

berikut :

Setelah anda membuka program Matlab, pada MATLAB Command Window,

masukkan nilai-nilai dari matriks A.

» A=[2 1 3 7 5;3 8 7 9 8; 3 4 1 6 2; 4 0 2 2 3;7 9 1 5 4]

A =

2 1 3 7 5

3 8 7 9 8

3 4 1 6 2

4 0 2 2 3

7 9 1 5 4

Inilah matriks A berukuran 5 x 5.

Untuk menentukan determinan dari matriks A, ketik det (A) :

» det(A)

ans =

1767

Hasil inilah determinan dari matriks A berukuran 5 x 5. Jadi det(A)=1767

Tentunya untuk matriks berukuran kecilpun akan lebih cepat jika dihitung

dengan bantuan paket program.

Contoh 2.16.

Coba anda perhatikan lagi contoh 2.4 diatas. Tentukan detrminan dari A dan AT

dengan menggunakan bantuan paket program Matlab.

Jawab :

Analog dengan penyelesaian soal 2.15, pertama kali anda masukkan nilai matriks A:

» A=[-2 3;1 4]

A =

-2 3

1 4

» det(A)

ans =

-11

Diperoleh hasil, determinan A = -11

33

Untuk menentukan determinan dari AT , lakukan hal berikut :

» A'

ans =

-2 1

3 4

hasil di atas merupakan matriks AT

» det(A')

ans =

-11

Diperoleh det(AT)=-11.

Jika anda perhatikan nilainya sama dengan perhitungan diatas.

Dari sifat-sifat dasar fungsi determinan, dapat dikembangkan untuk

mengetahui hubungan antara suatu matriks bujursangkar dan determinannya, salah

satunya adalah uji determinan untuk mengetahui ada tidaknya invers suatu matriks.

Invers suatu matriks merupakan bagian penting dalam mempelajari matriks dan

statistik.

2.2. Invers Matriks

Pada sub bab 2.1 telah kita pelajari determinan dari suatu matriks bujur sangkar.

Suatu matriks Bujur sangkar A, jika A≠0, maka matriks A disebut matriks non

singular, jika A=0, matriks A disebut matriks singular. Selanjutnya nilai determinan

akan kita gunakan untuk menentukan inb=nvers dari suatu matriks.

Definisi 2.2 : (Invers Suatu Matriks)

Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika matriks B yang berukuran sama

bisa didapatkan sedemikian hingga memenuhi :

AB BA I

dimana I adalah matriks identitas, maka A disebut dapat dibalik (invertibel).

Untuk selanjutnya invers dari matriks A dinyatakan dengan simbol A-1

Teorema 2.2.

Suatu matriks bujur sangkar A dapat dibalik jika dan hanya jika det(A)0.

34

Teorema 2.3 : (Invers matriks berukuran 2 x 2)

Matriks a b

Ac d

Matriks A mempunyai invers jika ab – bc 0, dimana inversnya dapat ditentukan

dengan rumus :

1 1

d b

d b ad bc ad bcA

ad bc c a c a

ad bc ad bc

Bukti :

Bukti untuk teorema ini, tunjukkan bahwa berlaku 1

2AA I dan 1

2A A I

(lanjutkan sebagai latihan anda)

Teorema 2.4: (Sifat-sifat invers suatu matriks)

Jika A dan B matriks nonsingular (determinan tidak sama dengan 0) berukuran nx n

maka :

a) A-1 tunggal

b) 111)( ABAB

c) 11 )()( TT AA

d) AA 11)(

e) A

A11

f) Jika A =diag(a11,a22,…,ann), maka A-1 = diag 11

22

1

11 ,...,,

nnaaa

g) Jika A=AT maka A-1= (A-1)T

Bukti :

a) Anggap 1A tidak tunggal, sehingga ada invers lainnya dari matriks A, misalnya

A* sehingga berlaku A*A=AA*=I.

Sehingga AA*=I

35

Atau 1A AA*= 1A I = 1A (karena A* invers dari A)

Dan 1A AA*=IA* =A* (karena 1A inver dari A)

Sehingga berakibat A*= 1A , berari invers dari A tunggal (terbukti)

b) Telah diketahui bahwa IAABBABAB 1111 ))(( .

Menurut definisi : IABAB 1))(( , sehingga berlaku

111 ))(()( ABABABAB

Jika persamaan diatas dikalikan dengan 1)( AB maka persamaan menjadi :

111)( ABAB (terbukti)

c) Karena II T maka

1

1 )(

AA

AAI

T

T

Jika kita kalikan dengan 1)( TA maka diperoleh

1 1 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

T T T

T

A A A A

A A terbukti

d) Karena 1 II maka

IAA 11)(

Jika kita gunakan teorema bagian (b) diperoleh

IAA 111)(

Jika persamaan di atas kita kalikan dengan A diperoleh :

)()(

)(11

111

terbuktiAA

IAAAA

e) Telah diketahui bahwa 111 AAIAAI

Menurut sifat determinan AAAA 11

Maka diperoleh )(11 terbuktiA

A

Teorema 2.5 :

Jika A dan B matriks yang dapat dibalik (invertibel) dari ukuran yang sama maka

AB juga dapat dibalik.

Bukti :

36

Untuk menunjukkan teorema tersebut harus ditunjukkan bahwa berlaku

IABABABAB )()( 1111

Manurut teorema 2.2 bagian b) 111)( ABAB

Tetapi

IAAAIAABBAABAB 11111111 )()( (karena A dan B

invertibel)

Dengan cara yang sama diperoleh :

IBBIBBBAABABAB 111111 )())((

Dari kedua persamaan di atas diperoleh

IABABABAB )()( 1111 (terbukti)

Untuk menentukan invers suatu matriks, eratb kaitannya dengan determinan.

Salah satu perhitungan nilai determinan yang telah dipelajari adalah dengan

perluasan kofaktor, nilai-nilai kofaktor ini sangat penting artinya dalam penentuan

invers suatu matriks.

Definisi 2.3 : (Adjoint suatu matriks)

Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor dari aij maka matriks :

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

A A A

A A A

A A A

disebut matriks kofaktor dari A. Dan transpose dari matriks kofaktor disebut

adjoint A dan dinotasikan adj(A).

T

11 12 1

21 22 2

1 2

adj(A)=

n

n

n n nn

A A A

A A A

A A A

Contoh 2.17


37

3 2 1

1 6 3

2 4 0

tentukan matriks kofaktor dari A dan adjoint A.

Jawab :

Dengan menggunakan rumus pada sub bab sebelumnya :

Aij = (-1)i+jMij.

Kofaktor dari A adalah :

A11 = 12; A12 =6; A13 = -16

A21 = 4 ; A22 =2; A23 = 16

A31 = 12 A32 =-10; A33 = 16

Sehinggan matriks kofaktornya adalah :

12 6 16

4 2 16

12 10 16

dan adjoint(A) adalah :

12 6 16 12 4 12

adj(A) 4 2 16 6 2 10

12 10 16 16 16 16

T

Definisi 2.4 : ( Invers suatu matriks)

Jika 0A maka invers dari A didefinisikan :

A

AadjA

)(1

Sehingga apabila

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

maka

38

11 12 11 111 12 11 21

21 22 2

2 221 22 12 22

1 21

1 2 1 2

TTn

n n

n

n n

n n nn

n n nn n n nn

A A AA AA A A A

A A AA A A A A A

A AA A A AA A A

A A A A A AAA

A A A A A A

A A A A A A

dimana Aij merupakan kofaktor dari A.

Contoh 2.18


1 2

1 3A

, 3 2

2 2B

Tentukan :

a. A-1 , B-1

b. Dan tunjukkan bahwa untuk matriks di atas, berlaku (AB)-1 = B-1A-1

Jawab :

a. Dengan menerapkan rumus, sesuai teorema 2.2. diperoleh :

Det (A)= 3-2 =1, det (B) = 6- 4 = 2

sehingga 1 3 2

1 1A

dan 1 2 21

2 2 3B

b. Dengan matriks A dan B diatas didapatkan 1 2 3 2 7 6

1 3 2 2 9 8AB

Sehingga diperoleh det (AB) = (7.8) – (6.9)= 56 – 54 = 2

1 8 61( )

2 9 7AB

Dari hasil (a), diperoleh 1 1 2 2 3 2 2 61 1

2 2 3 1 1 2 9 7B A

Dengan jaminan dari teorema 2.3 (b), diperoleh (AB)-1 = B-1A-1

Contoh 2.19


39

3 22 1

1 6 3

2 4 0

A

tentukan invers dari A dan determinan dari A-1

Jawab :

Sesuai dengan definisi 2.3 diatas, anda tentukan, kofaktor-kofaktor matriks A.

dengan menggunakan definisi pada determinan diperoleh hasil sebagai berikut :

11 12 13

6 3 1 3 1 612; 6; 16

4 0 2 0 2 4A A A

21 22 23

2 1 3 1 3 24; 2; 16

4 0 2 0 2 4A A A

31 32 33

3 1 3 1 3 212; 10; 16

6 3 1 3 1 6A A A

Adjoin A = adj(A)=

12 4 12

6 2 10

16 16 16

Dengan menggunakan definisi dari determinan diperoleh :

Det(A) = 64 (tunjukkan sebagai latihan anda)

Maka 1

12 4 12

64 64 6412 4 12( ) 1 6 2 10

6 2 10det( ) 64 64 64 64

16 16 1616 16 16

64 64 64

adj AA

A

Untuk matriks yang berukuran kecil, misalnya 2x2 atau 3x3, menentukan

invers dari suatu matriks, masih mudah dilakukan. Akan tetapi jika matriks

berukuran besar, misal 5 x 5 atau lebih, tentu menentukan inversnya bukanlah hal

yang mudah. Perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.20 :

Dari contoh 2.15, tentukan invers dari matriks A.

40

2 1 3 7 5

3 8 7 9 8

3 4 1 6 2

4 0 2 2 3

7 9 1 5 4

A

Matriks A diatas berukuran 5 x 5, jika anda cari invers matriks A dengan

menggunakan definisi 2.3, tentunya akan sangat panjang. Untuk itu kita dapat

menggunakan bantuan paket program komputer, dalam modul ini, akan digunakan

bantuan paket program Matlab.

Dimana langkah- langkahnya adalah sebagai berikut :

Setelah anda membuka program Matlab, pada MATLAB Command Window,

masukkan nilai-nilai dari matriks A.

» A=[2 1 3 7 5;3 8 7 9 8; 3 4 1 6 2;4 0 2 2 3;7 9 1 5 4]

A =

2 1 3 7 5

3 8 7 9 8

3 4 1 6 2

4 0 2 2 3

7 9 1 5 4

Hasil diatas adalah matriks A berukuran 5 x 5.

Untuk menentukan invers dari matriks A, ketik inv (A) :

» inv(A)

ans =

-0.1647 -0.0294 0.1675 0.2813 -0.0300

-0.0713 0.0594 -0.0306 -0.1256 0.0798

-0.4975 0.2479 0.3582 0.3616 -0.3243

0.0374 -0.0311 0.2541 -0.0294 -0.0894

0.5263 -0.1053 -0.6316 -0.2632 0.3158

Hasil inilah invers dari matriks A berukuran 5 x 5.

Tentunya untuk matriks berukuran kecilpun akan lebih cepat jika dihitung

dengan bantuan paket program.

Contoh 2.21.

41

Coba anda perhatikan lagi contoh 2.16 diatas. Tentukan invers dari A dan AT dengan

menggunakan bantuan paket program Matlab.

Jawab :

Analog dengan penyelesaian soal 2.19, pertama kali anda masukkan nilai matriks A:

» A=[-2 3;1 4]

A =

-2 3

1 4

» inv(A)

ans =

-0.3636 0.2727

0.0909 0.1818

Untuk menentukan determinan dari AT , lakukan hal berikut :

» A'

ans =

-2 1

3 4

hasil diatas merupakan matriks AT

» inv(A')

ans =

-0.3636 0.0909

0.2727 0.1818

Jika anda perhatikan contoh ini, maka berlaku (A-1)T = (AT)-1 (coba anda

selidiki)

Referensi

Anton, H., 1987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York

Basilevsky, A., 1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier

Sciences Publ. Co. Inc.

42

Cullen, CG., 1988, Linear Algebra With Application, Schott, Foresman and

Company.

Shchoot, J.R., Matrix Analysis for Statistics, John Wiley, New York.

modul 2 determinan dan invers matriks -...

Documents