Martin Kormunda
Přednáška 2
Objemové procesy● Difuze● Tepelná transpirace (efuze)● Přenos energie● Proudění plynů : proud plynu, vakuová
vodivost, vodivost otvoru, potrubí. ● Proudění plynu netěsnostmi
Martin Kormunda
Difuze plynu● Veškeré látky mají tendenci přecházet z
prostředí se svou vyšší koncentrací do prostředí s nižší koncentrací. Přirozenou vlastností látek je, že pokud se její částice mohou pohybovat (molekuly v nehybném roztoku se pohybují na základě Brownova pohybu) tak se rozptylují do celého prostoru, kterého mohou dosáhnout, a postupně ve všech jeho částech vyrovnají svou koncentraci.
● Říkáme, že látky difundují.
Martin Kormunda
O difuzi lze mluvit jen při vyšším tlaku
Martin Kormunda
Matematický popis● uvažujme jen 1D případ, koncentrace se mění
se vzdáleností od zdroje
Martin Kormunda
Odvození● Na libovolnou plochu S z leva i zpraca dopadá
částicový déšť, tedy tok J
L = S*Z = S * ¼ n(x
0-l)*v, n(x
0-l) je koncetrace
JP = S*Z = S * ¼ n(x
0+l)*v, n(x
0+l) je koncetrace
● a máme difuzní tok protože v modelu● J
diff = J
L – J
P > 0 a po dosazení a úpravách
● Jdiff
= -D dn/dx S , kde D = ½ lv to je 1. Fickův zákon
Martin Kormunda
Poznámky● obecně pak to lze psát jako j
dif = -grad n
● a po dosazení konstantní teploty, pak máme● D = konst* SQRT(1/m),● proto největší difuzní tok mají nejlehčí molekuly
tedy vodík a helium.
Martin Kormunda
Co pokud nemáme konstantní teplotu?
● jsme zvyklí, že pokud máme dvě spojené nádoby, tak se tlaky v nich vyrovnají.
● Platí to i pokud mají různé teploty za nízkého tlaku?
●
Martin Kormunda
Za nízkého tlaku - efuze● l >> d● obdobně jako u difuze
vypočteme tok části otvorem zleva a zprava
● JL = S*1/4*n*v = … = konst * n *
SQRT(T)● pak pro různé teploty oplatí n
1/n
2 = SQRT(T
2/T
1)
n2T2
n1T1
Martin Kormunda
Ale co tlak?● p = nkT a po dosazeníp
1/p
2 = SQRT(T
2/T
1) za nízkého tlaku viz
podmínka
Pokud máme tlakoměr v uzavřené komůrce mimo komoru , pak naměříme nesprávný tlak je li v komoře jiná teplota než v měřící oblasti
Martin Kormunda
Vakuová pec
● T1 = 2000 K
● T2 = 300 K mimo pec
● p2 = p
1*SQRT(T
1/T
2) = 2.6 * p
1
T1, p1
T2, p2
Martin Kormunda
Přenos energie - tepla● co pokud mají protilehlé plochy různé teploty,
může se mezi nimi teplo přenášet?
předpokládejme spojitý růst teploty i když částice budou mít vždy mezi srážkami teplotu konstantníkaždé teplotě odpovídá nějaká kinetická energie
S
T2 > T1, plocha P2
T1, plocha P1
z
0
d
z0
Martin Kormunda
Teplota funkcí polohy● T = T(z)● představme si tedy situaci rozdělenou do
vrstviček vzdálených l, kdy každá vrstva má svojí teplotu
● sledujme proud části plochou S● tepelný tok shora = ¼ nv S 3/2kT(z
0+l)
● tepelný tok zdola = ¼ nv S 3/2kT(z0-l)
Martin Kormunda
Výsledný tepelný tok
Qv = Q shora – Q zdola =
= ½ nv 3/2kl (dT/tz)v S
derivace je nahrazení rozdílu teplot dělený vzdáleností vrstviček 2l(dT/tz)
v - uvnitř plynu
Qv = -λ
v (dT/tz)
v S
a hustota tepelného toku pak je
jv = -λ
v (dT/tz)
v = -λ
v grad T a konstantní v každé
výšce aby platil z.z. energie
Martin Kormunda
Co ale u stěn?● jak interagují molekuly s povrchem, dopadají z l
o teplotě T(l) na 0 o teplotě T1
pokud pružně, tak se odrazí, ale to by se neměnila jejich teplota
● takže nepružně musí se ochladit/ohřát na teplotu stěny.
● tepelný tok na P1 je pak ¼ nv S 3/2k (T(l)-T1),
● ale ve skutečnosti se část molekul opravdu odrazí pružně
Martin Kormunda
Akomodační koeficient● energii předá pouze tato část molekul
dopadlých na P1● α
E = N
a/N, kde N
a je počet ochlazených molekul
a N je počet všech molekul dopadlých na povrchu
● koeficient je mezi 0 a 1 ● např.:
● N2 na Pt 0.77
● O2 na Pt 0.79
● H2 na Pt 0.29
Martin Kormunda
Tepelný tok na stěny
● QP1
= αE ¼ nv S 3/2k (T(l)-T
1)
● QP2
= αE ¼ nv S 3/2k (T
2-T(d-l))
● a také samozřejmě ze z.z.e.● platí Q
P1 = Q
v a také Q
P2 = Q
v
● vzniklou soustavu rovni vyřešíme
Martin Kormunda
Řešení● dostaneme řešení pro neznámé T(l), T(d-l),
(dt/dz)v
● Ge je kluzný koeficient● dále lze napsat rovnici teploty T = T(z)
jako T(z) = a + bz
Martin Kormunda
Graf
● přímka začíná v z1 = -(2-α
E)/α
E*l pro T1
● a končí v d+z1 pro T2
● dTs = (2-α
E)/α
E*l*(dT/dz)
v
●
T2
∆ Ts
d
T
∆ Ts
T1
Martin Kormunda
Koeficient tepelné vodivosti● dosaďme za (dT/dz)v do rce. pro tepelný tok,
pak● Q
P1 - Q
P2 = ½ nv 3/2 kl (T2-T1)/d G
e S
● upravíme na ● Q
P1 - Q
P2 = λ S (T2-T1)/d
● kde λ je koeficient tepelné vodivosti
Martin Kormunda
Pro vysoké tlaky● platí l << d po dosazení a úpravě● λ = ¾ v/T * p*l, ● pozor víme, že součit p*l není funkcí tlaku, jen
teploty a druhu plynu● tedy λ (přenos tepla) je na tlaku nezávislá pro
tyto podmínky
Martin Kormunda
Pro nízké tlaky● platí l >> d po dosazení a úpravě
● tedy λ (přenos tepla) je na tlaku závislá pro tyto podmínky
● to se dá využít pro měření tlaku plynu
Martin Kormunda
Tření plynu● mějme dvě plochy, jedna je v klidu a druhá se
pohybuje rychlostí v
S
v, plocha P2
v = 0, plocha P1
z
0
d
Martin Kormunda
Tření plynu● počítáme stejně jako u přenosu tepla, jen místo
kinetické energie přenášíme hybnost molekul mv(z)
● po obdobném odvození dostaneme, že ● Ft = η S (v
2-v
1)/d , η je koef. dyn. viskozity
Martin Kormunda
Pro vysoké tlaky● platí l << d po dosazení a úpravě● je Gp = 1, kluzný faktor d/(d+2l(2/α
p – 1))
● αp – akomodační koeficient hybnosti
● pak je● η = ½ vm/kT pl, kde pl je nezávislé na tlaku● takže přenos hybnosti nezávisí na tlaku, ale
pouze na plynu a jeho teplotě
Martin Kormunda
Pro nízké tlaky● platí l >> d po dosazení a úpravě● η = ¼ p/kT v m α
p/(2-α
p)*d
● tedy je úměrný tlaku a závisí na teplotě● po dosazení třecí síla F
t nezávisí na vzdálenosti
ploch, jen na tlaku plynu● lze použít pro měření tlaku plynu – viskózní
manometry
Martin Kormunda
Poznámka● při velmi nízkém tlaku, molekuly vyletují z P1 a
přímo dopadají na P2, tedy neexistuje gradient rychlost
● uplatňuje se pouze vnější tření
Martin Kormunda
Proudění plynu potrubím● objemové proces jsou ty s přenosem hmoty,
energie a impulsu, tam patří i proudění.● Podobně jako u el. proudu definujeme proud
plynu jako qm = dm/dt , množství plynu prošlé
plochou S za jednotku času● množství plynu lze charakterizovat hmotou m,
látkovým množstvím ν, počtem částic N, objemem V a součinem pV
Martin Kormunda
Toky
● qm = dm/dt [kg/s] hmotnostní tok plynu
● qν = dν/dt [mol/s] proud lát. množství
● qpV
= d(pV)/dt [Pa*m3/s, sccm] nejčastěji pV-proud
● sccm - Standard Cubic Centimeter per Minute
Martin Kormunda
Proudění● vyšší tlak – viskózní (laminární) proudění
● spojitá funkce dv/dz● nižší tlak – molekulární proudění
● vnější tření, dv/dz neexistuje
Martin Kormunda
Potrubí● pro nás bude dále trubice kruhového průřezu o
poloměru r a délky l●
Martin Kormunda
Viskózní proudění
● pro delší trubky, l > r platí● q = πr4/8ηl * p
stř * (p
1-p
2) = c
viz * (p
1-p
2)
● kde cviz
je vodivost trubky, pstř
je průměr tlaků
● pro vzduch cviz
= 2,158*104 r4/l pstř
r
l
Martin Kormunda
Molekulární proudění● pro l > r platí ● q = 8/3 r3/l SQRT(πkT/(2m))*(p
1-p
2) = c
mol*(p
1-p
2)
● kde vodivost trubky je úměrná pouze poloměru nikoliv tlaku a závisí na teplotě a druhu plynu
● pro vzduch při 20 oC je Cmol = 968,5 r3/l
Martin Kormunda
Co vodivost otvoru● platí i pro krátké trubky● tok zleva na otvor ¼ n
1 v S
● tok zprava na otvor ¼ n2 v S
● zleva teče přes otvor částicový proud:● q
N = ¼ (n
1 – n
2) v S, po dosazení pro kruhový
otvor máme● q
N = πr2/SQRT(2πmkT) * (p
1-p
2)
p2p1
Martin Kormunda
Vodivost otvoru pV-proud
● q = qpV
= d(pV)/dt = kT dN/dt= kT qN
● q = πr2 SQRT(kT/(2πm)) * (p1-p
2)
● q = cEF
* (p1-p
2) ,c
EF- koef. efuzní vodivosti otvoru
● pro vzduch při 20 oC je ● c
EF= 363*r2 m3/s
● přepočteme na 1 cm2 a máme ● c
EF(1)= 11.6 l/s – z toho lze odhadnout čerpací
rychlost vývěvy podle velikosti hrdla
Martin Kormunda
Vodivost● Efuzní vodivost je ze všech uvedených
vodivostí nejmenší● Vodivost otvorů a štěrbin za molekulárních
podmínek (nízký tlak) je velice malá.
Martin Kormunda
Obecně● všechny uvedené výrazy mají tvar● q = C *(p
1-p
2) to je podobné Ohmovu zákonu
● I = 1/R * U, kde U je rozdíl potenciálů● odpor potrubí lze definovat obdobně● R
vis = 1/C
vis
● Rmol
= 1/Cmol
● Ref = 1/C
ef
Martin Kormunda
Platí pak i Kirchhoffovy zákony● R = R1 + R2 + R3 pro sériové zapojení
● Pozn. i odpor trubky je tvořen molekulárním odporem trubky a efůzním odporem otvoru !!
Martin Kormunda
Platí pak i Kirchhoffovy zákony● C = C1 + C2 + C3 pro paralelní zapojení
Vakuová komora
Martin Kormunda
Proudění plynu netěsnostmi
Netěsnosti:● mezi vakuovou komorou a vnějším prostředím
– hledání netěsností viz cca 10. přednáška● mezi oblastmi s různými nízkými tlaky uvnitř
komory (šíření plynu za nízkých tlaků)