Martin Kormunda

Přednáška 2

Objemové procesy● Difuze● Tepelná transpirace (efuze)● Přenos energie● Proudění plynů : proud plynu, vakuová

vodivost, vodivost otvoru, potrubí. ● Proudění plynu netěsnostmi

Martin Kormunda

Difuze plynu● Veškeré látky mají tendenci přecházet z

prostředí se svou vyšší koncentrací do prostředí s nižší koncentrací. Přirozenou vlastností látek je, že pokud se její částice mohou pohybovat (molekuly v nehybném roztoku se pohybují na základě Brownova pohybu) tak se rozptylují do celého prostoru, kterého mohou dosáhnout, a postupně ve všech jeho částech vyrovnají svou koncentraci.

● Říkáme, že látky difundují.

Martin Kormunda

O difuzi lze mluvit jen při vyšším tlaku

Martin Kormunda

Matematický popis● uvažujme jen 1D případ, koncentrace se mění

se vzdáleností od zdroje

Martin Kormunda

Odvození● Na libovolnou plochu S z leva i zpraca dopadá

částicový déšť, tedy tok J

L = S*Z = S * ¼ n(x

0-l)*v, n(x

0-l) je koncetrace

JP = S*Z = S * ¼ n(x

0+l)*v, n(x

0+l) je koncetrace

● a máme difuzní tok protože v modelu● J

diff = J

L – J

P > 0 a po dosazení a úpravách

● Jdiff

= -D dn/dx S , kde D = ½ lv to je 1. Fickův zákon

Martin Kormunda

Poznámky● obecně pak to lze psát jako j

dif = -grad n

● a po dosazení konstantní teploty, pak máme● D = konst* SQRT(1/m),● proto největší difuzní tok mají nejlehčí molekuly

tedy vodík a helium.

Martin Kormunda

Co pokud nemáme konstantní teplotu?

● jsme zvyklí, že pokud máme dvě spojené nádoby, tak se tlaky v nich vyrovnají.

● Platí to i pokud mají různé teploty za nízkého tlaku?

●

Martin Kormunda

Za nízkého tlaku - efuze● l >> d● obdobně jako u difuze

vypočteme tok části otvorem zleva a zprava

● JL = S*1/4*n*v = … = konst * n *

SQRT(T)● pak pro různé teploty oplatí n

1/n

2 = SQRT(T

2/T

1)

n2T2

n1T1

Martin Kormunda

Ale co tlak?● p = nkT a po dosazeníp

1/p

2 = SQRT(T

2/T

1) za nízkého tlaku viz

podmínka

Pokud máme tlakoměr v uzavřené komůrce mimo komoru , pak naměříme nesprávný tlak je li v komoře jiná teplota než v měřící oblasti

Martin Kormunda

Vakuová pec

● T1 = 2000 K

● T2 = 300 K mimo pec

● p2 = p

1*SQRT(T

1/T

2) = 2.6 * p

1

T1, p1

T2, p2

Martin Kormunda

Přenos energie - tepla● co pokud mají protilehlé plochy různé teploty,

může se mezi nimi teplo přenášet?

předpokládejme spojitý růst teploty i když částice budou mít vždy mezi srážkami teplotu konstantníkaždé teplotě odpovídá nějaká kinetická energie

S

T2 > T1, plocha P2

T1, plocha P1

z

0

d

z0

Martin Kormunda

Teplota funkcí polohy● T = T(z)● představme si tedy situaci rozdělenou do

vrstviček vzdálených l, kdy každá vrstva má svojí teplotu

● sledujme proud části plochou S● tepelný tok shora = ¼ nv S 3/2kT(z

0+l)

● tepelný tok zdola = ¼ nv S 3/2kT(z0-l)

Martin Kormunda

Výsledný tepelný tok

Qv = Q shora – Q zdola =

= ½ nv 3/2kl (dT/tz)v S

derivace je nahrazení rozdílu teplot dělený vzdáleností vrstviček 2l(dT/tz)

v - uvnitř plynu

Qv = -λ

v (dT/tz)

v S

a hustota tepelného toku pak je

jv = -λ

v (dT/tz)

v = -λ

v grad T a konstantní v každé

výšce aby platil z.z. energie

Martin Kormunda

Co ale u stěn?● jak interagují molekuly s povrchem, dopadají z l

o teplotě T(l) na 0 o teplotě T1

pokud pružně, tak se odrazí, ale to by se neměnila jejich teplota

● takže nepružně musí se ochladit/ohřát na teplotu stěny.

● tepelný tok na P1 je pak ¼ nv S 3/2k (T(l)-T1),

● ale ve skutečnosti se část molekul opravdu odrazí pružně

Martin Kormunda

Akomodační koeficient● energii předá pouze tato část molekul

dopadlých na P1● α

E = N

a/N, kde N

a je počet ochlazených molekul

a N je počet všech molekul dopadlých na povrchu

● koeficient je mezi 0 a 1 ● např.:

● N2 na Pt 0.77

● O2 na Pt 0.79

● H2 na Pt 0.29

Martin Kormunda

Tepelný tok na stěny

● QP1

= αE ¼ nv S 3/2k (T(l)-T

1)

● QP2

= αE ¼ nv S 3/2k (T

2-T(d-l))

● a také samozřejmě ze z.z.e.● platí Q

P1 = Q

v a také Q

P2 = Q

v

● vzniklou soustavu rovni vyřešíme

Martin Kormunda

Řešení● dostaneme řešení pro neznámé T(l), T(d-l),

(dt/dz)v

● Ge je kluzný koeficient● dále lze napsat rovnici teploty T = T(z)

jako T(z) = a + bz

Martin Kormunda

Graf

● přímka začíná v z1 = -(2-α

E)/α

E*l pro T1

● a končí v d+z1 pro T2

● dTs = (2-α

E)/α

E*l*(dT/dz)

v

●

T2

∆ Ts

d

T

∆ Ts

T1

Martin Kormunda

Koeficient tepelné vodivosti● dosaďme za (dT/dz)v do rce. pro tepelný tok,

pak● Q

P1 - Q

P2 = ½ nv 3/2 kl (T2-T1)/d G

e S

● upravíme na ● Q

P1 - Q

P2 = λ S (T2-T1)/d

● kde λ je koeficient tepelné vodivosti

Martin Kormunda

Pro vysoké tlaky● platí l << d po dosazení a úpravě● λ = ¾ v/T * p*l, ● pozor víme, že součit p*l není funkcí tlaku, jen

teploty a druhu plynu● tedy λ (přenos tepla) je na tlaku nezávislá pro

tyto podmínky

Martin Kormunda

Pro nízké tlaky● platí l >> d po dosazení a úpravě

● tedy λ (přenos tepla) je na tlaku závislá pro tyto podmínky

● to se dá využít pro měření tlaku plynu

Martin Kormunda

Tření plynu● mějme dvě plochy, jedna je v klidu a druhá se

pohybuje rychlostí v

S

v, plocha P2

v = 0, plocha P1

z

0

d

Martin Kormunda

Tření plynu● počítáme stejně jako u přenosu tepla, jen místo

kinetické energie přenášíme hybnost molekul mv(z)

● po obdobném odvození dostaneme, že ● Ft = η S (v

2-v

1)/d , η je koef. dyn. viskozity

Martin Kormunda

Pro vysoké tlaky● platí l << d po dosazení a úpravě● je Gp = 1, kluzný faktor d/(d+2l(2/α

p – 1))

● αp – akomodační koeficient hybnosti

● pak je● η = ½ vm/kT pl, kde pl je nezávislé na tlaku● takže přenos hybnosti nezávisí na tlaku, ale

pouze na plynu a jeho teplotě

Martin Kormunda

Pro nízké tlaky● platí l >> d po dosazení a úpravě● η = ¼ p/kT v m α

p/(2-α

p)*d

● tedy je úměrný tlaku a závisí na teplotě● po dosazení třecí síla F

t nezávisí na vzdálenosti

ploch, jen na tlaku plynu● lze použít pro měření tlaku plynu – viskózní

manometry

Martin Kormunda

Poznámka● při velmi nízkém tlaku, molekuly vyletují z P1 a

přímo dopadají na P2, tedy neexistuje gradient rychlost

● uplatňuje se pouze vnější tření

Martin Kormunda

Proudění plynu potrubím● objemové proces jsou ty s přenosem hmoty,

energie a impulsu, tam patří i proudění.● Podobně jako u el. proudu definujeme proud

plynu jako qm = dm/dt , množství plynu prošlé

plochou S za jednotku času● množství plynu lze charakterizovat hmotou m,

látkovým množstvím ν, počtem částic N, objemem V a součinem pV

Martin Kormunda

Toky

● qm = dm/dt [kg/s] hmotnostní tok plynu

● qν = dν/dt [mol/s] proud lát. množství

● qpV

= d(pV)/dt [Pa*m3/s, sccm] nejčastěji pV-proud

● sccm - Standard Cubic Centimeter per Minute

Martin Kormunda

Proudění● vyšší tlak – viskózní (laminární) proudění

● spojitá funkce dv/dz● nižší tlak – molekulární proudění

● vnější tření, dv/dz neexistuje

Martin Kormunda

Potrubí● pro nás bude dále trubice kruhového průřezu o

poloměru r a délky l●

Martin Kormunda

Viskózní proudění

● pro delší trubky, l > r platí● q = πr4/8ηl * p

stř * (p

1-p

2) = c

viz * (p

1-p

2)

● kde cviz

je vodivost trubky, pstř

je průměr tlaků

● pro vzduch cviz

= 2,158*104 r4/l pstř

r

l

Martin Kormunda

Molekulární proudění● pro l > r platí ● q = 8/3 r3/l SQRT(πkT/(2m))*(p

1-p

2) = c

mol*(p

1-p

2)

● kde vodivost trubky je úměrná pouze poloměru nikoliv tlaku a závisí na teplotě a druhu plynu

● pro vzduch při 20 oC je Cmol = 968,5 r3/l

Martin Kormunda

Co vodivost otvoru● platí i pro krátké trubky● tok zleva na otvor ¼ n

1 v S

● tok zprava na otvor ¼ n2 v S

● zleva teče přes otvor částicový proud:● q

N = ¼ (n

1 – n

2) v S, po dosazení pro kruhový

otvor máme● q

N = πr2/SQRT(2πmkT) * (p

1-p

2)

p2p1

Martin Kormunda

Vodivost otvoru pV-proud

● q = qpV

= d(pV)/dt = kT dN/dt= kT qN

● q = πr2 SQRT(kT/(2πm)) * (p1-p

2)

● q = cEF

* (p1-p

2) ,c

EF- koef. efuzní vodivosti otvoru

● pro vzduch při 20 oC je ● c

EF= 363*r2 m3/s

● přepočteme na 1 cm2 a máme ● c

EF(1)= 11.6 l/s – z toho lze odhadnout čerpací

rychlost vývěvy podle velikosti hrdla

Martin Kormunda

Vodivost● Efuzní vodivost je ze všech uvedených

vodivostí nejmenší● Vodivost otvorů a štěrbin za molekulárních

podmínek (nízký tlak) je velice malá.

Martin Kormunda

Obecně● všechny uvedené výrazy mají tvar● q = C *(p

1-p

2) to je podobné Ohmovu zákonu

● I = 1/R * U, kde U je rozdíl potenciálů● odpor potrubí lze definovat obdobně● R

vis = 1/C

vis

● Rmol

= 1/Cmol

● Ref = 1/C

ef

Martin Kormunda

Platí pak i Kirchhoffovy zákony● R = R1 + R2 + R3 pro sériové zapojení

● Pozn. i odpor trubky je tvořen molekulárním odporem trubky a efůzním odporem otvoru !!

Martin Kormunda

Platí pak i Kirchhoffovy zákony● C = C1 + C2 + C3 pro paralelní zapojení

Vakuová komora

Martin Kormunda

Proudění plynu netěsnostmi

Netěsnosti:● mezi vakuovou komorou a vnějším prostředím

– hledání netěsností viz cca 10. přednáška● mezi oblastmi s různými nízkými tlaky uvnitř

komory (šíření plynu za nízkých tlaků)