Elektronova lokalizacia
Peter MarkosKatedra fyziky FEI STU
3. oktober 2008
AbstractAndersonova lokalizacia [P. W. Anderson:Absence of diffusion in certain random lattices,
Phys. Rev. B 109, 1492 (1958) je zodpovedna za mnohe neklasicke efekty, predpovedane
a pozorovane pri studiu elektronoveho transportu v malych systemoch. Ukazem, na zaklade
numerickych experimentov, ze lokalizacia suvisı s kvantovym (vlnovym) charakterom pohybu
elektronov. Numericke simuklacie umoznuju aj demonstrovat’ niektore charakteristicke vlastnosti
slabej lokalizacie a silno lokalizovaneho rezimu.
– Typeset by FoilTEX –
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
1. Uvod: teoria Andersonovej lokalizacie.
2. Univerzalne vlastnosti vodivosti v slabo neusporiadanych vzorkach: difuzia elektronov,
univerzalne fluktuacie vodivosti (UCF), slaba lokalizacia.
3. Pohyb elektronu v silno neusporadanych vzorkach: absencia difuzie, lokalizacia, vlnovy
charakter elektropnoveho pohybu.
4. Zaver elektronov.
5. Zaver.
– Typeset by FoilTEX – 1
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Anderson (1958): absencia elektronovej difuziev neusporiadanej strukture.
Periodicka mriezka:
Ψ(~r) ∼ ei~k~r
Nahodny system:
Ψ(~r) ∼ e−|~r−~r0|/λ, |~r − ~r0| � λ
– Typeset by FoilTEX – 2
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Neusporiadanost’ - Disorder: rozne modely.
(a) Periodicka mriezka.
(b) Rovnake atomy v roznych polohach.
(c) Nahodne polohy, konstantny pocet
susedov na kazdy uzol.
(d) Rovnake polohy, rozne atomy.
(e) Spinovy.
(f) Nahodne preskokove cleny.
– Typeset by FoilTEX – 3
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Andersonov modelH = W
Xn
εnc†ncn + V
X[nn′]
c†ncn′.
vel’kost’ mriezky Ld dimenzia d
vodivostny pas ma sırku 2dV .
W - disorder (miera neusporiadanosti)
Stredna vol’na draha: ` ∝ W−2
Anderson model:
- pohyb jedineho elektronu (bez spinu)
(ortogonalna symetria).
- Kvantovany Hallov jav:
Andersonov model + magneticke pole
(unitarna symetria).
- Model so spinom: t je matica 2× 2
(symplekticka symetria).
Andersonov model neuvazuje: el-el interakciu, vplyv teploty (dekoherenciu)
– Typeset by FoilTEX – 4
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 5
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Hustota stavov (3D)
W = 0 : E = 2V cos kx + 2V cos ky + 2V cos kz |E| < 6V
Neusporiadanost’ rozsiruje vodivostny pas. Lokalizovane stavy v “chvostoch”.
– Typeset by FoilTEX – 6
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Prah pohyblivosti (mobility edge).
Andersonov prechod:
- Disorder sposobı rozsırenie vodivostneho pasu.
- Existencia prahu poyblivosti Ec = Ec(W ).
- Zmenou Fermiho energie EF sa zmenı transportny rezim
(kov: EF > Ec, resp. izolant EF < Ec).
Andersonov izolant: el. vodivost’ σ = 0 aj ked’ ρ(E) 6= 0.
– Typeset by FoilTEX – 7
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Transportne rezimy
V zavislosti od neusporiadansti a polohy Fermiho energie:
• Kovovy rezim
• Kriticky rezim
• Lokalizovany rezim
Rozdielnosti v rozlozenı vlnovej funkcie, energetickom spektre ai. parametroch.
– Typeset by FoilTEX – 8
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Dlzkove skaly
Stredna vol’na draha pruznych zrazok: ` - meria silu neusporiadanosti
Stredna vol’na draha nepruznych zrazok Lφ
Polomer lokalizacie λ
Vel’kost’ vzorky: L
Rozne transportne rezimy:
Balisticky: L� `� Lφ
Difuzny : `� L� λ, Lφ
Lokalizovany: λ� L� LΦ
T = 0: Lφ →∞. Preto nemusıme uvazovat’ dekoherenciu.
– Typeset by FoilTEX – 9
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Numericke metody
• Transfer matica: rozptylovy experiment
• Analyza casoveho vyvoja: difuzia a absencia difuzie
• Vizualizacia elektronovej drahy napriec vzorkou.
– Typeset by FoilTEX – 10
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Transfer matica
Rozptylovy experiment:„C
B
«= S
„A
D
«S =
„t′
r
r′
t
«(1)
„C
D
«= T
„A
B
«T =
„t−1 −r′t−1
rt−1
t′ − r′t−1
r
«(2)
Transmisia: T = Tr t†t
– Typeset by FoilTEX – 11
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Landauerova konduktancia gL.
Konduktancia g [Landauer]
gL = 2e2
h
T
R.
Economou a Soukoulis:
gES = 2e2
hT .
– Typeset by FoilTEX – 12
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Konduktancia g.
Konduktancia meria pravdepodobnost’ elektronu prejst’ cez neusporiadanu vzorku.
Konduktancia vs vodivost’.
Konduktancia g
- pre konecne systemy
- nulova teplota T = 0
- kvantova koherencia
- fluktuacie
Vodivost’ σ:
- pre nekonecny system
- z teplotnych strat (KG)
- ziadne statisticke fluktuacie
〈g〉 = σLd−2
– Typeset by FoilTEX – 13
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Casovy vyvoj
Uvazujeme vzorku L × L. V case t = 0 zvolıme Ψ(t = 0, ~r) = Φ(~r) nenulovu len v
malej oblasti v strede vzorky. Riesime numericky Schrodingerovu rovnicu
i~∂Ψ(t, ~r)
∂t= HΨ(~r) (3)
resp.
i~∂Ψ(t, nx, ny)
∂t= Wεnx,nyΨ(t, nx, ny)
+V [Ψ(t, nx + 1, ny) + Ψ(t, nx − 1, ny) + Ψ(t, nx, ny + 1) + Ψ(t, nx, ny − 1)].
Numericky: diskretizujeme cas (v jednotkach ~/V ), a pouzijeme vhodnu numericku
metodu (napr. metodu striedavych smerov).
– Typeset by FoilTEX – 14
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 15
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Kov: difuzny rezim
Difuzia: 〈r2(t)〉 = 2Dt . . . D difuzny koeficient
V slabo neusporiadanom systeme: elektronova difuzia. El. vodivost’:
σ = e2D(E)ρ(E) (4)
– Typeset by FoilTEX – 16
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Difuzia na vel’kych mriezkach
Dvojrozmerna mriezka 2048 × 2048 (1024 × 1024). Pre slabu neusporiadanost’
pozorujeme difuzny rezim, 〈r2(t)〉 = 2Dt. Pre silnejsiu neusporiadanost’ difuzia zanika
(t0 = 1000 ~/V ).
– Typeset by FoilTEX – 17
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Univerzalne fluktuacie konduktancie (2D, difuzny rezim).
Konduktancia nie je samoustrednitel’na velicina ani v limite L → ∞. Gaussovske
rozdelenie p(g) s univerzalnou sırkou ∝ e2/h, nezavislou na detailoch mriezky (vel’kost’
vzorky, amplituda fluktuaciı potencialu ...).
Ale: var g zavisı od dimenzie. Je mozne ju najst’ analyticky.
10.000 meranı na 10.000 vzorkach.
– Typeset by FoilTEX – 18
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Slaba lokalizacia v 2D (difuzny rezim)
Vd’aka kvantovej koherencii je pravdepodobnost’ navratu elektronu(backscattering) 2×vacsia ako v klasickom pripade. Toto redukuje konduktanciu (transmisiu) a teda aj
vodivost’:
〈g〉 = σklas + δσ = σklas −1
πlnL
`. (5)
Slaba lokalizacia zavisı od dimenzie.
– Typeset by FoilTEX – 19
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Slaba lokalizacia v 2D (difuzny rezim)
Pravdepodobnost’ navratu do
vychodzieho bodu:
Klasicky:
|A1|2 + |A2|2 = 2|A|2Kvantovo:
|A1 + A2|2 = |2A|2 = 4|A|2Kvantova nterferencia sposobı narast
spatneho rozptyly a preto pokles
vodivosti:
δσ = −X
drahy α
|Aα|2. (6)
– Typeset by FoilTEX – 20
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Slaba lokalizacia v 2D (difuzny rezim)
Ako sa to meria?
Vel’kost’ vzorky L hra ulohu vzidalenosti, ktoru elektron prejde ako kvantova castica. V
realnych systemoch, pri nenulovej teplote T , tuto ulohu prevezme
stredna vol’na draha nepruznych zrazok Lφ ∝ T−p.
Exponent p zavisı od typu nepruznej zrazky.
Vzt’ah pre vodivost’ ma potom tvar
δσ = −const× lnT
T0
(7)
Tato zavislost’ sa naozaj experimentalne meria.
– Typeset by FoilTEX – 21
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Slaba lokalizacia seizmickych vln PRL 93, 048501 (2004)
sırenie seizmickych (akustickych vln na vrchole vulkanu Puy des Goules (Francuzsko).– Typeset by FoilTEX – 22
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 23
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Lokalizacia - jednorozmerny prıpad.
Ukazka troch jednorozmernych vzoriek s nahodne fluktuujucim potencialom. Vzorky sa
od seba “dost’” lısia v mikroskopickych detailoch, hoci su charakterizovane tymi istymi
parametrami: W a V .
– Typeset by FoilTEX – 24
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Lokalizacia - jednorozmerny prıpad.
H = WXn
εnc†ncn + V
X[nn′]
c†ncn′.
(V = 1).
Vlastne stavy elektronu na retiazke dlzky
L = 500. Vlastna energia: ta, ktora je
najblizsia k E = 0.5.
Rozlozenie vlnovej funkcie v 1D retiazke pre roznu silu neusporiadanosti. S rastom
neusporiadanosti W sa elektrony lokalizuju v nejakej casti vzorky.
– Typeset by FoilTEX – 25
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Najjednoduchsı model lokalizacie
Nahodne rozmiestnene bariery.
Transmisia T = |t|2 a reflexia R = |r|2.
Landauerov odpor: ρ = R/T
Je treba najst’ TN a RN pre system N nahodne rozmiestnenych barier.
– Typeset by FoilTEX – 26
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Kvantova castica: Ohmov zakon neplatı
Vypocet transmisie cez dve bariery:
t12 = t1t2eiφ
+ t1r′2r1t2e
i3φ+ . . .
t12 = t1[1− r′2r1]−1t2 T12 = |t12|2
T12 = |t12|2 =T1T2
1 + R1R2 − 2√R1R2 cos Φ
,
Φ = φ + φr1 + φr′2. . . (nahodna) faza, dana fazou r1, r′2 a vzdialenost’ou medzi
barierami. Ustrednenie cez Φ:
〈ρ12〉 = 〈ρ1〉+ 〈ρ2〉+ 〈ρ1〉〈ρ2〉
Odpor retiazky rastie rychlejsie ako linearne.
– Typeset by FoilTEX – 27
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Klasicka castica: Ohmov zakon platı
Transmisia pocıtana z pravdepodobnostı prechodu a odrazu, nie z amplitud:
Tcl12 = T
cl1 T
cl2 + T
cl1 R
cl2R
cl1 T
cl2 + T
cl1 R
cl2R
cl1R
cl2R
cl1 T
cl2 + . . .
Tcl12 =
T cl1 T
cl2
1− Rcl1R
cl2
.
ρcl12 =
T cl12
1− T cl12
= ρcl1 + ρ
cl2 .
Lokalizacia je dosledok kvantovej koherencie rozptylovanych vln (skladanie t, nie T ).
– Typeset by FoilTEX – 28
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Konduktancia: fluktuacie v lokalizovanom rezime
Ergodicka hypoteza
Zmenou Fermiho energie zıskame taku
istu statistiku ako zo suboru N roznych
vzoriek s tou istou Fermiho energiou.
– Typeset by FoilTEX – 29
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Transmisia ako funkcia dlzky vzorky
Pridavanım atomov (prekazok) do retiazky mozeme drasticky zmenit’ jej transmisiu.
Naprıklad ju zvysit’ o niekol’ko radov. Nieco take klasicka mechanika nepozna.
– Typeset by FoilTEX – 30
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Numericka demonstracia lokalizacie I
Vratime sa k numerickemu experimentu: majme neusporiadanu vzorku (W/V > 1)
vel’kosti L × L a kvapnime do prostriedku jediny elektron. Budeme pozorovat’, ako sa
elektron sıri vzorkou.
Pocıtame aj 〈r2(t)〉 ako funkciu casu t.
Pretoze V definuje sırku vodivostneho pasu, predpokladajme V ∼ eV je radu 10−18 J.
Preto jednotka casu
~/V ∝ 10−16 s.
Ukazem dve simulacie: W/V = 6, vzorka 1024× 1024, cas 0 < t < 900.000 ~/V .
W/V = 8, vzorka 512× 512 cas 0 < t < 36.000 ~/V .
– Typeset by FoilTEX – 31
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Numericka demonstracia lokalizacie I
W/V = 6. 〈r2(t)〉 spociatku pomalicky narasta, potom sa saturuje. |Ψ| > 10−4
(siva), |Ψ| > 5 × 10−3 (modra), |Ψ| > 10−3 (cervena), |Ψ| > 5 × 10−3 (cierna).
Pravdepodobnost’ najst’ elektron na neoznacenom bode mriezky je mensia ako 10−8.
L = 1024. Cas je merany v t0 = 1000 ~/V .
– Typeset by FoilTEX – 32
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 33
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 34
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 35
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 36
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 37
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 38
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 39
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 40
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 41
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Numericka demonstracia lokalizacie I
mala neusporiadanost’ vel’ka
Vidıme, ze priestorove rozlozenie elektronu s narastajucim casom nerastie, len fluktuuje
v okolı povodnej polohy elektronu. Nasleduje casovy vyvoj pre W/V = 8 na mriezke
512× 512:
– Typeset by FoilTEX – 42
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 43
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 44
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 45
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 46
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 47
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 48
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Elektron nie je viazany v ziadnej potencialovej jame.
Dokaz: “kvapneme” styri elektrony na styri rozne pozıcie.
Uvidıme, ze elektrony zostanu v okolı polohy, kam sme ich na zaciatku “polozili”.
Poloha, kde zostali priestorovo lokalizovanme, teda nie je dana ziadnou potencialovou
jamou. Kaza cast’ neusporiadanej vzorky je rovnako vhodna na lokalizovanie elektronu.
– Typeset by FoilTEX – 49
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 50
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
– Typeset by FoilTEX – 51
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Konduktancia g.Rozptylovy experiment:
„C
B
«= S
„A
D
«S =
„t′
r
r′
t
«(8)
„C
D
«= T
„A
B
«T =
„t−1 −r′t−1
rt−1
t′ − r′t−1
r
«(9)
Konduktancia g [Landauer] (~2/2e = 1)
g = Tr t†t.
– Typeset by FoilTEX – 52
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Numericka demonstracia lokalizacie II
pozrieme sa, akadial’ elektron putuje cez vzorku.
Idea:
H = WXn
εnc†ncn + V
X[nn′]
c†ncn′.
Vzorka je charakterizovana nahodnymi energiami εn
Transmisia je statisticka velicina, pretoze energie su nahodne.
Ako sa zmenı transmisia, ak zmenım ejdnu jedinu nahodnu energiu?
εn → − εn (10)
– Typeset by FoilTEX – 53
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Ukazka, co mame na mysli:
Uvazovana zmena potencialu v jednorozmernom prıpade.
V dvojrozmernom prıpade je zmena este mensia: ak mam vzorku 100 × 100, zmenım
potencial na jedinom uzle mriezky, teda relatıvna zmena potencialu je ∝ 10−4.
– Typeset by FoilTEX – 54
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Su dve moznosti:
Dvojrozmerny system:
εn → − εn. (11)
• Elektron cez uzol mriezky n neprechadza - vtedy je jedno, aka energia na nom je.
Transmisia sa teda nezmenı.
• Elektron cez uzol mriezky n prechadza. vtedy ocakavam, ze sa transmisia zmenı.
– Typeset by FoilTEX – 55
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Slaba neusporiadanost’
W = 2, T ≈ 5 Vsetky body su rovnake, typicka zmena transmisie je ≈ 1%.
– Typeset by FoilTEX – 56
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Slaba neusporiadanost’
W = 4, T ≈ 0.5. Zmena nahodneho potencialu v cervenych bodoch zmenı transmisiu o
10%.
– Typeset by FoilTEX – 57
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Silna neusporiadanost’
W = 6, T ≈ 0.0008. Zmena nahodneho potencialu v ciernych bodoch zmenı transmisiu
o 100%.
– Typeset by FoilTEX – 58
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Este silnejsia neusporiadanost’
W = 10, T ≈ 10−14. Crta sa nieco ako “draha” elektronu napriec vzorkou. Napriek
tomu sa zda, ze pohyb elektronu je nelokalny, elektron “cıti” celu vzorku.
– Typeset by FoilTEX – 59
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Este silnejsia neusporiadanost’: W/V = 20.
W = 20, T ≈ 10−96.
Energia elektronu E = 0 (stred
vodivostneho pasu).
Ukazana je zmena logaritmu transmisie.
Crta sa nieco ako “draha” elektronu napriec
vzorkou.
Draha nie je viazana na ziadnu
ekvipotencialnu plochu, prıpadne “dolinu”
v potencialovom profile.
Inset ukazuje uzly mriezky n, v ktorych je |εn| < 1.
– Typeset by FoilTEX – 60
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Pohyb elektronu je vlnovy
Pohyb cez tu istu vzorku, len potencial εn → 2 εn na kazdom uzle mriezky.
– Typeset by FoilTEX – 61
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Zaver
Vlnovy (kvantovomechanicky) charakter pohybu elektronu moze sposobit’ lokalizaciu
elektronov v nejakej casti vzorky. Lokalizovany elektron nevedie prud, preto je taka
vzorka izolatorom.
Pretoze aj elektromagneticke vlny su vlny, ocakavame, ze v neusporiadanych dielektrikach
dochadza k ich lokalizacii. teoreticky popois je analogicky. Experimentalne pozorovanie
lokalizacie je asi este l’ahsie ako v prıpade elektronov, lebo (i) EM vlny medzi sebou
neinterahuju (ii) vlnova dlzka EM vln moze byt’ makroskopicka. [Gennack, Garcia] (iii)
nemame problem s koherenciou.
Nielen EM vlny, ale aj akusticke vlny sa mozu vplyvom neusporiadanosi priestorovo
lokalizovat’.
– Typeset by FoilTEX – 62
Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008
Zaver (definitıvny)
Andersonova lokalizacia oslavuje v tomto roku 50 rokov.
– Typeset by FoilTEX – 63