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University Physics, Chapter 23 January 9, 2014 1
Potencial Eléctrico
Hemos estado estudiando el campo eléctrico Tema siguiente: el potencial eléctrico Tenga en cuenta la similitud entre la fuerza de la gravedad y
la fuerza eléctrica La gravitación puede ser descrita en términos de un
potencial gravitacional y vamos a demostrar que el potencial eléctrico es análogo
Veremos cómo el potencial eléctrico se relaciona con la energía y el trabajo
Vamos a ver cómo podemos calcular el potencial eléctrico a partir del campo eléctrico y viceversa
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Energía Potencial Eléctrica (1)
La fuerza eléctrica, como la fuerza de la gravedad, es una fuerza conservativa
Para una fuerza conservativa, el trabajo es independiente del camino
Cuando una fuerza electrostática actúa entre dos o más cargas dentro de un sistema, podemos definir una energía potencial eléctrica, U, en términos del trabajo realizado por el campo eléctrico, We, cuando el sistema cambia su configuración desde una configuración inicial a una configuración final. Change in electric potential energy = -Work done by electric field
is the initial electric potential energy is the final electric potential energy
f i e
i
f
U U U WUU
∆ = − = −
January 9, 2014 University Physics, Chapter 23 3
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Energía Potencial Eléctrica(2)
Al igual que para la energía potencial gravitatoria o mecánica, hay que definir un punto de referencia al cual se pueda asignar el cero de la energía potencial eléctrica
Se define la energía potencial eléctrica sea cero cuando todas las cargas están infinitamente distantes
Podemos entonces escribir una definición más sencilla del potencial eléctrico tomando la energía potencial inicial cero,
The negative sign on the work:
• Si E hace trabajo positivo U < 0 • Si E hace trabajo negativo U > 0
0fU U U W∆ = − = = −
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Campo eléctrico constante Echemos un vistazo a la energía potencial eléctrica cuando movemos una
carga q una distancia d en un campo eléctrico constante
The definition of work is
For a constant electric field the force is … so the work done by the electric field on the charge is
W F d= ⋅
cosW qE d qEd θ= ⋅ =
Note: angle between and E dθ =
F qE=
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Constant Electric Field - Special Cases
If the displacement is in the same direction as the electric field
• Una carga positiva pierde energía
potencial cuando se mueve en el sentido del campo eléctrico.
• If the displacement is in the direction opposite to the electric field
Una carga positiva gana energía potencial cuando se mueve en sentido opuesto al campo eléctrico.
qEdUqEdW −=∆= so so W qEd U qEd= ∆ = −
so W qEd U qEd= − ∆ =
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Definición de Potencial Eléctrico
La energía potencial eléctrica de una partícula cargada en un campo eléctrico depende no sólo del campo eléctrico, sino también de la carga de la partícula
Queremos definir una cantidad que sea independiente de la carga de prueba
Definimos el potencial eléctrico como Unlike the electric field, which is a vector, the electric
potential is a scalar • Units: Volt, symbol V
1V = 1J/C
UVq
= “potential energy per unit charge of a test particle”
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Potencial Eléctrico V The electric potential, V, is defined as the electric
potential energy, U, per unit charge
El potencial eléctrico es una característica del campo eléctrico, independientemente de si un objeto cargado se ha colocado en ese campo (porque U ∝ q)
The electric potential is a scalar The electric potential is defined everywhere in
space as a value, but has no direction
UVq
=
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Diferencia de Potencial Eléctrico, ∆V (1)
La diferencia de potencial eléctrico entre un punto inicial i y el punto final f puede ser expresada en términos de la energía potencial eléctrica de q en cada punto
Por tanto, podemos relacionar el cambio en el potencial eléctrico con el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga
f if i
U U UV V Vq q q
∆∆ = − = − =
eWVq
∆ = −
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Diferencia de Potencial Eléctrico, ∆V (2)
Tomando la energía potencial eléctrica cero en el infinito tenemos
donde We,∞ es el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga para traerla desde el infinito hasta x The electric potential can be positive, negative, or zero, but it has no direction (i.e., scalar not vector)
The SI unit for electric potential is joules/coulomb, i.e., volt.
,eWV
q∞= −
Explanation: i = ∞ , f = x, so that ∆V = V(x) − 0
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El voltio
The commonly encountered unit joules/coulomb is called the volt, abbreviated V, after the Italian physicist Alessandro Volta (1745-1827)
With this definition of the volt, we can express the units of the electric field as
1 J1 V = 1 C
[ ] N J/m V[ ][ ] C C mFEq
= = = =
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Energía cinética de un protón (1) Un protón se coloca entre dos placas
conductoras paralelas en el vacío como se muestra. La diferencia de potencial entre las dos placas es de 450 V. El protón se libera desde el reposo cerca de la placa positiva. ¿Cuál es la energía cinética del protón cuando llega a la placa negativa?
+ -
The potential difference between the two plates is 450 V.
The change in potential energy of the proton is ∆U, and ∆V = ∆U / q (by definition of V), so ∆U = q ∆V = e[V(−)−V(+)] = −450 eV
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Energía cinética de un protón(2)
En Física Nuclear y en Física de Altas energías se utiliza
generalmente el eV como unidad de energía Un eV es la energía adquirida por un carga e que acelera a través de
un potencial eléctrico de 1 voltio
The proton in this example would gain kinetic energy of 450 eV = 0.450 keV.
191 eV 1.6022 10 J−= ⋅
initial final Conservation of energy
∆K = − ∆U = + 450 eV
Because the proton started at rest,
K = 1.6x10-19 C x 450 V =
7.2x10-17 J
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Equipotential surface from eight point charges fixed at the corners of a cube
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Equipotential Surfaces and Lines
En presencia de un campo eléctrico, el potencial toma un valor en cada punto x V(x) = potential function
Los puntos próximos que tienen el mismo potencial eléctrico forman una superficie equipotencial i.e., V(x) = constant value
Si una partícula cargada se mueve sobre una superficie equipotencial, no se realiza trabajo
Las superficies equipotenciales existen en 3D.
A menudo se nos aprovecharemos de simetrías en el potencial eléctrico para representar las superficies equipotenciales como líneas equipotenciales en un plano
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Si una partícula cargada se mueve perpendicularmente a las líneas de campo eléctrico, no se realiza trabajo
Si el trabajo realizado por el campo eléctrico es cero,
entonces el potencial eléctrico debe ser constante
Por lo tanto, las superficies equipotenciales deben ser siempre perpendicular a las líneas de campo eléctrico
General Considerations
∆V = −
We
q= 0 ⇒V is constant
0 if W qE d d E= ⋅ = ⊥
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Campo eléctrico constante Las líneas de campo eléctrico: líneas rectas paralelas a E Superficies equipotenciales: Planos perpendiculares a E Líneas equipotenciales: Rectas perpendiculares a E
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Carga puntual
Las líneas de campo eléctrico: líneas radiales que emanan del punto de carga Superficies equipotenciales: esferas concéntricas Líneas equipotenciales: Círculos concéntricos
Positive charge Negative charge
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Dos cargas puntuales opuestas
Las líneas de campo eléctrico se originan en la carga positiva y terminan en la carga negativa
Las líneas equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico
Las líneas rojas representan potencial positivo Las líneas azules representan el potencial negativo Cerca de cada carga, las líneas equipotenciales se parecen a las de una carga puntual
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Dos cargas puntuales idénticas
Las líneas de campo eléctrico se originan en la carga positiva y terminan en el infinito
Las líneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico
Hay potenciales sólo positivos Cerca de cada carga, las líneas equipotenciales se asemejan a las de una carga puntual
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Obtener el potencial a partir del campo
Trabajo dW realizado sobre una carga q por una force F en un desplazamiento ds:
Trabajo W realizado por la fuerza eléctrica sobre la partícula cuando se mueve en el campo E desde un punto inicial i hasta un punto final f
Diferencia de potencial:
Potencial en el punto x:
dW F ds qE ds= ⋅ = ⋅
f
iW qE ds= ⋅∫
fef i i
WV V V E dsq
∆ = − = − = − ⋅∫
(Convention: i = ∞, f = x) ( )
xV x E ds
∞= ⋅∫
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Ejemplo (1)
Dado E uniforme, encontrar la diferencia de potencial Vf −Vi al mover una carga de prueba q0 a lo largo del camino icf, donde cf forma un ángulo de 45 º con el campo. Idea: Integrate along
the path connecting i and c, then c and f. (Imagine that we move a test charge q0 from i to c and then from c to f.) ( ) ( ) ( ) ( )c f
f i f c c i i cV V V V V V E ds E ds− = − + − = − ⋅ + − ⋅∫ ∫
E ds⋅
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Ejemplo(2)
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0 (ds perpendicular to E)
cos(45 ) distance
c f
f i i c
c
i
f f
c c
V V E ds E ds
E ds
E ds E ds E
− = − ⋅ − ⋅
⋅ =
⋅ = ° = × ×
∫ ∫
∫
∫ ∫
distance = sqrt(2) d by Pythagoras
f iV V Ed− = −El resultado es el mismo que si hubiéramos tomado el camino directo de i hasta f, sin pasar por c, porque el campo E es conservativo!!
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Potencial creado por una carga puntual (1) We’ll derive the electric potential for a point source q, as a
function of distance R from the source • That is, V(R)
Remember that the electric field from a point charge q at a distance r is given by
The direction of the electric field from a point charge is always radial • V is a scalar
We integrate from distance R (distance from the point charge) along a radial to infinity:
2ˆ( ) kqE r r
r=
2R RR
kq kq kqV E ds drr r R
∞∞ ∞ = = = − = ∫ ∫ •
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Potencial creado por una carga puntual(2)
El potencial eléctrico V creado por una carga q puntual a una distancia r es
Positive point charge
Negative point charge ( ) kqV rr
=
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Potencial creado por varias cargas puntuales (1)
Calculamos el potencial eléctrico de un sistema de n cargas puntuales sumando las funciones potenciales de cada carga
Esta suma produce un potencial eléctrico en todos los puntos en el espacio : una función escalar
El cálculo del potencial eléctrico de un grupo de cargas puntuales es por lo general mucho más simple que el cálculo del campo eléctrico porque es un escalar
1 1
n ni
ii i i
kqV Vr= =
= =∑ ∑
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Potencial creado por varias cargas puntuales(2)
Assume we have a system of three point charges: q1 = +1.50 µC q2 = +2.50 µC q3 = -3.50 µC
q1 is located at (0,a) q2 is located at (0,0) q3 is located at (b,0) a = 8.00 m and b = 6.00 m
Question: What is the electric potential at point P located at (b,a)?
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Potencial creado por varias cargas puntuales(3)
Answer: The electric potential at point P is
given by the sum of the electric potential from the three charges
V =
kqi
rii=1
3
∑ = kq1
r1
+q2
r2
+q3
r3
= k
q1
b+
q2
a2 + b2+
q3
a
V = 8.99 ⋅109 N/C( ) 1.50 ⋅10−6 C6.00 m
+2.50 ⋅10−6 C
8.00 m( )2+ 6.00 m( )2
+−3.50 ⋅10−6 C
8.00 m
V = 562 V
r1
r2 r3
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Obtener el campo a partir del potencial(1)
dW = q E •ds Por tanto −q dV =q E •ds ⇒ E •ds = − dV Si nos fijamos en la componente del campo eléctrico a lo
largo de la dirección del ds, podemos escribir la magnitud del campo eléctrico como la derivada parcial a lo largo de la dirección de s
V = −
We,∞
q
SVEs
∂= −
∂
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Energía potencial de dos cargas
Colocamos la carga q1 • No requiere trabajo, no hay ningún campo
Traemos la segunda carga (q2) del infinito hasta la distancia r de q1 • Esto requiere un trabajo q2V1(r) La energía de las dos cargas es con es decir
2 1( )U q V r= 1
1( ) kqV rr
= 1 2kq qUr
=
Si las dos cargas puntuales tienen el mismo signo, entonces tenemos que hacer un trabajo positivo para reunirlas (es decir, hay que poner la energía en el sistema) Si las dos cargas tienen signos opuestos, hay que hacer un trabajo negativo sobre el sistema (es decir, la energía se libera del sistema)
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Energía potencial de tres cargas
Consider three point charges at fixed positions arranged an equal distance d from each other with the values • q1=+q • q2=-4q • q3=+2q
Question: What is the electric potential
energy U of the assembly of these charges?
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Colocarq1 no cuesta trabajo
Dada q1 en su lugar, traer q2
Traer q3 requiere U = U12+ U13+ U23
U = U12
Energía potencial de tres cargas
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Potencial debido a tres cargas
Consider the system of 3 charges as indicated in the figure. Relative to V=0 at infinity, what is the electric potential V at point C, the center of the triangle?
Potencial en C = k V(C)=0
C
31 2( ) , where 2cos(30 )
qq q dV C RR R R
= + + =
2( ) 0q q qV CR R R
+ − +⇒ = + + =
q1=+q, q2=-2q, q3=+q
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Example: Four Charges (1)
Consider a system of four point charges as shown. The four point charges have the values q1 =+1.0 µC, q2 = +2.0 µC, q3 = -3.0 µC, and q4 = +4.0 µC. The charges are placed such that a = 6.0 m and b = 4.0 m.
Question: What is the electric potential
energy of this system of four point charges?
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Example: Four Charges (2)
Start: Bring in q1 from infinity • No work required
Bring in q2 from infinity
Bring in q3 from infinity
Bring in q4 from infinity
q1
q2
q3
q4
a
1 2q qU ka
=
1 3 2 31 22 2
q q q qq qU k k ka b a b
= + ++
b
1 3 2 3 3 41 2 1 4 2 42 2 2 2
q q q q q qq q q q q qU k k k k k ka b b aa b a b
= + + + + ++ +
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Example: Four Charges (3)
1 31 2 1 42 2
2 3 3 42 42 2
q qq q q qU ka b a b
q q q qq qb aa b
= + + +
+ + + +
Energy of the complete assembly:
= sum of pairs
Answer: 1.2 · 10-3 J
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Example: 12 Electrons on a Circle Question: Consider a system of 12 electrons
arranged on a circle with radius R as indicated in the figure. Relative to V=0 at infinity, what are the electric potential V and the electric field E at point C?
Answer:
• Draw the picture • This is a two-part question
• Part I is about the electric potential • Part II is about the electric field
The task is to find both at the center
of a circle.
Part I: The question did not ask about assembling this system of electrons. Instead, use symmetry and super-position principle for 12 point charges.
Part II: Use symmetry and consider pairs of charges on opposite sides
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Example: 12 Electrons on a Circle
Part I: Superposition principle:
Part II: pair of electrons on opposite ends of the circle produce fields at the center that cancel each other.
( ) ( )12
1
12( )
i
e eV C k k
R R=
− −= =∑
( ) 0E C =
Symmetry dictates that the field be 0, otherwise, which direction would the field vector point?