Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 1)
0. Présentation du cours0. Présentation du cours
• Pourquoi un PA ?• Les contraintes à respecter :
– Sécurité– Performances
• Les paramètres intervenant dans la conception :– Le type d’avion – Le milieu extérieur– Les commandes de vol– L’ergonomie du podte de pilotage
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 2)
1. Les équations générales
1. Les équations générales
1. Le modèle de l’avion naturel
1. Le modèle de l’avion naturel
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 3)
Hypothèses
• Avion rigide à commandes de vol irréversibles• Avion symétrique• Atmosphère pesante immobile• La position du CG et IG sont des constantes
• Trièdre principal d’inertie Gxyz(termes nuls liés à la symétrie de l’avion)
• La masse m de l’avion est constante• Les caractéristiques de l’atmosphère (ps et Ts) ne
dépendent que de l’altitude z. • Terre plate immobile et g = 9,81 m/s2
C
B
A
G
00
00
00
I
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 4)
Positions angulaires de l’avion – les trièdres
• Trièdre lié à la terre
• Trièdre lié à l’avion
• Trièdre aérodynamique
• Voir transparent
000G zyx
xyzG
aaa zyxG
Verticale descendante
Plan horizontal
= incidence = dérapage
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 5)
Conventions de signes
• Angles > 0 si x au dessus du plan xaGya
> 0 si « l’air arrive du côté droit de l’avion »
• Commandes : braquage > 0 moment <0 l (cde de gauchissement) > 0 = manche à gauche
l’avion s’incline à gauche m (cde de profondeur) > 0 = manche vers l’avant
l’avion pique du nez n (cde de direction) > 0 = palonnier gauche
le nez de l’avion part à gauche
• Vitesses angulaires : braquage > 0 vitesse <0 Roulis « p » > 0 si portée par Gx Tangage « q » > 0 si portée par Gy Lacet « r » > 0 si portée par Gz
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 6)
Choix des variables
6 variables statiques (coordonnées et positions angulaires
6 variables dynamiques (vitesses angulaires et linéaires)
• Coordonnées du centre de gravité G / Terre
• Positions angulaires : les angles d’Euler
• Les composantes de la vitesse linéaire
• Vitesse angulaire
0
0 ou
V
V
w
v
u
Vaaa zyGxGxyz
r
q
p
Gxyz
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 7)
• Les actions aérodynamiques sont caractérisées par :
z
y
x
a
R
R
R
RGxyz
N
M
L
MGxyza
z
y
x
F
F
F
F
RGxyz
• Les actions propulsives sont caractérisées par :
F
F
F
F
N
M
L
MGxyz
Forces et moments
coscos
sincos
sin
mg
mg
mg
gmGxyz
• Les forces de pesanteur caractérisées par :
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 8)
Rappels sur les lois de la Mécanique• Le trièdre terrestre est galiléen
• Théorème fondamental de la dynamique
• Théorème du moment cinétique
Vdt
Vd
dt
Vdzyxxyz
xyzzyx
)/( 000
000
gmRRVdt
Vdm
dt
Vdmm Fa
xyzzyx
000
Fa
xyzzyx
G MMdt
d
dt
d
H
HHIH
000
.
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 9)
Détermination du modèle
• 3 équationsde moments
F
F
F
NNpqABrC
MMrpCAqB
LLqrBCpA
)(
)(
)(
coscos)(
sincos)(
sin)(
mgFRqupvwm
mgFRpwruvm
mgFRrvqwum
zz
yy
xx
• 3 équationsde forces
coscossincossin
sincos
cossin(tan
wvuz
rq
rqp
• 3 relationscinématiques
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 10)
2. Séparation des mouvements
2. Séparation des mouvements
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 11)
Regroupement des variables
rqp
wvu
z s variable9
tangagede vitesse
normale vitesse
alelongitudin vitesse
assiette
altitude
q
w
u
z
lacet de vitesse
roulis de vitesse
ale transversvitesse
gite de angle
r
p
v
profondeur de commande
moteurs des commande
m
lacet de commande
roulis de commande
n
l
Variables de commandes
Variables longitudinales
Variables transversales
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 12)
Regroupement des équations
coscossincossin
sincos
)(
coscos)(
sin)(
wvuz
rq
MMrpCAqB
mgFRqupvwm
mgFRrvqwum
F
zz
xx
cossin(tan
)(
)(
sincos)(
rqp
NNpqABrC
LLqrBCpA
mgFRpwruvm
F
F
yy
Mouvementlongitudinal
Mouvementtransversal
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 13)
Existence d’un mouvement longitudinal pur
zqwu ,,,, Variables concernées
0000 ,,, rpv
Variables constantes
Conditions à vérifier
Solution si :
0
0
0
000
000
000
FFy
y
NLF
NLR
rp
)cossin(tan0
)(
)(
sincos)(
0000
0
0
000
rqp
NNqpAB
LLqrBC
mgFRwpurm
F
F
yy
spropulseur des symétriqueion Configurat
0 nul Dérapage
0 ehorizontal Ailes
confondus et Plans
0
aa yGxGxy
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 14)
3. Mouvement longitudinal3. Mouvement longitudinal
Le plans Gxz et Gxaza sont confondus.Les ailes sont horizontale = 0.Le dérapage est nul = 0.
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 15)
Représentation dans le plan
x0
zaz0
x
xaVF
zaR
xaR
gm
pente
incidence
assiette2
1
référence delongueur
airl' de spécifique masse
référence de surface2
12
1
2
2
2
γ
α
θ
lCρSVM
l
ρ
S
CρSVR
CρSVR
ma
zza
xxa
Fonction de : M, et m
y
Fonction de : M et
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 16)
Décomposition des forces
x0
zaz0
x
xaVF
zaR
xaR
gm
cosF
sinF
cosmgsinmg
V
dt
dV
dt
dV
Dérivation de
V
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 17)
Equations du mouvement
dt
dV
dt
dVV
r
q
pdt
dV
Vdt
Vd
dt
Vd
a
a
a
aa
0
0
0
0
00/0
0
0
0
0
0/
0
Faa
a
MMdt
dqB
dt
d
dt
dH
HH dt
dqrp aaa
et 0
αFRγmg
αFRγmg
dt
dγmV
dt
dVm
dt
Vdm
za
xa
sincos
0
cossin
00
sinenfin et et Vdt
dzq
dt
dθ
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 18)
Équations dans le repère aérodynamique
• Propulsion : forces sur Gxa
• Sustentation : forces sur Gza
• Moment : autour de Gza
• Cinématique 1 : assiette
• Cinématique 2 : altitude
sincos mgRFdt
dVm
ax
cossin mgRF
dt
dmV
az
Fa MMdt
dqB
dt
dγ
dt
dαq
dt
dθ
sinVdt
dz
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 19)
Recherche des conditions d’équilibre
palier)en (vol 0
0
é
éé dt
dVVV
équilibrel' à Poussée
0
0
é
é
F
qdt
dA l’équilibre on vérifie
Déterminons les autres paramètres de vol
éézéé FmgSCqdt
d sin 0
2
2
1 posons Vq
20 avec
cos 0et 0 zxx
é
xéééé kCCC
SCqF
dt
dV
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 20)
Équation des moments
GFF’
Sens () des momentset des angles
Y
X
0m
Moment à piquer
YRXRMM zmzaa 0Moment dû à m.
Moment dû à la portance à m = 0.
Moment à portance = 0 et à m = 0.
)()(0 XYRXRRMM zmzmzaa
mézmza SlCqXYRXRMM )(0
mzmzmm Cl
XYC
l
XCC )(
0
Foyer de l’aile
Foyer de l’empennage
x
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 21)
Équation des moments à l’équilibre
0)(
0
mCl
XYC
l
XCC zmzmm
XY
X
C
Cm
XY
X
C
C
XY
l
C
Cm
zm
zé
zm
zé
zm
mé
*0
0
Braquage d’équilibre à portance = 0
δmCαCCC zmzαzz 0
**00
**0 nul braquageet nulle portance de incidence
αCC zαz
éz
zm
z
zéé m
C
C
C
C
**0
)(et avec
m
CC
α
CC z
zmz
zα
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 22)
Algorithme de calcul du point d’équilibre
1ii ee
é
xééé
zxx
SCqF
kCCC
cos
20
éz
zm
z
zéé
zm
zéé
ééé
zé
mC
C
C
C
XY
X
C
Cmm
FmgSq
C
**0
*0
sin1
non oui
0tion Initialisa éé F
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 23)
Influence de la vitesse de tangage sur le moment
Vql
CC
V
qY
V
v
qYv
mmq
mouvementau opposes' gouverne portance
locale incidencel' deent accroissem
G
F’
Y
v
V
0m
Moment à piquer
0m
0q
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 24)
Calcul des coefficients du modèle simplifié
20
00
0
;
)(
)(
zxx
zmmmzαmα
mqmm**
mαmm
zm**
zαz
kCCC
l
YCC
l
XCC
qV
lCδmCααCCC
δmCααCC
Coefficients aérodynamiques
Hypothèses : petits mouvements autour du point d’équilibre
γγγ
qqq
zzz
é
é
é
ααα
VVV
é
é
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 25)
Équations
sin2
1cos 2 mgCSVF
dt
dVm x
cos
2
1sin 2 mgCVF
dt
dmV z
mCρSVdt
dqB 2
2
1
dt
dγq
dt
dαγV
dt
dzsin
20
**00
0
)(
)(
zxx
mqmδmαmm
zm**
zz
kCCC
qV
lCδmCCCC
δmCααCC
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 26)
Principes de linéarisation des équations
ééé
ééé
éééééé
fm
m
fq
q
f
ffV
V
f
mqVfmqVf ),,,,,(),,,,,(
0),,,,,(Soit mqVf
0),,,,,( éééééé mqVf
0
éééééé
fm
m
fq
q
fffV
V
f
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 27)
Linéarisation de l’équation de propulsion
VSCqVSCV
qVFV
V
Vm
V
f
mgSCqFdt
dVmf
xVéxé
V
é
x
cos
0sincos
,,,,, :sont variablesLes mqV
VVV
VV
V
V
é
é
éé
é
é V
qV
V
VV
q 2
2
2
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 28)
0)(cos
)(
cos
sincos
2cos
τ αF
δm SCq
γ γmg
αSCqαFαF
VSCqV
SCqαFVm
éτ
xmé
é
xαééééα
xVéé
xéééV
),(
,
,
,
mm
V
VV
é
,
,
V
VV
éAttention : nouvelle notation
0sincos
mgSCqFVmf x
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 29)
Équation de propulsion linéarisée
éé
ττ
é
xmém
é
xαéé
é
éé
é
αα
éé
γ
xVé
é
xééé
VV
τmγαV
αmV
FX
mV
SCqX
mV
SCqα
mV
Fα
mV
FX
γV
gX
m
SCq
mV
SCqα
m
FX
δτXδmXγXαXVXV
cos
sincos
cos
2cos
,,,,,
:sont variablesLes
mqV
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 30)
Équation de sustentation linéarisée
éé
ττ
é
zmém
zαé
éé
é
éé
é
αα
éé
γ
zVé
zéé
éé
VV
τmγαV
αmV
FZ
mV
SCqZ
CmV
Sqα
mV
Fα
mV
FZ
γV
gZ
Cm
SqC
mV
Sqα
m
FZ
δτZδmZγZαZVZγ
sin
cossin
sin
2sin
,,,,,
:sont variablesLes
mqV
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 31)
Équation de moment linéarisée
mmé
m
mqé
éq
mαé
α
mVé
éV
mqαV
CB
Slqm
CBV
Slqm
CB
Slqm
CB
SlqVm
δmmqmαmVmq
2
,,,,,
:sont variablesLes
mqV
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 32)
Quatrième relation linéarisée
éé
ττ
é
zmém
éé
γ
zαé
éé
é
éé
é
αα
zVé
zéé
éé
VV
τmγαV
αmV
FZ
mV
SCqZ
γV
gZ
CmV
Sqα
mV
Fα
mV
FZ
Cm
SqC
mV
Sqα
m
FZ
δτZδmZγZαZVZqγqα
sin
sin
cossin
2sin
,,,,,
:sont variablesLes
mqV
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 33)
Modèle complet linéarisé
δτ
δm
m
ZZ
ZZ
XX
q
α
γ
V
mmm
ZZZ
ZZZ
XXX
q
α
γ
V
m
τm
τm
τm
qαV
αγV
αγV
αγV
00
1
0
0
,,,,,
:sont variablesLes
mqV
uBXAX
Matrice dynamique Vecteur de commande
Matrice de commandeVecteur d’état
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 34)
4. Modèle longitudinal simplifié
4. Modèle longitudinal simplifié
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 35)
Hypothèses supplémentaires
• L’influence de la vitesse sur les coefficients aérodynamiques et sur la poussée est négligeable.
0
2
2
0
V
zéé
éV
é
xééV
VmVzVxV
m
CmV
SqZ
mV
SCqX
FCCC
• Si on néglige la traînée due au braquage de la gouverne de profondeur :
00 mxm XC
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 36)
Hypothèses supplémentaires
• La variation d’incidence autour de la position d’équilibre é est sans influence sur la poussée.
zé
éé
é
é
é
xéé
é
é
CmV
Sq
mV
F Z
mV
SCq
mV
F X
F
cos
sin
0
• On peut encore pour un vol en palier stabilisé (é = 0) et si é est petit on peut poser :
1cos
0sin
é
é
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 37)
é
éττ
é
xmém
é
éγ
é
xαé
é
ééα
é
xééV
mV
αF X
mV
SCqX
V
γg X
mV
SCq
mV
αF X
mV
SCqX
cos
0
cos
sin
2
Modèle longitudinal simplifié
é
éττ
é
zmém
é
éγ
é
zαé
é
ééα
éé
zééV
mV
αF Z
mV
SCqZ
V
γg Z
mV
SCq
mV
αF Z
V
g
mV
SCqZ
sin
sin
cos
22
B
SlCqm
BV
CSlqm
B
SlCqm
m
mmém
é
mqéq
mαéα
V
2
0
1cos
0sinpetit
é
é
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 38)
Equation d’état du modèle longitudinal simplifié
δτ
δm
m
ZZ
ZZ
X
z
q
α
γ
V
V
mm
ZZ
ZZ
XXX
z
q
α
γ
V
m
τm
τm
τ
é
qα
αV
αV
αγV
00
0
0
0000
000
010
000
00
,,,,,
:sont variablesLes
mqV
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 39)
5. Application numérique(avion de type delta)
5. Application numérique(avion de type delta)
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 40)
Etude de deux point de volParamètres Point de vol n°1 Point de vol n°2
Masse m 8500 kg 8500 kg
Altitude z 40000 ft (T = 216,6°K) 40000 ft (T = 216,6°K)
Mach M 0,8 1.2
0,302 kg/m3 0,302 kg/m3
1,1 0,8
0,022 rad 0 rad
2,66 2,87
0,019 0,006
-0,68 -0,4
0,22 0,33
0,015 0,0365
zmC
zαC
*0m
**α0
mqC
k0xC
ρ
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 41)
Etude de deux point de vol
Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2
l 5,24 m 5,24 m
Moment d’inertie B 59691,25 kg.m² 59691,25 kg.m²
Centrage 52 % 52 %
S 34 m2 34 m2
L = 1,5 l 7,86 m 7,86 m
c = 0,52 L m m
x m m
y m m
X = x – c m m
Y = y – c m m
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 42)
Calculs itératifs du point d’équilibre
Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2
0,286 ?
21,3.10-3 rad ?
0,1353 rad ?
0,033 ?
9559 N ?
zéC
xéC
éδm
éα
éF
Réaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibreRéaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibre
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 43)
Calcul des coefficients du modèle simplifié
Coef. PdV n°1
PdV n°2
Coef. PdV n°1
PdV n°2
Coef. PdV n°1
PdV n°2
XV0,0094 ? ZV
0,082 ?
X0,48 ? Z
0,385 ? m-4 ?
Cx0,335 ?
X0,0415 ? Z
0 ?
Xm0 ? Zm
0,1571 ? mm-11,641 ?
X0 ? Z
0 ?
Vé236,5 ? mq
-0,38 ?
Cm-0,159 ?
Cmm-0,462 ?
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 44)
Equation d’état
0
641,11
1571,0
1571,0
0
et
0002360
038,0400
01385,000820,0
00385,000820,0
00048,00415,00094,0
11 BA
?et ? 22 BA
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 45)
6. Effets des commandes(état initial et permanent)
6. Effets des commandes(état initial et permanent)
δτ
δm
m
ZZ
ZZ
X
z
q
α
γ
V
V
mm
ZZ
ZZ
XXX
z
q
α
γ
V
m
τm
τm
τ
é
qα
αV
αV
αγV
00
0
0
0000
000
010
000
00
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 46)
Effet initial des commandes
mm
m
m
m
m
δ
,
,
,
δ
m
Z
Z
X
z
q
α
γ
V
0
64111
15710
15710
0
0
• La manette est fixe (= 0) la commande de profondeur m donne une accélération en tangage. Au début du mouvement les écarts des variables par rapport aux valeurs d’équilibre sont nuls.
Effet prépondérantEffet prépondérant
• Ainsi en tirant le manche on provoque une déflexion m < 0 qui donne une vitesse de tangage q > 0 (le nez de l’avion monte).
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 47)
Effet final des commandes
• L’avion se retrouve dans un nouveau point de vol stabilisé. La matrice ci-dessous permet de calculer les écarts en régime permanent et de trouver le nouveau point d’équilibre.
• Sachant que
δτ
δm
Z
Z
X
α
γ
V
ZZ
ZZ
XXX
m
m
τ
αV
αV
αγV
0
0
0
0
0
0
0
0
0q
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 48)
7. Régime transitoire de l’avion naturel
7. Régime transitoire de l’avion naturel
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 49)
Méthode d’étude : modèle simplifié sans couplage
• Pour simplifier l’étude on considère δτ = 0, et comme le suggère l’expérience, on peut découpler les modes :– Mode rapide = oscillation d’incidence affecte α et q
– Mode lent = oscillation phugoïde affecte V et γ
δm
m
Z
Z
q
α
γ
V
mm
ZZ
ZZ
XXX
q
α
γ
V
m
m
m
qα
αV
αV
αγV
0
00
10
00
0
Mode lent
Mode rapide
Couplage ~ 0
Couplage ~ 0
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 50)
7.1. Etude de l’oscillation d’incidence7.1. Etude de l’oscillation d’incidence
Modèle simplifié
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 51)
L’oscillation d’incidence (oi)
• On considère un écart d’incidence : la portance appliquée au foyer F ; rotation de l’avion autour de G ; si G en avant de F la rotation tend à diminuer
(rappel d’incidence) ; si G en arrière de F l’avion est instable.
• La vitesse et la pente ne varient pratiquement pas aussi V = 0 et = 0 (rappel : ces valeurs sont des écarts autour de valeurs d’équilibre).
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 52)
AI
Dynamique de l’oscillation d’incidence (oi)
• On considère que la vitesse et la pente ne varient pas V = 0 et = 0 (cas ou = 0).
δmm
Z
q
α
mm
Z
q
α
m
m
qα
α
1
st
ω
mZζ
mZm
ωpωζpmZmpmZp
mmpZpmpm
ZpAp
r
n
qαi
qααn
nniqααqα
αqαqα
α
i
i
ioi
7,619,0
2
)(
rad/s 04,2)(
20)()(
0))((1
detdet
%50
20
22
0
0
0
I
Le pôles des FT sont donnés par :
BI
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 53)
Calcul des fonctions de transfert (oi)
δmm
Z
q
α
mpm
Zp
m
m
qα
α
1
12
1
)()(
)(1
det
det
00
02
200
2
pω
ζ
ω
p
pτK
δm
q
mZmpmZp
mZmZpm
mpm
Zp
mm
ZZp
δm
q
ii n
i
n
qααqα
αmmαm
qα
α
mα
mα
smZmZ
mmτ
mZm
mZmZ
ωK
αmmα
mm
qαα
αmmα
n i
3)(
93,0)(
)(
0
20
0
Κ
Κ
Noter le signe () du gain
BIAI1 0 1 Ipm
q
ou
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 54)
Calcul des fonctions de transfert (oi)
δmm
Z
q
α
mpm
Zp
m
m
qα
α
1
)()(
)(2
qααqα
mqmm
mZmpmZp
mmZpZ
δm
α
1219,0
24
0134,0181,2
2
pp
p
δm
α
Oscillations d’incidence :• Mouvement relativement rapide• Amortissement faible 0i = 0,19• Danger pour le pilote (couplage avec un retard pur)• Il faut augmenter l’amortissement (solutions ?)
sω
πT
ini 14,3
2
0
0
BIAI0 1 1 Ipm
ou
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 55)
Calcul des fonctions de transfert sous MATLAB
% Etude de l'oscillation d'incidence
AI=[-Zal 1
mal mq];
BI=[-Zm;mm];CIal=[1 0];CIq=[0 1];
TalDm_ss=ss(AI,BI,CIal,0);
TalDm=tf(TalDm_ss)
TqDm_ss=ss(AI,BI,CIq,0);
TqDm=tf(TqDm_ss)
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 56)
Calcul des fonctions de transfert
-0.1571 s - 11.71
TalDm= --------------------------
s^2 + 0.7645 s + 4.151
-11.65 s - 3.851
TqDm= --------------------------
s^2 + 0.7645 s + 4.151
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 57)
Réponses indicielles
>> step(TalDm,TqDm,10);grid on
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 58)
Modèle simplifié
7.2. Etude de l’oscillation phugoïde7.2. Etude de l’oscillation phugoïde
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 59)
L’oscillation phugoïde (op)
• On considère un écart d’incidence qui a amené l’avion (après stabilisation des oi) autour d’un nouveau point d’équilibre. Ainsi : La portance appliquée au foyer F . L’avion s’élève ( > 0). La traînée puisque la portance . La composante de mg sur xa . La vitesse de l’avion la portance . L’avion descend donc V .
• Ce mouvement est un échange entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle à incidence quasi constante.
• L’oscillation phugoïde est un mouvement très lent.
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 60)
Dynamique de l’oscillation phugoïde• On considère que l’incidence ne varie pas d/dt = 0 ddt = q. On
examine le cas où = 0.
δmZγ
V
Z
XX
γ
V
mV
γV
0
0
)(!53308120
2
s107 rad/s0580
20
0)(detdet
50
20
22
0
0
0
00
s t,
ω
Xζ
T ,ZXω
ωpωζpZXpXp
XZXpppZ
XXpAp
%r
n
Vp
PHVγn
nnpVγV
VVV
V
p
p
p
pp
I
Le pôles des FT sont donnés par :
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 61)
Dynamique de l’oscillation phugoïde
AP=[-Xv -Xgam
Zv 0];
BP=[0;Zm];CPv=[1 0];CPgam=[0 1];
TvDm_ss=ss(AP,BP,CPv,0);
TvDm=tf(TvDm_ss)
TgamDm_ss=ss(AP,BP,CPgam,0);
TgamDm=tf(TgamDm_ss)
step(TvDm,TgamDm,400)
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 62)
-0.006518
TvDm = -----------------------------------
s^2 + 0.009423 s + 0.003388
0.1571 s + 0.001481
TgamDm = -----------------------------------
s^2 + 0.009423 s + 0.003388
Dynamique de l’oscillation phugoïde
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 63)
Oscillation phugoïde
TPH = 108 s
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 64)
• Sans découplage des modes lent et rapide– Avec Matlab et la CST– Avec Simulink
7.3. Etude de l’avion complet7.3. Etude de l’avion complet
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 65)
Etude de l’avion complet
% Etude de l'avion complet (v, gam, al, q)
Tcomp_v_Dm_ss=ss(A,B,[1 0 0 0],0);
Tcomp_v_Dm=tf(Tcomp_v_Dm_ss)
Tcomp_gam_Dm_ss=ss(A,B,[0 1 0 0],0);
Tcomp_gam_Dm=tf(Tcomp_gam_Dm_ss)
Tcomp_al_Dm_ss=ss(A,B,[0 0 1 0],0);
Tcomp_al_Dm=tf(Tcomp_al_Dm_ss)
Tcomp_q_Dm_ss=ss(A,B,[0 0 0 1],0);
Tcomp_q_Dm=tf(Tcomp_q_Dm_ss)
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 66)
Etude de l’avion complet – fonctions de transfert
Transfer function: 0.001093 s^2 + 0.5646 s + 0.1597------------------------------------------------------------s^4 + 0.7739 s^3 + 4.158 s^2 + 0.0389 s + 0.01357
Transfer function: 0.1571 s^3 + 0.06116 s^2 - 3.851 s + 0.009793------------------------------------------------------------s^4 + 0.7739 s^3 + 4.158 s^2 + 0.0389 s + 0.01357
Transfer function: -0.1571 s^3 - 11.71 s^2 - 0.1103 s - 0.03946------------------------------------------------------------s^4 + 0.7739 s^3 + 4.158 s^2 + 0.0389 s + 0.01357
Transfer function: -11.65 s^3 - 3.961 s^2 - 0.02967 s + 4.473e-017------------------------------------------------------------s^4 + 0.7739 s^3 + 4.158 s^2 + 0.0389 s + 0.01357
Tcomp_q_DmTcomp_q_Dm
Tcomp_v_DmTcomp_v_Dm
Tcomp_gam_DmTcomp_gam_Dm
Tcomp_al_DmTcomp_al_Dm
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 67)
Etude de l’avion complet – Tcomp_q_Dm
>> [poles,zeros]=pzmap(Tcomp_q_Dm)
poles =
-0.3826 + 2.0004i
-0.3826 - 2.0004i
-0.0044 + 0.0570i
-0.0044 - 0.0570i
zeros =
-0.3324
-0.0077
0.0000
On peut choisir une autre fonction de transfert pour cette étude. (Cf. Diapositive précédente)
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 68)
Carte des pôles et des zéros de Tcomp_q_Dm
Modelent
>>pzmap(Tcomp_q_Dm)
Mode rapide
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 69)
Carte des pôles et des zéros de Tcomp_q_Dm
Mode lent : oscillation phugoïde
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 70)
Réponses indicielles pour t < 10 secondes
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 71)
Réponses indicielles pour t < 200 secondes
Effet de l’oscillationd’incidence
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 72)
Etude de l’avion complet en simulation
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 73)
Visualisation des 4 variables d’état pour t < 10s
v
gam
al
q
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 74)
Visalisation des 4 variables d’état pour t < 400s
v
gam
alq
Effet de l’OI
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 75)
Evaluation des erreurs dues au découplage des modes
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 76)
Erreurs introduites par le découplage des modes
v
gam al
q
Pour déterminer les caractéristiques des modes on peut les découpler. Cette approximation donne des résultats inacceptables pour les réponses indicielles. Les FT doivent être calculées avec le modèle complet.
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 77)
Travail demandé pour le point de vol N°2
• Calculer les coefficients du modèle de l’avion correspondant au point de vol n° 2 (établir un fichier.m).
• Etudier (exploitation de MATLAB) les modes du modèle complet simplifié et donner les caractéristiques des modes rapide et lent.
• Enregistrer les réponses indicielles de q, , V et pour un échelon de profondeur à cabrer de m = - 1°.
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 78)
Calculs itératifs du point d’équilibre
Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2
0,286 0,1269
21,3.10-3 rad 61,34.10-3 rad
0,1353 rad 0,0675 rad
0,033 0,418
9559 N 26936 N
zéC
xéC
éδm
éα
éF
Réaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibreRéaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibre
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 79)
Calcul des coefficients du modèle simplifié
Coef. PdV n°1
PdV n°2
Coef. PdV n°1
PdV n°2
Coef. PdV n°1
PdV n°2
XV0,00942 0,01826 ZV
0,082 0,0369
X0,48 0,05 Z
0,385 0,622 m-4 -26,2
Cx0,335 0,236
X0,0415 0,0277 Z
0 0
Xm0 0 Zm
0,1571 0,161 mm-11,641 -27,22
X0 0 Z
0 0
Vé236,5 354 mq
-0,38 -0,334
Cm-0,159 -0,465
Cmm-0,462 -0,482
Pilotage automatique des aéronefs – Cours de M. CougnonChapitre 1/(diapositive n° 80)
Equation d’état
0
641,11
1571,0
1571,0
0
et
0002360
038,0400
01385,000820,0
00385,000820,0
00048,00415,00094,0
11 BA
0
22,27
171,0
171,0
0
et
0003540
0334,024,2600
01622,000369,0
00622,000369,0
0005,00277,00183,0
22 BA