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5/28/2018 Problemario 2
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Problemario 2
La seal analgica (t en segundos) semuestrea con una frecuencia tal que la componente de mayor frecuencia
tiene 27 muestras por periodo. Se pide:
a) Representa 54 puntos de la seal obtenidaLas frecuencias analgicas presentes en x (t) son:
La seal obtenida al muestrear ser:
El cdigo y la grfica de dicha seal es el siguiente:
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b) Cuantos periodos de la seal de menor frecuencia hay en larepresentacin anterior?
El nmero de periodos vendr dado por:
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La seal analgica semuestrea con una frecuencia y la seal resultante esreconstruida con un conversor D/A ideal utilizando la misma Determine la seal obtenida tras este proceso.La seal (t en segundos) es una sealcompleja formada por dos exponenciales de frecuencias:
Si se muestrean con
, tenemos que
,y por tanto la
segunda exponencial no cumple el Teorema de Muestreo, produciendo
aliasing. La seal muestreada ser, haciendo :
Cuyas frecuencias digitales son y . Si reconstruimos la seal,
dado que y , la seal analgica resultante ser: La seal de salida contiene dos exponenciales complejas al igual que la
original pero la segunda ha cambiado su frecuencia de 5000 Hz a -3000
Hz como consecuencia del aliasing.
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Un sistema L.I.T definido por el diagrama de bloques de la figura siguiente
es excitado con la seal
a) Obtenga la secuencia de muestras x(n) y represntelagrficamente
En primer lugar la entrada es la convolucion de dos secuencias pero una
de ellas es una seal impulso, por lo que solo retardara la otra secuencia
Si se denota:
Se puede expresar:
Solo para n=k-2, la secuencia no es nula, y en consecuencia: , -
Por tanto, la secuencia obtenida es:
* +Y su grafica es:
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b) Calcule la respuesta impulsional del sistemaSi calculamos la ecuacin en diferencias del diagrama de bloques,
definiendo una variable intermedia w(n) tal como el siguiente diagrama, del
cual se obtiene que:
Para calcular la salida de este sistema debemos de conocer la respuesta
impulsional del mismo ya que Podemos considerar quetenemos dos sistemas en casada de manera que la salida y(n) viene
proporcionada por la convolucion de por w(n) que es la salida, a suvez, del sistema ante la entrada x(n), tal como se ve en el diagramasiguiente. Por esto la respuesta impulsional total estar dada por
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La ecuacin en diferencias del sistema es:
Si , y consideramos condiciones iniciales nulas, tenemos:
Iterando:
`
Observando que la expresin general es:
En cuanto al segundo sistema, tiene por ecuaciones en diferencias:
Si hacemos Al igual que en el caso anterior, dando valores a n, obtenemos:
De este modo, la respuesta impulsional total ser:
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donde hemos aplicado la propiedad distributiva de la convolucion respecto
de la suma y la convolucion con una secuencia impulso retardado.
c) Proponga un procedimiento para calcular la salida del sistemaLa salida se puede calcular como
, donde podemos aplicar
las propiedades distributia y de desplazamiento temporal al convolucionarcon una , si expresamos la entrada como una suma de impulsosretardados
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Un sistema digital tiene la estructura representada en el diagrama
siguiente. Sabiendo que x(n) y h(n) vienen definidas por las grficas y
*+. Calcula la salida del sistema.Diagrama de bloques del sistema
Graficas
Esquemas de conexin del sistema
Relacin entrada salida para el segundo sistema
Este sistema lo podemos ver como la conexin de dos sistemas en cascada
y uno de ellos est formado por dos en paralelo. La respuesta impulsional
para el segundo sistema en paralelo es sencilla de calculas ya que la
relacin entre la entrada y la salida es, y(n)=-x(n-1), luego *+.
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Las respuestas impulsionales y las podemos poner como unasuma de impulsos.
La respuesta impulsional total ser:
,
-
( )
Y por tanto las secuencias a convolucionar son:
*+ *+
Esta ltima expresin se puede resolver mediante el mtodo tabular de
clculo de convoluciones. El caso general de la convolucion de una
secuencia de entrada x(n) con la respuesta impulsional de un sistema h(n),
y(n)=h(n)*x(n) se puede realizar siguiendo estos pasos:
a) Reflexin: Reflejar h (k) respecto de k=0 para producir h (-k)b) Desplazamiento: Desplazar h (-k) n0 veces hacia la derecha
(izquierda) si n0es positivo (negativo), para obtener h (n0-k).
c) Multiplicacin: Multiplicar x (k) por h (n0-k) para obtener lasecuencia producto x (k) h (n0-k).d) Suma: sumar todos los valores de la secuencia producto anteriorobtenindose el valor de la salida en n=n0y h(n0)
Calculo de la respuesta impulsional mediante el procedimiento de la
tabulacin
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1 0 1 1h(-2-k) 1 2 3 2 1
h(-1-k) 1 2 3 2 1
h(0-k) 1 2 3 2 1h(1-k) 1 2 3 2 1
h(2-k) 1 2 3 2
h(3-k) 1 2 3
h(4-k) 1 2
h(5-k) 1
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Multiplicando la primera fila por cada una de las siguientes y sumando los
trminos tenemos:
Salida del sistema
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Dado el sistema de respuesta impulsional || . Definimosla constante de tiempo como el nmero de muestras necesarias para que
la respuesta impulsional tenga un valor , donde e es la basede los logaritmos neperianos. Determine el valor de para valores de bprximos a la unidad.
El sistema es una exponencial decreciente ya que |b|
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Determine la respuesta impulsional de los sistemas definidos por:
cuando se combinan en paralelo y en cascada.La respuesta impulsional de los sistemas descritos se muestran a
continuacin:
La conexin en paralelo:
La conexin en cascada equivale a la convolucion de ambas secuencias:
Calculo de la respuesta impulsional
mediante el mtodo grfico.
Multiplicando la primera fila por cada una de las siguientes y sumando los
trminos tenemos:
*+
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1 0 1 1h(-4-k) 1 1 1 1 1
h(-3-k) 1 1 1 1 1
h(-2-k) 1 1 1 1 1
h(-1-k) 1 1 1 1 1
h(0-k) 1 1 1 1
h(1-k) 1 1 1
h(2-k) 1 1
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Calcule la combinacin en cascada y paralelo de dos sistemas cuyas
respuestas impulsionales son y , siendo .Para la combinacin en paralelo,
, -De esta expresin observamos que los trminos impares se anulan ya que
el trmino entre parntesis es cero. Adems, , para k=0,1, y , para k=0,1,, por lo que obtenemos:
La secuencia obtenida es real, podramos haber obtenido el mismo
resultado expresando con lo que 0 1 Para la disposicin en cascada:
La primera funcin escaln es nula para kn. Por
tanto, el sumatorio se convierte en:
Por tanto, para n impar tenemos que h(n)=0 y para n par y,en consecuencia, la secuencia es compleja. Dado que son
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secuencias casuales, la secuencia resultante debe ser causal, como hemos
obtenido.
La correlacin entre dos seales x(n) e y(n) viene dada por la expresin:
Determine qu relacin existe entre la convolucin de x(n) e y(n) y su
correlacin, .
Dadas dos secuencias x(n), y(n) se define su convolucin como:
Que podemos expresar como
Si reflejamos la secuencia y(n),
Obtenemos la expresin de la correlacin en el segundo trmino dela igualdad. Por tanto, la relacin es
Es decir, podemos aplicar los mismos procedimientos que hemos visto
para la convolucin y si empleamos el clculo tabular, no ser necesario
reflejar la segunda secuencia.
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Determine la energa de la siguiente secuencia:
0, En otro caso
Aplicando la definicin de energa se tiene que
Si aplicamos la frmula de Euler para expresar el coseno como suma de
exponenciales complejas ), obtenemos:
Calculamos
. Si sustituimos
y tenemos encuenta que , este sumatorio es nulo. Lo mismo ocurre con eltrmino de la exponencial negativa, luego:
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Las secuencias siguientes representan un periodo fundamental de una
secuencia sinusoidal del tipo
. Determine los valores de
en cada caso:a) { }
A partir dey dando valores a n:
Consideremos el primer trmino (n=0)
Consideremos para n=4:
. / . /
La primera solucin implica que con lo que la secuencia generadaseria constante que no coincide con x(n). Con la segunda solucin tenemos
. Ahora, para determinar A, podemos calcular x(n) para n=1,
. /
La secuencia es . /si tomamos
y sustituimos para
n=4, obtenemos
con lo que
. Sustituyendo estos valores
en la expresin general y considerando n=1 obtenemos A=2 luego:
Si manipulamos esta expresin:
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.
/
Donde hemos tenido en cuenta que la seal coseno es peridica con
periodo y simtrica; es decir obtenemos la misma solucin:
b) *+Otra forma de hacerlo sera considerando que la seal es peridica con
periodo luego Si , podemosdesarrollar as:
Como , tenemos que .Para calcular solo necesitamos conocer el valor de la secuencia endos puntos.
Para n=0, tenemos:
La solucin ms sencilla es considerar pero existen infinitassoluciones del tipo:
c) * +La seal es peridica de periodo N=4 luego por lo que .Considerando tenemos:
.
/
.
/
Con lo que:
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Si elegimos obtenemos A=pero si damos valores a n comprobamos
que la secuencia obtenida es * +que no es la correcta.