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Projeto Projeto Multigrid - Multigrid - IAE/CTA –maio/2008IAE/CTA –maio/2008 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR
Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc.Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.
Otimização do método Otimização do método multigridmultigrid geométrico para sistemas de geométrico para sistemas de
equações 2D em CFDequações 2D em CFD
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Objetivos dessa apresentação
Apresentar um resumo de resultados já obtidos.
Atividades em andamento
Resultados esperados
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Objetivos dessa etapa da pesquisa
Obter parâmetros ótimos do método Obter parâmetros ótimos do método multigridmultigrid geométrico para 2 sistemas de equações. geométrico para 2 sistemas de equações.
Os parâmetros estudados são: - Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L); - Influência do número de variáveis (N). Verificar a influência do número de variáveis no Verificar a influência do número de variáveis no multigridmultigrid
Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas sãoVerificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação. os mesmos obtidos para uma equação.
pCPU cNNt )(
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Problemas testes
Equação de LaplaceEquação de Laplace Equações de NavierEquações de Navier Equações BurgersEquações Burgers
LaplaceLaplace
NavierNavier BurgersBurgers(não-linear)(linear)
(linear)(FAS)(CS/FAS)
Esquema de comparaçãoEsquema de comparação
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Modelos Matemáticos – 2D
• Equação de LaplaceEquação de Laplace
,y
T
x
T0
2
2
2
2
A solução analítica é dada por A solução analítica é dada por
T(x,y) = xyT(x,y) = xy..
1,0 yx
yyTxxTyTxT ,1,1,,0,00,
Com as seguintes condições de contorno:Com as seguintes condições de contorno:
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• Equações de Navier (Termoelasticidade)Equações de Navier (Termoelasticidade)
,Sy
TC
y
v
x
v
y
v
x
u
yC
,Sx
TC
y
u
x
u
y
v
x
u
xC
v
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
onde:onde: Cλ = (1+ λ)/(1- λ) ee λ é a razão de Poissoné a razão de Poisson
)sinh(
ysinhxsiny,xT
é o campo de temperaturas. é o campo de temperaturas.
αα é o coeficiente de expansão térmica é o coeficiente de expansão térmica
uu e e vv são deslocamentos são deslocamentos
1,0 yx
Modelos Matemáticos – 2D
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Solução analítica propostaSolução analítica proposta
11
11sin,
2
2
ee
eexyxu
yx
.xyy,xv 2e
Com as seguintes condições de contorno:Com as seguintes condições de contorno:
.
Inferior:Inferior: 00, xu 00, xve
1
11
2
2
e
exsin,xu
x
xxv 1,Superior:Superior: e
Direito:Direito: 1
1sin,1
e
exyu
y
21 yy,v e
Esquerdo:Esquerdo: 00 y,u 00 y,ve
Modelos Matemáticos – 2D
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By
v
x
v
y
p
y
v
x
uv
y
u
x
u
x
p
y
vu
x
u
2
2
2
22
2
2
2
22
)(
)(
Modelos Matemáticos – 2D
• Equações de BurgersEquações de Burgers
1,0 yx
onde : onde :
pp é a pressão dada por Shih et al. (1989) é a pressão dada por Shih et al. (1989)
uu e e vv representam as velocidades.representam as velocidades.
BB é o termo fonteé o termo fonte
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Modelos Matemáticos – 2D
yyxxxyxu 2428, 3234 2423 2648, yyxxxyxv
Solução analítica para as velocidades (SHIH et al., 1989)Solução analítica para as velocidades (SHIH et al., 1989)
e
As condições de contorno são:As condições de contorno são:
Inferior:Inferior:
Superior:Superior: e
Direito:Direito:
Esquerdo:Esquerdo:
234 2161, xxxxu 01 ,xv
000 y,vy,u
000 ,xv,xu
0,1,1 yvyu
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Modelo numéricoModelo numérico
- Discretização com o Método de Diferenças FinitasDiscretização com o Método de Diferenças Finitas
- Malha uniformes nas duas direções coordenadasMalha uniformes nas duas direções coordenadas
- Aproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamenteAproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamente
- Multigrid Geométrico com ciclo VMultigrid Geométrico com ciclo V
- Razão de engrossamento padrão (2)Razão de engrossamento padrão (2)
- Restrição: InjeçãoRestrição: Injeção
- Prolongação: Interpolação bilinearProlongação: Interpolação bilinear
- Solver padrão: MSI Solver padrão: MSI
- Condições de contorno de DirichletCondições de contorno de Dirichlet
Para os três problemas:Para os três problemas:
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ImplementaçãoImplementação
Linguagem: Fortran/95Linguagem: Fortran/95
MultigridMultigrid Geométrico com Ciclo V Geométrico com Ciclo V
Algoritmos: Algoritmos:
CS e FAS : Equação de Laplace e equações de NavierCS e FAS : Equação de Laplace e equações de Navier
FAS : Equações de BurgersFAS : Equações de Burgers
TolerânciaTolerância 1210
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Conclusão: ITIoptimum = 2 (para os dois problemas)
Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS
Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier
(a) Iterações internas com CS (b) Iterações internas com FAS
Conclusão: ITIoptimum = 2 para Navier ITIoptimum = 8 para Laplace
Iterações internas (ITI)Iterações internas (ITI)
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ótimoCPUmáximoCPU LtLt
Número de malhas (L)Número de malhas (L)
Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:
Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS
(a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS
Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier
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Número de variáveis (N)Número de variáveis (N)
Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:
Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS
(a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS
MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis.SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.
Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier
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Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS
Fig. 5: Comparação do número de níveis
Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers
Observe-se que: Na Fig. 4, ITIoptimum = 5. ótimoCPUmáximoCPU LtLt
Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis.
Na Fig. 5,
Resultados Resultados Equação de Burgers (somente FAS)
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Algumas conclusões Algumas conclusões
Resumo
ProblemaProblemaCSCS FASFAS
ITIITI LL SG(p)SG(p) MG(p)MG(p) ITIITI LL SG(p)SG(p) MG(p)MG(p)
NavierNavier22
max ou max ou max – 4max – 4 2.012.01 1.051.05
22 max ou max ou max – 4max – 4
1.961.96 1.151.15
LaplaceLaplace22 max ou max ou
max – 4max – 42.062.06 1.061.06 6 ou 86 ou 8
max ou max ou max – 4max – 4 2.062.06 1.081.08
BurgersBurgers 55max ou max ou max – 3max – 3 1.921.92 1.061.06
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Esquema CSEsquema CS ITIITIoptimumoptimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo
de CPU.de CPU.
O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, LLoptimumoptimum ≈≈ L Lmaximummaximum. . O número de malhas pode afetar significativamente o O número de malhas pode afetar significativamente o
tempo de CPUtempo de CPU
O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis.número de variáveis.
O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do multigridmultigrid quando comparado com o caso de uma equação.quando comparado com o caso de uma equação.
Verificou–se que:
Algumas conclusões Algumas conclusões
Equação de Laplace x Equações de Navier
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Esquema FASEsquema FAS
ITIITIoptimumoptimum = 8, (Equação de Laplace) = 8, (Equação de Laplace) ITIITIoptimumoptimum = 2, (Equações de Navier) = 2, (Equações de Navier)
O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.
Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).
Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).
O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)
Algumas conclusões Algumas conclusões
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ITIITIoptimumoptimum = 5, em todas as malhas. = 5, em todas as malhas.
O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.
Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).
Acoplamento (Idem aos casos anteriores).Acoplamento (Idem aos casos anteriores).
O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).
Algumas conclusões Algumas conclusões
Equações de Burgers (apenas esquema FAS)
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Próximas etapasPróximas etapas
Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo V para geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas formulações:as equações de Navier-Stokes nas formulações:
Função Corrente-Velocidade (mai/jun);Função Corrente-Velocidade (mai/jun);
Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);
Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);
Modelo numérico:Modelo numérico:
Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.
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Próximas etapasPróximas etapas
Resultados esperados:Resultados esperados:
Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo V para geométrico ciclo V para problemas com duas equações; problemas com duas equações;
Mostrar que o acoplamento das equações nãoMostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método degenera a performance do método multigrid.multigrid.
Obter parâmetros ótimos do Obter parâmetros ótimos do multigrid multigrid para as equaçõespara as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas. de Navier-Stokes em formulações alternativas.
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AgradecimentosAgradecimentos
- A Agencia Espacial Brasileira – AEB pelo suporte financeiro- Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR;- Prof. Marchi- Meus amigos do LENA.