-
PRUŽNOST A PLASTICITA
Ing. Vladimíra Michalcová
LPH 407/1LPH 407/1
tel. 59 732 1348
http://fast10.vsb.cz/michalcova
Povinná literatura
http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita
Doporu�ená literatura
Benda: Stavební statika I.,VŠB-TU Ostrava 2005
Šmí�ák:Pružnost a plasticita I., VUT Brno 1999
Šmí�ák, Hlavinková: Pružnost a plasticita I, P�íklady, VUT Brno 2000
Podmínky zápo�tu: - Stavební statika- aktivní ú�ast- znalosti (body z písemky)
Vn�jší síly:
• objemové (p�sobí v elementech objemu), pat�í k nim:
vlastní tíha, odst�edivé síly atd.
• povrchové síly p�sobí jako zatížení na ploše a to jako:
spojité zatížení na ploše a na �á�e (p�ímce) a bodové
síly (singulární síly).
Vn�jší a vnit�ní síly
�
síly (singulární síly).
Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a
zatížení na �á�e je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.
Vnit�ní síly vznikají vlivem vn�jšího zatížení, jsou jím indukovány.
Základní typy namáhání
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
Normálová síla N ≠ 0
pro pr��ez platí: N ≡≡≡≡ Nx
ba
F
+
ba-
tah
tlak
FRax
Rax
NN
NN
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
Ohybový moment My , Mz ≠ 0
FM M
Základní typy namáhání
pro rovinu xz platí: M ≡≡≡≡ My
b
Rbz
a
Raz
M M
b
Rbz
a
Raz FMM
tah
tah
tlak
tlak
-
+
-
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
1
2 3
F1
F2F3
n = 6 Nap�. prostorov� lomený nosník
Základní typy namáhání
Kroutící (torzní)
moment T ≠ 0
+y
+z+x Vnit�ní síly na prutu 2 od vn�jšího zatížení:
F1: N, MzF2: Vy, MzF3: Vz, Mx, My
nv = 6 Nap�. prostorov� lomený nosník
P�i kroucení platí: T ≈ Mx
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
Posouvající síla Vy , Vz ≠ 0
Základní typy namáhání
pro rovinu xz platí: V ≡≡≡≡ Vz
ba
VV
RbzRaz
F
VV-+
Název Vnit�ní síla Nap�tí
(intenzita vnit�ních sil)
Osové namáhání
(tah, prostý tlak)N σx
Základní typy namáhání v rovin� xz:
(tah, prostý tlak)
Ohyb My σx
Smyk Vz τxy, τxz
KrouceníT
(n�kdy také zna�ení Mx)τ
Výchozí p�edpoklady klasické lineární pružnosti:
Kapitola 1.2. skript v�etn� poznámek
Tyto p�edpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skute�nosti,
umož�ují ale uplatn�ní n�kterých zásadních matematicko-fyzikálních umož�ují ale uplatn�ní n�kterých zásadních matematicko-fyzikálních
princip� ve výpo�tech jako nap�. principu superpozice (skládání
ú�ink�), který je založen na linearit� všech matematických závislostí.
Látka t�lesa je
• homogenní, m�že být p�itom
a) izotropní b) anizotropní
• dokonale pružná a to
a) lineárn�
Výchozí p�edpoklady klasické lineární pružnosti:
��
a) lineárn�
b) nelineárn� (nebudeme se zatím zabývat)
• deformace t�lesa p�sobením vn�jších vliv� jsou malé –
geometricky lineární teorie pružnosti
• po�áte�ní napjatost je nulová, nep�sobí-li na t�leso
vn�jší síly.
Základní zákony statiky
1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvoláváreakci stejn� velikou, ale opa�ného smyslu. Tla�í-li t�leso
tíhy G na podložku (základ), musí tato p�sobit na t�leso
stejn� velikou, ale opa�ného smyslu.
2) Princip superpozice (skládání) ú�ink� (platí pouze v
Princip superpozice a úm�rnosti - zopakovat
Issac Newton(1642 - 1727)
2) Princip superpozice (skládání) ú�ink� (platí pouze v lineární oblasti): Rozd�líme-li obecnou soustavu sil p�sobící na t�leso do díl�ích silových soustav (dále jen SS)
1, 2, ... n , od každé stanovíme ú�inky R1, R2, ... Rn , pak
výsledný ú�inek obdržíme vektorovým sou�tem ú�ink� od
jednotlivých díl�ích SS.
3) Princip úm�rnosti: P�sobí-li na t�leso SS F1 , F2 , ... , Fnvyvolávající výsledný ú�inek R , potom SS k.F1 , k.F2 , ... ,
k.Fn vyvolává výsledný ú�inek k.R pro k = konst.
-
Složené typy namáhání
Základní typy namáhání:a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk)b) složené
Kombinace základních p�ípad� namáhání:
• prostorový (obecný) ohyb
• excentrický tah a tlak• excentrický tah a tlak
(kombinace ohybu s tahem nebo tlakem)
• kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem
Díky principu superpozice, který platí v lineárn�pružném oboru, pak lze �ešit složené p�ípady namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné
ú�inky složit – superponovat.
Schwedlerovy vztahy
Teorie vychází ze Schwedlerových vztah�, zopakovat ze stavební statiky,
nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech:
Saint - Venant�v princip lokálního ú�inku
F
F oblast poruchy
neovlivn�ná �ást
F
Usnad�uje �ešení napjatosti
t�les.
• Rovnovážná soustava ovlivní stav
napjatosti jen v blízkém okolí
Jean Claude Saint-Venant(1797-1886)
q
oblast blízkého okolí
napjatosti jen v blízkém okolí
• Ve vzdálen�jších bodech má zanedbatelné
ú�inky
Používá se:
a) ke zjednodušení povrchového zatížení
jeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro
výpo�et výhodn�jším zatížením
(spojité zatížení na malé ploše lze nahradit
osam�lým b�emenem)
F
b) skute�né rozm�ry prutu m�žeme idealizovat do st�ednice.
(síla p�sobí na st�ednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc)
oblast blízkého okolí, nutno provést korekci
Saint - Venant�v princip lokálního ú�inku
Po provedení výpo�tu, zejména
jsou-li vy�íslena i nap�tí v
pr��ezech, je nutno provést korekce
nap�tí s ohledem na provedené
idealizace.
Raz Rbz
F
Raz Rbz
��������
Lineárn� pružný materiál – Hooke�v zákon – dnešní hodina
Základní pojmy p�edm�tu Pružnost a plasticita
Nap�tí (míra intenzity vnit�ních sil) – dnešní hodina
Deformace – dnešní hodina
Stabilita (štíhlé tla�ené pruty – kapitola 9. skript)
Lineárn� pružný materiál – Hooke�v zákon – dnešní hodina
Nepružný materiál – Plasticita – �áste�n� dnešní hodina
�����
Vn�jší silové zatížení – �áste�n� dnešní hodina
Zatížení teplotou – dnešní hodina
Popušt�ní podpor (p�edm�t SSKI)
Nap�tí
Pom�r elementární síly a velikosti plošky
je pom�rné nap�tí na této plošce:
Míra intenzity vnit�ních sil
Nap�tí
A
Fp n
n∆
∆=
��
��
n
n
n
n
An
dA
Fd
A
Fp
���
=∆
∆=
→∆lim
0
Zmenšujeme-li velikost plošky ∆A k nule,
dostaneme nap�tí pn v bod�:
Základní jednotkou nap�tí je Pa [N/m2]
MPa [N/mm2] nebo [MN/m2], kPa [kN/m2]
Sm�r nap�tí je shodný se sm�rem síly p�sobící na danou plošku
-
Nap�tí, pokra�ování
dA
dV
dA
dNn
==nv
τσ
P�i rozložení síly dFn do sm�ru normály n a stopy v plošky dA je:
Platí p�itom:
��
22
nvnnp τσ +=
Platí p�itom:
σn je normálové nap�tí, p�sobí ve sm�ru normály n
τnv je smykové nap�tí, p�sobí v rovin� plošky dAve sm�ru stopy v síly dFn
22
ntnsnvτττ +=Op�t platí:
Nap�tí, pokra�ování
Smykové nap�tí τnv lze na plošce dA
rozložit do sm�r� os t a s:
��
Bodem t�lesa m�žeme proložit libovolný po�et �ez�.
Každé plošce odpovídá jiný vektor nap�tí pn.
Množina vektor� nap�tí pn, odpovídající všem
orientovaným ploškám v daném bod�,
charakterizuje nap��ový stav v tomto bod�.
Vnit�ní síly, nap�tí
Indexy nap�tí
Znaménková konvence:
Pravidlo pravé ruky
Konvence dle Stavební statiky
-
Stav napjatosti t�lesa
Znaménková konvence,
indexy u nap�tí
Stav napjatosti t�lesa
Vzájemnost smykových nap�tí Vzájemnost smykových nap�tí
Pom�rné deformace (p�etvo�ení)Délkové pom�rné deformace
Pom�rné deformace (p�etvo�ení)
Úhlové pom�rné deformace
-
Deformace a posuny v t�lese
Pom�rné deformace (p�etvo�ení)
Posuny (p�emíst�ní) konkrétních bod� zkoumaného t�lesa
Posuny (p�emíst�ní) konkrétních bod� zkoumaného t�lesa
Geometrické rovnice
Popisují vztahy mezi
složkami pom�rných
deformací t�lesa a
složkami posun�
libovolných bod�
v tomto t�lese.
Fyzikální rovnice
Popisují vztahy mezi
nap�tími a deformacemi.nap�tími a deformacemi.
(Hooke�v zákon)
Vysv�tlíme na osov�
namáhaném prutu.
�������������� Osa x vždy osa prutu – pozor u sloupu!!!
R
+N
x
lF
Zatížení osov� namáhaného prutu – nap�tí a deformace
+N
Vn�jší osové zatížení F � vnit�ní síla N �normálové nap�tí �x(intenzita vnit�ních sil)
[MPa]
Tah, tlak – pozor jednotky!!! (�ády)
P�.: Jak velké nap�tí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm2?
�����������������������������������
����� ��!�"������������������������������(geometrické rovnice) nau�it kap.1.3 u�ebnice
l
lx
∆ε =
deformace podélná
(bezrozm�rná veli�ina)
x
F
l �l
z
b
h
b´
h´y
rozm�rové zm�ny:
l
xzy υεεε −==deformace p�í�ná
b´ = b+�b
h´ = h+�h
b
by
∆ε =
h
hz
∆ε =
l´= l + �l
50,≤≤≤≤�Poisson�v sou�initel p�í�né deformace
(jedna ze t�í materiálových konstant)Kruhový pr��ez pr�m�r d?
-
Materiál - Pracovní diagramy oceli a betonu vyjad�ují vztah nap�tí – deformace: kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty
Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení.
Tažnost: plastické protažení p�etržené ty�e (vzdálenost /OT/), ocel 15%.
Pracovní diagram ideáln� pružno-plastického materiálu
++++σσσσ
fy mez kluzu
�elast. �plast.
TAH
Y A=C
F � N � σσσσ
xl
�l
Odvození pro tah a prostý tlak σσσσ - normálové nap�tí
εεεε - pom�rná podélná deformace
Pružná oblast
++++ε = ε = ε = ε = �l/l
fy
Pružno-plastická oblastPružno-plastická oblast
TAH
TLAK�el.= σB/E
BσB
�plast.
�B,celk.
Y−−−−σσσσ
−−−−εεεε
Oblast platnosti
Hookeova zákona
Lineárn� pružný materiál - Hook�v zákon v tahu
TAH
Hooke�v zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi nap�tími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti
Y
++++σσσσ
fy mez kluzu
�elast.
Pružná oblast
Oblast platnosti
Hookeova zákona
Nx =σ l
lx
∆ε =
do Hookeova zákona dosadit:
E.xx ε=σOdvození pro tah a prostý tlak
Hooke�v zákon
αααα = arctg Eσσσσx ... normálové nap�tí [Pa]
εεεεx ... pom�rné deformace (prodloužení,zkrácení)[-]
E ... Young�v modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa]
(druhá ze t�í materiálových konstant)
Ax =σ
EA
Nll =∆
lxε =
�
σσσσ
εεεε = �l/l
E==ε
σϕtan
jiné zn�ní
Hookeova zákona
ττττxz
Gxzxz γτ = (((( ))))�GE
++++==== 12
Lineárn� pružný materiál - Hook�v zákon ve smyku
Hooke�v zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi nap�tími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti
αααα = arctan G
ττττxz ... smykové nap�tí [Pa]
γγγγxz ... zkosení
G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]
γγγγxz
G==γ
τϕtan
(t�etí ze t�í materiálových konstant)
Materiálové konstanty #��!����������$
není-li brán�no deformaci � nap�tí = 0 � neplatí Hooke�v zákon
bude vysv�tleno zachvíli
+�T
��������
����� ��!�"�
ba
Nosník se v podpo�e b posune,
nevznikne N ani nap�tí
TTzTyTxT ∆αεεε ===
Tα - sou�initel teplotní roztažnosti [°C-1]
lTl T ..∆α∆ =
�xT = �l/l = �b/b = �h/h = �d/d
l´= l + �l
b´ = b+�b
h´ = h+�h
����� ��!�"�
-
Ur�ete rozm�rové zm�ny a nap�tí v oceli a v betonu. Konstrukce dle
obrázku.
P�íklad domácí úkol
1
h1=
0,5
mP1=150kN
P2=165kNP2
d1 = 0,03mE1 = 210 000MPa�1 = 0,3
N
-
ocel
2
hh
2=
0,2
m
P2=165kN
a = 0,15m
b =
0,1
m
E2=33 500MPa�2 = 0,2
-beton
d´= 30,009mm, a´= 150,029mm, b´= 100,019mm,
h1´=499,495mm, h2´=199,809mm, h´= 699,304mm
�1= -212,21MPa, �2= -32,0MPa … normálové nap�tí
Okruhy problém� k ústní �ásti zkoušky
1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrství
Výchozí p�edpoklady klasické lineární pružnosti
Pojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.�ádu
Nap�tí, stav napjatosti t�lesa
2. Vztahy mezi nap�tími a vnit�ními silami v pr��ezu prutu, diferenciální
podmínky rovnováhy
Základní typy namáhání - prosté a složené
Saint - Venant�v princip lokálního ú�inku
3. Deformace a posuny v t�lese, geometrické rovnice
Hooke�v zákon, lineárn� pružný materiál, fyzikální konstanty
4. Pracovní diagramy stavebních materiál�
Nepružný a ideáln� pružno-plastický materiál, tažnost
5. Deformace od zm�ny teploty
6. Nap�tí p�i osovém tahu a tlaku
7. P�etvo�ení taženého a tla�eného prutu
8. Materiálové konstanty
